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Rechnerorganisation – 3. Vorlesung
• Mathematische Grundlagen (1)• Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3)• Kombinatorische Schaltungen (4,5)• Automaten (6,7)• Sequentielle Schaltungen (8)• Programmierbare Strukturen (9)• Rechneraufbau und ~funktion (10,11)• Informationskodierung (12,13,14)
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BMA, BAA
BMA … BOOLEsche Mengenalgebra
BAA … BOOLEsche Ausdrucksalgebra
George Boole
2. November 1815 - 8. Dezember 1864
1847: The Mathematical Analysis of Logic
Quelle: Wikipedia.de
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Rechnerorganisation – 3. Vorlesung
Funktion digitaler Schaltungen:• Ausdruck => Wertetabelle• Wertetabelle => Ausdruck • Elementarkonjunktion, KDNF• Elementardisjunktion, KKNF• Überführung Normalformen• Umformungsregeln,
wertverlaufsgleiche Umformungen
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Rechnerorganisation – 3. Vorlesung
Funktion digitaler Schaltungen:• Ausdruck => Wertetabelle• Wertetabelle => Ausdruck • Elementarkonjunktion, KDNF• Elementardisjunktion, KKNF• Überführung Normalformen• Umformungsregeln,
wertverlaufsgleiche Umformungen
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schaltalgebraische Ausdrücke
Bisher: formale Beschreibung der Funktion einer digitalen Schaltung über Wertetabellen
: X => Y
Für eine schaltungstechnische Realisierung ist eine strukturorientierte Beschreibung von Interesse=> schaltalgebraische Ausdrücke
y = h(x)
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Wertberechnung
• Wertberechnung: BAA• Rechenregeln für Konstante:• Negation: 1=0 0=1• Konjunktion: 11=1; 01=00=0 • Disjunktion: 00=0; 01=11=1
x1 x0
0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 1
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• Wertberechnung für Ausdrücke W(hi , Xk):• Schrittweise Berechnung des Wertes• 1. Belegung aller Variablen (Bits)
Variable xj => Bit der Belegung Xk(xj)• 2. Verknüpfung der Werte
Wertberechnung
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Ausdruck => Wertetabelle
• Berechnung der Werte eines Ausdrucks für alle Eingangsbelegungen:=> Notation in Wertetabelle als Wertverlauf
=> Ausdruck repräsentiert Wertetabelle(für eine Ausgangsvariable)
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Rechnerorganisation – 3. Vorlesung
Funktion digitaler Schaltungen:• Ausdruck => Wertetabelle• Wertetabelle => Ausdruck • Elementarkonjunktion, KDNF• Elementardisjunktion, KKNF• Überführung Normalformen• Umformungsregeln,
wertverlaufsgleiche Umformungen
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• 0 1 1 = 1 W(k3, Xi) =1 falls i = 3
• X3 = [ 0 ,..., 0, 1, 1] W(k3 , Xi) =0 falls i 3
• k3 = xn-1 ... x1 x0
• hi=y1 = k3 k5 k6 k7 hi in KDNF
• KDNF = Disjunktion von Elementarkonjunktionen
Elementarkonjunktion k3 => KDNF
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• 0 1 0 =0
• X2 = [0 ,..., 0, 1, 0] W(d2, Xi) = 0 falls i = 2
• d2 = xn-1 ... x1 x0 W(d2, Xi) = 1 falls i 2
• hi = d0 d1 d2 d4 hi in KKNF• KKNF = Konjunktion von Elementardisjunktionen
Elementardisjunktion d2 => KKNF
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Rechnerorganisation – 3. Vorlesung
Funktion digitaler Schaltungen:• Ausdruck => Wertetabelle• Wertetabelle => Ausdruck • Elementarkonjunktion, KDNF • Elementardisjunktion, KKNF• Überführung Normalformen• Umformungsregeln
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KKNF => KDNF
• Für vollständig bestimmte Funktionen gilt:I0 = I1
• Index für d: I0 (Ausgang y=0)
hi = d0 d1 d2 d4
• Index für k: I1 (Ausgang y=1)
hi = k3 k5 k6 k7
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De Morgan:
hi hj = hi hj
hi hj = hi hj
KDNF => KNANF ki kj = ki kj
KKNF => KNONF di dj = di dj
Überführung Normalformen
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Weitere Aufgaben zum Selbststudium
https://moodle2.tu-ilmenau.de/course/view.php?id=1576
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Interaktive Übungen zum Selbststudium
moodle-Kurs
• Übung 1• Übung 2• Übung 3
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Interaktive Übungen zum Selbststudium
moodle-Kurs
• Übung 1• Übung 2• Übung 3
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Interaktive Übungen zum Selbststudium
moodle-Kurs
• Übung 1• Übung 2• Übung 3
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Rechnerorganisation – 3. Vorlesung
Funktion digitaler Schaltungen:• Ausdruck => Wertetabelle• Wertetabelle => Ausdruck • Elementarkonjunktion, KDNF • Elementardisjunktion, KKNF• Überführung Normalformen• Minimierung über Umformungsregeln
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Minimierung über Umformungsregeln
Priorität
Arbeitsblätter S. 7, 8
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Minimierung über UmformungsregelnArbeitsblätter S. 7, 8
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Minimierung über UmformungsregelnArbeitsblätter S. 7, 8
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Kürzen
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=> Auflösung nächste Woche ;-)