riemannsche zahlensphäre

5/17/2018 Riemannsche Zahlensphäre - slidepdf.com

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Die Riemannsche Zahlensphare

Elisabeth Loschberger und Christine Fliedl

8. Mai 2012

1 Grundlagen und Wiederholung

Definitionen

holomorph Sei U eine offene Teilmenge von C. Funktionen f : U ⊂ C → C die auf ganzU komplex-differenzierbar sind, nennt man holomorph auf U.

diskret: Eine Teilmenge X ⊂ Y heißt diskret , wenn es zu jedem Punkt x ∈ X eineUmgebung U(x) ⊂ Y gibt, die x als einzigen Punkt von X enthalt, d.h U∩X={x} .Anschaulich: die Elemente einer diskreten Menge sind voneinander ”isoliert”.

biholomorph: Eine biholomorphe Abbildung ist eine bijektive holomorphe Abbildung

mit holomorpher Umkehrfunktion.

meromorphe Funktion Eine meromorphe Funktion f auf einem Gebiet G ist eineaußerhalb einer diskreten Teilmenge P f von G holomorphe Funktion f : G\P f →C, diein den Pukten von P f Pole hat.

punktierte Umgebung In einem metrischen Raum (M,d) sieht eine punktierte ε -Umgebung folgendermaßen aus:

U ε : = {y ∈ M |0 < d(x, y) < ε}

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2 Riemannsche Zahlensphare

Wir erganzen die komplexe Zahlenebene C durch einen Punkt ∞ zu einem kompaktenRaum C = C ∪ {∞}Wir setzten also C = C ∪ {∞} und nennen ∞ den ”unendlich fernen Punkt”.Man nennt C die abgeschlossene Ebene oder die Riemannsche Zahlensph¨ are.

Wir betrachten den R3 mit den Koordinaten x1, x2 und x3 und identifizieren C mit der(x1,x2) Ebene indem wir z=x1+ix2 setzten. Die zweidimensionale Einheitssphare

S 2 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1+ x2

2+ x2

3= 1}

projizieren wir (wie im Bild angedeutet) vom ”Nordpol” (0,0,1) aus stereographisch auf C. Dadurch erhalten wir eine bijektive stetige Abbildung:

ϕ : S 2 → C, ϕ(x1, x2, x3) =1

1 − x3

(x1 + ix2)

mit Umkehrabbildung

ϕ−1 : C → S 2, ϕ−1(x + iy) =1

x2 + y2 + 1(2x, 2y, x2 + y2 − 1)

Definitionen 2.1: Kompaktheitsbegriff

Uberdeckung Sei X eine Menge. Eine ¨ Uberdeckung von X ist eine durch eine Menge Iindizierte Ansammlung V={U i}i∈I von Teilmengen U i⊂X, so dass die Vereinigung dieserTeilmengen der gesamte Raum X ist:

i∈I

U i = X.

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endlich Eine Uberdeckung heißt endlich , wenn die Menge V bzw die Indexmenge Iendlich ist.

Teiluberdeckung Eine Teil¨ uberdeckung von V (bzw. {U i}i∈I ) ist eine Teilmenge von V,die immer noch eine Uberdeckung ist (bzw. eine Teilmenge J ⊂I, so dass die Ansammlung

{U i}i∈J immer noch eine Uberdeckung ist).

offene Uberdeckung Ist (X,d) ein metrischer Raum, so ist eine offene ¨ Uberdeckung

von X eine Uberdeckung, die nur aus offenen Mengen besteht; im Fall {U i}i∈I heisst das,dass die Menge U i fur jedes i ∈ I offen in (X,d) ist.

Satz 2.1 Sei (X,d) ein metrischer Raum. Folgende Aussagen sind aquivalent:

i. Jede Folge in X besitzt eine konvergente Teilfolge.

ii. Jede offene Uberdeckung von X besitzt eine endliche Teiluberdeckung.

iii. (X,d) ist vollstandig und total beschrankt.

Definition 2.2 Eine Teilmenge U ⊂ C heißt offen , wenn sie eine der folgenden Bedin-gungen erfullt.

i. ∞ /∈U und U ist eine offene Teilmenge von C

ii. ∞ ∈ U und K:=C \ U ist eine kompakte Teilmenge von C.

Lemma 2.2 Eine Teilmenge A ⊂ C ist genau dann abgeschlossen, wenn sie eine der

folgenden Bedingungen erfullt:

i. ∞ ∈ A und A ∩ C ist eine abgeschlossene Teilmenge von C

ii. ∞ /∈ A und A ist eine kompakte Teilmenge von C

Satz 2.3. C ist ein kompakter und zusammenhangender topologischer Raum.

Beweis: S 2 ⊂ R3 hat diese Eigenschaften.

Definition 2.3 Seien a und L fix mit a,L ∈ C und sei S eine offene Menge, die a enthalt.

Wir sagen: limz→a

f (z) = L

wenn ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 sodass

0 < |z − a| < δ ⇒ |f (z) − L| < ε

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Definition 2.4 Sei L fix mit L ∈ C . Dann gilt

limz→∞

f (z) = L ⇔ limz→0

f (1/z) = L

und

limz→a

f (z) = ∞ ⇔ limz→a

1/f (z) = 0

Beispiel 2.1 Zeige, dass

limz→∞

az + b

cz + d=

a

c

Beispiel 2.2 Zeige, dass

limz→−d

c

az + b

cz + d= ∞

Satz 2.4 Die stereographische Projektion ϕ bildet Kreise in C auf Kreise in S 2 \ {N}ab und Geraden in C auf Kreise in S 2 durch N ab.

umformulierte Definition von meromorphen Funktionen:

Definition 2.5 Eine meromorphe Funktion auf einem Gebiet G ⊂ C ist eine stetigeAbbildung f : G → C mit folgenden Eigenschaften:

i. Die Menge P f = {z ∈ G : f(z) = ∞} ist diskret in G,

ii. f : G\P f → C ist holomorph

Es ist zweckmaßig, ∞ nicht nur als Funktionswert zuzulassen, sondern auch als Ar-

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gument. Dazu bemerken wir, dass durch

ψ : C → C, ψ(z) = 1/z(z = 0, ∞), ψ(0) = ∞, ψ(∞) = 0

ein Homoomorphismus von C auf sich selbst erklart wird; es ist ψ = ψ−1 und ψ ist

holomorph auf C∗

= C \ {0, ∞}. Durch ψ werden Umgebungen von ∞ auf Umgebungenvon 0 abgebildet und umgekehrt.

Definition 2.6 Eine in der Umgebung von ∞ erklarte Funktion f heißt holomorph in∞, wenn die Funktion

f ∗ = f ◦ ψ :

ζ → f (1/ζ ), fur ζ = 0

0 → f (∞),

holomorph im Nullpunkt ist.

Definition 2.7 Die Funktion f sei in einer punktierten Umgebung von ∞ holomorph.

i. ∞ ist hebbare Singularit¨ at von f, wenn f bei ∞ beschrankt ist.

ii. ∞ ist Polstelle von f, wenn

limz→∞

f (z) = ∞ gilt

iii. Wenn ∞ weder hebbare Singularitat noch Pol von f ist, heißt ∞ wesentliche

Singularit¨ at von f.

Satz 2.5 Jede auf C holomorphe Funktion ist konstant.

Satz 2.7 Ist f eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf dem Gebiet G ⊂ C, so istf(G) ein Gebiet in C.

Definition 2.8 Sei

A =

a bd c

eine komplexe 2 x 2- Matrix mit von Null veschiedener Determinante

det(A) = ad − bc = 0.

Jede solche Matrix induziert eine Abbildung Φ=ΦA : C → C, genannt Mobiustrans-

formation, die durch

Φ(z) : =az + b

cz + d

definiert ist.Wir setzen f(∞)=a

c(fur c=0) und f(−d

c)= ∞ (siehe Beispiel 2.1 und 2.2 )

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Die 3 elementaren Mobiustransformationen:

1. Translation: f(z)=z+a’ (c=0, a=d)2. Drehstreckung: f(z)=a’z (b=c=0)3. Inversion am Einheitskreis: f(z)= 1

z(a=d=0, b=c)

Die Funktion Φ(z) : = az+bcz+d

lasst sich (durch Hintereinausfuhrung) aus den genannten 3elementaren Mobiustransformationen zusammensetzten.

Begrundung:

fur c= 0az + b

cz + d=

bc − ad

c21

z + d/c+

a

c

fur c=0

ad

z + bd

Satz 2.6 Die Mobiustransformationen bilden bezuglich Hintereinanderausfuhrung eineGruppe.

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