ruth durrer- gravitational radiation of cosmic string loops

8/3/2019 Ruth Durrer- Gravitational Radiation of Cosmic String Loops

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P U P T | 9 0 | 1 1 6 5

J a n u a r y 1 9 9 0

G r a v i t a t i o n a l R a d i a t i o n o f C o s m i c S t r i n g L o o p s

R u t h D u r r e r

1

P r i n c e t o n U n i v e r s i t y

P h y s i c s D e p a r t m e n t

J a d w i n H a l l

P O B 7 0 8

P r i n c e t o n N J 0 8 5 4 4

U S A

A b s t r a c t

W e d i s c u s s g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n o f c o s m i c s t r i n g l o o p s i n a t b a c k g r o u n d . A f t e r p r e s e n t i n g

a g e n e r a l f o r m u l a f o r t h e g r a v i t a t i o n a l a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n o f l o c a l i z e d p e r i o d i c s o u r c e s ,

w e c a l c u l a t e t h e r a d i a t i o n o f e n e r g y , m o m e n t u m a n d a n g u l a r m o m e n t u m f o r s o m e c l a s s e s o f l o o p

c o n g u r a t i o n s ( o n e w i t h c u s p s a n d a n o t h e r w i t h o u t c u s p s b u t w i t h k i n k s ) . W e n d t h a t t h e a n g u l a r

m o m e n t u m r a d i a t e d a l w a y s p o i n t s o p p o s i t e t o t h e a n g u l a r m o m e n t u m o f t h e s t r i n g i t s e l f .

F i n a l l y w e i n v e s t i g a t e s o m e c o s m o l o g i c a l c o n s e q u e n c e s o f o u r r e s u l t s .

1

R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y a S w i s s N S F g r a n t

1


2/17

G r a v i t a t i o n a l R a d i a t i o n o f C o s m i c S t r i n g L o o p s

R U T H D U R R E R

P r i n c e t o n U n i v e r s i t y , D e p a r t m e n t o f P h y s i c s : J o s e p h H e n r y L a b o r a t o r i e s , J a d w i n H a l l , P O B 7 0 8 ,

P r i n c e t o n N J 0 8 5 4 4 , U S A

1 I N T R O D U C T I O N

I n t h i s c o n f e r e n c e w e h e a r d a l o t a b o u t t h e e v o l u t i o n o f c o s m i c s t r i n g n e t w o r k s i n a F r i e d m a n u n i v e r s e

( s e e c o n t r i b u t i o n s b y A l b r e c h t & T u r o k ( A T ) , B e n e t t & B o u c h e t ( B B ) a n d S h e l l a r d e t a l . i n t h i s

p r o c e e d i n g s ) . B u t u p t o n o w w e d i d n o t d i s c u s s a n o t h e r i m p o r t a n t i n g r e d i e n t f o r t h e f a t e o f c o s m i c

s t r i n g s : g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n .

C o s m i c s t r i n g l o o p s a r e t o p o l o g i c a l l y u n s t a b l e , i . e . , t h e y c a n d e c a y . F o r t h e n o n s u p e r c o n d u c t i n g ,

l o c a l c o s m i c s t r i n g s d i s c u s s e d i n t h i s t a l k g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n i s t h e m o s t e e c t i v e e n e r g y l o s s

m e c h a n i s m , a s l o n g a s t h e c u r v a t u r e r a d i u s o f t h e s t r i n g i s m u c h l a r g e r t h a n i t s t h i c k n e s s .

F o r s e v e r a l e x a m p l e s e n e r g y a n d m o m e n t u m r a d i a t i o n (

_

E a n d

_

P ) h a v e a l r e a d y b e e n c a l c u l a t e d b y

V a c h a s p a t i & V i l e n k i n ( 1 9 8 5 ) a n d G a r n k l e & V a c h a s p a t i ( 1 9 8 7 ) , b u t t h e r a d i a t i o n o f a n g u l a r m o m e n -

t u m ,

_

L , h a s n e v e r b e e n i n v e s t i g a t e d . I n t h i s w o r k w e t h u s e s p e c i a l l y e m p h a s i z e a n g u l a r m o m e n t u m

r a d i a t i o n .

T h e r e h a v e b e e n a r g u m e n t s ( V a c h a s p a t i & V i l e n k i n 1 9 8 5 ) t h a t t h e ` r o c k e t { e e c t ' p r o p o s e d b y

H o g a n & R e e s ( 1 9 8 4 ) a n d H o g a n ( 1 9 8 7 ) , i . e . a c c e l e r a t i o n d u e t o r a d i a t i o n o f t r a n s v e r s a l m o m e n t u m ,

c a n b e s u b s t a n t i a l l y r e d u c e d b y a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n w h i c h m i g h t r o t a t e t h e d i r e c t i o n o f

_

P .

W e s h a l l n d i n S e c t i o n 3 t h a t

_

L i s a l w a y s a n t i { p a r a l l e l t o t h e a n g u l a r m o m e n t u m o f t h e s t r i n g . L

( s t )

i s t h u s o n l y d i m i n i s h e d b y a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n b u t n o t r o t a t e d . T h e r e f o r e , a l s o t h e a n g l e

b e t w e e n

_

P a n d L

( s t )

r e m a i n s c o n s t a n t , i . e .

_

P i s n o t r o t a t e d . T h i s , a n d t h e r e s u l t t h a t t h e v e l o c i t y

o f t h e l o o p n e v e r b e c o m e s s o s m a l l t h a t d y n a m i c a l f r i c t i o n h a s t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t ( D u r r e r

1 9 8 9 ) l e a d u s t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t y p i c a l c o s m i c s t r i n g l o o p s d o s h o w a s u b s t a n t i a l r o c k e t { e e c t .

T h i s r e s u l t i s i m p o r t a n t f o r m o d e l s o f c o s m o l o g i c a l s t r u c t u r e f o r m a t i o n w i t h c o s m i c s t r i n g l o o p s ( s e e

S e c t i o n 4 ) .

I n S e c t i o n 2 w e d i s c u s s t h e g e n e r a l f o r m a l i s m f o r t h e t r e a t m e n t o f g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n o f p e r i o d i c

s o u r c e s , a n d w e p r e s e n t o u r r e s u l t s o n g r a v i t a t i o n a l a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n ( D u r r e r 1 9 8 9 ) . I n

S e c t i o n 3 w e a p p l y t h i s f o r m a l i s m o n c o s m i c s t r i n g l o o p s a n d d i s c u s s n u m e r i c a l r e s u l t s f o r t w o c l a s s e s

o f l o o p s ; o n e w i t h c u s p s a n d o n e w i t h o u t c u s p s b u t w i t h k i n k s . ( T h e n o t i o n o f c u s p s a n d k i n k s

i s e x p l a i n e d i n t h e i n t r o d u c t o r y t a l k b y T . W . B . K i b b l e . ) F i n a l l y , w e i n v e s t i g a t e s o m e c o s m o l o g i c a l

c o n s e q u e n c e s o f o u r r e s u l t s i n S e c t i o n 4 .

2 G R A V I T A T I O N A L R A D I A T I O N O F P E R I O D I C S O U R C E S

2 . 1 G r a v i t a t i o n a l R a d i a t i o n o f I s o l a t e d S y s t e m s

2


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F o r i s o l a t e d s y s t e m s w i t h a s y m p t o t i c a l l y a t g e o m e t r y , o n e c a n d e n e a n e n e r g y m o m e n t u m ` t e n s o r ' ,

t

, t

t

. A l t h o u g h t

d o e s n o t t r a n s f o r m l i k e a t e n s o r , t h e i n t e g r a l s o f t

o v e r s p a c e l i k e

h y p e r s u r f a c e s m a k e p h y s i c a l s e n s e .

(

)

3

= 0

a r e a n o r t h o n o r m a l , a s y m p t o t i c a l l y L o r e n t z i a n b a s i s o f o n e f o r m s a n d d e n o t e s t h e H o d g e

d u a l .

T o o b t a i n a c o n s e r v e d a n g u l a r m o m e n t u m i n t h e u s u a l w a y , w e m u s t r e q u i r e t

t o b e s y m m e t r i c .

W e t h e r e f o r e a d o p t t h e L a n d a u { L i f s h i t z e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r w h i c h c a n b e g i v e n i n t h e f o r m

t

= ?

1

1 6 G

( !

!

? !

!

) ; ( 0 . 1 )

w h e r e !

a r e t h e c o n n e c t i o n f o r m s f o r t h e b a s i s (

) ( S t r a u m a n n 1 9 8 5 ) .

F o r o u r d i s c u s s i o n w e w o r k w i t h i n t h e w e a k e l d l i m i t :

g

=

+ h

; ( 0 . 2 )

(

) = d i a g ( ? 1 ; 1 ; 1 ; 1 ) . W e d e n e

h

h

?

1

2

h

; ( 0 . 3 )

a n d a d o p t t h e h a r m o n i c g a u g e c o n d i t i o n

h

;

= 0 :

E i n s t e i n ' s e l d e q u a t i o n s t h e n t a k e t h e w e l l - k n o w n f o r m

2 h

= ? 1 6 G T

+ O ( h

2

) ( 0 . 4 )

w i t h t h e r e t a r d e d s o l u t i o n

h

( x ; t ) = ? 4 G

Z

T

( x

0

; t

r e t

)

j x ? x

0

j

d

3

x

0

; t

r e t

= t ? j x ? x

0

j : ( 0 . 5 )

S i n c e t

r e t

= t ? r + n x

0

+ O ( j x

0

j = r ) j x

0

j , w e h a v e

h

; i

= ? h

; 0

n

i

+ O ( h = r ) ;

w h e r e r = j x j a n d n = x = r .

W i t h t h e h e l p o f t h i s i d e n t i t y a n d e q u a t i o n ( 0 . 1 ) o n e n d s t h e e n e r g y , m o m e n t u m a n d a n g u l a r m o -

m e n t u m r a d i a t e d o u t t o i n n i t y b y g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n :

=

1

3 2 G

Z

S

< h

; 0

h

; 0

> r

2

d ; ( 0 . 6 )

=

1

3 2 G

Z

S

< h

; 0

h

; 0

> r

2

n

i

d ; ( 0 . 7 )

= ?

i j k

1 6 G

Z

S

n

j

n

l

r

3

d ; ( 0 . 8 )

w h e r e d e n o t e s t h e t i m e a v e r a g e o v e r a m e a n p e r i o d o f t h e r a d i a t i o n a n d S i s a h u g e s p h e r e

o f r a d i u s r c o n t a i n i n g t h e s o u r c e . E q u a t i o n s ( 0 . 6 ) t o ( 0 . 8 ) h a v e b e e n d e r i v e d b y P e t e r s ( 1 9 6 4 ) a n d

D u r r e r ( 1 9 8 9 ) .

3


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A t r s t g l a n c e t h e i n t e g r a l o n t h e r . h . s . o f ( 0 . 8 ) s e e m s t o d i v e r g e i n t h e l i m i t r ! 1 , b u t o n e

e a s i l y e s t a b l i s h e s t h a t d u e t o t h e a n t i s y m m e t r i c t e n s o r a n d t h e t i m e a v e r a g e t h e 1 = r

2

t e r m s i n

v a n i s h a n d

_

L r e m a i n s n i t e . T h e r e i s a c t u a l l y a l s o a n h

3

t e r m w h i c h y i e l d s a n i t e c o n t r i b u t i o n t o

_

L

i n t h e l i m i t r ! 1 , b u t f o r c o s m i c s t r i n g s t h i s t e r m i s a l w a y s m u c h s m a l l e r t h a n t h e h

2

c o n t r i b u t i o n

( D u r r e r 1 9 8 9 ) . W e t h e r e f o r e n e g l e c t i t i n t h e s e q u e l .

2 . 2 P e r i o d i c S o u r c e s

L e t u s n o w c o n s i d e r a p e r i o d i c s o u r c e w i t h p e r i o d T :

T

( x ; t ) = T

( x ; t + T ) :

S e t t i n g !

l

=

2 l

T

, l 2 N , w e h a v e

T

( x ; t ) =

1

X

l = 1

e

? i !

l

t

T

( !

l

; x ) + C . C . : ( 0 . 9 )

( B y ` C . C . ' w e d e n o t e t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f t h e p r e c e e d i n g e x p r e s s i o n . )

T h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f T

a n d i t s r s t m o m e n t c a n b e g i v e n b y

T

( !

l

; n ) =

Z

d

3

x T

( !

l

; x ) e

? i n x

; ( 0 . 1 0 )

T

p

( !

l

; n ) =

Z

d

3

x T

( !

l

; x ) x

0 p

e

? i n x

: ( 0 . 1 1 )

O n e h a r m o n i c m o d e o f f r e q u e n c y ! i n s o l u t i o n ( 0 . 5 ) e x p a n d e d u p t o o r d e r 1 = r

2

i n s e r t e d i n t h e r a d i a t i o n

f o r m u l a s ( 0 . 6 ) , ( 0 . 7 ) a n d ( 0 . 8 ) y i e l d s

= ?

G !

2

P

i j

P

l m

T

i l

T

j m

?

1

2

T

i j

T

l m

] ; ( 0 . 1 2 )

= ?

G !

2

n

k

P

i j

P

l m

T

i l

T

j m

?

1

2

T

i j

T

l m

] ; ( 0 . 1 3 )

= + ; ( 0 . 1 4 )

w i t h

= ?

i G !

2

i j k

n

j

n

l

P

p q

( 3 T

k l

T

q p

+ 6 T

k p

T

q l

) + C . C . ( 0 . 1 5 )

= ?

G !

2

2

i j k

n

j

P

l m

P

p q

2 T

k m q

T

l p

? 2 T

k m

T

l p q

? T

l p k

T

m q

+ ( 1 = 2 ) T

l m k

T

p q

] + C . C . : ( 0 . 1 6 )

P

i j

=

i j

? n

i

n

j

i s t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e p l a n e o r t h o g o n a l t o n .

E q u a t i o n ( 0 . 1 2 ) i s w e l l - k n o w n , W e i n b e r g ( 1 9 7 2 ) . E q u a t i o n ( 0 . 1 4 ) i s n e w . I t s s o m e w h a t i n v o l v e d

d e r i v a t i o n i s e x p l i c i t l y p r e s e n t e d i n D u r r e r ( 1 9 8 9 ) . T h e t w o t e r m s

_

L

( 1 )

a n d

_

L

( 2 )

s h o w i n g e n e r a l a

d i e r e n t a s y m p t o t i c b e h a v i o u r f o r ! ! 1 ( s e e S e c t i o n 3 . 2 ) .

T o n d t h e t o t a l e n e r g y , m o m e n t u m a n d a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t e d o n e h a s o f c o u r s e t o i n t e g r a t e

o v e r a l l d i r e c t i o n s a n d , f o r a r b i t r a r y p e r i o d i c s o u r c e s , t o s u m o v e r a l l h a r m o n i c f r e q u e n c i e s !

l

( c r o s s

4


5/17

t e r m s v a n i s h i n t h e t i m e a v e r a g e ) .

3 G R A V I T A T I O N A L R A D I A T I O N O F C O S M I C S T R I N G L O O P S

3 . 1 C o s m i c S t r i n g L o o p s

N o n { s u p e r c o n d u c t i n g c o s m i c s t r i n g s h a v e n o i n t e r n a l s t r u c t u r e , i . e . , n o p r e f e r r e d f r a m e o f r e f e r e n c e .

N e g l e c t i n g t h e i r n i t e t h i c k n e s s , t h e y c a n t h u s b e d e s c r i b e d b y t h e N a m b u a c t i o n

2

. P a r a m e t r i z i n g

t h e p o i n t s o n a s t r i n g w o r l d s h e e t b y ( t ; x ( ; t ) ) , w h e r e i s a s p a c e l i k e p a r a m e t e r ` a l o n g t h e s t r i n g '

a n d d e n o t i n g t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o b y a p r i m e , t h e N a m b u e q u a t i o n s o f m o t i o n i n a a t

b a c k g r o u n d a r e g i v e n b y

x ? x

0 0

= 0 ; ( 0 . 1 7 )

i f t h e g a u g e c o n s t r a i n t s

_

x x

0

= 0 ;

_

x

2

+ x

0 2

= 1 a r e s a t i s e d . ( 0 . 1 8 )

A g e n e r a l s o l u t i o n o f ( 0 . 1 7 ) i s o f t h e f o r m

x ( ; t ) =

L

4

a ( ) + b ( ) ] ; ( 0 . 1 9 )

w i t h =

2

L

( ? t ) a n d =

2

L

( + t ) . T h e c o n s t r a i n t s ( 0 . 1 8 ) y i e l d

( a

0

)

2

= ( b

0

)

2

= 1 ;

w h e r e h e r e t h e p r i m e d e n o t e s t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o a n d r e s p e c t i v e l y .

L e t u s n o w r e s t r i c t o u r d i s c u s s i o n t o s t r i n g l o o p s , i . e . a a n d b h a v e t o b e p e r i o d i c . C h o o s i n g L

s u c h t h a t a a n d b h a v e t h e p e r i o d 2 , w e n d

x ( + L ; t ) = x ( ; t ) a n d t h e r e f o r e x ( + L = 2 ; t + L = 2 ) = x ( ; t ) :

T h e f u n d a m e n t a l p e r i o d o f a l o o p i s t h u s T = L = 2 .

I n o u r g a u g e t h e e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r o f a l o o p i s g i v e n b y

T

( y ; t ) =

Z

L

0

d ( _x

_x

? x

0

x

0

)

3

( y ? x ( ; t ) ) ; ( 0 . 2 0 )

( x

0

( ; t ) = t . )

L e t u s d e n e t h e i n t e g r a l s

I

k

( l ; n )

1

2

R

2

0

d e

? i l ( + n a )

a

0

k

J

k

( l ; n )

1

2

R

2

0

d e

i l ( ? n b )

b

0

k

M

k j

( l ; n )

1

2

R

2

0

d e

? i l ( + n a )

a

0

k

a

j

N

k j

( l ; n )

1

2

R

2

0

d e

i l ( ? n b )

b

0

k

b

j

:

( 0 . 2 1 )

2

I t i s c l e a r t o u s t h a t t h e t w o l i m i t s , t h i c k n e s s , ! 0 a n d w e a k e l d s , a r e i n p r i n c i p l e n o t c o m p a t i b l e . B u t w e h o p e

a l l t h e s a m e t h a t t h e r e e x i s t s a r e g i m e ( ; G ) w h e r e t h i s l i m i t y i e l d S , a t l e a s t i n o r d e r o f m a g n i t u d e , c o r r e c t r e s u l t s . O u r

h o p e s h a v e r e c e n t l y b e e n n o u r i s h e d b y i n v e s t i g a t i o n s o n e x a c t s o l u t i o n s o f c o s m i c s t r i n g l o o p s ( F r o l o v , I s r a e l & U n r u h

1 9 8 9 ) a n d b y c a l c u l a t i o n s o f b a c k r e a c t i o n ( Q u a s h n o c k & S p e r g e l 1 9 8 8 ) .

5


6/17

T h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r ( 0 . 2 0 ) a n d i t s r s t m o m e n t s c a n b e e x p r e s s e d

i n t e r m s o f t h e s e i n t e g r a l s

T

k j

( !

l

; n ) = ?

L

2

I

k

( l ; n ) J

j

( l ; n ) + I

j

( l ; n ) J

k

( l ; n ) ] ( 0 . 2 2 )

T

k i j

( !

l

; n ) = ?

L

2

8

I

k

N

i j

+ I

i

N

k j

+ J

k

M

i j

+ J

i

M

k j

] : ( 0 . 2 3 )

A c c o r d i n g t o ( 0 . 1 2 ) t o ( 0 . 1 6 ) , t h e i n t e g r a l s ( 0 . 2 1 ) i n s e r t e d i n ( 0 . 2 2 ) a n d ( 0 . 2 3 ) y i e l d t h e a n g u l a r

d i s t r i b u t i o n o f g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n o f f r e q u e n c y !

l

f o r a g i v e n s t r i n g l o o p ( a , b ) . T o o b t a i n t h e

t o t a l r a d i a t i o n e m i t t e d w e h a v e t o i n t e g r a t e t h i s d i s t r i b u t i o n o v e r a l l d i r e c t i o n s a n d t o s u m u p o v e r

a l l f r e q u e n c i e s !

l

; l 2 N .

3 . 2 A s y m p t o t i c s

T h e s u m o v e r a l l f r e q u e n c i e s !

l

i s o f c o u r s e n o t p o s s i b l e n u m e r i c a l l y . O n e h a s t h u s t o n d t h e

a s y m p t o t i c b e h a v i o u r o f

_

E ( !

l

) ,

_

P ( !

l

) a n d

_

L ( !

l

) f o r l a r g e l . O n e c a n t h e n c a l c u l a t e

_

E ( !

l

) ,

_

P ( !

l

)

a n d

_

L ( !

l

) n u m e r i c a l l y u n t i l t h e a s y m p t o t i c r e g i m e i s r e a c h e d a n d e s t i m a t e t h e r e m a i n d e r b y t h e

a s y m p t o t i c b e h a v i o u r .

T o d i s c u s s t h e a s y m p t o t i c s , w e d e n e f o r a r b i t r a r y v e c t o r s v , w

I

l

( n ; v ) = I

k

( l ; n ) v

k

J

l

( n ; v ) = J

k

( l ; n ) v

k

M

l

( n ; v ; w ) = M

k j

( l ; n ) v

k

w

j

N

l

( n ; v ; w ) = N

k j

( l ; n ) v

k

w

j

:

( 0 . 2 4 )

L e t u s n o w c h o o s e v ; w s u c h t h a t ( n ; v ; w ) f o r m a n o r t h o n o r m a l f r a m e .

_

E ( ! ; n ) ,

_

P ( ! ; n ) a n d

_

L ( ! ; n )

c a n t h e n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e i n t e g r a l s ( 0 . 2 4 ) ( s e e D u r r e r 1 9 8 9 ) .

I n t h e r s t e x a m p l e o f t h e n e x t s u b s e c t i o n ( f o r = 0 ) t h e i n t e g r a l s ( 0 . 2 4 ) c a n b e c a r r i e d o u t

a n a l y t i c a l l y a n d y i e l d B e s s e l f u n c t i o n s . T h e a s y m p t o t i c b e h a v i o u r i s t h u s m o s t e a s i l y d i s c u s s e d a n d

l e a d s t o t h e f o l l o w i n g r e s u l t s w h i c h a r e d e r i v e d i n D u r r e r ( 1 9 8 9 ) :

_

E ( !

l

) / l

? 4 = 3

;

_

P = 0 ;

_

L

( 1 )

( !

l

) / l

? 2

;

_

L

( 2 )

( !

l

) / l

? 4 = 3

f o r l a r g e l .

I n t h e c a s e o f c u s p l e s s ( b u t p o s s i b l y k i n k y ) l o o p s ( a ( ) 6= ? b ( ) 8 0 ; 2 , G a r n k l e &

V a c h a s p a t i ( 1 9 8 7 ) d e r i v e d

I

l

( n ; v ) /

8

>

>

>

:

l

? 1

; i f n d o e s n o t l i e o n t h e ? a

0

c u r v e

l

? 2 = 3

; i f n l i e s o n t h e ? a

0

c u r v e

f o r a l l v o r t h o g o n a l t o n . T h e s a m e i s t r u e f o r J

l

( n ; v ) w i t h ? a

0

r e p l a c e d b y b

0

. O n e e a s i l y o b t a i n s

t h e s a m e r e s u l t f o r M

l

( n ; v ; w ) a n d N

l

( n ; v ; w ) f o r v e c t o r s v , w o r t h o g o n a l t o n . F o r I

l

( n ; n ) o n e n d s

b y s i m i l a r m e t h o d s

I

l

( n ; n ) /

8

>

>

>

:

l

? 1

; i f n d o e s n o t l i e o n t h e ? a

0

c u r v e

l

? 1 = 3

; i f n l i e s o n t h e ? a

0

c u r v e

6


7/17

A g a i n t h e s a m e h o l d s f o r J

l

( n ; n ) w i t h ? a

0

r e p l a c e d b y b

0

.

F o r c u s p l e s s l o o p s n c a n l i e e i t h e r o n t h e ? a

0

o r o n t h e b

0

c u r v e b u t n o t o n b o t h s i n c e t h e y d o n o t

i n t e r s e c t . T h e r e f o r e e i t h e r ( I

l

a n d M

l

) o r ( J

l

a n d N

l

) c a n d e c a y s l o w e r t h a n l

? 1

b u t n o t b o t h o f t h e m .

T a k i n g t h i s i n t o a c c o u n t o n e n d s t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o u r o f T

i j

( !

l

; n ) a n d T

i j k

( !

l

; n ) . I n s e r t e d i n

( 0 . 1 2 ) , ( 0 . 1 3 ) a n d ( 0 . 1 4 ) t h i s y i e l d s t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o u r f o r g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n o f c u s p l e s s

l o o p s :

_

E ( !

l

) / l

? 4 = 3

;

_

P / l

? 4 = 3

;

_

L

( 1 )

( !

l

) / l

? 2

;

_

L

( 2 )

( !

l

) / l

? 4 = 3

f o r l a r g e l . T h i s i s t h e s a m e r e s u l t a s a b o v e , b u t i t s u r e l y c a n n o t b e e x p a n d e d t o g e n e r a l ` c u s p y ' l o o p s

s i n c e t h e r e a r e w e l l k n o w n e x a m p l e s w h e r e

P

l

_

E ( !

l

) a n d

P

l

_

L ( !

l

) d i v e r g e ( e . g . i n o u r r s t n u m e r i c a l

e x a m p l e f o r = ! ) .

3 . 3 N u m e r i c a l R e s u l t s

W e h a v e c a l c u l a t e d t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n n u m e r i c a l l y f o r t h e f a m i l i e s o f l o o p s g i v e n b e l o w :

a = ( 1 ? ) s i n ? ( 1 = 3 ) s i n 3 ] e

1

? ( 1 ? ) c o s + ( 1 = 3 ) c o s 3 ] e

2

+

q

( 1 ? ) ( s i n 2 ) e

3

; ( 0 . 2 5 )

b = ( s i n ) e

1

? ( c o s c o s ) e

2

? ( s i n c o s ) e

3

; ( 0 . 2 6 )

0 1 ; 0 :

T h e e n e r g y a n d m o m e n t u m r a d i a t i o n f o r s o m e l o o p s o f t h i s c o n g u r a t i o n h a v e a l r e a d y b e e n c a l -

c u l a t e d b y V a c h a s p a t i & V i l e n k i n ( 1 9 8 5 ) . F o r 6= 0 t h e s e l o o p s a r e a s y m m e t r i c , h e n c e t h e y r a d i a t e

t r a n s v e r s a l m o m e n t u m .

T h e a n g u l a r m o m e n t u m o f a l o o p ( 0 . 2 5 , 0 . 2 6 ) i s e a s i l y c a l c u l a t e d w i t h t h e r e s u l t

L

( s t )

= ?

L

2

4

s i n ( = 2 ) f c o s ( = 2 ) e

2

+ s i n ( = 2 ) e

3

g + ( = 3 ? 1 ) e

3

] : ( 0 . 2 7 )

T h e s e a r e a l l l o o p s w i t h c u s p s . A s a s e c o n d e x a m p l e w e c a l c u l a t e d t h e r a d i a t i o n f o r a f a m i l y o f

k i n k y b u t c u s p l e s s l o o p s :

a = ( 1 = p ) s i n ( p + ) e

1

? ( 1 = p ) c o s ( p + ) e

2

;

= ( 1 ? p ) = ] ; ( 0 . 2 8 )

b = ( 1 = q ) s i n ( q + ) e

1

? ( 1 = q ) c o s ( q + ) ( c o s e

2

+ s i n e

3

) ;

= ( 1 ? q ) ( = 2 + = ] ) ; ( 0 . 2 9 )

0 < p ; q < 1 ( G a r n k l e & V a c h a s p a t i 1 9 8 7 ) .

T h e s q u a r e b r a c k e t x ] d e n o t e s t h e n e a r e s t l o w e r i n t e g e r .

F o r t h e s e l o o p c o n g u r a t i o n s t h e a n g u l a r m o m e n t u m i s g i v e n b y

L

( s t )

= ?

L

2

8

s i n

q

e

2

+ (

1

p

?

c o s

q

) e

3

] : ( 0 . 3 0 )

O u r n u m e r i c a l r e s u l t s a r e p r e s e n t e d i n F i g s 1 t o 7 a n d T a b l e s 1 t o 4 . I n F i g s . 1 t o 4 , w e p l o t

_

E ( !

N

) ,

_

P ( !

N

) a n d

_

L ( !

N

) f o r s o m e c o n g u r a t i o n s . I n F i g s . 2 a n d 3 t h e a c t u a l f a l l o o f

_

L i s c o m p a r e d w i t h

t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o u r c a l c u l a t e d i n t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n . I n F i g . 4 o n e s e e s t h a t f o r e a c h m o d e

7


8/17

o f r a d i a t i o n

_

L ( !

N

) i s p e r f e c t l y a n t i p a r a l l e l t o L

( s t )

. T h i s r e m a r k a b l e r e s u l t h o l d s a l s o f o r a l l o t h e r

e x a m p l e s w h i c h w e h a v e i n v e s t i g a t e d ( s e e T a b l e s 1 a n d 3 ) . A n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n t e n d s t h u s

a l w a y s t o d i m i n i s h t h e a n g u l a r m o m e n t u m o f t h e l o o p a n d d o e s n e v e r r o t a t e o r e v e n i n c r e a s e i t !

U n f o r t u n a t e l y w e a r e ( u p t o n o w ) n o t a b l e t o g i v e a g e n e r a l p r o o f o f t h i s p u r e l y n u m e r i c a l r e s u l t .

I n D u r r e r ( 1 9 8 9 ) w e h a v e s h o w n t h a t f o r a b ,

_

L = 0 . S i n c e t h e s e a r e t h e o n l y C

1

{ l o o p s w i t h

L

( s t )

= 0 , t h i s m e a n s t h a t f o r L

( s t )

= 0 a l s o

_

L = 0 . L o o p c o n g u r a t i o n s ( 0 . 2 5 ) , ( 0 . 2 6 ) w i t h = 0

e x h i b i t n o r a d i a t i o n o f t r a n s v e r s a l m o m e n t u m . I n F i g s . 5 , 6 a n d 7 e n e r g y a n d a n g u l a r m o m e n t u m

r a d i a t i o n o f t h e s e l o o p s a r e g i v e n a s f u n c t i o n s o f t h e p a r a m e t e r .

_

E d i v e r g e s f o r = 0 ; a n d

_

L

d i v e r g e s f o r = ( s e e V a c h a s p a t i & V i l e n k i n 1 9 8 5 , D u r r e r 1 9 8 9 ) . T h e n u m e r i c a l r e s u l t i s c o m p a r e d

w i t h t h e r e s u l t o b t a i n e d i n q u a d r u p o l e a p p r o x i m a t i o n . T o o u r s u r p r i s e t h e q u a d r u p o l e a p p r o x i m a t i o n

i s n e v e r m o r e t h a n a f a c t o r o f 2 o f r o m t h e n u m e r i c a l v a l u e . W e s u p p o s e t h a t t h i s i s d u e t o t h e h i g h

d e g r e e o f s y m m e t r y o f = 0 l o o p s , s i n c e f o r 6= 0 t h e c o r r e s p o n d i n g d i e r e n c e c a n a m o u n t t o u p t o

t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e ( s e e T a b l e 2 ) .

A c c o r d i n g t o F i g . 7 a n d T a b l e s 3 a n d 4 w e a d o p t t h e f o l l o w i n g ` m e a n ' v a l u e s o f

_

E ,

_

P a n d

_

L :

_

E =

E

G

2

,

_

P =

P

G

2

,

_

L = ?

L

G

2

L e

( s t )

( e

( s t )

i s t h e d i r e c t i o n o f L

( s t )

) w i t h

E

' 5 0 ;

P

' 5 ;

L

' 5 :

( 0 . 3 1 )

T h e d i r e c t i o n o f

_

L s e e m s n o t t o b e c o r r e l a t e d w i t h t h e d i r e c t i o n o f

_

P .

8


9/17

( = ; )

j

_

L j j L

( s t )

j

j

_

L j j

_

P j

( 0 . 0 , 0 . 5 ) - 1 . 0 0 . 7 8

( 0 . 2 5 , 0 . 5 ) - 0 . 9 8 - 0 . 4

( 0 . 5 , 0 . 5 ) - 1 . 0 - 0 . 9 3

( 0 . 7 5 , 0 . 5 ) - 0 . 9 9 - 0 . 3 7

( 0 . 2 5 , 0 . 8 ) - 0 . 9 9 - 0 . 8 4

( 0 . 5 , 0 . 8 ) - 1 . 0 - 0 . 4 8

( 0 . 7 5 , 0 . 8 ) - 0 . 9 8 0 . 3 6

T a b l e 1 : T h e a n g l e b e t w e e n t h e a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t e d a w a y ,

_

L , a n d L

( s t )

r e s p e c t i v e l y

_

P .

9


10/17

( = ; )

_

E

_

E

( q )

_

L

_

L

( 1 )

_

L

( 2 )

_

L

( q )

( 0 . 0 , 0 . 5 ) 5 2 . 3 2 . 6 3 3 . 6 7 2 . 5 5 1 . 1 2 0 . 0

( 0 . 2 5 , 0 . 5 ) 5 4 . 1 3 . 1 6 3 . 4 5 2 . 2 9 1 . 1 6 2 . 2 1

( 0 . 5 , 0 . 5 ) 5 6 . 9 5 . 5 9 4 . 0 7 2 . 4 3 1 . 6 5 5 . 3 3

( 0 . 7 5 , 0 . 5 ) 5 6 . 6 9 . 6 1 4 . 8 1 2 . 9 2 1 . 9 1 8 . 6 1

( 0 . 2 5 , 0 . 8 ) 7 5 . 1 0 . 5 1 6 . 0 9 3 . 6 1 2 . 4 8 0 . 3 5

( 0 . 5 , 0 . 8 ) 6 3 . 9 0 . 8 9 4 . 4 6 2 . 4 3 2 . 0 8 0 . 8 5

( 0 . 7 5 , 0 . 8 ) 4 8 . 1 1 . 5 5 3 . 0 2 1 . 4 5 1 . 6 3 1 . 3 8

T a b l e 2 : C o m p a r i s o n o f t h e n u m e r i c a l v a l u e s o f e n e r g y a n d a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n w i t h t h e v a l u e s

p r e d i c t e d b y t h e q u a d r u p o l e a p p r o x i m a t i o n . (

_

E i n u n i t s G

2

,

_

L i n u n i t s G

2

L . )

= ; ( p ; q )

E

L

j

_

L j j L

( s t )

j

0 . 8 , ( 0 . 4 , 0 . 2 ) 2 2 . 7 . 4 0 . 9 9

0 . 5 , ( 0 . 6 , 0 . 4 ) 1 9 2 - 0 . 9 9

0 . 5 , ( 0 . 4 , 0 . 8 ) 2 6 4 - 0 . 9 7

0 . 5 , ( 0 . 9 , 0 . 9 ) 4 2 4 . 5 - 1 . 0

T a b l e 3 : E n e r g y a n d a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n f o r s o m e l o o p s o f t h e c l a s s ( 0 . 2 8 ) , ( 0 . 2 9 ) .

F i g u r e 1 : E n e r g y , ?

_

E ( } ) , a n d m o m e n t u m r a d i a t i o n , j

_

P j ( ) , a r e d r a w n l o g a r i t h m i c a l l y a s a f u n c t i o n

o f t h e m o d e n u m b e r N , !

N

= 4 N = L , i n u n i t s o f G

2

. F o r d i e r e n t v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s ( ; 6= 0 ) t h e

c o r r e s p o n d i n g p l o t s l o o k s i m i l a r .

1 0


11/17

4 C O S M O L O G I C A L C O N S E Q U E N C E S

I n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s t h e i m p l i c a t i o n s o f o u r r e s u l t s t o c o s m i c s t r i n g l o o p s i n a a t , m a t t e r

d o m i n a t e d F r i e d m a n u n i v e r s e . ( T h e s c a l e f a c t o r e v o l v e s t h u s a c c o r d i n g t o a / t

2 = 3

. ) A s l o n g a s t h e

l e n g t h o f t h e l o o p i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e h o r i z o n s i z e ( L t ) t h e a t s p a c e t i m e r e s u l t s o f t h e

p r e c e e d i n g s e c t i o n r e m a i n v a l i d .

4 . 1 T h e R o c k e t { E e c t

H o g a n & R e e s ( 1 9 8 4 ) s u g g e s t e d t h a t d u e t o a s y m m e t r i c a l g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n c o s m i c s t r i n g l o o p s

m i g h t s p e e d u p a n d t r a v e l t h r o u g h t h e u n i v e r s e a t e x t r e m e l y h i g h s p e e d .

F o r a l o o p o f l e n g t h L , b o r n ( i . e . c h o p p e d o a n i n n i t e s t r i n g , s e e A T a n d B B ) a t t i m e t

i

w i t h

c o n s t a n t r a d i a t i o n r a t e s

_

P =

P

G

2

a n d

_

E =

E

G

2

a n d i n i t i a l m o m e n t u m p

i

, w e n d

v ( t ) =

p

i

x

? 2 = 3

+ ( 3 = 5 )

P

G

2

t

i

x

( L ? ( x ? 1 ) (

E

G

2

t

i

) )

2

+ ( p

i

x

? 2 = 3

+ ( 3 = 5 )

P

G

2

t

i

x )

2

]

1 = 2

;

w h e r e x = t = t

i

. F o r v

i

0 : 5 ,

P

2 a n d t

i

L t h e r e s u l t s i m p l i e s t o

v ( t ) '

( x

? 2 = 3

+ G x )

2

( x

? 2 = 3

+ G x )

2

+ ( 1 ? G

E

x )

2

]

( 1 = 2 )

: ( 0 . 3 2 )

F o r t h i s c a s e v ( t ) i s s h o w n i n F i g . 8 . F o r r e a s o n a b l e ( i . e . r e l a t i v i s t i c ) i n i t i a l v e l o c i t i e s v ( t ) v

m i n

0 : 0 1 , a n d d y n a m i c a l f r i c t i o n n e v e r b e c o m e s i m p o r t a n t ( D u r r e r 1 9 8 9 ) . T h e v e l o c i t y t h e n r e a l l y e v o l v e s

a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 3 2 ) .

W e t h u s c o n c l u d e t h a t c o s m i c s t r i n g l o o p s t y p i c a l l y h a v e h i g h l y r e l a t i v i s t i c p e c u l i a r v e l o c i t i e s . A s

w e d i s c u s s i n t h e n e x t s u b s e c t i o n , t h i s r e s u l t s u b s t a n t i a l l y a l t e r s t h e p i c t u r e o f a c c r e t i o n o f m a t t e r

o n t o s t r i n g l o o p s .

O f c o u r s e a l l t h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h i s s e c t i o n h a v e t o b e t a k e n w i t h a g r a i n o f s a l t . F i r s t

o f a l l , w e d o n o t k n o w h o w t h e m e a n v a l u e s

E

;

P

a n d

L

o f o u r n u m e r i c a l e x a m p l e s a r e r e l a t e d

t o c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f a c o s m o l o g i c a l n e t w o r k . W e j u s t h o p e t h a t t h e y a r e o f t h e s a m e o r d e r

o f m a g n i t u d e . ( F o r s o m e j u s t i c a t i o n o f t h i s h o p e s e e D u r r e r ( 1 9 8 9 ) . ) F u r t h e r m o r e , t h e r a d i a t i o n

b a c k r e a c t i o n w a s t a k e n i n t o a c c o u n t o n l y b y t h e c o n s e r v a t i o n l a w s , s o t h a t i t a l t e r s t h e s t r i n g e n e r g y ,

m o m e n t u m a n d a n g u l a r m o m e n t u m b u t n o t i t s s h a p e . T h i s i s o f c o u r s e f a r f r o m o b v i o u s a n d i t r e m a i n s

a n i m p o r t a n t o p e n q u e s t i o n f o r h o w m a n y o s c i l l a t i o n s

_

P p o i n t s a p p r o x i m a t e l y i n t h e s a m e d i r e c t i o n .

I f t h i s n u m b e r o f c o h e r e n t o s c i l l a t i o n s , N

c

, i s b i g , N

c

1 0 0 0 , o u r r e s u l t s r e m a i n q u a l i t a t i v e l y v a l i d .

B u t i f N

c

1 0 , t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e l o o p s h a s t o b e t r e a t e d a s a r a n d o m w a l k a n d t h e v e l o c i t y i s

s u b s t a n t i a l l y r e d u c e d . T h e f a c t t h a t g r a v i t a t i o n a l r a d i a t i o n d o e s n o t c h a n g e t h e d i r e c t i o n o f L

( s t )

a n d

r e c e n t i n v e s t i g a t i o n s o n t h e b a c k r e a c t i o n p r o b l e m o f Q u a s h n o c k & S p e r g e l ( 1 9 8 9 ) h i n t t h a t N

c

m i g h t

1 1


12/17

i n f a c t b e r a t h e r l a r g e .

F i g u r e 8 : T h e v e l o c i t y e v o l u t i o n o f a c o s m i c s t r i n g l o o p b o r n a t r e l a t i v i s t i c s p e e d , v

i

' 0 : 5 , w i t h L ' t

i

i s

s h o w n . T h e d e c a y t i m e , t

d

' 2 1 0

4

t

i

i s i n d i c a t e d

4 . 2 A c c r e t i o n o f M a t t e r a r o u n d F a s t M o v i n g C o s m i c S t r i n g L o o p s

A s b e f o r e , w e d e n o t e b y t

i

t h e t i m e w h e n t h e l o o p w a s b o r n . L e t u s r s t n e g l e c t t h e n i t e s i z e o f a

c o s m i c s t r i n g l o o p . W e c a n t h e n a p p l y a s i m p l e m o d e l p r o p o s e d b y B e r t s c h i n g e r ( 1 9 8 7 ) f o r a c c r e t i o n

o f c o s m i c d u s t o n t o a f a s t m o v i n g p o i n t s o u r c e . W e c o n s i d e r a d i s k o r t h o g o n a l t o t h e v e l o c i t y o f t h e

l o o p w i t h t h e p o s i t i o n o f t h e l o o p a t a t i m e t

0

a t i t s c e n t e r . W i t h i n t h i s m o d e l , t h e r a d i u s o f t h e d i s k

w h i c h h a s b e e n a c c r e t e d ( i . e . t u r n e d a r o u n d ) u n t i l s o m e t i m e t i s g i v e n b y

d

a c c

( t

0

; t ) ' t

i

( t = t

i

)

1 = 3

(

G L

v

s t

t

0

)

1 = 2


13/17

T h e a b o v e r e s u l t i s v a l i d o n l y f o r c o l d p a r t i c l e s . W e h a v e n e g l e c t e d t h e r m a l v e l o c i t i e s . F o r p a r t i c l e s

w i t h s o m e n i t e m e a n t h e r m a l v e l o c i t y v

T

, d

a c c

h a s t o b e c o m p a r e d w i t h a t y p i c a l t h e r m a l d i s t a n c e

d

T

v

T

( t

d

? t

i

) :

F o r a c c r e t i o n t o t a k e p l a c e a t a l l , w e m u s t r e q u i r e d

T

< d

a c c

, i . e . ,

v

T


14/17

F i g u r e 2 : A n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n (

_

L

( 1 )

2

( ) ;

_

L

( 1 )

3

( ) ;

_

L

( 2 )

2

( 4 ) a n d

_

L

( 2 )

3

( } ) i s d r a w n l o g a r i t h m i c a l l y

a s a f u n c t i o n o f t h e m o d e n u m b e r N i n u n i t s o f L G

2

. T h e n u m e r i c a l f a l l o i s c o m p a r e d w i t h t h e t h e o r e t i c a l l y

p r e d i c t e d o n e .

F i g u r e 3 : T h e s a m e a s F i g u r e 2 f o r a k i n k y l o o p c o n g u r a t i o n .

1 4


15/17

F i g u r e 4 : j

_

L j i n u n i t s o f ( L G

2

) ( ) a n d

_

L L

( s t )

j

_

L j j L

( s t )

j

( ? , l i n e a r s c a l e ) a r e d r a w n a s f u n c t i o n s o f t h e m o d e

n u m b e r . T h e s a m e d i a g r a m f o r d i e r e n t l o o p c o n g u r a t i o n s l o o k s q u i t e s i m i l a r .

F i g u r e 5 : E n e r g y r a d i a t i o n f o r = 0 c o n g u r a t i o n s ( } ) i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f t h e p a r a m e t e r a n d i s

c o m p a r e d w i t h t h e a m o u n t e x p e c t e d i n q u a d r u p o l e a p p r o x i m a t i o n ( 4 ) . T h e u n i t s a r e G

2

.

1 5


16/17

F i g u r e 6 : T h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n ( 4 ) , f o r = 0 c o n g u r a t i o n s i s s h o w n a s a f u n c t i o n o f

t h e p a r a m e t e r i n u n i t s L G

2

a n d i s c o m p a r e d w i t h t h e a m o u n t e x p e c t e d i n q u a d r u p o l e a p p r o x i m a t i o n ,

_

L

( q )

( } ) . ( j

_

L

( 1 )

j ( ) , j

_

L

( 2 )

j ( ) )

F i g u r e 7 : F o r = 0 c o n g u r a t i o n s t h e v a l u e s

E

( } ) a n d

L

( 4 ) a r e d r a w n a s f u n c t i o n s o f t h e p a r a m e t e r .

1 6


17/17

( = ; )

E

P

L

( 0 . 0 , 0 . 5 ) 5 2 . 3 0 . 0 2 3 . 6 7

( 0 . 2 5 , 0 . 5 ) 5 4 . 1 5 . 6 6 3 . 4 5

( 0 . 5 , 0 . 5 ) 5 6 . 9 2 . 3 5 4 . 0 7

( 0 . 7 5 , 0 . 5 ) 5 6 . 6 5 . 5 1 4 . 8 1

( 0 . 2 5 , 0 . 8 ) 7 5 . 1 2 . 3 1 6 . 0 9

( 0 . 5 , 0 . 8 ) 6 3 . 9 1 . 7 9 4 . 4 6

( 0 . 7 5 , 0 . 8 ) 4 8 . 1 0 . 8 4 3 . 0 2

T a b l e 4 : E n e r g y , m o m e n t u m a n d a n g u l a r m o m e n t u m r a d i a t i o n f o r s o m e l o o p s o f t h e c l a s s ( 0 . 2 5 ) , ( 0 . 2 6 ) .

1 7

ruth durrer- gravitational radiation of cosmic string loops

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