ruang vektor.ppt
DESCRIPTION
aljabar linierTRANSCRIPT
-
Vektor di ruang-2 dan ruang-3Oleh: Lailatul Husniah, S.ST
Page *
Tujuan Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu :Menjelaskan konsep vector Menjelaskan definisi Ruang Vektor (R2 dan R3)Menghitung vektor berdimensi n Anak Ruang
Page *
Chapter ContentsIntroduction to Vectors (Geometric)Norma sebuah Vector & Ilmu Hitung Vektor Perkalian titik (Dot Product); ProyeksiRuang-n Euclidis
-
Introduction to Vectors (Geometric)
Page *
BesaranContoh : suhu, massa, tinggi, waktu, gaya, kecepatan dllBesaran dibagi 2 Besaran skalar : diukur besarnyaBesaran vektor : diukur besar dan arah
Page *
Geometric VectorsVektor dinotasikan oleh huruf kecil tebal : a, k, v, w, dan x Skalar dinotasikan oleh huruf kecil biasa : a, k, v, w, dan x Titik awal (initial point)Titik akhir(terminal point)
Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol (zero vector) dan dinotasikan dengan 0 dan ditetapkan mempunyai sembarang arah.
negatif v, adalah vektor yang mempunyai panjang sama tapi arah yang berlawanan.
Page *
DefinisiJika v dan w adalah sembarang 2 vektor, maka jumlah v+w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut: Posisi titik awal vektor w berimpit dengan titik akhir dari v. Vektor v+w dinyatakan oleh panah dari titik awal dari v ke titik akhir dari w.
Page *
DefinisiJika v dan w adalah sembarang 2 vektor, maka pengurangan w dari v didefinisakn oleh:v w = v + (-w)
Page *
DefinisiJika v adalah nonzero vector dan k adalah bilangan riel tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang dari v dan arahnya:Sama seperti arah dari v jika k>0Berlawanan dengan arah v jika k
-
Norma sebuah vektor &Ilmu hitung vektorOleh: Lailatul Husniah, S.ST
Page *
Theorem 3.2.1Properties of Vector ArithmeticJika u, v dan w adalah vektor dalam ruang-2 atau ruang-3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut ini akan berlaku
Page *
Norm of a Vector (1/2)Panjang sebuah vektor u seringkali disebut norma dari u dan dinotasikan oleh .
Gambar (a): Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka norma dari sebuah vektor dalam ruang-2 adalah
Gambar (b): adalah sebuah vektor dalam ruang-3, maka
Page *
Norm of a Vector (2/2)Jika adalah dua titik dalam ruang-3, maka jarak antara kedua titik tersebut adalah norma vektor karena
Similarly in 2-space:
Panjang dari vektor ku :
Page *
Contoh 1Finding Norm and Distance
-
Perkalian titik (Dot Product) & Proyeksi
Page *
Sudut antara VektorMisalkan u dan v adalah vektor tak nol dalam ruang-2 atau ruang-3, dan asumsikan bahwa vektor-vektor ini memiliki posisi dimana titik-titik awalnya berimpit. Yang diartikan sebagai sudut di antara u and v, adalah sudut yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 .
Page *
Jika u dan v adalah vektor tak nol dalam ruang-2 atau ruang-3, dan adalah sudut antara u dan v, maka perkalian titik (Dot product) u.v didefinisikan oleh: ||u|| ||v|| cos ,jika u 0 dan v 0u . v = 0 ,jika u = 0 atau v = 0
Catatan :u dan v saling tegak lurus ( = 90o & cos = 0) u . v = 0Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektor ortogonalDefinisi
Page *
ContohSeperti yang terlihat seperti gambar di bawah ini, maka sudut antara vektor u = (0, 0, 1) dan vektor v = (0, 2, 2) adalah 450. jadi,
Page *
Perkalian titik: u . v = skalarVektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit antara u dan vCatatan: u, v Ruang-2 u = (u1, u2), v = (v1, v2) u, v Ruang-3 u = (u1, u2 , u3), v = (v1, v2 , v3)
Formula lain untuk u . V jika = 0 :Ruang-2: u . v = u1v1 + u2v2Ruang-3: u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Komponen dari Perkalian Titik (dot product)
Page *
Finding the Angle Between VectorsJika u dan v adalah nonzero vectors maka
dan dapat dituliskan menjadi:
Page *
1.Misal u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)Maka u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3
Dari soal no 1, hitunglah sudut antara u dan vMaka :Contoh
Page *
Vektor Ortogonal
Definisi:Dua vektor u dan v disebut sebagai vektor-vektor ortogonal (dituliskan u v) jika u.v = 0
Page *
Proyeksi OrtogonalJika u dan v adalah vektor tak nol dalam ruang-2 atau ruang-3, maka
Dimana w1 adalah kelipatan skalar dari v, dan w2 tegaklurus kepada v.Vektor w1 dinamakan proyeksi ortogonal dari u pada v Vektor w2 dinamakan komponen dari u yang ortogonal kepada v.Vektor u adalah jumlah dari w1 dan w2, dimana w1 paralel ke v dan w2 tegaklurus ke v.
Page *
catatan
Rumus-rumus pada vektor ruang-2 dan ruang-3 berlaku juga untuk vektor ruang ke-n
Page *
ReferensiLeon, Steven J., Aljabar Linier dan Aplikasinya, Edisi kelima, Jakarta: Erlangga, 2001 Anton, Howard, Elementary Linier Algebra, 8th ed, United States of America: John Wiley and Sons, Inc, 2000Anton, Howard; Rorres, Chris, Elementary Linear Algebra.ppt
**********************************