riccardo u. claudi inaf astronomical observatory of padova asterosismologia 2. analisi delle...

Riccardo U. Claudi

INAF Astronomical Observatory of Padova

Asterosismologia

2. Analisi delle pulsazioni

Asterosismologia: Introduzione

Stelle Pulsanti nel diagramma HR

Un buon articolo di Review:

Gautschy & Saio 1996


Costante di pulsazioneLa costante di pulsazione esprime il periodo della pulsazione:

€

Q = ΠM

MSUN

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1/ 2R

RSUN

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−3 / 2

direttamente in unità del tempo scala dinamico ed è definita come:

€

Π=2π

ω0


•ξnlm(r, , , t)= ξnl(r) Ylm(,)e-i nlmt

•Ylm(,)=(-1)m clmPl

m(cos ) cos(m - t)

•kh = 2 / h = [l(l+1)]1/2/r

Proprietà delle oscillazioni


Armoniche Sferiche I

Ylm(,)=(-1)m clmPl

m(cos ) cos(m - t)

€

c lm2 =

2l +1( ) l − m( )!

4π l + m( )!


Armoniche Sferiche IIl=0

l=1

l=2


“Splitting” Rotazionale


Identificazione dei Modi

n, n, , m, m

Per una determinata frequenza

nm

dobbiamo determinare tre numeri

"quantici”:


n – ordine radiale, n=0,1,2,...

l - grado della armonica sferica, l=0,1,2, …

m – ordine azimutale, |m| l

Numeri e gradi


n

l

m

l-|m|

Numero dei nodi nella direzione radiale

Numero totale delle linee nodali sulla superficie

Numero delle linee nodali perpendicolari all’equatore

Numero delle linee nodali parallele all’equatore


C. SchrijversC. Schrijvers


Relazione di dispersione delle onde acustiche

Quindi

Quando kr = 0 si ha il turning point rt:

Teoria asintotica: Frequenze

Asterosismologia: Introduzionel=0

l=2

l=20

l=25

l=75

Raggi


= 1, m=0 = 1, m=1

Tim Bedding


= 2, m=1 = 2, m=2

Tim Bedding


= 3, m=0 = 3, m=1

= 3, m=2 = 3, m=3

Tim Bedding


= 5, m=0 = 5, m=2

= 5, m=3

Tim Bedding


= 8, m=1 = 8, m=2

= 8, m=3

Tim Bedding


Responso Spaziale I

€

I(t) =1

AI ϑ ,φ, t( )

A

∫ dA

€

I(t) = Sl(I )I0 cos ω0t −δ0( )


Responso Spaziale II

€

υ(t) = Sl(υ )υ 0 cos ω0t −δ0( )


Responso Spaziale III

€

Sl(I ) = 2 2l +1 Pl cosθ( )

0

π / 2

∫ cosθ sinθdθ

Sl(V ) = 2 2l +1 Pl cosθ( )

0

π / 2

∫ cos2 θ sinθdθ


2nl nl

lnυ υ α ε⎛ ⎞≈Δ + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Grande separazione:

Teoria asintotica: modi p

1

, 1,

0

2R

n l n l

dr

cν ν ν

−

−

⎡ ⎤Δ = ≈ −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

( ), 2, 0

14

r

n ln l

dc drl l

dr r

νε

π ν

Δ≈ + ∫

Piccola separazione:

Tassoul, 1980

n-2,2

n-1,0

n,0

n-2,3

n-1,1


Δυ e υ misurano rispettivamente la densità e la

composizione del core della stella.

In altre parole la massa e l’età della stella.

Grande e piccola separazione


échelle diagram

l=0l=3

l=1l=2l=1

Δν

Frequency mod Δν Hz)


Asteroseismic HR diagram


Come misurare le pulsazioni stellari?

Variazioni radiali

Variazioni VR Variazioni L*

Serie temporali

Analisi di Fourier

FREQUENZE !


•Trasformata di Fourier•Analisi delle Wavelet•Analisi dell’Autocorrelazione•Altri Metodi

Metodi Numerici per l’analisi Metodi Numerici per l’analisi delle Serie Temporalidelle Serie Temporali


L’analisi di Fourier tenta di fare il fit della serie temporale con una serie di funzioni sin(x), ciascuna con un differente periodo, ampiezza e fase.Gli algoritmi che fanno questo eseguono Una trasformazione matematica dal dominio temporale al dominio dei periodi (o delle frequenze.

f (time) F (period)

Analisi di FourierAnalisi di Fourier


Algoritmi di FourierAlgoritmi di Fourier

Discrete Fourier Transform: algoritmo classico (DFT)Fast Fourier Transform: molto buono per dati non equamente spaziati (FFT)Date-Compensated DFT: dati campionati non equamente con grandi quantità di gaps (TS)Periodogram (Lomb-Scargle): simile alla DFT


La trasformata di Fourier di una funzione è la determinazione delle ampiezze e delle fasi delle sinusoidi che sommate insieme riproducono la funzione

Si ricordi la formula di Eulero:

La Trasformata di FourierLa Trasformata di Fourier

€

F(ω) = f (t)e iωtdt−∞

∞

∫

€

e iωt = cos ωt( ) + isin ωt( )


Lo Spettro di PotenzaLo Spettro di Potenza

€

F ω( ) = f (t)e iωt

−∞

+∞

∫ dt

P ω( ) = F ω( )2

Lo spettro di potenza di un determinato segnale, identifica quali delle componenti sinusoidali contribuisce maggiormente all’ampiezza del segnale stesso


Spettro di Potenza di un singolo modoSpettro di Potenza di un singolo modo

€

υ(t) = a0 cos ωt −δ0( )

V ω( ) = υ (t)e iωtdt =0

T

∫

=T

2a0 e

iT

2ω +ω0( )−δ 0

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥sinc

T

2ω + ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥+ e

iT

2ω−ω0( )+δ 0

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥sinc

T

2ω −ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

€

P ω( ) = V ω( )2≅

1

4T 2a0

2 sinc2 T

2ω −ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥


Accuratezza della determinazione di Accuratezza della determinazione di 00

HWHM=0.443π~π/2

€

T

2

δω

2=

π

2

δω =2π

T

δν =1

T

€

P ω( ) =1

4T 2a0

2 sinc2 T

2ω −ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

Risoluzione

€

0

=2π

Tω0

=Π

T


Spettro di Potenza di più componentiSpettro di Potenza di più componentiLo spettro di potenza di più componenti è dato dalla somma degli spettri di potenza delle singole componenti più i termini misti risultanti dalla interferenza dei modi.

€

υ(t) = a1 cos ω1t −δ1( ) + a2 cos ω2t −δ2( )

interferenza


RisoluzioneRisoluzioneNel caso di power spectrum di più componenti, i modi saranno ben separati se vale la condizione:

€

i −ω j T >>1 i ≠ j

Nel caso stellare si hanno molti modi e la situazione non è semplice.Una stima rozza può essere:

€

≅12

T


Dati con Gaps. IDati con Gaps. I

€

υ(t) = a0 cos ωt −δ0( )

V ω( ) = υ (t)e iωtdt +0

T

∫ υ (t)e iωtdtτ

τ +T

∫

=T

2a0 e

iT

2ω−ω0( )+δ 0

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥+ e

i τ +T

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ω−ω0( )+δ 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪sinc

T

2ω −ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥=

= Ta0ei

1

2τ +T( ) ω−ω0( )+δ 0

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥cos

τ

2ω −ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥sinc

T

2ω −ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

TT +T+T


Dati con Gaps. IIDati con Gaps. II

€

P ω( ) = T 2a02 cos2 τ

2ω −ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥sinc2 T

2ω −ω0( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

ν =1

τ Nel caso =24hr

€

ν =1

τ=11.57 μHz


Funzione FinestraFunzione Finestra

€

υ(t) = w(t)υ 0(t)

€

υ(ω) = (w *υ 0)(ω) = w ∫ (ω −ω')υ 0(ω)dω'

ConvoluzioneConvoluzione

€

Pω (ω) = w (ω)2


Spettro di Potenza di oscillazioni smorzate

€

υ(t) = a0 cos ω0t −δ0( )e−ηt

€

P(ω) =1

4

a02

ω −ω0( )2

+ η 2 T


AMPIEZZA…AMPIEZZA…

Dimensioni

PS PDS

Intensità L/L (ppm)2 (ppm)2/Hz

Velocità V(t) (m/s)2 (m/s)2/Hz

Ampiezza

A2 A2T


……ed INCERTEZZAed INCERTEZZA

PSPS

€

PS =4σ rms

2

N

σ ampl =πσ PS

4


OSSERVAZIONI ASTEROSISMOLOGICHEOSSERVAZIONI ASTEROSISMOLOGICHEConsideriamo di voler osservare la pulsazione di una Consideriamo di voler osservare la pulsazione di una stella la cui ampiezza sia A. Per identificarla nel PS stella la cui ampiezza sia A. Per identificarla nel PS risultante, è necesario che il rapporto SN nel PS sia:risultante, è necesario che il rapporto SN nel PS sia:

€

A2

σ PS

≥ 4

A2 ≥ 4σ PS =16σ rms

2

N

Possiamo perciò ricavare il numero N di Possiamo perciò ricavare il numero N di osservazioni che definiscono una serie temporale osservazioni che definiscono una serie temporale con rms pari a con rms pari a per osservare il segnale con per osservare il segnale con ampiezza A:ampiezza A:

€

N ≥16σ rms

2

A2

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