SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

IVAN ŠVAGANOVIĆ

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

Diplomski rad

Osijek 2012

i

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

IVAN ŠVAGANOVIĆ

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

Diplomski rad

predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta J J Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja magistra edukacije fizike i informatike

Osijek 2012

ii

Ovaj diplomski rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom profdrsc Branka Vukovića i asistenta Igora Miklavčića u sklopu

Sveučilišnog diplomskog studija

fizike i informatike na Odjelu za fiziku Sveučilišta

Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

iii

Ovim putem zahvaljujem se profdrsc Branku Vukoviću na savjetima pri izradi ovog

diplomskog rada te asistentu Igoru Miklavčiću na pomoći pri izvođenju eksperimenta

prikazanog u ovom radu

Velika zahvala mojoj majci baki ujaku djevojci i cimeru na pomoći tijekom cijelog

studija bez čije bi cjelokupne podrške ovaj rad bilo puno teže napraviti

Ivan Švaganović

iv

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Atom 2

21 Demokritov model atoma 2

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3

24 Model Sunčevog sustava 4

25 Rutherfordov model atoma 4

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7

31 Kinematika raspršenja 8

32 Dinamika raspršenja 14

4 Elastično raspršenje krutih kugli 18

5 Rutherfordovo raspršenje 21

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26

61 Princip rada 27

62 Popis pribora 27

63 Zadaci 27

64 Postavke opreme i mjerenja 28

65 Mjerenje 28

66 Pogreške mjerenja 30

67 Rezultati mjerenja 31

671 Zadatak 1 31

672 Zadatak 2 33

7 Zaključak 35

8 Literatura 37

9 Životopis 38

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39

101 Uvod 39

102 Model jednostavne regresije 40

103 Jednostavna linearna regresija 41

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije 44

v

Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Sažetak

Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne

modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao

ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s

Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od

najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo

razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam

Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo

našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo

do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom

obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja

raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice

raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo

koristili za obradu podataka

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato

Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić

Ocjenjivači

Rad prihvaćen

vi

J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND

ALLUMINIUM FOIL

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Abstract

This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back

at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were

generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared

Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After

that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the

theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once

Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that

we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical

theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show

the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the

scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by

conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the

statistical method of simple regression analysis that we used for data processing

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering

Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić

Reviewers

Thesis accepted

1

1 Uvod

Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je

građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i

ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u

kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas

okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a

najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U

početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim

razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se

znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća

mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo

proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma

te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela

atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma

vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru

atoma

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

i

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

IVAN ŠVAGANOVIĆ

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

Diplomski rad

predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta J J Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja magistra edukacije fizike i informatike

Osijek 2012

ii

Ovaj diplomski rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom profdrsc Branka Vukovića i asistenta Igora Miklavčića u sklopu

Sveučilišnog diplomskog studija

fizike i informatike na Odjelu za fiziku Sveučilišta

Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

iii

Ovim putem zahvaljujem se profdrsc Branku Vukoviću na savjetima pri izradi ovog

diplomskog rada te asistentu Igoru Miklavčiću na pomoći pri izvođenju eksperimenta

prikazanog u ovom radu

Velika zahvala mojoj majci baki ujaku djevojci i cimeru na pomoći tijekom cijelog

studija bez čije bi cjelokupne podrške ovaj rad bilo puno teže napraviti

Ivan Švaganović

iv

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Atom 2

21 Demokritov model atoma 2

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3

24 Model Sunčevog sustava 4

25 Rutherfordov model atoma 4

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7

31 Kinematika raspršenja 8

32 Dinamika raspršenja 14

4 Elastično raspršenje krutih kugli 18

5 Rutherfordovo raspršenje 21

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26

61 Princip rada 27

62 Popis pribora 27

63 Zadaci 27

64 Postavke opreme i mjerenja 28

65 Mjerenje 28

66 Pogreške mjerenja 30

67 Rezultati mjerenja 31

671 Zadatak 1 31

672 Zadatak 2 33

7 Zaključak 35

8 Literatura 37

9 Životopis 38

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39

101 Uvod 39

102 Model jednostavne regresije 40

103 Jednostavna linearna regresija 41

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije 44

v

Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Sažetak

Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne

modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao

ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s

Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od

najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo

razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam

Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo

našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo

do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom

obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja

raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice

raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo

koristili za obradu podataka

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato

Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić

Ocjenjivači

Rad prihvaćen

vi

J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND

ALLUMINIUM FOIL

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Abstract

This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back

at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were

generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared

Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After

that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the

theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once

Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that

we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical

theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show

the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the

scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by

conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the

statistical method of simple regression analysis that we used for data processing

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering

Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić

Reviewers

Thesis accepted

1

1 Uvod

Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je

građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i

ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u

kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas

okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a

najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U

početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim

razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se

znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća

mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo

proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma

te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela

atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma

vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru

atoma

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

ii

Ovaj diplomski rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom profdrsc Branka Vukovića i asistenta Igora Miklavčića u sklopu

Sveučilišnog diplomskog studija

fizike i informatike na Odjelu za fiziku Sveučilišta

Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

iii

Ovim putem zahvaljujem se profdrsc Branku Vukoviću na savjetima pri izradi ovog

diplomskog rada te asistentu Igoru Miklavčiću na pomoći pri izvođenju eksperimenta

prikazanog u ovom radu

Velika zahvala mojoj majci baki ujaku djevojci i cimeru na pomoći tijekom cijelog

studija bez čije bi cjelokupne podrške ovaj rad bilo puno teže napraviti

Ivan Švaganović

iv

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Atom 2

21 Demokritov model atoma 2

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3

24 Model Sunčevog sustava 4

25 Rutherfordov model atoma 4

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7

31 Kinematika raspršenja 8

32 Dinamika raspršenja 14

4 Elastično raspršenje krutih kugli 18

5 Rutherfordovo raspršenje 21

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26

61 Princip rada 27

62 Popis pribora 27

63 Zadaci 27

64 Postavke opreme i mjerenja 28

65 Mjerenje 28

66 Pogreške mjerenja 30

67 Rezultati mjerenja 31

671 Zadatak 1 31

672 Zadatak 2 33

7 Zaključak 35

8 Literatura 37

9 Životopis 38

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39

101 Uvod 39

102 Model jednostavne regresije 40

103 Jednostavna linearna regresija 41

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije 44

v

Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Sažetak

Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne

modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao

ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s

Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od

najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo

razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam

Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo

našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo

do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom

obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja

raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice

raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo

koristili za obradu podataka

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato

Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić

Ocjenjivači

Rad prihvaćen

vi

J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND

ALLUMINIUM FOIL

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Abstract

This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back

at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were

generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared

Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After

that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the

theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once

Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that

we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical

theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show

the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the

scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by

conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the

statistical method of simple regression analysis that we used for data processing

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering

Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić

Reviewers

Thesis accepted

1

1 Uvod

Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je

građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i

ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u

kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas

okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a

najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U

početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim

razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se

znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća

mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo

proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma

te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela

atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma

vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru

atoma

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

iii

Ovim putem zahvaljujem se profdrsc Branku Vukoviću na savjetima pri izradi ovog

diplomskog rada te asistentu Igoru Miklavčiću na pomoći pri izvođenju eksperimenta

prikazanog u ovom radu

Velika zahvala mojoj majci baki ujaku djevojci i cimeru na pomoći tijekom cijelog

studija bez čije bi cjelokupne podrške ovaj rad bilo puno teže napraviti

Ivan Švaganović

iv

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Atom 2

21 Demokritov model atoma 2

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3

24 Model Sunčevog sustava 4

25 Rutherfordov model atoma 4

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7

31 Kinematika raspršenja 8

32 Dinamika raspršenja 14

4 Elastično raspršenje krutih kugli 18

5 Rutherfordovo raspršenje 21

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26

61 Princip rada 27

62 Popis pribora 27

63 Zadaci 27

64 Postavke opreme i mjerenja 28

65 Mjerenje 28

66 Pogreške mjerenja 30

67 Rezultati mjerenja 31

671 Zadatak 1 31

672 Zadatak 2 33

7 Zaključak 35

8 Literatura 37

9 Životopis 38

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39

101 Uvod 39

102 Model jednostavne regresije 40

103 Jednostavna linearna regresija 41

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije 44

v

Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Sažetak

Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne

modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao

ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s

Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od

najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo

razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam

Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo

našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo

do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom

obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja

raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice

raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo

koristili za obradu podataka

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato

Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić

Ocjenjivači

Rad prihvaćen

vi

J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND

ALLUMINIUM FOIL

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Abstract

This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back

at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were

generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared

Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After

that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the

theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once

Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that

we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical

theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show

the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the

scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by

conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the

statistical method of simple regression analysis that we used for data processing

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering

Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić

Reviewers

Thesis accepted

1

1 Uvod

Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je

građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i

ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u

kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas

okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a

najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U

početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim

razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se

znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća

mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo

proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma

te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela

atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma

vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru

atoma

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

iv

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Atom 2

21 Demokritov model atoma 2

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3

24 Model Sunčevog sustava 4

25 Rutherfordov model atoma 4

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7

31 Kinematika raspršenja 8

32 Dinamika raspršenja 14

4 Elastično raspršenje krutih kugli 18

5 Rutherfordovo raspršenje 21

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26

61 Princip rada 27

62 Popis pribora 27

63 Zadaci 27

64 Postavke opreme i mjerenja 28

65 Mjerenje 28

66 Pogreške mjerenja 30

67 Rezultati mjerenja 31

671 Zadatak 1 31

672 Zadatak 2 33

7 Zaključak 35

8 Literatura 37

9 Životopis 38

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39

101 Uvod 39

102 Model jednostavne regresije 40

103 Jednostavna linearna regresija 41

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije 44

v

Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Sažetak

Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne

modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao

ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s

Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od

najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo

razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam

Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo

našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo

do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom

obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja

raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice

raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo

koristili za obradu podataka

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato

Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić

Ocjenjivači

Rad prihvaćen

vi

J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND

ALLUMINIUM FOIL

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Abstract

This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back

at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were

generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared

Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After

that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the

theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once

Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that

we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical

theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show

the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the

scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by

conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the

statistical method of simple regression analysis that we used for data processing

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering

Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić

Reviewers

Thesis accepted

1

1 Uvod

Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je

građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i

ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u

kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas

okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a

najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U

početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim

razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se

znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća

mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo

proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma

te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela

atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma

vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru

atoma

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

v

Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad

Odjel za fiziku

RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA

ZLATA I ALUMINIJA

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Sažetak

Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne

modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao

ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s

Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od

najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo

razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam

Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo

našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo

do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom

obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja

raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice

raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo

koristili za obradu podataka

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato

Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić

Ocjenjivači

Rad prihvaćen

vi

J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND

ALLUMINIUM FOIL

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Abstract

This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back

at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were

generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared

Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After

that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the

theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once

Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that

we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical

theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show

the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the

scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by

conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the

statistical method of simple regression analysis that we used for data processing

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering

Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić

Reviewers

Thesis accepted

1

1 Uvod

Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je

građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i

ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u

kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas

okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a

najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U

početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim

razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se

znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća

mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo

proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma

te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela

atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma

vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru

atoma

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

vi

J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis

Department of Physics

RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND

ALLUMINIUM FOIL

IVAN ŠVAGANOVIĆ

Abstract

This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back

at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were

generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared

Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After

that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the

theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once

Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that

we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical

theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show

the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the

scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by

conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the

statistical method of simple regression analysis that we used for data processing

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering

Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić

Reviewers

Thesis accepted

1

1 Uvod

Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je

građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i

ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u

kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas

okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a

najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U

početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim

razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se

znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća

mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo

proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma

te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela

atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma

vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru

atoma

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

1

1 Uvod

Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je

građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i

ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u

kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas

okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a

najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U

početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim

razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se

znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća

mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo

proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma

te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela

atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma

vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru

atoma

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

2

2 Atom

Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako

sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije

čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i

dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u

svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu

s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest

je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije

21 Demokritov model atoma

Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i

Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni

Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim

dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto

što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora

a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj

beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu

i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od

atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi

Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili

neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor

koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor

beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao

je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a

pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke

atomi površine crte a atomi obujma tanki listići

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

3

22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari

Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković

rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru

matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz

područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije

svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je

djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a

osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u

prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne

točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je

odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila

neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u

točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još

pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao

tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd

Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J

Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio

Boškovićevom teorijom stabilnih putanja

23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model

1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni

naboj nekog iona 10-19

C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je

promjer atoma oko 10-10

m a elektrona 10-15

m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za

katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja

od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma

tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo

sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da

su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio

atomske mase pozitivan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

4

Slika 1 Thomsonov model atoma

Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje

pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina

elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju

24 Model Sunčevog sustava

Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro

Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno

nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim

pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju

frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i

ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju

zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan

25 Rutherfordov model atoma

1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon

prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

5

Slika 2 Rutherfordov eksperiment

Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz

foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma

pogrešan

Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata

Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti

rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi

odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u

kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

6

pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10

m kruži Z elektrona Interakcija

s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim

modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni

gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se

mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru

Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski

Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je

uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU

MEHANIKU

U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s

naglaskom na Rutherfordovo raspršenje

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

7

3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila

Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica

znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim

osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima

Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata

Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama

(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako

u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu

mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a

opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj

mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza

procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja

Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne

centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom

gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da

potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na

makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim

Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

8

31 Kinematika raspršenja

Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog

eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase

koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5

Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu

Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa

konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao

na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području

interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor

stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije

sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve

fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična

u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom

problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila

(1)

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

9

daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca

Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa

(2)

Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je

početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za

centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je

aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi

samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca

Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz

početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih

veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije

ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara

U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog

momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao

na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole

Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6

Slika 6 Sustav centra mase za čestice i

gdje je

(3)

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

10

U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na

sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )

Početno stanje

(4)

Konačno stanje

(5)

U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac

za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7

Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase

Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju

Zakon očuvanja impulsa

(6)

Zakon očuvanja energije

Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet

nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je

(7)

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

11

jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije

Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog

gibanja prije raspršenja je

(8)

što daje

i (9)

Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način

(10)

što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje

(11)

tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju

nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

12

Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu

(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi

i

pa je

Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava

(12)

pri čemu je i

Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog

i

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

13

prema slici 8

Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase

(13)

Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu

odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su

Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva

sustava

Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima

sudaranja snopova čestica vrijedi

i

- poslije raspršenja čestice se u

laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta

raspršenja bilo koje čestice je

U specijalnom slučaju centralnog sudara je

te pa je prema (8) i (10) a

Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na

interval gdje je

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

14

32 Dinamika raspršenja

Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja

čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu

(14)

Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo

zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta

relativnog gibanja kao u

(15)

Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja

(16)

Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls

i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na

određivanje putanje (1) čestice mase

i radijus vektora na koju djeluje sila

određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice

(17)

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

15

tj

(18)

Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među

asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut

među asimptotama putanje je

(19)

U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i

jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9

prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti

Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora

različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

16

sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut

raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija

također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre

sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )

Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom

veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential

cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao

(20)

gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a

je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u

jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su

a dimenzije od su pa ima dimenzije

površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici

atoma i molekula češće se koristi jedinica

U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut

) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi

unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva

( ) pa je te

Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama

opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je

negativno

Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko

elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)

integriranog po tj

Diferencijalni

efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

17

(21)

Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja

Kako je

i

za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se

(22)

gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju

raspršenja identičnih čestica kada je

i

(23)

Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog

primjera elastičnog raspršenja krutih kugli

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

18

4 Elastično raspršenje krutih kugli

Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i

radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek

raspršenja

Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje

beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli

Potencijalna energija takve sile je

gdje je (24)

Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka

sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž

kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama

U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu

Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10

Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

19

Veza parametra sudara i kuta raspršenja je

Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)

(25)

pa je totalni efikasni presjek raspršenja

(26)

Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je

što znači

i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je

(27)

i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja

(28)

Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja

(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina

kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )

Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa

promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste

mase ali radijusa (meti) kao na slici 11

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

20

Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase

Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako

se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze

parametra sudara i kuta raspršenja

je očigledno da su i u ovom slučaju

diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)

i

Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

21

5 Rutherfordovo raspršenje

Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde

valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9

Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i

mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se

upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno

nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre

Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni

sastoje od kvarkova i gluona

Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom

Coulombovom potencijalu jezgre

gdje je

Naboji čestica i jezgri

atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je

(19)

(29)

gdje je

(30)

Rješenje (29) je

tj

pa je

te je parametar

sudara

(31)

Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek

(32)

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

22

koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe

i za privlačne i za odbojne sile

Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira

kada što je fizikalno

besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem

beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko

Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira

(33)

kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je

Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao

bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil

osjeća beskonačni poprečni presjek mete

U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno

veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog

neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja

-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja

određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja

Kako je a te

formula (32) s pogreškom od nekoliko

postotaka važi i u laboratorijskom sustavu

(34)

Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili

koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju

zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog

pojasa površine kao na slici 12

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

23

Slika 12

Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema

definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je

Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo

Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata

duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je

broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod

kutem u detektor je onda

(35)

gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica

Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao

funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

24

51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu

U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m

izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward

scattering) sa kutom raspršenja

Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu

ovog rezultata

Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava

rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od

u

laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je

Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu

mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra

atoma zlata (čestica )

Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom

većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje

od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)

ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan

broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji

projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u

jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina

listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj

projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je

Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija

projektila raspršenih pod kutem većim od je

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

25

Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena

ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je

Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka

jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se

što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus

atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike

gdje je

atomska masa a

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

26

6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija

U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo

raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje

nepromijenjena

gdje je

broj čestica koje dođu do folije

koncentracija atoma u foliji

debljina folije

atomski broj jezgre

energija -čestica

elementarni naboj

dielektrična konstanta vakuuma

dok je

gdje je

površina detektora

udaljenost folije od detektora

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

27

61 Princip rada

Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja

na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja

za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga

pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile

62 Popis pribora

Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike

radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator

pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene

vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel

konektor za BNC kabel (50Ω)

63 Zadaci

1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između

20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći

Rutherfordovu teoriju raspršenja

2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te

rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

28

64 Postavke opreme i mjerenja

Slika 13 Postavke aparature eksperimenta

Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor

postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal

Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen

Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće

ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo

tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)

65 Mjerenje

Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite

udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva

koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog

izvora i detektora čestica

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

29

Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta

Gdje je

Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora

l (cm) θ ( 0

)

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

2060

2160

2260

2380

2510

2650

2810

2990

3190

3420

3690

3990

4360

4790

5310

5950

6740

7730

9000

78

71

65

59

53

47

42

37

33

29

25

21

18

15

13

1

08

06

05

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

30

Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati

dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo

provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti

dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za

statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne

linearne regresije (više u dodatku)

Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo

aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na

bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo

provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu

foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti

dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin

Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2

Folija df (μm) Z df Z2(mm)

Zlato

Aluminij

15

80

79

13

936

135

Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )

Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o

materijalu

66 Pogreške mjerenja

Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su

nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju

energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

31

67 Rezultati mjerenja

671 Zadatak 1

U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj

vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva

nalaze se u tablici 1

l(cm) broj

pulseva t(min)

pulsmin

(min -1

) p (hPa)

22 501 2028 78 2470 21

21 501 2135 71 2347 21

20 500 2188 65 2285 22

19 500 2313 59 2162 22

18 502 2527 53 1987 22

17 500 2505 47 1996 23

16 500 2663 42 1878 23

15 501 2678 37 1871 21

14 506 2837 33 1784 21

13 500 2805 29 1783 22

12 501 2923 25 1714 23

11 500 3002 21 1666 23

10 501 3108 18 1612 24

9 500 3220 15 1553 21

8 500 3228 13 1549 22

7 500 3423 1 1461 21

6 501 3475 08 1442 22

5 501 3636 06 1378 23

4 502 3858 05 1301 21

Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o

udaljenosti izvora od detektora

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

32

Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz

tablice 3

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

33

672 Zadatak 2

U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 2188 936 2285 22

Aluminij 200 4973 135 402 21

Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se

raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

34

U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja

čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja

Folija broj

pulseva t(min)

dF Z2

(mm)

pulsmin

(1min) p(hPa)

Zlato 501 3108 936 1612 24

Srebro 200 6172 135 324 22

Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu

na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i

Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini

folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

35

7 Zaključak

Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji

uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska

pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo

dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom

Zadatak 1

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15

pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju

valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti

razmjeran s

gdje je

udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -

čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može

protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat

Zadatak 2

Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove

prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti

da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj

raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj

jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo

koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i

koeficijent determinacije za koji nam govore da se

odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti

Rutherfordovom teorijom raspršenja

Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u

povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno

nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

36

(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno

nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

37

8 Literatura

o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta

(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)

o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment

o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)

o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)

o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics

Frankfurt am Main 1989

o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition

o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006

o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995

o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998

o SPSS Tutorial 1 i 2

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

38

9 Životopis

Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa

osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-

matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g

Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i

radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u

Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i

informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine

Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko

sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te

je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno

vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

39

10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza

101 Uvod

Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena

statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo

prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih

rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi

ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi

visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih

promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički

Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona

posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata

uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana

varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku

Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti

dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje

Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne

statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih

pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim

pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske

modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži

varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je

U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene

objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata

odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla

(output) a varijabla x regresor (input) varijabla

Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne

regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model

višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

40

parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te

primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne

pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu

102 Model jednostavne regresije

Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju

pojava Opći oblik je

Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava

Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se

sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih

mjerila na osima

Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o

linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast

vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se

vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi

se o negativnom smjeru linearne veze

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

41

103 Jednostavna linearna regresija

Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji

proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik

dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik

U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja

odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model

linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te

vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno

linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo

pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među

kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava

jednadžbi

gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je

Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za

analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od

regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod

metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže

minimum

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

42

Polazimo od izraza

Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do

sljedećeg sustava jednadžbi

Nakon uređivanja sustav dobiva oblik

Rješenja ovog sustava su

Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik

Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost

nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno

mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

43

Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i

zavisne varijable

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

44

104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model

jednostavne linearne regresije

Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim

parametrima a i b Dane su izrazom

Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine

(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable

Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike

predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu

jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim

parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu

aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela

1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ

jednak je nuli

2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode

najmanjeg kvadrata

3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i

zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također

jednak nuli

Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i

standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao

Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom

standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti

reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

45

Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru

deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize

varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik

Izvor varijacija Stupnjevi

slobode Zbroj kvadrata

Sredina

kvadrata

Empirijski

F - omjer

1 2 3 4 5

Protumačenih

modelom

Rezidualna

odstupanja

1

n-2

SP1

SRn-2

SP(SRn-2)

-

Ukupno n-1

- -

Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene

vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz

nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko

regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju

definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule

Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan

46

Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih

vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim

jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije

Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se

pomoću izraza

Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije

koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom

Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika

vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja

kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent

determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95

odstupanja

Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent

determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom

Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju

vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti

negativan