SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANGTRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN TIỀN GIANG

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: THẦY ĐỖ KIM SƠN

NHÓM THỰC HIỆN:NGUYỄN ĐÌNH THUNGUYỄN MINH TÂMLÊ TRUNG HIẾUĐỖ QUANG BÌNHTRẦN ANH KIỆTLÊ MẠNH THÔNG

LỚP 10 TOÁN NĂM HỌC 2008-2009

1

LỜI NÓI ĐẦUPhương trình vô tỷ là một đề tài ly thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người

nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, y tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy.

Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cánh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở các cấp THCS, THPT. Chính vì thế, chúng tôi quyết tâm sưu tầm tài liệu, chọn lọc chi tiết và dưới sự hướng dẫn, dìu dắt của quy thầy cô bộ môn Toán trường THPT Chuyên Tiền Giang, chúng tôi biên sọan chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ” này để mọi người có cái nhìn tổng quát về phương trình vô tỷ. Cụ thể là:

Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng giải phương trình vô tỷ. Cung cấp tài liệu và kỹ năng giải phương trình vô tỷ. Đặc biệt là để kỉ niệm ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11; chúng tôi muốn dành

chuyên đề“ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ” kính tặng quy thầy cô; kính chúc thầy cô luôn dồi dào sức khỏe, nhiều may mắn và thành công trong cuộc sống.Chúng tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và

giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các phương trình vô tỷ.Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề có thể còn một vài thiếu sót. Chúng tôi luôn biết ơn khi nhận được những y kiến đóng góp quy báu và sự thông cảm!

Cuối cùng chúng tôi xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn và quy thầy cô đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi hoàn thành chuyên đề này.

CÁC HỌC SINH LỚP TOÁN KHÓA 2008- 2011

TRANG

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 4

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 9

III. PHƯƠNG PHÁP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 32

IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 37

V. PHƯƠNG PHÁP BÂT ĐĂNG THƯC 49

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn

và ta sử dụng phép thế : ta được phương trình :

b) Ví dụ Bai 1. Giải phương trình sau:

(1) Giải: Đk:

Vậy tập nghiệm của phương trình là Bai 2. Giải phương trình sau:

Giải: 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

a) Phương pháp Với một số phương trình ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình

luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình

hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình

để ta có thể đánh gía vô nghiệm

b) Ví dụ Bai 1 . Giải phương trình sau :

Giải: Ta nhận thấy :

Ta có thể chuyển vế rồi trục căn thức 2 vế :

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Bai 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :

Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách các số hạng như sau :

Dễ dàng chứng minh được :

Bai 3. Giải phương trình :

Giải: Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

Ta chứng minh :

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=32.2. Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà :

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :

, khi đó ta có hệ:

b) Ví dụ Bai 4. Giải phương trình sau :Giải:Ta thấy :

không phải là nghiệm Xét

Trục căn thức ta có :

Vậy ta có hệ:

Vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=

Bai 5. Giải phương trình :

Ta thấy : , ( không có dấu hiệu trên ).

Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn

3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng các đẳng thức

Bai 1. Giải phương trình :

Giải:

Bai 2. Giải phương trình : Giải:+ , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x:

Bai 3. Giải phương trình: Giải: Đk

pt

Bai 4. Giải phương trình :

Giải: Đk:

Chia cả hai vế cho :

Dùng hằng đẳng thức

Biến đổi phương trình về dạng :

Bai 1. Giải phương trình : Giải:Đk: khi đó pt đã cho tương đương:

Bai 2. Giải phương trình sau :Giải:Đk: phương trình tương đương :

Bai 3. Giải phương trình sau :

Giải: pt

Bai tập đề nghịGiải các phương trình sau :

1)

2) (HSG Toàn Quốc 2002)

3)

4)5)6) (OLYMPIC 30/4-2007)

7)8)9)

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt và chú y điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến

quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn

thường là những phương trình dễ .

Bài 1. Giải phương trình: Giải:Đk: Nhận xét.

Đặt thì phương trình có dạng:

Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải

Điều kiện:

Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:

Ta tìm được bốn nghiệm là:

Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện:

Đặt thì phương trình trở thành: ( với

Từ đó ta tìm được các giá trị của

Bai 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :

Giải: đk Đặt pttt

Bai 5. Giải phương trình sau :

Giải:Điều kiện:

Chia cả hai vế cho x ta nhận được:

Đặt , ta giải được.

Bai 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:

Đặt t= , Ta có :

Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách

Xét phương trình trở thành :

thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

a) Phương trình dạng :

Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu

Xuất phát từ đẳng thức :

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như :

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”

Bai 1. Giải phương trình :

Giải: Đặt

phương trình trở thành :

Tìm được:

Bai 2. Giải phương trình :

Bai 3: giải phương trình sau :Giải: Đk:

Nhận xét : Ta viết

Đồng nhất thức ta được

Đặt , ta được:

Nghiệm :

Bai 4. Giải phương trình :

Giải:

Nhận xét : Đặt ta biến pt trình về dạng phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

Pt có nghiệm :

b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng

nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.Bai 1. Giải phương trình : Giải:

Ta đặt : khi đó phương trình trở thành :

Bai 2.Giải phương trình sau : Giải

Đk . Bình phương 2 vế ta có :

Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ :

Do .

Bai 3. giải phương trình : Giải:

Đk . Chuyển vế bình phương ta được:

Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt

.

Nhưng may mắn ta có :

Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Các bạn hãy tự tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoan toan Từ những phương trình tích ,

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .

Bai 1. Giải phương trình :

Giải:

, ta có:

Bai 2. Giải phương trình : Giải:Đặt :

Khi đó phương trình trở thành : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t :

Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bai 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pt trở thành (1)

Ta rút thay vào thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t

không có dạng bình phương .

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo

Cụ thể như sau : thay vào pt (1)Bai 4. Giải phương trình: Giải:

Bình phương 2 vế phương trình:

Ta đặt : . Ta được:

Ta phải tách làm sao cho có dạng số chính phương .

Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

Xuất phát từ đẳng thức , Ta có

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .

Bai 1. Giải phương trình :

Giải : , ta có : , giải hệ

ta được:

Bai 2. Giải phương trình sau :

Giải . Ta đặt : , khi đó ta có :

Bai 3. Giải các phương trình sau 1)

2)

Bai tập đề nghị Giải các phương trình sau

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

Bai tập tổng hợp:1/ (1)a/ Giải phương trình n = 2 b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm: 2/ a/ Giải phương trình với m = 23b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Bài tập tương tự:3/ 4/ 5/ 6/ 7/ Tìm m để, phương trình sau có nghiệm

8/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

9/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Giải các phương trình sau:

10/

11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/

20/ (1)

21/ 22/ 23/

24/

25/ 25/ 26/ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình sau có nghiệm:

Bài tập tương tự:

27/

28/

29/

30/

31/

32/ (Đặt y = > 0)

33/ (1)34/ (1)

35/

36/ 37/ 38/ 39/ 41/

42/

GIẢI BÀI TẬP TỔNG HỢP

1/ (1)a/ Giải phương trình n = 2

b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm: Điều kiện

Đặt ẩn phụ Khi đó Hay (2)a/ Với n = 2 và ẩn phụ t, phương trình (1) trở thành.

Dễ thấy t1 = 0 không thoả (2). Thay t2 = 2 vào (2) được , thoả điều kiện ban đầu.

b/ Đặt ẩn phụ t như trên, phương trình (1) trở thành:

+ thì phương trình có nghiệm

Để phương trình có nghiệm thì (theo công thức tổng quát ở trên). Với t2 không thoả mãn. Với t1 có

Điều kiện này bảo đảm phương trình (2) có nghiệm x. Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2/ a/ Giải phương trình với m = 23b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Điều kiện Đặt ẩn phụ . Khi đó x = t2 + 9Phương trình đã cho trở thành:

a/ Với m = 23 có:

Giải ra ta được t1 = 8, t2 = 4, t3 = 2 nên phương trình có 3 nghiệm là x1 = 73, x2 = 25, x3 = 13.b/ Với t ≥ 3 thì t2 – 12t + 9 + m = 0

Phương trình này có nghiệm khi 18 < m ≤ 27Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 27.

20/ (1)

Điều kiện x2 – 1 > 0, x > 0 x > 1 Bình phương 2 vế của (1), ta có:

(2)

Đặt , với t > 0, ta có

(2) (2)Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu.

+ Với

(4)Đặt . Ta có

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm:

Vậy nghiệm của phương trình là

21/ Đặt y = x + a, z = x – a Nhân lượng liên hiệp

(Chọn)

(Loại)

Lập phương 2 vế phương trình ta được- yz = a2

x = 0 (thử lại thoả)Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 022/

Đặt

Đặt t = uv

Với t = 15 x = 4Với t = 113 x = 548Thử lại ta thấy tập nghiêm của phương trình là 23/ Điều kiện-1 ≤ x ≤ 1 Đặt , với u, v > 0

Phương trình đã cho trở thành

Thử lại ta thấu tập nghiệp của phương trình đã cho là

24/

Điều kiện

Đặt và t ≠ 1Phương trình đã cho trở thành:

Với

Thử lại ta thấy tập nghiệm của phương trình là

25/ Đặt , với x ≥ -1, u > 0Phương trình đã cho trở thànhU2 – u – 20 = 0

Do đó(*)

(**)Từ (*) và (**)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3}26/ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình sau có nghiệm:

Với điều kiện

Đặt

Nếu x > 3 và y ≤ 0 nếu x ≤ -1

Phương trình đã cho

(1)

Trở thành y2 + 3y – (a – 1)(a + 2) = 0

Do đó

(Loại)

(Chọn)

(Loại)

Xét phương trình

(3)

y = 0 x = -1 y > 0 x > 3 y < 0 x < -1

a/ Xét khả năng y > 0 với x ≥ 3, ta có: = y2 x2 – 2x – 3 – y2 = 0 (4)

Phương trình (4) có 2 nghiệm trái dấu

b/ Xét khả năng y ≤ 0 với x ≤ -1Giải được nghiệm (thoả)Do đó ta có:

Với y = a – 1, ta có a > 1: Phương trình (1) có nghiệm:

a ≤ 1: Phương trình (1) có nghiệm: Với y = - a – 2 , ta có: a < -2: Phương trình (1) có nghiệm: a ≥ -2: Phương trình (1) có nghiệm:

Ta suy ra: Nếu a < -2: (1) có 2 nghiệm là:

Nếu a = -2 : (1) có 2 nghiệm là: Nếu -2 < a < 1: (1) có 2 nghiệm là: Nếu a = 1: (1) có 2 nghiệm là: Nếu a > 1: (1) có 2 nghiệm là:

Vậy phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm

28/

Với điều kiện 5x + 2 ≠ 0

Đặt Phương trình đã cho

(Chọn)(Loại)

(1)

Trở thành

Do đó ta có:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

33/ (1)Điều kiện: 1 + x3 ≥ 0

Mà x2 – x + 1 > 0, nên điều kiện đó tương đương với x + 1 ≥ 0. Đặt . Phương trình (1) trở thành 5uv – 2(u2 + v2)

Với , phương trình (1) vô nghiệm

Với thì

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

* Những bài toán dạng trên được giải bằng phương pháp đưa về ẩn phụ. Nhưng cũng là biến đổi phương trình phức tạp thành đơn giản. Để mở rộng phương trình trên ta xét thêm phần mở rộng của phương pháp đặt ẩn phụ.

Đưa về hệ phương trình:34/ (1)Với điều kiện:

Đặt Với v > u ≥ 0

Phương trình (1) trở thành u + v = 0 Ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

35/

Điều kiện:

(*)

Vớu điều kiện (*),đặt , với u ≥ 0,

Ta có:

Do dó ta có hệ

u và v là nghiệm của phương trình

(b) vô nghiệm (a) có 2 nghiệm

Do đó:

Vì u ≥ 0 nên ta chọn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

36/ Với điều kiện

(*)

Đặt , với u ≥ 0, v ≥ 0

Suy ra

Phương trình đã cho tương đương với hệ:

Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:

(1) Với S = 4, P = 3u và v là nghiệm của phương trình:

Do đó ta có:

Suy ra

thoả (*)(2) Với S = 4, P = 29 không tồn tại u và vVậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là

37/ Đặt và , phương trình đã cho tương đương với hệ

(*)

Ta có:

Đặt S = u + vP = u.v

Ta có: Do đó ta có: (*)

(1) Với

Ta có

Do dó ta có: (2) Với Ta có < 0. vô nghiệmVậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là

38/

Đặt

Ta có hệ:

Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình39/ Đặt u = x3 + x2

Do dó x3 + x2 – 2 = 0

Thử lại ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho.40/

(1)Điều kiện Đặt

Ta có hệ:

a. Nếu x + 1 = 0

b. Nếu x – t + 1 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là

31

11

xxv

xu

loại

thoả

thoả

loại

41/ Đặt với u > v ≥ 0Với điều kiện

(*)

Phương trình đã cho (1)Tương đương với hệ

42/

Điều kiện Đặt . Ta có:

(*)

Từ (*)

a. Xét xy = 1 so y > 0 nên x > 0Ta có: Ta có xy = 1 và x + y = 2 nên x, y là nghiệm của phương trình x2 – 2x + 1 = 0

b. Xét xy = - . Tương tự ta được x =

Vậy phương trình có tập nghiệm là

III. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v

Bai 1. Giải phương trình:

Đặt

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta

tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là

Bai 2. Giải phương trình:

Điều kiện:

Đặt

Ta đưa về hệ phương trình sau:

Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm

nghiệm của phương trình.Bai 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:

Vậy

Bài 4. Giải phương trình:

GiảiĐiều kiện: Đặt .

Khi đó ta được hệ phương trình:

2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc

giải hệ này thì đơn giản Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình :

Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây

dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương

trình :

Tương tự cho bậc cao hơn :

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng: v đặt để đưa về hệ , chú y về dấu

của Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng

là chọn được.

Bai 1. Giải phương trình:

Điều kiện:

Ta có phương trình được viết lại là:

Đặt thì ta đưa về hệ sau:

Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: