risposte alle domande della prima provetta di ... · 3.1 come è fatto lo strato limite...
TRANSCRIPT
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Risposte alle domande della prima provetta diIdrologia
Marco Dal MolinEmma Pini
7 maggio 2013
Indice1 Introduzione 4
1.1 Quali sono i flussi del ciclo idrologico a terra? Quali le prin-cipali riserve d’acqua? Quali le scale temporali e spaziali deifenomeni? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Bilanci idrologici 52.1 Scrivere e commentare l’equazione che descrive il bilancio idro-
logico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Scrivere e commentare l’equazione che descrive bilancio di
energia sulla superficie terrestre e il bilancio di energia globale. 52.3 Cos’è l’indice di aridità di Budyko e come si utilizza? . . . . . 62.4 Come si ottiene l’indice topografico? Quale tipo di bilan-
cio idrologico si attua? Quali ipotesi si fanno per ottenereil risultato finale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 L’idrosfera 83.1 Come è fatto lo strato limite atmosferico? E come si evolve
nel corso della giornata? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Quali sono le caratteristiche quantitative principali della to-
pografia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Che cosa sono i modelli digitali del terreno? Come si può
rappresentare la topografia in un computer? . . . . . . . . . . 103.4 A che cosa servono i GIS? Che cos’è un sistema informativo
territoriale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Che cos’è un bacino digitale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
3.6 Che cos’è il gradiente adiabatico di temperatura? Come siottiene? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Le precipitazioni 124.1 Quali sono i meccanismi che originano le precipitazioni? . . . . 124.2 Quali sono le caratteristiche rilevanti delle precipitazioni a
terra e quali sono le loro distribuzioni? . . . . . . . . . . . . . 134.3 Si descrivano le proprietà delle linee segnalatrici di possibilità
pluviometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Quali metodi esistono per determinare le linee segnalatrici di
possibilità pluviometrica. Se ne descriva uno. . . . . . . . . . . 14
5 Elementi di probabilità ed analisi statistica 155.1 Si illustrino gli assiomi della probabilità e il teorema di Bayes 155.2 Quali sono le grandezze statistiche elementari? . . . . . . . . . 165.3 Che cos’è il tempo di ritorno. Come è legato ai concetti di
probabilità? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Che cos’è il metodo dei momenti? Se ne mostri una applicazione. 185.5 Che cos’è il metodo dei minimi quadrati? Se ne mostri una
applicazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6 Che cos’è il metodo di massima verosimiglianza? Se ne mostri
una applicazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.7 Si commentino le proprietà assiomatiche della probabilità . . . 205.8 Si descrivano alcune distribuzioni di probabilità significative e
si commentino le loro proprietà. . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.9 Che cos’è il test di Pearson? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.10 Quali sono le distribuzioni dei valori estremi? Quali i loro
elementi distintivi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.11 Che cosa rappresenta la distribuzione del χ2 e in quale contesto
di usa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 R 256.1 Assegnata una serie temporale, quali sono i comandi che per-
mettono di disegnarne un grafico? E un grafico a scatola?(Come si deve leggere un grafico a scatola?). Un istogram-ma? Piu’ grafici sovrapposti? Quali sono le opzioni graficheprincipali dei comandi di disegno che lei conosce? . . . . . . . 25
6.2 Quali sono i principali oggetti (enti) di R? E quali operazioni sipossono effettuare su di essi? Con quali operazioni si possonoselezionare gli elementi di questi enti? . . . . . . . . . . . . . . 26
2
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
6.3 Si spieghino i seguenti comandi: p*(), d*(), q*(), r*(). Dove* sta per norm, gamma o un’altra distribuzione . . . . . . . . 28
7 JGrass 287.1 Che cosa sono Location e Mapset? . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2 Si descriva l’istallazione e l’ambiente di lavoro di uDig e dello
Spatial Toolboox. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3 Quali sono i formati digitali (raster e vettoriali) più diffusi?
Ne saprebbe spiegare alcuni elementi distintivi? . . . . . . . . 297.4 Si illustrino alcuni comandi (quelli visti a lezione) della Horton
Machine spiegandone il significato. . . . . . . . . . . . . . . . 30
3
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
1 Introduzione
1.1 Quali sono i flussi del ciclo idrologico a terra? Qualile principali riserve d’acqua? Quali le scale tempo-rali e spaziali dei fenomeni?
Il ciclo idrologico è caratterizzato da flussi in due direzioni: in una direzioneabbiamo le precipitazioni che, giunte al suolo, possono infiltrarsi nel terrenoe defluire nel sottosuolo oppure possono ruscellare in superficie. Nell’altradirezione vi è un moto di vapore acqueo dovuto all’evaporazione dal terrenoed alla traspirazione dalle piante.
La più grande riserva d’acqua è costituita dagli oceani che ne detengonoil 95%. Del restante 5%, il 2% è sempre costituito da acqua salata (presentenei laghi e nel sottosuolo) mentre il 3% è acqua dolce.
Dell’acqua dolce il 70% è conservato sotto forma di neve o ghiaccio, il30% si trova nel sottosuolo mentre solo lo 0, 34% è acqua superficiale (fiumie laghi). Dell’acqua superficiale fa parte anche l’umidità insita nel suolosuperficiale che, però, costituisce solo lo 0, 001% di tutta l’acqua presentesulla Terra. Pur essendo così limitata essa è responsabile del sostentamentodella vita vegetale.
I vari fenomeni legati al ciclo idrologico hanno scale temporali e spazia-li molto variegate. I fenomeni che avvengono nella bassa atmosfera (stratolimite) sono brevi (qualche ora, massimo giorni) e su scala spaziale limitata(massimo quanlche chilometro). Fenomeni più lunghi sono quelli di scorri-mento superficiale dell’acqua (runoff) e i moti dei corsi d’acqua; per questi lascala temporale si attesta sulle poche settimane mentre quella spaziale va da1 km a 100 km. Il moto dell’acqua nel sottosuolo, in falda, invece, impiegatempi che si attestano sulle decine-centinaia di anni e distanze nell’ordine dei1000 km.
Molti fenomeni, come ad esempio le precipitazioni, presentano delle cicli-cità.
Il ciclo idrologico non è unicamente caratterizzato dalla presenza di acquae dai suoi flussi, ma anche dai mezzi sui quali o nei quali l’acqua scorre:l’atmosfera, le piante, la superficie del terreno, i suoli, le falde (gli acquiferi).
4
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
2 Bilanci idrologici
2.1 Scrivere e commentare l’equazione che descrive ilbilancio idrologico
In forma generale si può scrivere il bilancio di massa come∂s
∂t= A−Q
dove s è la quantità d’acqua nel volume di controllo, A sono gli ingressi e Qle uscite dal sistema.
Per creare un bilancio di massa occorre innanzitutto scegliere un volime dicontrollo su cui poter fare il bilancio. Si sceglie, in questo caso, una porzioneche comprende il sottosuolo ed una fetta del soprasuolo fino a sopra la chiomadelle piante.
Specificanto meglio i termini A e Q, l’equazione del bilancio di massadiventa
∆S = (P − ET −Qsup −Qs −Qg)∆t
∆S rappresenta la variazione del volume d’acqua nel volume di controllo, Prappresenta l’intensità di precipitazione entrante nel volume di controllo, ET
l’evapotraspirazione (ovvero la quantità d’acqua che evapora dal terreno etraspira dalle piante), Qsup il deflusso superficiale di acqua, Qs il deflusso nelsottosuolo in direzione orizzontale e Qg il deflusso verso gli strati sottostantidel terreno. ∆t, infine, rappresenta l’intervallo di tempo in cui si valuta lavariazione del contenuto d’acqua nel volume di controllo.
Se invece si considera come volume di controllo la porzione di atmosferasovrastante il terreno, il bilancio di massa diventa
∆W = (ET +HW +Qsup −Qg)∆t
∆W rappresenta la variazione d’acqua e di vapore d’acqua nel volume dicontrollo, ET l’evapotraspirazione netta, HW l’avvezione laterale di vapored’acqua e Qg il deflusso verso il terreno. ∆t, infine, rappresenta l’intervallodi tempo in cui si valuta la variazione del contenuto d’acqua nel volume dicontrollo.
2.2 Scrivere e commentare l’equazione che descrive bi-lancio di energia sulla superficie terrestre e il bilan-cio di energia globale.
Il suolo scambia calore con l’atmosfera in quattro modi: irraggiamento,convezione, conduzione e attraverso i cambiamenti di fase.
5
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Scelto un volume di controllo che contenga il suolo ed i primi metri vicinial suolo di atmosfera, il bilancio di energia diventa
∆E = (Rswn −Rlwn −H − λeET −G)∆t
Dove ∆E rappresenta la variazione di energia nel volume di controllo, Rswn
l’apporto radiativo netto il onda corta, Rlwn l’apporto radiativo netto il ondalunga, H il calore scambiato dal terreno per conduzione o convezione, λeET ilcalore ceduto dal suolo a causa dell’evapotrazpirazione (passaggio dell’acquadalla fase liquida a quella gassosa) e G il passaggio di calore tra i vari stratidel terreno (la Terra è un corpo caldo che a sua volta cede calore dal suointerno).
Si può fare anche un bilancio di energia globale considerando il sistemaTerra-Sole. L’intera radiazione provveniente dal sole può essere riflessa oassorbita dal suolo o dall’atmosfera.
In particolare, il 30% della radiazione provveniente dal sole viene riflessada atmosfera (albedo), nubi e suolo, il 19% viene assorbita dall’atmosfera perpoi essere riemessa nell’infrarosso, l’1% viene assorbita dalla flora (poco maessenziale per la vita) ed il restante 50% viene assorbito dal suolo.
Del 50% assorbito dal suolo, il 20% viene riemesso sotto forma di radia-zione infrarossa, il 7% viene riemessa come calore sensibile ed il restante 23%come calore latente.
Anche la radiazione assorbita dall’atmosfera viene riemessa in quantitàtale da garantire il bilancio energetico Terra-Sole. Se la Terra continuasse adassorbire energia la sua temperatura crescerebbe, viceversa calerebbe: devequindi sussistere il bilancio energetico.
2.3 Cos’è l’indice di aridità di Budyko e come si utiliz-za?
L’indice di aridità di Budyko (Φ) è un’espressione sintetica che aiuta a capirese il fattore limitante all’evapotraspirazione è l’apporto energetico oppure laquantità d’acqua disponibile.
Dal bilancio di massa si ottiene
ET = P −Q− ∆S
∆t
Considerando intervalli di tempo molto maggiori di un anno per consideraredati medi e aree ampie (maggiori di 1000 km2) si vede che il massimo del-l’evapotraspirazione si ottiene per Q = 0 ed esso equivale alla quantità diacqua precipitata.
6
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Dal bilancio di energia, invece, si ottiene
ET =Rn −H − ∆E
∆t
λe
Sempre considerando tempi lunghi, si vede che il massimo dell’evapotraspi-razione si ottiene quindi per H = 0.
Vale quindi la relazione
ETmax = min(P,Rn
λe
)
Si definisce l’indice di aridità di Budyko come
Φ =Rn
λEP
Se esso è maggione di uno allora il fattore limitante è la precipitazione,altrimenti lo è l’apporto energetico.
2.4 Come si ottiene l’indice topografico? Quale tipo dibilancio idrologico si attua? Quali ipotesi si fannoper ottenere il risultato finale?
Chiamo indice topografico la quantità
T = log
(AT
b | ∇ζ |
)e rappresenta la tendenza di un suolo a saturarsi.
Preso un bacino idrografico, il bilancio di massa, sotto le ipotesi di terrenosaturo, assenza di deflusso superficiale e regime stazionario ed uniforme, è
rpAT = Tk | ∇ζ | b
dove rp è l’acqua piovana di ricarica, AT l’area contribuente, Tk la trasmissi-vità idraulica, b il perimetro drenato e ζ la pendenza.
rp e Tk sono indici idroclimatologici del bacino mentre gli altri sonograndezze geometriche misurabili da un GIS.
Il bilancio di massa può essere riscritto come
Tk
rp=
At
b | ∇ζ |
Ciò dimostra che a parità delle caratteristiche idrogeomorfoclimatologiche(chupaaaa) del bacino i punti con maggiore indice topografico si saturanoprima.
7
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
3 L’idrosfera
3.1 Come è fatto lo strato limite atmosferico? E comesi evolve nel corso della giornata?
Questa domanda non è più presente nell’elenco 2013 ma visto che la rispostac’è mi sembra un peccato cancellarla.
La parte più bassa dell’atmosfera, a diretto contatto con il suolo, prendeil nome di strato limite atmosferico o PBL (planetary boundery layer). Essoè caratterizzato da un intenso moto turbolento di rimescolamento.
A differenza del resto dell’atmosfera, il PBL è direttamente influenzatodalla morfologia della superficie terrestre e dai fenomeni che su essa avven-gono. Inoltre presenta una risposta temporale rapida (nell’ordine delle ore)alle sollecitazioni derivanti dal suolo.
Lo strato limite atmosferico può essere diviso in varie fasce (partendo dalbasso):
• Strato superficiale: rappresenta il primo 10% del PBL. É caratterizzatodalla presenza di turbolenza omogenea.
• Strato residuo: presenta una stratificazione neutra. In esso gli inqui-nanti possono stazionare a lungo (anche giorni).
• Strato stabile: in esso la temperatura aumenta con la quota. É pocorimescolato.
• Strato rimescolato: è riscaldato dal basso e presenta una forte turbo-lenza termica e meccanica.
L’altezza del PBL dipende strettamente dalla temperatura. Di giorno, incui vi è un flusso di calore dal suolo verso l’alto, lo strato limite atmosfericoraggiunge dimensioni di 1−2 km. Di notte, viceversa, il PBL può raggiungereuno spessore anche di 100 m
3.2 Quali sono le caratteristiche quantitative principalidella topografia?
Le caratteristiche topografiche si dividono in primarie (quote, pendenze ecurvature) e derivate (direzioni di drenaggio e aree contribuenti)
La quota rappresenta la distanza lungo la verticale da un piano di riferi-mento (generalmente il livello medio del mare). Spesso la superficie terrestreviene modellata da una funzione z = f(x, y) (ciò accade ad esempio in un
8
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
DTM dove ogni pixel assume il valore della coordinata z in quel punto). z,quindi, rappresenta la quota di qualsiasi punto della supreficie.
La pendenza può essere rappresentata in due modi: come gradiente
∇(z) = (fx, fy)
indicando la direzione di massima pendenza o come la pendenza angolarepuò essere calcolata come
γ = arctan√f 2x + f 2
y
L’immersione, invece, da informazioni circa la direzione verso cui tende ilversante e si calcola come
α = arctan
(fyfx
)Le curvature rappresentano la deviazione del vettore gradiente per unità
di lunghezza lungo particolari curve tracciate sulla superficie in esame f(x, y).Esistono vari tipi di curvature.
Lungo le curve di flusso misuro le curvature longitudinali: esse delineanoil pendio in concavo, convesso e planare.
Lungo le linee di livello misuro le curvature trasversali (o planari) edividono il pendio in divergente, parallelo o convergente.
Una valle stretta e ripida (ad imbuto) in cui scorre un fiume è caratteriz-zata da una curvatura concava e convergente.
Più formalmente:
• La curvatura longitudinale rappresenta la deviazione del gradiente an-dando da valle verso monte seguendo l’inviluppo dei gradienti. Essaevidenzia le valli in quanto assume valori più alti lungo il corso d’acqua.
• La curvatura piana è quella della curva che si ottiene sezionando la su-perficie con un piano parallelo al piano (x, y) ed è la variazione dei vet-tori tangenti alle linee di livello passanti per il punto in esame. Misurala convergenza o divergenza.
• La curvatura tangenziale è determinata sulla curva di intersezione traun piano perpendicolare alla direzione del gradiente e tangente alle lineedi livello nel punto.
Curvatura tangente e piana sono tra loro proporzionali e la loro distribu-zione spaziale è la stessa.
9
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
La direzione di drenaggio rappresenta, punto per punto, la direzione versocui l’acqua tende a fluire per gravità. Per calcolare la direzione di drenaggiooccorre discretizzare la superficie. Un modo per farlo è dividere la superficiein maglie quadrate. Per ogni pixel esistono 8 possibili direzioni di drenaggio,essendo 8 i pixel confinanti con il pixel scelto. La direzione di drenaggio vienestabilita in base al pixel confinante con valore minore.
Tale metodo, rappresentando un’idealizzazione della superfcie reale (inquanto viene discretizzata), presenta un’errore che, nel peggiore dei casi, èdi 22, 5. Può essere però applicato un metodo di correzione che reindirizzail flusso quando la deviazione supera un certo valore di soglia.
Preso un punto del bacino, l’area contribuente rappresenta la proiezio-ne planare delle aree che afferiscono a quel punto. L’area di drenaggio èdirettamente collegata alla portata del bacino.
3.3 Che cosa sono i modelli digitali del terreno? Comesi può rappresentare la topografia in un computer?
I modelli digitali del terreno (DTM) rappresentano la distribuzione dellequote di una superficie. Esso è realizzato considerando la superficie come uninsieme di punti individuati da coppie di coordinate (x, y) a cui è attribuitoun valore di z = f(xy) detto quota.
La sua costruzione avviene tramite il metodo degli elementi finiti che puòessere realizzato in due modi.
• Triangolazione (triangulated irregular network): discretizzo la superfi-cie con dei triangoli che si appoggiano a dei nodi della rete.
• Grigliatura (Grid): diivido la superficie in celle, ognuna delle qualicontiene il valore di elevazione localizzandolo nel centroide della cella.
Un metodo per rappresentare la topografia attraverso i computer è co-stituito dai GIS in cui, partendo da un DTM, è possibile estrapolare moltecaratteristiche topografiche ed idrogeomorfologiche della superficie.
Un’applicazione, ad esempio, è rappresentata dalla realizzazione di unbacino digitale.
3.4 A che cosa servono i GIS? Che cos’è un sistemainformativo territoriale?
Il GIS è un sistema informativo che permette l’acquisizione, la registrazione,l’analisi, la visualizzazione e la restituzione di informazioni derivanti da dati
10
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
georiferenziati. Esso è in grado di produrre, gestire e analizzare dati spazialiassociando a ciascun elemento geografico una o più descrizioni alfanumeriche.
I GIS possono contenere tre tipi di informazioni:
• Geometriche: relative alla rappresentazione cartografica degli oggettirappresentati.
• Topologiche: riferite alle relazioni reciproche tra gli oggetti.
• Informative: riguardanti i dati (numerici, testuali ecc.) associati adogni oggetto.
L’informazione territoriale può essere codificata in un sistema informativogeografico attraverso due tipologie principali di dato: il dato vettoriale e ildato raster. I dati vettoriali sono costituiti da punti, linee e poligoni, codi-ficati e memorizzati sulla base delle loro coordinate. Il dato raster permettedi rappresentare il mondo reale attraverso una matrice di celle, generalmentedi forma quadrata o rettangolare, dette pixel. A ciascun pixel sono associatele informazione relative a ciò che esso rappresenta sul territorio.
Il GIS consente di mettere in relazione tra loro dati diversi, sulla base delloro comune riferimento geografico, in modo da creare nuove informazioni apartire dai dati esistenti.
3.5 Che cos’è un bacino digitale?
Un bacino digitale è un insieme di strumenti informatici nei quali collezionareed organizzare dati e modelli relativi ad un bacino idrografico, in modo chesiano facilmente interrogabili per fornire alle amministrazioni che si occupanodella gestione del bacino le informazioni necessarie per la pianificazione.
Viene impiegato per rilevare, immagazzinare, gestire, processare ed ana-lizzare informazioni.
Le informazioni prese in considerazione sono: background geografico, ri-sorse naturali, ambiente ecologico, distribuzione della popolazione, condizionisociale ed economiche a scala di bacino.
Gli scopi sono: costruire una piattaforma informatica visuale, fornire ap-plicazioni specifiche per le amministrazioni nei diversi campi, sviluppare unsistema di decision-making globale per ottimizzare la gestione del bacino.
3.6 Che cos’è il gradiente adiabatico di temperatura?Come si ottiene?
Questa domanda non è più presente nell’elenco 2013 ma visto che la rispostac’è mi sembra un peccato cancellarla.
11
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Il gradiente adiabatico di temperatura indica la variazione della tempera-tura di una particella d’aria in condizioni adiabatiche (ovvero senza scambiodi calore) al variare della quota. Posso avere il gradiente adiabatico sia peraria secca che per aria umida.
Per aria secca esso si ottiene unendo l’equazione di equilibrio idrostaticoin atmosfera
vdp = −gdz
con il primo principio della termodinamica
dQ = cpdT + vdp
ed imponendo, essendo in condizioni adiabatiche,
dQ = 0
Risolvendo il sistema si può quindi ricavare
dT
dz=
g
cp= Γd ≃ 9, 8
K
km
4 Le precipitazioni
4.1 Quali sono i meccanismi che originano le precipita-zioni?
Le precipitazioni sono causate del sollevamento di masse d’aria umida nellequali, per l’abbassamento della temperatura, dovuto al cambiamento di quo-ta, il vapore tende a condensare. I meccanismi che originano l’innalzamentodelle masse d’aria sono tre: convettivo, frontizio ed orografico.
L’innalzamento di tipo convettivo è dovuto alla presenza di masse d’ariacalde (e quindi leggere) che tendono a salire. Tale meccanismo origina dellenubi (cumuli) che hanno estensione principalmente verticale.
Le precipitazioni di origine frontizia sono originate da grandi masse d’aria(i fronti) che ruotano intorno ai centri di bassa o di alta pressione. Le nubisono poco spesse e molto estese spazialmente. Le precipitazioni causate daifronti possono avere durate lunghe (anche qualche giorno). Si distingue infronti caldi e freddi a seconda della massa d’aria attiva.
Le precipitazioni orografiche, infine, sono originate da innalzamenti d’ariadovuti alla presenza di ostacoli come le catene montuose ad esempio. Leprecipitazioni avvengono nel versante della montagna che viene investito dallacorrente d’aria mentre sull’altro versante si trova aria più calda e asciutta.
12
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
4.2 Quali sono le caratteristiche rilevanti delle precipi-tazioni a terra e quali sono le loro distribuzioni?
Le principali caratteristiche secondo cui classificare le precipitazioni sono:
• Lo stato fisico (pioggia, neve grandine, rugiada).
• L’altezza: ovvero la quantità di precipitazione per unità di area (pro-iettata), spesso espressa in mm o cm.
• La durata: ovvero l’intervallo temporale durante il quale si registracon continuità precipitazione, o, a seconda dei contesti, la durata diregistrazione di un certo ammontare di precipitazione (a prescinderedalla continuità della stessa).
• L’altezza cumulata, l’altezza di precipitazione misurata in un intervallodi tempo prefissato, anche se dovuta a più eventi.
• L’ intervallo medio tra due precipitazioni successive (storm inter-arrivaltime).
• La distribuzione spaziale dei volumi di pioggia.
• La frequenza o il tempo di ritorno di una certa precipitazione conaltezza e durata assegnate.
• La qualità, ovvero la composizione chimica della precipitazione.
Fattori che influenzano le caratteristiche della precipitazione sono:
• Latitudine: le precipitazioni sono concentrate principalmente lungo l’e-quatore dove superano i 2000 mm di pioggia annui e si verificano spessofenomeni meteorologici estremi. In corrispondenza dei tropici si hannoaree secche e desertiche. Si ha una precipitazione media nelle zone tem-perate in cui si arriva a 1000 mm di pioggia annui. Si ha una decrescitadelle precipitazioni spostandosi dalla zona temperata verso i poli
• Quota: le precipitazioni tendono a crescere con la quota fino al rag-giungimento di una quota limite.
• Distanza dalle grandi masse d’acqua, posizione rispetto ai venti e di-sposizione orografica
Per quanto riguarda le distribuzioni statistiche si può vedere che le pre-cipitazioni medie annue hanno un andamento Gaussiano e le durate delleprecipitazioni hanno una distribuzione lognormale. Lo stesso può valere perl’intensità utilizzando, in ascissa, una scala logaritmica.
13
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
4.3 Si descrivano le proprietà delle linee segnalatrici dipossibilità pluviometrica
Le linee di possibilità pluviometrica sono delle funzioni che mettono in re-lazione l’altezza di precipitazione e la sua durata. Esse sono espresse dallalegge di potenza
h(tp, Tr) = a(Tr)tnp
dove h è l’altezza di precipitazione, tp il tempo di precipitazione, Tr il tem-po di ritorno e a e n dei parametri che dipendono dalle caratteristichepluviometriche, con n che non dipende dal tempo di ritorno.
Si può dimostrare che n ∈ [0; 1]: poichè l’altezza di precipitazione cumu-lata è una funzione non decrescente della durata, allora n > 0. Inoltre si puòdefinire l’intensità media come
J(tp, Tr) :=h(tp, Tr)
tp= a(Tr)t
n−1p
Essendo noto che tale quantità è decrescente col tempo allora è necessarioche valga la relazione n < 1.
Esse consentono di determinare le altezze di pioggia associate a eventipluviometrici di una certa durata e con un certo tempo di ritorno.
Le curve di possibilità pluviometrica vengono rappresentate in un dia-gramma bilogaritmico con in ascissa il tempo ed in ordinata l’altezza diprecipitazione. Le curve in questo diagramma hanno un andamento linearee, al variare del tempo di ritorno, si mantengono parallele.
4.4 Quali metodi esistono per determinare le linee se-gnalatrici di possibilità pluviometrica. Se ne descri-va uno.
Per determinare le linee segnalatrici di possibilità pluviometrica bisogna de-terminare, per ogni durata (1h, 3h, 6h, 12h e 24h), la corrispondenza traquantili e altezza di precipitazione. Per ogni durata si cercherà dunque diinterpolare i dati ad una distribuzione di probabilità. La famiglia di curvecandidata per questo scopo è la Curva di Gumbel
P [H < h, a, b] = e−e−h−ab
dove b è un parametro di forma ed a uno di posizione.Il problema resta stimare il parametri a e b della distribuzione di Gumbel.
Per farlo esistono tre modi
14
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
• Metodo dei momenti
• Metodo di massima verosimiglianza
• Metodo dei minimi quadrati
Si prende in esame il metodo dei momenti che, forse, è il più semplice daapplicare.
Si impone l’uguaglianza tra il momento campionario e la sua controparte,non osservabile, che caratterizza la popolazione, determinando lo stimatorecome soluzione dell’equazione che ne risulta.
Applicato alla distribuzione di Gumbel, il metodo si risolve eguagliandomedia (µh) e varianza (σ2
h) del campione con quelle della distribuzione chevalgono
E(x) = bγ + a
con γ = 0, 57721 costante di Eulero-Mascheroni e
V ar(x) = b2π2
6
Dalla risoluzione del sistema di equazioni
µh = bγ + a
σ2h = b2
π2
6si giunge alla stima dei parametri a e b.
Si deve poi ripetere l’operazione con gli altri metodi elencati. Si hannocosì tre coppie di parametri a e b; tramite il test di Pearson si decide qualedei tre metodi ha stimato meglio i parametri.
Una volta note le curve di Gumbel per i vari intervalli di tempo si pro-cede a determinare, per il tempo di ritorno voluto, i valori di altezza diprecipitazione.
Le linee segnalatrici di possibilità pluviometrica si ottengono interpolandoi punti (h, t) trovati in un grafico bilogaritmico.
5 Elementi di probabilità ed analisi statistica
5.1 Si illustrino gli assiomi della probabilità e il teoremadi Bayes
Detto Ω lo spazio degli eventi e A ⊆ Ω gli assiomi della probabilità sono
P (A) ≥ 0, A ∈ Ω
15
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
P (Ω) = 1
Ai ∩ Aj = ∅ ⇒ P (Ai ∪ Aj) = P (Ai) + P (Aj)
P (∅) = 0
Dagli assiomi si possono ricavare alcune formule come
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
P (A) = 1− P (Ac)
Si dice che la probabilità è condizionale se essa è assegnata a seguito dellaconoscenza dell’esito di altri eventi. Si scrive P (x | y) dove y è l’evento checondiziona x. Per la probabilità condizionata vale la formula di Bayes
P (x | y) = P (x ∩ y)
P (y)
La probabilità multivariata o composta è la probabilità che avvenganodue o più eventi. Si scrive P (x, y) e si intende la probabilità che avvenganosia l’evento x che quello y. Vale il teorema di Bayes secondo il quale
P (x, y) = P (x | y)P (y) = P (y | x)P (x)
5.2 Quali sono le grandezze statistiche elementari?
Preso un campione statistico, rappresentativo di una popolazione, esisto-no varie grandezze statistiche in grado di dare informazioni sintetiche sulcampione.
Una di queste è la media che si divide in media temporale
x :=1
n
n∑t=1
xt
e media spaziale
< x >:=1
n
n∑i=1
xi
La media rappresenta un indicatore di posizione.La moda invece rappresenta il valore più numeroso nel campione mentre
la mediana, ordinati gli elementi del campione, indica l’elemento che dividein due parti eguali il campione. Sempre tenendo i dati ordinati, il quantileè il valore che lascia alla sua sinistra l’x% del campione. La mediana, per
16
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
esempio, è il quantile per cui x = 50%. Moda, mediana e quantili sonoanch’essi indicatori di posizione.
Indicatori di forma sono invece il range, la varianza, la deviazione stan-dard, il coefficiente di variazione, la skewness e la kourtosis. Il range indicala differenza tra valore massimo e valore minimo del campione, da varianzaindica quanto i valori si discostano dalla media ed è definita come
V ar(x) =1
n
n∑i=1
(xi − x)2
la deviazione standard è la radice quadrata della varianza e si indica con ilsimbolo σ, il coefficiente di variazione
CVx :=σx
x
indica quanto la media è informativa ed indicatrice dell’andamento futuro diuna certa popolazione (più è grande CVx meno informativa è la media), laskewness misura l’assimetria dei dati ed è data dalla formula
skx :=n∑
i=1
1
n
(xi − x
σx
)3
la kourtosis, infine, rappresenta l’appiattimento della distribuzione e vale
kx := 3 +n∑
i=1
1
n
(xi − x
σx
)4
Assegnate due serie di dati hi = h1, ..., hn li = l1, ..., ln si definisce cova-rianza
Cov(hi, li) =1
n− 1
n∑1
(hi − hi)(li − li)
5.3 Che cos’è il tempo di ritorno. Come è legato aiconcetti di probabilità?
Si definisce tempo di ritorno il tempo medio che intercorre tra due eventi dieguali carratteristiche (altezza e durata) come ad esempio eventi atmosfericiestremi.
Siano T l’intervallo di tempo in cui viene fatta la campagna di misura-zione, n le misurazioni fatte nell’intervallo di tempo, m il tempo di campio-namento della singola misura e l il numero di eventi estremi che avvengononell’ intervallo di tempo si definisce tempo di ritorno come:
Tr :=T
l=
mn
l
17
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Si definisce frequenza di superamento
Fr(H > h) :=l
n
ed essendo complementare della frequenza di non superamento vale
Fr(H > h) = 1− Fr(H ≤ h)
Andando a sostituire nella formula del tempo di ritorno si ottiene
Tr =m
Fr(H > h)= P
m
1− Fr(H ≤ h)=
m
1− ECDF (h)
Nelle analisi statistiche più accurate, si tratterà di interpolare le frequnzeempiriche su particolari famiglie di distribuzioni di probabilità e quindi iltempo di ritorno si può definire come
Tr =m
1− P (H ≤ h)
5.4 Che cos’è il metodo dei momenti? Se ne mostri unaapplicazione.
Il metodo dei momenti in statistica è un metodo di ricerca degli stimatori.In base a questo metodo, uno stimatore deve soddisfare una condizione checaratterizza uno o più suoi momenti campionari; in generale si impone l’u-guaglianza tra il momento campionario e la sua controparte, non osservabile,che caratterizza la popolazione (ad esempio tra media campionaria e valo-re atteso per la popolazione), determinando lo stimatore come soluzione delsistema di equazioni che ne risulta.
In idrologia questo metodo è usato per determinare i parametri della curvadi Gumbel. Essendo caratterizzata da due parametri basta lavorare con duesoli momenti, nel nostro caso media e varianza.
SianoMH [1, θ] = EH [h] =
∫ ∞
−∞h pdfH(h, θ) dh
la media della popolazione e
MH [t, θ] =
∫ ∞
−∞(h− EH(h))
t pdfH(h, θ) dh
il momento di ordine t (ovvero la varianza se t = 2). Con pdfH(h, θ) si intendela funzione di distribuzione di probabilità.
18
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Applicato alla curva di Gumbel il metodo consiste nel risolvere il sistema
µh = bγ + a
σ2h = b2
π2
6
5.5 Che cos’è il metodo dei minimi quadrati? Se nemostri una applicazione.
Il metodo dei minimi quadrati è una tecnica di ottimizzazione che permettedi trovare una funzione che si avvicini il più possibile ad un’interpolazione diun insieme di dati. In particolare la funzione trovata deve essere quella cheminimizza la somma dei quadrati delle distanze dai punti dati.
Siano (xi, yi) i punti che rappresentano i dati in input. Si vuole trovareuna funzione f(x) tale che approssimi la successione di punti data. Que-sta può essere determinata minimizzando la distanza (euclidea) tra le duesuccessioni yi e f(xi), ovvero la quantità
n∑i=1
(yi − f(xi))2
La funzione f(x) di solito è parametrica tale per cui il numero di parametrida stimare sia minore dei dati disponibili.
In idrologia questo metodo è usato per determinare i parametri della curvadi Gumbel. In questo caso si tratta di definire lo scarto quadratico medio edi minimizzarlo.
Si consideri allora una serie di n misure h = h1, ..., hn si definisce scartoquadratico medio la quantità
δ2 =n∑
i=1
(Fi − P [H < hi; θ])2
dove Fi rappresenta la frequenza empirica di non superamento.Il minimo si ottiene imponendo nulle le derivate parziali dello scarto qua-
dratico medio rispetto ai parametri (nel nostro caso i parametri a e b dellacurva di Gumbel)
5.6 Che cos’è il metodo di massima verosimiglianza? Sene mostri una applicazione.
Il metodo di massima verosimiglianza in statistica è un procedimento mate-matico per determinare uno stimatore. Il metodo consiste nel massimizzare
19
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
la funzione di verosimiglianza, definita in base alla probabilità di osservareuna data realizzazione campionaria, condizionatamente ai valori assunti daiparametri oggetto di stima.
Questo metodo in idrologia è utilizzato per determinare i parametri dellacurva di gumbel.
Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di otte-nere la serie temporale registrata
P [h1, ..., hn , a, b]
che in caso di indipendenza dei dati osservati diventa
P [h1, ..., hn , a, b] = P [h1, ..., hn | a, b] =n∏
i=1
P [hi | a, b]
La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianzarappresenta ed è una funzione dei parametri a e b. Per semplificare i calcolisi definisce anche la funzione detta di logverosimiglianza
log(P [h1, ..., hn , a, b]) = log(n∏
i=1
P [hi | a, b])
Imponendo nulle le derivate rispetto ai parametri a e b della funzione dilogverosimiglianza, si trovano i valori dei parametri.
5.7 Si commentino le proprietà assiomatiche della pro-babilità
Gli assiomi della probabilità sono
P (A) ≥ 0, A ∈ Ω
P (Ω) = 1
Ai ∩ Aj = ∅ ⇒ P (Ai ∪ Aj) = P (Ai) + P (Aj)
P (∅) = 0
Dagli assiomi si possono ricavare alcune formule come
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
P (A) = 1− P (Ac)
Se A e B sono indipendenti
P (A ∩B) = P (A)P (B)
20
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
5.8 Si descrivano alcune distribuzioni di probabilità si-gnificative e si commentino le loro proprietà.
La distribuzione di probabilità più semplice è quella uniforme, ovvero ognielemento ha la stessa probabilità. Possiamo definire la densità di probabilitàcome
p(x) =1
x2 − x1
dove x1 e x2 sono gli estremi dell’intervallo contenente i dati.Un’altra distribuzione di probabilità è la distribuzione Gaussiana o Nor-
male. Essa è caratterizzata da densità di probabilità
p(x) =1
σ√2π
e12(
x−µσ )
2
Se σ2 = 1 e µ = 0 prende il nome di distribuzione Normale Strandard.La media della distribuzione vale µ e la varianza σ2.
É spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casua-li a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio.In idrologia le precipitazioni medie annue hanno un andamento Gaussiano.
Si definisce esponenziale la distribuzione avente densità di probabilità
p(x) = λe−λx
In questo caso i momenti valgono
E(x) =1
λ
V ar(x) =1
λ2
Essa descrive la durata di vita di un fenomeno che non invecchia come adesempio il decadimento di una particella radioattiva.
La distribuzione Gamma può essere considerata una generalizzazione del-la distribuzione esponenziale. La sua densità di probabilità vale
p(x) =xk−1e−
xθ
θkΓ(k)
con Γ(k) = (k − 1)!.La media vale
E(x) = kθ
e la varianzaV ar(x) = kθ2
21
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Fa parte della famiglia delle distribuzioni Gamma anche la distribuzionedel χ2.
La distribuzione di probabilità lognormale è la distribuzione di probabilitàdi una variabile aleatoria x il cui logaritmo y = log x segue una distribuzionenormale. Ha densità di probabilità
p(x) =1
x√2πσ2
y
e−(log(x)−µy)2
2σ2
I suoi momenti valgono E(x) = eµ+σ2
2 V ar(x) = (eσ2 − 1)e2µ+σ2
In idrologia molti fenomeni, come la durata e l’intensità di precipitazione,hanno un andamento lognormale.
5.9 Che cos’è il test di Pearson?
Il test di Pearson è un test non parametrico utilizzato per determinare qualemetodo aprossima meglio i parametri di una distribuzione che consiste invarie fasi
1. Suddividere il campo di probabilità in k parti
2. Derivarne una suddivisione del dominio
3. Contare il numero di dati presenti in ciascuna suddivisione
4. Calcolare la funzione
χ2 =k∑
j=1
(Nj − n(P [H < hj+1]− P [H < hj]))2
n(P [H < hj+1]− P [H < hj])
Una volta applicato il test di Pearson ai tre metodi usati per stimare iparametri a e b della curva di Gumbel scelgo gli outputs del metodo con χ2
minore.
5.10 Quali sono le distribuzioni dei valori estremi? Qua-li i loro elementi distintivi?
Esiste un teorema che afferma che, sotto condizioni abbastanza generali, ladistribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità nonpuò che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:
22
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
• Distribuzione di Gumbel
G(x) = e−e−x−ab
• Distribuzione di Frechét
G(x) = e−(x−ba )
−α
se x > b altrimenti nulla.
• Distribuzione di Weibull
G(x) = e−(−(x−ba ))
−α
se x < b altrimenti vale uno
I momenti di queste distribuzioni sono, per la curva di Gumbel
E(x) = bγ + a
V ar(x) = b2π2
6
per la distribuzione di Frechét
E(x) = Γ
(1− 1
α
)
V ar(x) = Γ
(1− 2
α
)−(Γ
(1− 1
α
))2
per la distribuzione di Weibull
E(x) = λΓ
(1 +
1
k
)
V ar(x) = λ2Γ
(1 +
2
h
)− µ2
Queste tre distribuzioni possono essere sintetizzate da un’unica distribu-zione a tre parametri detta GEV (generalized extreme values) che vale
G(x) = e−(1+ξ(x−µσ ))
− 1ξ
Si può notare che al variare del vaolore di ξ la distribuzione si riduce alletre precedenti. In particolare:
23
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
• ξ < 0 Weibull
• ξ = 0 Gumbel
• ξ > 0 Frechét
I momenti della GEV sono
E(x) = µ− σ
ξ+
σ
ξg1
V ar(x) =σ2
ξ2(g2 − g21)
5.11 Che cosa rappresenta la distribuzione del χ2 e inquale contesto di usa?
Se una variabile X è distribuita secondo secondo una curva normale standardallora la variabile
Q =k∑
i=1
X2i
è distribuita secondo la distribuzione del Chi quadro (χ2).Essa è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribu-
zione Gamma. L’unico parametro prende il nome di grado di libertà.La distribuzione di probabilità è
p(x) =1
2k2Γk
2
xk2−1e−
x2
se x > 0.I momenti della distribuzione sono
E(χk) = k
V ar(χk) = 2k
In generale il χ2 si usa per per stimare la bontà di una inferenza statistica.Il test ha forma generale
X2 =k∑
i=1
(Osservato− Atteso)2
Atteso
Nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte l’esperimento che haprodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione degli X2, ottenuta dallaripetizione dell’esperimento, sia un χ2 con k − 1 gradi di libertà.
24
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
6 R
6.1 Assegnata una serie temporale, quali sono i coman-di che permettono di disegnarne un grafico? E ungrafico a scatola? (Come si deve leggere un graficoa scatola?). Un istogramma? Piu’ grafici sovrap-posti? Quali sono le opzioni grafiche principali deicomandi di disegno che lei conosce?
Supponiamo che prt sia il vettore contenente dei dati, ad esempio delle por-tate giornaliere. Attualmente il vettore contiene solo dei dati (float) senzaalcun riferimento temporale. Sappiamo (perché ci è stato dato come infor-mazione esterna, ad esempio il nome del file) che i dati si riferiscono ad uncerto intervallo temporale.
Costruiamo quindi una sequenza di date tra gli intervalli temporali desi-derati
seq(from=as.Date("1990-01-02"),to=as.Date("2005-12-31"),by="days") -> ymd
Si assegna poi alla variabile time associata a prt il valore di ymd
time(prt) <- ymd
Possiamo ora disegnare il grafico delle portate. Così facendo in ascissacompaiono le date e non dei numeri interi come sarebbe accaduto se non fossestata assegnata la serie temporale. Per disegnarlo usiamo il comando
plot(prt,xlabel="anni",ylabel="portate")
Un altro modo per rappresentare i dati è il grafico a scatola o boxplot.Per disegnarlo si usa il comando
boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione (mm)")
dove hh è un vettore di dati che devono essere suddivisi in gruppi in base allavariabile h
I boxplot consentono una rappresentazione grafica della distribuzione deidati utilizzando indici di dispersione e posizione. Viene rappresentato (orien-tato orizzontalmente o verticalmente) tramite un rettangolo diviso in dueparti, da cui escono due segmenti. Il rettangolo (la scatola) è delimitato dalprimo e dal terzo quartile, q 1
4e q 3
4, e diviso al suo interno dalla mediana,
q 12. I segmenti (i baffi) sono delimitati dal minimo e dal massimo dei valo-
ri. In questo modo vengono rappresentati graficamente i quattro intervalliugualmente popolati delimitati dai quartili.
25
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Si possono usare anche degli istogrammi: l’istogramma è la rappresen-tazione grafica di una distribuzione in classi di un carattere continuo. Ècostituito da rettangoli adiacenti le cui basi sono allineate su un asse orien-tato e dotato di unità di misura. L’adiacenza dei rettangoli dà conto dellacontinuità del carattere. Ogni rettangolo ha base di larghezza pari all’am-piezza della corrispondente classe; l’altezza invece è calcolata come densità difrequenza, ovvero essa è pari al rapporto fra la frequenza (assoluta) associataalla classe e l’ampiezza della classe. L’area della superficie di ogni rettangolocoincide con la frequenza associata alla classe cui il rettangolo si riferisce.La somma delle aree dei rettangoli è uguale alla somma delle frequenze deivalori appartenenti alle varie classi.
Per disegnarlo si usa il comando:
hist(x,breaks=8,xlab="Precipitazion in mm",ylab="Frequenza")
dove il comando breaks=8 indica che le classi dell’istogramma sono otto.Per disegnare un grafico sovrapposto ad uno precedentemente disegna-
to basta utilizzare il comando lines al posto di plot avente la medesimasintassi.
I vari attributi assegnabili ad un grafico sono:
• xlab= ylab= per dare delle etichette agli assi
• main= per indicare il titolo del grafico
• col= per il colore del grafico
• lwd= per lo spessore della linea del grafico
• type= per il tipo di grafico da disegnare (linee, punti..)
6.2 Quali sono i principali oggetti (enti) di R? E qua-li operazioni si possono effettuare su di essi? Conquali operazioni si possono selezionare gli elementidi questi enti?
I principali enti di R sono
• scalari
• vettori
• matrici
26
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Con gli scalari è possibile effettuare tutte le comuni operazioni di algebra(somma, prodotto, logaritmi...). Per assegnare un valore ad un scalare bastausare il comando
a <- 2
Un vettore è un insieme di n numeri. Per assegnare un vettore occorreutilizzare il comando
vect <- c(1,2,3,4,5,6)
ed in questo caso si crea un vettore di sei elementi. Tutte le operazionialgebriche eseguite sugli scalari possono essere fatte sui vettori ed, in questocaso, vengono eseguite elemento per elemento.
Altri comandi utilizzabili con i vettrori sono:
• length() per calcolare il numero di elementi del vettore
• max() e min() per trovare massimo e minimo
• sum() per calcolare la somma degli elementi del vettore
• var() per calcolare la varianza
• sqrt(var()) per calcolare lo scarto quadratico medio
La matrice ha tante righe quanti sono i casi e tante colonne quante sonole variabili. Nell’intersezione tra una riga e una colonna sta un dato, cioè ilvalore assegnato a un certo caso su una certa proprietà. Il dato può essere saquantitativo che qualitativo. Le colonne della matrice dei dati che contengonovariabili quantiative sono dette vettori.
Supponiamo di avere tre variabili costituite dallo stesso numero di ele-menti
x <- c(1,2,3,4,5,6)y <- c(6,5,4,3,3,1)z <- factor(c(’a’,’b’,’c’,’d’,’e’,’f’))
In questo caso x e y sono quantitative mentre z è qualitativa (il comandofactor() indica che la variabile è qualitativa).
Per creare la matrice basta usare il comando
dat <- data.frame(x,y,z)
27
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
Per conoscere la dimensione della matrice basta eseguire il comando dat()Per selezionare un solo elemento di un vettore basta digitare il comando
x[2] dove x è il nome del vettore di cui mi interessa solo il secondo elemento.Per le matrici è possibile selezionare un solo elemento con il comando
dat[2,3] dove vado a selezionare il terzo elemento della seconda riga, possoselezionare un’intera riga con il comando dat[2,] oppure un’intera colonnacon il comando dat[,3]
6.3 Si spieghino i seguenti comandi: p*(), d*(), q*(),r*(). Dove * sta per norm, gamma o un’altra di-stribuzione
• p*() consente di calcolare i valori di densità cumulata secondo la di-stribuzione
• d*() fornisce i valori della densità di probabilità della distribuzione(cit. the comand dnorm is designed to provide values of the probabilitydensity function for the normal distribution)
• q*() è l’inverso della funzione p*() ovvero, dato un valore di densitàcumulata ricava il valore della x corrispondente
• r*() genera numeri random che però rispettano la distribuzione asse-gnata
7 JGrass
7.1 Che cosa sono Location e Mapset?
• LOCATION: fisicamente una cartella su file system in cui sono conte-nute le informazioni relative al sistema di coordinate ed alla proiezionedei dati contenuti
• MAPSET: fisicamente anch’esso una cartella all’interno della Locatione rappresenta l’ambiente di lavoro principale di JGrass in cui sonocontenuti i dati veri e propri
28
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
7.2 Si descriva l’istallazione e l’ambiente di lavoro diuDig e dello Spatial Toolboox.
La versione di uDig utilizzata è la 1.3.2. Per prima cosa occorre scaricaredal sito di uDig l’installer e procedere quindi con l’installazione seguendo leistruzioni a video.
L’ambiente di lavoro si divide in varie aree: in basso vi è la vista delcatalogo, a sinistra ci sono le caselle della vista dei piani e dei progetti, alcentro vi è la mappa, in alto gli strumenti di navigazione (zoom, pan..) esulla destra i vari toolbox.
Lo spatial toolbox (posto sulla destra dello schermo) contiene tutti i co-mandi relativi all’elaborazione delle mappe. Una famiglia di comandi pre-senti nello spatial toolbox riguarda i comandi della Horton Machine che sisuddivite in 7 sottocategorie:
• Network: Comandi che permettono di determinare alcune proprietà delreticolo idrografico.
• Hydro-Geomorphology: Comandi che permettono di svolgere analisi diun bacino idrografico.
• Basin: Comandi che permettono di determinare alcuni indici relativi albacino idrografico.
• Geomorphology: Comandi che permettono di calcolare alcuni attributidel bacino quali pendenza, direzioni di drenaggio, aree contribuenti.
• Hillslope: Comandi che permettono di calcolare alcune caratteristichedei versanti del bacino e di determinare una classificazione in base alleloro proprietà morfologiche.
• DEM Manipulation: Comandi che permettono di svolgere analisi pre-liminari sui modelli digitali del terreno.
• Statistics: Comandi che permettono di condurre alcune analisi statisti-che sui bacini.
7.3 Quali sono i formati digitali (raster e vettoriali)più diffusi? Ne saprebbe spiegare alcuni elementidistintivi?
I formati raster più diffusi sono
29
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
• TIFF devono essere georeferenziati ovvero GEO-TIFF. L’informazionelegata alla proiezione può essere contenuta già nel TIFF oppure esserescritta in un file a parte con estensione TFW (o JGW).
• GIFF.
• JPEG.
• ASCII contengono le informazioni legate alla regione ed alla localizza-zione dei dati.
Il più diffuso formato di files vettoriale è sicuramente lo shapefile. Un fileshapefile è costituito da una famiglia di files e comprende in particolare:
• .shp contiene le informazioni legati alla forma delle features
• .shx contiene un indice di posizione delle features per velocizzare lequeries al file
• .dbf contiene gli attributi collegati alle features
• .prj contiene le informazioni legate al sistema di coordinate ed allaproiezione dei dati
• .shp.xml contiene i metadati collegati alle features
Altri formati supportati dalla maggior parte dei GIS sono: tab, dxf, dwg,E00, ascii...
7.4 Si illustrino alcuni comandi (quelli visti a lezione)della Horton Machine spiegandone il significato.
I comandi della Horton Machine visti a lezione sono:
• PitFiller consente di eliminare dal DTM i punti di depressione dovutia calcoli sbagliati effettuati durante la fase di creazione del DTM e per-ciò non realmente presenti ma che impediscono il calcolo delle direzionidi drenaggio in ogni punto.
• Gradients calcola i gradienti definiti come ∇z = (fx, fy)
• Slope calcola l’inclinazione tra due pixel facendo il rapporto tra il di-slivello e la proiezione orizzontale della distanza tra i centri dei duepixel
30
www.
ingam
bunit
n.wor
dpres
s.com
• Aspect calcola per ogni punto l’esposizione che è definita come ladirezione del gradiente rispetto al Nord.
• Flowdirection consente di calcolare le direzioni di drenaggio per ognipixel in relazione alla topografia della regione considerata. Viene fattal’ipotesi che ogni cella dreni solo in una delle otto celle ad essa adia-centi, nella direzione di massima pendenza; però questo provoca unadeviazione del flusso rispetto al percorso realmente seguito dall’acquadurante la discesa da monte verso valle.
• Draindir corregge questa deviazione utilizzando due differenti metodi:LAD method che considera la deviazione angolare e LTD method checonsidera la deviazione trasversale. Nel nostro caso è stato utilizza-to LAD method. Dalla mappa si può individuare l’orientamento deiversanti del bacino.
• Tca consente di calcolare l’area contribuente ad ogni punto del baci-no; precisamente essa rappresenta la proiezione planare delle aree cheafferiscono ad ogni punto del bacino.
• h.markoutlets marca con valori 10, nella mappa che rappresenta ledirezioni di flusso, le uscite del bacino cioè i pixels che drenano fuoridall’area analizzata. Per gradiente si intende la direzione lungo la qualeè massima la variazione della grandezza in esame, in questo caso lapendenza.
• Extractnetwork consente di estrarre il reticolo idrografico. Può farloin tre modi: imponendo un limite sulle aree contribuenti, imponendoun limite sul prodotto tra aree contribuenti e pendenza oppure me-diante una soglia come la precedente considerando, però, solo i punticonvergenti.
• Curvatures calcola la curvatura longitudinale, normale e planare.
31