root locus
DESCRIPTION
mathTRANSCRIPT
![Page 1: Root Locus](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082401/55cf8f54550346703b9b3cb5/html5/thumbnails/1.jpg)
MODUL IX
DESAIN SISTEM KONTROL MELALUI ROOT LOCUS
Sistem Kontrol dirancang untuk tugas-tugas tertentu. Untuk Itu diperlukan spesifikasi
unjuk kerja sistem, yakni : akurasi , kestabilan, dan kecepatan respons. Pada
kenyataannya dalam proses perancangan, spesifikasi mungkin perlu diubah apabila
tujuan tidak dapat dicapai, atau sistem tidak ekonomis. Oleh karena itu perlu urutan
prioritas spesifikasi.
Beberapa pendekatan konvensional untuk perancangan diantaranya menentukan
spesifikasi unjuk kerja. Dalam domain waktu yaitu menentukan: tp, %Mp, ts. Dalam
domain frekuensi menentukan : phase margin, gain margin, bandwith. Alat bantu per-
ancangan seperti Root Locus untuk domain waktu dan Bode Plot , Nyquist, dst un-
tuk domain frekuensi dapat digunakan, tetapi hanya terbatas pada SISO, linear, in-
varian waktu. Spesifikasi dicoba untuk dipenuhi melalui gain adjustment dengan met-
oda coba-coba (trial and error). Namun demikian tidak selalu berhasil mengingat
plant tak dapat diubah untuk itu perlu rancangan ulang yaitu kompensasi.
Kompensasi merupakan modifikasi sebuah dinamika sistem untuk memenuhi
spesifikasi yang diberikan
9.1 Kompensasi Seri dan Paralel
Gambar 1 di bawah ini merupakan jenis kompensasi seri (a) dan paralel (b).
Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT
Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘121
![Page 2: Root Locus](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082401/55cf8f54550346703b9b3cb5/html5/thumbnails/2.jpg)
Gambar 1 Kompensasi Seri dan Paralel
Kompensasi Seri:
Lebih sederhana.
Perlu tambahan amplifier untuk memperkuat gain dan/atau membuat isolasi.
Diletakkan pada titik dengan daya terendah pada lintasan maju (mengurangi
disipasi daya).
Kompensasi Paralel:
Jumlah komponen lebih sedikit, karena terjadi pada tranfer energi dari level
lebih tinggi ke level lebih rendah.
9.2 Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead
Lead berarti fasa output mendahului input. Kompensator lead digunakan untuk
perbaikan respons transient tanpa banyak mempengaruhi respons steady state sis-
tem. Dengan kompensasi ini dapat memperbesar bandwith, mempercepat respons,
dan memperkecil %Mp pada respons step.
Lag berarti fasa output terbelakang dari input. Kompensator lag digunakan untuk
perbaikan respons steady state tanpa banyak mengubah karakteristik respons transi-
ent. Kompensasi ini dapat memperbesar gain pada frekuensi rendah (akurasi steady
state membaik) dan memperlambat respons (bandwith mengecil).
Lag-lead adalah phase lag terjadi pada daerah frekuensi rendah, phase lead terjadi
pada daerah frekuensi tinggi. Kompensator lag-lead digunakan untuk perbaikan
respons transient dan steady state sekaligus.
9.3 Realisasi Kompensator
Kompensator dapat direalisasikan berupa :
Divais aktif Elektronik (Op amp)
Divais pasif : Elektrik (RC network + Amplifier)
Mekanik
Pneumatik
Hydraulik
Kombinasi
Kompensator memperbaiki sistem dengan cara melakukan penambahan pole atau
zero pada sistem. Pengaruh penambahan pole pada sebuah sistem diantaranya:
Menarik root locus ke kanan,
Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT
Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘122
![Page 3: Root Locus](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082401/55cf8f54550346703b9b3cb5/html5/thumbnails/3.jpg)
Cenderung menurunkan kestabilan relatif
Memperlambat settling time (ts)
Perhatikan gambar 2 berikut.
Gambar 2 Efek penambahan pole
Sedangkan pengaruh penambahan zero pada sistem akan mengakibatkan, sbb:
Menarik root locus ke kiri
Cenderung membuat sistem lebih stabil
Mempercepat settling time (ts)
Perhatikan gambar 3 berikut.
Gambar 3 Efek penambahan zero
Gambar 4 merupakan contoh realisasi kompensator elektrik. Rangkaian ini bisa
difungsikan sebagai rangkaian kompensator lead atau lag dengan mengubah
beberapa nilai R dan C nya.
Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT
Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘123
![Page 4: Root Locus](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082401/55cf8f54550346703b9b3cb5/html5/thumbnails/4.jpg)
Gambar 4 Kompensator Elektrik Lag/Lead
Jika diturunkan maka rangkaian tersebut akan menghasilkan fungsi alih sebagai
berikut.
α = R2C2/R1C1
Kompensator Lead : bila α <1 (R1C1 > R2C2)
Kompensator Lag : bila α >1 (R1C1 < R2C2)
9.3.1 Kompensator Lead
Jika terdapat sebuah sistem dengan
maka s = -1 ± j√3
Berdasarkan pole loop tertutup, z = 0.5, ωn = 2 rad/s dan error kecepatan statis (Kv)
= 2s-1
Contoh soal: Diinginkan dengan memodifikasi pole loop tertutup, ωn = 4 rad/s tanpa
mengubah koefisien redaman (damping ratio) ζ.
Penyelesaian:
Untuk ωn = 4 rad/s tanpa mengubah koefisien redaman ζ, pole-pole loop tertutup
yang diinginkan adalah :
Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT
Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘124
![Page 5: Root Locus](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082401/55cf8f54550346703b9b3cb5/html5/thumbnails/5.jpg)
s = -ζωn ± jωn √(1- ζ2)
s = -2 ± j2√3
Letak pole semula adalah seperti pada gambar 5 di bawah ini.
Gambar 5 Root Locus sistem semula
Pole yang diinginkan : s = -2 ± j2√3. Terlihat bahwa pole-pole tersebut tak terletak
pada Root Locus sistem semula, sehingga sistem perlu dikompensasi.
Jika G(s) adalah fungsi transfer open-loop, maka sistem terkompensasinya adalah:
Pada gambar 6, P merupakan letak pole loop tertutup yang diinginkan. PB adalah
bisector antara PA dan PO dan sudut yang diinginkan.
Gambar 6 Pole yang diinginkan
Sudut dari pada s = -2+j√3 adalah -210o
Dengan demikian = 30o (Syarat sudut -180°).
Titik D merupakan zero kompensator
Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT
Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘125
![Page 6: Root Locus](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082401/55cf8f54550346703b9b3cb5/html5/thumbnails/6.jpg)
Titik C merupakan pole kompensator
Secara analitis titik C dan D adalah mendekati -5.4 dan -2.9.
Dengan demikian diperoleh : T = 0,345 dan α= 0,537
Kemudian kita tentukan nilai K, dari
dimana K = 4Kc
Dengan menggunakan syarat magnitude,
Maka didapatkan K = 18.7916
Selanjutnya kita tentukan nilai Kc, yaitu :
dengan Gc(s) adalah
Plot Root locus sistem yang terkompensasinya menjadi seperti pada gambar 7.
Gambar 7 Plot Root locus sistem terkompensasi
Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT
Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘126
![Page 7: Root Locus](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082401/55cf8f54550346703b9b3cb5/html5/thumbnails/7.jpg)
Kemudian kita dapat menentukan nilai untuk semua R dan C pada rangkaian.
Rangkaian kompensatornya dapat dilihat pada gambar 8 dibawah ini dengan men-
gingat bahwa :
Gambar 8 Rangkaian kompensator lead
Untuk pengecekan ulang Kv , didapatkan :
Kv sistem semula :
Kv sistem terkompensasi:
Terlihat bahwa tanggapan keadaan tunak sistem terkompensasi lebih baik pula.
9.3.2 Kompensator Lag
Jika
s = -0.3307 ± j0.5864
Berdasarkan pole loop tertutup, ζ = 0.491, ωn = 0.673 rad/s dan error kecepatan
statis (Kv) = 0.53s-1
Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT
Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘127
![Page 8: Root Locus](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082401/55cf8f54550346703b9b3cb5/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh soal: Diinginkan meningkatkan Kv menjadi 5s-1 tanpa banyak mempengaruhi
karakteristik respons transientnya.
Penyelesaian :
Root locus semula ditunjukkan pada gambar 9.
Gambar 9 Root locus semula
Nilai Kv yang baru adalah sekitar 10x dai Kv lama, dengan demikian β(α dalam
Kompensator Lead) di set menjadi 10.
Nilai zero kompensator juga 10x pole.
Maka didapatkan
K = 1.06Kc
Plot root Locus dari sistem terkompensasi mendekati plot sistem yang belum
terkompensasi. Kita dapat menggunakan Matlab sebagai bantuan.
Pole loop tertutup dominan yang baru dengan z yang sama adalah -0.31±j0.55 (dari
Matlab). Gain K-nya adalah 1.0235.
Mencari Pole pada Bidang Kompleks
Untuk menentukan pole kompleks dominan pada plot Root Locus, salah satunya
dapat digunakan fungsi rlocfind(num,den). Output fungsi ini adalah pole yang dipilih
dan gain pole tersebut.
Ketika fungsi ini dipanggil terdapat pointer yang berfungsi untuk memilih pole pada
bidang kompleks. Biasanya, Root Locus digambarkan terlebih dahulu.
Dasar Sistem KontrolFina Supegina ST, MT
Pusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana
‘128