Síkgeometria

12. évfolyam

oldal 1 / 8

Szögek, szögpárok és fajtáik

Szögfajták:

Jelölés:

Mindkét esetben:

α + β = 180°

Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90°.

A háromszögek

Oldalak szerint csoportosítva

Általános háromszög:

Minden oldala különböző.

Csúcsait nagybetűvel, oldalait kisbetűvel jelöljük.

Általában az A csúcsnál lévő szöget α-val, a B csúcsnál

lévő szöget β-val, a C csúcsnál lévő szöget γ-val jelöljük.

Síkgeometria

12. évfolyam

oldal 2 / 8

Egyenlő szárú, vagy szimmetrikus háromszög:

Két oldala megegyezik, ezeket az oldalakat nevezzük száraknak

(b), a harmadik oldalt pedig alapnak (a).

Szimmetrikus, mert van szimmetria, vagy tükörtengelye. A

szimmetriatengely egyben az egyik magassága a háromszögnek,

mely felezi az alapot, és a csúcsszöget.

Egyenlő oldalú, vagy szabályos háromszög:

Minden oldala egyenlő.

Minden szöge egyenlő, 60°.

Szögei alapján csoportosítva

Hegyesszögű háromszög:

Minden szöge hegyesszög, azaz kisebb 90°-nál.

Derékszögű háromszög:

Van egy 90°-os szöge.

A másik két szög hegyesszög, összegük szintén 90°.

A derékszöggel szemközti oldalát átfogónak nevezzük, a másik két oldalt

pedig befogónak.

Tompaszögű háromszög:

Van egy tompaszöge, ami 90°-nál nagyobb.

Összefüggések háromszög szögei, és oldalai között

A háromszög belső szögeinek összege mindig 180°,

a szokásos jelölésekkel: α + β + γ = 180°.

A háromszög külső szögeinek összege mindig 360°,

a szokásos jelölésekkel: α’+ β’ + γ’ = 360°.

Egy háromszög egy belső, és a mellette fekvő külső szögének

összege mindig 180°, a szokásos jelölésekkel:

α + α’ =180° β + β’ = 180° γ + γ’ = 180°

Egy háromszögben egy külső szög mindig egyenlő a nem mellette

fekvő két belső szög összegével, a szokásos jelölésekkel:

α’ = β + γ α’ = β + γ γ’ = α + β

Háromszög-egyenlőtlenség: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik

oldalnál.

Síkgeometria

12. évfolyam

oldal 3 / 8

Háromszögek nevezetes vonalai

Szögfelezők:

Olyan félegyenes, amely minden pontja egyenlő távolságra van a

szög száraitól. A háromszög szögfelezői egy pontban metszik

egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja, a kör

sugara ebből a pontból a háromszög oldalára bocsátott merőleges

szakasz hossza.

A beírható kör középpontja mindig a háromszög belsejében van.

Magasságvonalak:

A magasságvonal olyan vonal, mely a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldalra bocsátott

merőleges egyenes. A háromszög magassága a magasságvonalnak a háromszög csúcsa és a szemközti

oldal közötti szakasza.

A magasságvonalak egy pontban, a magasságpontban metszik egymást. Ez a pont derékszögű

háromszög esetén a derékszögű csúccsal egyezik meg; tompaszögű háromszög esetén a háromszögön

kívülre esik.

Oldalfelező merőlegesek:

Olyan egyenes vonal, mely a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze.

Az oldalfelező merőlegesek egy pontban, a háromszög köré írható kör középpontjában metszik

egymást. Derékszögű háromszögben ez a pont az átfogó felezőpontja, tompaszögű háromszögeknél a

háromszögön kívülre esik.

Súlyvonalak:

Olyan vonal, mely a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal

felezőpontjával összekötő egyenes. A háromszög súlyvonalai egy

pontban, a súlypontban (S) metszik egymást.

A súlypont a súlyvonalat 2: 1 arányban osztja. Az ábra alapján:

𝑭𝒂𝑺: 𝑺𝑨 = 𝟏: 𝟐

Síkgeometria

12. évfolyam

oldal 4 / 8

Középvonalak:

Olyan szakasz, mely a háromszög két oldalfelezőpontját köti össze.

A középvonal mindig párhuzamos a szemközti oldallal, és feleakkora.

𝐺𝐹||𝐴𝐵, 𝐺𝐸||𝐵𝐶, 𝐹𝐸||𝐴𝐶

𝐴𝐶 = 2 ∙ 𝐸𝐹, 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐺𝐹, 𝐴𝐶 = 2 ∙ 𝐸𝐹

Derékszögű háromszögekben ismert tételek, összefüggések

Pithagorasz-tétel:

Minden derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a

befogók négyzetének összegével.

Thálesz-tétel:

Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más

pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.

α + β = 90°

Befogótétel:

Minden derékszögű háromszögben az egyik befogó négyzete egyenlő az átfogó, és az átfogóra eső

merőleges vetületének szorzatával.

𝑎2 = 𝑥 ∙ 𝑐

𝑏2 = 𝑦 ∙ 𝑐

Magasságtétel:

Minden derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó

magasság az átfogót két részre bontja. Ennek a két résznek a

szorzata megegyezik az átfogóhoz tartozó magasság

négyzetével.

𝑚2 = 𝑥 ∙ 𝑦

Párhuzamos szelők, és szelőszakaszok tétele:

PSZT: AB

A′B′=

CD

C′D′

PSSZT: 𝑂𝐴

𝐴𝐴′=

𝑂𝐵

𝐵𝐵′

Síkgeometria

12. évfolyam

oldal 5 / 8

Szögfüggvények derékszögű háromszögekben (definíciók)

Elnevezések:

a: α szöggel szemközti befogó vagy β szög melletti befogó

b: β szöggel szemközti befogó vagy α szög melletti befogó

c: átfogó

𝑠𝑖𝑛𝛼 =𝛼 𝑠𝑧ö𝑔𝑔𝑒𝑙 𝑠𝑧𝑒𝑚𝑘ö𝑧𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó

á𝑡𝑓𝑜𝑔ó 𝑐𝑜𝑠𝛼 =

𝛼 𝑠𝑧ö𝑔 𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝑡𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó

á𝑡𝑓𝑜𝑔ó

𝑡𝑔𝛼 =𝛼 𝑠𝑧ö𝑔𝑔𝑒𝑙 𝑠𝑧𝑒𝑚𝑘ö𝑧𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó

𝛼 𝑠𝑧ö𝑔 𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝑡𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó 𝑐𝑡𝑔𝛼 =

𝛼 𝑠𝑧ö𝑔 𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝑡𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó

𝛼 𝑠𝑧ö𝑔𝑔𝑒𝑙 𝑠𝑧𝑒𝑚𝑘ö𝑧𝑡𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑜𝑔ó

Nevezetes szögek szögfüggvényei:

Összefüggések oldalak, és szögek között általános háromszögben

Szinusztétel:

Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik az oldalakkal

szemközti szögek szinuszának arányával.

Például: 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑠𝑖𝑛𝛽=

𝑎

𝑏

Koszinusztétel:

Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két

oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal, és a közbezárt szögük

koszinuszának szorzatát.

Például:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾

30° 45° 60°

sin

cos

tg

1

ctg

1

Síkgeometria

12. évfolyam

oldal 6 / 8

Terület, és kerület számítása háromszögben:

𝑇 =𝑎 ∙ ma

2=

𝑏 ∙ 𝑚𝑏

2=

𝑐 ∙ 𝑚𝑐

2

Héron – képlet: 𝑇 = √𝑠 ∙ (𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐), 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑠 =𝑎+𝑏+𝑐

2

𝑇 =𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛾

2, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝛾 𝑎𝑧 𝑎 é𝑠 𝑏 𝑜𝑙𝑑𝑎𝑙 á𝑙𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑒𝑧á𝑟𝑡 𝑠𝑧ö𝑔

𝑇 =𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐

4 ∙ 𝑅, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑅 𝑎 ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔 𝑘ö𝑟é í𝑟ℎ𝑎𝑡ó 𝑘ö𝑟 𝑠𝑢𝑔𝑎𝑟𝑎

𝑇 = 𝑟 ∙ 𝑠, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑟 𝑎 ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔𝑏𝑒 í𝑟𝑡 𝑘ö𝑟 𝑠𝑢𝑔𝑎𝑟𝑎, é𝑠 𝑠 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐

2

Kerület: K = a + b + c

Kör

Egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát

körvonalnak, röviden körnek nevezzük.

h: húr

d: átmérő

r: sugár

A kör kerülete: 𝑲 = 𝟐 ∙ 𝒓 ∙ 𝝅 A kör területe: 𝑻 = 𝒓𝟐 ∙ 𝝅

Érintő: a kört egy pontban érintő egyenes, mely

merőleges a sugárra.

Szelő: olyan egyenes, amely két pontban metszi a

kört.

Körívek és körcikk:

Körív:

Körcikk:

Síkgeometria

12. évfolyam

oldal 7 / 8

Négyszögek

Négyszög Kerület Terület Egyéb megjegyzés

Általános négyszög

K = a + b + c + d

Trapéz

K = a + b + c + d

Speciális trapézok:

szimmetrikus

derékszögű

Paralelogramma

K = 2a + 2b

- pontszimmetrikus

- átlók felezik egymást

- szembenfekvő szögek egyenlő

nagyságúak

Rombusz

K = 4a

- 4 egyenlő nagyságú oldal

- tengelyesen szimmetrikus: e, f

- e merőleges f -re

- e és f felezik a szögeket

Deltoid

K = 2a + 2b

- e merőleges f -re

- tengelyesen szimmetrikus: f

- Konkáv deltoid:

Síkgeometria

12. évfolyam

oldal 8 / 8

Téglalap

K = 2a + 2b T = ab

- átlók egyenlő hosszúak

- felezik egymást

- tengelyesen szimmetrikus,

pontszimmetrikus

Négyzet

K = 4a T = a²

- átlók merőlegesek egymásra,

felezik egymást

- egyenlő hosszúak

- tengelyesen szimmetrikus,

pontszimmetrikus

Sokszögek

Az n-oldalú sokszög

Az n-oldalú konvex sokszög:

𝑏𝑒𝑙𝑠ő 𝑠𝑧ö𝑔𝑒𝑖𝑛𝑒𝑘 ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑔𝑒 = (𝑛 − 2) ∙ 180°

á𝑡𝑙ó𝑖𝑛𝑎𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎 =(𝑛 − 3) ∙ 𝑛

2

Szabályos n-szög:

Szabályos sokszög

Ha „n” adott