Rule of inferenceFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Adjoint functors 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Spelling (or morphology) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Solutions to optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Symmetry of optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Universal morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Counit-unit adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.4 Hom-set adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Adjunctions in full . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1 Universal morphisms induce hom-set adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Counit-unit adjunction induces hom-set adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.3 Hom-set adjunction induces all of the above . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1 Ubiquity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2 Problems formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.3 Posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.1 Free groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.2 Free constructions and forgetful functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.3 Diagonal functors and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.4 Colimits and diagonal functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.4 Limit preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.5 Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

i

ii CONTENTS

1.8.1 Universal constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.2 Equivalences of categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.3 Monads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Antecedent (logic) 172.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Atomic formula 183.1 Atomic formula in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Binary decision 204.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Binary relation 215.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.11 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Category theory 316.1 An abstraction of other mathematical concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2.1 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2.2 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

CONTENTS iii

6.2.3 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.3.1 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3.2 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.5 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.6 Other concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.6.1 Universal constructions, limits, and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.6.2 Equivalent categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.6.3 Further concepts and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.6.4 Higher-dimensional categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.7 Historical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.11 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.12 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Classical logic 417.1 Examples of classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 Non-classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8 Composite number 438.1 Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Consequent 489.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

10 CornishFisher expansion 4910.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

11 Counterexample 5111.1 In mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv CONTENTS

11.1.1 Rectangle example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.1.2 Other mathematical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11.2 In philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12 Counterfactual conditional 5412.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412.2 Reversal of clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.3 Psychology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12.3.1 Comprehension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.3.2 Reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.3.3 Psychological accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12.4 Philosophical treatments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.4.1 Connective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.4.2 Possible world semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.4.3 Other accounts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.4.4 Within empirical testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

12.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

13 Degeneracy (mathematics) 6113.1 In geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

13.1.1 Conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.1.2 Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.1.3 Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.1.4 Polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.1.5 Standard torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.1.6 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.1.7 Other . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

13.2 Elsewhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

14 Domain of discourse 6314.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.3 Universe of discourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.4 Booles 1854 denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CONTENTS v

14.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

15 Element (mathematics) 6515.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6515.2 Notation and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6515.3 Cardinality of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6615.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6615.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6615.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6715.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

16 Empty product 6816.1 Nullary arithmetic product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

16.1.1 Justication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.1.2 Relevance of dening empty products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.1.3 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.2 Nullary Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.2.1 Nullary Cartesian product of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.3 Nullary categorical product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.4 In logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.5 In computer programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

17 Empty set 7217.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7217.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

17.2.1 Operations on the empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.3 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

17.3.1 Extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.3.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

17.4 Questioned existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7617.4.1 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7617.4.2 Philosophical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

17.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

18 Empty sum 7818.1 Relevance of dening empty sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

vi CONTENTS

18.1.1 An example: empty linear combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7818.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

19 Existence 8019.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8019.2 Historical conceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

19.2.1 Early modern philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8119.3 Predicative nature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

19.3.1 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8219.4 Modern approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

19.4.1 Existence in the wide and narrow senses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8319.4.2 European views . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8319.4.3 Anti-realist arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

19.5 Dharmic middle way view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8419.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8419.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

20 Existential quantication 8720.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8720.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

20.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8820.2.2 Rules of Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8920.2.3 The empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

20.3 As adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8920.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9020.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9020.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

21 Expression (mathematics) 9121.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9121.2 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9121.3 Syntax versus semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

21.3.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9121.3.2 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9221.3.3 Formal languages and lambda calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

21.4 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9221.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9321.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9321.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

22 False (logic) 94

CONTENTS vii

22.1 In classical logic and Boolean logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.2 False, negation and contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.3 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9422.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

23 First-order logic 9623.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.2 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

23.2.1 Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9723.2.2 Formation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9923.2.3 Free and bound variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10023.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

23.3 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10123.3.1 First-order structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223.3.2 Evaluation of truth values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223.3.3 Validity, satisability, and logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10323.3.4 Algebraizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10323.3.5 First-order theories, models, and elementary classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10423.3.6 Empty domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

23.4 Deductive systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10523.4.1 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10523.4.2 Hilbert-style systems and natural deduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10523.4.3 Sequent calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10623.4.4 Tableaux method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10623.4.5 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10623.4.6 Provable identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

23.5 Equality and its axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10723.5.1 First-order logic without equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10723.5.2 Dening equality within a theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

23.6 Metalogical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.6.1 Completeness and undecidability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.6.2 The LwenheimSkolem theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.6.3 The compactness theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10923.6.4 Lindstrms theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

23.7 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10923.7.1 Expressiveness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10923.7.2 Formalizing natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

23.8 Restrictions, extensions, and variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11023.8.1 Restricted languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11023.8.2 Many-sorted logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11023.8.3 Additional quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

viii CONTENTS

23.8.4 Innitary logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11123.8.5 Non-classical and modal logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11123.8.6 Fixpoint logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11223.8.7 Higher-order logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

23.9 Automated theorem proving and formal methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11223.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11323.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11323.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11423.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

24 Free variables and bound variables 11724.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

24.1.1 Variable-binding operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11824.2 Formal explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

24.2.1 Function expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12024.3 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12024.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12124.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

25 Functor 12225.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

25.1.1 Covariance and contravariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12225.1.2 Opposite functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12325.1.3 Bifunctors and multifunctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

25.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12325.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12425.4 Relation to other categorical concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.5 Computer implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12625.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

26 Grammatical modier 12726.1 Premodiers and postmodiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12726.2 Types of modiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12726.3 Ambiguous and dangling modiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12826.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12926.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

27 Ground expression 13027.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13027.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

CONTENTS ix

27.2.1 Ground terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13027.2.2 Ground atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13127.2.3 Ground formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

27.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

28 Image (mathematics) 13228.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

28.1.1 Image of an element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.1.2 Image of a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.1.3 Image of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

28.2 Inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.3 Notation for image and inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

28.3.1 Arrow notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.3.2 Star notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13328.3.3 Other terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

28.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13428.5 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13428.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13528.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13528.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

29 Interpretation (logic) 13629.1 Formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

29.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13629.1.2 Logical constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

29.2 General properties of truth-functional interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13729.2.1 Logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

29.3 Interpretation of a theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.4 Interpretations for propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.5 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

29.5.1 Formal languages for rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.5.2 Interpretations of a rst-order language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13929.5.3 Example of a rst-order interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13929.5.4 Non-empty domain requirement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14029.5.5 Interpreting equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14029.5.6 Many-sorted rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

29.6 Higher-order predicate logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14129.7 Non-classical interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14129.8 Intended interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

29.8.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14229.9 Other concepts of interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14229.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

x CONTENTS

29.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14329.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

30 List of logic symbols 14430.1 Basic logic symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14430.2 Advanced and rarely used logical symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

30.2.1 Poland and Germany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14530.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

31 Logic 14731.1 The study of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

31.1.1 Logical form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14731.1.2 Deductive and inductive reasoning, and abductive inference . . . . . . . . . . . . . . . . . 14831.1.3 Consistency, validity, soundness, and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.1.4 Rival conceptions of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

31.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.3 Types of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

31.3.1 Syllogistic logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15131.3.2 Propositional logic (sentential logic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15131.3.3 Predicate logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15131.3.4 Modal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15231.3.5 Informal reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15231.3.6 Mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15331.3.7 Philosophical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15331.3.8 Computational logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15331.3.9 Bivalence and the law of the excluded middle; non-classical logics . . . . . . . . . . . . . 15431.3.10 Is logic empirical?" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15531.3.11 Implication: strict or material? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15531.3.12 Tolerating the impossible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15531.3.13 Rejection of logical truth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

31.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15631.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15731.6 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15931.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

32 Logical conjunction 16132.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16232.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

32.2.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

CONTENTS xi

32.3 Introduction and elimination rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16332.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16432.5 Applications in computer engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.6 Set-theoretic correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.7 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

33 Logical connective 16733.1 In language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

33.1.1 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16733.1.2 Formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

33.2 Common logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.2.1 List of common logical connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.2.2 History of notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16933.2.3 Redundancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

33.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17033.4 Order of precedence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17133.5 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17133.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17133.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17133.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17233.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17233.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

34 Logical constant 17334.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17334.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17334.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

35 Logical equivalence 17435.1 Logical equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17435.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17435.3 Relation to material equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17535.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17535.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

36 Logical truth 17636.1 Logical truths and analytic truths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17636.2 Truth values and tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17736.3 Logical truth and logical constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17736.4 Logical truth and rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

xii CONTENTS

36.5 Non-classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17736.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17736.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17836.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

37 Material conditional 17937.1 Denitions of the material conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

37.1.1 As a truth function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18037.1.2 As a formal connective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

37.2 Formal properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18137.3 Philosophical problems with material conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18137.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

37.4.1 Conditionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18237.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18237.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18237.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

38 Mutatis mutandis 18438.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18438.2 Plain English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18438.3 Quotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18538.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18538.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

39 Natural number 18639.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

39.1.1 Modern denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

39.3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.3.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.3.3 Relationship between addition and multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18939.3.4 Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18939.3.5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18939.3.6 Algebraic properties satised by the natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

39.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19039.5 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

39.5.1 Peano axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19039.5.2 Constructions based on set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

39.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19239.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19239.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

CONTENTS xiii

39.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

40 Open sentence 19740.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

41 Paradoxes of material implication 19941.1 Paradox of entailment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

41.1.1 Understanding the paradox of entailment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20041.1.2 Explaining the paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

41.2 Simplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20141.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20141.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

42 Polish notation 20242.1 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20242.2 Computer programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20342.3 Order of operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20342.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20442.5 Polish notation for logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20442.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20442.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20542.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

43 Power set 20643.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20643.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20743.3 Representing subsets as functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20743.4 Relation to binomial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20843.5 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20843.6 Subsets of limited cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20843.7 Power object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20943.8 Functors and quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20943.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20943.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20943.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21043.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

44 Predicate (mathematical logic) 21144.1 Simplied overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21144.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21144.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21244.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21244.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

xiv CONTENTS

45 Predicate logic 21345.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21345.2 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21345.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

46 Presheaf (category theory) 21546.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21546.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21546.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21546.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

47 Principle of explosion 21747.1 Symbolic representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21747.2 Arguments for explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

47.2.1 The semantic argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21847.2.2 The proof-theoretic argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

47.3 Addressing the principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21947.4 Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22047.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22047.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

48 Projection (linear algebra) 22148.1 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

48.1.1 Orthogonal projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22248.1.2 Oblique projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

48.2 Properties and classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22348.2.1 Orthogonal projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22448.2.2 Oblique projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

48.3 Canonical forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22648.4 Projections on normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22748.5 Applications and further considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22748.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22748.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22848.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22848.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22848.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

49 Property (philosophy) 22949.1 Essential and accidental properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22949.2 Determinate and determinable properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22949.3 Lovely and suspect qualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22949.4 Property dualism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22949.5 Properties in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

CONTENTS xv

49.6 Properties and predicates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23049.7 Intrinsic and extrinsic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23149.8 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23149.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23149.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23149.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

50 Proposition 23250.1 Historical usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

50.1.1 By Aristotle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23250.1.2 By the logical positivists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23250.1.3 By Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

50.2 Relation to the mind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23350.3 Treatment in logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23350.4 Objections to propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23350.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23450.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23450.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

51 Propositional formula 23551.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

51.1.1 Relationship between propositional and predicate formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23651.1.2 Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

51.2 An algebra of propositions, the propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23651.2.1 Usefulness of propositional formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23751.2.2 Propositional variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23751.2.3 Truth-value assignments, formula evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

51.3 Propositional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23851.3.1 Connectives of rhetoric, philosophy and mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23851.3.2 Engineering connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23851.3.3 CASE connective: IF ... THEN ... ELSE ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23851.3.4 IDENTITY and evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

51.4 More complex formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24051.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24051.4.2 Axiom and denition schemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24151.4.3 Substitution versus replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

51.5 Inductive denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24151.6 Parsing formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

51.6.1 Connective seniority (symbol rank) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24251.6.2 Commutative and associative laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24351.6.3 Distributive laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24351.6.4 De Morgans laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

xvi CONTENTS

51.6.5 Laws of absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24451.6.6 Laws of evaluation: Identity, nullity, and complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24451.6.7 Double negative (Involution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

51.7 Well-formed formulas (ws) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24451.7.1 Ws versus valid formulas in inferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

51.8 Reduced sets of connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24551.8.1 The stroke (NAND) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24551.8.2 IF ... THEN ... ELSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

51.9 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24751.9.1 Reduction to normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24751.9.2 Reduction by use of the map method (Veitch, Karnaugh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

51.10Impredicative propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24951.11Propositional formula with feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

51.11.1 Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25051.11.2 Memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

51.12Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25151.13Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25351.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

52 Propositional function 26152.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

53 Quantier (logic) 26253.1 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26253.2 Algebraic approaches to quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26253.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26353.4 Nesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26453.5 Equivalent expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26453.6 Range of quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26553.7 Formal semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26553.8 Paucal, multal and other degree quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26753.9 Other quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26753.10History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26853.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26853.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26853.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

54 Rule of inference 27054.1 The standard form of rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27054.2 Axiom schemas and axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27154.3 Example: Hilbert systems for two propositional logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27154.4 Admissibility and derivability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

CONTENTS xvii

54.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27254.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

55 Rule of replacement 27455.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

56 Satisability 27556.1 Reduction of validity to satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27556.2 Propositional satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27556.3 Satisability in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27656.4 Satisability in model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27656.5 Finite satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27656.6 Numerical constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27756.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27756.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27756.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27756.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

57 Sequent 27857.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

57.1.1 The form and semantics of sequents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27857.1.2 Syntax details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27957.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27957.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28057.1.5 Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

57.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28057.2.1 History of the meaning of sequent assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28057.2.2 Intuitive meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

57.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28157.4 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28157.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28257.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28257.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28357.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

58 Set (mathematics) 28458.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28558.2 Describing sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28558.3 Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

58.3.1 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28758.3.2 Power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

58.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28858.5 Special sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

xviii CONTENTS

58.6 Basic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28958.6.1 Unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28958.6.2 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29058.6.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29058.6.4 Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

58.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29358.8 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29358.9 Principle of inclusion and exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29458.10De Morgans Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29458.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29558.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29558.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29558.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

59 Supervaluationism 29659.1 Example abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29659.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29659.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29659.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

60 T-schema 29860.1 The inductive denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29860.2 Natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29860.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29960.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29960.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

61 Tautology (logic) 30061.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30061.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30161.3 Denition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30161.4 Verifying tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30261.5 Tautological implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30261.6 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30261.7 Ecient verication and the Boolean satisability problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30361.8 Tautologies versus validities in rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30361.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

61.9.1 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30461.9.2 Related logical topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

61.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30461.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

62 Theorem 305

CONTENTS xix

62.1 Informal account of theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30562.2 Provability and theoremhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30662.3 Relation with scientic theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30662.4 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30662.5 Layout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30762.6 Lore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30862.7 Theorems in logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

62.7.1 Syntax and semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30962.7.2 Derivation of a theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30962.7.3 Interpretation of a formal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31062.7.4 Theorems and theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

62.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31062.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31062.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31162.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

63 Theory (mathematical logic) 31663.1 Theories expressed in formal language generally . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

63.1.1 Subtheories and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31663.1.2 Deductive theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31663.1.3 Consistency and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31663.1.4 Interpretation of a theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31763.1.5 Theories associated with a structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

63.2 First-order theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31763.2.1 Derivation in a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31763.2.2 Syntactic consequence in a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31863.2.3 Interpretation of a rst order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31863.2.4 First order theories with identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31863.2.5 Topics related to rst order theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

63.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31863.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31963.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31963.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

64 Topos 32064.1 Grothendieck topoi (topoi in geometry) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

64.1.1 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32064.1.2 Geometric morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32164.1.3 Ringed topoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32164.1.4 Homotopy theory of topoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

64.2 Elementary topoi (topoi in logic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32264.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

xx CONTENTS

64.2.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32264.2.3 Logical functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32364.2.4 Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32364.2.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

64.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32564.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32564.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

65 Triviality (mathematics) 32765.1 Trivial and nontrivial solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32765.2 Triviality in mathematical reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

65.2.1 Trivial proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32865.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32865.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32965.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32965.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

66 Type theory 33066.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33066.2 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33066.3 Dierence from set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33166.4 Optional features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

66.4.1 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33166.4.2 Dependent types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33166.4.3 Equality types (or identity types) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33266.4.4 Inductive types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33266.4.5 Universe types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33266.4.6 Computational component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

66.5 Systems of type theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.5.1 Major . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.5.2 Minor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.5.3 Active . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

66.6 Practical impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.6.1 Programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.6.2 Mathematical foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33366.6.3 Proof assistants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33466.6.4 Linguistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33466.6.5 Social sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

66.7 Relation to category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33466.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33566.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33566.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

CONTENTS xxi

66.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

67 Universal generalization 33767.1 Generalization with hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33767.2 Example of a proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33767.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33767.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

68 Universal instantiation 33968.1 Quine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33968.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33968.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

69 Universal quantication 34169.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

69.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34269.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

69.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34269.2.2 Other connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34369.2.3 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34469.2.4 The empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

69.3 Universal closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34469.4 As adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34569.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34569.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34569.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

70 Vacuous truth 34670.1 Scope of the concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34670.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34670.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34770.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34770.5 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34770.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

71 Well-dened 34871.1 Well-dened functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

71.1.1 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34871.2 Well-dened notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34971.3 Other uses of the term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34971.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34971.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

71.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

xxii CONTENTS

71.5.2 Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

72 Well-formed formula 35072.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35172.2 Propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35172.3 Predicate logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35272.4 Atomic and open formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35272.5 Closed formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.6 Properties applicable to formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.7 Usage of the terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35372.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35472.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

73 Syntax (logic) 35573.1 Syntactic entities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

73.1.1 Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35673.1.2 Formal language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35673.1.3 Formation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35673.1.4 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35673.1.5 Formal theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35673.1.6 Formal systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35773.1.7 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

73.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35773.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

74 Logical form 35974.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35974.2 Example of argument form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35974.3 Importance of argument form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36074.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36074.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36074.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36174.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

75 Multiple-conclusion logic 36275.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36275.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

76 Non-classical logic 36376.1 Examples of non-classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36376.2 Classication of non-classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

CONTENTS xxiii

76.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36476.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36476.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

77 Modus ponens 36677.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36677.2 Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36777.3 Justication via truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36777.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36777.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36877.6 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36877.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

78 Ma