rotulas plasticas - una tesis

7/21/2019 Rotulas Plasticas - Una Tesis

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UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

“ROTULAS PLÁSTICAS”

INTEGRANTES

ALEGRE TORREJÓN EDUARDO

CORTEZ ULLOA AMY

FARJE VINATEA CRISTIAN IBAÑEZ HORNA ANA

RODAS MANOSALVA INGRID

VASQUEZ ASCOY MARY

DOCENTE

GALICIA GUARNIZ WILLIAM

TRUJILLO-PERU

NOVIEMBRE-2013



INDICE

INTRODUCCIÓNRÓTULAS PLÁSTICAS

1.

DEFINICIÓN2. FORMACIÓN DE ROTULAS PLÁSTICAS3. PLASTIFICACIÓN – ROTULAS PLÁSTICAS

MOMENTO PLÁSTICO

DIAGRAMA MOMENTO -CURVATURA

ELEMENTO VIGA- COLUMNA

DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS4.

CONTROL DE ROTULAS PLASTICAS EN PORTICOS DE CONCRETOARMADO

4.1 DISEÑO DE LOS PORTICOS EN ESTUDIO4.2

PROPIEDADES DE FLEXION DE LOS ELEMENTOS4.3 MECANISMO DE COLAPSO4.4 LONGITUD DE LA ZONA DE FORMACION POTENCIAL DE

ROTULAS PLASTICAS (ZONAS CRITICAS5. ANALISIS INELASTICO-ROTULAS PLASTICAS

MODELOS DE ANALISIS INELASTICOo MODELOS SIMPLESo MODELOS DISCRETOSo MODELOS POR ELEMENTOS FINITOSo MODELOS DE FIBRAo MODELOS HISTERETICOSo MODELO BILINEALo MODELO DE TAKEDA

6.

PROBLEMA



INTRODUCCIÓN

Al ser sometida una estructura de concreto armado a movimientos sísmicos severos, ésta

generalmente responde no linealmente. Esto es atribuible a que el concreto armado es unmaterial no homogéneo y su comportamiento es altamente no lineal. El número de variablescomprendidas en la respuesta no lineal de estructuras de varios niveles es tan elevado, queestudios anteriores han demostrado la alta dependencia de las respuestas inelásticas a lascaracterísticas propias de cada modelo, y el estado del arte actual hace difícil el poder darrecomendaciones de carácter general. Sin embargo, se pueden obtener valores cualitativosde ciertos factores dentro de un intervalo probable, para su posterior utilización dentro deun procedimiento racional de diseño.

Los análisis dinámicos no lineales indican que en las columnas de pórticos de varios pisos,

pueden ocurrir distribuciones inesperadas de momento flexionante, en comparación con ladistribución obtenida de la carga lateral estática equivalente que recomienda la NormaTécnica de Edificación E-030 de Diseño Sismo resistente. El análisis de carga lateralestática indica generalmente que los puntos de inflexión se encuentran próximos a la mitadde la altura de las columnas, excepto en los pisos próximos a la parte superior e inferior del pórtico. Sin embargo, el análisis dinámico no lineal sugiere que en determinados instantesdurante la respuesta de la estructura a los movimientos sísmicos, el punto de inflexión enuna columna puede estar próximo a la unión viga-columna y ocasionalmente, incluso lacolumna puede estar en curvatura simple.

La carga lateral estática de la Norma E-030 normalmente tiene una distribución triangularque corresponde a las cargas laterales que varían linealmente desde cero en la base a unmáximo en la parte superior de la estructura.

Los análisis dinámicos no lineales también indican que generalmente no están presentes lasrótulas plásticas en todas las vigas en el mismo intervalo de tiempo. El desarrollo de rótulas plásticas tiende a moverse hacia arriba del pórtico, en ondas que abarcan unos cuantos pisosa la vez, pero puede haber instantes, en edificios de baja altura donde todas las vigas tenganrótulas plásticas formadas simultáneamente.



ROTULAS PLÁSTICAS

1. DEFINICION

Al ser sometida una estructura de concreto armado a movimientos sísmicos severos,ésta generalmente responde no linealmente. Esto es atribuible a que el concretoarmado es un material no homogéneo y su comportamiento es altamente no lineal.

Una rótula plástica es un dispositivo de amortiguación de energía, que permite larotación de la deformación plástica de la conexión de una columna, de manerarígida. En la teoría estructural, la viga de ingeniería o rótula plástica se usa paradescribir la deformación de una sección en una viga donde se produce la flexión de plástico.

Con la constitución de esa rótula plástica en el centro de la viga, queda formado unmecanismo con un grado de libertad, al existir -incrementalmente- tres rótulas

alineadas. Aquí la estructura se ha transformado en mecanismo y corresponde a ladefinición de uno de los Estados Límites Ultimos o de Colapso. La carga ´ultima ode colapso qu será, por tanto:

qu = qp



Se usa el término rótula plástica para referirse a la sección central en ese estado. Larótula plástica, permite rotaciones relativas a ambos lados de la secciónindefinidamente grandes, y tiene asociado un momento flector igual al momento Mp. El diagrama momento-curvatura es lineal hasta alcanzar el momento defluencia My. A aprtir de allí es no lineal y se hace completamente plástico con el

momento de plastificación Mp.

2. FORMACIÓN DE ROTULAS PLASTICAS

Sea el pórtico biarticulado e hiperestático sometido a una carga puntual P en eldintel.

Pórtico biarticulado sometido a carga puntual en el dintel



El momento máximo ( MC ) se produce en la sección C donde actúa la carga P . En los nudos B y D, los momentos son iguales ( MB = MD), aunque se siguen nombrando con elsubíndice indicando la sección donde actúan. Si MC es inferior al momento que agota lasección en régimen elástico ( Me) la distribución de deformaciones y de tensiones en lasección en estudio es la mostrada en la Figura 12.17.Al incrementar el valor de P hasta que la sección C se agote en régimen elástico, la ley demomentos flectores y la distribución de tensiones en la sección C son las mostradas en laFigura.Si se sigue incrementando P , comenzará la plastificación de la sección C , llegando unmomento en que toda la sección plastificará; se ha alcanzado la deformación en rotura de lafibra más deformada, formándose una rótula plástica. En este momento,

Pórtico biarticuladosometido a carga

puntual en el dintel.Diagrama de momentosflectores

Pórtico biarticulado sometido acarga puntual en el dintel.Diagrama de momentosflectores y distribución detensiones en la sección C alAlcanzarse σe en dicha sección



Entonces la estructura inicialmente hiperestática, ha pasado a ser isostática:

Formación de una rótula plástica en la sección C

Simultáneamente, en las secciones B y D también aumenta el momento llegando estas aagotarse elásticamente. Al seguir incrementando el valor de P , seguirá aumentando elmomento flector en B y D. En la sección C el momento plástico que agotó la sección semantiene constante.

Pórtico biarticulado sometidoa carga puntual en el dintel.Redistribución de momentosen B y D



Habrá un valor de P para el que las secciones extremas B y D se agotan, formándose sendasrótulas plásticas, que provocan el colapso de la estructura al transformarse está en unmecanismo.

Colapso de la estructura por transformación en mecanismo por laFormación de rótulas plásticas

3. PLASTIFICACIÓN EN ROTULAS PLÁSTICAS

3.1 Plastificación De La Sección En Flexión Pura

En la Figura se muestran una sección bisimétrica sometida a un momento flector

según el eje y, y los diagramas planos de las distribuciones de deformacioneslongitudinales y tensiones normales correspondientes. En ninguna de las fibras se haalcanzado la deformación del límite elástico y en consecuencia las tensiones encualquier punto de la sección están por debajo del límite elástico del material.

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones enRégimen elástico



Las distribuciones de tensiones y deformaciones son lineales, respondiendo a lasecuaciones.

σx (y,z) =

M

z

ɛ(z) = (,)

=

M

Z =XZ

Siendo E el módulo de elasticidad longitudinal y la curvatura de la sección.Considerando una rebanada diferencial de un elemento estructural, la curvatura de la

sección es el ángulo que se inclina una cara de la rebanada respecto de la otra,dividido por la distancia que las separa. Si se consideran dos secciones separadasuna unidad de longitud, la curvatura es

X=ɛ()

Si el momento flector se va incrementando, la tensión y la deformación en cadafibra de la sección aumentan. Habrá un valor de M para el que la deformación en lasfibra extremas (las más tensionadas) coincida con la deformación en el límite

elástico, ɛe, correspondiéndoles la tensión del límite elástico, σe. En la Figura semuestran los diagramas planos de las distribuciones de deformacioneslongitudinales y tensiones normales.

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones enRégimen elástico con las fibras extremas alcanzando el límite elástico



Si se sigue incrementando el momento flector, se llegará a un estado tal que lasfibras extremas de la sección habrán superado la deformación correspondiente allímite elástico junto con parte de las contiguas, trabajando todas ellas a una mismatensión σe. En la Figura 12.4 se muestran los diagramas planos de las distribucionesde deformaciones longitudinales y tensiones normales correspondientes.

Diagramas de distribución de deformaciones y de tensiones en

Régimen elastoplástico

Si se sigue incrementando M , habrá una extensa zona de la sección donde todas lasfibras superen la deformación correspondiente al límite elástico y por tanto trabajena la tensión del límite elástico.

La deformación en el límite elástico para un acero es función del tipo de acero,estando acotada entre ɛe = 0; 00112 para un acero con σe = 235 MPa y ɛe = 0;

00169 para un acero con σe = 355 MPa. Considerando una deformación longitudinalunitaria en rotura para el acero de ɛrot = 0, 01 cuando en la fibra más tensionada dela sección se alcance la deformación correspondiente a la rotura, la zona de lasección trabajando en régimen elástico, será:

Diagramas de distribuciónde deformaciones y de

tensiones en Régimenelastoplástico. Gran parte dela sección plastificada.



Z0ɛrot

=1ɛ

=1

ɛlím

Es decir, la zona elástica tiene una extensión como máximo el doble de z 1(en elcaso de que la sea sección simétrica respecto al eje neutro), siendo z 1

Z1 = ɛɛ

Zo

Así, para un acero con ɛ = 0; 00169, la zona trabajando en régimen elástico será,como máximo,

2 x Z1 = 2 x0,00169

0,01 = 0,338

De la ecuación se deduce que dicha zona es muy pequeña en relación con la zona plastificada. Por este motivo se acepta la distribución de tensiones mostrada en laFigura 12.7, en la que toda la sección está totalmente plastificada. Dichadistribución corresponde al caso, teórico, de curvatura infinita de la sección.

Diagramas de distribuciónde deformaciones y detensiones en régimenelastoplástico. Fibras mástensionadas con ladeformación en rotura

Diagramas de distribuciónde deformaciones y detensiones en régimen

plástico



Momento Plástico

El momento que produce el estado tensional mostrado en la Figura 12.7recibe el nombre de momento plástico ( Mp). Al ser dicho momentoestáticamente equivalente al momento producido por la distribución detensiones normales, ha de cumplirse que

Mp=∫ σx (x,y,z)

Siendo zt y zc las alturas, en valor absoluto, de las zonas traccionada ycomprimida, respectivamente y b el ancho de la sección. Al ser σx (y; z) =σe en la zona traccionada y σx (x; y; z) = - σe en la zona comprimida,sustituyendo en (12.7) se obtiene

Mp=∫ σx (x,y,z) = σe∫ +

σe∫

Las integrales corresponden a los momentos estáticos de las áreastraccionada y comprimida de la sección respecto al eje neutro. Por tanto, se puede reescribir (considerando los valores absolutos de Qyt y Qyc) como

Mp = σe [Qyt ( z ) + Qyc ( z )]

El momento elástico Me, puede expresarse como

Me = σe W

El momento plástico puede ser expresado en la forma:

Mp = σe Wp

Módulo plástico (Wp):

Wp = Qyt ( z ) + Qyc ( z )



Diagrama Momento-Curvatura

El diagrama momento-curvatura de una sección describe el comportamientoresistente de la misma.

Al actuar un momento sobre una rebanada diferencial, esta se curvamanteniéndose las caras de la misma, planas y por tanto, existiendo unadistribución también plana de deformaciones. Al ir aumentando el momento, seva incrementando la curvatura de la sección. El diagrama momento-curvatura seobtiene representando en un diagrama de abscisa la curvatura y de ordenada elmomento, la curvatura obtenida para distintos valores del momento actuante en

la sección. Dicho diagrama tiene una parte lineal, de ecuación = MEI

Sigue

una parte no lineal, y finalmente el diagrama acaba en Mp con una curvaturainfinita (rama asintótica de la gráfica de la Figura 12.10). La curvatura en la parte no lineal se puede obtener mediante la expresión x =

E Siendo Ze la

profundidad de la zona elástica comprimida.

Diagrama momento-curvatura

3.2 Plastificación De La Sección En Flexión Compuesta

Se distinguirán dos casos:

1. Plastificación parcial de la sección

2. Plastificación total de la sección



1) Plastificación de la sección en flexión compuesta: Plastificación parcial

Se trata de obtener la distribución de tensiones y la curvatura en una secciónsolicitada a flexión compuesta (se entiende que el axil es de compresión), sinque la sección se agote (plastifique totalmente). En la Figura se muestran las dos

posibilidades:Para el primer caso, alcanzará antes la plastificación aquella cabeza que segúnlas ecuaciones clásicas de la resistencia de materiales esté más tensionada. Lasdeformaciones en la sección se obtienen teniendo en cuenta que la inclinacióndel diagrama de tensiones en la parte elástica es Ex y que ɛ ( z ) = x z .Dependiendo de la complicación de la sección, para determinar la distribuciónde tensiones puede ser necesario recurrir a métodos iterativos. Se parte de unadistribución que se va corrigiendo hasta conseguir que los valores de Ni y Mi dela i-é sima iteración coincidan con los N y M que solicitan a la sección. Hay quetener en cuenta a la hora de establecer los incrementos para iterar, que unincremento en la curvatura produce un aumento en el momento, y que undesplazamiento del eje neutro hacia la zona de tracción, produce un aumento delaxil.

Sección sometida a flexión compuesta según el eje y . PlastificaciónParcial



o ELEMENTO VIGA-COLUMNA

Los elementos viga-columna se pueden orientar arbitrariamente en el plano X-Y, y poseen rigidez axial y flexional, se pueden tomar en cuenta lasdeformaciones por cortante y los efectos de conexiones con extremo excéntrico

(nudo rígido). La fluencia puede ocurrir solamente en rótulas plásticasconcentradas en los extremos del elemento. El endurecimiento pordeformación se aproxima por la suposición de que el elemento consta de doscomponentes una elastoplástico y otro elástico en paralelo, las rótulas en lacomponente elastoplástico fluyen bajo momento constante, pero, el momentoen el componente elástico puede continuar incrementándose.

RELACIONES MOMENTO-CURVATURA YMOMENTO-ROTACIÓN

a) Deformaciones del Elemento

Un ELEMENTO VIGA-COLUMNA tiene tres modos de deformación, estosson: extensión axial, rotación por flexión en el extremo “i”, y en el extremo “j”.La matriz de transformación del desplazamiento que relaciona los incrementosde deformación y los desplazamientos es:



En forma abreviada:{dv} = [a] {dr}

DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS

Una rótula plástica se forma cuando el momento en la componente elastoplástico del

elemento alcanza su momento de fluencia, luego, una rótula se introduce dentro de éstacomponente, permaneciendo inalterado el componente elástico. La medida de ladeformación plástica por flexión es la rotación de la rótula plástica, a veces se utilizan otrasmedidas de demanda de ductilidad, con frecuencia, en la forma de relaciones de ductilidad.Sin embargo, en éste caso, se cree que la rotación de la rótula plástica es tanto más racional,como más consistente y no muy difícil interpretarla en la práctica, que una relación deductilidad.Para un incremento de la rotación por flexión total dv2 y dv3, los incrementoscorrespondientes de la rotación de la rótula plástica dvp2 y dvp3, están dados por:

En donde A, B, C y D se dan tal como en el cuadro 3.b. Una descarga ocurre en la rótulacuando el incremento de la rotación en la rótula es de signo contrario al momento flector.

Condición de Fluencia A B C DExtremos elásticos 0 0 0 0

Rótula plástica solo en elextremo i

1 Kij /kii 0 0

Rótula plástica solo en elextremo j

0 0 Kij / kjj 1

Rótulas plásticas enambos extremos i y j

1 0 0 1



4. CONTROL DE ROTULAS PLASTICAS EN PORTICOS DE CONCRETO

ARMADO

La metodología trata de diseñar las columnas con mayor capacidad resistente y de disipación de energía que

las vigas, debido que ante una acción sísmica los mecanismos cinemáticos que se formen sean los másdeseables.

Cuando las columnas no tienen mayor capacidad resistente y de disipación de energía que las vigas hay la

probabilidad de que las rótulas plásticas se formen en las columnas formándose un mecanismo indeseables,es decir un mecanismo de entrepiso que puede conducir al colapso prematuro de la estructura.

La rotación delas rótulas plásticas en el mecanismo deseable (en vigas) es muy pequeña con relación larotación de las rótulas plásticas en los mecanismos indeseables o de entrepiso (en columnas)

Este último mecanismo también referido como“piso blando”, las rotaciones plásticas son tangrandes que por lo general es muy difícil detallarla gran demanda de acero de refuerzo tantolongitudinal como transversal. Numerososcolapsos de estructuras de edificios de concretoreforzado porticados en los recientes terremotosse deben a que se forman mecanismos deentrepiso o lo que es mismo pisos blandos.

ROTULAS PLASTICAS EN

VIGAS

ROTULAS PLASTICAS

EN COLUMNAS



4.1 DISEÑO DE LOS PORTICOS EN ESTUDIO

Con los efectos sísmicos obtenidos del análisis por fuerzas laterales equivalentes ylos efectos de carga de gravedad, se determinan las envolventes para los elementosdel pórtico de acuerdo a las combinaciones propuestas por la Norma Peruana deConcreto Armado. Para este estudio, empleando el método de la rotura se determinólas áreas de acero en los extremos de vigas y columnas que son consideradas laszonas críticas, es decir, donde puede desarrollarse las rótulas plásticas, hay queagregar que se trató de uniformizar el refuerzo en cada nivel.Con el fin de conseguir un comportamiento dúctil de los elementos y por ende en laestructura, se diseñaron los pórticos teniendo en cuenta disposiciones especiales para el diseño sísmico, en concordancia con el ACI 318-99 con los requerimientos para un pórtico especial resistente a momento. El objetivo principal de estosrequerimientos es dar capacidad de disipación de energía en el rango inelástico derespuesta.

4.2 PROPIEDADES DE FLEXION DE LOS ELEMENTOS

Es posible deducir curvas teóricas momento-curvatura para secciones de concretoarmado con flexión y carga axial, aproximándose mediante una curva trilineal enque se definen, una primera etapa de agrietamiento (se alcanza el esfuerzo máximode tracción en el concreto), la segunda etapa de fluencia (el acero de refuerzoalcanza su esfuerzo de fluencia en tracción) y la tercera al límite de la deformaciónútil del concreto.Sin embargo para llevar a cabo el análisis inelástico con el modelo de rótula puntual, las hipótesis de viga inelástica consideran el diagrama momento-rotaciónde la sección crítica, por lo que se deben plantear ciertas consideraciones para ladefinición de las relaciones momento-rotación en las secciones críticas. Estasrelaciones dependen de las cargas de gravedad .Cuando se representa el comportamiento de la sección de concreto armado con undiagrama bilineal la relación momento-rotación es bastante similar a la relaciónmomento-curvatura, donde el momento último es una buena aproximación delmomento de fluencia; además una vez que se desarrollan las grietas, como sucedeen la mayoría de las vigas bajo cargas de servicio, la relación M-Φ es casi lineal

desde la carga cero hasta el inicio de la fluencia, en consecuencia la curva bilineal esuna buena aproximación para vigas inicialmente agrietadas.



4.3 MECANISMO DE COLAPSO

(a) Cuando las columnas se detallan adecuadamente para que en sus extremos seformen rotulas plásticas.

(b) No debe permitirse la posibilidad de formación simultáneamente de rotulas plásticas en capitel y base de todas las columnas de un mismo piso, mecanismo decolapso local conocido con el nombre de “piso blando”.

(c) Es evidente que, en este caso, las demandas de ductilidad de curvatura puedenllegar a ser excesivas.

(e) Es un ejemplo que ilustra la necesidad de evaluar la función de ductilidad globalasociada con el desplazamiento.

(f) La prevención de la formación de un “piso blando” se asigna a las columnas

exteriores.

4.4 LONGITUD DE LA ZONA DE FORMACION POTENCIAL DE

ROTULAS PLASTICAS (ZONAS CRITICAS)

Se detallan, a continuación, las 3 zonas donde pueden formarse rótulas plásticas:

Zonas adyacentes a las caras de las columnas, donde la armadura superior einferior puede estar sometida a fluencia en tracción y compresión debido ala reversibilidad del momento flector.



Cuando una rotula plástica deliberadamente se ubica alejada de la cara de lacolumna, debe diseñarse de manera que su sección critica este al menos auna distancia igual a la altura h de la columna.

En las zonas de momento positivo, dentro de la luz de una viga, puedeformarse una rótula plástica unidireccional sin posibilidad de que se

desarrolle la rótula negativa.En esta zona, el peligro de pandeo de las barrasen comprensión es mucho menor, ya que las barras no han fluido entracción en el ciclo de carga previo. Más aún, tal rótula plástica es probableque se extienda y , bajo fluencia, tome poco esuerzo de corte. A causa de lavariabilidad de las acargas gravitatorias durante un terremoto severo, la posición de la sección crítica de la rótula plástica, puede no ser posibledeterminarla con precisión.

5.

ANALISIS INELASTICO-ROTULAS PLASTICAS

El comportamiento inelástico de las estructuras es tan importante que es indispensabletomarse en cuenta, en la práctica de un diseño sísmico por las siguientes razones: laestructura de un edificio debe comportarse sin experimentar daños bajo sismos pequeños o medianos que pueden ocurrir durante su existencia. Además, no debe sufrirun colapso con un fuerte movimiento sísmico que tenga recurrencias de 50 años o más.A menudo, las estructuras diseñadas con esta filosofía están sujetas a fuerzas sísmicasque las llevan al rango inelástico. En algunas ocasiones, las fuerzas observadas hansido de tres a cuatro veces mayores que las que se especifican en los reglamentos. A

pesar de ello, en la mayoría de los casos las estructuras no resultaron dañadas. Se creeque la disipación de energía debida al amortiguamiento histerético es un margenadicional de seguridad que poseen estas estructuras. Diseñar estructuras que permanezcan elásticas bajo grandes movimientos sísmicos es muy costoso y seconsidera poco realista. El efecto de la disipación de energía que causa elcomportamiento histerético de la estructura de un edificio tendrá, por consiguiente, queevaluarse con precisión, partiendo de un análisis inelástico de la estructura.

La relación entre la respuesta elástica máxima Vy (la respuesta del sistema cuando permanece elástico independientemente de la intensidad de la fuerza) y la respuesta

máxima inelástica Vu ha sido determinada para un sistema de una sola masa, elástico y perfectamente plástico, basándose en dos suposiciones: primero considerando que lasdeflexiones máximas elásticas como elastoplásticas sean iguales, llegando a la relación:

=1µ

Donde μ, es el factor de ductilidad de desplazamiento, definido :



=1

√ 2 − 1

Ambos conceptos descritos anteriormente, se muestran en la figura:

De lo visto anteriormente,se puede decir que las estructuras que pueden sostener grandes deformaciones plásticastienen una buena resistencia sísmica. Por consiguiente, las estructuras que tienen valoresaltos de μ se pueden diseñar con niveles más bajos de capacidad resistente a las fuerzas

laterales. También se puede establecer que la parte de la estructura que vaya a sufrirgrandes deformaciones plásticas debe poseer un factor de ductilidad que cubrasobradamente la esperada deformación plástica.

MODELOS DE ANALISIS INELASTICO

La respuesta dinámica de un pórtico plano de varios pisos y varias luces es bastantecompleja. Existen un número elevado de grados de libertad y un alto porcentaje decomportamiento no lineal, por lo que se requiere de algunas idealizaciones ysimplificaciones a fin de obtener un modelo matemático que pueda ser resueltoempleando las diferentes técnicas de computación numérica disponible. El grado desofisticación del modelo es función del nivel de la respuesta que se desee obtener, lo cualserá siempre relativo.

Se han propuesto diferentes aproximaciones con el fin de modelar las estructuras deconcreto armado para llevar a cabo un análisis no lineal. Estos pueden clasificarse en lossiguientes grandes grupos (14,23): modelos simples, modelos discretos, modelos de fibray modelos de elementos finitos.

MODELOS SIMPLES

Muchos de los modelos desarrollados en esta categoría son conocidos como modelostipo cortante. Inicialmente desarrollados para sistemas de un grado de libertad, suempleo ha sido extendido a sistemas de varios grados de libertad.



En el modelo tipo cortante, se sustituye el ensamblaje de los elementos (vigas,columnas y/o muros de corte) que constituyen el piso de un pórtico por un resorte nolineal único (figura 2.2).

Para pórticos planos se considera un solo grado de libertad por piso llamadodesplazamiento lateral de piso. En estructuras tridimensionales el sistema equivalente posee tres grados de libertad por piso (dos desplazamientos y una rotación). Se consideraque la losa es infinitamente rígida, lo que permite concentrar las masas de la estructura encada nivel de piso. El modelo cortante es también denominado de acoplamiento cercano yaque el comportamiento de un piso es influido sólo por los dos adyacentes, superior einferior. Otros modelos corresponden al “resorte de flexión” usado para estructuras conmuros de corte y el modelo de corte-flexión el cual acopla cinco niveles por cada piso, dossuperiores y dos inferiores.

MODELOS DISCRETOS

Son también denominados modelos de rótula puntual. El análisis dinámico inelásticousando estos modelos es llevado a cabo a nivel del elemento integrante de laestructura. Esto es, la estructura (un edificio aporticado, usualmente) es discretizadoen elementos prismáticos: vigas, columnas y placas (figura 2.4). En algunasformulaciones los nudos son tratados como elementos separados (30). Un grannúmero de variantes ha sido desarrollado, trabajando con pórticos planos y otrasaproximaciones para resolver estructuras tridimensionales.



La denominación general de RÓTULA PLÁSTICA de este tipo de modelo derivadel efecto que produce la fluencia en los elementos, se supone que la rótula se formaen el punto donde la capacidad fue excedida y no sobre la longitud continua delelemento. en una sección dada o en un punto a lo largo del eje longitudinal delelemento.

El criterio de fluencia de este modelo es debido a la flexión o a una curva deinteracción de fluencia. En el primer caso la fluencia ocurre cuando el elementoexcede la capacidad de momento plástico Mp. Esto puede ocurrir para algunadirección del momento (positivo o negativo). En algunas formulaciones estechequeo es hecho en el extremo de los elementos, es posible subdividiendo la vigaen varios tramos considerar la formación de rótulas a lo largo del elemento, aunquese debería formar siempre en puntos preespecificados.

MODELOS POR ELEMENTOS FINITOS

Los modelos por elementos finitos idealizan cada elemento estructural como unensamblaje de un alto número de elementos finitos. Estos pueden ser de varios tipostales como bielas, elementos tipo viga, elementos para esfuerzo plano y/odeformación plana o incluso elementos tridimensionales.

MODELOS DE FIBRA

Estos modelos que fueron desarrollados inicialmente para estructuras de acero,también han sido extendidos a modelos estructurales de concreto armado. Laestructura es primeramente discretizada al nivel del elemento como en el modelo derótula puntual, entonces cada componente, viga o columna, es dividida en variostramos (segmentos), cada cual es compuesto por una serie de franjas (fibras) paralelas(figura 2.6).



Se supone que se conocen las características fuerza-deformación para cada fibra y lasdeformaciones como los esfuerzos en la estructura, son calculadas a través de un análisis paso a paso. La fluencia de las fibras es aquí precisamente un fenómeno definido y permitemantener un valor de la tendencia de plasticidad a través de un segmento y a lo largo de lalongitud del elemento.

Muchos modelos de fibra no consideran este efecto. Algunas simplificaciones se realizan para deducir la rigidez del elemento a partir de las propiedades de las secciones. Se integrasobre la longitud del elemento en un número de secciones escogidas usando una función deinterpolación predeterminada. Esta función de interpolación puede no reflejar exactamente

la variación de rigidez a lo largo del elemento ya que esta variación cambia como lascondiciones de carga evolucionan.

MODELOS HISTERETICOS

Para estudiar la respuesta inelástica de un sistema discreto de masas, se debeestablecer un modelo matemático de las características de la fuerza de restitución y deaquí definir la relación entre la fuerza cortante en el entrepiso y la deflexión delmismo.

Estos modelos deben proporcionar la rigidez y resistencia del miembro, los cuales

varían en cada instante de tiempo con la historia de cargas y deformaciones producidas por el movimiento sísmico. A continuación, se describen algunos de losmodelos histeréticos (4, 20) que se han desarrollado para representar elcomportamiento dominante por flexión de elementos de concreto armado durantecargas cíclicas.



MODELO BILINEAL

Debido a su simplicidad, el sistema histerético bilineal ha sido usado extensamente para estructuras de acero y de concreto armado. El modelo puede ser descritomediante sólo tres reglas, y solamente se consideran dos rigideces en el modelo: la

rigidez elástica y la de fluencia. Las pendientes de descarga y de la carga en reversa,es la misma de la etapa elástica.

La observación general en este modelo es que: la disipación de energía es grande paradeformaciones de amplitudes altas, y para amplitudes bajas no se consideradisipación de energía histerética. En la figura 2.8, se muestra este tipo de modelo.

MODELO DE TAKEDA

Takeda, Sozen y Nielsen, propusieron un modelo más complicado basado en laobservación experimental. Este modelo usa una curva primaria trilineal, simétricacon relación al origen. La curva de carga básicamente está dirigida hacia el máximo punto alcanzado anteriormente en esa misma dirección. La pendiente de la curva dedescarga se degrada dependiendo de la deflexión máxima alcanzada anteriormente encualquier dirección, según una función experimental. La rigidez degradada dedescarga se expresa como:

Donde C, Y indican los niveles de agrietamiento y fluencia respectivamente, α es el

parámetro de degradación de rigidez a la descarga. El modelo de Takeda, se aplicaa elementos donde la falla es predominantemente por flexión.



PROBLEMA

Obtención de la carga de colapso plástico mediante la formación sucesiva de rótulas

plásticas

1. Acotación de la carga de colapso plástico mediante los teoremas estático ycinemático

Se acotará la carga plástica con un diagrama estático cualquiera para la cargaestática Pe y con un mecanismo tipo viga para la carga cinemática Pc al solo efectode verificar que la carga plástica Pp a obtener está dentro de los límites del teoremade unicidad.

El diagrama de momentos flectores para esta estructura con estas cargas será



Para las características de las secciones de esta estructura, la sección que primero alcance la plastificación será en el nudo superior derecho sobre la barra vertical, donde puede plantearse

2.5m x P = Mp1

Pe = Mp1 / 2.5m

Pe= 32.292 KNxm / 2.5m = 12.92KN … (Carga Estática)

Para encontrar una cota superior utilizando el teorema cinemático, proponemos unmecanismo cinemático y obtenemos una carga cinemáticamente admisible que será unacota superior de la carga de colapso. El mecanismo puede ser por ejemplo de rotura tipo

viga.

- Trabajo externo:

2P x δ = 2P x 1.5m x θ = 3m x P x θ - Trabajo interno

2Mp1(θ) + Mp2(θ) = 2x32.292 KN.m(θ) + 2x59.064 KN.m(θ) = 182.71 KN.m(θ)

- Igualando por trabajos virtuales el trabajo externo e interno

3m x P x θ = 182.71 KN.m(θ)



Simplificando el ángulo θ 3m x P = 182.71 KN.m

- La carga cinemática será:

Pc = 182.71KN.m/3m = 60.90KN …(Carga Cinemática)

→ Por lo tanto la carga de colapso plástico quedará acotada entre:

12.92KN ≤ Pp ≤ 60.90KN

Cargas de Colapso Plástico

Como primer paso es necesario identificar y enumerar las secciones donde exista la posibilidad de formación de rótulas plástica. Éstas por lo general se encuentran enempotramientos, en apoyos puntuales, en el encuentro de barras y en los puntos deaplicación de carga. En el caso particular de encuentros de barra, debe plantearse la

posibilidad de formación de rótulas plásticas en el extremo de cada una de ellas, ya que bien podrían tener secciones distintas como así también distintos valores de momentoflector. En el caso analizado pueden encontrarse seis posibles ubicaciones que se indican acontinuación.

Una vez identificadas las posibles secciones de plastificación estamos en condiciones deobtener la carga con la cual se formará la primera rótula.

Si se toma una carga P unitaria y se carga la estructura, es posible obtener un diagrama demomentos que llamaremos M. Al aplicar una carga P, distinta a la unitaria, los momentosse amplificarán proporcionalmente en cada sección. Este diagrama de momentos unitario



multiplicado por algún valor dado de P, será válido hasta que alguna de las secciones lleguea la plastificación.

Por lo tanto este diagrama ser irá incrementando proporcionalmente hasta que alguna de lassecciones se plastifique y forme una rótula plástica. Si se denomina con ΔP1i el incrementonecesario a aplicar al diagrama unitario M1 para que una sección i llegue a plastificarse, para llegar al estado plástico en una sección debe cumplirse que:

Mpi = ΔP1i x M1i



Puede observarse que el menor valor de ΔP1i se da en la sección 6 para un incremento decarga:

ΔP1 = 36.65KN

Por lo tanto cargando la estructura para una carga P = ΔP1 se obtienen los diagramas demomentos cuando se forma la primer rótula. Llamando P1 a la carga bajo la cual se formala primera rótula, el momento en cada una de las secciones resultará entonces de multiplicarlos momentos unitarios por el valor de esta carga:

M1i = M1i x P1

Con lo cual pueden obtenerse:

Y cargando la estructura con P1 se calculan entonces los diagramas de momentos flectoresen toda la estructura:



En el diagrama de momentos M1 correspondiente con P1 puede observarse que en lasección 6 se ha alcanzado el valor del momento plástico mientras que en el resto de laestructura los momentos flectores son siempre menores que el momento plástico Mp de lasección correspondiente. Cuando se forma una rótula plástica en la estructura, el momento

flector se mantiene constante en un valor Mp para cargas creciente. De este modo, la rótula plástica equivale a una articulación cargada con un par de momentos exteriores de valorMp.

Dada esta equivalencia, si colocamos una articulación cargada con momentos en extremode barra en la sección donde se ha formado la rótula plástica y cargamos la estructura con lacarga P1 que ha formado la primera rótula, los diagramas tendrían que ser equivalentes.



Puede observarse que los diagramas obtenidos en la estructura sin articular con P1 y laarticulada y cargada con un par de Mp son iguales. Una vez alcanzada la carga P1 donde seha formado la primera articulación plástica; ante cualquier incremento de cargas elmomento en la sección plastificada permanece constante en el valor Mp. De este modo, para cargas mayores a P1 (y menores a la de la formación de la segunda rótula) la

estructura ha perdido un grado de hiperestaticidad, incorporando una articulación cargadacon un par de momentos de valor Mp de manera que en esa sección el valor de momentosse mantendrá constante en Mp.

El menor valor de ΔP2i se da en la sección 1 con un incremento de carga:

ΔP2 = 2.57KN

Es decir que se ha incrementado la carga P1 en un valor ΔP2 de 2.57KN y se ha formado lasegunda rótula plástica. Por lo tanto, la carga P2 para la que se genera la nueva articulaciónes:

P2 = P1 + ΔP2



Generalización del proceso de obtención de Rótulas Plásticas y la Carga últimaPlástica

Las cargas y las secciones para la formación de las j-ésimas articulaciones se obtienen de lasiguiente forma:

o) Identificación de las i secciones donde existe la posibilidad de formación de rótulas plásticas. El estado inicial será la estructura sin cargar donde se tiene que entonces la cargainicial P0=0 y los momentos en las distintas secciones M0i=0.

a) Obtención del diagrama de momentos para cargas unitarias en la estructura Mji

b) Cálculo del incremento de cargas que plastificaría a las secciones:

ΔPji = (Mpi – M(j-1)i ) / Mji

c) Obtención del incremento de cargas que lleva a la formación de la rótula plástica eidentificación de la sección plastificada

ΔPj = Mínimo(ΔPji) – la sección plastificada será aquella donde se ΔPji es mínimo

d) Carga total que lleva a la formación de la j-ésima rótula

Pj = P(j-1)+ ΔPj

e) Obtención de los momentos flectores en las distintas secciones de la estructura:

Mji = M(j-1)i + Mji x ΔPj

f) Modificación de la estructura con el agregado de la j-ésima articulación en la secciónobtenida en c)

g) Si no se ha formado un mecanismo cinemático por la introducción de la rótula, se vuelvea calcular a partir del punto a) con la estructura generada en f) para obtener la rótula j+1. Sise forma un mecanismo móvil, la carga Pj será la carga última plástica y la estructura

obtenida en f) será el mecanismo de rotura.



Relación entre las cargas y los desplazamientos

A medida que se van formando las rótulas plásticas, se pudo observar que la estructura vacambiando de configuración de manera de ir perdiendo grados de hiperestaticidad por loque ante la aparición de cada articulación se irá “ablandando”. Si se calculan los

desplazamientos de la estructura para las cargas que van formando las sucesivas rótulas y selos grafica en un diagrama carga-desplazamiento puede observarse este proceso dedebilitación.



Trabajo externo:

P x δ1 + 2P x δ2 = P x 2m x θ + 2P x 1.5m x θ = 5m x P x θ

Trabajo interno

3 Mp1 x θ + 2 Mp2 x θ = 3 x 32.292 KN.m x θ + 2 x 59.064 KN.m x θ = 215 KN.m x θ

Igualando por trabajos virtuales el trabajo interno al trabajo externo

5m x P x θ = 215 KN.m x θ simplificando el ángulo θ

5m x P = 215 KN.m

Con lo que se tiene la carga cinemática

P = 215KNxm / 5m = 43KN

Como era de esperar, como el mecanismo cinemático es el de colapso, la carga cinemáticaobtenida es la carga última plástica tal como se ha llegado mediante el proceso deformación secuencial de rótulas plásticas.

rotulas plasticas - una tesis

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