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  • M. SCHWING - IUFM de Lorraine RK4_02 Page 1

    Résolution numérique d'une équation différentielle Méthode de RUNGE-KUTTA RK4

    Considérons une équation différentielle du premier ordre :

    y)f(x, dx dy

    =

    La méthode RK4 utilise plusieurs points intermédiaires pour calculer la valeur de yi+1 à partir de la valeur de yi :

    On considère un point intermédiaire A d'abscisse xi+h/2 dont la valeur de l'ordonnée est donnée par :

    2 h

    dx dyyy

    i iiA ×

     

      += soit

    2 k

    2 h

    dx dyyy 1

    i iiA =×

     

      =−

    puis un point B d'ordonnée :

    2 h

    dx dyyy

    iA iiB ×

     

      += soit

    2 k

    2 h

    dx dyyy 2

    iA iiB =×

     

      =−

    On calcule alors l'ordonnée d'un point C d'abscisse xi+h à l'aide de la relation :

    h dx dyyy

    iB iiC ×

     

      += soit 3

    iB iiC khdx

    dyyy =×  

      =−

    Soit icdx

    dy   

       la valeur de 

     

      

    dx dy

    au point C.

    On pose : 4 ic

    kh dx dy

    =×  

      

    L'ordonnée définitive yi+1 du point d'abscisse xi+h est donnée par la relation :

    h dx dy

    dx dy2

    dx dy2

    dx dy

    6 1yy

    iCiBiAi i1i ×

      

       

      +

     

      ×+

     

      ×+

     

      +=+

    ou

    [ ]4321i1i kk2k2k6 1yy +×+×++=+

  • M. SCHWING - IUFM de Lorraine RK4_02 Page 2

    xi xi+1=xi + h

    ���� ����

    ����� �����A

    B C

    ����� �����

    +

    ��� ���

    ����� �����

    ���� ����

    Pi

    Pi+1

    α

     

      

       

      +

     

      ×+

     

      ×+

     

      =α

    iCiBiAi dx dy

    dx dy2

    dx dy2

    dx dy

    6 1tg

    Présentation géométrique de la méthode RK4

    La méthode de RUNGE KUTTA d'ordre 4 définit deux suites, h étant le pas de discrétisation en x :

    • une première qui permet de définir les valeurs de x terme initial :

    relation de récurrence :

    • une deuxième qui permet d'évaluer les valeurs de y terme initial :

    relation de récurrence :

    x0 xi+1 = xi+h

    y0 yi+1 = yi+1/6(k1+2k2+2k3+k4) avec k1 = h×f(xi,yi) k2 = h×f(xi+h/2,yi+k1/2) k3 = h×f(xi+h/2,yi+k2/2) k4 = h×f(xi+h,yi+k3)

  • M. SCHWING - IUFM de Lorraine RK4_02 Page 3

    Exemple : y.x2 dx dy

    −=

    Pi

     

     

    i

    i

    y

    x

    dx kyx2

    dx dy 1

    ii i

    =××−=  

      

    A

      

     

    +=×  

      +

    +

    2 ky

    2 dx

    dx dyy

    2 dxx

    1 i

    i i

    i

    dx k

    2 ky

    2 dxx2

    dx dy 21

    ii ia

    =  

       +×

     

       +×−=

     

      

    B

      

     

    +=×  

      +

    +

    2 ky

    2 dx

    dx dyy

    2 dxx

    2 i

    iA i

    i

    dx k

    2 ky

    2 dxx2

    dx dy 32

    ii iB

    =  

       +×

     

       +×−=

     

      

    C

    

      

    +=×  

      +

    +

    3i iB

    i

    i

    kydx dx dyy

    dxx ( ) ( )

    dx kkydxx2

    dx dy 4

    3ii iC

    =+×+×−=  

      

    Pi+1 dxdx dy

    dx dy2

    dx dy2

    dx dy

    6 1yy

    iCiBiAi i1i ×

      

       

      +

     

      ×+

     

      ×+

     

      +=+

    [ ]4321i1i kk2k2k6 1yy +×+×++=+

  • M. SCHWING - IUFM de Lorraine RK4_02 Page 4

    Exemple mathématique : considérons l'équation différentielle : y.x2 dx dy

    −= avec y(x=0)=1

    La solution analytique est : )xexp(y 2−=

    i xi yi 0 0 1 1 0,1 0,9900 2 0,2 0,9608 3 0,3 0,9139 4 0,4 0,8521 5 0,5 0,7788

    Méthode RK4 :

    i xi yi k1=-2 × xi × yi ×∆x k2 =-2 × (xi+∆x/2)×( yi + k1/2)×∆x 0 0 1 -2 × 0 × 1 ×0,1=0 -2 × 0,05 × 1 ×0,1=-0,01 1 0,1 0.990 -2 × 0,1 × 0,99 ×0,1=0,0198 -2 × 0,15 × 0,98 ×0,1=-0,0294 2 0,2 3 0,2 4 0,4 5 0,5

    i xi yi k3 =-2 × (xi+∆x/2)×( yi + k2/2)×∆x k4 =-2 × (xi+∆x)×( yi + k3)×∆x 0 0 1 -2 × 0,05 × 0,995×0,1=-9,9510-3 -2 × 0,1 × 0,995 ×0,1= -0,0199 1 0,1 0,990 -2 × 0,15 × 0,975×0,1=-2,92610-2 -2 × 0,2 × 0,961 ×0,1= -0,0384 2 0,2 0,961 3 0,2 4 0,4 5 0,5

    Avec EXCEL :

    A B C x k1 k2

    6 0 =-2*x*y*dx =-2*(x+dx/2)*(y+k1/2)*dx 7 =A6+dx =-2*x*y*dx =-2*(x+dx/2)*(y+k1/2)*dx 8 =A7+dx =-2*x*y*dx =-2*(x+dx/2)*(y+k1/2)*dx

    D E F k3 k4 y

    6 =-2*(x+dx/2)*(y+k2/2)*dx =-2*(x+dx)*(y+k3)*dx 1 7 =-2*(x+dx/2)*(y+k2/2)*dx =-2*(x+dx)*(y+k3)*dx =F6+1/6*(B6+2*C6+2*D6+E6) 8 =-2*(x+dx/2)*(y+k2/2)*dx =-2*(x+dx)*(y+k3)*dx =F7+1/6*(B7+2*C7+2*D7+E7)

  • M. SCHWING - IUFM de Lorraine RK4_02 Page 5

    Exercice RK4_1 : décharge d’un condensateur dans une résistance.

    ��� ���

    �����

    RC

    i

    u

    dt duRC

    dt dqRRiu −=−==

    u RC 1

    dt du

    −=

    Exercice : Utiliser la méthode RK4 pour résoudre cette équation différentielle :

    k1 = h×f(xi,yi) k2 = h×f(xi+h/2,yi+k1/2) k3 = h×f(xi+h/2,yi+k2/2)

    k4 = h×f(xi+h,yi+k3)

    dtu RC 1k i1 

     

      −= dt

    2 ku

    RC 1k 1i2 

      

      

      +−=

    dt 2

    ku RC 1k 2i3 

      

      

      +−= [ ] dtkuRC

    1k 3i4   

       +−=

    [ ]4321+tdt+t k2k2kk6 1u= u +++

    0,0

    1,0

    2,0

    3,0

    4,0

    5,0

    6,0

    0 1 2 3

    u(Exact) u(Euler) u(RK4)

  • M. SCHWING - IUFM de Lorraine RK4_02 Page 6

    Détail de la feuille de calcul

    6 7 8 9

    10 11 12 13 14 15 16 17 18

    A B C D t k1 k2 k3

    0 =-dt/RC*F7 =-dt/RC*(F7+k1_/2) =-dt/RC*(F7+k2_/2) =A7+dt =-dt/RC*F8 =-dt/RC*(F8+k1_/2) =-dt/RC*(F8+k2_/2) =A8+dt =-dt/RC*F9 =-dt/RC*(F9+k1_/2) =-dt/RC*(F9+k2_/2) =A9+dt =-dt/RC*F10 =-dt/RC*(F10+k1_/2) =-dt/RC*(F10+k2_/2) =A10+dt =-dt/RC*F11 =-dt/RC*(F11+k1_/2) =-dt/RC*(F11+k2_/2) =A11+dt =-dt/RC*F12 =-dt/RC*(F12+k1_/2) =-dt/RC*(F12+k2_/2) =A12+dt =-dt/RC*F13 =-dt/RC*(F13+k1_/2) =-dt/RC*(F13+k2_/2) =A13+dt =-dt/RC*F14 =-dt/RC*(F14+k1_/2) =-dt/RC*(F14+k2_/2) =A14+dt =-dt/RC*F15 =-dt/RC*(F15+k1_/2) =-dt/RC*(F15+k2_/2) =A15+dt =-dt/RC*F16 =-dt/RC*(F16+k1_/2) =-dt/RC*(F16+k2_/2) =A16+dt =-dt/RC*F17 =-dt/RC*(F17+k1_/2) =-dt/RC*(F17+k2_/2) =A17+dt =-dt/RC*F18 =-dt/RC*(F18+k1_/2) =-dt/RC*(F18+k2_/2)

    6 7 8 9

    10 11 12 13 14 15 16 17 18

    E F k4 u(RK4)

    =-dt/RC*(F7+k3_) 5 =-dt/RC*(F8+k3_) =F7+1/6*(B7+2*C7+2*D7+E7) =-dt/RC*(F9+k3_) =F8+1/6*(B8+2*C8+2*D8+E8) =-dt/RC*(F10+k3_) =F9+1/6*(B9+2*C9+2*D9+E9) =-dt/RC*(F11+k3_) =F10+1/6*(B10+2*C10+2*D10+E10) =-dt/RC*(F12+k3_) =F11+1/6*(B11+2*C11+2*D11+E11) =-dt/RC*(F13+k3_) =F12+1/6*(B12+2*C12+2*D12+E12) =-dt/RC*(F14+k3_) =F13+1/6*(B13+2*C13+2*D13+E13) =-dt/RC*(F15+k3_) =F14+1/6*(B14+2*C14+2*D14+E14) =-dt/RC*(F16+k3_) =F15+1/6*(B15+2*C15+2*D15+E15) =-dt/RC*(F17+k3_) =F16+1/6*(B16+2*C16+2*D16+E16) =-dt/RC*(F18+k3_) =F17+1/6*(B17+2*C17+2*D17+E17)

    dt 0,1 s RC 0,5 s U0 5 V

  • M. SCHWING - IUFM de Lorraine RK4_02 Page 7

    Exercice RK4_2 : Cinétique chimique

    Considérons la réaction A + B → P

    A B P

    Conc. initiales c c 0

    C(t) c-y c-y y

    Supposons la réaction d'ordre global 2 (1 par rapport à A et 1 par rapport à B) :

    ( )2yck dt dy

    −×=

    La solution analytique est :

      

      

    +×× −×=

    1ctk 11cy

    On pourra donc confronter les valeurs obtenues par la méthode analytique et celles obtenus par les méthodes numériques.

    ( )2t1 yckdt =k −× 2

    1 t2 2

    k-y-ckdt = k   

      ××

    2 2

    t3 2 k-y-ckdt = k 

     

      ×× ( )23t4 k-y-ckdt = k ××

    [ ]4321+tdt+t k2k2kk6 1y= y +++

    0

    0,001

    0,002

    0,003

    0,004

    0,005

    0,006

    0,007

    0,008

    0,009

    0,01

    0 100 200 300 400

    yExact y RK4

    h k c0 10 3 0,01 s L.mol-1s-1 mol.L-1

  • M. SCHWING - IUFM de Lorraine RK4_02 Page 8

    Exercice RK4_3 : Circuit RC alimenté par une tension e(t).

    ��� ���

    R

    C

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