ès département des et
TRANSCRIPT
MARIE-CLAUDE GUÉRIN
RENFORCEMENT À L'EFFORT TRANCHANT
DE POUTRES EN BÉTON ARMÉ
Mémoire présenté
à la Faculté des études supérieures de l'université Lavai
pour l'obtention du grade de maître ès sciences (M. Sc.)
Département de génie civil
FAcULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL
MAI 1998
O Marie-Claude Guérin, 1998
Acquisitions and Acquisitions et Bibliographie Se~*ces senfices bibliographiques 395 WeIDingBon Street 395. Wellington
K1AûN4 OttawaON K 1 A W Canacta canada
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Le présent mémoire porte sur le renforcement à l'effort tranchant de poutres en béton axmé.
Il s'agit de placer des plaques de renfort inclinées, en matériau composite ou en acier, sur
les faces verticales des poutres de manière à croiser les fissures de cisaillement.
L'étude est théorique et le calcul du renfort comporte trois étapes principales. D'abord,
l'évaluation de la résistance à l'effort tranchant de la poutre non renforcée. Puis, le caIcd
de la quantité de renfort. Finalement, lorsque la zone renforcée en cisaillement est aussi
sollicitée par de grands efforts de flexion, il faut vérifier l'interaction flexion-cisaillement.
Dans le but de détexminer la méthode de renforcement la plus efficace, une etude
paramétrique a été réalisée. Les différents paramètres analysés sont : I'inclinaison des
plaques de renfort, le module élastique du matériau composite de renfort, la valeur de
l'effort tranchant qui sollicite la poutre au moment de son renforcement et, finalement, les
dimensions de la poutre à renforcer.
J'aimerais remercier mon directeur de recherche, M. André Picard, pour son support et ses
conseils précieux. Sa grande disponibilité a été très appréciée.
Il est aussi important de souligner les contributions hancières du Conseil de recherche en
sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG) et du Fonds pour la foxmation de
chercheurs et l'aide à la recherche (FCAR) qui m'ont offert deux bourses d'études.
TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIERES ......................................................................................................... III
....................................................................................................... 1.1 Mise en situation 1 . . ............................................................................................. 1.2 Objecbfs de la recherche 2 ............................................. ........................... 1.3 Méthode de renforcement proposée .. 3
1.4 Revue bibliographique ................................................... .... ................................ 5 I 1.5 Contenu du memoue .................................................................................................. 8
R~S~STANCE À L'EFFORT TRANCHANT DE LA POUTRE NON RENFORCÉE @TAPE 1) ............ 9
........................................................................................ 2 . f Généralités ..................... .... -9 .............................................................. 2.2 Théorie du champ de compression (TCC) 1 1
.................................... 2.3 Théorie du champ de compression modifiée (TCCM) .... 1 7 ..................................................................................................... 2.4 Méthode de calcul 26
2.5 Exemple de calcul : résistance à l'effort tranchant d'une poutre non renforcée ....... 29
................................................................... DIMENSIONNEMENT DU RENFORT (&TAPE 2) ..32
3.1 Hypothèses .......................................................................................................... 32 ...................................... ................... 3.2 Équations pour le calcul des plaques ... .... 34
................................................ 3.3 Conditions initiales présentes lors du renforcement 38 ..................................................................................................... 3.4 Méthode de calcul 39
..................................... 3.5 Exemples de calcul : étape 2 ..
............................ 4.1 &édités ................................................................................ 51 4.2 Théorie des sections planes ....................................................................................... 52
............................................... ...................... 4.3 Analyse impliquant N, M et V ..... 57 4.4 Méthode de calcul .......... 59
.......................................... 4.5 Exemples de calcul d'interaction flexion-cisaillement 63
5.1 Généralités ................................................................................................................ 72 ...................................................................... 5.2 Inclinaison des plaques de renfort, a 73
................................................... 5.3 Module élastique du matériau de renfort, E,,,. 7 5 5.4 Effort tranchant présent au moment du renforcement, VaL .................. ........ ....... 78
.......................................................... ....................... 5.5 Dimensions de la poutre .. 7 9
CHAPITRE 6
................................................. ........................... 6.1 Résumé du travail de recherche .., 83 6.2 Résultats importants ........................................................................................... 84 6.3 Recherche fiture ....................................................................................................... 86
LISTE DE SYMBOLES
: taille maximale des agrégats
: aire de la section de poutre en béton
: surface de béton comprimée par la flexion
: aire d'une paire de plaque de renfort
: aire de l'armature longituduiale
: aire de l'armature transversale
: largeur effective en cisaillement
: distance entre le dessus de l'armature longitudinale et le centre de gravité de
la section
: demi-largeur libre entre les pattes d'un étrier
: force de compression dans les bielles de béton
: diamètre des bmes d'armature transversale
: diamètre des barres d'armature longitudinale
: projection verticale de la longueur des plaques de renfort
: distance entre les forces résultantes de tension et de compression causées
par la flexion
: module élastique du béton
: module élastique du matériau de renfort
: module élastique de l'armature longitudinale et transversale
: contrainte dam le béton
résistance du béton à la compression
contrainte de kmaî ion dans le béton
contrainte dam le matériau de renfort
contrainte dans l'armaîure longitudinale
taux de travail admissible dans les plaques de d o r t
contrainte dans I'annature transversale
limite élastique de l'armature tramersale
limite élastique de l'armature longitudinale
contrainte principale en compression dans les bielles de béton
contrainte principale maximale en compression dans les bielles de béton
contrainte principale en compression dans les bielles de béton d'une poutre
renforcée
: contrainte principale en compression dans les bielles de béton à l'état limite
ultime
: contrainte principale en compression dans les bielles de béton à l'état limite
ultime après le renforcement
: moment de flexion causé par les charges de service
: moment de flexion causé par les charges pondérées
: moment de flexion calculé à partir de la théorie des sections planes
: contribution du béton au moment de flexion, calculée à partir de la théorie
des sections planes
: contribution de la zone comprimée du béton pour le calcul de M,
: contribution de la zone tendue du béton pour le calcul de M,
: contribution de I'annature longitudinale au moment de flexion, calculée à
p& de la théorie des sections planes
: moment de flexion causé par l'effort tranchant
: effort axial causé par l a charges de service
: effort axial causé par les charges pondkées
: effort axial calculé à partir de la théorie des sections planes
: contribution du béton à I'effort axial, calculée à partir de la théorie des
sections planes
: wnîribution de la zone comprimée du béton pour le calcul de N,
: contriiution de la zone tendue du béton pour le calcul de N,
: contribution de l'armature longitudinale à l'effort axial, calculée à partir de la
théorie des sections planes
: espacement des étriers
: espacement des plaques de renfort
: espacement des fissures horizontales dues à une traction transversale
: espacemen? des fissures verticales dues à une traction axiale
: espacement des fissures inclinées dues au cisaillement
: espacement des armatures longitudinales
V : effort tranchant avant le renforcement à une étape quelconque du
chargement. À l'ultime, V = Vu.
contrainte de cisaillement à la surface des fissures
contribution du béton à la résistance pondérée à I'effort tranchant
effort tranchant présent au moment du renforcement
effort tranchant causé par les charges pondérées
résistance pondérée à l'effort tranchant
contribution de I'acier à la résistance pondérée à l'effort tranchant
effort tranchant après le renforcement à une étape quelconque du
chargement. À l'ultime, V, = V,.
résistance à l'effort tranchant de la section non renforcée à l'état limite
ultime
contribution des plaques de raifort à la résistance ultime à I'effort tranchant
contribution des étriers à la résistance ultime à l'effort tranchant
résistance à l'effort tranchant de la section renforcée à l'état limite ultime
résistance à l'effort tranchant requise de la poutre renforcée
position du centre de gravité de la section à partir du bas de la section
position à partir du centre de gravité de la section où Nv est calculé
angle d'inclinaison des plaques de d o r t
facteur qui dépend des caractéristiques de l'armature
facteur qui dépend du type de chargement appliqué
facteur qui tient compte des fissures dans le béton (chapitre 2)
angle formé par les plaques de renfort et les fissures (chapitre 5)
défonnation du béton dans la direction des plaques de renfort
défonnation du béton dans la direction des plaques de renfort au moment du
renforcement
déformation du béton
déformation du béton correspondant à f c
défomation au centre de gravité de la section
défonnation causant la fissuration du béton
défonnation de la fibre inférieure de la section
déformation des plaques de renfort
déformation des plaques de renfort à l'état limite ultime
déformation de I'amiature longitudinale
déformation de la fibre supérieure de la section
déformation transversale de la section
déformation tramversde à I'état limite ultime
défomation longitudinale dans l'âme de la section
défomation longitudinale dans l'âme de la section au moment du
renforcement
déformation principale en traction
déformation principale en traction au moment du renforcement
défonnation principale en traction à l'état limite ultime
: déformation principale en compression
: déformation correspondant à la limite élastique de I'acier
: courbure de la poutre
: coefficient de tenue du béton
: coefficient de tenue de I'acier
: facteur qui tient compte de la masse volumique du béton
: contrainte de rupture en traction du matériau composite
: angle d'inclinaison des fissures
: angle d'inclinaison des fissures à l'état limite ultime
: angle d'inclinaison des fissures à I'état limite ultime après le renforcement
1.1 Mise en situation
L'état actuel des ouvrages d'art est préoccupant. En effet, plusieurs d'entre eux montrent
des signes de détérioration importante. Les causes possibles sont nombreuses: le
vieillissement des matériaux, la corrosion, l'augmentation de la surcharge routière, une
conception inappropriée, des erreurs commises Ion de la construction ou même une
combinaison de ces facteurs. Dans le but d'éviter les reconstnictions, il est impératif de
trouver des moyens efficaces pour réhabiliter etlou renforcer les ouvrages existants. Le
présent projet de recherche concerne l'aspect renforcement des ouvrages. Plus
particulièrement, il porte sur Ie renforcement a l'effort tranchant de poutres en béton anné.
Deux situations peuvent faire en sorte qu'il soit nécessaire d'augmenter la capacité à
l'effort tranchant d'une poutre en béton armé. Dans la première, la poutre est trop faible en
cisaillement et des fissures inclinées d'effort tranchant sont visibles dans l'âme de celle-ci.
En effet, lorsqu'une poutre est soumise à du cisaillement, des contraintes principales de
compression et de traction se développent dans le béton. Ces contraintes sont inclinées par
rapport à l'axe longitudinal de la membrure et la contrainte principale de compression est
perpendiculaire a la contrainte principale de traction. Les premières fissures d'effort
tranchant apparaissent lorsque
résistance en traction du béton.
la contrainte principale de traction atteint la valeur de la
Les fissures se forxnent perpendiculairement à la contrainte
principale de traction et c'est pourquoi eiles formait un angle avec l'axe longitudinal de la
poutre.
Dans la seconde situation par contre, la poutre ne présente pas de fissure d'effort tranchant,
mais elle a subi préalablement un renforcement en flexion. Comme la capacité en flexion a
été augmentée, un renforcement à l'effort tranchant peut être requis afin d'éviter qu'une
rupture hgile en cisaillement sunriaine avant une rupture en flexion.
1.2 Objectifs de la recherche
Dans le cadre de cette étude, nous voulons utiliser des plaques en matériau composite nir
les faces verticales des poutres en béton armé de façon à accroitre leur résistance à l'effort
tranchant. Les travaux de Boucher, Picard et Massicotte (1995) serviront de base à ce
projet. En premier lieu il s'agit de développer un modèle théorique, basé sur la théorie du
champ de compression, qui permet de calculer la quantité de renfort qu'il faut ajouter à une
poutre donnée.
Dans un deuxième temps, nous voulons étudier le comportement théorique d'une poutre
après son renforcement en faisant v&er différents paramètres. Il s'agit en fait d'analyser
l'influence de ces paramètres et de déterminer la méthode de renforcement la plus efficace.
Finalement, en plus des matériaux composites, l'utilisation de l'acier comme matériau de
renfort est aussi envisagée. Le dernier objectif consiste donc à comparer ces mathiaux en
ce qui a trait à la quantité de renfort nécessaire et au comportement de la poutre une fois le
renforcement effectué.
13 Mbîhode de renforcement proposée
La méthode de renforcement proposée est illustrée à la figure 1.1. Elle consiste à placer des
plaques de renfort en matinau composite ou en acier sur les faces verticales des poutres en
béton armé de manière à croisa les fismes d'effort tranchant. Ce type de renforcement est
qualifié de passif et de local contrairement à un renforcement actif et global par
précontrainte extérieure. Étant dom6 que les plaques de renfort sont relativement petites,
elles demeurent légères surtout si elles sont fabriquées ai matériau composite. Elles sont
donc faciles à manipula et à installer au chantier.
Figure 1.1 Méthode de renforcement proposée
Dans ce modèle, l'inclinaison des plaques peut être choisie de telle sorte que l'efficacité du
renfort soit maximale. Il ne faut cependant pas oublier que l'angle d'inclinaison des
plaques doit être facile à mesurer sur le tenain. C'est en faisant varier l'inclinaison des
plaques de renfort qu'il sera possible d'évaluer son effet sur le dimensionnement et de
choisir l'inclinaison qui convient. Un autre avantage de ce modèle est que l'espacement
entre les plaques peut être établi afin que chaque fissure soit croisée par au moins une
plaque et que les plaques n'entrent pas en conflit avec d'autres kléments structuraux.
Pour ce projet, nous considérons que les plaques de renfort peuvent être fixées à la poutre
par collage ou par ancrage mécanique. De plus, nous supposons que la méthode de fixation
des plaques de renfort permet le développement de la pleine capacité du matériau de
renfort. A noter également que l'aire de d o r t qui sera calculée sera une aire nette
théorique. Dans le cas où les plaques saaient collées, l'aire nette deviendrait égale a l'aire
brute puisqu'il y aurait pas de trous causés par des ancrages.
Un matériau composite est constitué de deux éléments: une matrice et un renfort. Ce
dernier se retrouve la plupart du temps sous forme de fibres et il permet le développement
de la résistance mécanique du matériau. Quant à la matrice, faite de résines, elle unit les
fibres et leur transmet les sollicitations. Elle permet aussi aux fibres de conserver leur
disposition géométrique, tout en leur O-t une protection contre I'enviromement. Des
informations supplémentaires concernant les matériaux composites sont présentées par
Boucher, Picard et Massicotte (1995)' Blais et Picard (1994) et Deblois, Picard et Beaulieu
(1 993).
Même si l'utilisation de l'acier comme matériau de renfort est envisagée dans ce projet, les
matériaux composites sont préférés à l'acier en raison de leurs nombreux avantages.
D'abord, leur masse volumique est quatre fois moindre que celle de l'acier. De plus, selon
le volume de fibres placées dans la matrice ou le type de fibres, le module élastique du
composite varie et peut être ajusté en fonction des besoins. Il est également possible
d'obtenir un matériau dont la résistance à la traction est très élevée. Et enfin, une propriété
très intéressante est leur insensibilité à la corrosion.
Le principal inconvénient des matériaux composites demeure leur coût élevé. Ce
désavantage peut toutefois être compensé, du moins en partie, par le fait qu'ils sont faciles
à manipula et à installer au chantier. De plus, grâce à leur résistance à la corrosion, les
coûts reliés à l'entretien de ces matériaux sont eux aussi diminués.
Ii y a trois étapes principales pour déterminer la quantité de renfort nécessaire. Dans un
premier temps, il faut évaluer la résistance à l'effort tranchant de la section non renforcée.
Puis, lorsque la capacité en cisaillement s'avère insunisante, les plaques de renfort sont
dimensionnées afin d'augmenter la résistance à l'effort tranchant à la valeur voulue. Pour
ce faire? l'effort tranchant est séparé de la flexion, comme c'est le cas lors du
dimensio~ernent des étriers dans les poutres en béton armé et des raidisseurs dans les
charpentes d'acier. Finalement, lorsque la zone renforcée à l'effort tranchant est également
sollicitée par de grands efforts de flexion, il faut vérifier l'interaction flexioncisaillement.
En fait, il faut évaluer l'effet du moment de fiexion et vérifier si la quantité de d o r t
déterminée à l'étape précéâente demeure suffisante. Cette demière étape est une étape
d'analyse puisque le renforcement requis est COMU à ce moment.
1.4 Revue bibiiographique
Diverses méthodes peuvent être utilisées dans le but d'accroître la résistance à l'effort
tranchant de poutres en béton amé. Par exemple, il y a l'ajout d'étriers extérieurs
précontraints ou I'ajout d'armature de précontrainte externe longitudinale. L'utilisation des
matériaux composites comme matériau de M o r t est aussi de plus en plus envisagée.
Cependant, jusqu'à présent, les efforts de recherche concernant ce type de matériau ont été
concentrés surtout vers le renforcement en flexion des poutres et le renforcement en
compression des poteaux. Les réfkrences portant sur le renforcement à l'effort tranchant à
l'aide de matériaux composites sont donc peu nombreuses.
Al-Sulaimani et coll. (1994) se sont intéressés à ce type de rdorcement. Leurs travaux
consistaient à coller des plaques de renfort en fibres de verre sur les faces verticales de
poutres en béton ami& Comme montré à la figure 1.2, ils ont étudié trois méthodes de
renforcement :
S : renforcement par bandes;
W : renforcement par plaques;
J : renforcement en U.
Les principales conclusions de ces chercheurs sont d'abord que le renforcement à l'effort
tranchant, qu'il soit du type S, W ou J. augmente la rigidité des poutres. Ils ont également
remarqué que l'augmentation de la résistance à l'effort tranchant est semblable pour le
renforcement par bandes (S) et par plaques (W). Le mode de rupture observé dans ce cas
est un décollement des plaques de renfort à leurs extrémités, donc une rupture h a l e .
Finalement, le renforcement en U est selon e u le meilleur parce qu'il permet une plus
grande augmentation de la résistance à l'effort tranchant et qu'il n'y a pas de décollement
de I'extrémité inférieure des plaques parce que celles-ci sont mieux ancrées. La rupture est
alors ductile. Ce type de rupnire a également été obtenu par Malvar, Wamn et Inaba
(1995) lonqu'ils ont renforcé leurs poutres avec des plaques de renfort en U constituées de
fibres de carbone.
Plutôt que d'utiliser des plaques rigides en matériau composite, Chajes et WU. (1995) ont
coiié un tissu de fibres qui enveloppe l'âme des poutres ( d o r t en U) en I'imprégnant de
résine époxy. Les fibres des tissus qu'ils ont utilisés étaient orientées de façon à ce qu'elles
forment des angles de O" et 90" ou des angles de 45" et 135' par rapport à l'axe longitudinal
des poutres. Les résultats de leurs travaux ont montré que ce type de renforcement pemiet
d'augmenter la résistance à l'effort tranchant et que les tissus dont les fibres sont orientées
à 45O et 135' permettent un accroissement de résistance supérieur a celui dont les fibres
sont orientées à O" et 90".
Figure 1 -2 Méthodes de renforcement étudiées par Ai-Sulaimani et coll. (1 994)
Berset (1992) a développé un modèle analytique qui permet d'évaluer la résistance à
l'effort tranchant d'une poutre d o r c é e au moyen de plaques de renfort collées sur les
faces verticales des poutres. Il propose que les fibres du composite soient orientées de
façon à ce que celles-ci soient perpmdiculaires aux fissures. De plus, il conclut que les
matériau qui possèdent un module élastique élevé ont une plus grande efficacité.
1.5 Contenu du mhnoire
Le calcul de la quantité de renfort qu'il faut ajouter à une poutre en béton armé se fait en
trois étapes. La première consiste à évaluer la résistance à l'effort tranchant de la poutre
non renforcée. La méthode utilisée pour y arriver est présentée au chapitre 2.
Dans le troisième chapitre, sont ensuite développées les équations nécessaires au
dimensiornernent du d o r t ainsi que la méthode de calcul proposée.
Puis, le chapitre 4 présente la dernière étape pour compléter la conception du renfort. Il
s'agit de la vérification de l'interaction flexion-cisaillement.
Dans chacun des chapitres énumérés ci-haut, des exemples de calcul illustrent les
différentes étapes du renforcement.
Afin de mieux comprendre le comportement théorique des poutres après leur renforcement
et d'identifier les facteurs qui influencent le plus le dimensionnement des plaques de
renfort, une étude paramétrique a été réalisée. Les résultats de cette étude sont résumés
dans le chapitre 5.
Finalement, les recommandations et la conclusion se retrouvent au chapitre 6 et I'annexe A
présente les algorithmes de calcul utilisés dans le cadre de ce projet.
La première étape associée au renforcement consiste a évaluer la résistance à l'effort
tranchant de la poutre afin de déterminer s'il est nécessaire de la renforcer. À cette étape du
calcul, la flexion n'est pas prise en compte et la courbure de la poutre est supposée nulle.
De ce fait, la déformation longitudinale dans l'âme de la poutre est causée seulement par le
cisaillement et sa valeur est considérée constante sur toute la profondeur de la section. La
méthode généraIe de la norme A23.3-M94, basée sur la théorie du champ de compression,
propose cette équation pour calculer la résistance à l'effort tranchant d'une poutre en béton
almé:
V, = résistance pondérée à I'effort tranchant
Vcg = contribution du béton à la résistance pondérée à l'effort tranchant
V, = contribution de l'acier à la résistance pondérée à l'effort tranchant
B = facteur qui tient compte des fissures dans le béton
@= = coefficient de tenue pour le béton
@s = coefficient de tenue pour l'acier
h = facteur qui tient compte d'un béton léger
A" = aire de l'armature de cisaillement
b, = largeur efficace de l'âme
d, = distance entre les forces résultantes de tension et de compression causées par la
flexion
f , = résistance à la compression du béton
f, = limite élastique de l'acier
s = espacement des étriers
0 = angle d'inclinaison des fissures
Les valeurs qu'il faut utiliser pour P et 8 sont spécifiées dans la nonne en fonction des
efforts axial, tranchant et de flexion appliqués (Nr, Vr et Md sur la section. Cette approche
est pratique lorsqu'il s'agit de dimensiormer des étriers. En réalité cependant, la résistance
à I'effort tranchant d'une poutre est une caractéristique de celle-ci et elle n'est pas
dépendante des efforts qui la sollicitent. Pour cette raison, nous préférons utiliser une
méthode de calcul qui est indépendante des charges appliquées sur la poutre.
La théorie du champ de compression. développée par Collins et Mitchell (1974 et 1980) et
par Collins (1978), et la théorie du champ de compression modifiée proposée par Vecchio
et Collins (1982, 1986 et 1988) répondent à cette exigence. En plus d'estimer la capacité à
l'effort tranchant, elles permettent d'obtenir la réponse complète de la poutre' c'est-à-dire
l'évolution des déformations et de l'inclinaison des fissures en fonction de I'effort
tranchant appliqué.
2.2 Théorie du champ de compression PCC)
La théorie du champ de compression a été développée a partir du modèle du treillis à angle
variable en faisant une anaiogie en* les poutres en béton anné a celles en acier. Comme
dans le cas du modèle du treillis conventionnel, le modèle du treillis à angle variable
associe la zone de béton comprimée par la flexion et l'armature longitudinale tendue aux
membrures supérieure et inférieure du treillis respectivement. Les étriers, quant à eux,
agissent comme des membrures verticales tendues. Finalement, le béton comprimé entre
les f i s m e s inclinées représente les membrures diagonales du treillis.
La TCC fait l'hypothèse que les contraintes de cisaillement sont uniformément distribuées
sur une aire efficace dont la largeur et la profondeur sont égales à b, et d,, respectivement.
Elle suppose aussi que la direction des contraintes principales demeure constante sur toute
la profondeur de la section.
Contrairement au modèle classique du treillis, l'angle d'inclinaison des diagonales
comprimées du treillis à angle variable peut ê e ciiffirent de 45O. La figure 2.1 illustre les
efforts causés par un effort tranchant selon le modèle du treillis à angle variable. Sur cette
figure, D représente la force résultant de la contrainte principale de compression, fi, et elle
est égale a :
A partir de l'équilibre vertical des efforts, la composante verticale de D doit équilibrer
l'effort tranchant appliqué à une étape quelconque du chargement, c'est-à-dire,
La contrainte principale de compression dans les bielles de béton, f2, peut alors se calculer à
l'aide de l'équation (2-2).
La projection horizontale de D crée un effort axial de compression sur la section, Nv.
S'il n'y a pas d'effort axial appliqué sur la section, ce qui est généralement le cas, la force
de traction dans l'armature longitudinale doit équili'brer Nv. Ainsi,
d'où
A, f, = V cet 6 = -N,
Une troisième équation d'équilibre est dérivée en faisant l'équilibre entre la force de
traction dans les étriers et la projection verticale de la force de compression dans le béton
(figure 2.1 c) . Ainsi,
En introduisant l'équation (2-2) dans I'équation ci-dessus et en isolant V, on trouve :
v = A v f v d v
s tan B
Pour un effort tranchant donné, il y a quatre inconnues (fi, fv, f, et 8 ), mais seulement trois
équations d'équilibre. Il n'est donc pas possible d'évaluer les contraintes causées par un
effort tranchant en utilisant uniquement les équations d'équilibre.
Pour résoudre ce problème, Mitchell et Collins (1974) ont développé la théorie du champ
de compression. Avant la fissuration du béton, le cisaillement dans l'âme d'une poutre est
repris également par les contraintes principales de tension, fi, et de compression, f2. Avec
la théorie du champ de compression, Mitchell et Collins (1974) supposent que le béton ne
peut plus reprendre la traction une fois qu'il est fissuré (fi = 0). À ce moment, l'effort
tranchant est repris par un champ de compression diagonale et par les étriers. Cette
hypothèse est posée en appliquant au béton armé le principe du champ de tension qui se
développe dans l'âme des poutres en acier aprés leur flambement en cisaillement. En fait
par analogie, la tension dans l'acier est transposée en compression dans le béton.
(a) Section
's' (b) Contrainte diagonale et équilibre horizoatal
(c) F M 6- (c) Force dans les étriers
Figure 2.1 Modèle du treillis à angle variable
(adaptée de Collins & Mitchell (1991))
Grâce à cette hypothèse. il est possible d'exprimer l'angle d'inclinaison de la contrainte
principale de compression, f2, en fonction des déformations de la section analysée.
où E, = défornation longitudinale de l'âme (positive en tension)
Q = déformation transversale (positive en tension)
EZ = déformation p ~ c i p a i e en compression (toujours négative parce qu'elle
correspond à une contrainte de compression).
Pour une valeur de 9 donnée, I'tkpation (2-5) est une relation de compatibilité entre les
déformations. A partir du cercle de Mohr présent6 à la figure 2.2, la ddformation principale
en traction dans le béton est donnée par une autre équation de compatibilité.
Figure 2.2 Compatibilité des déformations pour un éiément d'âme fissuré
(tirée de Coilins & Mitchell (1991))
En plus des équations d'équilibre e$ des relations de compatibilité. la TCC requiert les
relations contraintdéforPiation du béton et de l'acier. La courbe contraintedéfonnation
du béton cumprimé dans les bielles est présentée à la figure 2.3. M e montre que celui-ci
n'atteint pas la valeur de la résistance en compression d'un cylindre soumis à un essai de
résistance à la compression. En fait, lorsqu'un cylindre de béton subit un essai de
compression pure, il se déforme transversalement à cause de l'effet de Poisson seulement.
Cette déformation demeure cependant bien inférieure à la déformation principale en
traction que subissent les bielles de béton sollicitées en tension et en compression. Pour
tenir compte de cet effkt, Vecchio et Collins (1986) suggèrent de relier les contraintes aux
déformations à l'aide l'équation ci-dessous.
Une poutre en béton armé peut atteindre l'un ou l'autre des états Limites ultimes suivants :
soit la plastification des étriers ou I'éclatemmt en compression des bielles de béton. Dans
le premier cas, la contrainte dans les étriers, f, , est égale B f, et la rupture est ductile.
Dans le second cas, la contrainte de compression dans les bielles, f2, a atteint f2- et le
béton dans les bielles éclate sans avertissement. La rupture est alors qualifiée de -le.
(a) Relation contrainte-ci6f-tion (b) Relation prop6séc pour Ia mmha pour le béton fissur4 en compttssion dccomprtssionmaximaie
(c) Comlation avec des données expérimentaies
(d) Rtprisenîation iridimcnsiormeUe de la rciation contraintedéformation en compression
Figure 2.3 Relation contraintedéformation du béton comprimé dans les bielles
(tirée de Collins & Mitchell (1991))
2 J Théorie du champ de compression modifiée (TCCM)
La théorie du champ de compression d o ~ e des résistances a l'effort tranchant
conservatrices camparatvernent aux résultats obtenus expérimentalement, car elle
surestime les défonnations de la poutre. Afin de mieux prévoir le comportement réel d'une
poutre et sa résistance ultime à l'effort tranchant, Vecchio et Coilins (1986) ont rafnné cette
théorie. La théorie améliorée porte le nom de théorie du champ de compression modifiée
(TCCM).
La première amélioration est la prise en compte des contraintes de traction qui existent dans
le béton après sa fissuration. Les contraintes principales de traction, fi, sont
perpendiculaires aux fissures. Eues sont égales à zéro à une fissure et atteignent leur valeur
maximale entre deux fissures. Dans les équations d'équilibre, une valeur moyenne de fi est
utilisée. La figure 2.4 illustre la relation entre la contrainte principale de traction et la
déformation principale en traction proposée par Vecchio et Collins (1986). Collins et
Mitchell (1991) suggèrent que fi soit plutôt calculée de la façon suivante selon que le béton
est fissuré ou non :
Dans l'équation (2-8)' al et a2 sont des facteurs qui dépendent des caractéristiques de
l'armature et du type de chargement qui est appliqué.
ai = 1,O pour une barre d'armature crénelée
= 0'7 pour une barre lisse
= 0,O pour une b a m non adhérente
a2 = 1 ,O pour une chargement statique à court terme
= 0,7 pour un chargement répété et/ou à long temie
Figure 2.4 Relation entre la contrainte moyenne de tension dans le béton
fissuré et la déformation principale en traction
(adaptée de Collins & Mitchell (199 1))
Si la masse volumique du béton est normale, la contrainte de fissuration du béton se calcule
comme suit :
f, = 0 2 3 K
Cette équation suppose que la résistance à la traction du béton dans l'âme est constante. En
réalité, cette résistance est très variable et une fissuration précoce de l'âme dans une zone
faible peut entraîner l'apparition rapide d'autres fissures. En admettant une résistance à la
traction uniforme du béton dans l'âme, la TCCM peut surestimer de façon significative
l'effort tranchant causant la fissuration et, par conséquent, sousestimer les déformations de
la poutre (voir B ce sujet les sections 2.5 et 3.3).
À partir de la valeur de L il est possible d'évaluer la déformation correspondante dans le
béton.
D'après le cercle de Mohr présenté à la figure 2.5, la contrainte principale de compression
se calcule de cette façon:
v f2 = b,d, SineMEe
- A (2-9)
À noter que l'équation (2-9) est semblable à l'équation (2-2) sauf qu'elle contient fi.
L'effort tranchant à une étape quelconque du chargement se calcule en faisant l'équilibre
des efforts verticaux sur la figure 2.5 et en remplaçant fi par son expression donnée à
l'équation (2-9). Ainsi,
et après introduction de l'équation (2-9)'
Le premier terne de cette équation correspond en fait à la contribution du béton tandis que
le second représente la contribution des éîriers. Si l'effort axial appliqué sur la membrure
est nui, la tmction dans l'armature longitudinale devra équilibrer la projection horizontale
de la force de compression dans les bielles de béton, Nv. Ainsi,
ce qui implique que
N" =- tan 8 + AbJ"
Variation de la contramte de Section oii = O ansion Aans le béton I
(a) Setion (b) Contraintes principies dans le béton
contrainte
v V = - 9 *
(c) Contraintes moyennes dans le béton
(d) Tension dans les étiers
Figure 2.5 Conditions d'équilibre de la théorie du champ de compression modifiée
(tirée de Collins & Mitchell (1 99 1))
Une deuxième amélioration à la TCC a également été apportée par Vecchio et Collins
(1986). Elle consiste a considérer les variations locales de contraintes dans le béton et
l'armature à l'interface des fissures. En effet, entre les fissures, la traction est reprise par
les étriers et la contrainte fi clans le béton. Cependant, à ta surface des fissures, la
contrainte de traction dans le béton devient nulle et cause ainsi une augmentation locale de
la contrainte dans I'atmature transversale. Cette redistribution des contraintes du béton
vers l'acier est possible tant que les étriers n'ont pas atteint leur plastification. A partir du
moment où l 'mature atteint localement sa limite élastique, Vecchio et Collins (1986)
supposent que des contraintes de cisaillement, vd, se développent à la d a c e des fissures et
permettent le transfert de la traction à travers les fissures (shear fiction concept). Ce
concept est illustré la figure 2.6. Collins et Mitchell (1991) proposent que la valeur de va
se calcule comme suit :
où a = taille maxjmale des agrégats en mm
w = largeur de la fissure en mm
(a) Poutre sollicitée en cisaillement Détail à une fissure
(b) Contraintes moyennes caldées (c) C o n e t e s Iocales à une fissure
Figure 2.6 Transfert de force à travers les fissures
(tirée de Collins & Mitchell (199 1))
Le calcul de la largeur de la fissure se fait au moyen de l'équation cidessous.
w = E , s , ~ (2- 13)
Dans cette équation, représente l'espacement entre les fissures diagonales et se calcule
de la façon suivante :
Dans l'équation 2-14, s, est l'espacement qu'auraient les fissures si la poutre était soumise
à une tension axiale longitudinale tandis que s, est l'espacement qu'auraient les fissures si
la poutre était soumise a un effort de traction tramversal (voir la figure 2.7).
Les valeurs numériques de ces deux paramètres se calculent comme suit :
A, Pv =-
Sb"
A, = aire de Ia section brute de béton
k I = 0,4 si les barres d'armature sont crénelées
= 0,8 si les barres d'mature sont lisses
et les variables î, G, h, s, dbx et db, sont défies sur la figun 2.8.
(a) Section (b) Fissures inclinées causées par le cisaillement
(c) Fissures verticales dues a une tension axiale
(d) Fissures horizontales dues à une tension transversale
Figure 2.7 Espacement des fissures inclinées
(tirée de Collins & Mitchell (1991))
D'après la statique, les deux groupes de contraintes présentés à la figure 2.6 (b et c) doivent
être équivalents. Pour ce faire, ils doivent produire la même force verticale résultante. A
partir d'une telle égalité, la valeur maximale que peut atteindre fi est donnée par l'équation
(2- 1 7).
~ , f . [ - ) s tan 8 + f , &X sin0 0 = + vabVdv stan0
Un dernier facteur peut aussi limita la valeur de la traction dans le béton qui peut êtrc
transmise à travers une fissure. Il s'agit de la plastification locale de l'armature
longitudinale. Toutefois, si I'équivaience statique des deux groupes de contrainte de la
figure 2.6 est respectée horiu>ntalement, l'équation 2-1 8 sera satisfaite. Dans ce cas, la
plastification locale de l'armature longitudinale n'aura pas lieu et la valeur de fi ne sera pas
limitée par ce facteur.
r T
Figure 2.8 Paramètres influençants Fespacernent des fissures
(tirée de Collins & Mitchell (1 99 1))
La réponse complète d'une poutre soumise à un effort tranchant et à un effort axial peut
maintenant être évaluée. Comme dans le cas de la TCC, deux &a& limites ultimes d'effort
tranchant peuvent survenir avec la TCCM : la plastification des étriers ou l'éclatement en
compression du béton dans les bielles. La méthode de calcul est itérative et elle est décrite
à la section 2.4.
2.4 Methode de calcul
La théorie présentée aux sections 2.2 et 2.3 pemet de calculer la réponse à l'effort
tranchant d'une poutre en béton armé. La méthode de calcul est itérative et elle nécessite la
résolution des équations d'équiiiire et de compatibilité des déformations pour évaluer les
inconnues qui sont l'inclinaison moyenne des fissures, 9, la contrainte dans les étriers, f,, la
contrainte dans l'armature longitudinale, f,, et celles dans les bielles de béton, fi et f2 .
Le logiciel RESPONSE, réalisé par Felber (1990) et qui accompagne le volume de Collins
et Mitchell (1991)' permet notamment de réaliser ces calculs. Même si la capacité à l'effort
tranchant d'une poutre peut être évaluée à l'aide de ce logiciel, nous avons dû
reprogrammer l'algorithme de calcul. La raison principale est la suivante. D'abord, la
méthode de renforcement proposée compte trois parties principales : l'évaluation de la
capacité à l'effort tranchant de la poutre non renforcée, le dimemionnement du renfort et la
vérification de l'interaction flexioncisaillement. Pour calculer la quantité de renfort requis,
nous voulions adapter la méthode de calcul de la première partie en ajoutant des plaques de
renfort. Pour y arriver, il a donc fallu, dans un premier temps, programmer l'algorithme de
calcul de la première étape afin de s'assurer que les résultats obtenus étaient comparables à
ceux obtenus avec le logiciel RESPONSE. Ce n'est qu'à la suite de ces vérifications que la
contribution des plaques à la résistance à l'effort tranchant a été ajoutée.
De plus, certains résultats obtenus à l'étape 1 sont nécessaires pour effectuer les deux
dernières étapes du rdorcement. En effet, au moment du raiforcement, la poutre est en
service. Sa déformée de même que l'uiclinaison moyenne des fissures sont des données
nécessaires au calcul du renforcement et à la vérification de l'interaction flexion-
cisaillement Connaissant la valeur de I'effort tranchant qui sollicite la section au moment
du renforcement, ces informations peuvent être récupaées de l'étape 1. Finalement,
l'utilisation d'un seul programme de calcd pour les 3 étapes facilite ai plus la tâche de
l'utilisateur parce qu'elle permet d'enîrer les d o d e s une seule fois et d'utiliser
directement les résultats des étapes précédentes.
La réponse à l'effort tranchant de la poutre non renforcée s'obtient donc en appliquant
l'algorithme de calcul présenté ci-dessous. Le principe de calcul consiste à augmenter
progressivement la déformation principale en traction de la section et à calculer I'effort
tranchant qui peut être résisté jusqu'à ce qu'un état Limite ultime d'effort tranchant soit
atteint. A chaque itération, l'équilibre des efforts et la compatibilité des déformations
doivent être respectés. Toutefois, puisque cette méthode de calcul fait l'hypothèse que la
courbure de la poutre est nulle, l'équilibre des moments n'est pas satisfait, sauf si la
section est doublement symétrique et que le moment est calculé par rapport au centre de
gravité de la section. Pour une section non symétrique, un moment non nul devrait être
appliqué à la section afin de conserver une courbure nulle. Plus de détails concernant la
méthode de calcul de ce moment sont donnés par Felba (1990).
Méthode de calcul de la réponse à l'effort tranchant
d'une poutre en béton armé en utilisant la TCCM
Tirée de Collins et Mitchell (1 991)
Étape 1 : Poser une valeur pour EI . Étape 2 : Posa une valeur pour 8.
Étape 3 : Calculer M. w et v~ à partir des équations (2-1 2) à (2-1 6).
Étape 4 : Estimer f,.
Étape 5 : Calculer fi (valeur minimale entre les éqs. (2-8) et (2-17)).
Etape 6 : Calculer V à partir de l'équation. (2- 10)
Étape 7 : Calculer f2 et f2- éqs (2-7) et (2-9).
Étape 8 : Vérifier que f2 5 f-.
Si f2 > fZm, alors il y a éclatement en compfession des bielles de béton et
c'est la fin des calculs.
Étape 9 : Calcul des déformations
Étape 10 : Calculer f, = mi < fv. Vérifier si la valeur obtenue correspond à la valeur de fv utilisée lors du
calcul de V. Sinon, il faut retourner a l'étape 4 avec une nouvelle estimation
de fv. Si f, = f,, alors il y a plastification des étriers.
Étape 1 1 : Calcul de la contrainte dans l'armature longitudinale f, = &sx < fy .
Étape 12 : Calcul de la force axiale sur la membrure :
Étape 13 : Vérifier si la valeur de N correspond à la valeur de la force axiale appliquée.
Si elles sont d i f fhtes , il faut retourner à l'étape 2 et faire une nouvelle
estimation pour 8 (N augmente si 0 augmente).
Étape 14 : Pour compléter une itération, il faut finalement vérifier si la relation (2-1 8)
est satisfaite. Sinon, la valeur de fi doit être réduite et les calculs doivent
être refaits a partir de l'étape 6.
Pour obtenir la réponse complète de la poutre, il faut augmenter la déformation principaie
en traction de la section et répéta les 4tapes 1 à 14 jusqu'à ce qu'il y ait plastincation des
étriers ou éclatement en compression des bielles de béton. Un algorithme plus détaillé est
présenté à l'annexe A.
2.5 Exemple de calcul : résistance B l'effort tranchant d'une poutre non renforcée
Il s'agit de calculer la résistance à l'effort tranchant de la section de poutre en T montrée à
la figure 2.9 en appliquant la TCC et la TCCM. Toute l'information nécessaire au calcul est
aussi donnée sur cette même figure. La méthode de calcul proposée à la section 2.4 a donc
été programmée et les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 2.1 et à la figure
2.10. À noter que le programme utilisé dome les mêmes résultats que ceux obtenus avec le
logiciel RESPONSE.
- ]I1oo=hd s =300mm d, = 479 mm A, = 4000 mm? f, = f, = 400 MPa E, = 200000 MPa f, =30MPa N = O k N
- 1 68=y,
Figure 2.9 Section de poutre en T # 1
Remarquons que l'effort tranchant évolue différemment selon la méthode de calcul utilisée.
La raison est qu'avec la TCC, l'effort tranchant résistant provient des étriers seulement. La
résistance à l'effort tranchant débute donc à zéro et augmente progressivement à mesure
que la déformation des étriers augmente. Par contre la TCCM tient compte de la traction
qui est reprise par le béton, en plus de la wnûi'bution des étriers. C'est cette contri'bution
du béton qui permet la croissance rapide de V avant la fissuration de la section. A partir de
ce moment, la traction dans le béton diminue rapidement et les étriers entrent en fonction.
Comme indique dans le tableau 2.1, les étriers sont plastifiés à l'état lunite ultime (ELU)
peu importe la méthode de calcul utilisée et la compression dans les bielles, fi. demeure
inférieure B la compression maximale permise, f2mu. A ce moment, les résistances à
I'effort tranchant sont égales à
Vu (TCC) =23l kN
Vu (TCCM) = 330 kN
Il est préférable d'utilisa la TCCM pour évaluer la capacité à l'effort tranchant des poutres
non renforcées parce que celle-ci donne des résistances théoriques plus près des résistances
mesurées expérimentalement que la TCC et qu'en pratique, le renforcement doit être fait
seulement si cela est nécessaire. Le comportement de la poutre obtenu à l'aide de la TCC a
tout de même été présenté ici car il sera utilisé dans le prochain chapitre dans le but
d'évaluer les conditions présentes au moment du renforcement.
Tableau 2.1 Résistance à l'effort tranchant de la section de poutre en T # 1
1 Théorie / Vu 1 B. (deg) 1 fzu W a ) 1 f2- w a ) / €1, (mm/-) 1 ELU I I I
23,8 TCC 1 231 i 2899 3 2
TCCM i 330 1 31.0
0.0027
4'0 , 23,6 0.0028 1 Etriers
Etriers
o 0 TCC
Figure 2.10 Réponse à l'effort tranchant avant renforcement de la section de poutre en T # 1
3.1 Hypothèses
Une fois la première étape du calcul temiinée, il faut comparer I'effort tranchant causé par
les charges appliquées à la résistance à l'effort tranchant qui peut être offerte par la section.
Dans le cas où la résistance n'est pas suffisante, il faut procéder à la deuxième étape du
renforcement, c'est-à-dire le dimensionnement du d o r t . Pour y parvenir, les hypothèses
suivantes sont posées :
La flexion est négligée à cette étape. Seuls I'effort tranchant et l'effort axial sont
considérés comme c'est le cas lors du dimensionnement des étriers dans les poutres en
béton armé ou des raidisseurs dans les charpentes d'acier.
Au moment du &orcement, la poutre est en service. Sa déforniée ainsi que
l'inclinaison moyenne des fissures sont des donntks nécessaires au calcul du renfort.
Elles correspondent à l'effort tranchant qui sollicite la poutre a ce moment. Cet effort
tranchant est causé par les charges permanentes, D, et une certaine fiaction de la
surcharge, L, qui est plus difficilement évaluable, mais qui doit tout de même être
estimée par l'ingénieur. Par exemple, dans le cas d'un renforcement de poutre de pont,
si l'accès à ce dernier est interdit diirant les travaux, la valeur de L sera égale à zéro. À
l'inverse, si la circulation sur le pont n'est pas restreinte, alors toute la surcharge
routière devra être prise en compte. Aussi, il arrive fréqument que la circulation soit
limitée sur un certain nombre de voies ou réservée à certains véhicules seulement.
Dans ce cas, la hction de L qui s'applique se situe entre O et 1 et elie doit être évaluée
par l'ingénieur.
La valeur de l'effort tranchant résistant requis après le renforcement est connue et la
quantité de renfort sera calculée afin d'accroître la résistance jusqu'à cette valeur.
Les plaques de renfort peuvent être collées ou ancrées mécaniquement. Pour cette
étude, nous supposons que la méthode de fixation permet le développement de la pleine
capacité en traction du renfort, c'est-à-dire qu'il n'y aura pas de décollement des
ptaques de renfort ni de problémes de butée si les plaques sont ancrées.
Les plaques de renfort sont disposées par pains de chaque côté de l'âme des poutres et
inclinées d'un angle a par rapport à l'horizontale. L'aire de plaque qui sera calculée
dans ce chapitre est l'aire nette d'une paire de plaques. Si les plaques sont collées,
l'aire nette devient égale à l'aire brute.
Les propriétés mécaniques du matériau de renfort sont connues. Si les plaques sont en
acier, le module élastique et la limite élastique du matériau sont utilisés. Par contre, si
les plaques sont fabriquées en matériau composite, la contrainte de traction utilisée dans
les calculs est limitée à un certain pourcentage de la contrainte de rupture en traction.
a . Cela est dû au fait que les matériaux composites ont un comportement linéaire
jusqu'à la rupture et qu'il faut éviter une rupture fiagile de la poutre après son
renforcement. La contrainte de traction utilisée pour dimensionner le renfort est
appelée taux de travail maximal ( f d et sa valeur est fixée par l'ingénieur (voir la figure
La traction dans le béton, fi, est négligée par rapport à la traction qui sera reprise par les
plaques de renfort. Après le renforcement, I'effort tranchant résistant est donc égal à la
somme de la contribution des plaques de renfort et des étriers.
%pt .*-•
f&, ( tau de travail)
acier , matériau composite
b
Figure 3.1 Propriétés mécaniques du matériau de renfort
3.2 Équations pour le calcul des plaques
La figure 3.2 présente une poutre renforcée à l'aide de plaques de renfort inclinées d'un
angle a par rapport à l'horizontale. Sur cette figure, dv représente la profondeur de l'aire
efficace en cisaillement et dm est la projection verticale de la hauteur des plaques.
La résistance B l'effort tranchant d'une poutre renforcée comprend deux composantes : la
contribution des étriers et la contribution des plaques de renfort, Cette demière est calculée
comme si les plaques de r d o r t étaient des étriers inclinés. En faisant l'équilibre des forces
verticales sur la figure 3.2% l'effort tranchant résistant à une étape quelconque du
chargement après le renforcement est alors égal à :
La déformation des plaques de renfort est notée h. Au moment du renforcement, la
section de la poutre est défonnk, mais les plaques de rmfort ne le sont pas. c'est-à-dire que
E, = O. A mesure que les charges appliquées augmentent, la déformation des plaques
augmente. Pour calcuier la valeur de E, il faut calculer la défonnation de la poutre dans la
direction des plaques, h, lorsque la poutre est soumise au chargement donné et soustraire la
défonnation de la poutre qui était présente lors du rdorcement, QL. Ainsi,
Au moment du renforcement, sa est égal à -L et, d'après l'équation (3-2), E, est bien égal
à zéro.
La déformation de la section dans la direction de a se calcule à partir du cercle de Mohr de
la figure 2.2. Cette déformation est donnée par l'équation (3-3).
La compression dans les bielles de béton s'évalue en faisant l'équilibre vertical des efforts
sur la figure 3.2b.
d'où
f,, = vr - A,f,d,
bvdv sin 8 COS 8 bVd,s, cos e sin 0
Findement, si la force axiale appliquée sur la section est nulle, la traction dans l'annaîure
Ionngitudinale doit équilibrer la projection horizontaie de la force de compression dans l'âme
de la poutre. Ainsi,
d'où
v r A m f m d m ( 1 1 ) '&+f -N, =--
tan@ s,,, tan0 tana
a) Contraintes dans les étriers et les laa au es de renfort
b) Compression dans les bielles de béton
Figure 3.2 Poutre renforcée avec des plaques de renfort inclinées
3.3 Conditions kitides présentes lors du renforcement
Deux infoxmations sont nécessaires pour débuta le calcul du d o r t et de la réponse de la
poutre après son rexforcement. Il s'agit des déformations de la poutre et de l'inclinaison
moyenne des fissures qui sont présentes au moment du reaforcement. Comme en pratique
il n'est pas possible d'instnimenter tous les ponts, il faut se baser sur des résuitaîs
théoriques pour évaluer ces conditions. Au chapitre précédent, nous avons vu deux théories
qui permettent de calculer la réponse à l'effort tranchant d'une poutre non renforcée.
Toutefois, comme montré à la figure 2.10, le comportement de la poutre est très différent
selon la théorie choisie. Même si la TCCM estime mieux la résistance ultime de la poutre
que la TCC, il faut se demander si elle représente aussi bien le comportement de la poutre
lorsque celle-ci n'a pas atteint un état limite ultime.
Rappelons d'abord que deux situations peuvent motiver l'ingénieur ii vouloir augmenter la
capacité à l'effort tranchant d'une poutre. La première est l'apparition de fissures inclinées
sur les faces verticales des poutres, visibles lors de l'inspection du pont. La seconde
sunient plutôt, lonqu'à la suite d'un renforcement en flexion, il soit également nécessaire
d'augmenter la résistance à l'effort tranchant dans le but d'éviter les ruptures hgi les en
cisaillement.
D'après la courbe obtenue avec la TCCM à la figure 2.10, l'effort tranchant causant la
fissuration (E, = = 6x 1 O-') vaut 250 kN. Cette valeur est assez élevée car elle représente
environ 75% de la capacité limite ultime de la section (330 kN). D'après ces résultats, la
poutre ne serait donc pas fissurée sous les charges d'utilisation usuelles. De plus, les
résultats expérimentaux de Bonneau (1994) montrait que la TCCM sous-estime les
défornations des poutres en béton armé. Par contre. la même section se fissure très tôt si
l'analyse est réalisée à l'aide de la TCC. Cette méthode surestimerait même les
déformations réelles des poutres.
Le comportement le plus réaliste se situe probablement à quelque part entre ces deux
solutions. Afin de déterminer les conditions initiales de calcul, l'ingénieur a le choix
d'utiliser la théorie qu'il désire (TCC ou TCCM). S'il n'y a pas de fissure inclinée, c'est
que la déformation principale en traction du béton est très faible, c'est-à-dire < k. Dans
ce cas, I'état qui prévaut au moment du fenforcement est probablement mieux représenté
par les résultats de la TCCM. Par contre, lorsque des fissures de cisaillement sont visibles,
les déformations de la poutre sont plus importantes et il semble préfrable d'utiliser les
conditions données par la TCC. L'effet des conditions initiales choisies en ce qui a trait à
la quantité de renfort requis et au comportement de la poutre renforcée sera vérifié dans les
exemples de la section 3.5.
3.4 Mbthode de calcul
Pour calculer la quantité de renfort et la réponse de la pou- après le renforcement, nous
utilisons une méthode de calcul itérative semblable à la méthode de calcul présentée à la
section 2.4.
Cette fois-ci, les inconnues sont I'incliaaison moyenne des fissures, 8, les contraintes dans
le matériau de redort, f , dans les étriers, fv, et dans l'armature longitudinale, f,, de même
que la contrainte principale de compression dans les bielles de béton, f2,.
L'algorithme de calcul utilisé est présenté plus bas. La première étape consiste à initialiser
les déformations de la section et l'inclinaison moyenne des fissures aux valeurs qui
correspondent à l'effort tranchant présent au moment du renforcement, Vmr.
Ensuite, l'aire de plaque requise est calculée ii l'aide de l'équation (3-6) afin d'augmenter la
résistance a l'effort tranchant à la valeur désirée. L'équation (3-6) est obtenue en isolant &
dans l'équation 3-1. Ce calcul est fait en considérant qu'à l'ultime, ce sont les plaques de
renfort qui atteignent leur taux de travail admissible (f, = fa, que la compression dans les
bielles demeure inférieure à la compression maximale permise (fa I f2-) et que les étriers
sont plastifiés (fv = f,).
Dans l'équation (36)' 8, représente l'angle d'inclinaison des fissures a l'état Elimite ultime
après le renforcement. Or, la valeur de 0, n'est pas connue à cette étape du calcul. Pour
contrer cette difficulté, nous supposons que l'angle d'inclinaison des fissures présentes au
moment du renforcement ne variera pas une fois le renforcement réalisé. Donc, pour
calculer A, la valeur de 8, est donc supposée égale à la valeur de 0 au moment du
renforcement, c'est-à-dire, 8, = ODL. Cette hypothèse sera vérifiée lorsque la poutre aura
atteint son état limite ultime après le renforcement.
L'étape suivante consiste à calculer l'effort tranchant résistant après le renforcement et à
ajuster l'inclinaison des fissures pour qu'il y ait équilibre des efforts horizontaux et
compatibilité des déformations.
La déformation de la section est par la suite augmentée jusqu'à ce qu'un état limite ultime
d'effort tranchant soit atteint. Les états limites ultimes considérés après le renforcement
sont l'atteinte du taux de travail admissible dans les plaques de renfort et l'éclatement en
compression du béton dans les bielles. La plastification des étriers n'est plus un état limite
ultime après le renforcement, car il y a maintenant les plaques de redort qui reprennent
aussi l'effort tranchant.
Finalement, lorsque la section renforcée a atteint sa résistance ultime, il faut vérifier si
l'angle d'inclinaison d a fismes obtenu à l'ultime correspond à l'angle d'inclinaison qui a
été utilisé lors du calcul de l'aire de plaque requise. Si oui, alors la capacité ultime à
l'effort tranchant de la section est atteinte et V, = V,. Sinon, il faut recommencer le calcul
des plaques avec la nouvelle valeur de 8,. La réponse complète de la poutre doit alors être
recalculée.
Algorithme de calcul de la réponse à l'effort tranchant
d'une poutre m béton anné aprk renforcement
Étape 2 : Calculer Am avec (3-6) en supposant que 0, = eDL
Étape 3 : Cdcdêr E, , Em , fm = & Sm avec les é q ~ a t i 0 1 ~ (3-1) et (3-2).
Si f, r f,, le matériau de renfort a atteint son taux de travail admissible.
Étape 4 : Esther fv et calculer V, avec l'équation (3-3)
Étape 5 : Calculer fi, et f2- et vérifier si fa S f2, avec les équations (3-4) et (2-7)
Sinon, il y a éclatement en compression des bielles de béton
Étape 6 : Calcul des déformations
Vérifier si E. correspond au ex utilisé pou. le calcul de k.
Sinon, retourner à l'étape 3.
Étape 7 : Calcula ct et fv = $ ct fv
Vérifier si f, comspnd au fv utïIïsé pour le calcul de V, Sinon, retourner
1'Ctape 4.
Étape 8 i Calculer l'effort axial N.
Vérifier si la valeur de N correspond à la valeur de la force axiale appliquk.
Si elles sont différentes, il ilut faire une nouvelle estimation pour 0 et
retourner à l'étape 3.
Étape 9 : Vérifier si la section a atteint un état limite ultime (éclatement en
compression du béton dans les bielles ou atteinte du taux de travail
admissible dans les plaques de do r t ) . Sinon, il faut augmenter €1 et
retourner à l'étape 3.
Étape 10 : Vérifier si 8, obtenu correspond à la valeur de 8 utilisée pour le calcul de
A,,,. Si oui, c'est la fin des calculs et V, = V, . Sinon, iI faut recalculer la
réponse complète de la poutre à partir de l'étape 1 en utilisant la nouvelle
valeur de 0, pour calculer A, à l'étape 2.
3.5 Exemples de caicul : etape 2
Exemple 3.5.1
La section de poutre m T montrée B la figure 2.9, a une résistance B l'effort tranchant de
330 IrN B Mat limite ultime. En supposant que des fissures de cisaillement sont visiiles
sur les faces verticales de la poutre, il s'agit de calculer la quantité de d o r t ntcessaire
afin d'accroître sa capacité de 30%. La résistance à l'effort tranchant requise est donc égale
à 425 IcN.
Les données nécessaires au calcul sont résumées dans le tableau 3.1 et sur la figure 3.3.
D'après ces données, l'effort tranchant présent au moment au renforcement, VwL, est
supposé égal à 150 kN et il n'y a pas d'effort axial appliqué à la section (N = 0). hiisque
des fissures d'effort tranchant sont visibles, nous utilisons la théorie du champ de
compression pour évalua les déformations et l'inclinaison moyenne des fissures présentes
au moment du renforcement. De plus, les plaques de d o r t seront espacées de 500 mm et
inclinées à 45' par rapport à l'horizontale. Cette inclinaison est choisie parce qu'elle est
facile à mesurer au chantier. Finalement, dewc matériaux de renfort sont étudiés. Le
premier possède des propriétés mécaniques théoriques semblables à celles d'un matériau
composite avec fibres de verre. Pour éviter une rupture fkgile du matériau, le taux de
travail dans ce composite a été fixé arbitrairement à 75% de sa résistance ultime à la
traction. Le second matériau de renfort étudié est l'acier. Dans ce cas, la contrainte de
traction permise dans le r d o r t est égale à la contrainte de plastifkation de l'acier, f,.
Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 3.2 et à la figure 3.4. D'abord pour les
deux matériaux de renfort, l'état limite ultime de la poutre survient lonque les plaques de
renfort atteignent leur taux de travail admissible, c'est-à-dire lorsque f, = fm. À noter qu'il
n'y a pas de ruphw hgile lonque les plaques de renfort sont en matériau composite parce
que la quantité de renfort a été calculée, pour qu'à l'état limite ultime, la contrainte dans le
matériau soit inférieure à la contrainte de rupture en traction. De plus, il n'y a pas
d'éclatement du béton dans les bielles puisque la compression dans ces dernières demeure
inférieure à la compression maximale pemiise. Également, l'hypothèse faite lors du calcul
de l'aire des plaques, qui suppose que les étriers seront plastifiés à l'état limite ultime après
le renforcement, est vérifiée puisque 8, > f, I E, = 0,002 pour les deux matériaux de
renfort.
Lorsque les plaques de renfort sont en matériau composite, la plastification des étriers
suMent à l'endroit où la courbe montrée à la figure 3.4 change de pente, c'est - à - dire
lorsque V, vaut environ 235 kN. Afin d'obtenir un V, de 425 kN avec ce matériau, il
faut 249 mm2 de renfort par paire de plaques. Dans ce cas, la contribution des plaques à la
résistance ultime, V,, est de 105 kN tandis que celle des éîrîas, V,, est de 320 Iùrl.
Tableau 3.1 Do& nécessaires au calcul du renforcement de la poutre de l'exemple 3.5.1
Conditions au moment du renforcement
N ( W = O
VD+L O N = 150 ~ l ~ ~ ( m m / m m ) = 1,7 143 E-3
GCDL = 3,3854 E-4
DL (deg) = 28,8
vwq~ï~(W= 425
Caractéristiques des plaques de raifort
a (deg) = 45
dm (mm) = 379
h (mm) = 500
Propriétés mécaniques des matériaux de renfort
Composite 1 fm = 0,75aVt ( MPa) 225
(fibres de verre) ETII (MPa) = 20000
Acier =
Par contre, lorsque les plaques de renfort sont en acier, la plastification des étriers suMent
juste avant que les plaques de renfort n'atteignmt leur taux de travail admissible. Dans ce
cas, la contribution des étriers a la résistance ultime, Vu, est réduite à 221 kN et, pour
obtenir une résistance à l'effort tranchant de 425 kN, l'aire d'une paire de plaque de raifort
en acier doit être égale à 465 d.
Le fait qu'une plus grande quantité de plaques en acier soit requise s'explique de la façon
suivante. D'abord, le module élastique des plaques de renfort en acier est beaucoup plus
grand que celui du matériau composite. Ce faisant, la déformation du renfort en acier à
l'état limite ultime (~n , = = 0,0015 d m m ) est près de 8 fois infieure à celle du
matériau composite (h = 0,O 1 125) (voir les figures 3.3 et 3.4). La poutre renforcée avec
des plaques d'acier se déforme donc moins et c'est pour cette raison que l'angle
d'inclinaison des fissures demeure plus élevé. Finalement comme les fissurs sont moins
inclinées, la contriiution des étriers à la résistance ultime, V,, est plus faible.
v, = 4 f y 4
s tan 8,
Les plaques de renfort en acier doivent d o n reprendre plus d'effort que cella en matériau
composite et c'est pourquoi l'aire de plaques de renfort est plus grande lorsque Iw plaques
sont en acier .
Figure 3.3 Propriétés mécaniques des matériaux de d o r t de l'exemple 3.5.1
Tableau 3.2 Résultats de l'exemple 3 S. 1
Composite (fibres de verre)
249
105
320
p l w = 0,01538
0,01310
6 3
898
2 1,8
Acier
465
plaques
* c c - C
C - L m -
# O - a*-
mme
- - - Composite (fibres de verre)
- Acier
Figure 3.4 Réponse à l'effort tranchant de la poutre renforcée de l'exemple 3 S. 1
Exemple 3.5.2
Comme il a été mentionné à la section 3.3. la défoxmation d'une poutre et l'inclinaison
moyenne des fissures qui sont présentes au moment du renforcement sont des données
nécessaires au calcul du renforcement Ces valeurs peuvent être déteminées à partir de la
TCC ou de la TCCM. Ces deux thbries donnent cependant des conditions initiales
différentes pour un même effort tranchant, VmL.
Dans cet exemple, il s'agit de calculer la quantité de renfort qu'il faut ajouter a une poutre à
partir des conditions initiales prédites par chaque théorie. Il sera alors possible de comparer
les résultats obtenus en ce qui a trait à la quantité de renfort et au comportement de la
poutre après son renforcement. Pour ce faire, la résistance a l'effort tranchant de la poutre!
en T montrée a la figure 2.9 sera augmentée à 425 kN en utilisant le même matériau
composite que dans l'exemple 3.5.1. Toutes les autres données demeurent inchangées à
l'exception des conditions initiales données par la TCCM et présentées dans le tableau 3.3.
D'après les résultats obtenus dans le tableau 3.4 et à la figure 3.6. l'inclinaison moyenne
des fissures et la compression dans les bielles de béton sont peu influencées par la théorie
utilisée. La principale différence se situe au niveau du comportement de la poutre après le
renforcement (voir la figure 3.5). En effet, lorsque les conditions initiales sont prises à
partir de la TCCM, l'effort tranchant après le renforcement débute à zéro au Lieu de 150 kN
(VDiL) comme prévu. Cela s'explique par le fait qu'avec la TCCM la contribution du béton
à la résistance avant le renforcement était grande et que les étriers étaient peu déformés,
donc peu sollicités. Or, la traction dans le béton est négligée après le renforcement. A ce
moment, il y a donc les étriers peu déformés et les plaques de d o r t qui commencent
Tableau 3.3 Conditions initiales pour VmL = 150 kN (exemple 3.5.2)
CI-TCCM
3,1404 E-5
6,669 E-7
45 ,O
I CI-TCC
EIDL ( d m ) =
EXDL ( d ~ m ) =
@DL (de& =
1,7143 E-3
3,3854 E-4
28'8
seulement à travailler. C'est pourquoi I'eEort tranchant rtsistant débute à zéro. Par contre,
lorsque les conditions initiales sont domées par la TCC, la courbe débute à VW car, avant
le renforcement, seuis les étriers contriiuaient à la résistance.
Au moment du renforcement, il y a moins d'effort dans les étriers avec la TCCM qu'avec la
TCC. Puisque les étriers sont moins sollicités, les plaques de d o r t doivent travailler un
peu plus et cela implique que l'aire de plaque requise augmente de 6%.
En résumé, la méthode choisie pour estimer les conditions initiales de renforcement
n'affectent pas de manière significative l'inclinaison moyenne des fissures. Toutefois, en
utilisant les conditions initiaies données par la TCCM, la quantité de renfort augmente
d'environ 6% parce que la contribution des étriers à la résistance est plus faible.
Tableau 3.4 Résultats de l'exemple 3-52
A m (m2)
vu,
CI-TCC
249
105
CI-TCCM
265
Il0
315
6,6 8 I 9,7 1
0,O 1348
0,O 1 149
Vu OcN) I 320
fiur W a )
fi- W a )
6,84
8'78 i
Elur i 0,01538
&tu, (dm) I 0,01312
1 C I - T C C M ,
Figure 3.5 Réponse à l'effort tranchant de la poutre renforcée de l'exemple 3.5.2
o o - CI-TCC , - CI - TCCM
Figure 3.6 Inclinaison moyenne des fissures de la poutre renforcée de l'exemple 3.5.2
en fonction de la déformation principale en traction
Au chapitre précédent, une méthode de calcul a été proposée afin d'évduer la quantité de
renfort nécessaire pour augmenter la résistance à l'effort tranchant d'une poutre à la valeur
désirée. Cette méthode était basée sur une approche pratique dans le sens où le renfort est
calculé sans tenir compte des effets de la flexion.
La dernière étape du renforcement consiste maintenant à vérifier l'interaction flexion-
cisaillement brsque les zones renforcées à l'effort tranchant sont également sollicitées par
de grands efforts de flexion. Cette étape est une analyse puisque la quantité de renfort qu'il
faut ajouter est maintenant connue. Il s'agit en fait de vérifier si la flexion affectera la
résistance à l'effort tranchant une fois le renfort ajouté. Pour y arriver, la réponse à l'effort
tranchant est recalculée, mais cette fois, un bloc de calcul supplémentaire est ajouté. Ce
dernier permet d'6valucr la courbure de la poutre soumise il un moment de flexion, noté M,
et de vérifier les états limites ultimes de flexion qui sont la plastification de I'atmahrre
longitudinale et l'écrasement du béton dans la zone comprimée en flexion. Ces deux &ta&
limites ultimes en flexion s'ajoutent aux états limites ultimes d'effort tranchant. Ainsi,
pour une section rdorcée à l'effort tranchant et soumise à un moment de flexion, quatre
états Limites ultimes peuvent survenir, soient :
l'atteinte du taux de travail admki'ble dans le matériau de d o r t ;
O l'éclatement en compression du béton dans les bielles;
la plastincation de l'armature longitudinale;
l'écrasement du béton dans la zone comprimée en flexion.
4.2 Théorie des sections planes
C'est la théorie des sections planes qui est utilisée afin d'évaluer la courbure d'une poutre
sollicitée par un effort axial et un moment de flexion D'après cette théorie, la déformation
d'une section en béton armé, symétrique par rapport à son axe vertical, varie héairement
avec la profondeur de la section (voir la figure 4.1). Avec cette hypothèse. la distribution
des déformations dans le béton peut être déterminée en connaissant la déformation au
centre de gravité de la section, b, et la courbure, #. Cette dernière est égale au gradient
des déformations de la section. Ainsi, à une distance " y " du centre de gravité de la
section, la déformation dans le béton est donnée par l'équation 4-1.
De plus, à partir des conditions de compatibilité. la déformation des armatures
longitudinales est égale à celle du béton qui les entoure et se calcule à l'aide de l'équation
4-2.
Dans ces deux équations, les déformations en tension sont positives tandis que les
déformations en compression sont négatives. Pour ce qui est de la courbure, elle est
positive lorsque la déformation à la fibre inférieure de la section, ES, est plus grande
algébriquement que la déformation à la fibre supérieure, %. Finalement, la valeur de
" y " est supérieure ii zéro lorsque la déformation calculée se situe au-dessus du centre de
gravité de la section. Dans le cas contraire, la valeur de " y " est infërieure à zéro.
culme de graviîé de la section
Section Déformations dans le Eton
Figure 4.1 Distribution des déformations dans le béton
(tuée de Collins & Mitchell (1991))
Connaissant la géométrie de la section, les déformations et les relations contrainte-
déformation des matériaux, il est possible de calculer l'effort axial et le moment de flexion.
En effet, à partir de l'équilibre des efforts présentés à la figure 4.2,
Dans ces équations, Np est positif en tension et négatif en compression. Quant au moment
de flexion, Mp, il est positif si les fibres inférieures sont tendues. D a le cas contraire, Mp
est évidemment négatif. Dans ces mêmes équations, & et t sont les contraùites dans le
béton et l'acier respectivement. Les relations présentées a l'équation (4-5) pexmetknt de
calculer les contraintes dans le béton selon la valeur de G. Lorsque la déformation du béton
est négative, & est une contrainte de compression et sa valeur est calculée à partir de
l'équation parabolique. Par contre, lorsque les déformations sont supérieures à zéro mais
inférieures à la déformaîion qui correspond à la fissuration du béton, G, dors les
contraintes varient linéairement de zéro à la contrainte de fissuration &. Finalement, dans
les zones fissurées, c'est-à-dire lorsque 4 > k, la contrainte dans le béton est supposée
nulle.
section
Figure 4.2 Contraintes et efforts résultants de la théorie des sections planes
(adaptée de Collins et Mitchell (1 991))
Daus l'armature longitudinale, la contrainte se calcule en faisant le produit de la
déformation par le module élastique (voir éq.(46)). La contrainte obtenue doit être
inférieure ou égaie a la limite élastique de l'acier, f,.
Le calcul de Np et Mp consiste donc à évaluer les int6grales données par les équations 4-3 et
4-4 en tenant compte des équations 4-5 et 4-6. Pour ce faire, le btton et les annatures sont
divisés en plusieurs couches tel que montré à la figure 4.3. Chaque couche d'mature est
dénnie par sa position et par son aire d'acier. Étant donné que les armatures ont une petite
d a c e , il est possible de concentrer l ' ah de chaque couche d'acier à son centre de gravité.
De cette façon, les intégrales deviennent des sommations. Ainsi,
oh n = nombre de couches d'acier
Pour ce qui est des couches de béton, elles sont défies par des rectangles. L'aire de béton
étant plus importante que l'aire d'acier, les contraintes ne sont pas uniformes dans chaque
couche. Afin d'évaluer la contribution du béton à I'effort axial et au moment fléchissant, la
zone de béton comprimée dans chaque couche est divisée en trois sous-couches d'égale
hauteur. L'effort axial de compression dans le béton, NF, est calculé en faisant la
moyenne des contraintes au centre de chaque sous-couche. Ainsi,
oii A, = d a c e de béton comprimée
Dans la zone tendue, le même principe est appliqué mais cette fois, l'effort de traction dans
le béton est calculé à partir des contraintes dans les nbres extrêmes de la sous-couche
tendue.
où & = surface de béton tendue, mais non fissurée
Les contributions totales du béton à l'effort axial, NF, et au moment de flexion, MW, sont
données par les équations 6 1 1 et 4-12.
ou n = nombre de couches de béton
Les efforts dans une poutre en béton armé, calculés à partir de la théorie des sections
planes, sont donc égaux à
Section de poutre Déformations divisée en couches de la section
Détail couche @ Zone comprimée
Zone tendue :
Contraintes Efforts Résultantes dans le béton axiaux
3 sous-couches
Figure 4.3 Contraintes et efforts résultants de la division par couches
4.3 Analyse impliquant N, M et V
À partir de la théorie des sections planes, il est possible de calculer la courbure d'une
poutre soumise à un effort axial et à un moment de flexion pour qu'il y ait équilibre des
efforts, c'est-à-dire, N = Np et M = Mp
Dans le cas qui nous intéresse, en plus de l'effort axial et du moment de flexion, il y a aussi
I'effort hanchant. Les efforts causés par les charges doivent donc être équilibrés par les
efforts dus aux sections planes et ceux causés par I'effort tranchant (voir la figure 4-4)-
Cette affirmation nécessite que les équations (4-1 5) et (4-1 6) soient satisfaites.
En effet, la composante horizontale de la compression dans les bielles d'une poutre en
béton armé est une force axiale, Nv, qui s'applique au centre de l'aire effective en
cisaillement. Puisque cette force est excentrée par rapport au centre de gravité de la
section, elle crée un moment de flexion égal à
où N, provient de l'équation (2-1 1).
-v N,. = -
tan 0 + L b " 4
Lorsque la poutre est renforcée à I'effort tranchant, la force axiale Nv dépend de la
compression dans les bielles de béton et de la traction dans les plaques de renfort. La force
axiale Nv est alors donnée par l'équation (4-19)' semblable à l'équation (3-5).
N, =-- (4- 1 9) tan 0 tan 0 tan a
Élément uniaxial Élément biaxial
Einf
Contraintes et déformations Contraintes et déformations uniaxiales biaxiales
Figure 4.4 Modèle d'analyse pour N, M et V dans une poutre en béton armé
(adaptée de Collins & Mitchell (1991))
4.4 Méthode de calcul
La vérification de l'interaction flexion-cisaillernent se fait en ajoutant une itération
supplémentaire à l'algorithme de la section 3.4 qui calcule la réponse à l'effort tranchant de
la poutre renforcée (étape 2 du renforcement). Cette itération permet de trouver la courbure
de la poutre, 4, pour qu'il y ait équilibre des moments de flexion lorsque celle-ci est
soumise à un moment de flexion, M.
L'algorithme de calcul proposé est présenté ci-dessous. La première étape consiste à
initialiser les déformations de la section et l'inclinaison moyenne des fissures aux valeurs
qui correspondent à I'effort tranchant présent au moment du renforcement, VmL. ïï faut
également poser une valeur pour la courbure de la poutre, 4.
A cette étape, il faut se demander à quel endroit dans l'âme de la poutre, la déformation ex
doit être calculée. En effet, lorsque le moment de flexion est pris en compte dans le calcul,
la déformation dans l'âme de la poutre, E,, n'est plus unifonne. Bien sûr, plus la valeur de
E, utilisée est élevée, plus la résistance à l'effort tranchant diminue. Toutefois lorsque la
poutre contient des étriers, il y a redistribution du cisaillement des zones fortement
sollicitées vers les zones moins cisaillées. Dans ce cas, Collins & Mitchell (1991)
suggèrent d'utiliser la déformation, E,, située au centre de l'aire effective en cisaillement.
Toutefois, lorsque la poutre ne contient pas d'mature transversale, sa capacité à
redistribuer les efforts diminue et ces mêmes auteurs soutiennent que c'est la valeur
maximale de qui devrait être utilisée.
Dans le cas qui nous intéresse par contre, même s'il n'y a pas d'mature transversale, la
poutre a été renforcée a I'effort tranchant au moyen de plaques de renfort inclinées et ces
dernières jouent un rôle semblable à celui des étriers. Pour cette raison, nous supposons
que la section aura une bonne capacité de redistribution des efforts. Nous considérons donc
que la défonnation longitudinale pour le calcul de l'effort tranchant résistant est située au
centre de I'aire effective en cisaillement, c'est-à-dire à dJ2 audessus du centre de gravité
des matures longitudinales.
Une fois les valeurs de départ cmnues, il est possible de procéder à l'étape de calcul
suivante. Contrairement à I'algonthme de la section 3.4, la deuxième étape qui consistait à
calculer l'aire de plaque n'existe plus puisque la quantité de d o r t est maintenant connue.
Il s'agit donc de calculer l'effort tranchant comme à la section 3.4 (étapes 3 à 7).
L'itération qui permet d'évaluer la courbure de la poutre^ +, est réalisée aux étapes 8 et 9.
À partir de la vaIeur de 4 posée à 19étape 1, la huitième étape consiste à calculer les
déformations de la section ains que les contraintes dans le béton et l'armature. Si EC > G',
alors il y a écrasement du béton dans la zone comprimée par la flexion. Quant aux
annahues longitudinales, elles sont plastifiées si E, > f, / &. Les efforts dus aux sections
planes et ceux causés par l'effort tranchant sont ensuite calculés.
À l'étape 9 il s'agit de vérifier si le moment de flexion M = Mp + M, comspond au
moment de flexion appliqué. Dans la négative, il faut modifier la valeur de la courbure de
la poutre jusqu'a ce que l'équilibre des moments de flexion soit atteint.
L'étape suivante consiste à ajuster I'inchaison des fissures pour qu'il y ait équilibre des
efforts axiaux et compatibilité des déformations.
Finalement, la déformation de la section est augmentée et les calculs précédents (étapes 1 à
10) sont refaits jusqu'à ce qu'un état limite ultime soit atteint. Comme mentionné à la
section 4.1, les états limites ultimes considérés lorsqu'il y a interaction flexion-cisaillement
sont:
l'atteinte du taux de travail admissible dans le matériau de renfort;
l'éclatement en compression du béton dans les bielles;
la plastification de l'armature longitudinale;
l'écrasement du béton dans la zone comprimée en flexion.
Algorithme de calcul de l'interaction flexion-cisaillement
et poser une valeur pour 4
Étape 2 : N'existe plus car l'aire de plaque requise est connue.
Étape 3 : Comme à la section 3.4
Étape 4 : Comme à la section 3.4
Étape 5 : Comme à la section 3.4
Étape 6 : Comme à la section 3.4
Ëtape 7 : Comme à la section 3.4
Étape 8 : À partir de $, calculer %, %, E, et & et vérifier s'il y a écrasement du béton dans la
zone comprimée, c'est-à-dire > E', OU plastification des armatures longitudinales.
Calculer
avec (4-7) et (44 1 )
avec (4-8) et (4-1 2)
avec (4- 1 3) et (4- 1 9)
avec (4- 14) et (4- 17)
Étape 9 : Vérifier si M calculé correspond au moment de flexion appliqué. Sinon, retourner
à l'étape 3 avec une nouvelle valeur pour 4.
Étape 10 : Vérifier si N correspond à la valeur de N appliquée. Sinon, il faut retourner à
l'étape 3 avec une nouvelle estimation pour 8,
Étape 11 : Vérifier si la section a atteint un état limite ultime. Sinon, il faut augmenter et
retoumer à l'étape 3
4.5 Exemples de calcul d'interaction fiexion-eisaîUement
Exemple 4.5.1 : Section de poutre en T
Dans cet exemple, il s'agit d'appliquer I'algonthmc présenté de la section 4.4 pour tracer la
courbe d'interaction flexion-cisaillement de la poutre de l'exemple 3.5.1 renforcée avec des
plaques de matériau composite.
Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 4.1 et à la figure 4.5. La première
constatation qui peut être faite est que l'allure de la courbe est semblable à celle d'une
courbe d'interaction flexion-cisaillement en structure d'acier. En effet, pour de faibles
valeurs de M, la résistance à l'effort tranchant n'est pas affectée, puis elle diminue
rapidement a partir d'une certaine valeur de M. Pour le cas traité ici, tant que le moment
fléchissant demeure inférieur à 500 kN-m, il n'y a pas de réduction de la résistance a
I'effort tranchant. La résistance ultime est même un peu supérieure à la capacité requise
(425 kN) parce que I'inclinaison des fissures qui a résulté du calcul de I'interaction (9 =
20,6" a 20'9") est inférieure à celle obtenue lors du dimensiomement du renfort (0 = 21'8').
En effet, d'après l'équation (3-l), l'effort tranchant augmente lorsque l'inclinaison des
fissures diminue. L'état limite ultime qui prévaut dans cette zone est l'atteinte du taux de
travail admissible dans les plaques de renfort.
Par contre, a partir du moment oii la flexion atteint 600 kN-m, l'état limite ultime est causé
par la plastification des matures longitudinales et la résistance à l'effort tranchant diminue
rapidement.
Tableau 4.1 Résultats de l'interaction flexion-cisaiilement (exemple 4.5.1)
ELU
plaques
plaques plaques
Arma longitudinales
Arma longitudinaf es
h a longitudinales
Figure 4.5 Courbe d'interaction flexion-cisaillement de la section en T # 1 renforcée avec
des plaques de matériau composite (exemple 4.5.1)
Exemple 4.5.2 : Effet du matériau de d o r t sur l'interaction flexioncisaillement
Le but de ce deuxième exemple est de comparer les courbes d'interaction flexion-
cisaillement de la section de poutre en T # 1 de la figure 2.9 retlfofcée avec trois matériaux
de renfort différents.
Les propriétés mécaniques de chaque matériau de même que l'aire de plaques ajoutées sont
présentées dans le tableau 4.2. Toutes les autres do~mées utilisées lors du calcul de la
quantité de renfort sont données dans le tableau 3.1. Les propriétés mécaniques du
matériau composite avec fibres de carbone ont été déterminées au laboratoire de structure
de I'Université Laval par Duquette (1998). Le taux de travail de ce composite a été fixé à
75% de sa contrainte de rupture en traction de manière à éviter une rupture hgile du
composite.
Tableau 4.2 Propriétés mécaniques et aire des plaques de renfort de l'exemple 2.5.2
Matériau des plaques
de d o r t
Composite avec
fibres de verre
Composite avec
fibres de carbone
Acier
Les résultats de l'interaction flexioncisaillement sont présentés à la figure 4.6.
Remarquons d'abord que l'allure des courbes est semblable peu importe le matériau de
renfort utilisé. Toutefois, lorsque les plaques de renfort sont en acier, la diminution de la
résistance à l'effort tranchant sumient un peu plus tard, c'est-à-dire pour un moment de
flexion plus élevé. Cette comtataîion n'indique pas directement que les plaques en acier
sont plus efficaces que les plaques en matériau composite. En f a il est difficile d'évaluer
l'efficacité de chaque renfort à partir de ces résultats puisque, pour un moment de flexion
donné, les résistances à l'effort tranchant sont dinérentes selon le type de renfort utilisé et
que l'aire de chaque renfort est aussi différente. Pour faVe la comparaison de ces matériaux
de renfort, il faudrait qu'un seul paramètre varie et non les deux. Nous avons donc choisi
de ker la résistance à l'effort tranchant et de comparer l'aire des plaques de renfort. Par
exemple, afin d'obtenir la résistance à l'effort tranchant voulue de 425 kN lorsque le
moment de flexion atteint 600 kN-m, il faudrait augmenter l'aire d'une paire de plaques
aux valeurs indiquées dans le tableau 4.3. Du point de vue de la quantité de renfort requis,
les résultats de ce tableau montrent que les plaques en acier sont plus efficaces que les
plaques en matériau composite avec fibres de verre. En effet, pour obtenir la même
résistance à I'effort tranchant, l'aire de plaque en acier (A, = 490 mm2) est plus faible que
celle du matériau composite avec fibres de vme (A, = 1500 mm2). Suivant ce
raisornement, les plaques en acier sont toutefois moins efficaces que celles en matériau
composite avec fibres de carbone (A, = 300 d)
11 est très important de noter que le calcul de l'interaction flexion-cisaillement doit débuter
avec les valeurs des déformations qui comspondent à I'effort tranchant présent au moment
du renforcement. En effet, dans le cas où le renforcement est fait avec des plaques d'acier
et que le calcul de l'interaction débute à V = O (déformation nulle dans les étriers) au lieu
de VmL, d o n la résistance à l'effort tranchant n'atteint pas la valeur voulue, même dans les
zones où les moments de flexion sont faibles. Pour la poutre de cet exemple, renforcée
avec des plaques d'acier (A, = 121 mm2), la résistance à I'effort tranchant n'est que de 350
kN lorsque le calcul débute à V = O (voir tableau 4.4). Cela s'explique par le fait que les
plaques de renfort en acier sont très rigides et qu'elles ne permettent pas aux étriers de se
déformer suffisamment pour que ceux-ci atteignent leur pleine capacité, c'est-à-dire f, = f,
= 400 MPa
Figure 4.6 Courbe d'interaction flexion-cisaillement de la section de poutre en T # 1
renforcée avec des plaques de matériau composite et des plaques d'acier (exemple 4.5.2)
Tableau 4.3 Ajustement de l'aire des plaques de renfort
En réalité, au moment du renforcement, la déformation dans les étriers n'est pas nulle
puisque I'effort tranchant qui les sollicite est au moins égal à l'effort tranchant causé par les
charges permanentes. Donc, pour calculer la réponse de la poutre après son renforcement
et vérifier I'interaction flexioncisaillement, il est nécessaire de débuter les itérations avec
les conditions qui correspondent le plus possible aux conditions réelles et non pas à zéro.
68
De même, lorsque viendra le temps de faire des essais au laboratoire, il faudrait procéder au
renforcement de la poutre lorsque la zone renforcée est sollicitée par l'effort tranchant
VmL, surtout si les plaques de renfort sont en acier.
Tableau 4.4 Effet des déformations initiales lors d'un renforcement avec plaques d'acier
Exemple 4.5.3 Comparaison d'une section en T et d'une section rectangulaire
Ce troisième exemple consiste à comparer les courbes d'interaction flexion-cisaillement de
la section en T de l'exemple 4.5.1 avec celle de la section rectangulaire montrée a la figure
4.7. Cette section a été renforcée de la même façon et avec le même matériau de renfort
que la section en T. c'est-à-dire A, = 249 mmz , a = 45O et s, = 500 mm. En négligeant
l'effet de Ia flexion, la résistance à l'effort tranchant de ces deux sections vaut 425 IcN une
fois le renforcement effectué.
Les résultats de I'inteniction fiexion-cisaillement sont présentés à la figure 4.8 et dans le
tableau 4.5. Remarquons d'abord que tant que le moment de flexion ne dépasse pas 500
kN-m il n'y a pas de réduction de la résistance à l'effort tranchant et l'état limite ultime
survient parce que les plaques de r d o r t ont atteint leur taux de travail admissible. Notons
de plus que, dans cette zone, la résistance a I'effort tranchant de la section rectangulaire est
légèrement supérieure à celle de la section en T. Ce résultat est dû à la petite différence
entre l'angle d'inclinaison des fissures de chaque section (voir le tableau 4.5). En effet, en
raison de la forme de la section, les armatures longitudinales de la poutre rectangulaire sont
plus sollicitées que celles de la poutre en T. Cela fait que la section rectangulaire est plus
déformée que la section en T pour un même moment de flexion. Les fissures d'effort
tranchant dans la poutre rectangulaire présentent alors un ungie un peu plus faible, ce qui
implique un effort tranchant un peu plus grand.
AV = 200 mm2 f, = 1,81 MPa
s =300mm E ' ~ = -0,002 d m m
d,, = 479 mm = 629 mm
&= 400Ommf = 9 0 5 mm
Figure 4.7 Section de poutre rectangulaire
À partir du moment où la flexion dépasse 500 kN-m, l'état limite ultime n'est plus
caractérisé par l'atteinte du taux de travail dans les plaques de renfort, mais par la
plastification des armatures longitudinales. La résistance à l'effort tranchant diminue dom
rapidement. Évidemment, la résistance à l'effort tranchant de la section rectangulaire
diminue plus rapidement que celle de la section en T.
Tableau 4.5 Résultats du calcul de l'interaction flntion-cidement (exemple 4.53 )
Section rectrmgulaire 300 400 500 600 650 700
Section en T 300 400 500 600 700 750
plaques PM= plaques
anna long. anna Iong. m a long.
plaques plaques plaques
ama long. arma. Iong. arma long.
Figure 4.8 Courbes d'interaction flexioncisaillement de la section de poutre en T # 1
et de la section rectangulaire renforcées avec des plaques de matériau composite
5.1 Généralités
Aux chapitres précédents, les trois étapes nécessaires au calcul du renforcement ont été
présentées. Dans les exemples, les valeurs des différentes données requises pour les calculs
sont demeurées fixes. Par exemple, l'inclinaison des plaques de renfort avait été fixée à
45' parce que cet angle est facile à mesurer au chantier- Mais est-ce que le fait de choisir
une inclinaison de plaque différente aurait modifié la quantité de renfort requis? Le
comportement théorique de la poutre renforcée aurait41 été le même? Est-ce qu'il y a un
effet d'échelle?
Le but du présent chapitre est de répondre à ce genre de questions en présentant les résultats
d'une étude paramétrique. L'analyse de ces résultats permettra de mieux comprendre le
comportement théorique des poutres renforcées et de cibler les facteurs qui ont le plus
d'impact sur le dimensionnement du renfort. Les paramètres l'étude sont :
l'inclinaison des plaques de renfort, a ;
le module élastique du matériau de renfort, E, ;
l'effort tranchant présent au moment du renforcement, VWL ;
les dimensions de la poutre.
La façon de procéder consiste à calculer la quantité de renfort qu'il faut ajouter à une poutre
(deuxième étape du renforcement) en faisant varier les paramètres énumérés cidessus. La
section de poutre utilisée est celle de la figure 2.9.
5.2 Inclinaison des plaques de renfort, a.
Le premier paramètre éâudié est l'inclinaison des plaques de renfort, a. Pour ce faire' il
s'agit de calculer la quantité de d o r t qu'il faut ajouter à la section de poutre en T de la
figure 2.9 de manière à augmenter sa résistance à l'effort tranchant de 330 kN à 425 kN en
faisant varier a de 30' à 80". Toutes les autres données nécessaires au calcul sont prises
dans le tableau 3.1 en utilisant le matériau de renfort qui possède des propriétés mécaniques
semblables à celies d'un matériau composite avec fibres de verre .
Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 5.1. D'abord, lorsque les plaques de
renfort sont inclinées à 30°, l'état Limite ultime, ELU, est atteint parce qu'il y a éclatement
en compression du béton dans les bielles. Dans ce cas, la rupture de la poutre est hgile et
cet état limite ultime n'est pas souhaitable. Par contre, à mesure que l'inclinaison des
plaques augmente, ce sont les plaques de renfort qui atteignent leur taux de travail
admissible à l'ultime et l'écart entre la compression dans les bielles, f 2 , et la compression
maximale permise, f2-, s'accroît. D'après ces résultats, l'angle d'inclinaison des plaques
de renfort ne devrait donc pas être trop faible de façon à éviter une rupture hgi le de la
poutre.
Notons également que la contribution des plaques à la résistance ultime, V,, augmente à
mesure que l'inclinaison des plaques augmente. Puisque le renfort travaille plus, l'aire de
plaque requise augmente elle aussi. Afin d'évalua l'effet réel de l'inclinaison des plaques,
l'augmentation de V,, et de A, ont été tracées à la figure 5.1 ai prenant comme r é f h c e
les plaques inclinées à 40 degrés. Les résultats obtenus pour a = 30" n'ont pas été
considérés parce que cette inclinaison cause une rupture bgile de la poutre, ce qui n'est
pas souhaitable.
Tableau 5.1 Résultats de rétude paramétrique sur l'inclinaison des plaques de d o r t , a
ELU
bielles
plaqua
P ~ U =
plaques
plaques
plaques
plaques
La courbe représentée par les carrés montre l'augmentation de la contribution des plaques
de renfort, V,, tandis que les cercla représentent l'augmentation de l'aire des plaques de
renfort. Pour ce qui est de la courbe représentée par les triangles, eiie correspond à la
différence entre l'augmentation de V,, et l'augmentation de A,. Elle donne en fait le gain
de résistance net offert par les plaques. D'après cette courbe, l'inclinaison des plaques la
plus efficace se situe entre 60° et 70°. Or, pour ces valeurs de a, les plaques de renfort sont
à peu près perpendiculaires aux fissures. En effet, l'angle P qui est formé entre les plaques
de redort et les fissures vaut 97'4' et 87'1 lorsque a est égal a 60° et 70° respectivement.
Les plaques de renfort les plus efficaces sont donc perpendiculaires aux fissures. En
pratique cependant, ce ne sont pas nécessairement les plus faciles à installer au chantier.
En effet, a h de mesurer l'inclinaison des plaques de renfort au chantier, il est possible de
tracer une droite horizontale et une droite verticale dont les longueurs sont telles, qu'en
reliant leurs extrémités, une troisième droite soit obtenue avec l'inclinaison voulue,
Toutefois, lorsque les plaques sont installées avec un angle différent de 45O, les deux
droites ont des longueurs différentes et il est facile d'inverser les deux dimensions. Le
renfort serait dors installé avec une inciinaison différente de celle demandée. Il peut donc
y avoir un choix à faire entre l'efficacité optimale des plaques de renfort et leur facilité
d'installation selon les besoins et les situations propres à chaque cas.
+ augmentation Am 25.0 -
+ augmentation Vum
Figure 5.1 Comparaison de l'efficacité des plaques de renfort en fonction de leur inclinaison
5.3 Modale klastiqoe du matériau de renfort, Em.
Les propriétés mécaniques (module élastique et contrainte de rupture en traction) d'un
matériau composite dépendent du type de fibres utilisées, du volume de fibres dans la
matrice ainsi que de l'orientation des fibres. En fonction de ces caractéristiques, il est
possible d'obtenir des matériaux qui ont les propriétés mécaniques disiries. Ces dernières
doivent êîre choisies de manière à ce que le renfort soit efficace et que la poutre renforcée
se comporte de façon adéquate. Il est donc important de comprendre l'influence des
propriétés mécaniques du matériau de rdort .
Pour y amiver, nous avons fait varia le module élastique du matériau composite de renfort
de 20000 MPa à 100000 MPa Même si, en général, la contrainte de rupture d'un
composite augmente à mesure que le module élastique augmente, le taux de travail du
composite a été gardé constant à 225 MPa afin qu'un seul paramètre de l'étude varie.
Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 5.2. D'abord pour tous les essais, c'est
l'atteinte du taux de travail admissible dans les plaques de renfort qui contrôle le
dimensionnement du renfort. La compression dam les bielles de béton à l'état limite
ultime, f2,, demeure inférieure à la compression maximale permise, fi,.
Un autre résultat important est que la déformation principale en traction de la section à
l'état limite ultime, ~ l ~ ~ , diminue à mesure que le module élastique augmente. Ce résultat
est logique car, plus le module élastique du matériau de renfort est élevé, moins les plaques
de renfort sont défornées lorsqu'elles atteignent le taux de travail admissible de 225 MPa
Puisque la section se défome moins, cela signifie que la ductilité de la poutre renforcée
diminue lorsque le module élastique augmente et que le taux de travail demeure cofl~fant.
ïableau 5.2 Résultats de l'étude paramétrique sur le module élastique du matériau de
renfort, E,
1 8, E ~ u r Enir i j (deg) (mmhm) ( d m m )
20000 i 249 105,l / 21.8 0,01312 I 0,01538
40000 366 / 141.4 i i 2494
0,00683 1 0,00834 I
60000 ' 450 164,7 26,2 1 0,00477 1 0,00602
fiur f 2 m ELU
W a ) (MW / I
6.84 ) 8.78 Plaques
6.02 13.53 plaques
537
528
5,09
i 80000 / 506
100000 / 549
178,4
188,3
27,s
28,s
16,46 1 plaques
18,41
19.81 I
0,00377
0,00319
plaques
plaques
0,00488
0,00420
Finalement, puisque la déformation de la poutre diminue lorsque E, augmente,
l'inclinaison moyenne des fissures demeure plus élevée et les étriers sont moins sollicités.
Par conséquent, les plaques de d o r t doivent reprendre plus d'effort pour que la résistance
a l'effort tranchant de la poutre renfiorcée demeure égale à 425 kN. Étant donné que le
d o r t travaille pius, il est normal que l'aire de plaque requise augmente elle aussi.
Toutefois, comme montré a la figure 5.2, l'augmentation de la quantité de renfort
nécessaire (losanges) s'accroît plus rapidement que l'augmentation de la contribution à
l'effort tranchant du renfort (carrés). Ces résultats démontrent qu'il est inutile d'augmenter
le module élastique si le taux de travail du composite est gardé constant car les plaques de
renfort sont moins efficaces et que la ductilité de la poutre renforcée est réduite.
Par contre, si le taux de travail du d o r t est augmenté lorsque le module élastique
augmente, comme par exemple, f., = 450 MPa si E, = 40000 MPa, alors la quantité de
renfort calculée est deux fois moindre que pour fum = 225 MPa et E, = 20000 MPa, mais
tous les autres résultats (Vu,, 8,. &lu, etc.) demeurent les mêmes et la poutre renforcée
conserve une certaine ductilité.
Figure 5.2 Comparaison de l'efficacité des plaques de renfort
en fonction du module élastique, E,,,
5.4 Effort tranchant présent au moment du renforcement, VmL.
La valeur de l'effort tranchant présent au moment du renforcement est une donnée
nécessaire au calcul de la quantité de renfort. Cette valeur est toutefois difficile à évaluer
en pratique.
Au chapitre 3, un exemple de calcul a perrnis de voir les diffbences de comportement
d'une poutre reflforcée selon la méthode de calcul qui est choisie pour déterminer les
conditions initiales (TCC ou TCCM) à un Vmt donné. Maintenant, il s'agit de faire varier
la valeur de VDcL en utilisant la théorie du champ de compression (TCC) afin d'évaluer
l'impact des conditions initiales présentes lors du renforcement. Trois groupes de résultats
sont présentés à la figure 5.3. Pour chacun, l'effort tranchant Vmr varie de 100 kN à 200
kN. Dans le premier groupe, le module élastique vaut 20000 MPa tandis que dans le
second, il est égal à 60000 MPa Dans les deux cas, le taux de travail admissible a été
gardé constant à 225 MPa Remarquons que la valeur de VmL a plus d'influence sur la
quantité de renfort lorsque le module élastique vaut 60000 MPa En fait, la quantité de
renfort augmente lorsque VwL diminue parce que le renfort commence à travailler plus tôt.
Sa conhibution à la résistance ultime est alors augmentée.
Puisqu'il existe une certaine incertitude quant à la valeur réelle de VmL, il n'y a pas
d'intérêt a choisir un matériau de renfort qui possède un module élastique de 60000 MPa si
son taux de travail est limité à 225 MPa. Par contre, si le taux de travail de ce composite
est augmenté de façon proportionnelle au taux de travail du composite du groupe 1, alors
f,, devient égal à 675 MPa (groupe 3) et la valeur de VmL n'a presque plus d'effet sur le
dùnensionnement du renfort.
La conclusion qui peut être tirée de ces résultats est que la valeur de VmL n'a que très peu
d'influence sur la quantité de d o r t a condition que le taux de travail dans le composite
soit suffisamment élevé lorsque le module élastique est grand et à condition aussi que la
valeur de VDiL soit réaliste et non égale à zéro comme discuté au chapitre précédent.
A
Groupe 3 & = 60 GPa
O f,, = 675
Figure 5 -3 Aire requise par paire de plaques en fonction de l'effort tranchant VmL
5.5 Dimensions de la poutre
Jusqu'à présent, l'étude paramétrique a été réalisée pour une section de poutre relativement
petite (voir la figure 2.9). Bien que cette poutre soit de dimensions pratiques pour des
essais au laboratoire, en réalité, il arrive très souvent que les poutres soient de dimensions
beaucoup plus importantes, surtout lorsqu'il s'agit de poutres de pont.
Dans le but de vérifier s'il y a un effet d'échelle, deux nouvelles sections de poutre en T,
appelées section 2 et section 3, ont été étudiées. Les caractéristiques de ces sections sont
données dans le tableau 5.3. Par rapport à la section 1, la hauteur et la largeur des sections
2 et 3 sont doublées et triplées respectivement. Quant à la quantité d'armature
longitudinale, elle a été ajustée de fqon à conserver un pourcentage d'armature constant.
La quantité d ' & a n'a cependant pas été modifiée d'une section à l'autre. La raison est
que nous voulions que la contniution des étriers à la résstance ultime' V,. donnée par
l'équation (5-1) ne soit fonction que de la hauteur de la section. L'inclinaison des fissures
influence égaiement V,, mais la valeur de 8 ne peut pas être fixée puisqu'elle est ajustée
pour qu'il y ait équilibre des efforts axiaux a chaque itération.
Tableau 5.3 Caractéristiques des sections de poutres en T
r Section #1 Section #2 Section #3 600,O 1200,O 1800,O
La première étape du renforcement, c'est-à-dire l'évaluation de la résistance à l'effort
tranchant des sections de poutre 2 et 3 a été réalisée. Puis, la quantité de renfori nécessaire
a été calculée de façon à ce que la resistan . ce à I'enort tranchant de chaque section soit
majorée de 30%' comme c'est le cas pour la section 1. Les résultats sont présentés dans le
tableau 5.4. Dans la partie b de ce tableau, les résultats de chaque section sont comparés en
prenant comme valeurs de référence les résultats de la section 1.
Ces résultats nous indiquent qu'il faut e-n la même aire efficace de plaque de renfort
pour chaque section et que leur contribution relative à la résistance ultime demeure à peu
près constante à 24% ou 25% de la résistance totale à I'effort tranchant (Ilmil / V, Le
reste de la résistance provient des étriers. L'augmentation de la contribution des étriers
d'une section à I'autre (Vin<i>Nurci3 est toutefois supérieure à ce qui avait été prévu, c'est-à-
dire deux fois plus grande pour la section 2 et trois fois plus grande pour la section 3. Cela
est dû au fait que lorsque les dimensions de la section augmentent, l'angle d'inclinaison des
fissures diminue. Alors, même si le rapport A/s est constant pour toutes les sections et que
d, est multiplié par deux ou par trois, la contribution des étriers augmente dans des rapports
qui sont supérieurs à deux ou trois puisque celle-ci dépend aussi de l'inclinaison des
fissures (voir l'équation (5-1)). En fait, l'augmentation de la résistance offerte par les
étriers est égale à
Pour la même raison, l'augmentation de la contribution des plaques de renfort d'une section
à l'autre n'est pas exactement égale a deux ou trois et se vérifie en appliquant l'équation
(5-3).
Finalement, lorsque les dimensions de la poutre sont doublées ou triplées, la hauteur des
plaques de renfort est elle aussi doublée ou triplée, mais l'aire de plaques requise ne varie
pas. De plus, la contniution relative des plaques à la résistance ultime demeure la même.
Ces résultats démontrent donc qu'il n'y a pas d'effet d'échelle lorsqu'il s'agit de calculer la
quantité de raifort qui doit être ajoutée à une poutre en béton armé.
Tableau 5.4a Résultats de Fétude paramétrique: Dimensions des poutres
I ETME 1 I ETAPE 2 1 Section
1
2
Tableau 5.4b Comparaison des sections #2 et #3 avec la section #1
I 1 1322,O / 600,O 1 l
253.0 j 404.1 1312'2 1 1716'3 1 16,1 1 I
Vu 0-1 VDrr
) V I )
0.25
0'25
0'24
Section
1
2
3
A m 1 K m I
(mm') (kN) l 330'5 1 150.0
800.8 1 365'0 I
Vw(i)/V"r(*,
1 ,O0
2,45
4,04
i ) )
1 ,O0
2,48
3,84
Am(i)/Am(i)
1 ,O0
1 ,O7
1 ,O2
V,
OcN)
VUE
0
V"$i)/V"S(l)
1 ,O0
244
4,l O
0,
m g )
21'7
18,O
248.8 j 105'1 i
265,9 / 260.3 !
320,O
7802
425,l
1040,5 I
6.1 Résumé du travail de recherche
L'objectif visé dans ce projet était de développer un modèle théorique pour le renforcement
en cisaillement de poutres en béton armé. La méthode de renforcement proposée consistait
à placer des plaques de renfort inclinées sur les faces verticales des poutres de manière à
croiser les fissures d'effort tranchant. Les plaques de renfort utilisées étaient en matériau
composite ou en acier. Pour cette étude, nous avons supposé que la méthode de fixation
des plaques de renfort permettait le développement de la pleine capacité en traction du
renfort.
Le calcul du renforcement se divisait en trois parties principales. D'abord, il fallait évaluer
la résistance à l'effort tranchant de la poutre non renforcée afin de savoir si cette demière
avait besoin d'un renforcement. Ce premier calcul a été fait en utilisant la théorie du champ
de compression modifiée.
La deuxième étape consistait à calculer la quantité de renfort qu'il fallait ajouter à la poutre
de façon à accroître la résistance à l'effort tranchant à la valeur désirte. Pour ce faire,
l'effort tranchant a été séparé de la flexion et les équations ont été adaptées de la théorie du
champ de compression. De plus, afin d'éviter une rupture fiagile des plaques de d o r t , la
contrainte permise dans le matériau composite a été fïxk à une valeur infaeure a sa
contrainte de rupture en traction. Cette contrainte a été appelée " taux de travail " du
renfort.
Finalement, lorsque la zone renforcée en cisaillement était également sollicitée par de
grands efforts de flexion, il failait véxïfia l'interaction flexioncisaillernent et ajuster la
quantité de d o r t si nécessaire.
Une fois le modèle théorique développé, la méthode de calcul a été programmée. Puis, une
étude paramétrique a été réalisée afin de mettre en évidence les facteurs qui ont le plus
d'influence sur le renforcement.
6.2 R6sultats importants
Les résultats théoriques obtenus ont montré que la méthode de renforcement suggérée était
efficace, mais qu'il n'y avait pas d'avantages à opter pour l'acier comme matériau de renfort.
En effet, du point de vue de la quantité de renfort, les plaques en acier étaient plus
volumineuses que certaines plaques en matériau composite, et ce pour un même gain de
résistance. De plus, la ductilité des poutres renforcées avec des plaques d'acier était réduite
comparativement à ceIIe des poutres renforcées avec des matériaux composites.
En faisant l'étude paramétrique, deux conclusions importantes sont ressorties a propos de
l'inclinaison des plaques de renfort. D'abord, l'inclinaison des plaques de r d o r t ne devrait
pas être trop faible afin d'éviter qu'il y ait éclatement du béton dans les bielles. hiis, les
plaques de renfort les plus efficaces étaient perpendiculaires aux fissures. En pratique,
cependant, il y a deux facteurs B considérer dans le choix de l'inclinaison des plaques. Bien
sûr, l'efficacité du renfort est l'un de ceux-ci, mais il y a aussi la facilité avec laquelle les
plaques de r d o r t pourront être installées au chantier avec l'inclinaison choisie.
L'un des avantages des matkriaux composites est qu'il est possible d'obtenir les propriétés
mécaniques désirées en modifiant le type de fibres &/ou le volume de fibres dans la
matrice. Le choix de ces propriétés devrait être fait pour que l'efficacité du d o r t et la
ductilité de la poutre renforcée soient optirnaleç. Selon ce principe, le module élastique du
matériau de renfort devrait demeurer petit, à moins que le taux de travail du composite
puisse être augmenté de façon à pemiettre sufnsamrnent de déformation dans le renfort-
Lors du renforcement, la poutre est en semice. La valeur de I'eEort tranchant qui la
sollicite à ce moment, Var, est difficile à évaluer en pratique. mais elle est nécessaire pour
faire le calcul du renforcement. Les analyses réalisées durant ce projet ont démontré que la
valeur de Vmr avait peu d'impact sur le dimensionnanent du renfort, à condition que le
taux de travail dans le matériau composite demeure proportionnel au module élastique?
c'est-à-dire que le taux de travail du composite augmente si le module élastique augmente.
Il est important que la vérification de l'interaction flexion-cisaillement débute, elle aussi,
avec la valeur de l'effort tranchant VaL et non à partir d'un chargement nul. En effet,
lorsque les calculs débutaient à zéro et que les plaques de renfort étaient en acier, la poutre
renforcée n'atteignait pas la résistance à l'effort tranchant voulue, même dans les zones où
le moment de flexion était faible. Ce résultat est dii au fait que les plaques en acier, en
raison de leur grande rigidité, ne permettaient pas aux étriers de travailler à leur pleine
capacité. Au laboratoire, il faudrait donc procéder au renforcement des poutres lorsque
celles-ci sont sollicitées par la valeur de VWr qui aura été considérée au moment du
dimensionnement du renfort. La déformation des étriers serait alors plus représentative de
la réalité.
Finalement, les dimensions de la poutre à renforcer ont fait l'objet de l'étude paramétrique.
Les résultats ont démontré que le fait de doubler ou de tripler les dimensions de la section
ne changeait pas de façon significative l'aire des plaques de d o r t à ajouter. Il n'y a donc
pas d'effet d'échelle à considérer.
6.3 Recherche fatare
Lorsque les recommandations humefées cidessus sont appliquées, la méthode de
renforcement proposée permet dlaccroItre la résistance théorique à l'effort tranchant d'une
poutre en béton armé de façon efficace. En plus d'utiliser des plaques de tailles
relativement petites qui facilitent les opérations au chantier, cette méthode permet de
renforcer seulement les zones oii cela est nécessaire. Il y a donc lieu de continuer et de
favoriser les recherches clans cette voie.
D'abord, du côté expérimental, des essais en laboratoire devraient être réalisés dans le but
de vérifier ce modèle théorique et d'apporta les améliorations nécessaires. Cette
vérification devrait se faire à deux niveaux. D'une part, le montage expérimentai devrait
pouvoir vérifier le comportement d'une section de poutre renforcée lorsque celle-ci est
soumise à du cisaillement pur. Cette partie permettrait de vérifier la deuxième étape du
renforcement, c'est-à-dire la méthode de calcul proposée pour dimensionner le renfort.
D'autre part, les essais au laboratoire devraient permettre la vénfication du comportement
de la poutre renforcée a l'effort tranchant lorsqu'elle est sollicitée également en flexion
(troisiéme étape du renforcement). Comme mentionné plus haut, l'ajout des plaques de
renfort devrait être fait lorsque les poutres sont sollicitées par l'effort tranchant VmL.
D'autres améliorations pourraient être apportées au modèle théorique comme, par exemple,
la prise en compte du lien entre les plaques de renfort et le béton. Il serait alors possible
d'ajouter des états limites ultimes au modèle comme le décollement des plaques de renfort
ou I'ovalisation des trous causés par les ancrages.
Une autre possibilité serait de combiner le renforcement en flexion au renforcement en
cisaillement. Cette combinaison pourrait être réalisée tant du côté théorique
qu'expérimental.
Il faudrait également pousser plus à fond les recherches concernant la durabiiité des
matériaux composites lorsqu'ils sont soumis aux conditions extérieures de l'environnement.
Finalement, il serait aussi intéressant de réaliser des essais de renforcement lorsque les
poutres sont soumises à des charges cycliques puisque cette situation représente la réalité
dans le cas des pou- de pont.
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Cette annexe présente les différents algorithmes utilisés pour calculer le renforcement à I'e ffort
tranchant dune poutre en béton armé.
A.1 .4LGORITHME PRINCIPAL : Renforcement à l'effort tranchant
Cet algorithme exécute les trois principaies étapes du renforcement à partir des données d'entrée
qui sont:
: aire de l'armature de cisaillement
: largeur de l'aire effective en cisaillement
: hauteur de l'aire effective en cisaillement
: espacement des étriers
: position à p d r du centre de gravité de la section où NI est calculée
: position où la déformation E, est calculée pour évaluer V
: position du centre de gravité de la section à partir du bas de la section
: limite élastique des étriers
: limite élastique de l'armature longitudinale
: module élastique de l'acier
: résistance à la compression du béton
%v
d m
Sm
funi
Em ncacier
y,( 1 à ncacier)
As,( 1 a ncacier)
ncb
y,( l à ncb)
b,( 1 à ncb)
h(i à ncb)
Na*[
~ W I
d e l t a
: déformation du béton corr;espondant à f,
: module élastique du béton
: contrainte de fissuration du béton
: déformation correspondant à la fissuration du béton
: déformation correspondant à la rupture du béton en compression
: facteur utilisé pour le calcul de fi (éq. (2-8))
: facteur utilisé pour le calcul de fi (éq. (2-8))
: paramètre qui sert à calculer l'espacement des fissures diagonales,
: paramètre qui sert à calculer l'espacement des fissures diagonales, h e
: projection verticale de la longueur des plaques de renfort
: espacement des plaques de renfort
: contrainte maximale admissîble dans le matériau de renfort
: module élastique du matériau de renfort
: nombre total de couches d'acier
: position des couches d'acier B partir du bas de la section
: aire de chaque couche d'acier
: nombre total de couches de béton
: position des couches de béton à putir du bas de la section
: largeur de chaque couche de béton
: hauteur de chaque couche de béton
: effort axial appliqué
: moment de flexion appliqué
: différence tolérée entre N calculé et N appliqué
A.2 ÉTAPE 1: Réponse avant renforcement
La première étape évalue la résistance ultime à l'effort tranchant d'une poutre en béton armé non
renforcée. Ce calcul est fait en appliquant la théorie du champ de compression modifiée.
A 3 Procédure CalcuiJ
Cette procédure calcule I'effon tranchant, V. résisté par la poutre non renforcée à une étape " i "
du chargement-
A.4 Procédure Calcuî-N-M
Cette procédure permet de calculer l'effort axial sur la section, que celle-ci soit renforcée à l'aide
de plaques ou non. En plus, lorsqu'il s'agit de vérifier l'interaction flexion-cisaillement, cette
procédure détermine la courbure de la poutre pour que le moment de flexion soit égal au moment
de flexion appliqué.
.4.5 Procédure Contribution-beton
Cette procédure est appelée par la procédure Calcul-N-M et elle calcule la contribution du béton
à I'effort axial, NF, et au moment de flexion, MF. Dans cette procédure, ncb est le nombre total
de couches de béton dans la section.
A.6 Procédure Contnbution-acier
Cette procédure est aussi appelée par la procédure Calcul-N-M et elle calcule la contribution de
l'acier à I'effon axial, Np, et au moment de flexion, 4. La variable ncacier correspond au
nombre total de couches d'acier.
A 7 Procédure Divise-couche
Cette procédure est appelée par la procédure Contribution-béton et elle sert à calculer les efforts
dus aux sections planes dans une couche de béton, lorsque celle-ci est à la fois comprimée et
tendue ou tendue seulement.
A.B ÉTAPE 2 : Calcul ciri renfort
La deuxième étape consiste à calculer la quantité de renfort qu'il faut ajouter à la poutre de façon
a accroître sa résistance a l'effort tranchant à la valeur voulue. V,-.
A-9 Procédure Calcul-V-aprés_R
Cette procédure calcule l'effort tranchant, V, résisté par la poutre renforcée à une étape " i " du
chargement après le renforcement-
.4.10 ÉTAPE 3 : Interaction flexion-cisaillement
Cette étape calcule la réponse à l'effort tranchant de la poutre, lorsque la zone renforcée à l'effort
tranchant est également sollicitée par un moment de flexion. Elle permet donc de vérifier si la
quantité de renfort déteminée a la deuxième étape du renforcement demeure suffisante en tenant
compte de la flexion.
A.l ALGORITHME PRIIYCIPAL: Renforcement à l'effort tranchant
Données &
A 2 ETAPE 1 : Réponse avmt renforcement
i = l f i m d l ) = fc
&c (O) = O 9 ( 1 ) =4s
etrier = vrai
bielle = vrai
interaction = faux
compteurfi = 1
compteurN = 1
Tant que bielle et etrïer et compteurfi *
<IO0 et compteurN 1300 et i a00 v fin
CompteurN = 1
I
Calcul-V
compte& 1 1 00 fin
Calcul-NM I
Réponse avant renforcement (suite)
Tant que 1 N-N- 1 > deitaN
1
Modifier 8 ( i )
iterfk = vrai
fin compte& 1 1 O0
Réponse avant renforcement (suite)
Réduire E ( i )
Afficher résultats
Augmenter q ( i )
I
. . 1 = 1 + 1
0 ( i ) = 9 (i- 1 )
fvo (i) = 6- (1-1)
f2 ( i ) = f2 (i- 1 )
fax ( i ) = fhK ( i - l )
iterfi = vrai
I
1
iterfi = vrai compteurfv = 1
Tant que iterfv et
compteurfi 5 100 et bielle
fin
Calculer W , w7 vci, fiti), Vti)
f7(i) et fZmat(i) l fc
bielle = faux I
m n 1
i te f i = faux 1
1
compteurfi = compteurfv + 1
modifier f, I I
etrier = vrai W L
A 4 Procédure Calcul-N-M
iterM = vrai malong = vrai
zoneco = vrai compteurM = 1 I
compteurM I 300
fin
Contrib ution-beton k non Si zoneco = Mai
fin
Procédure Calcul-KM (suite)
oui I -v
N , ( i ) = - + f , (i)b,d, N,.(i) = - tane tan 6 t a e tma
Procédure Calcul-N-M (suite)
1 oui
iterM = faux
-
iterM = vrai
non
Modifier 4
iterM = faux I
A.5 Procédure Contribution-kton
Procédure Contribution-beton (suite)
A 6 Procédure Contribution-acier
nnn
A7 Procédure Divise-couche
I
Y, =(E, + b Y,)/# y- = -(&- - &J'( + y ,
sornhc = O
sornhous = O
somhc = somhci bu) L
r
non
somhsous = somhsous + h&j)
I
Procédure Divi-ouche (suite)
h = somhc - y,
Procédure Divise-couche (suite)
T oui I I
h = somhc - y, Y =Y=
h = somhc- somhsous
y = somhsous
Procédure Divise-couche (suite)
Pour j 4 à 1 1
A8 ÉTAPE 2 : Caicul du renfort
compteurAm = 1 9 = 0 interaction = faux
iterArn = vrai fhd ) = &L
v
compteurAm I I O
t
bielle = vrai 1 ) = &DL Fin
compteufl = 1 cd 1) = EIDL
compteurfi = 1 c d 1 ) = EXDL
plaque = vrai W ) = ~ L
l Calculer A, 1
Tant que plaque et bielle et i 1 300 et compteurN < 300 et compteurfi a 100
compteurN = 1 d
Si bielle et compteurfi < 100
Caicd du renfort (suite)
Modifier 8 e Augmenter et compteurN = 1
I I
Si bielle et 1 non
Calcul du d o r t (suite)
Si compteurN1300 non
iterft = vrai iterex = vrai
compteurAm = compteurAm + 1
Bh(cornpteurAm) = B(i- 1 )
iterAm = Mai
Calculer A,
IterAm = faux
1 I
A9 Procédure Cilcul-V-aprés_R
compteurfv 5 100 et bielle
Tant que iterex et bielle
non
I bielle = faux
1
Calculer ~ ~ ( i ) , ~ ( i ) I
iterex = vrai iterex = faux
Procédure Calcul-V-après - R (suite)
non v 1
iterfv = faux
compteurfi = compteurfk + l
modifier f,
I
non
LI O ÉTAPE 3 : kteraction flexion-cimement
i = l zoneco = vrai 8( 1 ) = % compteurM = 1
interaction = vrai ~ ~ ( 1 ) = f2( 1 ) = 0 compteurhl = 1
bielle = vrai ~ ~ ( 1 ) = &<<DL f-(l) = 30 compteurfi = 1
armalong = vrai f,,( 1 = Cor
plaque = vrai @ = le-7
Tant que plaque et bielle et armalong et
zoneco et compte& _< 100 et
compteurN1300 et compteurM1300 et iG00 ( Fin )
Interaction flexion-cisaillement (suite)
Modifier 0 0
I Augmenter E, et compteurN = 1 I
Si bielle et compteurfv I 1 00
interaction flexioncisaillement (suite)
iterfb = vrai iterex = Mai
l MAGE EVALUATION TEST TARGET (QA-3)
APPLIED IMAGE. lnc - = 1653 East Main Sîreet - -. - - Rochester. NY 14609 USA -- -- - - F'horte: 71ôi4829300 -- -- - - Fax: 716i2û8-5989