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Risposte allo scalino di sistemi del I e II ordine Marcello Farina

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Risposte allo scalino di sistemi del I e II ordine

Marcello Farina

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

2 Sommario

Struttura generale delle funzioni di trasferimento

Caratteristichedella risposta allo scalino di principale interesse

Risposte allo scalino

Ritardo di tempo

Approssimazione di sistemi di ordine superiore

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

3 Struttura generale delle funzioni di trasferiento

- Poli reali: 𝑠 = −𝑝𝑖 = −1

𝑇𝑖

- Zeri reali: 𝑠 = −𝑧𝑖 = −1

𝜏𝑖

- 𝜇: guadagno del sistema (oss: 𝜇=G(0) solo se g=0)

- 𝜌: costante di trasferimento

- g: tipo del sistema (intero positivo o negativo) – rappresentano poli (se g>0) o zeri (se g<0) nell’origine.

- Poli complessi coniugati: 𝑠 = −𝜉𝑖𝜔𝑛𝑖 ± 𝑗𝜔𝑛𝑖 1 − 𝜉𝑖2, dove 𝜔𝑛𝑖 è la pulsazione

naturale e 𝜉𝑖 è lo smorzamento della coppia di poli

- Zeri complessi coniugati: 𝑠 = −𝜁𝑖𝛼𝑛𝑖 ± 𝑗𝛼𝑛𝑖 1 − 𝜁𝑖2, dove 𝛼𝑛𝑖 è la pulsazione

naturale e 𝜁𝑖 è lo smorzamento della coppia di zeri

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

4 Sommario

Struttura generale delle funzioni di trasferimento

Caratteristichedella risposta allo scalino di principale interesse

Risposte allo scalino

Ritardo di tempo

Approssimazione di sistemi di ordine superiore

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Caratteristiche di principale interesse della risposta allo scalino

- Valore di regime 𝑦∞: 𝑦∞ = lim𝑡→∞

𝑦(𝑡)

- Valore massimo: 𝑦𝑚𝑎𝑥 = max𝑡≥0

𝑦(𝑡)

- Sovraelongazione massima percentuale: 𝑆% = 100

𝑦𝑚𝑎𝑥−𝑦∞

𝑦∞

- Tempo di assestamento: tempo necessario affinchè 𝑦 𝑡 − 𝑦∞ < 𝜀𝑦∞ ∀𝑡 ≥ 𝑇𝑎𝜀

- Periodo di oscilllazione 𝑇𝑃: distanza temporale tra due massimi dell’uscita

G(s) 𝑦(𝑡) 𝑢(𝑡)=sca(t)

𝜇 = 1, 𝑦0 = 0

𝑦∞

𝑦𝑚𝑎𝑥

𝑆%

𝑇𝑎𝜀

𝑇𝑃

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

6 Sommario

Struttura generale delle funzioni di trasferimento

Caratteristichedella risposta allo scalino di principale interesse

Risposte allo scalino

Ritardo di tempo

Approssimazione di sistemi di ordine superiore

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Sistemi del I ordine

𝐺 𝑠 =𝜇

1 + 𝑇𝑠

𝑈 𝑠 =1

𝑠 → 𝑌 𝑠 =

𝜇

𝑠(1 + 𝑇𝑠) → 𝑦 𝑡 = 𝜇(1 − 𝑒−

𝑡𝑇)𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Sistemi del I ordine

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 − 𝑒−𝑡𝑇)𝑠𝑐𝑎(𝑡)

• 𝑦∞ = 𝜇 • 𝑦 0 = 0

• 𝑦 𝑡 =𝜇

𝑇𝑒−

𝑡

𝑇, 𝑦 0 =𝜇

𝑇

• Più diminuisce T (il polo si sposta a sinistra) più diminuisce il tempo di salita • Il tempo di assestamento è 𝑇𝑎𝜀 = 𝑇|log(0.01𝜀)|, per esempio 𝑇𝑎5 ≅3T,

𝑇𝑎1 ≅ 4.6T

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Sistemi del II ordine – due poli reali (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎)

𝐺 𝑠 =𝜇

(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)

𝑈 𝑠 =1

𝑠 → 𝑌 𝑠 =

𝜇

𝑠(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −𝑇1

𝑇1 − 𝑇2𝑒−𝑡𝑇1 +

𝑇2𝑇1 − 𝑇2

𝑒−𝑡𝑇2)𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −𝑇1

𝑇1 − 𝑇2𝑒−𝑡𝑇1 +

𝑇2𝑇1 − 𝑇2

𝑒−𝑡𝑇2)𝑠𝑐𝑎(𝑡)

• 𝑦∞ = 𝜇 • 𝑦 0 = 0

• 𝑦 𝑡 =𝜇

𝑇1−𝑇2𝑒−

𝑡

𝑇1 − 𝑒−

𝑡

𝑇2 ≥ 0 ∀𝑡

• 𝑦 0 = 0 • Più diminuiscono 𝑇1 e 𝑇2 (i poli si spostano a

sinistra) più diminuiscono il tempo di salita e il tempo di assestamento 𝑇𝑎𝜀 (la relazione non è immediata)

• Se 𝑇2 ≪ 𝑇1 l’esponenziale più lenta (avente costante di tempo 𝑇1) domina la forma della risposta, e si ottiene (per 𝑡 ≥ 4 ÷ 5 𝑇2) che

𝑦 𝑡 ≅ 𝜇(1 − 𝑒

−𝑡𝑇1)𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Sistemi del II ordine – due poli reali (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Sistemi del II ordine – due poli reali coincidenti (𝑻𝟏 = 𝑻𝟐 = 𝑻 > 𝟎)

𝐺 𝑠 =𝜇

(1 + 𝑇 𝑠)2

𝑈 𝑠 =1

𝑠 → 𝑌 𝑠 =

𝜇

𝑠(1 + 𝑇 𝑠)2

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 − 𝑒−

𝑡𝑇 −

𝑡

𝑇𝑒−

𝑡𝑇 )𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 − 𝑒−

𝑡𝑇 −

𝑡

𝑇𝑒−

𝑡𝑇 )𝑠𝑐𝑎(𝑡)

• L’andamento qualitativo è simile al caso precedente (per 𝑇2 ≅ 𝑇1)

• In questo caso è possibile valutare il tempo di assestamento: • 𝑇𝑎5 ≅ 4.74T, • 𝑇𝑎1 ≅ 6.64T

Sistemi del II ordine – due poli reali coincidenti (𝑻𝟏 = 𝑻𝟐 = 𝑻 > 𝟎)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Sistemi del II ordine – Poli reali distinti (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎) e uno zero (𝝉 ≠ 𝑻𝟏, 𝝉 ≠ 𝑻𝟐)

𝐺 𝑠 =𝜇(1 + 𝜏𝑠)

(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)

𝑈 𝑠 =1

𝑠 → 𝑌 𝑠 =

𝜇(1 + 𝜏𝑠)

𝑠(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −𝑇1 − 𝜏

𝑇1 − 𝑇2𝑒−𝑡𝑇1 +

𝑇2 − 𝜏

𝑇1 − 𝑇2𝑒−𝑡𝑇2)𝑠𝑐𝑎(𝑡)

• 𝑦∞ = 𝜇 • 𝑦 0 = 0

• 𝑦 𝑡 =𝜇

𝑇1−𝑇2

𝑇1−𝜏

𝑇1𝑒−

𝑡

𝑇1 −𝑇2−𝜏

𝑇2𝑒−

𝑡

𝑇2

• 𝑦 0 =𝜇𝜏

𝑇1𝑇2 → dipende dal segno di 𝜏!

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −𝑇1 − 𝜏

𝑇1 − 𝑇2𝑒−𝑡𝑇1 +

𝑇2 − 𝜏

𝑇1 − 𝑇2𝑒−𝑡𝑇2)𝑠𝑐𝑎(𝑡)

CASO I: 𝝉 < 𝟎

𝑦 0 < 0: c’è «sottoelongazione» (RISPOSTA INVERSA), che è tanto più pronunciata tanto più |𝜏| assume valori elevati (lo zero si avvicina all’origine)

In generale, quando ci sono zeri con parte reale positiva (𝑠 = −1

𝜏> 0) si verifica il

fenomeno della risposta inversa.

Sistemi del II ordine – Poli reali distinti (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎) e uno zero (𝝉 ≠ 𝑻𝟏, 𝝉 ≠ 𝑻𝟐)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

CASO II: 𝝉 > 𝑻𝟏

Sistemi del II ordine – Poli reali distinti (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎) e uno zero (𝝉 ≠ 𝑻𝟏, 𝝉 ≠ 𝑻𝟐)

• 𝑦 𝑡 =𝜇

𝑇1−𝑇2

𝑇1−𝜏

𝑇1𝑒−

𝑡

𝑇1 −𝑇2−𝜏

𝑇2𝑒−

𝑡

𝑇2

• 𝑦 0 > 0 (crescente al tempo 𝑡 = 0) • Esiste istante 𝑡 > 0 in cui derivata cambia segno:

𝑡 =𝑇1𝑇2

𝑇1−𝑇2|log(

𝑇1−𝜏

𝑇2−𝜏

𝑇2

𝑇1)|

cioè una sovraelongazione, che è tanto più marcata tanto il valore di 𝜏 aumenta (lo zero si avvicina all’origine)

In generale, quando ci sono zeri con parte reale negativa e modulo minore di quello dei poli (reali) si verifica il fenomeno delle sovraelongazioni (senza oscillazioni).

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

CASO III: 𝑻𝟏 > 𝝉 > 𝑻𝟐

Sistemi del II ordine – Poli reali distinti (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎) e uno zero (𝝉 ≠ 𝑻𝟏, 𝝉 ≠ 𝑻𝟐)

• 𝑦 𝑡 =𝜇

𝑇1−𝑇2

𝑇1−𝜏

𝑇1𝑒−

𝑡

𝑇1 −𝑇2−𝜏

𝑇2𝑒−

𝑡

𝑇2 ≥ 0 ∀𝑡

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

CASO III: 𝑻𝟏 > 𝝉 > 𝑻𝟐

Sistemi del II ordine – Poli reali distinti (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎) e uno zero (𝝉 ≠ 𝑻𝟏, 𝝉 ≠ 𝑻𝟐)

• Se τ ≅ 𝑇1 l’andamento dell’uscita può essere approssimato con

𝑦(𝑡) ≅ 𝜇(1 − 𝑒−

𝑡

𝑇2) Anche se le risposte sono leggermente diverse (coppia polo/zero trascurata ha dinamiche lente) • Se τ ≅ 𝑇2 l’andamento dell’uscita può essere approssimato con

𝑦(𝑡) ≅ 𝜇(1 − 𝑒−

𝑡

𝑇1) e in questo caso non si verifica il fenomeno della deriva lenta perché il polo trascurato ha dinamiche veloci

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

CASO IV: 𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝝉

Sistemi del II ordine – Poli reali distinti (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎) e uno zero (𝝉 ≠ 𝑻𝟏, 𝝉 ≠ 𝑻𝟐)

• 𝑦 𝑡 =𝜇

𝑇1−𝑇2

𝑇1−𝜏

𝑇1𝑒−

𝑡

𝑇1 −𝑇2−𝜏

𝑇2𝑒−

𝑡

𝑇2 ≥ 0 ∀𝑡

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Sistemi del II ordine – Poli reali distinti (𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝟎) e uno zero (𝝉 ≠ 𝑻𝟏, 𝝉 ≠ 𝑻𝟐)

• Come già visto, se τ ≅ 𝑇2 l’andamento dell’uscita può essere approssimato con

𝑦(𝑡) ≅ 𝜇(1 − 𝑒−

𝑡

𝑇1) • Più 𝜏 diminuisce (il polo si «allontana» a sinistra) più la risposta tende a quella del sistema del II

ordine privo di zeri (caso II).

CASO IV: 𝑻𝟏 > 𝑻𝟐 > 𝝉

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Sistemi del II ordine – poli complessi coniugati

𝐺 𝑠 =𝜇𝜔𝑛

2

𝑠2+2𝜉𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2 → poli in 𝑠 = −𝜉𝑖𝜔𝑛𝑖 ± 𝑗𝜔𝑛𝑖 1 − 𝜉𝑖

2

𝑈 𝑠 =1

𝑠 → 𝑌 𝑠 =

𝜇𝜔𝑛2

𝑠(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2)

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −1

1 − 𝜉2𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 sin( 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + arccos (𝜉)))𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Parte reale dei poli Parte immaginaria dei poli

• Se 𝜉 > 0 il sistema è asintoticamente stabile • Se 𝜉 = 0 il sistema è semplicemente stabile e la risposta è

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 − cos(𝜔𝑛𝑡))𝑠𝑐𝑎(𝑡) • I punti di stazionarietà (𝑦 𝑡 𝑘 = 0) di y(t) sono

𝑡 𝑘 =𝑘𝜋

𝜔𝑛 1−𝜉2

e i valori di y(t) assunti in questi punti sono

𝑦(𝑡 𝑘)=𝜇(1 − (−1)𝑘𝑒

−𝜉𝑘𝜋

1−𝜉2)

𝑡 1 𝑡 2 𝑡 3 𝑡 4 𝑡 5

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

• 𝑦∞ = 𝜇 • 𝑦 0 = 0

• 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦 𝑡 1 = 𝜇(1 + 𝑒

−𝜉𝜋

1−𝜉2)

• S%=100𝑒

−𝜉𝜋

1−𝜉2 sovraelongazione massima

percentuale

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −1

1 − 𝜉2𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 sin( 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + arccos (𝜉)))𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Sistemi del II ordine – poli complessi coniugati

𝑡 1

𝑦𝑚𝑎𝑥

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

• 𝑦∞ = 𝜇 • 𝑦 0 = 0

• 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦 𝑡 1 = 𝜇(1 + 𝑒

−𝜉𝜋

1−𝜉2)

• S%=100𝑒

−𝜉𝜋

1−𝜉2 sovraelongazione massima

percentuale • E’ facile fornire un’approssimazione del tempo di

assestamento: i massimi e i minimi (punti stazionari) di y(t) giacciono sulle funzioni:

𝑦𝑀(𝑡) = 𝜇(1 + 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡) 𝑦𝑚(𝑡) = 𝜇(1 − 𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡) per calcolare 𝑇𝑎𝜀 si calcolano gli istanti in cui queste funzioni «modulanti» entrano nella fascia [𝜇 1 − 0.01𝜀 , 𝜇 1 + 0.01𝜀 ], e si trova:

𝑇𝑎𝜀 =

1

𝜉𝜔𝑛|log(0.01𝜀)|

Sistemi del II ordine – poli complessi coniugati

𝑡 1

𝑦𝑚𝑎𝑥

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

• 𝑦∞ = 𝜇

• 𝑦 0 = 0

• 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦 𝑡 1 = 𝜇(1 + 𝑒

−𝜉𝜋

1−𝜉2)

• S%=100𝑒

−𝜉𝜋

1−𝜉2 sovraelongazione massima percentuale

• 𝑇𝑎𝜀 =1

𝜉𝜔𝑛|log(0.01𝜀)| tempo di assestamento

• 𝑇𝑃 =2𝜋

𝜔𝑛 1−𝜉2 periodo di oscillazione

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −1

1 − 𝜉2𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 sin( 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + arccos (𝜉)))𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Sistemi del II ordine – poli complessi coniugati

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −1

1 − 𝜉2𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 sin( 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + arccos (𝜉)))𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Sistemi del II ordine – poli complessi coniugati

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −1

1 − 𝜉2𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 sin( 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + arccos (𝜉)))𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Sistemi del II ordine – poli complessi coniugati

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

𝑦 𝑡 = 𝜇(1 −1

1 − 𝜉2𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 sin( 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + arccos (𝜉)))𝑠𝑐𝑎(𝑡)

Sistemi del II ordine – poli complessi coniugati

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

27 Sommario

Struttura generale delle funzioni di trasferimento

Caratteristichedella risposta allo scalino di principale interesse

Risposte allo scalino

Ritardo di tempo

Approssimazione di sistemi di ordine superiore

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Ritardo di tempo

G(s) 𝑦(𝑡 − 𝜏) 𝑢(𝑡)

𝑒−𝑠𝜏 𝑢(𝑡 − 𝜏)

G(s) 𝑦(𝑡)

𝑒−𝑠𝜏 y(𝑡 − 𝜏) 𝑢(𝑡)

La risposta è identica al caso in cui il ritardo è assente, tranne che l’istante iniziale della risposta è 𝑡 = 𝜏 (invece di 𝑡 = 0)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

29 Sommario

Struttura generale delle funzioni di trasferimento

Caratteristichedella risposta allo scalino di principale interesse

Risposte allo scalino

Ritardo di tempo

Approssimazione di sistemi di ordine superiore

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Approssimazione di sistemi di ordine superiore: cancellazione polo/zero

Si è visto, per funzioni di trasferimento del tipo

𝐺 𝑠 =𝜇(1 + 𝜏𝑠)

(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)

che, se 𝜏 ≅ 𝑇1, la risposta è approssimabile a quella del sistema

e che, se 𝜏 ≅ 𝑇2, la risposta è approssimabile a quella del sistema

𝐺 𝑠 =𝜇

1 + 𝑇2𝑠

𝐺 𝑠 =𝜇

1 + 𝑇1𝑠

ESEMPIO

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

• E’ stata svolta un’approssimazione consistente nella cancellazione di uno zero e un polo con parte reale negativa avente valori simili.

• Benchè sia un’approssimazione, l’effetto è trascurabile ai fini della risposta allo scalino (specialmente nel secondo caso)

Approssimazione di sistemi di ordine superiore: cancellazione polo/zero

REGOLA: qualora ci siano coppie polo-zero vicini tra loro nel piano complesso con parte reale negativa, è possibile forzare la cancellazione mantenendo invariati gli altri parametri (tra i quali il GUADAGNO) per ottenere un modello approssimato di ordine ridotto ma con caratteristiche simili a quello di partenza (almeno per quanto riguarda la risposta allo scalino).

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Approssimazione di sistemi di ordine superiore: poli dominanti

ESEMPIO 1

Si è visto, per funzioni di trasferimento del tipo

𝐺 𝑠 =𝜇(1 + 𝜏𝑠)

(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)

che, se 𝜏 ≪ 𝑇2, la risposta è approssimabile a quella del sistema

𝐺 𝑠 =𝜇

(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

ESEMPIO 2

Si è visto, per funzioni di trasferimento del tipo

che, se 𝑇2≪ 𝑇1, la risposta è approssimabile a quella del sistema

𝐺 𝑠 =𝜇

(1 + 𝑇1𝑠)(1 + 𝑇2𝑠)

Approssimazione di sistemi di ordine superiore: poli dominanti

𝐺 𝑠 =𝜇

(1 + 𝑇1𝑠)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Approssimazione di sistemi di ordine superiore: poli dominanti

• Data G(s) (dopo aver svolto le opportune cancellazioni polo-zero), i poli dominanti sono i poli (ϵℂ) nettamente più vicini all’asse immaginario rispetto agli altri.

REGOLA: la risposta allo scalino di un sistema con poli dominanti può essere approssimata con quella di un sistema con funzione di trasferimento avente soltanto il polo dominante e il guadagno pari a quello di partenza. E’ opportuno tener conto di zeri: • che abbiano distanza dall’asse immaginario confrontabile o minore

con quella dei poli dominanti • che abbiano parte reale positiva

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Approssimazione di sistemi di ordine superiore.

ESEMPIO

𝐺 𝑠 =−10(𝑠 + 10)(𝑠 − 8)

(𝑠 + 1)(𝑠 + 100)(𝑠 + 9)=8

9

(1 + 𝑠/10)(1 − 𝑠/8)

(1 + 𝑠)(1 + 𝑠/100)(1 + 𝑠/9)

- Poli: 𝑠 = −1,−100,−9 (sistema stabile!); costanti di tempo dei poli 𝑇𝑖 = 1,1

100,1

9

- Zeri: 𝑠 = −10, 8 parte reale positiva! ; costanti di tempo degli zeri: 𝜏𝑖 =1

10, −

1

8

- 𝜇 =8

9: guadagno del sistema

- 𝜌 = −10: costante di trasferimento

- g=0: tipo del sistema.

• cancellazioni polo/zero:

𝐺1 𝑠 =8

9

(1 − 𝑠/8)

(1 + 𝑠)(1 + 𝑠/100)

• polo dominante:

𝐺2 𝑠 =8

9

(1 − 𝑠/8)

(1 + 𝑠)

• cancellazione non consigliata dello zero con parte reale positiva:

𝐺3 𝑠 =8

9

1

(1 + 𝑠)

Fondamenti di Automatica Marcello Farina

Approssimazione di sistemi di ordine superiore.

ESEMPIO

𝐺 𝑠 =−10(𝑠 + 10)(𝑠 − 8)

(𝑠 + 1)(𝑠 + 100)(𝑠 + 9)=8

9

(1 + 𝑠/10)(1 − 𝑠/8)

(1 + 𝑠)(1 + 𝑠/100)(1 + 𝑠/9)

- Poli: 𝑠 = −1,−100,−9 (sistema stabile!); costanti di tempo dei poli 𝑇𝑖 = 1,1

100,1

9

- Zeri: 𝑠 = −10, 8 parte reale positiva! ; costanti di tempo degli zeri: 𝜏𝑖 =1

10, −

1

8

- 𝜇 =8

9: guadagno del sistema

- 𝜌 = −10: costante di trasferimento

- g=0: tipo del sistema.

• cancellazioni polo/zero:

𝐺1 𝑠 =8

9

(1 − 𝑠/8)

(1 + 𝑠)(1 + 𝑠/100)

• polo dominante:

𝐺2 𝑠 =8

9

(1 − 𝑠/8)

(1 + 𝑠)

• cancellazione non consigliata dello zero con parte reale positiva:

𝐺3 𝑠 =8

9

1

(1 + 𝑠)