rozdział 6 całki iterowane i w ielokrotne - mimuw.edu.plrybka/chemia/roz-ch6.pdf · rozdział 6...

Rozdział6

Całki Iter owanei Wielokrotne

W rozdzialetrzecimprzedstawili smyteorie całki Riemannafunkcji jednejzmiennej.Całke in-terpretowalismy jako polepodwykresu(tj. figury ograniczonejwykresemfunkcji i osia

��, z

uwzglednieniemznakufunkcji). Jestto niewystarczajacedo badaniabardziejzłozonych figurczy brył przestrzennych,alezachowamypomysł,by dzielic badana figure nacienkieplasterkioktórychumiemycosorzec.

Pózniej, w rozdziale7. obok zastosowan geometrycznych opowiemy o zastosowaniachdofizyki np. do praw zachowaniai objasnimynapisy�� div �� oznaczajaceprawo ciagłosci przepływucieczytj. prawo zachowaniamasy. Symboldiv

�oz-

naczadywergencje (zródłowosc) polawektorowego��

,

div� � ��

�� !Takzew rozdziale7. skomentujemytakieobiekty, jak ów magiczny operatordiv

�. Najpierw

przedstawimy niezbednepodstawy, czyli całki wielokrotne.

6.1 Całka Iter owana

Zaczniemyodpomocniczejdefinicji. Niech "�#%$ � � # oznacza(uogólniony) prostopadłoscian"�# �'&)( �+*-,.�0/21 &3(54 *-, 4 /21 !6!7! 1 &3( # *-, # /gdzie

( �98 , � . Wprowadzananowa notacjadopuszczaprzypadekwielowymiarowy, alenajwaz-niejszyjestten,gdy : �<; lub : �<= .

Niech > � "%# �?� �bedziefunkcja ciagła,kładziemyteraz@ A> * "�# ��BDCFEG E BDCFE0HJIG E0HJI !6!7! BKC IG I >L �+* M4 * !7!6! * # ONP � QNP M4 * !7!6! ONP #

1

2 ROZDZIAŁ 6. CAŁKI ITEROWANE I WIELOKROTNE

uzasadnimy, zeliczba@ A> * "�# oznaczamiarepodwykresu > , tj. zbioruR S> L�UT �V* !W!W! * # * #-X � ZY "%# 1 � �[� �]\^ #-X � \ >L �V* !6!6! * # lub >_ �+* !7!6! * # Z\` #-X � \a�cb !

Pojawiaja sie jednaknatychmiastpytania:1. Czy

@ S> * "%# zalezy od kolejnoscicałkowania?2. Dla jakiej klasyfunkcji liczba

@ S> * "%# jestdobrzeokreslona?3. Czymozliwe sauogólnienia?

Liczbe@ A> * "�# bedziemynazywali całka iterowana funkcji > naprostopadłoscianie"�# . Jesli

nie bedzieprowadzic to do niejasnosci, to bedziemypomijali "%# w oznaczeniu.

Przykład 1. Przyjmujac geometryczna interpretacje@ S> * " 4. obliczmy dla wprawy objetosc

ostrosłupao podstawie kwadratu,majacego wierzchołki w Ad]e * �5 * � * d]e i wysokosci 1. Dlawygodyrachunkowej zajmiemysie jego czescia lezaca w pierwszejcwiartceukładu

� ��f. Za-

uwazmy, zescianabocznajestwykresemfunkcjig *ih j�lk e�maVn n � n h n * gdy�K\` *oh oraz n n � n h n \ e� * gdy�K\` *oh 8 e oraz n n � n h nPp�e .

Wtedy, kładziemy " 4q�r&s� * e / 4 i mamy@ g * " 4V t� B �u B �u g *oh ON h ONP v�<B �u B �Ow5xu ye�m m h QN h NP � B �u zye{m | 4 m h 4;<}}} �Ow5xu QN5 ~� e; B �u ye{m | 4 � e�Potej rozgrzewceodpowiemynapierwszez zadanych pytan.

Twierdzenie1. Jesli > � "�# �?� �jestciagła,to

@ A> * "�# nie zalezy od kolejnoscicałkowania.

Dowód. Podamytylko jegoszkic.Rozpatrzymy> szczególnejpostaci,>_ | _� g � � �� !W!.! � g #J # ! ye Wtedy @ A> * "�# t� BDCFEG E BDCFE0HJIG E0HJI !6!7! BKC IG I g � � j� g 4 M4� �� !6!7! � g #� # QNP � !6!7! NP #� BDCFEG E g #P # QN5 # !6!7! BKCF�G � g 4 M4. ONP M4�BDC IG I g � � QNP �� B C��i� EA�G �i� EA� B C��i� EyH�I7�G �i� EyH�I7� B C��i� I7�G �i� I7� g � � !6!7! g #� # ONP ��.� �A� !7!6! ONP ��.� # �gdzie � jestdowolnapermutacjazbioru

T e * !7! * : b . Tym samymnaszetwierdzeniejestprawdziwedla funkcji postaci(1).

6.1. CAŁKA ITEROWANA 3

Zauwazmy, ze naszetwierdzeniejest prawdziwe dla sumfunkcji postaci(1). W dalszymciagupotrzebny nambedziefakt,który pozostawimy bezdowodu.

Twierdzenie2. Dowolna funkcje ciagła > � "�# �?� �moznaprzyblizac funkcjamipostaci� � �� c� � > � ;P

gdzie � � Y � � * zas > � sapostaci(1), tj. dla dowolnej funkcji ciagłej > i dowolnego �]p � istniejetakafunkcja

�danawzorempostaci(2), któraspełnian7n)>�m � n�n � \ � !

Wtedy n @ A> * "�# m @ � * "%# n � n @ A>�m � * "%# n � }}}}} BKCFEG E !6!7! BKC IG I A>�m � | ONP � !W!W! N5 # }}}}} !Z własnosci całki Riemanna(twierdzenie3.44)dostaniemyn @ S> * "%# m @ � * "%# n \ B CFEG E !W!W! B C IG I n�S>9m � n NP � !7!6! N5 # \ B CFEG E !W!W! B C IG I � N5 � N5 # � � vol S"%# =5 gdzievol "%# � ,W� m ( � �� !W!W! � , #�m ( # , (patrztez 2.5.4).

Skoro@ � * "%# nie zalezy od kolejnosci całkowania,to i

@ S> * "%# nie zalezy od kolejnoscicałkowania.Aby sie o tym przekonac połozymy@ � A> * "%# _� BKC��i� EQ�G �i� EQ� !W!.! BDC��i� I7�G �i� I7� >_ �+* !W!W! * # ONP �.� �A� !W!.! NP �.� # �Wtedydla

�takiego, jak w (2)n @ � A> * "�# m @ A> * "�# n � n @ � S> * "%# m @ � � * "%# � @ � * "�# m @ A> * "�# n\ n @ � A>�m � * "%# n � n @ S>�m � * "�# n

z mocy (3) dostaniemy n @ � A> * "�# m @ A> * "�# n \�; �dla dowolnego � , stad

@ � S> * "%# L� @ S> * "%# .Zauwazmy, zew istocierzeczyw przykładzie1 policzylismyBW� g * gdzie � �UT *oh �Y � � 4 � *ih�� * � h \ e b *

bo funkcja g była równa0 poza � .Zapomocacałki iterowanejmozemyokreslic �o�%>_ | �N5 wzoremB � >_ | �N5 �� @ A> * "%# _��BDC EG E !W!W! BKC IG I >_ �V* !W!W! * # ONP � !W!W! NP # *


jesli tylko > na brzegu � jest równa zero, bo wtedy > mozna łatwo przedłuzyc na dowolnyprostopadłoscian"%# zawierajacy � , amianowicie�>L | _� k >L | * gdy

�Y �� * gdy �Y "�#¡ �� £¢

Wtedy�> � "�# � jestciagłai

@ �> * "%# jestdobrzeokreslona.Jednakw ogólnosci funkcja

�> danawzorem(4) nie jest ciagław "%# . Moznaten problempróbowac obchodzic dlazbiorów � specjalnejpostaci,np. gdy� �¤T �+* M4� -¥o(�\` � \ , i ¦§ � ¡\^ M4¨\^© � ib *to wtedymozemypołozycB � >_ �V* M4. �NP � NP M4§� B CG�ª BK« � x I �¬ � x I � >_ �V* M4. ONP M4i�NP �Co robic w ogólnosci? W odpowiedzi uwazniej przyjrzymy sie całceiterowanej. Dla prostotyprzyjmiemy ® �'; !

Niech �¯$ � � 4 bedzie(dosc) dowolnym zbioremograniczonym i > � � �� niechbedziefunkcja ciagła. Dzieki temu,zezbiór � jestograniczony, istniejetaki prostokat" , ze �°$±" . Okreslamy

�> � " � � �wzorem(4). Chcemyobliczyc objetosc zbioru ² �R �> $ � ��³ . W tym celuwprowadzamypodziałodcinka

&3( �+*-,.�O/ , ( � u 8 � !7!6! 8 !6!7! \^ � � ,.� ikładziemy� � �a � X � m � . Dzielimy ² nacienkieplasterki ² � o grubosci � � (jak narysunku1).

´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´µ µ µ µ µ µµ µ µ µ µ µ ¶¶¶···¸¹ x

y

Q

f(x,y)

iGZ

Rys.1. Plastereko grubosci � � .

6.2. MIARA ZBIORÓW W� �»º

5

Ich przyblizonaobjetosc, to wysokosc razypolepowierzchni.Wysokosc równasie � � , polepowierzchni,to B CF�G � �>L�¼ � *ih QN h A½ gdzie ¼ � Yl& � * � X �Q/ . Zauwazmy tez, ze w (5) całkujemykonieczniefunkcje nieciagła, nawetjesli > funkcja była ciagła. Tak wiec całkaRiemannafunkcji nieciagłychokazałasie zwykłazyciowakoniecznoscia! Oznaczmyobjetosc plasterka² � przez ¾9S² � ) mamywiec¾�A² � _� � � BDCF�G � �>LF¼ � *oh ON h !Zauwazmy, zeprawastronamapostac � � � ¦qF¼ � *gdzie ¦qF¼ � _� BKCF�G � �>LF¼ � *oh ON hi ¼ � Y¿& � * � X �O/ . Zatemsuma�� ¾9S² � _� �� B CF�G � �>_F¼ � *oh ON h � �� ¦qF¼ � jestsumaRiemanowska. Az prosisie,abynapisac, zeobjetosc podwykresu² , to¾�A² L�[BKC IG I ¦q | QNP À��BDC IG I BDCF�G � �>j *oh ON h ONP �� @ �> * " Tyle zenie wiemywieleo ciagłosci funkcji ¦ alboraczejo z zbiorzepunktównieciagłosci.

Wyrazenie � C IG I � CF�G � �>L *oh ON h N5 nazwiemyiterowana całka Riemanna. Poniewaz rozszerza-my > zerem,to bedziemychcieli napisacB � >_ *ih �NP MN h � @ �> * " *gdzieprostokat "ÂÁ�� jestdowolny.

Zajmiemysie terazustaleniemkiedy iterowanacałkaRiemannaistniejei nie zalezy od ko-lejnosci całkowania. Spodziewac sie nalezy, ze odpowiedz zalezy i od funkcji > , i od zbioru� .

6.2 Miara zbiorów w ÃÅÄ ®Podejrzewamy, ze miare, bedaca uogólnieniemdługosci odcinka,pola powierzchniczy obje-tosci, bedziemyprzypisywali, byc mozenie wszystkim,ale tylko „dobrym” zbiorom. Nie jestwszaknaszymcelemwchodzeniew subtelnosci ogólnej teorii. O zbiorach,które maja miare


bedziemymówili, zenaleza do DobrejKlasy Zbiorów, tj. Æ�ÇÈ² . Ponizej opiszemypostulaty,którychwypełnieniaoczekujemyod Æ�ÇÈ² .

(DKZ1) É * � � � Y Æ�ÇÈ² ;(DKZ2) jesli ² �V* ² 4ÊY Æ�ÇÈ² , to ² �|Ë ² 4 * ² �|Ì ² 4 i ² � P² 4 saw Æ�ÇÈ² ;

(DKZ3) jesli " jestdowolnym prostopadłoscianem,to " i Í" saelementamiÆ�ÇÈ² .

Trzebaw tym miejscuprzypomniec, ze Í" oznaczawnetrzezbioru � (patrz§4.1.2.definicja5).Oczekujemyzeımiaraspełnianastepujacewarunki:(M1) dla dowolnego ² Y Æ�ÇÈ² mamy ¾�A² � � i ¾9£É L�<� ;(M2) jesli Î i Ï Y Æ�ÇÈ² , nadtoÎ Ì Ï � É , to ¾9FÎ Ë Ï _� ¾9£Î � ¾9£Ï ;(M3) jesli " jestuogólnionym prostopadłoscianem,to ¾9S" _� vol " .

Wynikastad,zezawsze ¾�£Î Ë Ï §\ ¾�£Î � ¾9SÏ * � bo Î Ë Ï � £ÎÐ ÊÏ Ë SÏ� �Î Ë £Ï Ì Î , skadwypływa teza,po zastosowaniu(M2). Dalszywniosekjestnastepujacy. Jesli Î¤$aÏ i dodatkowo ¾9£Î 8^Ñ , to ¾9£Î^mÒÏ �� ¾9£Î m~¾9SÏ .

Aby uniknac nieporozumien bedziemypisac ¾ � dla oznaczeniamiary zbiorów� � �

.Chcielibysmymiec praktyczny sposóbobliczania¾ � S² , gdy ² Y Æ�ÇÈ² . Jesli ² jestogra-

niczony, to dosc naturalnym pomysłemjestpołozyc,¾ � A² L� BÔÓ%Õ2Ö | ONP gdzie "ÂÁ�² jestdowolnymprostokatemzawierajacym ² , zas

Õ2Öjestfunkcjacharakterystyczna

zbioru ² . W tym momenciejestjasnym, zenieunikniemydokładnejcharakteryzacjiwarunkówistnieniacałekiterowanych.

Zaczniemyoddefinicji. Dla u Y � � � i ×Øp � zbiór"v u * × L�UTÙ �Y � � � ¥ n � m u � n 8 ×; b

nazwiemykostka otwarta o srodkuw punkcie u i krawedzi × . Wierzchołkamikostki nazwiemy

punkty u d'Ú4ÔÛ � , Ü � e * !W!W! * ® .

Definicja 1. Powiemy, zezbiórR Y � � �

mamiare zero, jesli dla dowolnego �Kp � istniejetakarodzinakostek

T "v � * × � ob �� , zeR $ Ë �� "� � * × � i�� vol S"v � * × � i _� �� × �� 8 � !

Przykład 2. JesliR � &)( *-,o/Z1 TÞÝÔb $ � � 4

, to wykazemy, ze ¾ 4 R K�ß�. Niech

(à�á u 8 � !6!7! 8 � � , bedzierozbiciemprzedziału&3( *-,o/ zadanym wzorami

� �t( � C w G� Ü . Wtedykostki "� � * 4� , Ü �<� * !.!W! * ® pokrywaja

R, vol "v � * 4� _� â� � nadto�� u vol "� � * ;® L� ¢M£® � e ® 4

6.2. MIARA ZBIORÓW W� �»º

7

zbiegado0, gdy ® � Ñ. Innymi słowy dostalismy:

Wniosek 3. Brzeg kwadratumamiare zero.

Dowód. Wynika to natychmiastz poprzedniegoprzykładui z własciwoscimiary. ãäPrzykład 3. Niech

R �UT *oh ¡Y � � 4 ¥å 4 � h 4 � e b ! Wykazemy, ze ¾ 4 R _�� . Kładziemy �� *ih �� L� Fæ.ç�è ;Þé Ü® * èzê7ë ;Þé Ü® Ü �<� * e * !6!7! * ®�m^e * × � ��;ì� ¢ é® !Z twierdzeniacosinusówi zewzoruTayloranietrudnosprawdzic, zedla dostatecznieduzych ® ,mamyze í � w�� u "vi �� *oh �� * × � Á R . Dalej vol "�z �� *ih �� * × � ��ïî âOð �� , zatem� w�� u vol "vi � *oh � * × � _� � ¢ é 4® � � *gdy ® � Ñ

. Szczegółowe rachunkipozostawiamyczytelnikowi.

Przykład 4. NiechR �Â&)� * e / 4 1 TÞ�cb $ � � ³ , wtedy ¾ 4 R _�� . Połózmyñ �3ò � Ü® *5ó® * �� ó * Ü �� * e * !6!6! * ® !

Wtedy ��)ò � u vol "� ñ �)ò * ;® L� F® � e 4ìô® ³ � � * gdy ® � Ñ !Mozemytakzewysłowic warunkiistnieniacałki iterowanej.

Twierdzenie4. Niech �õ$ � � � b"dziezbioremograniczonym, > � � � � �i " jestdowolnym

prostopadłoscianemzawierajacym � . Kładziemy�>L | _� k >_ | * gdy �Y �� * gdy �Y "a {� .

IterowanacałkaRiemanna@ A> * " istniejei nie zalezy od kolejnosci całkowaniawtedy i tylko

wtedy, gdy funkcja�> jestograniczonai zbiórö ��TÙ ÷Y " � �> nie jestciagław punkcie

øb Aù mamiare0. (Bezdowodu).

Od tego momentubedziemypisac �o��>_ | QN5 zamiast@ A> * " i bedziemynazywac całke�o��>_ | ONP całka wielokrotna.

Zastosujmyprzedstawionawyzej charakteryzacje domiary zbioru ²�$a" ,¾ � S² _�<B Ó Õ�Ö | ô


Wynika z niego, ze funkcjaÕ2Ö

musi miec zbiór nieciagłosciö

, spełniajacy ¾9 ö v��. Za-

uwazmy, ze w przypadkufunkcji charakterystycznejzbioru ² mamyö �ú� ² . Uzasadniato

nastepujaceokreslenie.

Definicja 2. Powiemy, zezbiór �ú$ � � �jestmierzalnyw sensieJordana-Riemanna, jesli

� �mamiarezero.

Uwaga. Od tej chwili uznajemy, ze zbiory mierzalnew sensieJordana-Riemannanaleza doÆ�ÇÈ² ! Aczkolwiek, byc moze nie wyczerpuja one tej klasy zbiorów. Nie bedziemyzgłebiactego tematu.

Widaczatem,zemozemycałkowac tylkopozbiorachmierzalnychw sensieJordana-Riemanna.Chcielibysmymiec warunekistnienia �o��>_ | �NP nie w terminach

�> , alesamejfunkcji > . Jeslizbiór

öjestokreslony tak, jak w (7), to od razuwidac, zeö � ö u Ëüû

gdzie ö u �¤TÙ �Y � � > nie jestciagław punkcie øb *

zas û $ � � . Zakładajacmierzalnosc � dostaniemy, ze ¾� û 9\ ¾9 � � �� . Zatemz (M2)�� ¾9 ö L� ¾9 ö u Ë�û � ¾9 ö u _�<� !Zatemz powyzszegotwierdzeniadostajemynastepujacy wniosek.

Wniosek 5. Załózmy, ze �?$ � � �jest mierzalny w sensieJordana-Riemannai ograniczony.

Wtedy, istnienie B � >_ | �NP jestrównowaznetemu,zezbiór

ö(taki jak w (7)) mamiare 0 i funkcja > jestograniczona.

6.3 Własciwoscicałek i miary

Sformułujemyterazszereg własciwosci całekbedacych uogólnieniamiznanych cechcałekRie-mannana przedziałach.Zakładamyponizej, ze zbiór �t$ � �{�

jest ograniczony i mierzalny wsensieJordana-Riemannaa funkcje > * g � � � � �

sa calkowalnetj. całki �-�%> * �o� g sa dobrzeokreslone.

Stwierdzenie6. Niech � *oý Y � � , wtedyB � � >_ | � ý g | i �NP �� B � �>_ | �NP � ý B � �g | �N5 !Dowód. Niech " bedzietakakostka, ze "ÂÁa� i

�> * �g sadanewzorem(4), wtedy

6.3. WŁASCIWOSCI CAŁEK I MIARY 9þ � BÙÓ � �>_ | � ý �g | i QN5 ÿ� B C��G � !7!6! B C IG I � �>L | � ý �g | i QN5 � !7!6! NP � � � dzieki własciwosciomcałekRiemannanaprzedziałach � ß� BDC��G � !6!6! � BKC IG I �>L | ONP � � ý BDC IG I �g | QNP � ONP M4 !6!6! N5 � �� B C �G � !7!6! B C IG I �>_ | ONP � NP � � ý B C �G � !7!6! B C IG I �g | QNP � NP � �� B � >L | �NP � ý B � g | �NP ��

ãäStwierdzenie7. Niech � � � �JË � 4 , gdzie � ��Ì � 4q� É i � �V* � 4 samierzalne.Jesli > � � � � �jestcałkowalna,to B � >_ | �NP ÿ�[B � I >_ | �NP � B � � >L | �NP !Dowód. Mierzalnosc zbiorów � � i � 4 zapewnia, zefunkcje g � � > Õ �� , Ü � e * ; sa całkowalne.Dzieki stwierdzeniu6 mamyB � >_ | �NP �� B � g � � g 4+ | �NP ÿ� B � g � | �N5 � B � g 4 | �NP À� B � I >_ | �NP � B � � >_ | �NP ! ãäStwierdzenie8. Jesli funkcje > * g � � �?� �

sacałkowalnei >_ | Z\ g | dlawszystkich ÷Y � ,

to wtedy B � >_ | QNP �\�B � g | ONP !Dowód. Wynika on z analogicznejwłasciwosci dla całek po przedziałachzastosowanej do

schematudowodustwierdzenia6. Mianowicie, z załozeniawynika�> \ �g , anastepnieB � >_ | QN5 ÿ� @ �> * " Z\ @ �g * " L� B � g | QN5 ! ãä

Stwierdzenie9. Niech � \ >L | Z\�dla wszystkich

÷Y � . Wtedy

�ÿ¾9S� ¡\�B � >_ | QN5 �\� ¾9£� !Dowód. Wynikaonbezposredniozestwierdzenia8 i z faktu � � >L | �NP À� ¾9S� . ãäStwierdzenie10.Jesli ¾9£� L�� i funkcja > jestograniczona,to � � >L | �NP ÿ�� .


Dowód. Skoro m � \ > \�, to ze stwierdzenia9 mamy m¨¾9£� �� \ � � > NP a\�� ¾�S� .

Stadi z załozenia¾9£� L�<� , wypływateza. ãäTwierdzenie11. (o wartosci sredniej).Załózmy, ze > jestcałkowalna,nadto >_ | §Y & � * � / dlapewnych � * � Y � �

i wszystkich ÷Y � . Wtedyistniejetakie ¼ Y¿& � * � / , zeB � > NP ÿ� ¼�¾9£� !

Dowód. Ze stwierdzenia9 mamy, ze �i�>L | ONP aY'& �ÿ¾9S� * � ¾9S� / . Terazistnieniezadanejliczby jestoczywiste. ãäStwierdzenie12. Jesli > * g � � � � �

sa całkowalnei zbiór ² �±TÙ àY � � >_ | � � g | ob mamiare zero,to wtedy �o��> NP �� o� g NP .

Dowód. Kładziemy� | _� >L | m g | . Zestwierdzenia7 mamy,B � � | ONP À�[B �� Ö � | ONP � B Ö � | QN5 À�� B Ö � | ONP !

Zestwierdzenia10 dostaniemy� Ö � | QN5 ÿ�<� , zatemw mysl stwierdzenia6��<B � � | QN5 ÿ�[B � A>L | m g | z ONP ÿ�<B � >L | m B � g | ONP *stadwypływa teza. ãä6.4 Inter pretacjageometrycznamierzalnosciw sensieJordana-

Riemanna

Wprowadzimyw� ��

siatki zbudowanez wierzchołkówkosteko boku � * � p � , tj.� �� L�UTÙ �Y � � � � ÿ� �� * � Y�� b !Badamyzbiór �r$ � �� . Tworzymyzbiory:��Ô�� zamierajacy � abedacy sumakosteko boku � i o wierzchołkachz siatki

� �� ;

��

��

��

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !" " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " "# # # # # # # # # # # #$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

% % % % % % % % % % % % %& & & & & & & & & & & & &' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( () ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )* * * * * * * * * * * * *

6.4. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA MIERZALNOSCIW SENSIEJORDANA-RIEMANNA11

Rys.2. Zbiór � � �� bedacy sumakosteko boku � i o wierzchołkachz siatki� �� zawartychw � .

++++++++++++

,,,,,,,,,,,,

-----------

............

/ / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / /0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 45 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 56 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 67 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 77 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 78 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 88 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

Rys.3. Zbiór � � �� Na rysunku2. w � � �� jest18 kostek;rysunek3. pokazujew � � �� 4 kostki, w � � :94 jest ich62 w � � 94 - 30.

;;;;;;;;;;;

<<<<<<<<<<<

===========

>>>>>>>>>>>

???????????

@@@@@@@@@@@A A A A A A A A A A A AA A A A A A A A A A A AB B B B B B B B B B B BB B B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C C CD D D D D D D D D D D DE E E E E E E E E E E EE E E E E E E E E E E EF F F F F F F F F F F FF F F F F F F F F F F F

G G G G G G G G G G G G GH H H H H H H H H H H HI I I I I I I I I I I I IJ J J J J J J J J J J JK K K K K K K K K K K K KL L L L L L L L L L L L

M M M M M M M M M M M MN N N N N N N N N N N NO O O O O O O O O O O O OO O O O O O O O O O O O OP P P P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P PQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QR R R R R R R R R R R RS S S S S S S S S S S S SS S S S S S S S S S S S ST T T T T T T T T T T TT T T T T T T T T T T T

UUUUUUUUUUU

VVVVVVVVVVV

WWWWWWWWWWW

XXXXXXXXXXX

YYYYYYYYYYY

ZZZZZZZZZZZ

[[[[[[[[[[[

\\\\\\\\\\\

]]]]]]]]]]]^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `a a a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b b bc c c c c c c c c c c cd d d d d d d d d d d dd d d d d d d d d d d de e e e e e e e e e e ee e e e e e e e e e e ef f f f f f f f f f f f fg g g g g g g g g g g gh h h h h h h h h h h h hh h h h h h h h h h h h hi i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i ij j j j j j j j j j j j jk k k k k k k k k k k kl l l l l l l l l l l l lm m m m m m m m m m m mn n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n no o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o op p p p p p p p p p p p pq q q q q q q q q q q q

Rys.4. Zbiory rtsvu 9wyx oraz r s u 9wyxJesli mamy

r s u�z x|{~}|�� u�� z x � r s u�z x�{ } �� u�� z x �to �� u�r s x�{�� s vol � u�� z x|{�� s z

�� u�r s x�{�� s z�

Jestfaktem,który podamybezdowodu, ze zbiór r jest mierzalny w sensieJordana-Riemanawtedyi tylko wtedy, gdy ��

9�� u�r s u�z x�x�{��¡ £¢9¤��

� u�r s u�z x¥x§¦Natomiast,zawszejestprawda, ze

��9¤��

� u�r s u�z x�x©¨ª�« £¢ 9¤�� u�r�s¬u�z x¥x .


Takie pojeciemierzalnosci jak w/g Jordana-Riemannajest pogladowe, lecz ma wady, np.zbiór r {� w¯®±°³² �µ´µ¶ w , tj. zbiór punktówz kwadratuo obu współrzednych wymiernych nie jestmierzalny, bo dladowolnego z¸· ²

� w u�r s u�z x¥x� ´�� zas

� w u�r s u�z x¥x�{ ²Zastosowaniado teorii całkowaniasanastepujace.

Twierdzenie 13. Niech r ¹»º ¼�

bedziemierzalny wg. Jordana-Riemannaa ½¿¾�r À º ¼całkowalna.Załozmy, zw ÁÃÂÅÄ bÃÆÄ �� jesttakim ciagiemrodzinkostek

ÂÅÄ { Á � u�� zÇÄ x bÉÈ�Ê�� ze Ë

�¡ÌÄvÍ Æ zÎÄ { ² � iÈ�Ê�� u�� zÇÄ x ¹Ïr oraz

Ë�¡ÌÄ¬Í ÆÑÐ Äyz

�{ �� u�r x§¦

Wtedy ÒÓ ½|u�� x�Ô � {

Ë�¡ÌÄvÍ Æ

È ÊÕ��ÒÖ�×ÙØÇÚÜÛ 9 ÊvÝ ½|u�� x�Ô �

Dowód. Załózmy, ze ÌßÞÃà Ó�á ½ á ¨â . Wezmy dowolne ã¸· ². Badamyróznice

ä Ä {ÒÓ ½�u�� x�Ô �æå È ÊÕ ��

ÒÖ�×çØÇÚ�Û 9 Ê Ý ½|u�� x�Ô � {

ÒÓ�è�éÃê ÊÚçëíì Ö�×çØÇÚ�Û 9 Ê Ý ½|u�� x�Ô �

Mozemydzieki mierzalnosci r tak dobrac zÎÄ , aby�� u�rïîñð È Ê�� u�� zÎÄ x¥x©¨ ãâ ¦Wtedy á ä Ä á ¨�â òôóõ { ã . ö÷

Odnotujmytez (bezdowodu).

Twierdzenie14. Jesli r jestmierzalny, ÁÃÂÅÄ bÃÆÄ �� jestciagiemkostektakim jak wyzej i punktyø Ä��ù � u�� zÇÄ x sadowolne,to wtedydlacałkowalnejfunkcji ½ú¾ûrüÀ º ¼ mamyÒÓ ½|u�� x�Ô � {

Ë�¡ÌÄ¬Í Æ

È¤ÊÕ �ý�� vol � u�� zÎÄ x ½|u ø Ä� xþ¦Tenfakt lezy u podstaw teorii całki rozwijanejw niniejszymopracowaniu: kazdacałkajest

suma nieskonczeniewielu przyczynków, któresa postaci:stałafunkcjaokreslonanakwadracie(lub równoległoboku,którajestobrazemkwadratu).

6.5. MIARA ZBIORÓW NIEOGRANICZONYCHI CAŁKI NIEWŁASCIWE 13

6.5 Miara zbiorów nieograniczonychi całki niewłasciwe

Chcemyodpowiedziec napytanie: czy zbiór nieograniczony mozemiec dobrzeokreslonepole(objetosc itd)? Odpowiedz jest twierdzaca,aczkolwiek szczegółowo zbadamywyłacznieprzy-padekzbiorównieograniczonych,któresapodwykresamifunkcji. Do wyłozeniamysli przewod-niej przydasienowy jezyk:powiemy, zerodzinaprostopadłoscianówÁ � È�ÿ ÆÈ �� wyczerpuje º ¼ Ä ,jesli dla kazdego Ð mamy � È�� È i � Æ�� { º ¼ Ä .

Załózmy teraz,ze � ¹ªº ¼ Ä jestnieograniczony, aletaki, ze

dla dowolnej rodziny prostopadłoscianów Á � ÈÉÿ ÆÈ �� wyczerpujacej º ¼ Ä , przeciecie

� È ® � jestmierzalnew sensieJordana-Riemanna. (O)

Wtedykładziemy � Ä�u�� x�{ Ë�¡ÌÈ Í Æ

� Ä�u�� ® � È xþ¦Musimy zastanowic sie, czy jest to dobrzeokreslonawielkosc, tj. czy zalezy od wyboruciaguÁ � È�ÿ ÆÈ �� .Stwierdzenie15. Przydotychczasowych załozeniachna � liczba

� Ä�u�� x jestdobrzeokreslona(choc nie wykluczamyprzypadku

� Ä�u�� x|{� ).

Dowód. Niech beda dane2 ciagi spełniajace(O), Á � � È ÿ ÆÈ �� i Á � w È ÿ ÆÈ �� . Zauwazmy, ze ciagiliczbowe

� Ä�u�� ® � �È x ,� Ä�u�� ® � wÈ x sa rosnace,awieczbiezne.Trzebapokazac, zegraniceË�«ÌÈ Í Æ

� Ä�u�� ® � �È x�{ ¾� � � Ë

�¡ÌÈ Í Æ� Ä�u�� ® � wÈ x�{ ¾

� wsa równe.Wykazemy, ze � � ¨ � w ¦ u� xZ definicji granicy wynika, zedla dowolnego ã · ²

istniejetakie � ó , ze� � å ã ¨ � Ä£u�� ® � �È xdla Ð

�� ó . Nadto,

� Ä�u�� ® � �È x ¨� �

, cowynikaz monotonicznosciciagu.Poniewaz obaciagiprostopadłoscianówÁ � � È ÿ ÆÈ �� i Á � w È ÿ ÆÈ �� wypełniaja º ¼ Ä , to dladowolnego Ð istniejetakie � , ze

� �È ¹ � w� . Dlatego � � å ã ¨ � Ä�u�� ® � �È x©¨� Ä£u�� ® � w� x ¨ � w �

gdy Ð�� ó . Poniewaz ã jestdowolne,to wnosimystadnierównosc (9). Tensamargumentdaje

i nierównosc przeciwna� w ¨ � �

, astadwynika równosc� w { � �

. ö÷Zastosujemytenwynik dorozszerzeniapojeciacałkiRiemannanaprzypadekfunkcji nieogranic-

zonych.

Definicja 3. Niech ¹�º ¼ Ä bedziezbioremnieograniczonym spełniajacym (O). Załózmy, ze� ¾� À º ¼ jest funkcja ograniczona i nieujemna, której zbiór nieciagłosci ma miare zero.Powiemy, ze � jestcałkowalnaw sensieniewłasciwymRiemanna, jesli

� Ä � � u��æu � x¥x�� .


Z mocy stwierdzenia15, jesli Á � ÈÉÿ ÆÈ �� jestdowolnym ciagiemprostopadłoscianówwyczer-pujacych º ¼ Ä�� º ¼ , to � Ä � � u��u � x¥x Ë �¡ÌÈ Í Æ � Ä � � u��æu � x ® � È x§¦Zauwazy, zewtedy, gdy � È { � � È � °�� È �� È ¶ i ½�u�� x ù °�� È �� È ¶ dla Ð

� ´ , mamy� Ä � � u��æu � x ® � È x�{ Ò �� Ö�� ê � u�� x�Ô � ¦KładziemyÒ � � u�� x�Ô � { Ë

�¡ÌÈ Í ÆÒ �� Ö � ê � u�� x�Ô � � Ë

�¡ÌÈ Í Æ� Ä � � u��u � x ® � È x � � Ä � � u��æu � x¥x§¦

Całkepo lewej stronienazwiemy całka w niewłasciwymsensieRiemanna.W praktycemamydo czynienianie tylko z funkcjaminieujemnymi, dlatego musimyrozsz-

erzyc powyzszadefinicje, takabyobejmowałafunkcjeo zmiennym znaku.

Definicja 4. Załózmy, ze zbiór ¹ º ¼ Ä jest taki, jak poprzednio,zas funkcja ½ ¾! À º ¼jestograniczonai jej zbiór nieciagłosci mamiare zero.Powiemy, ze ½ jestcałkowalnaw sensieniewłasciwymRiemanna, jesli Ò � á ½|u�� x á Ô � ��¦Wtedycałkew sensieniewłasciwymRiemannafunkcji ½ okreslamywzoremÒ � ½|u�� x�Ô � { Ò � ½ � u�� x�Ô �æå Ò � ½#" u�� x�Ô � �gdzie ½ � u�� x { Ì ÞÉà Á�½�u�� x � ² ÿ , ½ " u�� x { ÌßÞÃà Á ² � å�½|u�� x ÿ . Łatwo jest zauwazyc, ze ½|u�� x {½ � u�� x åª½ " u�� x . Nadto,

² ¨ ½ � u�� x � ½ " u�� x ¨ á ½|u�� x á . Czyli powyzszadefinicjajestpoprawna.Jesli Á � ÈÃÿ ÆÈ �� jestdowolnym ciagiemwyczerpujacym º ¼ Ä , to dostaniemyÒ � ½|u�� x�Ô � {

Ò � ½ � u�� x�Ô � å Ò � ½ " u�� x�Ô �{

Ë�¡ÌÈ Í Æ

Ò �� Ö ê ½ � u�� x�Ô �æå Ë�«ÌÈ Í Æ

Ò �� Ö ê ½#" u�� x�Ô �{Ë�¡ÌÈ Í Æ

Ò �� Ö ê u�½ � u�� x å ½#" u�� x¥x�Ô � {{

Ë�¡ÌÈ Í Æ

Ò �� Ö ê ½|u�� x�Ô � ¦Trzebatu podkreslic, zejesli ½ ¾$ À º ¼ jestdowolna funkcja ograniczona i zmiennegoznaku,której zbiór nieciagłosci mamiare zero,to granicapo prawej stroniemozew ogólenie istniec.Mozetez siezdarzyc, zegranicaistnieje,mimoiz funkcja ½ niejestcałkowalnaw niewłasciwymsensieRiemanna. Powiemy, ze istnieje wtedy niewłasciwa całka Riemannafunkcji ½ na .Przykłademtakiej sytuacjisa całki Fresnela.

6.5. MIARA ZBIORÓW NIEOGRANICZONYCHI CAŁKI NIEWŁASCIWE 15

Przykład 5. Ò Æ�

� �« �� Ô ��¾ {Ë�¡Ì% Í Æ Ò %� � �¡ �� Ô � {'&( �

alefunkcja )+*�, ØØ nie jestcałkowalnaw sensieniewłasciwymRiemanna!

Przykład 6.Sprawdzimykiedyfunkcje ½|u�� x|{ � "$- naprzedziale° ´y� �x sacałkowalnew sensie

niewłasciwymRiemanna.Zakładamy, ze . · ². Dostaniemy,/�0 %� � "$- Ô � { " �-1" � � � "$- á %� � gdy .32{ ´ ;0 %� � " � Ô � { Ë

54 � gdy . { ´ ¦Granica

Ë�«Ì % Í Æ 0 %� � "$- Ô � jestwiecskonczonawtedyi tylko wtedy, gdy . · ´ .

W podobny sposóbpostepujemyz funkcjaminieograniczonymi nazbiorachograniczonych.

Definicja 5. Załózmy, ze ¹�º ¼ Ä jest mierzalny w sensieJordana-Riemanna,zas nieujemnafunkcja � ¾6 À º ¼ , ¹º ¼ Ä ma zbiór nieciagłosci miary zero. Jesli

� Ä � � u��u � x�x7�8� , topowiemy, zefunkcja � jestcałkowalnaw niewłasciwymsensieRiemanna.

Aby rozszyfrowac znaczenietego okresleniarozpatrzmyciag wypełniajacy � È { � � È �° å Ð � Ð ¶ , gdzie � { � � � jestdowolnym prostopadłoscianemzawierajacym . Wtedy,� Ä � � u��æu � x¥x�{ Ë�«ÌÈ Í Æ

� Ä � � u��u � x ® � È x�{ Ë�¡ÌÈ Í Æ

Ò � � È u�� x�Ô � �gdzie � È sa zdefiniowanenastepujaco� È u�� x|{'9 � u�� x � gdy � u�� x ¨ Ð ;Ð � gdy � u�� x · Ð .

Powyzszadefinicjemoznarozszerzyc nafunkcjezmiennegoznaku.

Definicja 6. Jesli jest takim zbiorem,jak wyzej i ½ ¾5 À º ¼ jest funkcja majaca zbiórnieciagłoscimiaryzeroi á ½ á jestcałkowalnaw niewłasciwymsensieRiemanna,to powiemyo ½ ,ze jestcałkowalnaw niewłasciwymsensieRiemanna. Całke z ½ okreslamywzoremÒ � ½|u�� x�Ô � { Ò � ½ � u�� x�Ô �æå Ò � ½#" u�� x�Ô � ¦Odpowiadato obliczeniunastepujacejgranicy,Ò � ½|u�� x�Ô � { Ë

�¡ÌÈ Í ÆÒ � ½ È u�� x�Ô � � u ´ ² x

gdzie

½ È u�� x|{ :;< ;= ½|u�� x � gdy á ½|u�� x á ¨ Ð ;Ð � gdy ½|u�� x · Ð ;å Ð � gdy ½|u�� x>� å Ð .


Jednakw praktyce(10)nie jestdogodnew obliczeniach.Lepiej jestmiec doczynieniaz granicaË�«ÌÈ Í Æ

Ò �7?6@ AB@ C È ½|u�� x�Ô � ¦Trzebaspradzic, zeobiegranicesa równe.Istotnie,mamy

Twierdzenie16. Przy załozeniachna takich jak wyzej, jesli ½ jest całkowalnaw niewłasci-wym sensieRiemanna,toÒ � ½�u�� x�Ô � { Ë

�«ÌÈ Í ÆÒ � ?6@ AB@ C È ½|u�� x�Ô � { Ë

�¡ÌÈ Í ÆÒ � ½ È u�� x�Ô � ¦

Pozostawimy ten fakt bez dowodu. Zajmiemy sie zas prostymi zastosowaniami. Przydatnewnioski z tego faktuujrzymy w rozdziale7.

Przykład 7. Zbadac całkowalnosc0 �� "$- Ô � , . ù º ¼ . Liczymy, gdy .�2{ ´ ,Ò �

ó � "$- Ô � { å ´´ åD. � � "$- á �ó { ´. å ´ u ´ å ã � "$- x �gdy . { ´ , Ò �

ó � " � Ô � { åË ã ¦

Granica

Ë�«Ì ó Í � 0 �ó � "$- Ô � jestskonczonawtedyi tylko wtedy, gdy . � ´ .

6.6 Zamiana zmiennychw całcewielokrotnej

Bedziemyzajmowali sie wyłacznieprzypadkiemdwuwymiarowym, choc wyniki sa prawdziwew wielu wymiarach.

6.6.1 Całka na równoległoboku

Niech 4 u � �� x ¹ªº ¼ w bedzierównoległobokiem.Chcemyobliczyc0 % ×FEþÛ G Ý ½|u�� x�Ô � ¦ Podejrzewamy,

zeprosciejby było liczyc tecałkenakwadracie� { � u¥u �w � �w x �µ´ x . Zauwazmy, ze 4 u � �� x|{IH � ,

gdzie H jestprzekształceniemliniowym, takim mianowicie, ze HKJ ��ML { � i HKJ � � L { � . Załózmynapoczatek,zefunkcja ½ jeststałarównaN . Wtedykorzystajaczewzorunapolerównoległobokudostaniemy Ò % N Ô � { � u 4�x ò N { N áMO�PRQ u � �� x á { N áMOSPTQ H á { Ò

Ö N áMO�PTQ H á ÔVU ¦Zanimopowiemyo przypadkuogólnym przedstawimy pewienpomocniczyfakt.

Twierdzenie17. Niechzbiór r ¹ªº ¼ Ä bedziedomknietyi ograniczony oraz ½ ¾ûr�À º ¼ . Wtedyponizszewarunkisa równowazne.

6.6. ZAMIAN A ZMIENNYCH W CAŁCE WIELOKROTNEJ 17

(i) ½ jestfunkcja ciagła;(ii) dla kazdego ã · ²

istnieje takie z · ², ze dla wszystkich � � U ù r spełniajacychÔ u�� U�x�� z mamy Ô u ½�u�� x � ½|u U�x¥xW� ã ¦

Jesli funkcja ½ spełnia(ii), to mówi sie, zejest jednostajnieciagła.

Uwagi. (1) Funkcja� À �Ø � � ù u ² �¬´ x nie jestjednostajnieciagła,tj. istotnajestdomknietosc iograniczonosc .

(2) Jesli funkcja ½�¾ r À º ¼ spełniawarunekLipschitzazestała X , to jest automatyczniejednostajnieciagła.

Wracamydocałkowania.Niech � �ZY { � u�� ZY�� Ä x gdzie � �ZY { u � � ì[Ä � Y � ì[Ä x �]\¥�_^ { ² � ¦«¦¡¦ �a` å ´Ò % ½�u U�x�ÔVU {ÒcbÖ ½�u U�x�ÔVU¸{ Ä " �Õ�ZY¥� � Òcb Ö�Ú d ½|u U x�Ô$U{ Ä " �Õ��Y¥� � u Ò b Ö�Ú d ½|u H � �ZY x�ÔVUfe Ò b

Ö Ú d u ½|u U x å ½|u H � �ZY x�ÔVU x { uhg xNiech teraz ã bedziedowolna liczba dodatnia. Dobieramytakie � , aby á ½|u U�x åª½|u H � �ZY x á � ãdla dowolnego U ù � �ZY i ` · � . Moznato osiagnac dzieki twierdzeniu17. Wtedy

u_g x�{ Ä " �Õ� Û Y¥� � ½|u H � �ZY x Ò Ö�Ú d áMO�PTQ H á Ô � e bład�gdzie ábład� á �ji Ä " ��ZY¥� � ã ò vol � �ZY

{ Ä " �Õ� Û Y¥� ��k Ò Ö�Ú d ½|u H � x áMO�PRQ H á Ô � e ÒÖ�Ú d u ½�u H � ��Y x å ½�u H � x�x O�PTQ HúÔ �ml e bład� ¦

OstatecznieÒ % ½|u U�x�ÔVUï{ Ò

Ö ½�u H � x áMO�PTQ H á Ô � e bład � e bładw ¦gdzie ábładÈ á ¨ ã vol � , Ð { ´y� ( .

Skoro ã było dowolne,to Ò % ½|u U x�Ô$U¸{ ÒÖ ½|u H � x áMO�PRQ H á Ô � ¦ u ´�´ x

Jestto wzórna zamianezmiennych w całcewielokrotnej.Zastosujmyzdobytawiedze.

Przykład 8. ObliczmyÒ % u U � å U w x w Ô$U � ÔVU w �

gdzie 4 { Á u U �Ç� U w x ¾ ² ¨nU � ¨ ´�� U � ¨nU w ¨oU � e ´ ÿ . Zauwazmy, ze 4 {pH � � � { ° ² �¬´µ¶ woraz H�{rq ´ ´² ´ts �


tj. H J Ø ìØ [ L { J Ø ì � Ø [Ø [ L { JMu ìu [ L � nadtoO�PRQ H�{ ´ . Stosujemywzór (11),Ò % u U � å U w x w Ô$U � ÔVU w {ÒÖ u�� e � w å � w x w áMO�PTQ H á Ô � � Ô � w

{ÒÖ � w � Ô � � Ô � w {

Ò ��

w � Ô � �Ò �� Ô � w { ´v ¦

6.6.2 Mierzalnosc obrazu zbioru

Zanimzajmiemysieogólnym wzoremnazamianezmiennychmusimyzastanowic sie,czyobrazzbiorumierzalnego jestmierzalny. W tym celuwykazemynastepujacy fakt.

Lemat 18. Załózmy, ze w ¾ � u�� z x ¹ º ¼ Ä À º ¼�

jest funkcja spełniajaca warunekLipschitzazestała X . Wtedy w�u � u�� z x¥x ¹ xy u�w�u�� x � X z x�x ¹ � u�w�u�� x � X z xDowód. Drugainkluzja jestoczywistymfaktemgeometrycznym, pozostajenamwykazac pier-wszezawieranie.Niech U ù � u�� z x , wtedyz załozeniaz w u�� x å{w u U�x z ¨ X z � � å U z ¨ X z ¦Oznaczato, ze w u U�x ù xy u�w�u�� x � X z x . ö÷

Mozemyterazsformułowac zasadniczywynik.

Stwierdzenie 19. Załózmy, ze ¹ º ¼ Ä jest mierzalny w sensieJordana-Riemanna.Nadto,wú¾íº ¼ Ä À º ¼ Ä jestróznowartosciowa funkcja spełniajacawarunekLipschitzazestała X . Wtedyw�u� x jestzbioremmierzalnym w sensieJordana-Riemanna.

Dowód. Niech ãæ· ²bedziedowolnei Á � u�� È � z È x ÿ ÆÈ �� jestciagiemkostekpokrywajacych |}

takim,ze i ÆÈ �� vol u � u�� È � z È x¥x>� ã . Zauwazmy, zewtedynamocy poprzedniegolematurodzinaÁ � u~w�u�� È x � X z È x ÿ ÆÈ �� pokrywa w�u�|� x , cowiecej,ÆÕÈ �� vol u � w�u�� È x � X z È x ¨ ÆÕÈ �� vol u � u�� È � z È x�x X Ä � ã�X Ä ¦A wieczbiór w u�|} x jestmierzalny w sensieJordana-Riemanna.Trzebanamjeszczewiedziec, zew�u�|} x|{ |�w�u� x . Jestto faktogólno–geometrycznejnatury, korzystajacy z róznowartosciowosciw , jegodowódpomijamy. ö÷

Wykazemyterazodpowiednik twierdzenia13.

Twierdzenie20. Niech r ¹ªº ¼�

bedziemierzalny wg. Jordana-Riemannaafunkcja ½ú¾ûr�À º ¼bedziecałkowalna.Załozmy, ze ÁÃÂ Ä ÿ ÆÄ �� jesttakimciagiemrodzinkostek

ÂÅÄ { Á � u�� zÇÄ x ÿ È�Ê��


zeË�«ÌÄvÍ Æ zÎÄ { ² � i

È¤Ê��ý��í� u�� zÎÄ x|{ r s u�zÎÄ x ¹Ïr oraz

Ë�«ÌÄvÍ Æ �� u�r s u�zÎÄ x¥x|{

Ë�«ÌÄ¬Í ÆÑÐ Ä�z

�{ �� u�r xþ¦

Jesli w ¾íº ¼ � À º ¼�

jestróznowartosciowa funkcja klasy � � , to wtedyÒB�× Ó Ý ½|u U x�ÔVUï{ Ë

�«ÌÄvÍ ÆÈ ÊÕ �ý��ÒB�× Ö ÊÚ Ý ½�u U�x�Ô$U ¦

Dowód. Załózmy, ze Ì ÞÉà�× Ó Ý á ½ á ¨¿â . Z przyjetychzałozen wynika, ze w rozpatrywanana

kuliy u ² � 4�x zawierajacej r spełniawarunekLipschitzaz pewnastała X .

Badamyróznice ä Ä {Ò �× Ó Ý ½|u�� x�Ô �æå

Ò �×ýÓ�× 9 Ê Ý«Ý ½|u�� x�Ô � ¦

Odnotujmy w�u�r x î�w�u�r s u�zÎÄ x¥x�{ w�u�rÏî�r s u�zÇÄ x�x , gdziewykorzystujemyróznowartosciowosc w .Rozpatrzmytez rodzinekostek Á � u�� YÃ� zÎÄ x ÿ È �Y�� , której sumadaje r s u�zÇÄ x . Wtedy,w�u�rªîñr s u�zÎÄ x¥x|{ w u�r ® u�r s u�zÇÄ x îñr s u�zÎÄ x¥x|{ �� Y�� Ö�×ÙØ�d§Û 9 Ê Ý+� Ó � × 9 Ê Ý ÛR�_�� Ó}� w u � ÄY ® r xþ¦Na mocy lematu18

�� u~w u � u�� YÉ� zÎÄ x�x ¨ X � vol u � u�� YÉ� zÎÄ x¥x . Natomiastilosc kostek � ÄY w r s u�zÎÄ xspełniajacych � ÄY 2¹Ïr jestrówna Ð s|å Ð Ä . Skoro r jestmierzalny, to u Ð s|å Ð Ä x z

�Ä dazy dozera,

gdy ` À � . Zatem

á ä Ä á ¨Ò �× Ó�è�Ó

�× 9 ÊvÝ¡Ý á ½�u�� x á Ô � ¨ u Ð s å Ð Ä x z

�Ä â À ²

gdy ` À ��¦ ö÷6.6.3 Wzór na zamiane zmiennychw całce

Przedstawimy terazprzypadekogólny wzorunazamianezmiennychw całcewielkrotnej.Niechr ¹ º ¼�

bedzieograniczonym zbioremmierzalnym i niech ÁÃÂÅÄ ÿ ÆÄ �� bedzierodzina kostek,Â Ä { Á � Ä� ÿ È¤Ê�� , gdzie � Ä� { � u�� Ä� � zÇÄ x . O tej rodziniezakładamy, ze zÇÄÑÀ ²i dla dowolnegoã¸· ²

istniejetakie � , ze � u�r î È Ê��y� Ä� x�� ã dla ` · � ¦Wiemy, zeprzyzałozeniachpoprzedniego twierdzenia,Ò �

× Ó Ý ½|u U x�ÔVUï{ Ë�«ÌÄvÍ Æ

È ÊÕ �ý��Ò �× Ö ÊÚ Ý ½�u U�x�Ô$U ¦

Zajmiemysie terazcałkanaobraziekwadratu,w�u � Ä� x ,Òc�×ýÖ ÊÚ Ý ½|u U x�ÔVUï{ Ò % ÊÚ ½�u U�x�Ô$U5eD� � u�zÎÄ x �


gdzie 4 Ä� { Kw u�� x � Ä� e w u�� x . Nadtobład� � u�zÎÄ x�{ Òc�× Ö ÊÚ Ý ½�u U�x�Ô$U å Ò % ÊÚ ½|u U�x�ÔVU �

mozemyoszacowac i dostaniemy

á � � u�zÎÄ x á ¨ ÌßÞÃà�× Ö ÊÚ Ý á ½�u U�x á ò � u 4 Ä�$� w�u � Ä� x¥x �

gdzieH � y oznaczaróznicesymetryczna: H � y { u H î y x ðñu y î Htx . Miareróznicy symetrycznejmozemyoszacowac dzieki temu,zedladostateczniemałych zÇÄ zbiór w u � Ä� x mapostacw�u � Ä� x�{ Á u�� Î� � w x ¾f� � u�� x ¨ � w ¨ � w u�� x ÿ �gdziefunkcje � � i � w saciagłe,(patrztez rysunekponizej).

(Q)φ

D φ (Q)

Rys.5. Zdeformowany równoległobok.Moznasprawdzic (szczegóły pozostawiamyCzytelnikowi), ze� u 4 Ä� � w�u � Ä� x¥x ¨ � � u� Kw x z��Ä �

gdzie � � u� w x jestpewnastałaod pochodnej Kw i obszarur .Zatem

Òc�×ýÖ ÊÚ Ý ½|u U�x�ÔVU¸{ Ò

Ö ÊÚ ½|u~w u�� x¥x á Kw�u�� x á Ô � eD� � u�zÎÄ x�e{� �� u�zÎÄ x �gdzie � �� u�zÎÄ x jest błedemwynikłym z przyblizania ½|u�w�u�� x¥x funkcja stała ½|u~w u�� x¥x na � Ä� , tymsamym á � �� u�zÎÄ x á ¨ � w u� Kw x z �Ä ¦Pozsumowaniuwzgledem\ dostaniemy,È¤ÊÕ �ý��

Ò��× Ö ÊÚ Ý ½�u U�x�Ô$Uï{ È¤ÊÕ��

ÒÖ ÊÚ ½|u�w�u�� x¥x á Kw u�� x á Ô � e È�ÊÕ �� u � � u�zÇÄ x�eD� �� u�zÎÄ x¥x|{I� Ä e bładÄ ¦

Wiemy, (patrztwierdzenie14), zeË�«ÌÄvÍ Æ � Ä { Ò

Ó ½|u�w�u�� x¥x á Kw�u�� x á Ô � �


zas ábładÄ á ¨ È¤ÊÕ �� tz��Ä { � Ð Äyz��Ä ¦Skoro ´ e � u�r x � � u�r s u�zÎÄ x¥x|{ Ð sÄ z wÄ , to dladostatecznieduzych ` dostaniemyoszacowanie

Ð Ä ¨ Ð sÄ ¨ ´ e � u�r xz wÄ �tj. ábładÄ á ¨ � z �Äz wÄ u ´ e � u�r x�x�{ ��zÇÄ�u ´ e � u�r x�x À ² � gdy ` À ��¦

Tym samymwykazalismynastepujacy fakt.

Twierdzenie21.Niech r~¹º ¼�

bedzieograniczonym zbioremmierzalnym i niech ½ ¾ r À º ¼bedziefunkcja ciagła. Jesli odwzorowanie w ¾ º ¼ � À º ¼

�jestklasy � � i róznowartosciowe, to

mamywtedyÒc�×ýÓ Ý ½|u U�x�ÔVU¸{ Ò

Ó ½|u�w�u�� x�x á Kw�u�� x á Ô � ¦ö÷

Teprzydługierachunkiobrazujataktyke,którabedziemystosowac w nastepnychrozdziałachposwieconychcałkowaniuw róznychsytuacjach.Moznaja strescic nastepujaco:� badamyzachowaniesiemałegowycinkazbioru:odcinka,kwadratu,który przekształcamy

w sposóbliniowy. Kwadracikamimozemybowiem przyblizac badany zbiór mierzalny wsensieJordana-Riemanna.� nastepniemozemyustalic cosiedziejez kwadracikiem,który jestprzekształcany w sposóbgładki. Przekształceniarózniczkowalnemoznadobrzeprzyblizac odwzorowaniamilinio-wymi.� dostajemyoczekiwany wzórplusbładi pokazujemy, zebładdazy dozera.

Zastosujmyw praktycenowy wzór.

Przykład 9. Obliczyc � ¾ { ÒÓ�� ( å U w� å U ww ÔVU � ÔVU w �

gdzie r jestwycinkiemkołowym (patrzrys. 6):

r { Á u U �Ç� U w x ¾ U w� e{U ww ¨ ( � U w � á U � á ÿ ¦Wprowadzamywspółrzednebiegunowe:U � {�� w � U w {�� ¡ w � � ù °³² �R� ( ¶�� w ù ° & ��¡ � v & ��¡ ¶ ¦


¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ £

¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

Rys.6. Wycinekkołowy r .Piszemy¥ôu � � w x�{ u U �Ç� U w x , wtedy K¥ôu � � w x�{§¦ �T� � w å � � �« w� �« w ��T� � w©¨ �i OSPTQ K¥ôu � � w x�{I� . Dostaniemy�¸{ Ò �_ªB«~¬ªB«~¬ Ò® w

� � ( å � w � Ô$�ÃÔ w { å &( (v u ( å � w x �M« w á w� { & v ( �M« w ¦

rozdział 6 całki iterowane i w ielokrotne - mimuw.edu.plrybka/chemia/roz-ch6.pdf · rozdział 6...

Documents