RSA e questioni relative

Rossella Ascione

Il crittosistema RSA

•Introduzione al crittosistema RSA

•Firme digitali e RSA

•Attacchi a RSA

Il crittosistema RSA

1978 :Ron Rivest,

Adi Shamir

Leonard Adleman

realizza un’intuizione rivoluzionaria di Diffie, Hellmann e Merkle che nel 1976 tentarono di inventare una tecnica di cifratura che non fosse a chiave simmetrica

Crittosistema a

Chiave Pubblica

crittosistema a chiave pubblica

ciascun utente sceglie una funzione crittografica che dipende da alcuni parametri, ma rende noti solo quelli che permettono di codificare i messaggi a lui diretti, mantenendo segreti quelli necessari alla decodifica

l’inversione della funzione di cifratura fk e computazionalmente difficile per tutti, mittente compreso, ma non per il destinatario che possiede l’informazione necessaria (chiave di decifratura) per il calcolo efficiente di fk

−1 .

Def: Una biezione f:AB viene detta funzione unidirezionale se il calcolo di aєA

è realizzabile con una complessità polinomiale per tutti gli a єA , mentre il calcolo di f-1(b) non

lo è per quasi tutti i bєB

analogia della ”scatola a due lucchetti”

Supponiamo che A desideri mandare un messaggio segreto a B. Allora:

1) A chiude il messaggio in una scatola con un lucchetto LA, di cui solo A ha la chiave, e invia la scatola a B.

2) Ricevuta la scatola, l’utente B aggiunge un lucchetto LB, di cui è il solo a possedere la chiave, e rinvia il tutto ad A.

3) Ricevuta la scatola chiusa con i due lucchetti LA e LB, l’utente A libera la scatola dal proprio lucchetto LA e la rinvia a B.

4) Ricevuta la scatola, l’utente B libera la scatola dal proprio lucchetto LB e legge il messaggio di A.

Dalla precedente analogia della ”scatola con lucchetti”…

Diffie, Hellmann e Merkle osservarono ”semplicemente” che un lucchetto si può chiudere senza usare alcuna chiave(!):

1) l’utente A progetta e costruisce un lucchetto e una chiave unica per aprirlo

2) A rende disponibili al pubblico copie del lucchetto, ma conserva la chiave;

3) un qualunque altro utente B che desidera potrà procurarsi una copia di tale lucchetto in un punto di distribuzione;

4) se B desidera inviare un messaggio ad A, allora chiude tale messaggio in una scatola chiusa con il lucchetto di A e la spedisce ad A.

Idea base di RSA

A sceglie due primi p, q distinti e sufficientemente grandi

Calcola n= pq Calcola φ(n)=(p-1)(q-1)=n-p-q+1 Sceglie un numero casuale e di N coprimo con φ(n) Calcola d di Z*n l’inverso di e modulo φ(n)

Rende nota la coppia (n, e) come sua chiave pubblica

Tiene segreti la coppia (φ(n), d) come chiave privata

Se B volesse mandare un messaggio ad A…

Se un utente B desidera mandare un messaggio segreto ad A deve calcolare l’equivalente numerico x di tale messaggio modulo n e utilizzare la funzione crittografica di A che può esere calcolata da tutti gli utenti del sistema:

nmody)x(f d1A

Cioè eleva x ad e modulo n e lo invia ad A

Ricevuto il messaggio l’utente A utilizza la funzione di decifratura solo a lui nota:

nmodx)x(f eA

Cioè eleva il messaggio ricevuto a d modulo n.. Infatti poichè

))n((mod1ed Si ottiene

edde xx )n(modx

La sicurezza del sistema dipende

dalla difficoltà di scomporre n nei suoi fattori primi

È possibile svelare φ(n)?

Prop: Sia n=pq con p e q primi. Allora

1. Noti p, q e n, il calcolo di φ(n) ha complessità computazonale O(logn)

2. Noti n e φ(n) il calcolo di p e q ha complessita computazionale O(log3n)

Dim: Se n è pari allora p=2 e q=n/2 e φ(n)=n/2-1

Se n è dispari

φ(n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q)

P+q=n+1-φ(n) . Quindi di p e q conosciamo somma e prodotto quindi p e q sono soluzioni dell’eq:X2 –(p+q)x+n=0

Per ricavare p e q abbiamo quindi bisogno dell’estrazione della radice quadrata intera che ha complessita computazionale pari a O(log3n)

Per mantenere un corretto funzionamento del crittosistema, ogni utente deve tenere segreto, oltre ai parametri p, q e d che ha scelto, anche φ(n)

Se conosco n, e e d

La conoscenza di n, e e d consente di fattorizzare comunque efficientemente n mediante un determinato algoritmo probabilistico che basato sulla scelta casuale di un a

u21

Si dimostra che iterando u volte la scelta casuale di a si ottiene un algoritmo di fattorizzazione che termina con successo con probabilità maggiore o uguale di e complessità computazionale

)nlogu(O 3

Concludendo ogni utente deve

Assolutamente tenere Segreto d

Estensione al caso (x,n)>1

Teorema: Sia nєN prodotto di primi distinti. Se m≡1 modφ(n) allora

am ≡a mod n per ogni a єZ

Se (n, x)≠1

(n,x) potrebbe fornire un fattore non banale di n consentendo di violare completamente il crittosistema

(n,x)=n In particolare si può osservare che un utente B potrebbe determinare i fattori di n generando casualmente un numero sufficientemente grande di elementi x e verificando di volta in volta se (n, x) ≠1

Si dimostra però che la probabilità di trovare un tale x risulta molto bassa e che la complessità computazionale di tale attacco è maggiore di quello degli algoritmi di fattorizzazione di n

Una versione leggermente diversa di RSA…

)n(

Funzione di Eulero

)n(

Funzione di Carmichael

A sceglie (se ci riesce) due primi p, q distinti e sufficientemente grandi)

Calcola n= pq Calcola φ(n)=(p-1)(q-1)=n-p-q+1 Sceglie un numero casuale e di N

coprimo con φ(n) Calcola d di Z*n l’inverso di e

modulo φ(n) Rende nota la coppia (n, e) come

sua chiave pubblica Tiene segreti p, q e d cioè la coppia

(φ(n), d) come chiave privata

•Calcola λ(n)=φ(n)/(p-1,q-1)•Sceglie un numero casuale e di N coprimo con λ(n)

•Calcola d di Z*n l’inverso di e modulo λ(n)

Vantaggio di tale metodo:

L’operazione di decifratura risulta essere più veloce

che nel caso standard

Il sistema appena presentato si è rivelato essere adatto a soddisfare tutti i requisiti minimi di base (riservatezza, integrità, autenticità, non-ripudiabilità) richiesti ad un buon sistema crittografico dal punto di vista pratico.

Ciò grazie alla disponibilità di algoritmi ragionevolmente efficienti, affidabili e rapidi per:

•generare le chiavi, private e non, degli utenti •per testare i parametri soddisfacenti particolari proprietà •per calcolare i valori della funzione crittografica •per testare il carattere unidirezionale della funzione crittografica

Firma digitale e RSA

Problema di certificare la nostra identità con una firma digitale

CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA

Schema generale di firma digitale

A, B utenti di un sistema a chiave pubblica fA

e fB funzioni di cifratura (pubbliche) fA

-1 e fB-1 funzioni di decifratura (segrete)

A desidera mandare un A desidera mandare un messaggio x a Bmessaggio x a B

•A manda fB(x)•Per certificare la propria identità invia la quantità fB(fA

-1(sA)) con fA

-1(sA) firma digitale di A e sA un nome convenzionale di A in cui si include un numero progressivo , tempo in cui è stato spedito il messaggio, numero IP della machina speditrice

B decifra il messaggio x…B decifra il messaggio x…

•Utilizzando fB-1 e ottiene x

•Per controllare che il mittente sia A applica alla funzione fB(fA

-1(sA)) la funzione a lui nota fAfB

-1 e ottiene sA

Il sistema funziona bene poiché solo A può aver

firmato il messaggiopoiché solo A conosce solo A conosce

ffAA-1-1

Rischi di tale sistema

1. Potrebbe esistere un utente intruso C che renda pubblica una chiave attribuendola ad A, divenendo automaticamente capace di spacciarsi per A

Introduzione di un ENTE CERTIFICATOREENTE CERTIFICATORE

Rischi di tale sistema

1. Potrebbe capitare che un intruso riesca ad identificare fA

-1(sA) utilizzando un numero opportuno di messaggi intercettati

Far dipendere la Firma digitale

Dal messaggio stesso

La firma digitale diviene fA

-1(h(M))

è una sequenza di bit di lunghezza fissata detta IMPRONTA DI M che viene ottenuta da M mediante una opportuna funzione di hash h

h(M) IMPRONTA DI M

Sono funzioni che hanno la caratteristica di non consentire di risalire a M conoscendo solo h(M),e di avere una buona probabilità di non generare collisioni

Tale funzione viene messa a disposizione degli utenti dall’ente certificatore, ne viene utilizzata una sola per tutti gli utenti del crittosistema

Come funziona…

Per accertarsi dell’assenza di manomissioni B dovrà

Applicare a fA-1(h(M)) la fA e otterrà h(M)

Ricalcolare l’impronta di M h(M) per mezzo della funzione di hash

Firma digitale: certificazione dell’identità con RSA

Problema: gli spazi dei messaggi cifrati sono a priori diversi poiché A lavora su ZnA e B lavora su ZnB in generale diversi.

A sceglie una firma digitale sAє ZnA che rende pubblica

Per convincere B della propria identità , in calce al proprio messaggio A invia una forma crittografica della firma, e precisamente

mA=fB(fA-1(sA)) se nA<nB; mA=fA

-1(fB(sA)) se nA>nB

Per assicurarsi dell’identità di A, B calcola

fA(fB-1

(mA)) se nA<nB; fB-1 (fA(mA)) se nA>nB

Attacchi a RSA

Chosen-ciphertext:

Un intruso C vuole determinare il testo in chiaro M di una codifica C inviata ad A

C Sceglie un intero casuale R e chiede ad A la decodifica del messaggio C1≡ReAC mod nA

In questo modo C ottiene ReAdACdA mod nA alla quale applicando R-1 si ottiene M

mai applicare la propria funzione di decifratura o la propria firma digitale ad un documento casuale

Attacchi elementari: scelta dei possibili

messaggi in chiaro troppo limitati

Si provano a codificare tutti i messaggi in chiaro fino a che non viene determinato quello la cui codifica è uguale al messaggio intercettato

•Scelta del modulo di n fissata per tutti gli utenti

1. Se A sa che B ha il suo stesso n, allora conosce p, q, φ(n) e d di B

2. Un intruso può ricavare da due codifiche C1 e C2 ricavate mediante due chiavi pubbliche (n, e1) e (n, e2) con (e1,e2)=1, il messaggio M stesso

Poiché (e1, e2)=1 con l’algoritmo di euclide si calcola r,sєZ tali che re1+se2=1 e poi calcolare

Cr1 Cs

2≡Mre1+se2=M mod n

ogni n non deve essere utilizzata da piu’ di un utente

Punti fissi:I messaggi da trasmettere non devono essere dei punti fissi della funzione di cifratura, cioè non deve accadere

f(M)≡M mod n

Messaggio cifrato=

Messaggio in chiaro

Per non avere molti punti fissi si dimostra che e deve essere scelto in modo tale che (e-1, p-1, q-1) sia piccolo

Cycling attack:

Funzione di cifratura con periodo troppo corto

Il più piccolo k tale che:

nmodMMke

Sia “piccolo”

Teorema: Sia (n,e) una chiave pubblica RSA e MєZ*n. Sia r il più grande divisore primo di p-1 e l sia il più grande divisore primo di r-1. Allora

P(k≥l) ≥(1-l/r)(1-1/l)

Per diminuire la possibilità di cycling attack bisogna scegliere p e q in modo tale che sia r che l siano grandi

Attacco causato da una chiave privata troppo piccola:

Teorema(Wiener): Sia p<q<2p, n=pq, . Dati n ed e tali che ed≡1modφ(n),esiste un algoritmo deterministico polinomiale in logn che consente di determinare d

6

nd

41

Due metodi per non intercorrere in questo tipo di attacco

1. Scegliere e>n3/2 con un conseguente aumento del tempo di cifratura

2. Usare il teorema cinese del resto per ottenere una decifratura “veloce” senza dover scegliere d piccolo

Attacco a partire da una conoscenza parziale della chiave privata(e “piccolo”)

Teorema (Boneh, Durfee e Frankel):

Sia n≡3mod4, n1/2/2<q<p<2n1/2 e sia d una chiave privata di RSA. Siano note le [log2n]/4 cifre meno significative di d. Sia inoltre e<2[log2n]/4-3. Allora esiste un algoritmo che determina completamente d con complessita polinomiale in logn

I seguenti risultati affermano che è possibile ricostruire completamente d nel caso in cui e sia piccolo, a partire da una conoscenza di una frazione dei bit costituenti l’espansione binaria di d.