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RICHIAMI DI DINAMICA STRUTTURALE

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INDICE

1. INTRODUZIONE 1.1 GENESI DEI SISMI 1.2 MAGNITUDO ED INTENSITA’

2. SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI

2.1 AZIONI STATICHE E DINAMICHE 2.2 SISTEMI AD UN SOLO GRADO DI LIBERTA’ 2.3 ANALISI DELLE DIPENDENZE DELLA PSEUDOACCELERAZIONE 2.4 COMPONENTI ORIZZONTALE E VERTICALE DELLO SPETTRO DI

RISPOSTA ELASTICO

3. SPETTRI DI PROGETTO 3.1 ELEMENTI BASE 3.2 DIPENDENZE DELLA DUTTILITA’. IL FATTORE DI STRUTTURA 3.3 COMPONENTI ORIZZONTALE E VERTICALE DELLO SPETTRO DI

PROGETTO ALLO STATO LIMITE ULTIMO ED ALLO STATO LIMITE DI DANNO

4. SISTEMI A PIU’ GRADI DI LIBERTA’

4.1 ELEMENTI BASE 4.2 DEFINIZIONE DEI MODI PRINCIPALI DI VIBRARE 4.3 ANALISI MODALE 4.4 COMBINAZIONI MODALI

5. TRASFORMAZIONE DI UN PROBLEMA SISMICO IN UNO STATICO

EQUIVALENTE 5.1 CENNI ALL’ANALISI STATICA LINEARE

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1. INTRODUZIONE

Secondo una leggenda giapponese, i terremoti sono scatenati da Namazu, un pesce gatto gigante che vive sottoterra, solo il dio Kashima, che protegge il Giappone dai terremoti, lo può immobilizzare grazie a poteri soprannaturali. A sinistra è riportata una rappresentazione dell’antica leggenda: il dio Kashima ferma Namazu, che, approfittando dell’assenza del dio, ha provocato un grosso terremoto, gettando nel panico la gente, in fuga dalle case diroccate ed incendiate. Oggi sappiamo che la sismicità è un fenomeno sempre attivo nel tempo, esso è collegato con i processi di evoluzione del nostro pianeta; inoltre, i terremoti risultano concentrati in zone ben precise e questo suggerisce di cercare la loro origine in particolari strutture della Terra, localizzate nel mantello superiore e nella crosta.

1.1 GENESI DEI SISMI I movimenti in atto nell’interno della Terra, nella crosta e nel mantello superiore, sottopongono a sforzo volumi più o meno grandi di rocce che si deformano in maniera elastica, per esempio comprimendosi, accumulando energia di deformazione (Fig. 1). Raggiunto il limite di rottura, nella massa rocciosa si innesca una lacerazione a partire da un punto critico detto ipocentro o fuoco (Fig. 2) generando una faglia, lungo il cui piano le rocce possono scorrere le une contro le altre in direzioni opposte. Le due parti dell’originaria massa rocciosa sono libere e riacquistano bruscamente una nuova posizione di equilibrio, in genere nell’arco di pochi secondi. Se nella massa rocciosa esiste già una faglia (Fig. 3), è l’attrito tra le due porzioni della crosta terrestre ad impedire all’inizio ogni movimento, per cui le rocce si deformano nel modo già descritto, quando però la tensione che si accumula supera la resistenza dovuta all’attrito, la faglia si riattiva e il movimento avviene lungo di essa.

Fig. 1 Il modello del rimbalzo elastico come definito dal sismologo americano Harry F. Reid

Fig. 2 Ipocentro, epicentro e piano di faglia

Con il repentino ritorno delle masse rocciose all’equilibrio, l’energia di deformazione elastica accumulata si libera, in parte sotto forma di calore prodotto dall’attrito, in parte sotto forma di violente vibrazioni, che si propagano come onde sismiche dall’ipocentro verso tutte le direzioni

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attraverso le rocce circostanti, generando i terremoti; si definisce epicentro la proiezione dell’ipocentro sulla superficie terrestre (Fig. 2).

Fig. 3 Principali faglie e placche della crosta terrestre

In maniera esemplificativa si può ritenere che le particelle di materiale vicine alla faglia compiano delle rapide oscillazioni intorno al punto di equilibrio prima di fermarsi, e che tale perturbazione si propaghi da una particella a quella contigua in tutte le direzioni; ciò che si propaga è ovviamente solo la perturbazione, che si allarga dall’ipocentro come un’onda s ferica (Fig. 4) .

Fig. 4 Propagazione delle onde sismiche

I movimenti all’ipocentro producono differenti tipi di deformazioni a cui corrispondono differenti tipi di onde; inoltre, la struttura complessa della Terra, con l’alternarsi di materiali diversi, provoca nelle onde che si propagano fenomeni di rifrazione e riflessione. Si distinguono così onde longitudinali o primarie (P) al cui passaggio le particelle di roccia oscillano avanti e indietro nella direzione di propagazione dell’onda stessa (Fig. 5): in pratica, la roccia subisce rapide variazioni di volume, comprimendosi e dilatandosi alternativamente. Sono le onde più veloci, si muovono nella crosta con velocità tra 4 e 8 Km/s, perciò sono dette primarie e possono propagarsi in ogni mezzo. Lo scivolamento delle masse rocciose lungo il piano di faglia provoca anche deformazioni di taglio, che si propagano come onde di taglio o trasversali (S): al loro passaggio le particelle di roccia compiono delle oscillazioni perpendicolari alla direzione di propagazione (Fig. 5). Le rocce subiscono variazioni di forma, ma non di volume; sono più lente delle onde primarie infatti nella

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crosta terrestre viaggiano tra 2,3 e 4,6 Km/s, per tale motivo sono dette onde secondarie. Le onde di taglio sono caratterizzate dal fatto che non possono p ropagarsi nei mezzi fluidi.

Fig. 5 Tipi di onde sismiche: onde interne (primarie e secondarie); onde superficiali (Love e Rayleigh) Le onde P ed S si generano nell’ipocentro e sono chiamate onde di volume o interne, ma non sono le sole onde che compaiono durante un terremoto. Quando le onde interne raggiungono la superficie, si trasformano in parte in onde superficiali che si propagano dall’epicentro lungo la superficie terrestre, mentre si smorzano rapidamente con la profondità. Tra queste si hanno (Fig. 5) le onde di Love (L) al cui passaggio le particelle oscillano trasversalmente alla direzione di propagazione (come le onde S), ma solo nel piano orizzontale; e le onde di Rayleigh (R) al cui propagarsi le particelle compiono orbite ellittiche in un piano verticale lungo la direzione di propagazione. Le rocce non sono materiali elastici perfetti, per cui una parte dell’energia meccanica associata ad un’onda che le attraversa viene spesa per vincere gli attriti interni e si trasforma in calore: si produce un’attenuazione progressiva dell’onda sismica, fino ad esaurirsi con la distanza dall’ipocentro. E’ da osservarsi che le onde superficiali si muovono più lentamente delle onde interne da cui derivano (circa 3 Km/s le onde L; 2,7 Km/s le onde R), possono p ercorrere però lunghissime distanze, fino a compiere il giro della terra, prima di attenuarsi.

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1.2 MAGNITUDO ED INTENSITA’ Il sismografo è uno strumento che registra il complesso movimento del suolo durante un terremoto (Fig. 6). Si tratta di uno mezzo utilissimo in quanto, restituendo una registrazione permanente (sismogramma), consente di analizzare e riesaminare in qualunque momento il fenomeno che ha investito la porzione di superficie terrestre interessata dalla registrazione.

Fig. 6 Sismografo e sismogramma. Si denota con la lettera A la massima ampiezza di oscillazione del suolo. In linea di massima il funzionamento si basa sull’inerzia di una massa sospesa: un pennino scrivente solidale con la massa lascia una traccia su una striscia di carta che ruota per mezzo di un rullo solidale con il suolo: si registrano così le vibrazioni del suolo rispetto alla massa. L’ampiezza massima delle onde registrate da un sismogramma (A in Fig. 6) può essere usata come misura della “grandezza” di un terremoto se viene messa a confronto con l’ampiezza massima (A 0) delle onde fatte registrare da un terremoto scelto come riferimento (sisma 0). Grazie a questa idea, nel 1935 il sismologo americano Charles F. Richter propose di misurare la magnitudo di un terremoto: come riferimento egli scelse un terremoto che produce su un sismografo standard, posto a 100 Km dall’epicentro, un sismogramma con oscillazione massima eguale a 0,001 mm.

Fig. 7 Magnitudo

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Riportando le registrazioni su un piano cartesiano, che presenta in ascissa la distanza (D) dall’epicentro della stazione di registrazione ed in ordinata il logaritmo in base 10 della massima oscillazione del suolo, e constatando che le curve pertinenti i diversi sismi sono sens ibilmente parallele, si definisce magnitudo M del sisma

01001010 A

ALogALogALogM =−=

Si può osservare che non esiste un limite teorico per la magnitudo, ma non si sono registrati sismi con magnitudo superiore a 9. Mediante relazioni empiriche, nota la magnitudo, è possibile stimare l’energia associata all’evento sismico in analisi: ad un aumento unitario della magnitudo corrisponde un incremento di un fattore 10 nell’ampiezza del movimento del terreno ed una liberazione di energia circa 30 volte maggiore; ad esempio in un terremoto di magnitudo 8 è liberata una quantità di energia circa 900 volte maggiore rispetto a quella relativa ad un sisma di magnitudo 6. Prima dell’introduzione della magnitudo, la “forza” di un terremoto veniva classificata secondo la sua intensità, stabilita esclusivamente in base alla valutazione degli effetti prodotti dal terremoto su persone, su manufatti e sul terreno, trattasi dunque di una misurazione non strumentale. Per poter confrontare gli effetti prodotti da uno stesso terremoto in località diverse, o quelli dovuti a terremoti differenti, sono state elaborate scale di riferimento o scale d’intensità: ricordiamo quella elaborata da Mercalli, inizialmente articolata in 10 gradi, crescenti con la forza del terremoto. Questa scala è stata in seguito più volte modificata, per tenere conto, per esempio, dell’introduzione del cemento armato nelle costruzioni, che divenivano in tal modo meno vulnerabili alle scosse sismiche. Attualmente la scala più usata in Europ a e in America è la scala Mercalli – Cancani – Sieberg (MCS), divisa in 12 gradi (Fig. 8).

Fig. 8 Scala Mercalli

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2. SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI

Irpinia (1980)

Contrariamente da quanto possa sembrare, il terremoto non è un fenomeno sporadico: ogni anno nel mondo si registrano circa un milione di sismi, cioè mediamente uno ogni 30 secondi, di questi qualche migliaio sono percepiti dall’uomo e qualche decina è in grado di produrre gravi danni quando si verificano in zone abitate ed alcuni possono essere catastrofici. La definizione degli spettri di risposta elastici da p arte della comunità scientifica e tecnica, ha consentito di disporre di uno strumento fondamentale per la comprensione degli effetti che i sismi possono produrre sulle opere costruite.

2.1 AZIONI STATICHE E DINAMICHE La seconda legge di Newton della dinamica

MaF =∑

in cui la sommatoria è estesa a tutte le forze agenti sulla massa M soggetta alla accelerazione a, può essere esplicitata in diverse maniere in funzione del carattere delle azioni stesse. Ai punti 1.5.3.11 e 1.5.3.12 della UNI EN 1990 Eurocodice CRITERI GENERALI DI PROGET-TAZIONE STRUTTURALE, ed al punto 2.6.3.2 delle recenti NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI, si classificano le azioni in statiche e dinamiche a seconda che le stesse non causino o meno un’accelerazione significativa della massa strutturale o di sue parti. Pertanto, in presenza di azioni statiche la seconda legge della dinamica si scrive

0F =∑

e rappresenta la ben nota equazione di equilibrio statico; in presenza di azioni dinamiche invece, la legge di Newton si scrive

)t()t( MaF =∑

e rappresenta l’equazione di equilibrio dinamico cui riferirsi in presenza di accelerazioni non trascurabili che causano vibrazioni delle masse strutturali in funzione del tempo. Potenziali effetti nocivi connessi con le vibrazioni strutturali sono: § insorgenza di maggiori sollecitazioni rispetto alla presenza di sole azioni statiche; § insorgenza della fatica, che comporta una riduzione delle capacità prestazionali degli

elementi strutturali quando sono soggetti a sollecitazioni cicliche. Tipici esempi di applicazione di azioni dinamiche sono:

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§ applicazione repentina di un carico, come il brusco rilascio delle strutture temporanee di sostegno delle strutture gettate in opera;

§ applicazione di un carico il cui punto di applicazione muta nel tempo, come il passaggio di una vettura su una struttura da ponte (Fig. 1);

§ moto sismico del suolo .

Fig. 1 Passaggio di un carico mobile su una struttura ad arco in muratura

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2.2 SISTEMI AD UN SOLO GRADO DI LIBERTA’ Per comprendere gli aspetti fondamentali dell’analisi dinamica delle strutture, finalizzata allo studio di edifici soggetti a moto sismico del suolo, è possibile fare riferimento ad un semplice sistema ad un grado di libertà, il cui moto cioè è caratterizzato da un solo parametro funzione del tempo, ad esempio lo spostamento )t(η . In Fig. 2 è rappresentato un sistema ad un solo grado di libertà caratterizzato da un traverso rigido avente massa M, soggetto a moto sismico orizzontale del suolo e vincolato a tre ritti aventi rigidezza k e massa trascurabile.

Fig. 2

Più in generale, si definisce oscillatore semplice una qualsiasi struttura soggetta ad azioni dinamiche e modellabile con una massa dotata di un solo grado di libertà su un supporto elastico privo di massa costituito dalla restante parte di struttura. In maniera sintetica, l’oscillatore semplice rappresentato in Fig. 2 e soggetto a moto sismico del suolo è schematizzabile come segue (Fig. 3), secondo una modellazione ben nota nella fisica elementare:

Fig. 3

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Coerentemente con quanto osservato, al punto 4.4 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431, ed al punto 5.7.4.2 delle NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI , è stabilito che il modello della struttura su cui verrà effettuata l’analisi dovrà rappresentare in modo adeguato la distribuzione di massa e rigidezza effettiva. Considerando l’oscillatore semplice riportato in Fig. 2, il moto sismico del suolo, definito dallo spostamento orizzontale )t(u , comporta uno spostamento del traverso interpretabile in termini relativi per mezzo dello spostamento )t(η , ovvero, riferendosi alla terra ferma, mediante lo spostamento assoluto )t(x . La relazione che lega gli spostamenti assoluti e gli spostamenti relativi è (Fig. 4) :

)t()t()t( ux η+= da cui, per derivazione rispetto al tempo, si ricava il legame tra velocità ed accelerazione assoluta e velocità ed accelerazione relativa della massa in movimento:

)t(

')t(

')t(

'ux η+=

)t(

'')t(

'')t(

''ux η+=

Fig. 4 L’equazione di equilibrio dinamico si scrive (Fig. 4) semplicemente eguagliando la forza di richiamo elastica al prodotto dalla massa per l’accelerazione assoluta

( ) )t(''

t xMk =η− ovvero, introducendo l’accelerazione relativa della massa in oscillazione, si ha

( )

η+=η− )t(

'')t(

''

t uMk

da cui si ricava

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( ) ( ) ( )t''

tt''

MkuM η=η−− da integrare note le condizioni iniziali di posizione e velocità della massa. È importante osservare che, per strutture soggette a moto sismico del suolo di fondazione, l’aspetto saliente è costituito dal fatto che l’azione dinamica cui la massa è soggetta è rappresentata dalla

forza di trascinamento connessa all’accelerazione del suolo espressa in )t(''

u . A tal proposito, mediante strumenti di misura denominati accelerometri è possibile misurare durante eventi sismici l’accelerazione del suolo: si definisce accelerogramma il diagramma orario della accelerazione della terra in movimento (Fig. 5).

Fig. 5

Si definisce accelerazione di ancoraggio e la si denota con il s imbolo

ga la massima accelerazione assoluta registrata nel suolo durante l’evento sismico (d’ordinario è

g5,0a g ≤ , essendo g l’accelerazione di gravità). Più comunemente l’equazione di equilibrio dinamico si scrive dividendo entrambi i membri per la massa M

MM

Mk

MuM )t(

''

)t()t(''

η=

η−−

semplificando ed introducendo il parametro Mk

=ω detto pulsazione naturale, si ottiene

( ) ( ) ( )t''

t2

t

''u−=ηω+η

che rappresenta l’equazione di equilibrio dinamico di riferimento.

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La pulsazione naturale ω è un parametro che qualifica la struttura in analisi essendo dipendente dalle caratteristiche che definiscono la massa e la rigidezza della struttura stessa. Nota la pulsazione naturale è poss ibile definire due ulteriori parametri fondamentali per la comprensione fisica dei fenomeni sismici: si definisce periodo naturale e lo si denota con il simbolo T, la grandezza

ωπ

=2T ;

si definisce frequenza naturale l’inverso del periodo naturale

πω

==2T

1f

Sia il periodo naturale che la frequenza naturale hanno precisi significati fisici: nell’ambito delle vibrazioni libere (vibrazioni generate da una perturbazione iniziale che altera esclusivamente le

condizioni iniziali di posizione e velocità, per le quali è 0u )t(''

= ), il moto della massa è di tipo armonico, cioè caratterizzato da oscillazioni indefinite di ampiezza costante intorno alla posizione di equilibrio statico (Fig. 6), il periodo naturale rappresenta il tempo necessario per compiere una oscillazione completa, la frequenza naturale rappresenta il numero di oscillazioni compiute dalla massa nell’arco di un secondo.

Fig. 6 Il periodo naturale rappresenta il tempo necessario per compiere una oscillazione completa intorno alla

posizione di equilibrio statico E’ da osservare che il periodo naturale T è funzione esclusivamente delle grandezze geometriche e meccaniche che caratterizzano la struttura e non del carattere della perturbazione iniziale. Come è fisicamente intuibile, una struttura perturbata dal suo stato di quiete iniziale non oscillerà in maniera indefinita: inevitabilmente il moto è destinato ad arrestarsi; nella realtà è pertanto necessario considerare che il sistema non è conservativo a causa delle dissipazioni energetiche che si registrano per isteresi del materiale (funzione del tipo strutturale e delle massime sollecitazioni raggiunte) e per attrito ai vincoli (decisamente irrilevanti sono d’ordinario le aliquote di energia dissipate per attrito nel mezzo in cui la struttura è immersa). Esemplificando, riferendosi ad un unico contributo di tipo viscoso equivalente per le azioni smorzanti connesse con le dissipazioni energetiche, l’equazione di equilibrio dinamico si può scrivere (Fig. 7) eguagliando la forza di richiamo elastica e viscosa al prodotto della massa per l’accelerazione assoluta

( ) )t(''

)t(

'

t xMCk =η−η−

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essendo C il coefficiente di smorzamento viscoso.

Fig. 7

Ricordando la relazione che lega l’accelerazione ass oluta e l’accelerazione relativa

)t(

'')t(

'')t(

''ux η+=

si ottiene

( )

η+=η−η− )t(

'')t(

''

)t(

'

t uMCk

da cui

( ) ( ) ( )t''

)t(t

'

t

''uMkCM =η−η−η−

da integrare note le condizioni iniziali di posizione e velocità relative. Più comunemente l’equazione di equilibrio dinamico si scrive dividendo entrambi i membri per la massa M

( ) ( ) ( )

MuM

Mk

MC

MM t

'')t(t

'

t

''

−=η

semplificando si ricava l’equazione

( ) ( ) ( )t''

t2

)t(

'

t

''u2 −=ηω+ηυω+η

dove è stato introdotto, congiuntamente alla pulsazione naturale Mk

=ω , il parametro υ

anch’esso caratteristico della struttura secondo la seguente d efinizione:

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si definisce fattore di smorzamento

(%)100C

C

crit=υ

il rapporto tra il coefficiente di smorzamento viscoso corrente ed il coefficiente di smorzamento viscoso critico kM2C crit = . Il significato fisico del fattore di smorzamento è il seguente: ü per 1<υ il moto delle vibraz ioni libere è armonico smorzato: la struttura soggetta ad una

perturbazione che ne altera le condizioni iniziali di posizione e velocità ritorna nella configurazione iniziale con oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio di ampiezza via via decrescente fino ad arrestarsi e periodo (inteso come intervallo di tempo tra due massimi o minimi successivi) pari a

2d1

TTυ−

= .

Pertanto il periodo delle vibrazioni smorzate è una aliquota del periodo naturale precedentemente definito per condizioni ideali perfettamente elastiche non dissipative.

ü per 1≥υ il moto delle vibrazioni libere è smorzato aperiodico: cioè a seguito della perturbazione iniziale la struttura ritorna nella configurazione iniziale senza oscillazioni.

È essenziale osservare che ordinariamente nelle strutture in c.a. è %5=υ , nelle strutture in acciaio è %2=υ , pertanto le oscillazioni libere sono sempre armoniche smorzate e con ottima approssimazione è dTT ≅ (Fig. 8); inoltre le oscillazioni libere possono considerarsi esaurite per

T5t ≥ .

Fig. 8 Il periodo naturale con ottima approssimazione può essere valutato trascurando i contributi pertinenti le

dissipazioni energetiche

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La soluzione generale dell’equazione di equilibrio dinamico del sistema ad un grado di libertà

( ) ( ) ( )t''

t2

)t(

'

t

''u2 −=ηω+ηυω+η

trattandosi di una equazione differenziale può essere scritta in forma integrale come segue

( ) ( )( ) ( )[ ]∫ ττ−ω

ω=η τ−υω−

τ

t

0

t''

t dtseneu1 (soluzione integrale di Duhamel)

Dalla soluzione integrale di Duhamel si posso trarre importanti interpretazioni da un punto di vista fisico. Infatti, l’integrale

( )( ) ( )[ ]∫ ττ−ωτ−υω−

τ

t

0

t''

dtseneu

ha le dimensioni di una velocità

sm , si denota con il simbolo

( ) ( )( ) ( )[ ]∫ ττ−ω= τ−υω−

τ

t

0

t''

t dtseneuV

viene definita pseudovelocità e fisicamente rappresenta la velocità relativa della massa in oscillazione (Fig. 9). Analogamente, si definisce pseudoaccelerazione la grandezza

( ) ( )tt VA ω=

e fisicamente rappresenta con ottima approssimazione l’accelerazione assoluta della massa in oscillazione (Fig. 9) (tale posizione è plausibile dati i modesti valori del fattore di smorzamento υ per le strutture ordinarie).

Fig. 9 Pseudovelocità e Pseudoaccelerazione

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Infine, si definisce forza staticizzata il prodotto tra la massa e la pseudoaccelerazione

( ) ( )tt MA=Φ .

Tale grandezza è fondamentale poiché rappresenta l’azione equivalente statica, da applicare istante per istante alla massa dell’oscillatore semplice, che simula gli effetti del moto sismico del suolo sulla struttura (Fig. 10).

Fig. 10 Forza staticizzata e Forza staticizzata massima

Assumendo che la risposta della struttura sia indipendente dalla storia di carico e dalla fatica, si coglie come sia fondamentale, ai fini della progettazione della struttura in analisi, la valutazione della forza staticizzata massima maxΦ , ovvero il valore massimo della pseudoaccelerazione maxA .

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2.3 ANALISI DELLE DIPENDENZE DELLA PSEUDOACCELERAZIONE In base a quanto esposto nel precedente paragrafo (2.2), si può osservare che la pseudoaccelerazione

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]∫ ττ−ωω=ω= τ−υω−

τ

t

0

t''

tt dtseneuVA

è funzione: § della pulsazione naturale del sistema ω , ovvero del periodo naturale dell’oscillatore

semplice, essendo ωπ

=2T ;

§ della forma dell’accelerogramma ( )t''

u e dal pertinente valore dell’accelerazione di ancoraggio ga ;

§ del fattore di smorzamento υ ; § dell’istante di tempo t considerato.

Le singole dipendenze sopra citate possono essere considerate come segue:

• la dipendenza dal periodo naturale si conserva nella relazione funzionale, mettendo in luce un aspetto fondamentale e cioè che la risposta di una struttura non dipende solo dalle caratteristiche del sisma che la investe ma anche dalle caratteristiche della struttura stessa espresse nella massa, nella rigidezza e sintetizzate nel periodo naturale T;

• la dipendenza dalla forma dell’accelerogramma è considerata riferendosi a famiglie di accelerogrammi simulanti, secondo una impostazione probabilistica, le tipiche situazioni sismiche che si verificano in natura, sulla scorta di una serie notevole di misurazioni sperimentali acquisite; la dipendenza dall’accelerazione di ancoraggio è considerata assumendo valori di riferimento in funzione delle caratteristiche sismogenetiche della zona in cui sorge la struttura (MACROZONAZIONE) ed in funzione delle caratteristiche locali stratigrafiche e morfologiche del suolo di fondazione (MICROZONAZIONE) che può agire da filtro modificando i caratteri del moto trasmesso ai livelli più prossimi alla superficie terrestre;

• la dipendenza dal fattore di smorzamento υ è considerata assumendo un valore di riferimento pari al 5%; situazioni diverse possono essere prese in esame introducendo opportuni coefficienti correttivi;

• la dipendenza dal tempo viene “persa” riferendosi ai valori massimi registrati dalla pseudoaccelerazione.

In base a tali assunzioni si può definire spettro di risposta elastico la seguente funzione

( )TSAS emaxe ==

che restituisce in funzione del periodo naturale dell’oscillatore sempl ice, la massima pseudoaccelerazione assunta dalla massa su supporto perfettamente elastico (Fig. 11) ovvero la massima forza staticizzata che sollecita la struttura.

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Fig. 11 Noto il periodo naturale T della struttura ad un grado di libertà mediante lo spettro di risposta elastico è

possibile ricavare la massima accelerazione della massa in oscillazione, per mezzo della quale è possibile determinare la massima forza staticizzata che interessa la struttura moltiplicando la massa sismica per la massima accelerazione

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Per quanto detto, lo spettro di risposta elastico è parametrico:

ü nella accelerazione di ancoraggio ga , determinabile in funzione della macrozonazione (caratteristiche sismogenetiche del suolo di fondazione) e della microzonazione (caratteristiche stratigrafiche e morfologiche locali del suolo);

ü nel fattore di smorzamento υ .

Fig. 12 Mappa di pericolosità sismica del territorio nazionale e stralcio del territorio pugliese La normativa italiana, al punto 3.2.1 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431, ed al punto 3.2.2.1 delle NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI , per quanto attiene la macrozonazione considera il territorio nazionale suddiviso in quattro macrozone, ciascuna contrassegnata da un diverso valore del parametro ag (accelerazione di ancoraggio) con probabilità di superamento del 10% in 50 anni su suolo di categoria A (secondo la definizione riportata nella pagina successiva). Precisamente, si ha

ZONA ag

1 0,35g 2 0,25g 3 0,15g 4 0,05g

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Inoltre, nell’allegato del recente OPCM 3519 (28 Aprile 2006) Criteri generali per l'individuazione delle zone sismiche e per la formazione e l'aggiornamento degli elenchi delle medesime zone, è riportata la mappa di pericolosità sismica del territorio italiano come predisposto dall’Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (Fig. 12). Spetta agli organi regionali, sulla base delle indicazioni fornite a livello nazionale, stabilire, nell’ambito del proprio territorio, la pericolosità sismica da attribuire a ciascun Comune della Regione. Per quanto attiene la Regione Puglia il riferimento è contenuto nella Deliberazione della Giunta Regionale 2 marzo 2004, n. 153 L.R. 20/00 - O.P.C.M. 3274/03 - Individuazione delle zone sismiche del territorio regionale e delle tipologie di edifici ed opere strategici e rilevanti – Approvazione del programma temporale e delle indicazioni per le verifiche tecniche da effettuarsi sugli stessi , pubblicato sul Bollettino Ufficiale della Regione Puglia - n. 33 del 18-3-2004 (Fig. 13). Ciò posto s i definisce coefficiente di risposta elastico il rapporto

( ) ( )g

e

aTS

TR =

tra lo spettro di risposta elastico e l’accelerazione di ancoraggio. In virtù di tale posizione gli spettri di risposta elastici possono ess ere rappresentati normalizzati nel coefficiente di risposta elastico in maniera indipendente dal livello di sismicità. In relazione alla microzonazione, al punto 3.1 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431, ed al punto 3.2.1 delle NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI, si definiscono 7 categorie di profilo stratigrafico del suolo di fondazione. La classificazione dei vari profili avviene in funzione della velocità media di propagazione delle onde di taglio se disponibile, altrimenti della resistenza penetrometrica media (per terreni prevalentemente granulari) o della coesione media non drenata (per terreni prevalentemente coesivi). Si ha

CATEGORIA SUOLO DI

FONDAZIONE DESCRIZIONE

A Formazioni litoidi o suoli omogenei molto rigidi

B Depositi di sabbie o ghiaie molto addensate o argille molto consistenti

C Depositi di sabbie e ghiaie mediamente addensate, o di argille di media consistenza

D Depositi di terreni granulari da sciolti a poco

addensati oppure coesivi da poco a mediamente consistenti

E Profili di terreno costituiti da stati superficiali alluvionali

S1 Depositi costituiti da, o che includono, uno strato spesso almeno 10 m di arg ille/limi di

bassa consistenza, con elevato indice di plasticità e contenuto di acqua

S2 Depositi di terreni soggetti a liquefazione, di argille sensitive, o qualsiasi altra categoria di terreno non classificabile nei tipi precedenti

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PUGLIA (258 COMUNI)

10

5847

143

0

50

100

150

200

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4 PROVINCIA DI FOGGIA (64 COMUNI)

10

54

0 00

10

20

30

40

50

60

70

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4

PROVINCIA DI BARI (4 8 COMUNI)

04

37

7

0

10

20

30

40

50

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4 PROVINCIA DI TARANTO (29 COMUNI)

0 0

10

19

0

10

20

30

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4

PROVINCIA DI BRINDISI (2 0 COMUNI)

0 0 0

20

0

10

20

30

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4

PROVINCIA DI LECCE ( 97 COMUNI)

0 0 0

97

0

10

2030

40

50

60

70

8090

100

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4 Fig. 13 Pericolosità sismica dei Comuni del territorio pugliese

Infine, si ribadisce che la dipendenza dal fattore di smorzamento la si considera assumendo

%5=υ ; situazioni particolari per le quali è plausibile assumere fattori di smorzamento diversi dal 5% possono essere considerate introducendo un apposito coefficiente correttivo.

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2.4 COMPONENTI ORIZZONTALE E VERTICALE DELLO SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO Coerentemente con quanto fino a questo punto compreso, lo spettro di risposta elastico della componente orizzontale è definito dalle seguenti espressioni (punto 3.2.3 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431):

BTT0 <≤ ( ) ( )

−η+= 15,2

TT

1Sa

TS

Bg

e

CB TTT <≤ ( )

η= S5,2a

TS

g

e

DC TTT <≤ ( )

η=

TT

S5,2a

TS C

g

e

s4TTD <≤ ( )

η= 2

DC

g

e

TTT

S5,2a

TS

In cui è T il periodo di vibrazione dell’oscillatore semp lice; h coefficiente che tiene conto di un fattore di smorzamento viscoso diverso dal 5% ( )υ+=η 510 ; per %5=υ è h=1;

DCB T,T,T,S sono tabellati in funzione della categoria di suolo di fondazione come segue

CATEGORIA SUOLO S TB(s) TC(s) TD(s)

A 1,0 0,15 0,40 2,0 B,C,E 1,25 0,15 0,50 2,0

D 1,35 0,20 0,80 2,0 Per le categorie di suolo S1 e S2 sono richiesti studi speciali per la d efinizione degli spettri di risposta elastici normalizzati della componente orizzontale. Nelle figure 14, 15 e 16 sono riportati gli spettri di risposta elastici normalizzati della componente orizzontale della pseudoaccelerazione, in relazione alle diverse categorie di suolo di fondazione.

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Fig. 14

Fig. 15

Fig. 16

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La figura 17 è di compendio e sono indicati tutti gli spettri di risposta elastici normalizzati della componente orizzontale in funzione delle diverse categorie di suolo di fondazione.

Fig. 17 Spettri di risposta elastici normalizzati della componente orizzontale

In maniera del tutto analoga, lo spettro di risposta elastico della componente verticale è definito dalle seguenti espressioni:

BTT0 <≤ ( ) ( )

−η+= 9,07,2

TT

9,0Sa

TS

Bg

ve

CB TTT <≤ ( )

η= S7,2a

TS

g

ve

DC TTT <≤ ( )

η=

TT

S7,2a

TS C

g

ve

s4TTD <≤ ( )

η= 2

DC

g

ve

TTT

S7,2a

TS

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In cui è T il periodo di vibrazione dell’oscillatore semp lice; h coefficiente che tiene conto di un fattore di smorzamento viscoso diverso dal 5% ( )υ+=η 510 ; per %5=υ è h=1;

DCB T,T,T,S sono tabellati e posti indipendenti dalla categoria di suolo di fondazione

CATEGORIA SUOLO S TB(s) TC(s) TD(s)

A,B,C,D,E 1,0 0,05 0,15 1,0 Per le categorie di suolo S1 e S2 sono richiesti studi speciali per la d efinizione degli spettri di risposta. Nella figura 18 è riportato lo spettro d i risposta elastico normalizzato della componente verticale della pseudoaccelerazione.

Fig. 18

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3. SPETTRI DI PROGETTO

Northridge (California 1994)

Data la natura delle azioni sismiche, non si può prescindere dal considerare le risorse plastiche delle strutture interessate da tali fenomeni naturali. La modellazione elasto – plastica, da tempo nota in letteratura tecnica, può essere considerata nell’analisi strutturale grazie ai mezi di calcolo elettronico oggi a disposizione. Valutando le caratteriste di duttilità delle strutture è possibile soddisfare l’esigenza progettuale di avere un adeguato grado di protezione degli edifici n ei confronti degli stati limite ultimo e di danno, ai quali sono associati rispettivamente il rischio di perdita di vite umane ed il rischio di perdite economiche dirette ed indirette.

3.1 ELEMENTI BASE Gli spettri di risposta elastici sono stati definiti ponendo come ipotesi base la considerazione di un legame costitutivo perfettamente elastico (Fig. 1) del materiale che costituisce il supporto strutturale alla massa in oscillazione:

Fig. 1 Nell’ambito di una modellazione perfettamente elastica l’elemento che caratterizza il legame elastico è la rigidezza k definita come la forza da applicare per ottenere uno spostamento unitario, pertanto sotto un’azione pari ad Fe la struttura subirà uno spostamento he=Fe/k. In un ciclo di carico e scarico sarà nulla l’energia dissipata e lo spostamento residuo. L’integrazione della equazione del moto

( ) ( ) ( )t''

)t(t

'

t

''uMkCM =η−η−η−

porta ai risultati esposti nel capitolo precedente. In linea generale, data la natura delle azioni sismiche, non è conveniente fare riferimento alle capacità esclusivamente elastiche della struttura in quanto un tale approccio risulterebbe non economico, pertanto non è opportuno prescindere dal considerare le risorse plastiche della struttura stessa. La modellazione elasto – plastica è da tempo nota in letteratura ed oggi è finalmente presa in considerazione nelle normative tecniche; inoltre, con i mezzi di calcolo elettronico oggi a disposizione, un tale tipo di approccio può essere effettivamente considerato nell’analisi strutturale.

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In tale maniera si riesce anche a fare fronte all’esigenza progettuale, espressa ai punti 2.1 e 2.2 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431, ed ai punti 5.7.1.2 e 5.7.1.3 delle NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI, di avere un adeguato grado di protezione degli edifici nei confronti dello stato limite ultimo, cui è associato il rischio di perdita di vite umane ed un adeguato grado di sicurezza nei confronti dello stato limite di danno, al quale sono associate perdite economiche dirette e indirette. Nell’ambito di un’analisi elasto – plastica è possibile fare riferimento a molteplici legami costitutivi: esemplificando ci si può riferire ad un legame elasto-plastico perfetto (Fig. 2). L’adozione di un legame costitutivo elasto-plastico perfetto può rappresentare una modellazione matematica dell’effettivo comportamento strutturale del supporto della massa in movimento plausibile con la realtà fisica prestazionale dei materiali strutturali utilizzati d’ordinario, o comunque rappresenta un modello comportamentale a cui si mira nella progettazione per ottimizzare i costi globali.

Fig. 2

Posti (Fig. 2): hl lo spostamento in corrispondenza del limite elastico, hd lo spostamento corrente (cioè quello atteso o richiesto), hu lo spostamento ultimo disponibile, k la rigidezza del ramo elastico, Fd la forza al limite elastico; si definisce duttilità disponibile il rapporto

l

ud η

η=µ tra lo spostamento ultimo disponibile e lo spostamento al limite elastico,

si definisce duttilità richiesta il rapporto

l

dr η

η=µ tra lo spostamento corrente e lo spostamento al limite elastico.

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La duttilità pertanto, in tale contesto, rappresenta la capacità dell’elemento strutturale di far fronte a spostamenti, o rotazioni, in campo anelastico quando assoggettato ad una azione costante (Fd). In sintesi, le differenze sostanziali che si riscontrano tra un generico ciclo di carico e scarico su una struttura elastica e su una struttura elasto – plastica perfetta, concernono il carattere degli spostamenti residui (nulli nel primo caso, in genere diversi da zero nel secondo, hres nella figura 2) ed il carattere dei termini energetici cinetici e potenziali elastici (conservativi nel primo caso, dissipativi nel secondo: l’energia dissipata è rappresentata dall’area del parallelogramma indicato nella figura 2). La relazione fondamentale di compatibilità tra gli spostamenti che deve essere sempre rispettata è espressa, ovviamente, dalla relazione secondo la quale

dr µ<µ la duttilità richiesta deve sempre essere minore della duttilità disponibile o, alternativamente, che lo spostamento corrente non attinga mai il valore ultimo consentito dalle capacità prestazionali.

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3.2 DIPENDENZE DELLA DUTTILITA’. IL FATTORE DI STRUTTURA E’ importante osservare che la duttilità disponibile della struttura a sostegno della generica massa in oscillazione è funzione:

• del materiale costitutivo (duttilità del materiale) (Fig. 3), • delle caratteristiche delle sezioni strutturali (duttilità della sezione) (Fig. 4), • del tipo di sollecitazione cui l’elemento strutturale è soggetto (duttilità dell’elemento

strutturale) (Fig. 5), • e delle caratteristiche comportamentali globali della struttura (duttilità della struttura) (Fig.

6).

Prova di schiacciamento di un provino di cls

Prova di piegamento su un tondino di acciao

Fig. 3 Calcestruzzo ed acciaio sono tipici materiali strutturali: il primo ha un carattere tipicamente fragile, il secondo ha importanti risorse duttili

Influenza dell’armatura tesa sulla duttilità di sezioni inflesse in c.a.: l’armatura tesa non deve superare un opportuno limite superiore

Influenza dell’armatura compressa sulla duttilità di sezioni inflesse in c.a.: opportunità di disporre minimi quantitativi di armatura compressa

Influenza della staffatura sul confinamento di elementi compressi in c.a.:

indispensabilità di disporre una adeguata staffatura Fig. 4 Un’adeguata disposizione dell’armatura negli elementi in c.a. consente di ottenere importanti risorse duttili

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Fig. 5 Per gli elementi in c.a. la rottura per taglio è intrinsecamente fragile a fronte di una rottu ra flessionale che può essere duttile con una adeguata disposizione delle armature

Fig. 6 Un meccanismo di collasso globale, che prevede la formazione di cerniere plastiche nelle travi ed alla base delle colonne, detto appunto a travi “deboli” e colonne “forti”, consente il raggiungimento delle prestazioni limite mediante una elevata dissipazione energetica regolarmente distribuita. Un meccanismo di collasso di piano, che prevede la formazione di cerniere plastiche nelle colonne di uno stesso piano, detto a colonne “deboli” e travi “forti”, consente il raggiungimento delle prestazioni limite mediante una dissipazione energetica localizzata e sperequativa. Ai fini prestazionali è pertanto opportuno concepire soluzioni strutturali che mirino a realizzare regolarità distributiva di masse, rigidezze e resistenze sia in pianta che in altezza.

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Assumendo un legame costitutivo elasto-plastico perfetto per la struttura a supporto della massa in oscillazione, l’equazione di equilibrio dinamico

( ) ( ) ( )t''

)t(t

'

t

''uMkCM =η−η−η−

deve essere necessariamente integrata ricorrendo ad altri tipi di analisi come quella step-by-step, esprimendo campo per campo le reali caratteristiche prestazionali della struttura e verificando volta per volta il soddisfacimento della relazione fondamentale di compatibilità tra gli spostamenti

dr µ<µ . A tal proposito è necessario osservare che le caratteristiche prestazionali di elementi dotati di duttilità possono essere efficacemente sfruttate in presenza di azioni sollecitanti a carattere alterno, altrimenti inesorabilmente si giungerebbe ad hu una volta raggiunta la resistenza al limite elastico Fd: tipiche azioni aventi carattere alterno sono proprio quelle connesse al moto sismico del suolo. L’integrazione della equazione differenziale del moto passo-passo evidentemente comporta una notevolissima onerosità di calcolo rispetto ad una analoga analisi in termini perfettamente elastici, i cui risultati sono tra l’altro già noti e di chiara interpretazione fisica. L’ostacolo prospettato può essere risolto in diverse maniere:

• implementazione e risoluzione automatica mediante calcolatore elettronico delle equazioni differenziali;

• impostazione di una analisi in termini elastici equivalente che sfrutti i risultati già noti. Nel prosieguo si seguirà la seconda possibilità sopra prospettata, mettendo in luce la relazione di equivalenza che permette una simile analisi. L’ipotesi che si assume (plausibile specialmente per “elevati” valori del periodo naturale) consiste nel assumere eguali gli spostamenti nelle due modellazioni prestazionali, come mostrato in figura 7:

Fig. 7 La relazione di equivalenza consiste nell’assumere he=hd

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A questo punto, osservando (Fig. 7) che è

rd

e

FF

µ= ,

e dovendo essere

dr µ<µ , risulta

d

ed

FF

µ> .

Ciò significa che se la struttura nel suo complesso dispone di una certa duttilità, è possibile effettuare una progettazione considerando azioni di entità minore rispetto a quelle desumibili da un’analisi elastica. E’ assolutamente indispensabile sottolineare che gli spostamenti valutati assumendo tale analisi equivalente devono essere opportunamente incrementati per considerare l’aliquota anelastica, ovvero devono essere stimati sulla base delle azioni elastiche non ridotte. Ciò posto è possibile definire fattore di struttura e lo si denota con il simbolo

q

quel fattore rappresentativo delle caratteristiche di duttilità della struttura e tramite il quale è possibile determinare le azioni di progetto derivandole dalle azioni valutate in termini elastici. In base a quanto constatato fino a questo punto, il fattore di struttura sarà funzione: § del materiale strutturale; § dei dettagli costruttivi; § della tipologia strutturale; § delle caratteristiche plano-altimetriche della struttura; § e del periodo naturale.

La dipendenza dal periodo naturale della struttura si giustifica osservando che per periodi naturali elevati è effettivamente plausibile l’ipotesi di conservazione degli spostamenti tra le due modellazioni, invece, per periodi naturali ridotti risulta plausibile la conservazione delle accelerazioni e non degli spostamenti: ciò comporta che per strutture abbastanza rigide, cioè strutture caratterizzate da periodi naturali modesti, le azioni di progetto da considerare sono sostanzialmente indipendenti dalla tipologia di legame costitutivo adottato per la schematizzazione della struttura e che funge da supporto per la massa in movimento.

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3.3 COMPONENTI ORIZZONTALE E VERTICALE DELLO SPETTRO DI PROGETTO ALLO STATO LIMITE ULTIMO ED ALLO STATO LIMITE DI DANNO Coerentemente con quanto esposto nei paragrafi precedenti, la n ormativa italiana, al punto 3.2.5 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431, ai fini della determinazione delle azioni di progetto allo stato limite ultimo, stabilisce che gli spettri di progetto Sd(T) si determinano dagli spettri di risposta elastici Se(T) con le ordinate ridotte utilizzando il fattore di struttura q, definito in funzione dei materiali e delle tipologie strutturali e rappresentativo delle capacità dissipative delle strutture stesse. Lo spettro di progetto allo stato limite ultimo (s.l.u.) per la componen te orizzontale della pseudoaccelerazione è definito dalle seguenti espressioni:

BTT0 <≤ ( )

−+= 1

q5,2

TT

1Sa

TS

Bg

d

CB TTT <≤ ( )

qS5,2

aTS

g

d =

DC TTT <≤ ( )

=

TT

qS5,2

aTS C

g

d

s4TTD <≤ ( )

= 2

DC

g

d

TTT

qS5,2

aTS

In cui è T il periodo naturale dell’oscillatore semplice; q il fattore di struttura; ag l’accelerazione di ancoraggio;

DCB T,T,T,S sono tabellati in funzione della categoria di suolo di fondazione come segue

CATEGORIA SUOLO S TB TC TD

A 1,0 0,15 0,40 2,0 B,C,E 1,25 0,15 0,50 2,0

D 1,35 0,20 0,80 2,0 Nelle Fig. 8-10 sono riportati gli spettri di progetto allo stato limite ultimo della componente orizzontale per le diverse categorie di suolo di fondazione e per valori del fattore di struttura pari a 3,4,5,6. Il tratto marcato in rosso si riferisce ai valori delle accelerazioni spettrali pertinenti la modellazione perfettamente elastica. Dal confronto tra le due curve si può immediatamente cogliere quale sia l’entità del beneficio di disporre di risorse duttili per la valutazione delle azioni di progetto da utilizzare nell’analisi sismica.

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Fig. 8

Fig. 9

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Fig. 10

E’ da osservare che per periodi naturali modesti

0T ≅ cioè per strutture molto rigide, i valori dello spettro di progetto tendono tutti al valore del lo spettro di risposta elastico: è in virtù di tale osservazione che l’accelerazione in questione viene detta di ancoraggio. In ogni caso deve comunque essere

2,0a

)T(S

g

d ≥

che rappresenta un minimo progettuale normativo imprescindibile.

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Analogamente, lo spettro di progetto allo stato limite ultimo per la componente verticale della pseudoaccelerazione è definito dalle seguenti espressioni:

BTT0 <≤ ( )

−+= 9,0

q7,2

TT

9,0Sa

TS

Bg

vd

CB TTT <≤ ( )

qS7,2

aTS

g

vd =

DC TTT <≤ ( )

=

TT

qS7,2

aTS C

g

vd

s4TTD <≤ ( )

= 2

DC

g

vd

TTT

qS7,2

aTS

In cui è T il periodo naturale dell’oscillatore semplice; q il fattore di struttura posto pari a 1,5 indipendentemente dal materiale e dalla tipologia

strutturale; ag l’accelerazione di ancoraggio;

DCB T,T,T,S sono tabellati indipendentemente dalla categoria di suolo di fondazione come segue

CATEGORIA SUOLO S TB TC TD

A,B,C,D,E 1,0 0,05 0,15 1,0 Nella figura 11 è riportato lo spettro di progetto allo s.l.u. della componente verticale della pseudoaccelerazione; con il tratto marcato in rosso sono anche indicati i valori spettrali nell’ambito della modellazione elastica.

Fig. 11

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Per quanto attiene lo stato limite di danno (s.l.d.) la normativa stabilisce, al punto 3.2.6 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431, che lo spettro di progetto da adottare per la limitazione dei danni può essere ottenuto riducendo lo spettro di risposta elastico secondo un fattore pari a 2,5. Tale posizione si giustifica osservando che l’esigenza progettuale da perseguire deve essere quella di conservare le strutture sostanzialmente in campo elastico, per salva guardarle dal rischio di subire danni, secondo una probabilità di occorrenza del rischio sismico più elevata (accelerazione di ancoraggio che presenta una probabilità di superamento del 50% in 50 anni a fronte del 10% in 50 anni per gli s.l.u.). Coerentemente con quanto ora osservato nella figura 12 sono riportati gli spettri di progetto allo s.l.d. della componente orizzontale per le tre diverse categorie di suoli di fondazione e lo spe ttro di progetto allo s.l.d. della componente verticale per tutte le categorie di suoli di fondazione. (ciascuna curva si riferisce ad un fattore di smorzamento pari al 5%).

Fig. 12

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4. SISTEMI A PIU’ GRADI DI LIBERTA’

Turchia (1999)

Per poter compiutamente comprendere i concetti fondamentali di dinamica delle strutture finalizzata alla progettazione di edifici soggetti a moto sismico del suolo è necessario riferirsi a sistemi il cui moto è definito da più di un parametro, ad esempio due o più spostamenti di piano. Alla definizione delle azioni da considerare in fase progettuale concorre una serie di contributi determinabili sfruttando i risultati noti e pertinenti sistemi più semplici ad un grado di libertà, il cui moto è cioè definito da un solo parametro funzione del tempo, ad esempio un solo spostamento. Lo studio degli oscillatori semplici dunque non è fine a se stesso, ma propedeutico per l’analisi strutturale degli edifici ordinari.

4.1 ELEMENTI BASE Per effettuare l’analisi dinamica di edifici soggetti a moto sismico del suolo è necessario riferirsi a modelli più complessi, dotati di più gradi di libertà: il moto della struttura sarà pertanto descritto da più parametri in funzione del tempo, ad esempio più spostamenti e/o rotazioni. Nel caso frequente di edifici multipiano dotati di solai rigidi nel proprio piano, è possibile modellare la struttura ritenendo le masse concentrate ad ogni piano ed assumendo come gradi di libertà i pertinenti spostamenti e rotazioni indipendenti. Ritenendo i pilastri assialmente inestendibili, il comportamento nello spazio di un edificio di n piani sarà descritto da 3n gradi di libertà (due spostamenti orizzontali ed una rotazione attorno all’asse verticale per il baricentro delle masse disposte su ciascun piano); se ci si limita ad uno studio piano, i gradi di libertà si riducono ad n, pari ai soli spostamenti orizzontali di ciascun impalcato. Nella figura 1 è rappresentato un sistema a du e gradi di libertà caratterizzato da due traversi rigidi aventi massa M1 ed M2 e soggetto a moto s ismico orizzontale del suolo di fondazione, i pilastri costituiscono il supporto elastico e si assumono assialmente infinitamente rigidi e di massa trascurabile. Il moto sismico del suolo, definito dallo spostamen to orizzontale )t(u , comporta uno spostam ento dei traversi interpretabili in termini relativi per mezzo degli spostamenti )t(η , ovvero, riferendosi alla terra ferma, mediante gli spostamenti assoluti )t(x . Al solito, le relazioni che legano spostamenti, velocità ed accelerazioni assolute (lette nel sistema di riferimento solidale con la terra ferma) con spostamenti, velocità ed accelerazioni relative (lette nel sistema di riferimento mobile solidale con la struttura) sono (Fig. 1)

)t(1

'')t(

'')t(1

''

)t(1

')t(

')t(1

'

)t(1)t()t(1

ux

ux

ux

η+=

η+=

η+=

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)t(2

'')t(

'')t(2

''

)t(2

')t(

')t(2

'

)t(2)t()t(2

ux

ux

ux

η+=

η+=

η+=

in cui il punto denota la der ivazione rispetto al tempo.

Fig. 1

In termini generali, un sistema a più gradi di libertà è definibile come una struttura soggetta ad azioni dinamiche e modellabile mediante una o più masse dotate di un numero di gradi di libertà maggiore di uno, vincolate su un supporto elastico privo di massa costituito dalla restante parte di struttura. Schematicamente, secondo una modellazione propria della fisica elementare, il sistema a due gradi di libertà mostrato in figura 1 e soggetto a moto sismico orizzontale del suolo è rappresentabile come segue (Fig. 2)

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Fig. 2

È da osservare che nei sistemi dotati di più gradi di libertà esistono legami di rigidità mutui (Fig. 2): in luogo della singola rigidezza che caratterizza gli oscillatori semplici, si deve procedere con la valutazione di una serie di rigidezze secondo la definizione che segue. Fissato un sistema dotato di n gradi di libertà, si definisce matrice di rigidezza, e la si denota con il simbolo

[ ] ijkK = ,

la matrice quadrata e simmetrica di ordine n tale che il generico elemento ijk rappresenta la forza da applicare in corrispondenza della coordinata i per avere uno spostamento unitario in corrispondenza della coordinata j e nullo in corrispondenza di tutte le altre coordinate. Per il sistema cui stiamo facendo riferimento la determinazione degli elementi che costituiscono la matrice di rigidezza

[ ]

=

2221

1211

kkkk

K

si determinano come indicato in figura 3.

Fig. 3

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Gli elementi della prima colonna rappresentano le azioni da applicare ai due impalcati al fine di avere uno spostamento unitario in corrispondenza del primo e nullo per il secondo; gli elementi della seconda colonna costituiscono le azioni da applicare ai traversi per avere uno spostamento unitario in corrispondenza del secondo ed uno nullo in corrispondenza del primo. È da notare che la determinazione della matrice di rigidezza di una struttura secondo una fissata modellazione è una operazione onerosa e decisiva per l’analisi strutturale. Le equazioni di equilibrio si scr ivono (Fig. 4) eguagliando le azioni di richiamo elastico, proporzionali agli spostamenti relativi, ai prodotti delle masse per le accelerazioni assolute:

Fig. 4

per il primo traverso

)t(1''

1)t(212)t(111 xMkk =η−η− e per il secondo traverso

)t(2''

2)t(222)t(121 xMkk =η−η− Ricordando le relazioni che legano le accelerazioni assolute con le relative e sostituendo

)t(1

'')t(

'')t(1

''ux η+= )t(2

'')t(

'')t(2

''ux η+=

η+=η−η− )t(1

'')t(

''

1)t(212)t(111 uMkk

η+=η−η− )t(2

'')t(

''

2)t(222)t(121 uMkk

si ricava

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)t(''

1)t(212)t(111)t(1

''

1 uMkkM −=η+η+η per il primo traverso,

)t(''

2)t(222)t(121)t(2

''

2 uMkkM −=η+η+η per il secondo traverso. Le equazioni di equilibrio dinamico scritte devono essere ovviamente integrate note le condizioni iniziali di posizione e velocità. È da osservare che: • si scrivono tante equazioni differenziali quanti sono i gradi di libertà; • le incognite (rappresentate dagli spostamenti η di ciascuna massa) risultano accoppiate,

cioè figurano in ciascuna equazione e non separatamente, comportando una certa onerosità matematica;

• l’azione dinamica è imputabile all’effetto di trascinamento dovuto allo scuotimento sismico

del terreno di fondazione ed espresso dalla accelerazione al suolo )t(''

u . Generalizzando a sistemi dotati di n gradi di libertà, il sistema delle equazioni di equilibrio è suscettibile di essere scritto in forma compatta matriciale come segue:

[ ] [ ]{ } { }

{ }

η=η

η=

η

−=η+

η

0

''

)0(

0

'

)0(

'

)t(

''

)t()t(

''

uMKM

essendo

[ ]

=

n

2

1

M0000...0000M0000M

M

la matrice diagonale d’inerzia

[ ] [ ]

==

nn2n1n

n22221

n11211

ij

k...kk............

k...kkk...kk

kK

la matrice di rigidezza, quadrata e simmetrica di ordine n

{ }

η

ηη

)t(n

)t(2

)t(1

)t( ...,

η

η

η

=

η

)t(n

'

)t(2

')t(1

'

)t(

'

...,

η

η

η

=

η

)t(n

''

)t(2

'')t(1

''

)t(

''

...

i vettori colonna di ordine n degli spostamenti, delle velocità e delle accelerazioni relative

{ }

=

n

2

1

M...

MM

M

il vettore colonna delle masse inerziali

)t(

''

u l’accelerazione del suolo funzione del tempo

Trattasi dunque di un sistema di n equazioni differenziali del 2°ordine nelle 2n condizioni iniziali di velocità e posizione delle masse.

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4.2 DEFINIZIONE DEI MODI PRINCIPALI DI VIBRARE Puntando l’attenzione sulla comprensione del significato fisico dei risultati pertinenti l’analisi dinamica di edifici soggetti a moto sismico del suolo di fondazione, è possibile constatare che nell’ambito delle vibrazioni libere, cioè quelle generate da una perturbazione iniziale che altera

esclusivamente le condizioni di posizione e velocità delle masse (per le quali è 0u )t(''

= ), il moto della struttura è il risultato di una combinazione di vibrazioni, dette principali, stazionarie di tipo armonico: vibrazioni cioè caratterizzate da oscillazioni indefinite di ampiezza costante intorno alla posizione di equilibrio, per le quali i rapporti di proporzionalità tra gli spostamenti sono indipendenti dal tempo, quindi la forma di vibrazione così come gli eventuali punti di nullo nella deformata non mutano nel tempo ed i massimi spostamenti si attingono nello stesso istante. Ci sono tante vibrazioni principali quanti sono i gradi di libertà: pertanto, la struttura cui stiamo facendo riferimento (Fig. 1) sarà caratterizzata da 2 vibrazioni principali (Fig. 5 e 6).

Fig. 5 PRIMA VIBRAZIONE PRINCIPALE (O FONDAMENTALE)

La prima vibrazione principale, detta anche fondamentale, è definita per mezzo degli spostamenti che si registrano in corrispondenza di ogni singolo traverso ( 1

1a e 12a ) e dal primo periodo

principale T1 che rappresenta l’intervallo di tempo necessario per compiere una oscillazione completa intorno alla posizione di equilibrio.

Fig. 6 SECONDA VIBRAZIONE PRINCIPALE

T2

T1

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Analogamente (Fig. 6) la seconda vibrazione principale, è caratterizzata dagli spostamenti dei due traversi ( 2

1a e 22a ) e dal periodo principale T2 che, come noto, rappresenta l’intervallo di tempo

necessario per compiere una oscillazione completa intorno alla posizione di equilibrio indeformata. Nella seconda vibrazione principale è da rilevare la presenza di un punto di nullo nella deformata e di una inversione nella forma della medesima: tale punto è stazionario, cioè resta fisso nel tempo. È comunque da precisare che la vibrazione effettiva pur risultando dalla combinazione di vibrazioni stazionarie, non è necessariamente stazionaria. Da un punto di vista matematico la determinazione delle vibrazioni principali e dei pertinenti periodi è condotta valutando gli autovettori e gli autovalori del problema retto dalla equazione

[ ] [ ][ ] 0MKdet 2 =ω−

detta equazione caratteristica delle frequenze. Gli autovettori del medesimo problema si denotano con il simbolo

{ }

=jn

j1

j

a...a

a

mentre gli autovalori associati

rappresentano le pulsazioni principali , dalle quali è possibile ricavare il periodo principale

jj

2Tω

π=

che rappresenta, come detto, il tempo necessario per compiere una oscillazione completa in corrispondenza della vibrazione principale cui si riferisce. Si definisce frequenza principale la grandezza

π

ω==

2T1f j

jj

e rappresenta il numero oscillazioni compiute nell’unità di tempo dalla j-esima vibrazione principale. Normalmente i periodi principali si ordinano in maniera decrescente e sono funzione esclusivamente delle caratteristiche geometriche e meccaniche della struttura in analisi.

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Infine, è appena il caso di constatare che ne lla realtà il sistema non è conservativo a causa delle dissipazioni energetiche che si registrano per isteresi del materiale e per attrito ai vincoli, pertanto le vibrazioni libere sono inevitabilmente destinate ad arrestarsi, come peraltro facilmente intuibile: la struttura oscillerà intorno alla posizione di equilibrio con ampiezze via via decrescenti nel tempo, fino ad arrestarsi; la presenza delle dissipazioni ha pertanto effetti certamente benefici sulle prestazioni della struttura. Brevemente si osserva che il sistema di equazioni differenziali che reggono l’equilibrio dinamico della struttura generica, deve allora essere completato

[ ] [ ] [ ]{ } { }

{ }

η=η

η=

η

−=η+

η+

η

)t(

''

)0(

)t(

'

)0(

'

)t(''

)t()t(

'

)t(

''uMKCM

introducendo la matrice di smorzamento viscoso

[ ] [ ]

==

nn2n1n

n22221

n11211

ij

c...cc............

c...ccc...cc

cC .

In tale matrice, il generico elemento cij rappresenta la forza smorzante che si registra in corrispondenza della massa i quando la massa in corrispondenza della coordinata j si muove con velocità unitaria e tutte le altre masse sono ferme. Rilevante è constatare che dati gli ordinari valori dei coefficienti di smorzamento viscoso per le strutture, i periodi principali valutati considerando o meno tali contributi vengono ad essere tra loro prossimi e prat icamente coincidenti.

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4.3 ANALISI MODALE Compreso il significato fisico dei risultati pertinenti le vibrazioni libere, è immediato prendere atto che la soluzione generale del problema delle vibrazioni sismiche è matematicamente molto onerosa. A tal proposito è sufficiente considerare il semplice sistema a due gradi di libertà riportato in figura 1: le equazioni di equilibrio dinamico si scrivono nei termini indicati in figura 7

)t(''

2)t(222)t(121)t(2

'

22)t(1

'

21)t(2

''

2 uMkkccM −=η+η+η+η+η

)t(''

1)t(212)t(111)t(2

'

12)t(1

'

11)t(1

''

1 uMkkccM −=η+η+η+η+η

Fig. 7 Notevole onerosità risolutiva delle equazioni differenziali che esprimono l’equilibrio dinamico

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Come detto al paragrafo 4.1, le incognite, rappresentate dagli spostamenti, figurano in tutte le equazioni e non separatamente, ciascuna in una sola equazione: questa circostanza viene espressa dicendo che le incognite sono accoppiate e ciò comporta una notevole difficoltà risolutiva da un punto di vista matematico. L’annoso problema nel quale ci si imbatte può essere affrontato e risolto ricorrendo alla cosiddetta analisi modale, che rappresenta una metodologia operativa che consente da un lato una semplificazione matematica del problema, dall’altro permette di cogliere precisi significati fisici associati alla risoluzione stessa. Ebbene, fisicamente si osserva che (Fig. 8)

Fig. 8 alla definizione della risposta globale della struttura concorre la combinazione di un insieme di modi di vibrare le cui forme si conservano nel tempo, corrispondenti a quelle valutate nell’ambito delle vibrazioni libere (Fig. 5 e 6), non più di tipo armonico ma parametriche negli spostamenti principali )t(1p e )t(2p . È appena il caso di constatare che, da un punto d i vista matematico, in luogo di un sistema le cui incognite sono accoppiate, cioè ogni incognita, come detto, compare in più equazioni insieme alle altre incognite, il sistema negli spostamenti principali risulta a variabili disaccoppiate, cioè ogni incognita compare in una singola equazione comportando una notevole esemplificazione operativa. La bontà del metodo sta anche nel fatto che la determinazione del singolo spostamento principale è perfettamente analoga a quella condotta per l’oscillatore semplice (Cap. 2 e 3) ed i cui risultati sono dunque noti e di immediata interpretazione fisica . Infatti, in linea generale, il generico spostamento principale )t(jp è pari a

( )[ ] )t(jj

jt

0j

)t()(

''

j

j)t(j V

gdtseneu

gp j

ω=ττ−ω

ω= ∫

τ−υω−τ

in cui:

• ∑=

=n

1hh

jhj Mag è detto fattore di partecipazione modale, e dipende dalle caratteristiche del

singolo modo principale di vibrare ed è pari alla somma dei prodotti delle masse per le singole componenti degli spostamenti che definiscono ogni modo principale. Per la struttura a due gradi di libertà riportata in figura 1 si ha dunque (Fig. 9):

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PRIM

O F

AT

TO

RE

DI

PAR

TE

CIP

AZ

ION

E

MO

DA

LE

SEC

ON

DO

FA

TT

OR

E D

I PA

RT

EC

IPA

ZIO

NE

M

OD

AL

E

Fig. 9 Fattori di partecipazione modale pertinenti ciascuno dei due modi principali: procedendo dal primo modo principale, i fattori di partecipazione modale vanno riducendosi a causa del carattere alterno nei segni che definiscono i singoli spostamenti principali. Tale constatazione è fondamentale per la comprensione delle modalità di combinazione modale (par. 4.4) Inoltre, un’ulteriore parametro significativo per l’analisi modale è la cosiddetta massa partecipante, definita come il quadrato del singolo fattore di partecipazione modale ( 2

1g , 22g ): è rilevante osservare che la somma di tutte le masse partecipanti è pari alla massa

totale della struttura

2122

21 MMgg +=+ .

In generale, per una struttura a più gradi di libertà, sarà dunque

∑=

=n

1jtot

2j Mg .

D’ordinario le masse partecipanti associate a ciascun modo principale viene espressa in termini percentuali rispetto alla massa totale sismica agente sulla struttura in analisi. Infine, si punta l’accento sul fatto che, a causa del carattere alterno nei segni che definiscono i singoli spostamenti principali della struttura, i fattori di partecipazione modale, e le pertinenti masse partecipanti, vanno riducendosi a partire dal primo modo ai successivi. Di tale aspetto si terrà debito conto nel successivo paragrafo.

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• jω rappresenta la ormai ben nota pulsazione principale, pertinente il generico modo principale.

• ( )[ ] ττ−ω= ∫τ−υω−

τ dtseneuVt

0j

)t()(

''

)t(jj rappresenta la pseudovelocità, conformemente a

quanto noto per l’oscillatore semplice, confermando qu anto sia stato importante acquisire i risultati pertinenti tale argomento.

Un’ulteriore risultato fondamentale dell’analisi modale, particolarmente importante in fase progettuale, riguarda la valutazione delle forze da applicare alle masse strutturali e rappresentanti l’effetto del moto sismico del suolo sulla struttura. Infatti, detto vettore delle forze staticizzate

{ }

Φ

ΦΦ

)t(n

)t(2

)t(1

)t( ...

quel vettore delle forze che rappresenta, istante per istante, le azioni statiche equivalenti da applicare alle masse strutturali per simulare gli effetti del moto sismico del suolo sulla struttura, si osserva, analogamente a quanto stabilito per gli spostamenti, che tale vettore è pari alla combinazione di n contributi (essendo n il numero di gradi di libertà della struttura) relazionati alla singola pulsazione principale, ovvero al singolo modo principale. Nella figura 10 è riportato il vettore delle forze staticizzato, per la struttura a due gradi di libertà cui si sta facendo riferimento, inteso come combinazione di due contributi, ciascuno connesso al relativo modo principale:

FORZE STATICIZZATE

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1° CONTRIBUTO 2° CONTRIBUTO Fig. 10 Combinazione dei contributi pertinenti i due modi principali del sistema piano preso in considerazione fin dall’inizio. Si noti come ogni singolo contributo sia dipendente dal tempo. È evidente che qualora si fosse in grado di valutare i singoli contributi modali istante per istante, si potrebbe eseguire l’analisi determinando nel tempo le effettive azioni staticizzate ed individuarne i valori massimi da usare in fase progettuale. In realtà quello che si fa è determinare, perdendo le informazioni temporali (ipotizzando pertanto che non si generino fenomeni legati alla fatica o alla storia di carico), le massime azioni pertinenti ciascun modo. Ovviamente i massimi non si registreranno nello stesso istante ed anche di ciò si dovrà tenere debito conto, come indicato nel paragrafo successivo. Ciò premesso, il valore massimo di ogni contributo modale si valuta come indicato nella successiva figura 11:

Fig. 11

ovvero, i valori massimi relativi ad ogni contributo modale sono proporzionali: alle masse, al fattore di partecipazione modale, alle componenti degli spostamenti che definiscono il singolo modo principale, ed al valore dello spettro di progetto dell’oscillatore semplice (Cap. 3), confermando ancora una volta come sia stato fondamentale acquisire i risultati pertinenti i sistemi ad un grado di libertà.

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4.4 COMBINAZIONI MODALI Nell’ambito dell’analisi modale esposta nel paragrafo precedente, sono sorti due aspetti che devono necessariamente essere considerati:

1) quanti e quali modi si devono considerare affinché l’analisi sia esaustiva visto che i fattori di partecipazione modale diminuiscono passando a modi successivi al primo?

2) come è possibile combinare i modi rilevanti visto che i massimi determinati non si attingono nello stesso istante?

Per quanto riguarda il primo aspetto, coerentemente con i concetti fino a questo punto acqu isiti, la Normativa italiana, al punto 4.5.3 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431, ed al punto 5.7.4.3 delle NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI , stabilisce che devono essere considerati i modi con massa partecipante significativa. Per raggiungere tale scopo sono suggeriti due metodi: il primo è quello di considerare modi con massa partecipante almeno pari al 5% del totale; il secondo è quello di considerare modi la cui massa partecipante totale raggiunga almeno l’85%. Anche per quanto riguarda il secondo problema le disposizioni normative sono coerenti con quanto acquisito. Infatti la Normativa italiana, al punto 4.5.3 dell’Allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431, stabilisce che la combinazione dei modi ai fini del calcolo delle sollecitazioni e degli spostamenti complessivi può essere condotta secondo 2 modalità:

• applicando la regola del modulo (SRSS)

∑=

=r

1j

2jEE

se il periodo principale di vibrazione di ciascun modo differisce di almeno il 10% da quello di tutti gli altri;

• o applicando la combinazione quadratica completa (CQC)

∑∑= =

ρ=r

1i

r

1jjiij EEE

in tutti gli altri casi.

Essendo: E il valore totale della componente di risposta sismica che si sta considerando; Ei ed E j il valore della medesima componente dovuta al modo i ed al modo j;

( )( ) ( )2

ijij222

ij

23ijij

2

ij141

18

β+βυ+β−

ββ+υ=ρ il coefficiente di correlazione tra il modo i ed il modo j;

υ il fattore di smorzamento viscoso equivalente;

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j

iij ω

ω=β rapporto tra le pulsazioni principali di ciascuna coppia di modi rilevanti.

L’utilizzo di un sistema di calcolo elettronico è certamente uno strumento importante per gestire e governare tutti i risultati frutto di un’analisi modale su strutture a più gradi di libertà, anzi, diviene indispensabile quando si analizzano strutture a molti gradi di libertà, come accade per la modellazione anche dei più comuni edifici.

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5. TRASFORMAZIONE DI UN PROBLEMA SISMICO IN UNO STATICO EQUIVALENTE

5.1 CENNI ALL’ANALISI STATICA LINEARE Per gli edifici caratterizzati da: • regolarità in altezza,

ovvero edifici che presentano una regolare distribuzione in termini di: geometria, massa, rigidezza, e resistenza lungo l’altezza dell’edificio;

• e primo periodo di vibrazione (fondamentale) minore di un limite massimo dipendente dalla categoria del suolo di fondazione

C1 T5,2T <

CATEGORIA SUOLO 2,5TC(s)

A 1,0 B,C,E 1,25

D 2,0 è possibile una importante esemplificazione operativa nell’eseguire l’analisi sismica. Il periodo fondamentale T1 può essere stimato mediante la relazione empirica

4311 HCT =

valida per edifici che non superano i 40m di altezza, dove H è in metri l’altezza dell’edificio dal piano di fondazione; C1 è fu nzione del tipo di struttura come di seguito indicato

C1 TIPOLOGIA 0,085 Struttura a telaio in acciaio 0,075 Struttura a telaio in c.a. 0,050 Qualunque altra tipologia

In tali ipotesi l’azione statica totale, simulante gli effetti del moto sismico del suolo, si determina moltiplicando

)T(dtotHtot 1SMF =

la massa totale per il pertinente valore dello spettro di progetto della componente orizzontale, secondo quanto ormai ben noto (Cap. 3).

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Ebbene, la semplificazione operativa consiste nel considerare, in luogo delle combinazioni modali, un solo schema statico per il quale l’azione statica equivalente totale, come precedentemente ricavata, si ripartisce ad ogni piano in ragione proporzionale al prodotto tra il peso sismico di ogni piano e l’altezza di ciascuno dalla fondazione (Fig. 1):

∑=

= n

1kkk

iiHi

zW

zWFF

in cui:

HF è l’azione statica equivalente totale; Fi è la forza statica equivalente da applicare al piano i; Wi e Wk sono i pesi delle masse ai piani i e k rispettivamente; zi e zk sono le altezze dei piani i e k misurate dalle fondazioni;

Fig. 1 Distribuzione dell’azione statica equivalente totale su una struttura piana dotata di n impalcati

E’ fondamentale osservare, ricordando quanto stabilito nel Cap. 4, che da un punto di vista fisico-matematico, il soddisfacimento delle ipotesi alla base dell’applicabilità dell’analisi statica equivalente mirano implicitamente a realizzare quelle condizioni per le quali il modo fondamentale di vibrare, cioè il primo, risulta nettamente preponderante rispetto agli altri e pertanto ci si può riferire soltanto ad esso. Da un punto di vista applicativo, operare una analisi statica lineare è dec isamente meno oneroso rispetto alla risoluzione mediante analisi dinamica modale: a fronte di una combinazione di modi rilevanti di vibrare si lavora su un solo schema statico risolutivo.

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ESERCITAZIONE GUIDATA N.1 OSCILLATORE SEMPLICE

1° PASSO: INDIVIDUAZIONE DELLA MACROZONA CONNESSA ALLA PERICOLOSITA’ SISMICA DEL TERRITORIO

Stralcio del territorio pugliese della mappa di pericolosità sismica del territorio nazionale espressa in termini di accelerazione massima al suolo con probabilità di eccedenza del 10% in 50 anni riferita a suoli rigidi (categoria A, punto 3.1 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.1 del D.M. 14/09/2005) predisposta dall’Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (versione aprile 2004). Riferimento: Allegato all’OPCM del 28 Aprile 2006 n. 3519 Documento di riferimento per gli organi regionali per la classificazione di pericolosità sismica del proprio territorio.

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Per la Regione Puglia il riferimento normativo è contenuto nella Deliberazione della Giunta Regionale 2 marzo 2004, n. 153: L.R. 20/00 - O.P.C.M. 3274/03 – Individuazione delle zone sismiche del territorio regionale e delle tipologie di edifici ed opere strategici e rilevanti - Approvazione del programma temporale e delle indicazioni per le verifiche tecniche da effettuarsi sugli stessi, pubblicato sul Bollettino Ufficiale della Regione Puglia - n. 33 del 18-3-2004. I Comuni del territorio pugliese sono classificati come segue:

MACROZONAZIONE DEI COMUNI DELLA REGIONE PUGLIA (BURP n. 33 del 18/03/04 DGR n. 153 del 2 Marzo 2004: L.R. 20/00)

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4

Accadia Alberona Acquaviva delle Fonti

Acquarica del Capo Locorotondo Sava

Anzano di Puglia Apricena Adelfia Alberobello Maglie Scorrano

Ascoli Satriano Barletta Altamura Alessano Manduria Seclì

Bovino Biccari Andria Alezio Martano Sogliano Cavour

Candela Cagnano Varano Bari Alliste Martignano Soleto

Deliceto Canosa di Puglia Binetto Andrano Martina Franca Specchia

Monteleone di Puglia Carapelle Bisceglie Aradeo Maruggio Spongano

Panni Carlantino Bitetto Arnesano Matino Squinzano

Rocchetta Sant'Antonio Carpino Bitonto Avetrana Melendugno Sternatia

Sant'Agata di Puglia

Casalnuovo Monterotaro Bitritto Bagnolo del

Salento Melissano Supersano

Casalvecchio di

Puglia Capurso Botrugno Melpignano Surano

Castelluccio dei

Sauri Casamassima Brindisi Mesagne Surbo

Castelluccio Valmaggiore

Cassano delle Murge Calimera Miggiano Taurisano

Castelnuovo della Daunia Castellaneta Campi

Salentina Minervino di

Lecce Taviano

Celenza

Valfortore Cellamare Cannole Mola di Bari Tiggiano

Celle di San

Vito Corato Caprarica di Lecce Monopoli Torchiarolo

Cerignola Crispiano Carmiano Monteiasi Torre Santa

Susanna

Chieuti Ginosa Carosino Montemesola Torricella

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Faeto Gioia del Colle Carovigno Monteparano Trepuzzi

Foggia Giovinazzo Carpignano

Salentino Monteroni di

Lecce Trifase

Ischitella Gravina in

Puglia Casarano Montesano Salentino Tuglie

Isole Tremiti Grumo Appula Castellana

Grotte Morciano di

Leuca Ugento

Lesina Laterza Castri di Lecce Muro Leccese Uggiano la

Chiesa

Lucera Massafra Castrignano de'

Greci Nardò Veglie

Manfredonia Modugno Castrignano del

Capo Neviano Vergole

Margherita di

Savoia Molfetta Castro Nociglia Villa Castelli

Mattinata Mottola Cavallino Novoli Zollino

Minervino

Murge Noci Ceglie Messapica Oria

Monte

Sant'Angelo Noicattaro Cellino San Marco Ortelle

Motta

Montecorvino Palagianello Cisternino Ostuni

Ordona Palagiano Collepasso Otranto

Orsara di Puglia Palo del Colle Conversano Palmariggi

Orta Nova Poggiorsini Copertino Parabita

Peschici Putignano Corigliano

d'Otranto Patù

Pietramonte-

corvino Rutigliano Corsano Poggiardo

Poggio

Imperiale Ruvo di Puglia Cursi Polignano a Mare

Rignano

Garganico Sammichele di

Bari Cutrofiano Porto Cesareo

Rodi Garganico Sannicandro di

Bari Diso Presicce

Roseto

Valfortore Santeramo in

Colle Erchie Pulsano

San Ferdinando

di Puglia Statte Faggiano Racale

San Giovanni

Rotondo Taranto Fasano Roccaforzata

San Marco in

Lamis Terlizzi Fragagnano Ruffano

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San Marco la

Catola Toritto Francavilla Fontana Salice Salentino

San Paolo di

Civitate Trani Gagliano del Capo Salve

San Severo Triggiano Galatina San Cassiano

Sannicandro Garganico Turi Galatone San Cesario di

Lecce

Serracapriola Valenzano Gallipoli San Donaci

Spinazzola

Giuggianello San Donato di

Lecce

Stornara

Giurdignano San Giorgio

Ionico

Stornarella

Grottaglie San Marzano di

San Giuseppe

Torremaggiore

Guagnano San Michele

Salentino

Trinitapoli

Latiano San Pancrazio

Salentino

Troia

Lecce San Pietro in

Lama

Vico del Gargano

Leporano San Pietro Vernotico

Vieste

Lequile San Vito dei

Normanni

Volturara Appula

Leverano Sanarica

Volturino

Lizzanello Sannicola

Zapponeta

Lizzano Santa Cesarea

Terme

COMUNE SCELTO (selezionare con una X la pertinente macrozona)

accelerazione di ancoraggio (ag)

ZONA 1 0,35g ZONA 2 0,25g ZONA 3 0,15g

ZONA 4 0,05g

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2° PASSO: DETERMINAZIONE DEI CARATTERI STRATIGRAFICI LOCALI DEL SUOLO DI FONDAZIONE (MICROZONAZIONE) Riferimento: punto 3.1 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.1 del D.M. 14/09/2005.

CATEGORIA SUOLO DI

FONDAZIONE DESCRIZIONE

VALORI DEI PARAMETRI PER LA CLASSIFICAZIONE

SELE

ZIO

NE

A Formazioni litoidi o suoli omogenei molto rigidi VS30>800 m/s

B Depositi di sabbie o ghiaie molto addensate o argille molto consistenti

360<VS30<800 m/s o NSPT>50

o cu>250 kPa

C Depositi di sabbie e ghiaie mediamente addensate, o di argille di media consistenza

180<VS30<360 m/s o 15<NSPT<50

o 70<cu>250 kPa X

D Depositi di terreni granulari da sciolti a poco addensati oppure coesivi da poco a

mediamente consistenti

VS30<180 m/s o NSPT<15

o cu>70 kPa

E Profili di terreno costituiti da stati superficiali alluvionali

con valori di VS30 simili a quelli dei tipi C o D e spessore compreso tra 5 e 20 m, giacenti su un substrato di materiale più rigido con VS30>800 m/s

S1

Depositi costituiti da, o che includono, uno strato spesso almeno 10 m di argille/limi di

bassa consistenza, con elevato indice di plasticità e contenuto di acqua

S2

Depositi di terreni soggetti a liquefazione, di argille sensitive, o qualsiasi altra categoria

di terreno non classificabile nei tipi precedenti

per tali profili strati-grafici sono necessari studi speciali per la definizione delle azio-ni sismiche

VS30 è la velocità media di propagazione entro 30 m di profondità delle onde di taglio; NSPT è la resistenza penetrometrica media (per suoli prevalentemente sabbiosi); cu è la coesione media non drenata (per suo li prevalentemente coesivi). Nello svolgimento dell’esercitazione si ritiene di disporre di un suolo di fondazione di categoria C.

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3° PASSO: VISUALIZZAZIONE DELLO SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO NORMALIZZATO DELLA COMPONENTE ORIZZONTALE DELL’ACCELERAZIONE SISMICA Riferimento: punto 3.2.3 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.2 del D.M. 14/09/2005.

BTT0 <≤ ( ) ( )

−η+= 15,2

TT

1Sa

TS

Bg

e

CB TTT <≤ ( )

η= S5,2a

TS

g

e

DC TTT <≤ ( )

η=

TT

S5,2a

TS C

g

e

s4TTD <≤ ( )

η= 2

DC

g

e

TTT

S5,2a

TS

CATEGORIA SUOLO S TB(s) TC(s) TD(s)

A 1,0 0,15 0,40 2,0 B,C,E 1,25 0,15 0,50 2,0

D 1,35 0,20 0,80 2,0

Lo spettro di risposta elastico normalizzato della componente orizzontale della massima accelerazione su suolo di categoria C è dunque

COMPONENTE ORIZZONTALE

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Se(T)/ag

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4° PASSO: DEFINIZIONE DELLE CARATTERISTICHE GEOMETRICHE E MECCANICHE (RIGIDEZZE E MASSE) CHE QUALIFICANO LA STRUTTURA AD UN GRADO DI LIBERTA’ DI RIFERIMENTO E VALUTAZIONE DEL PERIODO NATURALE Esemplificando ci si può riferire ad un telaio stralciato da una struttura monoplano:

Struttura monoplano di riferimento

Telaio stralciato caratterizzato da:

• interasse 6m; • altezza 4m; • due campate di luce pari a 5m e 3m; • carico distribuito pari a 1.200 daN/ m2, cui corrisponde un carico totale pari a

1.200 x 6 x 8 = 57.600 daN, ed un carico distribuito longitudinale pari a 1.200 x 6 = 7.200 daN/ml

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Nel seguito si farà riferimento alle seguenti due soluzioni strutturali nettamente differenti tra loro e rappresentanti due situazioni limite al fine di cogliere l’ordine di grandezza delle azioni sismiche: da questo punto in poi esse saranno sempre posizionate sulla colonna sinistra e sulla colonna destra del foglio di lavoro.

La prima soluzione strutturale è caratterizzata da pilastri in c.a. 30x30 e traverso dotato di rigidezza flessionale trascurabile rispetto a quella dei ritti. Tale soluzione verrà detta a mensola in quanto il funzionamento dei ritti, sotto azioni orizzontali sismiche di piano, ricalca il classico funzionamento delle mensole.

La seconda soluzione strutturale è caratterizzata da pilastri in c.a. 30x30 e traverso dotato di rigidezza flessionale notevolmente maggiore rispetto a quella dei ritti. Tale soluzione verrà detta shear type in quanto il funzionamento dei ritti, sotto azioni orizzontali sismiche, approssima il funzionamento dei sistemi noti appunto come shear type.

Entrambe le soluzioni saranno caratterizzate, come detto, dalla seguente distribuzione di massa:

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Per quanto riguarda la valutazione delle rigidezze, sarà sufficiente osservare quanto segue

La rigidezza tangenziale alla traslazione del singolo pilastro è pari a

==⋅

⋅⋅=

cmdaN859,981

4001230000.3103

HEJ3

3

4

3

mN859.981= .

Ritenendo, come è plausibile, il traverso rigido estensionalmente, la rigidezza k totale sarà pari alla somma delle rigidezze dei 3 pilastri in serie

mN577.945.2859.9813k =⋅=

La rigidezza tangenziale alla traslazione del singolo traverso è pari a

==⋅

⋅⋅=

cmdaN436,923.3

4001230000.31012

HEJ12

3

4

3

mN436.927.3= .

Ritenendo, come è plausibile, il traverso rigido estensionalmente, la rigidezza k totale sarà pari alla somma delle rigidezze dei 3 pilastri in serie

mN308.782.11436.927.33k =⋅=

Ricordando che il periodo naturale degli oscillatori semplici è pari a

kM2T π=

per le due soluzioni in analisi avremo

s88,0577.945.2

600.572T1 =π= s44,0308.782.11

600.572T2 =π=

che rappresentano, nell’ambito delle vibrazioni libere, il tempo necessario per compiere una oscillazione completa intorno alla posizione di equilibrio statico.

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5° PASSO: DETERMINAZIONE DELLA MASSIMA ACCELERAZIONE SISMICA ORIZZONTALE E DELLA MASSIMA FORZA STATICIZZATA NELL’AMBITO DELLA MODELLAZIONE ELASTICA Noti i periodi naturali (4° Passo) e lo spettro di risposta elastico normalizzato della componente orizzontale (3° Passo), è possibile valutare la massima accelerazione sismica orizzontale cui andrà soggetta la massa di piano nell’ambito di una modellazione elastica

COMPONENTE ORIZZONTALE

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Se(T)/ag

Per s88,0T1 = , si legge un valore spettrale pari a

78,1aS

g

e =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Se (m/s2) Se/g

1 6,10 0,62 2 4,35 0,44 3 2,61 0,27 4 0,87 0,09

COMPONENTE ORIZZONTALE

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Se(T)/ag

Per s44,0T1 = , si legge un valore spettrale pari a

13,3aS

g

e =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Se (m/s2) Se/g

1 10,73 1,09 2 7,66 0,78 3 4,6 0,47 4 1,53 0,16

Si possono dunque completare i seguenti schemi pertinenti le massime accelerazioni delle masse in oscillazione

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e le massime forze orizzontali staticizzate nell’ambito di una modellazione perfettamente elastica, simulanti l’azione del sisma sulla struttura, espresse, in maniera fisicamente rilevante, come frazione del carico gravitazionale totale agente sulla struttura

La massima forza orizzontale sismica varia tra un massimo pari a circa il 60% di P in zona 1 e circa il 10% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale.

La massima forza orizzontale sismica varia tra un massimo pari a circa il 110% di P in zona 1 e circa il 16% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale.

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6° PASSO: DETERMINAZIONE DEL FATTORE DI STRUTTURA q E DEGLI SPETTRI DI PROGETTO ALLO STATO LIMITE ULTIMO E DI DANNO DELLA COMPONENTE ORIZZONTALE DELLA MASSIMA ACCELERAZIONE SISMICA Riferimento per s.l.u.: punto 3.2.5 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.2 del D.M. 14/09/2005.

BTT0 <≤ ( )

−+= 1

q5,2

TT

1Sa

TS

Bg

d

CB TTT <≤ ( )

qS5,2

aTS

g

d =

DC TTT <≤ ( )

=

TT

qS5,2

aTS C

g

d

s4TTD <≤ ( )

= 2

DC

g

d

TTT

qS5,2

aTS

CATEGORIA SUOLO S TB(s) TC(s) TD(s)

A 1,0 0,15 0,40 2,0 B,C,E 1,25 0,15 0,50 2,0

D 1,35 0,20 0,80 2,0

Per le strutture a telaio in c.a. monopiano, un valore plausibile per il fattore di struttura è (considerando le caratteristiche di duttilità e regolarità)

4,3q =

(Rif.: punto 5.3.2 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come mod ificato dall’OPCM 3431) Lo spettro di progetto normalizzato allo s.l.u. della componente orizzontale della massima accelerazione sismica, su suolo di categoria C e per fattore di struttura 3,4 è pertanto

COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.U.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd(T)/ag

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Riferimento per s.l.d.: punto 3.2.6 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.2 del D.M. 14/09/2005. Lo spettro di progetto da adottare per la limitazione dei danni è ottenuto riducendo lo spettro di risposta elastico secondo un fattore pari a 2,5. Pertanto, lo spettro di progetto normalizzato allo s.l.d. della componente orizzontale della massima accelerazione sismica, su suolo di categoria C è

COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd,D(T)/ag

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7° PASSO: DETERMINAZIONE DELLA MASSIMA ACCELERAZIONE SISMICA ORIZZONTALE E DELLA MASSIMA FORZA STATICIZZATA DI PROGETTO ALLO S.L.U. ED ALLO S.L.D. Noti i periodi naturali (4° Passo) e lo spettro di progetto normalizzato della componente orizzontale (6° Passo), è possibile valutare i valori massimi progettuali allo s.l.u. dell’accelerazione sismica orizzontale cui andrà soggetta la massa di piano

COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.U.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd(T)/ag

Per s88,0T1 = , si legge un valore spettrale pari a

52,0aS

g

d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd (m/s2) Sd/g

1 1,79 0,18 2 1,28 0,13 3 0,77 0,08 4 0,26 0,03

COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.U.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd(T)/ag

Per s44,0T1 = , si legge un valore spettrale pari a

92,0aS

g

d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd (m/s2) Sd/g

1 3,16 0,32 2 2,25 0,23 3 1,35 0,14 4 0,45 0,05

Si possono dunque completare i seguenti schemi pertinenti le massime accelerazioni orizzontali di progetto delle masse in oscillazione allo s.l.u.

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e le massime forze orizzontali staticizzate di progetto allo s.l.u., simulanti l’azione del sisma sulla struttura, espresse, in maniera fisicamente rilevante, come frazione del carico gravitazionale totale agente sulla struttura

La massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.u. varia tra un massimo pari a circa il 18% di P in zona 1 e circa il 3% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale.

La massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.u. varia tra un massimo pari a circa il 32% di P in zona 1 e circa il 5% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale.

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In maniera perfettamente analoga, noti i periodi naturali (4° Passo) e lo spettro di progetto normalizzato della componente orizzontale (6° Passo), è possibile valutare i valori massimi progettuali allo s.l.d. dell’accelerazione sismica orizzontale cui andrà soggetta la massa di piano

COMPONENTE ORIZZON TALE S.L.D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd,D(T)/ag

Per s88,0T1 = , si legge un valore spettrale pari a

71,0a

S

g

D,d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd,D (m/s2) Sd,D/g

1 2,44 0,25 2 1,74 0,18 3 1,05 0,11 4 0,35 0,04

COMPONENTE ORIZZON TALE S.L.D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd,D(T)/ag

Per s44,0T1 = , si legge un valore spettrale pari a

25,1a

S

g

D,d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd,D (m/s2) Sd,D/g

1 4,29 0,44 2 3,07 0,31 3 1,84 0,19 4 0,61 0,06

Si possono dunque completare i seguenti schemi pertinenti le massime accelerazioni orizzontali di progetto delle masse in oscillazione allo s.l.d.

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e le massime forze orizzontali staticizzate di progetto allo s.l.d., simulanti l’azione del sisma sulla struttura, espresse, in maniera fisicamente rilevante, come frazione del carico gravitazionale totale agente sulla struttura

La massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.d. varia tra un massimo pari a circa il 25% di P in zona 1 e circa il 4% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale.

La massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.d. varia tra un massimo pari a circa il 44% di P in zona 1 e circa il 6% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale.

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ESERCITAZIONE GUIDATA N.2 STRUTTURA A DUE GRADI DI LIBERTA’

1° PASSO: INDIVIDUAZIONE DELLA MACROZONA CONNESSA ALLA PERICOLOSITA’ SISMICA DEL TERRITORIO

Stralcio del territorio pugliese della mappa di pericolosità sismica del territorio nazionale espressa in termini di accelerazione massima al suolo con probabilità di eccedenza del 10% in 50 anni riferita a suoli rigidi (categoria A, punto 3.1 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.1 del D.M. 14/09/2005) predisposta dall’Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (versione aprile 2004). Riferimento: Allegato all’OPCM del 28 Aprile 2006 n. 3519 Documento di riferimento per gli organi regionali per la classificazione di pericolosità sismica del proprio territorio.

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Per la Regione Puglia il riferimento normativo è contenuto nella Deliberazione della Giunta Regionale 2 marzo 2004, n. 153: L.R. 20/00 - O.P.C.M. 3274/03 – Individuazione delle zone sismiche del territorio regionale e delle tipologie di edifici ed opere strategici e rilevanti - Approvazione del programma temporale e delle indicazioni per le verifiche tecniche da effettuarsi sugli stessi, pubblicato sul Bollettino Ufficiale della Regione Puglia - n. 33 del 18-3-2004. I Comuni del territorio pugliese sono classificati come segue:

MACROZONAZIONE DEI COMUNI DELLA REGIONE PUGLIA (BURP n. 33 del 18/03/04 DGR n. 153 del 2 Marzo 2004: L.R. 20/00)

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3 ZONA 4

Accadia Alberona Acquaviva delle Fonti

Acquarica del Capo Locorotondo Sava

Anzano di Puglia Apricena Adelfia Alberobello Maglie Scorrano

Ascoli Satriano Barletta Altamura Alessano Manduria Seclì

Bovino Biccari Andria Alezio Martano Sogliano Cavour

Candela Cagnano Varano Bari Alliste Martignano Soleto

Deliceto Canosa di Puglia Binetto Andrano Martina Franca Specchia

Monteleone di Puglia Carapelle Bisceglie Aradeo Maruggio Spongano

Panni Carlantino Bitetto Arnesano Matino Squinzano

Rocchetta Sant'Antonio Carpino Bitonto Avetrana Melendugno Sternatia

Sant'Agata di Puglia

Casalnuovo Monterotaro Bitritto Bagnolo del

Salento Melissano Supersano

Casalvecchio di

Puglia Capurso Botrugno Melpignano Surano

Castelluccio dei

Sauri Casamassima Brindisi Mesagne Surbo

Castelluccio Valmaggiore

Cassano delle Murge Calimera Miggiano Taurisano

Castelnuovo della Daunia Castellaneta Campi

Salentina Minervino di

Lecce Taviano

Celenza

Valfortore Cellamare Cannole Mola di Bari Tiggiano

Celle di San

Vito Corato Caprarica di Lecce Monopoli Torchiarolo

Cerignola Crispiano Carmiano Monteiasi Torre Santa

Susanna

Chieuti Ginosa Carosino Montemesola Torricella

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Faeto Gioia del Colle Carovigno Monteparano Trepuzzi

Foggia Giovinazzo Carpignano

Salentino Monteroni di

Lecce Tricase

Ischitella Gravina in

Puglia Casarano Montesano Salentino Tuglie

Isole Tremiti Grumo Appula Castellana

Grotte Morciano di

Leuca Ugento

Lesina Laterza Castri di Lecce Muro Leccese Uggiano la

Chiesa

Lucera Massafra Castrignano de'

Greci Nardò Veglie

Manfredonia Modugno Castrignano del

Capo Neviano Vernole

Margherita di

Savoia Molfetta Castro Nociglia Villa Castelli

Mattinata Mottola Cavallino Novoli Zollino

Minervino

Murge Noci Ceglie Messapica Oria

Monte

Sant'Angelo Noicattaro Cellino San Marco Ortelle

Motta

Montecorvino Palagianello Cisternino Ostuni

Ordona Palagiano Collepasso Otranto

Orsara di Puglia Palo del Colle Conversano Palmariggi

Orta Nova Poggiorsini Copertino Parabita

Peschici Putignano Corigliano

d'Otranto Patù

Pietramonte-

corvino Rutigliano Corsano Poggiardo

Poggio

Imperiale Ruvo di Puglia Cursi Polignano a Mare

Rignano

Garganico Sammichele di

Bari Cutrofiano Porto Cesareo

Rodi Garganico Sannicandro di

Bari Diso Presicce

Roseto

Valfortore Santeramo in

Colle Erchie Pulsano

San Ferdinando

di Puglia Statte Faggiano Racale

San Giovanni

Rotondo Taranto Fasano Roccaforzata

San Marco in

Lamis Terlizzi Fragagnano Ruffano

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San Marco la

Catola Toritto Francavilla Fontana Salice Salentino

San Paolo di

Civitate Trani Gagliano del Capo Salve

San Severo Triggiano Galatina San Cassiano

Sannicandro Garganico Turi Galatone San Cesario di

Lecce

Serracapriola Valenzano Gallipoli San Donaci

Spinazzola

Giuggianello San Donato di

Lecce

Stornara

Giurdignano San Giorgio

Ionico

Stornarella

Grottaglie San Marzano di

San Giuseppe

Torremaggiore

Guagnano San Michele

Salentino

Trinitapoli

Latiano San Pancrazio

Salentino

Troia

Lecce San Pietro in

Lama

Vico del Gargano

Leporano San Pietro Vernotico

Vieste

Lequile San Vito dei

Normanni

Volturara Appula

Leverano Sanarica

Volturino

Lizzanello Sannicola

Zapponeta

Lizzano Santa Cesarea

Terme

COMUNE SCELTO (selezionare con una X la pertinente macrozona)

accelerazione di ancoraggio (ag)

ZONA 1 0,35g ZONA 2 0,25g ZONA 3 0,15g

ZONA 4 0,05g

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2° PASSO: DETERMINAZIONE DEI CARATTERI STRATIGRAFICI LOCALI DEL SUOLO DI FONDAZIONE (MICROZONAZIONE) Riferimento: punto 3.1 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.1 del D.M. 14/09/2005.

CATEGORIA SUOLO DI

FONDAZIONE DESCRIZIONE

VALORI DEI PARAMETRI PER LA CLASSIFICAZIONE

SELE

ZIO

NE

A Formazioni litoidi o suoli omogenei molto rigidi VS30>800 m/s

B Depositi di sabbie o ghiaie molto addensate o argille molto consistenti

360<VS30<800 m/s o NSPT>50

o cu>250 kPa

C Depositi di sabbie e ghiaie mediamente addensate, o di argille di media consistenza

180<VS30<360 m/s o 15<NSPT<50

o 70<cu>250 kPa X

D Depositi di terreni granulari da sciolti a poco addensati oppure coesivi da poco a

mediamente consistenti

VS30<180 m/s o NSPT<15

o cu>70 kPa

E Profili di terreno costituiti da stati superficiali alluvionali

con valori di VS30 simili a quelli dei tipi C o D e spessore compreso tra 5 e 20 m, giacenti su un substrato di materiale più rigido con VS30>800 m/s

S1

Depositi costituiti da, o che includono, uno strato spesso almeno 10 m di argille/limi di

bassa consistenza, con elevato indice di plasticità e contenuto di acqua

S2

Depositi di terreni soggetti a liquefazione, di argille sensitive, o qualsiasi altra categoria

di terreno non classificabile nei tipi precedenti

per tali profili strati-grafici sono necessari studi speciali per la definizione delle azio-ni sismiche

VS30 è la velocità media di propagazione entro 30 m di profondità delle onde di taglio; NSPT è la resistenza penetrometrica media (per suoli prevalentemente sabbiosi); cu è la coesione media non drenata (per suo li prevalentemente coesivi). Nello svolgimento dell’esercitazione si ritiene di disporre di un suolo di fondazione di categoria C.

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3° PASSO: VISUALIZZAZIONE DELLO SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO NORMALIZZATO DELLA COMPONENTE ORIZZONTALE DELL’ACCELERAZIONE SISMICA Riferimento: punto 3.2.3 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.2 del D.M. 14/09/2005.

BTT0 <≤ ( ) ( )

−η+= 15,2

TT

1Sa

TS

Bg

e

CB TTT <≤ ( )

η= S5,2a

TS

g

e

DC TTT <≤ ( )

η=

TT

S5,2a

TS C

g

e

s4TTD <≤ ( )

η= 2

DC

g

e

TTT

S5,2a

TS

CATEGORIA SUOLO S TB(s) TC(s) TD(s)

A 1,0 0,15 0,40 2,0 B,C,E 1,25 0,15 0,50 2,0

D 1,35 0,20 0,80 2,0

Lo spettro di risposta elastico normalizzato della componente orizzontale della massima accelerazione su suolo di categoria C è dunque

COMPONENTE ORIZZONTALE

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Se(T)/ag

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4° PASSO: DEFINIZIONE DELLE CARATTERISTICHE GEOMETRICHE E MECCANICHE (RIGIDEZZE E MASSE) CHE QUALIFICANO LA STRUTTURA A DUE GRADI DI LIBERTA’ DI RIFERIMENTO E VALUTAZIONE DEI PERIODI E RELATIVI MODI PRINCIPALI DI VIBRARE Esemplificando ci si può riferire ad un telaio stralciato da una struttura a due piani:

Struttura di riferimento

Telaio stralciato caratterizzato da:

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• interasse 6m; • altezze di piano 4m; • due campate di luce pari a 5m e 3m; • carico distribuito su ciascun piano pari a 1.200 daN/ m2, cui corrisponde un carico totale pari

a 1.200 x 6 x 8 = 57.600 daN, ed un carico distribuito longitudinale pari a 1.200 x 6 = 7.200 daN/ml per ogni traverso

Nel seguito si farà riferimento alle seguenti due soluzioni stru tturali nettamente differenti tra loro e rappresentanti due situazioni limite al fine di cogliere l’ordine di grandezza delle azioni sismiche: da questo punto in poi esse saranno sempre posizionate sulla colonna sinistra e sulla colonna destra del foglio di lavoro.

La prima soluzione strutturale è caratterizzata da pilastri in c.a. 30x30 e traversi dotati di rigidezza flessionale trascurabile rispetto a quella dei ritti. Tale soluzione verrà detta a mensola in quanto il funzionamento dei ritti, sotto azioni orizzontali sismiche di piano, ricalca il classico funzionamento delle mensole.

La seconda soluzione strutturale è caratterizzata da pilastri in c.a. 30x30 e traversi dotati di rigidezza flessionale notevolmente maggiore rispetto a quella dei ritti. Tale soluzione verrà detta shear type in quanto il funzionamento dei ritti, sotto azioni orizzontali sismiche, approssima il funzionamento dei sistemi noti appunto come shear type.

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Entrambe le soluzioni saranno caratterizzate, come detto, dalla seguente distribuzione di massa:

Disponendo di un sistema di calcolo automatico che valuta la matrice di rigidezza delle strutture piane a 2 gradi di libertà sopra indicate e risolve il problema agli autovalori e autovettori retto dall’equazione caratteristica delle frequenze

[ ] [ ][ ] 0MKdet 2 =ω− si determinano i periodi principali ed i pertinenti modi principali (Cap. 4). Nel caso in esame, mediante l’utilizzo di SISMISTRU A.E. (analizzatore elastico) è possibile constatare quanto segue

PRIMO MODO DI VIBRARE:

RAPPORTO DI PROPORZIONALITA’ TRA GLI SPOSTAMENTI DI PIANO

s63,2T1 =

=

003967583,0001272554,0

aa

12

11

Il primo periodo principale rappresenta il tempo necessario per compiere una

PRIMO MODO DI VIBRARE:

RAPPORTO DI PROPORZIONALITA’ TRA GLI SPOSTAMENTI DI PIANO

s73,0T1 =

=

003549775,0002181789,0

aa

12

11

Il primo periodo principale rappresenta il tempo necessario per compiere una

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oscillazione completa intorno alla posizione di equilibrio, l’autovettore normalizzato consente di determinare il rapporto di proporzionalità tra gli spostamenti a livello di ciascun impalcato.

83,301aMaMg 122

1111 =+=

è il primo fattore di partecipazione modale,

103.91g 21 = daN

è la prima massa partecipante, che corrisponde a circa il 79% del totale.

SECONDO MODO DI VIBRARE:

RAPPORTO DI PROPORZIONALITA’ TRA GLI SPOSTAMENTI DI PIANO

s40,0T2 =

=

001272563,000396758,0

aa

22

21

Il secondo periodo principale rappresenta il tempo necessario per compiere una oscillazione completa intorno alla posizione di equilibrio, l’autovettore normalizzato consente di determinare il rapporto di proporzionalità tra gli spostamenti a livello di ciascun impalcato.

23,155aMaMg 222

2112 =+=

è il secondo fattore di partecipazione modale,

097.24g 22 = daN

è la seconda massa partecipante, che corrisponde a circa il 21% del totale.

oscillazione completa intorno alla posizione di equilibrio, l’autovettore normalizzato consente di determinare il rapporto di proporzionalità tra gli spostamenti a livello di ciascun impalcato.

14,330aMaMg 122

1111 =+=

è il primo fattore di partecipazione modale,

990.108g 21 = daN

è la prima massa partecipante, che corrisponde a circa il 94% del totale.

SECONDO MODO DI VIBRARE:

RAPPORTO DI PROPORZIONALITA’ TRA GLI SPOSTAMENTI DI PIANO

s28,0T2 =

−=

002181581,0003549903,0

aa

22

21

Il secondo periodo principale rappresenta il tempo necessario per compiere una oscillazione completa intorno alla posizione di equilibrio, l’autovettore normalizzato consente di determinare il rapporto di proporzionalità tra gli spostamenti a livello di ciascun impalcato.

81,78aMaMg 222

2112 =+=

è il secondo fattore di partecipazione modale,

210.6g 22 = daN

è la seconda massa partecipante, che corrisponde a circa il 6% del totale.

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5° PASSO: DETERMINAZIONE DEL FATTORE DI STRUTTURA q E DEGLI SPETTRI DI PROGETTO ALLO STATO LIMITE ULTIMO E DI DANNO DELLA COMPONENTE ORIZZONTALE DELLA MASSIMA ACCELERAZIONE SISMICA Riferimento per s.l.u.: punto 3.2.5 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.2 del D.M. 14/09/2005.

BTT0 <≤ ( )

−+= 1

q5,2

TT

1Sa

TS

Bg

d

CB TTT <≤ ( )

qS5,2

aTS

g

d =

DC TTT <≤ ( )

=

TT

qS5,2

aTS C

g

d

s4TTD <≤ ( )

= 2

DC

g

d

TTT

qS5,2

aTS

CATEGORIA SUOLO S TB(s) TC(s) TD(s)

A 1,0 0,15 0,40 2,0 B,C,E 1,25 0,15 0,50 2,0

D 1,35 0,20 0,80 2,0

Per le strutture a telaio in c.a. con più piani e più campate, un valore plausibile per il fattore di struttura è (considerando le caratteristiche di duttilità e regolarità)

1,4q =

(Rif.: punto 5.3.2 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come mod ificato dall’OPCM 3431) Lo spettro di progetto normalizzato allo s.l.u. della componente orizzontale della massima accelerazione sismica, su suolo di categoria C e per fattore di struttura 4,1 è pertanto

COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.U.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd(T)/ag

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Riferimento per s.l.d.: punto 3.2.6 dell’allegato 2 all’OPCM 3274 come modificato dall’OPCM 3431; punto 3.2.2 del D.M. 14/09/2005. Lo spettro di progetto da adottare per la limitazione dei danni è ottenuto riducendo lo spettro di risposta elastico secondo un fattore pari a 2,5. Pertanto, lo spettro di progetto normalizzato allo s.l.d. della componente orizzontale della massima accelerazione sismica, su suolo di categoria C è

COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd,D(T)/ag

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6° PASSO: DETERMINAZIONE DELLE MASSIME FORZE STATICIZZATE DI PROGETTO ASSOCIATE A CIASCUN MODO ALLO S.L.U. ED ALLO S.L.D. Noti periodi principali, modi principali, fattori di partecipazione modale (4° Passo) e lo spettro di progetto normalizzato della componente orizzontale (5° Passo), è possibile valutare i valori massimi progettuali allo s.l.u., per ogni modo principale, delle forze orizzontali staticizzate di piano, simulanti l’azione del sisma sulla struttura, espresse, in maniera fisicamente rilevante, come frazione del carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso:

PRIMO MODO PRINCIPALE COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.U.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd(T)/ag

Per s63,2T1 = , 83,301g1 =

=

003967583,0001272554,0

aa

12

11 , si legge un valore

spettrale pari a

11,0aS

g

d =

(in tal caso dovrà adottarsi il minimo progettuale pari a 0,2) che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd (m/s2) Sd/g

1 0,69 0,07 2 0,49 0,05 3 0,29 0,03 4 0,10 0,01

1°IMPALCATO ZONA )g/S(ga d1

11

1 0,027 2 0,019 3 0,011 4 0,003

PRIMO MODO PRINCIPALE COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.U.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd(T)/ag

Per s73,0T1 = , 14,330g1 =

=

003549775,0002181789,0

aa

12

11 , si legge un valore

spettrale pari a

52,0aS

g

d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd (m/s2) Sd/g

1 1,79 0,18 2 1,28 0,13 3 0,77 0,08 4 0,26 0,03

1°IMPALCATO ZONA )g/S(ga d1

11

1 0,130 2 0,094 3 0,058 4 0,022

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2°IMPALCATO ZONA )g/S(ga d1

12

1 0,084 2 0,060 3 0,036 4 0,012

2°IMPALCATO ZONA )g/S(ga d1

12

1 0,211 2 0,152 3 0,094 4 0,035

Si possono dunque completare i seguenti schemi relativi alle massime forze orizzontali staticizzate di progetto allo s.l.u., pertinenti il primo modo principale

Per il primo modo, la massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.u. al primo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 2,7% di P in zona 1 e circa il 0,3% di P in zona 4, mentre, al secondo impalcato varia tra un massimo pari a circa l’8,4% di P in zona 1 e circa l’1,2% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso.

Per il primo modo, la massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.u. al primo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 13% di P in zona 1 e circa il 2,2% di P in zona 4, mentre, al secondo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 21% di P in zona 1 e circa il 3,5% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso.

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SECONDO MODO PRINCIPALE COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.U.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd(T)/ag

Per s40,0T2 = , 23,155g 2 =

=

001272563,000396758,0

aa

22

21 ,si legge un valore

spettrale pari a

76,0aS

g

d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd (m/s2) Sd/g

1 2,62 0,27 2 1,87 0,19 3 1,12 0,11 4 0,37 0,04

1°IMPALCATO ZONA )g/S(ga d2

21

1 0,166 2 0,117 3 0,068 4 0,025

2°IMPALCATO ZONA )g/S(ga d2

22

1 -0,053 2 -0,038 3 -0,022 4 -0,008

SECONDO MODO PRINCIPALE COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.U.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd(T)/ag

Per s28,0T2 = , 81,78g 2 =

−=

002181581,0003549903,0

aa

22

21 ,si legge un valore

spettrale pari a

76,0aS

g

d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd (m/s2) Sd/g

1 2,62 0,27 2 1,87 0,19 3 1,12 0,11 4 0,37 0,04

1°IMPALCATO ZONA )g/S(ga d2

21

1 0,076 2 0,053 3 0,031 4 0,011

2°IMPALCATO ZONA )g/S(ga d2

22

1 -0,046 2 -0,033 3 -0,019 4 -0,007

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Si possono dunque completare i seguenti schemi relativi alle massime forze orizzontali staticizzate di progetto allo s.l.u., pertinenti il secondo modo principale

Per il secondo modo, la massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.u. al primo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 17% di P in zona 1 e circa il 2,5% di P in zona 4, mentre, al secondo impalcato è di verso opposto e varia tra un massimo pari a circa il 5,3% di P in zona 1 e circa il 0,8% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso.

Per il secondo modo, la massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.u. al primo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 7,6% di P in zona 1 e circa l’1,1% di P in zona 4, mentre, al secondo impalcato è di verso opposto e varia tra un massimo pari a circa il 4,6% di P in zona 1 e circa il 0,7% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso.

Gli effetti associati a ciascun contributo modale andranno combinati secondo le modalità indicate al punto 4.4 (regola del modulo SRSS o combinazione quadratica completa CQC)

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In maniera perfettamente analoga, noti periodi principali, modi principali, fattori di partecipazione modale (4° Passo) e lo spettro di progetto normalizzato della componente orizzontale (5° Passo), è possibile valutare i valori massimi progettuali allo s.l.d., per ogni modo principale, delle forze orizzontali staticizzate di piano, simulanti l’azione del sisma sulla struttura, espresse, in maniera fisicamente rilevante, come frazione del carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso:

PRIMO MODO PRINCIPALE COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd,D(T)/ag

.

Per

s63,2T1 = , 83,301g1 =

=

003967583,0001272554,0

aa

12

11 , si legge un valore

spettrale pari a

18,0a

S

g

D,d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd,D (m/s2) Sd,D/g

1 0,62 0,06 2 0,44 0,05 3 0,27 0,03 4 0,09 0,01

1°IMPALCATO ZONA )g/S(ga D,d1

11

1 0,023 2 0,019 3 0,011 4 0,004

2°IMPALCATO ZONA )g/S(ga D,d1

12

1 0,072 2 0,060 3 0,036 4 0,012

PRIMO MODO PRINCIPALE COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd,D(T)/ag

.

Per

s73,0T1 = , 14,330g1 =

=

003549775,0002181789,0

aa

12

11 , si legge un valore

spettrale pari a

86,0a

S

g

D,d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd,D (m/s2) Sd,D/g

1 2,94 0,30 2 2,10 0,21 3 1,26 0,13 4 0,42 0,04

1°IMPALCATO ZONA )g/S(ga D,d1

11

1 0,216 2 0,151 3 0,094 4 0,029

2°IMPALCATO ZONA )g/S(ga D,d1

12

1 0,352 2 0,246 3 0,152 4 0,047

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Si possono dunque completare i seguenti schemi relativi alle massime forze orizzontali staticizzate di progetto allo s.l.d., pertinenti il primo modo principale

Per il primo modo, la massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.d. al primo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 2,3% di P in zona 1 e circa il 0,4% di P in zona 4, mentre, al secondo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 7,2% di P in zona 1 e circa l’1,2% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso.

Per il primo modo, la massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.d. al primo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 22% di P in zona 1 e circa il 2,9% di P in zona 4, mentre, al secondo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 35% di P in zona 1 e circa il 4,7% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso.

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SECONDO MODO PRINCIPALE COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd,D(T)/ag

.

Per s40,0T2 = , 23,155g 2 =

=

001272563,000396758,0

aa

22

21 ,si legge un valore

spettrale pari a

25,1a

S

g

D,d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd,D (m/s2) Sd,D/g

1 4,29 0,44 2 3,07 0,31 3 1,84 0,19 4 0,61 0,06

1°IMPALCATO ZONA )g/S(ga D,d2

21

1 0,271 2 0,191 3 0,117 4 0,037

2°IMPALCATO ZONA )g/S(ga D,d2

22

1 -0,087 2 -0,061 3 -0,038 4 -0,012

SECONDO MODO PRINCIPALE COMPONENTE ORIZZONTALE S.L.D.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0T(s)

Sd,D(T)/ag

.

Per s28,0T2 = , 81,78g 2 =

−=

002181581,0003549903,0

aa

22

21 ,si legge un valore

spettrale pari a

25,1a

S

g

D,d =

che significa, selezionare la macrozona del Comune di appartenenza individuato al passo 1:

ZONA Sd (m/s2) Sd/g

1 4,29 0,44 2 3,07 0,31 3 1,84 0,19 4 0,61 0,06

1°IMPALCATO ZONA )g/S(ga D,d2

21

1 0,123 2 0,087 3 0,053 4 0,017

2°IMPALCATO ZONA )g/S(ga D,d2

22

1 -0,076 2 -0,053 3 -0,033 4 -0,010

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Si possono dunque completare i seguenti schemi relativi alle massime forze orizzontali staticizzate di progetto allo s.l.d., pertinenti il secondo modo principale

Per il secondo modo, la massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.d. al primo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 27% di P in zona 1 e circa il 3,7% di P in zona 4, mentre, al secondo impalcato è di verso opposto e varia tra un massimo pari a circa l’8,7% di P in zona 1 e circa l’1,2% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso.

Per il secondo modo, la massima forza orizzontale sismica di progetto allo s.l.d. al primo impalcato varia tra un massimo pari a circa il 12,3% di P in zona 1 e circa l’1,7% di P in zona 4, mentre, al secondo impalcato è di verso opposto e varia tra un massimo pari a circa il 7,6% di P in zona 1 e circa l’1% di P in zona 4, essendo P il carico gravitazionale totale agente sul singolo traverso.

Gli effetti associati a ciascun contributo modale andranno combinati secondo le modalità indicate al paragrafo 4.4 (regola del modulo SRSS o combinazione quadratica completa CQC)