Riemannin geometrian pikakurssiVille Kivioja 19. elokuuta 2017

Sisältö

1 Metrinen tensori 21.1 Riemannin monisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Tilavuusmuoto, indusoitu metriikka ja isometriat . . . . . . . . . . . 4

2 Konnektioista yleisesti 52.1 Perusmääritelmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Tensorien derivointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Yhdensuuntaisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Eksponentiaalikuvaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Konnektiot Riemannin geometriassa 12

4 Kaarevuus 144.1 Kaarevuustensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Muita kaarevuusmittareita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Lisäkappale*: Pseudo-Riemannin monistot 185.1 Suhteellisuusteoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Alkusanat

Nämä muistiinpanot on tarkoitettu tehokkaaksi johdatukseksi Riemannin geometri-aan. Lukijalta oletetaan esitietoina n-ulotteisen differentiaaligeometrian sekä yleisentopologian perusasioiden tuntemus. Tavoitteena on tarjota lukijalle kaikki Rieman-nin geometrian perusmääritelmät ja ne tulokset, jotka ovat tärkeitä joko teorianrakenteen ymmärtämisen tai sovellusten kannalta. Tekniset aputulokset ja kaikkitodistukset sivuutetaan. Erityisesti muistiinpanojen alkuperäisenä tarkoituksena onsaavuttaa tarvittava esitietotaso Lien ryhmien Riemannin geometrian opiskeluun.

1

VastaisuudessaM on aina yhtenäinen differentioituva n-monisto. TensorikimppuT kl M koostuu tensoreista, jotka ottavat k kovektorimuuttujaa ja l vektorimuuttujaa(eli joilla on k yläindeksiä ja l alaindeksiä komponenttiesityksessään). Jos V onvektoriavaruus, niin T kl (V ) on sen

(kl

)-tensorien joukko.

1 Metrinen tensori

1.1 Riemannin monisto

Määritelmä 1.1. Tensorikenttä g : M → T 02M on Riemannin metriikka tai metri-

nen tensori, jos se on

i) symmetrinen, eli gp(X,Y ) = gp(Y,X) kaikille X,Y ∈ TpM ja p ∈M .

ii) positiividefinitti, eli gp(X,X) > 0 kaikille X ∈ TpM\0 ja p ∈M .

Pari (M, g) on Riemannin monisto.

Metrinen tensori on siis jokaisessa moniston pisteessä määritelty sisätulo. Tenso-rius takaa sen, että tällainen ”sisätulojen kenttä” muuntuu sileällä tavalla pisteestätoiseen.

Määritelmä 1.2. Olkoon (M, g) Riemannin monisto ja p ∈M . Vektorin X ∈ TpMpituus on

‖X‖ :=√gp(X,X)

Vektorien X,Y ∈ TpM\0 välinen kulma on

^(X,Y ) := arccos

(gp(X,Y )

‖X‖‖Y ‖

)∈ [0, π]

Jos kahdelle vektorille X,Y ∈ TpM on ^(X,Y ) = π2 , niin vektorit ovat ortogonaali-

set. Joukko vektoreja Xi ⊂ TpM on ortonormaali, jos gp(Xi, Xj) = δij .

Sisätulotulkinnan mukaisesti on käyrän pituus luonnollisesti sen nopeuden nor-min integraali:

Määritelmä 1.3. Olkoon (M, g) Riemannin monisto ja σ : [a, b] → M sileä käyrä.Käyrän σ pituus on

L(σ) :=

∫ b

a‖σ′(t)‖ dt (1)

Kahden pisteen p, q ∈M Riemannilainen etäisyys on

dg(p, q) := infL(σ) | σ ∈ C∞pal([0, 1],M), σ(0) = p, σ(1) = q

missä C∞pal tarkoittaa paloittain sileitä käyriä.

Lause 1.4. Kuvaus dg : M × M → M on etäisyysfunktio ja metrisen avaruuden(M,dg) topologia on moniston M alkuperäinen topologia.

2

Huomautus. Olkoon x : U ⊂ M → Rn koordinaattikuvaus pisteen q ∈ M ympäris-tössä koordinaattifunktioinaan xi. Koordinaattimuotojen dxi tensoritulot muodosta-vat kannan kaikkiin tensorituloavaruuksiin. Siten on olemassa funktiot gij : M → R,metrisen tensorin komponentit, siten, että

g =

n∑i,j=1

gijdxidxj

eli g =

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj

eli gp =n∑

i,j=1

gij(p)dxip ⊗ dxjp

eli gp(v, w) =n∑

i,j=1

gij(p)dxip(v)dxjp(w) ∀v, w ∈ TpM

Koordinaattimuodoille voidaan antaa tulkinta pieninä koordinaattieroina ja saadaintuitiivinen geometrinen tulkinta metriselle tensorille: Olkoon σ lyhyt käyrä, jokalähtee pisteestä p ja päätyy pisteeseen, jonka koordinaatit ovat

(x1(p) + dx1, . . . , xn(p) + dxn)

Tällöin käyrän σ pituuden neliö voidaan ilmaista muodossa

ds2 =n∑

i,j=1

gijdxidxj

Avaruudessa Rn luonnollinen metrinen tensori on gij = δij standardikoordinaateissa,ja edellinen tulee muotoon ds2 =

∑i(dx

i)2. Tässä mielessä metrinen tensori ”kertoolokaalin Pythagoraan lauseen muodon”.

Tangenttiavaruus TpM ja kotangenttiavaruus T ∗pM ovat n-ulotteisina vektoriava-ruuksina aina isomorfiset, mutta yleisessä tapauksessa eivät kanonisesti: Isomorfis-min rakentamiseen pitää valita kanta. Riemannin monistolla nämä avaruudet ovatkanonisesti isomorfiset, isomorfismina toimii

Ψ: TpM → T ∗pM v 7→ gp(v, ·) =: v∗

eli vektorin v duaalivektori on kuvaus w 7→ gp(v, w). Siten, jos v:n komponenttiesityson v = vi∂i (Einsteinin summaussääntö), niin duaalivektorin komponenttiesitys ongijv

idxj . Joskus merkitään vj := gijvi. Differentiaalimuotojen (kovektorien) duaalit

määritellään siten, että vektori v on kovektorin ω duaali, merkitään ω∗ = v, jos päteev∗ = ω. Siis duaalin määrittelevä ominaisuus on (ω∗)∗ = ω. Tämä keskustelu yleistyysiten, että Riemannin monistolla ”voidaan tensorien indeksejä laskea tai nostaa”:

Määritelmä 1.5. Olkoon (M, g) Riemannin monisto ja(11

)-tensori R. Määritellään

tensorit R[ ja R] lausekkeilla

R[(X,Y ) = R(X,Y ∗) ja R](ω, η) = R(ω∗, η)

3

Sanotaan, että(02

)-tensori R[ on saatu R:stä indeksiä laskemalla, ja

(20

)-tensori R]

on saatu R:stä indeksiä nostamalla. Tämä yleistyy suoraviivaisesti korkeamman ker-taluvun tensoreihin (yleisesti tosin täytyy pitää huolta siitä, mitä indeksiä lasketaantai nostetaan, jolloin merkintä ei ole yhtä yksinkertainen). Vektoreille ja muodoilleasetetaan analogisesti Y ∗ =: Y [ ja ω∗ =: ω].

1.2 Tilavuusmuoto, indusoitu metriikka ja isometriat

Määritelmä 1.6. Olkoon (M, g) suunnistettu Riemannin monisto. Riemannin ti-lavuusmuoto on dvolM ∈ Ωn(M), jolle kaikissa pisteissä p kaikilla ortonormaaleillaavaruuden TpM kannoilla Xi on

(dvolM )p(X1, . . . , Xn) = ±1

Tilavuusmitta on se yksikäsitteinen mitta, jonka indusoi funktionaali

C∞0 (M)→ R f 7→∫MfdvolM

Toisin sanoen kyseessä on se mitta µ, jolle∫Mfdµ =

∫MfdvolM ∀f ∈ C∞0 (M)

Lemma 1.7. Riemannin tilavuusmuoto voidaan lausua lokaaleissa koordinaateissamuodossa

dvolM =√

det([gij ])dx1 ∧ · · · ∧ dxn

Erityisesti Riemannin tilavuusmuoto on siten yksikäsitteinen.

Määritelmä 1.8. Olkoon (M, g) Riemannin monisto ja N ⊂M alimonisto. Alimo-nistolle N indusoitunut metriikka on g|N := ι∗g, ts.

(g|N )p(Xp, Yp) = gι(p)(dιpX,dιpY ) = gp(Xp, Yp) ∀X,Y ∈ TpN ⊂ TpM

missä viimeisessä yhtälössä otettiin käyttöön luonnollinen identifiointi TpN ⊂ TpM .

Määritelmä 1.9. Riemannin metriikat g1 ja g2 monistolla M ovat konformaalisetjos on olemassa f ∈ C∞(M) siten, että g1 = fg2 (tensorin tavallinen kertominenskalaarifunktiolla). Riemannin monistot (M1, g1) ja (M2, g2) ovat konformaalisestiekvivalentit, jos on olemassa diffeomorfismi F : M1 → M2 siten, että F ∗g2 ja g1ovat konformaaliset. Jos voidaan valita F ∗g2 = g1, eli f ≡ 1, niin sanotaan, ettäRiemannin monistot ovat isometriset ja F on (Riemannilainen) isometria.

Käsite isometria tavallisesti varataan metristen avaruuksien väliselle bijektiivi-selle kuvaukselle F : (M1, d1) → (M2, d2), jolle d1(p, q) = d2(F (p), F (q)). Seuraavattulokset osoittavat, että tässä ei ole menty metsään:

4

Proposition 1.10. Olkoon (N1, g1) ja (N2, g2) Riemannin monistoja ja F : N1 →N2 Riemannilainen isometria. Tällöin kaikilla p, q ∈ N1 pätee

dg1(p, q) = dg2(F (p), F (q))

kun dgi on metriikan gi indusoima Riemannin etäisyysfunktio.

Lause 1.11 (Meyer–Steenrod). Olkoon (N1, g1) ja (N2, g2) Riemannin monistoja jaF : (N1, dg1)→ (N2, dg2) (metrinen) isometria. Tällöin F on C∞ kuvaus.

Edellistä melko syvällistä tulosta käyttäen voidaan osoittaa seuraava käänteinentulos edellä olevalle propositiolle:

Lause 1.12. Olkoon (N1, g1) ja (N2, g2) Riemannin monistoja ja F : (N1, dg1) →(N2, dg2) (metrinen) isometria. Tällöin F on Riemannilainen isometria eli diffeo-morfismi joka toteuttaa ehdon F ∗g2 = g1.

2 Konnektioista yleisesti

Tässä luvussa unohdetaan hetkeksi täysin edellä käsitellyt metriset tensorit ja Rie-mannin monistot, ja palataan niihin vasta luvussa 3. Lukujen 1 ja 2 paikat voisimyös vaihtaa, sillä ne ovat täysin riippumattomat toisistaan.

2.1 Perusmääritelmät

Konnektion määritelmä ei sinänsä tarvitse mihinkään metristä tensoria, vaan kon-nektio voidaan määritellä millä tahansa differentioituvan moniston säiekimpulla (mer-kintä Γ(E) seuraavassa tarkoittaa säiekimpun E sektioiden joukkoa):

Määritelmä 2.1. Olkoon M differentioituva monisto ja π : E → M säiekimppu.Sileä kuvaus

∇ : Γ(TM)× Γ(E)→ Γ(E) (X,V ) 7→ ∇XV

on konnektio E:llä, jos

i) se on C∞(M)-lineaarinen X:n suhteen, eli

∇fX+gY V = f∇XV + g∇Y V

kaikille X,Y ∈ Γ(TM), f, g ∈ C∞(M) ja V ∈ Γ(E)

ii) se on R-lineaarinen V :n suhteen, eli

∇X(aV + bW ) = a∇XV + b∇XW

kaikille X ∈ Γ(TM), V,W ∈ Γ(E) ja a, b ∈ R.

iii) kaikilla X ∈ Γ(TM), V ∈ Γ(E) ja f ∈ C∞(M) pätee

∇X(fV ) = f∇XV + (Xf)V

5

Sektio ∇XV on V :n kovariantti derivaatta X:ää pitkin. Jos E = TM , niin sanotaan,että ∇ on lineaarinen konnektio.

Vastaisuudessa nimenomaan lineaaristen konnektioiden tapaus E = TM on oleel-linen. Triviaali esimerkki konnektiosta on tasokonnektio, joka voidaan liittää mihintahansa monistoon:

Määritelmä 2.2. Olkoon E = M×Rk (nk. triviaali kimppu). Esitetään V = V jEj ,missä V j ∈ C∞(M) ja Ej ∈ Γ(E) ovat kantaelementit Ej(p) = (p, ej) kaikilla p ∈M .Konnektioita ∇XV := X(V j)Ej sanotaan tasokonnektioksi (flat connection).

Harjoitustehtävä 1. Tasokonnektio on konnektio.

Harjoitustehtävä 2. Olkoon ∇1,∇2 konnektioita samalla kimpulla. Osoita, että

i) kaikille λ ∈ R on λ∇1 + (1− λ)∇2 konnektio.

ii) k∇1 ei ole konnektio, paitsi kun k = 1.

iii) ∇1 +∇2 ei koskaan ole konnektio.

Lineaariset konnektiotkaan eivät ole tensoreita. Tähän voisi tietysti sanoa, ettäeivät tietenkään ole, koska tensorit ovat kuvauksia R:lle, eikä Γ(TM):lle. Tämä eroon kuitenkin epäoleellinen:

Lemma 2.3. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus. On olemassa kanoninenisomorfismi lineaarikuvausten V k × (V ∗)l → V joukon ja tensoriavaruuden T l+1

k (V )(eli multilineaarikuvausten V k × (V ∗)l+1 → R joukon) välillä. Tämä on seuraava:Olkoon

B : V k × (V ∗)l → V

Sitä vastaava tensori Ψ(B) ∈ T l+1k on

Ψ(B)(X1, . . . , Xk, ω1, . . . , ωl, ω) = ω(B(X1, . . . , Xk, ω1, . . . , ωl))

Harjoitustehtävä 3. Todista edellinen lemma kun k = 1 ja l = 0, eli osoita, ettälineaarikuvaukset V → V ovat oleellisesti

(11

)-tensoreita.

Siis myös vektoriarvoisia kuvauksia voidaan pitää tensoreina, ts. sellaiset voi-daan kanonisesti identifioida tensorien kanssa. Silti lineaariset konnektiot, jotka ovatkuvauksia Γ(TM) × Γ(TM) → Γ(TM), eivät ole tensoreita (eivät kuulu tensori-kimppuun T 1

2M) edes tässä mielessä). Pitää nimittäin olla tarkkana sen kanssa,mikä on vektoriavaruuden Γ(TM), eli vektorikenttien joukon, kerroinkunta. Jouk-ko Γ(TM) on vektoriavaruus varustettuna kerroinkunnalla R, mutta ”filosofisestioikea” kerroinkunta on C∞(M), siis sileiden reaaliarvoisten funktioiden kunta (Ron liian rajoittava). Mutta määritelmänsä mukaan lineaariset konnektiot eivät oleC∞(M)-kertoimien suhteen lineaarisia toisessa muuttujassaan: sen sijaan ne toteut-tavat Leibnizin säännön siinä muuttujassa. Tensoreilta vaaditaan määritelmänsä mu-kaan C∞(M)-lineaarisuus kaikissa muuttujissa.

Kahden lineaarisen konnektion erotus kuitenkin on tensori:

6

Harjoitustehtävä 4. Olkoon ∇1,∇2 lineaarisia konnektioita. Osoita, että kuvaus

(X,V ) 7→ ∇1(X,V )−∇2(X,V )

on C∞(M)-lineaarinen molempien muuttujien suhteen.

Määritelmä 2.4. Olkoon ∇ lineaarinen konnektio. Sen torsio on kuvaus

τ : Γ(TM)× Γ(TM)→ Γ(TM) τ(X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X,Y ]

Jos konnektion ∇ torsio on identtisesti nolla, sanotaan, että ∇ on symmetrinenkonnektio.

Harjoitustehtävä 5. Osoita, että lineaarisen konnektion torsio on tensori (eli C∞(M)-lineaarinen molempien muuttujien suhteen).

Oikeasti konnektio on ”melko lokaali” operaattori, vaikka se näennäisesti syö glo-baalit vektorikentät. Tämän sanoo tarkasti seuraava lause:

Lause 2.5. Olkoon ∇ konnektio säiekimpulla E, p ∈ M ja U 3 p avoin. Olkoonlisäksi X,Y ∈ Γ(TM) ja V,W ∈ Γ(E) sellaiset, että Xp = Yp ja V |U = W |U .Tällöin

(∇XV )(p) = (∇YW )(p)

Muistutetaan, että lokaali kehys (local frame) pisteen p ∈ M ympäristössä Uon vektorikenttien joukko Y1, . . . , Yn ∈ Γ(TM) siten, että kaikilla q ∈ U vektoritY1|q, . . . , Yn|q ovat kanta avaruudelle TqM . Kehys on koordinaattikehys, jos on ole-massa koordinaatisto, jolle ∂i|q = Yi|q kaikilla q ∈ U (pisteessä p näin voidaan ainavalita, pisteen ulkoupuolella yleensä ei).

Näin tangenttikimpussa, ja samaa terminologiaa käytetään yleisestikin:

Määritelmä 2.6. Lokaali kehys pisteen p ∈ M ympäristössä U säiekimpulle E onsektioiden joukko Y1, . . . , Yn ∈ Γ(E) siten, että kaikilla q ∈ U joukko Y1|q, . . . , Yn|qon kanta vektoriavaruudelle (säikeelle) Eq.

Määritelmä 2.7. Olkoon E säiekimppu, ∇ sen konnektio, ja U ⊂ M avoin, sekäolkoon Y1, . . . , Yn:t lokaali kehys TM :lle ja E1, . . . , Er:t lokaali kehys E:lle. FunktiotΓkij ∈ C∞(M), joille

∇YiEj = ΓkijEk

ovat konnektion ∇ Christoffelin symbolit kehyksien Yi ja Ej suhteen.

2.2 Tensorien derivointi

Kovariantti derivaatta on nyt määritelty vektoreille. Myös tensoreiden kovarianttiderivaatta on järkevä ja hyödyllinen käsite. Kerrataan ensin kontraktion käsite.

7

Määritelmä 2.8. Lineaarinen operaattori Cji : T pq (V )→ T p−1q−1 (V ), missä j ∈ 1, . . . , pja i ∈ 1, . . . , q, joka kantaan operoituna antaa

Cji (X1 ⊗ · · · ⊗Xq ⊗ ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp)

= ωj(Xi)(X1 ⊗ · · · ⊗ Xi ⊗ · · · ⊗Xq ⊗ ω1 ⊗ · · · ⊗ ωj ⊗ · · · ⊗ ωp)

on tensorin kontraktio.

Kyse on todella yksinkertaisesta asiasta:Harjoitustehtävä 6. Olkoon R ∈ T 1

3 (V ) tensori, jonka komponentit jossain koordi-naatistossa ovat Rαβγδ. Tällöin kontraktioiden Cji (R) komponenttiesitykset ovat

C11 (R) ↔ Rααγδ

C21 (R) ↔ Rαβαδ

C31 (R) ↔ Rαβγα

Merkintä 2.9.∞⋃

k,l=0

Γ(T kl M) =: T ••M

Konnektio laajennetaan tangenttikimpulta kaikkiin tensorikimppuihin vaatimal-la, että konnektio kommutoi kontraktion kanssa ja toteuttaa Leibnizin säännön ten-soritulon suhteen.

Lause 2.10. Olkoon ∇ lineaarinen konnektio. Tällöin on olemassa yksikäsitteinenkonnektioiden perhe ∇kl k,l∈N siten, että jokainen ∇kl on konnektio tensorikimpussaT kl M ja (kohdissa ii ja iii jätetään ylä- ja alaindeksit kirjoittamatta)

i) avaruudessa TM ≡ T 10M on ∇1

0 = ∇.

ii) ∇X(F⊗G) = ∇X(F )⊗G+F⊗∇X(G) kaikille F,G ∈ T ••M ja X ∈ Γ(TM).

iii) ∇X(CjiW ) = Cji (∇XW ) kaikille kontraktioille Cji , kaikille W ∈ T ••M jaX ∈ Γ(TM).

Proposition 2.11. Edellisen lauseen antamassa konnektioiden perheessä on välttä-mättä

i) ∇Xf = X(f) kaikilla f ∈ C∞(M) = T 00M ja X ∈ Γ(TM),

ii) (∇Xω)(Y ) = Xω(Y )−ω(∇XY ) kaikilla ja ω ∈ Γ(T ∗M) ja X,Y ∈ Γ(TM).

Harjoitustehtävä 7. Todista yllä oleva propositio. Vihje: kohdassa ii sovella i-kohdantulosta funktioon X(ω(Y )).

Vastaisuudessa erikseen mainitsematta ymmärretään, että jos lineaarinen kon-nektio on annettu, niin se osaa osua myös kaikkiin tensoreihin: tämä osuminen ta-pahtuu yksikäsitteisesti määrätyn perheen ”oikeaulotteisella” konnektiolla. Toisin sa-noen, lineaarinen konnektio ja sen määräämä konnektioiden perhe identifioidaan vas-taisuudessa.

8

Määritelmä 2.12. Olkoon ∇ konnektio TM :llä ja F ∈ Γ(T lkM). Tensorin F kova-riantti (kokonais)derivaatta (total covariant derivative) on tensori ∇F ∈ Γ(T lk+1M),jolle

(∇F )(Y1, . . . , Yk, X, ω1, . . . , ωl) = (∇XF )(Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl)

kaikilla Yi ∈ Γ(TM) ja ωi ∈ Γ(T ∗M).

Proposition 2.13 (Kovariantti derivaatta komponenttimuodossa). Olkoon ∇ kon-nektio TM :llä ja F ∈ Γ(T 2

1M). Tensorin F kovariantin derivaatan komponentitkiinnitettyjen koordinaattien ϕ suhteen, eli luvut

F hvs;t := (∇F )(dϕh, dϕv, ∂s, ∂t)

toteuttavat yhtälön

F hvs;t =∂F hvs∂xt

+ F ivsΓhti + F hjsΓ

vtj − F hvkΓkts

Yleisemmät tapaukset toimivat vastaavasti.

Määritelmä 2.14. Olkoon f sileä.

i)(01

)-tensori ∇f on f :n (kovariantti) gradientti.

ii)(02

)-tensori ∇2f := ∇(∇f) on f :n (kovariantti) Hessian.

Proposition 2.15.

i) ∇f = df .

ii) ∇2f(X1, X2) = X2(X1(f))− (∇X2X1)(f).

Tässä kohtaa on kaikki eväät mainita symmetristen konnektioiden luokitteluakoskeva tulos:

Proposition 2.16. Olkoon ∇ lineaarinen konnektio. Seuraavat ovat ekvivalentteja

i) ∇ on symmetrinen konnektio.

ii) kaikille koordinaattikehyksille Christoffelin symbolit ovat symmetriset, eli pä-tee Γkij = Γkji.

iii) ∇2f on symmetrinen tensori kaikilla f ∈ C∞(M).

9

2.3 Yhdensuuntaisuus

Olkoon tässä luvussa ∇ kiinnitetty lineaarinen konnektio.

Määritelmä 2.17. Vektorikenttä V ∈ Γ(TM) on yhdensuuntainen käyrällä σ (li-neaarisen konnektion ∇ suhteen), jos ∇σ′(t)V ≡ 0.

Huomautus. Edellinen määritelmä ei a priori ole järkevä, sillä σ′(t) ei ole vektori-kenttä, nuo vektorithan on määritelty vain käyrällä σ. Lauseen 2.5 takia tavallaankonnektiolle kuitenkin riittää vähempikin tieto. Käyrällä σ määriteltyä vektorikent-tää ei kuitenkaan voida laajentaa käyrän avoimeen ympäristöön, esimerkiksi siinätapauksessa, että σ leikkaa itseään. Niimpä kyseistä lausetta ei voi suoraan hyödyn-tää, sillä σ′ ei edusta minkään vektorikentän arvoja käyrällä σ. Huomataan kuitenkinseuraavaa: jos V,W ∈ Γ(TM), niin lokaaleissa koordinaateissa

(∇VW )p = (∇V i∂i(Wj∂j))p = V i(p)Γkij(p)∂k|p + V i(p)∂i|p(W j)∂j |p (2)

Tämän yhtälöketjun oikeassa päädyssä ei vektorikentästä V tarvita mitään muutakuin komponentit pisteessä p. Siis edellisessä määritelmässä esiintyvässä lausekkeessa∇σ′(t)V käytetään täsmälleen ottaen kuvausta

∇σ : Vec(σ)× Γ(TM)→ Vec(σ)

missä1 määritellään ∇σ(V,W ) täsmälleen yhtälön (2) oikeaksi puoleksi.

Määritelmä 2.18. Olkoon σ : [a, b]→ M käyrä ja X ∈ Tσ(a)M vektori. Jos vekto-rikenttä V ∈ Γ(TM) on yhdensuuntainen käyrällä σ ja Vσ(a) = X, on vektorikenttäV vektorin X yhdensuuntainen laajennus käyrää σ pitkin.

Proposition 2.19. Vektorin yhdensuuntainen laajennus annettua käyrää pitkin onolemassa ja yksikäsitteinen.

Huomautus. Laajennus todella onnistuu vain annettua käyrää pitkin. Tästä lisäämyöhemmin.

Määritelmä 2.20. Yhdensuuntaissiirto σ:aa pitkin on kuvaus

Pσ : Tσ(a)M → Tσ(b)M Pσ(X) = V (σ(b))

missä V ∈ Γ(TM) on X:n yhdensuuntainen laajennus σ:aa pitkin.

Proposition 2.21. Yhdensuuntaissiirto on vektoriavaruusisomorfismi.

Tässä vaiheessa on mahdollista vahvistaa lausetta 2.5:

Lause 2.22. Olkoon Xp ∈ TpM ja γ : I → M käyrä, jolle γ′(0) = Xp. Olkoonlisäksi Y ja Y sellaiset vektorikentät, että niiden rajoittuma γ:lle on sama. Tällöin∇XpY = ∇Xp Y .

1Edellä Vec(σ) tarkoittaa käyrällä σ määriteltyjen vektorikenttien joukkoa.

10

Koska nyt tiedämme vielä lisää lineaaristen konnektioiden lokaalisuudesta, onseuraavakin määritelmä hyvin asetettu2:

Määritelmä 2.23. Käyrä σ on geodeesi (lineaarisen konnektion ∇ suhteen), jos sentangenttivektorikenttä on yhdensuuntainen, ts. ∇σ′(t)σ

′(t) ≡ 0.

Geodeesi on siis käyrä, jonka nopeusvektori on kokoajan saman pituinen ja osoit-taa samaan suuntaan. Edelleenkään emme ole Riemannin monistolla, joten tämäehto ei toistaiseksi liity mitenkään siihen, onko käyrä etäisyyksiä minimoiva. Vaikkaetäisyyden käsite tai jopa metrinen tensori olisi annettu, ei geodeesi olisi missäänrelaatiossa lyhimpiin käyriin, sillä geodeesin määritelmä riippuu annetusta konnek-tiosta (eikä metrisestä tensorista). Erittäin tärkeä tulos on, että Riemannin monis-ton geodeesit sellaisen konnektion suhteen, joka on symmetrinen ja ”metriikan kanssayhteensopiva”, ovat sitä mitä niiden pitäisi olla: ne minimoivat etäisyyksiä. Tähänmenemme heti luvussa 3, mutta ensin käsittelemme vielä geodeesien avulla määri-teltävää eksponentiaalikuvausta, joka tämäkään ei tarvitse metristä tensoria vaanainoastaan lineaarisen konnektion.

2.4 Eksponentiaalikuvaus

Proposition 2.24 (Geodeettinen yhtälö). Käyrä σ on geodeesi jos ja vain jos senkomponentit σj := ϕj σ toteuttavat differentiaaliyhtälön

d2σk

dt2+ (Γkij σ)

dσi

dt

dσj

dt= 0

missä Christoffelin symbolit ovat koordinaattikehyksen ∂i suhteen (jonka indusoikarttakuvaus ϕ : U ⊂M → Rn).

Geodeettisen yhtälön avulla voidaan differentiaaliyhtälöiden teoriaa käyttäen osoit-taa seuraavaa:

Lause 2.25 (Geodeesien yksikäsitteisyys). Kaikilla v ∈ TpM on olemassa geodeesiσ, jolle σ(0) = p ja σ′(0) = v, ja mitkä tahansa kaksi sellaista geodeesia yhtyvätmäärittelyjoukkojensa leikkauksessa.

Merkintä 2.26. Merkitään vastaisuudessa σp,v : Ip,v →M :llä määrittelyjoukoltaanmaksimaalista geodeesia, jolle σp,v(0) = p ja σ′p,v(0) = v. Merkitään myös Ep :=v ∈ TpM | [0, 1] ⊂ Iv eli niiden vektorien joukkoa, joille σp,v(t) on määritelty kokovälillä [0, 1].

Harjoitustehtävä 8. Osoita, vähintään visuaalisin argumentein, että piste 0 ∈ TpMon joukon Ep sisäpiste.

Määritelmä 2.27. Eksponentiaalikuvaus (∇:n suhteen) pisteessä p on expp : Ep →M , jolle exp(v) = σp,v(1).

2Tarkkaan ottaen tässä tulee käydä vastaavankaltainen keskustelu kuin edellä esiintyneessä huo-mautuksessa, sillä tilanne on vielä hivenen erilainen.

11

Proposition 2.28. Käyrä t 7→ expp(tv) on täsmälleen käyrä σp,v(t).

Harjoitustehtävä 9. Todista edellinen propositio käyttäen lausetta 2.25.

Proposition 2.29. Kuvaus expp : TpM →M on sileä pisteessä 0 ja pätee d(expp)0 =idTpM .

Tästä seuraa, kuten Lien ryhmissäkin, käänteiskuvauslauseen avulla seuraavaa:

Seuraus 2.30. Kuvaus expp : Ep → M on diffeomorfismi kun lähtöjoukko rajataanjohonkin 0:n ympäristöön ja maalijoukko johonkin p:n ympäristöön.

Eksponentiaalikuvaus on nimeltään ja filosofialtaan samanlainen kuvaus kuinLien ryhmissä, mutta näitä ei tietenkään tule sekoittaa toisiinsa.

3 Konnektiot Riemannin geometriassa

Olkoon tässä luvussa (M, g) pysyvästi Riemannin monisto.

Määritelmä 3.1. Lineaarinen konnektio ∇ on yhteensopiva metriikan kanssa, jos∇g ≡ 0.

Lause 3.2. Lineaariselle konnektiolle ∇ seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja:

i) ∇ on yhteensopiva metriikan kanssa.

ii) kaikille X,Y, Z ∈ Γ(TM) on

X(g(Y,Z)) = g(∇XY, Z) + g(Y,∇XZ)

iii) kaikissa koordinaattijärjestelmissä on

∂kgij = gljΓlki + gilΓ

lkj

iv) kaikille käyrille σ ja kaikille V,W ∈ Γ(TM) on

d

dtgσ(t)(V,W ) = gσ(t)(∇σ′(t)V,W ) + gσ(t)(V,∇σ′(t)W )

v) kaikille käyrille σ ja kaikille vektorikentille V,W ∈ Γ(TM), jotka ovat yh-densuuntaisia σ:aa pitkin, on

d

dtgσ(t)(V,W ) = 0

vi) kaikille käyrille σ on yhdensuuntaissiirto σ:aa pitkin isometria g:n indusoi-man sisätulon suhteen. Toisin sanoen kuvaus

Pσ : Tσ(a)M → Tσ(b)M

toteuttaa ehdon gσ(a)(X,Y ) = gσ(b)(PσX,PσY ).

12

Harjoitustehtävä 10. Todista edellinen lause.

Määritelmä 3.3. Lineaarinen konnektio, joka on symmetrinen ja metriikan kanssayhteensopiva, on Levi-Civita-konnektio.

Lause 3.4 (Fundamental lemma of Riemannian geometry). Jokaisella Riemanninmonistolla on olemassa yksikäsitteinen Levi-Civita-konnektio. Sen Christoffelin sym-bolit koordinaattikehyksen ∂i suhteen ovat

Γkij =1

2gkl(∂igjl + ∂jgli − ∂lgij)

ja se toteuttaa kaikkialla yhtälön

〈∇XY |Z〉 =1

2

(X〈Y |Z〉+ Y 〈Z|X〉 − Z〈X|Y 〉

− 〈Y |[X,Z]〉 − 〈Z|[Y,X]〉+ 〈X|[Z, Y ]〉)

missä merkittiin g(X,Y ) =: 〈X|Y 〉. Lisäksi missä tahansa koordinaatistossa Levi-Civita-konnektio toteuttaa yhtälön

∇XY =(Xi∂iY

k +XiY jΓkij

)∂k

Olkoon vastaisuudessa erikseen mainitsematta eksponentiaalikuvaus määriteltynimenomaan Levi-Civita-konnektion suhteen.

Määritelmä 3.5. Olkoon Ei ortonormaali kanta TpM :lle (metriikan gp suhteen).Asetetaan

ψ : Rn → TpM ψ(x1, . . . , xn) = xiEi

Tällöin sopivasti rajoitetussa avoimessa joukossa U ⊂ M määritelty diffeomorfismiϕ := ψ−1 exp−1p : U → Rn kelpaa koordinaattikuvaukseksi ja määrää normaalikoor-dinaatit pisteen p ympäristöön.

Erityisesti sovelluksissa normaalikoordinaatit ovat erittäin käyttökelpoiset seu-raavan tuloksen vuoksi:

Proposition 3.6. Pisteeseen p keskittyneissä normaalikoordinaateissa

i) normaalikoordinaattien indusoimat tangenttivektorit yhtyvät pisteessä p nor-maalikoordinaattien rakentamiseen käytettyihin vektoreihin Ei.

ii) metrisen tensorin komponentit p:ssä ovat gij = δij.

iii) euklidisen avaruuden suora viiva γ(t) = tV , missä V ∈ Rn, ja geodeesiσ(t) := σp,V iEi(t) ovat toistensa kuvia normaalikoordinaateissa. Lisäksi jossa-kin pisteen p ympäristössä pätee σ = V i∂i.

iv) kaikki Christoffelin symbolit ovat nollia pisteessä p ja kaikille koordinaatti-vektoreille pätee ∂kgij = 0 pisteessä p.

13

Harjoitustehtävä 11. Todista edellinen propositio. Vinkki: muut kohdat kuin iv ovatmelko suoraviivaisia. Kohdassa iv käytä ensimmäisen väitteen saamiseksi kohtaa iiija geodeettista yhtälöä. Toisessa väitteessä auttaa lause 3.2.Huomautus. Edellisen proposition kohta iv on filosofisesti erityisen tärkeä: TietoaRiemannin moniston lokaalista geometriasta ei sisälly metrisen tensorin komponent-tien arvoihin jossakin pisteessä, eikä edes näiden derivaattoihin, sillä molemmat voi-daan nollata siirtymällä normaalikoordinaatteihin. Sen sijaan osoittautuu, että met-risen tensorin toisen kertaluvun osittaisderivaattoja ei voida koordinaattimuunnok-sella hävittää, ellei avaruus satu olemaan laakea tarkastelupisteessä. Näistä toisis-ta osittaisderivaatoista muodostetaan myöhemmin moniston kaarevuusmittari, Rie-mannin tensori.

Eksponentiaalikuvaukselle saadaan seuraavassa vielä lisääkin geometrisesti jär-keviä tuloksia. Kaikki nämä ovat Levi-Civita-konnektion ansiota.

Merkintä 3.7.

Bε(0p) :=x ∈ TpM |

√gp(X,X) < ε

Bε(p) := expp(Bε(0p))

injrad(p) := supε > 0 | expp|Bε(0p) on diffeomorfismi kuvaansa

Määritelmä 3.8. Olkoon ε ∈ (0, injrad(p)). Funktio

r : Bε(p)→ R q 7→ ‖exp−1p (q)‖p

on radiaalinen etäisyysfunktio (radial distance function) p:ssä.

Lause 3.9. Olkoon ε ∈ (0, injrad(p)).

i) Radiaalinen etäisyysfunktio yhtyy Riemannilaiseen etäisyyteen dg(p, · ) jou-kossa Bε(p).

ii) Joukko Bε(p) on todella ε-säteinen p-keskinen pallo metriikalla dg.

Määritelmä 3.10. Käyrä σ : [a, b] → M on lokaalisti lyhin (locally length mini-mizing), jos kaikille t ∈ [a, b] on olemassa ε > 0 siten, että kaikilla c1, c2 ∈ [t−ε, t+ε]ja kaikilla γ : [c1, c2]→M , joille γ(ci) = σ(ci) pätee

L(γ) ≥ L(σ|[c1,c2])

Lause 3.11. Käyrä σ : I → M on geodeesi Levi-Civita-konnektion suhteen jos javain jos σ on lokaalisti lyhin ja ‖σ′‖ on vakio.

4 Kaarevuus

4.1 Kaarevuustensori

Määritelmä 4.1. Olkoon ∇ lineaarinen konnektio. Sen kaarevuustensori on(13

)-

tensori, jonka määrittelee kuvaus

R : Γ(TM)3 → Γ(TM) R(X,Y, Z) = ∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z

14

Proposition 4.2. Olkoon R lineaarisen konnektion ∇ kaarevuustensori. Tällöin

i) R(X,Y, Z) = −R(Y,X,Z).

ii) jos ∇ on symmetrinen, pätee nk. ”algebrallinen Bianchin identiteetti”:

R(X,Y, Z) +R(Y,Z,X) +R(Z,X, Y ) = 0

Proposition 4.3 (Kaarevuustensorin komponentit). Olkoon R lineaarisen konnek-tion ∇ kaarevuustensori. Olkoon Γkij:t Christoffelin symbolit koordinaattikannassa∂i ja määritellään funktiot Rhijk siten, että R(∂i, ∂j , ∂k) = Rhijk∂h. Tällöin

Rhijk = ∂iΓhjk − ∂jΓhik + ΓrjkΓ

hir − ΓrikΓ

hjr

Riemannin kaarevuustensori on Levi-Civita-konnektion kaarevuustensorin indek-silaskettu versio:

Määritelmä 4.4. Olkoon (M, g) Riemannin monisto ja ∇ Levi-Civita-konnektio,sekäR konnektion∇ kaarevuustensori. Moniston (M, g) Riemannin kaarevuustensorion(40

)-tensori

Rm(X,Y, Z,W ) = g(R(X,Y, Z),W )

toisin sanoen Rm = R[.

Kaarevuustensorin idea on olla kovarianttien derivaattojen epäkommutatiivisuu-den mittari3. Tässä on ehkä paikallaan pari sanaa liittyen vektorikentän yhdensuun-taiseen laajennukseen annettua käyrää pitkin, jota käsiteltiin luvussa 2.3. VektoriaX ∈ TpM ei voi yleensä laajentaa pisteen ympäristöön. Ei tosin ole määritelty mi-tä tämä edes tarkoittaisi, mutta se voisi tarkoittaa vaikkapa vektorikenttää V , jokaon määritelty pisteen p ympäristössä U ja joka olisi X:n yhdensuuntainen laajen-nus kaikkia p:stä lähteviä käyriä pitkin. Voisi tietysti yrittää määritellä laajennuksenkäyttämällä U :n polkuyhtenäisyyttä. Tämä ei onnistu sinne päinkään, vaan jos kaksieri käyrää, jotka lähtevät p:ssä, leikkaavat uudelleen pisteessä q ∈ U , niin laajennus-ten arvot pisteessä q ovat yleensä erit, eli moinen vektorikenttäviritys ei olisi edeshyvin määritelty. Itseasiassa näin konstruoitu laajennus on hyvin määritelty jos javain jos Riemannin kaarevuustensori häviää pisteessä p, eli Riemannin monisto onlokaalisti laakea.

Proposition 4.5. Olkoon F : (M1, g1) → (M2, g2) Riemannin monistojen välinenisometria. Tällöin vastaaville Riemannin kaarevuustensoreille pätee Rm1 = F ∗Rm2.

Seuraus 4.6. Jos Riemannin moniston (M, g) Riemannin kaarevuustensori Rm eiole identtisesti nolla, niin (M, g) ei ole isometrinen Euklidiseen Riemannin monis-toon (Rn, gE).

3Kaarevuustensorin lausekkeen voi myös hyvin konkreettisesti johtaa tarkastelemalla nimeno-maan kovarianttien derivaattojen epäkommutatiivisuutta.

15

Määritelmä 4.7. Riemannin monisto (M, g) on lokaalisti laakea pisteessä p ∈ M ,jos on olemassa avoin U 3 p, avoin V ⊂ Rn ja kuvaus F , joka on isometria kuvauk-sena F : (U, g) → (V, gE). Riemannin monisto (M, g) on laakea, jos se on lokaalistilaakea kaikissa pisteissään.

Lause 4.8. Riemannin monisto on laakea jos ja vain jos sen Riemannin kaarevuus-tensori häviää identtisesti.

Proposition 4.9. Olkoon ∇ Levi-Civita-konnektio Riemannin monistolla (M, g) jaRm Riemannin kaarevuustensori. Tällöin

i) Rm(X,Y, Z,W ) = −Rm(X,Y,W,Z)

ii) Rm(X,Y, Z,W ) = Rm(Z,W,X, Y )

iii) pätee nk. ”differentiaalinen Bianchin identiteetti”:

∇Rm(X,Y, Z,W, V ) +∇Rm(X,Y, V, Z,W ) +∇Rm(X,Y,W, V, Z) = 0

4.2 Muita kaarevuusmittareita

Määritelmä 4.10. Olkoon (M, g) Riemannin monisto ja Rm Riemannin kaare-vuustensori. Olkoon piste p ∈ M ja π ⊂ TpM taso, jolle π = spanX,Y joillekinX,Y ∈ TpM . Tällöin

K(π) := K(X,Y ) :=Rm(X,Y, Y,X)

‖X‖2‖Y ‖2 − 〈X|Y 〉2

on M :n leikkauskaarevuus (sectional curvature) tason π suhteen pisteessä p.

Huomautus. Leikkauskaarevuus todella riippuu vain vektorien X ja Y määräämästäaliavaruudesta, ja määritelmä on siten järkevästi asetettu.

Seuraavaksi määritellään Riccin tensori ja Riccin skalaari. Indeksinotaatiossa tä-mä on hyvin yksinkertaista: Jos Levi-Civita-konnektion kaarevuustensorin R kom-ponentit ovat Rαβγδ, niin Riccin tensorin komponentit ovat Rαβ = Rδαβδ ja Riccinskalaari on R = Rαα. Ensimmäinen näistä operaatioista on tavallinen kontraktio,toisessa tehdään sekä indeksin nosto että kontraktio. Edellä olevien kaltaiset mää-ritelmät ovat – vaikkakin havainnollisia – kuitenkin sikäli epätyydyttäviä että netehdään koordinaateissa, ja siksi tällä tavalla ei ole selvää riippuuko määritelmäkoordinaateista tai syntyykö tuloksesta tensoria. Mennään seuraavaksi täsmällisiinmääritelmiin.

Määritelmä 4.11. Olkoon (M, g) Riemannin monisto ja ∇ Levi-Civita-konnektio,sekä R konnektion ∇ kaarevuustensori ja R sitä vastaava

(13

)-tensorimuotoinen ku-

vaus. Riccin tensori Ric ∈ T 02M on kontraktio Ric = C1

3 (R).

Havainnollistetaanpa vähän mitä tässä tapahtuu.

16

i) Aloitetaan kaarevuustensorista R, joka syö kolme vektoria ja

R(X,Y, Z) ∈ Γ(TM)

ii) Tämän kuvauksen tensorimuoto on lauseen 2.3 mukaisesti Ψ(R) =: R siten,että

R(X,Y, Z, ω) = ω(R(X,Y, Z)) ∈ R

iii) Kontraktiota varten kirjoitetaan auki kantaesitys jossakin koordinaatistossa

R = Rαβγδdxβ ⊗ dxγ ⊗ dxδ ⊗ ∂α

(Tässä olisi ehkä loogisempaa kirjoittaa komponentit muodossa R αβγδ , mutta

pysytään nyt fysiikan notaatiossa kun sillä ei ole mitään merkitystä.)

iv) C13 -kontraktio toimii määritelmänsä 2.8 mukaan siten, että

C13 (R) = Rαβγδ ∂α(dxδ)︸ ︷︷ ︸

δαδ

dxβ ⊗ dxγ = Rαβγαdxβ ⊗ dxγ

Siispä Riccin tensorin komponentit todella ovat Rβγ = Rαβγα.

Proposition 4.12. Olkoon Xj ortonormaali kanta TpM :lle. Tällöin

Ric(Y,Z) =∑j

Rm(Xj , Y, Z,Xj)

Seuraus 4.13. Riccin tensori on symmetrinen.

Harjoitustehtävä 12. Todista edellinen seurauslause.

Määritelmä 4.14. Olkoon Ric] tensorista Ric indeksiä nostamalla saatava(11

)-

tensori (symmetriasyistä ei ole väliä kumpi indeksi nostetaan). Riccin skalaari S ∈C∞(M) on kontraktio S = C1

1 (Ric]).

Proposition 4.15. Olkoon Ei ortonormaali kehys TM :llä. Tällöin

i) S =∑

j Ric(Ej , Ej).

ii) S =∑

i,j Rm(Ei, Ej , Ej , Ei).

Proposition 4.16.

i) Olkoon X ∈ TpM , ‖X‖ = 1. Täydennetään tämä ortonormaaliksi kannak-si X,X2, . . . , Xn. Tällöin Ric(X,X) on summa leikkauskaarevuuksia tasoilleπ(X,Xj) eli

Ric(X,X) =n∑j=2

K(X,Xj)

ii) Olkoon Yi ortonormaali kanta TpM :lle. Riccin skalaari on pareittaistenleikkauskaarevuuksien summa, eli

S =∑i 6=j

K(Xi, Xj)

17

5 Lisäkappale*: Pseudo-Riemannin monistot

Pseudo-Riemannin monistojen määrittelemiseksi kerrataan hieman multilineaariku-vausten käsitteitä.

Määritelmä 5.1. Olkoon V vektoriavaruus. Multilineaarikuvaus b : V × V → R on

i) ei-degeneroitunut, jos ehdosta b(v, w) = 0 kaikilla v ∈ V seuraa aina w = 0.

ii) negatiividefiniitti, jos b(v, v) < 0 kaikilla v ∈ V \0.

Ei-degenoitunut ja symmetrinen multilineaarikuvaus b : V × V → R on skalaaritulovektoriavaruudessa V .

Määritelmä 5.2. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja b : V × V → Rskalaaritulo. Sen indeksi on

ind(b) := maxdimW |W ⊂ V aliavaruus s.e. b on negatiividefiniitti W :llä

Määritelmä 5.3. Olkoon M differentioituva monisto. Tensorikenttä g : M → T 02M

on pseudometriikka (käytetään myös nimeä metrinen tensori), jos kaikille p ∈ Mon gp skalaaritulo TpM :llä, jonka indeksi ei riipu pisteestä p. Pari (M, g) on täl-löin pseudo-Riemannin monisto. Jos pseudometriikan indeksi on 1, niin (M, g) onLorentzin monisto.

Huomautus. Kahden pseudo-Riemannin moniston konformaalisuus ja isometrisuusmääritellään samoin kuin Riemannin monistoille, ks. määritelmä 1.9. Tällä isomet-risuuden käsitteellä ei kuitenkaan ole mitään relaatiota metriseen isometrisuuteen,sillä vastoin kuin Riemannin monisto, pseudo-Riemannin monisto ei ole metrinenavaruus. Topologinen avaruus se tietysti on, varustettuna moniston alkuperäisellätopologialla.

Esimerkki. Avaruus R4 varustettuna pseudometriikalla, jota vastaava matriisi luon-nollisessa kannassa on diag(−1, 1, 1, 1) on Lorentz-monisto nimeltään Minkowskinavaruus. Minkowskin avaruuden isometrioiden (ks. edellinen huomautus) ryhmääsanotaan Poincarén ryhmäksi, ja niitä Poincarén ryhmän alkioita F , joille F (0) = 0Lorentzin muunnoksiksi.

Huomautus. Joskus matematiikassa esiintyy myös termi ”semi-Riemannin monisto”,jolla tarkoitetaan pseudo-Riemannin monistoa. Näitä ei tule sekoittaa hyvin erilai-seen käsitteeseen subRiemannin monisto.

Koska konnektioiden määrittelemiseen ei tarvita metriikkaa, on kaikki konnek-tioita koskevat asiat triviaalisti käytettävissä pseudo-Riemannin monistoilla. Itsea-siassa Levi-Civita-konnektion määritelmä voidaan asettaa samoin kuin Riemannilai-sessa tapauksessa, sen seurauksena on myös luonnollinen geodeesin määritelmä. MyösRiemannin kaarevuustensori kontraktioineen voidaan määritellä täsmälleen samoillalausekkeilla pseudometriikan g suhteen. Kaikki Riemannin geometrian tulokset eivätsilti ole automaattisesti voimassa: Ei mennä tässä asiaan tarkemmin. Esimerkkinäjo ortonormaalin vektorijoukon määrittelemisessä tulee olla huolellinen:

18

Määritelmä 5.4. Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja b : V × V → Rskalaaritulo. Joukko vektoreja V1, . . . , Vk on

i) b-ortogonaalinen, jos b(Vi, Vj) = 0 aina kun i 6= j.

ii) b-ortonormaali, jos se on b-ortogonaalinen ja |b(Vi, Vi)| = 1 kaikilla i.

Määritelmä 5.5. Olkoon (M, g) pseudo-Riemannin monisto. VektoriX ∈ TpM\0on

i) paikanluonteinen, jos gp(X,X) > 0.

ii) ajanluonteinen, jos gp(X,X) < 0.

iii) valonluonteinen, jos gp(X,X) = 0.

Vastaavasti käyrä σ : [a, b] → M on paikan-/ajan-/valonluonteinen, jos σ′(t) onpaikan-/ajan-/valonluonteinen kaikilla t ∈ [a, b].

Käyrien pituudet ei enää mene luonnollisesti, mutta tiettyjen käyrien pituudetvoi määritellä, ja nämä tietyt käyrät ovatkin muita tarpeellisempia ylipäätään.

Määritelmä 5.6. Olkoon (M, g) pseudo-Riemannin monisto ja σ : [a, b]→M käyrä.Sen pituus on

i) L(σ) :=∫ ba

√gσ(t)(σ′(t), σ′(t)) dt jos σ on paikanluonteinen.

ii) L(σ) :=∫ ba

√−gσ(t)(σ′(t), σ′(t)) dt jos σ on ajanluonteinen.

iii) L(σ) = 0 jos σ on valonluonteinen.

Muiden käyrien pituuksia ei määritellä.

Huomautus. Aiemmin todettiin, että Levi-Civita-konnektiota käyttäen on mahdol-lista määritellä ”metrinen” geodeesi myös pseudo-Riemannin monistoilla. Onko geo-deeseilla ja käyrien pituuksilla nyt jotain tekemistä keskenään? On: osoittautuu, ettäjos kahden pisteen p ja q välillä ylipäätään kulkee ajanluonteisia käyriä, niin geodee-si p:stä q:hun on pisin ajanluonteinen käyrä, joka näitä pisteitä yhdistää. Tämäon helppo ymmärtää Minkowskin avaruudessa: jos kaksi pistettä voidaan yhdistääajanluonteisella käyrällä, niin käyttäen peilejä ne voidaan ilmeisesti yhdistää valon-luonteisella käyrällä, jonka pituus siis on nolla. Ilmeisesti myöskään pisteitä ei voidayhdistää kovin pitkillä käyrillä: jos käyrä menee pisteestä q ”ohi”, sen on mahdo-tonta palata takaisin. Merkittävä ”zigzag” ennen pisteen q saavuttamista ei myös-kään tule kysymykseen rikkomatta käyrän ajanluonteisuutta, ja itseasiassa tällaisetzigzag-liikkeet nimenomaan lyhentävät käyrää.

19

5.1 Suhteellisuusteoria

Suhteellisuusteorialla on seuraavat postulaatit (eli aksioomat):

i) Avaruusaikaa, jolla tarkoitetaan pistetapahtumien joukkoa, kuvaa 4-ulotteinenLorentzin monisto (jonka globaali topologia on tuntematon).

ii) Kun havaitsija kulkee pisteestä p pisteeseen q käyrää σ pitkin, on havaitsijankellonlukemien ero täsmälleen käyrän σ pituus.

iii) Valohiukkaset kulkevat valonluonteisia Levi-Civita-konnektion geodeeseja pit-kin.

iv) Muista vuorovaikutuksista kuin gravitaatiosta vapaat massalliset hiukkasetkulkevat ajanluonteisia Levi-Civita-konnektion geodeeseja pitkin.

v) Riemannin kaarevuustensori toteuttaa Einsteinin kenttäyhtälön

Ric− 1

2Sg = T

missä S on Riccin skalaari ja T : M → T 02M on materian jännitys-energia-

tensori (myös ”materiatensori”).

Huomautus. Postulaatin 5 mukaisesti Riemannin tai pseudo-Riemannin monistoja,jotka toteuttavat tyhjiön kenttäyhtälön Ric = 1

2Sg sanotaan (matematiikassa) Eins-teinin monistoiksi.

Huomautus. Historiallisesti Einsteinin kenttäyhtälössä on myös esiintynyt kosmolo-ginen vakio, skalaarikenttä Λ, jolle

Ric− 1

2Sg + Λ = T

Nykypäivänä kosmologiassa on kuitenkin tapana pitää kosmologista vakiota ”tyhjiö-energiana”, jolloin se imetään materiatensoriin mukaan määrittelemällä T := T −Λ.

20