Résumé du cours d�Analyse 3 (L3 Maths)

Yves Driencourt

Printemps 2010

Table des matières

1 Prologue : La fonction exponentielle 31.1 Compléments et rappels sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Dé�nition de exp(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Holomorphie et Analycité 92.1 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Les zéros d�une fonction analytique et le principe du pro-

longement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Analycité des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Opérations sur les séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Le logarithme d�un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7 Points singuliers et fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . 202.8 La formule de Cauchy pour un cercle et les suites de fonctions

holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8.1 Chemins et intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . 222.8.2 La formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8.3 Le théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8.4 Application au produits in�nis . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 La théorie de Cauchy 283.1 Lien avec les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Homotopies de chemins et de lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 La formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 La formule des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Transformation de Mellin et Fonction � 344.1 Intégrales dépendant analytiquement d�un paramètre . . . . . . . 344.2 Transformées de Laplace et de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Prolongement analytique des transformées de Mellin . . . . . . . 364.4 La formule d�inversion de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

Bibliographie : l�auteur a utilisé les sources suivantes, auxquelles le lecteur estrenvoyé pour des démonstrations complètes et de plus amples développements1. Roger Godement : Analyse Mathématique I et II (Springer)2. Jean Dieudonné : Calcul In�nitésimal (Hermann)3. Henri Cartan : Théorie élémentaire des fonctions analytiques (Hermann)4. Patrice Tauvel : Analyse complexe pour la licence 3 (Dunod)5. Walter Rudin : Analyse réelle et complexe (Dunod)

Ces ouvrages sont présents en bibliothèque, la référence 4 contient de plus des exercicespour lesquels est donnée une solution abrégée.

2

1 Prologue : La fonction exponentielle

1.1 Compléments et rappels sur les séries

Dé�nition 1 : Le produit de deux sériesPan et

Pbn est la série

Pcn où cn

est donné, pour tout n � 0; par la formule

cn =nXk=0

akbn�k:

Proposition 2 (produit de 2 séries AC) : Le produitPcn de deux sériesP

an etPbn absolument convergentes est encore une série absolument conver-

gente et on a :+1Xn=0

cn =

+1Xn=0

an

! +1Xn=0

bn

!:

Proposition 3 (série double) : i) Soient (aij)i�0;j�0 des réels positifs, on a

+1Xi=0

+1Xj=0

aij =+1Xj=0

+1Xi=0

aij

l�égalité signi�ant que les 2 membres sont ou bien �nis et égaux, ou bien simul-tanément in�nis. On note donc le résultat

Pi;j aij :

ii) Soient (aij)i�0;j�0 des nombres complexes quelconques. On suppose quePi;j jaij j < +1 (ce qui signi�e que l�une ou l�autre des deux quantités

+1Xi=0

+1Xj=0

jaij j

ou+1Xj=0

+1Xi=0

jaij j l�est, puisqu�elles sont égales). Alors on a

+1Xi=0

+1Xj=0

aij =+1Xj=0

+1Xi=0

aij

Proposition 4 : Soient (�n) une suite de nombres réels décroissant vers 0 et(vn) une suite de nombres complexes telle que la suite (Vn) des sommes partiellesreste bornée. La série

P�nvn est alors convergente.

Exercice 1 : Prouver cette proposition en utilisant le critère de Cauchy, puisen écrivant vn = Vn � Vn�1 et en ré-ordonnant suivant les Vi: Appliquer cerésultat à la série

P�nvn où vn = ein�; � =2 2�Z:

Exercice 2 : SoientPan et

Pbn deux séries et

Pcn la série produit. On

rappelle que cn =Xi+j=n

aibj et on note An; Bn; Cn les sommes partielles d�indice

n des 3 séries.1) On suppose que les séries

Pan et

Pbn sont à termes positifs et conver-

gentes. Montrer que l�on a

Cn � AnBn � C2n;

3

en déduire quePcn converge et l�égalité

+1Xn=0

cn =+1Xn=0

an:+1Xn=0

bn: (1)

2) On suppose maintenant que les sériesPan et

Pbn sont absolument

convergentes. Montrer à l�aide de 1) que la série de terme général jcnj converge.Prouver ensuite l�égalité 1 en remarquant par exemple que

jAnBn � Cnj � A0nB0n � C 0n où on note A0n =

nXi=0

jaij (resp. B0n; C 0n).

1.2 Séries entières

Dé�nition 5 : On appelle série entière (de la variable complexe z) toute série

de fonctions de la forme+1Pn=0

fn; où

fn(z) = anzn

avec an 2 C:

Proposition 6 (lemme d�Abel) : SoientPanz

n une série entière, et z0 unpoint de C tel que la suite (anzn0 )n2N soit bornée. Alors, pour tout z 2 C telque jzj < jz0j ; la série

Panz

n est absolument convergente. De plus, pour toutnombre réel r tel que 0 < r < jz0j ; la série

Panz

n est normalement convergentedans le disque fermé jzj � r:

Corollaire 7 : SoientPanz

n une série entière, et z0 un point de C tel que lasuite

Panz

n0 soit convergente. Alors, pour tout z 2 C tel que jzj < jz0j ; la sérieP

anzn est absolument convergente.

Soit A l�ensemble des réels positifs r tels que la suite (anrn)n2N soit bornée.Cet ensemble contient 0 et admet donc, dans [0;+1] une borne supérieure R:- pour jzj < R; la série

Panz

n est absolument convergente,- pour jzj > R; la série

Panz

n est divergente.

Dé�nition 8 (rayon de convergence) : Le nombre R ainsi dé�ni est appeléle rayon de convergence de la série entière.

Exemple 9 :+1Pn=1

zn

n a pour rayon de convergence 1, car la série diverge pour

z = 1 (d�où R � 1) et converge pour z = �1 (d�où R � 1):

Calcul pratique du rayon de convergenceSi janj

1n a une limite ` quand n ! +1; alors R = 1

` (avec les conventions10 = +1 et 1

+1 = 0):

Si���an+1an

��� a une limite ` quand n! +1; alors R = 1` :

Plus précisément, le rayon de convergence est donné par la formule d�Hada-mard

4

Proposition 10 (calcul du rayon) : Le rayon de convergence de la série en-tière

Panz

n est donné par

1

R= lim sup n

pjanj:

Exemple 11 : La série entièrePzn! a pour rayon de convergence : R = 1:

Proposition 12 : Les séries entières+1Pn=0

anzn et

+1Pn=1

nanzn�1 ont le même

rayon de convergence.

1.3 Dé�nition de exp(z)

(d�après W. Rudin, Real and Complex Analysis, Prologue, Mac-Graw HillEd.)

Dé�nition 13 (exponentielle) : La fonction exponentielle est dé�nie, pourz 2 C; par la série absolument convergente

exp(z) =Xn�0

zn

n!:

Proposition 14 : exp est une fonction continue de la variable z et que, pourdeux nombres complexes a et b; on a la formule

exp(a) exp(b) = exp(a+ b):

Corollaire 15 : On a exp(0) = 1 et exp(z) 6= 0 pour tout z 2 C:

Proposition 16 : exp est dérivable (au sens complexe) et sa dérivée est elle-même.

Corollaire 17 : La restriction de exp à R est une fonction strictement crois-sante et on a

limt!+1

exp(t) = +1

limt!�1

exp(t) = 0:

Proposition 18 : La fonction t 7�! exp(t) est la fonction inverse de la fonctionln dé�nie sur R�+ par

ln(t) =

tZ1

dx

x;

ce qui justi�e à partir de maintenant l�emploi de l�une ou l�autre des notationsexp(z) ou ez:

Proposition 19 : On aeit = e�it

et donc��eit�� = 1:

5

Dé�nition 20 (sinus et cosinus) : On dé�nit les fonctions cos et sin par

cos t = Re(eit) et sin(t) = Im(eit) (t 2 R):

On déduit immédiatement de là les relations dites "de Moivre"

cos t =eit + e�it

2;

sin t =eit � e�it

2i;

et le fait que

d

dt(sin t) = cos t;

d

dt(cos t) = � sin t:

La relation de Moivre jointe à la dé�nition de l�exponentielle montre que coss�écrit comme somme d�une série entière alternée

cos t = 1� t2

2!+t4

4!� t6

6!+ :::::

et puisque la somme d�une série alternée est comprise entre ses sommes partiellespar défaut et par excès, on peut remarquer que cos(2) < 0: On en déduit (théo-rème des valeurs intermédiaires) qu�il existe un plus petit nombre réel positif t0tel que cos(t0) = 0:

Dé�nition 21 (le nombre �) : On pose � = 2t0 où t0 est le plus petit zéropositif de la fonction cos :

On peut d�ailleurs véri�er, en calculant les 4 premiers termes de la sommepour la valeur t = 3

2 ; que le nombre � est compris entre 3 et 4.

Proposition 22 : Le nombre � véri�e

e�i=2 = i

et donce2�in = 1

pour tout entier n:

La réciproque est vraie, à savoir

Théorème 23 : On ae2�iz = 1() z 2 Z:

De plus, l�application t 7! eit est un morphisme de (R;+) sur le cercle unitéU � C: Plus généralement, l�application z 7! ez est un morphisme surjectif de(C;+) sur (C�;�):

6

Autre façon de démontrer ce résultat, cf Tauvel : on prouve d�abord, parune méthode di¤érente, que z 7! ez est un morphisme surjectif de (C;+) sur(C�;�); évidemment continu, ensuite on montre que le noyau de t 7! eit est unsous-groupe non trivial de R; qui est donc dense ou discret. Comme il est fermé,il ne peut être que discret, donc de la forme �Z où � est le plus petit élémentt0 positif de R véri�ant eit0 = 1: On le note 2�:

Exercice 3 (preuve du théorème) : Soit z 2 C véri�ant ez = 1; on veut montrerque z est un multiple entier de 2�i:On pose z = x+ iy; montrer que x = 0:Reste donc eiy = 1 avec un y que l�on peut supposer dans [0; 2�] puisqu�on

sait déjà que e2�in = 1 pour n entier.Par l�absurde on suppose que 0 < y < 2�et on dé�nit u et v réels tels que

eiy=4 = u+ iv:

Montrer que u > 0 et v > 0; puis en calculant eiy = (u+ iv)4; que cette quantiténe peut être égale à 1.Montrer que l�application t 7! eit envoie l�ensemble R sur le cercle unité

(pour prouver la surjectivité, commencer par supposer que le point du cercle estdans le premier quartier, pour s�y ramener ensuite).En déduire que l�application z 7! ez de C dans C� est surjective:

Exercice 4 : Montrer que pour tout z 2 C :

jez � 1j � ejzj � 1 � jzj ejzj:

Exercice 5 : Montrer que l�on a

2

�x � sinx � x

pour tout x 2h0;�

2

i.

Exercice 6 : On pose z = 1+ i et z0 =p3+ i: Calculer le module et l�argument

de z; z0; z0=z: Ecrire z=z0 sous forme trigonométrique et sous forme algébriqueet en déduire les valeurs de cos �12 et sin

�12 :

Exercice 7 : Résoudre l�équation z4 = 2 � 2ip3 et en déduire les valeurs de

cos �12 et sin�12 :

Exercice 8 : On pose j = e2�i=3: Montrer que 1; j et j2 = j = j�1 sont les 3racines cubiques de 1, et 1 + j + j2 = 0: Montrer que les racines 6-ième de 1sont 1; j; j2;�1; 1 + j; 1 + j2:

Exercice 9 : Montrer que (1� j)6 = �27:

Exercice 10 : Résoudre l�équation z4 + z2 + 1 = 0:

Exercice 11 : On pose ! = e2�i=5: Montrer que 1 + ! + !2 + !3 + !4 = 0: Endéduire que cos 2�5 véri�e une équation du second degré et donner sa valeur.

7

Exercice 12 : Décomposer sur C le polynôme 2z3 � (5 + 6i)z2 + 9iz + 1 � 3isachant qu�il admet une racine réelle.

Exercice 13 : Montrer que le polynôme P (z) = 1 + z + z2

2! + ::::+zn

n! n�admetpas de racine multiple.

Exercice 14 : On pose, pour z 2 C

cos z =eiz + e�iz

2et sin z =

eiz � e�iz2i

Montrer que l�on a, pour z et z0 dans C :

cos(z + z0) = cos z cos z0 � sin z sin z0

sin(z + z0) = sin z cos z0 + cos z sin z0

cos2 z + sin2 z = 1:

Exercice 15 : Montrer que pour x et y réels

jsin(x+ iy)j2 = sin2 x+ sh2y;

jcos(x+ iy)j2 = cos2 x+ sh2y:

b) Trouver un ouvert U de C non borné sur lequel sin z est borné.c) Déterminer les zéros des fonctions sin az; cos az (où a 2 R�).d) Montrer que si �� < a < � et n > 0 :���� sin azsin�z

���� � ch aych �y

pour z = n+1

2+ iy et ���� sin azsin�z

���� � ch a(n+1

2)

sh �(n+1

2)

pour z = x+ i(n+1

2).

Exercice 16 : Montrer qu�il existe une constante M telle que

jcot�zj �M

pour z décrivant le périmètre d�un carré de côtés parallèles aux axes, de longueur2n+ 1; centré à l�origine.

Exercice 17 : On pose f(z) = 1z2+1 : Montrer que quand jzj ! +1 :

z2f(z) = O(1): Résoudre explicitement��z2f(z)�� � 2:

Exercice 18 : a) Déterminer tous les zéros, dans C, des fonctions suivantesa) cos z;b) sin z � 1;c) cosh z;d) sinh z � i;e) cos z � 1=2;f) sin z �

p2=2;

g) cos z � 2:

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2 Holomorphie et Analycité

2.1 Fonctions analytiques

2.1.1 Propriétés générales

Dé�nition 24 On dit qu�une fonction f dé�nie sur un ouvert U de C est ana-lytique dans U si, pour tout point a 2 U; il existe r > 0 tel que f est représentéepar une série entière convergente

f(z) =+1Xn=0

an(z � a)n

dans le disque jz � aj < r:

Exemple 25 polynômes, 1z

Théorème 26 La somme d�une série entière f(z) =+1Pn=0

anzn de rayon de

convergence R > 0 est analytique dans le disque D : jzj < R:: Elle est dérivable(et même C1au sens complexe) en tout point de D et son développement auvoisinage de 0 est donné par sa série de Taylor

f(z) =

+1Xn=0

f (n)(0)

n!zn

oùf (p)(z) =

Xn�p

n(n� 1)::::::(n� p+ 1)anzn�p

désigne la série �dérivée terme à terme�de la série f , possédant le même rayonde convergence, et représentant la dérivée d�ordre p au sens complexe.

2.1.2 Les zéros d�une fonction analytique et le principe du prolon-gement analytique

Rappel : la composante connexe d�un point On utilisera les résultatssuivants (cf par exemple Dieudonné : Fondements de l�analyse moderne) :

Lemme 27 : Soient E un espace métrique et (Ai)i2I une famille d�ensemblesconnexes ayant une intersection non vide. Alors A = [

i2IAi est connexe.

Il en résulte que la réunion C(x) de tous les sous-ensembles connexes deE contenant un point x 2 E est connexe, donc le plus grand sous-ensembleconnexe de E contenant x : on l�appelle la composante connexe de x dans E:Si y 2 C(x); on a C(y) = C(x); dans le cas contraire : C(x) \ C(y) = ;

(sinon, lemme, C(x) [ C(y) serait un connexe contenant x, plus grand queC(x) ).En�n C(x) est fermé dans E; en vertu du résultat suivant : si A est un

connexe de E; tout sous-ensemble B de E véri�ant A � B � A est connexe, enparticulier l�adhérence d�un ensemble connexe.

9

Revenons à une fonction f analytique dans U: On a donc, si a 2 U; undéveloppement en série entière absolument convergente

f(z) =+1Xn=0

an(z � a)n

pour jz � aj < r avec un certain r > 0: Il s�ensuit que

g(u) = f(a+ u) =+1Xn=0

anun

est une série entière absolument convergente pour juj < r; à laquelle on peutappliquer le théorème 26 :

g(u) =+1Xn=0

g(n)(0)

n!un;

mais g(n)(0) = f (n)(a) (dérivation composée), d�où

f(z) =

+1Xn=0

f (n)(a)

n!(z � a)n

si jz � aj < r:On dit que a est un zéro de f si f(a) = 0: On écrit alors

f(z) =

+1Xn=1

f (n)(a)

n!(z � a)n

au voisinage de a et deux situations peuvent se présentera) les f (n)(a) ne sont pas tous nuls : il existe donc un plus petit p � 1 tel

que f (p)(a) 6= 0: On a alors

f(z) = (z � a)pg(z)

avec

g(z) =f (p)(a)

p!+ �(z � a) + :::::

g est continue comme somme d�une série entière de même rayon de convergenceque f: g étant non nulle en a; elle est non nulle sur un voisinage de a : il y adonc un disque de centre a tel que f(z) 6= 0 pour tout z du disque autre que a:On dit dans ce cas que a est un zéro isolé.b) f (n)(a) = 0 pour tout n � 0 : alors f(z) = 0 dans un disque ouvert de

centre a contenu dans U: On va montrer que f = 0 dans la composante connexede a dans U: Pour cela, on pose

N = fb 2 U / f(z) = 0 pour tout z voisin de bg

et on montre que N 6= ; (il contient a); ensuite qu�il est ouvert et fermé dans U:On a ainsi démontré le

10

Théorème 28 Soient f une fonction analytique dans un ouvert U de C et aun zéro de f: Ou bien a est un zéro isolé de f , ou bien f est nulle dans lacomposante connexe de a dans U:

Remarque 29 Si U est connexe, les zéros peuvent s�accumuler sur un pointfrontière, ex f(z) = sin(1=z) dans U = C�:

Corollaire 30 (Principe du prolongement analytique) Soient f et g deuxfonctions analytiques dans un ouvert connexe U de C. S�il existe une suite (an)de points du U; de limite a 2 U telle que f(an) = g(an) pour tout n; alors f = gdans U:

Plus généralement, si f est dé�nie et analytique dans un ouvert U; on appelleprolongement analytique de f toute fonction dé�nie et analytique dans un ouvertU 0 contenant U et qui coïncide avec f sur U: Si U 0 est connexe, le prolongementanalytique est évidemment unique.Soit f une fonction dé�nie et analytique dans un ouvert U de C. On sait que

f(z) =+1Xn=0

f (n)(a)

n!(z � a)n

dans un disque su¢ samment petit centré en a; appelons le D1: Cette série,notons g(z) sa somme, converge absolument dans D1 mais a priori son disquede convergence D2 contient D1: Soit � le disque, compris entre D1 et D2 dé�nicomme le plus grand disque de centre a; contenu dans U; dans lequel la sérieconverge. f est analytique dans � (puisque dans U), de même pour g (puisquedans D2 d�après le théorème 26). De plus f = g dans D1: En vertu du principedu prolongement analytique, � étant connexe, on a f = g dans �: La série deTaylor représente donc f dans le plus grand disque ouvert contenu dans U oùelle converge. Reste à savoir jusqu�où elle converge....

Exercice 19 : Montrer que f(z) =1

zest analytique sur C�; qu�en est-il de

g(z) = Re(z) ? (pour cette dernière, on pourra donner au moins 2 méthodes

indirectes en utilisant ce qui précède).

Exercice 20 : Existe-t-il une fonction f analytique au voisinage de 0 telle

f(1

n) = e�n ?

Exercice 21 : Existe-t-il une fonction f analytique au voisinage de 0 telle

f(1

2n) = f(

1

2n+ 1) =

1

nlorsque n tend vers +1 ?

Exercice 22 : a) Soit f une fonction analytique dans le disque D(0; 1) et pre-nant des valeurs réelles en une suite de points distincts (an) de R qui tend vers0. Montrer que f(z) = f(z) dans D:b) On suppose de plus que la suite (an) est strictement décroissante et que

f(a2n) = f(a2n+1) pour tout n � 0: Déduire de a) que f est constante dans D:c) Montrer, à l�aide d�un exemple, la nécessité de l�hypothèse : (an) stricte-

ment décroissante.

Exercice 23 : Ecrire le développement des fonctions cosh z puis sinh z � i eni�2 (resp. en �

i�2 ):

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2.2 Fonctions holomorphes

Un ouvert U de C s�identi�e à un ouvert de R2 modulo la bijection (x; y) 7!x + iy: Si f est une fonction dé�nie sur U; on peut donc la regarder commefonction de deux variables réelles, par abus de notation on la note indi¤érem-ment f: On examine d�abord le rapport entre dérivabilité au sens complexe etdi¤érentiablité en tant que fonction des variables réelles x et y:

Proposition 31 : Soit f une fonction dé�nie au voisinage de a = �+ i� 2 U:Les conditions suivantes sont équivalentesi) f est dérivable en a:ii) f est di¤érentiable en (�; �) et on a : f 0y(a) = if 0x(a)

Pour des raisons de commodité qui apparaîtront plus loin, nous incluronsdans la notion de fonction holomorphe la continuité de la dérivée f 0: Il en estde toute façon ainsi (on verra qu�une fonction dérivable au sens complexe est enfait C1, toujours au sens complexe, via le fait qu�elle est analytique, ce que l�onpeut démontrer, mais c�est plus délicat, sans supposer a priori la continuité dela dérivée.....pour un tel exposé, voir Cartan, Rudin,Tauvel)

Dé�nition 32 : On dit que f est holomorphe dans U s�il existe une fonctioncontinue f 0 dans U telle que

f(z + h) = f(z) + f 0(z)h+ o(h) (2)

quand h = u+ iv tend vers 0 par valeurs complexes.

Il revient au même de dire que la fonction f admet une dérivée au senscomplexe

f 0(z) = limh!0

f(z + h)� f(z)h

et que celle-ci est continue.

Proposition 33 : Les fonctions holomorphes dans U sont les fonctions f qui,regardées comme fonctions des 2 variables x et y; sont de classe C1 dans U etvéri�ent l�égalité (dite de Cauchy-Riemann) : f 0y = if 0x:

En e¤et, il su¢ t d�utiliser ce qui précède et de se rappeler qu�une fonction deplusieurs variables est C1 (dé�nition !) si ses dérivées partielles sont continues,ce qui est le cas ici.On en déduit, modulo les règles usuelles concernant le calcul des dérivées par-

tielles, que la somme, le produit, le quotient (là où le dénominateur ne s�annulepas) et la composée de deux fonctions holomorphes, sont holomorphes.

Exercice 24 : a) On pose f = P + iQ où les fonctions P et Q sont réelles. Quedevient la condition de Cauchy-Riemann si on l�exprime à l�aide des fonctionsP et Q ?b) Calculer, en fonction de dx et dy; les di¤érentielles dz et dz; puis la

di¤érentielle df comme combinaison linéaire de dz et dz: En déduire que lacondition de Cauchy-Riemann peut s�écrire : @f@z = 0; après avoir donné un sensà cette dernière expression.

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Exercice 25 : On suppose f holomorphe dans un ouvert connexe non videU; avec de plus f 0(z) = 0: Montrer que f est constante dans U (indication :commencer par le faire dans une boule ouverte centrée en un point z0 de U):

Exercice 26 : On suppose f holomorphe dans un ouvert connexe non vide U:Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :i) f est constante dans U:ii) Re(f) est constante dans U:iii) Im(f) est constante dans U:iv) jf j est constante dans U:v) f est holomorphe dans U:

Exercice 27 : Soient U un ouvert connexe non vide de C; f et g deux fonctionsholomorphes dans Ua) On suppose que f(z) + g(z) 2 R pour tout z 2 U: Montrer qu�il existe

c 2 R tel que f(z) + c = g(z) pour tout z 2 U:b) On suppose que g ne s�annule pas sur U et que f(z)g(z) 2 R pour tout

z 2 U: Montrer qu�il existe c 2 R tel que f(z) = cg(z) pour tout z 2 U:

2.3 Analycité des fonctions holomorphes

Ce qui précède prouve que toute fonction analytique dans U y est holo-morphe. Nous allons maintenant étudier la réciproque.

Théorème 34 : Soit f une fonction holomorphe dans le disque ouvert D(0; R):Alors f admet dans ce disque un développement en série absolument convergente

f(z) =+1Xn=0

anzn

f est donc analytique dans ce disque d�après le théorème 26.

Ce théorème est la conséquence d�un résultat plus général disant ceci

Proposition 35 : On suppose f holomorphe dans la couronne circulaireR0 < jzj < R00: Elle admet alors dans cette couronne un développement ab-solument convergeant de la forme

f(z) = :Xn2Z

anzn

Noter qu�on obtient ici une représentation �globale�de f sous forme de série.Cette dernière s�appelle la série de Laurent de f: Il faut bien voir que la non-existence d�une expression de f sous forme de série entière, à savoir la présencede termes en 1

z dans la série de Laurent, provient du fait que la fonction n�estpas holomorphe au voisinage de 0 (ce que traduit la restriction à une couronnedu domaine d�holomorphie de la fonction, de la même façon qu�on traduit lanotion d�holomorphe au voisinage de a 2 C par "holomorphe dans un disquecentré en a"):

Remarque 36 : Noter que dans cette démonstration, on a utilisé à deux re-prises le fait que f est C1:

13

On peut maintenant répondre à la question posée à la �n du premier para-graphe de ce chapitre.

Théorème 37 : Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert U de C et aun point de U . Alors f est analytique dans U; la série de Taylor de f en aconverge et représente f dans le plus grand disque ouvert de centre a contenudans U:

En e¤et, soit D(a;R) le plus grand disque de centre a contenu dans U ; parcomposition, la fonction g dé�nie par

z 7�! a+ z 7�! f(a+ z)

est holomorphe dans D(0; R) et s�écrit donc

g(z) =+1Xn=0

anzn;

série convergeant absolument dans le disque D(0; R): D�où, en posant a+ z = u

f(u) =+1Xn=0

an(u� a)n;

série convergeant absolument dans le disque D(a;R): Or au voisinage de a;la seule série entière susceptible de représenter f est sa série de Taylor en a:Conclusion : cette dernière converge absolument dans le plus grand disque ouvertcentré en a et contenu dans U:

Dé�nition 38 : On appelle fonction entière toute fonction dé�nie et holo-morphe dans C tout entier.

Théorème 39 (Liouville) : Toute fonction entière bornée est constante. Plusgénéralement, si une fonction entière véri�e f(z) = O(zn) à l�in�ni, c�est unpolynôme de degré n au plus.

Théorème 40 (d�Alembert-Gauss) : Tout polynôme (de C [X]) de degré � 1possède au moins une racine complexe.

Exercice 28 : Soit f une fonction holomorphe et non nulle en a 2 C véri�ant(pour simpli�er) f(a) = 1: Montrer que le développement de g = 1=f en a estdonné par

g(z) = 1� f 0(a)(z � a) + (f 0(a)2 � f 00(a))(z � a)2 +O((z � a)3):

2.4 Le principe du maximum

Soit f une fonction dé�nie et holomorphe dans un ouvert U de C.Comme corollaire du théorème, on peut véri�er que la valeur de f en un

point a de U est égale à la valeur moyenne de f sur la circonférence de toutdisque de centre a contenu dans U:

Dé�nition 41 : On dit que f admet un maximum local en un point a de U sil�on a jf(z)j � jf(a)j dans un disque ouvert de centre a:

14

Théorème 42 : Soit f une fonction dé�nie et holomorphe dans un ouvertconnexe U . Si f possède un maximum local en un point a de U; elle est constantedans U:

Pour une partie A de C et une fonction f dé�nie et bornée sur A, on note

kfkA = supz2A

jf(z)j :

Corollaire 43 : Soient U un ouvert connexe de C (on dit que U est un do-maine) que l�on suppose en outre borné, U son adhérence et @U = U � U safrontière. On suppose que f est une fonction dé�nie et continue dans U; holo-morphe dans U: On a

kfkU = kfk U = kfk@U :

Remarque 44 : on peut montrer que ce résultat subsiste, même si l�on nesuppose plus U borné.

Exercice 29 : On suppose f analytique dans le disque jzj < R: Pour 0 < r < R;on pose

M(r) = supjzj=r

jf(z)j :

Montrer que si f n�est pas constante, M(r) est une fonction strictement crois-sante de r:

Exercice 30 : Soit f une fonction analytique dans un ouvert U; et K une par-tie compacte contenue dans U; d�intérieur connexe. Montrer que Re f(z) (resp.Im f(z)) atteint ses extrema sur la frontière de K:

Exercice 31 (lemme de Schwarz) : On suppose f analytique dans le disquejzj < 1 véri�ant de plus f(0) = 0 et jf(z)j � 1:i) Montrer que jf(z)j � jzj pour jzj < 1 (commencer par montrer, en utilisant

le principe du maximum, que pour tout r < 1 : jf(z)j � jzjr pourvu que jzj � r)

ii) Montrer que si l�égalité a lieu pour un certain z0; c�est que f(z) = �z où� est une constante de module 1.

Exercice 32 : Soit f une fonction analytique dans le disque ouvert jzj < R:a) On suppose que pour une valeur de r (0 < r < R); la fonction � 7!��f(rei�)�� est constante et que f(z) 6= 0 pour jzj < r: Montrer que f est constante

(utiliser l�exercice 29).b) On suppose que f prend des valeurs réelles sur le cercle jzj = r, avec

toujours 0 < r < R: Montrer que f est constante (poser g = eif et utiliser a) ).

Exercice 33 : Montrer que si f est analytique dans jzj > R et que limjzj!+1

f(z)

existe, alors sa série de Laurent est une série entière en1

z.

15

Exercice 34 : Soit f une fonction analytique dans l�extérieur d�un disque :jzj > R telle que lim

jzj!+1f(z) existe. Soit r > R; montrer que jf(z)j �M(r) (cf

exercice 29) pour jzj > r et que si f n�est pas constante, M(r) est une fonctionstrictement décroissante de r.

Exercice 35 : Soit f un polynôme de degré n: Montrer que si 0 < r1 < r2; ona

M(r1)

rn1� M(r2)

rn2:

Exercice 36 : Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert contenant lacouronne fermée r1 � jzj � r2: Montrer que

M(r) �M(r1)

ln r2 � ln rln r2 � ln r1M(r2)

ln r � ln r1ln r2 � ln r1

(théorème des trois cercles d�Hadamard). (Commencer par appliquer le principedu maximum à la fonction zpf(z)q avec p entier et q entier positif, choisirensuite � réel tel que r�1M(r1) = r�2M(r2) et l�exprimer comme limite d�une

suite de rationnelspnqnavec qn > 0):

Exercice 37 : On veut montrer que

kfkU = kfk@Uen supposant simplement que U est un ouvert connexe (pas nécessairementborné) de C, f étant une fonction dé�nie, continue et bornée dans U:a) Montrer que dans ces conditions

kfkU = kfkU et kfk@U � kfkU :

On suppose de plus f holomorphe dans U:b) Commencer par traiter le cas où f tend vers 0 à l�in�ni (dans ce cas, pour

tout " > 0; l�inégalité jf(z)j � " dé�nit une partie compacte de U):c) Dans le cas général, prouver d�abord qu�il su¢ t de montrer que

kfk@U � 1 =) kfkU � 1:

d) On suppose f non constante dans U (dans le cas contraire, le résultatcherché est évident) et on raisonne par l�absurde en supposant qu�il existe a 2 Utel que jf(a)j > 1: Montrer qu�il existe r > 0 et M > 1 tel que M = sup

z2Djf(z)j

où D désigne le disque jz � aj � r:e) On considère la suite de fonctions

fn(z) =rf(z)n

Mn(z � a)

dans l�ouvert V = U �D: En utilisant b), montrer que jfn(z)j � 1 dans V:f) En déduire que jf(z)j �M dans V et donc dans U .g) Par le principe du maximum, prouver que f est constante dans U: Conclure.

16

2.5 Opérations sur les séries de Laurent

On peut manipuler les séries de Laurent comme les séries entières : en e¤etune telle série est a priori dé�nie dans une couronne R < jzj < R0 où elleconverge absolument. Si on prend la précaution de se placer dans une couronneoù 2 séries convergent, on peut y réaliser des opérations comme la somme, leproduit etc... grâce au groupement des termes autorisé dans une série doubleabsolument convergente.On peut également les dériver terme à terme en les considérant comme

somme d�une série entière g en z convergeant pour jzj < R0 et d�une série

entière h en1

zconvergeant pour

����1z���� < 1

R

f(z) = g(z) + h(1

z):

D�après la règle de dérivation des fonctions analytiques composées, on en déduit

f 0(z) = g0(z)� h0(1z)� 1

z2:

Posons alors g(z) =Pn�0

anzn et h(z) =

Pn�1

a�nzn: On obtient

f 0(z) =Xn�0

nanzn�1 �

Xn�1

na�nz�n+1�2

=Xn�0

nanzn�1 +

Xn��1

nanzn�1

=X

nanzn�1

en remarquant que la série obtenue ne comporte pas de terme en1

z; ce qui va

apporter une di¤érence (par rapport aux séries entières) dans le traitement desprimitives : le problème n�a pas de solution si la série de Laurent dont on cherche

une primitive possède un terme en1

z:

Exercice 38 : On pose f(z) = 11�z2 +

13�z : Déterminer les développements de

Laurent de f pour, respectivement

jzj < 1;1 < jzj < 3;jzj > 3:

2.6 Le logarithme d�un nombre complexe

On a vu dans le prologue que la fonction exponentielle était un morphismesurjectif de C sur C�; mais non injectif, de noyau 2�iZ: En particulier toutz 2 C� s�écrit sous la forme reit où t est unique, à un multiple près de 2�: Onappelle t (improprement) l�argument de z:A priori, on souhaite dé�nir "le" logarithme d�un nombre complexe z comme

"le" nombre u véri�antu = log z , z = eu:

17

Le problème, comme pour Arc sin dans le domaine réel, c�est que l�on ne peutdé�nir ainsi une fonction, puisque pour une valeur de z; il y a une in�nité devaleurs de u:Ecrivant

z = jzj ei arg(z)

= exp(ln jzj) exp(i arg(z))= exp(ln jzj+ i arg(z));

la relation précédente nous indique que la fonction log cherchée doit se présentersous la forme

log(z) = ln jzj+ i arg(z);

avec au minimum (on ambitionne de récupérer une fonction holomorphe), unefonction z 7! arg(z) continue.L�idée naturelle est donc d�inverser la bijection (passage en coordonnées po-

laires) : (r; �)�7�! (r cos �; r sin �) de ]0;+1[� [��; �[! R2 � f(0; 0)g :

Problème : cette bijection n�est pas un homéomorphisme, puisque la bijectionréciproque n�est pas continue en n�importe quel point de R�; la demi-droite desréels négatifs. Par contre, si l�on considère l�intervalle ouvert ]��; �[ ; ce quirevient à "ôter" la demi-droite en question, alors � est un C1-di¤éomorphismede ]0;+1[ � ]��; �[ sur R2 � R� (bijection C1; étale en chaque point) et onpeut calculer la fonction arg par la formule :

� = 2Arc tany

x+px2 + y2

;

qui est bien dé�nie puisque x+px2 + y2 = 0, (x; y) 2 R� et à valeurs dans

]��; �[ : On a donc, pour tout � 2 ]��; �[ :

� = 2Arc tansin �

cos � + 1:

Proposition 45 : La fonction f , dé�nie pour z 2 C� R�; par

f(z) = ln jzj+ i�(z)

avec �(z) = 2Arc tan Im zRe z+jzj ,est une bijection C1 de C � R� sur la bande

horizontale B dé�nie par �� < Imu < �: La bijection inverse est la fonctionexp :

Poursuivant l�analogie avec le domaine réel et le fait que exp est un mor-phisme, on peut se poser la même question pour f = ln, qu�on notera de cettefaçon parce qu�il prolonge le logarithme sur R�+. En vue une relation entre ln(zz0)et ln(z)+ ln(z0). La réponse est ici (partiellement) négative, ainsi que le montreles deux exemples suivants :

Exemple 46 : ln(i) = �i2 mais ln(i

2) n�a pas de sens.

Exemple 47 : ln(j2) = � 2�i3 6= 2 ln(j) = 4�i

3 :

18

On a malgré tout, si le premier membre a un sens :

ln(zz0) = ln(z) + ln(z0) + 2k�i;

avec k 2 f1; 0;�1g :

Proposition 48 : La fonction ln ainsi dé�nie sur C � R� est holomorphe eton a, pour jzj < 1 :

ln(1 + z) =+1Xn=1

(�1)n�1n

zn:

Proposition 49 : Toute fonction g dé�nie et continue dans C� R�; véri�antexp(g(z)) = z pour tout z; est de la forme gk = ln+2�ik pour un certain entierk:

On a donc à faire à une in�nité de "déterminations" du logarithme, indexéespar la formule gk(z) = ln z + 2�ik; à partir de celle qui est quali�ée de "princi-pale"

ln z = ln jzj+ i arg(z) où arg(z) 2 ]��; �[ :On peut noter qu�une détermination particulière dans C�R� est entièrement

�xée par la connaissance de sa valeur en un point réel x > 0; puisque l�équation

g(x) = lnx+ 2k�i

donne un unique k 2 Z: Ainsi, prendre la détermination qui coïncide avec lelogarithme usuel sur R�+; revient à choisir la détermination principale.

Remarque 50 : On pourrait de la même façon "ôter" une autre demi-droited�origine 0; par exemple R+; et considérer la fonction logarithme, dans un autreouvert cette fois, avec une détermination principale correspondant à un choixd�argument dans ]0; 2�[ :

A partir de la détermination principale du logarithme, on peut dé�nir, pours 2 C; la détermination principale de la fonction zs = exp(s ln z): Les autresdéterminations de zs s�en déduisent par multiplication d�un facteur e2�iks: Sis est entier, cela signi�e qu�il n�y a qu�une détermination de zs; pour z = p=qrationnel, qu�il y a q choix possibles, en�n qu�il y en a une in�nité si s estirrationnel.On a les formules suivantes

zs+t = zszt;

(zs)t = zst à condition que zs 2 C� R�;d

dz(zs) = szs�1;

(1 + z)s =+1Xn=1

s(s� 1)::::(s� n+ 1)n!

zn pour jzj < 1;

mais attention(zz0)s = zsz0s

n�est vraie que si �� < arg z + arg z0 < �:

19

Exercice 39 : On veut dé�nir la quantité�zi

�1=2pour z dans le demi-plan

Im(z) > 0; montrer qu�on �xe une racine en imposant la propriété suivante :

pour z = it; la quantité�zi

�1=2doit coïncider avec la racine carrée positive de t:

Ce choix de la racine carrée permet-il de calculer (iz)1=2 ? Calculer le produit�zi

�1=2 � z0i

�1=2pour z = �+ i; z0 =

�i

�+ ipour � 2 R:

Exercice 40 : Calculer les nombres complexes suivants, en indiquant les di¤é-rentes déterminations

(1 + i)1=2; (1 + j)1=2; i3=2; ii; ji+1:

2.7 Points singuliers et fonctions méromorphes

Nous étudions maintenant une fonction holomorphe au voisinage d�un pointa, sauf au point a lui-même. Un tel point est appelé point singulier isolé. D�aprèsle théorème 35, on peut écrire f sous forme d�un développement de Laurent dansune couronne 0 < jz � aj < r

f(z) =Xn2Z

an (z � a)n :

Deux cas possibles :a) Il existe une in�nité de n < 0 tels que an = 0 : le point a est un point

singulier essentiel.b) Il existe un entier �p tel que an = 0 pour tout n < �p et a�p 6= 0: On

dit alors que a est un pôle d�ordre p de f: On peut écrire

f(z) = (z � a)�pg(z)

où g est holomorphe dans jz � aj < r et ne s�annule pas au voisinage de a; cequi montre en particulier qu�il ne peut y avoir dans ce cas de zéro au voisinaged�un pôle.

Exemple 51 : h holomorphe dans un ouvert connexe U � C, Z l�ensemblediscret de ses zéros. Dans l�ouvert U �Z; on pose f(z) = 1

h(z) : Si a est un zérod�ordre p de h; on a

h(z) = (z � a)p�(z)

où �(a) 6= 0; � holomorphe et non nulle sur un voisinage de a: On peut doncécrire

f(z) = (z � a)�p (z)

avec (a) = �(a)�1 6= 0 et holomorphe dans un voisinage de a: f admet doncun pôle d�ordre p en a:

Dé�nition 52 Une fonction méromorphe dans un domaine U est une fonctiondé�nie et analytique dans U �D où D est une partie discrète de U (pour touta 2 D; il existe un disque ouvert centré en a ne contenant pas d�autre pointde D autre que a) et possédant en chaque point de D un pôle (et non pas unesingularité essentielle).

20

Exemple 53 : les fractions rationnelles en z; la fonction 1sin z (dont les pôles,

simples, sont les points n�); la fonction 1ez�1 ; :::::

L�ensemble des fonctions méromorphes dans un domaine peut être munid�une structure de corps. Pour cela, notons P (f) (resp. Z(f) ) l�ensemble despôles (resp. des zéros) de la fonction f: Dans U�P (f)[P (g); on peut considérerles fonctions holomorphes z ! f(z) + g(z) et z ! f(z)g(z): On désigne alorspar f + g et fg les fonctions qui s�obtiennent en prolongeant analytiquementf(z)+g(z) et f(z)g(z) à ceux des points de P (f)[P (g) qui ne sont pas réellementdes pôles de la fonction considérée. De même si f n�est pas identiquement nulle,

on considère1

f(z)dans U � P (f) [ Z(f) et on prolonge analytiquement aux

points de P (f) [ Z(f) qui ne sont pas des pôles pour 1f(ce sont les points de

P (f) ). On a évidemment

Z(1

f) = P (f) et P (

1

f) = Z(f):

Exemple 54 : f(z) = 1z�1 ; g(z) =

1(z�1)(z�2) : On a P (f) = f1g ; P (g) =

f1; 2g ; mais P (f + g) = f2g puisque f(z) + g(z) = 1z�2 :

Moins trivial : f(z) = 2sin�z possède (entre autres) un pôle simple en z = 1

et en z = 2; g(z) = 1sin �z

2possède un pôle simple en z = 2: La somme f + g

possède en z = 1 un pôle simple, mais en z = 2 un zéro simple.

Exercice 41 : Soit P une fonction holomorphe et non nulle en un point a 2 Cet Q une fonction holomorphe possédant en a un zéro double. Montrer que ledéveloppement de Laurent de la fonction f = P=Q au voisinage de a est de laforme

f(z) =A

(z � a)2 +B

z � a +O(1)

où

A =2P (a)

Q00(a)et B =

2

3

3P 0(a)Q00(a)� P (a)Q000(a)Q00(a)2

:

Exercice 42 : Soit f une fonction holomorphe au voisinage de a 2 C où ellepossède un zéro d�ordre r: En écrivant

f(z) = �(z � a)r�1 + �(z � a) + (z � a)2 +O(z � a)3

�;

montrer que g = 1=f admet au voisinage de a un développement en série deLaurent, de la forme

g(z) =��1

(z � a)r ���1�

(z � a)r�1 +��1(�2 � )(z � a)r�2 +O((z � a)r�3):

Application : On pose, pour a 2 R

f(z) =eiaz

ch(z) + 1:

Est-elle holomorphe, méromorphe dans C ? Quels sont ses pôles ?Montrer

21

qu�au voisinage de �i

f(z) = � 2e��a

(z � �i)2 �2iae��a

(z � �i) + (a2 +

1

6)e��a +O(z � �i):

Exercice 43 : En partant des fonctions cos z et ez; donner un exemple de 2fonctions méromorphes possédant chacune un pôle double en 0, mais dont lasomme ne possède qu�un pôle simple en 0.

Exercice 44 : a) On pose

f(z) =sin z � 1cos z

:

f est-elle holomorphe, méromorphe dans D(0; 2) (disque centré en 0 et derayon 2 ) ? Préciser l�ordre de ses zéros et pôles éventuels.b) même question pour

g(z) =cosh z + 1

sinh z

dans D(0; 4):c) même question pour

h(z) =cosh z

sinh z � i

dans D(0; 2):

2.8 La formule de Cauchy pour un cercle et les suites defonctions holomorphes

2.8.1 Chemins et intégrales curvilignes

Dé�nition 55 : On appelle chemin dans C toute application continue : I =[a; b] �! C qui est C1 par morceaux. (a) est l�origine du chemin, (b) sonextrémité. Si (a) = (b); le chemin est appelé un lacet.

On appelle chemin opposé à et on note 0 le chemin : t �! (a+ b� t):Etant donnés deux chemins 1 et 2 (dé�nis respectivement sur les intervalles

[a; b] et [c; d] ) tels que 1(b) = 2(c); on appelle juxtaposition de ces 2 cheminset on note = 1 _ 2 le chemin : [a; b+ d� c] dé�ni par

(t) =

� 1(t) si t 2 [a; b]

2(t� b+ c) si t 2 [b; b+ d� c]

Exemple 56 : voici un lacet obtenu par juxtaposition de 3 chemins

1(t) = t pour t 2 [0; 1] ; 2(t) = (1� t) + it pour t 2 [0; 1] ; 3(t) = i(1� t) pour t 2 [0; 1] :

Exemple 57 : si a 2 C; l�application t 7�! a + reint représente le cercle decentre a et de rayon r parcouru n fois (n = 1 pour le cercle parcouru dans lesens direct, n = �1 pour le cercle parcouru dans le sens rétrograde)

22

Gardant les mêmes notations, on dit que 1 et 2 sont équivalents s�il existeune bijection croissante � de [c; d] dans [a; b] ; C1 par morceaux ainsi que saréciproque, telle que 1 ��(t) = 2(t). En particulier, le chemin : t �! (�t+�)où � > 0 est équivalent à ; montrant ainsi qu�on peut, à équivalence près,ne considérer que les chemins dé�nis dans un intervalle �xe de R, par exemple[0; 1] :Soit f une fonction continue sur (I): La fonction t �! f( (t)) 0(t) est

continue par morceaux sur l�intervalle I; donc intégrable. On appelle intégralede f le long du chemin le nombreZ

f(z)dz =

ZI

f( (t)) 0(t)dt:

Exemple 58 : l�intégrale de f sur le cercle C(a; r) s�écrit

Z

f(z)dz =

2�Z0

f(a+ reit)ireitdt:

D�après la formule du changement de variable, si 1 et 2 sont 2 cheminséquivalents, alors Z

1

f(z)dz =

Z 2

f(z)dz:

Si jf(z)j �M pour tout z 2 (I); on a la majoration����Z

f(z)dz

���� �M

ZI

j 0(t)j dt =ML( )

où L( ) n�est autre que la longueur du chemin.En�n si résulte de la juxtaposition de 2 chemins 1 et 2; on aZ

f(z)dz =

Z 1

f(z)dz +

Z 2

f(z)dz:

Exercice 45 : On considère une fonction f méromorphe, possédant en 0 unpôle simple.a) Ecrire l�intégrale de f le long d�un demi-cercle de centre 0 et de rayon

r; dans le demi-plan Im z > 0; orienté dans le sens direct, en déduire que����Z

f(z)dz

���� � �rM(r);

où M(r) = supjzj=r

jf(z)j :

b) Montrer que quand r �! 0; l�intégrale tend vers �ia�1; où a�1 désigne lecoe¢ cient de 1=z dans le développement de Laurent de f en 0:c) On pose f(z) = eiz

z : Montrer que quand r �! +1; l�intégrale tend vers0 (utiliser l�exercice 5).

Exercice 46 : On pose f(z) =eiaz

sinh zet on considère les segments de droite

1 (resp. 2) joignant les points d�a¢ xe R et R + iA où A est un réel positif�xé (resp. �R et �R+ iA).

23

a) Montrer que si R �! +1, l�intégrale de f le long du chemin 1(resp: 2)tend vers 0:b) Ecrire l�intégrale de f le long du contour formé par le rectangle de

sommets �R; �R + i�; en faisant en sorte que les pôles de la fonction restentà l�extérieur du rectangle (les contourner par des demi-cercles).

2.8.2 La formule de Cauchy

Soit f une fonction holomorphe au voisinage de 0. On peut écrire, pourjzj < R

f(z) =+1Xn=0

anzn

avec

anrn =

1

2�

2�Z0

f(rei�)e�ni�d�

pour tout r < R: Fixons un tel r et soit z véri�ant jzj < r: En écrivant f sousla forme

f(z) =+1Xn=0

anrn�zr

�n

=1

2�

+1Xn=0

2�Z0

f(rei�)� z

rei�

�nd�

et en intervertissant l�intégrale et la série (convergence normale en �; f étantbornée sur le cercle de rayon r); on obtient

f(z) =1

2�

2�Z0

f(rei�)rei�

rei� � z d�

ou encore, sous forme d�intégrale curviligne

f(z) =1

2�i

ZC(0;r)

f(u)

u� z du

montrant par là qu�on peut calculer f à l�intérieur du disque de rayon r enfonction de ses valeurs sur la frontière de ce disque (formule de Cauchy pour lecercle). On peut écrire également (en partant des dérivées de f qui s�obtiennenten dérivant la série initiale terme à terme) une formule analogue pour la dérivée

24

p-ième de f :

f (p)(z) =Xn�p

n(n� 1):::::(n� p+ 1)anzn�p

=Xn�p

n(n� 1):::::(n� p+ 1)r�p�zr

�n�p 12�

2�Z0

f(rei�)e�ni�d�

=1

2�

2�Z0

f(rei�)(rei�)�pXn�p

n(n� 1):::::(n� p+ 1)( z

rei�)n�pd�

=p!

2�

2�Z0

f(rei�)rei�

(rei� � z)p+1d�

puisque Xn�p

n(n� 1):::::(n� p+ 1)un�p = p!

(1� u)p+1

pour juj < 1: Finalement on peut écrire

f (p)(z) =p!

2�i

ZC(0;r)

f(u)

(u� z)p+1du:

Réciproquement, on peut montrer que si g est une fonction continue sur lecercle jz � z0j = r et f dé�nie par l�intégrale

f(z) =

ZC(z0;r)

g(u)

u� z du; (3)

alors f est analytique dans C privé du cercle jz � z0j = r, ses dérivées successivess�obtenant en dérivant formellement par rapport à z

f (p)(z) = p!

ZC(z0;r)

g(u)

(u� z)p+1du:

Il s�agit en e¤et de montrer que pour tout a =2 C(z0; r); f est développableau voisinage de a: Pour cela écrivons � = d(a;C(0; r)) et posons jz � aj = q�avec 0 � q < 1 pour un z du disque ouvert. On a alors

1

u� z =1

(u� a)(1� z�au�a )

=+1Xn=0

(z � a)n(u� a)n+1

série convergente puisque le terme général est majoré par qn

� (vu que ju� aj � �

25

8u 2 C(z0; r) ). On calcule alors

f(z) =

2�Z0

g(z0 + rei�)irei�

+1Xn=0

(z � a)n

(z0 + rei� � a)n+1d�;

=+1Xn=0

(z � a)n2�Z0

g(z0 + rei�)irei�

(z0 + rei� � a)n+1d�;

=+1Xn=0

(z � a)nZ

C(z0;r)

g(u)

(u� a)n+1du;

puisque la majoration par qn

� jointe à celle de g sur le cercle, montre qu�il y aconvergence normale par rapport à � et qu�on peut donc intervertir

RetP:

Utilisant ensuite le fait que le développement trouvé ne peut être que celuide Taylor, on obtient la formule pour f (p)(a):

2.8.3 Le théorème de Weierstrass

Cette �réciproque�de la formule de Cauchy nous permet d�établir le résultatimportant qui suit (autorisant à dire à quelles conditions la limite d�une suitede fonctions holomorphes est elle-même holomorphe).

Théorème 59 : Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes dans un ouvertU � C; convergeant uniformément sur tout disque fermé contenu dans U versune limite f: Alors f est holomorphe dans U et pour tout k � 1; la suite (f (k)n )converge elle-même uniformément sur tout disque fermé contenu dans U; versf (k):

Exercice 47 : Soit f une fonction holomorphe et de période 1 dans la bandeouverte B : a < Im(z) < b:a) Montrer que f possède un développement de la forme

f(z) =Xn2Z

ane2�inz

avec des coe¢ cients

an =

1Z0

f(x+ iy)e�2�in(x+iy)dx;

b) Montrer que la convergence de cette série est normale dans toute bandefermée B0 contenue dans la bande ouverte et en déduire que les dérivées de fs�obtiennent en dérivant terme à terme la série ci-dessus, en d�autres termes

f (p)(z) =Xn2Z

an(2�in)pe2�inz:

Exercice 48 : On se propose de prouver l�égalité

�2

sin2 �z=Xn2Z

1

(z + n)2:

26

a) Montrer que f(z) =�2

sin2 �zest méromorphe dans la bande verticale �1

2

� Re(z) < 1

2avec un unique zéro double en 0.

b) Montrer qu�il en est de même de g(z) =Pn2Z

1

(z + n)2:

c) En déduire que la di¤érence est holomorphe dans la bande, donc entièrepar périodicité.d) Montrer que les fonctions f et g tendent vers 0 quand Im(z) tend vers

+1 dans la bande.e) En déduire l�égalité cherchée (on peut également véri�er que la di¤érence

s�annule pour z = 0; mais cela ne su¢ t pas à remplacer l�argument d) ).

2.8.4 Application au produits in�nis

Nous aurons tout d�abord besoin du résultat suivant :

Lemme 60 : SoitPun une série absolument convergente telle que 1+ un 6= 0

pour tout n: Alors la suite

pn = (1 + u1)(1 + u2):::::(1 + un)

tend vers une limite p 6= 0:

Nous pouvons maintenant utiliser le théorème de Weierstrass pour établirl�holomorphie d�une fonction donnée par un produit in�ni.

Théorème 61 : Soit (un(z)) une suite de fonctions holomorphes dans un do-maine U: On suppose que la série

Pun(z) converge normalement sur tout com-

pact de U: Alors la fonction

p(z) =Y(1 + un(z))

est holomorphe dans U: Les points où elle s�annule sont ceux où l�un au moinsdes facteurs du produit s�annule et on a

p0(z)

p(z)=X u0n(z)

1 + un(z)

pour tout z 2 U tel que p(z) 6= 0:

Exercice 49 : Montrer que la dernière assertion du théorème qui précède peutêtre reformulée comme suit : la série de terme général u0k(z)

1+uk(z)converge nor-

malement sur tout disque fermé contenu dans U; vers p0n(z)pn(z)

(en prenant soind�éliminer les points où les facteurs 1 + un(z) sont susceptibles de s�annuler).Indication : reprendre la �n de la démonstration du théorème de Weierstrassavec 2 disques concentriques D1(0; r) et D2(0; R) et prouver une majoration dela forme u0n

1 + un

D1

� 2R

R� r kunkD2:

27

Exercice 50 : On considère la fonction 2�-périodique dé�nie sur [��; �] par

f(x) = cos zx

où z est un nombre complexe non entier.a) Calculer ses coe¢ cients de Fourier et justi�er les formules

� cot�z =1

z+ 2z

+1Xn=1

1

z2 � n2

�

sin�z=

1

z+ 2z

+1Xn=1

(�1)nz2 � n2

b) Montrer que la fonction f(z) = z+1Qn=1

(1 � z2

n2) représente une fonction

entière, s�annulant si et seulement si n 2 Z: Montrer que pour z non entier

f 0(z)

f(z)=(sin�z)0

sin�z

et en déduire que f(z) = c sin�z:

c) En considérant la limite du rapportf(z)

zquand z tend vers 0, conclure

�nalement que

sin�z = �z+1Yn=1

(1� z2

n2):

3 La théorie de Cauchy

3.1 Lien avec les primitives

Soient un chemin contenu dans un ouvert U et f une fonction dé�nie etcontinue dans U: Si f est la dérivée, au sens complexe, d�une fonction F; alorson sait que F est analytique.Sauf pour un nombre �ni de valeurs de t; f( (t)) 0(t) est la dérivée de

F ( (t)); on a donc Z

f(z)dz = F ( (b))� F ( (a)):

En particulier, si f est une fonction holomorphe dans U et y admettant uneprimitive (au sens complexe), alors l�intégrale de f le long de tout lacet contenudans U est nulle.C�est un fait remarquable que cette condition soit su¢ sante si U est connexe.

Théorème 62 : Soit U un domaine (= ouvert connexe) de C. Pour qu�unefonction f holomorphe dans U y admette une primitive, il faut et il su¢ t queZ

f(z)dz = 0

28

pour tout lacet contenu dans U: S�il en est ainsi, toute primitive F de fs�obtient par la formule

F (z) = C +

Z�(z)

f(u)du

où �(z) est un chemin quelconque dans U; d�origine un point �xe arbitrairez0 2 U et d�extrémité z: La di¤érence de deux primitives de f dans U estconstante.

Remarque : la nécessité d�un ouvert U connexe intervient pour établir laformule donnant F ; en e¤et, il faut que 2 points quelconques de U puissentêtre joints par un chemin (en fait par une ligne brisée), or ceci est vrai pour unouvert connexe (par contre un fermé connexe n�est pas nécessairement connexe

par arcs comme le montre le graphe de sin(1

x) auquel on a rajouté ses points

adhérents).

Exemple 63 (illustrant le fait qu�il n�y a pas toujours de primitive si la condi-

tion du théorème n�est pas remplie) : U = C�f0g ; f(z) = 1

zet (t) = e2�it

avec t 2 [0; 1] : Z

dz

z=

Z 1

0

2�idt = 2�i 6= 0;

et f ne possède pas de primitive comme on l�a déjà remarqué en étudiantla dérivée d�une série de Laurent.

Nous allons voir maintenant qu�une condition un peu plus forte sur U; denature purement géométrique, va assurer que toute fonction analytique dans Upossède une primitive dans cet ouvert.

3.2 Homotopies de chemins et de lacets

Pour cela, il faut introduire la notion d�homotopie de 2 chemins. L�idéeintuitive est celle d�une déformation continue faisant passer de l�un à l�autre :

Dé�nition 64 : Soit U un ouvert de C. Deux chemins 1 : [0; 1] ! U et 2 : [0; 1] ! U sont dits homotopes s�il existe une application continue � :[0; 1]� [a; b]! U telle que �(t; a) = 1(t) et �(t; b) = 2(t) pour tout t 2 [0; 1] :

La relation d�homotopie est une relation d�équivalence.L�homotopie des lacets réclame la propriété supplémentaire suivante

�(0; u) = �(1; u)

pour tout u 2 [a; b] (�l�homotopie ne dénoue pas le lacet en cours de route�).

Dé�nition 65 : On dit qu�un domaine U de C est simplement connexe si toutlacet de U est homotope dans U à un lacet constant, de trajectoire réduite à unpoint (on dira par la suite �homotope à un point�).

29

Exemple 66 : un ouvert U � C étoilé par rapport à un point a 2 U est sim-plement connexe (cela signi�e que pour tout z 2 U; le segment joignant a à zest tout entier contenu dans U); un tel ouvert est évidemment connexe (puisqueconnexe par arcs) et si : I ! U est un lacet, l�application � : I � [0; 1] ! Udé�nie par

�(t; u) = u (t) + (1� u)a

réalise l�homotopie de sur le lacet constant a puisque �(t; 0) = a et �(t; 1) = (t) pout tout t 2 [0; 1] (en écrivant la formule ci-dessus sous la forme

�(t; u)� a = u( (t)� a)

on constate que pour u �xé et t variable, �(t; u) est l�homothétique de (t) dansl�homothétie de centre a et de rapport u):

Concrètement un disque ouvert, un demi-plan, l�intérieur d�un rectangle oud�une ellipse sont étoilés par rapport à chacun de leurs points, le plan C privéd�une demi-droite d�origine O est étoilé par rapport à tous les points de lademi-droite opposée.

3.3 Le théorème de Cauchy

Il exprime le fait que l�intégrale d�une fonction analytique dans un ouvertconnexe U; ne dépend que de la classe d�homotopie de ce lacet dans U:

Théorème 67 (Cauchy) : Soient U un domaine de C, f une fonction analy-tique dans U , 1et 2 deux lacets homotopes dans U: On a alorsZ

1

f(z)dz =

Z 2

f(z)dz:

En particulier si U est simplement connexe, on aZ

f(z)dz = 0

pour tout lacet contenu dans U:

Corollaire 68 : Si U est un domaine simplement connexe de C; toute fonctionanalytique dans U y admet une primitive.

3.4 La formule intégrale de Cauchy

Il nous faut au préalable dé�nir l�indice d�un point par rapport à un lacet eten donner quelques propriétés.

Dé�nition 69 : Soit : I ! C un lacet et = C� (I): Pour tout z 2 ; onappelle indice du point z par rapport au lacet le nombre

j(z; ) =1

2�i

Z

du

u� z : (4)

30

Propriétés de l�indice� j(z; ) est un entier relatif.� z 7�! j(z; ) est constante dans chaque composante connexe de :� j(z; 1) = j(z; 2) si 1 et 2 sont deux lacets homotopes dans C� fzg :� En particulier, si est contenu dans un ouvert simplement connexe U , on

a j(z; ) = 0 pour tout z =2 U:� j(z; ) = 0 dans la composante connexe non bornée de :

Exemple 70 : Si (t) = eint; n 2 Z (le cercle unité parcouru n fois), on a

j(0; ) =1

2�i

Z

du

u= n;

ce qui montre que j(z; ) = n pour jzj < 1 et 0 si jzj > 1 (l�extérieur du disqueétant une partie connexe non bornée). D�une manière générale, l�indice exprimele nombre algébrique de fois où le point (t) �tourne autour de z" lorsque t croîtde a à b:

Théorème 71 : Soit un lacet dans un domaine simplement connexe U: Pourtoute fonction f analytique dans U; on a, pour z =2 (I) :

j(z; )f(z) =1

2�i

Z

f(u)

u� z du:

(formule qui généralise celle qu�on a établie plus haut pour le cercle).

3.5 La formule des résidus

On se place dans un domaine simplement connexe U et on considère une fonc-tion f méromorphe dans U , ses points singuliers constituant un sous-ensemble�ni D de U:

U � D n�étant pas simplement connexe, on ne peut appliquer les considé-rations qui précèdent sur les primitives, mais on peut mesurer exactement lesobstructions à l�existence d�une primitive de f dans U �D:

Dé�nition 72 : Le coe¢ cient ��1 de 1z�a dans la série de Laurent en a s�ap-

pelle le résidu de f en a et se note Resa(f):

On a le résultat suivant

Théorème 73 : Soient U un domaine simplement connexe, D un ensemble �nide points de U et f une fonction holomorphe dans U �D: Pour que f possèdeune primitive dans U �D; il faut et il su¢ t que l�on ait

Resa (f) = 0

pour tout a 2 D:

Théorème 74 (formule des résidus) : Soient U un domaine simplement connexe,D un ensemble �ni de points de U et f une fonction holomorphe dans U �D:Pour tout lacet dans U �D; on aZ

f(z)dz = 2�iXa2D

j(a; ) Resa(f):

31

Exercice 51 : Prouver les formules

2�Z0

0B@ sin n�2sin

�

2

1CA2

d� = 2�n

2�Z0

d�

(a+ b cos �)2 =

2�a

(a2 � b2)3=2 pour a > b > 0:

Indication : poser z = ei� et interpréter ces expressions comme des intégralessur le cercle unité.

Exercice 52 : En intégrant f(z) =eiz

zsur un contour approprié, démontrer

la relation suivante+1Z0

sinx

xdx =

�

2

et en déduire que+1Z0

sin3 x

x3dx =

3�

8:

Exercice 53 : En intégranteiz

z2 + a2sur un demi-cercle centré à l�origine,

prouver que+1Z0

cosx

x2 + a2dx =

�

2ae�a pour a > 0:

Exercice 54 : Montrer que

+1Z0

x��1

1 + xdx =

�

sin��pour 0 < � < 1:

Exercice 55 : En intégrant la fonction f(z) = e��z2

sur un rectangle du demi-plan supérieur, montrer que

+1Z�1

e��x2

cos(2�ax)dx =

r�

�e��a

2

pour � > 0 et a 2 R:

Exercice 56 : Montrer que

+1Z0

dx

1 + xn=

�

n sin��n

� pour n > 1

et que la même formule vaut pour � réel > 1:

32

Exercice 57 : a) Montrer que pour a 2 R

+1Z0

sin ax

sinh xdx =

�

2tanh

�a

2:

Indication : intégrereiaz

sinh zsur un rectangle approprié du demi-plan supérieur

en évitant les pôles, et en montrant que les contributions verticales disparaissentà l�in�ni.

b) Prouver de même que

+1Z0

x cos ax

sinh xdx =

�2e�a

(e�a + 1)2:

Exercice 58 : Calculer les intégrales suivantes

+1Z0

dx

x4 + x2 + 1=

�

2p3;

+1Z�1

cosx

x2 + x+ 1dx =

2�p3e�

p32 cos

1

2;

+1Z�1

sin4 x

x2 + 1dx =

�

8(e�4 � 4e�2 + 3):

Exercice 59 : a) Montrer que

cosh(z) = �1() z = (2n+ 1)�i pour un n 2 Z:

b) Montrer qu�au voisinage de �i

cosh(z) = �(1 + (z � �i)2

2+(z � �i)4

4!+ :::):

c) En intégrant f(z) = eiaz

cosh(z)+1 , a 2 R, sur un rectangle du demi-plansupérieur, calculer par la méthode des résidus l�intégrale

I =

+1Z0

cos ax

cosh(x) + 1dx:

Exercice 60 : Montrer que

1Z0

x1�p(1� x)p

(1 + x)3 dx = 2p�3

�p(1� p)sin�p

:

33

Exercice 61 : Prouver la formule

+1Z0

lnx

(x2 + 1)2 dx = �

�

4

(intégrer la fonction

g(z) =(ln z)

2

(z2 + 1)2

en contournant la coupure R+):

Exercice 62 : a) Montrer que la fonction � cot�z est méromorphe dans C,avec des pôles simples en z = n (n 2 Z) où le résidu est 1.b) Soit

f(z) =P (z)

Q(z)

une fraction rationnelle telle que deg Q > deg P + 1 et soient a1; a2; ::::; am sespôles, b1; b2; :::::; bm les résidus correspondants. On suppose de plus que les ai nesont pas entiers. On désigne par n le périmètre du carré ayant pour sommets��n+ 1

2

���n+ 1

2

�i; n entier positif. Montrer que

limn!1

Z n

f(z)� cot�z dz = 0

(utiliser les exercices 16 et 17) et que

limn!1

nXp=�n

f(p) = �mXq=1

bq� cot�aq

c) Application : calculer, pour a et b réels positifsPn�1

1a+bn2 ;

Pn�1

n2

n4+a4 :

4 Transformation de Mellin et Fonction �

Ce paragraphe suit une rédaction de R.Godement (notes de cours polycopiéesà l�Université Paris 7) reprise dans son ouvrage : Analyse Mathématique I et II(Springer Verlag)

4.1 Intégrales dépendant analytiquement d�un paramètre

Nous aurons besoin du résultat suivant

Proposition 75 : Soient I un intervalle de R, U un ouvert de C et f unefonction continue sur I � U véri�anta) Pour tout t 2 I; z 7�! f(t; z) est holomorphe dans U:b) Pour tout compact K � U; il existe une fonction positive �K ; intégrable

sur I telle que jf(t; z)j � �(t) pour tous z 2 K; t 2 I:

34

Alors la fonction

g(z) =

ZI

f(t; z)dt

est holomorphe dans U et ses dérivées par rapport à z s�obtiennent en dérivantcette formule sous le signe

R:

4.2 Transformées de Laplace et de Mellin

Pour une fonction g assez raisonnable sur R (pour que l�intégrale converge),on dé�nit la fonction bg(z) = Z

Rg(t)e�itzdt

appelée "transformée de Laplace" de la fonction g: Si l�on pose x = et; s = �izet f(x) = g(t); cela revient à considérer la fonction

�f (s) =

Z +1

0

f(x)xs�1dx (5)

que l�on appelle "transformée de Mellin" de la fonction f: Nous allons mainte-nant en étudier l�analycité.

Proposition 76 : On supposei) f est dé�nie et continue pour x > 0ii) l�intégrale (5) converge absolument pour Re(s) = a et Re(s) = b:Alors elle converge absolument pour a � Re(s) � b: De plus la fonction

s 7! �f (s) est continue et bornée dans cette bande fermée et holomorphe àl�intérieur.

Exemple 77 : La fonction � d�Euler, dé�nie par

�(s) =

Z +1

0

e�xxs�1dx

est holomorphe pour Re(s) > 0 (domaine de convergence absolue de l�intégrale).

On peut évidemment dans cet exemple remplacer e�x par une fonction fdé�nie et continue pour x > 0; véri�ant de plus la propriété suivante : xnf(x)reste bornée pour tout n > 0 et x � 1: On dit d�une telle fonction qu�elle est à"décroissance rapide à l�in�ni".

Exercice 63 : Calculer le produit �(s)�(1� s) pour 0 < s < 1 en e¤ectuant lechangement de variable x 7�! x2 dans l�intégrale

+1Z0

xs�1e�xdx

(même chose dans la seconde), puis un passage en coordonnées polaires. En dé-duire la formule des compléments en utilisant l�exercice 54. Pour quelles valeursde s cette formule vaut-elle ?

35

4.3 Prolongement analytique des transformées de Mellin

Dans les conditions que l�on vient d�indiquer, �f est dé�nie a priori pourRe(s) > 0: On va voir maintenant qu�elle peut être prolongée en une fonctionméromorphe, éventuellement à C tout entier, en fonction du comportement def à l�origine.

Théorème 78 : Soit f une fonction dé�nie et continue pour x > 0; à décrois-sance rapide à l�in�ni, et admettant à l�origine un développement limité de laforme

f(x) = a1xs1 + :::::+ anx

sn +O(xsn+1)

avec des exposants deux à deux distincts, véri�antRe(s1) � Re(s2) � ::::: � Re(sn) < Re(sn+1):Alors la fonction �f ; dé�nie a priori pour Re(s) > �Re(s1); se prolonge

analytiquement en une fonction méromorphe pour Re(s) > �Re(sn+1): Sespôles (simples) sont les points �s1; :::::;�sn avec, pour tout k compris entre1 et n

Ress=�sk(�f ) = ak:

Corollaire 79 : Soit f une fonction dé�nie et C1 pour x � 0; à décroissancerapide à l�in�ni. Alors �f se prolonge en une fonction méromorphe dans C toutentier. Ses seules singularités sont tout au plus des pôles simples aux entiersnégatifs ou nuls avec

Ress=�k(�f ) =f (k)(0)

k!:

Exemple 80 : La fonction � se prolonge analytiquement en une fonction mé-romorphe dans C; avec des pôles simples en s = 0;�1;�2; :::: et

Ress=�k(�) =(�1)kk!

:

Exercice 64 : Montrer qu�on peut prolonger analytiquement "pas à pas" lafonction � à partir de la relation

�(s+ 1) = s�(s);

obtenue par IPP. Montrer en particulier qu�elle se prolonge en une fonctionméromorphe dans C avec des pôles simples aux entiers négatifs de résidu (�1)n

n! :

Exercice 65 (le produit in�ni de �) : Montrer que l�on a

�(s) = lim

nZ0

(1� x

n)nxs�1dx

pour Re(s) > 0: A l�aide du changement de variable x = nt suivi de n intégra-tions par partie, en déduire que

s�(s) = limns

(1 + s)(1 + s2 )::::::(1 +

sn )

36

pour Re(s) > 0: Montrer que

(1 +s

n)e�s=n = 1 +O(

1

n2)

pour en déduire que

s�(s) =e� s

1Qn=1

(1 + sn )e

�s=n

désignant la constante d�Euler, pour Re(s) > 0: En écrivant le résultat sousla forme

1

�(s)= se s

1Yn=1

(1 +s

n)e�s=n

montrer qu�il est valable dans C privé des points s = 0;�1;�2; :::: Peut-onl�étendre à C tout entier ?

Exercice 66 : Prouver directement la formule des compléments

�(s)�(1� s) = �

sin�s

à partir de l�exercice précédent.

Exercice 67 : On utilise les résultats de l�exercice 63.a) A partir du produit in�ni de la fonction �, prouver la formule suivante

�0(s)

�(s)= �1

s� +

+1Xn=1

s

n(s+ n)

et en déduire les valeurs de �0(1) et �0( 12 ) (on pourra utiliserRR e

�x2dx =p�):

b) Calculer les intégrales

+1Z0

ln(x)e�xdx et

+1Z0

ln2(x)e�xdx:

c) Montrer, à partir du prolongement analytique de �; que la fonction �(s)�(s+ 12 )

�(2s)

est une fonction entière.d) On pose

f(s) =�0(s)

�(s):

Montrer que

f 0(s) =+1Xn=0

1

(s+ n)2:

e) En déduire que

f 0(s) + f 0(s+1

2) = 2 [f(2s)]

0;

37

puis que

�(2s) = beas�(s)�(s+1

2)

où a et b sont des constantes (on pourra calculer la dérivée de l�expressioneas�(s)�(s+ 1

2 )

�(2s) ):

f) Calculer a et b en utilisant des valeurs particulières de s:

Exercice 68 : Montrer que l�intégrale

+1Z0

(1

1 + t� e�t)dt

t

est convergente.b) Montrer que pour a > 0

+1Za

(1

1 + t� e�t)dt

t= ln(1 + a)� (1� e�a) ln(a)�

+1Za

e�t ln(t)dt:

c) En déduire que+1Z0

(1

1 + t� e�t)dt

t= ;

désignant la constante d�Euler (on pourra utiliser la question a de l�exercice67).d) On considère la fonction

z 7�! 1

z(1

1 + z� e�z)

de la variable complexe z: Est-elle holomorphe en 0 ? Où sont situés ses pôles ?e) Montrer, en utilisant le théorème des résidus, que

=

+1Z0

(1

1 + it� e�it)dt

t:

f) En déduire que

=

+1Z0

(1

1 + t2� cos t)dt

t

après avoir montré que l�intégrale du second membre converge.g) Montrer en�n que

=

1Z0

(1� cos t)dtt�

+1Z1

cos tdt

t:

38

4.4 La formule d�inversion de Mellin

Il y a une forte analogie avec la formule d�inversion de Fourier, comme onpeut le voir à l�aide du changement de variable x = eu :

�f (s) =

ZRf(eu)esudu:

En utilisant la notation de Riemann s = � + it; la fonction t 7! �f (� � it)apparaît comme la transformée de Fourier de la fonction u 7!

p2�f(eu)e�u:

On a donc, par inversion de Fourier, puis en utilisant la notation des intégralescurvilignes

f(eu) =1

2�

ZR�f (� + it)e

�u(�+it)dt

=1

2�i

ZRe(s)=�

�f (s)e�usds;

en�n en revenant à la variable x initiale

f(x) =1

2�i

ZRe(s)=�

�f (s)x�sds:

Il faut maintenant justi�er cette formule : de manière analogue à la formulede Fourier pour laquelle on introduit (dans le cadre classique, pas celui de lathéorie de Lebesgue) l�espace S des fonctions indé�niment di¤érentiables à dé-croissance rapide à l�in�ni ainsi que toutes leurs dérivées, on dé�nit ici l�espaceS(R+) des fonctions C1 à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées,à l�in�ni, pour lesquelles les hypothèses du théorème qui suit seront largementvérifées.

Théorème 81 : Soit f 2 S(R+) . On a les propriétés suivantes :i) �f (s) qui est dé�nie a priori pour Re(s) > 0; se prolonge analytiquement

à C tout entier, avec tout au plus des pôles simples en s = 0;�1;�2; ::::ii) La fonction s 7! sn�f (s) est, pour tout entier n; bornée à l�in�ni dans

toute bande verticale de largeur �nie.iii) On a, p¤our tout x > 0; à condition que � > 0

f(x) =1

2�i

ZRe(s)=�

�f (s)x�sds:

iv) Plus généralement, on a la formule suivante, pour tout entier p � 0; si�p� 1 < � < �p

f(x) =1

2�i

ZRe(s)=�

�f (s)x�sds+

pXk=0

xkf (k)(0)

k!:

Exercice 69 (démonstration du théorème) : On rappelle que si f est intégrablesur R; on dé�nit bf(y) = Z

Rf(x)e�2�ixydx:

On utilisera le résultat suivant : la transformation de Fourier applique bijecti-vement l�espace S(R) (fonctions C1 à décroissance rapide à l�in�ni ainsi que

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toutes leurs dérivées successives, i.e. telles que xnf (m)(x) reste borné sur R pourtous entiers n et m positifs) sur lui-même. En particulier (formule d�inversionde Fourier)

f(x) =

ZR

bf(y)e2�ixydx = bbf (�x):a) Montrer que pour jsj grand : sn�f (s) � �f(n)(s+n): En déduire que pour

prouver ii), il su¢ t de montrer que �f (s) est bornée dans toute bande de laforme 0 < a � Re(s) � b et que cela résulte de la proposition 76.b) Montrer que la fonction, dé�nie sur R par f�(u) = f(eu)eu�, véri�e

umf (n)� (u) =X

0�p�n�f (p)(x)x�+p lnm x

où l�on a posé x = eu (� pour des coe¢ cients numériques dont la valeur n�aaucune importance ici). En déduire que f� 2 S:c) Calculer l�intégrale I =

R �f (s)x

�sds où est le rectangle ABB0A0

construit comme suit : AB est un segment de droite t 7! �+ it où �p�1 < � <�p et t 2 [�M;M ] , A0B0 le segment t 7! �0 + it où �0 > 0 et t 2 [�M;M ] :Montrer en particulier à l�aide de a) que les contributions "horizontales" ducontour tendent vers 0 quand M ! +1. En déduire la formule annoncée enappliquant le théorème des résidus.

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