ripasso nozioni di base di campi...

Ripasso nozioni di base di campi elettromagnetici

Esercitazione 1

onde piane.....

radiazione.....

Definizioni

Onda elettromagnetica

Si ottiene come soluzione delle equazioni di Maxwell con• equazioni costitutive dei mezzi• condizioni al contorno

Si definisce ONDA la variazione temporale di un campo

Ripasso: Equazioni di Maxwell

( ) ( )

( ) ( ) ( )ttrDtrJtrH

ttrBtrE

∂∂

+=×∇

∂∂

−=×∇

,,,

,,rr

rrrr

rrrr

( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωω

ωωω,,,

,,rDjrJrH

rBjrE+=×∇

−=×∇

nel dominio del tempo

nel dominio della frequenza

Trasformata di Fourier

Ripasso: Equazioni costitutive dei mezziCaratteristiche dei mezzi:

– Linearità, isotropia, stazionarietà, omogeneità, dispersione temporale e spaziale, dissipatività

Dielettrici Conduttori

-

+ +

EE

+ -+ -

E

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ωμμωωμω

ωεεωωεω,....,,,

,....,,,

00

00rHrMrHrB

rErPrErD

r

r==+=

==+= ( ) ( )ωσω ,, rErJ =

Polarizzazione dei dielettrici ε, σ

atomica; molecolare; orientamento.

Ripasso: Condizioni al contorno

Interfaccia

All’ ∞

( )( ) s

sJHHn

DDn=−×=−⋅

12

12 ρ mezzo 1mezzo 2

n

r0

S∞( ) 0lim

10lim

0 =−×

<∀=

∞∞→

∞→HErr

Er

r

rη

υυ

Sono le condizioni di radiazione: poiché all’infinito non vi sono cariche, il campo deve tendere a 0 con dipendenza almeno 1/r; inoltre il campo elettrico ed il campo magnetico devono tendere ad una forma ‘tipo’ onda piana.

Onda elettromagneticasi definisce

onda elettromagneticauna soluzione delle equazioni di Maxwell

nel dominio del tempo.....

( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermrE Φ−=

nel dominio della frequenza.....

( ) ( ) ( )zctgzctftzE ++−=,

f(z) f(ct-z)z

E

ct

Espressione onda elettromagnetica

( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=•Tornando nel tempo (fasori):

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )ωωω

ωω ωωω

,cos,,

,Re,Re, ,

rtrmtra

eermeratra tjrjtj

Φ−=

== Φ−

•La fase dell’onda è data da:( )ωω ,rt Φ−=Ψ

L’onda e.m., nel dominio della frequenza, sarà una grandezza complessa, caratterizzata

da modulo e fase

Velocità di fase

La velocità di fase è la velocità che dovrebbe avere un ipotetico osservatore per nonosservare variazioni di fase nell’onda:

( )( ) 0, =Φ−=Ψ ωω rtdd

( ) 0,=

∂Φ∂

− drrrdt ωω

Lungo una generica direzione r:

( )rrdt

drv f

∂Φ∂

== ωω

,

Propagazione delle onde

Se la funzione iconale è costante nello spazio

l’onda si dice stazionaria;

altrimenti si ha un’onda progressiva

( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=

Superfici equifase, equiampiezza

Si definiscono superfici equifase quelle superfici in cui risulta Φ(r) costante

Si definiscono superfici equiampiezza quelle superfici in cui risulta costante il modulo dell’onda

( ) ( ) ( )ωωω ,,, rjermra Φ−=

Onda uniforme

Un’onda elettromagnetica si definisce uniformequando

le superfici equifase ed equiampiezza coincidono

piane cilindriche sferiche

L’onda prende il nome dalla forma delle superfici equifase

Onde piane

Un’onda elettromagnetica si definisce piana quandoil luogo dei punti in cui la funzione iconale è costante è un piano.

Le onde piane si ottengono come soluzione particolare delle equazioni di Maxwell,

sotto particolari condizioni semplificative.

i.e., superfici equifase = piani

in quanto: • molti fenomeni propagativi possono essere

schematizzati con la propagazione di onde piane;• il campo lontano di un’antenna è localmente di tipo

onda piana;• nelle strutture guidanti si propagano onde piane;• un qualunque campo elettrico (trasformabile secondo

Fourier) si può esprimere come somma integrale di infinite onde piane di ampiezza infinitesima.

Tuttavia, sono particolarmente importanti

Onde piane

Le onde piane rappresentano un’astrazione.

Onde piane

Si possono ottenere come soluzioni delle 1. equazioni di Maxwell omogenee (no correnti impresse);2. nello spazio libero (no discontinuità);3. in un mezzo lineare, isotropo, omogeneo, stazionario,

eventualmente dispersivo nel tempo.

( ) ( ) 0,, 22 =+∇ ωω rEkrE

Si ottengono dall’equazione di Helmholtz omogenea

con la condizione:( ) 0, =⋅∇ ωrE

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+==

ωσεμωμεωj

k c222

Onde piane: caratteristiche

k, vettore di propagazione, deve soddisfare la

2kkk =⋅

r vettore posizione

perché la (1) rappresenti un’onda piana deve essere:

00 =⋅ Ek

( ) rkjeErE ⋅−= 0,ω

Hanno una forma del tipo

(1)

condizione di separabilità

definisce la polarizzazione

Onde piane: caratteristiche

2kkk =⋅ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+==

ωσεμωμεωj

k c222

Dalla condizione di separabilità....

con

αβ jk −=

( ) rjreeErE ⋅−⋅−= βαω 0,

ampiezza + polarizzazione fase

Superfici equifase

superfici equifase = Φ(r) costante

21 rr ⋅=⋅ ββ

( ) 021 =−⋅ rrβ

( ) β⊥−= 2121 rrPP

β

costante r⋅β

Piani!

Superfici equiampiezza

21 rr ⋅=⋅ αα

( ) 021 =−⋅ rrα

( ) α⊥−= 2121 rrPP

α

superfici equiampiezza = modulo costante

costante r⋅α

Piani!

Velocità di fase

Nel caso generale si era trovato:

( )rrdt

drv f

∂Φ∂

== ωω

,

per l’onda piana, allora, lungo la direzione di β:

( ) βω

ωω

=

∂Φ∂

==

rrdt

drv f ,( ) rr ⋅=Φ βω,

Lunghezza d’onda

Si definisce lunghezza d’onda λ la distanza tra due punti fra i quali esiste una differenza di fase

pari a 2πLungo la direzione di β:

πββ 212 =− rrβ

λπ2

12 =−= rr

β

λ

Polarizzazione dell’onda

La condizione:( ) 0, =⋅∇ ωrE

diventa:00 =⋅ Ek

αβ jk −= JR EjEE 000 +=con

00

00

00=⋅−⋅

=⋅+⋅

RJ

JREEEE

αβαβ

Luogo geometrico descritto dall’estremo libero del vettore

Polarizzazione

( ) ( ){ }( ) ( ) ( )rtErtEtrE

eeEjEtrE

JR

tjrjJR

⋅−−⋅−=

+= ⋅−

βωβω

ωβ

sincos,

Re,

00

00

r

r

( ) ( ) ( )tEtEtrE JR ωω sincos, 00 −=r

ξ

ηE0J

E0R

Luogo geometrico: ellisse

Stato di polarizzazione

ξ

ηE0J

E0R

χ = arc tang(E0J/E0R)

Polarizzazione ellittica

Un’onda piana polarizzata ellitticamente si può scomporre come somma di due onde piane polarizzate linearmente

con uguale direzione di propagazione e polarizzazioni non parallele e non in fase

( ) ( ) zjeyjxrE ⋅−+= βω 00 2,

( ) zjexE ⋅−= β01

( ) zjeyjE ⋅−= β02 2

( ) ( )ztxE βω −= cos01r

( ) ( )2cos2 02πβω −−= ztyE

r

( ) zjeyE ⋅−=′ β02 2 ( ) ( )ztyE βω −=′ cos2 02

r

( ) ( ) zjeyxrE ⋅−+= βω 00 2,

Onde piane: campo magnetico

Il campo H si ottiene dalla prima equazione di Maxwell

( ) ( )ωωμω ,, rHjrE −=×∇

( ) ( ) ( ) rkjeH ⋅−0EkrEkj

jr ×=×−−=

1,1,ωμ

ωωμ

ω

( ) rkjeHrH ⋅−= 0,ω 001 EkH ×=ωμ

Classificazione delle onde

L’onda si definisce:

1. TEM (Trasversa ElettroMagnetica), se né Ené H hanno componenti lungo la direzione di propagazione,

2. TE (Trasversa Elettrica), se E non ha componenti lungo la direzione di propagazione,

3. TM (Trasversa Magnetica), se H non ha componenti lungo la direzione di propagazione.

βE

H

βE

βH

Potenza trasportataSi calcola dal flusso del vettore di Poynting

attraverso una superficie

( ) ( ) ( )ωωω ,,21, * rHrErS ×=

2

21

21 EHES

ζ==

onde piane uniformiζ= impedenza

caratteristica mezzo

modulo del campo

21rmsES

ζ=

valore quadratico medio del campo2

EErms =

Attenuazione - CAMPO

Attenuazione in dB

L’onda si attenua:

( ) lααα

αee

eEeE

EEA xx

x

x

finale

iniziale ==== −−

−01

1

0

0

0

( ) lll ααα 68.8log20log20 1010 === eeAdB

0.434

Attenuazione per unità di lunghezza α68.8=udldBA

deciBel

AdB = 6 dB Che significa?

6 = 20 log10A A = 103/10 = 2

Il campo iniziale era il doppio di quello finale

N.B.: parliamo di campi... in potenza è:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fin

indB P

PA 10log10 AdB = 3 dB è “il doppio”...

Profondità di penetrazione

La profondità di penetrazione èdefinita come la distanza alla quale

l’onda si è attenuata di 1/e

αδ−= ee1

xx1 x2

E1 = 1 E2 = 1/e

δ

αδ 1=

Costanti primarie e secondarie

Le costanti primarie sono quelle caratteristiche del mezzo

ε , μ, σ

Le costanti secondarie sono definite come:

k = numero d’onda (per opu = cost prop)

ζ = impedenza caratteristica del mezzo

ck μεω=

cεμζ =

Ripasso

( ) ( ) cjjkkk μεωαβαβ 22 =−⋅−==⋅

( ) ( ) 0000 =+⋅−=⋅ JR EjEjEk αβ

( ) rjrrkj eeEeErE ⋅−⋅−⋅− == βαω 00,

Condizione di separabilità:

Polarizzazione:

Forma onda piana:

βω

=fvVelocità di fase:βπλ 2

=Lunghezza d’onda:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅

=−

2

222

ωμσαβ

μεωαβ

( ) ( ) ( )tEtEtrE JR ωω sincos, 00 −=r

Attenuazione per unità di lunghezza α68.8=udldBA

Problemi di radiazione

Determinazione del campo elettromagnetico irradiato da un’antenna

Potenziale vettore magnetico

• Consideriamo un mezzo LSOI in cui siano presenti correnti impresse• Per il principio di sovrapposizione degli effetti si possono considerare

prima le sole correnti elettriche e poi quelle magnetiche, ottenendo il campo effettivo come somma di quelli dovuti alle due sorgenti separatamente

• Consideriamo il caso di presenza delle sole correnti elettriche

• Eseguendo la divergenza della prima di Maxwell, si ottiene

• Il campo H è quindi solenoidale e si può porre

• A è il potenziale vettore magnetico, definito a meno di un gradiente

0Jmi =

0H =⋅∇

AH ×∇=

'AHA'A ×∇=⇒φ∇+=

( )0=×∇⋅∇ E

( )0=∇×∇ φ

Potenziale scalare elettrico

• Sostituendo l’espressione di H nella prima di Maxwell

• Il vettore tra parentesi è dunque irrotazionale e si può porre

• Per un diverso potenziale vettore A′ = A + ∇φ

• Si può dunque porre

• Si passa dalla coppia (A V) alla coppia (A′ V′) con la trasformazione di gauge

VAjEVAjE ∇−μω−=⇒−∇=μω+

( ) 0AjEAjE =μω+×∇⇒×∇μω−=×∇

( ) ( )φμω−−∇μω−=∇−φ−∇μω−= jV'AjV'AjE

'V'AjEjV'V ∇−μω−=⇒φμω−=

φμω−=

φ∇+=

jV'V

A'A

Equazione di Helmholtz non omogenea nel potenziale vettore magnetico

• Per determinare il campo elettromagnetico occorre determinare A e V• Introducendo le espressioni per E e H nella seconda di Maxwell

• Da cui si ottiene

• Se A e V soddisfano la condizione di Lorenz

• Si arriva all’equazione di Helmholtz non omogenea nel potenziale vettore A

• Ricavato A, si ha per E e H

( ) ic JVAjjA +∇−μω−εω=×∇×∇

ic22 JVjAkAA +∇εω−=∇−⋅∇∇

cc j

AVVjAεω⋅∇

−=⇒εω−=⋅∇

i22 JAkA −=+∇

AHk

AAjj

AAjE 2c

×∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∇∇

+μω−=εω⋅∇∇

+μω−=

Problema duale: presenza di sole correnti magnetiche impresse

• Le equazioni per il caso in cui siano presenti le sole correnti magnetiche impresse (Ji = 0) si ottengono applicando il principio di dualità

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∇∇

+εω−=⇒μω⋅∇∇

+εω−=

−=+∇

μω−=⋅∇

=∇−εω−=

=×−∇=

=⋅∇

2cc

mi22

c

kFFjH

jFFjH

JFkF

UjF

magneticoscalarepotenzialeUUFjH

elettricovettorepotenzialeFFE

0E

Soluzione del problema di radiazione

• Consideriamo un mezzo LSOI in cui siano presenti solo correnti elettriche impresse che occupino un volume limitato τ

• Il potenziale vettore magnetico A deve soddisfare l’equazione di Helmholtz

• Proiettando l’equazione sui tre assi cartesiani x1, x2, x3 (x, y, z)

• Ogni componente cartesiana di A deve soddisfare separatamente un’equazione differenziale di Helmholtz non omogenea scalare

• L’equazione di Helmholtz, per poter essere risolta, richiede delle opportune condizioni al contorno sul potenziale vettore, derivate a partire da quelle sul campo elettromagnetico

• Se anche le condizioni al contorno si possono separare per le tre componenti cartesiane, il problema complessivo da vettoriale diventa scalare

i22 JAkA −=+∇

( )3,2,1sJAkA iss2

s2 =−=+∇

Se le correnti irradiano in spazio libero il problema è scalarizzabile

Funzione di Green

• Per risolvere l’equazione di Helmholtz scalare introduciamo l’operatore L

• Ponendo As = f e Jis = h

• Si definisce funzione di Green dell’operatore L, con le associate condizioni al contorno, la soluzione dell’equazione

• La funzione di Green rappresenta, in generale, la risposta impulsiva spaziale del sistema rappresentato attraverso l’operatore L

( )22 k+∇−=L

hf =L

sorgentedipunto'rneosservaziodipuntor)'rr()'r,r(G ==−δ=L

Nel caso dell’equazione di Helmholtz per il potenziale vettore magnetico, la funzione di Green rappresenta il potenziale prodotto da un impulso

spaziale di corrente

Soluzione mediante l’utilizzo dellafunzione di Green

• Data una generica distribuzione di correnti impresse in τ, si può sempre pensare di scomporla in una serie di infinite sorgenti impulsive di ampiezza infinitesima

• Grazie al principio di sovrapposizione degli effetti, il potenziale sarà dato dalla somma integrale dei potenziali dovuti alle singole sorgenti impulsive

• In formule...

• Moltiplicando per h(r′) e integrando su τ rispetto alla variabile r′

• Osservando che L opera su r e può quindi essere portato fuori integrale

• Confrontando la precedente equazione con la L f = h

)'rr()'r,r(G −δ=L

'd)'rr()'r(h'd)'r,r(G)'r(h τ−δ=τ ∫∫ ττ L

)r(h'd)'r,r(G)'r(h =τ∫τL

'd)'r,r(G)'r(h)r(f τ= ∫τ

Equazione di Helmholtz scalare per lo spazio libero e condizioni al contorno

• Il problema di radiazione per lo spazio libero riempito di un mezzo LSOI richiede la soluzione dell’equazione di Helmholtz scalare

• Le condizioni al contorno utilizzate, nel caso di un distribuzione di sorgenti contenute in un volume τ limitato, sono le condizioni di radiazione o di Sommerfeld

• La prima condizione impone che il potenziale vada a zero all’infinito almeno come 1/r e deriva da considerazioni energetiche

• La seconda condizione impone che l’onda all’infinito abbia le caratteristiche di un’onda sferica che si propaghi radialmente allontanandosi dalle sorgenti

( )3,2,1sJAkA iss2

s2 =−=+∇

( ) ( )

( )3,2,1s0Akjr

Arlim

3,2,1sArlim

ss

r

sr

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

==

∞→

∞→l

Funzione di Green per lo spazio libero (1/5)

• La funzione di Green per lo spazio libero deve soddisfare

• Facendo coincidere il punto di sorgente con l’origine (r′ = 0)

• Assumendo un sistema di coordinate sferiche e sfruttando la simmetria sferica dello spazio libero e della sorgente

• Esprimendo l’operatore ∇2 in coordinate sferiche

• Cercando la soluzione per r ≠ 0

( ) )'rr()'r,r(Gk22 −δ=+∇−

( ) )r()r(Gk22 δ=+∇−

)r(G)r(G;0G;0G==

ϕ∂∂

=θ∂

∂

)r()r(Gkdr

)r(dGrdrd

r1 222 δ=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

0)r(Grkdr

)r(dGrdrd

r10)r(Gk

dr)r(dGr

drd

r1 22222 =+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⇒=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡


• Imposizioni…

• Moltiplicando per r l’ultima equazione

• Sostituendo nell’equazione di partenza

• Si giunge finalmente alla semplice equazione

• La soluzione cercata è dunque (k ≠ 0)

GdrG~d

drdGrG

drdGr

drG~d)r(Gr)r(G~ −=⇒+=⇒=

G~drG~drGr

drG~dr

drdGr2 −=−=

0G~kdrG~d

drG~dr

drG~d

r10G~kG~

drG~dr

drd

r1 2

2

22 =+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⇒=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0G~kdr

G~d 22

2=+

reC

reC)r(GeCeC)r(G~

rkj

2

rkj

1rkj

2rkj

1 +=⇒+=−

−


• Restano da imporre le condizioni al contorno, per determinare C1 e C2• Per la prima condizione...

• Perché l’espressione risulti limitata per r → ∞ serve C2 = 0 (se kJ ≠ 0 ⇒mezzo dissipativo)

• Per la seconda condizione...

• Perché l’espressione tenda a zero per r → ∞ serve C2 = 0 (anche se kJ = 0)• In conclusione la soluzione è

∞→=+= −− rpereeCeeC)r(Gr rkrkj2

rkrkj1 JRJR l

( )

( ) ∞→=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

++−=+−=+

−−

−

rper0r1kj2eC

reC

reC

reC1rkj

eCeCkjGrkjGdrG~dGrkj

drdGr

rkj2

rkj

1

rkj

2

rkj

1

rkj2

rkj1

reC)r(G

rkj

1

−=


• Per determinare C1 includiamo ora il punto r = 0 e consideriamo la sorgente• Integriamo l’equazione di partenza ad un volume sferico τ0 di raggio r0 avente

centro nell’origine, limitato dalla superficie sferica S0

• Applicando il teorema della divergenza

• Si ottiene, per la sfera di raggio r0

∫∫∫ ττττδ=τ−τ∇−

000

d)r(dGkdG 22

1dGkdSnG1dGkdSGn

0000

2

S

2

S=τ−

∂∂

−⇒=τ−∇⋅− ∫∫∫∫ ττ

1drerdsindCkdrdGr4

1dddrsinrGkdSdrdG

0

0

0

00

r

0

rkj

0

2

01

2

rr

20

r

0

2

0

2

0

2

Srr

=θθϕ−π−⇒

⇒=ϕθθ−−

∫∫∫∫∫∫∫

−ππ

=

ππ

=


• Facendo tendere il raggio r0 della sfera a zero, dalla precedente espressione si vede che il contributo dell’integrale volumetrico tenderàanch’esso a zero, ottenendo

• Da cui si ottiene

• Se la sorgente non è posizionata nell’origine basterà sostituire r con |r – r′|, ottenendo finalmente la funzione di Green per lo spazio libero

r4e)r(G

41C

rkj

1 π=⇒

π=

−

'rr4e)'r,r(G

'rrkj

−π=

−−

( ) 1C4r

e1rkjCr4lim

drerdsindCkdrdGr4lim

120

rkj0

120

0r

r

0

rkj

0

2

01

2

rr

20

0r

0

0

0

00

=π=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−π−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθϕ−π−

−

→

−ππ

=→ ∫∫∫

Come si ricava il potenziale vettore?

• La conoscenza della funzione di Green per lo spazio libero permette di ricavare il potenziale vettore prodotto da un’assegnata distribuzione di correnti elettriche impresse nello spazio libero

• L’integrale va esteso a tutto lo spazio, ovvero al solo volume occupato dalle sorgenti

• Moltiplicando per il versore coordinato x0s e sommando per s da 1 a 3

• La precedente è la soluzione dell’equazione di Helmholtz vettoriale non omogenea per il potenziale vettore magnetico in presenza di una generica distribuzione di correnti elettriche impresse nello spazio libero

∫∫ τ

−−

ττ

−π=τ= 'd

'rr4e)'r(J'd)'r,r(G)'r(J)r(A

'rrkj

isiss

∫τ−−

τ−π

= 'd'rr4

e)'r(J)r(A'rrkj

i

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