robotica de precizie i
TRANSCRIPT
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
1/41
ROBOTICA DE PRECIZIE- CURS MASTER MECANIC DE PRECIZIE-
I. INTRODUCERE
1. Generalitati. Clasificarea roboilor industrialiRobotica este un domeniu al tiinei i tehnicii, cu o dezvoltare rapid, legat de
realizarea i folosirea roboilor. Robotica a aprut ca ramur tiinific de sine stttoare pebaza mecanicii, electronicii i informaticii, actualmente a mecatronicii. n acelai timp,dezvoltarea roboticii a ridicat probleme tiinifice noi ntr-un ir de tiine conexe, conducndla progresul acestora.
Robotul, ca obiect de baz n aceast tiin, poate fi definit ca un automat universalpentru reproducerea unor funcii de micare i intelectuale ale omului. Exist o serie decategorii de roboi ce dezvolt unul sau altul din domeniile i subdomeniile funciilor de maisus.Roboii care sunt concepui pentru ndeplinirea funciilor de manipulare i de comand ncadrul proceselor productive se numesc roboi industriali.
Scopul practic al introducerii roboilor este acela al ncrcrii lor cu acele tipuri deaciuni care pentru om sunt dificile, prezint sarcini gravitaionale mari, sunt monotone,
periculoase pentru sntate i via. Adic, n primul rnd, la operaiile de producie auxiliare:ncrcarea i descrcarea mainilor unelte i a automatelor i la operaii de prelucrare propriu-zis cu roboi industriali: sudare, vopsire, debitare, montaj etc. Utilizarea cuprinde idomeniul condiiilor de lucru aa zis extremale: sub ap, n cosmos, n medii radioactive sau
otrvitoare.JIRA (Japan Industrial Robot Association) clasifica roboii industriali dup
urmtoarele criterii:I.) Dup informaii de intrare i modul de nvare:
1 manipulator manual, care este acionat direct de om2 robot secvenial, care are anumii pai ce ascult de o procedur predeterminat,care poate fi: fix sau variabil dup cum aceasta nu poate sau poate fi uor schimbat.3 robot repetitor (robot play back) care este nvat la nceput procedura delucru de ctre om, acesta o memoreaz iar apoi o repet de cte ori este nevoie.4 robot cu control numeric (N. C. robot) care execut operaiile cerute nconformitate cu informaiile numerice pe care le primete despre poziii, succesiuni deoperaii i condiii.5 robot inteligent este cel care i decide comportamentul pe baza informaiilor
primite prin senzorii si i prin posibilitile sale de recunoatere.Observaii:
a) Manipulatoarele simple (grupele 1 i 2) au n general 2-3 grade de libertate,micrile lor fiind controlate prin diferite dispozitive.
b) Roboii programabili (grupele 3 i 4)au numrul gradelor de libertate mai maredect 3 fiind lipsii de capaciti senzoriale i lucrnd n bucl deschis.
c) Roboii inteligeni sunt dotai cu capaciti senzoriale i lucreaz n bucl nchis.
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
2/41
II.) Dup comand i gradul de dezvoltare al inteligenei artificiale: roboii industriali seclasific n generaii sau nivele:
1 R.I. din generaia 1, acioneaz pe baza unui program flexibil dar prestabilit deprogramator i care nu se poate schimba m timpul execuiei operaiilor2 R.I. din generaia a 2-a se caracterizeaz prin faptul c programul flexibil
prestabilit de programator poate fi modificat n msur restrns n urma unor reaciispecifice ale mediului.
3 R.I. din generaia a 3-a posed capacitatea de a-i adapta singuri cu ajutorul unordispozitive logice, ntr-o msur restrns propriul program la condiiile concrete alemediului ambiant n vederea optimizrii operaiilor pe care le execut.
III.) Dup numrul gradelor de libertate ale micrii robotului: acestea pot fi cu 2 pn la6 grade de libertate la care se adaug micrile suplimentare ale dispozitivului de prehensiune(gripperul), orientarea la prinderea, desprinderea obiectului manipulat, etc
Noiunea de robot este definit n mod diferit n diverse standarde sau formulri aleunor instituii de specialitate:
Normele franceze(Normalisation franaise, NF) :o norma E61 - 005definete manipulatorul:Structura mecanic constituit dintr-o serie
de elemente articulate sau alunectoare unul fa de cellalt, utilizat pentru a prinde,deplasa, poziiona i orienta obiecte (piese, scule, etc), urmrind n general mai multegrade de libertate. El poate fi comandat de un operator, de un automat programabilelectric sau prin orice sistem logic (dispozitiv cu came, logic cablat, logic
programat, etc.) independent sau asociat.o norma francez NF61-100 d urmtoarea definiie:Robotul este un mecanism de
manipulare automat, aservit n poziie, reprogramabil, polivalent, capabil spoziioneze i s orienteze materiale, unelte sau dispozitive specializate, n timpul unormicri variabile i programate, destinate executrii unor sarcini variate.Standardul germanDIN 2801definete:
o Roboii industriali sunt automate mobile cu aplicaii universale, cu mai multe axe, alecror micri sunt liber programate pe traiectorii sau unghiuri ntr-o anumit
succesiune a micrilor i n anumite cazuri, comandate prin senzori. Ei sunt echipaicu dispozitive de prehensiune, scule sau alte mijloace de fabricaie i pot ndepliniiactiviti de manipulare i de fabricaie. Robotul industrial poate fi montat fix, ntr-unanumit loc sau poate fi deplasat ca un ansamblu.Standarde japoneze:
o Robotul este un sistem mecanic, dotat cu funciile motoare flexibile analoage cu celeale organismelor vii sau imitaii ale acestora, cu funcii inteligente, sisteme careacioneaz corespunztor voinei omului.Standarde ruseti:
o Robotul industrial este o main automat staionar sau deplasabil, constnd dindispozitivul de execuie, avnd mai multe grade de libertate i din dispozitivulreprogramabil de comand dup program pentru ndeplinirea n procesul de producie
a funciilor motoare i de comand.Institutul de Robotic din America(RIA):
o "Robotul este un manipulator reprogramabil multifuncional, destinat s deplasezemateriale, piese, scule sau aparate, prin micri programate variabil, n scopulndeplinirii unor sarcini diferite. Robotul este un echipament cu funcionare automat,adaptabil condiiilor unui mediu complex - n care el evolueaz - prin reprogramare,reuind s prelungeasc, s amplifice i s nlocuiasc una sau mai multe din funciileumane n aciunile acestuia asupra mediului nconjurtor."
Asociaiei Britanice de Robotic(British Robot Association):
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
3/41
o robotul este un dispozitiv reprogramabil, realizat pentru manipularea pieselor,sculelor i altor mijloace de producie, prin micri variabile programate, pentru andeplinii sarcini specifice de fabricaie.
Necesitatea mririi productivitii i a calitii a condus la o dezvoltare rapid nultimele decenii a roboticii i a produciei de roboi industriali. Cu ajutorul roboilorindustriali se pot rezolva problemele mecanizrii complexe i a automatizrii produciei demas n construcia de maini, electrotehnic, electronic, mecatronic, etc.
Fa de mijloacele clasice de automatizare, introducerea roboilor industriali conducela universalitate, posibilitatea adaptrii (reglrii) lor rapide la noile cerine, cu productivitatemaxim i cheltuieli minime. Caracteristicile de mai sus sunt de prim importan n domeniul
produciei de serie mic i mijlocie, adic unde s-au dezvoltat sistemele de fabricaie flexibil.n fig.1.1,a este reprezentat un robot industrial. Aciunea unui robot industrial se aplic
asupra obiectului de lucru (OL). Acesta poate fi o pies, un semifabricat sau o scul (cap desudare, de vopsire, etc).
Elementul final cu care se termin robotul industrial i care permite s-i ndeplineascfuncia sa, n cadrul procesului industrial se numete dispozitiv periferic sau terminal.Terminalul poate fi materializat prin dispozitiv de prehensiune (DP),n cazul operatiilor demanipulare si montaj, cnd obiectul de lucru presupune apucarea, transportul si desprinderealui sau diferite dispozitive active n procesul tehnologic (capete de sudare, capete de vopsire,de sablare, capete de palpare la roboii industriali de control etc.). Acest robot are aseelemente mobile: 1, 2, ... , 6, care-i vor conferi 6 grade de libertate (1, 2, ... , 6), fiind
posibil deplasarea i orientarea obiectului de lucru n spaiu. Aa cum se va meniona suntroboi industriali cu mai puine grade de libertate i cu mobilitatea asigurat i prin translaii.
n fig.1.1,b sunt redate principalele blocuri funcionale ale robotului, fluxurileenergetice (de putere) i fluxurile informaionale.
Ca terminologie, n afar de cea de robot industrial, definit mai sus, coexist i cea demanipulator. Manipulatorul realizeaz deplasarea i aplicarea obiectului de lucru cu micriasemntoare omului. Poate fi comandat de un operator, un automat programabil sau unsistem logic (sistem cu came, logic electric cablat, etc). Distincia dintre robot industrial imanipulator este mai mult una de nivel de automatizare dect de principiu constructiv-
funcional.
a) b)Fig. 1.1
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
4/41
Fig. 1.2
n aceast categorie se includ, evident, manipulatoarele ce reproduc micrileoperatorului la scara 1:1 sau la o alt scar. n aceeai categorie se includ i manipulatoarelecare sunt comandate direct de operator, dar care transform micarea acestuia la o anumitscar. Manipulatoarele se pot realiza fr i cu aport de energie exterior. Un exemplu tipic demanipulator care reproduce micrile operatorului la scara 1:1 i este fr aport de energieexterioar este acela care servete camerele radioactive din centrele de cercetri nucleare(fig.1.2). Aceste manipulatoare sunt denumite stpn-sclav. Partea stpn notat 4 segsete n afara incintei radioactive. Operatorul acioneaz apucnd mnerul 2. Micrileefectuate de operator sunt copiate de ctre structura sclav notat 5 ce se afl n incintaradioactiv, separat prin peretele 1. Prin sticla special 3 se poate vedea n incint. Structurasclav se termin cu un efector 7 (min mecanic, scul, etc.). Comanda de strngere aminii mecanice este dat de o prghie de pe mnerul 2. Dimensiunile elementelor structurii
mecanice i mobilitatea cuplelor permit realizarea unui anumit volum (spaiu) de lucru 6, ncare poate fi manipulat obiectul de lucru. Analiza manipulatoarelor prezint importandeoarece structura lor este aceeai cu cea a anumitor roboi industriali.
1.2. Structura mecanic a robotilor industrialiStructura mecanic a roboilor industriali este format din elemente (ce pot fi
considerate rigide) i cuple cinematice ce realizeaz legarea elementelor ntre ele i a primuluielement la batiu,(0). Dintre clasele de cuple cinematice se utilizeaz, n primul rnd, cupleC5 cu un singur grad de mobilitate, adic numai cuple de rotaie (R) i de translaie (T). Cuplele superioare C4 i C3 ridic att probleme tehnologice privind preluarea jocurilor, cti dificulti de acionare.
Se considera n continuare structuri la care elementele sunt legate prin cuple
inferioare. Structurile pot fi de tip lan cinematic deschis sau lan cinematic nchis. ncazul lanului cinematic deschis (fig.1.3,a) elementele i cuplele formeaz o structurarborescent (n sensul teoriei grafurilor) atunci cnd cuplele conecteaz numai dou elementedin succesiunea lor ordinal. Astfel, n cazul particular al lanului cinematic deschisneramificat din fig.1.3,a, cuplele conectaz dou elemente n ordinea cresctoare: 12, 23,34,..., (i-1)i. Elementele de nceput i de sfrit 1 i i au numai cte o cupl conectat. ntr-unlan cinematic nchis fiecare element are cel puin dou legturi la cuple aa cum se vede ncazul particular din fig.1.3,b, cuplele au indicii: 12, 23,..., (i-1)i, i1.
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
5/41
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
6/41
este de a modifica poziia spaial a obiectului de lucru, iar sistemul de orientare de a conferiorientarea. n realitate aceste roluri se ntreptrund din dou motive:
- punctul de referin al ncheieturii PI (cu care se termin mecanismul generator detraiectorie) i punctul caracteristic (PC) nu coincid i deci rotaiile I, IIi III numodific doar orientarea, ci i poziia punctului caracteristic;
- orientarea este dat i de aciunea primei cuple (ce aparine mecanismuluigenerator de traiectorie-MGT) ce realizeaz rotaia Z n jurul axei verticale.
Influena sistemului de orientare asupra poziiei crete atunci cnd axele de rotaiepentru I II i III nu sunt toate concurente (dou axe pot n majoritatea cazurilor fcuteconcurente). Structura mecanismului generator de traiectorie (MGT) poate fi modificatschimbnd natura i ordinea celor trei cuple. Astfel, se obin 8 variante: TTT, TTR, TRT,RTT, RRT, RTR, TRR i RRR. O posibil realizare spaial este dat n fig.1.5. Acestevariante sunt obinute analitic, fr s se considere modificrile structurii spaiale cnd seschimb poziia
Fig.1.5
In practic sunt utilizate un numr limitat de combinaii structurale pentru mecanismulgenerator de traiectorie (MGT). O prim reducere provine de la situaia c, uzual, primul gradde mobilitate este o rotaie n jurul axei verticale Z. Aceasta deoarece organizarea multorcelule de fabricaie este circular i de asemenea s-a urmrit o unificare (limitare) a
variantelor de robot industrial. De multe ori o mrire a spaiului servit se face prinintroducerea hibrid a unui prim grad de libertate sub forma unei translaii pe sol saususpendate, structura de baz a roboilor industriali rmnnd cu rotaia vertical ca primcupl. n fig.1.6 sunt date cteva structuri uzuale de roboi industriali. Pentru simplificareareprezentrii sistemului de orientare (SO) este convenional desenat ca o cupl sferic cumobilitatea oarecare SO, ceea ce corespunde unui sistem de orientare cu trei grade demobilitate (rotaii) cu axe concurente. Sunt prezentatate trei structuri ce au cuple de translaie:
- TTT de tip portal utilizat pentru montaj i msurare;- RTT sau aa zisul robot cilindric dup tipul coordonatelor n care lucreaz;- RRT, de tip turel;
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
7/41
Fig. 1.6
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
8/41
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
9/41
Intereseaz ndeosebi elementele punctului caracteristic M legat de OL solidar cu
elementul n (5 n exemplu).
n cadrul spaiului de lucru se consider i vitezele i acceleraiile diferitelor puncte.
Pentru corpuri intereseaz orientarea acestora, iar din punct de vedere cinematic viteza lor
unghiular (sau alt parametrun corelat).
Spaiul robot caracterizeaz poziia i cinematica relative dintre elemente, fiind
utilizat pentru comanda i acionarea robotului. Poziia relativ a dou elemente succesive ale
structurii se d prin coordonatele robot care pentru cuplele de rotaie sunt unghiurile
relative dintre elemente, iar pentru cuplele de translaie sunt deplasrile relative dintre
elemente. n cazul structurii din fig. 1 de tipul RRTRR, care are 4 cuple de rotaie sunt
introduse coordonatele robot: q1, q2, q4i q5. Pentru cupla de translaie (dintre elementele 2 i
3) coordonata robot este q3ce reprezint poziia relativ n sensul axei X2a elementului 3 fa
de elementul 2.
3. Modelele de calcul ale structurii
Att n etapa concepiei ct i n cea a realizrii operaiilor pentru comand, structurile
mecanice necesit efectuarea unor calcule pe baza anumitor modele matematice, ca:
a) Modelulgeometric direct i modelul cinematic direct:
Modelul geometricdirectexprim poziia i orientarea corpului manipulat n spaiul
de lucru, n funcie de parametrii geometrici ai cuplelor (unghiurile relative din cuplele de
rotaie i poziiile relative din cuplele de translaie).
Modelul cinematic directpermite, ca dup determinarea modelului geometric directi cunoscnd cinematica coordonatelor robot (vitezele i acceleraiille din cuplele structurii),
s se calculeze vitezele i acceleraiile liniare ale elementelor structurii.
b) Modelul geometric invers i modelul cinematic invers
Modelul geometic invers. In acest caz sunt cunoscute poziia i orientarea obiectului
manipulat i se cere determinarea parametrilor geometrici ai cuplelor.
Modelul cinematic invers. Dup rezolvarea modelului geometric invers i fiind
cunoscute cinematica liniar i unghiular a elementului manipulat pot fi determinai
parametrii cinematici ai micrilor din cuple (vitezele i acceleraiile relative ale celor doupri ale cuplei).
c) Modelul dinamic
Modelul dinamic direct. Fiind rezolvat modelul geometric i cinematic direct i
avnd, n plus, datele ineriale ale elementelor (mase i momente de inerie) se calculeaz
forele motoare generalizate din cuple (fore motoare pentru cuplele de translaie i, respectiv,
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
10/41
momente motoare pentru cuplele de rotaie).
Modelul dinamic invers. Reprezint problema general a dinamicii structurii. Fiind
cunoscute forele generalizate din cuple se cere determinarea micrii structurii.
Sub aspect formal, caracterizarea de direct sau invers referitor la modelul dinamic
uneori apare inversat. Aici a fost preferat clasificarea de mai sus, din considerente de
simetrie cu celelalte modele.
4.Schimbarea sistemelor de axe
Pentru obinerea modelului geometric este necesar schimbarea sistemului de axe n
care se face proiecia diferiilor vectori care intervin. Sistemul de axe {i}n care se definesc
elementele geometrice i vectoriale ale corpului i este legat de acesta. Ulterior, va trebui
efectuat transformarea n sistemul de referin absolut {0}. Aceast transformare nu se face
direct, ci prin transformri succesive ntre elemente alturate. Mai jos va fi, ca un caz general,
descris transformarea dintre dou sisteme oarecare de axe {B}i {A}.Transformarea de rotaie(orientare) a dou sisteme de axe de coordonate, cu aceeai
origine: OXAYAZAsi OXBYBZB(fig.2). Un punct P se poate pozitiona n {A}: rAsi n{B}: rB.
Legtura ntre cele dou exprimri, se poate scrie matriceal astfel:
BA
B
A rSr = (1)
In relaia de mai sus a fost introdus matricea de transformare de la {B}la {A}cnd originile
coincid (matricea de rotaie):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )a3a2a1ABABAB
ABABAB
ABABABAB
Z,ZcosZ,YcosZ,Xcos
Y,ZcosY,YcosY,Xcos
X,ZcosX,YcosX,Xcos
bbbS MM=
= (2)
S-au notat cu a3aa
1 ,, bbb 2 versorii axelor OBXB,
OBYB , OBZBproiectai n sistemul de axe {A}.Componentele acestor versori sunt cosinusurile
lor directoare.
Matricele S se bucur de proprietatea:
Fig. 2 T-1 SS = (3)
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
11/41
Transformarea coordonatelor din {B}n {A}, scris matriceal, dezvoltat este:
++
++
++
=
=
B33
B32
B31
B23
B22
B21
B13
B12
B11
B
B
B
333231
232221
131211
A
A
A
zsysxs
zsysxs
zsysxs
z
y
x
sss
sss
sss
z
y
x
(4)
S-au notat cu ijs termenii matricei de orientare.
Transformarea general de la {B} la {A}, cnd originile celor dou sisteme de axe nu
coincid (fig. 3). Dependena dintre (r)Asi (r)B, n exprimare matriceal:
AAB
AB
B OrSr +=
In aceast ecuaie
( )
( )
( )
=A
OB
AOB
AOB
A
Z
Y
X
BO
reprezint coordonatele originii OBexprimate n {A}.
Fig. 3
Pentru scrierea transformrii generale n mod omogen (n form de produs) se poate
introduce matricea 4 x 4, T la care ultima coloan conine coordonatele originii B,
exprimat n {A}:
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
12/41
=
1000
Zsss
Ysss
Xsss
AOB333231
AOB232221
AOB131211
ABT (5)
Cu ajutorul acestei matrice se poate obine transformarea n form omogen:
BA rTr =AB (6)
Pentru structurile n lan cinematic deschis intereseaz transformarea de la {i}la {0},
adic de la sistemul de axe al elementului i la sistemul de referin. Aceasta se obine prin
produsul matricelor de transformare succesiv.
Dac intereseaz numai orientarea(rotaia) matricea de rotaie este:
SSSS 1i i12
01
0i ...
=
Pentru simplificarea scrierii se noteaz: SS 0ii = i SSR1=j jj . Matricea de rotaie de la {i}la
{0}devine:
i21i ... SRSRSRS = (7)Transformarea prin rotaie se scrie considernd i (1):
i
i rSr0 = (8)
Pentru transformarea general {i}la {0}:
TTTT 1i i12
01
0i ...
=
Cu notaiile: TT 0ii = i TA1jjj
= , relaia de mai sus devine:
i21i ... AAAT = (9)
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
13/41
Considernd i (6), transformarea general de la{i}la {0}este:
ii
0 rTr = (10)
Dac a fost calculat matricea Tiorientarea se poate deduce direct, fr a se mai calcula imatricea Si, deoarece matricea 3x3 coninut n Tieste tocmai Si(v.rel. (6))
Pentru cazurile particulare ale rotaiei n jurul axelor de coordonate se pot scrie
urmtoarele matrice:
- rotaia n jurul axei OX (fig. 4,a):
=
qcosqsin0
qsinqcos0
001
XS ; (11)
- rotaia n jurul axei OY (fig. 4,b):
=
qcos0qsin
010
qsin0qcos
YS ; (12)
- rotaia n jurul axei OZ (fig. 4,c):
=
100
0qcosqsin
0qsinqcos
ZS (13)
Fig. 4
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
14/41
5. Orientarea obiectului de lucru
Orientareareprezint poziia unghiular a obiectului de lucru (obiectul manipulat).
5.1. Orientarea cnd este cunoscut spaiul robot
Orientarea OL este dat de orientarea (rotaia) ultimului sistem de axe {n}, al
structurii, deoarece OL este solidar cu acesta. Rezult c orientarea este dat de matricea (7)cnd i = n. Deci orientarea S a obiectului de lucru este:
nSS= .
Matricea S(3x3) se obine din matricea general a structurii T extrgnd primele trei
linii i trei coloane, deoarece:
= 10
OS 0nT
Matricea Scuprinde 9 parametri (cosinusurile directoare):
=
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
SSS
SSS
SSS
S ,
ntre care exist 6 relaii de dependen (ce exprim mrimea unitar a versorului i
perpendicularitatea versorilor). Deci, evident, orientarea necesita cunoatera numai a: 9-6 =
3 parametri. Introducerea cestor trei parametri se poate face n diferite moduri: variante ce
utilizeaz unghiuri Euler, unghiuri Kardan.
Mai jos este utilizat metoda unghiurilor Kardanca fiind mai simpl n prezentare.
Posibilitatea exprimrii matricei prin numai trei parametri (unghiuri Kardan) : xk1, xk2, xk3,
care pot fi considerai ca fiind componentele unui vector xk:
( )T321 xkxkxk=xk
Pentru aceasta obinerea orientrii se face, convenional, considernd trei rotaii
succesive, pornind de la sistemul fix sau de la o orientare prealabil cunoscut. Unghiurile
acestor rotaii constituie parametrii cutai. Obinerea orientrii pornind de la sistemul fix se
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
15/41
face astfel
- o rotaie cu unghiul 1xk n jurul axei OX0;
- o rotaie cu unghiul 2xk n jurul noii axe OYA;
- o rotaie cu unghiul 3xk n jurul noii axe OZB.
n fig. 5 sunt reprezentate aceste transformri. Prima transformare este rotaia S X(xk1) de la
{0}la {A}(fig. 5,a):
=
11
111X
xkcosxksin0
xksinxkcos0
001
)xk(S
Fig. 5
Urmeaz rotaia Sy (xk2) de la {A}la {B}(fig.5,b):
=
22
22
2Y
xkcos0xksin
010
xksin0xkcos
)xk(S
Ultima rotaie este SZ(xk3) de la {B}la {n}(fig. 5,c):
( )
=
100
0xkcosxksin
0xksinxkcos
xk 33
33
3ZS
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
16/41
Matricea orientrii kardan se obine prin produsul matricilor de mai sus:
S(xk1, xk2, xk3) = SX(xk1) SY(xk2) SZ(xk3)
Dup efectuarea calculelor se obine (se noteaz prescurtat cos c; sin s):
+
+
=
213213132131
213213132131
23232
S
cxkcxksxksxkcxkcxksxkcxksxkcxksxksxk
cxksxksxksxksxkcxkcxkcxksxksxksxkcxk
sxksxkcxkcxkcxk
(14)
Trecerea de la exprimarea prin cosinusuri directoare la unghiurile kardan se face prin
identificarea termenilor matricelor:
( )132 sarcsinxk = ;
=
33
231 s
sarctgxk ;
=
11
123 s
sarctgxk
* Practic, utilizarea relaiilor (15) se face n cadrul unui subprogram care va determina
valorile corecte ale funciilor trigonometrice inverse, verificrile fcndu-se cu ajutorul
termenilor neutilizai ai matricei (s21, s22, s31i s23). Detalii sunt date n fiierul Mathcad: Ex
Str4.mcd, unde se poate rula i un exemplu de calcul.
Avnd orientarea dat sub forma vectorului xkse poate defini poziia generalizat prin
vectorul x cu 6 componente, primele trei fiind coordonatele carteziene
( ) ( )TT321 zyxrrr === xtr , iar ultimele sunt componentele lui xk:
( )T321321 xkxkxkrrr=
=
xk
xt
x L (15)
5.2. Obinerea orientrii din spaiul de lucruOrientarea OL obinut din spaiul de lucru este legat de aplicaia robotului.
n practica aplicaiilor RI se ntlnesc dou cazuri privind orientarea:
a) cnd este necesar orientarea unei singure axe a OL;
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
17/41
b) cnd se cere orientarea total a OL.
Fig. 6
a) Orientarea unei singure axe (orientarea parial). Este cazul manipulrii OL
cilindrice (paletizare, ncrcare pe maini-unelte, unele operaii de montaj etc). Este, de
asemenea cazul poziionrii electrodului la sudur, a capetelor simple de vopsire. n acestesituaii este necesar orientarea numai a unei singure axe a OL care poate fi aleas paralel cu
axa OnXn ca n exemplul din fig. 6, a. Pentru axa OnXn, vor fi cunoscute cosinusurile
directoare:
S11= cos(OnXn , OX0) ; S21= cos(OnXn, OY0) ; S31= cos(OnXn, OZ0),
care sunt corelate prin relaia S112+ S21
2+ S311= 1.
Deci, pentru orientarea parial, sunt necesari numai doi parametri: de exemplu dou din
unghiurile ce apar n relaiile de mai sus . O astfel de orientare poate fi realizat de RI cu 5
grade de libertate. Evident i de ctre RI cu 6 grade de libertate, n care caz mobilitateadisponibil fiind preluat de alte criterii sau convenional.
b) Orientarea total presupune orientarea a dou axe ale corpului, care pot fi i
perpendiculare (fig.6, b). Acest tip de orientare este necesar pentru montajul arborilor cu pene,
cu caneluri, pentru montajul pieselor prismatice, etc. Dac cele dou axe ce dau orientarea
total sunt OnXn i OnYn , atunci sunt cunoscute i cosinusurile directoare ale acesteia din
urm, adic:
S12= cos(OnYn , OX0) ; S22 = cos(OnYn, OY0) ; S32= cos(OnYn , OZ0)
Aceste cosinusuri directoare sunt de asemenea, dependente: S122+ S222+ S322= 1.Cele dou axe ce sunt legate de OL au un unghi bine definit ntre ele, n cazul
particular de fa, sunt perpendiculare. Analitic aceasta se poate exprima prin valoarea
produsului scalar: S11S12 + S21S22+ S31S32= 0.
Pentru orientarea total sunt, deci, necesari a fi cunoscui, n total 3 parametri,
deoarece ntre cele 6 cosinusuri directoare exist cele 3 dependene de mai sus. Practic se pot
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
18/41
da, de exemplu, trei unghiuri: unghiurile axei OnYncu doua din axele sistemului fix {0}i un
unghi al axei OnZn cu una din axele sistemului fix. Evident, cele trei condiii pot fi date i
direct prin valoarea cosinusurilor directoare: S11, S12 i S32.
O modalitate mai general de redare a orientrii poate fi i aceea a rotaiei
Rodriguez. Sistemul {n} se poate obine din {0} prin rotirea acestuia din urm n jurul axei
cu unghiul (fig. 7).
Fig. 7
Orientarea OL solidar cu sistemul de axe OXYZ se obine pornind de la sistemul de
referin O0X0Y0Z0prin rotirea n jurul axei (ce are versorul er
) cu unghiul .
Notnd cu 00 ,jirr
i 0kr
versorii ce definesc sistemul de referin se pot calcula versorii ji rr, i
kr
ce definesc sistemul rotit (orientat):
eieiesineiecos 000vrrrrrrrr
++=i
( ) ( )ejejesinejecos
000
vrrrrrrrr++=j (16)
ekekesinekecos 000vrrrrrrrr
++=k
* n fisierul Ex Str4.mcd se gsete, de asemenea un exemplu de calcul referitor la
folosirea metodei Rodriguez pentru obinerea orientrii.
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
19/41
6. Modelul geometric direct
Modelul geometric direct realizeaz transformarea de la spaiul robot la spaiul de
lucru, adic se calculeaz vectorul generalizat al poziiei x (v. rel. (15) funcie de vectorul
coordonatelor robot q= (q1q2 qn)T.
Primele 3 componente ale lui x sunt coordonatele carteziene ale punctului
caracteristic:
( ) ( )TT321 zyxrrr === xtr ,
care se obin pe baza rel. (10) aplicat punctului caracteristic ce se afl pe elementul n al
structurii (i = n). Se noteaz 0rr= i nTT= , obinndu-se:
nrTr = (17)
Matricea T(v. rel.(9) ) const n produsul a n matrice Aide transformare ntre dou elemente
succesive:
n21 ... AAAT = (18)
Pentru a defini matricele descrise mai nainte este necesar adoptarea sistemelor localede axe. n ceea ce privete originea aceastora poate fi luat n centrul cuplelei dintre elementul
considerat i cel aflat nainte n lanul cinematic. n acest caz este posibil calculul matriceal cu
ajutorul matricelor T, ca mai sus. n calculul dinamic al structurii se recomand adoptare
originii n centrul de mas al corpurilor. Asupra acestui aspect se va reveni, mai departe.
n privina dispunerii propriu-zise a axelor, este cunoscut recomandarea Denavitt
Hartenberg care este avantajos n cazul automatizrii introducerii configuraiei structurii
(metodici simbolice). Unele ambiguiti ce apar la cofiguraii ce au cuple de translaie, fac s
nu fie general folosit. n general se pot face urmtoarele recomandri la adoptarea sistemelorde axe:
- axele cuplelor sunt alese ca axe OZ;
- la elementele sub form de bar, axa barei se ia ca ax OX.
Matricele TA 1i ii= vor depinde de coordonatele robot care sunt unghiurile de poziie
relativ dintre elemente n cazul cuplelor de rotaie i poziia liniar relativ a elementelor n
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
20/41
cazul cuplelor de translaie. Fiecare dintre matricele Aidepinde numai de coordonata sa robot
qi.
Ultimele 3 componente ale lui x reprezint orientarea OL dat, de exemplu, prin
vectorul coordonatelor Kardan:
( )
T
321rxkxkxk== xkx
Vectorul xkse obine din matricea S care reprezint primele trei linii i primele trei coloane
sale matricei T(v. paragraful 4).
Modelul geometric direct permite calculul nu numai ntr-un singur punct, ci i
stabilirea spaiului de lucru al structurii. Spaiul de lucru este dat de multitudinea de
puncte pe care le poate ocupa obiectul de lucru cnd se modific coordonatele robot n
limitele constructiv-funcionale ale cuplelor. Practic se dau aceste limite prin vectorii:
( )Tn21 maxq...,maxq,maxq=qmax ;
( )Tn21 minq...,minq,minq=qmin
ntre care variaz vectorul coordonatelor robot.
Prin programul de calcul pe lng determinrile numerice legate de poziie i de
orientare se poate realiza i partea grafic care conine cel puin dou vederi ale spaiului de
lucru i seciunea cu un plan vertical al acestuia.
Mai jos este dat un exemplu de calcul al modelului geometric direct pentru o
structur simpl RRR (fig. 8). Evident, aceast structur incomplet poate ilustra numai
obinerea poziiei carteziene a unui punct i nu i orientarea unui OL. Exemplul este adoptat
pentru simplitatea sa.
Sunt 3 elemente mobile: 1, 2 i 3 i un element fix: 0. Cuplele sunt toate de rotaie.
Numrul de cuple este egal cu cel al elementelor mobile.
Se adopt sistemele de axe legate de fiecare corp {0}, {1}, {2} i {3}. Originile
sistemelor se dispun n centrul cuplelor.
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
21/41
Fig. 8
Cele 3 matrice de transformare corespund rotaiei n jurul axelor de coodonate (v.
paragraful 4).
Pentru prima cupl dintre elementele 0 i 1:
===1000
H100
00cqsq
00sqcq
1
11
11
Z
0
11 RotTA
n scrierea elementelor matricelor a fost scris concentrat: 11sin sqq i 11cos cqq ,
etc. Primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O1 a {1}
proiectat n {0}:
=
1
01
H
0
0
OrgO
Pentru a doua cupl dintre elementele 1 i 2:
===
1000
Hcq0sq
0010
0sq0cq
222
22
Y122 RotTA
c
a
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
22/41
Primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O2a {2} proiectat n
{1}:
=
2
12 0
0
H
OrgO
Pentru a treia cupl dintre elementele 2 i 3:
===
1000
0cq0sq
0010
Lsq0cq
33
133
Y233 RotTA
primele trei elemente ale ultimei coloane corespund vectorului originii O3a {3} proiectat n
{2}:
=
0
01
23
L
OrgO
Matricea T se obine cf. (18):
321 AAAT =
Se efectueaz iniial produsul:
+
=
1000
HHcq0sq
0sqsqcqcqsq
0sqcqsqcqcq
2122
21121
21121
21 AA
Se face, apoi, produsul: ( ) 321 AAAT = , obinnd:
+++
++
=
1000
HHsqLcqcqsqsq0cqcqcqsq
cqsqLcqsqsqsqcqsqcqsqsqsqcqcqsqcqcqLcqsqcqsqcqcqsqsqsqcqcqcqcq
212132323232
2113213211321321
2113213211321321
T
Se noteaz: 323 qqq a += , i 21 HHH += i dup unele grupri, se poate scrie
matricea T astfel:
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
23/41
+
=
1000
HsqLcq0sq
cqsqLsqsqcqcqsq
cqcqLsqcqsqcqcq
21a3a3
211a311a31
211a311a31
T
Punctul M aparinnd elementului 3 se poate exprima n sistemul local de axe {3}
astfel:
=
1
c
0
a
3Mr
Vectorul 3Mr a fost exprimat completat cu a 4-a component pentru a putea efectua calculele
corespunztor cu matricea T (4x4).
Coordonatele punctului M exprimate n sistemul fix {0} se obin cf. (17):
3M
0MM rTrr ==
Dup efectuarea calculului se obine:
++
++
++
=
1
HsqLcqcsqa
cqsqLsqsqccqsqa
cqcqLsqcqccqcqa
21a3a3
211a31a31
211a31a31
Mr
Deci coordonatele carteziene ale punctului M exprimate n {0} sunt:
211a31a31 cqcqLsqcqccqcqax ++=
211a31a31 cqsqLsqsqccqsqay ++= (19)
HsqLcqcsqaz 21a3a3 ++=
Relaiile (19) reprezint soluia modelului geometric direct al structurii RRR date, cu
punctual M ce aparine elementului 3.
* n fiierul ExStr5.mcd, n prima parte, este efectuat rezolvarea de mai sus prin
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
24/41
calcul simbolic. Se face, apoi, calculul numeric al modelului geometric direct pentru un punct
i, n final, este obinut spaiul de lucru al acestei structuri pentru un domeniu de variaie al
coordonatelor robot.
6.1. Cinematica analitic a structurii. Modelul direct i invers al
vitezelor
Componentele vectorului x al poziiei generalizate (15) sunt funcii de coordonatele
robot, global, de vectorul coordonatelor robot q, adic:
( )qx f= (20)
Mai departe se consider cazul structurilor cu orientarea complet determinat ce au n =
6, vectorul q avnd 6 componente
Relaia (20) se poate scrie n exprimare dezvoltat:
( )
( )
( )62166
62122
62111
q,...,q,qfx
........
q,...,q,qfx
q,...,q,qfx
=
=
=
(21)
Derivnd (20) n raport cu timpul se obine:
qJx && = (22)
Relaia (22) reprezint modelul direct al vitezelor.
n aceast relaie x& este vectorul generalizat al vitezelor i q& este vectorul vitezelor
robot:
( ) ( )
T
321zyx
T
621
kxkxkxvvvx...xx &&&&&&& ==x , (23)
( )T621 q...qq &&&&=q
Matricea J se numete jacobianul sistemului de funcii i cuprinde derivatele pariale
funcie de coordonatele robot:
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
25/41
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
26/41
Rezolvarea problemei inverse a vitezelorse deduce din (22) :
( ) xqJq 1 && = (28)
Inversarea Jacobianului ( ) 1qJ se face prin una din metodele cunoscute n calculul
matriceal.Cinematica pe traiectorieva permite determinarea vectorului generalizat al vitezelor
x& n punctele n care a fost dicretizat traiectoria. Se determin separat partea
( )Tzyx vvv== txv & ce reprezint viteza liniar a punctului caracteristic pe traiectorie i
vitezele kardan: ( )Tkxkxkx 321kx &&&& = . Detalii privind cinematica pe traiectorie sunt date n
paragraful III.6. 2.
Problema invers a acceleraiilornu se poate rezolva comod analitic, deoarece dac
se deriveaz relaia (22) apare ( )qJ&& , greu de obinut, chiar numeric. Se poate face un calculaproximativ prin derivare numeric n raport cu timpul a vitezelor robot, plecnd de la
definiia:
dt
qdq ii
&&& = ; (i = 16).
Aceasta se va putea face, ns, numai dup analiza cinematicii pe traiectorie cnd se
vor putea corela valorile vitezelor robot cu timpul de parcurs.
6.2. Cinematica pe traiectorie
Privind aplicaia pe care o realizeaz structura unui robot industrial pot interveni trei
cazuri: planificarea n spaiul de lucru, planificarea n spaiul acionrii i planificarea prin
nvare (interpolare).
a) Planificarea n spaiul de lucru.Sunt cunoscute poziia i orientarea n punctul iniial Ii n punctul finalF, adic se
cunosc vectorii: ix i fx . Parametrii cinematici n aceste puncte sunt de asemenea cunoscui,
pentru punctul I: ii ; xx &&& i pentru punctul F: ff; xx &&& . Dac punctele I i F sunt porniri i
respectiv opriri ale structurii, atunci parametrii cinematici sunt nuli n aceste puncte. Dac
traiectoria IF face parte din discretizarea unei traiectorii mai largi, atunci parametrii
cinematici i geometrici sunt corelai cu cei ai segmentelor de traiectorie alturate.
Din punct de vedere al tipului de traiectorie propriu-zis descris de vectorul
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
27/41
coordonatelor carteziene xt , putem avea de-a face cu traiectorii dreapt sau arce de cerc. n
ceea ce privete orientarea, n aplicaiile de manipulare simpl nu sunt impuneri pentru
punctele intermediare, orientarea i cinematica sa putnd avea aceleai legi ca i cele adoptate
pentru ttt ;; xxx &&& . Excepie sunt cazurile sudurii, a montajului i chiar a vopsirii unde legea de
variaie a orientrii este direct impus.Planificarea (interpolarea) propriu-zis const n adoptarea modului de variaie al
vitezei liniare, pentru realizarea segmentului (arcului) IF. Putem adopta legea de variaie
liniar a vitezei sau de tip spline de exemplu spline de ordinul 3 la care acceleraiile variaz
liniar i vitezele parabolic. Se poate, de asemenea realiza o combinaie dintre posibilitile de
mai sus. n toate cazurile se cere realizarea unui timp minim de parcurs fr a se depi
parametrii cinematici limit: vmax i amax. Evident pentru fiecare punct din discretizarea
segmentului IF se rezolv modelul invers trecnd n spaiul de lucru, acela al acionrii, al
coordonatelor, vitezelor i acceleraiilor-robot: qqq &&& ;; . Se verific dac nu sunt depiiparametrii cinematici din spaiul acionrii.
Avantajul planificrii n spaiul de lucru este obinerea traiectoriei i a orientrii
controlate, evitarea obstacolelor, evitarea ieirii din spaiul de lucru.
b) Planificarea n spaiul acionrii
n cadrul aplicaiei, ca i la varianta anterioar sunt cunoscute elementele punctelor I i
F. Se aplic modelul invers trecndu-se n spaiul acionrii pentru punctele I i F. De aceast
dat se influeneaz direct limitele cinematice din acest spaiu, adic: maxq& i maxq&& la ce nu
trebuie depite pe parcurs. Dup ce se realizeaz o planificare dup aceleai principii ca n
cellalt caz, a lui qqq &&& ;; se poate trece, folosind modelul direct la spaiul de lucru pentru
punctele intermediare ale traiectoriei. Traiectoria ce o va realiza structura n acest spaiu nu
intereseaz direct, nici geometric i nici cinematic, ci doar n sensul evitrii obstacolelor, etc.
c ) Planificarea prin nvare
Aici nu se face o planificare propriuzus ci o interpolare n spaiul acionrii (a
coordonatelor robot) ntre punctele de eantionare (dicretizare) memorate n procesul de
nvare pe care este forat s-l descrie robotul.
n cazurile a) i b) trebuie adoptat o lege de interpolare, fie n spaiul de lucru, fie n
cel al acionrii. Mai jos, sunt fcute unele precizri n acest sens.
6.2.1. Interpolare cu variaie liniar a vitezei
Este cel mai simplu mod de aplicare al vitezei pe parcurs. Se exemplific pentru
controlul n spaiul de lucru i se presupune c la capetele intervalului parcurs sIF =
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
28/41
vitezele sunt nule. Exist o perioad de accelerare act care, pentru a realiza un timp minim de
parcurs per, este egal cu acceleraia maxim admis maxa . Viteza crete pn la valoarea
maxim admis maxv . n cazul general (fig. 9, a), urmeaz o perioad de regim cu durata
regt n care viteza rmne constant i acceleraia este nul. n perioada de frnare de durat ft ,
viteza scade la zero, acceleraia fiind constant i negativ fa . n general acf tt > , pentru a
putea realiza controlul mai precis al poziiei de oprire.
Fig. 9
Acceleraia de frnare se poate introduce prin factorul fk :
acff t/tk =
Variaia acceleraiei se face n trepte aprnd 4 salturi de acceleraie. Acesta este un
dezavantaj deoarece, n aceste puncte au loc variaii ale forelor de inerie
(ocuri) nedorite. Avantajul este programabilitatea simpl.
Exist situaii cnd, din cauza parcursului s mai mic nu se atinge viteza maxim, ci
doar maxmax vv
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
29/41
calculeaz cu relaiile:
( );tkt;
2
tk1
v
st;
a
vt acff
acf
maxreg
max
maxac =
+
==
Pentru cazul cnd limss
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
30/41
6.10.3. Cinematic cu modificarea treptat a acceleraiei
Se propune o cinematic la care, comparativ cu varianta din paragraful 6.10.1,
modificrile de acceleraie nu sunt brute, ci se fac n intervale de timp t , pentru zona de
micare accelerat i tkt ff = , pentru zona de frnare
(fig. 11). Se consider, deasemenea: kf/aa maxf= ; Spaiul
minim pentru a realiza cinematica complet cu 0t reg :
( )( )2/tva/2/vk1s maxmax2maxflim ++=
Pentru cazul limss se calculeaz:
( ) ;v/sst;ta/vt maxlimregmaxmaxac =+=
fregacacff tttper;tkt ++==
Fig. 11
Sunt 7 intervale de timp:
1) tt0 ; 2) tttt ac
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
31/41
Int
a(t)
v(t)
s(t)
1
t
t
amax
t
2
t
a
2
max
t
6
t
a
3
max
2
max
a
+
2t
t
a
1
max
+
+
6t
2t
t
2t
a
2
1
21
max
3
max
1
a
tt
1
+
+
t
23
t
t
t
2t
a
ac
1
21
max
+
+
+
+
2
ac
2
ac
ac
1
21
31
max
t
67
t
t23
2t
t
23
t
t
2t
t
6t
a
4
0
(
)t
t
a
ac
max
(
)
+
1
ac
ac
max
t
2t
t
t
a
5
t
k
t
a
2f
1
max
+
t
t
t
k2
t
a
ac
2f
21
max
(
)
+
+
+
reg
ac
1
ac
2f
31
max
t
2t
t
t
t
t
k6
t
a
6
fmax
ka
f1
ac
max
kt
t
23
t
a
+
+
+
2
f
reg
reg
ac
f
ac
f2
1
ac
1
max
t
k
67t
t
2t
t
2t
t
k
t
k2t
t
23
t
t
a
S
7
t
kt
1
ka
f1
fmax
t
k2
t
t
k1
2t
a
f21
1
f
max
+
+
+
+
+
2
2
6
2
2
2
6
2
2
2
1
231
21
max
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
k
t
t
t
kt
kt
a
reg
ac
ac
reg
ac
ac
f
f
f
+
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
32/41
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
33/41
HzA = i 1qcos/xB = ,
i se poate scrie sistemul sub forma:
BqcosLqsincqcosa 21a3a3 =++ (33)
AqsinLqcoscqsina 21a3a3
=+ (34)
Se elimin 2q astfel:
a3a321 qsincqcosaBqcosL =
aa qcqaAqL 3321 cossinsin +=
Se ridic la ptrat i se adun relaiile de mai sus, rezultnd:
( ) ( )
a3a3
a3a3
22222
1
qcosqsinca2
qcosBaAcqsinAaBccaBAL
++++=
Dac noteaz:
2
LcaBAR;BaAcQ;AaBcP
2
1
2222 +++=+== , (35)
forma ecuaiei de mai sus devine:
RqcosQqsinP a3a3 =+ (36)
Ecuaiile de tipul (36) se rezolv prin diferite metode dnd dou soluii: ( ) ( )2a31a3
qsiq .
Coordonata robot 2q se deduce din una din relaiile (33) sau (34) conducnd la cte dou soluii:
( ) ( )2212
qsiq . Se determin valorile lui 3q corespunztoare:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222a323121a313
qqqsiqqq ==
Din punct de vedere geometic sunt posibile ambele soluii (fig. 12), alegerea fcndu-se conform
configuraiei dorite a structurii: I (q3 < 0) sau II (q3 > 0) . Dat fiind realizarea practic aspaiului de lucru la RI se adopt varianta I.
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
34/41
Fig. 12
* n fiierul Ex3 Str.mcd este exemplificat calculul de mai sus.
7.2. Modelul geometric invers n rezolvare numeric
Se apeleaz la metode numerice, dintre care cea mai utilizat este metoda Newton (a
gradientului):
( ) ( )p1pp1p qhqJqq = + (37)
n relaie sunt notate: pq - iteraia de rang p; 1p+q - iteraia urmtoare. )h(qp este vectorul
erorilor calculat n punctul pq :
( ) ( )
==
6p
6
2p
2
1p
1
ppp
xx
xx
xx
Lxqxqh (38)
Punctul x este cel pentru care se fac calculele, iar ( )pp qx este calculat la iteraia p.
Iteraia continu pn cnd p1p qq + scade sub o limit prestabilit. Se poate aprecia
oprirea iteraiei i la limitarea lui h .
O problem delicat n studiile teoretice este adoptarea punctului 0q de pornire a
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
35/41
iteraiei. Este necesar gsirea unui punct suficient de aproape de cel corect, altfel seria
,...,,...,, 1pp10 +qqqq nu este convergent. Se poate apela i la o metod aleatoare de cutare a
unui punct 0q .
n practic, la structurile aplicate (de exemplu la roboi) nu se pune problema de mai sus,
punctul de pornire este cunoscut, el fiind dat de starea concret n care este structura. Aici
calculele se fac pentru puncte apropiate (succesive) ale traiectoriei urmate, numrul de puncte de
discretizare a acesteia asigurnd convergena.
* n fiierul Ex4 Str.mcd este redat un exemplu de calcul pentru modelul geometric
invers aplicat pentru structura RRR din fig. 8. Calculul Jacobianului este fcut n dou variante:
I) Elementele sale sunt determinate prin derivare analitic (calcul simbolic); II) Elementele sunt
calculate prin derivare numeric. Modificarea punctului de pornire q0poate conduce la una sau
cealalt din soluiile posibile. Evident, un punct de pornire prea deprtat sau care nu poate fi
realizat de structur conduce la neconvergena iteraiei.8. Modelul dinamic
Modelul dinamic direct permite calculul forelelor robot: Q1, Q2,, Qnce acioneaz n
articulaii. Forele robotsunt momente motoare, n cazul cuplelor de rotaie i fore motoare, n
cazul cuplelor de translaie. n fig. 13 este reprezentat o structur RRTRR. Pentru cele patru
cuple de rotaie dintre elementele 1/0; 2/1; 4/3 i 5/4 forele robot sunt cuplurile motoare Q1; Q2;
Q4i Q5, respectiv. n cazul cuplei de translaie dintre elementele 3-2 fora robot reprezint fora
motoare Q3. n unele cazuri se cere i determinarea reaciunilor pasive din articulaii, necesare
calculelor de rezisten.
Fig. 13
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
36/41
Modelul dinamic invers permite stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii cnd se
cunosc forele robot. Modelul dinamic, att cel direct, ct i cel indirect se pot principial rezolva
prin folosirea ecuaiilor lui Lagrange. Modelul direct poate utiliza metoda cinetostaticii (Newton-
Euler), de tip recursiv. Sunt cunoscute metode recursive i la rezolvarea modelului invers, pentru
problema complet, ct i metode de liniarizare.
8.1. Metoda bazat pe formalismul Lagrange de spea a II-a pentru modelul
dinamic direct i invers
Metoda derivat din ecuaiile lui Lagrange permite direct deducerea forelor robot. Prin
aplicare analitic, dei laborioas, acest metod se poate aplica i pentru rezolvarea problemei
inverse a dinamicii.
Ecuaiile lui Lagrange de spea II sunt:
iiii q
Ep
q
Ec
q
Ec
dt
d
Q
+
= & ; n,...,2,1i= (39)
S-au notat cu Ec i Ep energia cinetic i, respectiv, energia potenial a sistemului:
==
==n
1ij
n
1ii EpEp;EcEc
Energia cinetic a unui element se poate calcula cu relaia de mai jos. Pentru
simplificarea scrierii nu a mai fost notat indicele i al corpului.
++++++= 2zz2
yy2
xx2
z2
y2
xc JJJmvmvmv2/1E
( ) zyyxzxxzyzzy vvmvvmvvm +++ 222
]xzzxzyyzyxxy J2J2J2 (40)
Au fost notate: m- masa corpului; Oxyz - sistemul local de axe legat de corp; Jx , Jy , Jz -
momentele de inerie fa de axele x , y , z; Jxy, Jyz, Jzx momente de inerie centrifugale. Dac
x, y, z sunt axe principale de inerie ale corpului, atunci momentele de inerie centrifugale sunt
nule; vx , vy , vz - componentele vitezei originii sistemului local de axe , fa de sistemul
absolut; x , y , z componentele vectorului vitezei unghiulare a corpului; ,, -
coordonatele centrului de mas n sistemul local de axe; Momentele de inerie centrifugale sunt
nule cnd axele adoptate coincid cu axele principale de inerie ale elementelor.
* n Anexa 1 este dat un exemplu de calcul.
8.2. Metoda cinetostatic (Newton-Euler) pentru modelul dinamic direct
Metodele bazate pe relaiile cinetostaticii introduc n echilibrul fiecrui element torsorul
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
37/41
forelor de inerie. Metodele sunt relativ simple, n special n varianta calculului recursiv.
Acceleraiile, de care depinde torsorul forelor de inerie, se calculeaz recursiv pornind de la
primul element, iar forele i reaciunile, deasemenea, recursiv, pornind de la ultimul element
spre baz. Metoda cinetostatic este avantajoas i n ceea ce privete viteza de calcul.
Aceast metod transform calculul dinamic al corpului ntr-un calcul de echilibru static
prin introducerea torsorului de reducere a forelor de inerie. Pentru simplificarea calculelor se
recomand adoptarea unor sisteme de axe cu originea n centrul de mas al corpului.
8.2.1. Calculul recursiv al elementelor cinematice ale elementelor
Calculele cinematice vor permite, ca, din aproape n aproape, pornind de la elementul 0
pn la elementul 6, pe baza relaiilor de recuren prezentate mai jos, s fie determinate
acceleraiile centrului de mas Oial corpurilor structurii (fig. 14). Deducerea relaiilor nu este
prezentat aici.
Fig. 14
Pentru a separa cazul legrii corpurilor prin cuple de rotaie sau/i de translaie a fost
introdus pentru corpul oarecare i , la cupla sa dinspre elementul de rang inferior (i-1),
parametrul i definit astfel: )1(;0 ii == pentru cupla de rotaie i ( )0;1 i1 == pentru
cupla de translaie.Versorii axelor cuplelor sunt notai cu ei.
Sunt necesare, n primul rnd, relaiile iterative pentru calculul vitezelor unghiulare i
pentru calculul acceleraiilor unghiulare:
iii1ii eq += r
&rr
(41)
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
38/41
( ) ii1iiii1ii eqeq ++= rr
&r
&&rr
(42)
Pentru vitezelor i acceleraiile originilor Oiale sistemulor de axe se utilizeaz relaiile:
1i1iii1ii brarvv += rrrrrr
( ) ( )
( ) iiii1ii
1i1i1i1i1iiiii,ai1ii
eqeq2
brbrarraa
++
+++=
r
&&rr
&
rrrrrrrrrrrr
(43)
Relaiile (41)(43) permit calculul recurent al elementelor cinematicii corpurilor.
8.2.2. Calculul dinamic prin metoda Newton-Euler
n fig. 15 este reprezentat corpul i. Sistemul de axe este cel descris mai nainte. Torsorul
forelor de inerie redus n centrul de mas Oi are componentele: fora de inerie iinF
r
i
momentul de inerie iinMr
:
iii aminF rr
= (44)
( )iiiinM = rrrr
iii JJ (45)
Fig. 15
Matricea Jiare expresia:
=
z,izy,izx,i
yz,iy,iyx,i
xz,ixy,ix,i
i
JJJ
JJJ
JJJ
J (46)
n cupla Ai apare torsorul forelor provenite de la elementul i-1: i,aFr
i i,aMr
. n cupla
Ai+1 torsorul forelor provine de la elementul i+1. Acesta este reaciunea torsorului din cupla
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
39/41
Ai+1ce acioneaz asupra elementului i+1, adic: 1i,ai,b FF +=rr
i 1i,ai,b MM +=rr
.
Asupra corpului mai acioneaz greutatea sa iGr
. De asemenea, este posibil aciunea
unei fore exterioare ieFr
i a unui cuplu exterior ieMr
. Ecuaiile de echilibru ale acestui element
sunt:
0eFGinFFF iii1i,ai,a =+++ +rrrrr
( ) 0MeFreMinMFrFrM 1i,aie,iii1i,ai,bi,ai,ai,a =++ ++rrvrrrrrrr
Metodica de calcul se face pornind de la echilibrul elementului n, urmnd elementul n-1,
pn la elementul 1. Aceasta presupune calculul succesiv al torsorului i,aFr
, i,aMr
. Din relaiile de
mai sus se deduce:
iii1i,ai,a eFGinFFFrrrrr
= + (47)
iie,ii1i,ai,bi,ai,a1i,ai,a eMeFrinMFrFrMM rrrrrrrrrr
++= ++ (48)
Efectul vectorilor de mai sus asupra elementului depinde de tipul cuplei (fig. 16).
Cazul cuplei de rotaie
n acest caz fora robot Qieste de fapt un cuplu (Mti) i se calculeaz proiectnd pe i,aMr
pe axa cuplei, adic:
ii,aii eMMtQ rr
== (49)
Componenta forei i,aFr
pe axa cuplei reprezint sarcin axial a lgruirii respective:
ii,ai eFFax
rr
= (50)
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
40/41
Fig. 16
Cazul cuplei de translaie
Fora robot este sarcina axial ce trebuie realizat la acionarea cuplei:
ii,aii eFQFm rr
== (51)
Componenta Maxia iaM ,r
pe axa cuplei reprezint o solicitare a sistemului de mpiedicare
a rotirii ghidajului:
ii,ai eMMax rr
= (52)
Componente cu semnificaie comun ambelor tipuri de cuple
Componenta lui i,aMr
perpendicular pe axa cuplei reprezint ncrcare transversal a
lagrului, respectiv ghidajului. Calculul acestei componente se face cu relaia:
( ) ii,aii eMenM rrrr
= (53)
Dac intereseaz numai mrimea, aceasta se poate calcula astfel:
2i
2ii MaxMaMn = (54)
-
8/13/2019 Robotica de Precizie I
41/41
Componenta lui i,aFr
perpendicular pe axa cuplei reprezint sarcin radial pentru
lgruire (ghidaj):
( ) ii,aii eFenF rrrr
= (55)
Mrimea se poate calcula direct:
2i
2ii MaxMaFn = (56)
Ca exemplificare, n fiierul Structuri 8- Anexa 1.doc este redat calculul dinamic
pentru structura RRR din fig. 8. Se calculeze momentele motoare din cuple i reaciunile din
cuple. Pe lng elementele geometrice se cunosc, n plus, elementele ineriale mii momentele
de inerie ale elementelor fa de axele proprii, date prin matricele Ji.
Vectorul acceleraiei gravitaionale este ( )T81,900g = , dat fiind orientarea axei
OZ0.
Se calculeaz vectorii forelor din cuple Fa i vectorii momentelor Ma cu relaiile (47) i
(48). Deoarece calculul recursiv pornete de la elementul fictiv cu i = 4 i aceste matrice apar cu
4 coloane. Vectorul corespunztor unui element i (i = 13) este cuprins n coloana respectiv,
ce se poate extrage introducnd indice superior: Fa< i >
i Ma< i >
. Matricele sunt calculate cafuncii de vectorul coordonatelor robot q.
Forele robot Qisunt de natur momente de torsiune avnd de a face cu cuple de rotaie.
Sunt calculate cu relaiile (52) i sunt redate printr-un vector ale crui componente corespund
celor trei elemente. Mai sunt calculate: fora axial din cuple cu relaia (50); fora normal
(radial) cu relaia (55); momentul normal (transversal) dat de relaia (53). Fora normal i
momentul normal sunt vectori; din componentele lor li se poate determina direcia. Se pot
calcula i modulele aspect ce nu este cuprins n program.
* Aa cum s-a mai spus programul Matcad este ilustrativ, fiind lent. Pentru lucru n timp
real se vor folosi programe adecvate: C sau Pascal.