rigid body dynamicscau.ac.kr/~kjpark/courses/2008_2_ca/lec13.pdf · 2008-11-26 · • mass and...

Rigid Body Dynamics

Kyoungju ParkKyoungju Park

Rigid body dynamicsRigid body dynamics

For objects with spatial extentParticle system is not enough

Rigid body dynamicsRigid body dynamics

Problems

• Unconstrained

Performance is important

simulation– No contact

• Constrained systemC lli i d t t– Collision and contact

C t l i thi !Control is everything!

Particle simulationParticle simulation

Rigid body conceptsRigid body concepts

• Position and orientation• Position and orientation

• Linear and angular velocity

• Mass and Inertia

F d t• Force and torques

• Simulation

Position and orientationPosition and orientation• Translation of the body ⎛ ⎞• Translation of the body

x( )x

t y⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟

Rotation of the body

z⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

• Rotation of the body

xx yx zxr r r⎛ ⎞⎜ ⎟( )

xx yx zx

xy yy zyR t r r rr r r

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒Spacial variables of a rigid body

xz yz zzr r r⎜ ⎟⎝ ⎠

p g y

Body spaceBody space

Position and orientationPosition and orientation


• x(t) 와 R(t)를 사용해서body space 를 world space 로 transform

• Body 의 포인트 roi 의• Body 의 포인트 roi 의world coordinate 은?


• Rigid body 가 일정한 밀도라고 가정하면, x(t) 의 물리적 의미는?( ) 의 물리적 의미는– 질량의 중심 over time

• R(t) 의 물리적 의미는?– It’s a bit tricky


B d 의 축을 생각해 면 (1 0 0)• Body space 의 x축을 생각해보면, (1,0,0) 이라는 백터좌표를 가지고 있다. 시간 t 일때 ld di 에서의 이 벡터의 방때 world coordinate 에서의 이 벡터의 방향은?

1⎛ ⎞ ⎛ ⎞1( ) 0

xx

xy

rR t r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

which is the first column of R(t)

축

0 xzr⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• 따라서, R(t) 는 body space 의 x, y, z 축을world space at time t 로 나타내게 된다.


• 그러므로 x(t) 와 R(t) 는 시간 t 일 때 rigid body 의 position과 orientation 을 정의한y 의 p 과 을 정의한다

• Next, position 과 orientation 은 시간이p흐름에 따라 어떻게 변화하는가에 관한 정의가 필요!의가 필요!





• Simulation

velocityvelocity

Linear velocityLinear velocity

Angular velocityCOM(center of mass) 의 위치를 고정한다면

어떤 움직임이든 COM 을 지나가는 축을 기준으로 b d i i 으어떤 움직임이든 COM 을 지나가는 축을 기준으로 body spinning 으로 야기됨

그렇지 않다면 COM 자체가 움직임그렇지 않다면, COM 자체가 움직임

Angular velocityAngular velocity

S i 을 t ( )t• Spin 을 vector– Direction?– Magnitude?

( )tω

Magnitude?

• Linear position 과 velocity 는

• Angular position(orientation) 과 angular velocity 는 어Angular position(orientation) 과 angular velocity 는 어떤 관계?


H R( ) d 의 관계는?( )tω• How are R(t) and 의 관계는?( )tω

• Hint:Hint:– 시간 t, world space 에서의

벡터 r(t) 를 고려하면, r(t)의 순각적인 속도 값은

( ) ( ) ( )r t b t t bω ω= = ×( ) ( ) ( )r t b t t bω ω ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t t b t b t a t b aω ω ω ω= × = × + × = × +( ) ( ) ( )r t t r tω= ×


의 리적 을 려할때 의 l 어떤 의( )R• R(t) 의 물리적 뜻을 고려할때, 의 column 은 어떤 의미?

( )Rt

• 시간 t 일 때, rigid body 의 x 축방향은(world space) 에R(t) 의 첫번째 column 임R(t) 의 첫번째 column 임

xxrr⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

시간 t 에서 R(t) 의 첫번째 l 의 d i ti 는?

xy

xz

rr⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

• 시간 t 에서, R(t) 의 첫번째 column 의 derivative는?


V t l ti ( ) ( ) ( )r t t r tω ×Vector relation:

Matrix relation:

( ) ( ) ( )r t t r tω= ×

Perspective of particlePerspective of particle

• Rigid body 가 수많은 수의 조그마한particle 로 이루어져있다고 상상p 이루어져있다 상상– Particle 은 1 부터 N 까지 인덱스 되어지고

각각의 particle 은 body space에서 위치 불– 각각의 particle 은 body space에서 위치 불변시간 t 에서 i 번째 ti l 의 ld 에– 시간 t 에서 i 번째 particle의 world space 에서의 위치는

Velocity of a particleVelocity of a particle

Angular component Linear componentAngular component Linear component





• Simulation

MassMass

• i-th 파티클의 질량은 mi

N

∑Total Mass 1

ii

M m=

=∑

Center of mass in world space ( )i im r tM

∑

What about center of mass in body space?

Center of MassCenter of Mass

f h h f ldProof that the center of mass at time t in world space is x(t)

( ) ( ( ) ( ))mr t m R t r x t+∑ ∑ 0( ) ( ( ) ( ))i i i imr t m R t r x tM M

+=∑ ∑

( ) ( )( ) ( )i oi i iR t mr mx t m

x t x t+

= = =∑ ∑ ∑( ) ( )x t x tM M

Inertia tensorInertia tensorInertia tensor 는 rigid bod 의 질량이 질량 중심으로부터Inertia tensor 는 rigid body의 질량이 질량 중심으로부터

분포되는 상태를 나타낸다.

2 2

2 2

( )( ) ( )

i iy iz i ix iy i ix izm r r m r r m r r′ ′ ′ ′ ′ ′⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′ ′∑ 2 2

2 2

( ) ( )( )

i iy ix i ix iz i iy iz

i iz ix i iz iy i ix iy

I t m r r m r r m r rm r r m r r m r r

⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′ ′= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′ ′− − +⎝ ⎠

∑i iz ix i iz iy i ix iy⎝ ⎠

I(t) 는 b d 의 i t ti 에 d d t 하고 t l ti 과는 무관I(t) 는 body 의 orientation 에 dependent 하고 translation 과는 무관

실제 구현을 위해서는, finite sum 을 rigid body 부피 전부의 적분으로 변경

Inertia tensorInertia tensor

• Inertia tensor 는 world space 에서 시간에따라서 달라진다따라서 달라진다

그러나 b d 에서는 일정하다• 그러나 body space 에서는 일정하다

• 시간을 줄이기 위하여 body space 의 적분을 미리 계산한다을 미리 계산한다

Inertia tensorInertia tensor

시간이 흘러도 변하지 않는 Ibody를 미리 계산

유도식은 course note 인 “notesg.pdf” 의 G14 참고

Approximate inertia tensorApproximate inertia tensor

• Bounding boxes

– Pros: simple

– Cons: inaccurate


• Point sampling

– Pros: simple, f i l tfairly accurate

– Cons: expensive, requires volume testrequires volume test


• Green’s theorem

평면모양 적분을 선 적분으로 변환평면모양 적분을 선 적분으로 변환

Pros: simple e act– Pros: simple, exact– Cons: require boundary

irepresentation





• Simulation

Force and torqueForce and torqueFi(t) 는 i번째 파티클에 타임 t 에 작용하는 외부 힘을 나타냄Fi(t) 는 i번째 파티클에 타임 t 에 작용하는 외부 힘을 나타냄

Total force 는 ( ) ( )iF t F t=∑

Total torque 는 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )i i it t r t x t F tτ τ= = − ×∑ ∑

Force and torqueForce and torque

• F(t) 는 개개의 force 가 body 의 어느 곳에작용하는지에 관한 정보가 없음작용하는지에 관한 정 가 없음

는 b d 에 대한 f 의 분포에 관한( )• 는 body 에 대한 force의 분포에 관한정보가 있음

( )tτ

어떤 것이 t f 에 관한 파티클• 어떤 것이 center of mass 에 관한 파티클의위치에 관련되나?

Linear momentumLinear momentum

• 파티클의 linear momenump mv=

• Rigid body 의 linear momentum

p mv

( ) ( ) ( )i iP t m r t Mv t= =∑

• Rigid body의 전체 linear momentum 은body가 질량이 M 이고 속도가 v(t) 인 파티클인 것과 동일티클인 것과 동일

Angular momentumAngular momentum

• Linear momentum 과 비슷하게, angular momentum 은은

( ) ( ) ( )L t I t tω=

L(t) 가 x(t) 의 translational 효과에 dependent 한지?L(t) 가 R(t)의 rotational 효과에 dependent 한지?( ) 가 ( )의 과에 p 한지P(t) 는 어떤가?

Derivative of momentumDerivative of momentum

Li 의 변화는 i id b d 에• Linear momentum 의 변화는 rigid body에작용하는 전체 force 와 동일

( ) ( ) ( )P t Mv t F t= =

• Angular momentum 과 total torque 의 관계는 linear 경우와 유사는 linear 경우와 유사

( ) ( )L t tτ=증명은 course note 의 “notesg.pdf” 의

di A 참조

( ) ( )L t tτ

appendix A 참조

Equation of motionEquation of motion

⎛ ⎞ ( )⎛ ⎞( )( )

( )

x tR t

Y t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=

Position

Orientation

( )( )* ( )

( )

v tt R td Y t

ω⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟( )

( )( )

Y tP tL t

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Linear momentum

Angular momentum

( )( )( )

Y tF tdt

tτ

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠( )⎝ ⎠ g ( )⎝ ⎠

Constants: M 과 Ibody

( )( ) P tv t =( )

( ) ( ) ( )Tbody

v tM

I t R t I R t

=

=1( ) ( ) ( )t I t L tω −=

Momentum vs velocityMomentum vs. velocity

• Velocity 대신에 momentum 을 state 에서사용하는 이유는?사용하는 이유는

T 가 없을 때 l t 이 보– Torque 가 없을 때 angular momentum 이 보존하기 때문

– Angular 경우와 consistent 하기 위하여g 경우와 하기 위하여Linear momentum 인 P(t) 를 사용

Notes on implementationNotes on implementation

• Rotation 대신에 quaternion 사용– Compact 1( ) ( ) ( )q t t q tω=Co pact– Less numerical drift

( ) ( ) ( )2

( ) ( )* ( )

q t t q t

R t t R t

ω

ω

=

=( ) ( ) ( )R t t R tω

( )( )

x tq t⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

Position( )

1/ 2 ( ) ( )v t

t q td ω⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟( )

( )( )( )

q tY t

P tL

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Orientation

Linear momentum

1/ 2 ( ) ( )( )

( )( )

t q td Y tF tdtω⎜ ⎟=

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠( )L t⎜ ⎟

⎝ ⎠ Angular momentum ( )tτ⎜ ⎟⎝ ⎠

Code fragments in “notesg.pdf”

ExampleExample

1. Compute the Ibody2 20 0 0 0y z

M⎛ ⎞+⎜ ⎟0 0

2 20 0

2 20 0

0 012

0 0body

yMI x z

x y

⎜ ⎟= +⎜ ⎟

⎜ ⎟+⎝ ⎠0 00 0 x y+⎝ ⎠

ExampleExample

1. Compute the Ibody2 Rotation free movement2. Rotation free movement

ExampleExample

1. Compute the Ibody2 Rotation free movement2. Rotation free movement 3. Translation free movement

Project2 PartIProject2-PartI

• 1단계: due 12/4(unconstrained dynamics)y– 당구공, 당구대를 OpenGL 로 visualization– Rigid body simulator 만들기g y 만들기

• 2단계: due 12/112단계: due 12/11(constrained dynamics)

Collision detection(vertex/face)– Collision detection(vertex/face)– Colliding contact 계산

rigid body dynamicscau.ac.kr/~kjpark/courses/2008_2_ca/lec13.pdf · 2008-11-26 · • mass and...

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