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Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Programa de Pós-Graduação em Educação-Mestrado
Rosângela Cruz da Silva Salgado
O ensino de números inteiros por meio de atividades comcalculadora e jogos
Belém 2011
Rosângela Cruz da Silva Salgado
O ensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos
Dissertação apresentadacomo requisito parcial para a obtenção do titulo de Mestre em Educação no Programa de Pós-Graduaçãoem Educação, Universidade do Estado do Pará. Área de concentração: Formação de Professores. Orientador:Prof. Dr. Pedro Franco de Sá
Belém 2011
Dados Internacionais de catalogação na publicação Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA
Salgado, Rosângela Cruz da Silva
O ensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos. / Rosângela Cruz da Silva Salgado. Belém, 2011.
Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.
Orientação de: Pedro Franco de Sá.
1. Matemática – Estudo e ensino 2. Teoria dos números 3. Máquinas de calcular 4. Educação matemática e jogos I. Sá, Pedro Franco de (Orientador) II. Título.
CDD: 21 ed. 510.7
Rosângela Cruz da Silva Salgado
O ensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos
Dissertação apresentada como requisito parcial para a obtenção do titulo de Mestre em Educação no Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade do Estado do Pará. Área de concentração: Formação de Professores.
Data de aprovação: 27/12 /2011 Banca Examinadora: __________________________________________ - Orientador Prof. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará
___________________________________________ - Membro Externo Profª Claudianny Amorim Noronha Doutora em Educação Universidade Federal do Rio Grande do Norte
____________________________________________- Membro Interno Prof. Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica Universidade do Estado do Pará
____________________________________________ - Examinador Suplente Profª Marta Genú Soares Aragão Doutora em Educação Universidade do Estado do Pará
Aos meus pais, Pedro e Lucimar que sempre me fizeram
acreditar na realização dosmeus sonhos
e no valor da educação;
Aos meus filhos Paulo e Joãopor iluminarem meus dias e
encherem minha vida de alegria, sobretudo nestes
dois anosdedicados ao mestrado;
Ao meu esposo Marcos pelo amor, compreensão e apoio;
Aos meus irmãos que sempre torceram por mim e
se alegraram com minhas conquistas.
AGRADECIMENTOS
A Deus todo poderoso, força que me impulsiona em todos os momentos de minha vida. Ao Prof. Dr. Pedro Franco de Sá, por sua sabia e paciente orientação, mas acima de tudo, por ser um profissional dedicado e compreensivo. A Prof. Dra. Claudianny Amorim Noronhapelas valorosas contribuições por ocasião da qualificação. Ao Prof. Dr. Fábio José da Costa Alvespelas valorosas contribuições por ocasião da qualificação. Aos professores e funcionários do PPGED, Jorge, Francisco, Elizete e Gracinda, pelas contribuições e por terem me possibilitado ampliar meus conhecimentos. Ao meu esposo, Marcos Alexandre, por estar comigo em todos os momentos alegres e difíceis desta trajetória acreditando em minha capacidade, enchendo-me deamor, conforto e apoio para prosseguir esta jornada. Aos meus filhos, Paulo e João, que mesmo sendo muitopequenos compreenderam a necessidade de minhas ausências e alegraram minha vida nos momentos mais difíceis. Aos meus pais, por me fazerem acreditar no valor da educação e pelo amor e assistência dada aos meus filhos nos momentos em que eu e meu marido não podíamos está presente. Aos meus irmãos, parentes e amigos que de uma forma ou de outra incentivaram e contribuíram para a realização deste trabalho. Aos amigos que fiz no mestrado,em especial, a Hellen e o Andrey, com quem tive valorosas conversas durante essa caminhada e de quem recebi grande ajuda e contribuição para a conclusão deste trabalho. Aescola onde foi realizada a pesquisa e a professora Nazaré do S. M da Silva que gentilmente cedeu-me sua turma para a realização da pesquisa. Aos alunos do 7º anodo ensino fundamental que tornaram possível a realização desta pesquisa. A Secretaria de Educação do Estado do Pará pela ajuda financeira através da bolsa/mestrado. A todas as pessoas que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho, em especial, a Vera por sua dedicação e cuidados com meus filhos.
Muito obrigada!
[...]ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidadespara a sua
própria produção ou a sua construção.
Paulo Freire
RESUMO
SALGADO, R. C. da S. Oensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos. 2011. 272 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.
Estetrabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo investigar se o ensino de números inteiros por meio de atividade com calculadora e jogos, proporciona uma aprendizagem significativamente favorável aos alunos do 7º anodo ensino fundamental. Adotamos como aporte teórico a teoria das situações didáticas de Guy Brousseau e, como metodologia, a engenharia didática, estando às seções deste estudo organizadas segundo as etapas dessa metodologia. Assim, a partir das informações obtidas com o conjunto de estudos e pesquisas contidos nas análises preliminares, elaboramos uma sequência didática composta de vinte e quatro atividades e cinco testes diagnósticos que foram analisados a priori e aplicados a 32 alunos do 7º ano de uma escola pública estadual da cidade de Belém do Pará, sendo desenvolvidos em dezessete sessões de ensino. As análises a posteriori evidenciaram que é perfeitamente possível que os alunos descubram e enunciem as regras para operar com números inteiros sem que o professor as tenha que apresentar e,também, que o desempenho dos alunos do 7º ano na realização das operações com números inteiros,quando trabalhado didaticamentepor meio de atividades mediadas pela calculadora e jogos é superior ao desempenho quando ensinado por meio da exposição oral seguida de exemplos e exercícios. Na comparação entre os resultados do pré-teste e pós-teste geral, contendo as mesmas questões e aplicados aos sujeitos da pesquisa, observamos aumento considerável no percentual de acertos. O mesmo ocorreu na comparação entre os resultados doteste aplicado aos alunos egressos do 7º ano que, em sua maioria, recebeu ensino pautado na exposição oral seguida de exemplos e exercícios e o pós-teste mencionado, tendo estes as mesmas questões. Tais resultados nos permitiram a concluir que a sequência de ensino favoreceu o aprendizadoe contribuiu para que habilidades úteis ao desenvolvimento dos alunos fossemdespertadas e/ou aprimoradas, implicando, consequentemente, no melhor desempenho dos alunos do 7º ano.
Palavras-chave: Educação. Educação Matemática. Uso Didático da Calculadora. Ensino das Operações com Números inteiros. Jogos.
SALGADO, R. C. da S. THE INTEGER TEACHING THROUGH ACTIVITIES WITH CALCULATORS AND GAMES. 2011. 272 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.
This paper shows the results that aimed to investigate if integer teaching through
activities with calculators and games propitiated a significant favorable learning to
7thofelementary education. We adopted the didactic situation theory of Guy Brosseau
and the didactic engineering methodology. The paper is organized according to the
stages of this methodology. From the information collected from studies and
researches present in the preliminary analysis, we elaborated a didactic sequence
with twenty four activities and five diagnostic tests that were applied a priori to 32 7th
grade students from a state public school in Belém,Pará. That was developed in
seventeen teaching sessions. The posteriori analysis showed that it is perfectly
possible for the students to find out the rules to operate with integers without being
exposed to these rules by the teacher. It was also observed that the 7th grade
students‟ performance related to integer operations when they worked didactically
through activities mediated by the calculator and by games was superior to the
performance when they are taught through oral expositions that used examples and
exercises. In the comparison between pre-tests and post-tests containing the same
questions applied to the students in the research, we observed a considerable score
rise. The same happened when we compared the results of the test applied to
students who had already finished the 7th grade. The majority of them received an
oral teaching followed by examples and exercises and the post-test
aforementionedalso containing the same questions. The analysis of results made us
conclude that the teaching sequence facilitated learning and contributed to the
developmentofuseful skillsstudentswerearoused and/or enhanced, resulting
thereforein better performanceof students in7thgrade.
Key-words: Education, Math education. Calculator didactic use. Integer teaching.
Games.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Gráfico 1 Métodos usados para introdução dos conteúdos sobre
números inteiros
73
Gráfico 2 Recursos usados pelos professores na fixação dos
Conteúdos 73
Fotografia 1 Calculadora usada narealização das atividades
Gráfico 3 Distribuição das idades dos alunos do 7º ano
Gráfico 4 Outra ocupação dos alunos
Gráfico5 Instituições onde os alunos cursaram o 6º ano
Gráfico 6 Mora no bairro onde está localizada a escola
Gráfico7Alunos repetentes ou em dependência
Gráfico 8Gosto dos alunos pela matemática
Gráfico9Grau de dificuldade para aprender matemática
Fotografia 2 Alunos resolvendo as atividades de adição
Fotografia 3 Alunos socializando suas conclusões sobre a adição
Fotografia 4 Alunos socializando as regras para multiplicação por zero
Fotografia 5Grupo desenvolvendo a atividade
Fotografia 6Conclusões dos alunos sobre a divisão com inteiros de
mesmo sinal
Fotografia 7Grupos aplicando a estratégia
Fotografia 8 Alunos socializando suas conclusões sobre
potenciação com expoente par
Fotografia 9 Equipes desenvolvendo o jogo da trilha das potências
Gráfico 10Percentual de acertos, por alunos, no pré-teste
Gráfico 11 Variação do tempo gasto nas atividades de adição
Gráfico 12Média de acertos dos alunos, por bloco de questões
Gráfico 13Desempenho da turma no pré- e pós-teste de adição
Gráfico 14 Variação do tempo gasto nas atividades de multiplicação e
divisão
Gráfico15Média de acertos por bloco de questões
Gráfico 16Desempenho da turma no pré e pós-teste de multiplicação
Gráfico 17Média de acertos por blocos de questões de divisão
74
103
142
142
143
143
144
145
145
155
157
173
175
181
196
198
205
212
216
220
221
227
231
231
233
Gráfico 18 Desempenho da turma no pré e pós- teste de divisão
Gráfico 19 Demonstrativo do desempenho de cada aluno no pré e
pós-teste parcial
Gráfico 20 Variação do tempo gasto nas atividades de potenciação
Gráfico 21 Desempenho de cada aluno do 7º ano no pré-teste e pós-
teste geral
Gráfico 22 Comparação do desempenho de cada aluno do 7º ano nos
Testes realizados durante a experimentação
231
237
242
250
254
LISTA DE QUADROS Quadro 1- Formas de introdução da adição de inteiros e as regras
sistematizadas
Quadro 2- Formas de introdução da multiplicação e as regras
sistematizadas
Quadro 3-Obstáculos e dificuldades
Quadro 4- Vantagens do uso da calculadora em sala de aula
Quadro 5- Desafios para o uso da calculadora em sala de aula
Quadro 6- Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na
percepção dos professores
Quadro 7- Avaliação quanto ao grau de dificuldade de aprendizado
dos números inteiros, segundo os discentes
Quadro 8-Comparação entre a avaliação dos docentes e discentes
sobre as dificuldades e o desempenho dos alunos nopré-
teste
Quadro 9- Relação entre o gosto dos alunos pela matemática e a
dificuldade dos alunos para compreendê-la.
Quadro 10- Relação entre dificuldade e hábito de estudo fora da escola
Quadro 11- Relação entre a dificuldade para aprender matemática
e a atenção dos alunos às aulas de matemática
Quadro 12- Relação entre a dificuldade para aprender matemática
e o domínio da tabuada
Quadro 13- Operações que oferecem mais dificuldades
Quadro 14- Relação entre a dificuldade para aprender matemática
e as notas bimestrais dos alunos do 7º ano
Quadro 15- Cronograma das sessões de ensino na experimentação
Quadro 16-Regras construídas pelos alunos para adição entre dois
inteiros de sinais iguais
Quadro 17-Regras construídas pelos alunos para adição entre dois
inteiros de sinais diferentes
Quadro 18-Regras construídas pelos alunos para adição entre dois
inteiros opostos
38
39
45
67
68
76
83
85
146
146
147
148
148
149
151
157
161
164
Quadro 19-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia
09/05/2011
Quadro 20-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia
11/05/2011
Quadro 21- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação
entre dois inteiros de sinais diferentes
Quadro 22-Regras construídas pelos alunos para a multiplicação
entre dois inteiros de sinais iguais
Quadro 23-Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de
inteiros por zero
Quadro 24-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia
13/05/2011
Quadro 25-Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de
inteiros por (-1)
Quadro 26- Regras construídas pelos alunos para a divisão entre dois
inteiros com sinais iguais
Quadro 27-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia
16/05/2011
Quadro 28-Regras construídas pelos alunos para a divisão entre dois
inteiros de sinais diferentes
Quadro 29-Regras construídas pelos alunos para a divisãode inteiros
por (-1)
Quadro 30- Regras construídas pelos alunos para a divisão de zero
Por um inteiro
Quadro 31-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia
18/05/2011
Quadro 32-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia
20/05/2011
Quadro 33-Regras construídas pelos alunos para a potenciação de
inteiros com expoente par
Quadro 34-Regras construídas pelos grupos para a potenciação de
inteiros com expoente impar
165
168
170
171
173
176
178
181
183
185
186
188
189
192
199
201
Quadro 35-Regras construídas pelos alunos para a potenciação de
inteiros com expoente zero
Quadro 36-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia
17/06/2011
Quadro 37-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia
20/06/2011
Quadro 38-Resultados obtidos no pré-teste
Quadro 39-Desempenho da turma em cada bloco de questões
Quadro 40-Desempenho individual dos alunos na realização do pós-
teste de adição
Quadro 41-Desempenho da turma por bloco de questões de
multiplicação
Quadro 42-Desempenho da turma por bloco de questões de divisão
Quadro 43-Desempenho individual dos alunos no pós-teste de
multiplicação e divisão.
Quadro 44-Comparação do desempenho dos alunos no pré e pós-
teste sobre adição, multiplicação e divisão.
Quadro 45-Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas
sessões referentes ao ensino das operações de adição,
multiplicação e divisão de inteiros
Quadro 46- Percentual de questões certas, erradas e nãoresolvidas no
pré e pós-teste geral
Quadro 47- Comparação do desempenho dos 32 alunos do 7º ano e os
100 alunos egressos desta série na resolução dos testes,
que continham as mesmas questões
Quadro 48- Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano no pré
e pós-teste sobre adição, multiplicação, divisão e
potenciação
Quadro 49- Relação da freqüência nas sessões de ensino e
desempenho nos pós-testes
203
204
206
210
219
221
230
232
234
237
238
244
247
248
251
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
1 ANÁLISES PRELIMINARES
1.1 ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS
1.2 ESTUDOS SOBRE O PROCESSO ENSINO E APRENDIZAGEM
DOS NÚMEROS INTEIROS
1.2.1 Abordagem, compreensão e construção do conhecimento de
números inteiros conferidos por livros didáticos e por
professores
1.2.2 Dificuldades e erros dos alunos em relação aos números
inteiros
1.2.3 Uso de jogos e tecnologias para o ensino de números inteiros
1.3 REFLEXÕES SOBRE O USO DA CALCULADORA E DE JOGOS
PARAO ENSINO DE MATAMÁTICA
1.3.1 A calculadora na sala de aula
1.3.2 O jogo na sala de aula
1.4 O ENSINO E APRENDIZAGEM DE NÚMEROS INTEIROS NA
VISÃO DE DOCENTES
1.5 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS INTEIROS NA
VISÃO DOS DISCENTES
2 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI
2.1 SESSÃO 1: CONSTRUINDO CONHECIMENTO SOBRE OS
SUJEITOSDA PESQUISA
2.2 SESSÃO 2: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃO DE
NÚMEROS COM SINAIS IGUAIS
2.2.1 Atividade de adição entre dois números inteiros com sinais
iguais
2.3 SESSÃO 3: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃODE
NÚMEROSCOM SINAIS DIFERENTES E SIMÉTRICOS
2.3.1 Atividade de adição entre dois números inteiros de sinais
diferentes
2.3.2 Atividade de adição entre dois números inteiros opostos
19
30
30
34
35
43
49
61
62
68
71
80
89
92
102
103
105
105
107
2.4 SESSÃO 4: PRATICANDO E AVALIANDO CONHECIMENTOS
SOBRE A ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
2.4.1 Baralho para adição entre dois números inteiros
2.4.2 Pós- teste de adição
2.5 SESSÃO 5: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A
MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS DE SINAIS IGUAIS E
DIFERENTES
2.5.1 Atividade de multiplicação entre dois números inteiros de
sinais diferentes
2.5.2 Atividade de multiplicação entre dois números inteiros de
sinais iguais
2.6 SESSÃO 6: CONSTRUINDO OS ALGORITMOSPARA A
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS POR ZEROE POR (-1)
2.6.1 Atividade de multiplicação de número inteiro por zero
2.6.2 Atividade de multiplicação de um número inteiro por (-1)
2.7 SESSÃO 7: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A DIVISÃO
DE NÚMEROS COM SINAIS IGUAIS E DIFERENTES
2.7.1 Atividade de divisão entre dois números inteiros de sinais
iguais
2.7.2 Atividade de divisão entre dois números inteiros de sinais
diferentes
2.8 SESSÃO 8: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A
DIVISÃO DE ZERO POR UM INTEIRO E DE UM INTEIRO POR (-1)
2.8.1 Atividade de divisão de zero por um número inteiro
2.8.2 Atividade de divisão de um número inteiro por (-1)
2.9 SESSÃO 9: PRATICANDO OS ALGORITMOS DA MULTIPLICAÇÃO
EDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
2.9.1- Baralho para multiplicação e divisão entre dois inteiros
2.9.2 Bingo para multiplicação e divisão entre dois números inteiros
2.10 SESSÃO 10: VERIFICANDO CONHECIMENTOS SOBRE A
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
2.10.1 Pós- teste de multiplicação e divisão
2.11 SESSÃO 11: REVISANDO AS OPERAÇÕES TRABALHADAS
108
108
111
112
112
114
114
115
116
117
117
118
119
119
120
121
121
122
123
123
128
2.11.1 Atividade escrita de revisão das regras da adição,
multiplicação e divisão
2.11.2 Baralho de regras
2.11.3 Baralho para adição, multiplicação e divisão com números
inteiros
2.12 SESSÃO 12: AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBRE AS
REGRAS DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO, MULTIPLICAÇÃOE
DIVISÃO
2.12.1 Pós-teste parcial (adição, multiplicação e divisão)
2.13 SESSÃO 13: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM EXPOENTE PAR
2.13.1- Atividade de potenciação de números inteiros com expoente
par
2.14 SESSÃO 14: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS DE EXPOENTE IMPAR
NULO
2.14.1 Atividade de potenciação de números inteiros com expoente
impar
2.14.2 Atividade de potenciação de números inteiros com expoente
zero
2.15 SESSÃO 15: PRATICANDO AS REGRAS PARAPOTENCIAÇÃO
2.15.1 Trilha de potenciação de números inteiros
2.15.2 Atividade escrita de revisão das regras para potenciação
2.16 SESSÃO 16: REVISITANDO TODAS AS REGRASCONSTRUÍDAS
2.16.1 Baralho de regras para adição, multiplicação, divisão e
potenciação de números inteiros
2.16.2 Exercitando as regras para as operações estudadas
2.17 SESSÃO 17: AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBREAS
REGRASDAS OPERAÇÕES TRABALHADAS
2.17.1 Pós-testes geral
3 EXPERIMENTAÇÃO
3.1 ESCOLA
3.2 O PERFIL DOS SUJEITOS DA PESQUISA
128
129
130
130
131
131
132
133
133
134
135
135
137
137
138
138
139
139
140
140
141
3.3 O EXPERIMENTO
3.3.1 Primeira sessão
3.3.2 Segunda sessão
3.3.3 Terceira sessão
3.3.4 Quarta sessão
3.3.5 Quinta sessão
3.3.6 Sexta sessão
3.3.7 Sétima sessão
3.3.8 Oitava sessão
3.3.9 Nona sessão
3.3.10 Décima sessão
3.3.11 Décima primeira sessão
3.3.12 Décima segunda sessão
3.3.13 Décima terceira sessão
3.3.14 Décima quarta sessão
3.3.15 Décima quinta sessão
3.3.16 Décima sexta sessão
3.3.17 Décima sétima sessão
4 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
4.1 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 1
4.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 2
4.3 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 3
4.4 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 4
4.5 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 5
4.6 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 6
4.7 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 7
4.8 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 8
4.9 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 9
4.10 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 10
4.11 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 11
4.12 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 12
4.13 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 13
4.14 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 14
151
151
152
160
166
168
177
184
190
193
193
194
196
196
200
204
207
208
209
209
213
215
218
223
225
227
228
229
235
235
236
240
241
4.15 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 15
4.16 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 16
4.17 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 17
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
REFERÊNCIAS
APÊNDICE A
APÊNDICE B
APÊNDICE C
APÊNDICE D
APÊNDICE E
APENDICE F
APÊNDICE G
APÊNDICE H
APÊNDICE I
APÊNDICE J
APÊNDICE K
APÊNDICE L
APÊNDICE M
APÊNDICE N
APÊNDICE O
APÊNDICE P
APÊNCIDE Q
243
244
244
256
260
265
267
270
272
275
280
284
286
287
291
295
296
299
300
301
305
306
19
INTRODUÇÃO
Ao iniciarmos este trabalho optamos em socializaralguns momentos denossa
história de vida escolar e denossa trajetória docente, por considerarmos que
arealização deste estudo está diretamente relacionada a essas etapas de nossa
vida.
Nossa trajetória de vida escolarinicia-se com a orientação educacional
recebida de nossos pais, pessoas simples que mesmo não conseguindo avançar
nos estudos1 por morarem no interior e em condições bem difíceis, sempre
acreditaram na educação como o caminho pelo qual eu e meus irmãos
conseguiríamos ter condição de vida melhor do que àquela que tiveram. Ainda
recordamos como eles se esforçavam e sacrificavam para que nós pudéssemos
frequentar e permanecer na escola. Mesmo com todas as dificuldades
acompanhavam nossos passos ajudando-nos no limite de suas possibilidades.
Foram muitos os momentos em que os ouvia dizer que a única herança que
poderiam nos deixar e que ninguém poderia tirar era a educação. Hoje sabemos que
tinham razão.
Concordamos com Ricotta (2006, p. 24) quando diz que a escola
conduz nossas atitudes, de modo a compreendermos o que é importante para nós com base nas escolhas que somos capazes de fazer. É na escolarização que temos possibilidades de crescer e ganhar a autonomia necessária para a nossa sobrevivência.
A escola sempre foi muito importante em nossa vida, não só pela aquisição
de saberes formais, mas também, para que pudéssemosnos desenvolver social e
culturalmente. No entanto, nunca nos sentimos motivados a ser professora,
considerávamos esta profissão muito difícil e pouco remunerada. Todavia, alguns
acontecimentos em nossa trajetória de vida acabaram por conduzir-nos à docência,
levando-nos a fazer opção por uma disciplina que foi, em nossa infância, a mais
difícil de aprender: a matemática.
Assim como para vários alunos, hoje, a matemática também era considerada
por nóscomo a pior “matéria” para se aprender, tudo parecia muito difícil e
1 Minha mãe só conseguiu concluir o Ensino Médio aos 50 anos e meu pai só conseguiu ir até o 5º ano do Ensino
fundamental.
20
complicado. Além disso, os métodos de ensino usados por alguns professores que
tivemos até a então 7ª série(hoje 8º ano do ensino fundamental) acabavam por
contribuir para a afirmação desta imagem.
Somente quando chegamos ao 8º ano, estudando na escola Lauro Sodré2,
percebemos que as coisas começavam a mudar em relação a esta disciplina.O
professor que tivemos era alguém apaixonado por matemática e pelo magistério e a
forma como ele fazia a matemática parecer interessante nos contagiava e nos fazia
querer aprender aquela “matéria”. Seu método era bem dinâmico, fazia atividades
em grupo, promovia competições envolvendo os assuntos ministrados, ensinava
com uma calma e atenção aos alunos que fazia esta ciência parecer mais simples.
Nós, alunos, sentíamos que ele se importava com nosso aprendizado, estava
sempre trazendo novas questões, nos fazendo desafios e tornando as aulas mais
interessantes.
Ricotta (2006, p. 82) afirma que “o tato do profissional traduz-se na habilidade
em estabelecer um bom clima e proporcionar aos alunos a experiência de sentir-se
„bons‟ e aprenderem com sucesso”. Talvez ele não soubesse, mas era exatamente
isso que fazia conosco.
A partir de então, passamos a nos interessar mais por esta disciplina, tanto
que quando chegamos ao ensino médio e precisamos escolher uma área3 para
cursar, optamos pelas ciências exatas, isto porque, já nos identificávamos com a
matemática. Contudo, continuávamos sem cogitar a idéia de ser professora. As
notícias sobre a desvalorização financeira da profissão e o descaso dos órgãos
governamentais para com os professores e as escolas públicas faziam-nos recusar
ainda mais esta ideia.
Quando precisamos escolher um curso para prestar vestibular, decidimos
escolher licenciatura em matemática na FEP4 como experiência5, e ciência da
computação na UFPA6, curso que realmente desejávamos fazer, já que era um
curso novo e em expansão, além de prometer uma carreira bem remunerada.
Prestamos vestibular nas duas instituições, mas só conseguimos aprovação na FEP.
2 Escola pública estadual
3Nesta época o ensino médio com as áreas de CB (ciências Biológicas), CE (ciências exatas) e CH (ciências humanas) 4 Faculdade Estadual do Pará, depois transformada em Universidade do Estado do Pará (UEPA).
5 Neste ano (1972) as provas da UEPA e UFPA não coincidiram.
6 Universidade Federal do Pará.
21
Então resolvemos que iríamos cursar matemática naquele ano e no ano seguinte
tentaríamos novamente o curso de ciências da computação.
Todavia,quando começamosa frequentar as aulas nossos planos começaram
a tomar outro rumo, isso porque, com o passar dos meseso curso nos parecia mais
interessante.Sentíamos que estávamos aprendendo bastante sobre aquela que tinha
sido a pior disciplina para nós no passado.
Mas foram os estágios, realizados no 3º e 4º anos do curso, e as aulas
particulares que começamos a ministrar a partir do 2° ano,que nos fizeram desistir
da ideia de abandonar a licenciatura. O contato com os alunos e a resposta deles ao
que ensinávamos,começavam a despertar nosso interesse em querer seguir a
carreira docente. As discussões proporcionadas em disciplinas como: didática,
psicologia da educação e instrumentação do ensino, bem como, a participação nas
semanas acadêmicas, também tiveram muita importância na afirmação de nossa
escolha.
Recordamos que uma dessas semanas nos marcou bastante,porque
possibilitouque realizássemos junto com outrosdois colegas, uma oficina com alunos
do ensino fundamental da escola de aplicação da universidade.Nesta oficina
trabalhamos o ensino de retas e segmentos de reta por meio de dobraduras. Foi
uma experiência bastante importante para nós, porque além de ser nossa primeira
experiência em sala de aula, antes de iniciarmos os estágios, também nos fez notar
que aquela forma de ensinar, despertava o interesse e auxiliava no aprendizado
daqueles educandos.
Quando começaram os estágios, fomos direcionados a escola NPI7 onde, no
decorrer de dois anos, tivemos oportunidade de trabalharcom todos os anos finais
do ensino fundamental e com projetos educacionais para jovens e adultos carentes
do entorno da escola, proporcionando-nos a chance de vivenciar experiências que
nos ajudaram a iniciar o nosso processo de identidade com a profissão docente.
Concordamos com Tardif (2008) quando se refere aos saberes como algo que
é construído num processo que implica aprendizagem e formação. Estes dois anos
na escola NPI foram de fundamental importância para a construção dos saberes que
orientariam nossa prática docente, assim como, para o desenvolvimento de nossa
vida profissional.Durante esse período pudemos experimentar diversas situações de
7 Núcleo de Apoio Pedagógico, Escola de Aplicação da UFPA
22
aprendizagem e formação que nos ajudaram a perceber que estávamos escolhendo
a profissão certa e que poderíamos contribuir para que as experiências dos
estudantes com esta disciplina fossem melhores do que a que havíamos tido no
passado. O fato de poder interagir com aquelas pessoas, fossem elas crianças ou
adultos, ensinando e aprendendo, fazia-nos sentir que queríamos construir nossa
docência pautada no processo dialético a que se refereFreire(1996, p. 23) quando
diz que“ensinar inexiste sem aprender e vice-versa”.
Depois de formados, no final de 1996, ficamosainda quatro anos sem exercer
a docência, trabalhando como assessora administrativa na Prefeitura Municipal de
Belém. Então, em meados de 2001 conseguimos um contrato na Secretaria
Estadual de Educação e passamos a trabalhar em uma escola localizada no bairro
onde moramos.Escola esta, onde fomos lotados após aprovação no concurso
público realizado em 2002 e onde trabalhamos até a data do ingresso no mestrado.
Lembramos como se fosse hoje, como nosso coração batia acelerado e nossas
mãos suavam tal era nosso nervosismo, uma vez que iríamos assumir duas turmas
da Educação de Jovens e Adultos (EJA), da 3ª e 4ª etapas, substituindo um
professor que tinha sido aposentado. Todavia, a experiência adquirida na escola NPI
ajudou-nos na condução tranqüila daquelas turmas.Nosanos seguintespassamos a
trabalhar também com crianças e adolescentes, dos anos finais do ensino
fundamental.
No transcorrer de nossa atuação em sala de aula, era possívelperceber
algumas dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos que nos
incomodavam bastante, acreditávamos que podíamos melhorar nossas aulas de
forma a contribuir para que aqueles sujeitos tivessem mais facilidades para aprender
e se desenvolver como cidadãos,porém, não sabíamos como. Sentíamos que
precisávamos de mais formação, mais conhecimentos. Foi então que
resolvemosnosinscrever no curso de especialização em Educação Matemática,
oferecido pela UEPA, no ano de 2003. Nossa intenção era melhorar nossa formação
de maneira que tivéssemos condições de oferecer a nossos alunos um ensino de
melhor qualidade.
O ingresso no curso de especialização foi fundamental para que
pudéssemosconhecer novas fontes de formação e informação, ampliar nosso
conhecimento sobre as teorias de aprendizagem e especialmente, conhecer melhor
sobre as discussões em torno da Educação Matemática. Discussões essas que
23
trouxeram contribuições muito importantespara o processo de melhoramento de
nossa prática docente, dentre elas:a procura por criar situações em que o aluno
tivesse maior participação no processo de construção do conhecimento,
valorizaçãodos conhecimentos que os alunos trazem de sua vivencia extra-escola,
elaboração de atividades em que os alunos trabalhassem com materiais
manipuláveis, atençãoaos erros cometidos pelos alunos e etc.
Enfim, o curso noslevou àreflexão sobre a importância do profissional em
educação está sempre buscando novos conhecimentos, discutindo novas propostas
de ensino, acompanhando o que é produzido no meio acadêmico e participando das
discussõessobre as questõesreferentes ao processo ensino e aprendizagem com
vista a buscar soluções para os problemas que lhes são inerentes.
Nós começávamos, então, a experimentar a formação contínua, no sentido
em que fala Álvares (apud GARCIA, 1999, p. 136):
Atividade que o professor em exercício realiza com uma finalidade formativa – tanto de desenvolvimento profissional como pessoal, individualmente ou em grupo – para um desempenho mais eficaz das suas tarefas atuais ou que o preparem para o desempenho de novas tarefas.
Esse período serviu também para que pudéssemos externar nossas
observações e preocupações quanto às dificuldades e ao baixo rendimento dos
alunos na realização das operações que envolviam números inteiros, assim como,
para ampliar nossa discussão sobre este conteúdo que é, normalmente no Brasil,
introduzido em sala de aula no 7º ano do ensino fundamental, mas que
percebíamos, causava embaraço e desconforto para muitos dos alunos das séries
posteriores, inclusive no ensino médio, dificultando o aprendizado dos conteúdos
matemáticos que requerem o conhecimento prévio deste assunto, principalmente os
conteúdos algébricos.
Uma das questões observadasera que os alunos tinham muitas dificuldades
em aplicar corretamente as regras operacionais para a realização dos cálculos que
envolviam esses números e em função disso, cometiam os erros.Então começamos
a nos questionar sobre o que poderíamos fazer para amenizar ou neutralizar essas
dificuldades. Ao levamos essas inquietações até o professor Pedro Sá (nosso
orientador na época), fomos orientados a procurar conhecer mais sobre o assunto e
sobre as pesquisas que já haviam sido realizadas tendo este conteúdo como foco,
24
assim como, realizar leituras sobre o ensino por atividades e sobre as novas
tendências em Educação Matemática,em especial sobre o uso de tecnologia e jogos
em sala de aula, alegando que a partir deste estudo, seria possível pensar em uma
proposta de ensino.
Concluímos a especialização no final de 2006 e no ano seguinte ingressamos
em uma nova especialização, agora na área de gestão escolar, buscando conhecer
um pouco mais sobre as políticas educacionais e de funcionamento do sistema
escolar. Paralelo a isto, procurávamos seguir as orientações do professor,
enquantonos preparávamos para participar do processo seletivo do programa de
pós-graduação em educação (mestrado) da UEPA.
Por duas vezes tentamos ingressar no curso de Mestrado em
Educação8oferecido pela UEPA. Em 2008não conseguimos aprovação, mas em
2009, após defendermos nossa monografia do curso de gestão, fomos aprovados
entre os 13 (treze) alunos selecionados na linha de Formação de Professores.
Ao ingressar no curso, ampliamos e aprofundamos as leituras sobre o ensino
de números inteiros e o uso da calculadora e jogos no ensino de matemática,
percebemos que a utilização desses recursos em sala de aula, mesmo quando
usados separadamente,estava proporcionando resultados satisfatórios no que se
refere ao processo ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos como
potenciação, fração, porcentagem e ensino de aritmética.
Paralelamente, também, procuramos verificar por meio de consulta a
professores do ensino fundamental e alunos egressos do 7º ano, como o conteúdo
de números inteiros costumava ser abordado, constando que era quase sempre por
meio da definição, seguida de exemplos e exercícios. Constatamos, ainda, que um
número bem pequeno dos professores já havia utilizado a calculadora e os jogos no
ensino das operações com estes números.
Então, apoiados na revisão dos estudosjá realizados e nas afirmações de
Noronha e Sá (2002, p.130-131)de que a calculadora “pode ser utilizada para
estimular a aprendizagem, através da redescoberta de regularidades, propriedades
e regras tornando assim, um recurso didático” ede Soares (2008, p. 139) de o jogo
“possibilita a compreensão das ideias das operações de forma concreta, por meio
das inúmeras relações que se estabelecem entre aluno e jogo, entre aluno e seus
8O curso oferece 25 vagas divididas entre duas linhas de pesquisa: Formação de Professores e
Saberes Culturais e Educação na Amazônia
25
colegas e entre aluno e pesquisador”, construímos nossa questão de pesquisa que
era:
O ensino de números inteiros por meio de atividade com calculadora e jogos
pode proporcionar uma aprendizagem significativamente favorável aos alunos do 7º
ano do ensino fundamental?
Em nosso entendimento se as regras operacionais usadas no cálculo das
operações com números inteiros fossem construídas pelos próprios alunos num
processo de investigação favorecida pelo uso de um meio tecnológico, os alunos
teriam maior possibilidade de assimilá-las, implicando em uma aprendizagem mais
significativa para eles.
Para Curi (2010, p. 52)a não construção das regras operacionais pelos alunos
é a grande lacuna na utilização das mesmas no contexto matemático, já que
segundo ela “as situações já são dadas prontas e resolvidas, o que impossibilita a
participação do estudante no processo de descoberta da regra”. Diante do exposto,
destacamos nossa primeira hipótese de pesquisa:
O uso da calculadora no ensino das operações com números inteiros
permitirá ao aluno descobrir e enunciar as regras operacionais usadas no cálculo
dessas operações, sem que o docente as tenha queapresentar.
Tendo verificado - por meio da pesquisa realizada com os alunos egressos do
7º ano - que o desempenho dos alunos que receberam o ensino por meio de
exposição oral seguida de exemplos e exercícios foi muito baixo e levando–se em
conta que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) indicam como princípio,que
“recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros
materiais têm um papel importante no processo ensino e aprendizagem” (BRASIL,
2000, p. 20). Destacamos nossa segunda hipótese.
O desempenho dos alunos na realização de operações com números inteiros,
quando trabalhado didaticamente, por meio de atividades mediadas por calculadora
e jogos é superior ao desempenho quando ensinado por meio da exposição oral
seguida de exemplos e exercícios.
Partindo desta perspectiva traçamos nosso objetivo de pesquisa que foi
investigar se o ensino de números inteiros por meio de atividade com calculadora e
jogos, proporciona uma aprendizagem significativamente favorável aos alunos do 7º
ano do ensino fundamental.
26
Para alcançarmos esse objetivo realizamos a construção, aplicaçãoe análise
de uma sequência didática elaborada com o intuito de oferecer condições para que
os alunos pudessem produzir pessoalmente seus conhecimentos sobre as regras
operacionais e, posteriormente, pudessem aplicá-las com sucesso, evitando assim
os sucessivos erros que constantemente são observados nos cálculos envolvendo
os números inteiros.A construção de nossa sequência didática estava apoiada em
alguns princípios que são apontados pelos PCN, tais como:
-A matemática precisa estar ao alcance de todos e a democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do trabalho docente; -A atividade matemática escolar não é “olhar para coisas prontas e definitivas”, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade; -Recursos didáticos como jogos, livros, vídeo, calculadora, computadores e outros materiais tem um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situação que levem ao exercício da analise e da reflexão, em última instância, a base da atividade matemática. (BRASIL, 2000, p. 19-20)
E,fundamentada teoricamente nos pressupostos da Teoria das Situações
Didáticas formulada por Guy Brousseau,que tomamos como referencial para discutir
a relação entre os conteúdos de ensino e os métodos para o ensino, já que são
abordados na teoria, aspectos específicos do saber matemático e a preocupação
por uma apresentação dos conteúdos matemáticos em um contexto que seja
significativo para o aluno, sendo considerada a relação de interação entre professor,
aluno eum meiodidático com vista a produção de um novo saber.
Deste modo, Brousseau (apud ALMOULOUD, 2007, p. 33) define a situação
didática como sendo:
O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, um certo milieu (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição.
Portanto, na concepção de Brousseau (2008) para que o aluno adquira um
conhecimento novo é fundamental que ele interaja com um milieu(meio), o qual é
considerado pelo autor como um subsistema autônomo e antagônico ao sujeito.
Autônomo no sentido de ser auto desenvolvido, ou seja, não precisar da
interferência direta do professor para desenvolver-se e antagônico no sentido de ser
desafiador para o aluno.Neste contexto, o professor assumiráentão, o papel de
27
planejadore administrador das situaçõesque serão apresentadas ao alunona
intenção de lhe proporcionar aprendizagem de um determinado conteúdo.Para
Freitas (2008)é exatamente esta intenção do professor que determina a existência
de uma situação didática.
Partindo desta concepção e entendendo o meio de que fala Brousseau (2008)
como sendo as estratégias de ensino criadas pelo professor para conduzir o aluno
àprodução de um determinado conhecimento, elaboramos a sequência didática com
a qual os alunos interagiram durante a realização da experimentação.
Assim, devido às características de nossa investigação, optamos em utilizar
no percurso metodológico os princípios da Engenharia Didática por considerar que
ela era a metodologia mais indicada para este tipo de investigação, já que possui
uma lógica própria de organização que abrange desde a dimensão teórica até a
dimensão experimental, direcionando todo o caminho seguido por nós na realização
deste estudo,além de proporcionar as condições necessárias para o
estabelecimento de uma situação didática que se refere ao aprendizado das
operações com números inteiros.
Segundo Artigue (1996, p. 196):
A engenharia didáctica, vista como metodologia de investigação, caracteriza-se antes de mais por um esquema experimental baseado em realizações didáticas na sala de aula, isto é, na concepção, na realização, na observação e na análise de seqüências de ensino.
Ela se refere à Engenharia Didática fazendo uma analogia entre o trabalho do
professor pesquisador e o trabalho de um engenheiro que para a realização de um
projeto precisa apoiar-se em conhecimentos teóricos de seu domínio e planejar suas
etapas, para então executá-lo.
Douady (apud HEY, 2001, p. 40) contribui dizendo que o termo engenharia
didática pode ser entendido também como,
uma sequência de aula (s) concebida (s), organizada (s) e articulada (s) no tempo, de forma coerente, por um professor – engenheiro para realizar um projeto de aprendizagem para certa população de alunos. No decurso das trocas entre professor e alunos, o projeto evolui sob as reações dos alunos e em função das escolhas e decisões do professor.
28
Na opinião de Pais (2008) a engenharia didática possibilita uma
sistematização metodológica para a realização prática da pesquisa, que leva em
consideração as relações de dependência entre a teoria e a prática. Deixando claro
que neste processo estarão envolvidos, de maneira interligada, o professor, o aluno
e o saber, este último sendo produzido à medida que a intervenção de ensino for
sendo realizada. Por este motivo, a engenharia didática encontra-se organizada em
quatro fases muito bem articuladas de forma a possibilitar ao processo
investigativoum perfeito desenvolvimento.As fases são: análises
preliminares;concepção e análise a priori;experimentação e análise a posteriori e
validação.
Esclarecemos que neste estudo optamos em organizar as seçõesseguindoas
fases da Engenharia Didática, entendendo que esta disposição permitirá melhor
entendimento sobre os caminhos seguidos no desenvolvimento desta pesquisa.
Os resultados de nosso estudo foram sistematizados em cinco seções. A
primeira seção de nosso estudo trata das análises preliminares que conforme
explica Artigue (1996, p.198) “apóia-se num quadro teórico didático geral e em
conhecimentos didáticos já adquiridos no domínio estudado”. Desta forma, nesta
seção, realizamos uma revisão sobre a história dos números inteiros para conhecer
os aspectos que marcaram a aceitação e institucionalização destes números como
entes matemáticos; um levantamento dos trabalhos já realizados sobre o ensino e
aprendizagem de números inteiros, para conhecer o que já havia sido produzido em
relação a essa questão; reflexões sobre o uso da calculadora e de jogos no ensino
de matemática; análise de uma pesquisa de campo realizada com docentes e
discentes do 8º ano para verificara visão destes sobre o ensino atual e seus efeitos
sobre aprendizagem dos números inteiros.
A segunda seção trata da fase de concepção e análise a priorique segundo
Almouloud (2007) é a fase em que o pesquisador deve elaborar e analisar uma
sequência de ensino que lhe possibilita responder a questão problema e as
hipóteses levantadas para a pesquisa. Assim sendo, apresentamos nesta seção: a
sequência didática,que foi elaborada com base nas análises preliminares e nas
variáveis de comando escolhidas de forma a provocar as mudanças desejadas em
relação à apreensão do conhecimento sobre as operações com números inteiros;e
aanálise a priori das atividades e dos instrumentos de diagnósticoscontidas na
29
sequência. Foram elaboradas 24 (vinte e quatro) atividades e 05 testes diagnósticos,
organizados em 17 (dezessete) sessões de ensino.
A terceira seção se refere àexperimentação.Nela apresentamos o
funcionamento da sequência didática onde se procurou garantir a aproximação dos
resultados práticos com a análise teórica.
Na quarta seção trataremos da última fase da engenharia didática, que se
refere à análise a posteriorie validação. Artigue (1996) explica que é nesta fase
que o pesquisador realiza o tratamento dos dados recolhidos durante a
experimentação e confirma a validação ou não das hipóteses da pesquisa.
Apresentaremos então, nesta seção, a análise de cada sessão de aplicação da
sequência didática, a qualfoi fundamentada nas produções dos alunos, nas
observações realizadas durante os encontros e nos resultados obtidos durantes os
diagnósticos.Apresentaremos também a confrontação entre a análise a priori e a
posteriori que nos levou a validar as hipóteses levantadas no início da pesquisa.
Ressaltamos que para Artigue (1996) esse é o momento que confere a esta
metodologia um caráter de singularidade, por ser esta validação essencialmente
interna.
Na quinta e última seção tecemos nossas considerações finais.
30
1 ANÁLISES PRELIMINARES
Nesta seção, nosso objetivo é apresentar os resultados dos estudos que
fundamentaram nossa pesquisa. Neste sentido, nossas análises preliminares foram
compostas por um breve histórico sobre os números inteiros,análise dos estudos já
realizados sobre o ensino de números inteiros, reflexões sobre o uso da calculadora
e jogos no ensino de matemáticaeanálise das pesquisas de campo sobre o processo
ensino e aprendizagem dos números inteiros segundo docentes de matemática e
segundo discentes que já haviam cursado 7º ano do Ensino Fundamental.
1.1 ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS
De acordo com Mendes (2009), os aspectos históricos nos quais estão
envolvidos os conteúdos matemáticos têm grande importância no ensino de
matemática, pois ajuda os estudantes a perceberem como se dá o processo de
geração, organização e institucionalização do saber que chega até eles. Para este
autor:
O professor deve explorar o processo histórico da construção dos tópicos a serem abordados em sala de aula para que o aluno compreenda o significado dessas ideias e sua importância para o desenvolvimento da matemática em seu significado histórico e conceitual. A partir daí sugere-se que o aluno verifique possíveis relações entre a história da matemática e a cultura matemática, pois tais aspectos ficam mais evidentes quando verificamos o desenvolvimento dessas noções, nos diversos contextos sociais, políticos e culturais. Além disso, essas relações implicam na ressignificação dessa história no contexto atual (MENDES, 2009, p. 95)
Não é nossa intenção discutir esses aspectos enquanto metodologia de
ensino, todavia consideramos importante conhecer um pouco sobre os aspectos
históricos que marcaram o surgimento, a aceitação e institucionalização destes
números como entes matemáticos, entendendo que estes momentos podem explicar
31
alguns dos obstáculos de aprendizagem que são manifestados por nossos alunos
hoje.
A construção lógico-histórica dos números inteiros começa a partir do
surgimento dos números negativos, que provocou diversos debates em torno de sua
aceitação e rejeição, já que até então todas as operações eram realizadas apenas
com números naturais. Anjos (2008, p. 79) explica que “o surgimento dos números
negativos como entidades matemáticas foi decorrente do processo de resolução de
equações, as quais, evidentemente, eram oriundas de problemas práticos, porém
submetidos a um tratamento mais teórico”.
Durante muito tempo estes números foram evitados por aqueles que se
dedicavam ao estudo de matemática, referindo-se a eles como números absurdos
ou fictícios. Isso porque não podiam admití-los como solução de uma equação, visto
não corresponderem a nada que tinha sido reconhecido antes como quantidade,
negando sistematicamente sua utilidade.Anjos, Cardoso e Sá (2009) informam que
desde sua aparição, os números inteiros levaram cerca de 1500 anos para serem
plenamente aceitos.
Conforme escreve Boyer (1998), um dos primeiros povos a manipular
números negativos foi o povo chinês, que costumavam usar barras para realizar
cálculos. Dois conjuntos de barras eram usados, vermelhas para os coeficientes e
números positivos, e, pretas para os números negativos. No entanto, esses
conceitos eram entendidos por eles sob o aspecto da prática do dia-a-dia,
provocandoa interpretação de ganho e perda, o que os impedia de aceitar a ideia de
um número negativo como solução de uma equação.
Anjos (2008) explica que os números negativos não surgiram na contagem,
mas nos cálculos. Mais especificamente na resolução de equações, concretizando-
se assim, com Diofanto que desenvolveu, em sua obra Arithmetiké, resoluções de
equações usando implicitamente as regras de sinais, todavia desconsiderando a
existência independente dos números negativos.
Já na primeira metade do século XVI, um alemão chamado Michael Stifel
(1487-1567), grande conhecedor das propriedades dos números negativos,
escreveu a mais importante obra alemã sobre álgebra a “Arithmética integra”, onde
se destaca o tratamento dado por ele aos negativos.
Boyer (1998) relata que Stifel costumava usar coeficientes negativos em
equações para reduzir a multiplicidade de casos de equações quadráticas, para
32
tanto precisou criar uma regra especial para explicar quando usar “+” ou quando
usar “-“, sendo ele um dos muitos autores alemães a difundirem os símbolos “+” e “-“
em oposição à notação italiana que utilizava as letras “p” e “m”, abreviação das
palavras plus e moins respectivamente.
Porém, apesar de manusear muito bem os números inteiros, Stifel também se
recusou a admiti-los como raiz de uma equação, chamando-os de "numeri absurdi"
(ANJOS; CARDOSO e SÁ, 2009, p. 42)
Na contramão dos matemáticos que se recusavam a admitir os números
negativos como resultado possível para as equações, dentre eles, Stifel, Bombelli
(1526-1573) e Viète (1540-603), encontramos Simon Stevin (1548-1620). Gonzáles
et al(1990) relata que Stevinaceitou os números negativos como raízes e
coeficientes de equações contrariando seus antecessores algebristas. Este
matemático considerava os números negativos como ferramentas úteis para o
cálculo, o que o levou a conceder-lhes uma existência como símbolos
independentes em um cálculo numérico. Desta forma, passa então a admitir a
adição x + (-y) em lugar de considerá-la como subtração de y a x. Trata também de
justificar geometricamente a regra dos sinais fazendo uso da identidade algébrica:
Que era representada por meio da figura
geométrica:
b a
c
d
Stevin interpreta as raízes negativas das equações como sendo as raízes
positivas transformada em - a, o que o leva a afirmar que se – a é um número
negativo raiz de x² + px = q, então, o número positivo a é raiz de x² - px = q. No
entanto, para ele os negativos não eram confiáveis nem compreensíveis para a
definição de número enquanto expressão de quantidade.
Todavia, apesar das contribuições destes matemáticos Asimov (apudBORBA
2003)afirma que o primeiro matemático a quebrar o tabu e utilizar-se
sistematicamente de números negativos foi o italiano Gerônimo Cardano (1501-
33
1576) que torna seu uso plausível ao referir-se à necessidade de determinar a
direção numa linha. Anjos (2008) relata que na obra Ars Magna, Cardano
apresentou os negativos com certa destreza, todavia, sua raízes quadradas
causaram certo embaraço. Segundo este autor, Cardano dividiu os números em dois
tipos e chamoude “números verdadeiros”aos naturais, as frações positivas e os
irracionais chamou de “números fictícios” e aqueles que correspondiam,
respectivamente, aos números negativos e às suas raízes quadradas (imaginários),
chamou de “falsos”.
Já Boyer (1998) informa que foiAlbert Girard (1590-1639), que ao enunciar
claramente as relações existentes entre raízes e coeficientes, em 1629, admitiu pela
primeira vez números negativos isolados e imaginários como soluções formais de
equações. O autor explica que Girard percebeu também que as raízes negativas
eram orientadas em sentido oposto ao dos números positivos, antecipando dessa
forma a ideia de reta numérica.
Em Passoni (2002) encontramos relatos de que foi o alemão Hermann Hankel
(1839-1873), com a publicação de sua obra “Teoria do Sistema dos Números
Complexos”, em 1867, quem de fato legitimou os números negativos. Segundo este
autor, com esta obra foi dado o salto do concreto ao formal que permitiria justificar
os diversos sistemas numéricos. Curioso é que Anjos; Cardoso e Sá (2009) relatam
que o objetivo de Hankel ao escrever sua obra era definir a teoria sobre números
complexos e não legitimar os números negativos. Contudo, a complexidade de
algumas de suas demonstrações permitiu que ele desvendasse por completo todas
as dúvidas que ainda existiam sobre os números negativos.
Hankel não buscou a justificação dos negativos em situações reais que
“expliquem” seu comportamento, mas em leis formais, concretamente no „princípio
de permanência‟ que teria sido introduzido por George Peacock, alguns anos antes,
a fim de fundamentar a álgebra e justificar as operações com expressões literais
(PASSONI, 2002).;
Hankel (apudSILVA, 2006)afirmava que os números não são descobertos e
sim inventados, imaginados. Dizia ele: “aqueles que se aventurarem em procurar
todas as explicações lógicas na natureza, ou mundo real, jamais conseguirão
adquirir maturidade em conceitos matemáticos, que outrora, são definidos para um
mundo ideal”. Para Gonzáles et al(1990) Hankel, assim como outros matemáticos de
sua época, estava convencido de que as matemáticas são uma criação humana e,
34
em consequência, seus conceitos não são deduzidos de fatos empíricos nem vem
impostos de fora, ao contrário, são criações intelectuais. Sob esta linha de raciocínio
ele abandonou o ponto de vista “concreto”, baseado em exemplos práticos,
passando a adotar o “formal”.
Como podemos observar,o conceito de números inteiros sofreu várias
interferências até ser formalizado e a aceitação dos negativos levou quase 1500
anos para acontecer. Toda essa demora se deve a dois grandes obstáculos
encontrados pelos matemáticos daquela época: a dificuldade deabstração do
significado do número negativo e a dificuldade de utilização deste. As
complexidades inerentes a essaclasse de números desafiaram esses matemáticos a
encontrarem um sentido plausível para que pudesse ser considerado um ente
matemático, o que provocou várias discussões, construções e desconstruções
apresentadas.
Outras informações acercados obstáculos e justificações para a aceitação e
institucionalização do conceito e da utilização dos números inteiros, no âmbito da
matemática e de seu ensino, podem ser encontrados em Mercia (2010) e em
Imenes, Jakubo e Lellis (1992).
Sendo assim, as dificuldades de compreensão manifestadas por nossos
alunos no ensino destes números hoje parece-nos, então,compreensíveis. Todavia,
entendemos,também,que é preciso encontrar mecanismo que possam favorecer a
superação dessas dificuldades de forma a conduzí-los ao aprendizado. Mas o que
tem sido pensado nesta direção? Quais as discussões e propostas trazidas pelos
professores e pesquisadores nos últimos anos? Como poderemos contribuir?
Estas foram algumas das questões que nos levaram a verificar o que os
estudos sobre o processo ensino e aprendizagem deste conteúdo apontavam
enquanto propostas para a superação das dificuldades manifestadas pelos alunos
ede queforma estas propostas têm contribuído para o favorecimento da
aprendizagem deste conteúdo. Para isso, realizamos uma revisão bibliográfica onde
foram verificados vários estudos relacionados aos números inteiros e destes
selecionados 09 (nove) que consideramos estar mais diretamente relacionados com
a questão do ensino e aprendizagem das operações com números inteiros nas
séries finais do ensino Fundamental.
35
1.2 ESTUDOS SOBRE O PROCESSO ENSINO E APRENDIZAGEM DOS
NÚMEROS INTEIROS
No intuito de buscar subsídio para a construção de nossa pesquisa
realizamos a revisão de alguns estudos desenvolvidosnos últimos anos referentes
ao ensino e a aprendizagem dos números inteiros, buscando focar, principalmente,
nas operações básicas. Foram analisados 09 (nove) estudosorganizados nas
seguintes categorias: abordagem; compreensão e construção do conhecimento que
livros didáticos e professores apresentam sobre o ensino de números
inteiros;dificuldades e erros dos alunos no ensino-aprendizagem de números
inteirose uso de jogos e tecnologias no ensino de números inteiros. Esses estudos
foram considerados durante a construção da sequência didática que foi
desenvolvida com os alunos e, também, no momento das análises a priori e a
posteriori.
1.2.1 Abordagem, compreensão e construção do conhecimento sobre números inteiros conferidos pelos livros didáticos e por professores
Nesta categoria encontramos os estudos desenvolvidos porRama (2005),
Kimura (2005) e Silva (2006).
A pesquisa desenvolvida por Rama (2005) analisou livros didáticos
referendados pelo MEC para o ensino de matemática no nível fundamental e médio
e tinha por objetivo investigar a abordagem conferida aos números inteiros para
estes dois níveis de ensino, destacando a divisibilidade.
O autor procurou escolher livros que apresentassem uma ou mais das
seguintes características: uso freqüente e adequado de situações-problemas,
inclusive para introduzir um assunto; hábito de se trabalhar com demonstrações,
sem o uso carregado de formalizações; boa articulação entre os campos da
matemática; boa articulação entre conteúdos novos e outros já abordados;
retomadas de um mesmo assunto em momentos distintos.
Tratou-se de uma investigação bibliográfica que foi dividida em dois
momentos. No primeiro momento, o pesquisador analisou três coleções de livros de
matemática dos anos finais do ensino fundamental: A conquista da matemática, a +
nova (CASTRUCCI; GEOVANNI E GEOVANNI JR, 2005); Matemática hoje é feita
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assim (BIGODE, 2005) e Tudo é matemática (DANTE, 2005), escolhidos com base
nas sínteses constantes no guia do Plano Nacional do Livro Didático (PNLD).
No segundo momento, ele realizou uma análise das onze coleções
recomendadas pelo catálogo do Plano Nacional do Livro do Ensino Médio (PNLEM),
versão 2005, com o objetivo de verificar como é feita a revisão dos números inteiros
nos primeiros livros dessas coleções.
Rama (2005) constatou que a primeira coleção - A conquista da matemática,
a + nova - apresentava boas provas informais adequadas ao estágio de
aprendizagem deste nível de ensino, usando de métodos variados e, também,
explorando de modo conveniente o potencial de problemas envolvendo números
inteiros. A segunda coleção -Matemática hoje é feita assim - apresentava algumas
demonstrações convincentes e outras não; e a terceira, - Tudo é matemática -
enunciava diversas propriedades sem preocupação com justificativas. Constatou,
ainda, que as duas últimas coleções apresentavam poucos problemas exigindo
maior sofisticação de raciocínio do aluno e a análise de poucos casos.
Eventualmente apresentava apenas um, para deduzir cada uma das regras de sinais
para a multiplicação de números inteiros.
Para este autor, no caso da multiplicação de inteiros, o ideal seria que o
próprio aluno fosse estimulado a “descobrir” essas regras, cabendo ao professor
incentivá-los a expressar a defesa de suas ideias. No que concordamos, visto que
esta é a operação apontada por vários autores como a mais difícil de ser
explicada,justamentepor não se ter um modelo concreto com o qual possamos
relacioná-la.
Rama (2005) também observou que uma característica comum encontrada
nas três coleções é que a aplicação de problemas é enfocada quase exclusivamente
no 6º e 7º ano, no âmbito dos números naturais, não sendo retomado no contexto
dos inteiros após a introdução dos números negativos.
Na análise feita das coleções destinadas ao ensino médio, o autor constatou
que, de modo geral, a retomada dos números inteiros é feita de maneira superficial,
o conceito de divisibilidade entre inteiros, incluindo os negativos, pode ser apreciado
somente em uns poucos exercícios, e poucos problemas mais elaborados são
propostos.
Em Silva (2006) encontramos um estudo sobre a discussão do papel da
linguagem no ensino das operações de números inteiros na EJA, destacando o
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aspecto da compreensão do diálogo estabelecido a partir do discurso dos
professores e do livro didático. Seu objetivo principal, neste estudo, foi discutir
aspectos relativos a compreensão das operações de adição e multiplicação de
números inteiros dentro da prática do professor da EJA. Partindo dos seguintes
questionamentos: Que ambiente o professor proporciona em sala de aula? Quais
materiais o professor escolhe e usa? Como o professor e materiais, utilizados em
sala, cooperam paraque a interlocução entre ele e seus alunos a respeito das regras
de sinais, ocorra?
Silva (2006) parte da hipótese de que o diálogo claro desenvolvido em sala de
aula entre professor e aluno possa contribuir para o entendimento das operações de
adição e multiplicação. No entanto, com base nas idéias de Grice (1975), ele
acredita que este diálogo só será estabelecido se ambos os interlocutores
cooperarem entre si. O autor se refere ao diálogo claro como sendo aquele em que
se evita a ambigüidade e a obscuridade de expressões, sendo o locutor sempre
breve e ordenado.
Em relação às operações com os números inteiros, ele diz que o diálogo claro
só acontecerá se o aluno também for „autor‟ da construção do conhecimento das
regras de sinais. “Sendo assim, saberá o que está sendo dito pelo professor e
poderá se manifestar sem „intimidação‟ quando necessário, pois o assunto em
questão é também de conhecimento seu” (SILVA, 2006, p. 17).
Trata-se de uma pesquisa exploratória, onde foram analisados os discursos
de doze professores que atuavam na EJA, tanto a nível fundamental quanto médio
de escolas públicas municipais e estaduais em Itaquaquecetuba/SP, e o discurso
dos autores dos livros didáticos usados por estes professores. O discurso dos
professores foram coletados por meio de dois questionários com o objetivo de traçar
o perfil dos docentes, realizar levantamento do saber profissional dos professores de
matemática acerca de suas experiências e do tratamento que davam ao ensino das
operações de adição e multiplicação de números inteiros, bem como, levantar os
tipos de materiais usados pelos professores em sala de aula.
O pesquisador verificou que o material mais usado pelos professores para o
ensino de números inteiros ainda era o livro didático e que os livros mais usados por
eles eram os apresentados no Quadro 1, os quais foram examinados pelo
pesquisador no intuito de analisar as abordagens dos autores na introdução das
regras de sinais, na adição e multiplicação no conjunto dos números inteiros.
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O autor observou pelo menos quatro maneiras distintas de introduzir a adição
com inteiros que culminando nas regras de sinaisapresentadasa seguir.
Quadro 1 – Formas de introdução da adição de inteiros e as regras sistematizadas
Tipo de introdução Livro de origem
Regras sistematizadas
Introdução da regra, diretamente escrita, em seguida, os exemplos e exercícios aritméticos
Praticando matemática
(1989)
a) Adição de dois números de sinais iguais: “A soma de dois números positivos é um número positivo”
b) Adição de números com sinais diferentes: “a soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto”
Introdução de um problema apresentando-o geometricamente e aritmeticamente. (utilização da reta numérica)
A conquista da matemática
(1998)
- Usa um exemplo para ilustrar a adição entre dois positivos e apresenta a regra para números de sinais diferentes. - “Quando dois números têm sinais diferentes, o sinal do resultado corresponde ao sinal do número que está mais distante da origem. O módulo dos resultados é igual a diferença entre os módulos das parcelas”
Introdução de perda e ganho, representada aritmeticamente
Matemática hoje é feito assim
(2000)
Trabalha com exemplos sem a preocupação de sistematizar as regras.
Tempo de matemática
(2000)
a) Adição de números positivos: juntando quantidades positivas, vemos que: “A soma de dois números positivos é um número positivo”
b) Adição de números negativos: juntando quantidades negativas, vemos que: “A soma de dois números negativos e um número negativo”
EJA – Ensino fundamental de
matemática (apostila)
(2004)
- “A soma de dois números inteiros positivos é igual ao valor positivo da soma dos módulos desses números”. - “A soma de dois números inteiros negativos é igual ao valor da soma dos módulos desses números”. - “A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é igual a diferença dos módulos e o sinal é o da parcela de maior módulo”
Introdução aritmética de uma situação e a sua representação
Matemática
1º caso) Adição de números de mesmo sinal: os exemplos nos sugerem a seguinte regra: “a soma de dois números inteiros de mesmo sinal é obtida adicionando-se seus valores absolutos e conservando-se o sinal comum. 2º caso) Adição de números de sinais
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geometricamente (utilização da reta numérica)
(1997) diferentes: os exemplos nos sugerem a seguinte regra: “a soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se seus valores absolutos, dando-se ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto”
Fonte: Silva (2006, p. 75-89)
No caso da multiplicação, o pesquisador observou que quase todos os
autores utilizavam a ideia de soma de parcelas iguais para introduzir a multiplicação
com inteiros, registrando apenas um livro com proposta diferente onde é utilizado a
ideia das barras coloridas usadas pela civilização chinesa. No quadro 2
apresentamos as formas de introdução da multiplicação de inteiros e as regras
sistematizadas pelos autores dos livros didáticos consultados.
Quadro 2- Formas de introdução da multiplicação e as regras sistematizadas
Tipo de introdução Livro de origem
Regras sistematizadas a partir de exemplos
Ideia de que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais
Matemática
(1997)
- Multiplicando um número negativo por um número positivo o resultado foi um número negativo: (-) . (+) = - - Multiplicando dois números negativos e o resultado foi um número positivo: (-) . (-) = +
Tempo de matemática
(2000)
(nº positivo) . (nº positivo) = nº positivo (nº negativo) . (nº negativo) = nº positivo (nº positivo) . (nº negativo) = nº negativo (nº negativo) . (nº positivo) = nº negativo
Praticando matemática
(1989)
Não foi apresentada pelo autor
A conquista da matemática
(1998)
Quando um fator é um número positivo e o outro é um número inteiro negativo temos: (+6).(-4)= 6. (-4)= (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=-24. Considere (-6).(+4)= (+6).(-4)= -24. Então: (+6).(-4)= -24 e (-6).(+4)= -24. “A multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, em qualquer ordem, resultada em um número inteiro negativo”
Ideia das barras coloridas
Matemática hoje é feito
assim (2000)
1º caso) Multiplicação de dois números positivos (+2).(+3) – O multiplicador é positivo. Devemos, portanto, acrescentar dois grupos de 3 barras pretas9, o resultado é 6 barras pretas, ou seja, (+2).(+3) = +6. 2º caso) Multiplicação de um número inteiro positivo por um negativo (+2).(-3) – O multiplicador (+2) é positivo e o multiplicando (-3) é negativo. Devemos, portanto, acrescentar dois
9 Vimos no breve histórico, que as barras pretas representam o valor positivo e as vermelhas, o valor
negativo.
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grupos de barras vermelhas, o resultado é 6 barras vermelhas, ou seja, (+2). (-3) = -6. 3º caso) Multiplicação de um número negativo por um número positivo (-2).(+3). Como aqui (-2) é negativo, devemos tirar dois grupos de 3 barras pretas.
Fonte: Silva (2006, p. 95-100)
Para Silva (2006) a análise desses livros revelou que tanto os livros quanto a
apostila usada pelos professores não contribuíam para que os docentes criassem
em sala de aula um ambiente que estimulasse o diálogo, haja vista não cooperarem
com o leitor. No caso da adição, segundo este autor, as introduções ou eram feitas
de maneira diretas ou permitiam inferências que poderiam levar o leitor a distanciar-
se do objetivo proposto em relação aos números inteiros.
No caso da multiplicação, observou que em determinadas situações eram
usadas ideias e artifícios que não deixavam claro para o leitor o que de fato estava
ocorrendo, como no caso da introdução apresentada pelo livro “matemática”. De
acordo com o pesquisador, quando o autor afirma que a multiplicação de números
inteiros é uma soma de parcelas iguais, não deixa claro para o leitor que isso dá
conta somente quando se está no conjunto dos números naturais ou dos inteiros
positivos.
O autor viu com preocupação essa falta de diálogo franco dos livros didáticos,
pois,segundo ele,se os professores entrevistados estivessem se apoiando apenas
nestes livros eles poderiam estar dificultando ainda mais a compreensão destas
operações para os alunos.
Outro pontotambém visto com preocupação pelo autor diz respeito ao fato de
que os professores consultados utilizavam as mesmas metáforas; “perda e ganho”,
“temperaturas” e “saldo bancário”; usadas pelos livros didáticos quando se referiam
à adição e a multiplicação dos inteiros. No entanto, Silva (2006) adverte que para
situações do tipo -3-1; - 4+2; 3- 4 elas funcionam muito bem, porém quando se trata
de situações do tipo (+2) – (+2) ou (+2) – (- 2), elas já não dão conta. Isto porque,
existe um processo multiplicativo implícito nestas operações que estes professores e
autores dos livros didáticos analisados parecem ter ignorado ou transgredido
intencionalmente, permitindo que interpretações equivocadas venham a acontecer,
dificultando, deste modo, o diálogo franco com os alunos.
Na concepção deste autor, a utilização de outro material didático, como a
calculadora, poderia ajudar o professor no diálogo junto aos alunos em sala de aula,
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ao introduzir um novo conjunto numérico, visto que, no conjunto dos naturais os
alunos encontravam solução para a subtração e agora passariam a encontrar na
calculadora um resultado surpreendente para o que antes acreditavam não ser
possível.
Comungamos da ideia de Silva (2006) e consideramos que a calculadora
ainda é um instrumento pouco utilizado em sala de aula, quando poderia contribuir
de forma qualitativa para o ensino não apenas deste, mas de outros conteúdos
matemáticos.
Kimura (2005) realizou um estudo com professores sobre o uso de jogos para
auxiliar na compreensão e construção das estruturas necessárias para o
aprendizado dos números inteiros, buscando responder aos seguintes
questionamentos: Como podemos desenvolver as estruturas dos números inteiros,
sejam eles positivos ou negativos, se o empirismo continua sendo um dos maiores
obstáculos em seu processo ensino-aprendizagem?E ainda, porque o empirismo
pode ser considerado obstáculo para a aprendizagem dos números inteiros
negativos? Porque o estruturalismo foi tão importante para Piaget?Porque os jogos
podem ajudar na construção da estrutura dos números inteiros?
O estudo empírico foi desenvolvido com 10 professores da rede estadual de
ensino de Rondonópolis/ MT, que atuavam na 6ª série10 do ensino fundamental, em
dois momentos: o primeiro, de cunho exploratório, tinha o objetivo de traçar o perfil
profissional do professor (sua formação inicial e continuada, tempo de magistério,
metodologias, opções de livros didáticos) e diagnosticar o conhecimento dos
professores sobre o conteúdo de números inteiros e as dificuldades em relação ao
processo ensino-aprendizagem para este fim.Utilizou como instrumento de coleta
um questionário semi-estruturado contendo 35 questões, respondidos
individualmente. E o segundo, de cunho intervencionista, cujos objetivos foram
detectar de que forma os professores percebiam as estruturas matemática dos
números negativos (propriedades, conceitos e regras) envolvidas na resolução dos
exercícios propostos, bem como demonstrar a superioridade dos jogos na
aprendizagem de números negativos. A pesquisadora usou como instrumento de
intervenção um jogo denominado, jogo de xadrez.
10
Atual 7º ano
42
A autora constatou, a partir da análise dos questionários, que os professores
não tinham preocupação em compreender as estruturas dos números negativos,
visto que não se preocupavam em procurar outra fonte de preparação teórica e
metodológica que não fosse o livro didático, considerando como um bom livro para
se ensinar números inteiros aquele que apresenta muitos exercícios, com mais
exemplos do cotidiano e atividades variadas. Consideravam também que a
dificuldade em operacionalizar números negativos decorria da falta de sequência e
organização dos textos didáticos.
Este resultado a levou a desenvolver o segundo momento da pesquisa que
diz respeito à intervenção de ensino por meio da aplicação do jogo.
Kimura (2005) observou que os depoimentos dos professores, após a
realização do jogo, apontavam que operar no tabuleiro atendia a duas questões
básicas: a visualização e a reflexão. Ou seja, primeiro os professores tiveram a
oportunidade de perceber concretamente a operação efetuada e depois extrair as
operações que estavam implícitas no jogo, como se pode comprovar no depoimento.
Baseada nos resultados de sua pesquisa, a pesquisadora afirmou que o
empirismo é obstáculo para o aprendizado dos números inteiros por causa da
interpretação passiva sobre o ato de conhecer que se estabelece no processo
ensino-aprendizagem que, segundo ela, pôde ser percebida nas falas dos
professores entrevistados.
Na concepção da pesquisadora, Piaget acreditava num construtivismo que
exprimisse a maneira pela qual novas estruturas são continuamente elaboradas,
assim, as estruturas representam sempre uma nova oportunidade. Desta forma,
para ela, o jogo pode ajudar na construção da estrutura dos números inteiros porque
fornece esquemas de organização e integram o conhecimento num nível
representativo, já que permitem visualizar as estruturas envolvidas na construção
dos conceitos matemáticos.
Kimura (2005) constatou que a intervenção por meio do jogo de xadrez
mostrou que os diferentes conceitos matemáticos necessários para a compreensão
dos números inteiros podiam ser construídos durante o jogo. O jogador vai
construindo a estrutura necessária para o entendimento das regras refletindo sobre
a ação que realizou.A pesquisadora afirma que sua pesquisa evidenciou que
aprender números negativos ou positivos não se reduz à manipulação de signos
43
como se eles fossem auto-suficientes, sem a necessidade de serem acompanhados
de conceitos e operações mentais.
Portanto, pudemos observar a partir da análise dos estudos de Rama (2005),
Silva (2006) e Kimura (2005) que em relação aos professores existia certa carência
no que se refere a suas formações para atuarem frente ao conteúdo de números
inteiros.Constatou-se, também, que essa carência podia está sendo agravada em
razão da fonte de pesquisa utilizada por esses educadores.
De acordo com os pesquisadores, os livros didáticos ainda eram, ou são, a
principal fonte de preparação teórica e metodológica usada pelos professores para o
ensino deste conteúdo, entretanto, os estudos revelaram que muitos deles não dão
conta desta preparação já que apresentam abordagens simplistas, ambíguas e
equivocadas para a formação e compreensão dos conceitos necessários para se
ensinar este conteúdo. Bem como,possuem poucas alternativas metodológicas que
contribuam para que o professor possa desenvolver um trabalho satisfatório em sala
de aula, o que consequentemente dificultará o processo ensino-aprendizagem, haja
vista, que “sem um conhecimento mais aprofundado de como se dá o
desenvolvimento conceitual, o professor corre o risco de fazer uma avaliação
superficial do desempenho de seus alunos” (BORBA, 2009, p.59).Daí a necessidade
de se procurar outras fontes de formação e informação que possam contribuir de
forma eficiente para a melhoria do processo ensino-aprendizagem não apenas
deste, mas de outros conteúdos matemáticos.
Salientamos que estes estudoscontribuíram com nossa pesquisa no sentido
de revelar a necessidade do desenvolvimento de estratégias e utilização de outros
recursos teóricos e metodológicos para o ensino dos números inteiros, reforçando a
ideia de se trabalhar as regras de sinais de forma que sejam descobertas pelos
alunos, assim como, reforça nossa intenção de utilizar a calculadora e jogos como
recursos pedagógicos no ensino das operações com inteiros, principalmente, porque
nenhum dos estudos apresentados focalizou nesta abordagem.
1.2.2 Dificuldades e erros dos alunos em relação aos números inteiros
Nesta categoria encontram-se os estudos desenvolvidos por Nascimento
(2001) e Gonçalves (2007).
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Nascimento (2001) realizou um estudosobre obstáculos em adição e subtração
de números inteiros, tendo como objetivo a análise e comparação da evolução e
obstáculos apresentados por alunos da 7a série11 do Ensino Fundamental e da 1ª
série12 do Ensino Médio, quanto às operações com inteiros quando eles interagem
com uma seqüência de atividades para adição e subtração, utilizando a reta
numérica com dinamismo em um ambiente computacional de Ensino.
O autor pretendia, ao aplicar a sequência de ensino usando a reta numérica
virtual, identificar se os alunos:superariam as dificuldades prévias que possuíam
nestas operações; transpassariam o conhecimento que os impedia de operar
corretamente no domínio dos números inteiros; realizariam corretamente
deslocamentos em dois sentidos da reta numérica; ao efetuarem exercícios sobre
deslocamentos na reta numérica, associariam às situações trabalhadas com as
operações de adição ou subtração de números e seriam capazes de compreender
os passos utilizados para a resolução dos problemas sugeridos na reta numérica
relacionando-os aos diversos sentidos do número negativo; interagiriam com
conceitos prévios, necessários à solução de problemas de adição e subtração com
números inteiros e utilizavam-se deste modelo para o entendimento do modelo de
cálculo numérico exigido no nosso dia a dia escolar.
Nascimento (2001) partiu da hipótese de que o uso de uma situação didática
similar à reta numérica, na qual os alunos solucionam problemas de transformação
nessa reta, poderia ajudá-los a mudar conhecimentos que os impedia de entender
operações de adição e de subtração com números inteiros, de modo a facilitar o
entendimento, tanto do conceito de número inteiros como dos tipos de significados
do número negativo e a compreensão do algoritmo operatório, necessário para a
realização de adição e de subtração, nesse domínio.
Buscou fundamentar-se teoricamente em Bachelard e Brousseau e nos
estudos sobre erros e obstáculos já realizados.
Para alcançar seus objetivos o autor realizou um estudo de caso em duas
escolas públicas da cidade de Recife, sendo uma do Ensino Fundamental e outra do
Ensino Médio desenvolvendo o estudo em três fases: um pré-teste, para
levantamento do conhecimento e das dificuldades de cada aluno a fim de selecionar
aqueles que participariam da sequência de atividade; uma sequência de atividades,
11
Atual 8º ano 12
Atual 1º ano
45
com o apoio da reta numérica virtual, para identificação e comprovação dos
obstáculos e dificuldades apresentadas pelos alunos na resolução de adição e de
subtração; e um pós-teste para checagem da superação das dificuldades.
Os sujeitos da pesquisa foram dois alunos da antiga 7a série do Ensino
Fundamental e dois do 1º ano do Ensino Médio, selecionados após a aplicação do
pré-teste e de entrevista para checar as estratégias e dificuldades que levaram cada
estudante a um tipo de respostas. Os alunos selecionados foram aqueles que
demonstraram dificuldades relacionadas a obstáculos na resolução dos problemas
sugeridos no pré-teste.
A sequência de atividades usada no experimento foi composta de resolução
de problemas através do deslocamento de um objeto (tartaruga do LOGO) em uma
reta numérica virtual, posicionada no sentido vertical, onde o aluno visualizava
tarefas (problemas de transformação a serem resolvidos) na tela do computador,
sendo que, ao responder aos comandos necessários, deveria perceber o movimento
do objeto sobre a reta para indicar a solução dada por ele e, conseqüentemente, um
indicativo de erro ou de acerto que era representado na tela.
Os resultados encontrados pelo autor mostraram que no desenvolvimento da
sequência de atividades, tanto os alunos da 7ª série, quanto os do 1º ano do ensino
médio erraram basicamente as mesmas questões do pré-teste e apresentaram os
seguintes obstáculos e dificuldades, sistematizados pelo autor conforme
apresentado abaixo.
Quadro 3 – Obstáculos e dificuldades
OB
ST
ÁC
UL
OS
Não admite o número negativo de forma isolada.
Não se pode subtrair o maior do menor.
Diferentes significados para o sinal (-), do número, no contexto computacional (inverte o comando).
Diferentes significados para o sinal (-) como inversão.
DIF
ICU
LD
AD
ES
Troca a regra da soma de números com sinais diferentes para “soma-se os valores e toma-se o sinal do maior”.
Utiliza a regra da inversão com sinais. Quando apresentados por –A+transformam em A -
Usa a divisão em adição de simétricos.
Troca a regra da inversão.
Dificuldade com situação de transformação, onde a transformação é solicitada.
Ao somar ou subtrair números com sinais diferentes ou ambos negativos, soma os módulos e usa a regra de sinais da multiplicação, para definir o sinal do resultado.
46
Ao operar números, ambos com sinais negativos, adota o sinal do segundo número para o resultado.
Numa operação onde só aparecem sinais negativos adota a regra que: tudo menos, o resultado será a subtração dos módulos com o sinal negativo.
Fonte:Nascimento (2001, p. 136)
Os problemas de subtração do tipo A - (- B) = ou -A - (-B) =, foi verificado
como difíceis, pela observação no índice de acertos do pré-teste e durante a
aplicação da sequência, indicando, para o autor, que os alunos não tinham
compreensão dessas operações.
Segundo Nascimento (2001), a presença do obstáculo - inversão da operação
pelo sinal de menos do número - verificado no ambiente computacional, é associado
à concepção do sinal de menos com diferentes significados: sinal de operação, sinal
de inversão e sinal de número. De acordo com o autor, o surgimento desse
obstáculo leva a compreender que, em questões do tipo A - (-B) =, a concepção do
sinal de menos como “inversão” não é só verificada através do sinal de menos da
operação de subtração nos modelos - (-A) ou - (+A) pois, quando foi trabalhado os
deslocamentos na reta numérica dinâmica, tomou-se conhecimento de que o sinal
de menos do número, também, toma dois significados: é sinal de número e é,
também, sinal de “inversão”. Essa verificação foi notada quando se tinha a
representação + (- A) . Para este autor, esse fato pode ser gerador de dificuldade
para os alunos e merecem uma melhor consideração por parte dos pesquisadores.
Esta é uma situação que também observamos em sala de aula e que Rama
(2005) chama atenção, por conta do processo multiplicativo que está implícito nela.
Na avaliação de Nascimento (2001), o modelo computacional permitiu aos
alunos a revisão de conhecimentos prévios, aplicados de forma errada e que não
eram concebidos quando utilizavam apenas papel e lápis. Segundo o autor, a
proposta de se utilizar a reta numérica, em um ambiente computacional, provocou
nos sujeitos uma melhor compreensão das operações de adição e de subtração de
números inteiros.
O autor constatou que o índice de acerto das questões usando lápis e papel
ficou muito abaixo do índice de acerto das questões utilizando o computador. Em
algumas delas observou que os alunos utilizaram a influência do uso do computador
na resolução das questões com papel e lápis.Esses resultados levaram Nascimento
(2001) a indicar a necessidade de se investigar uma sequência didática para o
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ensino das operações de adição e de subtração de números, com auxílio da reta
numérica, devendo ser proposta para os alunos ainda na 6ª ou 7ª séries do ensino
fundamental, a fim de que os obstáculos não se tornem tão resistentes.
Gonçalves (2007) desenvolveu um estudo experimental focalizando o ensino
e a aprendizagem de números inteiros usando o programa APLUSIX, cujo objetivo
foi investigar como alunos da 6ª série do ensino fundamental II resolviam situações-
problema envolvendo números inteiros usando o referido programa computacional.
A autora baseou-se nas teorias de Raymond Duval sobre registros de representação
semiótica para investigar como os alunos faziam a conversão do enunciado do
problema no registro da língua natural para o registro simbólico numérico.
A pesquisa foi realizada em uma escola pública estadual de São Paulo,
contando com a participação de oito alunos do 7º ano do ensino fundamental, que se
ofereceram livremente para ficar após a aula e participar do experimento. O
experimento foi organizado em três momentos: diagnóstico, análise a priori e análise
a posteriori. O instrumento diagnóstico utilizado foi a aplicação de dois problemas
envolvendo adição e subtração com números inteiros, sendo que o primeiro envolvia
um jogo de cartas e o segundo envolvia andares de um prédio, o objetivo era
verificar as conversões e os tratamentos dados pelos alunos aos problemas
propostos.
Os resultados encontrados pela autora mostraram que os problemas
envolvendo o jogo de cartas apresentaram porcentagem maior de acerto no que se
refere a conversão da linguagem natural para a linguagem simbólica e posterior
resolução das operações surgidas. A autora também observou que as dificuldades
dos alunos para resolver o problema do jogo de cartas envolvendo números inteiros
estavam concentradas nos cálculos das operações de adição e subtração e não na
conversão da linguagem natural para a linguagem matemática. Apontando a
necessidade de se investigar uma sequência de ensino para se trabalhar
especificamente estas operações.
Já no caso do problema dos andares do prédio, a autora relata que nenhum
dos alunos representou os andares de subsolo pela linguagem simbólica -2, tendo
alguns deles resolvido o problema como uma adição de andares (apoiadas em
ideais de deslocamento). A maioria dos protocolos analisados pela autora em
relação a esse problema mostrou que os alunos apresentaram dificuldades na
mudança de registro, ou seja, na conversão da linguagem natural para a linguagem
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numérica, não conseguindo relacionar os andares dos prédios com números inteiros.
Segundo a autora, um dos motivos para esta dificuldade foi o fato de o contato com
elevadores e prédios não fazer parte do cotidiano dos estudantes, já que segundo
ela, eles eram moradores de casas térreas. O que nos faz refletir sobre a
importância de procurarmos conhecer a realidade de nossos alunos a fim de
possibilitar a escolher de questões que sejam mais próximas possíveis de contextos
que lhes sejam familiares.
Sobre a dificuldade apresentada pelos alunos na resolução desses
problemas, mesmo já tendo sido trabalhado pela professora o conteúdo, Gonçalves
(2007, p. 83) diz que, “nós professores e educadores da área de matemática temos
que nos ater nessas dificuldades e proporcionar meios favoráveis que viabilizem a
construção do conhecimento dos alunos”
Como vantagens para o uso desse programa no ensino de números inteiros e
de outros conteúdos matemáticos, a autora apontou: a autocorreção das resoluções
dos exercícios, pois favorece uma maior independência do aluno em relação ao
professor; o videocassete, pois oferece ao professor a oportunidade de observar o
processo de desenvolvimento do raciocínio do aluno durante a resolução dos
exercícios propostos e o Aplusixeditor que permite propor atividades de registro na
linguagem natural.E como desvantagens: o programa não permite a construção de
desenhos e não possui um ambiente onde o aluno possa pesquisa, relacionar e
comparar teorias juntamente com suas propriedades, favorecendo a pesquisa e o
estudo dos conteúdos selecionados pelo programa.
Observamos nos estudos de Nascimento (2001) e Gonçalves (2007) a
presença de obstáculos didáticos e epistemológicos que para D‟Amore (2007)
tratam, respectivamente, da escolha estratégica que é feita pelo docente e da
própria natureza do assunto quando se percebe, na evolução de um conceito, uma
descontinuidade, uma ruptura ou uma mudança radical de concepções.
Segundo D‟Amore (2007, p. 217-218), podemos identificar um obstáculo por
meio das seguintes características:
Tem-se um obstáculo quando, na análise histórica de uma ideia, reconhece-se uma ruptura, uma passagem brusca, uma não-continuidade na evolução histórico-crítica da própria ideia; Tem-se um obstáculo epistemológico quando um determinado erro aparece como recorrente, mais ou menos nos mesmos termos.
49
Podemos observar estes obstáculos especialmente no trabalho de
Nascimento (2001) quando afirma que para os alunos não é possível do menor tirar
o maior, já que tal ideia vinha sendo construída em suas cabeças quando do
trabalho com números naturais. Esta é uma realidade também vivenciada por
nossos alunos e, muitas vezes, reforçada por nós em sala de aula, por isso
acreditamos que a utilização da calculadora para introduzir essas operações poderá
desmistificar essa ideia, mostrando-lhes que é possível encontrar respostas para
situações como 2 – 4.
Os estudos de Nascimento (2001) e Gonçalves (2007) apresentam em
comum a constatação da necessidade de se construir uma metodologia
diferenciada, com uso de ferramentas pedagógicas que substituam ou
complementem o uso do papel e lápis para se trabalhar as operações de adição e
subtração de números inteiros a fim de facilitar o aprendizado, bem como, a inclusão
de meios eletrônicos para a facilitação da formação das ideias e conceitos.
Esta constatação reforçou nossa perspectiva de desenvolver uma
metodologia que vise a utilização de atividades estruturadas aliada ao uso da
calculadora e jogos.
1.2.3Uso de jogos e tecnologias para o ensino de números inteiros
Estão enquadrados nesta categoria os estudos de Linardi (1998); Avello
(2006), Soares (2008) e Altiparmark e Õzdogan (2010). Esclarecemos que apesar
dos outros estudos também utilizarem jogos e tecnologias suas abordagens tem
outros enfoques que se diferenciam do enfoque direcionado para odesenvolvimento
do ensino e da aprendizagem.
Linardi (1998) desenvolveu um estudo experimental denominado “Quatro
jogos para números inteiros: uma análise” que tinha por objetivo apresentar um
método alternativo para o ensino de números inteiros, através da aplicação de
quatro jogos que foram desenvolvidos para resolver em ação quatro problemas
didáticos: Como tirar o maior do menor?Como subtrair um negativo? Porque menos
por menos dá mais?O que significa menos vezes?
Sua intenção era que essas quatro perguntas fossem vivenciadas pelos
grupos sob a forma de situações-problema grupais à medida que os alunos fossem
desenvolvendo as partidas dos jogos.
50
O estudo foi desenvolvido em três séries diferentes, mas a autora optou em
relatar os resultados obtidos na turma de 5ª série13 de uma escola pública estadual
de Rio Claro/SP. De acordo com ela, os jogos eram aplicados sempre em grupo de
no máximo quatro alunos, com monitoramento constante da pesquisadora visando
observar os procedimentos e reações dos integrantes dos grupos, bem como, dar
encaminhamentos para as dúvidas surgidas. Após a realização dos quatro jogos os
alunos recebiam folhas de exercícios que eram elaboradas diariamente, como uma
permanente avaliação do desempenho dos alunos, buscando interceptar os
eventuais problemas de não - compreensão ou dificuldade por parte deles. No texto
não encontramos informações sobre a quantidade de sujeitos envolvidos no
experimento.
Segundo Linardi (1998) as atividades não dispunham de um modelo ou de um
padrão pré-determinado, mas eram elaboradas simultaneamente à intervenção e
tinham por objetivo permitir que os alunos pudessem fazer a passagem da
representação concreta ao abstrato.Ao propor este método, a autora pretendia uma
inversão de papéis, transferindo ao aluno não somente a responsabilidade da
situação de aprendizagem, mas, também, a responsabilidade de responder as
questões do problema didático. Pretendia, ainda, que os alunos fossem capazes de
fornecer suas próprias explicações para um fato que eles devessem achar óbvio.
A estratégia didática adotada pela pesquisadora estava apoiada nas
concepções de Brousseau sobre aprendizagem e também em Glaeser, Piaget &
Inhelder e Piaget & Garcia para fazer a discussão didática sobre a construção dos
números inteiros.
Antes de iniciar o trabalho didático com os jogos, Linardi (1998) estabeleceu
com os alunos um contrato de trabalho no qual estava presente uma descrição
detalhada das normas que regeriam a intervenção, o conteúdo a ser abrangido e os
critérios de avaliação que seriam empregados. Este contrato foi aprovado pelos
alunos e assinado por eles e pela pesquisadora após leitura e intervenção dos
alunos. A autora optou em avaliar os alunos permanentemente durante todo o
processo de intervenção, sob os seguintes critérios: atribuição de um conceito
individual e outro para o desempenho em grupo.
13
Atual 6º ano
51
Para a autora a maneira como foi realizada a intervenção permitiu que seus
objetivos fossem alcançados. De acordo com ela a resposta para o primeiro
problema: Como tirar o maior do menor? Foi favorecida pelo jogo das borboletas,
quando os próprios alunos forneceram respostas para a composição das cartas.
[...] é preciso compensar, ou seja, o número de vermelhos e azuis tem que ser o mesmo. A professora pediu que eles mostrassem no tabuleiro. “Por exemplo, professora, se há no circuito 3 azuis e 2 vermelhos, para compensar o número de vermelhos, falta 1 vermelho, logo, é essa carta que fecha o circuito (LINARDI, 1998, p.102).
Linardi (1998) relata que este saber foi formalizado quando as crianças
resolveram expressões como: + (+ 4) + (− 8) = + (− 4) = − 4.
O segundo problema: Como subtrair um negativo? Foi resolvido em três
oportunidades: durante o jogo perdas e ganhos, quando concluíram que retirar uma
dívida é dar um ganho; quando realizaram a composição de cartas no jogo das
borboletas e quando resolveram expressões como: + (− 8) − (− 6) = + (− 8) + (+ 6) =
+ (− 2) = − 2, já formalizadas.
A pesquisadora explica que o terceiro problema(Por que menos por menos dá
mais?) não foi vivenciado durante as fazes do jogo das araras, criado para este fim,
já que em nenhum momento do jogo ocorreu a composição de dois operadores
negativos, sendo vivenciado apenas a composição de um operador negativo com
um operador troca de sinal. No entanto, a autora relata que a partir desta vivência e
desenvolvimento dos exercícios escritos (− 3) × (− 4) = + 12 sem utilizar o operador
troca de sinal, foi possível aos alunos enunciarem, sem sugestão da professora,
que: “Quando os sinais eram repetidos, a resposta sempre davam „mais‟ e quando
eram diferentes dava „menos‟, portanto, desse jeito, não precisavam mais pensar se
trocavam ou não o sinal” (LINARDI, 1998, p. 185)
A resposta para o quarto problema(O que significa menos vezes?), os alunos
encontraram quando nas atividades para completar circuitos aditivos do Jogo das
Araras passaram a resolver o circuito pelas cartas e não pelos botões (LINARDI,
1998). Formalizando a solução nas atividades que envolviam a distributiva,
realizando, pelas cartas, a seguinte operação: (+ 6) × [(+ 2) − (+ 5)] = (+ 6) × (− 3) =
− 18, ou seja, 2 vezes menos 5 vezes são menos 3 vezes.
Para Linardi (1998) conseguiu-se, através da pedagogia e da ferramenta
didática utilizada, transferir a responsabilidade da aprendizagem ao aluno para que
52
respondesse os quatro problemas didáticos. Conseguiu-se, também, que essa
transferência fosse realizada em um ambiente prazeroso e de total cooperação tanto
entre aluno e professor, quanto entre os alunos. Para ela os resultados obtidos
mostraram que a utilização dos quatro jogos são eficazes para o ensino de números
inteiros.
Ressalta, ainda, a importância da pedagogia na realização deste estudo.
Neste caso, representado pelo contrato de trabalho que contribuiu de forma decisiva
para a eficácia da proposta de ensino, permitindo o estabelecimento de normas e
parâmetros que nortearam todo o desenvolvimento do trabalho, de forma
democrática.
Em Avello (2006) encontramos um estudo sobre números inteiros por meio de
tais jogos, cujo objetivo era investigar se o uso de jogos facilitaria a aprendizagem
das operações com esse grupo numérico.
A pesquisa tinha abordagem qualitativa, sendo realizado um estudo de caso
do tipo observacional. Os sujeitos eram 123 alunos de uma escola militar de Ensino
fundamental em Santa Maria/RS. Estes alunos pertenciam a quatro turmas de 6ª
série, com as quais foi realizada a pesquisa. O trabalho com as turmas teve duração
de três meses e a pesquisa foi desenvolvida por meio do uso de dois jogos para o
ensino das operações de adição, multiplicação, divisão e potenciação.
O primeiro jogo trabalhado consistia de cartas confeccionadas em cartolinas
que continham de uma a doze bolinhas vermelhas (representando pontos perdidos)
ou pretas (representando pontos ganhos), fichas para registros dos pontos, uma
base com duas hastes, semelhantes ao ábaco, onde eram colocadas argolas pretas
ou vermelhas, conforme os pontos ganhos ou perdidos. O jogo foi realizado com os
alunos divididos em grupos de 04 ou 05 estudantes. Cada jogador, no seu grupo,
pegava uma carta aleatoriamente que representava a quantidade de bolinhas
contidas nela em uma haste destinada à cor correspondente. Em seguida o próximo
jogador pegava outra carta e representava a quantidade de pontos na haste e o
grupo verificava o que deveria ser feito (qual seria o resultado) e anotava a jogada.
Vencia o grupo que ao final das cartas tivesse o maior número de pontos.
Os alunos jogavam por algum tempo no ábaco e depois a pesquisadora
colocava no quadro algumas das operações realizadas e perguntava a eles qual
seria a resposta. Exemplo: se na haste havia 05 argolas pretas e o aluno tirasse
uma carta com 08 argolas vermelhas, os alunos retiravam as 05 argolas pretas e
53
cinco argolas vermelhas, sobrando apenas 03 argolas vermelhas, já que havia sido
informado que cada argola vermelha anulava uma argola preta. Então, a
pesquisadora representava no quadro, através da linguagem simbólica a situação
descrita [(+5) + (– 8)] e perguntava aos alunos qual era o resultado.
Segundo Avello (2006), após algumas representações no ábaco e no quadro,
os alunos concluíam que estavam somando e subtraindo números relativos. Então a
professora pedia que utilizassem o livro-texto para pesquisar sobre o que haviam
realizado, encontrando assim as regras de sinais e associando estas as situações
do jogo, o que de acordo com a autora, os fazia entender o porquê das regras.
O segundo jogo era constituído de um bingo feito de cartolina plastificada,
cada um contendo questões representando operações de adição e subtração de
números relativos identificadas por cores diferentes, não havendo cartelas com
questões repetidas. As respostas foram confeccionadas também em cartolina, no
formato de retângulo, com cor correspondente a sua questão, sendo que havia
respostas iguais, mas cores diferentes.
A professora “cantava” uma resposta e os alunos deveriam verificar se tinham
a questão que correspondia a ela. Caso a tivessem, deveriam levantar a mão no
tempo estipulado pela professora. Neste jogo também era exigido do aluno o cálculo
mental, já que não podiam usar lápis e papel. Se o grupo errasse deveria retirar um
cartão resposta da cartela ou caso não tivesse nenhum, ficava devendo uma carta
que era cobrada assim que eles fossem contemplados por outra carta. As cartas
retiradas ou “pagas” eram devolvidas para o saco e misturadas às demais. Era
vencedor o grupo que completasse a cartela primeiro. Ao final de uma jogada, os
grupos trocavam de cartela. Segundo Avello (2006), este jogo foi usado para fixar o
conteúdo.
Com este jogo a autora trabalhou as operações de multiplicação, divisão e
também potenciação, separadamente, e por fim foi construído um jogo nos mesmos
moldes, envolvendo todas as operações. Este jogo serviu como referência para a
construção de um dos jogos usados no ensino das operações de multiplicação e
divisão em nosso experimento.
Foram intercaladas aulas com os jogos e com o livro-texto, no intuito de
verificar se o jogo trouxera motivação para a realização de atividades que antes
eram vistas como apáticas.
54
Após a realização dos jogos, a autora aplicou um questionário com perguntas
semi-estruturadas respondidas por uma amostra de 73 alunos dentre os 123 que
participaram da pesquisa. As repostas do questionário foram analisadas nas
seguintes categorias: aprendizagem dos alunos, interesse pela disciplina, efeitos
produzidos nos alunos pelo jogo.
A pesquisadora constatou que na categoria da aprendizagem dos alunos,
94,52% dos alunos afirmaram que o jogo os ajudou. A partir de suas observações,
Avello (2006) pode constatar que: as aulas passaram a ser mais produtivas e os
alunos passaram a realizar os exercícios do livro com mais prazer; os alunos saíram
da apatia, formulando opiniões sobre o que aprenderam;os que conheciam as regras
diziam estar entendendo o porquê delas.
Quanto a categoria interesse pela matemática com aplicação de jogos,
78,08% dos alunos avaliou que houve bastante interesse pelas aulas. Na concepção
da pesquisadora, os alunos gostaram porque as aulas deixaram de ser monótonas e
aprenderam de forma menos dolorosa. A autora também notou que os alunos
passaram a responder as adições e subtrações mais rapidamente e as respostas
eram corretas.
Na categoria efeitos produzidos pelos jogos nos alunos, os resultados
encontrados por Avello (2006) mostraram que 39,44% dos alunos apontavam como
efeito, a facilidade de aprender; 21,13% apontavam o desejo de continuar com jogos
nas aulas de matemática; 12,68% disseram que o jogo tornava o raciocínio mais
rápido; 9,85% consideraram que gerava mais companheirismo; 5,63% disseram que
gerava mais interesse pelas aulas de matemática; 4,22% disseram que gerava
bagunça na sala de aula; 2,82% alegaram que produzia chateação pelos erros; um
aluno não gostou da experiência; para outro o jogo não produziu nenhum efeito
sobre ele e em um último o jogo despertou o interesse de ser vencedor.
Suas observações mostraram,ainda, que com os alunos jogando houve mais
acertos do que erros. Para ela, isto os motivou a aprendizagem.
Observou,também,que o jogo ajudou os alunos a compreender melhor o conteúdo,
proporcionou facilidade de entendimento e mostrou considerável melhora no grau
das avaliações realizadas durante a aplicação dos jogos. O jogo em grupo estimulou
uma maior interação entre colegas, despertou a colaboração e ajuda mútua,
produzindo um melhor entendimento do conteúdo. Por estes motivos, Avello (2006)
55
concluiu que os jogos ajudaram na aprendizagem das operações de adição e
subtração de números inteiros e despertaram o interesse pela matemática.
Outra observação feita pela pesquisadora diz respeito à atividade com o
“ábaco” que teve resultado satisfatório para a adição e subtração, porém, com a
multiplicação e divisão, não surtiu efeito, resultando em confusão por parte dos
alunos. Segundo ela, para estas operações houve explicações mais tradicionais.
Em seu texto a autora também chama atenção para alguns cuidados que
professores precisam ter ao trabalhar com jogos em sala de aula, tais como: planejar
muito bem o conteúdo a ser ensinado relacionando-o ao jogo destinado a isto; ter
cuidado para não perder o domínio da turma e acabar fugindo do objetivo traçado,
uma vez que os alunos ficam ansiosos, eufóricos e criam um clima de competição
porque, em alguns momentos,eles não admitem perder.
O estudo desenvolvido por Soares (2008) pretendia investigar a
potencialidade de se reintroduzir os números inteiros negativos a partir de uma
intervenção de ensino pautada em resolução de problemas, utilizando jogos como
recursos didáticos e, também, verificar a compreensão dos alunos sobre as
operações de adição e subtração com números inteiros negativos a partir do
trabalho já realizado com o livro didático adotado pela escola onde foi realizada a
pesquisa. O autor partiu do seguinte questionamento: qual a contribuição do jogo
para uma aprendizagem significativa da adição e subtração dos números inteiros
positivos e negativos, na perspectiva de resolução de problema?
O autor faz em seu texto uma discussão sobre o estudo de números inteiros
pautado em três pontos de vista: da matemática (discutindo a história e a definição
atual do conceito de números inteiros, apoiado em Caraça(2005)); da escola
(discutindo os PCN de matemática e de dois livros de matemática do 8º ano) e da
pesquisa (através da revisão dos estudos relacionados com os números inteiros).
Também discute as ideias de Jean Piaget sobre jogos e aquisição de conhecimento.
Para alcançar seus objetivos e responder ao questionamento que se propôs,
Soares (2008) realizou uma pesquisa quase-experimental, na perspectiva de
Campbell (1973), utilizando dois grupos experimentais e um de controle. Tendo
como instrumentos diagnósticos um pré-teste e um pós-teste que, segundo o autor,
continham questões equivalentes e com o mesmo grau de dificuldade, e como
experimento uma intervenção de ensino com jogos.
56
Os sujeitos da pesquisa foram 84 alunos de 7º ano do ensino Fundamental,
distribuídos em três turmas com 27 (GE1)14, 29 (GE2)15 e 28 (GC)16, sendo que as
turmas do grupo experimental tiveram intervenção de ensino por meio de jogos
sobre números inteiros e o grupo de controle teve intervenção de ensino com jogos
sobre outros assuntos. Os três grupos realizaram os testes diagnósticos. As turmas
com as quais foi realizada a pesquisa tinham como professor o próprio pesquisador.
A intervenção de ensino era composta por dois jogos denominados: perdas e
ganhos, cujo objetivo era efetuar adições com números negativos e/ou positivos; e
jogo das argolas, cujo objetivo era trabalhar a resolução de adições de números
positivos e negativos com mais de duas parcelas. O autor destaca que tanto os
alunos que participaram da intervenção quanto os que participaram do grupo de
controle já haviam estudado números inteiros por meio de uma abordagem
tradicional (aulas expositivas e resolução de exercícios propostos nos livro didático).
Segundo Soares (2008), os jogos foram desenvolvidos com os alunos em grupos de
quatro estudantes, alterados a cada encontro para estimular a interação entre eles,
sendo que a organização dos grupos foi feita pelos próprios alunos.
O autor analisou os dados de forma quantitativa e qualitativa, usando a
comparação do pré-teste e pós-teste para a primeira e os registros dos alunos
durante a intervenção para a segunda. De acordo com o autor os resultados do pré-
teste apenas confirmaram que os alunos já possuíam conhecimento sobre números
inteiros, como já havia sido dito.
Na análise quantitativa, o pesquisador levou em consideração as respostas
plenamente corretas. Para o pesquisador, o resultado geral da comparação entre
pré-teste e pós-teste mostrou que houve uma diferença nos resultados e essa
diferença, segundo sua análise, indicou avanço com uma evolução de 13,9% no GE,
representando um crescimento de 21,3% em relação ao pré-teste. O GC mostrou
uma evolução de 13,7%, representando um crescimento de 20,3% em relação ao
pré-teste. Embora pequeno, o crescimento do GE foi maior do que do GC.
Soares (2008) informou que o grupo de questão que apresentou a menor
diferença entre o desempenho do GE e do GC foi aquele em que as questões
tinham contexto algorítmico, evidenciando a dificuldade dos alunos em resolver
14
Grupo Experimental 1 15
Grupo Experimental 2 16
Grupo Experimental 3
57
expressões numéricas, especialmente as que apresentavam parênteses. Mesmo
tendo sido elaborado um jogo para se trabalhar esse tipo de questão o desempenho
continuou sendo baixo.
Na avaliação do pesquisador, o jogar e registrar as operações por meio das
expressões numéricas pode não ter sido suficiente para que todos os alunos
compreendessem a resolução das expressões. O que o levou a refletir sobre a
necessidade de que haja em outro momento uma institucionalização mais
direcionada de tal registro.
Os resultados encontrados por Soares (2008) apontam que a intervenção de
ensino proporcionou avanço no desempenho das questões relacionadas a
representação dos números negativos na reta numérica, antes os alunos só
representavam os naturais; os alunos puderam operar adições e subtrações de
inteiros negativos de forma mais concreta e significativa. Houve melhora qualitativa
no uso da linguagem matemática para representar corretamente as operações com
números negativos; os jogos, as problematizações ocorridas e os registros
realizados facilitaram a compreensão das ideias relacionadas com os números
negativos e proporcionou interação, cooperação e respeito as diferentes opiniões.
Em sua concepção o jogo pode sim contribuir para que os alunos aprendam
os números inteiros de forma significativa, haja vista proporcionar a cooperação das
ideias das operações de forma concreta, por meio de inúmeras relações que se
estabelecem entre aluno e jogo, entre alunos e seus colegas e entre alunos e
pesquisador. Segundo Soares(2008, p 140), no jogo cada jogada revela uma nova
situação, uma surpresa, “podemos até formular hipóteses, mas só teremos certeza
no ato de jogar”, o que evidencia a necessidade dos alunos interagirem uns com os
outros tendo a possibilidade de refletir, estabelecer relações e compreender as
ideias matemáticas.
Em Altiparmark e Õzdogan (2010) encontramos um estudo sobre o ensino do
conceito de números negativos, cujo objetivo principal era desenvolver uma
estratégia eficaz para superar conhecidas dificuldades no ensino de números
negativos, tais como: significado do sistema numérico e a direção e multiplicidade do
número; dificuldades no que diz respeito ao significado das operações aritméticas e
a dificuldade relacionada com o significado do sinal de menos. O que para os
autores estão ligados a questão da dificuldade de abstração. Outro objetivo eramedir
58
o sucesso desta estratégia de ensino entre um grupo de nível elementar de
alunos em Izmir, na Turquia.
O estudo focalizou três dimensões na intenção de que os alunos pudessem
ser conduzidos a um estágio que lhes permitisse pensar em termos abstratos, são
elas: o caso negativo; o significado dos cálculos e da reta numérica; e interpretação
e explicação para a aprendizagem significativa dos números negativos.
A estratégia de ensino desenvolvida por Altiparmark e Õzdogan (2010)
referia-se ao ensino por meio da utilização do computador, utilizando animações
preparadas no programa Macromedia Flash, sendo tomados cuidados especiais
para preparar as animações de forma que pudessem chamar a atenção dos alunos.
Os contextos foram organizados de forma a reproduzir situações do mundo real,
assim os autores criaram um laboratório para trazer o mundo exterior para a sala de
aula. Em alguns casos, modelos de chip artificial foram criados em animações, já
que segundo os pesquisadores, alguns casos negativos não podem ser transferidos
para o contexto do mundo real, como é o caso da multiplicação entre dois negativos.
O estudo foi desenvolvido com 150 alunos do 6º grau (no Brasil, 7º ano) de
uma escola primária na cidade de Izmir, na Turquia, onde o ensino de números
inteiros também se inicia no 7º ano. Altiparmark e Õzdogan (2010) trabalharam com
cinco turmas, sendo que 75 alunos pertenciam às três turmas com as quais foi
formado o grupo de controle e 75 alunos pertenciam as outras duas turmas, e foram
incluídas no grupo experimental. Os grupos de estudo foram selecionados de acordo
com seu aproveitamento acadêmico em matemática (Nota 5) no ano anterior.
O grupo de controle recebeu o método de ensino centrado no professor
tradicional que,como informam os autores, é frequentemente usado na Turquia. E o
grupo experimental participou do ensino por meio do programa desenvolvido no
computador. Os pesquisadores usaram como instrumento diagnóstico: um pré-teste
e um pós-teste que continham as mesmas questões.
O trabalho experimental que tratava da intervenção de ensino foi
desenvolvido durante cinco semanas, duas vezes por semana, durante 2 horas/aula
de 45 minutos cada. As turmas, tanto do grupo experimental como de controle,
tiveram como professores os próprios pesquisadores.
De acordo com Altiparmark e Õzdogan (2010), o resultado do pré-teste
mostrou que o grupo experimental e o grupo de controle não apresentavam
diferenças significativas no nível de conhecimento sobre os números negativos em
59
relação as dimensões apontadas pelos autores como as que podem fazer os alunos
alcançar o estágio que lhes permita pensar em termos abstratos (o caso negativo; o
significado dos cálculos e da reta numérica; e interpretação e explicação para a
aprendizagem significativa dos números negativos). Enquanto que, no pós-teste, o
grupo experimental apresentou significativa diferença em relação ao grupo de
controle.
Este resultado os levou a afirmar que a instrução apoiada em animações com
uma base construtivista aplicada ao grupo experimental de estudo produziu
resultados melhores do que o ensino tradicional de números negativos aplicados ao
grupo de controle. Para os autores, o principal motivo por trás das respostas
incorretas fornecidas pelos alunos do grupo de controle era a dificuldade vivenciada
na compreensão dos conceitos relacionados com os números negativos.
Os autores ressaltam que os resultados obtidos reforçam a sugestão de
muitos pesquisadores de que o uso do computador no ensino permite aos alunos
construir sua própria aprendizagem. Segundo eles, a experiência mostrou que
conceitos foram construídos de acordo com contextos do mundo real, permitindo
que os alunos não só compreendessem os conceitos, a solução e os processos
envolvidos em um problema, como também suas explicações, por exemplo, por que
eles precisam resolver esse tipo de problema.
Para Altiparmark e Õzdogan (2010) o modelo matemático nas animações
apresentadas aos alunos pelos professores foram transformados em linguagem
matemática pelos próprios alunos em função de seus conhecimentos anteriores. O
que os levou a crer que uma vez que os alunos concentrem-se na animação de
eventos que encontram em seu ambiente, eles próprios poderiam construir o
conhecimento com sucesso usando a sua experiência anterior. Um ponto importante
que os autores destacaram foi que os próprios alunos perceberam o ato de aprender
seguindo as instruções fornecidas.
Esses resultados os fezafirmar que um método de ensino em que exista uma
relação de causa e efeito entre os conceitos e em que não exista memorização,
pode ajudar os alunos a transformar conceitos abstratos para os concretos. Os
pesquisadores afirmam ainda que as abordagens, visual e construtivista,
representadas com apresentações geométricas dão oportunidade aos alunos de
compreender mais facilmente os conceitos básicos significativos. No entanto,
esclarecem que a estrutura do teste realizado envolvendo o caso negativo, o
60
significado dos cálculos e da reta numérica, a interpretação e explicação, não mede
qualquer tipo de capacidade de memorizar. É um teste em que apenas os alunos
que aprenderam bem os conceitos e chegaram ao nível de análise e síntese
poderão fornecer respostas corretas.
Portanto, ao analisarmos estes estudos pudemos notar que as investigações
de Linardi (1998), Avello (2006) e Soares (2008) possuem em comum o fato de
apresentarem metodologias para o ensino de números inteiros voltadas para a
utilização de jogos. O que recebe respaldo dos PCN que também apontam este
instrumento como uma ferramenta pedagógica para o ensino de matemática, assim
como, a história e as tecnologias.
É consensual a idéia de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática. Dentre elas, destacam-se a História da Matemática, as tecnologias da comunicação e os jogos como recursos que podem fornecer os contextos dos problemas, como também os instrumentos para a construção das estratégias de resolução (BRASIL, 2000, p.42).
Concordamos que esta ferramenta pedagógica, se bem usada, pode produzir
resultados satisfatório no ensino de conteúdos matemáticos que normalmente são
considerados difíceis de serem ensinados ou aprendidos, como é o caso dos
números inteiros, dos números decimais, das áreas de figuras plenas e de tantos
outros conteúdos. Deste modo,em nosso estudo lançamos mão do uso de jogos na
perspectiva de fixação das regras operacionais usadas nas operações com números
inteiros, buscando proporcionar a ancoragem do conteúdo à estrutura cognitiva das
crianças.
Um dado que chamou nossa atenção ao analisarmos esses estudos, foi o fato
das quatro pesquisas realizadas focarem mais especificamente no ensino das
operações de adição e subtração. Apenas os estudos de Linardi (1998) e Avello
(2006) fazem menção ao trabalho com a multiplicação e apenas esta última se
refere à divisão. Todavia, apenas Linardi relata resultado satisfatório, confirmando
que as estruturas multiplicativas são mais difíceis de serem relacionadas a um
modelo concreto do contexto real dos alunos e, consequentemente, mais difíceis de
serem modeladas e compreendidas. Em função desta observação, em nosso estudo
foram elaborados dois jogos para trabalharmos a fixação destas duas operações.
61
O único trabalho, nesta categoria, que não se referiu a metodologia por meio
de jogos foi o de Altiparmark e Õzdogan (2010) que apresentam uma proposta com
o uso de tecnologia, usando um programa computacional para dar vida a situações
reais e imaginárias facilitando o processo de abstração da ideia de números
negativos, o que segundo a história desses números, foi um dos grandes obstáculos
para a sua aceitação pelos vários matemáticos da antiguidade.
Este estudo trouxe contribuições no sentido de afirmar que a relação causa e
efeito provoca resultados satisfatórios se for empregada a um bom modelo de
ensino. Contribuiu, também, no sentido de reafirmar que a tecnologia pode ser uma
ferramenta também potente para a melhoria do processo ensino e aprendizagem
dos números inteiros.
A revisão desses estudos reforçou nossas observações enquanto docente a
respeito das dificuldades que os alunos apresentam para aquisição e domínio das
operações com números inteiros e apontaram para a possibilidade de sucesso do
uso da máquina de calcular e jogos para o ensino dessas operações.
Todavia, para melhor fundamentar nossas ideias e, consequentemente, nossa
pesquisa, na perspectiva da utilização da calculadora e jogos parao ensino e a
aprendizagem das operações com números inteiros, consideramos importante trazer
para compor nosso quadro teórico algumas reflexões mais específicas sobre a
utilização destes recursos em sala de aula, buscando verificar quais são os prós e
contras apontados pela comunidade escolar e pelos pesquisadores em educação
Matemática, a respeito da inserção destes recursos no ensino.
1.3 REFLEXÕES SOBRE O USO DA CALCULADORA E DE JOGOS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Atualmente, observa-se um crescente desinteresse dos alunos pelo que lhes
é ensinado nas escolas, em particular no ensino de Matemática. Despertar nossas
crianças e jovens para a aprendizagem dos conteúdos que nos propomos a ensinar
tem tornado-se um desafio para muitos professores, especialmente no que se refere
à escola pública. A sensação que temos é de que a escola não está conseguindo
cumprir seu papel de proporcionar formação intelectual e social aos estudantes
e,quanto a matemática, parece não está conseguindo cumprir seu papel básico de
62
formar cidadãos capazes de calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar
informações estatísticas e também fazer uso correto das tecnologias.
Por este motivo, educadores e pesquisadores da área de educação
matemática têm buscado discutir alternativas educacionais que visem contribuir para
a melhoria do processo ensino e aprendizagem, levando-se em consideração a
figura do professor e do aluno enquanto sujeitos sócio-culturais, construtores de um
processo educacional que tem a escola como extensão da sociedade. Neste
sentido, trazem para o debate algumas alternativas metodológicas que visão formar
integralmente os alunos, desenvolvendo nele o espírito investigativo, criativo, crítico,
autônomo e social, considerando-o como sujeito ativo no processo de aprendizagem
com capacidade para construir seu próprio conhecimento.
Tais alternativas metodológicas são hoje conhecidas como Tendências em
Educação Matemática por oferecerem a esta disciplina uma nova perspectiva de
ensino. Dentre elas está o ensino por meio da utilização de tecnologias, com
destaque para a calculadora, e o por meio da utilização de jogos, sobre os quais
passaremos a tratar.
1.3.1 A calculadora na sala de aula
A utilização da calculadora como recurso pedagógico em sala de aula é uma
das tendências que vem ganhando força entre os pesquisadores por considerarem
que ela é uma ferramenta potencial para o desenvolvimento do processo ensino e
aprendizagem, podendo oferecer diferentes possibilidades para a construção do
conhecimento.
Em uma de suas palestras,o professor e pesquisador Ubiratan D‟Ambrósio
jáafirmava que o professor deve dar oportunidade do aluno entrar no novo, e o novo
para ele, entre outros, é o uso da máquina de calcular no ensino dos conteúdos
matemáticos (informação verbal17). No entanto, esta é uma questão que ainda não
encontra consenso entre os professores que atuam principalmente nosanos iniciais
do ensino fundamental, conforme revelam algumas pesquisas como as realizadas
por Macrosky (1997), Noronha e Sá (2002), Schiffl (2006) e Selva e Borba (2010),
em diferentes estados brasileiros.
17
Em palestra proferida no X Encontro Nacional de Educação Matemática (X ENEM) em 07 de julho de 2010.
63
Muitos dos professores pesquisados argumentam que a principal justificativa
para ser desfavorável ao uso deste recurso nas aulas de matemática é a
preocupação com o domínio das quatro operações e da tabuada, bem como, a
possível dependência dos alunos a máquina. Na concepção destes docentes o
aluno só poderia fazer uso da máquina de calcular quando já tivesse aprendido os
algoritmos, fosse capaz de desenvolver satisfatoriamente as operações básicas e
tivessem apropriação dos conteúdos ensinados.
Para Selva e Borba (2010) este tipo de concepção está relacionado ao fato de
que uma grande parcela dos educadores ainda concebe a calculadora apenas como
uma ferramenta útil para a realização de cálculos, conferência de resultados e
aplicação dos conhecimentos adquiridos a partir das explicações do professor, não
conseguindo reconhecer que este objeto tecnológico pode contribuir também para o
desenvolvimento conceitual de seus alunos.
Já Mocrosky (1997) considera que esta concepção está relacionada ao fato
dos professores não saberem como promover a ligação dos conteúdos com a
utilização da calculadora, o que acaba por aumentar ainda mais as suas resistências
ao uso desse instrumento em sala de aula. Tal situação poderia ser facilitada se em
suas formações, inicial ou continuada, recebessem orientação adequada para tal
ação. O certo é que “novas concepções de ensinar e aprender têm que ser
apreendidas para que o (a) professor (a) possa utilizar a calculadora de modo
eficiente em sala de aula” (SELVA e BORBA, 2008, p. 11).
Outro fator que também contribui para esta resistência é o juízo que muitos
pais fazem dos professores que utilizam este instrumento tecnológico como recurso
didático. Dados da pesquisa realizada por Noronha e Sá (2002, p. 129) revelam que
para uma grande parcela dos responsáveis, o professor que faz uso da calculadora
em sala de aula,
estaria sendo preguiçoso e não ensinaria a verdadeira matemática;estaria induzindo a mente de meu filho a ser preguiçoso e incapacitado;não passa confiança para ensinar;estaria impedindo o aluno de aprender; a calculadora passa uma imagem de que o professor não é capaz de resolver os cálculos sem a mesma.
Talvez esses pais pensassem deste modo por não terem experimentado em
sua vida escolar o ensino com este tipo de recurso ou por não conhecerem
experiências de sucesso que revelem que se usada no momento certo, a
64
calculadora “poderá tornar-se uma boa ferramenta para treinar o raciocínio lógico e
até agilizar o cálculo mental” como afirmam Noronha e Sá (2002, p. 131). Além de
contribuir na construção de regras, propriedades, conferência de resultados e “na
compreensão do sistema de numeração decimal, na adição, na subtração, na
multiplicação e na divisão dos números naturais e racionais, entre outros conceitos
matemáticos” conforme ressaltam Selva e Borba (2010, p.10).
Em Jucá (2008) encontramos a calculadora sendo utilizada como recurso
para a descoberta das regras gerais usadas na realização das operações com
números decimais.
Segundo a autora, os resultados de seu estudo que investigou a eficácia do
desenvolvimento de um conjunto de atividades com a calculadora (simples) e jogos
no ensino das operações com números decimais, em uma turma de 5ª série18 do
ensino fundamental de uma escola pública estadual em Belém/PA, revelaram que o
uso da calculadora favoreceu a redescoberta de regras operatórias para a resolução
das operações com números decimais, além de ter sido observado percentuais de
acertos elevados na comparação entre um pré-teste e um pós-teste, especialmente
em relação a adição e subtração, inclusive sendo percebida autonomia, por parte de
alguns alunos, para formular as regras a partir da regularidade dos resultados
apresentados pela calculadora.
Outro pesquisador que se utilizou da calculadora em seu estudo foi Melo
(2008) que investigou o uso deste instrumento no ensino de potências e raízes em
uma turma de 20 alunos do 2º ano do Ensino Médio de uma escola pública estadual
do interior de São Paulo. Aqui a calculadora foi usada como facilitadora de cálculos
e como ferramenta que possibilitou as conjecturas sobre os resultados
apresentados.
Uma das constatações de Melo (2008) foi a de que os alunos não sabiam
manusear a calculadora (cientifica) até mesmo para executar as funções mais
simples, apresentando muitas dúvidas. Segundo este pesquisador este fato revela a
falta de utilização das tecnologias no âmbito escolar, “os alunos não tem o hábito de
manusear e trabalhar com estes artefatos, ficando alheios a conhecimentos que as
tecnologias podem proporcionar” (MELO, 2008, p. 95).
18
Atual 6º ano
65
Apesar das dificuldades apresentas pelos alunos quanto ao manuseio da
calculadora na proposta investigativa, o pesquisador afirma que houve evolução na
autonomia e no desempenho dos alunos a medida que avançavam na proposta. O
autor relata que os alunos confessaram nunca ter percebido a relação entre as
potências e as raízes em séries anteriores e que gostaram da forma como o assunto
foi introduzido, usando a calculadora.
Em Selva e Borba (2010) encontramos o relato de um estudo desenvolvido
por essas autoras no ano de 2005 que analisou como crianças da 3ª e 5ª série, hoje
4º e 5º anos, comparavam os resultados de um mesmo problema de divisão com
resto resolvido por meio de diferentes representações. Os alunos realizaram pré-
teste, intervenção e pós-teste para que pudesse ser avaliada a evolução ou não do
desempenho. As pesquisadoras dividiram as crianças em grupos para resolverem os
problemas usando dois tipos de representação: G1 – papel e lápis/calculadora, G2 –
calculadora/papel e lápis e, G3 – manipulativo/papel e lápis.
Os resultados comparativos entre pré-teste e pós-teste revelaram que o
desempenho no pós-teste foi superior ao pré-teste em todos os grupos. Sendo que
na 3ª série o uso da calculadora foi mais efetivo após a resolução no papel do que
antes, na 5ª série não observaram diferença no pós-teste entre G1 e G2 e
constataram que o desempenho mais baixo foi no G3, que não fez uso da
calculadora. Estes dados também revelam que a calculadora pode ser uma grande
aliada para o cálculo mental.
Para as pesquisadoras esses dados enfatizaram a importância do uso de
diferentes representações na resolução de problemas, revelando que o uso da
calculadora pode auxiliar o professor no processo de suscitar nos alunos maior
reflexão sobre números, em particular decimais resultantes de divisão com resto.
Outro estudo que também revelou resultados positivos em relação ao uso da
calculadora em sala de aula foi o realizado por Silva, Silva Pires e Sá (2010), onde
uma calculadora virtual foi usada para trabalhar adição e subtração de frações.
A calculadora a qual nos referimos, trata-se de um software matemático feito
na plataforma Java, formatado para frações, construída pelos professores Pedro
Franco de Sá, Fábio José da Costa Alves e Antônio José Neto, da universidade do
Estado do Pará. Nela são apresentados os números racionais através na forma b
a,
66
onde b ≠0 e a, b є R19, possibilitando o ensino das operações com frações, já que
permiti a representação das frações na sua forma natural.
Os resultados do estudo do experimento desenvolvido com alunos do 6º ano
revelaram que os alunos não tiveram dificuldades para perceber as propriedades
existentes para a adição e para a subtração com denominadores iguais. E que,
apesar das dificuldades encontradas no caso da adição e subtração com
denominadores diferentes, alguns alunos conseguiram descobrir as propriedades.
Reafirmando a concepção de Selva e Borba (2010) de que é perfeitamente possível
usar a calculadora para explorar conceitos matemáticos.
Temos ainda o estudo de Schiffl (2006) que tratou do ensino de juros simples
e composto para alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede
pública de São Paulo. Neste estudo foi usada uma calculadora cientifica, empregada
como ferramenta de cálculo para auxiliar nos cálculos extensos e com números
decimais.
A autora relata que os alunos se sentiram dispostos e motivados para
participar do ensino por meio da calculadora, “por se tratar de uma novidade em sala
de aula, mesmo que para alguns, seu uso fizesse parte de atividades cotidianas”
(SCHIFFL, 2006, p. 90).
Relata ainda, que os alunos mesmo tendo se sentido favorecidos pelo uso da
máquina de calcular reconheceram que “a calculadora é uma ferramenta para
auxiliá-los e não para substituí-los” Schiffl (2006, p.92), o que pôde ser evidenciado
também nas falas dos alunos ao se referiam aos pontos onde a máquina não foi
considerada de grande utilidade: “nas contas fáceis, nos juros simples,
principalmente para quem não sabia fazer a conta e achava que a resposta ia
aparecer na tela da máquina sem fazer cálculos; - Nos problemas mais simples, que
tinha contas mais fáceis que dava para resolver de cabeça” (ibid, p. 93)
Porém, apesar desse reconhecimento, segundo a autora, poucos deles
abriram mão da calculadora nestes casos, e muito menos fizeram estimativas de
resultados, o que algumas vezes ocasionou resultados absurdos que não foram
percebidos pelos alunos, por isso, a autora ressalta que é muito importante que os
19
O modelo da calculadora pode ser visualizado na revista Traços 2009, da Universidade da Amazônia/PA e também em Pires, Sá e Silva (2010) nos Anais do VII Encontro Paraense de Educação Matemática.
67
alunos sejam incentivados e ensinados a usarem o cálculo mental
concomitantemente com o uso da calculadora.
Como se observa, a utilização da calculadora em sala de aula, associada a
situações didáticas bem elaboradas pode produzir resultados bastante positivos para
o ensino de matemática, contribuindo não somente na aprendizagem dos conteúdos,
mas também, para que o aluno possa “sentir-se seguro da própria capacidade de
construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a
perseverança na busca de soluções” (BRASIL, 2000, p. 52).
NoQuadro 4, a seguir,destacamosalgumas das vantagens apontadas pelos
pesquisadores citados sobre o uso da calculadora como recurso didático-
pedagógico em sala de aula.
Quadro4- Vantagens do uso da calculadora em sala de aula
AUTOR CONSIDERAÇÃO
SCHIFFL (2006)
Com a calculadora em mãos, o aluno se sente encorajado a tentar calcular sem restrições. A máquina permite que se faça diversos cálculos com qualquer tipo de número (p. 93)
SELVA e BORBA (2010)
O uso da calculadora motiva e estimula os alunos “criando um ambiente extremamente saudável para reflexões de situações matemáticas que poderiam ser enfadonhas e complicadas se trabalhadas apenas no papel e lápis” (p. 68)
Pode promover uma reorganização da atividade em sala de aula com novos papéis a serem desempenhados por professores e por alunos (p. 46)
Possibilita que regularidades possam ser observadas, contribuindo para a construção conceitual dos estudantes, e que processos de cálculo sejam realizados de forma mais ágil e sem erro (p. 110)
D‟AMBRÓSIO
(apud SCHIFFL)
(2006)
Libera tempo e energia gastos em operações repetitivas; permite a resolução de problemas reais; propicia maior atenção ao significado dos dados e a situação descrita no problema, privilegiando o raciocínio e permite a primazia do raciocínio qualitativo sobre o quantitativo, podendo assim, servir como ponte para o conhecimento da informática e uso da internet (p. 21)
NORONHA E SÁ
(2002)
pode ser utilizada para estimular a aprendizagem, através da redescoberta de regularidades, propriedades e regras tornando assim, um recurso didático (p.130-131)
Fonte:Análise bibliográfica/sistematização
No Quadro 5,a seguir, apresentamos alguns dos desafiospara o uso da
calculadora em sala de aula apontados pelos pesquisadores.
68
Quadro5 - Desafios para o uso da calculadora em sala de aula
AUTOR CONSIDERAÇÃO
SELVA e BORBA
(2010)
Conceber a calculadora como uma ferramenta potencial que pode auxiliá-lo nas atividades de sala de aula, no sentido de proporcionar ricos aprendizados matemáticos a seus alunos (p. 17)
Fazer uso dessas ferramentas de maneira competente, e poderão mudar suas crenças e suas atitudes diante do computador e da calculadora enquanto instrumento de ensino e de aprendizagem (p. 16)
MOCROSKY
(1997)
Para o sucesso do professor nessa nova perspectiva de ensino, será necessário tempo e atenção a produção de materiais didáticos para auxiliar o trabalho docente e discente (p. 27).
Fonte:Análise bibliográfica/sistematização
Em relação aos desafios, consideramos que também é preciso equipar
nossas escolas com esse instrumento tecnológico; conscientizar pais e/ou
responsáveis pelos alunos sobre a importância da utilização da calculadora em sala
de aula e não criar falsas expectativas de que esse recurso será solução para todos
os problemas inerentes a aprendizagem, ela é apenas mais um recurso que se bem
usado poderá contribuir para a melhoria do processo ensino e aprendizagem.
Portanto, são muitas as vantagens que a calculadora pode proporcionar ao
processo ensino e aprendizagem de matemática, e em contrapartida, são também
muitos os desafios que precisam ser enfrentados para que a inclusão deste recurso
em sala de aula possa de fato contribuir para a melhoria deste processo. Todavia,
consideramos que todos os esforços são válidos e compensatórios se levarmos em
conta que “ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a
sua própria produção ou a sua construção” (FREIRE, 1996, p. 47).
1.3.2 O jogo na sala de aula
As atividades lúdicas, em especial o jogo, assumem papel importantíssimo no
ensino de matemática pelo seu caráter desafiador, dinâmico e fictício. Ao jogar a
criança mobiliza diversos sentidos, habilidades e sentimentos que vão contribuir no
processo de aprendizagem intelectual e social da mesma. Grando (2000, p.19)
citando Vygotsyk, diz que “é no jogo e pelo jogo que a criança é capaz de atribuir
aos objetos, mediante sua ação lúdica, significados diferentes; desenvolver a sua
capacidade de percepção do objeto”.
69
Ou seja, ao jogar a criança trabalha com um nível de imaginação que,
balizadas por determinadas regras, lhe possibilita transcender o real, contribuindo
pra que desenvolva sua capacidade de abstração. Esta é uma das razões pela qual
essa atividade torna-se uma ferramenta potencial para o estudo de matemática, haja
vista ser a abstração um elemento essencial para a compreensão e aprendizagem
dos conteúdos que estão inseridos nesta disciplina.
Outra habilidade também desenvolvida na realização de um jogo é a
capacidade de elaborar estratégias. No jogo o jogador precisa verificar e planejar
qual a melhor maneira de agir para apenas permanecer jogando, ou para vencer as
partidas. Na matemática o aluno precisa verificar e planejar quais as possibilidades
para resolver uma determinada situação ou problema matemático que lhes são
apresentados durante as aulas.
Além das habilidades ligadas aos aspectos cognitivos, Lara (2003) e Avello
(2006) apontam que o jogo também pode propiciar o desenvolvimento da
concentração, da curiosidade, da consciência de grupo, da autoconfiança, do
companheirismo, da auto-estima.
Do ponto de vista psicopedagógico, defendido por Macêdo; Petty e Passos
(1997, p. 142), o jogo pode significar para a criança,
[...] uma experiência fundamental, de entrar na intimidade do conhecimento, de construir respostas por meio de um trabalho que integre o lúdico, o simbólico e o operatório. [...] conhecer é um jogo de investigação – por isso de produção de conhecimento – em que se pode ganhar, perder, tentar novamente, ter esperança, sofrer com paixão, conhecer com amor.
Essas habilidades, experiências e sentimentos provenientes do uso do jogo
em sala de aula têm contribuído para o melhoramento do processo ensino e
aprendizagem de conteúdos matemáticos considerados, pelos alunos, difíceis ou
enfadonhos, como é o caso das frações, das expressões numéricas, da resolução
de problemas e mesmo dos números inteiros. Estudos como o de Grando (2000),
Druzian (2006), Menezes (2010), além dos apresentados na subseção anterior, tem
mostrado que o jogo contribui de maneira qualitativa para a compreensão e
apreensão dos conhecimentos que se quer ensinar.
Todavia, é essencial que o professor tenha claro qual é o seu objetivo ao
lançar mão de um determinado jogo, isso porque, segundo Grando (1995, p. 59),
“um mesmo jogo pode ser utilizado, num determinado contexto, como construtor de
70
conceitos e, num outro contexto, como aplicador ou fixador de conceitos”. É o
planejamento didático-pedagógico realizado pelo professor que irá determinar a sua
utilidade.
Neste sentido, esclarecemos que, ao contrário do que se viu na seção
anterior, onde o jogo foi usado na perspectiva de construtor de conceitos,em nosso
experimento o jogo assumiu a conotação de meio para prática e fixação das regras
que os alunos haveriam de construir.Nossa intenção foi que os alunos ao
desenvolverem os jogos pudessem adquirir maior domínio sobre as regras e maior
habilidade para realizar os cálculos com sucesso.
Consideramos que o desenvolvimento de jogos para trabalhar a fixação das
regras torna a atividade mais interessante para os alunos, possibilitando que estes
consolidem e exercitem seus conhecimentos de maneira prazerosa. Essa
consideração é reforçada por Piaget (apud KIMURA, 2005, p. 122) quando afirma
que:
é pelo fato de o jogo ser um meio tão poderoso para a aprendizagem das crianças, que em todo lugar onde se consegue transformar em jogo a iniciativa à leitura, ao cálculo, ou à ortografia, observa-se que as crianças se apaixonam por essas ocupações comumente tidas como maçantes.
Por outro lado, Grando (2004) explica que é preciso considerar também que
quando se trabalha com o jogo no ensino é preciso tomar alguns cuidados, já que
eles podem oferecer vantagens e desvantagens que segundo ela devem ser
refletidas e assumidas pelo professor que se propõe a inserir este método em suas
aulas.
Dentre as vantagens apontadas pela autora, destacamos aquelas que mais
se aproximam de nosso objetivo com a utilização dos jogos, são elas: (re)
significação de conceitos já aprendidos de uma forma motivadora para o aluno;
introdução e desenvolvimento de conceitos de difícil compreensão; aprender a tomar
decisões e saber avaliá-la, ou seja, permite que o aluno adquira autonomia; desperta
interesse no aluno e resgata o prazer em aprender e permitem ao professor
identificar e diagnosticar algumas dificuldades dos alunos.
Destacamos dentre as desvantagens aquelas que devem ser por nós,muito
bem analisadas, a fim de que a inserção do jogo no experimento possacumprir seu
papel, são elas: quando os jogos são mal utilizados, existe o perigo de dar ao jogo
um caráter puramente aleatório, tornando-se um “apêndice” em sala de aula; requer
71
um tempo maior, por isso o professor deve tomar cuidado para não prejudicar outros
conteúdos; a pressão do professor para que o aluno jogue o que provoca a
destruição da voluntariedade pertencente à natureza do jogo.
Portanto verificamos que tanto a calculadora como os jogos têm contribuições
importantes a oferecer ao Ensino de Matemática, todavia é necessário que se tenha
muito claro qual o objetivo que se pretende alcançar com a utilização de cada um
desses recursos para não prejudicar o processo ensino e aprendizagem.
Em nosso estudo esses recursos foram utilizados com o intuito de contribuir
para que o aluno participasse do processo ensino e aprendizagem de forma
significativa, tornando-se parte integrante do processo de construção das regras de
sinais e alcançando domínio sobre as mesmas.
Para que chegássemos a modelação da sequência didática com a qual
trabalhamos, também ouvimos professores de matemática e alunos de algumas
escolas da cidade de Belém, buscando verificar como estava sendo desenvolvida a
prática docente em relação aos números inteiros, em especial as operações, e como
eram avaliadas as dificuldades sentidas pelos alunos no momento da aprendizagem
deste conteúdo. Os resultados destes estudos estão apresentados nos tópicos a
seguir.
1.4 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE NÚMEROS INTEIROS NA VISÃO DE DOCENTES
Apresentamos nestasubseção os resultados da consulta feita a 100 (cem)
professores de matemática de várias escolas da rede pública do Município de
Belém, no Pará, com o objetivo de traçar um diagnóstico a respeito da prática
docente sobre o ensino de números inteiros e também verificarcomo esses
professores avaliavam as dificuldades dos alunos para aprenderem este conteúdo.
A consulta foi realizada durante os meses de janeiro e fevereiro de 2010,
tendo como instrumento de coleta um formulário(cf. apêndice A) contendo 14
perguntas fechadas, referentes ao perfil dos sujeitos, a prática docente em relação
aos números inteiros e a avaliação do grau de dificuldades percebidas pelo
professor em relação a seus alunos quanto ao aprendizado deste conteúdo.
72
Os critérios adotados para a escolha dos sujeitos foi que fossem professores
graduados em matemática e que lecionassem ou já tivessem lecionando no 7º ano
do ensino fundamental.
A sistematização dos dados mostrou que dentre os professores consultados,
58% eram homens e 42% eram mulheres, mostrando predominância de professores
do sexo masculino no ensino desta disciplina. A maior parte deles, 67%, estava na
faixa etária entre 21 e 40 anos e apenas 33% tinham mais de 40 anos, o que revelou
um quadro relativamente jovem de professores atuando em algumas escolas de
Belém.
Todos os professores consultados possuíam graduação em licenciatura em
Matemática, sendo que 56% foram graduados entre 2001 e 2010; 58% estudaram
em universidades públicas; 83% cursaram ou estavam cursando especialização em
Educação Matemática; apenas 3% tinham mestrado e 1% doutorado, o que pode ser
explicado pela dificuldade de acesso a um programa stricto sensuoferecido pelas
instituições públicas de nossa cidade.
Em relação ao tempo de serviço, foi verificado que 33% dos consultados
tinham entre 1 e 5 anos de serviço e 12% tinham menos de 1 ano, revelando um
número considerável de professores com pouca vivência docente. No entanto, a
maioria (40%), tinha de 6 a 20 anos de serviço em sala de aula, o que significa que
tinham experiência suficiente para avaliar as dificuldades dos alunos em relação a
aprendizagem dos números inteiros em sala de aula.
Verificamos, também, que 56% dos docentes trabalhavam apenas em
instituições públicas, enquanto apenas 23% desenvolviam suas atividades somente
em instituições particulares, significando que a maioria dos professores consultados
eraconhecedor da realidade da escola pública na capital paraense, convivendo com
dificuldades como a falta de estrutura e de recursos pedagógicos.
Dentre os 100 docentes consultados, 64% estavam lecionando no 7º ano do
ensino fundamental naquele momento, o que consideramos bastante importante
para a pesquisa, já que permitiu que as informações prestadas sobre o ensino e a
aprendizagem de números inteiros fossem bem mais precisas.
No que se refere a formação inicial para atuar no ensino de números inteiros
em sala de aula, observamos que os professores, em sua maioria (52%), informaram
nunca ter cursado nenhuma disciplina que tratasse com destaque deste assunto,
enquanto que 44% informaram ter cursado disciplinas que tratavam sobre o ensino
73
deste conteúdo.Porém apenas 29 destes conseguiram dizer quais foram as
disciplinas que contribuíram para sua formação em relação a este conteúdo,
apontando: teoria dos números, fundamentos da matemática, história da matemática
e cálculo I.
Quando a questão era a formação continuada, os dados revelam que a
maioria dos professores consultados (67%) nunca participou de cursos ou eventos
que abordasse o ensino de números inteiros e apenas 30% disseram ter participado
de algum desses momentos de formação, citando cursos de especialização em
educação matemática, congressos, encontros de educação matemática e palestras
como espaços para enriquecimento sobre este saber e aperfeiçoamento de suas
práticas.
Constatamos, também, que 54% dos professores costumavam fazer uso de
situações contextualizadas quando ensinavam números inteiros; 36% usavam
apenas às vezes e 10% não costumavam usar este tipo de estratégia para o ensino
deste conteúdo. No entanto, não foi possível saber em que momento os professores
que responderam “sim” ou “às vezes”, costumavam usar desta estratégia, haja vista,
não termos incluído no questionário nenhuma pergunta que nos remetesse a essa
resposta.
Com relação a prática dos professores no ensino de números inteiros, o
gráfico abaixo mostra como os professores costumavam introduzir o conteúdo.
Gráfico1- Métodos usados para introdução dos conteúdos sobre números inteiros
Fonte: Pesquisa de campo realizada (jan e fev/2010)
43% 46%
3% 5% 3%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
métodos
pela definição seguida de exemplos e exercício
por uma situação problema
com um experimento
com uma situação modelo
com jogos
74
Constatamos,ao analisar o gráfico 1, que existia uma boa parcela dos
professores (57%) que fazia uso de metodologias diversificadas para introduzir os
assuntos contidos no conteúdo de números inteiros, com destaque para a utilização
de situações problemas (46%).Enquanto 43% ainda introduziam o assunto de
formatradicional, centrada em aulas expositivas, com apresentação das definições,
seguidas de exemplificação e resolução de exercícios. Dentre eles estavam três dos
seis professores da escola onde foi desenvolvida nossa pesquisa.
Outro questionamento que fizemos diz respeito aos recursos para a fixação
do conteúdo. Nossa intenção era verificar quais recursos pedagógicos estavam
sendo mais utilizados por estes docentes no momento de ajudar na apreensão dos
conhecimentos e nodesenvolvimento das habilidadesdos alunos em relação aos
númerosinteiros. O gráfico abaixo traduz as respostas obtidas.
Gráfico 2- Recursos usados pelos professores na fixação dos conteúdos
Fonte:Pesquisa de campo realizada (jan e fev/2010)
Podemos verificar que os recursos mais utilizados pela maioria dos
professores ainda eram o livro didático e/ou a lista de exercícios, usados por 70%
dos consultados, dentre eles estavamcinco dos seis professores da escola local da
pesquisa. Enquanto outros recursos como jogos e pesquisa em outras fontes, eram
usados apenas por 30% deles.
Segundo Soares (2008, p. 39), os livros didáticos não são recursos
adequados para trabalhar a apreensão dos conteúdos, pois,
28%
9%
28%
1%
14%
4% 5%1%
10%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Recursos
Lista de Exercício
Jogos
Livros Didático
pesquisar em outras fontes
Lista e livro
lista e jogos
Livro e jogos
livros e outras fontes
mais de dois destes recursos
75
evidenciam sempre o mesmo tipo de exercício, com o mesmo procedimento de resolução. Há pouco espaço para o aluno pensar e refletir sobre o que é para fazer e como deve ser feito. As situações geralmente exigem pouca leitura e interpretação.
Para nós, estes dados revelaram contradição entre a metodologia usada para
ensinar o conteúdo e as atividades para fixação deste, visto que, no primeiro
momento os professores, em sua maioria, disseram utilizar-se de recursos que de
certa forma buscam romper com a maneira tradicional de ensinar,
masacabamretornando ao tradicionalismo no momento de exercitar os
conhecimentos adquiridos.
Compreendemos que a utilização de recursos e estratégias
diversificadasexigemum esforço muito maior por parte dos professores que
precisam,dentre outras coisas, estar bem formadospara saber como usar, com
criatividade,os recursos pedagógicos disponíveis relacionando-os de maneira
adequada aos conteúdos que se quer ensinar.Todavia o cruzamento destes dados
com o perfil destes profissionais revela que se tratavam de professores que, em sua
maioria, tinham pouca formação inicial e/ou continuada para atuar no ensino deste
conteúdo de maneira diferenciada.
Pesquisas têm mostrado que alguns professores reconhecem que precisam
mudar sua prática, mas muitas vezes não sabem como fazê-lo, ou sentem-se
sozinhos neste desafio, como fica evidenciado no depoimento de um dos sujeitos da
pesquisa realizada por Fiorentini e Nacarato:
Gostaria que pudesse ter um lugar ou alguém que pudesse mostrar caminhos alternativos para melhorar a minha aula e que também pudesse me animar quando tudo parecesse que perde a importância, o valor, a necessidade. Tem momentos, no dia-a-dia da sala de aula, que estou sozinha, lutando para meus alunos gostarem e aprenderam matemática. Muitos artigos ou livros discutem assuntos que parecem ser baseados em alunos perfeitos, ideais e ficam distantes da realidade do adolescente de minha escola. Sugiro que montem grupos de estudo com os professores que estão na sala de aula do ensino fundamental ou médio, mas que de alguma forma que a secretaria de educação apóie e custeie (FIORENTINI e NACARATO, 2005, p. 104)
Para Mizukami e Reali (2002), muitos docentes vivem hoje um conflito entre o
que é, o que quer ser e o que consegue ser, fruto da cobrança que faz de si mesmo
e das cobranças impostas pela sociedade atual que espera que a escola além de
desenvolver no aluno novos saberes e competências, também desenvolva “sujeitos
capazes de promover continuamente seu próprio aprendizado” (FIORENTINI
76
eNACARATO, 2005, p. 89). Desta forma, segundo estes autores, os saberes e os
processos de ensinar e aprender tradicionalmente desenvolvidos pela escola se
mostram cada vez mais obsoletos e desinteressantes para o aluno.
Neste sentido, entendemos que é essencial que os docentes recebam
formação inicial e continuada adequada para atuarem em sala de aula visando
contribuir para que as dificuldades encontradas no momento de conduzir os alunos
ao aprendizado, sejam melhor resolvidas.
Em se tratando das dificuldades para o aprendizado, pedimos aos
professores que considerando suas experiências profissionais no ensino de números
inteiros apontassem o grau de dificuldades que percebiam nos alunos para o
aprendizado de cada tópico contido no conteúdo de números inteiros, nossa
intenção era verificar como os professores avaliavam as dificuldades sentidas pelos
alunos em relação a aprendizagem deste conteúdo, dando destaque principalmente
às operações.
Quadro 6– Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores (continua)
Nº Assunto
Grau de dificuldade para os alunos aprenderem
Muito Fácil Fácil Regular Difícil
Muito Difícil
Não Informou
01 Idéia de número negativo 3% 43% 41% 11% 2% - 02 Representação de número positivo 15% 69% 16% 0% 0% - 03 Representação de número negativo 8% 50% 31% 11% 0% - 04 Idéia de número simétrico 4% 48% 36% 8% 0% 4% 05 Localização dos números positivos na reta 7% 54% 33% 4% 2% - 06 Localização dos números negativos na reta 4% 39% 42% 12% 3% - 07 Módulo de um número negativo 5% 36% 43% 13% 3%
08 Comparação de números positivos 10% 50% 35% 4% 1% - 09 Comparação de números negativos 2% 24% 48% 21% 5% - 10 Comparação de nº negativo com positivo 4% 29% 39% 21% 5% - 11 Adição de números com o mesmo sinal 8% 45% 34% 12% 1% - 12 Adição de números com sinais diferentes 2% 12% 43% 37% 6% - 13 Adição de simétricos 4% 31% 45% 18% 2% - 14 Subtração de números com o mesmo sinal 3% 26% 42% 26% 3% - 15 Subtração de números com sinais diferentes 3% 13% 45% 34% 5% - 16 Subtração de números simétricos 4% 19% 48% 27% 2% - 17 Multiplicação de dois nºs com sinais
diferentes 3% 20% 50% 24% 3% - 18 Multiplicação de dois nºs com sinais iguais 5% 29% 47% 12% 5% 2% 19 Divisão de dois nºs com sinais diferentes 3% 16% 48% 27% 4% 2%
77
Quadro 6 – Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores (conclusão) 20 Divisão de dois nºs com sinais iguais 4% 26% 49% 18% 3% - 21 Potenciação de expoente par 3% 29% 50% 15% 3% - 22 Potenciação de expoente impar 3% 18% 49% 26% 4% - 23 Potenciação de expoente negativo 1% 9% 33% 46% 11% - 24 Expressões com adição e subtração em Z 1% 20% 48% 25% 6% - 25 Expressões com adição, subtração e
multiplicação em Z 0% 19% 35% 40% 6% - 26 Expressões com adição, subtração e divisão
em Z 0% 14% 34% 41% 10% - 27 Expressões com adição, subtração e
potenciação de Z 0% 12% 25% 46% 17% - Fonte: Salgado e Sá (2010)
Constatamos que os itens 01, 02, 03, 04, 05, 08, que tratavam,
respectivamente, da ideia de números negativos, representação de números
negativos e positivos, ideia de números simétricos, localização na reta numérica e
comparação de números inteiros positivos (tópicos mais relacionados às noções
teóricas sobre números inteiros) e o item 11, que tratava da operação de adição
onde os números têm o mesmo sinal, foram considerados pelos docentes como
conteúdos mais fáceis de serem aprendidos, ou seja, com pouca ou nenhuma
dificuldade de aprendizagem para os alunos.
O que contrasta, de certa forma, com os resultados obtidos por Nascimento
(2001) e Gonçalves (2005) que mostraram a dificuldade das crianças em representar
os números inteiros e operar corretamente com as adições quando estão envolvidos
dois negativos.
Para alguns autores, entre eles Gonzáles et al (1990), o grande obstáculo dos
estudantes para a compreensão dos números inteiros está relacionado exatamente
a falta de compreensão sobre a ideia do que seja um número negativo, já que
segundo ele, somos acostumados a identificar os números com quantidades e,
abstrair a ideia de uma quantidade negativa é bem difícil, especialmente para as
crianças. Altiparmark e Õzdogan (2010) também concordam que uma das
dificuldades das crianças pode estar relacionada a questão do significado que é
atribuído ao número negativo, devido a falta de amadurecimento que estas tem para
a abstração. Este, talvez, seja um dos problemas que levam as crianças a cometer
erros no momento de operar com os números inteiros, o que mereceu nossa
atenção no momento de desenvolvimento de nosso experimento.
78
Já os itens 06, 07, 09 e 10 que também estavam relacionados mais a noção
conceitual envolvendo principalmente os números negativos foram considerados
pela maioria dos professores como regular, obtendo respectivamente os
percentuais, 42%, 43%, 48% e 39%.
Quanto às operações a avaliação dos professores foi que os casos de adição
com sinais diferentes e simétricos, todos os casos de subtração, multiplicação
edivisão, os casos onde a potenciação possuía expoentes positivos par e impar e as
expressões numéricas envolvendo adição e subtração com inteiros ofereceriam aos
alunos uma dificuldade de nível médio.
Observamos no caso da adição e subtração, uma divergência entre a opinião
dos professores por nós ouvidos e os resultados encontrados nos estudos
apresentados na subseção anterior, especialmente em relação aos estudos de
Nascimento (2001), Gonçalves (2007), e Soares (2008), onde é mostrado
claramente que as crianças apresentavam diversas dificuldades para operar com
números inteiros. Soares (2008, p. 17) relatam que:
[...] quando (os alunos) eram requisitados a operar com a subtração e, mais ainda, a trabalhar conjuntamente com a adição e a subtração no conjunto dos inteiros envolvendo os números negativos, o fracasso era evidente.
Ostópicosmais considerados pelos professores como difíceis de serem
aprendidos foram os que constavam no item 23, que tratava da potenciação com
expoente negativo (46%) e nos itens 25, 26 e 27 que tratavam, respectivamente, da
resolução de expressões numéricas que envolvem adição, subtração e multiplicação
(40%); adição, subtração e divisão (41%); e adição, subtração e potenciação (46%).
Neste ponto concordamos com esses professores, uma vez que nossa experiência
docente tem mostrado que quando as operações estão relacionadas em uma
mesma questão os alunos sentem-se confusos em relação as regras de sinais e
acabam por errá-las. Além desta questão, existe ainda uma dificuldade própria da
resolução de expressões que diz respeito a ordem de resolução imposta pelos sinais
de pontuação e pela própria “hierarquização” das operações.
Assim, verificamos que em geral os docentes consideram que a
aprendizagem dos números inteiros não representa dificuldade para os alunos, o
que contrasta com o que é apontado na literatura revisada, cujos autores
reconhecem os números inteiros como um conteúdo que apresenta muitas
79
dificuldades de aprendizado que acabam por conduzir os alunos ao insucesso,
especialmente no que se refere às operações.
Nossa experiência nos levou a concordar com esses pesquisadores, haja
vista, termos observado que quando se trata do estudo das operações com este
grupo numérico, especialmente em nível fundamental, os alunos têm apresentado
dificuldades para realizar com sucesso as operações. Dificuldades essas que estão
muitas vezes ligadas à falta de domínio das regras operatórias usadas na resolução
das questões, as quais costumam ser apresentadas prontas pelo professor para que
os alunos as decorre.Por este motivo optamos por trabalhar essas regras de forma
que os alunos pudessem construí-las e ao construí-las pudessem exercer sobre elas
um maior domínio.
O instrumento pedagógico escolhido para proporcionar a construção dessas
regras foi a calculadora, por entendermos que é uma ferramenta que se bem usada
pode ser bastante útil na construção de conceitos, regras e propriedades, mas que
ainda é pouco explorada em sala de aula na direção da construção do saber, haja
vista, existir resistência por parte de muitos professores que ainda a vêem como um
mero instrumento de cálculo, que não estimula o raciocínio, como mostrado
anteriormente.
Partindo desta concepção perguntamos aos professores se eles já haviam
usado a calculadora para ensinar as operações com números inteiros.As respostas
mostraram que a maioria deles (54% professores) disse já terfeito uso desta
ferramenta na perspectiva do ensino de inteiros, enquadrando-se nesta categoria
dois dos cinco professores da escola onde foi realizada a pesquisa. Enquanto 46%
confessaram nunca ter feito uso desta ferramenta para ensinar este assunto.
Verificamos que a maioria (32% entre os 46%) destes professores tinhampelo
menos especialização em Educação Matemática, mas nunca tinham participado de
cursos ou eventos que tratasse do ensino de inteiros e possuíam até 5 (cinco) anos
de atuação em sala de aula.Ou seja, provavelmente estavam cientes das discussões
sobre as tendências de ensino apontadas pela Educação Matemática, dentre elas, o
uso das tecnologias, que também é recomendado pelos PCN, mas que talvez pela
pouca experiência de sala de aula e por não saber como usá-la para o ensino deste
conteúdo, tenham preferido não lançar mão deste recurso.
80
A seguir, apresentaremos a visão dos alunos em relação ao processo ensino
e aprendizagem dos números inteiros, buscando verificar em que se assemelham ou
se distanciam da visão dos professores.
1.5 O ENSINO E A APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS INTEIROS NA VISÃO DEDISCENTES
Com o objetivo de traçar um diagnóstico a respeito das dificuldades dos
alunos em relação a aprendizagem dos números inteiros, principalmente, em relação
as operações, realizamos uma consulta a 100 (cem) discentes que já haviam
cursado o 7º ano do Ensino Fundamental.
A consulta foi realizada por meio de um formulário (cf. apêndice B) contendo
questões sobre o perfil dos alunos e sobre a forma como foi desenvolvido o
conteúdo de números inteiros por seus professores; um quadro sobre o grau de
dificuldades sentidas pelos alunos para o aprendizado de números inteiros e
questões sobre as operações com números inteiros, com o objetivo de verificar qual
o nível de domínio dos alunos sobre essas operações.
O instrumento de pesquisa foi aplicado a100 (cem) alunos do 8º ano do
ensino fundamental na mesma escola da rede pública estadual, na qual foi
desenvolvido o experimento. A Escola fica localizada no Município de Belém, no
Estado do Pará e a consulta foi realizada durante o mês de abril de 2011, sendo
aplicado em sala de aula, contando com a participação de três turmas; uma do turno
da manhã e duas do turno da tarde. O único critério adotado para a seleção dos
sujeitos foi que já tivessem estudado os números inteiros.
Quisemos realizar esta consulta na escola escolhida para a realização do
experimento por dois motivos: foi a escola que teve a participação de todos os
professores de matemática na pesquisa apresentada anteriormente e porque
pretendíamos usar os resultados dessa pesquisa como referênciapara nossas
análises a priori e a posteriori.
Os dados revelaram que entre os consultados, 58% eram meninas e 42%
eram meninos, sendo que 83% estavam na faixa etária entre 11 e 14 anos e 17% na
faixa etária entre 15 e 17 anos. A maioria (70%) tinha como responsável o pai e a
mãe, os quais, em sua maioria, possuíam como escolaridade máxima o ensino
médio. Apenas 9% dos pais e 31% das mães não possuíam emprego fixo. O que
81
indicava que a maioria dos alunos tinha pelo menos um dos responsáveis cuidando
de sua subsistência. 63% dos alunos haviam cursado o 7º ano na escola pesquisada
e 32% em outras escolas públicas de Belém. O que poderá nos dar uma ideia mais
precisa de como o ensino de números inteiros costuma ser desenvolvido nesta
escola.
No que se refere aossentimentos dos alunos pela matemática, constatamos
que 60% dos alunos gostavam desta disciplina um pouco (47% dos alunos) ou muito
(13% dos alunos); enquanto 35% não gostavam nenhum pouco (18% dos alunos) ou
bem pouco (17% dos alunos), o restante (5%) não emitiu opinião. Porém, notamos
que apesar de gostarem da disciplina, a maioria dos alunos (80%) declarou que
tinham dificuldades para aprender matemática, contra apenas 17% que disseram
não ter dificuldades. Verificamos, também, que 77% dos alunos nunca havia
repetido o 7º anos ou ficando em dependência na disciplina de matemática, nesta
série de ensino. Enquanto 23% já havia repetido ou ficado em dependência, o que
pode justificar os 17% de alunos entre 15 e 17 anos cursando o 8º ano.
Quando perguntamos aos alunos sobre a frequência com que costumavam
estudar fora da escola verificamos que poucos alunoscostumavam dedicar tempo ao
estudo desta disciplina, já que 71% dos estudantes declararam que só costumam
estudar, fora da escola, no período de provas (53% destes) ou mesmo, na véspera
da prova (18% deles); enquanto apenas 3% declararam estudar todos os dias; os
demais dizem estudar dois dias (8 alunos), três dias (7 alunos), quatro dias (2
alunos) e ainda, 8% disseram não estudar fora da escola nem na véspera da prova.
O que pode ser um agravantepara as dificuldades sentidas no aprendizado da
matemática, pois sabemos que apenas as horas de aula ministradas em sala não
são suficientes para a apreensão dos conhecimentos.É necessário, também,
dedicação por parte dos alunos.
No que diz respeito ao ensino de números inteiros, 68% dos alunos
declararam que seus professores no 7º ano costumavam desenvolver o conteúdo
por meio de aulas expositivas, começando com a apresentaçãoda definição, seguida
de exemplos e exercícios; 10% disseram que as aulas eram desenvolvidas
começando com um experimento para chegar ao conceito; 11% disseram que os
professores começavam com uma situação problema para depois introduzir o
assunto; 6% informaram que as aulas começavam com um jogos para depois
sistematizar os conceitos e 5% não responderam.
82
Quando a questão era a metodologia usada para fixar o conteúdo, a maioria
absoluta, 95% dos alunos, declarou que seus professores usavam a tradicional lista
de exercícios e/ou pediam que os alunos resolvessem os exercícios contidos no livro
didático; enquanto apenas 5% usava outro tipo de metodologia (como jogos e
pesquisas em outras fontes).
Esses resultados eram de se esperar já que a maior parte desses alunos
estudava na escola onde a maioria dos professores costumava usar como
metodologia as aulas expositivas para introduzir o assunto e uso de listas de
exercícios e resolução dos exercícios do livro didático para a fixação do conteúdo,
conforme apresentado na subseção anterior.
Quando perguntamos aos alunos se a calculadora alguma vez tinha sido
utilizadapara ensinar as regras de sinais usadas nas operações com inteiros, 86%
delesresponderam que seus professores nunca fizeram usodeste instrumento nesta
perspectiva e apenas 16% disseram que sim.O que é compreensivo já que apenas
dois dos cinco professores de matemática desta escola disseram já ter usado este
instrumento para o ensino das operações com inteiros.
Perguntamos, também, aos alunos se eles entendiam o assunto da forma
como o professor ensinava e os resultados mostraram que 65% declararam
entender; 32% declararam não entender e 3% não responderam a pergunta.
Também procuramos saber que tipo de operação básica envolvendo números
inteiros os alunos tinham mais facilidade para resolver e os resultados foram: adição
(37% dos alunos), multiplicação (32% dos alunos), divisão (17%) e potenciação
(14% dos alunos). Essasinformações foram importantes no momento de pensar e
estruturar nossa sequência de ensino, especialmente no momento da escolha dos
jogos que seriam usados.
Depois de verificarmos o perfil dos alunos e como foi desenvolvido com eles o
conteúdo foco de nosso estudo, passamos a verificar como os alunos avaliavam
suas dificuldades para aprender cada tópico contido no conteúdo de números
inteiros. A tabela apresentada aos alunos para classificação do grau de dificuldades
era a mesma apresentada aos professores, sendo que, com os alunos, nós fizemos
a leitura de um por um dos tópicos dando um exemplo do que se tratava. Os
resultados encontram-se sistematizados no quadro a seguir:
83
Quadro 7– Avaliação quanto ao grau de dificuldade de aprendizado dos números inteiros, segundo os discentes
Nº Assunto
Grau de dificuldade para os alunos aprenderem
Muito Fácil Fácil Regular Difícil
Muito Difícil
Não respondeu
01 Idéia de número negativo 17% 29% 40% 6% 3% 5%
02 Representação de número positivo 16% 33% 30% 16% 5% -
03 Representação de número negativo 11% 36% 29% 18% 4% 2%
04 Idéia de número simétrico 11% 14% 41% 24% 5% 5%
05 Localização dos números positivos na reta 12% 17% 34% 27% 5% 5%
06 Localização dos números negativos na reta 6% 22% 35% 27% 6% 4%
07 Módulo de um número negativo 8% 11% 26% 43% 7% 5%
08 Comparação de números positivos 14% 23% 28% 29% 6% -
09 Comparação de números negativos 14% 20% 30% 29% 7% -
10 Comparação de nº negativo com positivo 11% 24% 37% 21% 7% -
11 Adição de números com o mesmo sinal 18% 26% 34% 13% 7% 2%
12 Adição de números com sinais diferentes 13% 26% 33% 16% 9% 3%
13 Adição de simétricos 7% 24% 31% 26% 12% -
14 Multiplicação de dois números com sinais iguais 7% 31% 35% 22% 5% -
15 Multiplicação de dois números com sinais diferentes 8% 18% 35% 27% 10% 2%
16 Multiplicação de um número inteiro por zero 16% 35% 22% 18% 9% -
17 Divisão de dois números com sinais diferentes 8% 23% 36% 21% 12% -
18 Divisão de dois números com sinais iguais 8% 23% 37% 27% 5% -
19 Divisão de zero por um número inteiro 10% 36% 26% 21% 7%
20 Potenciação de expoente par 9% 30% 23% 31% 7% -
21 Potenciação de expoente impar 6% 27% 35% 24% 6% 2%
25 Potenciação com expoente nulo 15% 26% 30% 21% 8%
22 Potenciação de expoente negativo 10% 16% 39% 28% 2% 5%
23 Expressões com adição e subtração de números relativos 7% 18% 42% 21% 11% -
24 Expressões com adição, subtração e multiplicação de números relativos 10% 18% 40% 22% 10% -
25 Expressões com adição, subtração e divisão de números relativos 11% 20% 31% 26% 12% -
26 Expressões com adição, subtração e potenciação de números relativos 10% 11% 27% 34% 18% -
Fonte: Salgado e Sá (2011)
Pudemos verificar quepara um número significativo dos alunos aprender
números inteiros era uma tarefa fácil ou se mantinha dentro dos limites razoáveis de
dificuldade, ou seja, nem tão fácil, nem tão difícil. Confirmando a avaliação feita
pelos professores.
84
Os tópicos mais apontados pelos alunos como de difícil aprendizagem
referiam-se ao módulo de um número negativo; comparação de números negativos;
adição de simétricos;multiplicação entre dois números com sinais diferentes;
expressões com adição, subtração e divisão de números inteiros, e expressões com
adição, subtração potenciação de inteiros. Observamos que esses tópicos, a
exceção das expressões, são diferentes dos apontados pelos professores como
aqueles consideradosdifíceis de serem aprendidos. Sendo os dois primeiros
relacionados às noções sobre números inteiros e os demais relacionados às
operações básicas. Curioso é que a adição e a multiplicação são as duas operações
indicadas pelos alunos como aquelas que eles sentem mais facilidade para resolver,
conforme verificado anteriormente.
Buscamos,então, comparara avaliação feita pelos docentes e discentes com o
desempenho destes últimos na resolução das operações (dados organizados no
quadro síntese abaixo), tentando identificar o nível de domínio dos alunos em
relação às operações, já que, em suas avaliações e na dos professores o
aprendizado do conteúdo de números inteiros não implicaria em dificuldades
relevantes.
Quadro8–Comparação entre a avaliação dos docentes e discentes sobre as dificuldades e o desempenho dos alunos no teste. (continua)
Nº
Questão
Grau de dificuldade declarado pelos
docentes
Grau de dificuldade declarado pelos
discentes
Resultados do teste
Acertos Erros Não fez
OPERAÇÃO ADIÇÃO
01 +4+9 Fácil Fácil 62% 32% 6%
02 -4-8 Fácil Fácil 15% 71% 14%
03 -7-2 Fácil Fácil 19% 69% 12%
04 15-7 Regular Fácil 69% 22% 9%
05 -6+3 Regular Fácil 21% 66% 13%
06 -4+12 Regular Fácil 17% 70% 13%
07 +5-7 Regular Fácil 25% 65% 10%
08 -13+14 Regular Fácil 17% 77% 6%
09 -26+26 Regular Difícil 28% 52% 20%
10 +5-5 Regular Difícil 44% 42% 14%
OPERAÇÃO MULTIPLICAÇÃO
11 (+4)x(+5) Regular Fácil 38% 37% 25%
12 (-2)x(-7) Regular Fácil 26% 39% 35%
13 (-10)x(-3) Regular Fácil 31% 41% 28%
14 (-1)x(-1) Regular Fácil 31% 36% 33%
15 (+5)x(-3) Regular Difícil 27% 40% 33%
85
Quadro 8 - relação da avaliação dos docentes e discentes sobre as dificuldades e o desempenho dos alunos nas operações
(conclusão)
16 (-4)x(+6) Regular Difícil 22% 43% 35%
17 6x(-1) Regular Difícil 15% 51% 34%
18 0x(+6) - Fácil 16% 48% 36%
19 0x(-5) - Fácil 12% 52% 36%
20 (-9)x0 - Fácil 12% 52% 36%
OPERAÇÃO DIVISÃO
21 (+8) ÷ (+4) Regular Regular 35% 33% 32%
22 (-16) ÷ (-2) Regular Regular 23% 32% 45%
23 (-10) ÷ (-2) Regular Regular 20% 38% 42%
24 (-12)÷(-1) Regular Regular 27% 33% 40%
25 (-16) ÷ (-4) Regular Regular 19% 40% 41%
26 (-14) ÷7 Regular Regular 24% 34% 42%
27 (+9) ÷ (-3) Regular Regular 43% 24% 33%
28 (-1)÷(+1) Regular Regular 28% 28% 44%
29 0÷ (+6) - Fácil 15% 45% 40%
30 0÷ (-8) - Fácil 12% 48% 40%
OPERAÇÃO POTENCIAÇÃO
31 (+4)² Regular Fácil 9% 61% 31%
32 (-3)² Regular Fácil 3% 64% 33%
33 (+5)² Regular Fácil 9% 53% 38%
34 (+3)³ Regular Regular 10% 10% 80%
35 (-2)5 Regular Regular 8% 57% 35%
36 (-2)³ Regular Regular 15% 49% 36%
37 (+7)0 - Fácil 7% 57% 36%
38 (-6)0 - Fácil 8% 55% 37%
39 (2)1 Difícil Regular 1% 53% 46%
40 (3)2 Difícil Regular 1% 54% 45%
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
41 (3-5)+(-2-4) Regular Regular 5% 51% 44%
42 (-2)x[(-3)- (-2)] Difícil Regular 1% 42% 57%
43 (-3+9-4)² Difícil Difícil 6% 39% 55%
44 [(-2)x(-3)+ (+10):(-5)] Difícil Difícil 0% 38% 62%
45 (-4-6) + (-3)³ Difícil Difícil 1% 41% 58%
46 {(-18)+[(-2)³ x(+8-5)]:(-6)} Difícil Difícil 0% 32% 68% Fonte:Salgado e Sá (2010, 2011)
A análise global do quadro revelou que o desempenho dos alunos foi muito
aquém do que foi considerado por eles e pelos professores nas avaliações, sendo
registrado um percentual muito alto de erros e questõesnão resolvidas em todas as
operações, o que nos levou a inferir que, na verdade, aprender números inteiros não
parece ser uma tarefa fácil ou de média complexidade para a maioria dos alunos,
como afirmado pelos docentes e pelos próprios discentes consultados.
86
Ao realizarmos as análises de cada operação constatamos queem relação à
adição os alunos tiveram bom desempenho apenas nos casos em que os dois
números eram positivos ou o primeiro era positivo e o segundo negativo -
representações semelhante a usada na adiçãoquando efetuada no campo dos
números naturais -o que podiaindicar que os alunospossuíam domínio desta
operação apenas neste campo numérico, já que o percentual de acertos nos demais
casos foi bastante baixo.Deixando evidente que para esses alunos resolver adição
com números inteiros, especialmente quando estão envolvidos valores negativos,
implicou em grandes dificuldades, contrariando a avaliação feita por eles mesmos e
pelos professores.
Em relação à operação de multiplicação observamosque enquanto os
professoresavaliaram-naintegralmente como de média complexidade, os alunos a
classificaram em dois grupos: fácil, para os casos em que a multiplicação era entre
dois valorespositivos,dois valoresnegativos ou envolvendo o zero; e, difícil,para o
caso em que a operação era entre um valor negativo e um positivo.
Ao verificarmos o resultado do teste para esta operação,notamos que os
alunos não tiveram rendimento satisfatório em nenhum dos casos, uma vez que a
soma do percentual de erros e de questões não resolvidas superou em muito o
percentual de acertos. Sendo observado que a maior incidência de erro foi referente
a tabuada. Contudo, o que mais chamou nossa atenção foi o percentual de alunos
que erraram as multiplicações por zero. Observamos que muitos deles efetuaram a
multiplicação, admitindo o zero como o elemento neutro na multiplicação.
Isoda e Olfos ao tratarem do ensino de multiplicação de números naturais,
esclarecem que,
as crianças tem dificuldades para a compreensão da multiplicação quando um dos fatores é 0, geralmente por não poder sentir a necessidade de aumentar a operação. Mesmo quando observam o Procedimento Operatório com os números, tem possibilidade de ter dificuldades ao responder, como por exemplo erroneamente “3x0 = 3”, apesar de que eles conhecem situações na vida cotidiana onde o produto é 0 (2001, p. 194, tradução nossa).
Em outras palavras, as crianças entendem a multiplicação como o aumentar
de um valor, talvez por isso insistam em dar como produto um valor diferente de
zero.Em nosso entendimento, se é difícil para as crianças compreenderem este tipo
de operação no campo dos naturais,será ainda mais difícil para elas
compreenderem como isto se processa no campo dos inteiros, uma vez
queprecisarão multiplicar ozero por um número menor do que ele (negativo).
87
No que se refere à divisão, observamos que professores e alunos tiveram
amesma avaliação.Consideram que se tratava de uma operação que ofereceria um
grau médio de dificuldade para o aprendizado, no entanto, menos de 30% dos
alunos consegui resolver as questões com sucesso, a exceção das questões
referentes aos itens 21 e 27, que tinham representação semelhante a utilizada na
divisão com inteiros.Foi observado, ainda, que a maior incidência de erros
estavamprincipalmente relacionados a indicação do sinal do valor do quociente e ao
pouco domínio da tabuada de divisão, o que era de se esperar já que apenas 17%
dos alunos apontaram esta operação como aquela que eles teriam mais facilidade
para resolver. Foi também verificado que os alunos também consideraram o zero
como elemento neutro da divisão.
Quanto à potenciação constatamos que professores e alunos tinham
consenso apenas em relação ao caso em que o expoente é impar, avaliando-o como
sendo de dificuldade média, no entanto o que se observou foi que um número
bastante elevado de alunos errou ou não conseguiu resolver as questões. O que já
era de se esperar se considerarmos que esta foi a operação apontada pelos alunos
como aquela que eles tinham menos facilidade para resolver.
Segundo Paias (2009, p. 201) o aluno erra potenciações deste tipo porque
“não considera a definição e as regras de sinais, pouco se lembram ou afirmam
regras que são sistematizadas, criando uma grande confusão [...]”. Esta situação
talvez ocorra em função da forma como as regras são ensinadas, na maioria das
vezes são apresentadas já sistematizadas, prontas para que o aluno as decore. Esta
foi uma das razõesque nos levou a trabalhar de forma que os alunos pudessem
construí-las,por conseguintepartimos da hipótese de que ao construir as regras os
alunos darão a elas outro significado e terão mais facilidade em assimilá-las.
O último bloco de questões se referia as expressões, que por sinal foi o único
em que a avaliação docente e discente foi compatível com o desempenho dos
alunos, sendo registrados os menores percentuais de acertos,confirmando que
realmente era difícil para os alunos realizar esses cálculos com sucesso.Em nosso
entendimento esse resultado era compreensível, já que na resolução de expressões
o aluno se depara com mais de uma operação e acaba por confundir-se, como
explicamos na subseção anterior.
Portanto, o estudo revelou a existência de contradição entre a avaliação feita
pelos docentes e discentes e o desempenho destes últimos na resolução das
88
operações com este grupo numérico, sendo observado que na maior parte dos
casos efetuar com sucesso as operações no campo dos inteiros foi difícil para a
maioria dos alunos.
Consideramos que um dos obstáculosque podem ter tido interferência na
aprendizagem desses estudantes, foi o que Brousseau (2008, p. 51) denomina como
obstáculos didáticos e queJucá explica como sendo “aqueles que parecem depender
da escolha metodológica ou de um projeto do sistema educativo”, ou seja, aqueles
que dizem respeito a formar de ensinar.
Como pudemos verificar a metodologia de ensino escolhida por quase 70%
dos professores destes estudantesna condução do conteúdo foio desenvolvimento
de aulas expositivas, com apresentação das definições, seguidas de exemplos e
exercícios; reproduzindo um modelo em que o professor é quem detém o
conhecimento e o aluno é apenas o receptor das construções epistêmicas deste
sujeito, tendo pouca ou nenhuma chance de participar efetivamente da construção
do conhecimento.Além do mais, este tipo de metodologia tem se revelado pouco
interessante para os estudantes, especialmente nos últimos anos do ensino
fundamental, o que muitas vezes tem efeito negativo sobre a aprendizagem.
Entendemos que hoje é preciso que o professor procure inserir em sua prática
docente, metodologia que visem favorecer as interações aluno-professor, aluno-
aluno, aluno-saber, buscando criar condições para que a aprendizagem aconteça.
Por este motivo procuramos nos apoiar nasideias de Guy Brousseau sobre a teoria
das situações didática, cuja proposta é a possibilidade de uma construção que
permita a compreensão das interações sociais desenvolvidas em sala de aula, entre
alunos, professores e conhecimentos matemáticos, reconhecendo que estas
acabam condicionando o que se aprende e a forma como se aprende.
A seguir apresentamos a sequência didática construída e a respectiva análise
a priori que fizemos sobre ela.
89
2 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI
Nesta seção, nosso objetivo é apresentar a sequência didática referente ao
ensino e aprendizagem das operações com números inteiros, construída a partir das
análises preliminares apresentadas na seção anterior, e a respectiva análise a priori
sobre ela.Enfatizamos quea construção desta sequência fundamenta-sena teoria
das situações didáticas elaborada por Guy Brousseau, para quem o conhecimento é
produzido a partir da busca de respostas para situações propostas. De acordo com
Almouloud (2007, p. 32) esta teoria apóia-se em três hipóteses, que são:
a) O aluno aprende adaptando-se a um meio. “O saber produzido a partir
desta adaptação seria manifestado pelas respostas novas, as quais se
constituem nas provas da aprendizagem”
b) O meio não munido de intenções didáticas, ou seja, um meio adidático,
não é suficiente para permitir a aquisição de conhecimento matemático
pelo aluno. Por isso, para que haja uma intencionalidade didática, o
professor deve “criar e organizar um meio no qual serão desenvolvidas as
situações suscetíveis de provocar essa aprendizagem”
c) Este meio e essas situações devem incluir de forma intensa os saberes
matemáticos envolvidos no processo de ensino e aprendizagem.
Partindo desta concepção, construímos a sequência didática que
foidesenvolvida em sala de aula, estando estacomposta de 17 sessões20 contendo
24 (vinte e quatro) atividades e 05 (cinco) testes de diagnóstico. Tais atividades e
testes foramconcebidas por nós como o meio com o qual os alunos deveriam
interagir e no qual seriam desenvolvidas as situações a que se referiuAlmouloud
(2007). Nossa expectativa eraque a sequência permitisseque o aluno, à medida que
fosse interagindo com este meio, adquirisse conhecimentos a cerca da construção
dos algoritmos quelhes possibilitaria resolver com sucesso as operações básicas
quando estivessem envolvidos números inteiros. Em nosso entendimento
esseprocesso mobilizaria a capacidade cognitiva dos alunos, enquanto o valorizaria
como sujeito ativo no processo ensino e aprendizagem.
Naelaboração da sequência foram consideradas as análises preliminares que
nos conduziram a escolha de nossas primeiras variáveis de comando, as variáveis
20
De acordo com Pais (2008) as sessões são aulas planejadas e analisadas previamente com o intuído de observar situações de aprendizagem.
90
globais, que Artigue (1996, p. 202) define como sendo aquelas que dizem respeito à
organização global da engenharia. Assim, as variáveis por nós escolhidas foram:
1- Abordagem do conteúdo por meio de atividades mediadas porinstrumento
tecnológico.
2- Abordagem da fixação do conteúdo por meio de atividades lúdicas.
3- Exploração do trabalho em grupo.
4- Monitoramento gradativo do desempenho dos alunos.
A referida sequência foi construída de forma a possibilitar que os alunos
pudessemtrabalhar sem a interferência direta do professor, que atuaria com a tarefa
de criar condições para que o aluno fosse o principal ator da construção de seus
conhecimentos. Assim, pretendíamos que eles mesmosbuscassemencontrar as
respostas para os problemasque foram elaborados de modo a fazê-los agir, falar,
refletir e evoluir por conta própria, a fim de adquirir novos conhecimentos,
configurando-se assim, como uma situação adidática, entendida por Brousseau
(1996, p. 49), como sendo aquela em que:
o aluno sabe perfeitamente que o problema foi escolhido para o levar a adquirir conhecimento novo, mas tem de saber igualmente que este conhecimento é inteiramente justificado pela lógica interna da situação e que pode construí-lo sem fazer apelo a razões didáticas.
Entretanto,durante o processo de ensino e aprendizagem a ser
desenvolvimento por meio da sequência didática, em alguns
momentosprecisamosinterferir, agindo como mediador entre os alunos e o
conhecimento que pretendíamos ver surgir. Assim, apoiados em Freitas (2008)
podemos considerar que neste momento foi evidenciadauma situação didática,uma
vez queficou caracterizada aintenção do professor de orientação do aluno para a
aprendizagem do conteúdo proposto.
Almouloud (2007, p.34)reforça esta ideia ao dizer que a situação didática se
caracteriza pelo jogo de interações do aluno com os problemas que são colocados
pelo professor, sendo a forma de propor os problemas ao aluno, chamada de
devolução, que por sua vez tem como objetivo provocar interações suficientemente
ricas e que permitam que o aluno desenvolva-se de forma autônoma.Assim sendo,
podemos facilmente concordar com a afirmar de Freitas (2008, p.85) de que “toda
situação adidática é um tipo de situação didática”.
91
A partir deste contexto, elaboramos as atividades que compuseramnossa
sequência didáticabaseando-nosnas atividades propostas por Sá (2009), que afirma
que omodelo adotado “possibilita ao aluno, principalmente, o desenvolvimento das
habilidades de observação, levantamento de dados, análise e conclusão, entre
outros” (SÁ, 2009, p.24).
No desenvolvimento das atividades os alunos trabalharam em grupos de no
máximo 04 (quatro) estudantes21 e usaramcomo recursos pedagógicos a
calculadora(cf. figura 1), que funcionou como o instrumento de obtenção dos
resultados,que esperávamos, fossem observados pelos discentespara o
descobrimento das regras de sinais usadas no cálculo dessas operações,e jogos (cf.
Apêndices D, E, F, G, I, J, K, M e O), que funcionou como estratégia para aprática e
assimilaçãodas regras descobertas.
As atividades e testes diagnósticosforam desenvolvidos com alunos do 7º ano
do Ensino fundamental, que supúnhamos, não teriam passado ainda pelo ensino
das operações com números inteiros ecoordenadas pela professora-pesquisadora
que assumiu a turma durante o desenvolvimento destas.Cada uma das atividades
elaboradas estavam planejadas para ser desenvolvida em no máximo 45 minutos
correspondendo a 1 hora/aula, estando inseridos neste processo o momento da
institucionalização do saber, sobre a qual falaremos mais adiante.
Frente ao exposto realizamos a análise a priori das atividades e testes
diagnósticos contidos na sequência didática apoiados na concepção de Artigue
(1996, p. 205) de que a análise a priori é concebida com “o objetivo de determinar de
que forma permitem as escolhas efetuadas controlar os comportamentos dos alunos
e o sentido desses comportamentos. Para isso fundamenta-se em hipóteses”.
Deste modo, foi possível prevermos as possíveis soluções para as questões
propostas em cada atividade; as dificuldades que os alunos poderiam enfrentar na
resolução de cada atividade e os comportamentos esperados em relação aos
alunos. Neste sentido, as variáveis locais em nossa seqüência se referem a escolha
das atividades para abordar e fixar o conteúdo, a escolha dos recursos pedagógico,
à organização dos alunos na realização das atividades, ao acompanhamento
sistemático da evolução do desempenho dos alunos e ao tempo necessário para o
desenvolvimento das atividades.
21
Apenas os testes-diagnóstico serão realizados individualmente
92
Apresentamos a seguir as sessões de ensino, com a exposição do objetivo
para cada uma delas, para cada atividade e para cada teste-diagnóstico contidos em
cada sessão, bem como a análise a prioride cadaatividade e de cada teste.
2.1 SESSÃO 1: CONSTRUINDO CONHECIMENTO SOBRE OS SUJEITOS DA PESQUISA
Com o objetivo de produzir informações sobre o perfil pessoal e estudantil dos
alunos produzimos um formulário(cf. Apêndice C) que seria aplicado antes de
iniciarmos as sessões de ensino. Tal formulário continha questões referentes a
idade, sexo, informações sobre os pais ou responsáveis, condição estudantil;
interesse, dificuldades e nível de dedicação ao estudo da matemática e questões
referentes a utilização da calculadora e jogos por seus professores.
O referido formulário também continha um teste elaborado com o objetivo de
produzir informações que permitissem realizar comparações entre o desempenho
dos discentes na resolução de questões de adição, multiplicação, divisão e
potenciação com números inteiros antes e depois da realização das atividades. O
primeiro momento de resolução das questões foidenominado de pré-teste e o
segundo momento, de pós-teste.
Em virtude dos pré e pós-testes terem exatamente as mesmas questões, a
análisea prioride ambos foirealizadano mesmo instante. O tempo estimado para a
aplicação de cada teste seria de uma hora/aula que correspondia a 45 minutos.
a) Pré-teste e pós-teste geral
Para a análise destes testes optamos em organizar as
questõesemblocosobedecendo as características das mesmas. Por este motivo, a
ordem das questõesaqui apresentada, não corresponde àordem em que estavam
dispostas nostestes.
BLOCO 01: ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS
Este bloco objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
corretamente a soma entre dois inteiros de parcelas positivas, antes e depois do
desenvolvimento da sequência de ensino.
Efetue as operações abaixo: 1) 4 + 9 =
93
Análise a priori da questão no pré-teste: avaliávamos que os alunos conseguiriam
resolver corretamente a questão mobilizando para isto seus conhecimentos sobre
números naturais, já que,a questão apresentava a mesma estrutura observada na
resolução de adição com números naturais.
Análise a priori da questão no pós-teste: baseados nos resultados do teste
aplicado aos discentes que já cursaram o 7º ano, na avaliação feita pela maioria dos
docentes, de que é fácil para os alunos aprender a adição com números de sinais
iguais e na revisão dos estudos sobre números inteiros (apresentados na seção 1),
supúnhamos que o desempenho dos alunos seria bastante satisfatório. Nosso
entendimento seria de que eles conseguiriam aplicar corretamente a regra para este
tipo de questão, obtendo o resultado exato.
BLOCO 02: ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS
Este bloco de questões objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
corretamente as somas de parcelas negativas, antes e depois do desenvolvimento
da sequência de ensino.
2) - 4 - 8= 3) -7 - 2=
Análise a priori das questões no pré-teste: considerando que, talvez, os alunos
ainda não tivessem conhecimento sobre este tipo de operação.Julgávamos que eles
não conseguiriam resolver corretamente as questões, confundindo o sinal
representativo de número negativo com o sinal da operação de subtração. Assim,
efetuariam a subtração ao invés da adição. Considerávamos, também, que em
função do suposto desconhecimento do assunto, alguns alunos nem tentariam
resolver essas questões.
Análise a priori das questões no pós-teste: ainda baseados nos estudos
mencionados acima, julgávamos que a maioria dos alunos teria bom desempenho
na resolução destas questões, de tal forma que conseguiriam aplicar corretamente a
regra para estas questões, obtendo o resultado esperados.
BLOCO 03: ADIÇÃO ENTRE UM INTEIRO POSITIVO E UM NEGATIVO
Objetivávamos comeste bloco de questões, verificarse os alunos
conseguiriam calcular corretamente as somas com uma parcela positiva e uma
negativa, antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.
4) 15 – 7= 5) +5 – 7=
94
Análise a priori das questões no pré-teste: em função das questões
apresentarem a mesma estrutura observada na resolução de subtrações com
números naturais supúnhamos que os alunos conseguiriam efetuar corretamente a
questão (4), mas não teriam sucesso na questão (5), porque não indicariam o sinal
correto, dando como resposta um valor positivo.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que a maioria dos
alunos aplicaria corretamente a regra para este tipo de questão, obtendo o resultado
exato. Quanto aos demais, julgávamos que talvez ainda cometessem o equivoco de
indicar o sinal errado, especialmente em relação a questão (5), uma vez que,
segundo a avaliação dos docentes consultados, durante as análises prévias este
caso da adição ofereceria um pouco mais de dificuldade de aprendizagem aos
alunos.
BLOCO 4: ADIÇÃO ENTRE UM INTEIRO NEGATIVO E UM POSITIVO
Neste bloco de questões objetivávamos verificarse os alunos conseguiriam
calcular corretamente as somas com a primeira parcela negativa e a segunda
positiva, antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.
6) - 6 + 3= 7) -13 + 14= 8) - 4 + 12=
Análise a priori das questões no pré-teste: considerávamos que pelo mesmo
motivo exposto no bloco 2, muitos dos alunos não tentariam resolver as questões.
Os que tentassem não conseguiriam efetuar corretamente a operação, realizando
uma adição ao invés da subtração dos módulos, já que poderiam considerar o sinal
indicativo do valor positivo como sinal indicativo da adição.
Análise a priori da questão no pós-teste: supúnhamos que a maioria dos alunos
conseguiria aplicar corretamente a regra para este tipo de questão, encontrando os
resultados esperado. Os demais talvez ainda sentissem dificuldades pela resistência
natural ao número negativo.
BLOCO 5: ADIÇÃO ENTRE NÚMEROS SIMÉTRICOS
Nosso objetivo neste bloco de questões foi verificar se os alunos
conseguiriam calcular corretamente as somas quando os números fossem opostos,
antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.
95
9) -26 + 26 = 10) +5 -5=
Análise a priori das questões no pré-teste: nossa hipótese era de que os alunos
não conseguiriam efetuar corretamente a questão (9), devido o sinal indicado entre
os números possibilitar que eles o interpretasse como uma adição. Já em relação a
questão (10), julgávamos que os estudantes a resolveriam corretamente mobilizando
seus conhecimentos sobre subtração de números naturais.
Análise a priori das questões no pós-teste: julgávamos que o desempenho dos
alunos seria bastante satisfatório neste caso da adição, uma vez que
considerávamos que a regra para este tipo de questão seria aquela que os discentes
teriam mais facilidade para aprender. Baseamos nossa hipótese na avaliação feita
pela maioria dos docentes de que aprender este tipo de adição oferece para os
alunos um grau de dificuldade que varia de razoável a fácil.
BLOCO 6: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS POSITIVOS
Este bloco objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
corretamente o produto com os dois fatores positivos, antes e depois do
desenvolvimento da sequência de ensino.
11) (+4) x (+5)=
Análise a priori da questão no pré-teste: avaliávamos que os alunos conseguiriam
resolver esta questão mobilizando seus conhecimentos sobre multiplicação de
números naturais, por ela se assemelhar às questões trabalhadas na multiplicação
de números naturais, obtendo deste modo, resultados corretos.
Análise a priori da questão no pós-teste: julgávamos que os alunos conseguiriam
aplicar corretamente a regra para este caso da multiplicação, obtendo resultados
exatos.
BLOCO 7: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS NEGATIVOS
Este bloco de questões objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
corretamente os produtos com os dois fatores negativos, antes e depois do
desenvolvimento da sequência de ensino.
12) (-2) x (- 7)= 13) (-10) x (- 3) = 14) (- 1) x (-1)=
96
Análise a priori das questões no pré-teste: devido supormos que os alunos ainda
não teriam estudado sobre multiplicação com números inteiros julgávamos que
vários deles não tentariam resolver as questões e aqueles que tentassem, ou
efetuariam as multiplicações ignorando que se tratava de valores negativos,
chegando desta forma a resultados corretos, uma vez que neste caso os produtos
são todos positivos; ou cometeriam o equivoco de ignorar o sinal multiplicativo,
efetuando a subtração quando o primeiro fator fosse maior ou igual ao segundo
fator.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que a maioria dos
alunos conseguiria aplicar corretamente a regra para este caso da multiplicação,
obtendo os resultados esperados. Os demais talvez cometessem erro em relação ao
domínio da tabuada.
BLOCO 8: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS DE VALORES
DIFERENTES
Este bloco de questões objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
corretamente os produtos com um fator positivo e outro negativo e vice-versa, antes
e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.
15) (+5) x (- 3) = 16) (- 4) x (+6)= 17) 6 x (-1) =
Análise a priori das questões no pré-teste: pressupúnhamos que os alunos, em
sua maioria, não tentariam calcular os produtos e os que tentassem, provavelmente
executariam uma das seguintes ações: iriam ignorar os sinais indicativos do valor
negativo e efetuariam a multiplicação encontrando um valor positivo ou iriam ignorar
o sinal multiplicativo e efetuariam a operação referente ao sinal indicativo da
segunda parcela.
Análise a priori das questões no pós-teste: supúnhamos que os alunos, em sua
maioria, aplicariam corretamente a regra estudada para este caso da multiplicação,
obtendo os resultados esperados. Entretanto era possível que alguns deles ainda
cometessem o equivoco de apresentar como solução um produto de valor positivo
no lugar do negativo. Baseamos nossa suposição na avaliação feita pelos docentes
ouvidos na seção 1, que apontam que esse caso da multiplicação oferece um pouco
mais de dificuldades para a aprendizagem.
97
BLOCO 9: MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POR ZERO
Este bloco de questões objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
corretamente os produtos quando um dos fatores fosse zero, antes e depois do
desenvolvimento da sequência de ensino.
18) 0 x (+6) = 19) 0 x (-5)= 20) (- 9) x 0=
Análise a priori das questões no pré-teste: baseados no resultado do teste
aplicado aos discentes egressos do 7º ano e na suposição de que os alunos,
sujeitos da pesquisa desconheceriam essa forma de representação da multiplicação
por zero, julgávamos que muitos deles não tentariam efetuar a operação e aqueles
que tentassem não conseguiriam efetuar corretamente as multiplicações, incorrendo
no erro de considerar o zero como o elemento neutro desta operação.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que poucos alunos
talvez não tivessem bom desempenho na resolução destas questões, cometendo
ainda o equivoco de considerar o zero como o elemento neutro da multiplicação.
BLOCO 10: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS POSITIVOS
Este bloco de questões objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
corretamente o quociente quando divisor e dividendo fossem valores positivos, antes
e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.
21) (+8) ÷ (+4)=
Análise a priori da questão no pré-teste: em função da semelhança que esta
questão tem com as questões de divisão com números naturais, pressupúnhamos
que os alunos conseguiriam efetuar corretamente a operação, mobilizando para isso,
seus conhecimentos sobre divisão neste campo numérico. O erro que poderia
ocorrer seria referente ao não domínio da tabuada.
Análise a priori da questão no pós-teste: os alunos conseguiriam aplicar
corretamente a regra para este caso da divisão, obtendo o resultado esperados. O
erro que poderia ser cometido seria também relacionado ao não domínio da
tabuada.
98
BLOCO 11: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS NEGATIVOS
Neste bloco de questõestínhamos como objetivoverificar se os alunos
conseguiriam calcular os quocientes corretamente quando divisor e dividendo
fossem negativos, antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.
22) (-10) ÷ (-2)= 23) (-12) ÷ (-1)= 24) (-16) ÷ (- 4)=
Análise a priori: nossa hipótese era de que boa parte dos alunos não tentaria
resolver essas questões por talvez não saberem ainda como fazê-lo e aqueles que
tentasse iriam ignorar o sinal indicativo do valor negativo, o que poderá levá-los ao
resultado correto, já que neste caso os quocientes são sempre positivos; ou
cometeriam o equivoco de ignorar o sinal de divisão e efetuar a subtração.
Análise a priori das questões no pós-teste: julgávamos que a maioria dos alunos
teria bom desempenho, conseguindo aplicar corretamente a regra e chegando ao
resultado esperado.
BLOCO 12: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS DE VALORES
DIFERENTES
Este bloco de questões objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
os quocientes corretamente quando o dividendo fosse positivo e o divisor negativo e
vice-versa, antes e depois do desenvolvimento da sequência de ensino.
25) (+9) ÷ (-3)= 26) (- 16) ÷ (+2)= 27) (-14) ÷ 7= 28) (-1) ÷ (+1) =
Análise a priori das questões no pré-teste: supúnhamos que grande parte dos
alunos também não tentaria calcular essas divisões. Aqueles que tentassem talvez
conseguissem efetuar a divisão, mas cometeriam erro relacionado ao emprego do
sinal; ou iriam ignorar o sinal indicativo da divisão, incorrendo no erro de considerar
que deveriam efetuar a operação que estivesse indicada pelo sinal do divisor.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que os alunos, em
sua maioria, conseguiriam aplicar corretamente a regra operacional, obtendo o
resultado esperado. Quanto aos demais, julgamos que o erro que poderiam ainda
cometer estaria relacionado ao correto emprego do sinal, manifestando resistências
ao número negativo por talvez não estarem totalmente familiarizados com eles.
99
BLOCO 13: DIVISÃO DE ZERO POR UM NÚMERO INTEIRO
Este bloco objetivava verificar se os alunos conseguiriam calcular
corretamente os quocientes quando dividendo fosse zero, antes e depois do
desenvolvimento da sequência de ensino.
29) 0 ÷(+ 6)= 30) 0 ÷ (- 8)=
Análisea priori das questões no pré-teste: pelo mesmo motivo apontado no bloco
9, que tratou da multiplicação, considerávamos que seria possível que muitos alunos
não resolvessem essas questões e aqueles que tentassem acabariam por cometer o
equívoco de considerar o zero como o elemento neutro da operação.
Análise a priori das questões no pós-teste: supúnhamos que os alunos
apresentariam bom desempenho na resolução desta questão, revelando facilidade
em aplicar a regra corretamente.
BLOCO 14: POTENCIAÇÃO DE BASE POSITIVA E EXPOENTE PAR
O objetivo deste bloco de questões foi verificar se os alunos conseguiriam
calcular corretamente as potências quando a base fosse um valor positivo e o
expoente fosse um número par.
31) (+4)²= 32) (+5)² =
Análise a priori das questões no pré-teste: supúnhamos que os alunos tentariam
resolver essas questões mobilizando seus conhecimentos sobre potenciação de
números naturais, uma vez que pressupúnhamos que eles ainda não teriam
conhecimento sobre este assunto. No entanto, era possível que cometessem erro
relacionado à falta de domínio da tabuada de multiplicação e também relacionado ao
equivoco de multiplicar a base pelo expoente, como foi observado na análise dos
resultados do teste aplicado aos alunos egressos do 7º ano.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que os alunos, em
sua maioria, conseguiriam calcular corretamente as potências. Quanto aos demais,
era possível que ainda cometessem erro também referente à falta de domínio da
tabuada.
100
BLOCO 15: POTENCIAÇÃO DE BASE NEGATIVA E EXPOENTE PAR
O objetivo deste bloco de questões foi verificar se os alunos conseguiriam
calcular corretamente as potências quando a base fosse um valor negativo e o
expoente, um número par.
33) (-3)²=
34) (-2) 4 =
Análise a priori das questões no pré-teste: pelo mesmo motivo exposto no bloco
anterior, julgávamos que poucos alunos tentariam calcular essas potências. Aqueles
que tentassem provavelmente efetuariam o cálculo ignorando o sinal representativo
do valor negativo agindo com se estivessem trabalhando com números naturais,
desta forma poderiam chegar ao resultado correto, já que neste caso, a potência
também é sempre positiva.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que a maioria dos
alunos conseguiria aplicar corretamente a regra para este caso de potenciação
chegando com sucesso ao resultado esperado. Julgávamos, também, que em
função do trabalho que seria realizado com o desenvolvimento das atividades, os
equívocos referentes ao conceito seriam menores.
BLOCO 16: POTENCIAÇÃO DE BASE POSITIVA E EXPOENTE IMPAR
O objetivo deste bloco de questões foi verificar se os alunos conseguiriam
calcular corretamente as potências quando a base for um valor positivo e o expoente
for um número impar.
35) (+3)³=
36) (+1) 5 =
Análise a priori das questões no pré-teste: supúnhamos que os alunos também
tentariam resolver essas questões mobilizando seus conhecimentos sobre
potenciação com números naturais, o que poderá conduzi-los ao resultado correto,
uma vez que neste caso a potência também seria positiva. Podendo ocorrer erro
referente à tabuada e ao equivoco de multiplicar a base pelo expoente.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que devido ao
trabalho que seria realizado com o desenvolvimento das atividades, os alunos em
sua maioria conseguiriam aplicar corretamente a regra, obtendo os resultados
desejados. O erro que poderia ocorrer seria referente ao não domínio da tabuada.
101
BLOCO 17: POTENCIAÇÃO DE BASE NEGATIVA E EXPOENTE IMPAR
Nosso objetivo com este bloco de questões foi verificar se os alunos
conseguiriam calcular corretamente as potências quando a base fosse um valor
negativo e o expoente, um número impar.
37) (- 2) 5 = 38) (- 2)³=
Análise a priori das questões no pré-teste: supúnhamos que a maior parte dos
alunos não resolveriam as questões, devido ao fato de talvez não terem
conhecimento ainda sobre potenciação com números negativos. Aqueles que
tentassem resolvê-las cometeriam um, ou os dois equívocos seguintes: 1)
multiplicarão a base pelo expoente e 2) dar como solução um valor positivo quando
deveria ser negativo.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que os alunos em
sua maioria, conseguiriam usar corretamente a regra e chegariam ao resultado
esperado.
BLOCO 18: POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE NULO
Nosso objetivo com este bloco de questões foi verificar se os discentes
conseguiriam calcular corretamente as potências quando o expoente fosse zero.
39) (+7) 0 =
40) (- 6) 0 =
Análise a priori das questões no pré-teste: para resolver essas questões os
alunos deveriam utilizar a mesma propriedade usada no cálculo de potências de
números naturais com expoente nulo, que diz que todo número elevado a zero é 1
(um). Entretanto julgávamos que talvez a maior parte dos estudantes não
conseguiria mobilizar este conhecimento e acabaria cometendo o equívoco de
multiplicar a base pelo expoente, encontrando como resposta o valor zero.
Análise a priori das questões no pós-teste: considerávamos que poucos alunos
não conseguiriam aplicar corretamente a regra para este caso da potenciação,
incorrendo ainda no erro de considerar que a potência um valor nulo.
102
2.2 SESSÃO 2: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃO DE NÚMEROS COM SINAIS IGUAIS
O objetivo desta sessão seria que ao trabalhar em grupo, por meio de
atividade com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos:interagir com seus
pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades sobre
adição com números inteiros de sinais iguais; enunciar a regra para este caso da
adição e apresentar conclusões sobre suasobservações.
Para realizar a atividade, os grupos deveriamobter os resultadosda adição por
meio da calculadorae registra os resultados na folha de atividade ao lado de sua
questão correspondente. Então, a partir de suas observações sobre os resultados
fornecidos pela calculadoraos grupos deveriam responder aos questionamentos
propostos, enunciando e redigindo a regrapara estes casos da adição. Em seguida
cada grupo iria até o quadrosocializar as suas conclusões a respeito da regra.
Após a socialização das conclusões a professora-pesquisadora entraria em
cena promovendo a institucionalização do saber,que é, segundo Almouloud (2007,
p. 40), o momento em que se opera a passagem do conhecimento individual,
particular, para o coletivo, oficializado como saber que deve ser incorporado aos
esquemas mentais de todo o grupo, podendo ser utilizado em outros problemas
matemáticos. De acordo com Freitas (2008), a partir deste momento anula-se a
situação adidática, pois o controle sobre o saber volta para o professor.
Portanto, seria o momento em que a pesquisadora dialogaria com os grupos a
respeito de suas conclusões buscando construir a partir delas, a regra que faria
parte do domínio da turma. Ao final da atividade os alunos receberiam uma ficha de
avaliação (cf. Apêndice Q) para expressar suas opiniões sobre a aula do dia.
Esclarecemos que estes seriam os procedimentos adotados para todas as
atividades, em cada sessão.
A calculadora que seria utilizada por todos os grupos na realização das
atividades era igual ao modelo apresentado abaixo:
103
Fotografia 1-Calculadorausada na realização das atividades
Devido considerarmos a necessidade de estabelecer um momento de diálogo
com os alunos a respeito dos objetivos da pesquisa e da metodologia que seria
aplicada, buscando construir o contrato didático que iria orientar nosso trabalho em
sala de aula, supúnhamos que não haveria tempo suficiente para o desenvolvimento
de mais de uma atividade neste dia, por este motivo planejamos realizar apenas a
atividade apresentada a seguir.
2.2.1 Atividade de adição entre dois números inteiros com sinais iguais
Esta atividade estaria assim estruturada:
ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS COM SINAIS IGUAIS
Objetivo: descobrir uma regra para calcular somas de números inteiros com o mesmo sinal Procedimento:Calcule usando a calculadora:
a) +4+ 7 = h) -4 -14 = b) -2 - 4 = i) 4 + 12= c) + 5 + 7= j) -7 - 2 = d) - 5 - 5 = k) 5 + 6 = e) +3+ 5 = l) -8 - 6 = f) -8 - 3 = m) 13 + 4 = g) +15+2 = n) -11 - 15 =
Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
2) A que conclusão chegaram?
104
Análise a priori:
Os alunos poderiam responder o questionamento (1) observando as
características das questões e de seus respectivos resultados, estando estes
organizados de forma a facilitar a percepção da regularidade estabelecida entre
ambos. Então, a partirdesta resposta esperamos que os grupos pudessemenunciar
e redigir a regra para este caso de adição de inteiros, respondendo desta forma, ao
segundo questionamento.
Entretanto, julgávamos que seria possível que os grupos conseguissem
descobrir a regra enunciando-a corretamente, mas tivessem dificuldades em redigi-
la na forma de conclusão, isto porque uma redação mais elaborada poderia ser um
problema para muitos deles, uma vez que era possível que os alunos não
estivessem habituados a participar ativamente da construção do conhecimento.Por
este motivo, durante a institucionalização do saber procederíamos aorientação dos
estudantes para que procurassem atentar para o titulo, oobjetivo da atividade e
também para a resposta dada por eles ao primeiro questionamento, afim de que
pudessem perceber que esses elementos poderiam ajudá-los na organização de
suas conclusões.
Supúnhamos, também, queos gruposconseguiriam perceber que a
calculadora sempre efetuavaa adição dos módulos das parcelas e que os resultados
ora eram positivos ora eram negativos, mas tivessem dificuldades para perceber
quando isso ocorreria,implicando assim em dificuldade para elaborar a regra.Caso
observássemos essa situação, proporíamos a eles alguns questionamentos tais
como: os sinais das somas encontradas são os mesmos em todas as questões?
Estes sinais têm alguma coisa em comum com os sinais das parcelas? Quando os
resultados são positivos? Quando os resultados são negativos? O que é possível
concluir?
Considerávamos que uma situação que poderia contribuir neste primeiro
momento para que a regularidade não pudesse ser observada e consequentemente
não fosse possível a construção correta da regra,dizia respeito a digitação incorreta
dos números na calculadora,que poderia ser provocada pela resistência natural que
alguns alunos talvez manifestassem em relação ao número negativo,
particularmente nos casos em que ele fosse a primeira parcela. Por este motivo,
antes de iniciarmos as atividades, realizaríamos um momento de exploração da
105
máquina de calcular e orientaçãodos alunos para a correta digitação dos números
na calculadora.
Outra hipótese dizia respeito ao tempo gasto para a realização da atividade.
Considerando que esta seriaa primeira atividade a ser desenvolvida e que, a
metodologia utilizada deveria provocar uma quebra no contrato didático com o qual
os alunos estariam acostumados, uma vez que a maioria dos que já cursaram o 7º
ano (todos da escola lócus da pesquisa) haviam informado que a forma de
abordagem do conteúdo utilizada por seus professores era pautada na definição,
exemplos e exercícios, julgávamos que esta seria a atividade que mais demandaria
tempo para ser concluída.
2.3 SESSÃO 3: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃO DE NÚMEROS COM SINAIS DIFERENTES E SIMÉTRICOS
O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo, por meio de atividade
com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus pares de
forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades sobre adição
com números inteiros de sinais diferentes e simétricos; enunciar a regra para estes
casos da adição e apresentar conclusões sobre suas observações.
2.3.1 Atividade de Adição entre dois números inteiros de sinais diferentes
Esta atividade estaria assim estruturada:
ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES
Objetivo: descobrir uma regra para calcular somas entre dois números inteiros de sinais diferentes. PROCEDIMENTO:
Calcule usando a calculadora: a) + 7- 4 = h) 6 - 4 = b) + 8 - 9 = i) 17 - 20 = c) - 2 + 9 = j) - 6 + 9 = d) - 8 + 3 = k) -14 + 13 = e) 9 -1 = l) 6 - 8 = f) 10 - 15 = m) 12 - 7 =
g) - 5+ 8 = n) - 13 + 17 =
Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
2) A que conclusão chegaram?
106
Análise a priori:
Pararesponder aos questionamentos desta atividade os alunos
precisariamperceber que a calculadora sempre efetuava a subtraçãodos
módulosdas parcelas e que os valores que seriam obtidos seriam positivos se a
maior parcela fosse positiva e seriam negativos se a maior parcela for negativa.
Uma hipótese que levantávamos era que os alunos perceberiam que os
resultados oscilavamentre valor positivo e negativo, mas sentiriam dificuldades em
relacioná-los ao maior valor absoluto das parcelas. Supúnhamos ainda que talvez os
alunos sentissem dificuldades também em identificar a operação efetuada pela
calculadora para chegar aos resultados, o que impediria que os alunos chegassem à
descoberta da regra para este caso da adição de inteiros.Caso observássemos que
esta situaçãoestava ocorrendo em algum grupo,seria necessário intervirpropondo
alguns questionamentos para ajudá-los a refletir, tais como: que operação vocês
acham que a calculadora efetuou para chegar ao valor absoluto dos resultados? O
resultado encontrado em cada questão tem alguma coisa em comum com alguma
das parcelasde questões?O sinal do resultado é igual ao sinal da maior ou da menor
parcela?O que é possível concluir?
Assim, esperávamos que os alunos fossem capazes de perceber e redigir a
regra para calcular somas de números inteiros quando um valor fosse positivo e o
outro fossenegativo.
Julgávamos que esta atividade demandaria menos tempo para ser concluída
que a primeira, e que os grupos conseguiriamter uma melhora naredação de suas
conclusões, uma vez que os alunos estariamum pouco mais familiarizados com o
novo contrato didático estabelecido e também teriam como base aregra
institucionalizada na atividade 01.
Durante a institucionalização do saber buscaríamos corrigir os equívocos
cometidos pelos grupos na elaboração da regra e esclarecer as dúvidas que por
ventura pudessem ser manifestadas.
107
2.3.2 Atividade de adição entre dois números inteiros opostos ou simétricos
Esta atividade estaria assim estruturada:
ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS Objetivo: descobrir uma regra para calcular somas de números opostos. PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) +4- 4 = f) -10+10 = b) -3+ 3 = g) 15 - 15 = c) +7-7 = h) + 6 - 6 = d) -8+ 8 = i) -26 + 26 = e) +9 - 9 = j) -2 + 2 =
Agora responda:
1) O que podemos observar?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
A atividade deveria permitir que os alunos verificassem que a adição de um
valor positivo com um negativo de módulos iguais resulta sempre em um valor nulo.
Considerávamos que os grupos não teriam dificuldades para descobrir,
enunciare redigir a regra, já que os resultados das questões seriamtodos iguais a
zero e eles já teriam a experiência das outras duas atividades.
O que poderia ocorrer neste casoseria os grupos não atentarem para a
característica das parcelas que indicariaque uma subtração entre números “iguais”
deve ser efetivada e ao digitarem os valores na calculadora fossem levados a
pensar que a operação não teria sido realizada devido o resultado ser zero, mesmo
valor registrado pela máquina antes de executar uma operação.Caso esta situação
fosse percebida em algum grupo, procuraríamos fazê-los refletir sobre as seguintes
questões: na atividade anterior, quando os números tinham sinais diferentes que
operação a calculadora executava? Nas questões desta atividade os sinais são
iguais ou diferentes? E os números? O que vocês aprenderam nas séries anteriores
sobre subtrair números iguais? Será que a calculadora realmente não realizou a
operação? Assim, esperávamos contribuir para que os grupos conseguissem
desenvolver a atividade e chegarà elaboração de uma regra.
108
Julgávamos, também, que os grupos não atentariam para o fato de que se
trataria de uma adição de números opostos.Por este motivo, ao realizarmos a
institucionalização da regra chamaríamos a atenção dos alunos para a definição
desses númerosa fim de poder introduzir o termo oposto ou simétrico na formulação
final da regra.
Considerávamos que esta seria a atividade da sessão que demandaria o
menor tempo para ser concluída e que apresentaria o melhor desempenho dos
grupos em relação a redação das conclusão, devido o acúmulo de experiências que
eles teriam.
2.4 SESSÃO 4: PRATICANDO E AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBRE OS ALGORITMOS PARA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
O objetivo desta sessão foi que por meio do jogo elaborado os alunos
pudessem apropriar-se cada vez mais das regras construídas utilizando-as
corretamente na resolução das adições propostas.
2.4.1 Baralho para adição entre dois números inteiros
Objetivo: despertar o interesse dos alunos para a fixação do conteúdo; possibilitar a
práticado uso das regrasde forma prazerosa e dinâmica; estimular a assimilação
destas e desenvolver as habilidades dos alunos para o cálculo da operação de
adição com números inteiros, auxiliando deste modo, na aprendizagem dessa
operação.
Número de jogadores por equipe: 04 (quatro) alunos
Materiais:60(sessenta) cartas (cf. apêndice D)e 01 (uma) calculadora simples.
Regras do jogo:
Os alunos seriam organizados em grupos de 04 jogadores, mas jogariam
individualmente;
Um dos alunos do grupo deveria embaralhar as cartas e distribuir 06 cartas
para cada um dos quatro jogadores.As cartas que sobrassem ficariam no
centro da mesa virada para baixo, constituindo o monte de compras;
Os jogadores deveriam formar pares em que uma carta fosse a questão a ser
resolvida e a outra fosse o resultado para esta questão.
109
Os participantes decidiriam entre si quem iniciaria o jogo e a ordem em que os
jogadores deveriam jogar. O primeiro aluno a jogar deveria comprar uma carta
da mesa e decidir se ficaria com ela, caso lhe servisse para formar um jogo,
descartando, deste modo, uma das cartas que já estava em sua mão, ou se
descartaria a carta comprada, caso esta não lhe servisse.
O próximo aluno a jogar ou pegariaa carta descartada ou compraria uma carta
no monte de compras, descartando a carta que não lhe servisse. As demais
jogadas deveriamseguir este mesmo procedimento.
Caso algum jogador estivesse prestes a finalizar o jogo e sua carta fosse
colocada em jogo, poderia pegá-la mesmo que não fosse sua vez de jogar.
Ganharia o jogo o aluno que formasse primeiro três pares corretamente.
A calculadora serviria para que os alunos confirmassem se os pares do
jogador que disse ter concluído o jogo, estariam corretos. Estando corretos,
os jogadores iniciariam uma nova jogada.
A pesquisadora determinaria o número de jogadas.
O tempo estimado para a realização do jogo era de 01 hora/aula de 45
minutos.
Esclarecemos que existiam no baralho, algumas cartas questões que se
referiam a casos diferentes da adição de inteiros, mas que tinham como resposta o
mesmo valor. Exemplo: “-2-4” e “-12+6”.
Análise a priori:
Nossa hipótese eraque no primeiro momento os alunos poderiamsentir
dificuldadesreferentes ao entendimento da regra do jogo e em relação a
formaçãodos pares (devido o baralho envolver as regras para os três casos
estudados), o que poderia atrapalhá-losno desenvolvimento do jogo. Por isso, antes
das equipes iniciarem as partidas,faríamosa leitura das regras para os alunos
esclarecendo as possíveis dúvidase também uma demonstração de como os pares
deveriam ser formados, chamando atenção para o fato de que o baralho envolveria
todas as regras estudadas. Além disso, procuraríamos acompanhar os grupos
alertando-os sobre os equívocos que por ventura se manifestassem.
Esperávamos queà medida que o jogo fosse sendodesenvolvido os
alunosconseguissemsuperar suas dificuldades e tornarem-se capazes de
calcularcorretamente as adições, aplicando as regras que foram institucionalizadas
com a participação deles.
110
Considerávamos que este jogocontribuirianão só com o aprendizado da
operação de adição com números inteiros, como também,para o desenvolvimento
do cálculo mental, uma vez que os alunos não poderiam utilizar nenhum recurso
material para ajudá-los a formar os pares.
2.4.2 Pós-teste de adição
Este pós-teste teve como objetivo verificar o desempenho dos alunos na
realização dos cálculos da operação de adição com números inteiros após a
realização das atividades.
Salientamos que para realizar a análise a priorido pós-teste de
adiçãoorganizamos as questões em blocos obedecendo à posição em que os
valores negativos e positivos apareciam nas mesmas. Por este motivo as questões
não estarão apresentadas na mesma ordem em que estariam dispostas no teste.
BLOCO 01: ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS
Este bloco de questões objetivava verificar qual o desempenho dos alunos no
cálculo da adição de inteiros com as duas parcelas positivas, depois da realização
das atividades que visavam a construção do algoritmo para esta operação.
Efetue as operações abaixo: 1) 4 + 9 = 2) 8 + 14 =
Análise a priori: supúnhamos que os alunos não teriam dificuldades para realizar
corretamente o cálculo destas questões em função das parcelas não envolverem
nenhum número negativo.
BLOCO 02: ADIÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS
O objetivo deste bloco foi verificar qual o desempenho dos alunos no cálculo
da adição de inteiros com as duas parcelas negativas, depois da realização das
atividades que visavam a construção da regra operacional para esta operação.
3) - 6 - 12= 4) - 4 - 8= 5) -7 - 2=
Análise a priori: supúnhamos que a maioria dos alunos conseguiria calcular
corretamente as somas fazendo uso adequado da regra institucionalizada.
111
BLOCO 03: ADIÇÃO ENTRE UM INTEIRO POSITIVO E UM NEGATIVO
Este bloco objetivava verificar qual o desempenho dos alunos no cálculo da
adição de inteiros com a primeira parcela positiva e a segunda negativas, depois da
realização das atividades que visavam a construção do algoritmo para esta
operação.
6) 15 – 7= 7) +5 – 7= 8) 3 – 4 = 9) 8 – 5 = 10) 5 - 10 =
Análise a priori: considerávamos que os alunos, em sua maioria, conseguiriam
aplicar corretamente a regra institucionalizada chegando às somas esperadas.
Todavia, apoiados nas análises dos estudos sobre números inteiros apresentadas
na fase das análises preliminares, supúnhamos que para alguns alunos ainda seria
difícil calcular corretamente essas operações, especialmente quando a primeira
parcela tivesse módulo menor que o módulo da segunda. O erro mais recorrente
deveria ser referente a não indicação correta do sinal indicativo do maior valor,
especialmente quando ele fosse negativo.
BLOCO 4: ADIÇÃO ENTRE UM INTEIRO NEGATIVO E UM POSITIVO
Neste bloco de questões objetivávamos verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo da adição de inteiros com a primeira parcela negativa e a segunda
positiva, depois da realização das atividades que visavam a construção do algoritmo
para esta operação.
11) - 6 + 3= 12) -35 + 10= 13) -13 + 14= 14)-2 + 15= 15) - 4 + 12= 16) – 6 + 14=
Análise a priori: considerávamos que a maioria dos alunos aplicaria corretamente a
regra construída, chegando aos resultados esperados. Já os demais, julgávamos
que talvez ainda apresentassem dificuldades para realizar corretamente este tipo de
questão, uma vez que a revisão dos estudos revelou que alguns alunos, mesmo
tendo passado por uma intervenção de ensino que estimulava e valorizava sua
112
capacidade de raciocínio, ainda apresentaram baixo desempenho especialmente
neste caso da adição.
BLOCO 5: ADIÇÃO ENTRE NÚMEROS SIMÉTRICOS
Neste bloco de questões objetivávamos verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo da adição de inteiros simétricos ou opostos, depois da realização
das atividades que visavam a construção do conhecimento sobre esta operação.
17) – 18 + 18 = 18) -26 + 26 = 19) +5 - 5= 20) + 12 – 12 =
Análise a priori: considerávamos que em função da facilidade de assimilação da
regra referente a este caso da adição, os alunos não teriam dificuldades para
resolver corretamente estas questões, mas, talvez, se saíssem melhor nas questões
em que a primeira parcela é positiva e a segunda negativa, devido à semelhança
com a estrutura utilizada na representação da subtração com números naturais.
2.5 SESSÃO 5: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS DE SINAIS IGUAIS E DIFERENTES
O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo, por meio de atividade
com o uso da calculadora, os alunos pudessem: interagir com seus pares de forma a
construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para multiplicação entre
dois números de sinais iguais e diferentes; enunciar as regras para estes casos da
multiplicação e apresentar conclusões sobre suasobservações.
2.5.1 Atividade de multiplicação entre dois números inteiros de sinais
diferentes
Esta atividade estaria assim estruturada:
113
MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES
Objetivo: descobrir uma regra para calcular o produto entre dois números inteiros de sinais diferentes. PROCEDIMENTO:
Calcule usando a calculadora: a) (+2) x (- 3) = h) 7 x (- 3) = b) (-5) x (+4) = i) (-2) x (+6) = c) (+ 2) x (- 8) = j) (+5) x (- 5) = d) (- 3 ) x 6 = k) (- 3) x (+9) = e) (- 8) x (+ 3) = l) 9 x (-3) = f) (+ 5) x (- 3) = m) (- 10) x (+3) = g) (- 6) x (+10)= n) 4 x (- 7) =
Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
Os alunos poderiam responder ao primeiro questionamento observando a
regularidade que apareceria a partir da relação que se estabeleceria entre os
resultados fornecidos pela calculadora e suas respectivas questões, estando estas
organizadas de forma a possibilitarque a regularidade se apresente. Então, a partir
desta resposta esperávamos que os gruposfossem capazes deperceber, enunciar e
redigir a regra para este caso da multiplicação de inteiros, respondendo assim, ao
segundo questionamento.
Nossa hipótese era que os grupos não teriam dificuldades para perceber a
regularidade e enunciar a regra em razão de todos os resultados serem negativos.
Julgávamos também que em função da experiência vivenciada por eles na sessão
sobre adição, a maioria dos grupos produziria regras melhor elaboradas e concluiria
a atividade em um intervalo de tempo menor que o gasto na realização das
atividades (1) e (2) da adição.
Durante a institucionalização da regra, procuraríamos manter o diálogo com
os alunos, corrigindo os equívocos para que não se repetissem nas demais
atividades.
114
2.5.2 Atividade de multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais
Esta atividade possuiria a seguinte estrutura:
MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS IGUAIS
Objetivo: descobrir uma regra para calcular o produto entre dois números inteiros de sinais iguais. PROCEDIMENTO:
Calcule usando a calculadora: a) (+4) x (+6) = h) 7 x 4 = b) (-3) x (-7) = i) (-10) x (- 3) = c) (+ 8) x (+5) = j) (+8) x (+2) = d) (- 6) x (-2) = k) (-5) x (-8) = e) (+2) x (+6) = l) 2 x 7 = ) (-3) x (-4) = m) (- 2) x (- 5) = g) (+5) x (+5)= n) (+ 10) x (+ 9)=
Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
Considerávamos que os gruposperceberiam a regularidade dos resultados,
associando-os facilmente a característica das questões, respondendo sem muita
dificuldade ao primeiro questionamento. Por isso supúnhamos que eles
conseguiriam, sem problema, enunciare apresentar suas regras para este caso da
multiplicação de inteiros, respondendo assim, ao segundo questionamento.
Julgávamos também que em função da experiência vivenciada por eles no
desenvolvimento da atividade anterior, um número maior de grupos conseguiria
redigir conclusões melhor elaboradas elevariam menos tempo para concluir a
atividade do que o utilizadona1ª atividades sobre esta operação.
2.6 SESSÃO 6: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS POR ZERO E POR (-1)
O objetivo desta sessão foi possibilitar que os alunos interagissem com seus
pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para a
multiplicação de números inteiros por zero e por (-1); enunciar as regras para estes
115
casos da multiplicação e apresentar conclusões sobre suas observações,por meio
do trabalho em grupo utilizando atividadesmediadas pela calculadora.
2.6.1Atividade demultiplicação de números inteiros por zero
Esta atividade estaria assim estruturada:
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS POR ZERO Objetivo: descobrir uma relação entre a multiplicação de números inteiros por zero e seu produto. PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) (+3) x 0 = g) 0 x (+ 5) = b) (-9) x 0 = h) 0 x (- 10) = c) 5 x 0 = i) 0 x 6 = d) (- 7) x 0 = j) 0 x (- 4) = e) (+ 2) x 0 = k) 0 x 8 = f) (-12) x 0 = l) 0 x (- 15)=
Agora responda: 1) O que podemos observar?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
Nossa hipótese era que antes mesmo de terminarem de realizar os cálculos
na calculadora as equipes perceberiam qual era a regularidade e enunciariama regra
para este caso da multiplicação, uma vez que todos os resultados seriam nulos e
eles já teriam passado pela experiência da atividade de adição de simétricos.
Julgávamos ainda, queuma quantidade maior de grupos conseguiriam redigir
suas conclusões de forma coerente e com qualidade de elaboração, bem como,
demandariam o menor tempo para concluir a atividade referente a multiplicação.
2.6.2 Atividade de multiplicação de um número inteiros por (-1)
116
Esta atividade estaria assim estruturada:
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POR (-1)
Objetivo: descobrir uma regra para calcular o produto da multiplicação deum número inteiro por -1 PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) (-3) x (-1) = g) (- 1) x (- 8)= b) (+3) x (-1) = h) (- 1) x (+10)= c) (- 9) x (-1) = i) (-1) x (- 4) = d) (+1) x (-1) = j) (- 1) x 5= e) (- 14) x (-1) = k) (- 1) x (-1) = f) (+ 1) x (-1) = l) (- 1) x 1 =
Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
Nossa intenção com esta atividade era que os alunos percebessem que na
multiplicação por (-1), o produto é o simétrico do outrofator, desta formapoderíamos
ajudá-los a compreender porque na subtração de números inteiros o subtraendo
muda de valor, por exemplo: (-3) – (-7) = -3 + 7 ou (-3) – (+7) = -3 - 7.
Para esta atividade levantamos três hipóteses: 1º) os alunos teriam
dificuldades paraperceber a regularidade estabelecida entre os produtos
encontrados e o fator multiplicado por -1, não conseguindo elaborar uma regra
satisfatória; 2º) os alunosperceberiam que bastava “trocar” o sinal do fator
multiplicado por -1 para encontrar o produto, sendo este o oposto do fatorque
multiplica -1, elaborando a regra neste sentido; 3º) os alunos não atentariam para
este fato e sim para o fato de que o produto é positivo se o fator -1 estiver
multiplicando um fator negativo e o produto é negativo se o fator -1 estiver
multiplicando um fator positivo, elaborando a regra neste sentido.
Caso observássemos a existência da primeira hipótese, iremos intervir
tentando fazer os grupos refletirem sobre os seguintes questionamentos: observem
os resultados obtidos em cada questão, eles têm alguma coisa em comum com
algum dos fatores? E qual é a diferença entre esses números? O que vocês
observam que aconteceu com a parcela que está multiplicando o (-1)? Se vocês não
117
tivessem a calculadora como vocês fariam para chegar nesse produto? O que é
possível concluir? Assim, esperávamos que os alunos fossem capazes de perceber,
enunciar e redigir a regra de forma satisfatória.
No caso da terceira hipótese, caso ocorressem, deixaríamos para dialogar
sobre ela no momento da institucionalização da regra, já que o raciocínio não estaria
incorreto.
2.7 SESSÃO 7: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A DIVISÃO DE NÚMEROS COM SINAIS IGUAIS E DIFERENTES
O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo, por meio de atividade
com o uso da calculadora, os alunos pudesseminteragir com seus pares de forma a
construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para divisão de
números com sinais iguais e diferentes; enunciar as regras para estes casos da
divisão e apresentar conclusões sobre suas observações.
2.7.1 Atividade de divisão entre dois números inteiros de sinais iguais
Esta atividade estaria assim elaborada:
DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS IGUAIS Objetivo: descobrir uma regra para calcular o quociente entre dois números inteiros de sinais iguais PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) (+4) ÷ (+2) = g) (+12) ÷ (+ 2) = b) (-9) ÷ (-3) = h) (-12) ÷ (- 2) = c) (+10) ÷ (+5) = j) (+6) ÷ (+3) = d) (- 8) ÷ (- 4) = j) (- 6) ÷ (- 3) = e) (+8) ÷ (+2) = k) (+9) ÷ (+3) = f) (-15) ÷ (-3) = l) (- 10) ÷ (- 5) =
Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
118
Considerávamos que os gruposresponderiam ao primeiro questionamento
observando a regularidade que apareceria a partir da relação que se estabeleceria
entre os resultados fornecidos pela calculadora e suas respectivas questões,
estando estas organizadas de forma a possibilitar que a regularidade se
apresentasse. Então, a partir desta resposta esperávamos que cadagrupofosse
capaz deperceber, enunciar e redigir suas conclusões para este caso da divisão de
inteiros, respondendo assim, ao segundo questionamento.
Podíamos supor que em função da experiência vivenciada por eles com a
atividade 2 da multiplicação, os grupos não teriam dificuldades para perceber a
regularidade,enunciare redigir a regra de forma satisfatória, já que os resultados
nestaatividade possuíam a mesma característica.
Considerávamos que o tempo utilizado para o desenvolvimento desta
atividade seria menor do que o utilizado na primeira atividade da multiplicação.
2.7.2 Atividade de divisão entre dois números inteiros de sinais diferentes
Esta atividade estaria assim estruturada:
DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES Objetivo: descobrir uma regra para calcular o quociente entre dois números inteiros de sinais diferentes PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) (+4) ÷ (- 2) = g) (- 6) ÷ (+ 2) = b) (-9) ÷ (+3) = h) (+9 ) ÷ (- 9) = c) (+25) ÷ (- 5) = i) (-8) ÷ (+2) = d) (- 8) ÷ (+ 8) = j) (+15) ÷ (- 3) = e) (+ 12) ÷ (- 4) = k) (- 16) ÷ (+2) = f) (-12) ÷ 3 = l) 14 ÷ (-7) =
Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
Considerávamos que os grupos poderiam responder aos questionamentos
mobilizando os conhecimentos adquiridos com a experiência vivenciada na atividade
1 da multiplicação, já que possuíam semelhanças. Desta forma, julgávamos que
119
poderiamperceber, enunciar e redigir a regra para este caso de divisão de inteiros,
sem manifestar grandes dificuldades.
Podíamos supor também que em função das experiências vivenciadas,a
maior parte dos gruposconseguiria redigir conclusões melhor elaboradas do que na
atividade de multiplicação, assim como, o tempo gasto pela maioria dos grupos no
desenvolvimento da atividadetambém seria menor.
2.8 SESSÃO 8: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A DIVISÃO DE ZERO POR UM NÚMERO INTEIRO E DE UM NÚMERO INTEIRO POR (-1)
O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo, por meio de atividade
com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus pares de
forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para divisão de
zero por um número inteiro e de um número inteiro por (-1); enunciar as regras para
estes casos da divisão e apresentar conclusões sobre suas observações.
2.8.1 Atividade de divisão de zero por um número inteiro
Esta atividade estaria assim estruturada:
DIVISÃO DE ZERO POR UM NÚMERO INTEIRO
Objetivo: descobrir uma relação entre a divisão de zero por um número inteiro e seu quociente. PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) 0 ÷ (+4) = f) 0 ÷ (-12)= b) 0 ÷ (+9) = g) 0 ÷ (+5) = c) 0 ÷ (+6) = h) 0 ÷ (+10) = d) 0 ÷ (- 7) = i) 0 ÷ (- 6) = e) 0 ÷ (- 2) = j) 0 ÷ (- 4) =
Agora responda:
1) O que podemos observar? 2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
Supúnhamos que os grupos não apresentariam dificuldades para realizar esta
atividade de forma que todas as equipes conseguiriamperceber, enunciar e redigir
com sucesso a regra para este caso da divisão, devidoao acúmulo de experiências e
120
também pelo fato de todos os resultados serem nulos. Em função
disso,consideramosque esta seria a atividade de divisão que demandaria o menor
tempo para ser desenvolvida.
2.8.2 Atividade de divisão de um número inteiro por (-1)
Esta atividade estaria assim estruturada:
DIVISÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POR (-1) Objetivo: descobrir uma regra para calcular o quociente da divisão de um número inteiro por (-1) PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) (-12) ÷ (-1) = g) (+ 1) ÷ (- 1) = b) (+ 6) ÷ (-1) = h) (- 4) ÷ (-1) = c) (-15) ÷ (-1) = i) (+ 2) ÷ (- 1) = d) (+20) ÷ (-1) = j) (- 1) ÷ 1= e) (- 20) ÷ (-1) = k) 8 ÷ (- 1) = f) (- 1) ÷ (-1) = l) (- 9) ÷ (- 1) =
Agora responda: 1) Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori:
Considerávamos que a maioria dos grupos não teria dificuldades para
perceber, enunciar e redigir a regra para este caso da divisão, devido a semelhança
que esta atividade possuía com a atividade de número 04 sobre multiplicação.
Supúnhamosainda que alguma das hipóteses levantada na atividade número
(4) de multiplicação referente aosgrupos que nãoteriam facilidade para construir a
regra, também poderiamser verificadas entre os grupos que teriam dificuldade na
realização desta atividade. Caso isso acontecesse, utilizaríamos os mesmos
procedimentos descritos na análise a priori da atividade citada para tentar fazer os
alunos refletirem em relação aos algoritmos para está atividade.
121
2.9 SESSÃO 9: PRATICANDO OS ALGORITMOS DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
O objetivo desta sessão foi que,por meio dos jogos elaborados,os alunos
pudessem apropriar-se cada vez mais das regras construídasa fim de poder utilizá-
las corretamente na resolução dasmultiplicações e divisões.
2.9.1Baralho para multiplicação e divisão entre dois inteiros
Objetivo: proporcionar aos alunos momentos prazerosos de aplicação das regras
construídas, estimular a assimilação destas e desenvolver as habilidades dos alunos
para o cálculo das operações de multiplicação e divisão com números inteiros,
auxiliando deste modo, na aprendizagem dessas operações.
Número de jogadores por equipe: 04 (quatro) alunos
Materiais: 96 (noventa e seis) cartas (cf. apêndice E) e 01 (uma) calculadora que
contenha as teclas de formação de parênteses.
Regras do jogo:seriam as mesmas adotadas no baralho para adição.
Esclarecemos que neste baralhoos alunos teriam duas cartas iguais que
poderiam ser resultados tanto para a multiplicação como para a divisão. Exemplo:
carta “- 10” poderia ser resultado para as fichas de questão“(-2)x(+5)” ou “(-
20)÷(+2)”.
Análise a priori:
Para jogar os alunos precisariam mobilizar não só os conhecimentos
adquiridos sobre as regras de sinais, como, também, seus conhecimentos sobre a
tabuada de multiplicação e divisão.Além disso, precisariam ser hábeis na realização
do cálculo mental, já que não poderiam utilizar nenhum instrumento material para a
realização destes. Por este motivo, podíamos supor que os alunos sentiriam alguma
dificuldade para formar os pares nas primeiras jogadas, em função da possível falta
de domínio da tabuadade multiplicação e divisão e do emprego da regra adequada.
Procuraríamos,então, acompanhar os grupos na intenção de corrigir os equívocos e
observar as estratégias que usariam para vencer o jogo, já que os alunos poderiam
formar pares a partir de uma questão ou de um resultado.
Presumíamos que à medida que o jogo fosse se desenvolvendo os alunos
conseguiriam superar suas dificuldades e se tornariam capazes de calcular
122
corretamente as multiplicações e as divisões, aplicando as regras que seriam por
eles construídas.
2.9.2 Bingo para multiplicação e divisão entre dois números inteiros
Objetivo:aprimorar as habilidades dos alunos para o emprego correto das regras de
sinais para a multiplicação e divisão e fortalecer o processo de assimilação das
mesmas, auxiliando deste modo, na aprendizagem dessas operações.
Número de jogadores por equipe: 02 (dois) alunos
Materiais: 20 (vinte) cartelas contendo cinco possíveis soluções para as operações
(cf. Apêndice F), 54(cinqüenta e quatro) fichas com as questões(cf. Apêndice G), um
saco escuro para guardar as fichas, pedacinhos de papel para marcar a cartela e 01
(um) painel para afixação das fichas.
Regras do jogo:
Cada dupla receberia uma cartela escolhida aleatoriamente;
A pesquisadora retirariado saco uma ficha contendo ou uma multiplicação ou
uma divisão e “cantaria” para a turma, em seguida deveria afixá-la no painel
para que ficasse visível aos alunos;
Os alunos deveriam dizer em voz alta qual seria a resposta, para que fosse
confirmada ou não pela pesquisadora. Caso a resposta dada estivesse
errada, a pesquisadora deveria instigá-los a refletir sobre suas respostas a fim
de encontrar a resposta correta, só em último caso deveria informar a
resposta certa;
O jogo prosseguiria assim até que alguma dupla tivesse marcado
corretamente em sua cartela cinco números que corresponderiam a solução
para cinco das questões “cantadas” pela pesquisadora;
Para confirmar as respostas a pesquisadora deveria informar a turma um por
um dos números marcados pela dupla, solicitando que os alunos
indicassemas questões afixadas no quadro que teriam originado aqueles
resultados. Se todos os números estivessem marcados corretamente, esta
dupla seria proclamadavencedora da rodada, caso contrário, o jogo
continuaria até que fosse apresentada à professora uma cartela marcada
corretamente;
123
O tempo previsto para a realização do jogo seria de 01 hora/aula de 45
minutos. Estimávamos que fosse possível jogar quatro rodadas, caso
houvesse tempo outras rodadas poderiam ser jogadas.
Análise a priori:
Nesta atividade,nossa suposiçãoseriaque os alunos poderiam cometer erros
também relacionados à falta de domínio da tabuada e a falta de atenção a operação
“cantada”, confundindo as regras devido a dinâmica da atividade, que exigiria
queeles fossem ágeis no cálculo mental. Por esta razão, as fichas questão teriam
tamanho ampliado e, à medida que forem “cantadas” seriam afixadas em um painel
de forma que ficassem visíveis aos alunos, assim, a pesquisadora poderia dialogar
com eles a cerca de suas respostas.
Deste modo, considerávamos que à medida que fossem jogando, os
alunosiríamsuperando suas dificuldades e se tornariam capazes de calcular
corretamente as multiplicações e divisões com inteiros, aplicando adequadamenteas
regras que fossem por eles construídas.
2.10 SESSÃO 10:VERIFICANDO CONHECIMENTOS SOBRE A MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
O objetivo desta sessão foi verificar o desempenho dos alunos na realização
dos cálculos das operações de multiplicação e divisão com números inteiros após
receberem instrução por meio das atividades.
1.10.1 Pós-teste de multiplicação e divisão
Para realizar a análise a priori do pós-teste de multiplicação e divisão
optamos em organizá-las em blocos de acordo com a operação a que se referiam.
Por este motivo as questões não obedeceriama mesma ordem em que estavam
dispostas no teste.
BLOCO 01: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS
O objetivo deste bloco de questões foi verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo da multiplicação de inteiros com os dois fatores positivos, depois
da realização das atividades que visavam a construção dos algoritmos para esta
operação.
124
Efetue as operações abaixo: 1) (+4) x (+5)= 2) (+2) x (+6)=
Análise a priori: considerávamos que os alunos conseguiriam aplicar corretamente
a regra, levando-os ao resultado correto. O erro que poderia ocorrer se referiria a
possível falta de domínio da tabuada de multiplicação.
BLOCO 02: MULTIPLICAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS
O objetivo deste bloco de questões foi verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo do produto, quando os dois fatores forem negativos, após a
realização da atividade que visava a construção do algoritmo para esta este caso da
operação.
3) (-10) x (- 3) = 4) (-3) x (-7) = 5) (-2) x (- 7)=
Análise a priori: considerávamos que a maioria dos alunos conseguiria aplicar
corretamente a regra, chegando a resultados corretos. O erro que poderia ocorrer
seria referente a tabuada.
BLOCO 03: MULTIPLICAÇÃO ENTRE UM INTEIRO POSITIVO E UM NEGATIVO
O objetivo deste bloco de questões foi verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo do produto, quando o primeiro fator for positivo e o segundo
negativo, depois de realizarem as atividades que visavam a construção do algoritmo
para este caso da operação.
6) (+5) x (- 3) = 7) (+8) x (-10) =
Análise a priori: considerávamos que amaioria dos alunos conseguiria resolver
corretamente esta questão. Quanto aos demais, nossas hipóteses eram: efetuariam
corretamente a multiplicação dos módulos e errariam a regra de sinais ou efetuariam
a subtração ao invés da multiplicação, dando como resposta um valor positivo já que
a primeira parcela é positiva e maior que a segunda. Baseamos nossas hipóteses
nos resultados apresentados pelos alunos egressos.
BLOCO 4: MULTIPLICAÇÃO ENTRE UM INTEIRO NEGATIVO E UM POSITIVO
Neste bloco de questões objetivávamos verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo do produto, quando o primeiro fator for negativo e o segundo
125
positiva, depois da realização das atividades que visavam a construção do algoritmo
para este caso da operação.
8) (-3) x (+2) = 9) (- 4) x (+6)=
Análise a priori: considerávamos que amaioria dos alunos conseguiria aplicar
corretamente a regra para este caso da multiplicação, chegando ao resultado
esperado. Quanto aos demais, baseados nos resultados apresentados pelos alunos
egressos, julgávamos que talvez: aplicassem corretamente a regra de sinais e
errassem a multiplicação dos módulos ou efetuassem a adição ao invés da
multiplicação, dando como resposta um valor positivo.
BLOCO 5: MULTIPLICAÇÃO ENTRE UM INTEIRO E O ZERO
Neste bloco de questões objetivávamos verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo do produto de uma multiplicação de um inteiro por zero, depois de
realizarem as atividades que visavam a construção do algoritmo para este caso da
operação.
10) 0 x (+6) = 11) (- 4) x 0=
Análise a priori: supúnhamos que em virtude da facilidade de assimilação da regra
para este caso da multiplicação, os alunos apresentariam desempenho bastante
satisfatório para essas questões.
BLOCO 6: MULTIPLICAÇÃO ENTRE UM NÚMERO INTEIRO POR -1
Neste bloco de questões objetivávamos verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo do produto de um inteiro por -1, depois da realização das
atividades que visavam a construção do algoritmo para este caso da operação.
12) (- 1) x (-1) = 13) (- 1) x (- 20) = 14) (-1) x (+1) = 15) 6 x (-1) =
Análise a priori: nossa hipótese seria que na resolução destas questões os alunos
poderiam lançar mão da regra para calcular produtos de um inteiro por -1 ou se
preferissem, poderiam também usar a regra para calcular produtos de fatores com
sinais iguais ou de sinais diferentes, dependendo do caso. Por este motivo,
julgávamos que a maioria deles conseguiria calcular corretamente esses produtos.
126
BLOCO 07: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS
Este bloco de questões objetivava verificar qual o desempenho dos alunos no
cálculo do quociente quando o divisor e o dividendo forem positivos, depois da
realização das atividades que visavam a construção dos algoritmos para esta
operação.
Efetue as operações abaixo: 16) (+8) ÷ (+4)= 17) (+15) ÷ (+3)=
Análise a priori: considerávamos que os alunos conseguiriam aplicar corretamente
a regra, encontrando o resultado correto para a questão. O erro que poderia ocorrer
seria referente à possível falta de domínio da tabuada de divisão.
BLOCO 08: DIVISÃO ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS
Este bloco de questões objetivava verificar qual o desempenho dos alunos no
cálculo do quociente quando o divisor e dividendo forem negativos, após a
realização da atividade que visava a construção do algoritmo para esta este caso da
operação.
18) (- 8) ÷ (- 4)= 19) (-10) ÷ (-2)= 20) (-16) ÷ (- 4)=
Análise a priori: considerávamos que a maioria dos alunos conseguiria aplicar
corretamente a regra, chegando a resultados esperado. O erro que poderia ocorrer
seria referente a tabuada.
BLOCO 09: DIVISÃO ENTRE UM INTEIRO POSITIVO E UM NEGATIVO
Este bloco de questões objetivava verificar qual o desempenho dos alunos no
cálculo do quociente quando o dividendo fosse positivo e o divisor negativo, após a
realização das atividades que visavam a construção do algoritmo para este caso da
operação.
21) (+6) ÷ (-2)= 22) (+9) ÷ (-3)=
Análise a priori: considerávamos que a maioria dos alunos aplicaria corretamente a
regra, conseguindo encontrar a resposta certa para as questões. Quanto aos
demais, nossa hipóteses eram: efetuariam corretamente a divisão dos módulos e
127
apresentariam como resposta um valor positivo devido o dividendo ser positivo ou
efetuariam a subtração ao invés da divisão.
BLOCO 10: DIVISÃO ENTRE UM INTEIRO NEGATIVO E UM POSITIVO
Neste bloco de questões objetivávamos verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo do quociente quando o dividendo fosse negativo e o divisor
positivo, depois da realização das atividades que visavam a construção do algoritmo
para este caso da operação.
23) (- 16) ÷ (+2)= 24) (-14) ÷ 7=
Análise a priori: considerávamos que a maioria dos alunos conseguiria aplicar
corretamente a regra para este caso da divisão, chegando aos resultados corretos.
Quando aos demais, nossas hipóteses eram: efetuariam corretamente a divisão dos
módulos, mas dariam como resposta um valor positivo ou efetuariam a adição ao
invés da divisão, dando como resposta um valor também positivo.
BLOCO 11: DIVISÃO DE O ZERO POR UM NÚMERO INTEIRO
Neste bloco de questões objetivávamos verificar qual o desempenho dos
alunos no cálculo do quociente resultante da divisão de zero por um número inteiro,
depois da realização das atividades que visavam a construção do algoritmo para
este caso da operação.
25) 0 ÷ (+ 3)= 26) 0 ÷ (- 8) = 27) 0 ÷(+ 6)=
Análise a priori: supúnhamos que poucos alunos não conseguiriam realizar o
cálculo dessas operações corretamente, cometendo ainda o equívoco de considerar
o zero como um elemento neutro.
BLOCO 12: DIVISÃO DE UM NÚMERO INTEIRO POR -1
Neste bloco nosso objetivo foi verificar qual o desempenho dos alunos no
cálculo do quociente resultante da divisão de um inteiro por -1, depois da realização
das atividades que visavam a construção do algoritmo para este caso da operação.
28) (-12) ÷ (-1)= 29) (+1) ÷ (-1) = 30) (+ 18) ÷ (-1)=
128
Análise a priori: na resolução destas questões os alunos também poderiam lançar
mão da regra para calcular quocientes de um inteiro por -1 ou se preferissem
poderiam usar, também, a regra para calcular o quociente quando divisor e
dividendo tem sinais iguais ou quando tem sinais diferentes, dependendo do caso.
Por este motivo, julgávamos que a maioria deles conseguiria calcular corretamente
os quocientes.
2.11 SESSÃO 11: REVISANDO AS OPERAÇÕES TRABALHADAS
Objetivávamos, nesta sessão,que por meio de jogos e atividades
escritas,fosse possível aos alunos: revisar as regras institucionalizadas para
resolução de adição, multiplicação e divisão com números inteiros; aprimorar as
habilidades para o cálculo dessas operações; interagir com seus pares de forma a
estabelecer uma troca de conhecimentos.
2.11.1Atividade escrita de revisãodas regras de adição, multiplicação e divisão
Objetivo: possibilitar a revisão das regras de adição, multiplicação e divisão que
foram institucionalizadas, na intenção de que os alunos possam ter a visualização de
todas elas ao mesmo tempo; fortalecer o processo de assimilação e contribuir para o
aprendizado das mesmas.
Número de jogadores por equipe: 02 (dois) alunos
Material: 01 (uma) folha de atividade (cf. Apêndice H) para cada dupla e caneta
Procedimentos:
As folhas de atividade seriam entregues as duplas, que deveriam resolvê-las
apenas com os conhecimentos que eles já teriam conseguido apreender, sem
poder consultar nenhum material.
Depois de encerrado o tempo determinado pela pesquisadora para o
desenvolvimento da atividade seria feita a correção.
A pesquisadora solicitaria que as duplasinformassem suas respostas e
promoveria o debate caso houvesse respostas diferentes.
Assim a pesquisadora poderia esclarecer as dúvidas que ainda existissem.
129
Esclarecemos que esta atividade seria elaborada logo após serem concluídas
as atividades de construção das regras, para que pudéssemos utilizar as regras que
seriam institucionalizadas em sala.
Análise a priori:
Baseados em nossa experiência de sala de aula, julgávamos que alguns
alunos,talvez,tivessem dificuldades para completar corretamente as
lacunas.Especialmente das regras referentes a adição devido terem sido as
primeiras a serem construídas, por este motivo os colocaríamos aos pares na
tentativa de que um complete pudesse ajudar outro na resolução das questões.
2.11.2Baralho de regras
Objetivo:revisar e promover a assimilação das regras, auxiliando deste modo, na
aprendizagem das mesmas.
Número de jogadores por equipe: 04 (quatro) alunos
Materiais:84 cartas (cf. Apêndice I) para cada equipe, sendo 42 cartas com as
regras, 42cartas com as questões.
Regras do jogo: a regra para esse jogo seria a mesma apresentada para o baralho
da adição, com três ressalvas.
Os jogadores deveriam formar pares em que uma carta fosse a questão e a
outra fosse a regra para resolvê-la.
Ganharia o jogo o aluno que formasse primeiro dois pares corretamente.
Esses deveriam ser colocados na mesa para que a professora-pesquisadora
pudesse confirmar se estavam todos corretos.
Caso um ou mais pares não estivessem corretos, a pesquisadora faria a
indicação para que o aluno pudesse corrigi-lo (os).
Esclarecemos que as regras que estariamno baralho seriam as mesmas
instituídas em sala de aula durante as atividades, por este motivo, o baralho seria
construído a medida que as sessões fossem sendo concluídas.
Análise a priori:
Para jogar os alunos precisariam mobilizar os conhecimentos adquiridos
sobre as regras para adição, multiplicação e divisão de inteiros. Por este motivo,
podíamos supor que talvez alguns alunos sentissem dificuldadepara formar os pares
corretamente,nas primeiras jogadas, já que as regras estariam misturadas. Por este
130
motivo, procuraríamos acompanhar os grupos na intenção de corrigir os equívocos e
observar as estratégias que os alunos usariam para formar os pares.
Julgávamos que com o desenvolvimento das jogadas os alunos
conseguiriamrelacionar corretamente as regras ao mesmo tempo em que iriam
assimilando-as.
2.11.3 Baralho para adição, multiplicação e divisão com números inteiros
Objetivo: possibilitar a aplicação das três regras e o desenvolvimento de
habilidades para o cálculo de adição, multiplicação e divisão, auxiliando na
aprendizagem das mesmas.
Número de jogadores por equipe: 04 (quatro) alunos
Materiais:84 cartas (cf. Apêndice J), sendo 42 cartas com questões e 42 cartas com
as soluções e uma calculadora que contenha as teclas parênteses.
Regras do jogo: as regras para esse jogo seriam as mesmas utilizadas no baralho
para adição de números inteiros.
Análise a priori:
Para jogar os alunos precisariam mobilizar não só os conhecimentos
adquiridos sobre as regras para resolução destas operações, como também, seus
conhecimentos sobre a tabuada de adição, multiplicação e divisão. Além disso,
precisariam ser hábeis na realização do cálculo mental, já que não poderão utilizar
nenhum instrumento material para a realização destes. Julgávamos que devido a
experiência com o baralho das regras, talvez os alunos não encontrassem grandes
dificuldade para desenvolver o jogo, a não ser tal vez, aquelas que dizem respeito
ao domínio da tabuada. Por este motivo, procuraríamos acompanhar os grupos na
intenção de corrigir os equívocos e observar as estratégias que usariam para vencer
o jogo.
2.12SESSÃO 12: AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBRE AS REGRAS DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
O objetivo desta sessão foiverificar se os alunos já haviam se apropriado das
regras, conseguindo resolver corretamente as questões propostas.
131
2.12.1Pós-teste parcial (adição, multiplicação e divisão)
O objetivo deste teste foi verificar qual o desempenho dos alunos na
resolução das questões de adição, multiplicação e divisão com números inteiros,
após a realização das atividades.
Esclarecemos que em virtude do pós-teste parcial conter as mesmas
questões já analisadas na sessão 1, não será feita a análise a priori dele nesta
sessão.
2.13 SESSÃO 13: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS DE EXPOENTE PAR
O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo, por meio de atividade
com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus pares de
forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para
potenciação de números inteiros de expoente par; enunciar as regras para estes
casos da potenciação e apresentar conclusões sobre suas observações.
Em virtude das atividades de construção dos algoritmos para potenciação
com números inteiros pressuporem o conhecimento sobre potenciação no campo
dos naturais e levando em consideração nossasobservações em sala de aula, onde
se nota que muitos alunos chegam ao 7º ano com deficiências no aprendizado deste
conteúdo revelando, inclusive, a existência de conceitos mal construídos, e
também,o fato do resultado do teste realizado com os alunos que já cursaram o 7º
ano terrevelado que quase 100% deles errou ou não resolveu as questões
referentes a potenciação,antes de iniciarmos as atividades faríamosuma breve
revisão sobre potenciação no campo dos naturais, recordando os elementos que a
compõe e os seus significados, bem como, dialogaríamos com os alunos sobre a
definição de potenciação e sobre as estratégias para o cálculo das potências,
visando contribuir no momento de realização das atividades.
132
2.13.1 Atividade de potenciação de números inteiros com expoente par
Esta atividade estaria assim estruturada conforme apresentamos a seguir:
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM EXPOENTE PAR
Objetivo: descobrir uma regra para calcular a potência de números inteiros com expoente par PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) (+ 4)² = i) (+ 6)² = b) (- 4)² = j) (- 6)² =
c) (+5)4
= k) (+ 1)8=
d) (-5)4
= l) (- 1)8 =
e) 8
2 = m) (+ 2)6 =
f) (-2)8= n) (- 2)
6 =
g) (+3)6 = o) (- 7)
4 =
h) 6
3 = p) (+7)4
=
Agora responda:
1) O que podemos observar? 2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori: presumíamos que está atividade ofereceria certa dificuldade para
os grupos em razão de talvez não conseguirem de imediato relacionar o valor
positivo das potências ao fato dos expoentes serem par. Caso observássemos esta
dificuldade em algum grupo, lançaríamos a eles alguns questionamentos que
pudessem levá-los a refletir, tais como: O que significa o expoente na potenciação?
Vocês acham que estes expoentes têm alguma influência sobre os valores das
potencias? Se nós multiplicáramos um número negativo duas, ou quatro, ou seis
vezes, por exemplo, tem possibilidade de o valor continuar negativo? Por quê? Etc.
Assim, esperávamos que os grupos conseguissem perceber, enunciar e
redigir uma regra para este caso da potenciação. Entretanto, era possível que talvez
os grupos não conseguissem redigir a regra utilizando os termos matemáticos
apropriados. Por este motivo, no momento da institucionalização da regra
procuraríamos dialogar com eles a respeito dos termos que utilizaram para formular
a regra, chamando atenção para os termos adequados.
133
Considerávamos que esta seria a atividade de potenciação que os grupos
demandariam o maior tempo para elaborar asconclusões.
2.14 SESSÃO 14: CONSTRUINDO OS ALGORITMOS PARA A POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS DE EXPOENTE IMPAR E NULO
O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo, por meio de atividade
com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus pares de
forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para
potenciação de números inteiros de expoente impar e nulo; enunciar as regras para
estes casos da potenciação e apresentar conclusões sobre suas observações.
2.14.1 Atividade de potenciação de números inteiros com expoente impar
Esta atividade estaria assim estruturada:
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM EXPOENTE IMPAR
Objetivo: descobrir uma regra para calcular a potência de números inteiros com expoente impar PROCEDIMENTO: Calcule usando a calculadora:
a) (+ 4)³ = i) (+ 5)5 =
b) (- 4)³ = j) (- 5)5 =
c) 5
2 = k) (- 2)7
=
d) (- 2)5 = l) (+ 2)
7 =
e) (+ 6)³ = m) (- 1)9 =
f) 3
6 = n) (+1)9=
g) (+3)7
= o) (+ 7)1=
h) (- 3)7
= p) (- 7)1
=
Agora responda: 1) O que podemos observar?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori: devido a oscilação dos valores das potências julgávamosque nesta
atividade alguns grupos teriam mais dificuldades para perceber que a regularidade
estaria relacionada a condição da base e ao fato do expoente serimpar. Por isso,
134
usaríamos a mesma estratégia anterior, visando conduzi-los a reflexão.Assim,
esperávamos que os grupos conseguissem perceber, enunciar e redigir a regra para
este caso.
Nesta atividade, diferentemente da atividade (1), supúnhamos que os grupos
teriam mais facilidade para redigir a regra e seria possível que algum grupo o fizesse
empregando os termos matemáticos adequadamente, isto porque, teriam como
exemplo a regra institucionalizada para as potenciações de expoente par.
Durante a institucionalização do saber, novamente procuraríamos dialogar
com eles a respeito de suas conclusões, chamando atenção para a utilização
adequada dos termos matemáticos, destacando os grupos que teriam conseguido
usá-los de alguma maneira.
Nossa expectativa seria que os alunos utilizassem um tempo menor para o
desenvolvimento destaatividade do que o utilizado na primeira atividade de
potenciação.
2.14.2 Atividade da potenciação de números inteiros com expoente zero
Esta atividade estaria assim estruturada:
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM EXPOENTE ZERO
Objetivo: descobrir uma regra para calcular a potência de números inteiros com expoente zero. PROCEDIMENTO: Calcule usando a máquina de calcular:
a) (+ 4)0
= g) (+2)0 =
b) (- 4)0= h) (- 2)
0=
c) (+ 5)0= i) (+ 10)
0 =
d) (- 5)0= j) (-10 )
0 =
e) (+ 6)0 = k) (+ 8)
0 =
f) (- 6)0 = l) (- 8)
0 =
Agora responda: 1) O que podemos observar?
2) A que conclusão chegaram?
Análise a priori: devido a experiência dos alunos com as atividades (1) e (2) e
também devido ao fato de todos os resultados serem iguais a 1 (um)
135
pressupúnhamos que os grupos não teria dificuldades para perceber a regularidade,
enunciar e redigir a regra para este caso da potenciação.
Supúnhamos também que esses grupos conseguiriam melhorar a redação
nas conclusões, inclusive utilizando os termos matemáticos referentes a esta
operação. Considerávamos ainda que o tempo gasto para concluir a atividade
deveria ser menor.
2.15 SESSÃO 15: PRATICANDO AS REGRAS PARA POTENCIAÇÃO
O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo, por meio de atividade
com o uso da calculadora e jogos fosse possível aos alunos: interagir com seus
pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para
potenciação de números inteiros de expoente nulo; enunciar a regra para este caso
da potenciação; apresentar conclusões sobre suas observações e também praticar
as regras construídas.
2.15.1Trilha de potenciação de números inteiros
Objetivo: possibilitar a prática das regras, estimular a assimilação das mesmas e
desenvolver habilidade para o cálculo das potências, contribuindo deste modo para
a aprendizagem das operações com números inteiros.
Número de participantes por equipe: 03 (três) alunos
Material: uma trilha para cada equipe (cf. Apêndice K), 01 (um) dado (cf. Apêndice
M), três carinhas que representarão os jogadores e um saco escuro, 36 cartões com
as questões a serem respondidas(cf. Apêndice L), papel e caneta para que possam
realizar algum cálculo.
Regras do jogo:
Cada trio receberia 1 trilha, um dado, três carinhas de cores diferentes que
representarão cada jogador na trilha e um saco escuro contendo as questões
referentes às interrogações.
Cada participante jogaria o dado para decidir a ordem em que os jogadores
jogariam. Aqueles que tirassem os números maiores jogariam primeiro;
Todos deveriam partir do quadro: Saída.
Para iniciar a caminhada na trilha o 1º jogador deveriapegar uma questão no
saco e responder, se sua resposta estiver correta, ele deveria jogar o dado e
136
andar o número de casas indicadas por ele, passando a vez para o próximo
jogador. Caso a resposta estivesse errada ou não fosse respondida, o jogador
permaneceria no mesmo lugar até que chegue sua vez novamente para tirar
uma nova pergunta e só poderia caminhar quando conseguir responder
corretamente a uma questão. A mesma coisa aconteceria com os outros
jogadores. Essa ação aconteceria na saída e toda vez que o jogador
estacionasse em uma interrogação.
Se o jogador parasse em uma das casas referentes às regras de sinais,
deveria responder corretamente, avançar uma casa e, em seguida, passar a
vez para o próximo jogador. Se respondesse errado ficaria no mesmo lugar
até responder corretamente. Essas questões poderiam ser confirmadas com a
professora-pesquisadora.
Quando o jogador parasse em um das casas de tarefas, deveria fazer o que
mandava a tarefa e passaria a vez para o próximo jogador.
As respostas para as questões estariam indicadas no rodapé de cada cartão,
sendo que estaria dobrada e fixada por um clipe, de forma que só poderia ser
verificada por um de seus adversários, após a enunciação da resposta do
jogador.
Após a confirmação ou não da resposta, a questão deveria ser novamente
fechada com o clipe e separada fora do saquinho. Se os cartões-perguntas
acabassem e o jogo ainda não tivesse sido concluído, os jogadores deveriam
recolocar as questões novamente no saco e continuar o jogo.
As questões que o jogador não soubesseresponder, não deveriam ser
abertas e deveriam retornar imediatamente para o saquinho.
Ganharia o jogador que tivesse chegado primeiro ao final.
Depois que o primeiro jogador chegasse ao final, o jogo deveria continuar
entre os dois alunos que ficassem, até que um deles chegasse também ao
final.
Análise a priori:
Para jogar os alunos precisariam mobilizar os conhecimentos adquiridos
sobre o cálculo de potências no campo dos inteiros,colocando em prática as regras
que foram construídas com a ajuda deles. Precisariam, também, mobilizar seus
conhecimentos sobre a tabuada de potenciação ou, o que é mais provável, sobre a
tabuada de multiplicação. Por este motivo, julgávamos que alguns alunos
137
poderiamsentir dificuldades para jogar, não em relação a aplicaçãodas regras, mas
sim em relação ao cálculo corretodo valor absoluto das potências, caso não
tivessem o domínio da tabuada de multiplicação ou caso tivessem algum problema
de má construção do conceito de potenciação no campo dos naturais.
Por isso uma de nossas estratégias seriaacompanhar os grupos para tirar as
dúvidas e orientá-los no momento dos cálculos do valor absoluto das potências e,
também, permitirque os alunos utilizassempapel e caneta para executarem os
cálculos, orientando-os a terem paciência com aqueles que precisassem de um
pouco mais de tempo para esta ação.
Considerávamos que este jogo despertaria o interesse dos alunos e os
motivaria a se esforçarem em responder as questões pelo desejo de chegar primeiro
ao final.
2.15.2 Atividade escrita sobre as regras para a potenciação
Objetivo: Fortalecer o processo de assimilação das regras e contribuir para o
aprendizado das mesmas.
Número de jogadores por equipe: 02 (dois) alunos
Material: 01 (uma) folha de atividade (cf. Apêndice O) para cada dupla e caneta
Procedimento: os procedimentos seriam os mesmos utilizados na sessão 11 da
multiplicação e divisão.
Análise a priori:
Alguns alunos poderiam ter alguma dificuldade em lembrar a regra instituída
para completá-la e/ou sentir alguma dificuldade no cálculo do módulo das potências
em função da deficiência dos alunos em relação a tabuada, por este motivo
trabalhariam aos pares na tentativa de que um pudesse ajudar um ao outro e juntos
conseguissem resolver as questões.
2.16 SESSÃO 16: REVISITANDO TODAS AS REGRAS CONSTRUÍDAS
O objetivo desta sessão foi que ao trabalhar em grupo ou em duplas, fosse
possível aos alunos: interagir com seus pares e praticar as regras construídas para
as operações trabalhadas.
138
2.16.1Baralhode regras para adição, multiplicação, divisão e potenciação de números inteiros Objetivo: possibilitar a prática das regras construídas para as quatro operações
trabalhadas e o desenvolvimento de habilidades para o cálculo de adição,
multiplicação, divisão e potenciação, auxiliando na aprendizagem das mesmas.
Número de jogadores por equipe: 04 (quatro) alunos
Materiais:120 cartas (cf. apêndice O) e uma calculadora que contenha as teclas
parênteses.
Regras do jogo: as regras para esse jogo seriam as mesmas utilizadas no baralho
para adição de números inteiros, sendo que agora receberiam seis cartas e
formariam 02 (dois) trios (questão, regra, resultado).
Análise a priori:
Para jogar os alunos precisariam mobilizar não só os conhecimentos
adquiridos sobre as regras para resolução destas operações, como também seus
conhecimentos sobre a tabuada de adição, multiplicação, divisão e potenciação.
Além disso, precisariam ter atenção para relacionar corretamente as regras às
questões para poder chegar ao resultado correto. Considerávamos que talvez, no
primeiro momento, os alunos pudessem sentir alguma dificuldade relacionada a
nova maneira de formar um jogo, porém acreditávamos que ela seria superada a
medida que fossem desenvolvendo as partidas.Julgávamos,ainda,que a experiência
com o baralho de regras desenvolvido na sessão 11 contribuiria para a superação
dessas dificuldades iniciais. Assim, procuraríamos acompanhar os grupos na
intenção de corrigir os equívocos e observar as estratégias que usariam para jogar.
2.16.2 Exercitando as regras para as operações estudadas
Objetivo: Possibilitar a prática de todas as regras ao mesmo tempo e desenvolver
habilidades para o cálculo das operações com números inteiros.
Número de jogadores por equipe: 02 (dois) alunos
Material: 01 (uma) folha de atividade (cf. Apêndice P) para cada dupla e caneta.
Procedimentos:os procedimentos para o desenvolvimento desta atividade seriam
os mesmos utilizados na sessão 11.
Análise a priori:
139
Pressupúnhamos que a maioria dos alunos conseguiria resolver corretamente
as questões e que os erros, quando acontecessem, seriam principalmente
relacionados ao não domínio da tabuada.Julgávamos que, talvez, alguns alunos
também cometessem alguns equívocos relacionados às regras de
sinais.Especialmente quando as questões fossem referentes a adição e a
multiplicação. Baseamos nossa suposição nos estudos revisados e nos resultados
da pesquisa com os alunos egressos do 7º ano.
2.17 SESSÃO 17: AVALIANDO CONHECIMENTOS SOBRE AS REGRAS DAS OPERAÇÕES TRABALHADAS
O objetivo desta sessão foi verificar se os alunos haviam se apropriado das
regras, conseguindo resolver corretamente as questões propostas.
2.17.1 Pós-teste geral
O objetivo deste teste foi verificar qual o desempenho dos alunos na
resolução das questões de adição, multiplicação, divisão e potenciação com
números inteiros, após a realização das atividades.
Esclarecemos que a análise a priori deste pós-teste foi realizada juntamente
com a análise a priori do pré-teste, por serem o mesmo teste.
A seguir apresentaremos a descrição da experimentação, onde procuramos
colocar em prática o que foi previsto nas análises a priori.
140
3 EXPERIMENTAÇÃO
Nesta seção nosso objetivo é descrever como ocorreu a experimentação, ou
seja, como se deu o processo de realização da sequência didática com os alunos,
apresentando o conjunto dos dados recolhidos das observações e das produções
destes durante a realizaçãodas atividades desenvolvidasnas sessões de ensino. A
referida sequência didática foi colocada em prática a partir do dia 29/04/2011 e
encerrada em 27/06/2011, contando com a participação de 32 alunos do 7º ano do
ensino fundamental do turno da tarde de uma escola pública estadual, localizada no
bairro de Val-de-Cans.
3.1 A ESCOLA
A opção pela escola pública se deu pelo fato de sermos professora efetiva
desta rede de ensino e termos a oportunidade de já termos vivenciado no dia-a-
diaas alegrias, os conflitos e as dificuldades que se apresentam no desenvolvimento
do processo ensino e aprendizagem que acontecenas salas de aula deste tipo de
escola, nos permitindo, também,acreditar que esse processo pode ser melhor
desenvolvido,a fim de poder oferecer as centenas de filhos e filhas de trabalhadores
assalariados, a oportunidade de um ensino melhor.
A escola escolhida oferecia o ensino fundamental e médio a mais de 2000
alunos distribuídos em três turnos e era apontada pelos próprios alunos, professores
e responsáveis como uma escola organizada, onde os índices de evasão
erambaixos. Possuía uma boa estrutura física e costumava ter seu quadro de
professores sempre completo.
O principal motivo para escolha desta escola foi o fato de ter sido a escola
que registrou a maior concentração de professores de matemática22, atuando no
ensino fundamental, que responderam ao questionário sobre a avaliação das
dificuldades de aprendizagem dos números inteiros (apresentada na seção 1), o que
possibilitava que tivéssemos uma noção da metodologia de ensino que costumava
se adotada no ensino do conteúdo em questão, nesta escola.
Os outros motivos foram: facilidade de acesso à direção da escola, devido
conhecermos a diretora; facilidade de acesso à turma, devidoconhecermos a
22Totalizando 06 professores
141
professora com a qual negociamos o comando da turma para o desenvolvimento do
experimento; facilidade para chegar à escola, devido morarmos no mesmo bairro
onde a escola fica localizada e o fato de, curiosamente, ser a escola onde cursamos
o 6º ano quando criança.
Nosso primeiro contato com a escola para tratarmos da experimentação
ocorreu no dia 14 de março de 2011, quando apresentamos a diretora e a
professora os objetivos da pesquisa, a metodologia que seria utilizada e um esboço
do cronograma das atividades que pretendíamos desenvolver.
Neste encontro com a professora da turma, ficou acertado também quea partir
do mês de maio passaríamos a assumir a turma em seu lugar, e ela acompanharia a
turma, sem interferir, ajudando-nos nas observações das ações dos alunos.
Acertamos, ainda, que a avaliação bimestral dos alunos seria feita a partir da
avaliaçãoque ela faria sobre a participação deles nas atividades e sobre o
desempenho destes nos testes que seriam realizados. Tal negociação tornou-se
uma das “cláusulas” do contrato didático que foi estabelecido com os alunos.
Os encontros para a realização das atividades e testes ocorreram sempre na
segunda, quarta e sexta-feira, dias em que eram realizadas as aulas de matemática
na turma, obedecendo aos seguintes horários:
segunda-feira: dás 15h às 15h45min (3º horário) e dás 16h às 16h45min (4º
horário), tendo 15 minutos de intervalo entre uma e outra aula.
quarta-feira: dás 16h45min às 17h30min (5º horário) e 17h30min às 18h15min
(6º horário)
sexta-feira: (mesmos horários da quarta-feira)
3.2 O PERFIL DOS SUJEITOS DA PESQUISA
A turma pesquisada era formada por 38 alunos, porém somente 32 estavam
presentes no dia da aplicação do formulário. Por este motivo, em nossas análises
iremos considerar apenas as informações e resultados referentes a esses 32
discentes, a pesar dos outros seis estarem presentes em alguns encontros.
Sobre o perfil dos alunos que participaram da pesquisa, constatamos por
meio de um questionário (Cf.Apêndice C) aplicado no primeiro encontro da primeira
sessão da sequência didática, que dos 32 alunos pesquisados, 53,13% (17alunos)
eram meninas e 46,87% (15 alunos) eram meninos; 87,50% tinham como
142
responsáveis o pai e a mãe, os quais, em sua maioria, possuíam como escolaridade
máxima o nível médio. Verificamos também que 90,62% dos pais e 65,63% das
mães possuíam emprego fixo, indicando que estes estudantes tinham pelo menos o
mínimo de estrutura necessária para se desenvolver enquanto cidadãos que tem
seus direitos essenciais garantidos.
Mostramos a seguir, outras informações referentes aos sujeitos de nosso
estudo.
Gráfico 3- Distribuição das idades dos alunos do 7º ano
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Em relação às idades, verificamos que era uma turma com alunos de idades
variadas, sendo que a maioria deles se encontrava na faixa etária recomendada pelo
MEC para que a criança ingresse no 7º ano, que é de 12 anos. No gráfico 2 é
possível verificarmosque percentual de alunos além de estudar também trabalham
para ajudar no sustento da família.
Gráfico 4- Outra ocupação dos alunos
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
31,25% 34,38%
21,87%
9,37%3,13%
11 anos 12 anos 13 anos 14 anos 15 anos
Idades
3,13%
71,87%
25%
sim não às vezes
Trabalha de forma remunerada
143
O gráfico mostrou que a maior parte dos alunos apenas estudava e que
28,13% dos estudantes além de estudar, também trabalhavam de forma remunerada
sempre ou de vez em quando, o que poderia interferir de forma negativa em seus
desempenhos na escola. No gráfico 3 veremos onde os alunos cursaram o 6º ano.
Gráfico 5 – Instituições onde os alunos cursaram o 6º ano
Fonte: Pesquisa de campo (abril e junho/2011)
A leitura do gráfico revelou que a maioria deles não tinha cursado o 6º ano na
escola que seria pesquisada.Todavia também eram oriundos de escolas públicas.
Este dado foi importante para a nossa pesquisa porque indicava que talvez os
alunos tivessem experimentado projetos políticos pedagógicos diferentes, mas
faziam parte do mesmo sistema educacional. Portanto, certamente trabalharam o
mesmo currículo e passaram pelo mesmo processo de avaliação. Buscamos
verificar também quantos alunos moravam nas proximidades da escola pesquisada.
Gráfico 6- Mora no bairro onde está localizada a escola
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
43,75%
53,13%
3,12%
escola pesquisada outras escolas públicas escolas particulares
Intituição onde cursou o 6º ano
43,75%56,25%
sim não
Número de alunos
144
Verificamos que a maioria dos alunos não residia no mesmo bairro onde
estava localizada a escola, o que poderia significa que muito deles precisariam
utilizar bicicletas ou meios motorizados, provavelmente os ônibus, para chegar até a
escola. Acreditamos que a depender da distância e do meio de transporte que esses
alunos utilizavam para chegar a escola, o fato de morar distante dela poderia
influenciar negativamente na disposição e no desempenho dos alunos durante as
aula. Outra informação muito importante para nós era saber se existiam alunos
repetentes da série ou da disciplina. O gráfico 5 mostra o percentual referente a
esses alunos na turma.
Gráfico 7– Alunos repetentes ou em dependência
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
No gráfico observamos que a maioria dos alunos não era repetente nem
estava em dependência em matemática. O que nos levou a inferir que apenas
quatro alunos possuíam conhecimentos prévios sobre as operações com números
inteiros, já que no Brasil este é um conteúdo que só passa a fazer parte da grade
curricular nesta série de ensino. No gráfico 6 foi possível verificarmos o sentimento
dos alunos em relação a matemática.
12,50%
87,50%
sim não
145
Gráfico 8-Gosto dos alunos, pela matemática
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Foi possível verificar por meio das informações contidas no gráfico, que a
maioria dos alunos gostavam ao menos um pouco de matemática e que apenas
15,62% (correspondente a 05 alunos) não tinha pela disciplina, nenhum sentimento
positivo. No gráfico9 é possível verificarmos o grau de dificuldades que os alunos
dizem ter para aprender matemática.
Gráfico9- Grau de dificuldade para aprender matemática
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Em relação à dificuldade de aprendizagem matemática, verificamos que a
maioria dos alunos reconheceu ter um pouco ou muitasdificuldades para aprender
matemática, enquanto apenas 9,38% (correspondente a 03 alunos) declararam não
ter dificuldades. No quadro 9, abaixo, relacionamos a “dificuldade de aprendizagem
em matemática” e “o sentimento dos alunos por esta disciplina”.
15,62%
59,38%
25,00%
nenhum pouco um pouco muito
9,38%15,62%
75,00%
não sim um pouco
146
Quadro 9 – Relação entre o gosto dos alunos pela matemática e a avaliação de dificuldade dos alunos para compreendê-la. Dificuldade para aprender matemática
Não tem Tem um pouco Tem muita
Afi
nid
ad
e
co
m a
ma
tem
áti
ca Não gosta nenhum pouco 0 1 3
Gosta um pouco 2 16 1
Gosta muito 1 7 1
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
A análise do quadro indicou que a turma era constituída, em sua maioria, por
alunos que gostavam ao menos um pouco de matemática e não apresentavam
muitas dificuldades para aprendê-la.Entretanto, oQuadro 10 mostrou que a maioria
destes alunos não costumava dedicar muito tempo ao estudo de matemática quando
estavam fora da escola.
Quadro 10 – Relação entre dificuldade e hábito de estudo fora da escola
Dificuldade para aprender matemática
Não tem Tem um pouco Tem muita
Há
bit
o d
e e
stu
do
fora
da e
sc
ola
Só no período de prova
0 7 1
Só na véspera da prova
0 7 3
Só nos fins de semana
0 2 0
Todo dia 1 3 0
De 02 a 04 dias da semana
1 5 2
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Na análise do quadro foi possível verificar que a maioria dos alunos que tinha
um pouco ou muita dificuldade para aprender matemática eram também àqueles que
informaram estudar matemática, fora da escola, apenas no período ou na véspera
da prova, o que podecontribuir para que as dificuldades se acentuem. Pesquisa
realizada por Silva (2009) revelou que os próprios alunos reconhecem que para ter
sucesso na aprendizagem dos conteúdos matemáticos é preciso dedicação aos
estudos. Segundo eles, mesmo uma pessoa considerada inteligente pode fracassar
em matemática se não estudar o suficiente.
147
Outro fator verificado dizia respeito a atenção dada pelos alunos às aulas que
eram ministradas em sala de aula. O quadro 11 evidencia a relação deste fator com
a dificuldade para aprender matemática.
Quadro 11 – Relação entre a dificuldade para aprender matemática e a atenção dos alunos às aulas de matemática Dificuldade para aprender matemática
Não tem Tem um pouco Tem muita
Ate
nç
ão
do
s
alu
no
s a
s
au
las d
e
ma
tem
áti
ca Distraem-se
sempre
0
4
3
Não se distraem
3 10 1
Distraem-se às vezes
0 9 2
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
No cruzamento dos dados observamos que os alunos que disseram não ter
dificuldades para aprender matemática também não costumavam distrair-se durante
as aulas. Os que declararam ter muita dificuldade de aprendizado, em sua maioria,
eram sujeitos que sempre se distrair nas aulas. Já entre os que disseram ter um
pouco de dificuldade observamos que foi estabelecido equilíbrio entre os que não
costumavam se distrair e os que se distraiam às vezes, alegando que isso ocorria
quando a aula não estava interessante, quando não entendiam o assunto, quando
estava muito barulho na sala ou quando estavam com algum problema particular.
Evidenciando que os motivos mais freqüentes para distração estavam diretamente
relacionados aos aspectos didáticos.
Estes dados indicavam que a escolha de uma boa sequência didática e de
recursos pedagógicos adequados seriam fundamentais para despertar a atenção
dos alunos, reforçando nossa opção pelo uso da calculadora e de jogos para
trabalharmos as operações com números inteiros nesta turma, entendendo que além
de serem instrumentos que fazem parte do mundo tecnológico e lúdico no qual
vivem os alunos, também eram recursos que esses sujeitos não estavam habituados
a trabalhar em sala de aula, como veremos mais adiante.
Outro fator que julgávamos que poderia ter influência sobre o desempenho
dos alunos se referia ao domínio da tabuada. Nossa compreensão era de que o não
domínio da tabuada poderia ser um obstáculo (no sentido literal da palavra) para os
148
discentes no processo de aprendizagem das operações com inteiros. No quadro 12
é possível verificarmos como este fator estava relacionado a dificuldade de
aprendizagem matemática dos alunos.
Quadro 12 – Relação entre a dificuldade para aprender matemática e o domínio da tabuada Dificuldade para aprender matemática
Não tem Tem um pouco Tem muita
Do
mín
io d
a t
ab
uad
a
Não tem 1 11 3
Só da adição 0 3 1
Só da subtração 0 0 0
Só da multiplicação 0 3 0
Só da divisão 1 0 0
Só da potenciação 0 0 0
Da adição, subtração e multiplicação
0 2 2
Da adição e divisão 0 2 0
De todas 1 2 0
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
A análise do quadro revelou que os alunos que declaravam terpouco ou muita
dificuldade para aprender matemática em sua maioria não tinham domínio sobre
nenhuma das tabuadas. Recebemos essa informação com preocupação, pois este
poderia ser um fator que poderia interferir no desempenho dos alunos frente a
resolução das operações com números inteiros.
Quisemos também saber qual(ais) operação(ões) matemática ofereceriam
mais dificuldades de aprendizagem para esses alunos. No quadro 13 é possível
verificarmos as operações indicadas pelos alunos.
Quadro 13 – Operações que oferecem mais dificuldades
Operações Quantidade de alunos
Só adição 0
Só subtração 0
Só multiplicação 3
Só divisão 4
Só potenciação 15
Adição e potenciação 1
Subtração e potenciação 1
Divisão e potenciação 3
Multiplicação e potenciação 2
Multiplicação e divisão 1
Multiplicação, divisão e potenciação 2
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
149
Ao analisarmos o quadro verificamos que a potenciação era a operação
apontada pelos alunos como aquela que seria a mais difícil de aprender, seguida da
divisão e da multiplicação. O que nos permitiu inferir que essa dificuldade para
aprender a calculara potenciação poderia está relacionada a compreensão do
conceito de potenciação e/ou a falta de domínio da tabuada de multiplicação, uma
vez que a potenciação nada mais é do que a multiplicação sucessiva de um mesmo
fator.
Outra relação que também consideramos importante verificar foi se a
dificuldades dos alunos para aprender matemática teriam alguma influência sobre
suas notas nesta disciplina. No quadro 14 é possível verificarmos como estava
estabelecida esta relação.
Quadro 14 – Relação entre a dificuldade para aprender matemática e as notas bimestrais dos alunos do 7º ano. Dificuldade para aprender matemática
Não tem Tem um pouco Tem muita
No
tas
bim
estr
ais
Acima de 5 2 17 4
Igual a 5 1 5 1
Abaixo de 5 0 1 1
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Ao observarmos o quadro constatamos que a maioria dos alunos que tinha
um pouco ou muita dificuldade de aprendizado declararam que suas notas
costumavam ser acima de cinco23. Julgamos que um dos fatores que pode estar
contribuindo para que esses alunos venham mantendo estas notas seja a dedicação
deles ao estudo em sala de aula, uma vez que a maioria deles declarou não ter o
hábito de estudar diariamente quando está fora da escola.
Em relação aos instrumentos pedagógicos (calculadora e jogos) escolhidos
por nós para o ensino das operações com números inteiros. Constatou-se que
53,13% (17 alunos) nunca havia recebido ensino com o uso da calculadora e
65,63% (21 alunos) nunca havia trabalhado com jogos em sala de aula. Apenas 25%
(08 alunos) afirmaram que já havia trabalhado com a calculadora e 18,75% (06
23Nas escolas públicas de Belém cinco é a nota mínima necessária que o aluno deve alcançar em
cada avaliação bimestral para que seja aprovado.
150
alunos) afirmaram já ter trabalhado com jogos, os demais afirmaram que não
lembravam se alguma vez tinha sido usada a calculadora para ensinar-lhes algum
conteúdo matemático ou jogos para fixar o conteúdo trabalhado. Indicando que a
utilização desses recursos no ensino em sala de aula seria uma novidade para a
maioria deles, podendo ser uma motivação a mais para que elesparticipassem das
aulas com interesse.
A seguir apresentaremos a descrição do experimento.
3.3 O EXPERIMENTO
No quadro 15 apresentamoso cronograma dassessões de
ensinodesenvolvidas durante a experimentação eos dias em que ocorreram.
Quadro 15- Cronograma das sessões de ensino na experimentação
(continua)
DATA ATIVIDADES DO DIA
29/04/2011 Aplicação do formulário para levantamento de informações sobre a turma.
06/05/2011 Estabelecimento do contrato didático e Adição entre dois números inteiros com sinais iguais
09/05/2011
Adição entre dois números de sinais diferentes
Adição entre dois números inteiros simétricos
11/05/2011 Baralho para adição entre dois números inteiros
Pós-teste de adição
13/05/2011
Multiplicação entre dois números inteiros de sinais diferentes
Multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais
Multiplicação de um número inteiro por zero
16/05/2011
Multiplicação de um número inteiro por (-1)
Divisão entre dois números inteiros de sinais iguais
18/05/2011
Divisão entre dois números inteiros de sinais diferentes
Divisão de um número inteiro por (-1)
Divisão de zero por um número inteiro
20/05/2011 Baralho para multiplicação e divisão entre dois números inteiros
Bingo para multiplicação e divisão entre dois números inteiros
23/05/2011 Pós-teste de multiplicação e divisão
25/05/2011 Atividade escrita derevisão das regras de adição, multiplicação e divisão
Baralho de regras
27/05/2011 Baralho para adição, multiplicação e divisão
31/05/2011 Pós-teste parcial (adição, multiplicação e divisão)
13/06/2011 Potenciação de números inteiros com expoente par
15/06/2011
Potenciação de números inteiros com expoente impar
Potenciação de números inteiros com expoente nulo
20/06/2011
Trilha de potenciação de números inteiros
Atividade escrita sobre as regras para potenciação de inteiros
151
Quadro 15- Cronograma das sessões de ensino na experimentação
(conclusão) 21/06/2011 Baralho de regras para adição, multiplicação, divisão e potenciação de
números inteiros
Exercitando as regras para a todas as operações estudadas
27/06/2011 Pós-teste geral Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Salientamos que os diálogos descritos nesta seção foram feitos por nós, por
meio de anotações em um caderninho e por meio de um gravador de bolso.
3.3.1 Primeira sessão
Aprimeira sessão foi realizada no dia 29/04/2011 (sexta-feira) com o objetivo
deaplicar o formuláriopara levantamento de informações sobre a turma e aplicação
do pré-teste analisado nas análises a priori.
As informações obtidas com o formulário formaimportantespara o momento
das análises a posteriori, e também para nos dá uma noção da turma com a qual
iríamos trabalhar.Por este motivo o encontro foi realizado 07 dias antes do início das
outras sessões.Destacamos que neste período a professora ainda não tinha
trabalhado com os alunos as noções sobre números inteiros.
O encontro foi iniciado com a professora efetiva nos apresentando a turma e
explicando que faríamos um trabalho com eles a partir do mês de maio referente a
uma pesquisa científica em nível de mestrado e que naquele momento
precisávamos que eles respondessem a algumas questões, passando a palavra
para nós.
Então, nos apresentamos aos alunos informando que também éramos
professora de matemática e, no momento, estávamos como aluna do Programa de
Pós-Graduação em Educação da UEPA, cursando o Mestrado.Explicamos o que era
o mestrado e que o trabalho que iríamos desenvolver com eles seria referente às
operações com números inteiros e que por isso precisava da colaboração deles
respondendo ao formulário para que pudéssemos colher algumas informações que
nos ajudariam no trabalho que realizaríamos em maio. Perguntamos se poderia
contar com a colaboração deles e eles gentilmente disseram que sim.
Entregamos a eles o formulário e explicamos que se tratava de dois
momentos. O primeiro era referente a informações pessoais e estudantis que
152
deveriam ser respondidasà medida que nós fossemos lendo as questões e tirando
as dúvidas e o segundo era composto de algumas questões de adição,
multiplicação, divisão e potenciação (pré-teste) que eles deveriam responder de
acordo com o conhecimento que possuíssem.
Quando os alunos examinaram o pré-teste, alguns deles perguntaram por que
aqueles números tinham o sinal de menos na frente, se referindo aos números
negativos. Explicamos que se tratava dos números negativos que eles iriam
conhecer melhor com a professora nas próximas aulas, então vários deles disseram
que não saberiam fazer por que ainda não tinham estudado aqueles números.
Dissemos a eles que tentassem resolver aquilo que conseguissem e deixassem em
branco o que não soubessem como resolver.Então às 17h demos início a resolução
da primeira parte do formulário. Concluído este momento, pedimos aos alunos que
procedessem a resolução do pré-teste.
Demos aos alunos 45 minutos para realizaçãodo deste, sendo iniciado às
17h15min.O primeiro aluno entregou seu pré-teste depois de 10 minutos de sua
realização alegando que só sabia resolver cinco questões. Logo em seguida, mais
dois alunos entregaram o pré-teste, ondepudemos observar que só haviam resolvido
a primeira questão, que era uma adição que se assemelhava a adição no campo dos
naturais. Passados 20 minutos do inicio do pré-teste apenas três alunas
permaneciam na sala tentando resolver as questões. Às18h a única aluna que ainda
estava em sala entregou seu questionário, onde foi possível verificar que seis
questões do pré-teste estavam resolvidas, mas apenas duas estavam corretas.
3.3.2 Segunda sessão
A segunda sessão ocorreu no dia 06/05/2011 (sexta-feira), quando foi
estabelecido o Contrato Didático e desenvolvida a atividade denominada: adição
entre dois números inteiros de sinais iguais, cujo objetivo que os alunos
descobrissem uma regra para calcularadições com esta característica.
O encontro foi iniciado às 16h50min com a professora efetiva nos
reapresentando a turma einformando que a partir daquele dia nós passaríamos a
assumir a turma e o conteúdo que iríamos estudar faria parte da avaliação bimestral,
que por sua vez, seria composta pela observação da participação deles nas
153
atividades e pelo resultado obtidos nos testes que seriam realizados ao longo do
processo.
Quando recebemos a palavra explicamos aos alunos o objetivo de nossa
pesquisa e dialogamos com eles sobre a metodologia que seria usada, informando
que a professora da turma nos acompanharia durante todo o experimento, mas não
poderia interferir no desenvolvimento dele, especialmente na realização das
atividades; as aulas seriam realizadas por meio de atividades com o uso da
calculadora e jogos e sempre desenvolvidas em grupos; cada aluno receberia um
crachá que deveria ser usado em todas as aulas para que a identificação deles
fosse mais fácil para nós. Por fim, solicitamos que não demorassem a voltar para
sala, no dia em que houvesse intervalo entre uma aula e outra.
Depoisperguntamos se tinham alguma dúvida e se queriam acrescentar mais
alguma coisa. Um dos discentes perguntou quantos alunos ficariam em cada grupo
e se teria que ser sempre o mesmo grupo. Informamos que iríamos orientar a
quantidade de alunos por grupo de acordo com a atividade a ser desenvolvida, mas
que com certeza não poderia ultrapassar 04 (quatro) participantes e que eles
poderiam mudar os grupos a cada aula, caso desejassem.
Outro aluno perguntou se poderiam levar o crachá e a calculadora para casa,
dissemos que o crachá tudo bem, mas não poderiam se esquecer de trazê-lo para
as aulas. Quanto à calculadora, informamos que não poderiam levá-la porque era
um material essencial para o nosso trabalho e não poderíamos correr o risco de
alguém se esquecer de trazê-la, mas combinamos que ao final do experimento
sortearíamos duas delas entre eles.
Um dos alunos pediu para que também usássemos crachá, pelo menos até
aprenderem nosso nome, acatamos o pedido. No mais, não houve nenhuma
objeção.
A partir desse momento esperávamos poder estabelecer um contrato
didático24com a turma de modo que a aventura da aquisição do saber pudesse
acontecer e o conhecimento novo pudesse ser construído na interação dos alunos
com o meio e conosco, uma vez que assumiríamos o papel de professor da turma.
Segundo Brousseau (2008, p. 75), as cláusulas de um contrato didático não podem
24
Conjunto de comportamentos específicos do professor esperado pelos alunos, e o conjunto de comportamentos
dos alunos esperado pelo professor (BROUSSEAU, 1986 apud SILVA, 2008, p. 34)
154
ser objeto de um acordo entre dois protagonistas, pois só a aventura da aquisição do
saber permite conhecer o sentido e as condições desse contrato.
Portanto, iniciamos a aplicação das atividades previstas em nossa sequência
de ensino, esperando que esse contrato didático se estabelecesse.
Entregamos os crachás aos discentes e solicitamos que formassem grupos
de três alunos para darmos início ao desenvolvimento da atividade. Observamos
que a maioria dos alunos aceitou o comando, sendo formados 10(dez) grupos com
três alunos, porém, alguns alunos preferiram se organizar de forma diferente,
formando 01 (um) grupo com quatro participantes e 01 (um) com dois, como
consideramos que não haveria prejuízo para o desenvolvimento da atividade, não
fizemos objeção.
Cada grupo recebeu primeiramente a calculadora, uma apenas,em seguida
pedimos que a abrissem e ligassem e desligassem para verificar se estava
funcionando. Observamos que alguns alunos tiveram dificuldade para abri-la porque
ela possuía uma capa embutida e outros tiveram dificuldade para localizar as teclas
para esta ação. Então, com uma calculadora em mãos, pedimos que os alunos nos
observassem e ensinamos como abri-la e indicamos a localização das teclas.
Um aluno perguntou por que ela tinha tantos botões e para que eles serviam.
Explicamos que se tratava de uma calculadora científica e que aquelas teclas
serviam para realizar diversas operações matemáticas, mas que naquele momento
nós só iríamos utilizar aas teclas numéricas e as teclas: “+”, “-“ e “=”. Notamos que
os alunos estavam bem curiosos em relação à máquina. Por isso, perguntamos
quem já conhecia uma calculadora como aquela e apenas quatro alunos se
manifestaram positivamente.
Entregamos então, as folhas de atividade, uma para cada grupo, pedindo que
lessem em voz alta o título e o objetivo da mesma, depois explicamos que deveriam
resolver as questões usando a calculadora, anotando o resultado ao lado de cada
uma delas. Após resolverem todas as questões, deveriam responder aos
questionamentos que estavam logo abaixo delas, tentando descobrir qual era a
regra. Antes, porém, pedimos que os grupos digitassem as duas primeiras questões
e dissessem em voz alta o resultado, para verificarmos se todos haviam realizado a
operação corretamente. Todos deram a resposta certa.Solicitamos,então, que se
organizassem de forma que todos participassem da atividade e pudessem manusear
a calculadora. Às 17h10min os alunos começaram a desenvolver a atividade.
155
Observamos que a maioria dos grupos dividiu o número de questões em
blocos para que cada participantepudesse digitar um certo número de questões, se
revezando na anotação dos resultados; outros se revezavam a cada questão.
Fotografia 2- Alunos resolvendo as atividades de adição
Observamos, também, que a maioria dos alunos se mostrava muito
interessado e agitado com o desafio proposto. Tanto que dois grupos depois de
terem resolvido as três primeiras questões nos chamaram e disseram que já tinham
entendido o que estava acontecendo, dissemos que tudo bem, mas era melhor
terminarem as resoluções para que confirmassem suas ideias.
Em nosso “passeio” pelos grupos notamos que alguns delesanotavam os
resultados da forma como era apresentado pela calculadora, ou seja, sem a
indicação do sinal “+” e alguns escreviam os resultados utilizando o sinal. Quando
chegamos ao momento da institucionalização do saber comentamos este fato com
os alunos e perguntamos se a indicaçãodo sinal “+” nos resultados estava certa ou
errada. A turma se dividiu, alguns diziam que sim e outros diziam que não, então
perguntamos aos que indicaram o sinal porque o fizeram.Um dos alunos respondeu
que a professora efetiva tinha ensinado que era a mesma coisa com sinal ou sem
sinal, concordamos e depois perguntamos: “e como são chamados esses números
no conjunto dos números inteiros?”. Alguns poucos alunos responderam: “positivo”.
156
Dissemos que estava correto e perguntamos: “e os que trazem o sinal de „-„, como
são chamados?”. A maioria deles respondeu: “negativo”.
Depois que os grupos concluíram o trabalho com a calculadora notamos que
vários deles estavam encontrando dificuldades para responder aos
questionamentos, inclusive um dos dois grupos que havia nos chamado inicialmente.
Então, nestes grupos,procuramos fazê-los refletir utilizando os questionamentos
previstos na análise a priori.
Um dos alunos do grupo nos disse: “professora tá dando mais e
menos”.Referindo-se aos resultados positivos e negativos. Dissemos: “e vocês já
observaram quando isso acontece. Quando dá mais e quando dá menos?”. Depois
de algum tempo observando as questões, uma das alunas, disse: “tá, tá professora,
já sei”, virou-se para as colegas e disse: “dá mais quando todo número tem sinal
maior e dá menos quando todo número tem sinal de menos”. Então perguntamos: e
o que a calculadora fez para chegar nesses resultados? A aluna respondeu: ela
somou. Gesticulamos positivamente e nos retiramos para deixar que os alunos
conversassem e chegassem a uma conclusão.
Durante a realização desta atividade ficou claro para nós o nível de
dependência que a maioria dos alunos tinham em relação ao professor, pois a todo
instante demonstravam estar inseguros em relação as sua observações e
construções.
Depois de verificarmos que os grupos já haviam escrito suas conclusões,
pedimos que um aluno de cada grupo fosse até o quadroe escrevesse a regra
elaborada por seu grupo.A princípio os alunos se mostram tímidos e com vergonha,
mas depois que explicamos que não deveriam se preocupar com a beleza das letras
ou com algum erro ortográfico que pudesse ser cometidoos alunos, escolhidos pelo
grupo, a começar pelos meninos,levantaram-se e anotaram suas conclusões no
quadro, conforme mostra a figura abaixo.
157
Fotografia 3- Alunos socializando suas conclusões sobre a adição
Os alunos nos entregavam as folhas de atividade logo que terminavam de
escrevê-las no quadro. Depois que todas as regras estavam escritas, explicamos
aos alunos que faríamos a leitura e em seguida asistematização da regraa partir do
que eles haviam escrito, informamos também que regrasistematizada
(institucionalizada) seria aquela que adotaríamos em nossas aulas.
No Quadro 16 apresentamos as produções dos grupos referentes as regras
que foram formuladas e socializadas por eles.
Quadro 16- Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros de sinais iguais (continua)
GRUPO
Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a calculadora?
CONCLUSÃO (REGRAS)
G1
Mesmo as questões sendo de menos elas darão o resultado de +. Ex: -6-6=-12
Mesmo que a conta seja de subtração, o resultado dará como se fosse conta de adição
G2
Menos com menos dá um resultado maior e mais com + dá o resultado exato.
Quando for o sinal de (-) nós somamos e o resultado é maior. E quando for mais (+) o resultado é o mesmo
G3 Não responderam Nós entendemos que todas as operações dão um número maior
G4
Sim, porque os sinais são iguais se mais todas as contas são somadas mesmo com sinais de menos são somados e no resultado se coloca o menos ou mais na frente
Quando as contas não podem ser subtraídas mesmo com sinal de menos
158
Quadro 16- Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros de sinais iguais (conclusão)
G5
Quando um número foi “-“ negativo e quando dá positivo se foi de mais
É uma operação de menos ou mais, na subtração subtrai direto e se der negativo, coloque o sinal de “-“ na frente do número e adição soma direto.
G6
Todas foram somadas para chegar no resultado - - = -; + + = +. Só pode usar o – no final quando tem dois negativos. Para ficar com o sinal de + no final só quando há dois positivo
A gente entendeu que mesmo sem a calculadora o resultado dá o mesmo
G7
Nós entendemos que as operações de adição da sempre normal e as de subtração os resultados dão idênticos a uma operação de adição normal mais o que tem de diferente é que quando sai o resultado dá negativo, foi isso que nós entendemos
A regra é a mesma que usamos para somar e subtrair
G8
É que ao invés de subtrair a calculadora estava somando
Nós entendemos que não importa quanto for, vai dá sempre um número maior.
G9
Quando um sinal vem em primeiro lugar a gente troca pelo segundo. Ex: +4+7= 11; -8-6= -14
Pela calculadora é mais fácil
G10
A calculadora soma mais rápido do que nós, o sinal de mais da a resposta maior e o sinal de menos da menos, o sinal dividi.
A regra são os sinais de mais menos vezes dividi tem que seguir a ordem
G11
É como se o sinal de – 5-5 é igual quando tem mais e mais na frente do numero
Tem que soma e diminuir a fração
G12
Os sinais não se modificarão só que tem alguns resultados que não tem sinal antes dele. Altere porque tem dois menos.
A gente entendeu que não se modifica nada se tiver mais ou menos na frente dos números, vai dar o mesmo resultado.
Fonte: Produção escrita dos grupos
Notamos que os alunos cometeram vários equívocos e que apenas um grupo
conseguiuelaborar uma redação quese aproximava deuma regra para este caso da
adição, o que era esperado. Por isso ao realizarmos a institucionalização, que é o
momento em que o professor tem a missão de organizar a síntese do conhecimento,
procurando torná-lo objetivo e universal,estabelecemos com os alunos o diálogo a
seguir. Esclarecemos que representaremosas manifestações dosdiversos alunos
durante o experimentoporM1, M2, M3, ...
159
P (pesquisadora): Vamos agora organizar nossa regra. Qual é o titulo da atividade? T: (turma): Adição entre dois números inteiros de sinais iguais P: É o objetivo, qual era? T: “Era para descobrir uma regra praresolver somas dos números de sinais iguais”. P: Então vamos partir daí para organizar o que vocês escreveram,podemos começar assim: para somar dois números de sinais....O quê? T: “Iguais” P: O que devemos fazer? Vamos verificar qual operação vocês observaram que a calculadora realizava para chegar ao resultado? M1: “Ela somava, mesmo quando tudo era menos” P: Equanto aos sinais? O que vocês observaram quanto a eles? M2: “que só pode usar o “-“ quando tem dois negativos e o “+” quando tem dois positivos” P: Algum outro grupo observou isso também? M3: (levantando a mão) nós observamos que era o mesmo sinal que tava na conta. P: Ah! Então posso dizer que o sinal das parcelas se repetia? T: pode P: Mas vejo que nenhum grupo escreveu nada parecido com isso aqui nas suas conclusões. Vamos organizar o que vocês escreveram e construir a regraque será de domínio de toda a turma?
Após o diálogo realizamos a institucionalização da regra que ficou assim
elaborada:
Para somar dois números de sinais iguais devemos somar os números e conservar o sinal das parcelas.
Depois da institucionalizaçãodiscutimos com os alunos alguns exemplos e
orientamosque anotassem em seus cadernos porque esta seria a regra com a qual
trabalharíamos em sala de aula.
Neste dia não conseguimos entregar a ficha de avaliação por que os alunos
estavam muito agitados para ir embora, devido todas as outras turmas já terem sido
dispensadas. Por isso, pedimos que eles fizessem oralmente a avaliação da aula.
Alguns disseram que foi legal por que haviam aprendido muitas coisas, outros
que foi interessante e outros que foi muito boa.Foram gastos 40min para a
realização da atividade, 5min para que todos os grupos escrevessem as conclusões
no quadro e 15 minutos na institucionalização do saber. Encerramos esse encontro
às 18h10min.
3.3.3Terceira sessão
A terceira sessão ocorreu no dia 09/05/2011 (segunda-feira), quando foram
desenvolvidas as atividades denominadas: Adição entre dois números inteiros de
160
sinais diferentes e Adição entre dois números inteiros simétricos, com o objetivo de
que os alunos pudessem descobrir as regras para calcular esses casos de adição.
Neste dia ao entrarmos em sala de aula os alunos nos cumprimentaram
animados e percebemos que eles estavam bem mais tranqüilos do que no encontro
anterior. Solicitamosaos que estavam de pé para que se sentassem e perguntamos
como tinha sido o final de semana deles.Alguns alunos responderam que o fim de
semana tinha sido “normal”.Perguntamos, então, o que queria dizer ser “normal”,
eles explicaram que era porque não tinha acontecido nada diferente do que eles
costumavam fazer. Outros alunos disseram que o final de semana tinha sido bom
porque tinham saído para passear. Perguntamos então se todos estavam bem
naquele dia e a resposta foi afirmativa.
Após este diálogo pedimos que organizassem os grupos para que
pudéssemos começar a aula. Alguns alunos perguntaram quantos participantes
deveria ter em cada grupo e respondemos que gostaríamos que fossem três alunos.
Neste dia estavam presentes 34 alunos, sendo formados 08 (oito) grupos com três
alunos, 02 (dois) com quatro e 01 (um) com dois alunos. Apenas quatro grupos
sofreram alterações.Entregamos então a calculadora e a folha referente à primeira
atividade a ser desenvolvida neste dia, orientamos que deveriam realizar o mesmo
processo da aula anterior.
Os grupos começaram a desenvolver a primeira atividade - adição entre dois
números inteiros de sinais diferentes - às 15h10min e pudemos observar que eles já
não apresentaram dificuldades para manusear a calculadora e se mostraram
empenhados em descobrir qual era a regra para esta atividade. Em nosso “passeio”
pelos grupos foi possível observarque os alunos conversavam entre si, tentando
responder aos questionamentos. Foi possível também verificar que a maioria deles
estava conseguindo perceber qual era a operação realizada pela calculadora para
chegar ao resultado, mas estavam tendo dificuldade para perceber que o sinal
referente ao resultado era o mesmo apresentadopelo módulo da maior parcela em
cada questão.
Nos grupos que solicitaram nossa presença, utilizamos os questionamentos
previstos na análise a priori tentando levá-los a reflexão. Passados 30 minutos do
início da atividade, todos os grupos já haviam concluído a atividade, então pedimos
que um representante de cada grupo fosse ao quadro e escrevesse suas
conclusões.
161
Às 15h45min iniciou-se o intervalo para os alunos da escola. Por este motivo,
a leitura das conclusões dos grupos foi realizada após o intervalo, que era de 15
minutos. Os alunos começaram a retornar para sala às 16h e às 16h5min iniciamos
a leitura das conclusõesfazendo a discussão sobre os equívocos cometidos e
parabenizando os grupos que tinham conseguido descobrir e formular a
regraadequadamente. Em seguida procedemos a institucionalização da regraque
faria parte do domínio da turma.
Durante a leitura das conclusões pudemos observar que a maioria dos grupos
descobriu a regra e que a redação deles tinha melhorado bastante em relação as
redações da primeira atividade de adição, inclusive observamos que alguns grupos
usaram a mesma estrutura de organização da regra institucionalizada na primeira
atividade. Observamos, também, que os grupos festejavam cada vez que
informávamos que as suas conclusões estavam satisfatórias. No quadro 17
apresentamos as produções dos alunos referentes a esta atividade.
Quadro 17- Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros de sinais diferentes (continua)
GRUPOS
Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a
calculadora?
CONCLUSÕES (REGRA)
G1
Os números são diferentes as somas também são
Para somar dois números de sinais diferentes devemos somar os números e repetir o sinal.
G2
Para determinar estes resultados sem a ,calculadora devemos manter o sinal do número maior.
Para somar os números de sinais diferentes devemos manter o sinal do número maior e subtrair (-)
G3
Não responderam
Para somar números de sinais diferentes devemos subtrair e repetir o sinal que está na frente do número maior.
G4
Os sinais diferentes subtrai e o sinal maior é conservado
Para somar dois números de sinais iguais, devemos em algumas contas repeti o sinal e colocar o resultado e outros só o resultado.
G5
-2+9= 7d
Quando os números forem de sinais diferentes nós subtraímos e conservamos o sinal do número maior
G6
Subtraindo
Quando o sinal for diferente é só subtrair conservamos o sinal do número maior
G7
Não responderam
Quando o sinal for diferente a gente subtrai e conserva o sinal maior
162
Quadro 17- Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros de sinais diferentes (conclusão)
G8
Não responderam
Quando a conta + ou – diminuir toda conta
G9
Não responderam
Nós entendemos que quando o sinal diminui fica o sinal do maior número
G10
Quando tiver o sinal de – e o + resultado é +. Quando for + e o – resultado é -. Todos foram somados para chegar ao resultado
Quando tiver o sinal de – e o + resultado é +. Quando for + e o – resultado -. Todos foram diminuídos para chegar ao resultado. Porque eles são maiores e tão repetido o sinal do maior.
G11
Depende do número se vai dá negativo e positivo e também qual o sinal e que quando é adição dá negativo e subtração dá positiva.
Devemos diminuir para dá positivo
G12
No resultado de números diferentes se subtrai e se conserva o sinal do maior número
Porque nós colocamos – na frente sempre vai da + ou + na frente vai dá -
Fonte: Produção escrita dos grupos
A regra que passou a fazer parte do domínio da turma ficou assim construída:
Para somar dois números de sinais diferentes devemos subtrair os números e conservar o sinal do número maior.
Após a institucionalização, apresentamos e discutimos com os alunos alguns
exemplos e encerramos a atividade às 16h15min. Logo em seguida, iniciamos a
segunda atividade do dia, denominada adição entre dois números inteiros
simétricos.
Entregamos as folhas de atividade aos grupos e orientamos que utilizassem o
mesmo procedimento das demais atividades. Como prevemos nas análises a priori
existiram alguns grupos, três para sermos mais exatos, que achavam que a
calculadora estava com algum problema porque digitavam a questão e a calculadora
continuava apresentando o zero, como se não tivesse efetuado a operação. Um dos
diálogos que tivemos com os grupos foi o seguinte:
P: Porque vocês acham que a calculadora está com problema? M1: por que a gente digita as questões e ela não sai do zero P: e isso está acontecendo em todas as questões? M2: é P: vocês já observaram com atenção essas questões? As parcelas têm sinais iguais ou diferentes? M3: diferentes
163
P: na atividade anterior, quando os números tinham sinais diferentes que operação a calculadora executava? M4: ela diminuía P: Será que não é isso que a calculadora está fazendo? E os números de cada questão, eles tem alguma coisa em comum? M5: são os mesmos P: são iguais. E o que vocês aprenderam nas séries anteriores sobre subtrair a mesma quantidade, os números iguais? M6: que dá zero P: então, será que a calculadora realmente está com problema? Conversem a respeito.
Após o diálogo nos afastamos para deixar que os alunos pudessem conversar
e chegar a uma conclusão.
Em relação a esta atividade, observamos que a maioria dos grupos não teve
nenhuma dificuldade para perceber a regra e relacioná-la ao fato dos números
serem iguais e terem sinais diferentes.Notamos, também, que alguns grupos
formados por meninos estavam competindo para ver quem conseguia descobrir
regra e redigi-la da melhor forma.
Em um dos grupos, ouvimos um aluno expressar o seguinte comentário: “tem
que ser uma coisa mais formal”, querendo dizer que a regra não poderia ser redigida
de qualquer jeito.
A partir desta atividade, observamos que os alunos começaram a se mostrar
autônomos no processo. Já não precisávamos mais convidá-los a ir ao quadro para
escrever suas regras, depois que escreviam suas conclusões na folha de atividade
se dirigiam até nós e pediam o pincel atômico para anotá-las no quadro. Essa
iniciativa deu mais agilidade ao processo.
Após 20 minutos do início da atividade todos os grupos já a haviam concluído
e socializado suas conclusões no quadro. Fizemos então a leitura e pudemos
verificar que a grande maioria dos grupos conseguiu descobrir a regra relacionando-
a ao fato dos números serem opostos. No entanto, apenas um grupo escreveu a
regra usando este termo, a pesar dele está expresso no título e nos objetivos. Por
isso, durante a institucionalização chamamos atenção novamente para estes dois
elementos e recordamos com os alunosque os números iguais de sinais diferentes
são chamados de simétricos ou opostos. O Quadro 18 apresenta as produções dos
alunos em relação a regra a ser construída.
164
Quadro 18 – Regras construídas pelos alunos para adição entre dois inteiros opostos GRUPOS O que podemos observar? CONCLUSÕES (REGRAS)
G1
Não responderam Na adição de dois números inteiros opostos, quando os números forem iguais e o sinal diferente o resultado vai dar sempre 0 (zero).
G2
Para calcularmos os números com sinais diferentes e com o mesmo número o resultado será 0
Para calcularmos os números com sinais diferentes e com o mesmo número o resultado sempre será 0
G3
Na adição entre dois números inteiros opostos o resultado é zero
A soma de números iguais com sinais diferentes, o resultado será sempre 0
G4
Não responderam Se os números são iguais e os sinais diferentes o resultado é sempre zero.
G5
Na adição do número oposto deu tudo zero
Deu tudo zero porque os números são iguais e os sinais diferentes
G6
Não responderam A conta sendo positiva ou negativa diminui todas as contas dá mesmo resultado
G7
Não responderam Nós entendemos que os números são iguais, eles dão o resultado de uma conta de subtração
G8
Não responderam O procedimento vai ser sempre o mesmo só que a diferença é que os números são iguais e vai dar sempre zero
G9
Nós observamos que o resultado vai dá 0 e o sinal é diminuir
Nós entendemos que o resultado sempre vai dá o 0 porque os números são iguais e o resultado vai sempre diminuir (-) e nunca vai aumentar
G10
Porque todos os números são iguais mais os sinais são diferentes e por isso é que dá (0)
A soma é negativa e os números são iguais e por isso dá (0). Ex: -2 + 2=0
G11
Na adição de dois números opostos os resultados foram todos 0
Concluímos que todos os números são somados por si mesmo e mesmo que seja o sinal de adição ou subtração o resultado vai dar o mesmo o 0.
G12
Os sinais são diferentes, mas os números são os mesmo. A gente tem que diminuir os números iguais que vai dar zero
Nós concluímos que quando os sinais são diferentes, mas os números são os mesmos o resultado vai dar zero
Fonte: Produção escrita dos grupos
A regra institucionalizada ficou assim formulada:
Na adição de dois números inteiros opostos a soma será sempre zero.
Realizada a institucionalização da regra, discutimos alguns exemplos com os
alunos e encerramos este momento. Em seguida entregamos acada aluno uma ficha
de avaliação para que expressassem sua opinião sobre o encontro realizado neste
dia.
165
Esclarecemos que as análises sobre as avaliações estão apresentadas na
seção seguinte, quando tratamos das análises a posteriori, por isso, nesta seção nos
limitaremos a apenas apresentá-las.
No Quadro19apresentamos as avaliações dos alunos e a quantidade de
alunos que emitiram a mesma opinião ou opiniões similares.
Quadro 19- Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 09/05/2011 AVALIAÇÕES Nº de
Alunos
04
07
12
09
01
02
01
01
Fonte: Ficha de avaliação da aula
Observamos que todos os alunos disseram ter gostado da aula,
principalmente por ela ter lhes proporcionado aprendizado do conteúdo, porém,para
alguns deles a aula também proporcionoumomentos de descontração e o
desenvolvimento da habilidade de concentração.
166
3.3.4Quarta sessão
A quarta sessão ocorreu no dia 11/05/2011 (quarta-feira) quando foi
desenvolvido o Baralho para adição entre dois números inteiros, com o objetivo de
possibilitar a prática e a assimilação das regras e aplicado o pós-teste, com o
objetivo de verificar o desempenho dos alunos após a realização das atividades.
Neste dia entramos em sala de aula às 17h porque a professora da aula
anterior demorou a sair. Quando entramos na sala os alunos perguntaram se eles
iriam desenvolver outras atividades como as da aula passada, respondemos que
naquele dia iríamos jogar um baralho. Os alunos comemoraram.
Pedimos que se organizassem em grupos de quatro participantes e alguns
alunos pediram pra formar grupos de três participantes, como avaliamos que não
haveria prejuízo para o desenvolvimento do jogo, permitimos. Foram formados
então, 06 (seis) grupos com quatro participantes e 04 (quatro) grupos com três.
Entregamos um baralho e uma calculadora para cada grupo e em seguida
explicamos oralmente as regras, mostrando um exemplo de como deveriam ser
formados os pares e ressaltamos que a calculadora só poderia ser usada quando
algum dos participantes anunciasse que tinha conseguido formar os três pares, para
confirmar se estavam corretos.
Os alunos começaram a jogar às 16h10min. Observamos que a maioria dos
alunos estava tendo dificuldadepara compreender a dinâmica do jogo, solicitando a
toda hora, nossa presença e até da professora efetiva em seus grupos para orientá-
los melhor. Então, explicávamos novamente a regra do jogo em cada grupo, sendo
que em dois deles tivemos que acompanhar uma partida orientando-os a cada
jogada, pois apenas a explicação oral da regra não tinha sido suficiente. Depois que
entenderam como jogar, o jogo transcorreu normalmente.
Observando os grupos jogarem, notamos que em alguns os alunos estavam
utilizando a calculadora o tempo todo para realizar as operações, fomos até eles e
reforçamos que só poderiam usar a calculadora para confirmar os pares do jogador
que tivesse “batido” o jogo, pedimos que guardassem a calculadora e que tentassem
lembrar das regras. Eles nos atenderam e passaram a jogar sem a máquina.
No primeiro momento notamos que os alunos estavam inseguros para utilizar
as regras adequadamente, especialmente, a regra referente aos números de sinais
diferentes, mas o fato de usarem a calculadora para confirmar o resultado os
167
ajudava a perceber quando estavam certos os errados.Percebemos, também, que a
estratégia da maioria dos alunos era formar os pares a partir da questão, por esse
motivo, descartavam todas as cartas de resultado, caso estas não lhes servisse.
Às 17h30min recolhemos o material e pedimos que os alunos colocassem
suas carteirasem fila indiana, explicando que realizaríamos um pequeno teste,
individualmente, para verificar o que eles já tinham conseguido aprender sobre os
tópicos que havíamos estudado. Uma aluna perguntou se o teste valeria ponto,
entãoa professora efetiva explicou que contaria como parte da avaliação deles.
Neste momento, aproveitamos para lembramos de que estavam participando de
uma pesquisae que todas as atividades ali realizadas deveriam ser levadas á sério
mesmo que não contasse ponto. Demos 5minpara que os alunos pudessem se
preparar para iniciarmos o teste.
Às 17h35min começamos a entregar o pós-testede adiçãoaos alunos.Em
seguida fizemos com eles a leitura das questões e eles começaram a resolvê-las.
Passados 5 minutos três alunos anunciaram que haviam concluído o teste, como
avaliamos que tinham sido rápidos de mais, pedimos que tivessem calma e fizessem
uma revisão de suas respostas para ter certeza do que haviam feito. Notamos que
dois dos alunos, depois de fazerem a revisão, estavam corrigindo algumas questões.
Às 17h50min, os alunos começaram a entregar seus pós-testes, sendo
concluído às 18h quando as duas últimas alunas que ainda estavam em sala
entregaram seus testes.No momento em que os alunos entregavam o pós-
testerecebiam a ficha de avaliação. Depois de preenchê-la nos entregavam e se
retiravam da sala de aula.
No Quadro 20apresentamos asopiniões emitidas pelos alunos a cerca da aula
realizada.
168
Quadro 20-Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 11/05/2011 AVALIAÇÕES Nº de
Alunos
07
01
08
02
05
11
01
01
Fonte:Ficha de avaliação da aula
Observamos que apenas um aluno não avaliou a aula positivamente,
justificando que estava com problemas pessoais que interferiram no aproveitamento
da aula. Quanto aos demais, notamos que a maioria se referiu ao jogo apontando
que por meio deles puderam aprender mais sobre o conteúdo que estava sendo
trabalhado.
3.3.5Quinta sessão
A quinta sessão ocorreu no dia 13/05/2011 (sexta-feira), quando foram
desenvolvidas as atividades denominadas: Multiplicação entre dois números inteiros
de sinais diferentes, Multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais e
Multiplicação de números inteiros por zero,com o objetivo de possibilitar que os
alunos descobrissem uma regra para cada um desses casos da multiplicação.
169
Devido a agilidade dos grupos no descobrimento,formulaçãoe socialização
das regras, neste dia foram realizadas três atividades, contando com a participação
de 35 alunoscom os quais foram formados 11 (onze) grupos com três participantes
em cada e 01 (um) com 02 dois participantes. Entregamos os materiais e antes de
iniciarmos a atividade orientamos os alunos, por meio de um exemplo, sobre as
teclas que seriam utilizadas, já que desta vez usaríamos as teclas de formação do
parêntese e a tecla “x” indicativa da multiplicação.Às 16h55min os alunos
começaram a desenvolver a atividade.
Verificamos que a maioria dos grupos não demorou a perceber a
regularidade, alguns inclusive, antes mesmo de terminarem de resolver todas as
questões nos chamaram e disseram que já sabiam qual era a regra.Apenas um
grupo solicitou nossa orientação, porque não estavam conseguindo perceber a
regularidade para elaborar a regra. Então tivemos com eles o seguinte diálogo.
M1: Professor a gente não sabe responder! P: Ok!Vamos pensar um pouquinho. Digam pra mim que operação vocês acham que a calculadora realizou para chegar nestes resultados? M2: Ela multiplicou os números P: E qual é a característica destes números em cada questão? (os alunos ficaram calados) P: Como são os sinais dos números em cada questão? (depois de analisarem as questões) M3: É tudo diferente. P: E os resultados encontrados, qual é a característica deles? M4: É tudo menos P: No conjunto dos números inteiros como são chamados os números que recebem o sinal “menos”? M5: Negativo P: Agora conversem sobre isso e respondam como vocês fariam pra chegar nesses resultados sem usar a calculadora, depois tentem elaborar a regra.
Após o diálogo nos afastamos para deixar que os alunos conversassem e
ouvimos uma das alunas dizer ao grupo: “eu não disse que era porque tudo dava
menos” e um outro aluno corrigiu dizendo: “menos não, negativo”. Esse comentário
nos fez acreditar que havia certa insegurança por parte de alguns alunos do grupo
em relação às proposições de seus companheiros, daí a necessidade de nos
solicitarem.
Às 17h15min iniciamos o momento de institucionalização sendo observado
que quase 100% dos grupos havia descoberto a regra e tinham melhorado
consideravelmente a redação da mesma. Notamos que vários deles partiram do
titulo e do objetivo da atividade para redigir suas regras.Notamos,também,que
170
existia uma preocupação de alguns grupos de que a regra que eles haviam escrito
estivesse correta. No Quadro 21 apresentamos as regras socializadaspelos grupos,
conforme escreveram em suas folhas de atividade.
Quadro 21- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação entre dois inteiros de sinais diferentes.
GRUPO
Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a
calculadora?
CONCLUSÕES (REGRAS)
G1
Não responderam
Na multiplicação entre dois números inteiros com sinais diferentes o resultado dará negativo
G2
Na multiplicação de números inteiros com sinais diferentes o resultado dá sempre negativo
Na multiplicação entre dois números inteiros com sinais diferentes o resultado dá sempre negativo
G3
Não responderam
Na multiplicação entre dois números inteiros e sinais diferentes independentes dos sinais da conta, o resultado sempre será negativo
G4
O que vemos que com sinais e números diferentes vai dá negativo
Na multiplicação de números inteiros de sinais diferentes sempre vai dá negativo
G5
Não responderam Na multiplicação de sinais diferentes o resultado é sempre negativo
G6
Não responderam Na multiplicação entre dois números e o sinal diferente o resultado é sempre negativo (-)
G7
Na multiplicação de números diferentes é negativo
A multiplicação de dois números de sinais diferentes dá sempre número negativo
G8
Só precisamos somar e acrescentar o sinal de – na frente
Só precisamos multiplicar e acrescentar o sinal de – na frente do resultado da multiplicação
G9
Não respondeu Quando os dois sinais diferentes os resultados eram negativos
G10
Na troca de sinais sempre vai dá negativo
A multiplicação de sinais diferentes dá negativo
G11
O resultado dá negativo e positivo Alguns resultados dão menos na frente outros não dão
G12
Não responder Quando os sinais são diferentes muda o sinal de menos para +
Fonte: Produção escrita dos grupos
A regra institucionalizada ficou assim elaborada:
Na multiplicação entre dois números inteiros de sinais diferentes o produto é sempre negativo.
171
Concluímos esta atividade às 17h25min, após a discussão de alguns
exemplos. Passamos, então,a segunda atividade denominada multiplicação entre
dois números inteiros de sinais iguais. Entregamos as folhas de atividade aos grupos
e deixamos que trabalhassem.
Notamos que nesta atividade eles foram bastante ágeis e não tiveram
dificuldade para perceber e redigir a regra.Passados 5 minutos do inicio da
atividade, um alunos nos chamou em seu grupo e disse:
A: Professora, nós já descobrimos a regra dessa multiplicação. P: E qual é? A:É que vai dá positivo! P: Ok!Agora organizema redação.
Retiramo-nos para deixar que o grupo trabalhasse na elaboração de sua
conclusão.
Após a conclusãodas atividades, fizemos a institucionalização da regra
contando com a participação ativa dos alunos respondendo aos nossos
questionamentos quanto aos equívocos percebidos nas redações de alguns grupos.
No quadro 22 apresentamos as regras socializadas pelos grupos e registradas em
suas folhas de atividade.
Quadro 22- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação entre dois inteiros de sinais iguais. (continua) GRUPOS Como podemos obter estes mesmos
resultados sem usar a calculadora? CONCLUSÕES (REGRA)
G1
Não responderam
Na multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais a gente multiplica os números inteiros que vai dar sempre números positivo
G2
Não responderam
Na multiplicação entre dois números inteiros com sinais iguais o resultado vai ser sempre positivo
G3
Usando a tabuada de multiplicação
Na multiplicação de dois números inteiros e sinais iguais o resultado sempre será positivo
G4
Observamos que só multiplicamos que vai dá números positivos
Na multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais multiplica os números e o produto vai dá positivo
172
Quadro 22- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação entre dois inteiros de sinais iguais. (conclusão)
G5
Os resultados deram positivos na multiplicação
Na multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais o resultado dá sempre positivo, porque a multiplicação de dois sinais iguais dá sempre positivo
G6
Para obter esses mesmos resultados podemos apenas multiplicar sem os parênteses e os sinais da subtração
Entendemos que na multiplicação de sinais iguais o resultado esta sempre dando positivo
G7 Para obter os mesmos resultados sem usar a calculadora só precisamos multiplicar as somas e todos os resultados irão dar positivos
A regra da multiplicação de dois números inteiros com sinais iguais é que na soma de sinais positivos ou negativos o resultado sempre vai dá positivo
G8
Sim, multiplicação de números inteiros com sinais iguais os sinais são iguais e os resultados são de números positivos
Sim, multiplicação de números inteiros com sinais iguais os sinais são iguais e os resultados são de números positivos
G9
Não responderam Nós concluímos que a conta não precisa de ( ) porque dará sempre o resultado positivo
G10
Deu tudo positivo Com ( ) ou sem ( ) dá o mesmo resultado
G11
Multiplicando sem ultilizar os parênteses e os sinais de subtração
Para obter esses resultados nós podemos apenas multiplicar sem os parênteses e os sinais de subtração
G12
Não responderam
A multiplicação os números se multiplicam se os sinais são iguais e se conserva o sinal e Poe na frente do resultado e quando não são se conserva o sinal que esta na frente do número.
Fonte:Produção escrita dos alunos
A regra institucionalizada ficou assim elaborada:
Na multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais o produto é sempre positivo.
Esta atividade foi concluída às 17h55min e logo em seguida iniciamos a
terceira e última atividade do dia que era denominada multiplicação de um número
inteiro por zero.
Entregamos a folha de atividade aos grupos e eles começaram a resolvê-la.
Depois de resolverem as primeiras questões, ouvimos os alunos comentando em
seus grupos que o resultado era zero para todas as questões. Então um aluno, que
nos pareceu muito satisfeito com a atividade, veio até nós e disse: “eu já sei que dá
173
zero porque ta multiplicando por zero”. Dissemos a ele: “então volte para seu grupo
e verifique se seus colegas também chegaram a essa conclusão”.
Os grupos terminaram a atividade quase que ao mesmo tempo, levaram
apenas 10 minutos para concluí-la, o que exigiu que organizássemos sua ida ao
quadro, pois queriam ir todos ao mesmo tempo.
Fotografia4- Alunos socializando as regras para multiplicação por zero
Durante a leitura das conclusões socializadas pudemos notar que todos os
grupos descobriram a regra e vários deles tiveram melhora considerável na
elaboração de suas conclusões, fazendo uso do termo matemático “produto” ao
invés do termo “resultado” na elaboração de suas regras. Conforme pode ser
verificado no quadro 23 abaixo.
Quadro 23- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de inteiros por zero (continua)
GRUPOS
O que podemos observar? CONCLUSÕES (REGRA)
G1
O resultado dará sempre zero
Na multiplicação de números inteiros por zero o resultado dará sempre zero.
G2
Não responderam
Na multiplicação de números inteiros por zero o produto será sempre zero
174
Quadro 23- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de inteiros por zero (conclusão)
G3
Todos os resultados deram zero (0)
Na multiplicação de números inteiros por zero o resultado vai dar sempre zero (0)
G4 Que o resultado dá sempre 0 Multiplicação de números inteiros por zero que sempre que a gente faz a multiplicação sempre dá zero.
G5
Não responderam
Multiplicação de números inteiros por zero o produto vai dar sempre zero não importa onde o zero esteja
G6
Nós observamos que deu tudo zero mas tem uns números negativos e outros positivos
Nós observamos que deu tudo zero. Nas operações de multiplicação o produto da multiplicação deu tudo zero
G7
Deu tudo o mesmo resultado 0
Multiplicação de números inteiros por zero dar tudo o mesmo resultado 0
G8
Podemos observar que o resultado dá sempre 0
É que as multiplicações com o algarismo 0 o valor da conta vai dá sempre 0
G9
Tanto faz se está o sinal de + ou – o resultado sempre será 0
Descobrimos que uma relação entre a multiplicação de números inteiros por zero o seu resultado será 0
G10
Na multiplicação de números inteiros por zero é sempre zero
Nós concluímos que a multiplicação de números inteiros por zero é zero
G11
Que os sinais sendo positivo ou negativo e se multiplicando por 0, resultado será sempre 0
A multiplicação de números inteiros por zero e seu produto é que a multiplicação de sinais negativos ou positivos se multiplicando por zero o resultado será sempre o mesmo 0
G12
Podemos observar que o resultado dá sempre zero
A multiplicação com zero dá sempre zero
Fonte: Produção escrita dos alunos
A regra institucionalizada ficou assim elaborada:
Na multiplicação de números inteiros por zero o produto será sempre zero.
Esta atividade foi concluída às 18h18min, quando parabenizamos os alunos
pelo ótimo desempenho nas atividades e também pela excelente participação no
processo de aprendizagem.
No desenvolvimento do encontro percebemos que os alunos gostaram de
usar as novas teclas e se mostraram bastante concentrados e empenhados em
descobrir a regra. Demonstraram seriedade em relação ao trabalho que estavam
realizando, discutiam em seus grupos sobre a ideias que eram levantadas e se
preocupavam em redigir bem a conclusão. Notamos também que já estavam
175
familiarizados com o novo contrato didático estabelecido e que se sentiam felizes
quando informávamos que tinham atingido o objetivo proposto pela atividade.
Fotografia 5- Gruposdesenvolvendo a atividade
Neste dia, para agilizar o processo, as fichas de avaliação da aula foram
entregues aos alunos enquanto os representantes dos grupos faziam a socialização
das conclusões. Observamos em suas fichas que todos se manifestaram
positivamente. No quadro 24 apresentamos as avaliações dos alunos.
176
Quadro 24 – Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 13/05/2011 AVALIAÇÕES Nº de
Alunos
01
07
08
10
03
01
01
01
04
Fonte: Ficha de avaliação da aula
Novamente os alunos foram unânimes em disser que a aula foi boa/legal.
Dois alunos, no entanto, registraram que sentiram dificuldades referentes a questão
de entendimento e de elaboração da conclusão. Verificamos também, que um dos
alunos avaliou que a aula foi “um pouco bagunçada”, talvez estivesse se referindo a
agitação dos alunos no momento da socialização das regras.
177
3.3.6 Sexta sessão
A sexta sessão ocorreu no dia 16/05/2011 (segunda-feira), quando foram
desenvolvidas as atividades de multiplicação de um número inteiro por (-1) e divisão
entre dois números inteiros de sinais iguais, que tinha por objetivo possibilitar aos
alunos a descoberta de uma regra para calcular esses casos da multiplicação e
divisão de inteiros.
Ao entrarmos na sala saudamos os alunos e perguntamos se tinham tido um
bom final de semana.A maioria respondeu que sim. Perguntamos, então, se
estavam preparados para mais uma semana de atividades e uma aluna perguntou
se teríamos jogos, dissemos que sim, mas antes precisávamos concluir as regras
para multiplicação e descobrir as regras para a divisão.
Outro aluno logo perguntou: professora é para formar grupos de quantos?
Respondemos que gostaríamos que fossem de três alunos. Neste dia estavam
presentes 35 alunos, sendo formados 11 (onze) grupos com três participantes e 01
(um) grupo com dois.
Entregamos os materiais para os grupos e às 15h10min começaram a
desenvolver a atividade. Notamos que inicialmente vários deles tiveram dificuldades
para perceber a regra e para organizar suas ideias na elaboração da mesma.
Na maioria das vezes os alunos não estavam atentando para o fato do
produto ter o mesmo valor absoluto do fator que multiplicava (-1), atentando apenas
para o fato do produto ser positivo quando os fatores tinhamsinais iguais e negativo
quando os fatores tinhamsinais diferentes.
Deste modo, procuramos orientá-los usando os questionamentos previstos na
análise a priori.Notamos que depois das orientações dadas, a maioria dos grupos
conseguiu perceber a regularidade e elaborar suas conclusões.No entanto,
notávamos que nenhum grupo estava atentando para o fato dos produtos serem o
oposto ou simétrico do valor que multiplicava o fator (-1), como esperávamos que
ocorresse. Quando já começávamos a pensar que isso não iria ocorrer, um aluno
veio até nós e disse: “professora eu já sei. Quando multiplica por (-1) dá o simétrico
do número multiplicado”. Dissemos a ele: “é isso mesmo, parabéns!”. Ficamos
felizes por que já considerávamos a hipótese de nenhum aluno conseguir
estabelecer esta relação.
178
Durante a institucionalização percebemos que apenas o grupo deste aluno fez
referência ao fato do produto ser o simétrico do fator multiplicado por (-1). Assim,
partimos da regra escrita por eles para dialogar com a turma sobre a noção de
números opostos ou simétricos e sistematizar a regra que seria de domínio da
turma. No quadro 25 é possível visualizarmos as regras escritas pelos grupos.
Quadro 25- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de inteiros por (-1)
(continua)
GRUPOS Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a
calculadora?
CONCLUSÕES (REGRA)
G1
Nós teremos sempre o simétrico do valor calculado
A multiplicação de números inteiros por -1 será o simétrico do valor calculado
G2
Quando os sinais são negativos os resultados são positivos e quando são positivos os resultados são negativos
Para multiplicar os números inteiros por -1 só precisamos trocar os sinais.
G3
Não responderam
A regra que a multiplicação de um número inteiro por -1 que quando é positivo vai dá negativo e quando é negativo vai dá positivo
G4
Não responderam
Na multiplicação de um número inteiro por -1 os números negativos passam a ser positivo e o positivo em negativo
G5
Multiplicação de números inteiros por -1 quando multiplicamos o negativo vai dar positivo e quando multiplicamos positivo vai dá negativo
Multiplicação de números inteiros por -1 quando multiplicamos o negativo vai dar positivo e quando multiplicamos positivo vai dá negativo
G6
Observando os sinais A regra é que o negativo dá positivo e o que era positivo dá negativo
G7
Não responderam
Multiplicação de um número inteiro por -1 é que sempre você multiplica o número positivo pelo -1 vai da negativo e quando você multiplica um número negativo pelo número -1 vai dá positivo
G8
Multiplicar os dois números entre parênteses
Na multiplicação de número inteiro por -1 quando o número multiplicado for (-) negativo vai dar (+) positivo, e quando o número multiplicado é (-) negativo o resultado é (+) positivo
G9
Não responderam
Multiplicação de um número inteiro por -1 o resultado vai dar sempre o número maior.
G10
Não responderam
Na multiplicação de um número inteiro por -1 o resultado dará sempre negativo e positivo
179
Quadro 25- Regras construídas pelos alunos para a multiplicação de inteiros por (-1)
(conclusão)
G11
Os números dão negativos e outros dão positivos. Porque eles troca como (-3)x(-1) = 3 esse é positivo (+3)x(-1)=-3 e esse é negativo
É que uns dão negativos e outros positivo porque eles trocam os sinais
G12
Multiplicação de um número inteiro por -1 quando o número for igual dá positivo e quando for diferente dá negativo
Multiplicação de um número inteiro por -1 o resultado vai dar sempre o número maior.
Fonte: Produção escrita dos alunos
A primeira regra a ser institucionalizada foi:
Na multiplicação por (-1) o produto será o oposto ou simétrico do fator que estiver sendo multiplicado por ele.
Porém, a maioria dos alunos alegou que essa regra seria difícil para eles
assimilarem porque talvez não conseguissem lembrar o que a expressão “oposto” ou
“simétrico” significava, então resolvemos acatar os protestos e sistematizamos a
nova versão para a regra partindo da redação que a maioria dos grupos utilizou, já
que nosso interesse era que os alunos pudessem se apropriar das regras, porém
sem deixar de preservar a linguagem matemática.Assim, a nova regra
institucionalizada foi formulada nos seguintes termos:
Na multiplicação de um número inteiro por (-1), se esse fator for positivo ficará negativo e se for negativo ficará positivo.
Após a institucionalização mostramos aos alunos, por meio de exemplos
escritos no quadro, que a regra construída pode ser usada na resolução de
subtrações com números inteiros. Esta atividade foi concluída às 15h45min, sendo
que os alunos utilizaram 25 minutos para desenvolverem-na em seus grupos.
Após a conclusãoda atividade liberamos os alunos para o momento de
intervalo e organizamos o ambiente para a realização da próxima atividade.Às 16h
os alunos começaram a retornar para a sala de aula, tomando seus lugares nos
grupos que já estavam formados. Às 16h5min entregamos a eles as folhas de
atividade e solicitamos que fizessem a leitura do título e do objetivo antes de
começarem a desenvolvê-la, esclarecendo que passaríamos a trabalhar as regras
para a divisão com números inteiros, por isso, agora fariam uso da tecla indicativa
da divisão (÷).
180
Observamos que a maioria dos grupos não teve dificuldades para perceber,
enunciar e redigir a regra para este caso da operação de divisão, tanto que levaram
apenas15 minutos para desenvolvê-la. Em nosso “passeio”pelos grupos, um aluno
estabeleceu conosco o seguinte diálogo:
A: Professora, sabia?! Essa regra da divisão é a mesma da multiplicação! P: É mesmo?E qual é a regra? A: A divisão de dois números inteiros quando os sinais são iguais o resultado dá sempre positivo. P: Muito bem!
Outro diálogo que registramos neste dia foi protagonizado por nós e duas
alunas de um dos grupos que se empenhava em descobrir qual seria a regra para
este caso da divisão.
M1: Olha aqui professora (apontando para a atividade). Eu observei que nenhum número tem o traçinho. P: E o que é o traçinho?O que ele representa? M2: O negativo. P: E quando o número não tem esse traçinho, como ele é chamado? M3: Positivo P: Então, o que foi mesmo que vocês observaram? (olharam um minuto para a atividade) M4: Que deu tudo positivo P: Ah! Ok!. Então qual seria a regra para esta atividade? (o grupo se olhou e depois olhou para o titulo da atividade e enunciou) M5: Na divisão com dois números inteiros de sinais iguais a resposta dá sempre positiva. P: Em uma divisão como é chamada essa “resposta”? (esperamos por um momento, mas as alunas não souberam responder, então dissemos) P: Pensem um pouquinho mais.Leiam novamente o titulo e o objetivo da atividade e elaborem a conclusão.
Após o diálogo nos retiramos para deixar que as alunas conversassem e
redigissem suas conclusões.
Assim que os grupos concluíam a atividade um representante se dirigia ao
quadro parasocializar as conclusões.A partir desta atividade, observamos que
alguns grupos já estavam se sentindo tão confiantes e seguros em relação as suas
conclusões que faziam questão de identificá-las com seus nomes. Como podemos
observar na figura abaixo.
181
Fotografia6- Conclusões dos alunos sobre a divisão com inteiros de mesmo sinal
Procedemos a institucionalização da regra parabenizando os grupos pelo
desempenho que tiveram tanto no que diz respeito a descobrirem a regra como no
que diz respeito a elaboração da mesma, chamando atenção apenas para a
denominação matemática que é dada ao resultado de uma divisão, uma vez que
observamos que nenhum grupo usou-a (apesar de estar contida nos objetivos da
atividade), conferindo assim, o caráter matemático as produções dos alunos. No
Quadro 26 apresentamos as regras elaboradas pelos grupos.
Quadro 26- Regras construídas pelos alunos para a divisão entre dois inteiros com sinais iguais (continua)
GRUPOS
Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar
a calculadora?
CONCLUSÃO (REGRA)
G1
Não responderam
Na divisão de dois números inteiros com sinais iguais vai dar sempre positivo
G2
Não responderam
Na divisão de números inteiros com sinais iguais os resultados sempre serão positivo
G3
Deu tudo positivo
Na divisão de números inteiros com sinais iguais os resultados dão tudo positivo
G4
Não responderam
Na divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado é sempre positivo
G5 Não responderam
Na divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado sempre será positivo
182
Quadro 26- Regras construídas pelos alunos para a divisão entre dois inteiros com sinais iguais (conclusão)
G6
Não responderam
Na divisão de dois números iguais os resultados da divisão sempre serão positivos
G7
Observei que vai da tudo positivo
A regra para calcular quocientes de números inteiros com sinais iguais vai dar sempre positivo
G8
Não responderam
Divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado vai dá inteiros (+)
G9
Divisão de números inteiros com sinais iguais deu tudo positivo
Divisão de números inteiros com sinais iguais sempre vai da o mesmo resultado (+)
G10
Não responderam
Na divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado será sempre positivo
G11
Dividindo os números entre parênteses
Na divisão de números inteiros com sinais iguais os sinais sendo negativo (-) o resultado vai dá positivo (+)
G12
Que mesmo que o sinal seja positivo ou negativo os resultados sempre vão dar o resultado da divisão (+)
Divisão de números inteiros com sinais iguais o resultado sempre ira dar positivo
Fonte: Produção escrita dos alunos
A regra institucionalizada ficou assim elaborada:
Na divisão entre dois números inteiros de sinais iguais o quociente será sempre positivo.
Esta atividade foi concluída às 16h35min, em seguida foi entregue aos alunos
as fichas de avaliação para que expressassem suas opiniões sobre a aula do dia.No
Quadro 27 apresentamos as opiniões dos alunos e a freqüência com que foram
mencionadas.
183
Quadro 27– Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 16/05/2011
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
03
05
07
08
10
01
01
02
01
Fonte:Ficha de avaliação da aula
Quando os alunos dizem que a aula foi “meio complicada” ou “um pouco
difícil” estão se referindo a atividade de multiplicação por (-1) devido terem sentido
uma dificuldade maior para perceber as regularidades apresentadas pelos
resultados obtidos com a calculadora.
184
3.3.7 Sétima sessão
A sétima sessão ocorreu no dia 18/05/2011 (quarta-feira), quando foram
desenvolvidas as atividades denominadas divisão entre dois números inteiros de
sinais diferentes, divisão de um número inteiro por (-1) e divisão de zero por um
número inteiro, cujo objetivo era que os alunos descobrissem uma regra para
resolver cada um dos casos. Neste dia foi possível a realização destas três
atividades devido a agilidade dos grupos na percepção das regularidades e
elaboração das conclusões referentes às regras.
Quando chegamos à sala de aula a maioria dos alunos estava no corredor em
frente à sala nos aguardando porque a professora do horário anterior havia faltado
neste dia. Alguns alunos pediram para que os dispensássemos argumentando que
estavam desde às 15h sem aula, respondemos que não poderíamos liberá-los
porque isso prejudicaria o andamento da pesquisa. Solicitamos que entrassem e
formassem os grupos. Alguns alunos protestaram, mas atenderam a nossa
solicitação. Neste dia foram formados 11 (onze) grupos de três alunos e 01 (um)
com dois alunos, totalizando 35 alunos.
A primeira atividade a ser desenvolvida foi a que tratava da divisão entre dois
números inteiros de sinais diferentes.Às 16h50min entregamos o material aos
grupos e orientamos que procedessem como nas atividades anteriores. Observamos
que antes mesmo de terminarem de calcular todas as questões, alguns grupos já
conseguiam perceber as regularidades e enunciar a regra. Destacamos aqui o
comentário de dois alunos.
M1: Mande uma mais difícil, porque esta “tá” muito fácil! M2: Eu já sei como é! Tudo dá negativo. Nós já aprendemos esse negócio!É igual a multiplicação!
Durante o momento de institucionalização notamos que o desempenho dos
grupos acerca do descobrimento da regra e da elaboração da mesma foi muito bom.
A nós coube apenas alguns pequenos ajustes na redação elaborada por eles
conferindo-lhe o caráter de conceito matemático. No Quadro 28 apresentamos as
produções dos grupos, onde é possível verificar que apenas quatro grupos
registraram suas observações em relação a ação executada pela calculadora.
185
Quadro 28- Regras construídas pelos grupos para a divisão de inteiros de sinais diferentes
GRUPOS
Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a
calculadora?
CONCLUSÕES (REGRA)
G1
Não responderam
Na divisão de dois números com sinais diferentes o resultado vai ser sempre negativo
G2
Não responderam
Na divisão de números inteiros com sinais diferentes o quociente sempre será negativo
G3
Não responderam Na divisão de dois números com sinais diferentes o quociente sempre vai ser negativo
G4
Quando a divisão é de números inteiros diferentes o resultado é sempre negativo
Na divisão de dois números inteiros com sinais diferentes o resultado será sempre negativo.
G5
Não responderam
Na divisão de números inteiros com sinais diferentes é que toda vez a gente faz uma divisão e o cociente vai sempre dá negativo
G6
Sempre da negativo
Na divisão de dois números inteiros de sinais diferentes o resultado sempre será negativo
G7
Dividindo o cálculo
Toda a divisão de números inteiros com sinais diferentes o resultado vai dar sempre (-) negativo.
G8
Que todos os resultados são negativos
A divisão de números inteiros com sinais diferentes os sinais sendo negativos ou positivos os resultados serão sempre negativos
G9
Não responderam
Divisão de números inteiros com sinais diferentes darão o quociente negativo
G10
Essa conta o resultado deu tudo menos, deu tudo negativo, nenhum positivo
Na divisão os sinais são diferentes e deu tudo negativo
G11
Divisão de números inteiros com sinais diferentes o resultado negativo
Concluímos que o número com sinais diferentes o resultado vai dar sempre negativo
G12
Não responderam Quando os sinais são diferentes dá um número diferente
Fonte:Produção escrita dos alunos
A regra que passou a fazer parte do domínio da turma ficou assim elaborada:
Na divisão entre dois números inteiros de sinais diferenteso quociente será sempre negativo.
Encerramos a atividade às 17h10min, sendo que os grupos gastaram apenas
12 minutos para concluir e socializar a atividade, já que muitos deles não sentiam
186
necessidade de registrar suas observações sobre a ação executada pela
calculadora, em vez disso, partiam direto para a redação da conclusão.
Encerrada essa atividade, passamos imediatamente a segunda atividade do
dia que tratava da divisão de um número inteiro por (-1). Entregamos as atividades
para os grupos e estes começaram a resolvê-la às 17h15min. Notamos que poucos
grupos ainda apresentaram dificuldade para formular a regra, os demais efetuaram
esta ação com tranqüilidade. Entretanto, durante o momento de institucionalização
da regra notamosque a maioria dos grupos formulou a regra fazendo referência
apenas ao sinal, não mencionando o fato do quociente ter o mesmo valor absoluto
do dividendo, apesar de termos observado que a maioria dos grupos percebeu e
enunciouessa descoberta enquanto discutiam a solução para os questionamentos.
Outra questão que observamos foi que na formulação da regra os alunos
conceberam a divisão por (-1) como uma divisão entre números de sinais iguais ou
sinais diferentes, não percebendo mais uma particularidade da divisão. Por este
motivo ao institucionalizarmos a regra chamamos a atenção para o fato dessa
divisão se tratar de uma divisão que resulta no simétrico ou oposto do dividendo.
Apresentamos no quadro 29 as conclusões socializadas pelos grupos sobre a regra
para este caso da divisão.
Quadro 29- Regras construídas pelos alunos para a divisão de inteiros por (-1) (continua) GRUPOS
Como podemos obter estes mesmos resultados sem usar a
calculadora?
CONCLUSÃO (REGRA)
G1
Não responderam
Na divisão de um número inteiro por (-1) ficam os mesmos números só muda os sinais que o positivo vira negativo e o negativo vira positivo
G2
Não responderam
Na divisão de um número inteiro por (-1) quando o número é positivo dá negativo e negativo dá positivo
G3
Que o resultado dá negativo ou positivo
Na divisão de números inteiros por (-1) o resultado do número negativo é positivo e do número positivo é negativo
G4
Observei que vai da um positivo e um negativo
Na divisão de números inteiros por (-1) quando o sinal for igual o resultado vai dá positivo e o sinal diferente vai dá negativo
187
Quadro 29- Regras construídas pelos alunos para a divisão de inteiros por (-1) (conclusão)
G5 Não responderam
Na divisão de um número inteiro por (-1) quando os sinais forem diferentes vai dar sempre negativo, mas quando forem iguais vai dar só positivo
G6
Não responderam
Na divisão de um número inteiro por (-1) quando o sinal da contar for igual sempre dará positivo e quando o sinal for diferente se torna negativo
G7
Que o número dividi
Na divisão de um número inteiro por (-1) quando números for sinais iguais vai ser positivo e o numero for com sinais diferente passa a ser negativo
G8
Não responderam
Para calcular divisões de números inteiros. Quando os sinais são iguais dá positivo e quando for diferente dá negativo
G9
Não responderam Divisão de um número inteiro por (-1) dará sempre negativo e positivo
G10
Nós observamos que uns deu negativo e uns deu positivo
Divisão de um número inteiro por (-1) o positivo vira negativo e o negativo vira positivo
G11
Não responderam
Na divisão de um número inteiro por (-1) na soma de números diferentes o resultado vai ser negativo e quando é igual é positivo
G12 Não responderam Na divisão de um número inteiro por (-1) vai ser negativo ou positivo
Fonte: Produção escrita dos alunos
Na institucionalização da regra procuramos contemplar as ideias dos alunos
sem perder de vista a necessidade de dar a ela o caráter matemático, deste modo a
regra institucionalizada ficou assim formulada:
Na divisão de um número inteiro por (-1) se o dividendo for positivo o resultado ficará negativo e se for negativo o resultado ficará positivo, assim o quociente será o oposto ou simétrico do dividendo.
A atividade foi encerrada às 17h40min, sendo utilizados 15 minutos para a
conclusão e socialização da atividade.Em seguida foi entregue a folha de atividade
sobre a divisão de zero por um número inteiro. Alguns alunos protestaram porque
queriam ir embora. Pedimos que tivessem um pouco mais de paciência e se
concentrassem para desenvolver a atividade que, acreditávamos, seria simples para
eles.
188
Começaram, então, a resolvê-la e logo observaram que o quociente seria
zero. Ouvimos um aluno comentar: “há! já sei! a regra é que na divisão também dá
zero”. Os outros grupos também não apresentaram nenhuma dificuldade para
chegar a essa conclusão e formular a regra, realizando a atividade em apenas 10
minutos. Enquanto os representantes dos grupos estavam no quadro socializando
as conclusões uma aluna veio até nós e pediu que deixássemos que ela distribuísse
as fichas de avaliaçãopara os demais alunos. Demos a permissão e orientamos aos
alunos que ela iria recolher as fichas para nos entregar. Essa ação da aluna nos fez
perceber que a turma já estava adaptada ao novo contrato didático.
Durante o momento de institucionalização parabenizamos a turma porque
todos os grupos tinham conseguido formular satisfatoriamente a regra e um aluno
disse: “essa era muito fácil professora”. Respondemos que tínhamos ficado felizes
pela evolução deles no desenvolvimento das atividades. No quadro 30
apresentamos as produções dos alunos.
Quadro 30- Regras construídas pelos grupos para a divisão de zero por um inteiro (continua)
GRUPOS O que podemos observar? ONCLUSÕES (REGRA)
G1
Não responderam
A divisão de zero por um número inteiro o resultado vai dar sempre 0 (zero)
G2
Que todo o resultado deu 0
Na divisão de números inteiros, mesmo que os sinais sejam diferentes, os resultados sempre dão positivo (0). Ex: 0:(+4) = 0; 0:(-7) = 0
G3 Não responderam Divisão de zero por um número inteiro sempre dará zero
G4
Que todos os resultados dão 0
Na divisão de zero por um número inteiro o resultado é 0
G5
Não responderam
A divisão de zero por um número inteiro sempre o resultado sempre serão zero
G6 Não responderam Na divisão de zero por um número inteiro vai da será zero
G7 Vai dar tudo zero Divisão de zero por um número inteiro o resultado vai dar sempre zero
G8
Apenas dividimos o número
Na divisão de zero por um número inteiro o resultado vai da sempre 0
G9
Que o número vai ser sempre zero
Na divisão de zero por um número inteiro o resultado vai dar sempre zero (0)
189
Quadro 30- Regras construídas pelos grupos para a divisão de zero por um inteiro (conclusão)
G10 Que o resultado é sempre zero Na divisão de zero por um número inteiro o resultado vai sempre será zero
G11 Não respondeu Na divisão de zero por um número inteiro o quociente será zero
G12 Que deu tudo zero Na divisão de zero por um número inteiro o resultado é sempre zero
Fonte: Produção escrita dos grupos
A regra institucionalizada ficou assim elaborada:
Na divisão de zero por um número inteiro o quociente será sempre zero.
Às 18h, encerramos o encontro.No Quadro 31apresentamos as avaliações
dos alunos e o respectivo quantitativo de alunos que emitiram a mesma opinião ou
opiniões semelhantes.
Quadro 31– Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 18/05/2011
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
04
07
12
07
02
01
01
01
Fonte:Ficha de avaliação da aula
190
Verificamos que novamente um aluno avaliou a aula como bagunçada sem,
porém, explicar os motivos que o levaram a esta avaliação, enquanto os demais
avaliaram que foi uma aula boa, importante e interessante.
3.3.8Oitava sessão
A oitava sessão foi realizada no dia 20/05/2011 (sexta-feira) quando
foramrealizados os jogos debaralho para multiplicação e divisão entre dois números
inteiros e bingo para multiplicação e divisão entre dois números inteiros com o
objetivo de possibilitar aos alunos a prática e assimilação das regras construídas
para a multiplicação e divisão de inteiros.
Quando entramos na sala, alguns alunos perguntaram o que nós faríamos
naquele dia.Respondemos que eles iriam desenvolver dois jogos sobre
multiplicações e divisões. Um aluno que estava no fundo da sala exclamou: “ainda
bem que não é aula!”.
Solicitamos que se organizassem em grupos de quatro alunos e entregamos
a cada grupo um baralho, uma calculadora e,uma folha com as regras impressas,
devido termos observado que no jogo do baralho da adição apenas a explanação da
regra não tinha sido suficiente.As regras foram lidas com todos os alunos, que
puderam esclarecer suas dúvidas.
Os alunos iniciaram o jogo às 16h55min.Percebemos que a maioria dos
grupos estava encontrando dificuldades para formar os pares, principalmente
quando tinham em suas mãos, mais resultados do que questões, no entanto
verificamos que a dificuldade não se referia ao emprego da regra, mas ao domínio
da tabuada, especialmente no caso da divisão. Neste caso, ajudávamos informando
se a multiplicação ou divisão dos módulos numéricos estavam corretos ou não,
permitimos que a professora efetiva também ajudasse neste sentido, já que não
podíamos acompanhar todos os grupos ao mesmo tempo.
No entanto, a partir da terceira jogada percebemos que os alunos já
conseguiam jogar sem nossa interferência. Observamos que, novamente, a
utilização da calculadora para conferência dos jogos do aluno que se anunciava
vencedor contribuiu para diminuir as dificuldades em relação a tabuada. Notamos
também que os próprios companheiros de jogo passaram a auxiliar aqueles que
ainda sentiam alguma dificuldade.
191
Outra observação que fizemos foi o fato dos alunos obedecerem a regra do
jogo que dizia que a calculadora só deveria ser usada para a conferência dos jogos
do possível vencedor, mesmo sentindo dificuldades para jogar.
Às 17h30min recolhemos o material usado no jogo de baralho e solicitamos
que os alunos se organizassem em duplas para jogar o bingo. Entregamos os
materiais do jogo a cada dupla e às 17h35min iniciamos o bingo.
Notamos que alguns alunos se mostravam bastante ágeis em dar as
respostas, que eram quase sempre corretas. Observamos que o erro mais freqüente
era em relação às questões de divisão, em função do pouco domínio da tabuada.
Em relação às regras, os alunos se atrapalhavam quando não prestando atenção à
questão “cantada”. Quando percebíamos esta situação repetíamos a questão com
mais ênfase e alguém acaba dando a resposta certa. Neste jogo observamos que os
meninos se destacaram.
Os alunos se mostravam bem entusiasmados com o jogo, e em alguns
momentos era possível observar certa competição entre alguns alunos do sexo
masculino para ver quem conseguia responder primeiro e corretamente. Quando
alguma dupla anunciava que havia “batido” o jogo, alguns alunos queriam vir até o
painel conferir de perto se realmente eles eram os vencedores daquela rodada. Foi
preciso em alguns momentos sermos mais enérgicos no sentido de controlar os
ânimos. Depois de verificarmos, com a ajuda dos demais alunos, se a cartela tinha
sido marcada corretamente, as duplas vencedoras comemoravam. Em duas rodadas
existiram duas duplas vencedoras, cujas cartelas possuíam alguns números iguais.
Foram realizadas 03 rodadas, uma a menos do que o previsto, devido a
dinâmica de verificação das “cartelas batidas”, que exigia que os alunos apontassem
no painel a questão que tinha originado o número que estava marcado na cartela, o
que demandava um tempo a mais.
O jogo foi encerrado às 18h10min e entregamos a ficha de avaliação.
Observamos que a exceção de um aluno que avaliou a aula como regular, o restante
da turma novamente a avaliou positivamente. Abaixo apresentamos as avaliações
dos alunos.
192
Quadro 32– Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 20/05/2011
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
03
08
04
03
07
08
01
02
02
Fonte: Ficha de avaliação da aula
Os alunos demonstraram ter gostado bastante de ter trabalhado por meio do
jogo do bingo, porém, notamos que ao se referirem a aula destacaram não apenas o
divertimento e o prazer que o jogo lhes proporcionou, mas, principalmente, o
aprendizado obtido por meio dele.
Destacamos, ainda, que dois alunos avaliam a aula como legal, mas usam a
expressão “os alunos estavam muito doídos”, para dizer que eles estavam bastante
agitados.
193
3.3.9Nona sessão
A nona sessão foi realizada no dia 23/05/2011 (segunda-feira) quando foi
aplicado o jogo e o pós-teste de multiplicação e divisão, com o objetivo verificar o
desenvolvimento dos alunos após a realização das atividades.
Neste dia entramos na sala às 15h10min porque a professora do horário
anterior demorou a dispensar a turma. Informamos aos alunos que eles iriam
resolver algumas questões sobre multiplicação e divisão de inteiros para
verificarmos se conseguiriam aplicar corretamente as regras trabalhadas sobre
multiplicação e divisão.
Entregamos o pós-teste orientando que assinassem seus nomes.Em seguida
procedemos a leitura das questões e às 15h17min os alunos começaram a resolver
o teste. Às 15h30min os primeiros alunos começaram a entregar seus testes e às
16h10min as duas últimas alunas que ainda se encontravam em sala, entregaram os
seus. Observamos que se tratava de alunas que haviam manifestado pouco domínio
da tabuada durante a realização das atividades de fixação do conteúdo. Como
havíamos tomado os 15 minutos do intervalo, dispensamos a turma.
3.3.10Décima sessão
A décima sessão foi realizada no dia 25/05/2011 (quarta-feira) quando foram
aplicadasas atividades denominadasatividade escrita de revisão das regras de
adição, multiplicação e divisão, e, baralho de regras, cujo principal objetivo era rever
com os alunos as regras construídas para a adição, multiplicação e divisão de
inteiros.
Às 16h50min entregamos a cada dupla uma folha de atividade e orientamos
que deveriam responder sem consulta a qualquer material, pois nosso objetivo era
que eles pudessem trocar informações. Notamos que a maioria das duplas
conseguiu completar as lacunas sobre as regras sem dificuldade, apenas em três
duplas precisamos daralguns exemplos pedindo que observassem a questão e sua
resposta para recordarem do trabalho realizado com a calculadora.
Depois do tempo determinado para a resolução das questões, notamos que a
maioria havia conseguido concluir a resolução. Fizemos a correção e verificamos
que ocorreram alguns erros referentes a tabuada. Recomendamos, então,que os
194
alunos procurassem estudá-la para facilitar o trabalho com os conteúdos
matemáticos.No momento da correção observamos que os alunos comemoravam
quando suas respostas estavam corretas.
Esta atividade foi concluída às 17h25min.Em seguida informamos aos alunos
que seria aplicado o jogo de baralho das regras, continuando a revisão. Solicitamos
que se organizassem em grupos de 04 (quatro) participantes e entregamos a cada
grupo um baralho, uma folha com as regras, que foram lidas coletivamente para
esclarecimento das dúvidas. Informamos a eles que quando algum aluno
conseguisse “bater” o jogo, o grupo deveria pedir a presença da pesquisadora ou da
professora efetiva para verificar se os pares estavam corretos.
Durante o desenvolvimento do jogo observamos que os alunos trocavam
informações ajudando um ao outro quando alguma dificuldade era manifestada por
alguém. Os alunos nos solicitavam toda vez que formavam um par, assim pudemos
observar que a maioria já estava conseguindo associar corretamente as questões a
sua regra correspondente. Notamos,também,que o erro mais freqüente era referente
ao fato dos alunos associarem as regras da multiplicação para as questões de
adição com números de sinais iguais ou diferentes, numa tentativa de generalização
da regra.
Quando observamos essa situação orientávamos que ficassem atentos ao
sinal indicativo da multiplicação, pois só poderiam usar aquelas regras quando este
sinal estivesse indicado, do contrário deveriam usar as regras para a adição.
A atividade foi encerrada às 18h10min, não sendo possível realizarmos a
avaliação.
3.3.11Décima primeira sessão
A décima primeira sessão ocorreu no dia 27/05/2011 (sexta-feira), quando foi
aplicado o jogo baralho para adição, multiplicação e divisão de números inteiros.
Neste dia foi realizada apenas esta atividade porque haveria reunião com os
responsáveis para tratar da avaliação bimestral e os alunos precisariam ser
dispensados às 17h30min. Os alunos foram organizados em grupos de 04 (quatro)
participantes cada, sendo que um dos grupos ficou com apenas 03 (três) alunos, por
estarem presentesneste dia apenas35 alunos.
195
Entregamos a cada grupo um baralho e uma calculadora e solicitamos que
esta só a utilizassem para verificar se os pares do vencedor de cada partida
estavam corretos.
Durante o desenvolvimento do jogo observamos alguns alunos tentando usar
a calculadora para formar seus pares, então fomos até o grupo e argumentamos que
a calculadora era apenas um instrumentoauxiliar e que não deveria ser usado
naquele momento a fim de que pudessem ganhar confiança em relação àquilo que
aprenderam.
Em dois grupos observamos que os alunos estavam usando a estratégia de
primeiro montar conjuntamente todos os pares para depois jogarem, alegando que
assim era mais fácil, porque já saberiam que pares poderiam ser formados.
Fotografia7-Grupos aplicando a estratégia
Neste encontro foi possível detectarmos mais duas alunas com sérios
problemas de falta de domínio da tabuada.Em conversa com elas descobrimos que
nunca gostaram de matemática por a considerarem muito difícil.Então procuramos
argumentar que a aversão delas a esta disciplina talvez estivesse relacionada ao
fato de não dominarem a tabuada, por isso, orientamos que procurassem aprendê-la
para facilitar o aprendizado, as alunos nos responderam que iriam se esforçar para
isso.
A atividade foi encerrada às 17h30min.
196
3.3.12Décima segunda sessão
A décima segunda sessão ocorreu no dia 31/05/2011 (terça-feira) quando foi
realizado opós-teste parcial contendo questões de adição, multiplicação e divisão
com números inteiros, sendo realizado como culminância da avaliação bimestral.
O pós-teste foi desenvolvido individualmente, com início às 15h5min e término
às 15h40min, quando o último aluno entregou seu teste. Salientamos que o tempo
previsto para a realização do pós-teste era de uma hora/aula de 45 minutos,no
entanto, com apenas 10 minutos do início do teste quatro alunos entregaram seus
testes.Observamos que se tratavam de alunos que não participaram ativamente das
atividades.
3.3.13Décima terceira sessão
A décima terceira sessãoocorreu no dia 13/06/2011 (segunda-feira), em
função do período da avaliação bimestral que foi do dia 31/05 a 09/06/2011. Neste
dia foi desenvolvida apenas a atividade de potenciação de números inteiros com
expoente par, devido a realização da revisão sobre potenciação com números
naturais.
Antes de iniciarmos o momento de revisão apresentamos aos alunos o
desempenho deles no pós-teste parcial parabenizando aqueles que tinham se saído
bem e pedindo mais empenho daqueles que não tinham ido tão bem. Em seguida
informamos a eles que naquele dia trabalharíamos potenciação com números
inteiros e perguntamos se recordavam do que haviam estudado sobre potenciação
nas series anteriores, seis alunos nos informaram que não se lembravam de já ter
estudado este assunto.Procedemos então a revisão sendo esta realizada por meio
de exposição oral e utilização do quadro e pincel.
Observamos que a maioria dos alunos não sabia identificar os elementos que
compõem a potenciação e usava como procedimento para calcular a potência, a
multiplicação da base pelo expoente, revelando que a definição de potenciação não
tinha sido construída corretamente por eles. Então, por meio de exemplos,
mostramos os elementos, definindo cada ume explicamos o que significa a
potenciação de um número. Depois, propomos algumas potenciações com números
naturais para que eles resolvessem, em seguida fizemos a correção.
197
Enquanto resolviam as questões notamos que alguns deles apresentavam
dificuldades relacionadas a tabuada de multiplicação, especialmente quando a base
e o expoente eram um valores maior que 3.
Encerramos este momento às 15h40min e os alunos foram dispensados para
participar do momento de intervalo. Às 16h os alunos começaram a retornar para
sala de aula e às 16h5min entregamos uma calculadora e uma folha de atividade
para cada um dos 11 (onze) grupos formados e explicamos como deveriam
proceder, uma vez que fariam uso da tecla yx .
Durante o desenvolvimento das atividades foi possívelobservar quea
regularidade que estava sendo percebida por alguns grupos se referia ao fato de a
cada duas questões as potências serem as mesmas, por isso enunciavam: “na
potenciação de expoente par o resultado é o mesmo”. Acreditamos que esta
confusão se deu pelo fato de termos usado o mesmo numeral para representar a
base positiva e negativa e o mesmo numeral para representar o expoente destas
bases, dispondo-as uma seguida da outra.
Nos grupos onde detectamos esta situação tivemos com os alunos alguns
diálogos para tentar ajudá-los a refletir, conforme previsto nas análises a priori. Aqui
reproduzimos um dos diálogos que conseguimos registrar.
M1: Professora, nós observamos que deu tudo igual! P: O que deu tudo igual? M2: Os números. Deram iguais! P: Vocês têm certeza? Em todas as questões os números são os mesmos? M3: Em todas não, mas esse e esse “é” (apontando para as duas primeiras potências encontradas); esse e esse “é” (apontando para as demais potências). P: Ah!Entãopodemosdizer que na potenciação com expoente par o resultado é o mesmo para todas as questões? M4: Não! P: Ok! Mas existe algo que é comum em todos os resultados. O que seria? (depois de examinarem as potências) M5: Eles não têm sinal, mesmo quando aqui (apontando para uma base negativa) é sinal negativo P: E como são chamados os números que não tem sinal? M6: Positivos! P: E porque vocês acham que esses resultados são todos positivos? (depois de alguns momentos examinando a folha de atividade, uma das alunas respondeu) M7: A gente não sabe! (reformulamos a pergunta) P:Vocês acham que estes expoentes têm alguma influência sobre esses resultados? M8: Não sei! P: Se vocês não tivessem a calculadora como vocês fariam para calcular (-4)²?
198
M9: Ia multiplicar. P: O que? M10: Quatro negativo com quatro negativo P: Por quê? M11: Porqueo expoente é o dois.Então tem que repetir duas vezes! P: E o que nós aprendemos sobre multiplicar números que tem o mesmo sinal? M12: Que fica sempre positivo! P: Então o que podemos observar sobre este caso da potenciação? M13: Quando tem expoente par fica sempre positivo. P: Ok! Agora conversem e escrevam a conclusão do grupo.
Retiramo-nos para deixar que as alunas formulassem e redigissem a
conclusão.Ao contrário do que imaginávamos a maioria dos grupos não apresentou
grandes dificuldades para perceber, enunciar e redigir uma regra para este caso da
potenciação, concluindo a atividade e socializando-a em apenas 25 minutos.
Observamos também que os alunos já estavam tão autônomos e acostumados ao
contrato didático estabelecido que a medida que seus grupos redigiam as
conclusões, um representante logo se dirigia ao quadro para socializá-la.
Fotografia8 - Alunos socializando suas conclusões sobre potenciação com expoente par
Durante o momento de institucionalização da regra notamos que a maioria
dos grupos havia conseguido formular satisfatoriamente suas conclusões. A nós
coube a função de sistematizar as ideias apresentadas, procurando elevar o
199
conhecimento ao estatuto de um saber formalmente construído. No Quadro 33
apresentamos as produções dos alunos referentes a regra.
Quadro 33: Regras construídas pelos alunos para a potenciação de inteiros com expoente par (continua)
GRUPO
O que podemos observar? REGRA (CONCLUSÃO)
G1
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoente par fazemos uma multiplicação o resultado é sempre positivo
G2 Que os números são sempre positivos
Na potenciação de número inteiro com expoente par os números são sempre positivos
G3
Na potenciação de números inteiros com expoente par que os resultados dão positivo
Na potenciação de números inteiros com expoente par o resultado dos números são todos positivos
G4
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoente par quando a gente faz uma multiplicação o numero vai dá sempre positivo
G5
Observamos que mesmo o sinal for diferente vai da o mesmo resultado
Na potenciação de números expoentes par o resultado sempre será positivo
G6
Não responderam
Na potenciação de números inteiros e expoente par, o resultado é positivo
G7
Que sempre dá positivo
Na potenciação de números inteiros com expoente par, mesmo sendo negativo o resultado vai dar positivo
G8
Não responderam
Para calcular potências de números inteiros com expoente par dependendo do sinal o resultado será sempre positivo
G9
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoente par a gente multiplica o expoente par e o resultado será par e o impar será impar
G10
Não responderam
A regra é que mesmo trocando o sinal de + para – da sempre o mesmo número. Exemplo: (+4)²=16 / (-4)²=16
G11
Da o mesmo resultado só muda o sinal
Mesmo a gente somando e diminuindo o resultado é positivo
Fonte: Produção escrita dos grupos
Deste modo, a regra para a resolução de potenciação de números inteiros
com expoente par ficou assim formulada:
Na potenciação de números inteiros com expoente par a potência será sempre positiva.
200
Depois de realizarmos a institucionalização da regra discutimos com os
alunos vários exemplos de como utilizá-la no cálculo das potências, ressaltando que
a potenciação é a multiplicação sucessiva de um mesmo fator determinada pelo
valor do expoente.Encerrando o encontro às 16h45min, não havendo tempo hábil
para realizarmos a avaliação da aula.
3.3.14Décima quarta sessão
A décima quarta sessão aconteceu no dia 17/06/2011 (sexta-feira), quando
foram desenvolvidas as atividades de potenciação de números inteiros com
expoente impar e potenciação de números inteiros com expoente zero, com o
objetivo de possibilitar que os alunos descobrissem uma regra para cada um desses
casos da potenciação.
A primeira atividade a ser desenvolvida foi a que tratava da potenciação de
números inteiros com expoente impar, e contou com a participação de 35 alunos,
com os quais foram formados 11 (onze) grupos com três participantescada e 1 (um)
grupo com dois participantes.
Como não tinha acontecido a aula do dia 15/11/2011, devido a reunião com
os responsáveis.Antes de iniciarmos a atividade recordamos com os alunos a
atividade que havíamos desenvolvido na aula anterior e informamos sobre as
atividades que iríamos desenvolver naquele dia. Às 16h55min os alunos começaram
a desenvolver a primeira.
Nesta atividade,observamos que a maioria dos grupos estava conseguindo
perceber a regularidade e escrever suas conclusões sem requisitar a nossa
orientação,apenas um grupo solicitou nossa presença. Neste grupo pudemos
observar que eles percebiam que os resultados eram ora negativo ora positivo, mas
não conseguiam relacioná-los as bases. Para tentar fazê-los refletir estabelecemos o
seguinte diálogo:
P: Observem essas questões com atenção e digam:esses resultados tem alguma coisa em comum com as bases? (Depois de observarem por alguns segundos as questões, um dos alunos, com entusiasmo disse) M1: Já sei!! Alguns tem o mesmo sinal de “mais” e alguns têm o mesmo sinal de „menos. P: E como são chamados os números que tem sinal de “mais” e sinal de “menos”? M2: É o positivo e o negativo.
201
P: Ok! Agora é com vocês. Organizem suas ideias e formulem a regra.
Durante o momento de institucionalização notamos que a conclusão de um
dos grupos estava tão bem elaborada que a adotamos como a regra que faria parte
do domínio da turma, fazendo apenas alguns pequenos ajustes, o que provocou
euforia dos participantes do grupo, que comemoraram bastante. Observamos que
dois dos integrantes deste grupo eram alunos que haviam participado efetivamente
de todas as atividades e que vinham se saindo muito bem nos pós-testes.
Parabenizamos também os demais grupos porque se aproximaram bastante
da regra que foi institucionalizada e corrigimos os equívocos que foram cometidos
pelos dois grupos que se distanciaram. No Quadro 34 apresentamos as produções
dos grupos.
Quadro 34- Regras construídas pelos alunos para a potenciação de inteiros com expoente impar (continua)
GRUPO
O que podemos observar? REGRA (CONCLUSÃO)
G1
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoente impar quando a base é negativa a potência é negativa e quando a base é positiva a potência é positiva.
G2
Não responderam
A potenciação de números com expoente impar quando a base é um número positivo o resultado dá positivo e quando é negativo a base dá negativo.
G3
Observamos que quando é mais o resultado é positivo e de menos vai da positivo
Na potenciação de números inteiros com expoente impar, quando a base é positiva o resultado é positivo e quando negativo o resultado é negativo
G4
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoentes impar é que quando a gente faz potenciação de base positiva vai da positivo e quando a gente faz de base negativa vai da negativa.
G5
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoente impar, quando o sinal for negativo o resultado é negativo e quando o sinal for positivo o resultado é positivo
G6
Que o sinal inverte
Na potenciação de números inteiros com expoente impar o positivo ficara (+) e o negativo ficara (-)
202
Quadro 34- Regras construídas pelos alunos para a potenciação de inteiros com expoente impar (conclusão)
G7
Não responderam
Potenciação de números inteiros com expoente impar multiplicamos a base com expoente e o calculo for positivo o resultado será positivo ou se for negativo o resultado será negativo
G8
Não responderam
Concluímos que a base positiva o resultado fica positivo e a base negativa fica negativa
G9
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoente impar quando a base é negativa o resultado vai da positivo e se positivo vai ficar negativo
G10
Que dá positivo e negativo
A potenciação com números inteiros com expoente impar o resultado dá positivo e negativo
G11
Não responderam Nós concluímos que mesmo sendo negativo ou positivo darão o mesmo o mesmo número. Ex: (+4)³= 64; (-4)³=64
G12
Não responderam Que o resultado da potenciação de expoente impar multiplicando o resultado vai dar positivo e subtraindo o resultado vai dar negativo
Fonte: Produção escrita dos grupos
A regra formulada pelo grupo e institucionalizada como domínio da turma foi:
Na potenciação de números inteiros com expoente impar se a base for negativa a potência será negativa e se a base for positiva a potência será positiva.
Discutimos alguns exemplos com os alunos e às 17h25min encerramos esta
atividade,sendo que os grupos usarampara a conclusão e socialização das regras,
cerca de 20 minutos. Encerrado este momento passando para o desenvolvimento da
segunda atividade denominada potenciação de números inteiros com expoente zero.
Entregamos a folha de atividade aos grupos e orientamos que o procedimento era o
mesmo adotado nas atividades anteriores. Os alunos começaram a realizar os
cálculos com a calculadora e logo podíamos ouvir os primeiros grupos anunciando
que o resultado para todas as questões era 01 (um).
Nestaatividade os grupos não apresentaram dificuldades para perceber,
enunciar e redigir a regra. Das atividades de potenciação, esta foi a que demandou o
menor tempo de desenvolvimento, 10 minutos, sendo utilizado cerca de 5 minutos
para a socialização.Notamos, durante o momento de institucionalização, que todos
os grupos conseguiram redigir suas conclusões de forma satisfatória.E mais uma
203
vez agimos sobre as conclusões produzidas, fazendo apenas alguns pequenos
ajustes. No Quadro 35 é possível verificarmos as produções dos alunos.
Quadro 35- Regras construídas pelos alunos para a potenciação de inteiros com expoente zero
GRUPO
O que podemos observar? REGRA (CONCLUSÃO)
G1
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoente zero independendo do sinal da base a potência sempre será 1
G2
Não responderam
Concluímos que na potenciação de números inteiros com expoente zero a potencia é 1
G3
Não responderam
Na potenciação de números inteiros com expoente zero tanto com o positivo como o negativo vai da sempre 1
G4
Não responderam
A potenciação de números inteiros com expoente zero que quando a gente faz a potenciação o resultado vai da sempre 1 positivo
G5
Que na potenciação do expoente zero o resultado é sempre 1 positivo
Na potenciação do expoente for zero o resultado é sempre 1 positivo
G6
Que da tudo 1 Na potenciação de números inteiros com expoente zero o resultado da sempre 1
G7 Não responderam Na potenciação de números inteiros com expoente zero o resultado vai da sempre 1
G8
Não responderam
Potenciação de números inteiros com expoente zero não importa se a base é negativa ou positiva a potência vai ser sempre 1 positivo
G9
O resultado sempre vai da 1
Potenciação de números inteiros com expoente zero o resultado sempre vai ser 1 positivo
G10
Só esta dando 1
Na potenciação de números inteiros com expoente 0, o resultado sempre vai dar 1 (+)
G11 Podemos observar que o resultado da sempre 1
Potenciação de números inteiros com expoente zero o resultado é sempre 1
G12 Não responderam Potenciação com expoente zero o resultado é 1
Fonte:Produção escrita dos grupos
A regra institucionalizada ficou assim formulada:
Na potenciação de números inteiros com expoente zero, o valor da potência será sempre 1.
Discutimos alguns exemplos com os alunos, ressaltando que esta é uma
propriedade que também era aplicada na potenciação com números naturais. Após
este momento, entregamos aos alunos a ficha de avaliação do encontro, para que
204
expressassem suas opiniões. No Quadro 36 apresentamos suas avaliações sobre a
aula.
Quadro 36– Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 17/06/2011
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
15
06
03
02
01
05
03
Fonte:Ficha de avaliação da aula
Verificamos que quatro alunos avaliaram a aula como regular e os demais (31
alunos) avaliaram como legal, boa, interessante ou educativa, indicando que
aprovaram a forma como foi trabalhada a potenciação.
3.3.15Décima quinta sessão
A décima quinta sessão ocorreu no dia 20/06/2011 (segunda-feira)quando
foram realizadas as atividades denominadastrilha de potenciação de números
inteiros e atividade escrita sobre as regras para potenciação de inteiros, com o
objetivo de possibilitar aos alunos a prática e assimilação das regras construídas.
205
Solicitamos aos alunos que se organizassem em grupos de 03 discentes e
entregamos os materiais para a realização do jogo da trilha.Em seguida fizemos com
eles, a leitura das regras, esclarecendo as dúvidas que surgiram.
Às 15h10min começaram a jogar. Uma situação notada em alguns grupos foi
a dificuldade de determinados participantes para calcular o valor absoluto das
potências. No entanto percebemos que quando alguém estava com esta dificuldade
os outros participantes auxiliavam na realização do cálculo porque queriam jogar.
Desta forma o jogo fluía mais rapidamente. Ainda assim, precisamos acompanhar
mais de perto dois grupos que demonstraram sérios problemas para realizar os
cálculos, especialmente quando um dos fatores tinha mais de um algarismo.
Observamos,também, que alguns alunos ainda cometiam o equivoco de
multiplicar a base pelo expoente para calcular a potência. Em um dos grupos
presenciamos os demais participantes chamando atenção daquele que tentou
efetuar esta ação, em outros dois, nós precisamos interferir. Assim, foi possível
perceber que a maior dificuldade dos alunos não era aplicar as regra de sinais e sim
calcular o valor absoluto das potências.
Alguns grupos estavam tão envolvidos com o jogo que nem quiseram usufruir
do momento de intervalo, porque queriam chegar ao final da trilha. Apenas um grupo
conseguiu concluir o jogo no tempo estipulado, devido a demora no cálculo das
potências.
Fotografia 9 - Equipes desenvolvendo o jogo da trilha das potências
206
Após o intervalo iniciamos a segunda atividade denominada atividade escrita
sobre as regras para potenciação de inteiros que foi desenvolvida com os alunos
organizados em duplas. Foi entregue a cada dupla, uma folha de atividade para
exercitar as regras institucionalizadas.
Novamente observamos que os alunos não tinham dificuldade em aplicar as
regras de sinais, mas alguns deles sentiam dificuldades para calcular o valor
absoluto das potências. Observando este fato solicitamos mais uma vez a todosos
discentes que procurassem estudar a tabuada de multiplicação, caso contrário,
sempre sentiriam dificuldades para calcular potências.
Observamos,ainda,que o erro referente a multiplicar a base pelo expoente
ainda se repetiu na ação de alguns alunos. Por isso ao realizarmos a correção
procuramos mais uma vez frisar a definição de potenciação.
Encerramos a correção e logo em seguida entregamos a cada aluno a ficha
de avaliação do encontro. Destacamos, a seguir, as avaliações dos alunos,
ressaltando que a análise encontra-se na seção seguinte.
Quadro 37 – Registro das opiniões dos alunos sobre a aula do dia 20/06/2011
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
05
11
12
03
01
01
01
Fonte: Ficha de avaliação da aula
207
Verificamos que novamente os alunos se mostraram bastante satisfeitos com
a realização de um jogo para fixação do conteúdo, apenas um aluno avaliou a aula
como regular.
Neste dia, dois alunos não entregaram seus protocolos.
3.3.16Décima sexta sessão
A décima sexta sessão ocorreu no dia 21/06/2011 (terça-feira) quando foram
desenvolvidas as atividades baralho de regras para adição, multiplicação, divisão e
potenciação de números inteirose exercitando as regras para todas as operações
estudadas, cujo objetivo era revisar as regras das operações estudadas.
Esclarecemos que esta sessão ocorreu em um dia diferente dos habituais
porquenão haveria aula no dias 22, 23 e 24 de junho, devido a comemorações
juninas e o encerramento do semestre.
Iniciamos com o baralho às 16h50min, explicando que o procedimento para
jogar era o mesmo usado nos jogos de baralho que eles vinham realizando, porém
com a diferença de que agora ao invés de formarem três pares, deveriam formar
dois trios (questão, regra e resultado).
Ao iniciarem a partida observamos que a maioria dos grupos estava
encontrando dificuldades para jogar, especialmente quando tinham em mãos mais
regras e resultados do que questões. Então orientamos que usassem a estratégia
que três dos grupos estavam usando, que era primeiro montar todos os trios de
cartas para então começarem a jogar, fazendo o reconhecimento das cartas em
jogo.
Depois das orientações notamos que o jogo fluiu normalmente. Observamos
quealguns alunos comemoravam quando conferiam os resultados e verificavam que
estavam corretos e haviam vencido a partida. Ouvimos um desses alunos dizer:
“pega!! Eu sou é bom!”.
Às 17h40min encerramos o baralho e solicitamos que os alunos se
organizassem em duplas para desenvolver a atividade escrita.Cada dupla recebeu
uma folha de atividade, sendo orientados a não consultar nenhum tipo de material.
Observamos que a maioria dos alunos conseguiu resolver as questões com
tranqüilidade enquanto a minoria sentiu dificuldades principalmente em relação a
operação de adição e potenciação. Esta última por causa do cálculo do valor
208
absoluto da potência, não sendo notado desta vez, caso de alunos efetuando a
multiplicação entre a base e o expoente.
Ao corrigimos as questões notamos a participação ativa da maioria dos
alunos que se mostravam ansiosos em responder, comemorando a cada resposta
correta.
3.3.17Décima sétima sessão
A décima sétima sessão ocorreu no dia 27/06/2011 (segunda-feira), quando
os alunos realizaram o pós-teste geral.
Como seria nosso último encontro, agradecemos aos alunos e a professora
efetivapela oportunidade de realizarmos aquele trabalho enfatizando que gostamos
muito de ter trabalhado com eles. Agradecemos a participação e a seriedade com
que realizaram as atividades, desejando que o desenvolvimento delas tivesse
contribuído com o aprendizado deles a respeito das operações com números
inteiros.
Os alunos realizaram o pós-teste individualmente, sendoeste iniciado às 15h
e encerrado às 16h. Observamos que os alunos que demonstravam pouco interesse
durante as aulas (cerca de 6 alunos, dentre eles dois dos repetentes) foram os
primeiros a entregar seus testes, com apenas 15 minutos do inicio do mesmo. Os
demais pareciam se esforçar para resolver corretamente as questões.
A seguir apresentamos a análise a posteriori e procedemos a validação de
nossa sequência didática.
209
4 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
Nesta seção temos como objetivo apresentar a análise a posteriori e a
validação da sequência didática aplicada, ou seja, pretendemos apresentar o
conjunto dos resultados obtidos por meio da exploração dos dados recolhidos
durante a experimentação e o confronto deste com a análise a priori, evidenciando a
validação da sequência didática elaborada e desenvolvida por nós, em sala de aula.
Ressaltamos que esses resultados encontram-se apoiados em nossas observações
em sala de aula, nas produções dos alunos, nas discussões ocorridas durante os
encontros e nos resultados obtidos com os testes-diagnósticos.
Esclarecemos que a análise a posteriorie a validação foram realizadas por
sessão de ensino, a luz da fundamentação teoria, da análise a priori.
Como foi previsto a sequência didática foi desenvolvida em 17 (dezessete)
sessões, porém, devido a algumas situações ocorridas durante o seu
desenvolvimento, algumas dessas sessões sofreram pequenos ajustes.
4.1 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 1
Na primeira sessão tínhamos como objetivo obter informações sobre a turma
referentes ao perfil pessoal e estudantil dos discentes (apresentados na seção 3) e,
também, verificar o desempenho dos alunos na resolução de questões de adição,
multiplicação, divisão e potenciação com números inteiros, antes da aplicação da
sequência de ensino.A essa verificação denominamosde Pré-teste.
Acreditávamos que alguns alunos, por supostamente desconhecerem o
assunto, resolveriam algumas questões mobilizando seus conhecimentos sobre
operações com números naturais, o que faria com que, em alguns casos,
chegassem ao resultado correto.No Quadro 38 apresentamos os resultados
referentes ao número de alunos que acertaram, erraram ou não fizeram cada
questão do pré-teste e as estratégias usadas por alguns alunos na resolução das
operações.
210
Quadro 38- Resultados obtidos no pré-teste
ACERTOS ERROS NÃO FEZ
Nº
ALUNOS
QUESTÕES
V.A
%
V.A
%
V.A
%
OPERAÇÃO ADIÇÃO
01 4 + 9 32 100% 0 0% 0 0%
02 15 – 7 28 87,5% 3 9,38% 1 3,12%
03 - 4 – 8 0 0% 25 78,13% 7 21,87%
04 - 6 + 3 1 3,12% 25 78,13% 6 18,75%
05 - 4 + 12 2 6,25% 22 68,75% 8 25%
06 +5 – 7 0 0% 24 75% 8 25%
07 -13 + 14 2 6,25% 24 75% 6 18,75%
08 -7 – 2 0 0% 25 78,13% 7 21,87%
09 -26 + 26 0 0% 20 62,5% 12 37,5%
10 +5 -5 14 43,75% 10 31,25% 8 25%
OPERAÇÃO MULTIPLICAÇÃO
11 (+4) x (+5) 8 25% 8 25% 16 50%
12 (+5) x (- 3) 0 0% 17 53,13% 15 46,87%
13 (- 4) x (+6) 1 3,12% 12 37,5% 19 59,38%
14 (-2) x (- 7) 6 18,75% 10 31,25% 16 50%
15 6 x (-1) 2 6,25% 15 46,87% 15 46,88%
16 (-10) x (- 3) 8 25% 8 25% 16 50%
17 0 x (+6) 4 12,5% 12 37,5% 16 50%
18 0 x (-5) 5 15,63% 11 34,37% 16 50%
19 (- 9) x 0 6 18,75% 11 34,37% 15 46,88%
20 (- 1) x (-1) 7 21,87% 8 25% 17 53,13%
OPERAÇÃO DIVISÃO
21 (+8) ÷ (+4) 6 18,75% 9 28,12% 17 53,13%
22 (+9) ÷ (-3) 0 0% 15 46,87% 17 53,13%
23 (- 16) ÷ (+2) 0 0% 12 37,5% 20 62,5%
24 (-10) ÷ (-2) 5 15,63% 10 31,25% 17 53,13%
25 (-12) ÷ (-1) 5 15,63% 10 31,25% 17 53,13%
26 (-16) ÷ (- 4) 4 12,5% 9 28,12% 19 59,38%
27 (-14) ÷ 7 1 3,17% 14 43,75% 17 53,13%
28 (+1) ÷ (-1) 1 3,17% 13 40,63% 18 56,25%
29 0 ÷(+ 6) 5 15,63% 10 31,25% 17 53,13%
30 0 ÷ (- 8) 5 15,63% 9 28,12% 18 56,25%
OPERAÇÃO POTENCIAÇÃO
31 (+4)² 2 6,25% 16 50% 14 43,75%
32 (+3)³ 1 3,17% 17 53,13% 14 43,75%
33 (-3)² 2 6,25% 15 46,88% 15 46,87%
34 (- 2)5 0 0% 18 56,25% 14 43,75%
35 (+5)² 1 3,17% 18 56,25% 13 40,63%
36 (-2)³ 1 3,17% 17 53,13% 14 43,75%
37 (+7)0 0 0% 19 59,38% 13 40,62%
38 (- 6)0 0 0% 17 53,13% 15 46,87%
Fonte:Pré-teste realizado com os alunos
211
A análise do quadro mostrou que no geral os alunos não sabiam resolver as
operações com números inteiros, confirmando as hipóteses que foram levantadas na
análise a priori. Na análise de seus protocolos foi possível observar que os alunos
que tentaram resolver as questões, fizeram-no mobilizando seus conhecimentos
sobre números naturais.
No caso da adição verificamos que os discentes só apresentaram bom
desempenho nas questões em que a estrutura se assemelhava a estrutura
conhecida por eles na resolução de adição com números naturais. Em seus
protocolos foi possível verificar que sempre efetuavam a operação que era indicada
pelo sinal referente a segunda parcela.
No caso da multiplicação e divisão verificamos que alguns alunos também
resolveram as questões mobilizando seus conhecimentos sobre operações com
números naturais, ignorando o sinal indicativodo valor negativo, o que
possibilitouque alguns deles chegassemao resultado correto quando as operações
eram entre dois valores negativos. Outros ignoraram o sinal indicativo das referidas
operações e efetuaram a operação referente ao sinal do segundo fator, no caso da
multiplicação ou do divisor, no caso da divisão.
Em relação à potenciação verificamos que muitos dos que tentaram resolver
as questões o fizeram multiplicando a base pelo expoente e alguns, dependendo do
sinal indicado na base, adicionavam ou subtraiam a base pelo expoente,
confirmando nossas suposições de que os alunos poderiam manifestar deficiência
na construção do conceito sobre esta operação mesmo no campo dos naturais.
Outra constatação foi a de que dentre os alunos que resolveram as questões
existiam muitos que demonstraram não ter domínio da tabuada, principalmente de
multiplicação e divisão. O que já era esperado, uma vez que boa parte deles havia
declarado, não ter domínio da tabuada referente a essas operações.No gráfico 10 é
possível verificarmos o número de acertos de cada aluno na resolução das
questões.
212
Gráfico 10–Percentual de acertos, por alunos, no pré-teste
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho de 2011)
A leitura do gráfico revelou que apenas os alunos A3 e A4 conseguiram ter
um percentual de acerto acima de 30% (correspondente a 15 questões), o que
poderia significar que eles teriam algum conhecimento sobre operações com
números inteiros, mesmo não sendo repetentes.Entretanto, a análise de seus
protocolos revelou que eles resolveram as questões mobilizando seus
conhecimentos sobre números naturais, aplicando as estratégias já apresentadas
anteriormente.
No entanto, o dado que nos chamou mais atenção foi a verificação de que os
alunos que já passaram pelo ensino de números inteiros (A15, A22, A25 e A28)não
alcançaram 15% de acerto, revelando baixo desempenho na resolução das
questões, inclusive deixando de realizar boa parte destas.
Em relação aos quatro alunos repetentes, constatamos que três deles não
gostavam ou gostavam bem pouco de matemática; todos tinham dificuldade de
aprendizado em relação a esta disciplina; costumavam estudar apenas para realizar
as provas e tinham pouco ou nenhum domínio das tabuadas.
Esses dados nos permitiram inferir que o baixo rendimento apresentado por
elespoderia ser reflexo dessas características e/ou de uma prática de ensino
pautada na explanação oral do conteúdo, seguindo a sequência apresentação das
definições, exemplos e aplicação de listas de exercícios, prática que ficou bastante
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A1
0A
11
A1
2A
13
A1
4A
15
A1
6A
17
A1
8A
19
A2
0A
21
A2
2A
23
A2
4A
25
A2
6A
27
A2
8A
29
A3
0A
31
A3
2
213
evidenciada nas pesquisas realizadas com professores e alunos egressos do 7º ano,
as quais foram apresentadas nas análises preliminares.
Portanto, como foi previsto nas análises a priori o desempenho dos alunos em
relação às operações com números inteiros antes do desenvolvimento da sequência
didática foi bastante baixo, deixando evidente que os alunos desconheciam o
conteúdo ou não tinham adquirido aprendizado sobre ele (caso dos repetentes).
4.2ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 2
Na segunda sessão nosso objetivo era que ao trabalhar em grupo, por meio
de atividade com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus
pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades sobre
adição com números de sinais iguais; enunciar as regras para cada caso da adição e
apresentar conclusões satisfatórias sobre suas observações.
Ao iniciarmos esta sessão nossa primeira ação foi procurarconstruir com os
alunos um contrato didático quenos possibilitasse proporcionar a eles a aquisição do
conhecimento por meio de suas próprias construções. Para Almouloud (2009, p. 90)
“as escolhas pedagógicas, o tipo de trabalho proposto aos alunos, os objetivos de
formação, a epistemologia do professor, as condições de avaliação, etc., fazem
parte dos determinantes essenciais do contrato didático”. Sendo assim, discutimos
com eles algumas “cláusulas” que fariam parte do contrato e acatamos outras
acrescentadas por eles, sendo possível verificar, no decorrer dos encontros, que
mesmo quando implícitas, as “cláusulas” deste contrato foram respeitadas,
possibilitando a participação ativa dos alunos na construção do novo saber, com
destaque para a questão da interação no trabalho em grupo.
Observamos que os alunos não tiveram problemas para formar os grupos; se
organizaram muito bem para o desenvolvimento das atividades, permitindo que
todos tivessem oportunidade de manusear a calculadora e estabeleceram diálogos
nos grupos que lhes permitiram responder as questões propostas. De acordo com
os PCN o trabalho coletivo supõe uma série de aprendizagens, tais como:
- perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-las e chegar a um consenso; - saber explicar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro;
214
- discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias; - incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão a cerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender (BRASIL, 2000)
Em nossa avaliação a interação estabelecida entre os alunos e destes com a
professora-pesquisadora constituíram-se em momentos bastante ricos de
aprendizagem.
Com relação ao material tecnológico utilizado verificamos, assim como Melo
(2008), que muitos alunos tiveram dificuldades para executar as funções mais
simples da calculadoracomo abrí-la ou ligá-la e desligá-la, evidenciando que não
sabiam manuseá-la, apresentando muitas dúvidas. Tal situação nos fez concordar
com este pesquisador quando disse que esse fato revela a falta de utilização das
tecnologias no âmbito escolar, negando ao aluno a possibilidade de exploração dos
conhecimentos que as tecnologias podem lhes proporcionar, assim como mostrou
Jucá (2008), Schifel (2006), Selva e Borba (2010), Pires; Sá e Silva (2010),
Altiparmark e Õzdogan (2010) e tanto outros pesquisadores que tem se dedicado ao
estudo das tecnologias em sala de aula.
Quanto ao desenvolvimento da atividade desta sessão, constatamos que
estafoi a atividade de adição que mais ofereceu dificuldades aos grupos de alunos
para perceber as regularidades apresentadas pelos resultados obtidos com a
calculadora e principalmente para formular e redigir as conclusões, como havíamos
previsto nas análises a priori. Consideramos que dois fatores contribuíram
consideravelmente para esta situação. Primeiro, o fato da maioria dos alunos ainda
não estar habituado a metodologia aplicada e, segundo, a forte dependência que
muitos deles demonstraram ter do professor.
Atodo instante solicitavam nossa presença na esperança de que pudéssemos
fornecer-lhes as respostas para os questionamentos ou confirmar suas
proposições,deixando transparecer que se sentiam inseguros sobre o conhecimento
que estavam produzindo.Em nosso entendimento essa dificuldade e dependência
poderiam ser reflexos de uma prática docente na qual o ensino estaria centrado no
professor e onde os alunos seriam meros receptores do conhecimento formulado por
eles, tendo pouca ou nenhuma chance de participar ativamente desta construção.
Brousseau (2009) defende que é fundamental que o aluno torne-se autônomo
no processo de construção e aquisição do saber para que sua aprendizagem venha
215
a tornar-se significativa, cabendo ao professor dentro deste processo, a função de
mediador.Sá (2009, p. 19) contribui dizendo que se o aluno for instigado a
desenvolver seu espírito investigativo poderá ser conduzido a um amadurecimento
científico e matemático que o tornará cada vez mais autônomo e consciente da sua
capacidade de apostar na curiosidade e na possibilidade de buscar o conhecimento
por meio da investigação. Daí a necessidade de procuramos, cada vez mais,
trabalhar com o processo de investigação em sala de aula.
Todavia, apesar das dificuldades manifestadas, os comportamentos e os
registros que os grupos produziramdurante a realização da atividade revelaram que
alguns deles conseguiram, na interação com o meio,identificar a operação que era
efetuada pela calculadora, sendo observado que dois grupos (G4 e G6)
conseguiram perceber que a soma possuía o mesmo sinal das parcelas, porém, não
conseguiram formular as suas conclusões de forma a comunicar claramente as suas
descobertas.
Portanto podemos considerar que quase todos os objetivos traçados para
esta sessão foram alcançados, a exceção foi a apresentação de conclusões
satisfatórias,uma vez que nenhum grupo conseguiu formular uma regra adequada
para este caso da adição.
4.3 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 3
Na sessão 3 nosso objetivo eram que ao trabalhar em grupo, por meio de
atividade com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus
pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades sobre
adição com números de sinais diferentes e simétrico; enunciar as regras para cada
esse caso da adição e apresentar conclusões satisfatórias sobre suas observações.
Verificamos que nestasessão o desempenho dos alunos foi bem
melhor.Nossas observações sobre o desenvolvimento e os protocolos dos alunos
revelaram que na atividade de adição com sinais diferentesa maioria dos grupos
conseguiu perceber e elaborar satisfatoriamente a regra,apesar da dificuldade inicial
em perceber a relação do sinal das somas com o módulo das maiores parcelas. Já
no caso da atividade de adição entre dois simétricos, observamos que os grupos
não tiveram problemas para descobrir e formulara regra, registrandoneste caso, uma
melhora significativa quanto às redações das regras.
216
Em nossa avaliação o momento de institucionalização do saber contribuiu
bastante para essa melhora na formulação das regras, já que observamos que as
redações de alguns grupos seguiram a mesma estrutura da primeira regra
institucionalizada.
Em relação às regras de sinais, observamos que as construídas pela maioria
dos grupos se aproximavam bastante das regras de sinais para adição, contidas nos
livros didáticos pesquisados por Silva (2006), conforme apresentado na seção 1 das
análises preliminares.
Verificamos,também,que houve evolução referente ao tempo demandado
para odesenvolvimento e socialização das atividades. Na primeira atividade de
adição os alunos levaram 45 minutos para concluir e socializar suas regras, na
segunda o tempo foi de 35 minutos e na terceira os alunos levaram apenas 15
minutos, revelando um significativo decréscimo no tempo, como podemos verificar
no gráfico 11 abaixo.
Gráfico 11 – Variação do tempo gasto nas atividades de adição
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho de 2011)
Essa diminuição no tempo gasto para o desenvolvimento das atividades
confirma o que Sá (1999, p.81) já afirmava sobre a utilização de atividades de
redescoberta em sala de aula. Para esse autor, o educando tende a ficar mais
rápido na descoberta dos conhecimentos matemáticos à medida que as atividades
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1ª atividade 2ª atividade 3ª atividade
tem
po
em
min
uto
s
Tempo gasto em cada atividade
217
vão sendo vencidas, desta forma, o tempo gasto no início passa a ser compensado
posteriormente.
Quanto àavaliação feita pelos alunos referente a aula deste dia, verificamos
que eles deixaram claro que gostaram da metodologia empregada porque ela lhes
proporcionou aprendizado sobre o conteúdo proposto. Tendo sido destacado por
quinze alunos o fato de a aula ter lhes proporcionado, também, uma nova
experiência e até mesmo o desenvolvimento de habilidades como a concentração.
Dentre os depoimentos, destacamos o do(a) aluno(a) que disse “foi um pouco
difícil, mas é sempre bom aprender algo novo”. Consideramos esta manifestação
importante porque revela claramente que a utilização da investigação em sala de
aula não é um processo fácil nem para o aluno, que precisa sair de seu comodismo
cognitivo, nem para o professor, que precisa estar preparado para responder aos
questionamentos dos discentes e ajudá-los a refletir. No entanto, acreditamos que à
medida que esta prática for sendo implementada em sala de aula, estaremos
contribuindo mais qualitativamente para o aprendizado dos alunos e para seu
desenvolvimento enquanto cidadãos ativos dentro da sociedade.
Consideramos que a evolução dos alunos observada em relação às
atividades e suas avaliações indicando que haviam gostado das aulas e aprendido o
conteúdo,apontam que os objetivos traçados para esta sessão foram alcançados
satisfatoriamente.
4.4 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 4
Ao elaborarmosaquarta sessãotínhamos como objetivo possibilitar que por
meio do jogo os alunos pudessem apropriar-se cada vez mais das regras
construídas, utilizando-as corretamente na resolução das adições propostas.Para
Brasil (2000) a participação em jogos de grupo representa para o aluno uma
conquista cognitiva, emocional, moral e social e um estimulo ao desenvolvimento do
seu raciocínio lógico.
Em relação ao jogo, nossa análise a priori era de que os alunos poderiam
sentir dificuldades em compreender as regras para jogar e apenas a explicação oral
das mesmas seria suficiente para orientá-los.Porém, constatamos que a solução
prevista para resolver esta situação não foi suficiente, exigindo a repetição mais de
uma vez das regras e, em alguns casos, precisamos mostrarna prática como o jogo
218
deveria ser desenvolvido. Somente após essas intervenções percebemos que o jogo
fluiu normalmente. Avaliamos que esta demora na compreensão das regras
prejudicou o desenvolvimento da atividade, uma vez que provocou uma redução no
tempo de exploração do jogo e agitação da turma.
Ao desenvolverem o jogo, observamos que alguns alunos tentaram usar a
calculadora para confirmar cada par que formavam. Para nós essa atitude
demonstrava mais uma vez a insegurança desses alunos sobre os seus
conhecimentose apontava para o cuidado que se deve ter ao utilizar-seda
calculadora em sala de aula, a fim de não permitir que ela seja usada como
instrumento de substituição do cálculo mental.
Por outro lado,pudemos verificar que a utilização da calculadora para
conferencia dos resultados possibilitou que os alunos tivessem autonomia no jogo e
percebessem onde estavam cometendo erro.Diante deste resultado concordamos
com Selva e Borba (2010) quando afirmam que é preciso apostar nas possibilidades
que as tecnologias oferecem para o desenvolvimento cognitivo dos estudantes,
entendendo que é também necessário planejar muito bem a sua utilização a fim de
não permitir a fuga de seus objetivos. Por isso é importante que acompanhemos de
perto as ações dos alunos ao desenvolverem atividades deste tipo.
Deste modo, podemos afirmar que ojogo possibilitou aos alunos a troca de
informações sobre as regras e de conhecimentos sobre a tabuada, exigindo que eles
desenvolvessem habilidades para o cálculo mental, já que lhes foi negada a
utilização de qualquer material para este fim, contribuindo assim para a assimilação
das regras.
Ao analisarmos suas avaliações verificamosque a maioria deles (25 alunos)
reconheceu o jogo não somente como um recurso lúdico capaz de lhes proporcionar
prazer, mas como um recurso também capaz de lhes proporcionar aprendizagem,
corroborandocom o que é afirmado por Grando (2004) sobre o fato de o
jogodespertaro interesse do aluno, resgatandoseu prazer em aprender e agindo
como uma ferramenta potencial para o processo ensino e aprendizagem dos
conteúdos matemáticos.
No que se refere ao pós-teste de adição realizado após o desenvolvimento
das atividades,em nossa análise a priorisupomos que o bloco de questõesque
ofereceria mais dificuldades para o aprendizado dos alunos seria aquele em que a
adição era entre um número negativo e um positivo, nesta ordem, devido
219
àresistência natural ao número negativo.Abaixo apresentamos o Quadro 39
referente ao desempenho da turma em cada bloco de questões.
Quadro 39- Desempenho da turma em cada bloco de questões
Bloco de questões
Questões
Acertos Erros Não resolvidas
V.A % V.A % V.A %
Adição entre dois positivos
4 + 9 30 93,75% 02 6,25% 0 0%
8 + 14 29 90,62% 03 9,38% 0 0%
Adição entre dois negativos
- 6 – 12 14 43,75% 17 53,12% 1 3,13%
- 4 – 8 16 50% 15 46,87% 1 3,13%
-7 – 2 16 50% 16 50% 0 0%
Adição entre um
positivo e um negativo
15 – 7 22 68,75% 09 28,13% 1 3,13%
+5 – 7 14 43,75% 18 56,25% 0 0%
3-4 13 40,62% 19 59,37% 0 0%
8-5 25 78,13% 7 21,87% 0 0%
5-10 12 37,5% 20 62,5% 0 0%
Adição entre um negativo e um
positivo
-35 + 10 11 34,37% 21 65,63% 0 0%
- 6 + 3 11 34,37% 20 65,63% 1 0%
-13 + 14 10 31,25% 22 68,75% 0 0%
-4+12 9 28,12% 23 71,87% 0 0%
-2 + 15 8 25% 24 75% 0 0%
-6+14 9 28,12% 23 71,87% 0 0%
Adição de simétricos
– 18 + 18 25 78,12% 7 21,88% 0 0%
-26 + 26 25 78,12% 7 21,88% 0 0%
+12-12 27 84,37% 5 15,62% 0 0%
+5 -5 28 87,5% 4 12,2% 0 0% Fonte:Pós-teste de adição
Observamos que em algumas questões o índice de acerto foi bastante baixo,
para nós três fatores podem ter contribuído para esse resultado. O primeiro refere-se
à quantidade de atividades elaboradas para fixação das regras. Consideramos que
uma atividade apenas não foi suficiente para possibilitar que os alunos assimilassem
o novo conhecimento.O segundo diz respeito ao tempo para o desenvolvimento
efetivo do jogo, que foi reduzido em função da dificuldade de compreensão das
regras do jogo de baralho. E o terceiro refere-se aos obstáculos epistemológicos,
referente ao conhecimento adquirido em relação ao significado atribuído aos
símbolos “+” e “-“, que observamos, estavam bastante enraizados, dificultando o
acolhimento deste novo conhecimento.
220
O gráfico 12 abaixo apresenta o demonstrativo da média de acertos em cada
um dos blocos de questões.
Gráfico 12 – Média de acertos dos alunos, por bloco de questões
Fonte:Pós-teste de adição
Pudemos constatar pela leitura do gráfico, que as suposições apresentadas
nas análises a priori foram confirmadas com a realização do pós-teste. Ao analisar o
gráfico verificamos que a média de acertos foi mais baixa em relação às questões
que tinham os dois valores negativos ou tinham a primeira parcela negativa e a
segunda positiva, revelando a resistência natural dos alunos ao número negativo, o
que também foi observado entre nossos antepassados, conforme apresentamos no
histórico sobre os números inteiros (seção 1).
Observamos que em relação a estas questões e também nas questões onde
a primeira parcela era positiva e a segunda negativa, muitos alunos admitiram o
sinal indicativo do valor negativo ou positivo como o sinal da operação a ser
realizada, o que também foi observado por Nascimento (2001) que considerou este
tipo de erro como um obstáculo epistemológico já que, segundo ele, essas crianças
aprenderam durante suas trajetórias escolares que os símbolos “-” e “+” estão
associados às operações de subtração e adição, respectivamente e também que do
menor valor não se pode tirar o maior valor.
Portanto, podemos supor que, talvez, esse tenha sido o motivo para esse
desempenho dos alunos. Daí a necessidade de termos trabalhado com mais
atividades de fixação, já que os obstáculos epistemológicos parecem ter tido
92,18%
47,91%53,75%
30,28%
82,02%
dois inteiros positivos
dois inteiros negativos
um positivo e um negativo
um negativo e um positivo
simétrico
221
interferência considerável no baixo rendimento dos alunos em relação a essas
questões.
Todavia consideramos que houve avanço no desempenho da turma se
compararmos a média de acertos entre o pré-teste e o pós-teste de adição. No
gráfico 13 apresentamos a média de acertos da turma nestes dois testes.
Esclarecemos que no pré-teste foram resolvidas 10 questões e no pós-teste foram
resolvidas 20 questões.
Gráfico 13 – Desempenho da turma no pré e pós-teste de adição
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Analisamos, também,o desempenho individual dos alunos e constatamos que
a maioria deles conseguiu apreender algum conhecimento novo referente aos
números inteiros. O quadro 40 apresenta os resultados obtidos pelos alunos neste
teste.
Quadro 40 – Desempenho individual dos alunos no pós-teste de adição (continua)
Alunos
Acertos
Erros
Questões não resolvidas
V.A % V.A % V.A %
A1 20 100% 0 0% 0 0%
A2 20 100% 0 0% 0 0%
A3 14 70% 6 30% 0 0%
A4 10 50% 10 50% 0 0%
A5 10 50% 10 50% 0 0%
A6 17 85% 3 15% 0 0%
A7 10 50% 10 50% 0 0%
A8 6 30% 13 65% 1 5%
A9 14 70% 6 30% 0 0%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
24,70%
55,30%
média de acetos no pós-teste de adição
média de acertos no pré-teste de adição
222
Quadro 40 – Desempenho individual dos alunos no pós-teste de adição (conclusão)
A10 12 60% 8 40% 0 0%
A11 15 75% 5 25% 0 0%
A12 13 65% 7 35% 0 0%
A13 12 60% 8 40% 0 0%
A14 15 75% 5 25% 0 0%
A15 13 65% 7 35% 0 0%
A16 12 60% 8 40% 0 0%
A17 10 50% 10 50% 0 0%
A18 11 55% 9 45% 0 0%
A19 12 60% 7 35% 1 5%
A20 11 55% 8 40% 1 5%
A21 7 35% 12 60% 1 5%
A22 10 50% 10 50% 0 0%
A23 9 45% 11 55% 0 0%
A24 8 40% 12 60% 0 0%
A25 10 50% 10 50% 0 0%
A26 7 35% 13 65% 0 0%
A27 6 30% 14 70% 0 0%
A28 7 35% 13 65% 0 0%
A29 9 45% 11 55% 0 0%
A30 10 50% 10 50% 0 0%
A31 6 30% 14 70% 0 0%
A32 9 45% 11 55% 0 0% Fonte: Pós-teste de adição
Observamos que a maioria dos alunos da turma teve bom desempenho,
conseguindo resolver corretamente 50% ou mais das questões, com destaque para
os alunos A1 e A2 que acertaram todas as questões.
Em relação aos alunos que não conseguiram alcançar 50% de acerto,
verificamos que quatro deles (A8, A24, A27 e A31) não estavam presentes no dia
em que foi realizada a terceira sessão na qual foram trabalhadas as atividades de
adição com sinais diferentes e simétricos. Também, verificamos que os alunos A26,
A28 e A29 eram os três alunos que disseram ter muita dificuldade para aprender
matemática e não ter domínio sobre a tabuada e o aluno A21 que disse ter um
pouco de dificuldade e nenhum domínio da tabuada (Cf. quadro 12, sessão 3). Em
nossa avaliação esses fatores podem ter sido responsáveis pelo baixo desempenho
apresentado por esses alunos.
Apesar dos resultados não tão significativos em algumas situações, podemos
considerar que houve melhora significativa no desempenho dos alunos em relação
ao pré-teste, evidenciando que a maioria deles havia conseguido apreender
223
conhecimentos sobre as regras de adição trabalhadas, o que nos levou a afirmar
que o objetivo desta sessão foi alcançado.
4.5 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 5
Na quintasessão havíamos planejado trabalhar apenas as atividades de
multiplicação com sinais iguais e diferentes, porém o interesse e a agilidade dos
grupos no desenvolvimento das atividades possibilitaram que fosse também
realizada a atividade de multiplicação por zero, levando-nos a alterar o que havia
sido planejado.Portanto, esta sessão foi realizada com o objetivo de que ao trabalhar
em grupo, por meio das atividades com o uso da calculadora, fosse possível aos
alunos: interagir com seus pares de forma a construir um novo conhecimento;
perceber as regularidades para multiplicação de números inteiros de sinais iguais,
diferentes e por zero; enunciar as regras para cada um desses casos da
multiplicação e apresentar conclusões sobre suas observações.
A análisedos registros dos alunos e de nossasanotações sobre
asobservações acerca dofuncionamento desta sessãorevelaram, quehouve
considerável melhora nas redações apresentadas pelos grupos referentes a suas
conclusões, sendo observado que as regras foram qualitativamente melhor
elaboradas.Em nosso entendimento o processo de socialização e institucionalização
das regras de adição contribuíram bastante para esses resultados, assim como o
fato das atividades trazerem explicitado o título e o objetivo a ser alcançado com
elas, pois foi verificado que os alunos se reportavam a eles cada vez que
enunciavam as regras que haviam descoberto.
Em relação às regras,consideramos que aquelas apresentadas pelos grupos
estavam condizentes com as regras para a multiplicação de inteiros enunciadas nos
livros didáticos analisados por Silva (2006), o que reforça a hipótese de que os
alunos são capazes de construir conhecimento se lhes for dado oportunidade para
isso.
Nesta sessão os gruposse mostraram mais integrados, seguros e autônomos
em relação as suas produções, as quais eram construídas a partir do diálogo que
era estabelecido entre eles. Também mostraram autonomia em relação a
socialização das regras, pois já não esperavam por nosso comando para ir ao
224
quadro, assim que conseguiam escrever suas conclusões um dos participantes do
grupo logo se levantava e procedia a anotação desta no quadro.
Em nosso entendimento a evolução e autonomia dos alunos frente à situação
adidática a que foram submetidos indicava que o objetivos pretendido com o
processo de devoluçãoestavam sendo alcançados, ou seja, estávamos conseguindo
fazercom que os alunos aceitassem a responsabilidade de uma situação de
aprendizagem (adidática), aceitando as consequências dessa transferência.Para
nós, esta atitude indicava que o contrato didático estava se consolidando.
Ao emitir suas opiniões sobre a aula deste dia os alunos novamente
avaliaram positivamente as atividades desenvolvidas e alguns apontaram suas
maiores dificuldades no processo, como podemos observar por meio dos seguintes
depoimentos: “foi muito legal, só que demorei a entender”; “gostei muito, antes de
minhas colegas resolverem eu já sábia o resultado, só é difícil na hora da
conclusão”, os alunos revelam que tiveram dificuldade de compreensão e
elaboração das conclusões. Em nossa avaliação, esses depoimentos deixam
transparecer que para esses alunos a metodologia empregada talvez não fosse
simples de ser compreendida ou fácil de ser desenvolvida, porém, parece ter lhes
proporcionado satisfação pelos conhecimentos que foram adquiridos.
O outro depoimento que gostaríamos de destacar é o do aluno que diz: “a
aula foi um pouco bagunçada mais foi legal”. Em nosso entendimento a bagunça
mencionada pelo aluno diz respeito a agitação proporcionada pela dinâmica de
desenvolvimento das atividades, haja vista, que a maioria dos alunos, por estarem
mais familiarizados com a metodologia, conseguiam descobrir a regra com mais
facilidade e discutiam com mais entusiasmo em seus grupos ou com outros grupos,
buscando elaborar a redação corretamente e no menor tempo possível.
Entendemos que não se pode esperar que em um processo de transferência
da responsabilidade pela construção do conhecimento os alunosfiquem inertes as
situações, ao contrário, é essencial que os alunos procurem discutir suas ideias,
apresentando e defendendo suas propostas e estratégias para a resolução do
problema que lhes é apresentado, ainda que para alguns essa movimentação
pareça estranha, ao ponto de considerarem “bagunça”.
Salientamos, no entanto, que a agitação a que o aluno se refere em momento
algum poderia ser considerada indisciplina ou motivo de dispersão, ao contrário, em
nossa avaliação era a resposta dos alunos a proposta didática a que estavam
225
submetidos e o reflexo do envolvimento dos alunos no processo ensino e
aprendizagem que estava sendo desenvolvido.
4.6ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 6
Em função da modificação ocorrida na quinta sessão, a sexta sessão também
sofreu modificações sendo realizadas neste dia as atividades de multiplicação por (-
1) e divisão de inteiros com sinais iguais. Assim, a sessão foi desenvolvida com o
objetivo de que por meio das atividades, com o uso da calculadora, fosse possível
aos alunos: interagir com seus pares de forma a construir um novo conhecimento;
perceber as regularidades para multiplicação de números inteiros por (-1) e divisão
de inteiros com sinais iguais; enunciar as regras para esse caso da multiplicação e
da divisão e apresentar conclusões sobre suas observações.
Como havíamos previsto em nossas análises a priori a atividade de
multiplicação que mais ofereceu dificuldade aos grupos foi a que envolvia a
multiplicação por (-1) devido a maioria deles não conseguir de imediato relacionar o
valor do produto aos multiplicadores. Todavia verificamos que após os diálogos
estabelecidos com os alunos, provocando-os a reflexão, os grupos conversavam e
conseguiam perceber e enunciar uma regra.
Uma questão que destacamos em relação a esta sessão se refere à
contribuição da calculadora no processo de construção do aprendizado. Para Selva
e Borba (2010), ao contrário do que é propagado pelos sujeitos que se opõem a
utilização da calculadora em sala de aula, esta pode ser uma ferramenta capaz de
permitir que os alunos construam conhecimento novo a partir de suas observações e
interpretaçõessobre os dados fornecidos por ela, e também, pela associação destas
aos conhecimentos já adquiridos.
Destacamos neste sentido o comentário de um dos alunos que tendo obtido,
na calculadora, os resultados para as multiplicações por (-1), dirigiu-se a nós e
comunicou: “professora eu já sei. Quando multiplica por (-1) dá o simétrico do
número multiplicado”.Como podemos verificar o aluno chegou a esta conclusão
observandoas regularidades que se apresentavam e também mobilizando seus
conhecimentos sobre a noção de números opostos, reforçando a concepção das
autoras quanto ao uso da calculadora para o ensino de matemática.
226
Outra situação ocorrida na atividade de multiplicação por (-1) que
consideramos importante destacar refere-se ao fato dos alunos solicitarem que a
regra institucionalizada fosse redigida explicitando a definição de números opostos
ou simétricos, alegando que seria mais fácil para eles aprenderem. De acordo com
osprincípios sobre os quais foram pautados os PCN referente a matemática para o
ensino fundamental, “a atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas
e definitivas, mas a construção e apropriação de um conhecimento pelo aluno, que
se servirá dele para compreender e transformar sua realidade” (BRASIL, 2000, 19).
Compreendemos que é nosso papel enquanto educadores, possibilitar que os
alunos se apropriem dos conhecimentos matemáticos para que saibam lançar mão
deles quando necessário, por isso, consideramos que era importante acatar a
solicitação dos alunos, uma vez que ela estava condizente com o conhecimento
matemático que estava sendo trabalhado.
Quanto à divisão pudemos verificar que os alunos não tiveram dificuldade
para perceber, enunciar ou redigir a regra, assim como havíamos previsto. De
acordo com Gonzáles et. al(1990), como a divisão é definida como a operação
inversa da multiplicação, uma vez consolidada a multiplicação, a introdução da
divisão normalmente não apresentará dificuldades, já que as regras de sinais
empregadas na resolução dessas operações são as mesmas. Nosso entendimento
é que a experiência vivenciada com as atividades de multiplicação contribuiu
consideravelmente para que os alunos apresentassem esse resultado, sendo,
inclusive percebido por vários deles que se tratava da mesma regra de sinais, como
foi verificado na seção 3.
Consideramos, ainda, que a experiência vivenciada pelos alunos ao longo do
processo contribuiu para que os grupos se sentissem cada vez mais autônomos e
confiantes em suas proposições, assumindo sem receio as conseqüências sobre
elas. Conforme apresentamos na seção 3, a maioria dos grupos ao socializar suas
conclusões fazia questão de identificá-las, mostrando que estavam seguros de que
haviam solucionado o problema proposto.
Desta forma é possível afirmar que os objetivos traçados para esta sessão
foram alcançados.
227
4.7 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 7
A sétima sessão também foi modificada em função da agilidade e experiência
adquirida com as atividades de multiplicação. Por este motivo realizamos esta
sessão com o objetivo de que ao trabalhar em grupo, por meio das atividades com o
uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus pares de forma a
construir um novo conhecimento; perceber as regularidades para divisão de
números inteiros com sinais diferentes, por (-1) e de zero por um inteiro; enunciar as
regras para cada caso da divisão e apresentar conclusões sobre suas observações.
Nossa análise sobre o desenvolvimento desta sessão é de que as hipóteses
levantadas na análise a priori foram sendo confirmadas à medida que as atividades
eram realizadas, pelos mesmos motivos elencados na sessão anterior. Como
prevíamos a única atividade que ofereceu um pouco mais de dificuldades aos
grupos foi àquela referente à divisão por (-1) devido a dificuldade de relacionar o
quociente aos valores do dividendo, entretanto, verificamos que a quantidade de
grupos que manifestaram dificuldades foi bem menor.
Verificamos, também, que o tempo demandado para a realização das
atividades de multiplicação e divisão foi bem menor do que na adição, indicando o
amadurecimento intelectual e investigativo que os alunos foramadquirindocom o
desenvolvimento das situações de ensino. O Gráfico 14 apresentar a variação do
tempo gasto nas atividades de multiplicação e divisão, estando dispostas na ordem
em que foram realizadas. Esclarecemos que o tempo a que nos referimos se refere
a conclusão e socialização das atividades.
Gráfico 14 – Variação do tempo nas atividades de multiplicação e divisão
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
0
10
20
30
40
50
60
Nº Inteiros com sinais diferentes
Nº inteiros com sinais iguais
(Nº inteiros) x (zero) e (zero) ÷ (nº inteiro)
Nº inteiros por (-1)
tem
po
em
min
uto
s
Tempo de conclusão de cada atividade
atividades de multiplicação
atividades de divisão
228
Constatamos que o tempo para o desenvolvimento das atividades de
multiplicação e divisão foi sendo reduzido a partir da primeira atividade
institucionalizada, sendo registrado um aumento apenas nos casos que envolviam a
multiplicação ou divisão por -1 devido a dificuldade de elaboração da redação
sentida por alguns grupos.
Na comparação entre as duas operações constatamos que o tempo gasto nas
atividades de divisão foi menor do que o tempo gasto nas atividades de
multiplicação, a exceção da primeira atividade que sempre demanda um pouco mais
de tempo. Atribuímos essa diminuição observada em relação às operações ao fato
das duas possuírem a mesma regra de sinais e também ao fato dos alunos já virem
acumulando experiências ao longo do processo.
Assim, consideramosque as hipóteses levantas na análise a priori, para esta
sessão, foram confirmadas e os objetivos traçados foram alcançados.
4.8 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 8
Nesta sessão tínhamos por objetivo que por meio dos jogos elaborados os
alunos pudessem apropriar-se cada vez mais das regras construídas utilizando-as
corretamente na resolução das multiplicações e divisões propostas.
Nossa análise a priori sobre o jogo de baralho para multiplicação e divisão era
que os alunos podiam sentir dificuldade para formar os pares nas primeiras jogadas
em função da possível falta de domínio da tabuada e do emprego da regra
adequada. Ao analisarmos os nossos registros sobre o desenvolvimento desse jogo
verificamos que os alunos, em sua maioria, não sentiram dificuldades em aplicar as
regras, porém sentiram dificuldades em jogar por conta da falta de domínio da
tabuada, especialmente da divisão, confirmando que realmente esses alunos não
dominavam essas operações, conforme foi declarado por eles no formulário que
serviu de base para traçar o perfil da turma.
A estratégia adota pela maioria dos gruposde sempre formar os pares a partir
das questões, evidenciou a pouca habilidade que possuíam sobre a aplicação das
regras e indicava que talvez estivessem acostumados a procurar resultados a partir
de uma questão dada e não o contrário, o que nos levou a inferir que esses alunos
talvez estivessemsendo estimulados a raciocinar apenas em uma direção. Segundo
a concepção cognitiva essa prática didática não contribui para o desenvolvimento
229
cognitivo dos alunos, os quais precisam ser colocados frente a diversas situações
para que este desenvolvimento possa acontecer.
Uma questão importante observada no comportamento dos alunos foi o fato
de obedecerem integralmente as regras do jogo, especialmente a que dizia que a
calculadora só poderia ser usada para conferir o resultado do possível ganhador, o
que consideramos como um amadurecimento destes no processo que estava sendo
desenvolvido.
Quanto ao jogo do bingo, consideramos que contribuiu bastante para
estimular a participação e interesse dos alunos, provocou competição para ver quem
respondia corretamente as questões “cantadas”, proporcionando o desenvolvimento
das habilidades para o cálculo das operações com inteiros e estimulando o cálculo
mental.Reforçando a concepção de Piaget (apud KIMURA, 2005, p. 122) de que o
jogo é um meio tão poderoso para a aprendizagem das crianças que, onde se
consegue usá-lo como recurso pedagógico observa-se que as crianças se
apaixonam por atividades que são comumente tidas como maçantes.
Neste jogo também foi observada algumas dificuldades em relação a tabuada,
porém em menor escala do que a observada no baralho, apontando para uma
melhora proveniente das experiências que os alunos vinham vivenciando.
Destacamos na análise desta subseção a avaliação de dois alunos que
disseram que os alunos estavam “muito doídos” referindo-se a agitação e
entusiasmo de alguns alunos diante do dinamismo proporcionado pelo jogo.
Ressaltamos, porém, que apesar disso não observamos nenhum prejuízo ao
objetivo que se queria alcançar com o jogo, em outras palavras, não interferiu de
forma negativa sobre a aprendizagem.
4.9ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 9
A sessão 9 foi realizada com o objetivo de verificar o desempenho dos alunos
em relação as operações de multiplicação e divisão após a realização das
atividades. Para isso os alunos foram submetidos a um pós-teste que nos forneceu
dados para a realização desta análise.
Nossa análise a prioriapontava que o bloco de questões que ofereceria mais
dificuldades para o aprendizado de alguns alunos, tanto na multiplicação quanto na
divisão, seria aquele em que essas operações eram entre um número negativo e um
230
positivo, e vice-versa. Abaixo apresentamos o Quadro 41 referente ao desempenho
da turma em cada bloco de questões sobre a multiplicação.
Quadro 41- Desempenho da turma por bloco de questões de multiplicação
Bloco de questões
Questões
Acertos Erros Não resolvidas
V.A % V.A % V.A %
Multiplicação entre dois positivos
(+4) x (+5) 24 75% 08 25% 0 0%
(+2) x (+6) 29 90,62% 03 9,37% 0 0%
Multiplicação entre dois negativos
(-10) x (- 3) 22 68,75% 10 31,25% 0 0%
(-3) x (-7) 23 71,87% 09 28,12% 0 0%
(-2) x (- 7) 23 71,87% 09 28,12% 0 0%
Multiplicação entre um positivo e um
negativo
(+5) x (- 3) 23 71,87% 09 28,12% 0 0%
(+8) x (-10) 20 62,5% 11 34,37% 1 3,13%
Multiplicação entre um negativo e um
positivo
(-3) x (+2) 22 68,75% 10 31,25% 0 0%
(-4) x (+6) 20 62,5% 12 37,5% 0 0%
Multiplicação por zero
0 x (+6) 30 93,75% 2 6,25% 0 0%
(- 4) x 0 30 93,75% 2 6,25% 0 0%
Multiplicação por
(-1)
(-1) x (-1) 26 81,25% 6 18,75% 0 0%
6 x (-1) 18 56,25% 14 43,75% 0 0%
(-1) x (-20) 24 75% 8 25% 0 0%
(-1) x (+1) 18 56,25% 14 43,75% 0 0%
Fonte:Pós-teste de multiplicação
A leitura do quadro revelou que os índices de acertos nas questões de
multiplicação foram melhores do que na adição. Consideramos que um dos fatores
que contribuíram para esse resultado se refere ao maior número de atividades de
fixação que foram realizadas.Entretanto, acreditamos que esses resultados
poderiam ter sido ainda melhores não fosse a dificuldade em relação ao domínio da
tabuada, novamente manifestada. Ao analisarmos os protocolos dos alunos
constatamos que a maioria deles conseguiu aplicar corretamente as regras, mas
errava a multiplicação dos módulos.Nográfico 15 podemos verificar qual foi a média
de acertos em cada bloco de questões.
231
Gráfico 15 – Médias de acertos por bloco de questões
Fonte:Pós-teste de multiplicação
Podemos verificar que as questões que apresentavam a multiplicação entre
um inteiro negativo e um positivo e vice-versa foram as que alcançaram os menores
índices de acertos, confirmando as suposições levantadas na análise a priori. No
gráfico 16 é possível verificarmos a evolução no desempenho da turma no pré e
pós-teste de multiplicação.
Gráfico 16- Desempenho da turma no pré e pós-teste de multiplicação
Fonte:Pré e pós-teste de multiplicação
A leitura do gráfico revelouque houve considerável melhora de desempenho
da turma na comparação da resolução das questões do pré e pós-teste, indicando
um aumento percentual de 58,63% no número de questões resolvidas corretamente.
82,81%70,83% 67,19% 65,62%
93,75%
67,18%
dois inteiros positivos
dois inteiros negativos
um positivo e um negativo
um negativo e um positivo
um inteiro por zero
um inteiro por (-1)
Multiplicação
0% 20% 40% 60% 80% 100%
10,01%70,42%
média de acetos no pós-teste
média de acertos no pré-teste
232
Quanto às questões de divisão, apresentamos no Quadro 42 o desempenho
da turma na resolução das questões.
Quadro 42 – Desempenho da turma por bloco de questões de divisão
Bloco de questões
Questões
Acertos Erros Não resolvidas
V.A % V.A % V.A %
Divisão entre dois positivos
(+8) ÷ (+4) 20 62,5% 11 34,37% 1 3,13%
(+15) ÷ (+3) 27 84,37% 5 15,63% 0 0%
Divisão entre dois negativos
(- 8) ÷ (- 4) 24 75% 7 21,87% 1 3,13%
(-10) ÷ (-2) 28 87,5% 3 9,38% 1 3,12%
(-16) ÷ (- 4) 21 65,63% 7 21,87% 4 12,5%
Divisão entre um positivo e um
negativo
(+6) ÷ (-2) 18 56,25% 12 37,5% 2 6,25%
(+9) ÷ (-3) 18 56,25% 13 40,62% 1 3,13%
Divisão entre um negativo e um
positivo
(- 16) ÷ (+2) 22 68,75% 7 21,87% 3 9,38%
(-14) ÷ 7 16 50% 14 43,75% 2 6,25%
Zero dividido por um inteiro
0 ÷ (+ 3) 24 75% 8 25% 0 0%
0 ÷ (- 8) 26 81,25% 6 18,75 0 0%
0 ÷(+ 6) 25 78,13% 7 21,87% 0 0%
Divisão de um inteiro por (-1)
(-12) ÷ (-1) 27 84,37% 5 15,63% 0 0%
(+1) ÷ (-1) 16 50% 14 43,75% 2 6,25%
(+ 18) ÷ (-1) 26 81,25% 5 15,62 1 3,13% Fonte: Pós-teste de divisão
Contatamos pela análise do quadro que os índices de acertos foram menores
que na multiplicação, em função da grande dificuldade que alguns alunos
manifestaram em relação a tabuada de divisão.Em seus protocolos foi possível
observar que alguns desses alunos tinham sérios problemas em relação a tabuada
desta operação, no entanto esses resultados foram bem melhores do que os
apresentados no pré-teste, indicando que houve aprendizado.O gráfico 17 apresenta
a média de acertos em cada um dos blocos de questões.
233
Gráfico 17 – Médias de acertos por blocos de questões
Fonte:Pós-teste de divisão
No gráfico é possível perceber que os blocos de questões que mais
ofereceram dificuldades para alguns alunos, foram aqueles em que a divisão era
entre um inteiro positivo e um inteiro negativo e vice-versa, conforme havíamos
previsto na análise a priori. O gráfico 18 apresenta o desempenho da turma no pré e
pós-teste de divisão.
Gráfico 18- Desempenho da turma no pré e pós-teste de divisão
Fonte:Pré e pós-teste de divisão
A leitura do gráfico relevou que houve um aumento percentual de 60,41% no
desempenho dos alunos se compararmos os dois testes, confirmando que o
aprendizado aconteceu.
Analisamos, também, o desempenho individual dos alunos buscando verificar
como cada um tinha se saído na resolução do pós-teste que trazia as questões de
73,44% 76,04%
56,25% 59,35%
78,13%71,87%
dois inteiros positivos
dois inteiros negativos
um positivo e um negativo
um negativo e um positivo
Zero por um inteiro
um inteiro por (-1)
0% 20% 40% 60% 80% 100%
10,01%70,42%média de acetos no pós-teste
média de acertos no pré-teste
234
multiplicação e divisão. Esclarecemos que não separamos as operações para a
análise individual por entendermos que o raciocínio para aplicação das regras de
sinais é o mesmo. O Quadro 43 apresenta o desempenho de cada aluno.
Quadro 43 – Desempenho individual dos alunos no pós-teste de multiplicação e divisão.
Alunos
Acertos
Erros
Questões não resolvidas
V.A % V.A % V.A %
A1 30 100% 0 0% 0 0%
A2 30 100% 0 0% 0 0%
A3 30 100% 0 0% 0 0%
A4 30 100% 0 0% 0 0%
A5 29 96,67% 1 3,33% 0 0%
A6 26 86,67% 4 13,33% 0 0%
A7 24 80% 6 20% 0 0%
A8 30 100% 0 0% 0 0%
A9 17 56,67% 13 34,33% 0 0%
A10 25 83,33% 7 23,33% 0 0%
A11 23 76,67% 7 23,33% 0 0%
A12 29 96,67% 1 3,33% 0 0%
A13 27 90% 3 10% 0 0%
A14 24 80% 5 16,67% 1 3,33%
A15 18 60% 8 26,67% 4 13,33%
A16 16 53,33% 14 46,67% 0 0%
A17 30 100% 0 0% 0 0%
A18 29 96,67% 1 3,33% 0 0%
A19 24 80% 6 20% 0 0%
A20 26 86,67% 4 13,33% 0 0%
A21 14 46,67% 15 50% 1 3,33%
A22 16 53,33% 14 46,67% 0 0%
A23 29 96,67% 1 3,33% 0 0%
A24 04 13,33% 26 86,67% 0 0%
A25 14 46,67% 8 26,67% 8 26,67%
A26 20 66,67% 10 33,33% 0 0%
A27 13 43,33% 17 56,67% 0 0%
A28 11 36,67% 11 36,67% 8 26,67%
A29 15 50% 15 50% 0 0%
A30 15 50% 15 50% 0 0%
A31 20 66,67% 7 23,33% 3 10%
A32 08 26,67% 22 73,33% 0 0% Fonte: Pós-teste de multiplicação e divisão
Ao analisarmos o quadro constatamos que mais de 80% dos alunos
conseguiu acertar 50% ou mais das questões, com destaque para os alunos, A1, A2,
A3, A4, A8 e A17 que tiveram 100% de acerto. Quantos aos alunos que não
alcançaram 50% de acertos verificamos que: os alunos A27, A32 faltaram a sessão
235
que tratou da multiplicação, os alunos A21, A24 e A28 eram os mesmos que tiveram
baixo rendimento no pré-teste de adição e o A25 havia faltado na sessão 7 que
tratou da divisão.
É possível que esses fatores tenham influenciado os resultados apresentados
por eles.
4.10ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 10
Nesta sessão nosso objetivo era revisar as regras para as operações de
adição, multiplicação e divisão. Em nossa avaliaçãoas atividades elaboradas
contribuíram para que os alunos que já haviam apreendido algum conhecimento
pudessem consolidá-lo ainda mais e os alunos que ainda estavam sentido
dificuldades tiveram uma nova oportunidade de tirar dúvidas na interação com seus
colegas e com a professora-pesquisadora.
No jogo do baralho de regras observamos que a troca de informações entre
os alunos ajudava aqueles que ainda tinham dificuldades a corrigir-se contribuindo
desta forma para que todos pudessem jogar de forma tranqüila. O que entendemos
como um momento rico de troca de conhecimento que possibilitou que todos
pudessem crescer juntos no processo de aprendizagem.
Essa colaboração e ajuda mútua, provocada pela utilização do jogo em sala
de aula também foi observada por Avello (2006) no desenvolvimento de seu
experimento. O que mostra que o jogo pode ser um recurso poderoso para provocar
a interação entre os alunos e fazê-los crescer juntos na aventura da aquisição do
saber.
4.11 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 11
A sessão 11 também tinha como objetivo revisar as regras para as operações
de adição, multiplicação e divisão.
Nesta sessão a situação que mais chamou nossa atenção foi o fato de
alguns grupos criaram estratégias para facilitar o desenvolvimento do jogo,
confirmando mais uma vez que esse recurso pode trazer ganhos importantes para o
ensino de matemática.
236
De acordo com Grando (2000), no jogo o jogador precisa verificar e planejar
qual a melhor maneira de agir para apenas permanecer jogando, ou para vencer as
partidas. Na matemática o aluno precisa verificar e planejar quais as possibilidades
para resolver uma determinada situação ou problema matemático que lhes são
apresentados durante as aulas.Portanto, podemos considerar que o uso do jogo
pode contribuir consideravelmente para o desenvolvimento do sistema cognitivo dos
alunos, ampliando sua capacidade de raciocinio.
4.12 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 12
O objetivo desta sessão era verificar o desempenho dos alunos na resolução
das 30 (trinta) questões sobre adição, multiplicação e divisão contidas no pré-teste,
após serem desenvolvidas todas as atividades referentes a essas operações. O
Quadro 44 apresenta o percentual de acertos de cada aluno no pré-teste e no pós-
teste.
Quadro 44 – Comparação do desempenho dos alunos no pré e pós-teste sobre adição, multiplicação e divisão. (continua)
Alunos
Percentual de acertos
Pré-teste Pós-teste
A1 6,67% 100%
A2 6,67% 100%
A3 33,33% 100%
A4 33,3% 93,34%
A5 6,67% 93,34%
A6 16,67% 93,34%
A7 6,67% 90%
A8 10% 83,34%
A9 30% 83,34%
A10 10% 80%
A11 10% 80%
A12 6,67% 80%
A13 33,33% 76,67%
A14 6,67% 76,67%
A15 6,67% 76,67%
A16 6,67% 73,34%
A17 30% 66,67%
A18 30% 80%
A19 10% 70%
A20 6,67% 60%
A21 6,67% 60%
237
Quadro 44 – Comparação do desempenho dos alunos no pré e pós-teste sobre adição, multiplicação e divisão.
(conclusão) A22 13,33% 60%
A23 30% 70%
A24 6,67% 53,34%
A25 3,33% 50%
A26 20% 50%
A27 33,33% 50%
A28 10% 43,33%
A29 16,67% 43,33%
A30 20% 56,67%
A31 6,67% 40%
A32 16,67% 30% Fonte: Pesquisa de campo
A análise do quadro evidenciouuma evolução considerável no aprendizado
dos alunos sobre as operações de adição, multiplicação e divisão de números
inteiros, levando-nos a considerar que a validação das atividades destinadas ao
ensino destas operações, foi alcançada.No gráfico 19 é possível observarmos
claramente essa evolução.
Gráfico 19- Desempenho dos alunos no pré e pós-teste parcial
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Relacionamos, também, a frequência dos alunos nas atividades destinadas
ao ensino das operações de adição, multiplicação e divisão. Salientamos que
usamos as notações F (falta), P (presença), S2(sessão 2), S3(sessão 3), S4 (sessão
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Pré-teste Pós-teste parcial
238
4), S5 (sessão 5), S6 (sessão 6), S7 (sessão 7), S8 (sessão 8), S10 (sessão 10) e
S11 (sessão 11).
Quadro 45 – Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas sessões referentes ao ensino das operações de adição, multiplicação e divisão de inteiros.
(continua)
Alunos Sessões para o ensino das operações de adição,
multiplicação e divisão Percentual de
acertos no pós-teste parcial S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S10 S11
A1 P P P P P P P P P 100%
A2 P P P P P P P P P 100%
A3 P P P P P P P P P 100%
A4 P P P P P P P P P 93,34%
A5 P P P P P P P P P 93,34%
A6 P P P P P P P P P 93,34%
A7 P P P P P P P P P 90%
A8 P P P P P P P P P 83,34%
A9 P P P P P P P P P 83,34%
A10 P P P P F P P P P 80%
A11 F P P P P P P P P 80%
A12 P P P P P P P P P 80%
A13 P P P P P P P F P 76,67%
A14 P P P P F P P P P 76,67%
A15 P P P P P P P P F 76,67%
A16 P P P P P P P P P 73,34%
A17 F P P P P P P P P 80%
A18 P P P P P P P P P 70%
A19 P P P P P P P P P 66,67%
A20 P P P P P P P P F 60%
A21 P P P P P P P P P 60%
A22 P P P P F P P P P 60%
A23 P P P P P P P P P 70%
A24 P F P P P P P P P 53,34%
A25 P P P P P F P P P 50%
A26 P P P P P P P P P 50%
A27 P F P F P P P P P 50%
A28 P P P P P P P P F 43,33%
239
Quadro 45 – Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas sessões referentes ao ensino das operações de adição, multiplicação e divisão de inteiros.
(conclusão) A29 P P P P P P P F P 43,33%
A30 P P P P P P F P F 56,67%
A31 P F P P P P P F P 40%
A32 P P P F P P P P F 30%
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Ao analisar o quadro verificamos que até este momento os alunos que
alcançaram 90% ou mais de percentual de acertos foram os alunos que não faltaram
a nenhuma sessão de ensino e os alunos que não alcançaram 50% de acerto
faltaram a pelo menos uma sessão de ensino, sendo que os alunos A28 e A29 eram
discentes que confessaram ter muita dificuldade para aprender matemática e
nenhum domínio da tabuada. O que pode ter refletido negativamente em seus
desempenhos.
A respeito desses dois alunos foi possível verificar que as situações de ensino
vivenciadas em sala de aula parecem ter tido pouco reflexo sobre suas
aprendizagens. Em contrapartida, verificamos que para os alunos A21 e A24 - que
também declararam ter muito ou um pouco de dificuldades para aprender
matemática e nenhum domínio sobre a tabuada - as situações de ensino,
especialmente, as situações de revisão, parecem ter contribuído para um
desempenho um pouco melhor.
Um dado importante diz respeito à participação dos alunos nas atividades. Ao
realizarmos a leitura deste quadro observamos que os resultados apontavam para
um índice bastante baixo de ausência dos alunos nas sessões realizadas, inclusive
registrando um percentual de 50% dos alunos sem nenhuma falta e apenas 12,5%
com mais de uma falta (no máximo duas). Neste contexto encontramos o aluno A22
que era repetente e nos foi indicado pela professora da turma como alguém que não
costumava freqüentar regularmente as aulas, apesar de muitas vezes está na
escola. Estes dados podem significam que as aulasdespertaram o interesse dos
alunos impedindo-os de se ausentar sem motivos.Para nós esse pode ser
considerado mais um ponto bastante positivo referente ao experimento.
Diante do contexto apresentado podemos afirmar a validação das atividades
elaboradas para o ensino das operações de adição, multiplicação e divisão.
240
4.13 ANÁLISE A PORSTERIORI DA SESSÃO 13
Nesta sessão nosso objetivo era que ao trabalhar em grupo, por meio de
atividade com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus
pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades sobre
potenciação com expoente par; enunciar uma regra para este caso da potenciação e
apresentar conclusões satisfatórias sobre suas observações.
Nesta sessão foi verificado que as suposições levantadas na análise a priori a
respeito do tempo, de que os alunos demorariam para concluir as atividade, não foi
confirmado, uma vez que foi observado que apesar das dificuldades iniciais de
alguns grupos para perceber a regularidade, todos conseguiram concluir a atividade
em menos de 30 minutos. Em nosso entendimento os diálogos de orientação à
reflexão e a experiência que os alunos vinham acumulando ao longo do processo
possibilitaram que os grupos tivessem esse desempenho.
Uma situação que não foi prevista por nós e que poderia ter prejudicado o
desenvolvimento satisfatório dos alunos na atividade desta sessãorefere-se ao fato
de termos disposto as potenciações com mesmo valor absoluto e mesmo expoente,
uma seguida da outra,permitindo que alguns grupos tivessem interpretações
equivocadas a respeito das regularidades para esse caso da operação.
Tal situação nos fez refletir sobre a importância do professor estar atento a
todos os detalhes ao planejar as atividades que pretende aplicar em uma situação
de investigação, para que os objetivos traçados não sejam atropelados. É importante
também que se esteja preparado para perceber as ações dos alunos e poder
conduzi-los em direção ao objetivo traçado. Foi o que tentamos fazer ao verificar que
alguns grupos estavam percebendo outras regularidades.
Ao analisarmos os protocolos de atividades dos grupos pudemos verificar que
as nossas orientações foram absorvidas pelos grupos com os quais dialogamos,
pois verificamos que produziram regras satisfatórias para o caso de potenciação
estudado, o que foi observado também nos demais grupos, a exceção do G12 que
se distanciou totalmente do objetivo da atividade.
241
4.14 ANÁLISE A PORSTERIORI DA SESSÃO 14
Nesta sessão nosso objetivo era que ao trabalhar em grupo, por meio de
atividade com o uso da calculadora, fosse possível aos alunos: interagir com seus
pares de forma a construir um novo conhecimento; perceber as regularidades sobre
potenciação com expoente impar e nulo; enunciar uma regra para cada um desses
casos da potenciação e apresentar conclusões satisfatórias sobre suas
observações.
Mais uma vez foi constatado que a experiência acumulada ao longo do
processo e as habilidades referente a investigação contribuiu para que os alunos já
não sentissem tantas dificuldades na descoberta das regras para esses casos de
potenciação.
Portanto, verifica-se que o fato de permitir que ao longo do processo os
alunos acumulem experiências e desenvolvam habilidades que não possuíam,
conseguindo lançar mão destes quando necessário, é um ponto bastante positivo
proporcionado pela metodologia adota, o que em nosso entendimento é de
fundamental importância para o processo ensino e aprendizagem dos conteúdos
matemáticos.
Outro ponto importante a ser destacado em relação a esta sessão refere-seao
momento de institucionalização, que mais uma vez possibilitou que alguns grupos
produzissem conclusões tão satisfatórias que foram adotadas quase que
integralmente como a regra que faria parte do domínio da turma, deixando claro o
papel do professor neste processo. Segundo Brousseau (2008) é do professor a
tarefa de aproximar as produções dos alunos de outros conhecimentos e de indicar
o que pode ser melhorado, é ele quem vai conferir status de saber ao que foi
produzido pelos alunos.Portanto, o professor tem papel fundamental neste processo
de ensino e aprendizagem, onde o conhecimento novo é construído a partir das
descobertas dos alunos.
Destacamos, ainda, que as regras produzidas pelos alunos nas atividades de
potenciação aproximam-se bastante das regras enunciadas na obras de Giovanni,
Castrucci e Giovanni Jr (2002) analisadas por Rama (2005).
Com relação ao tempo utilizado para que os grupos concluíssem e
socializassem suas conclusões, apresentamos no gráfico 20 a variação observada
durante o desenvolvimento das atividades.
242
Gráfico 20 – Variação do tempo gasto nas atividades de potenciação
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Constatamos mais uma vez uma diminuição considerável no tempo gasto
para a realização das atividades, reafirmando a ideia defendida por Sá (1999) de
que é perfeitamente possível se trabalhar por meio de situações investigativas em
sala de aula sem prejudicar o cumprimento do programa curricular.
Em suas avaliações a maioria dos alunos afirmou ter gostado da aula, sendo
manifestado por alguns que a aula foi interessante e educativa, ou seja, mais uma
vez os próprios alunos reconheceram que as atividades lhes proporcionaram
aprendizado, entretanto, não podemos deixar de registrar a opinião de quatro alunos
que avaliaram a aula como regular. Suas opiniões nos fizeram refletir sobre o fato de
que em uma sala de aula trabalhamos com a diversidade e é quase impossível
conseguirmos que as aulas por nós planejadas, sejamrecebidas da mesma maneira
por todos, por isso é preciso termos sensibilidade e bom senso para respeitar as
diferentes opiniões, as quais devem nos fazer quererestar sempre buscando novas
estratégias capazes de atingir, em outro momento, aqueles que não se sentiram
contemplados.
Portanto, as evidências apresentadas nos permitem afirmar que os objetivos
traçados para esta sessão foram alcançados satisfatoriamente.
0
5
10
15
20
25
30
1ª atividade (expoente par)
2ª atividade (expoente impar)
3ª atividade (expoente zero)
tem
po
em
min
uto
sTempo gasto em cada atividade
243
4.15 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 15
A sessão 15 tinha por objetivo possibilitar a prática e assimilação das regras
produzidas para a potenciação de números inteiros.
Nesta sessão ficou bastante evidenciado os efeitos do não domínio da
tabuada sobre o desempenho dos alunos e, consequentemente, sobre o
aprendizado do conteúdo matemático em questão. Observamos que alguns grupos
não conseguiam dar agilidade ao jogo por causa da dificuldade de alguns alunos
para calcular as potências. Em contrapartida, verificamos que a vontade de jogar
fazia com que os alunos cooperassem entre si, auxiliando uns aos outros no cálculo
das potências.
Esta ação dos alunos diante da dificuldade em jogar foi também observada
por Linardi (1998), Avello (2006) e Soares (2008). Para este último, o jogo tem o
poder de provocar as inúmeras relações que se estabelecem entre aluno e jogo,
entre alunos e aluno e entre alunos e professor, desta forma, a aprendizagem pode
tornar-se mais fácil de ser adquirida. Pudemos perceber claramente esta relação se
estabelecendo entre os alunos quando auxiliavam um ao outro para que o jogo
pudesse fluir, consideramos que esta troca de conhecimento é fundamental para o
processo de aprendizagem.
Talvez uma alternativa para dar agilidade ao jogo seria a utilização da
calculadora para facilitar o cálculo dos módulos das potências, porém, entendemos
que ela deva ser introduzida mediante um planejado da melhor forma de como
utilizá-la para que não interfira na aplicaçãoda regra, em nosso caso, como não
havíamos realizado este planejamento achamos prudente não permitir sua
utilização. Ainda assim, julgamos que as atividades desenvolvidas contribuíram para
que os alunos pudessem praticar, de forma descontraída, as regras que haviam
produzido. Desta forma, consideramos ter alcançado os objetivos traçados para esta
sessão.
4.16 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 16
Nesta sessão nosso objetivo era possibilitar a revisão das regras de todas as
operações trabalhadas por meio da aplicação do jogo e da atividade escrita.
244
No jogo de baralho constatamos que a socialização da estratégia criada por
alguns alunos permitiu que todos os grupos tivessem maior facilidade para jogar e,
ainda, que a utilização da calculadora para a conferência dos resultados contribuía
para que os alunos percebessem se haviam utilizado a regra corretamente e
também lhes dava autonomia para jogar. O que podemos considerar como um fator
importante na utilização da calculadora no processo desenvolvido.
Constatamos, também, a evolução da maioria dos alunos diante do conteúdo
estudado, sendo observado na atividade escrita que vários deles resolveram as
questões com tranqüilidade e de forma correta, ou seja, ao que parece os alunos
transferiram os conhecimentos adquiridos com o jogo para o trabalho realizado de
forma tradicional.
Nossa impressão sobre esta atividade foi que as situações de ensino criadas
provocaram na maioria dos alunos maior autoestima e segurança, fazendo-os se
sentirem mais confiantes diante do processo de aprendizagem. Desta forma,
consideramos que os objetivos foram alcançados.
4.7 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 17
Nosso objetivo nesta sessão era verificar o desempenho dos alunos na
resolução das 38 (trinta e oito) questões sobre adição, multiplicação, divisão e
potenciação contidas no pré-teste, após serem desenvolvidas todas as atividades
referentes a essas operações. O quadro 46 apresenta o desempenho dos alunos na
resolução de cada questão resolvida no pré-teste e no pós-teste geral.
Quadro 46 – Percentual de questõescertas, erradas e não resolvidas no pré e pós-teste geral (continua)
ACERTOS (%) ERROS (%) NÃO FEZ (%)
Nº
QUESTÕES
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
PRÉ
PÓS
OPERAÇÃO ADIÇÃO
01 4 + 9 100% 96,87% 0% 3,13% 0% 0%
02 15 – 7 87,5% 75% 9,38% 25% 3,12% 0%
03 - 4 – 8 0% 68,75% 78,13% 31,25% 21,87% 0%
04 - 6 + 3 3,12% 68,75% 78,13% 37,5% 18,75% 0%
05 - 4 + 12 6,25% 62,5% 68,75% 37,5% 25% 0%
06 +5 – 7 0% 78,12% 75% 18,75% 25% 3,13%
07 -13 + 14 6,25% 65,62% 75% 34,37% 18,75% 0%
245
Quadro 46 – Percentual de questõescertas, erradas e não resolvidas no pré e pós-teste geral
(conclusão) 08 -7 – 2 0% 71,87% 78,13% 28,13% 21,87% 0%
09 -26 + 26 0% 78,12% 62,5% 21,88% 37,5% 0%
10 +5 -5 43,75% 90,62% 31,25% 9,38% 25% 0%
OPERAÇÃO MULTIPLICAÇÃO
11 (+4) x (+5) 25% 81,25% 25% 18,75% 50% 0%
12 (+5) x (- 3) 0% 71,87% 53,13% 21,88% 46,87% 6,25%
13 (- 4) x (+6) 3,12% 65,62% 37,5% 31,25% 59,38% 3,13%
14 (-2) x (- 7) 18,75% 84,37% 31,25% 15,63% 50% 0%
15 6 x (-1) 6,25% 68,75% 46,87% 31,25% 46,88% 0%
16 (-10) x (- 3) 25% 81,25% 25% 12,5% 50% 6,25%
17 0 x (+6) 12,5% 93,75% 37,5% 6,25% 50% 0%
18 0 x (-5) 15,63% 96,87% 34,37% 3,13% 50% 0%
19 (- 9) x 0 18,75% 90,62% 34,37% 9,38% 46,88% 0%
20 (- 1) x (-1) 21,87% 87,5% 25% 12,5% 53,13% 0%
OPERAÇÃO DIVISÃO
21 (+8) ÷ (+4) 18,75% 78,12% 28,12% 18,75% 53,13% 3,13%
22 (+9) ÷ (-3) 0% 78,12% 46,87% 21,88% 53,13% 0%
23 (- 16) ÷ (+2) 0% 65,62% 37,5% 28,12% 62,5% 6,25%
24 (-10) ÷ (-2) 15,63% 78,13% 31,25% 12,5% 53,13% 9,37%
25 (-12) ÷ (-1) 15,63% 81,25% 31,25% 18,75% 53,13% 0%
26 (-16) ÷ (- 4) 12,5% 71,87% 28,12% 15,63% 59,38% 12,5%
27 (-14) ÷ 7 3,17% 56,25% 43,75% 24,37% 53,13% 9,37%
28 (+1) ÷ (-1) 3,17% 78,12% 40,63% 21,88% 56,25% 0%
29 0 ÷(+ 6) 15,63% 96,87% 31,25% 3,13% 53,13% 0%
30 0 ÷ (- 8) 15,63% 93,75% 28,12% 6,25% 56,25% 0%
OPERAÇÃO POTENCIAÇÃO
31 (+4)² 6,25% 53,12% 50% 43,75% 43,75% 3,13%
32 (+3)³ 3,17% 50% 53,13% 50% 43,75% 0%
33 (-3)² 6,25% 53,12% 46,88% 40,62% 46,87% 6,25%
34 (- 2)5 0% 37,5% 56,25% 62,5% 43,75% 0%
35 (+5)² 3,17% 56,25% 56,25% 40,62% 40,63% 3,13%
36 (-2)³ 3,17% 43,75% 53,13% 56,25% 43,75% 0%
37 (+7)0 0% 68,75% 59,38% 31,25% 40,62% 0%
38 (- 6)0 0% 68,75% 53,13% 31,25% 46,87% 0%
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Ao analisarmos os dados contidos no quadro constatamos que a
comparaçãodos resultados obtidos nos dois testesrevela que houve uma
considerável melhora referente ao número de alunos que resolveu corretamente as
questões no pós-teste, mesmo quandoesse número não atingiu 50%, como ocorreu
com as questões 34 e 36 da potenciação, operação que registrou os mais baixos
índices de acertos. Todavia é preciso levarmos em consideração as condições
246
conturbadasnas quaisforam realizadas as atividades de fixação dessa operação
(relatadas na seção 3) e a notória falta de domínio da tabuada para a realização dos
cálculos, sendo observado que alguns alunos aplicavam corretamente as regras
mais erravam o numeral.
Outra constatação diz respeito aonúmero de erros. Pudemos verificar que os
percentuais referentes à quantidade de alunos que ainda cometeram erro no pós-
teste foram altos, porém, apesar deste resultado, verificamos que a exceção das
questões 34 e 36, em todas as outras foram registrados índices de erros menores do
que os registrados no pré-teste. Além disso,o percentual de questões não resolvidas
foi nulo na maioria dos casos, o que nos permitiu inferir que os alunos por sentirem-
se mais confiantes devido a toda experiência vivenciada durante o processo,
arriscaram-se mais a resolver.
Outro ponto importante é que os dados também revelaram que o acúmulo de
experiência vivenciada com o desenvolvimento das atividades de redescoberta e
especialmente nas atividades de fixação - permitindoem alguns momentos, o retorno
as operações já trabalhadas, como no caso dos baralhos que envolviam duas ou
mais operações - contribuíram para que os alunos pudessem rever; consolidar e
corrigir os conhecimentos que já haviam apreendido. Desta forma, verificamos que
houve melhora nos índices de acertos, se compararmos o pós-teste aos testes
parciais realizados para a adição, a multiplicação e a divisão.
Portanto, os dados do pós-testenos permitiram afirmar que o experimento
realizadoproporcionouaos alunos contribuições de aprendizagem que se referem
não só ao aspecto quantitativo, mas particularmente, ao aspecto qualitativo. Quando
comparamos o pós-teste ao pré-teste e aos testes intermediários verificamos
claramente que apesar dos erros ainda existirem, a realização da sequencia de
ensino possibilitou odesenvolvimento de habilidadecomo a autoestima e a confiança
permitindo que os alunos enfrentassem o desafio de resolver todas as questões,
ainda que em alguns momentos resultassem em erro. Esta atitudedemonstrouum
amadurecimentono sentido de assumir a responsabilidade por suas ações.O que
entendemos como um ponto bastante relevante para o processo ensino e
aprendizagem de matemática.
No Quadro 47 comparamos o desempenho dos 32 alunos do 7º ano com o
desempenho apresentado pelos 100 alunos egressos desta série, no que se refere a
resolução dos testes que continham as mesmas questões.
247
Quadro 47 – Comparação do desempenho dos 32 alunos do 7º ano e os 100 alunos egressos desta série na resolução dos testes que continham as mesmas questões
ACERTOS
Nº
QUESTÕES
Pós-teste geral (alunos do 7º ano)
Teste aplicado aos alunos egressos
OPERAÇÃO ADIÇÃO
01 4 + 9 96,87% 62%
02 15 – 7 75% 15%
03 - 4 – 8 68,75% 19%
04 - 6 + 3 68,75% 69%
05 - 4 + 12 62,5% 21%
06 +5 – 7 78,12% 17%
07 -13 + 14 65,62% 25%
08 -7 – 2 71,87% 17%
09 -26 + 26 78,12% 28%
10 +5 -5 90,62% 44%
OPERAÇÃO MULTIPLICAÇÃO
11 (+4) x (+5) 81,25% 38%
12 (+5) x (- 3) 71,87% 26%
13 (- 4) x (+6) 65,62% 31%
14 (-2) x (- 7) 84,37% 31%
15 6 x (-1) 68,75% 27%
16 (-10) x (- 3) 81,25% 22%
17 0 x (+6) 93,75% 15%
18 0 x (-5) 96,87% 16%
19 (- 9) x 0 90,62% 12%
20 (- 1) x (-1) 87,5% 12%
OPERAÇÃO DIVISÃO
21 (+8) ÷ (+4) 78,12% 35%
22 (+9) ÷ (-3) 78,12% 23%
23 (- 16) ÷ (+2) 65,62% 20%
24 (-10) ÷ (-2) 78,13% 27%
25 (-12) ÷ (-1) 81,25% 19%
26 (-16) ÷ (- 4) 71,87% 24%
27 (-14) ÷ 7 56,25% 43%
28 (+1) ÷ (-1) 78,12% 28%
29 0 ÷(+ 6) 96,87% 15%
30 0 ÷ (- 8) 93,75% 12%
OPERAÇÃO POTENCIAÇÃO
31 (+4)² 53,12% 9%
32 (+3)³ 50% 3%
33 (-3)² 50% 9%
34 (- 2)5 37,5% 10%
35 (+5)² 56,25% 8%
36 (-2)³ 43,75% 15%
37 (+7)0 68,75% 7%
38 (- 6)0 68,75% 8%
Fonte: Pesquisa de campo
248
A análise do quadro revelou que o desempenho dos alunos do 7º ano foi bem
melhor do que o desempenho dos alunos egressos, em todas as operações.
Podemos considerarque esses resultados foram bastante satisfatórios se levarmos
em conta que trabalhamos com uma turma onde a maioria dos alunos gostava
pouco de matemática e tinha alguma dificuldade para aprendê-la; não cultivava o
hábito de estudar diariamente fora da escola; não tinha domínio sobre a tabuada das
operações trabalhadas, com destaque para a potenciação que foi apontada como a
mais difícil de aprender e nunca tinha trabalhado com o uso da calculadora e jogo
como recursos pedagógicos, conforme verificado na análise do perfil da turma.
Compreendemos que a situaçãodidática vivenciada por esses discentes
contribuiu para que eles adquirissem conhecimento sobre as operações com
números inteiros permitindo que se saíssem melhor na resolução das questões, do
que os alunos egressos que, por sua vez,haviam vivenciado uma metodologia de
ensino quase sempre pautada na apresentação oral da definição, seguida de
exemplos e exercícios. Desta forma, podemos concluir que os dados apresentados
nos remetem a validação de nossa segunda hipótese, a qualse refere ao melhor
desempenho dos alunos do 7º ano em comparação com aos alunos egressos, ainda
que consideremos as variáveis e os contextos diferentes nos quais os testes foram
realizados.
O Quadro 48 nos forneceu os dados para a análise individual do desempenho
dos alunos do 7º ano na resolução do pré e pós-teste geral.
Quadro 48 – Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano no pré e pós-teste sobre adição, multiplicação, divisão e potenciação. (continua)
Alunos
Percentual de acertos
Pré-teste Pós-teste geral
A1 e 100%
A2 6,67% 97,37%
A3 33,33% 100%
A4 33,3% 84,21%
A5 6,67% 94,73%
A6 16,67% 73,68%
A7 6,67% 81,58%
A8 10% 86,84%
A9 30% 89,47%
A10 10% 84,21%
A11 10% 84,21%
A12 6,67% 81,58%
249
Quadro 48 – Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano no pré e pós-teste sobre adição, multiplicação, divisão e potenciação.
(conclusão)
A13 33,33% 81,57%
A14 6,67% 73,68%
A15 6,67% 50%
A16 6,67% 57,89%
A17 30% 78,95%
A18 10% 97,37%
A19 30% 78,95%
A20 6,67% 71,05%
A21 6,67% 60,53%
A22 13,33% 50%
A23 30% 84,21%
A24 6,67% 63,15%
A25 3,33% 76,31%
A26 20% 65,78%
A27 33,33% 76,31%
A28 10% 42,10%
A29 16,67% 44,73%
A30 20% 55,26%
A31 6,67% 39,47%
A32 16,67% 44,73% Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
Por meio da análise desses dados fica evidente que individualmente todos os
alunosmelhoraram seus desempenhos, ainda que quatro deles não tenham
conseguido alcançar 50% de acertos. Daí podermos concluir que, em maior ou em
menor escala, todosconseguiram apreender conhecimentos sobre as operações
com números inteiros, sendo que alguns parecem ter conseguido absorver melhor
as regras que foram construídas em sala de aula, levando-os ao correto emprego
das mesmas e, consequentemente, a um melhor desempenho.
Um ponto importante a destacar na análise do desempenho individual dos
alunos é o fato de ter sido observado uma diminuição na incidência de erros
referentes àtabuada. Para nós, a utilização da calculadora em alguns jogos e a
cooperação observada entre os alunos contribuíram significativamente para que
pudessemdesenvolver um maior domínio sobre a tabuada. Tal fato contraria aqueles
que se colocam desfavoráveis ao uso desse recurso em sala de aula, supondo que
ele impediria os alunos de adquirir conhecimento sobre esta tabela aritmética. Ao
contrário, os dados mostraram que se associada a estratégias adequadas, a
máquina de calcular poderá ser um poderoso aliado no desenvolvimento não apenas
250
desta, como de outras habilidades matemáticas, como é possível verificarmos em
Selva e Borba (2010).
No gráfico 21podemos visualizar melhor o comparativo entre pré e pós-teste
geral, referente ao desempenho individual dos alunos.
Gráfico 21 – Desempenho de cada aluno do 7º ano no pré-teste e pós-teste geral
Fonte:Pesquisa de campo (abril a junho de 2011)
No Quadro 49 relacionamos as frequência dos alunos em todas as sessões
que envolviam atividades de ensino e o desempenho de cada aluno nos quatro
testes realizados, buscando verificar o nível de participação e a possível influência
que esta teria sobre os resultados dos alunos até o momento.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A1
0
A1
1
A1
2
A1
3
A1
4
A1
5A
16
A1
7
A1
8
A1
9
A2
0
A2
1
A2
2
A2
3
A2
4
A2
5
A2
6
A2
7
A2
8A
29
A3
0
A3
1
A3
2
Pré-teste pós-teste geral
251
Quadro 49 – Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes (continua)
Alu
no
s
Sessões de ensino
Percentual de acertos dos alunos nos teste desenvolvidos durante o
experimento
S
2
S
3
S
4
S
5
S
6
S
7
S
8
S
1
0
S
1
1
S
1
3
S
1
4
S
1
5
S
1
6 Pó
s-t
este
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Pó
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teste
Mu
ltip
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div
isão
Tes
te
parc
ial
Tes
te g
era
l
A1 P P P P P P P P P P P P P 100% 100% 100% 100%
A2 P P P P P P P P P P P F P 100% 100% 100% 97,37%
A3 P P P P P P P P P P P P P 70% 100% 100% 100%
A4 P P P P P P P P P P P P P 50% 100% 93,34% 84,21%
A5 P P P P P P P P P P P P P 50% 96,67% 93,34% 94,73%
A6 P P P P P P P P P P P P P 85% 86,67% 93,34% 73,68%
A7 P P P P P P P P P F P P P 50% 80% 90% 81,58%
A8 P F P P P P P P P P P P P 30% 100% 83,34% 86,84%
A9 P P P P P P P P P P P P P 70% 56,67% 83,34% 89,47%
A10 P P P P F P P P P P P P P 60% 83,33% 80% 84,21%
A11 F P P P P P P P P P P P P 75% 76,67% 80% 84,21%
A12 P P P P P P P P P P P P P 65% 96,67% 80% 81,58%
A13 P P P P P P P F P F P P P 60% 90% 76,67% 81,57%
A14 P P P P F P P P P P P P P 75% 80% 76,67% 73,68%
A15 P P P P P P P P F P F P F 65% 60% 76,67% 50%
A16 P P P P P P P P P P P P F 60% 53,33% 73,34% 57,89%
A17 F P P P P P P P P P P F P 50% 100% 80% 78,95%
A18 P P P P P P P P P P P P P 55% 96,67% 70% 97,37%
A19 P P P P P P P P P P P P P 60% 80% 66,67% 78,95%
A20 P P P P P P P P P F P F P 55% 86,67% 60% 71,05%
A21 P P P P P P P P F P P P F 35% 46,67% 60% 60,53%
A22 P P P P F P P P P P P P F 50% 53,33% 60% 50%
A23 P P P P P P P P P P P P P 45% 96,67% 70% 84,21%
A24 P F P P P P P P P P P P P 40% 13,33% 53,34% 63,15%
A25 F P P P P F P P P P P P P 50% 46,67% 50% 76,31%
A26 P P P P P P P P P P P P P 35% 66,67% 50% 65,78%
A27 P F P P P P P P P P P P P 30% 43,33% 50% 76,31%
252
Quadro 49 – Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes
(conclusão) A28 P P P P P P P P F P P F P 35% 36,67% 43,33% 42,10%
A29 P P P P P P P P P P P F P 45% 50% 43,33% 44,73%
A30 P P P P P P F P F P P P P 50% 50% 56,67% 55,26%
A31 P F P P P P P F P P P P P 30% 66,67% 40% 39,47%
A32 P P P F P P P P F P F P P 45% 26,67% 30% 44,73%
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho de 2011)
Identificamos que 34,37% dos alunos freqüentaram todas as aulas
ministradas, destes temos que apenas os alunos A23 e A26 tiveram desempenho
inferior a 50% de acertos em algum dos testes, mais especificamente no pós-teste
de adição. Contudo, verificamos que os seus desempenhos melhoram nos demais
pós-testes, o que pode indicar que a retomadas do conteúdo foi importante para que
esses alunos tivessem maior oportunidade de consolidar seus conhecimentos.
Assim como deve ter ocorrido também com os quatro alunos (A3, A11, A21 e A27)
que tiveram crescimento constante no número de acertos em cada um dos pós-
teste.
Identificamos, também, que 31,25% dos alunos faltaram a mais de uma aula,
destes, apenas os alunos A28 e A32 apresentaram desempenho inferior a 50% em
todos os testes, sendo observado que se tratavamde estudantescom muita ou um
pouco de dificuldade para aprender matemática e nenhum domínio da tabuada. Este
dado apontou para a necessidadeda realização de um trabalho especifico com
esses alunos sobre as quatro operações básicas, incluindo o conhecimento da
tabuada, pois notamos queeles não tinham conhecimentos sólidos sobre essas
operações mesmo quando se tratava dos números naturais.
Em relação aos alunos repetentes (A15, A22, A25 e A28) verificamos que a
exceção do aluno A28 caracterizado acima, todos os outros tiveram desempenho
igual ou superior a 50% de acerto em pelo menos três dos testes. Entendemos que
apesar de todos terem tido pelo menos 01 (uma) falta durante o desenvolvimento
das atividadese de seus percentuais de acertos não terem sido muito elevados, seus
resultados indicaram que a experiência pela qual passaram contribuiu para o
melhoramento de seus desempenhos, visto que, mesmo já tendo passado pelo
253
ensino das operações com números inteiros no ano anterior, não conseguiram
alcançar 10% de acerto no pré-teste.
Por fim, apresentamosa representação gráficado desempenho individualdos
alunos na realização de todos os testes realizados durante o desenvolvimento da
sequência ensino.
254
Gráfico 22 – Comparação do desempenho de cada aluno do 7º ano, nos testes realizados durante a experimentação
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2011)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 A25 A26 A27 A28 A29 A30 A31 A32
Pré-teste Pós-teste de adição Pós-teste de multiplicação e divisão Pós-teste parcial (sem potenciação) Pós-teste geral
255
Os resultados evidenciados no gráfico mostraram que antes do
desenvolvimento da sequência de ensino os alunos tiveram baixo desempenho na
realização das questões. Entretanto, conforme havíamos suposto, após a realização
das atividades de descobrimento das regras e fixação destas,observamos um
considerável aumento no desempenhoda maioria dos alunos, para quase todos os
pós-testes de diagnóstico, em especial no pós-teste final, onde 81,25% deles
alcançaram índices de acerto superiores a 50%, indicando que a sequência didática
desenvolvida foi eficaz para ensino das operações com números inteiros.
Todavia, destacamos que para além dos resultados quantitativos, a
intervenção de ensino também suscitou resultados qualitativos capazes
decontribuírem consideravelmente para o melhoramento do processo ensino e
aprendizagem do conteúdo trabalhado. Referimo-nos a relação de interação que os
alunos estabeleceram com o meio, com seus pares ecom aprofessora-pesquisadora
permitindo que desenvolvessem habilidades como a capacidade de observação, de
proposição, de diálogo e elaboração de texto, criando autonomia e autoconfiança
para desenvolverem o trabalho de construção das regras de sinais, conferindo a elas
um maior significado no processo de aprendizagem das operações com os números
inteiros.
Neste sentido, consideramos que a sequência didática realizada, configurou-
se como uma potencial alternativa metodológica para o ensino das operações com
números inteiros, podendo ser perfeitamente adotada por outros docentes, haja
vista, proporcionar significativos resultados na perspectiva da Educação Matemática,
além de promover o acesso dos alunos a tecnologia e aos jogos.Recursos esses,
recomendados pelos PCN para o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos.
Ressaltamos, ainda, que tratam-se de materiais de baixo custo, uma vez que
a calculadora pode ser hoje encontrada por preços bastante acessíveis e os jogos
podem ser construídos pelos próprios alunos, em sala de aula, a partir da utilização
de materiais recicláveis.
A seguir apresentaremos as considerações finais sobre nosso estudo.
256
5 CONSIDERAÇÕESFINAIS
No desenvolvimento de nossa pesquisa tínhamos como objetivo investigar se
o ensino de números inteiros por meio de atividade com calculadora e jogos
proporcionaria uma aprendizagem significativamente favorável aos alunos do 7º ano
do ensino fundamental, uma vez que os resultados da pesquisa realizada com os
alunos egressos deste ano de ensino e as análises dos trabalhos já realizados sobre
o ensino de números inteiros, apresentados nas análises preliminares, indicavam
que o ensino por meio da exposição oral, seguida de exemplos e exercícios não
estava favorecendo um desempenho satisfatório dos alunos.
Levantamos, então, as hipóteses de que o uso da calculadora no ensino das
operações com números inteiros permitiria ao aluno descobrir e enunciar as regras
operacionais usadas no cálculo dessas operações, sem que o docente as tivesse
que apresentar, e ainda, que o desempenho dos alunos na realização de operações
com números inteiros quando trabalhado didaticamente por meio de atividades
mediadas pela calculadora e jogos seria superior ao desempenho quando ensinado
por meio da exposição oral seguida de exemplos e exercícios, sem perder de vista
que tínhamos como fim o aluno como agente ativo no processo de construção do
conhecimento.
Neste contexto, realizamos otrabalho experimental focalizandoo processo
ensino e aprendizagem e tendo como aporte teórico a teoria das situações didáticas
de Guy Brousseau que nos ajudou na organização e direcionamento da situação
didática na qual os alunos tiveram que descobrir as regras de sinais das operações
com inteiros a partir da observação das regularidades dos resultados encontrados
com o uso da calculadora.
No decorrer da realização do experimento pudemos verificar que estávamos
conseguido transferir para os alunos a responsabilidade da situação de
aprendizagem, uma vez que os alunos estavam sendo capazes de produzir
conhecimentos sobre as regras a partir de suas observações, da interação que
estabeleciam uns com os outros, com a professora-pesquisadora e com o meio, num
processo de investigação que os levava a refletir, discutir e formular
conclusões.Sendo observado que essas produções melhoravam à medida que os
alunos se adaptavam ao meio criado pela situação.
257
Nossa avaliação é de que a dinâmica usada para a socialização das
conclusões foi de extrema importância para que pudéssemos conduzir o momento
de institucionalização das regras e para que os alunos pudessem melhorar suas
redações, adquirindo confiança e autonomia em relação as suas ideias e
constatações, pois ao visualizarem as regras de todos os grupos os alunos tinham
oportunidade de fazer comparações e identificar onde haviam cometido equívocos.
Na realização da sequência de ensino percebemos o entusiasmo e a
curiosidade dos estudantes quanto aos recursos utilizados, despertando o interesse
destes em relação a proposta de ensino que estávamos lhes apresentando.No que
tange ao uso da calculadora no processo ensino e aprendizagem das operações
com números inteiros, constatamos que sua utilização foi favorável no sentido de
possibilitar que os alunos puderam perceber regularidades que os levaram a
descoberta e enunciação das regras para as operações de adição, multiplicação,
divisão e potenciação de números inteiros, sem que o professor as tivesse
enunciado, ratificando assim, a afirmação de Noronha e Sá (2002) de que a
calculadora pode tornar-se um recurso didático que permite estimular a
aprendizagem, através da redescoberta de regularidades, propriedades e regras.
Desta forma, podemos considerar que nossa hipótese sobre a viabilidade do
uso desse recurso na descoberta e enunciação das regras para resolução de
operações com inteiros, foi confirmada. Reforçando, assim, a importância de se
explorar esse recurso em sala de aula, porém, de forma planejada.
Destacamos,ainda,que a calculadora também contribuiu consideravelmente
para o desenvolvimento de alguns jogos, funcionando como instrumento de
conferência dos resultados durante as partidas e possibilitando que os alunos
percebessem seus erros e pudessem corrigi-los.Quanto aos jogos, constatamos que
proporcionaram momentos ricos de interação, cooperação, produção de estratégias
e descontração, além de contribuírem para que a maioria dos alunos assimilasse as
regras construídas e desenvolvessem habilidades para o cálculo das operações.
Ao analisarmos as avaliações escritas pelos alunos pudemos constatar a
aprovaçãodestes em relação a metodologia adotada, reconhecendo que ela os
estava ajudando a adquirir conhecimentos novos de maneira prazerosa e
significativa. Essas avaliações e as situações vivenciadas em sala de aula,
proporcionadas pelo desenvolvimento da sequência didática elaborada, reforçaram
em nós o desejo de está sempre buscando alternativas didático-pedagógicas que
258
nos permitam favorecer a construção do conhecimento pelo aluno, pois observamos
que assim estaremos contribuindo para que eles se sintam, verdadeiramente, parte
integrante do processo ensino e aprendizagem.
Entretanto, não foi somente o aspecto qualitativo da pesquisa que reforçou
em nós este desejo. O aspecto quantitativo também nos fez perceber que podemos,
por meio de outras metodologias, contribuir para que os alunos melhorem seus
desempenhos e desenvolvam uma aprendizagem que lhes seja de fato significativa.
Os resultados dos pós-testes realizados durante o experimento revelaram que
a maioria dos alunos conseguiu apreender os conhecimentos sobre as operações
com números inteiros, apresentando desempenhos melhores que os alunos
egressos, que receberam ensino pautado na exposição oral, seguida de exemplos e
exercícios. Esses dados serviram para confirmaram nossa segunda hipótese sobre a
superioridade no desempenho dos alunos em relação às operações com inteiros
quando trabalhado por meio de atividades mediadas pela calculadora e jogos.
Compreendemos que os resultados poderiam ter sido melhores não fossem
duas limitações observadas em nosso experimento: o equivoco de acreditar que
apenas a explicação oral das regras do baralho da adição seria suficiente para que
os alunos compreendessem como jogá-lo e o fato de não termos previsto o uso da
calculadora no jogo da trilha de potenciação, o que provocou uma redução no tempo
para as jogadas, uma vez que vários alunos apresentaram dificuldade de
entendimento em relação ao baralho e falta de domínio da tabuadaem relação a
trilha.
No que tange a viabilidade da sequência didática pudemos verificar, por meio
das análises a posteriori,a evidênciade que o tempo gasto nas atividades de
descoberta das regras sempre reduziam a partir do desenvolvimento, socialização e
institucionalização dos saberes produzidos na primeira atividade, mostrando que é
falso o argumento de que as atividades de redescoberta prejudicariam o programa
curricular, como já vinha sendo afirmado por Sá (1999).
No decorrerdo desenvolvimento das atividades um questionamento se
manifestou: se tivéssemos tido mais tempo para a realização dos jogos,
especialmente no caso da adição e da potenciação, conseguiríamos que os alunos
obtivessem índices de acertos mais elevados?
Temos conhecimento de que o tempo é um fator apontado pelos professores
para evitar o uso de jogos como recurso didático em sala de aula, contudo, a
259
experiência por nós desenvolvida e também os resultados apresentados por Linardi
(1998), Grando (2000), Avello (2006), Soares (2008),evidenciam que sempre vale a
pena reservar um tempo um pouco maior no desenvolvimento de uma metodologia
que seja capaz de produzir um efeito não só quantitativo,
quantoqualitativo,contribuindo de maneira mais efetiva para a melhoria do processo
de ensino e aprendizagem ao qual os alunos são submetidos. Neste sentido,
esperamos que esse estudo possa contribuir para a prática de professores de
matemática que costumam trabalhar com o 7º ano e também servir de referência
para que outras atividades de investigação venham a ser pensadas para o ensino
deste e de outros conteúdos matemáticos.
Assim, concluímos que a sequência de ensino aplicada favoreceu o
aprendizado e, consequentemente, o melhor desempenho dos alunos do 7º ano, o
que nos permitiu afirmar que o objetivo de nossa pesquisa foi alcançado.
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APÊNDICES
APÊNDICE A – Formulário para consulta aos docentes
265
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO
Caro(a) Professor (a),
Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir para superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo este formulário, é de grande importância para o bom êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho!
QUESTÕES 1- Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) Data _______ 2- Faixa Etária: ( ) 15-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) 66-70 anos. 3 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações) ( )Ensino Superior:__________________________Ano da Conclusão: ________Instituição:_____ ( ) Especialização: __________________________Ano da Conclusão: _______ Instituição:_______ ( ) Mestrado:______________________________Ano da Conclusão: ________ Instituição:_______ ( ) Doutorado:_____________________________Ano da Conclusão: ________ Instituição:_______ 4 - Tempo de serviço como professor de matemática? ( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos ( )11-15 anos( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( ) Mais de 35 anos 5 - Série (s) em que está lecionando atualmente? No ensino fundamental: __________________________ No ensino Médio: ______________________________ 6- Quais as séries que você já lecionou matemática? No ensino fundamental: __________________________ No ensino Médio: ______________________________ 7 - Tipo de escola que trabalha atualmente: ( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( ) Publica Federal ( ) Privada ( ) Outra. Qual? 8- Durante sua formação de professor(a) de matemática você fez alguma disciplina sobre o ensino de números relativos (inteiros)? ( ) Não ( ) Sim , qual? 9- Durante sua atuação como professor(a) de matemática você já fez algum curso ou participou de evento que abordou o ensino de números relativos? ( ) Não ( ) Sim , qual? 10- Quando você ensina números relativos você costuma usar situações contextualizadas? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes 11- Quando você ensina números relativos, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) com um experimento para chegar ao conceito ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos ( ) nunca ensinei este assunto. 12- Para fixar o conteúdo de números relativos você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
266
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático ( ) Não propõe questões de fixação ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver 13 - Preencha o quadro abaixo com base na sua experiência de professor(a) de matemática.
Assunto Grau de dificuldade para os alunos aprenderem
Muito fácil
Fácil Regular Difícil Muito difícil
Idéia de número negativo
Representação de número positivo
Representação de número negativo
Idéia de número simétrico
Localização dos números positivos na reta
Localização dos números negativos na reta
Módulo de um número negativo
Comparação de números positivos
Comparação de números negativos
Comparação de números negativos com positivos
Adição de números com o mesmo sinal
Adição de números com sinais diferentes
Adição de números simétricos
Subtração de números com o mesmo sinal
Subtração de números com sinais diferentes
Subtração de números simétricos
Multiplicação de números com sinais diferentes
Multiplicação de números com sinais iguais
Divisão de números com sinais diferentes
Divisão de números com sinais iguais
Potenciação de expoente par
Potenciação de expoente impar
Potenciação de expoente negativo
Expressões envolvendo apenas adição e subtração de números relativos
Expressões envolvendo apenas adição, subtração e multiplicação de números relativos
Expressões envolvendo apenas adição, subtração e divisão de números relativos
Expressões envolvendo apenas adição, subtração e potenciação de números relativos
14- Você já usou a máquina de calcular para ensinar as operações com números inteiros?
( ) Não ( ) Sim
APÊNDICE B – Formulário para consulta a alunos egressos do 7º ano
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
267
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - MESTRADO
Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
Muito obrigada!
1-Idade: ______ 2- Sexo: _____________ 3- Você estudou a 6ª serie nesta escola? ( )Sim ( )Não
4- Quem é o seu responsável masculino?( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( ) Padrasto ( ) Não tenho
( )Outro. Quem?___
5- Quem é a sua responsável feminina? ( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( )Madrasta ( ) Não tenho
( ) Outra. Quem? ___
6- Até que série estudou o seu responsável masculino? ____. E a sua responsável feminina? ______
7- Seu responsável masculino trabalha? _______.Em que?_________________________________
8- Sua responsável feminina trabalha? ________. Em que? ________________________________
9- Você estudou a 6ª série em que tipo de escola: ( )Estadual ( )Municipal ( )Particular ( ) Outra. Qual?__________
10- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Muito pouco ( ) Um pouco ( ) Muito
11- Você tem dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Sim ( ) Um pouco
12- Você repetiu ou ficou em dependência em Matemática nesta na 6ª série? ( ) Não ( ) Sim
13- Você costuma estudar matemática, fora da escola: ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova ( ) Só nos fins de semana ( )Todo dia ( ) Alguns dias da semana. Quantos dias? _______________
14- Quando você estudou os números inteiros a maioria das aulas era desenvolvida começando?
( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) Com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) Com um experimento para chegar ao conceito ( ) Com jogos para depois sistematizar os conceitos
15- Quando você estudou os números inteiros alguma vez foi usada a calculadora para ensinar as regras dos sinais? ( ) Sim ( ) Não
16- Para fixar o conteúdo estudado de números inteiros o seu professor na maioria das aulas:
( ) Apresentava uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto
( ) Mandava resolver os exercícios do livro didático ( ) Não fazia proposta de questões de fixação
( ) Pedia que você procurasse questões sobre o assunto para resolver em outras fontes (ex: internet, outros livros)
17- Você entendia o assunto de números inteiros da forma como o professor ensinava?
( ) Sim ( ) Não
18- Que tipo de operação matemática envolvendo números inteiros você tem mais facilidade para resolver? ( ) Adição ( ) Multiplicação ( ) Divisão ( ) Potenciação
19- Preencha o quadro a seguir com base na sua experiência no estudo de números inteiros, na 6ª série.
268
Assunto
Grau de dificuldade para aprender
Muito fácil
Fácil Regular Difícil Muito difícil
Idéia de número negativo
Representação de número positivo. Exemplo: (+2,+6,8)
Representação de número negativo. Exemplo: (-2, -6, -8)
Idéia de número simétrico. Exemplo: (+2, -2; +5, -5)
Localização dos números positivos na reta
Localização dos números negativos na reta
Módulo de um número negativo. Exemplo: ( -7 , +9 )
Comparação de números positivos. Exemplo: (+3< +8)
Comparação de números negativos. Exemplo: (-3 > -8)
Comparação de números negativos com positivos. Exemplo: (-5< +7)
Adição de números com sinais iguais. Exemplo: (-3-5 =); (+4+6 =)
Adição de números com sinais diferentes. Exemplo: (-9+5=); (3 – 8 =)
Adição de números simétricos. Exemplo: -8+8 =; +5-5 =
Subtração de números com sinais iguais. Exemplo: -7 -(-8) = ; 9 - (+ 8) =
Subtração de números com sinais diferentes. Exemplo: - 9 - (+2)= ; +8 – (-7)=
Subtração de números simétricos. Exemplo: -7- (+7) = ; + 6 – (-6) =
Multiplicação de números com sinais iguais. Exemplo: (-7).(-2)= ; (+7). (+2) =
Multiplicação de números com sinais diferentes. Exemplo: 8.(-3)= ; (-4).(+5)=
Multiplicação de um inteiro por zero. Exemplo: (-7). 0=; 0. (+2) =
Divisão de números com sinais iguais. Exemplo: (-9)÷(-3)= ; (+8)÷(+2) =
Divisão de números com sinais diferentes. Exemplo: (-6)÷(+2)= ; 9 ÷ (-3)=
Divisão de zero por um número inteiro. Exemplo: 0÷(+2)= ; 0 ÷ (-3)=
Potenciação de expoente par. Exemplo: 6² = ; (-7)² =
Potenciação de expoente impar. Exemplo: (+5)³= ; (-4)³ =
Potenciação com expoente nulo. Exemplo: (-5)0e
09
Potenciação de expoente negativo. Exemplo: 2
5 = ;
43 =
Expressões envolvendo apenas adição e subtração de números inteiros. Exemplo: (- 2 +7 -6) + (-3 -8) ; [-3 +7 – (-8 +9)]=
Expressões envolvendo apenas adição, subtração e multiplicação de números inteiros. Exemplo: (-6 +2) x (-2 – 7)=
Expressões envolvendo apenas adição, subtração e divisão de números inteiros. Exemplo: ( -3). (+4) – (4 – 8) ÷ (- 2)=
Expressões envolvendo apenas adição, subtração e potenciação de números inteiros. Exemplo: [ ( - 5)² + (9 – 12)] ; [(- 5 -3)³ - ( 7+ 2)]
TESTE
269
01- Efetue as operações abaixo:
1) 4 + 9 = 2) 15 – 7= 3) - 4 - 8= 4) - 6 + 3=
5) - 4 + 12= 6) +5 – 7= 7) -13 + 14= 8) -7 - 2=
9) -26 + 26 = 10) +5 -5 11) (+4) x (+5)= 12) (+5) x (- 3) =
13) (- 4) x (+6)= 14) (-2) x (- 7)= 15) 6 x (-1) = 16) (-10) x (- 3) =
17) 0 x (+6) = 18) 0 x (-5)= 19) (-9) x 0= 20) (- 1) x (-1)=
21) (+8) ÷ (+4)= 22) (+9) ÷ (-3)= 23) (- 16) ÷ (+2)= 24) (-10) ÷ (-2)=
25) (-12) ÷ (-1)= 26) (-16) ÷ (- 4)= 27) (-14) ÷ 7= 28) (-1) ÷ (+1) =
29) 0 ÷(+ 6)= 30) 0 ÷ (- 8)= 31) (+4)²= 32) (+3)³=
33) (-3)²= 34) (- 2)5 = 35) (+5)² = 36) (-2)³=
37) (+7)0 = 38) (- 6)
0 =
APÊNDICE C – Pré-teste
270
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - MESTRADO
Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
Muito obrigada!
1-Idade: _________ 2- Sexo: ______________ 3- Nome completo:___________________________
4- Quem é o seu responsável masculino? ( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( )Padrasto ( )Não tenho
( ) Outro:________
5- Quem é a sua responsável feminina? ( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( )Madrasta ( )Não tenho
( ) Outro: ________
6- Até que série estudou o seu responsável masculino? ______E a sua responsável feminina? _____
7- Seu responsável masculino trabalha? ( ) Não ( ) Sim, em quê? _________________________
8- Seu responsável feminino trabalha? ( ) Não ( ) Sim, em quê? _________________________
8- Você cursou a 5ª série nesta escola: ( )Sim ( ) Não. Estudou onde?________________________
9- A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora? ( ) Sim ( ) Não
10- Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes
11- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum um pouco ( ) Muito pouco ( ) Um pouco ( ) Muito
12- Você está em dependência em matemática ou repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim
13-Você têm dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Sim ( ) Um pouco
14- Você se distrai nas aulas de matemática? ( )Não ( )Sim ( ) Às vezes, quando? ____________
15- Você costuma estudar matemática, fora da escola: ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova ( ) Só nos fins de semana ( )Todo dia ( ) Alguns dias da semana. Quantos dias? ________________________
16- A maioria de suas notas em matemática é: ( ) Acima de 5 ( ) Igual a 5 ( ) Abaixo de 5
17- Você tem domínio da tabuada? ( ) Não ( ) Sim, qual(is)? ___________________________
18- Qual operação matemática você tem mais dificuldade para aprender? (se precisar, pode marcar mais de uma)
( )Adição ( )Subtração ( )Multiplicação ( )Divisão ( )Potenciação
19- Algum dos professores de matemática que você teve nas outras séries, alguma vez usou a calculadora para lhe ensinar algum conteúdo (assunto) de matemática? ( ) Sim ( ) Não ( ) Não lembro
20- Algum dos professores de matemática que você teve nas outras séries, alguma vez usou jogos para lhe ensinar algum conteúdo (assunto) de matemática? ( ) Sim ( ) Não ( ) Não lembro
PRÉ-TESTE
271
01- Efetue as operações abaixo: 1) 4 + 9 = 2) 15 – 7= 3) - 4 - 8= 4) - 6 + 3=
5) - 4 + 12= 6) +5 – 7= 7) -13 + 14= 8) -7 - 2=
9) -26 + 26 = 10) +5 -5= 11) (+4) x (+5)= 12) (+5) x (- 3) =
13) (- 4) x (+6)= 14) (-2) x (- 7)= 15) 6 x (-1) = 16) (-10) x (- 3) =
17) 0 x (+6) = 18) 0 x (-5)= 19) (- 9) x 0= 20) (- 1) x (-1)=
21) (+8) ÷ (+4)= 22) (+9) ÷ (-3)= 23) (- 16) ÷ (+2)= 24) (-10) ÷ (-2)=
25) (-12) ÷ (-1)= 26) (-16) ÷ (- 4)= 27) (-14) ÷ 7= 28) (+1) ÷ (-1) =
29) 0 ÷(+ 6)= 30) 0 ÷ (- 8)= 31) (+4)²= 32) (+3)³=
33) (-3)²= 34) (- 2)5 = 35) (+5)² = 36) (-2)³= 37)
(+7)0 = 38) (- 6)
0 =
APÊNDICE D - Baralho para adição entre dois inteiros
272
+5+5
+5+5
5
5
+3+4
+3+4
7
7
+ 3+7
+3+7
10
10
1 +14
1+14
15
15
9+3
9+3
12
12
2+6
2+6
8
8
-1 -1
-1-1
-2
-2
-2-6
-2-6
- 8
- 8
-3 -4
-3 - 4
-7
-7
- 6-4
- 6-6
- 10
- 10
-5-7
-12
-3-10
-13
+ 3-7
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
273
-5-7
-12
-3-10
-13
+3-7
-4
-4
1 -2
1-2
-1
-1
9-2
9-2
7
7
2-6
2-6
-8
- 8
+4 -1
+4-1
3
3
7-2
7-2
5
5
-3 +15
-3 +15
12
13
- 16+9
-16+9
- 7
- 7
-5+3
-2
- 4 + 10
6
-11+1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
274
-5+3
-2
- 4+10
6
-11+1
-10
-10
- 4 +12
- 4+12
8
8
-9+9
-9+9
0
0
2-2
2-2
0
0
-21+21
-21+21
0
0
+15-15
+15-15
0
0
-3 +12
-3 +9
9
9
6-12
6-12
- 6
- 6
APÊNDICE E - Baralho para multiplicação e divisão entre dois inteiros
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
275
(-5) x (+3)
(-5) x (+3)
-15
- 15
(-9) x (+2)
(-9) x (+2)
- 18
- 18
(-6) x (+4)
(- 6) x (+4)
(-7) x (+7)
(-7) x (+7)
- 49
- 49
(+4) x (- 4)
(+4) x (- 4)
-16
-16
(+3) x (-6)
(+3) x (-6)
- 18
-18
7 x (-2)
7 x (-2)
- 14
- 14
8 x (-3)
8 x (-3)
-24
- 24
(+ 4) x (+5)
(+4) x (+5)
20
20
(+ 3) x (+3)
(+ 3) x (+ 3)
9
9
(+ 6) x (+ 4)
(+ 6) x (+ 4)
24 2 x 7 14 (- 3) x (-5) 15
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
276
24
2 x 7
14
(-3) x (-5)
15
(-7) x (- 4)
(-7) x (- 4)
28
28
(- 2) x (- 9)
(- 2) x (- 9)
18
18
(- 6) x (- 10)
(- 6) x (- 10)
60
60
7 x (-1)
7 x (-1)
- 7
- 7
(- 1) x (-3)
(-1) x (-3)
3
3
(- 14) x (- 1)
(-14) x (- 1)
14
14
(- 1) x (+9)
(-1) x (+ 9)
- 9
- 9
(+ 6) x 0
(+ 6) x 0
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
277
0
0
0 x (+ 18)
0 x (+18)
0
0
(- 3) x 0
(-3) x 0
0
0
0 x (- 14)
0 x (- 14)
0
0
(- 9) ÷ (+ 3)
(- 9) ÷ (+ 3)
-3
-3
(- 10) ÷ (+ 5)
(- 10) ÷ (+ 5)
- 2
-2
(- 12) ÷ (+6)
(- 12)÷ (+6)
- 6
- 6
(- 18) ÷ (+ 2)
(-18) ÷ (+ 2)
- 9
- 9
14 ÷ (- 7)
14 ÷ (- 7)
- 2
- 2
(+ 16) ÷ (- 4)
(+16) ÷ (- 4)
- 4
- 4
(+ 40) ÷(-5)
(+ 40) ÷ (-5)
- 8 21 ÷ (- 3) - 7 (- 30) ÷ (- 6) 5
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
278
- 8
21 ÷ (-3)
- 7
(-30) ÷ (-6)
5
(- 22) ÷ (- 2)
(-22) ÷ (- 2)
11
11
(- 9) ÷ (- 3)
(- 9) ÷ (- 3)
3
3
(- 16) ÷ (- 2)
(- 16) ÷ (- 2)
8
8
(+ 12) ÷ (+6)
(+ 12)÷ (+6)
2
2
(+8) ÷ (+ 2)
(+8) ÷ (+ 2)
4
4
25 ÷ 5
25 ÷ 5
5
5
(+ 24) ÷ 4
(+24) ÷ 4
6
6
(+ 6) ÷(-1)
(+ 6) ÷ (- 1)
- 6 (- 30) ÷ (- 1) 30 (+22) ÷ (- 1) -22
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
279
- 6
(-30) ÷ (- 1)
30
(+22) ÷ (- 1)
-22
(- 16) ÷ (-1)
(- 16) ÷ (-1)
16
16
0 ÷ (- 3)
0 ÷ (- 3)
0
0
0÷ (- 12)
0 ÷ (- 12)
0
0
0÷ (+6)
0÷ (+6)
0
0
0 ÷ (+ 15)
0 ÷ (+ 15)
0
0
-24
-24
APÊNDICE F – Cartelas do bingo para multiplicação e divisão de inteiros
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
280
- 12
15
5
0
- 4
- 2
5
25
+1
- 14
0
9
- 8
- 1
+ 4
- 10
0
+ 9
- 8
2
+ 12
6
- 6
+3
- 1
Z
Z
Z
Z
Z
281
- 2
- 18
- 5
+3
+ 14
+ 8
- 7
- 20
21
+ 14
0
+ 2
- 16
6
+ 20
-9
+ 2
- 16
-12
- 3
-2
+ 1
5
- 6
- 14
Z
Z
Z
Z
Z
282
0
- 9
- 21
+7
12
10
+ 7
- 15
-8
+ 20
- 12
15
5
0
- 4
- 2
-5
25
+1
- 14
0
9
- 8
- 1
+ 4
Z
Z
Z
Z
Z
283
- 10
0
+ 9
- 8
2
+ 12
6
- 6
+3
- 1
- 2
- 18
- 5
+3
+ 14
10
+ 7
- 15
-8
+ 20
+ 8
- 7
- 20
21
+ 14
Z
Z
Z
Z
Z
284
APÊNDICE G – “Pedras” do bingo para multiplicação e divisão de inteiros
(- 2) x (- 6)
(- 12)÷(- 2)
(- 28) x 0
(- 4)x(+4)
(+ 3) x (- 2)
(+ 9)÷(+ 3)
(- 3) x (-2)
(- 4)÷(- 2)
(- 7)÷(+ 7)
18 ÷ (- 9)
(- 2)x(-10)
(-18)÷(-2)
(-20)÷(+4)
(-1) x (-3)
(- 3)x(+4)
15 ÷ (-5)
( - 2) x 9
(- 14)÷(- 1)
(- 7)x(+2)
0 ÷ (- 9)
(-16)÷(-2)
(+ 4) x (- 5)
3 x (- 7)
(-14)÷(-2)
(- 3) x (- 7)
2 x 7
(- 3)x(+3)
(- 2)x(- 5)
(- 28) x 0
(- 4)x(+4)
(- 3) x (-2)
(- 4)÷(- 2)
(- 2)x(-10)
(-18)÷(-2)
(- 3)x(+4)
15 ÷ (-5)
285
(- 7)x(+2)
0 ÷ (- 9)
(- 5)x(- 5)
(- 1)x(- 1)
3 x (- 7)
(-14)÷(-2)
(+3)x(+5)
(- 8)÷(- 2)
(- 3)x(+3)
(- 2)x(- 5)
(-30) ÷ 3
(- 1)x(+7)
(- 5)x(+3)
(+4)x(- 2)
(+9)÷(-1)
(-25)÷(-1)
(- 10)÷(-2)
16 ÷ (- 4)
286
APÊNDICE H –Atividade escrita para revisão de multiplicação e divisão
Atividade de fixação 1 DATA: ____/____/____
1- Complete e dê exemplo:
a) Para somar dois números de sinais iguais devemos ____________os números e _______ o
__________sinal das parcelas.
b) Para somar dois números de sinais diferentes devemos ____________ os números e _____
o sinal do __________ número.
c) Na adição de dois números opostos a __________ será sempre ______________.
d) Na multiplicação entre dois números inteiros de sinais iguais o produto é sempre _______.
e) Na multiplicação entre dois números de sinais diferentes o produto é sempre __________.
f) Na multiplicação de números inteiros por zero o produto é sempre _____________.
g) Na multiplicarmos de um número inteiro por (-1), se o fator for ____________
ficará_______________e se for _____________ ficará ______________________.
h) Na multiplicação de um número inteiro por (-1) o produto será o ___________ do fator que
estiver sendo multiplicado por ele.
i) Na divisão entre dois números inteiros de sinais iguais o quociente será sempre _________.
j) Na divisão entre dois números inteiros de sinais diferentes o quociente será sempre ______.
l) Na divisão de zero por qualquer número inteiro o quociente será sempre igual a ________.
l) Na divisão de um número inteiro por (-1), se o dividendo for _______________ ficará
_______________ e se for _______________ ficará ___________________.
2- Associe a operação matemática com a sua resposta correspondente:
a) – 4 – 5 = b) (- 4) x 0= c) (-5) ÷ (-1)=
d) – 8 + 3 = e) (-7) x (-6) = f) 0 ÷ (- 8)=
g) -7 + 7 = h) 5 x (- 4)= i) (+ 15) ÷ (- 3)=
j) 6 – 9 = k) (+3) x (-1)= l) (+6) ÷ (+3) =
287
APÊNDICE I - Baralho de regras sobre adição, multiplicação e divisão de inteiros
(- 22) ÷ (- 2)
(-22) ÷ (- 2)
Na divisão entre dois nºs de sinais iguais
o quociente (resultado)
será sempre
positivo
(+9) ÷ (+ 3)
(+9) ÷ (- 3)
Na divisão entre dois nºs de sinais iguais
o quociente (resultado)
será sempre
positivo
(- 16) ÷ (- 2)
(- 16) ÷ (- 2)
Na divisão entre dois nºs de sinais iguais
o quociente (resultado)
será sempre
positivo
(+12) ÷ (+4)
(+12) ÷ (+4)
Na divisão entre dois nºs de sinais iguais
o quociente (resultado)
será sempre
positivo
(- 16) ÷ (+2)
(- 16) ÷ (- 2)
Na divisão entre dois nºs
de sinais diferentes
o quociente (resultado)
será sempre negativo
(- 15) ÷ (+3)
(- 15)÷ (+3)
Na divisão entre dois nºs
de sinais diferentes
o quociente (resultado)
será sempre negativo
(+8) ÷ (- 4)
(+8) ÷ (- 4)
Na divisão entre dois nºs
de sinais diferentes
o quociente (resultado)
será sempre negativo
25 ÷ (-5)
25 ÷ (-5)
Na divisão entre dois nºs
de sinais diferentes
o quociente (resultado)
será sempre negativo
0 ÷ 4
0 ÷ 4
Na divisão de zero pó um
número inteiro
o quociente (resultado)
será sempre zero
0 ÷ (- 6)
0 ÷ (- 6)
Na divisão de zero pó um
número inteiro
o quociente (resultado)
será sempre zero
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
288
(- 22) ÷ (- 1)
(-22) ÷ (- 1)
Na divisão de um número
inteiro por (-1)
Se o dividendo
for positivo ficará negativo e se for negativo ficará positivo.
(+9) ÷ (- 1)
(+9) ÷ (- 1)
Na divisão de um número
inteiro por (-1)
Se o dividendo
for positivo ficará negativo e se for negativo ficará positivo.
(- 16) ÷ (- 1)
(- 16) ÷ (- 1)
Na divisão de um número
inteiro por (-1)
Se o dividendo
for positivo ficará negativo e se for negativo ficará positivo.
(+12) ÷ (- 1)
(+12) ÷ (- 1)
Na divisão de um número
inteiro por (-1)
Se o dividendo
for positivo ficará negativo e se for negativo ficará positivo.
(+6) x (+2)
(+6) x (+2)
Na multiplicação entre dois nºs de sinais iguais
o produto
(resultado) será sempre positivo
(+5) x (+3)
(+5)x (+3)
Na multiplicação entre dois nºs de sinais iguais
o produto
(resultado) será sempre positivo
(-8) x (- 4)
(-8) x (- 4)
Na multiplicação entre dois nºs de sinais iguais
o produto
(resultado) será sempre positivo
(-5) x (-5)
(-5) x (-5)
Na multiplicação entre dois nºs de sinais iguais
o produto
(resultado) será sempre positivo
(+5) x (-3)
(+5)x (-3)
Na multiplicação
de nºs de sinais
diferentes
o produto
(resultado) será sempre negativo
10 x (- 5)
10 x (- 5)
Na multiplicação
de nºs de sinais
diferentes
o produto
(resultado) será sempre negativo
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
289
(- 2) x (+ 5)
(-2) x (+ 5)
Na multiplicação
de nºs de sinais
diferentes
o produto
(resultado) será sempre negativo
(- 4) x (+ 4)
(-4) x (+4)
Na multiplicação
de nºs de sinais
diferentes
o produto
(resultado) será sempre negativo
0 x (- 5)
0 x (- 5)
Na multiplicação
de um número inteiro por
zero
o produto
(resultado) será sempre zero
(+ 4) x 0
(+4) x 0
Na multiplicação
de um número inteiro por
zero
o produto
(resultado) será sempre zero
(- 6) x 0
(- 6) x 0
Na multiplicação
de um número inteiro por
zero
o produto
(resultado) será sempre zero
0 x (+3)
0 x (+3)
Na multiplicação
de um número inteiro por
zero
o produto
(resultado) será sempre zero
(- 1) x (- 4)
(- 1) x (- 4)
Na multiplicação de um número inteiro por -1
Se esse fator for produto ficará
negativo e se for negativo ficará
positivo
(-5) x (- 1)
(-5) x (-1)
Na multiplicação de um número inteiro por -1
Se esse fator for produto ficará
negativo e se for negativo ficará
positivo
(+5) x (- 1)
(+5)x (- 1)
Na multiplicação de um número inteiro por -1
Se esse fator for produto ficará
negativo e se for negativo ficará
positivo
(- 1) x (+ 8)
(-1) x (+ 8)
Na multiplicação de um número inteiro por -1
Se esse fator for produto ficará
negativo e se for negativo ficará
positivo
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
290
- 2 + 5
-2+ 5
Para somar dois nºs de
sinais diferentes
Devemos somar
os números e conservar o sinal
das parcelas
- 14 + 6
- 14 + 6
Para somar dois nºs de
sinais diferentes
Devemos somar
os números e conservar o sinal
das parcelas
+ 7- 5
+7- 5
Para somar dois nºs de
sinais diferentes
Devemos somar os números e
conservar o sinal das parcelas
4 - 8
4 - 8
Para somar dois nºs de
sinais diferentes
Devemos somar os números e
conservar o sinal das parcelas
- 6 - 3
- 6 - 3
Para somar dois nºs de sinais iguais
Devemos subtrair os números e
conservar o sinal do número
maior
-10 - 2
-10 - 2
Para somar dois nºs de sinais iguais
Devemos subtrair os números e
conservar o sinal do número
maior
7+ 3
7 + 3
Para somar dois nºs de sinais iguais
Devemos subtrair os números e
conservar o sinal do número
maior
5 + 1
5 +1
Para somar dois nºs de sinais iguais
Devemos subtrair os números e
conservar o sinal do número
maior
+5- 5
+5- 5
Na adição entre dois números
inteiro opostos
A soma será sempre zero
- 1+ 1
-1+ 1
Na adição entre dois números
inteiro opostos
A soma será sempre zero
18- 18
18- 18
Na adição entre dois números
inteiro opostos
A soma será sempre zero
- 12+ 12
-12+ 12
Na adição entre dois números
inteiro opostos
A soma será sempre zero
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
291
APÊNDICE J – Baralho para adição, multiplicação e divisão de inteiros
(- 22) ÷ (- 2)
(-22) ÷ (- 2)
11
11
(+9) ÷ (+ 3)
(+9) ÷ (+ 3)
3
3
(- 16) ÷ (- 2)
(- 16) ÷ (- 2)
8
8
(+12) ÷ (+2)
(+12) ÷ (+2)
6
6
(- 16) ÷ (+2)
(- 16) ÷ (- 2)
- 8
- 8
(- 15) ÷ (+3)
(- 15)÷ (+3)
- 5
- 5
(+8) ÷ (- 4)
(+8) ÷ (- 4)
- 2
- 2
25 ÷ (-5)
25 ÷ (-5)
- 5
- 5
0 ÷ 4
0 ÷ 4
0
0
0 ÷ (- 6)
0 ÷ (- 6)
0
0
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
292
(- 22) ÷ (- 1)
(-22) ÷ (- 1)
22
22
(+9) ÷ (- 1)
(+9) ÷ (- 1)
- 9
- 9
(- 16) ÷ (- 1)
(- 16) ÷ (- 1)
16
16
(+12) ÷ (- 1)
(+12) ÷ (- 1)
-12
-12
(+6) x (+2)
(+6) x (+2)
12
12
(+5) x (+3)
(+5)x (+3)
15
15
(-8) x (- 4)
(-8) x (- 4)
32
32
(-5) x (-5)
(-5) x (-5)
25
25
(+5) x (-3)
(+5)x (-3)
-15
-15
10 x (- 5)
10 x (- 5)
-50
-50
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
293
(- 2) x (+ 5)
(-2) x (+ 5)
- 10
- 10
(- 4) x (+ 4)
(-4) x (+4)
- 16
- 16
0 x (- 5)
0 x (- 5)
0
0
(+ 4) x 0
(+4) x 0
0
0
(- 6) x 0
(- 6) x 0
0
0
0 x (+3)
0 x (+3)
0
0
(- 1) x (- 4)
(- 1) x (- 4)
4
4
(-5) x (- 1)
(-5) x (-1)
5
5
(+5) x (- 1)
(+5)x (- 1)
- 5
- 5
(- 1) x (+ 8)
(-1) x (+ 8)
-8
- 8
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
294
- 2 + 5
-2+ 5
3
3
- 14 + 6
- 14 + 6
- 8
- 8
+ 7- 5
+7- 5
2
2
4 - 8
4 - 8
- 4
- 4
- 6 - 3
- 6 - 3
- 9
- 9
-10 - 2
-10 - 2
- 12
- 12
7+ 3
7 + 3
10
10
5 + 1
5 +1
6
6
+5- 5
+5- 5
0
0
- 1+ 1
-1+ 1
0
0
18- 18
18- 18
0
0
- 12+ 12
-12+ 12
0
0
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
295
Apêndice K - Trilha de potenciação de números inteiros
Complete
corretamente e
poderá avançar uma
casa. Na potenciação
de expoente par a
potência é
sempre..................
?
?
Escolha um de
seus adversários
para voltar duas
casas
?
?
Responda
corretamente e
poderá avançar
uma casa.
Porque o
resultado de 0)15( é 1?
?
?
?
Complete corretamente e poderá
avançar uma casa.
Na potenciação de expoente impar
a potência tem o....... sinal da ...... ?
? ?
Avance uma
casa ?
?
Volte três
casa ? ?
SAÍDA
? PARABÉNS! VOCÊ
VENCEU
? ?
Fique uma
rodada sem
jogar
296
Apêndice L – Cartões questão para a trilha das potenciações
Qual é a potência de:
3)5(
R: - 125
Qual é a potência de:
6)2(
R: 64
Qual é a potência de:
5)2(
R: - 32
Qual é a potência de:
0)9(
R: 1
Qual é a potência de:
3)5(
R: 125
Qual é a potência de:
2)4(
R: 16
Qual é a potência de:
2)9(
R: 81
Qual é a potência de:
71
R: -1
Qual é a potência de:
5)3(
R: - 729
Qual é a potência de:
3)4(
R: - 64
Qual é a potência de:
2)5(
R: 25
Qual é a potência de:
0)8(
R: 1
297
Qual é a potência de:
7)2(
R: 128
Qual é a potência de:
4)3(
R: 81
Qual é a potência de:
3)2(
R: - 8
Qual é a potência de:
6)1(
R: 1
Qual é a potência de:
2)7(
R: 49
Qual é a potência de:
2)6(
R: 36
Qual é a potência de:
5)2(
R: 32
Qual é a potência de:
17
R: -7
Qual é a potência de:
1)9(
R: 9
Qual é a potência de:
0)12(
R: 1
Qual é a potência de:
2)2(
R: 4
Qual é a potência de:
0)3(
R: 1
298
Qual é a potência de:
2)8(
R: 64
Qual é a potência de:
4)3(
R: 81
Qual é a potência de:
3)2(
R: - 8
Qual é a potência de:
6)1(
R: 1
Qual é a potência de:
2)7(
R: 49
Qual é a potência de:
2)6(
R: 36
Qual é a potência de:
5)2(
R: 32
Qual é a potência de:
17
R: -7
Qual é a potência de:
1)9(
R: 9
Qual é a potência de:
0)12(
R: 1
Qual é a potência de:
2)2(
R: 4
Qual é a potência de:
0)3(
R: 1
299
APÊNDICE M – Dado usado na trilha de potências
300
APÊNDICE N – Atividade escrita para revisãoda potenciação
Atividade de fixação DATA: ____/____/____
1- Complete e dê exemplo:
a) Na potenciação de número inteiro com expoente par, o resultado é sempre
______________________. Exemplo: ____________________________________.
b) Na potenciação de número inteiro com expoente impar, o resultado tem o
____________sinal da _________. Exemplo: _______________________________.
c) Na potenciação de número inteiro com expoente zero, o resultado é sempre igual a
_________________. Exemplo: ___________________________________.
2- Calcule:
a) (- 3) 4 = b) (+ 5)³= c) (+4)² =
d) (- 2) 5 = e) (+6) 0 = f) (- 8) 0 =
g) (-7)²= h) (-2) 5 = h) (+3)³ =
301
APÊNDICE O- Baralho de regras para adição, multiplicação, divisão e potenciação
(- 22) ÷ (- 2)
(-22) ÷ (- 2)
Na divisão entre dois
nºs de sinais iguais
o quociente (resultado)
será sempre
positivo
11
11
(-9) ÷ (- 3)
(-9) ÷ (-3)
-3
-3
Na divisão entre dois
nºs de sinais iguais
o quociente (resultado)
será sempre
positivo
6
6
Na divisão entre dois
nºs de sinais iguais
o quociente (resultado)
será sempre
positivo
(+12) ÷ (+2)
(+12) ÷ (+2)
Na divisão entre dois
nºs de sinais diferentes
o quociente (resultado)
será sempre negativo
(- 16) ÷ (+2)
(- 16) ÷ (- 2)
- 8
- 8
(- 15) ÷ (+3)
(- 15)÷ (+3)
Na divisão entre dois
nºs de sinais diferentes
o quociente (resultado)
será sempre negativo
- 5
- 5
(+8) ÷ (- 4)
(+8) ÷ (- 4)
- 2
- 2
Na divisão entre dois
nºs de sinais diferentes
o quociente (resultado)
será sempre negativo
Na divisão de zero pó um
número inteiro
o quociente (resultado)
será sempre zero
0 ÷ 4
0 ÷ 4
0
0
0
0
0 ÷ (- 6)
0 ÷ (- 6)
Na divisão de zero pó um
número inteiro
o quociente (resultado)
será sempre zero
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
302
(- 22) ÷ (- 1)
(-22) ÷ (- 1)
Na divisão de um número inteiro por -1
Se o dividendo
for positivo ficará negativo
e se for negativo ficará
positivo.
22
22
(+9) ÷ (- 1)
(+9) ÷ (- 1)
- 9
- 9
Na divisão de um número inteiro por -1
Se o dividendo
for positivo ficará negativo
e se for negativo ficará
positivo.
-12
-12
(+12) ÷ (- 1)
(+12) ÷ (- 1)
Na divisão de um número inteiro por -1
Se o dividendo
for positivo ficará negativo
e se for negativo ficará
positivo.
Na multiplicação entre dois nºs
de sinais iguais
o produto (resultado)
será sempre positivo
(+6) x (+2)
(+6) x (+2)
12
12
(+5) x (+3)
(+5)x (+3)
Na multiplicação entre dois nºs
de sinais iguais
o produto (resultado)
será sempre positivo
15
15
(-8) x (- 4)
(-8) x (- 4)
32
32
Na multiplicação entre dois nºs
de sinais iguais
o produto (resultado)
será sempre positivo
Na multiplicação entre dois nºs
de sinais diferentes
o produto (resultado)
será sempre negativo
(+5) x (-3)
(+5)x (-3)
-15
-15
Na multiplicação entre dois nºs
de sinais diferentes
o produto (resultado)
será sempre negativo
10 x (- 5)
10 x (- 5)
-50
-50
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
303
(- 2) x (+ 5)
(-2) x (+ 5)
- 10
- 10
Na multiplicação
de nºs de sinais
diferentes
o produto (resultado)
será sempre negativo
(- 4) x (+ 4)
(-4) x (+4)
- 16
- 16
Na multiplicação
de nºs de sinais
diferentes
o produto (resultado)
será sempre negativo
0
0
(+ 4) x 0
(+4) x 0
Na multiplicação
de um número
inteiro por zero
o produto (resultado)
será sempre zero
0
0
(- 6) x 0
(- 6) x 0
Na multiplicação
de um número
inteiro por zero
o produto (resultado)
será sempre zero
0 x (+3)
0 x (+3)
0
0
Na multiplicação
de um número
inteiro por zero
o produto (resultado)
será sempre zero
(- 1) x (- 4)
(- 1) x (- 4)
4
4
Na multiplicação
de um número
inteiro por -1 Se esse fator for produto
ficará negativo e se for
negativo ficará positivo
5
5
(+5) x (- 1)
(+5)x (- 1)
Na multiplicação
de um número
inteiro por -1 Se esse fator for produto
ficará negativo e se for
negativo ficará positivo
Na multiplicação
de um número
inteiro por -1 Se esse fator for produto
ficará negativo e se for
negativo ficará positivo
(- 1) x (+ 8)
(-1) x (+ 8)
-8
- 8
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
304
- 2 + 5
-2+ 5
3
3
Para somar dois nºs de
sinais diferentes
Devemos somar os
números e conservar o
sinal das parcelas
- 14 + 6
- 14 + 6
- 8
- 8
Para somar dois nºs de
sinais diferentes
Devemos somar os
números e conservar o
sinal das parcelas
2
2
Para somar dois nºs de
sinais diferentes
Devemos somar os
números e conservar o
sinal das parcelas
4 - 8
4 - 8
Para somar dois nºs de sinais iguais
Devemos subtrair os números e conservar o
sinal do número maior
- 6 – 3
- 6 - 3
- 9
- 9
-10 - 2
-10 - 2
- 12
- 12
Para somar dois nºs de sinais iguais
Devemos subtrair os números e conservar o
sinal do número maior
7+ 3
7 + 3
10
10
Para somar dois nºs de sinais iguais
Devemos subtrair os números e conservar o
sinal do número maior
+5- 5
+5- 5
Na adição entre dois números opostos
A soma é
sempre zero
0
0
Na adição entre dois números opostos
A soma é
sempre zero
- 1+ 1
-1+ 1
0
0
18- 18
18- 18
0
0
Na adição entre dois números opostos
A soma é
sempre zero
- 12+ 12
-12+ 12
0
0
Na adição entre dois números opostos
A soma é
sempre zero
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
305
APÊNDICE P – Atividade escrita para revisão geral
REVISÃO GERAL em: ___/___/___
1- Resolva as operações com números inteiros:
a) 10 – 6= f) (-3) x (-2) =
b) 4 + 7 = g) (+7) x (+5) =
c) – 3 – 7= g) (- 4) x (+3) =
d) - 8 + 5= h) 0 x (-5) =
e) – 3 + 7= i) (+6) x (-1)=
2- Resolva as operações com números inteiros:
a) (-9) ÷ (+3) = f) (-7)²=
b) (+8) ÷ (-2)= g) (-2) 5 =
c) (-10) ÷ (-5)= h) (+3)³ =
d) 0 ÷ (-6)= i) (+4) 0 =
e) (-7) ÷ (-1)= j) (+ 2) 4 =
306
APÊNDICE Q - Ficha de avaliação das aula
Ensino das operações com números inteiros, em: ___/___/____
Dê sua opinião sobre a aula de hoje. Assinado: ______________________
Ensino das operações com números inteiros, em ___/___/____
Dê sua opinião sobre a aula de hoje. Assinado:___________________________