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Iniziarno introducendoilconcet to di derivata di un a funzionc .

Sia f : dom f ~IR---->IRuna funzione reale di vari abile reale; siaXo Edom fe supponiamo che f sia denita in t utto un intorno I r( xo) diXo. Fissatox EIr( xo) , x =1=Xo, indichiamo conLlx =x -Xolincremento !positivo " ne#at ivo$ della variabile indipendente traXo ex,

e canLlf =f(x) - f(xo)il corrisponde nte incremento della variabile dipendente. %otiamo che& dalle

deni zioni& se#ue immediatament e chex =Xo+Llx e f(x) = f(xo)+Llf.Il 'uoziente

Llf f(x) - f(xo)Llx x -xof(xo+Llx) - f(xo).(.(:dicesi rapporto incrementale della funzione f traxo ex .)sserviamo che& mentre Llf rappresenta l'incremento assoluto dell a variabiledipendente f nel passa##io daxo aXo+Llx , il rapporto incrementale ne rappresenta il tasso di incre mento !mentre la 'uantita Llf* f ne rapprese nt a l'incremento

(+, alcolo di/er en zialer-elalivo). Se moltiplichiarno per ("" il rapporto incrernentale& otteniamo il cosiddetto

lasso di incrementoperceniuale. 0d esernpio& se a fron t e di un inc remento

.

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I

Xo Xo+L1x! = f (x)! = s(x)! = t(x)Fi#ura .(. 7etta secante e retta tan#ente al #r aco della fun zione f in Po

.( 9a derivata (+13enizio ne .( ia f una funione deinita in un in torna diXo l7. *ssaL1fdicesi d erivabile inXo se esiste inito il limit e del rapporto incrementale ~L.1X

traXo ex,per x tendent e aXo. Il tiumero realef ' ( ) I'f (x) - f (xo ) I'f(xo+L1x ) - f (xo).+=im=im

x -xoX -Xo .dx - L1xdicesi derivata !p r ima$ di f inXo .0ltri simboli spesso us ati per indicar e la derivata inXo sono

!'(xo) , df-d(xo) ,

xf(xo) .4l7. (I! =t(x) =f(xo)+' (xo)( x -xo) ,9a prima notazione vien e associata al nome di %et on & la seconda a 'u ella di

9eibniz.

3al punto di vista #eometrico & 1'(xo) e il coe5ciente an#olar e di un a retta t ,detta retta tan#ente al #r aco di f in Po = (xo ,f(xo/) & essa si ottiene comeposizione limite delle rette s secanti il #raco di f in Po e in punti P =(x , f (x))via via pili vicini a Po. 7icordando la !.($ e la deni zione di derivata& abbiamoinfatti

3al punta di vista sico & la derivata v eto) = s' (to) =lim ~s rappr esenta la.dt ->) L.1t

uelociia istantanea dell a particella 0 allistante to.

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X-X nX -:(;" d ' - I n

= f' (xo) @ " =). o%on tut t e le fun zioni cont inue in un punta sonA ivi derivabili. onsideriarno&

ad esempio& la funzione f(x) = (:(;( . ssa e continua nell ori#ine; tuttavia & il suorapporto incrementale tra lori#in e e BIl puntox -=I- " val e

.1f = f (x) - f ( ) =El={+1

.1x x - "x -1sex 4,sex