root locus

MODUL IX

DESAIN SISTEM KONTROL MELALUI ROOT LOCUS

Sistem Kontrol dirancang untuk tugas-tugas tertentu. Untuk Itu diperlukan spesifikasi

unjuk kerja sistem, yakni : akurasi , kestabilan, dan kecepatan respons. Pada

kenyataannya dalam proses perancangan, spesifikasi mungkin perlu diubah apabila

tujuan tidak dapat dicapai, atau sistem tidak ekonomis. Oleh karena itu perlu urutan

prioritas spesifikasi.

Beberapa pendekatan konvensional untuk perancangan diantaranya menentukan

spesifikasi unjuk kerja. Dalam domain waktu yaitu menentukan: tp, %Mp, ts. Dalam

domain frekuensi menentukan : phase margin, gain margin, bandwith. Alat bantu per-

ancangan seperti Root Locus untuk domain waktu dan Bode Plot , Nyquist, dst un-

tuk domain frekuensi dapat digunakan, tetapi hanya terbatas pada SISO, linear, in-

varian waktu. Spesifikasi dicoba untuk dipenuhi melalui gain adjustment dengan met-

oda coba-coba (trial and error). Namun demikian tidak selalu berhasil mengingat

plant tak dapat diubah untuk itu perlu rancangan ulang yaitu kompensasi.

Kompensasi merupakan modifikasi sebuah dinamika sistem untuk memenuhi

spesifikasi yang diberikan

9.1 Kompensasi Seri dan Paralel

Gambar 1 di bawah ini merupakan jenis kompensasi seri (a) dan paralel (b).

Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT

Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

‘121

Gambar 1 Kompensasi Seri dan Paralel

Kompensasi Seri:

Lebih sederhana.

Perlu tambahan amplifier untuk memperkuat gain dan/atau membuat isolasi.

Diletakkan pada titik dengan daya terendah pada lintasan maju (mengurangi

disipasi daya).

Kompensasi Paralel:

Jumlah komponen lebih sedikit, karena terjadi pada tranfer energi dari level

lebih tinggi ke level lebih rendah.

9.2 Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead

Lead berarti fasa output mendahului input. Kompensator lead digunakan untuk

perbaikan respons transient tanpa banyak mempengaruhi respons steady state sis-

tem. Dengan kompensasi ini dapat memperbesar bandwith, mempercepat respons,

dan memperkecil %Mp pada respons step.

Lag berarti fasa output terbelakang dari input. Kompensator lag digunakan untuk

perbaikan respons steady state tanpa banyak mengubah karakteristik respons transi-

ent. Kompensasi ini dapat memperbesar gain pada frekuensi rendah (akurasi steady

state membaik) dan memperlambat respons (bandwith mengecil).

Lag-lead adalah phase lag terjadi pada daerah frekuensi rendah, phase lead terjadi

pada daerah frekuensi tinggi. Kompensator lag-lead digunakan untuk perbaikan

respons transient dan steady state sekaligus.

9.3 Realisasi Kompensator

Kompensator dapat direalisasikan berupa :

Divais aktif Elektronik (Op amp)

Divais pasif : Elektrik (RC network + Amplifier)

Mekanik

Pneumatik

Hydraulik

Kombinasi

Kompensator memperbaiki sistem dengan cara melakukan penambahan pole atau

zero pada sistem. Pengaruh penambahan pole pada sebuah sistem diantaranya:

Menarik root locus ke kanan,



‘122

Cenderung menurunkan kestabilan relatif

Memperlambat settling time (ts)

Perhatikan gambar 2 berikut.

Gambar 2 Efek penambahan pole

Sedangkan pengaruh penambahan zero pada sistem akan mengakibatkan, sbb:

Menarik root locus ke kiri

Cenderung membuat sistem lebih stabil

Mempercepat settling time (ts)

Perhatikan gambar 3 berikut.

Gambar 3 Efek penambahan zero

Gambar 4 merupakan contoh realisasi kompensator elektrik. Rangkaian ini bisa

difungsikan sebagai rangkaian kompensator lead atau lag dengan mengubah

beberapa nilai R dan C nya.



‘123

Gambar 4 Kompensator Elektrik Lag/Lead

Jika diturunkan maka rangkaian tersebut akan menghasilkan fungsi alih sebagai

berikut.

α = R2C2/R1C1

Kompensator Lead : bila α <1 (R1C1 > R2C2)

Kompensator Lag : bila α >1 (R1C1 < R2C2)

9.3.1 Kompensator Lead

Jika terdapat sebuah sistem dengan

maka s = -1 ± j√3

Berdasarkan pole loop tertutup, z = 0.5, ωn = 2 rad/s dan error kecepatan statis (Kv)

= 2s-1

Contoh soal: Diinginkan dengan memodifikasi pole loop tertutup, ωn = 4 rad/s tanpa

mengubah koefisien redaman (damping ratio) ζ.

Penyelesaian:

Untuk ωn = 4 rad/s tanpa mengubah koefisien redaman ζ, pole-pole loop tertutup

yang diinginkan adalah :



‘124

s = -ζωn ± jωn √(1- ζ2)

s = -2 ± j2√3

Letak pole semula adalah seperti pada gambar 5 di bawah ini.

Gambar 5 Root Locus sistem semula

Pole yang diinginkan : s = -2 ± j2√3. Terlihat bahwa pole-pole tersebut tak terletak

pada Root Locus sistem semula, sehingga sistem perlu dikompensasi.

Jika G(s) adalah fungsi transfer open-loop, maka sistem terkompensasinya adalah:

Pada gambar 6, P merupakan letak pole loop tertutup yang diinginkan. PB adalah

bisector antara PA dan PO dan sudut yang diinginkan.

Gambar 6 Pole yang diinginkan

Sudut dari pada s = -2+j√3 adalah -210o

Dengan demikian = 30o (Syarat sudut -180°).

Titik D merupakan zero kompensator



‘125

Titik C merupakan pole kompensator

Secara analitis titik C dan D adalah mendekati -5.4 dan -2.9.

Dengan demikian diperoleh : T = 0,345 dan α= 0,537

Kemudian kita tentukan nilai K, dari

dimana K = 4Kc

Dengan menggunakan syarat magnitude,

Maka didapatkan K = 18.7916

Selanjutnya kita tentukan nilai Kc, yaitu :

dengan Gc(s) adalah

Plot Root locus sistem yang terkompensasinya menjadi seperti pada gambar 7.

Gambar 7 Plot Root locus sistem terkompensasi



‘126

Kemudian kita dapat menentukan nilai untuk semua R dan C pada rangkaian.

Rangkaian kompensatornya dapat dilihat pada gambar 8 dibawah ini dengan men-

gingat bahwa :

Gambar 8 Rangkaian kompensator lead

Untuk pengecekan ulang Kv , didapatkan :

Kv sistem semula :

Kv sistem terkompensasi:

Terlihat bahwa tanggapan keadaan tunak sistem terkompensasi lebih baik pula.

9.3.2 Kompensator Lag

Jika

s = -0.3307 ± j0.5864

Berdasarkan pole loop tertutup, ζ = 0.491, ωn = 0.673 rad/s dan error kecepatan

statis (Kv) = 0.53s-1



‘127

Contoh soal: Diinginkan meningkatkan Kv menjadi 5s-1 tanpa banyak mempengaruhi

karakteristik respons transientnya.

Penyelesaian :

Root locus semula ditunjukkan pada gambar 9.

Gambar 9 Root locus semula

Nilai Kv yang baru adalah sekitar 10x dai Kv lama, dengan demikian β(α dalam

Kompensator Lead) di set menjadi 10.

Nilai zero kompensator juga 10x pole.

Maka didapatkan

K = 1.06Kc

Plot root Locus dari sistem terkompensasi mendekati plot sistem yang belum

terkompensasi. Kita dapat menggunakan Matlab sebagai bantuan.

Pole loop tertutup dominan yang baru dengan z yang sama adalah -0.31±j0.55 (dari

Matlab). Gain K-nya adalah 1.0235.

Mencari Pole pada Bidang Kompleks

Untuk menentukan pole kompleks dominan pada plot Root Locus, salah satunya

dapat digunakan fungsi rlocfind(num,den). Output fungsi ini adalah pole yang dipilih

dan gain pole tersebut.

Ketika fungsi ini dipanggil terdapat pointer yang berfungsi untuk memilih pole pada

bidang kompleks. Biasanya, Root Locus digambarkan terlebih dahulu.



‘128

root locus

Documents