rjeŠavanje nelinearnih algebarskih jednadŽbi
DESCRIPTION
RJEŠAVANJE NELINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI. Metoda bisekcije, iteracije, tangente, sekante, regula falsi. Problem?. Zadana je jednadžba f(x)=0 Prvo moramo odrediti interval u kojem se nalazi nul točka funkcije Ako se nul točka nalazi u [a,b], onda vrijedi f(a)f(b)TRANSCRIPT
RJEŠAVANJE NELINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBIMetoda bisekcije, iteracije, tangente, sekante, regula falsi
Problem?
Zadana je jednadžba f(x)=0 Prvo moramo odrediti interval u kojem se
nalazi nul točka funkcije Ako se nul točka nalazi u [a,b], onda vrijedi f(a)f(b)<0
Što ako je funkcija prekidna?
Kako odrediti interval?
1. Tablično
2. Grafički
Zadatak: Odredite intervale u kojima se nalaze rješenja jednadžbe
03 xex
Metoda polovljenja intevala ili metoda bisekcije
,...2
:0)()(
:0)()(
0)(2
1
0
abc
cabfcf
cbcfaf
cfab
c
bx
ax
Funkcije f(x) je definirana na intevalu [a,b], gdje bez smanjenja općenitosti uzmimo da ja a<b, i pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi barem jedna nultočka
Onda je gotovo! A ako to ne vrijedi nego:
Pogreška
Na početku je zadana točnost
U prvom koraku pogreška je jednaka
U k-tom koraku greška je
Kriterij zaustavljanja
k
k
ab
ab
abcb
2
2
2
Zadatak:
Metodom bisekcije rješite jednadžbus točnošću 10-3
05,13 x
Moramo odrediti interval gdje se nultočka nalazi, a zatim naći rješenje gdje pritom pazimo da se zaustavimo kada zadovoljimo kriterij zaustavljanja.
Koja je mana ove metode
Mana ove metode je da je spora tj. postoje puno brže metode nalaženja rješenja jednadžbe odnosno postupci koji puno brže konvergiraju k rješenju
METODA ITERACIJEFunkcije f(x) je definirana na intevalu [a,b], gdje bez smanjenja općenitosti uzmimo da ja a<b, i pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi barem jedna nultočka.
Zadana je funckija f(x)=0.Prvo dodamo lijevo i desno x, pa imamo
x+f(x)=x
Zatim lijevu stranu zamijenimo s novom funcijom
xx )(
Naziva se metoda iteracije jer se uvrštavanjem nekog “rješenja” sve više približavamo pravom rješenju. Taj postupak ponavljamo određen broj puta dok ne zadovoljimo kriterij zaustavljanja.
)(
)(
)(
)(
1
21
12
01
0
nn
nn
xx
xx
xx
xx
x
“rješenje”
ZADATAK
Riješite jednadžbu ako znamo da se njezino rješenje nalazi na intervalu [3,5]
Uz uvjet
02ln xx
410
Newtonova metoda(metoda tangente) Uvjeti:
Funkcija je konveksna ili konkavna
0)('')(
0)()(
00 xfxf
bfaf
Ponovimo isti postupak više puta:
Kako izračunati novu približnu vrijednost nul točke(aproksimaciju)
)('
)(1
n
nnn xf
xfxx
Pogreška i kriterij zaustavljanja
Na početku je zadana točnost
)('
)(|| 1
n
nnn xf
xfxx
Zadatak
Izračunajte rješenja jednadžbe
x-sinx-0.25=0
s točnošću 10-4
METODA SEKANTE
Uvjeti: Funkcija je konveksna ili
konkavna Zadane su prva dva čvora 0)()( bfaf
Kako izračunati novu približnu vrijednost nul točke(aproksimaciju)
)()()( 1
11 n
nn
nnnn xf
xfxf
xxxx
Pogreška i kriterij zaustavljanja
Na početku je zadana točnost
)(
)()(||
1
11 n
nn
nnnn xf
xfxf
xxxx
Izračunajte rješenja jednadžbe
s točnošću 10-4
14
1arctan
22
x
x
REGULA FALSI
Uvjeti:
0)()( bfafOno što ne mora biti zadovoljeno je uvjet konveksnosti odnosno konkavnosti
Zašto ne mora biti zadovoljen uvjet konveksnosti odnosno konkavnosti Jer se metoda prilagođava
situaciji, ali na koji način: pomoću granica glavnog intervala izračuna novu točku:
)()()(
bfafbf
abbc
A zatim čini provjeru:
cabfcf
cbcfaf
:0)()(
:0)()(
Ovim postupkom se napravi korekcija početnog intervala
Pogreška i kriterij zaustavljanja
Ima isti kriterij zaustavljanja kao i metoda sekante.
KOMBINIRANE METODE
Možemo kombinirati navedene metode:Sekanta i bisekcijaRegula falsi i bisekcijaTangenta i sekanta