riemannov upodobitveni izrek -...

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

NINA POTOCAR

RIEMANNOV UPODOBITVENI

IZREK

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

STUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI UCITELJ

SMER: MATEMATIKA - RACUNALNISTVO

KANDIDATKA: NINA POTOCAR

MENTOR: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR

RIEMANNOV UPODOBITVENI

IZREK

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

Zahvala

Iskreno se zahvaljujem svojemu mentorju izr. prof. dr. Marku Slaparju za vse

strokovne nasvete in velikodusno vsestransko pomoc pri izdelavi diplomskega dela.

Se posebej se zahvaljujem mami, ki me je v vseh teh letih studija tako financno kot

moralno podpirala in me usmerjala po pravi poti.

Na koncu iskrena hvala tudi Luku, Tjasi in Sari ter ostalim prijateljem, ki so me

tekom studija spodbujali in mi v tezkih trenutkih stali ob strani.

I

Povzetek

V prvem delu diplomske naloge najprej predstavimo osnovne definicije in lastno-

sti kompleksne ravnine. V nadaljevanju se osredotocimo na kompleksne funkcije

in lomljene linearne transformacije. Eno izmed bolj pomembnih poglavij je tudi

Schwarzova lema in avtomorfizmi kroga. V drugem delu predstavimo Riemannov

upodobitveni izrek, ki nam pove, da je vsako enostavno povezano obmocje v C,

razen cele kompleksne ravnine, biholomorfno ekvivalentno enotskemu disku. Nato

razlozimo, zakaj izrek ne velja za celotno kompleksno ravnino. Na koncu sledijo

primeri uporabe Riemannovega upodobitvenega izreka.

Kljucne besede: holomorfne funkcije, lomljene linearne preslikave, Schwarzova

lema, Riemannov upodobitveni izrek

Abstract

In the first part of the thesis, we introduce the basic definitions and properties

of the complex plane. We then focus on complex functions and linear fractional

transformations. One of the main chapters of the thesis is the one regarding the

Schwarz lemma and the automorphisms of the unit disk. In the second part of the

diploma thesis we present the Riemann mapping theorey, which states that every

simply connected domain in C, except for the whole plane, is biholomorphically

equivalent to the unit disc. We then explain why the theorey does not apply to the

whole complex plane. The final part of the thesis contains examples of the Riemann

mapping theorey.

Keywords: holomorphic functions, linear fractional transformations, Schwarz lemma,

Riemann mapping theorem

III

Kazalo

Poglavje 1. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Poglavje 2. Kompleksna ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Kompleksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Lomljene linearne transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3. Konformnost holomorfne preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Schwarzova lema in avtomorfizmi kroga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Poglavje 3. Riemannov upodobitveni izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1. Zgodovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Riemannov upodobitveni izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3. Uporaba Riemannovega upodobitvenega izreka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

IV

POGLAVJE 1

Uvod

Diplomska naloga je sestavljena iz dveh vecjih poglavij.

V prvem delu diplome si pogledamo osnovne lastnosti kompleksne ravnine teh holo-

morfnih funkcij. Bolj natancno si pogledamo lomljene linearne preslikave. Lomljene

linearne preslikave lahko razumemo kot holomorfne avtomorfizme razsirjene komple-

ksne ravnine, ki kot take slikajo kroznice v kroznice oziroma premice in kroznice v

premice in kroznice, ce jih razumemo definirane zgolj na ustrezni podmnozici kom-

pleksne ravnine. To lahko hitro razberemo iz dejstva, da lahko vsako linerano presli-

kavo zapisemo morda kot kompozitum translacije, rotacije, homotetije in inverzije.

V naslednjem podpoglavju pokazemo, da so injektivne holomorfne preslikave vedno

konformne preslikave, kar pomeni, da ohranjajo kote in smer rotacije. Eno izmed

bolj pomembnih poglavij je poglavje o Schwarzovi lemi in avtomorfizmih enotskega

diska. S pomocjo Schwarzove leme lahko namrec popolnoma karakteriziramo grupo

avtomorfizmov enotskega diska kot ustrezno podgrupo linearno lomljenih transfor-

macij.

V drugem delu diplome se osredotocimo na sam Riemannov upodobitveni izrek.

Na zacetku predstavimo, kdo je bil matematik, po katerem je izrek dobil ime, kdaj

je bil izrek predstavljen in kdaj je bil dokazan. Po kratkem uvodu predstavimo

izrek in obrazlozimo, zakaj izrek ne velja za celotno kompleksno ravnino. Na koncu

diplomske naloge sledijo se stirje primeri uporabe Riemannovega upodobitvenega

izreka.

1

POGLAVJE 2

Kompleksna ravnina

Glavni viri tega poglavja so [2], [5] in [6].

Kompleksno ravnino lahko enacimo z ravnino R2. Razdalja med dvema tockama

z1 = x1+iy1 in z2 = x2+iy2 je podana z d(z1, z2) = |z1−z2| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

in je enaka razdalji med tockama (x1, y1) ter (x2, y2) v R2.

Z D(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r} in D(a, r) = {z ∈ C; |z − a| ≤ r} podamo

odprt in zaprt krog s polmerom r okrog tocke a.

Slika 1: Odprt in zaprt krog s srediscem v a in radijem r

Definicija 2.1. Mnozica D ⊂ C je odprta, ce za vsako tocko a ∈ D obstaja r > 0,

da je D(a, r) ⊂ D. Mnozica Z ⊂ C je zaprta, ce je njen komplement odprt.

Definicija 2.2. Odprta mnozica D ⊂ C je povezana, ce je ne moremo zapisati kot

disjunktno unijo dveh nepraznih odprtih mnozic. Mnozica D ⊂ C je enostavno

povezana ce je vsaka sklenjena pot v D homotopna konstanti.

2

Dve poti sta γ0, γ1 : [0, 1] → D ⊂ C sta homotopni v D, ce obstaja zvezna

preslikava F : [0, 1]× [0, 1]→ D, da velja F (t, 0) = γ0(t) in F (t, 1) = γ1(t).

Slika 2: Homotopija med potema γ0 in γ1

2.1. Kompleksne funkcije


Definicija 2.3. Kompleksna funkcija je preslikava f : D → C, kjer je D pod-

mnozica kompleksnih stevil.

Vsako kompleksno funkcijo lahko zapisemo v obliki f(z) = f(x + iy) = u(x, y) +

iv(x, y), kjer je z = x + iy in sta u, v : D → R realni fuknciji na mnozici D in kjer

D razumemo kot podmnozico R2.

Na ta nacin si lahko kompleksne funkcije predstavljamo kot preslikave:

f : D → R2, D ⊂ R2.

Definicija 2.4. Funkcija f je kompleksno odvedljiva v a z odvodom f ′(a), ce

obstaja limita

f ′(a) = limz→a

f(z)− f(a)

z − a,

pri cemer velja f : D → C ter a ∈ D.

Definicija 2.5. Kompleksna funkcija f : D → C je holomorfna na D, ce je

kompleksno odvedljiva v vsaki tocki a ∈ D pri cemer je D odprta mnozica.

Definicija 2.6. Naj bosta D1 in D2 obmocji v C. Preslikava f : D1 → D2 je

biholomorfna, ce je f bijektivna in ce sta f in f−1, f−1 : D2 → D1, holomorfni.

Ce je D1 = D2 = D, potem se biholomorfne preslikave f : D → D imenujejo

holomorfni avtomorfizmi obmocja D.

Mnozico vseh holomorfnih avtomorfizmov oznacimo z Aut(D).

3

2.2. Lomljene linearne transformacije

Glavna vira tega poglavja sta [2] in [6].

Definicija 2.7. Preslikava

f(z) =az + b

cz + d,

kjer so a, b, c, d ∈ C, se imenuje lomljena linearna preslikava (oz. lomljena line-

arna transformacija). Ce dodatno velja ad− bc 6= 0 je f Mobiusova transforma-

cija.

Mobiusovo transformacijo lahko razumemo kot bijekcijo f : C \ {−dc} → {a

c}, ce

c 6= 0 oziroma kot bijekcijo f : C→ C, ce je c = 0. Inverz Mobiusove transformacije

pa je zopet Mobiusova transformacija.

Iz az+bcz+d

= w izracunamo z. Torej

w(cz + d) = az + b

wcz + wd− az − b = 0

z(wc− a) = −wd+ b

z =(−d)w + b

cw − a.

Iz zacetnega pogoja ad− bc 6= 0 sledi

(−d)(−a)− bc = ad− bc 6= 0.

Lomljeno linearno preslikavo

z 7→ az + b

cz + d= w

lahko gledamo tudi kot preslikavo Riemannove sfere S = C ∪ {∞} nase. V

primeru, ko je c 6= 0 je

limz→∞

f(z) =a

c

in lahko definiramo f(∞) = ac. Podobno je

limz→− d

c

f(z) =∞

in zato f(−dc) =∞.

4

Opomba 2.8. Preslikava

z 7→ az + b

cz + d= F (z),

je holomorfna povsod, kjer je cz + d 6= 0 oziroma z 6= −dc. Pri primerni definiciji

holomorfnosti je preslikava avtomorfizem Riemannove sfere. Izkaze se, da so Mobi-

usova transformacije natanko vsi avtomorfizmi Riemannove sfere. Poseben primer,

ko je c = 0,

F (z) =a

dz +

b

d,

tedaj F imenujemo afina linearna preslikava.

Vsako lomljeno linearno transformacijo je mogoce zapisati kot kompozitum preslikav

naslednjih tipov:

• translacija: z 7→ z + b;

• rotacija: z 7→ az, |a| = 1 (a = eiw);

• homotetija: z 7→ rz, r > 0 (r ∈ R);

• inverzija: z 7→ 1z.

Imamo linearno lomljeno preslikavo f(z) = az+bcz+d

. Poracunamo:

f(z) =a

c

z + ba

+ dc− d

c

z + dc

f(z) =a

c(1 +

ba− d

c

z + dc

) =a

c+bc− adc2z + cd

.

Iz tega lahko izpeljemo, da se zgornje preslikave: translacije, rotacije in homotetija

slikajo kroznice v kroznice in premice v premice.

Inverzija pa slika premice v premice ali kroznice in kroznice v kroznice ali pre-

mice.

Trditev 2.9. Vsaka Mobiusova transformacija f : C → C preslika premice in

kroznice v premice in kroznice.

Izrek 2.10. Za vsaki trojici med seboj razlicnih stevil {a, b, c} in {a′, b′, c′} iz C ∪{∞} = S, obstaja natanko ena lomljena linearna transformacija ϕ, za ketero velja:

ϕ(a) = a′,

ϕ(b) = b′,

ϕ(c) = c′.

5

Dokaz. Naj bodo a, b, c tri med seboj razlicna kompleksna stevila. Konstrui-

ramo lomljeno linearno transformacijo ϕ, da bo

ϕ(a) = 0

ϕ(b) = 1

ϕ(c) =∞.

Nasa lomljena linearna preslikava je naslednja:

ϕ(z) =(b− c)(z − a)

(b− a)(z − c)

Taka preslikava je ena sama, saj ce je ϕ(a) = 0, mora biti z − a v stevcu, ce je

ϕ(c) = ∞, mora biti z − c v imenovalcu. Ce pa je ϕ(b) = 1 dobimo ravno zgornjo

formulo. Tudi inverz take preslikave je natanko ena lomljena linearna transformacija,

za katero je ψ(0) = a, ψ(1) = b, ψ(∞) = c.

Tako za poljubni trojici med seboj razlicnih stevil {a, b, c} in {a′, b′, c′} obstaja

natanko ena linearna transformacija. �

Posledica 2.11. Vsak odprt krog je mogoce preslikati na vsak drug odprt krog z

lomljeno linearno transformacijo. Prav tako je mogoce vsak odprt krog preslikati z

lomljeno linearno transformacijo na vsako odprto polravnino.

Slika 3: Transformacija ϕ preslika krog D1 na krog D2.

Slika 4: Transformacija ϕ preslika krog D na eno od polravnin.

6

2.3. Konformnost holomorfne preslikave

Glavni vir tega poglavja je [2].

Naj bo f preslikava iz D(a,R) v C. Naj bo f(z) 6= f(a), z ∈ D(a,R)\{a}. Preslikava

f v tocki a ohranja kote, ko gre r → 0 velja

f(a+reiϑ2 )−f(a)|f(a+reiϑ2 )−f(a)|f(a+reiϑ1 )−f(a)|f(a+reiϑ1 )−f(a)|

→ ei(ϑ2−ϑ1).

Opomba 2.12. f(a+ reiϑ2)− f(a) je vektor od f(a) do f(a+ reiϑ2).

Slika 5: Kot med daljicama

Kot med daljicama f(a), f(a+ reiϑ2) in f(a), f(a+ reiϑ1) oznacimo s ϕ. Ce je

f(a+ reiϑ2)− f(a) = |f(a+ reiϑ2)− f(a)|eiw2

f(a+ reiϑ1)− f(a) = |f(a+ reiϑ1)− f(a)|eiw1 ,

kjer je w2 − w1 = ϕ, je


=eiw2

eiw1= ei(w2−w1) = eiϕ.

Pogoj pove, da se koti v limiti ohranjajo. Torej, ce imamo dve krivulji K1 in K2

skozi tocko a, katerih tangenti oklepata kot ϕ, potem sliki f(K1) in f(K2) v tocki

f(a) oklepata isti kot in smer vrtenja se ohranja.

Izrek 2.13. Naj bo f : D(a,R) → C preslikava. Ce f ′(a) obstaja in je f ′(a) 6= 0,

tedaj f v tocki a ohranja kote. Torej je f konformna v a. Obratno, ce je f kot

preslikava z R2 v R2 diferenciabilna v a, ce (Df)(a) 6= 0 in ce f ohranja kote v a,

tedaj f ′(a) obstaja in velja f ′(a) 6= 0.

7

Dokaz. Naj bo f ′(a) = α. Tedaj je

limr→0

f(a+ reiϑ)− f(a)

|f(a+ reiϑ)− f(a)|= lim

r→0

f(a+reiϑ)−f(a)reiϑ

|f(a+reiϑ)−f(a)reiϑ

|= eiϑ

f ′(a)

|f ′(a)|

in zato res velja

limr→0


=eiϑ2 f ′(a)

|f ′(a)|

eiϑ1 f ′(a)|f ′(a)|

= ei(ϑ2−ϑ1).

Obrat: Na zacetku predpostavimo, da je a = 0 in f(a) = 0. Naj bo f : R2 → R2

diferenciabilna in naj bo (Df)(0) 6= 0. Tedaj je

f(z) = αz + βz + o(|z|)

za majhne z ∈ C, kjer sta α, β ∈ C, in nista oba hkrati enaka 0. Naj bo z = x+ iy

in f = u+ iv,

u(x, y) = px+ qy + o((x, y))

v(x, y) = rx+ sy + o((x, y))

torej

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

f(z) = px+ qy + o((x, y)) + i(rx+ sy + o((x, y)))

f(z) = pz + z

2+ q

z − z2i

+ irz + z

2+ is

z − z2i

+ o(|z|)

f(z) = z(p

2+q

2i+ir

2+s

2) + z(

p

2− q

2i+ir

2− s

2) + o(|z|)

f(z) = αz + βz + o(|z|)

Po predpostavki je vsaj eno od stevil p, q, r, s razlicno od 0.[u(x, y)

v(x, y)

]=

[p q

r s

][x

y

]+ o(|(x, y)|)

Ce bi bilo α = β = 0, bi bilo

p

2+q

2i+ir

2+s

2= 0

p

2− q

2i+ir

2− s

2= 0.

Od tod bi sledilop

2+ir

2= 0

q

2i− s = 0

8

in od tod p = r = 0 in q = s = 0. Pridemo do protislovja. Konformnost v tocki 0,

ki smo jo predpostavili pomeni,

αreiϑ2 + βre−iϑ2 + o(r)

|αreiϑ2 + βre−iϑ2 + o(r)||αreiϑ1 + βre−iϑ1 + o(r)|αreiϑ1 + βre−iϑ1 + o(r)

→ eiϑ2

eiϑ1,

pri r → 0, zato

αr + βre−2iϑ2 + o(r)

|αr + βre−2iϑ2 + o(r)||αr + βre−2iϑ1 + o(r)|αr + βre−2iϑ1 + o(r)

→ 1,

pri r → 0, torej

α + βe−2iϑ2 + o(r)r

|α + βe−2iϑ2 + o(r)r||α + βe−2iϑ1 + o(r)

r|

α + βe−2iϑ1 + o(r)r

→ 1.

Sledi

α + βe−2iϑ2

|α + βe−2iϑ2||α + βe−2iϑ1|α + βe−2iϑ1

≡ 1

za vse ϑ1 in vse ϑ2.

Fiksirajmo ϑ. Dobimo

α + βe−2iϑ2

|α + βe−2iϑ2|≡ A, A ∈ C.

Ker α, β nista oba hkrati enaka 0, je A 6= 0.

α + βe−2iϑ2 = A|α + βe−2iϑ2|

Argument kompleksnega stevila na desni je argument stevila A. To pa je stevilo, ki

za vse ϑ lezi na istem poltraku skozi A.

Ce je β 6= 0, potem leva stran pretece celo kroznico, ki ni vsebovana v poltraku.

Sledi β = 0. Torej vemo α 6= 0 in se f(z) = αz + o(|z|), torej

f ′(0) = limz→0

f(z)

z= α + lim

z→0

o(|z|)z

= α.

Torej je f odvedljiva v tocki 0 in njen odvod je razlicen od 0. �

Opomba 2.14. Holomorfni preslikavi, katere odvod je razlicen od 0, pravimo kon-

formna preslikava (ohranja kote in smer vrtenja). Injektivna holomorfna preslikava

je vedno konformna, saj je zaradi injektivnosti odvod razlicen od 0.

9

2.4. Schwarzova lema in avtomorfizmi kroga

Glavna vira tega poglavja sta [1] in [2].

V tem razdelku si bomo pogledali primere avtomorfizmov, Schwarzovo lemo in do-

kaz. Opisemo lahko dva tipa avtomorfizmov enotskega diska in izkaze se, da ravno

ta dva tipa avtomorfizmov enotskega diska dolocata vse avtomorfizme D.Prvi tip avtomorfizmov enotskega diska so rotacije. Podane so kot z 7→ eiϑ, gre za

rotacijo za kot ϑ.

Drugi tip avtomorfizmov enotskega diska so Mobiusove transformacije posebne

vrste.

Definicija 2.15. Za vsak α ∈ D definiramo naslednjo fukncijo

ϕα(z) :=z − α1− αz

, z ∈ C, z 6= 1

α.

Transformacijo ϕα imenujemo Mobiusova transformacija.

Slika 6: Mobiusova transformacija

Trditev 2.16. Za vsak α ∈ D je ϕα (zozena na disk) holomorfen avtomorfizem

diska. Natancneje ϕα(D) = D. Velja tudi:

ϕ′α(0) = 1− |α|2

ϕ′α(α) =1

1− |α|2

Dokaz. Velja

ϕα(1) =1− α1− α

ϕα(−1) =−1− α1 + α

ϕα(i) =i− α1− iα

in preprosto vidimo, da velja

|ϕα(1)| = |ϕα(−1)| = |ϕα(i)| = 1.

10

Ker linearne lomljene preslikave kroznice slikajo v kroznice in je ϕα(0) = −α ∈ D,

je ϕα res avtomorfizem diska. Z odvajanjem dobimo

ϕ′α(z) =(1− αz) + (z − α)α

(1− αz)2

ϕ′α(z) =1− αα

(1− αz)2,

od koder sledi

ϕ′α(0) = 1− |α|2

ϕ′α(α) =1

1− |α|2.

�

Izrek 2.17. (Schwarzova lema) Naj bo f(z) : D → D holomorfna funkcija in

velja f(0) = 0. Tedaj za vsak z ∈ D velja naslednje:

|f(z)| ≤ |z| in |f ′(0)| ≤ 1.

Ce velja enakost |f(z)| = |z| za nek z 6= 0, potem je f(z) = eiϑz, ϑ ∈ R (rotacija za

kot ϑ).

Ce je |f(z)| = |z| za nek z ∈ D\{0}, je |g(z)| = 1. Po princpu maksimima je g(z)

konstantna. Zato je f(z) = eiθz za vsak z ∈ D.

Dokaz. Ker je f(0) = 0, ima f(z)z

v 0 odpravljivo singularnost, saj je

f(z) = f(0) + c1z + c2z2 + . . .

f(z) = z (c1 + c2z2 + c3z

3 + . . .)︸︷︷︸g(z)

,

torej

g(z) =f(z)

z,

kjer je funkcija g holomorfna na enotskem krogu. Velja |zg(z)| = |f(z)| ≤ 1, z ∈D (D = {z ∈ C : |z| < 1}), |z| = r < 1, r|g(z)| ≤ 1, |g(z)| ≤ 1

r. Po principu maksima

sledi |g(z)| ≤ 1r

za vsak z, |z| ≤ r. Posljemo r proti 1. V limiti dobimo |g(z)| ≤ 1 za

vsak z, |z| ≤ 1. Od tod sledi

|f(z)| = |zg(z)|

|f(z)| = |z||g(z)| ≤ |z|,

saj je |g(z)| ≤ 1.

Vemo, da je f(z) = zg(z) za vsak z ∈ D. Sledi f ′(0) = g(0), torej

|f ′(0)| = |g(0)| ≤ 1.

�

11

Posledica 2.18. (Posplosena Schwarzova lema)Naj bo f : D→ D holomorfna

funkcija, f(0) =: α ∈ D. Velja:

|f ′(0)| ≤ 1− |α|2.

Ce velja enakost je f avtomorfizem diska.

g(z) := ϕα(f(z)), z ∈ D

g : D→ D, g(0) = 0

Slika 7: Funkcija f je holomorfna, f : D→ D.

Po Schwarzovi lemi velja |g′(0)| ≤ 1. Ce velja enakost je g rotacija ter posledicno

g ∈ AutD in g(z) = eiϑz, ϑ ∈ R.

g′(0) = ϕ′α(f(0))f ′(0) = ϕ′α(α)f ′(0),

torej

|ϕ′α| |f ′(0)| ≤ 1,

torej

|f ′(0)| ≤ 1

|ϕ′α(α)|= 1− |α|2.

Izrek 2.19. Naj bo f nek holomorfen avtomorfizem diska in naj bo α ∈ D tista

tocka, ki jo f preslika v 0 (f(α) = 0). Potem je f oblike:

f(z) = eiϑz − α1− αz

, ϑ ∈ R.

Dokaz. Naj bo f(0) = α in definiramo h(z) = φα ◦ f . Po Schwarzovi lemi je

|h(z)| ≤ |z|. Ker je tudi |h−1(z)| ≤ |z| je |h(z)| = |z| in zato f(z) = eiθφα. �

Posledica 2.20.

Aut(D) = {z 7→ eiϑz − α1− αz

: ϑ ∈ R, α ∈ D}

12

POGLAVJE 3

Riemannov upodobitveni izrek

3.1. Zgodovina

Glavni viri tega poglavja so [3], [4], in [8].

Georg Friedrich Bernhard Riemann je bil nemski matematik, ki se je rodil 17. sep-

tembra 1826 in umrl leta 1866. Veliko je prispeval na podrocju analize, teorije stevil

in geometrije. Na podrocju realne analize je poznan predvsem po t. i. Riemannovem

integralu, pri kompleksni analizi pa zaradi Riemannovih sfer in seveda Riemanno-

vega upodobitvenega izreka.

Riemann je napovedal upodobitveni izrek v svoji disertacij, ki jo je zagovarjal v

Gottingenu leta 1851. Njegova verzija je bila seveda pomanjkljivejsa, kot je danasnja

in tudi dokaz ni bil povsem natancen. Kasneje so upodobitveni izrek in dokaz po-

pravili razlicni matematiki. Matematik William Fogg Osgood pa je bil prvi, ki je

dokazal celoten izrek leta 1900.

Riemannov upodobitveni izrek je eden izmed izjemnih odkritij 19. stoletja na po-

drocju matematike. Tudi danes, vec kot 150 let kasneje, je dejstvo, da je vsako eno-

stavno povezano obmocje v kompleksni ravnini (razen cele ravnine) biholomorfno

enotskemu disku, presenetljivo.

13

3.2. Riemannov upodobitveni izrek


Izrek 3.1. (Liouvillov izrek) Ce je f : C→ C holomorfna in omejena, potem je

f konstantna.

Izrek 3.2. (Riemannov upodobitveni izrek)Vsako enostavno povezano obmocje

v C, razen cele ravnine, je biholomorfno ekvivalentno krogu, t. j. za vsako obmocje

D obstaja biholomorfna preslikava

F : D → D.

Slika 8: Riemannov upodobitveni izrek

Opomba 3.3. Ce je D = C, tedaj take preslikave ni. Ce je F : C → D holo-

morfna preslikava, je F omejena holomorfna fukncija na C, taka pa mora biti po

Liouvilleovem izreku konstantna.

Riemannov upodobitveni izrek lahko ”prenesemo”na Riemannove sfere: Ce je U

enostavno povezana odprta podmnozica Riemannove sfere, potem je U biholomorfna

Riemannovi sferi, kompleksni ravnini ali odprtemu disku.

14

3.3. Uporaba Riemannovega upodobitvenega izreka


Primer 3.4. Preslikajmo zgornjo polovico ravnine na enotski disk.

Zgornja polovica ravnine je definirana kot:

H = {z ∈ C | =(z) > 0}

H = {z ∈ C | 0 < arg z < π}.

Preslikava

ϕ(z) =z − iz + i

preslika zgornjo polovico ravnine na enotski disk D2.

Tocke 0,−1, 1,∞ in i se s pomocjo preslikave ϕ(z) slikajo v naslednje tocke:

ϕ(0) = −1,

ϕ(−1) = i,

ϕ(1) = −i,

ϕ(∞) = 1 in

ϕ(i) = 0.

Opomba 3.5. Ponavadi je lazje najprej preslikati obmocje v zgornjo polovico ravnine

ter nato v enotski disk. To opazimo tudi v 3. primeru.

Primer 3.6. Preslikajmo poljuben odprt disk na enotski disk.

Preslikava, ki preslika D(z0; r) na D, je sestavljena iz dveh preslikav, in sicer iz

translacije in homotetije. S pomocjo translacije preslikamo z → z − z0. To je biho-

lomorfna preslikava, ki slika D(z0; r)→ D(0, r).

Naslednja preslikava je preprosta homotetija z → zr. Tudi ta preslikava je biholo-

morfna in slika D(0, r)→ D(0, 1) = D.

Torej je preslikava, ki jo isemo kompozitum translacije in homotetije:

z → 1

r(z − z0).

Primer 3.7. Preslikajmo obmocje 0 ≤ y ≤ 2, −∞ < x < ∞ na enotski disk

|w| ≤ 1.

15

Slika 9: Obmocje 0 ≤ y ≤ 2, −∞ < x <∞

Tezko enostavno vidimo, katera preslikava bi direktno preslikala celotno obmocje na

enotski disk, poznamo pa preslikavo, ki celotno zgornjo polovico ravnine preslika na

disk. Da nase obmocje preslikamo na enotski disk, tako potrebujemo dve preslikavi.

Preslikava w = eπz/2 preslika nase obmocje biholomorfno na celotno zgornjo polrav-

nino.

Slika 10: Novo obmocje je preslikano s w = eπz/2.

Opazimo, da sta tocki D in E = 0, ki sta lezali na x-osi sedaj lezita na pozitivni

u-osi, kot tocki D′ in E ′ = 1.

Sedaj, ko smo nase obmocje preslikali v celotno zgornje obmocje, lahko preslikamo

na enotski disk. Zgornjo polovico ravnine preslikamo na disk z naslednjo preslikavo:

g(z) =i− zi+ z

.

Sedaj zdruzimo obe preslikavi in dobimo naslednjo:

w = g(f(z)) =i− eπz/2

i+ eπz/2.

To je nasa preslikava, ki preslika obmocje 0 ≤ y ≤ 2, −∞ < x <∞ na enotski disk

|w| ≤ 1.

16

Slika 11: Novo obmocje preslikano s w = g(f(z)) = i−eπz/2i+eπz/2

.

Opazimo, da se negativna realna os preslika na interval (0, 1]. To nam omogoci nasa

prva preslikava w = eπz/2. Druga preslikava g(z) = i−zi+z

preslika interval od 0 do

C = 1 na lok od 1 do C ′ = i na enotskemu disku |w| = 1. Tako se negativna realna

os preslika na lok od 0 do i na enotskem disku s pomocjo

w =i− eπz/2

i+ eπz/2.

Primer 3.8. Preslikajmo obmocje G := {z : |z| < 1, Re(z) > 0} na enotski disk.

Slika 12: Obmocje G := {z : |z| < 1, Re(z) > 0}

Ker ne poznamo direktne preslikave na enotski disk, gremo po korakih. Najprej

bomo nase obmocje preslikali v prvi kvadrant kompleksne ravine, nato v zgornjo

polranino in na koncu se na enotski krog.

Poiscemo presecisce roba nasega obmocja s koordinatinim sistemom. Opazimo, da

sta to i in −i. Sedaj zelimo poiskati tako preslikavo, ki nam eno izmed tock preslika

v 0 in eno v ∞. Z malo premisleka ugotovimo, da to lahko storimo s pomocjo

Mobiusove preslikave:

z 7→ z − iz + i

.

17

Preslikava nam lok in premer preslika v dva zarka z izhodiscem v 0. Oba zarka

gresta nato proti ∞. Tako je nase novo obmocje omejeno s tema dvema zarkoma.

Poglejmo si nasa zarka. Zadostuje pogledati, kam se slika ena tocka iz posameznega

zarka (lok in premer). Ce si izberemo Re(z) = 0 in 1 naj bo tocka na nasem loku,

potem se ti dve nasi tocki preslikajo v −1 in −i. Tako sta nasa zarka negativna

realna in negativna imaginarna os. Ker zelimo, da je spodnji del loka na pozitivni

realni osi, naso preslikavo pomnozimo z −1.

Tako imamo preslikavo, ki nase obmocje preslika na desno polovico ravnine z

z 7→ −z − iz + i

.

Slika 13: Obmocje desne zgornje polovice ravnine

Ker poznamo preslikavo zgornje polovice ravnine na enotski disk, nase novo obmocje

preslikamo na zgornjo polovico ravnine. To storimo s pomocjo preslikave z 7→ z2.

Torej:

z 7→ (z − i)2

(z + i)2.

Sedaj imamo obmocje zgornje polovice ravnine, kar pa znamo preslikati na disk.

Slika 14: Obmocje zgornje polovice ravnine

18

Nasa koncna preslikava, ki preslika del diska na enotski disk:

z 7→ −i z2 + 2z − 1

z2 − 2z − 1.

Slika 15: Enotski disk

19

Literatura

[1] Chaplin R. Automorphisms of the Unit Disc (2. 3. 2015)

Dostopno prek: http://people.ds.cam.ac.uk/rc476/complexanalysis/autD.pdf (10. 7.

2017).

[2] Globevnik J., Brojan M. (2010). Skripta: Analiza II.

Dostopno prek: http://www.fmf.uni-lj.si/~globevnik/skriptaII.pdf (26. 3. 2017).

[3] Greene R., Kang-Tae K. (2007). The Riemann mapping theorem drom Riemann’s viewpoint.

Cornell University.

Dostopno prek: https://arxiv.org/pdf/1604.04071.pdf(20. 2. 2017).

[4] Riemann’s mapping theorem. (October 25, 2016)

Dostopno prek: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT4800/h16/riemann.

pdf (20. 2. 2017).

[5] Rudin W. (1987). Real and complex analysis. Singapore: McGraw-Hill Book Company.

[6] Slapar M. (2012). Skripta: Osnove kompleksne analize.

Dostopno prek: http://hrast.pef.uni-lj.si/slaparma/KompleksnaAnaliza.pdf(20. 3.

2017).

[7] Tillmann S. (2007). Complex analysis: Riemann mapping theorem and Riemann surfaces.

University of Melbourne.

Dostopno prek: http://www.maths.usyd.edu.au/u/tillmann/2007-complex/

ComAna-Lectures.pdf(20. 2. 2017).

[8] Bernhard Riemann. Wikipedia.

Dostopno prek: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann (25. 3. 2017).

[9] D. Shanahan P., G. Zill D.(2003). A First Course in Complex Analysis with Applications.

Canada: Jones and Bartkett publishers.

[10] Mathematics. (30. 6. 2014)

Dostopno prek: https://math.stackexchange.com/questions/882147/

find-a-conformal-map-from-semi-disc-onto-unit-disc (10. 7. 2017).

21

riemannov upodobitveni izrek -...

Documents