Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I

Themen:

Vorlesung 8

Statistik

Dichtefunktionen

Jährliche und partielle Serien

Trendanalyse

Extremwertstatistik

Typen von Verteilungsfunktionen

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Basisansatz, Hypothese: y(t) = yT(t) + yP(t) + ykorr(t) + z(t)

Vorgehensweise: Trennung der Komponenten

y(t)y(t) - yT(t) y(t) - yT(t) - yP(t)

z(t)

ykorr(t)

Trendanteil

periodischer Anteil

korrelativer Anteil

Zufallsanteil

Regressionsanalyse Glättung (Bildung von Gleitmitteln)

Harmonische Analyse Fourieranalyse Glättung (Mittelbildung unter Berücksichtigung der Periode)

Autokorrelations-analyse

yT(t) yP(t)

Basisansatz

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Q [m³/s]

tZeitraster

Klassen-einteilung

1234

2

3232

3

21

0

0

0

0

00

1

1

1

1

Häufigkeit

Haufigkeitsermittlung

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

2

3232

3

21

0

0

0

0

00

1

1

11

4

23232 3 2 1 0 0 0 000 1 1 1 14 0,0380,154 0,038 0,038 0,038

0,038

0,077 0,077

0,077 0,0770,115 0,115

0,115

0 0 0

0

0

0

Häufigkeit

Häufigkeit (absolut)Häufigkeit (relativ)

Dichtefunktion

Ermittlung der Dichtefunktion

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Abflussganglinie

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Dichtefunktionen

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Verteilungsfunktionen

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Abflüsse unterschiedlicher Wiederkehrintervalle

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

2. Trendprüfung (+ gegebenenfalls Trend bereinigen)

4. Angabe der Bandbreite für die Extremwert HQx

Plausibilisierung der Eingangsdaten (Prüfung auf Vollständigkeit / Fehlzeiten, Test auf Ausreißer)

1.

Anwendung der Extremwertstatistik (mit Parameteranpassung bei Zugrundlegung der jährlichen (oder partiellen) Serie)

3.

Vorgehensweise bei der statistischen Analyse

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Tendenz Sprung

Trend

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Q [m³/s]

t [Jahre]

Trendbereinigung

Die Eingangs-informationen für extremwert-statistische Auswertungen dürfen keinen Trend aufweisen

In diesem Fall ergibt die Prüfung einen linearen Trend; die Messwerte müssen von diesem Trendanteil bereinigt werden.

Trendbehaftete Zeitreihe

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

1 Jahr

N [mm]

[Monate, Tage, Stunden,]

t

jährliche Serie: Eingang in die Berechnung findet jeweils der größte Wert pro Jahr

Jährliche Serie

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

1 Jahr

N [mm]

[Monate, Tage, Stunden,]

t

partielle Serie: Eingang finden die n größten Werte pro Jahr (n =2 oder 3)

Partielle Serie

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Als Eingangswerte für extremwert-statistische Berechnungen werden die maximalen Abflüssen eines jeden Jahres (jährliche Serie) verwendet.

In diesem Fall umfasst die Serie 27 Jahre.

Extremwertstatistik

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Die Reihe der Messwerte weist Fehljahre auf.

Dies kann beispiels-weise durch Ausfall der Messeinrichtung auftreten oder durch fehlerbehaftete Daten.

Fehlzeiten werden durch besondere Werte gekenn-zeichnet.

Zeitreihe der jährlichen Serie

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Bevor eine extrem-wertstatistische Berechnung durch-geführt werden darf, muss eine Trend-analyse erfolgen.

Trendbehaftete Messreihen verstossen gegen die Grund-annahmen der Extra-polation.

Trendanalyse

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

In einem ersten Schritt wird für die verschiedenen Verteilungsfunktionen die Parameter-anpassung überprüft.

Die drei Verteilungs-funktionen mit den besten Kriterien für die Parameteranpassung werden für die weitere Bearbeitung vorgeschla-gen.

In diesem Fall sind es dieVerteilungen:

Log-Normal [LN3] Pearson3 [P3]Weibull [WB3]

Test der Verteilungsfunktion

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Für die unterschiedlichen Verteilungen werden Prüfgrößen und Qualitätskennwerte ausgewiesen.

Parameter der Verteilungsfunktion

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Die verschiedenen Verteilungsfunktionen liefern als Ergebnis eine Spannweite der extremen Abflüsse.

In diesem Fall liegt der Abfluss für das 50-jährige Ereignis HQ50 zwischen 217 und 223 m³/s.

Ergebnisse der Extremabflüsse

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Die verschiedenen Verteilungsfunktionen differieren bei kleinen Wiederkehrintervallen kaum. Das Streumaß nimmt jedoch deutlich mit größerem Wieder-kehrintervall zu.

Der grau hinterlegte Bereich gibt die-jenigen Wiederkehr-intervalle an, die außerhalb des be-legten Extrapolations-bereichs liegen.

(3x21=63 Jahre)

Graphische Darstellung der Extrapolationsergebnisse

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Um den Einfluss einzelner Messwerte auf das Ergebnis der Extrapolation statistisch zu ver-deutlichen wird hier ein Beispiel aus-geführt.

Es wird lediglich der größte Wert der jährlichen Serie abgeändert (von 238 auf 300m³/s) und der gesamte Vorgang wiederholt.

Sensitivität der Verteilungen

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Die Anpassung der Verteilungsfunktionen ergibt bereits erste Abweichungen.

Nunmehr sind die Extremalverteilung vom Typ 1 [E1] und die allgemeine Extremalwertver-teilung [AE] am besten geeignet zur Anpassung an die Messreihe.

Sensitivität der Verteilungen

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Originalwerte

Die Ergebnisse der Extremabflüsse weichen deutlich von der ersten Berechnung ab.

Das HQ50 wäre in diesem Fall in einer Größenordnung von 231-261m³/s anzusetzen.

Sensitivität der Verteilungen

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Das Streumaß der Ergebnisse ist in diesem Fall ebenfalls deutlich größer als bei der Ursprungsreihe.

Dieser einfache Test verdeutlicht, wie groß der Einfluss einzelner, großer Messwerte auf die extremwert-statistische Auswertung ist.

Deshalb sind immer Ausreißertests vor der Auswertung durchzuführen.

Sensitivität der Verteilungen

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Normalverteilung

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Lognormalverteilung

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Exponentialverteilung

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Gamma-Verteilung

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Pearson Typ3 Verteilung

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Log Pearson Typ3 Verteilung

Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken

Extremal Verteilung