robotique

Cours de robotiquefondamental

David.Daney sophia.inria.fr

Projet CoprinINRIA Sophia Antipolis

D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 1 / 165

Outline

1 IntroductionHistoriqueLes robotsDomaines d’expertisesDomaînes d’applications

2 Représentation des transformations et des mouvements rigides

Notion de degrés de liberté

Un exemple simpleReprésentation des transformations rigides

3 Les manipulateursNotion de liaisonsLes chaînes cinématiquesLes robot sériesLes robots parallèles

4 Les modèles des robots manipulateursLe Modèle Géométrique Direct/InverseLes Modèles Cinématiques Direct/InverseLe Modèle StatiqueLes Modèles Dynamiques

5 Notions complementaires des robots


Être artificiel et corvéable :

Talos

Aristote

Il y a 4000 ans, Talos, l’homme decuivre, option catapultes et lanceflamme. Le Dieu Héphaïtos l’a forgé etoffert au roi Minos en Crète pourdéfendre cette île des envahisseurs.

Selon le chant XVIII de l’Iliade (Homère,IXe siècle avant J.C.) Héphaïstos(Vulcain) fut le premier fabricant decréatures artificielles "techniques".

Mythe de Pigmalion, jeune roi deChypre, un homme "crée" la vie.

384-322 av JC Aristote, Machines pouraccomplir nos tâches


Les premières réalisationsAvant IXèmes siècle (entre mythe et réalité):

Automate, Heron

En Égypte, mâchoire articulé d’unmasque Anubis, le bras de Amonbouge pour designer le nouveaupharaon.

Ctébios et Heron d’Alexandrie,fontaines avec des figures animéeset des oiseaux qui chantent.Systèmes hydrauliques oupneumatiques (270 av. J-C).Champs d’application : ludique, maispourquoi pas militaire

En Chine, les sphères armillaireséquatoriales (assemblage d’anneauxou de globes figurant lesmouvements célestes) de GuoShouchang (52 av. J-C)


Les premiers automates (Horloges et fontaines)IXèmes - XIIIèmes siècle:

Fontaine, Al-Jazari

809, le sultan Haroun Al-Rachid offreà Charlemagne le premier automatemécanique (horloge).

fin 12ième, les fontaines d’Al-Jazaripour le confort de l’homme. (systèmepouvant nous rappeler la chassed’eau de nos toilettes)

1193-1280 L’évêque Albert le Grandaurait passé trente ans à construireun robot fait de métal et de bois queson élève, le futur saint Thomasd’Aquin, persuadé que cela avaitquelque chose à voir avec le démon,envoya au feu


Les premiers automates (Horloges et fontaines)XIIIèmes - XVIIèmes siècle:

Horloge, Venise

13ième-15ième Automatesmécaniques, hydrauliques etc. En1350, on a érigé sur la Cathédrale deStrasbourg un coq mécanique quibattait ses ailes et chantait tous lesjours à midi. Les jacquemarts, cesfigurines frappant les heures enenchaînant toutes sortes demouvement.

1496-1499 La tour de l’horloge,Venise.

1452-1519 Léonard de Vinci(1452-1519), développe un lionarticulé qu’il fait marcher à l’aide deroues et d’engrenagesdevant le roiFrançois Ier. "La science desautomates doit s’inspirer à la fois dela mécanique et de l’anatomie.


Les premiers automates programmable(Horloges et fontaines)IXèmes - XVIIèmes siècle:

Automate hydraulique,Salomon de Caus

La Pascaline

1576-1626 Salomon de Caus,mécanismes hydrauliques et lapremière machine programmable.

1642 Pascal invente la Pascaline,première calculatrice.

fin XVII Thomas Hobbes estime quepenser et calculer ne font qu’un.René Descartes assimile le corpsdes animaux à un automate.


Les automates XVIIIème siècleImitation des mouvement de l’humain

La joueuse de tympanon

1721-1790 Pierre Jacquet-Droz, Unécrivain, un dessinateur et unejoueuse de tympanon (pianosimplifié)."Sa poitrine se soulève ets’abaisse comme dans larespiration, sa tête remue, sesyeux regardent tantôt ses mains,tantôt la musique, et tantôt lesauditeurs ; elle se penche sur lapartition comme pour mieux lireou écouter, et à la fin de lapartition elle salue poliment"



Le joueur d’échecs (1770, Wolfgang von Kempelen)



Le canard

1709-1782 Jacques deVaucanson,Le Flûtiste, dont les lèvreset les doigts jouent unedouzaine de mélodies à laflûte traversière ;le Canard, qui peut picorerdu grain, boire et éjecterdes crottes (dixitVaucanson) ;un joueur de tambourin et deflageolet (genre de flûte àbec) reproduisant 20 airsdiffèrents.Un système deprogrammation de l’automate.Le programme est constituépar un cylindre à picots,comme ceux qui équipentencore, de nos jours,certaines boites àmusique, picots agissantssur leviers mobiles,transmettant le mouvementpar l’intermédiaire de fils.


Les automates XIXème siècleUtilisation industrielle

Machine à tisser

1709-1782 Jacques deVaucanson,nommé inspecteur desmanufactures de soie, a l’idéed’utiliser son cylindre à picotpour programmer les métiersà tisser. C’est le premierautomate utile.

1805 Joseph-Marie Jacquard,programmation par cartesperforées.Charles Babbage adaptel’idée pour les calculatices.1943, dans le premierordinateur, le Mark I, utilisépar la marine américaine pourcalculer la trajectoire desobus.


Les automates XIXème siècleUtilisation industrielle

Bateau télécommandé

1890 Thomas Edison,une poupée parle grace à unephonograghe.

1898 Nikola Tesla,bateau controlé sans fils


La notion de robotique au XXème siècle

RUR

1816 Mary Shelley, le docteurFrankenstein

1921 Karel Capek (écrivaintchéque, 1890-1938) inventele mot "Robot" (Robota, travailforcé , tâche pénible ,servitude).La pièce RUR, les RobotsUniversels de Rossum décritla révolte de robots !

1926 Fritz Lang, Metropolis

1941 Isaac Asimov, invente leterme "Robotique", préditl’augmentation de la robotiqueindustrielle. Il recadre lesrobots en temps que machineservant l’homme etnon-dangeureuse.


Les Robots du XXème siècle

Enigma

1935 Machine de Turing ,Alan Mathison Turing.


Les Robots du XXème siècle

1961 Unimate ,General Motors

1968 Walking Truck ,General Electric

1970 Shakey ,Stanford Research Institute.

1947 premier manipulateur électrique téléopéré.

1954 premier robot programmable.

1961 apparition d’un robot sur une chaîne demontage de General Motors.

1961 premier robot avec contrôle en effort.

1963 : utilisation de la vision pour commander unrobot.


Outline









Définitons

Un robot est un système mécanique poly-articulé mû par des actionneurs etcommandé par un calculateur qui est destiné à effectuer une grande variété detâches.

"Un appareil automatique qui peut effectuer des fonctions normalementeffectuer par des humains." Traduit du dictionnaire Webster’s

"Appareil automatique capable de manipuler des objets ou d’exécuter desopérations selon un programme fixe ou modifiable." Petit Larousse

"Un manipulateur reprogrammable multifonctionnel concu pour deplacer desmatériaux,des outils, des pièces ou des composantes spécialisés à traversune série de mouvements programmés pour effectuer une tache précise."Robot Institut de robotique d’Amérique,1979

"A robot is a machine designed to execute one or more tasks repeatedly,with speed and precision." whatis.com


Définitons

"Manipulateur commandé en position, reprogrammable, polyvalent, àplusieurs degrés de liberté, capable de manipuler des matériaux, despièces, des outils et des dispositifs spécialisés, au cours de mouvementsvariables et programmés pour l’exécution d’une variété de tâches. Il asouvent l’apparence d’un ou plusieurs bras se terminant par un poignet. Sonunité de commande utilise, notamment, un dispositif de mémoire etéventuellement de perception et d’adaptation à l’environnement et auxcirconstances. Ces machines polyvalentes ont généralement étudiées poureffectuer la même fonction de façon cyclique et peuvent être adaptées àd’autres fonctions sans modification permanente du matériel." AFNORAssociation Française de Normalisation


DéfinitionGénération 3

JoystickBoite à boutonClavier...

Environnement

Système de commande

Systéme de décision

Systéme de communication

propriocétifsActionneursStructure mécanique

Robot

Informationsexteroceptifs

Capteurs


Robotique mobile

Robots mobiles

Anis, Icare, INRIA

Robots sous-marins

TAIPAN, Lirmm, CNRS

Robots volants

AirRobot GmbH & Co.KG

Problèmes de commande

Intégration des informations fourniespar des capteurs


Robotique bio-inspirée

Bipéde 15 dll

Bipéde oiseau

Hexapode

Quadipode


Micro-, Mano- robotique

Robot mobile

Nano moteur

Nano robot parallèle

Interaction avec le sang


Robotique des manipulateurs

Robots séries

Kuka

Robots parallèles

Delta, ABB

Robots Hybrides (parallèle/série)

Tricept, Neos

Robots à câbles

Système à retour d’effort (Haptic)


Outline









Domaines d’expertises

Mécanique

Automatique

Informatique

Mathématique appliquée

Analyse numérique, Optimisation,

Géométrie algérique, Algorithmique,

Vision par ordinateur, Traitementd’images,

Intelligence artificielle,

CAO,

Mécatronique,

Psychologie , Expertise Médicale

. . .


Outline









Domaînes d’applicationsde la robotique industrielle à la robotique de service

Pour une grande majorité des robots ...

tâche simple

tâche répétitive (grande série)

qualité sur la tâche (vitesse, précision)

pénibilité de la tâche (peinture, charge lourde, environnement hostile, ...).

L’avenir est à l’autonomie ...

tâche complexe

interaction avec l’environement (+ utilisateur)

module de décision (+ sécurité)


La robotique industrielleAutomobile

Robot soudeur

Chaîne d’assemblage

Robot peintre


La robotique industrielleChaîne de production (industrie)

Chaine de production (ABB)

Manipulateur fonderie (ABB)

Manipulateur rapide (ABB)


Environnement hostileNucléaire

Figure: Robot décontamineur

Figure: Robot adapté au milieunucléaire

Figure: Téléopération


Environnement hostileExploration spatiale

Spirit, NASA, 2003 sur Mars

Sojourner, NASA, 1997 sur Mars

Canadarm 1 et 2

Beagle 2D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 31 / 165

Environnement hostileExploration sous-marine

Scorpio 2000, France Télécom

Robot sous-marin


Agriculture

Tracteur autonome

Récolte de concombre

Robot pour planter les melons


Sécurité, Militaire

Robot reconnaissance Irak 2003

Drone Predator General atomics

Demineur


Service à la clientèle

Aspirateur CyCab

Laveur de vitres (C. Pompidou) - Robosoft


Loisirs

Aibo, Sony

Robot Cup Robotique selon Lego


Humnoïde

Robot visage

Expression du visage

P3 et Asimo, Honda


Médicale

Manipulateur hospitalié

Manipulateur pharmacetique

Manipulateur pharmacetique

Mélangeur pharmacetique


Chirurgie

da Vinci

Physik Instrumente

Endoscope MIPS, Inria

Simulation, Chir, Inria


Outline









Degrés de libertédans l’espace

Combien de degrés de libertés a un solide dans l’espace ?ou encore... Combien de paramètres indépendants (nombre minimal)sont-ils nécessaires pour définir la situation (positionnement) du solidedans l’espace (par rapport à un repère de référence) ?


Degrés de libertédans l’espace

6 3 en position

3 en orientation

Y

Z

X

P

Y

Z

X

P

γ

β

α


DDL d’un solidedans l’espace


DDL d’un solidedans le plan

Quels sont les degrés de liberté de la "brosse à effacer" sedéplaçant sur le tableau ?

Y

X

θ

2 en position (X,Y), 1 en orientation (θ)


Outline









Un exemple simpleToto le petit robot

Vue de haut Vue de profile

Roues

Toto le petit robot.

t

Il tourne Il se deplace en ligne droite

θX

Y

Déplacements de Toto.

Questions :

Dans le plan, quel sont les coordonnées d’un solide ?

Quel sont les degrés de liberté du robot ?

Est-ce équivalent ?

I Le robot avance de t puis tourne de θ.I Le robot tourne de θ puis avance de t .

Donner les coordonnées du robot.


Un exemple simplePositionnement d’un objet

X

YPosition initiale

A partir d’une position initiale, le robottourne de θ puis avance de t . Donner sanouvelle position

θ

X

Yt

Position initiale

X = t × cos(θ)

Y = t × sin(θ)

Θ = θ

ou bien

X =

0@t . cos(θ)t . sin(θ)

θ

1A


Un exemple simpleDéplacement d’un robot

Question:

A partir d’une position initiale, le robot tourne de θ puis avance de t puistourne de α puis avant de d . Donner son positionement.



θ

x

y

j

i

α

v

u

p

q

O

C

t

d

T

D

Le robot tourne de θ puis avance det .Dans le repère ΩO = (O,

−→i ,−→j )

−→T ΩO

=

„uv

«= t .

„cos θsin θ

«(1)

Puis , le robot tourne de αpuis avance de d .Dans le repère ΩC = (C,−→x ,−→y )

−→D ΩC

=

„pq

«= d .

„cosαsinα

«(2)

Question : Déterminer la position du robot dans ΩO .



x

y

j

iO

C

T

V

θ+α

D

Solution :

la position du robot est égale à :

−→V =

−→T ΩO

+−→D ΩO

(3)

Sous-problème :Déterminer

−→D dans ΩO

l’orientation de Toto est égale à θ+α.

0@t . cos θ + pΩO

t . sin θ + qΩO

θ + α

1A (4)


Déterminer−→D dans ΩO

1/2

x

y

j

iO

C

V

DDans ΩO le vecteur

−→D peut s’exprimer en

fonction des axes de −→x et −→y .

−→D ΩO

= p.−→x ΩO+ q.−→y ΩO

(5)

i

j

x

y cos

sin

−sin

cos

θ

θθ

θθ

Exprimons les axes −→x et −→y dans ΩO

−→x ΩO=

„cos θsin θ

«−→y ΩO

=

„− sin θcos θ

«(6)



2/2

eq. (6) → eq. (5) → eq. (3)

−→V =

−→T ΩO

+−→D ΩO

= t .„

cos θsin θ

«+ p.

„cos θsin θ

«+ q.

„− sin θcos θ

«(7)

eq. (2) → eq. (7)

−→V = t .

„cos θsin θ

«+ d . cosα.

„cos θsin θ

«+ d . sinα.

„− sin θcos θ

«(8)

= t .„

cos θsin θ

«+ d .

„cos (θ + α)sin (θ + α)

«(9)



Forme matricielle

x

y

j

iO

C

V

D

i

j

x

y cos

sin

−sin

cos

θ

θθ

θθ

Dans ΩO le vecteur−→D peut s’exprimer en

fonction des axes de −→x et −→y .

−→D ΩO


Exprimons les axes −→x et −→y dans ΩO

−→x ΩO=

„cos θsin θ

«−→y ΩO

=

„− sin θcos θ

«

−→D ΩO


= p.„

cos θsin θ

«+ q.

„− sin θcos θ

«=

„cos θ − sin θsin θ cos θ

« „pq

«=


«−→D ΩC

=“−→x ΩO

−→y ΩO

”−→D ΩC

= R.−→D ΩC


Outline









Changement de repèreCas plan

O i

jy

x

C

Figure: Deux repères dans le plan

Soit le repère de base Ω0 = (O,−→Oi,

−→Oj) et le repère ΩC = (C,

−→Cx ,

−→Cy).

La position P du repère ΩC par rapport à Ω0 est donné par le vecteur−→OC.

(C exprimé dans Ω0)

La matrice d’orientation R du repère ΩC par rapport à Ω0 est donné par

R =“−→

Cx−→Cy”

(C, x , y exprimés dans Ω0)


Changement de repèreCas plan

Remarque :

La matrice R est une matrice orthogonal qui a des propriété:

det(R) = 1 (10)

R−1 = Rt (11)

R =


«(12)

Soit VC un vecteur exprimé dans ΩC et VO sa valeur dans ΩO .

VO = R.VC + P (13)

VC = Rt .VO − Rt .P (14)


Changement de repèreCas Spatial

Soit le repère de base Ω0 et le repère ΩC .

La position P du repère ΩC par rapport à Ω0.

La matrice d’orientation R du repère ΩC par rapport à Ω0.

Soit VC un vecteur exprimé dans ΩC et VO sa valeur dans ΩO .

VO = R.VC + P (15)

VC = Rt .VO − Rt .P (16)


Une paramétrisation de la matrice d’orientation

Rx(θx) =

0@1 0 00 cos θx − sin θx

0 sin θx cos θx

1ARy (θy ) =

0@ cos θx 0 sin θx

0 1 0− sin θx 0 cos θx

1ARz(θz) =

0@cos θz − sin θz 0sin θx cos θx 0

0 0 1

1AR = Rx(θx).Ry (θy ).Rz(θz) Angles de Bryant

R = Rz(θz1).Rx(θx).Rz(θz2) Angles d’Euler


Matrice d’orientation représenté par les angles deBryant

R = Rx(φ).Ry (θ).Rz(ψ)

R =

cos θ cosψ − cos θ sinψ sin θ

sinφ sin θ cosψ + cosφ sinψ cosφ cosψ − sinφ sin θ sinψ − sinφ cos θ− cosφ sin θ cosψ + sinφ sinψ cosφ sin θ sinψ + sinφ cosψ cosφ cos θ

!


Matrice d’orientation représenté par un vecteurnormalisé et un angle

R : Rotation d’un angle θ autour de l’axe

0@ux

uy

uz

1A.

R =

u2x .a + cos θ ux .uy .a− uz . sin θ ux .uz .a + uy . sin θ

ux .uy .a + uz . sin θ u2y .a + cos θ uy .uz .a− ux . sin θ

ux .uz .a− uy . sin θ uy .uz .a + ux . sin θ u2z .a + cos θ

avec a = 1− cos θ


Matrice d’orientation représenté par les paramètres deRodrigues

R =1

1 +Q21 +Q2

2 +Q23

0@1 +Q21 −Q

22 −Q

23 2(Q1Q2 −Q3) 2(Q1Q3 +Q2)

2(Q1Q2 +Q3) 1−Q21 +Q2

2 −Q23 2(Q2Q3 −Q1)

2(Q3Q1 −Q2) 2(Q2Q3 +Q1) 1−Q21 −Q

22 +Q2

3

1A


0@uxuyuz

1A.

Q1 = ux tanθ

2

Q2 = uy tanθ

2

Q3 = uz tanθ

2


Matrice d’orientation représenté par les paramètres deEuler normalisés

R =

Q0 +Q21 −Q2

2 −Q23 2(Q1Q2 −Q0Q3) 2(Q1Q3 +Q0Q2)

2(Q1Q2 +Q0Q3) Q0 −Q21 +Q2

2 −Q23 2(Q2Q3 −Q0Q1)

2(Q3Q1 −Q0Q2) 2(Q2Q3 +Q0Q1) Q0 −Q21 −Q2

2 +Q23


ux

uy

uz

.

Q0 = cosθ

2

Q1 = ux sinθ

2

Q2 = uy sinθ

2

Q3 = uz sinθ

2


Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace

Nous avons déjà vue que nous pouvons le représenter par ...

6 paramètres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz , 3 pour l’orientation Rx ,Ry ,Rz ),

12 paramètres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz , 9 pour représenter la matriced’orientation R).

7 parametres (3 pour la position Tx ,Ty ,Tz + un vecteur et un angle)

mais aussi

9 paramètres (3× 3 coordonnées de 3 points sur le solide)

...

Mais il n’y en a que 6 indépendantsdans les autres cas un certain nombre sont liés par des équations



Plusieurs changements de repères successifs

R ,P 01 01

0

12

3

4

R ,P

R ,P

R ,P

12 12

23 23

34 34

V

V3 = R34.V + P34

V2 = R23.V3 + P23 = R23.(R34.V + P34) + P23

V1 = R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12

V0 = R01.(R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12) + P01



Coordonnées Homogène

P =

0BB@w .px

w .py

w .pz

w

1CCA (17)

Représentation d’un point, w = 1



Transformations Homogènes

Hi,j =

0BB@R1,1 R1,2 R1,3 P1

R2,1 R2,2 R2,3 P2

R3,1 R3,2 R3,3 P3

0 0 0 1

1CCA4×4

H0,4 = H0,1.H1,2.H2,3.H3,4

Hi,i = I

„Vi

1

«4×1

= Hi,j .

„Vj

1

«4×1


Matrices homogènes

R(θ)

P

V’V V

′= R(θ)V + P

Matrice Homogène:

Hi,j =

0@ R1,1 R1,2 P1

R2,1 R2,2 P2

0 0 1

1A3×3

=

0@ cos θ − sin θ P1

sin θ cos θ P2

0 0 1

1A

Utilisation de la matrice homogène.„V′

1

«=

„R P

0 0 1

«.

„V1

«=

„R.V + P

1

«


Matrices homogènesPlusieurs changements de repères successifs

R ,P 01 01

R ,P 12 12

R ,P 23 23 R ,P 34 34

0

3

4

21

H

H23H12

0134H

V0

V

V3 = R34.V + P34

V2 = R23.V3 + P23 = R23.(R34.V + P34) + P23

V1 = R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12

V0 = R01.(R12.(R23.(R34.V + P34) + P23) + P12) + P01

ou alors „V0

1

«= H01.H12.H23.H34.

„V1

«D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 68 / 165

Outline









Liaisons entre deux solides

Une liaison entre deux solides est une relation de contact entre deux solides.

Degrés de liberté d’une liaison : C’est le nombre de déplacementsélémentaires indépendants autorisés par cette liaison.

Classe d’une liaison : C’est le nombre de déplacements élémentairesinterdits. On notera que pour une liaison, la somme des degrés de liberté etde la classe de la liaisons est égale à 6.


Liaisons entre deux solides : exempleContact Plan/Plan

1 ddl, Rx

Décomposition des contacts


Les différents types de contact

contact ponctuel contact linéique contact linéique

contact surfacique contact surfacique


Tableau des liaisons usuelles

Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilitésliaison planes Trans Ori

Encastrement de centre B

0@000

1A 0@000

1A Anim

Glissière de centre A et d’axe X

0@Tx00

1A 0@000

1A Anim

Pivot de centre A et d’axe X

0@000

1A 0@Rx00

1A Anim




Pivot glissant de centre C etd’axe X

0@Tx00

1A 0@Rx00

1A Anim

Hélicoïdale de centre B et d’axeY

0@ 0Ty0

1A 0@ 0Ty ∗ 2p/p

0

1A Anim

Appui Plan de centre D et denormale Z

0@TxTy0

1A 0@ 00

Rz

1A Anim

Rotule de centre O

0@000

1A 0@RxRyRz

1A Anim




rotule à doigt de centre O d’axeX

0@000

1A 0@ 0RyRz

1A Anim

Linéaire annulaire de centre Bet d’axe X

0@Tx00

1A 0@RxRyRz

1A Anim

Linéïque rectiligne de centre C,d’axe X et de normale Z

0@TxTy0

1A 0@Rx0

Rz

1A Anim

Ponctuelle de centre O et denormale Z

0@TxTy0

1A 0@RxRyRz

1A Anim


Outline









Les articulations des robots

Articulation prismatique, noté P

1 ddl en translation Tz .Valeur articulaire q = longueur [m].

Articulation rotoïde, noté R

1 ddl en rotation Rz .Valeur articulaire q = angle [rad ], [].


Articulation de ddl ≥ 2

Dans la plupart des cas, pour modéliser une articulation de ddl ≥ 2, nousnous ramenerons à une succession d’articulations P ou R.Exemples :

Articulation cardan RR (2 ddl) Articulation rotule RRR=S (3 ddl)


Les chaînes cinématiques

Figure: Chaîne cinématique RPRP

Une chaîne cinématique sera définie par une succession d’articulationsrotoïdes ou prismatiques.


Outline









Les Robots Séries

Base

Mobile

Description GénéraleUn exemple


Vocabulaire

Actionneur, moteur

Axe, articulation

Corps, segment

Organe terminal

Effecteur, outil

Base

Danse avec les robots


Vocabulaire

Coordonnées généralisé X = [P, R](position P / orientation R)

Coordonnées articulaire q(consignes données aux moteurs : soit rotation autour d’un axe soittranslation suivant un axe)

Paramètres géométriques ζqui définissent de façon statique les dimension du robot


Indice de mobilité et ddl d’un robot série à n corps

Définition : L’ indice de mobilité M est le nombre de paramètresvariables qui déterminent la configuration du manipulateurM = nSi

La chaîne cinématique est simple (chaque articulation a, au plus, unsuccesseur et un prédécesseur)

Chaque articulation est de classe 5

En géneral, le degré de liberté du robot (DLr ) est égal à M sauf si le robotest redondant. Dans tous les cas ...

DLr ≤ M


Robot redondant

le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal < nombre variablesarticulaires actives (d’articulations motorisées).

plus de 6 articulations

plus de trois articulations rotoïdes d’axes concourants

plus de trois articulations rotoïdes d’axes parallèles

plus de trois articulations prismatiques

deux axes d’articulations prismatiques parallèles

deux axes d’articulations rotoïdes confondus


Configurations singulières (localement redondant)

Quelque soit le robot (redondant ou non), il se peut qu’il existe certainesconfigurations dites singulières telle que le nombre de degrés de libertéde l’organe terminal soit inférieur à la dimension de l’espace opérationnel(espace dans lequel on représente les ddl de l’OT).

deux axes d’articulations prismatiques se retrouvent parallèles

deux axes d’articulations rotoïdes se retrouvent confondus


Nombre de morphologies possibles vs nombre de ddldu robot

2 possibilités d’angle entre deux articulations successives : 0 et 90

ddl nb structure2 83 364 1685 7766 3508


Nous appelerons ...

...

Porteur Poignet


Type de robot

Scara RRP

Cylindrique RPP

Sphérique RRP

Cartésien PPP

Anthropomorphique 6R


Propriétés des robots

Précision : positionnement absolu imprécis (>1 mm):

Répétabilité : la répétabilité d’un robot est l’erreur maximale depositionnement répété de l’outil en tout point de son espace detravail (< 0.1 mm)

Vitesse maximale de translation ou de rotation de chaque axe, detranslation maximale de l’organe terminal

Accélération maximaleI Est donnée pour chaque axe dans la configuration la plus

défavorable (inertie maximale, charge maximale).I Dépend fortement de l’inertie donc de la position du robot

Charge utile :I C’est la charge maximale que peut porter le robot sans

dégrader la répétabilité et les performances dynamiques.I La charge utile est nettement inférieure à la charge maximale

que peut porter le robot qui est directement dépendante desactionneurs.


Caractéristique


Outline









Les Robots Parallèles

Description Générale, chaîne ferméeUn exemple


Exemples Robots Parallèles

Différents types d’architectures

La plate-forme de Gough


La plate-forme de Gough

Li

Bi

C

O

li

AiBase

Mobile

Segments


Exemple de déplacement

DDL Gough

Cercles, Poignet actif (INRIA)

Hexapode CMW

Alcatel Déploiement


Caractéristiques

Il a une meilleure précision (rigidité, accumulation des erreurs)

Il peut transporter de lourdes charges

Il a de bonnes performances dynamiques

Son espace de travail est plus limité (que pour les robots série)

Son étude est Complexe


Outline









Le Modèle Géométrique DirectDes robots (séries ou parallèles)

Déterminer: Les coordonnées généralisées (X ) en fonction descoordonnées articulaire (q):

X = FMGD(q1, q2, . . . , qi , ζ)

avec ζ les paramètres géométriques (paramètres qui définissent lagéométrie du robot série).


Le MGDexemple

t3

t2

t1

θ1

θ2

θ3

Repère base

Repère mobile

mécanisme 3R plan

Quels sont les degrés de liberté de cemécanisme plan 3R ?

Identifier les coordonnées articulaires

Identifier les paramètres géométriquesqui définissent le mécanisme

Associer à chacune des articulations unrepère

Déterminer le positionnement (matrice R,vecteur P) de chaque repères par rapportau précedent.

Metter ces changements de repères sousla forme de matrice homogène

Montrer comment calculer le MGD de cemécanisme


Le MGDsolution

Identifier les coordonnées articulaires

Solution: q1 = θ1, q2 = θ2, q3 = θ3

Identifier les paramètres géométriques qui définissent le mécanisme

Solution: ζ = t1, t2, t3


Le MGDSolution

Associer à chacune des articulations un repère

t3

t1

t2 θ2

θ3

θ1 Repère base

Repère mobile

mécanisme 3R plan


Le MGDSolution

t3

t1

t2 θ2

θ3

θ1 Repère base

Repère mobile

0

1

2

3

R0,1

R1,2

R2,3

2,3

1,2

0,1T

T

T

mécanisme 3R plan

Déterminer le positionnement(matrice R, vecteur P) de chaquerepères par rapport auprécedent.

Ri,j =

(cos θj − sin θj

sin θj cos θj

)Ti,j =

(tj . cos θj

tj . sin θj

)i ∈ 0, 1, 2, j ∈ 1, 2, 3

Mettre ces changements derepères sous la forme de matricehomogène

Hi,j =

(Ri,j Ti,j

0 0 1

)D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 103 / 165

Le MGDSolution

t3

t1

t2 θ2

θ3

θ1 Repère base

Repère mobile

0

1

2

3

R0,1

R1,2

R2,3

2,3

1,2

0,1T

T

T

Montrer comment calculer le MGD dece mécanisme

H0,3 =

0@cos θ1 − sin θ1 t1. cos θ1sin θ1 cos θ1 t1. sin θ1

0 0 1

1A× . . .

0@cos θ2 − sin θ2 t2. cos θ2sin θ2 cos θ2 t2. sin θ2

0 0 1

1A 0@cos θ3 − sin θ3 t3. cos θ3sin θ3 cos θ3 t3. sin θ3

0 0 1

1A=

„cos (θ1 + θ2 + θ3) − sin (θ1 + θ2 + θ3) t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)sin (θ1 + θ2 + θ3) cos (θ1 + θ2 + θ3) t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)

0 0 1

«

X =

0@t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)

θ1 + θ2 + θ3

1AD. Daney INRIA Cours Robotique 200x 104 / 165

Le Modèle Géométrique Directdes robots séries

R 0 0 0 1X=( )P

qq

qq

1

2

3

4Repère mobile

Repère de base


Le Modèle Géométrique Directcomment modéliser systèmatiquement une chaîne cinématique

Dans l’espace, nous utiliserons le formalisme de Denavit-Hartenberg

1 Placer les repères

2 Définir les variables articulaires et les paramètres géométriques

3 Définir les matrices de transformées homogènes

4 Multiplier ces matrices


La modélisation des chaînes cinématiquesPlacement des repères utilisant le formalisme de Denavit-Hartenberg

Formalisation de Khalil 96

Li une liaison rotoïde ou prismatique parfaite c’est-à-dire suivant unseul axe, donc représentée par un seul paramètre.

(Oi , xi , yi , zi) le repère lié à la liaison i .

Oi−1 est le pied de la perpendiculaire commune avec l’axe desliaisons Li−1 et Li sur l’axe Li .

xi−1 est le vecteur unitaire de cette perpendiculaire communeorientée de Li−1 à Li .

zi−1 le vecteur unitaire porté par l’axe de la liaison Li−1 orientéarbitrairement.

yi−1 est déduit de xi−1 et zi−1.

Pour i = 0, z0 verticalement ascendant et x0 perpendiculaire à l’axeL1.

Pour i = n, On sur l’axe Ln et zn porté par l’axe de la liaison n.


La modélisation des chaînes cinématiquesUn exemple

xi+1

ai

θi

xi+1

zi

zi−1

bi

zi+1zi

zi+1

xi

xi−1

xi

αi

a PRPkinematic chain : ai , bi , αi , θi Denavit-Hartenberg parametersassociated with the revolute joint i


Matrice de transformation de Denavit-Hartenberg

Hi = R(θi , zi).T (bi , zi).T (ai , xi+1).R(αi , xi+1)

xi+1

ai

θi

xi+1

zi

zi−1

bi

zi+1zi

zi+1

xi

xi−1

xi

αi

Figure: a PRPkinematic chain : ai , bi , αi , θi Denavit-Hartenbergparameters associated with the revolute joint i


La modélisation des chaînes cinématiquesMatrice de transformation de Denavit-Hartenberg

An homogeneous matrix (Hi ) describe the transformation(position/orientation) between two consecutive frames Ωi and Ωi+1. This

matrix is define by four DH-parameters ai , bi , αi , θi such that:

Hi = R(θi , zi).T (bi , zi).T (ai , xi+1).R(αi , xi+1)

=

(Ri p i

0 0 0 1

)with the orientation matrix :

Ri =

cos(θi) − cos(αi). sin(θi) sin(αi). sin(θi)sin(θi) cos(αi). cos(θi) − sin(αi). cos(θi)

0 sin(αi) cos(αi)

and the position vector:

p i =

ai . cos(θi)ai . sin(θi)

bi


Calculer le MDG

R 0 0 0 1X=( )P

qq

qq

1

2

3

4Repère mobile

Repère de base

Déterminer:

X = FMGD(q1, q2, . . . , qi , ζ)

La transformation homogène entre lerepère Ω0 et le repère mobile Ωn estobtenue telle que :

HCK = H0.H1 . . . Hn

Il faut projeter HCK sur X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ]


De la matrice DH vers 6 parametersTx , Ty , Tz , Rx , Ry , RZ

Nous souhaitons obtenir X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ] en fonction de desélément de la matrice HCK.

Pour la position ...

Tx

Ty

Tz

=

HCK1,4HCK2,4HCK3,4


De la matrice DH vers 6 parametersTx , Ty , Tz , Rx , Ry , RZ

Nous souhaitons obtenir X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ] en fonction de desélément de la matrice HCK.

Pour l’orientation ...Sachant que :

R =

(cos θ cosψ − cos θ sinψ sin θ

sinφ sin θ cosψ + cosφ sinψ cosφ cosψ − sinφ sin θ sinψ − sinφ cos θ− cosφ sin θ cosψ + sinφ sinψ cosφ sin θ sinψ + sinφ cosψ cosφ cos θ

)

Rx = arctanHCK3,2.HCK1,1 − HCK3,1.HCK1,2

HCK1,1.HCK2,2 − HCK1,2.HCK2,1

Ry = arctanHCK1,3√

HCK21,1 + HCK

21,2 + HCK

22,3 + HCK

23,3

Rz = arctanHCK2,3.HCK3,1 − HCK2,1.HCK3,3

HCK2,3.HCK3,2 − HCK2,2.HCK3,3


Le Modèle Géométrique Inversedes robots séries

R 0 0 0 1X=( )P

qq

qq

1

2

3

4Repère mobile

Repère de base

Déterminer:

[q1, q2, . . . , qn] = FMGI(X , ζ)

avec ζ les paramètres géométriques (paramètres qui définissent lagéométrie du robot série).


Le MGIexemple

t3

t1

t2 θ2

θ3

θ1 Repère base

Repère mobile

0

1

2

3

R0,1

R1,2

R2,3

2,3

1,2

0,1T

T

T

mécanisme 3Rplan

X = . . .0@t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)

θ1 + θ2 + θ3

1ACalculer le MGI, c’est déterminer:

[θ1, θ2, θ3] = FMGI(X1,X2,X3, ζ)

avec ζ = [t1, t2, t3]


Le MGI exemplerésolution Géométrique 1/2

t3θ3

Repère base

Repère mobile

t3θ3

t2

t1

Repère base

Repère mobile


Le MGI exemplerésolution Géométrique 2/2

θ2

θ3

θ1

θ1

θ2θ3

Repère base

Repère mobile


Le MGI exemplerésolution Algébrique 1

t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)− X1 = 0

t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)− X2 = 0

θ1 + θ2 + θ3 = X3

t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos X3 − X1 = 0

t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) + t3. sin X3 − X2 = 0

t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) = u1 (18)

t1. sin θ1 + t2. sin (θ1 + θ2) = u2

On sait que

cos2 (θ1 + θ2) + sin2 (θ1 + θ2) = 1 (19)


Le MGI exemplerésolution Algébrique 2

En reportant, les équations 18 dans l’équation 19.

(u1 − t1. cos θ1)2 + (u2 − t1. sin θ1)

2 = t22

Nous obtenons

u1. cos θ1 + u2. sin θ1 =t21 − t2

2 + u21 + u2

2

2.t1

sachant que pour l’équation X . sin α + Y . cos α = Z :

cos α =YZ − εX

√X 2 + Y 2 − Z 2

X 2 + Y 2

sin α =XZ + εY

√X 2 + Y 2 − Z 2

X 2 + Y 2

avec ε = +/− 1.On en déduit donc θ1 puis θ1 + θ2 → θ2 (en utilisant eq. (18)), puis enfin

θ3.


Le MGI des robot sérieRésolution numérique

Méthode de Newton ∼ 1670

x

f(x)

f(y)

y

f’(x)

limh→∞f (x)−f (x+h)

h = f′(x)

Nous cherchons à déterminer x telque f (x) = 0, Nous connaissons uneapproximation de x noté x0.Nous avonsf (x0)− f (x) = f

′(x0).(x0 − x) avec

f (x) = 0 nous obtenons :

x = x0 −f (x0)

f ′(x0)Le schéma de Newton est donc :

xk+1 = xk −f (xk )

f ′(xk )


Résolution numériqueNewton

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

–1 –0.5 0.5 1x

x3 − 0.5× x + 0.1 = 0

f (x) = x3 − 0.5× x + 0.1

f′(x) = 3.x2 − 0.5

xk+1 = xk − x3−0.5×x+0.13×x2−0.5

x0 0 1 -0.5 -0.4x1 0.2 0.76 -1.4 11.4x2 0.2211 0.6310 -1.0387 7.6095x3 0.2218 0.5796 -0.8555 5.0871x4 0.5699 -0.7975 3.4121x5 0.5696 -0.7915 2.3048x6 -0.7914 1.5799x7 1.1143x8 0.8270x9 0.6645x10 0.5903x11 0.5710x12 0.5696


Résolution numériqueNewton

Calculer√

3 en utilisant +,×,÷, 5 et 2.Solution :

Résoudre l’équation x2 − N = 0

xk+1 = xk − x2−N2.x

xk+1 = 12 (xk + N

xk)

x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321.


Le MGI des robot sérieTechniques utilisées

Méthode classique (1970-1980)

I Utilisable par la plupart des robots industrielsI Résolution simple, utilisation de modèle de résolution

Méthode algébrique (Raghavan et Roth 1990)

I Technique de l’élimination dyalitique

Méthode numérique (Newton)

I Quand on ne sait pas faireI Problème de l’unicité des solutions


Le MGI des robot sérieMéthode classique

1 Développer l’ensemble des équations possibles

HX = H0,1.H1,2.H2,3.H3,4.H4,5.H5,6

H1,0.HX = H1,2.H2,3.H3,4.H4,5.H5,6

H2,1.H1,0.HX = H2,3.H3,4.H4,5.H5,6

H3,2.H2,1.H1,0.HX = H3,4.H4,5.H5,6

H4,3.H3,2.H2,1.H1,0.HX = H4,5.H5,6

H5,4.H4,3.H3,2.H2,1.H1,0.HX = H5,6

avec H−1i,j = Hj,i

2 On constate que beaucoup d’équations ont la même forme


Le MGI des robot sérieMéthode classique

3 On utilise des formules de type ci-après pour résoudrePour l’équation X . sin α + Y . cos α = Z :

cos α =YZ − εX

pX2 + Y 2 − Z 2

X2 + Y 2

sin α =XZ + εY

pX2 + Y 2 − Z 2

X2 + Y 2

avec ε = +/− 1

Remarques

Si le poignet est d’axes concourants (rotule), la résolution est plussimple.

De la même façon, si la chaîne cinématique possède 3R à axesconcourants ou 3 articulations prismatiques (qqsoit leurs positions)le MGI est simplifié

Le nombre de solutions du MGI d’un robot à 6 liaisons varie mais≤ 16. (16 pour RRRRRR)


Le MGI des robot sérieMéthode Algébrique, Générale pour un robot à 6 liaisons

1 On utilise les formules suivantes pour obtenir des équationsalgébriques

cos α =1 − tan2 α

2

1 + tan2 α2

sin α =2.tan α

2

1 + tan2 α2

2 On utilise une méthode d’élimination algébrique pour éliminer 5variables parmi les 6

3 On obtient un polynôme de degré 16

4 Les racines de ce polynômes nous fournissent les solutions


Le MGI des robot sérieMéthode Numérique (pour les cas à problèmes)

On utilise un schéma de Newton multivarié :

Xk+1 = Xk − J−1(XK )F (Xk )

Avec F = [f1, . . . , fn]T , X = [x1, . . . , xn]T et J la jacobienne du système

définie par :

J =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

... . . . . . ....

∂fn−1

∂x1. . .

∂fn−1

∂xn−1

∂fn−1

∂xn∂fn∂x1

. . . ∂fn∂xn−1

∂fn∂xn

Attention ! ne fournit qu’une seule solution


Le cas des robots parallèlesLe MGI

ai

R.bi

P

ρ = ‖P + R.bi − ai‖

Modèle Géométrique Inverse

ρi = Li + li = MGI(P,R, ξi)

ρi2 = ‖P + R.bi − ai‖2


Le cas des robots parallèlesLe MGD

X =

„PR

«= MGD(ρ, ξ)

Résoudre le système en P,R :

ρ12 − ‖P + R.b1 + a1‖2 = 0

ρ22 − ‖P + R.b2 + a2‖2 = 0

ρ32 − ‖P + R.b3 + a3‖2 = 0

ρ42 − ‖P + R.b4 + a4‖2 = 0

ρ52 − ‖P + R.b5 + a5‖2 = 0

ρ62 − ‖P + R.b6 + a6‖2 = 0

Méthodes numériques [Newton, continuation, analyse par interval]

Méthodes algébriques [Groebner, resultant]


Outline









Le Modèle Cinématique Direct

Le MCD décrit les vitesses des coordonnées opérationnelles X enfonction des vitesses articulaires q :

X = J(q)q

avec J(q) la jacobienne du mécanisme donnée par

J =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

... . . . . . ....

∂fn−1

∂x1. . .

∂fn−1

∂xn−1

∂fn−1

∂xn∂fn∂x1

. . . ∂fn∂xn−1

∂fn∂xn


Le Modèle Différentiel Direct

Le MDD décrit les variations élémentaires dX des coordonnéesopérationnelles en fonction des variations élémentaires des coordonnées

articulaires dq:

dX = J(q)dq

avec J(q) la jacobienne du mécanisme donnée par

J =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

... . . . . . ....

∂fn−1

∂x1. . .

∂fn−1

∂xn−1

∂fn−1

∂xn∂fn∂x1

. . . ∂fn∂xn−1

∂fn∂xn


Comment obtenir cette jacobienne ?3RRR plan

t3

t1

t2 θ2

θ3

θ1 Repère base

Repère mobile

0

1

2

3

R0,1

R1,2

R2,3

2,3

1,2

0,1T

T

T

mécanisme 3R plan

X =

0@Px

Py

Θ

1A =


θ1 + θ2 + θ3

1ANous obtenons cette matrice en dérivant les équations du MGD.


Comment obtenir cette jacobienne ?3RRR plan

X =

0@Px

Py

Θ

1A =


θ1 + θ2 + θ3

1ANous obtenons cette matrice en dérivant les équations du MGD.

J =

0B@∂Px∂θ1

∂Px∂θ2

∂Px∂θ3

∂Py∂θ1

∂Py∂θ2

∂Py∂θ3

∂Θ∂θ1

∂Θ∂θ2

∂Θ∂θ3

1CA

=

0@ −t1. sin θ1 − t2. sin (θ1 + θ2)− t3. sin (θ1 + θ2 + θ3) −t2. sin (θ1 + θ2)− t3. sin (θ1 + θ2 + θ3) ...t1. cos θ1 + t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3) t2. cos (θ1 + θ2) + t3. cos (θ1 + θ2 + θ3) ...

1 1 ...

... −t3. sin (θ1 + θ2 + θ3)

... t3. cos (θ1 + θ2 + θ3)

... 1

1A (20)


Comment obtenir cette jacobienne ?cas spatiale

Pour les robots séries , cette dérivation peut être très compliquée et difficile àmanipuler.

Il existe une méthode systématique pour calculer une jacobienne ditecinématique .

X = Jc(q)q (21)

avec X , torseur cinématique du repère terminal Ωn.Une projection permet de passer des vitesses des coordonnées opérationnelles

aux vitesses de translation, rotation.


Comment obtenir la jacobienne cinématique ?cas spatiale

Elle passe par les calculs des vitesses de translation Vk,n et de rotation wk,n

induites sur le repère terminal Ωn par la vitesse qk de l’articulation k ,X = [Vk,n,wk,n]

T

Prismatique Vk,n = ak qk

wk,n = 0 (22)

Rotoïde Vk,n = (ak ∧ Lk,n)qk

wk,n = ak qk (23)

avec ak le vecteur unitaire porté par l’axe zk de l’articulation k et Lk,n le vecteurd’origine Ok et d’extrémité On.


Le cas des robots parallèlesLa jacobienne inverse cinematique


Ddl d’un manipulateur

Le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal d’un manipulateur est égaleau rang de la jacobienne cinématique.

(rang = dimension de la plus grande sous-matrice carré inversible)


Notion de singularités, type I

Pour les robots séries X = J(q)qSi pour une configuration det(J(q)) = 0, alors il y a singularité. Le robot perd

localement la possibilité d’engendrer une vitesse le long ou autour de certainesdirection.

ou

Le robot est en limite de l’espace de travail. (limite structurel)


Notion de singularités, type II

Pour la plate-forme de Gough q = Jinv(X )XSi pour une configuration det(Jinv(X )) = 0, il y a singularité. Il existera des

vitesses X non nulles pour lesquelles les vitesse articulaires q sont nulles. Auvoisinnage de telle configuration le robot peut effectuer des mouvements

infinitésimaux sans modification de commande. en conséquence certains ddldeviennent non commandables.

ou

Sachant que F = JTinvτ si det(Jinv) → 0 alors τ →∞.


Notion de singularitésPour les robots parallèles (générale)

Figure: mécanisme 3R plan parallèle

U_X + V_q = 0 (24)

si det V = 0 singularité de Type I

si det U = 0 singularité de Type II


Outline









Modéle statique

Le modèle statique décrit les couples et forces τ que doivent fournir lesactionneurs d’un robot pour que l’organe terminal puisse exercer un effort statique

F sur son environement :

Pour les robots série , nous obtiendrons facilement le modèle directe:

τ = JTF

avec J la jacobienne cinématique du mécanisme.

Pour les robots parallèles , nous obtiendrons facilement le modèle inverse :

F = J−T τ

avec J1 la jacobienne inverse cinématique du mécanisme.


Modéle statique

Afin d’obtenir le modèle

inverse pour les robots séries

directe pour les robots parallèles

Le probléme revient à inverser la matrice JT ou bien J−T .


Outline









Modéle dynamiquerobot série

Forme générale des équations dynamiques

Γ = A(q)q + C(q, q)q + Q(q) + F (q)− H signe(q)

Γ, efforts actionneurs

A, matrice d’inertie

C, efforts centrifuges et de coriolis

Q(p), couple/forces de gravité

F (q), frottements visqueux

H signe(q) frottements secs


Formalisme de Lagrange

Décrit les équations du mouvemement entermes de travail et d’énergie du système.

(détermine A, C, Q, F et H)

Très couteux (40000 opérations pour unRRPRRR).

Formalisme de Newton-Euler

Il est basé sur l’expression des torseursdynamiques (forces et moments)

appliqués aux centres de gravités dechaque articulation.

Un algorithme itératif permet alorsd’exprimer le modèles dynamique.

Moins couteux (400 opérations pour unRRPRRR).

Attention, une identification des paramètres dynamiques est souvent nécessaire.


Espace de travail, définitions et problématique

Définitions

Soit, Q, l’espace articulaire définie par :

Q = q = [q1, . . . , qn]|qi Min ≤ qi ≤ qi Max,∀i = 1, . . . , n

L’espace de travail (W ) d’un robot est l’image de Q par le modélegéométrique direct :

W = FMGD(Q)



Intérêts

Définition d’une trajectoire

conception



Problèmes

Difficile à représenter. Répresentation à orientation constante

Difficile à obtenir. En pratique, il est nécessaire d’ajouter des contraintes(débattements articulaires, singularités, obstacles, ...). Exemple : définirune trajectoire où tous les positionnemnt successifs sont possibles

I débattement articulaires passif et actifI collisionI sans singularité (pas forcement à la frontière de W)I orientation possible (toutes orientations : espace dextre)I précision


Calcul de l’espace de travail

Géométrie algorithmique, intersection de volumes

Recherche de points particuliers

+ Segmentation de l’espace de travail

Utilisation des courbes de singularités


Propriété des robots

De nombreuses propriétés associées aux robots sont quantifié à traversl’évaluation de valeurs propres (solution de det(J − σ.I) = 0 → [σ1 . . . σn] )

q.

1

.q

2

q∆11

qdX.

1

... ...

J

σ

σ2

1

Singularité, Précision , Isotropie → dextérité ...


Notion de conception

Déterminer les paramètres géométriques tel que les propriétés des robots soientoptimisés :

maxζC

avec ζ paramètres géométriques et un ou plusieurs critères de conception

C = FEspace de travail, localisation des singularité, rigidité, précision, etc

Utilisation de l’optimisation numérique.


Étalonnage des robots

"Étalonnage" 6= "Calibration" 6= "Calibrage"Problème : ζRéel 6= ζThéorique

Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateurConséquences : Déterioration de la commande

But : Améliorer de la précision de positionnementComment : Étalonnage du robot


Étalonnage classique des robots

Données (mesures)Inconnues

ζGéométriques

Paramètres

R

PXq

MGD

ζGéométriques

Paramètres

R

PXq

MGIDonnées Inconnues


Étalonnage classique des robots

Pour une configuration de mesures

ζParamètres

R

PX

InconnuesDonnées (mesures)

qGéométriques

avec mesures externesÉtalonnage

Figure: 6 informations supplementaires

Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avec6 ∗ N ≤ M.


Étalonnage redondant des robots



ζGéométriques

Paramètres

R

PXq

avec mesures redondantesÉtalonnage


Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avecN ≤ M.


Étalonnage sous contraintes des robots



ζGéométriques

Paramètres

R

PXq

Étalonnagesous contraintes


Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avec3 ∗ N ≤ M.


Étalonnage des robots

Problèmes :

Identifiabilité

Recherche de points particuliers

+ Segmentation de l’espace de travail

Utilisation des courbes de singularités


Étalonnage externe des robots


Génération de mouvements

Asservissementde mouvementGénération

en

de mouvementGénération

enAsservissement

+−X

X(t)d

X qMGI

MGD

d(t)f

Xi

+−

qi

qi

q f q d(t)

q

Figure: Génération de mouvement, espace articulaire Vs. opérationnel


Génération de mouvements

Espace articulaire

+ Peu de calculs (pas de MGI, MDG)+ Pas de problème de singularités+ les contraintes de vitesses et de

couples maximaux directementdéductibles des limites physiquesdes actionneurs

− Peu de contrôle sur la trajectoire del’OT (collisions)

Pour déplacements rapides sansobstacles

Espace opérationnel

+ Contrôle sur la trajectoire de l’OT(collisions)

− calculs lourds (MGI, MDG)− problème de singularités− Vérification de la trajectoire (dans

l’espace de travail)− les contraintes de vitesse et de

couples varient en fonction de latrajec. : on utilise des valeursmoyennes (peu efficaces)

Pour déplacements précis, avecobstacles


Commande des robots

K V

Robot

K p+

++

ΓKI

qq

qq

d

d

+ −

−+

. .

Commande PID d’une articulation

Γ = Kp(qd − q) + Kv (q

d − q) + KI

Z t

t0

(qd − q)dτ

Du modèle dynamique d’une articulation on en déduit :

Kpj = 3ajw2j

Kvj + Fvj = 3ajwj

KIj = 3ajw3j


robotique

Documents