rezonance in praguerobotika.trifit.eu/fel_1_b/zeo_9.pdf · 2012. 2. 16. · obvod ale není v...
TRANSCRIPT
Rezonance
Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem…
Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou amplitudou.
Důvodem je akumulace energie, kdy zdroj postupně dodává další a další energii a tlumení systému je malé; ke vzniku kmitů musí být v systému dva různé druhy energie, např. potenciální a kinetická (kyvadlo, houpačka), nebo elektrická a magnetická – v elektrických obvodech.
Rezonance je podstatou většiny hudebních nástrojů.
Někdy může mít rezonance destruktivní účinky – známé je rozbití sklenice zvukem určité frekvence.
Zásadním pojmem je rezonance v architektuře. Nesprávně navržené stavby se mohou zhroutit. Příkladem může být např. Angerský most, který se zhroutil v roce 1850, kdy ho rozkmitali pochodující francouzští vojáci. Jiným příkladem je zhroucení amerického Tacoma Narrows Bridge (1940), kde byl most rozkmitán větrem vanoucím konstantní rychlostí (!!!) – iniciátorem kmitů byly větrné víry (aeroelastický flutter).
Autentický záběr z filmu „The Tacoma Narrows Bridge Collapse“
V elektrických obvodech se s rezonancí setkáme např. ve filtrech, nebo u kompenzace účiníku (účiník 100%)
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
V následujícím budeme studovat sériový RLC obvod, kde R = 10 Ω, L = 1 H, C = 1 µF, pokud nebude uvedeno jinak.
Impedance obvodu je:
Amplituda impedance je:
R
L
C
U1
101
102
103
104
105
101
102
103
104
105
ω [rad s-1]
Z [Ω
]
Amplituda impedance je frekvenčně závislá (stejně, jako fáze), s ostrým minimem na frekvenci 1000 s-1.
Pro toto minimum platí podmínka:
Impedance je na této frekvenci reálná
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
Z této podmínky (a nebo derivací impedance podle frekvence) můžeme určit podmínku:
Thomsonův vzorec:
Tento vzorec určuje rezonanční frekvenci sériového RLC obvodu (pozor, není univerzální pro libovolný obvod!)Porovnejme frekvenční závislost amplitudy proudu, a napětí:
101
102
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
ω [rad s-1]
I [A
]
Zeleně je napětí na kapacitoru.Červeně napětí na induktoru.Modře napětí na rezistoru.
Obě osy jsou logaritmické, jednotky na vertikální ose jsou dB, tedy
Je-li U1 = 1 V, pak 40 dB ≈ 100 V.
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
Jak je možné, že napětí na kapacitoru a induktoru je větší, nežli napětí zdroje?
Napětí na kapacitoru a na induktoru kmitá v protifázi, takže se vzájemně odečtou – napětí na rezistoru je tak stejné, jako napětí zdroje
Tento typ rezonance se nazývá napěťová rezonanceAmplituda napětí na kapacitoru a induktoru může být mnohonásobně větší, nežli amplituda napětí zdroje
Podmínka napěťové rezonance:Aby obvod rezonoval, musí obsahovat alespoň dva reaktanční prvky – ale ne 2 kapacitory, nebo 2 induktory; k vzájemné výměně energie to musí být L i CFázorové diagramy:
ÛRÎ
ÛL
ÛCÛÛR=ÛÎ
ÛL ÛC
ÛR
Î
ÛL ÛC
Û
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
Obvod ale není v ustáleném stavu okamžitě – amplituda roste postupně, doba ustálení je nepřímo úměrnáČím menší je odpor, tím déle trvá ustálení obvodu. Vzpomeňte na první přednášku – pokud ideální induktor připojíme k ideálnímu zdroji napětí, měl by jím (v ustáleném stavu!) protékat nekonečně velký proud. Proud induktorem, podle indukčního zákona, roste lineárně. Proud (a tedy i napětí) nemohou proto dosáhnout své maximální hodnoty (kterou určuje odpor) okamžitě.
Protože je impedance sériového RLC obvodu v rezonanci reálná, rovna odporu R, odpor je prvkem, který omezuje proud, tekoucí obvodem – napětí na kapacitoru a induktoru jsou dány jejich reaktancí ⇒ menší R znamená větší napětí na C a L.
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
Ne každý sériový RLC obvod je rezonanční. Kromě přítomnosti reaktančních prvků obou typů je druhou nutnou podmínkou vzniku rezonančních kmitů „dostatečně“ malé tlumení – tedy elektrický odpor.Rezonanční RLC obvod poznáme také tak, že po připojení stejnosměrného zdroje kmitá kvaziperiodickými (exponenciálně tlumenými) kmity – je opět ovlivněno velikostí tlumení – elektrického odporu.
Činitel jakostiMezi nejdůležitější aplikace rezonančních obvodů patří frekvenční filtry. Například v ladících jednotkách rozhlasových přijímačů a TV musí být filtr – pásmová propust, která propustí pouze frekvenci naladěné stanice a ostatní zadrží. Takový filtr musí mít co nejužší a nejstrmější frekvenční charakteristiku, aby dále nepronikaly frekvence ostatních stanic. V případě rezonančního LC filtru tedy co největší napětí UL, UC. Čím vyšší je toto napětí, tím je filtr „kvalitnější“.
Tak je definován činitel jakosti pro napěťovou rezonanci jako:
Protože napětí v rezonanci můžeme vyjádřit:
Můžeme činitel jakosti definovat jedním ze vzorců: Maximální (kritický) odpor, se kterým se obvod ještě chová jako rezonanční:
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
Rezonanční křivkaPokud normalizujeme proud, tekoucí obvodem, bude:
Vzhledem k tomu, že frekvence v rovnici může být libovolná, nejenom rezonanční, zavedeme relativní frekvenci
0.1 1 10-40
-20
0
s1 s
2 s
Pokles o 3 dB
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
Rezonanční křivka je tím užší (a vyšší), čím je větší činitel jakosti. Matematicky můžeme šířku rezonanční křivky vyjádřit:
Na následujícím obrázku jsou zobrazeny rezonanční křivky pro Q = 10, Q = 50 a Q = 100
0.1 1 10-60
-40
-20
0
s
Q=10
Q=50
Q=100
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
Paralelní rezonanční obvod – proudová rezonance
V sériovém RLC obvodu jsme studovali tzv. napěťovou rezonanci.
Proudová rezonance se nejlépe vysvětluje na ideálním (bohužel ale fyzikálně nerealizovatelném) paralelním RLC obvodu, viz obrázek:
Napětí na všech obvodových prvcích je stejné; proudy, tekoucí jednotlivými prvku se ale mohou lišit.
Pokud jsou v obvodu přítomny reaktanční prvky obou druhů (elektrické i magnetické pole – C i L), mohou si opět vzájemně vyměňovat energii –poroste elektrický proud, který jimi teče (a akumulovaná energie).
Vztah mezi jednotlivými proudy popisují fázorové diagramy:
ÎR Û
ÎL
ÎCÎÎR=Î Û
ÎL ÎC
ÎR Û
ÎL ÎC
Î
Platí tedy: , oba proudy jsou ale vzájemně posunuty o 180º, takže se vzájemně odečtou.Jelikož:
…a rezonanční frekvence ideálního paralelního RLC obvodu bude:
I 1
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
V rezonanci tedy platí pro admitanci:
Činitel jakosti je v tomto případě definován poměrem proudů:
K proudové rezonanci dochází v obvodu, který je napájený z proudového zdrojeNa rozdíl od napěťové rezonance, činitel jakosti je tím vyšší, čím větší je odpor rezistoru
Při napájení ze zdroje napětí k žádnému efektu akumulace energie nedochází (zdroj napětí to nedovolí):
Napájení ze zdroje napětí Napájení ze zdroje proudu
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á
Ve skutečnosti je ale takový ideální obvod nerealizovatelný. Skutečný paralelní rezonanční obvod je na obrázku:
Fázový posun mezi proudy, které tečou induktorem a kapacitorem je menší, nežli 180º.
Admitance (a tedy impedance) je reálná (podmínka rezonance)
Rezonanční frekvence již není určena Thomsonovým vztahem:
Odpor rezistoru by na rozdíl od ideálního paralelního RLC rezonančního obvodu měl být co možná nejmenší
Thomsonův vztah je pouze specielní případ, u složitějších obvodů je potřeba rezonanční frekvence odvodit z podmínky rezonance
Obvod, který má více reaktančních prvků může mít více různých rezonančních frekvencí
Definice činitele jakosti jako poměru napětí nebo proudů u složitějších obvodů selhává (již u reálného paralelního RLC obvodu nejsou proudy, tekoucí kapacitorem a induktorem stejné), univerzální je energetická definice:
© Cze
ch Tec
hnica
l Univ
ersity
in P
rague
Facult
y of E
lectric
al Eng
ineeri
ng
© Č
eské
vyso
ké uč
ení te
chnic
ké v
Praze
Fakult
a elek
trotec
hnick
á