s teste de hipótese distribuição desconhecida e/ou parâmetros desconhecidos

S

Teste de HipóteseTeste de Hipótese

distribuição desconhecidae/ou

parâmetros desconhecidos

S


amostra

inferir certas características da população

distribuição desconhecidae/ou

parâmetros desconhecidos

Xestimar

2estimars2

pestimarp̂

1 2X Xestimar

1 2

Intervalode

Confiança


S

amostra

= 100

107,56X

Uma população com média = 100 conhecida poderia produzir uma amostra com média ?107,56X

Hipóteses H0 : = 100 H1: 100

Xz

n

Se H0 é verdadeira, então

100~ (0,1)

Xz N

n

(hipótese nula)(hipótese alternativa)

~ (0,1)N

z >>> 0Se H0 falsa

Teste de HipóteseTeste de HipóteseHipóteses H0 : = 100 H1: 100

~ (0,1)X

z N

n


100~ (0,1)

Xz N

n

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

(0,1)N

zcrít-zcrít

2

2

1

z = 0Se H0 verdadeira

z <<< 0Se H0 falsa

aceitaçãode H0

rejeiçãode H0

rejeiçãode H0

Região Crítica:

•aceito H0 se –zcrít < z < zcrít P(–zcrít < z < zcrít) = 1 - •rejeito H0 caso contrário P(|z| > zcrít) =

Conclusão (sempre associada a um nível de significância)

Teste de HipóteseTeste de HipóteseHipóteses H0 : = 100 H1: > 100 (teste unilateral)

~ (0,1)X

z N

n


100~ (0,1)

Xz N

n

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

(0,1)N

zcrít

1

aceitaçãode H0

rejeiçãode H0

Região Crítica:

•aceito H0 se z < zcrít P(z < zcrít) = 1 - •rejeito H0 caso contrário P(z > zcrít) =

Conclusão (sempre associada a um nível de significância)

Teste de Hipótese – Erros I e IITeste de Hipótese – Erros I e IIHipóteses H0 : = 0

H1: > 0

Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média 0 e obter alto de forma que leve a conclusão errada de que H0 é falsa?

X

Sim. Este erro é chamado de erro do tipo I e equivale ao nível de significância .

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

2

0( , )Nn

1

crítX

P(rejeitar H0 / H0 é verdadeira) = P(aceitar H0 / H0 é verdadeira) = 1 -

0Xz

n

0crítcrít

Xz

n

0crít crítX zn


H1: > 0

Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média 1 (> 0) e obter de forma que leve a conclusão errada de que H0 é verdadeira?

X

Sim. Este erro é chamado de erro do tipo II ou erro .

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- 0

2

0( , )Nn

1

crítX

P(aceitar H0 / H1 é verdadeira) = P(rejeitar H0 / H1 é verdadeira) = 1 - (poder do

teste)

+1

2

1( , )Nn

aceitaçãode H0


H1: > 0

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- 0

2

0( , )Nn

1

crítX +1

2

1( , )Nn

H0 é verd. H0 é falso

Aceita H0

Rejeita H0

1 -

1 -

Alternativas para diminuir :

• distanciar 1 de 0

• aumentar • aumentar n

Aceito H0, ou seja, a nova técnica não melhora significativamente (a 1%) a tensão de ruptura

Teste de HipóteseTeste de HipóteseExemplo: A tensão de ruptura de cabos produzidos por um fabricante

apresenta média () de 1800 kg e desvio padrão () de 100 kg. Mediante nova técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar essa declaração, selecionou-se uma amostra de 50 cabos, chegando-se a uma média amostral de 1830 kg. Pode-se confirmar a declaração ao nível de significância de 1%?H0 : = 1800H1: > 1800

~ (0,1)X

z N

n


1800~ (0,1)

Xz N

n

1830 18002,12

100

50

z

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

(0,1)N

1%

99%

zcrít = ?2,33

aceito H0 se z < 2,33rejeito H0 se z > 2,33

Conclusão:Aceito H0

Teste de HipóteseTeste de HipóteseExemplo: Usando o mesmo exemplo anterior, calcule a probabilidade de

se aceitar H0 ( = 1800), para o caso da verdadeira média ser 1850 kg.

H0 : = 1800H1: = 1850

( 2,33/ 1850)P Z

= P(aceitar H0 / H1 é verdadeiro)

1800( 2,33/ 1850)

100

50

XP

( 1832,95/ 1850)P X 0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- 1800

1%

99%

H0

1832,95

H1

+1850

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

(0,1)N

1%

99%

zcrít = ?2,33

1850 1832,95 1850( )

100 100

50 50

XP

( 1,21)P Z ( 1,21)P Z 0,5 0,3869 0,1131

Teste de Hipótese – valor-P (Teste de Hipótese – valor-P (p-valuep-value))Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de

significância.Por exemplo: “Com base num teste z unilateral, pôde-se concluir que as

médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5 (zcrítico = 1,645)”.

As médias 1 e 2 continuariam ser significativamente diferentes caso fosse adotado um nível de significância de 1%?

2,5

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

(0,1)N

5%

95%

1,645

Aceita H0 Rejeita H0

H0 : 1 - 2 = 0H1: 1 - 2 > 0

1 2

2 21 2

1 2

~ (0,1)

2,5

X Xz N

n n

z


1 2 1 2

2 21 2

1 2

~ (0,1)X X

z N

n n



médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5”.

As médias 1 e 2 continuariam ser significativamente diferentes caso fosse adotado um nível de significância de 1%?

2,5

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

(0,1)N

1%

99%

2,33


H0 : 1 - 2 = 0H1: 1 - 2 > 0


SimPara que valores de nível de significância, as médias 1 e 2 poderiam ser

consideradas iguais?

1 2

2 21 2

1 2

~ (0,1)

2,5

X Xz N

n n

z



médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5”.

2,5

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20- +0

(0,1)N


H0 : 1 - 2 = 0H1: 1 - 2 > 0


Para que valores de nível de significância, as médias 1 e 2 poderiam ser consideradas iguais?

?0,0062

Pode-se aceitar H0 para qualquer nível de significância () menor que 0,0062.

valor-P1 2

2 21 2

1 2

~ (0,1)

2,5

X Xz N

n n

z

Teste de Hipótese – valor-P (Teste de Hipótese – valor-P (p-valuep-value))Exemplo: Foram coletadas amostras (50 pontos) em mapas a fim de

avaliar sua exatidão. Procedeu-se o teste z para verificar quais deles possuíam exatidão (p) de 0,90. A tabela abaixo apresenta a exatidão estimada, o resultado do teste (estatística z) e o valor-P de cada mapa.

z valor-P

Mapa 1 0,87 -0,707 0,2397

Mapa 2 0,62 -6,600 2,07e-11

Mapa 3 0,82 -1,886 0,0297

Mapa 4 0,84 -1,414 0,0786

p̂

Quais mapas possuem exatidão menor que 0,90, com 5% de significância?

Quais mapas possuem exatidão menor que 0,90, com 1% de significância?

Mapas 2 e 3

Somente Mapa 2

p̂ pz

pqn

Teste de Hipótese (resumo)Teste de Hipótese (resumo)X

z

n

Xt

s

n

22

2

( 1)n s

2 21 22 22 1

sF

s

p̂ pz

pqn

para (0,1)N

1nt

se 2 é conhecida

se 2 é desconhecida

para 2 2

1n

para 1 21, 1n nF

2122

para p (0,1)N

para p1 – p2 (0,1)N

para 1 - 2

se e são conhecidas

se e são desconhecidas, mas

21 2

2

21 2

2 2 21 2

(0,1)N

1 2 2n nt

gt se e são desconhecidas, mas21 2

2 2 21 2

1 2 1 2

2 21 2

1 2

( ) ( )X Xz

n n

1 2 1 2homo 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

( ) ( )

( 1) ( 1) 1 1

2

X Xt

n s n s

n n n n

1 2 1 2hetero 2 2

1 2

1 2

( ) ( )X Xt

s s

n n

21

2211 ˆˆˆ

nn

pnpnp

1 2 1 2

1 2

ˆ ˆ( ) ( )

1 1ˆ ˆ

p p p pz

pqn n

Teste t pareadoTeste t pareado10 pontos são escolhidos em cada imagem

Imagem A Imagem B

Esq

uem

a 1

Esq

uem

a 2

amostra A B1 12 15

2 34 17

3 16 21

4 28 27

5 15 25

6 17 32

7 23 15

8 13 19

9 29 29

10 31 30

amostra A B1 12 11

2 34 37

3 16 18

4 28 28

5 15 18

6 17 19

7 23 24

8 13 15

9 29 32

10 31 33

Teste t pareadoTeste t pareadoEsq

uem

a 1

Esq

uem

a 2

amostra A B1 12 15

2 34 17

3 16 21

4 28 27

5 15 25

6 17 32

7 23 15

8 13 19

9 29 29

10 31 30

amostra A B1 12 11

2 34 37

3 16 18

4 28 28

5 15 18

6 17 19

7 23 24

8 13 15

9 29 32

10 31 33

2

2

21,8 66,84

23,0 41,11A A

B B

X s

X s

1,63calcF

0,35calct

2 2A B (Ac. H0 a 5%)

A B (Ac. H0 a 5%)

Teste t

2

2

21,8 66,84

23,5 74,94A A

B B

X s

X s

0,89calcF (valor-P = 0,57)

0,43calct (valor-P = 0,34)

2 2A B (Ac. H0 a 5%)

A B (Ac. H0 a 5%)

Teste t

2

1, 12

22 2

~

~( 1) ( 1)1 1

2

A B

A B

Acalc n n

B

A Bcalc n n

A A B B

A B A B

sF F

s

X Xt t

n s n sn n n n

Se H0 verdadeiro

H0 : A = B

H1: A > B

H0 : A = B

H1: A < B

(valor-P = 0,24)

(valor-P = 0,37)

Teste t pareadoTeste t pareadoEsq

uem

a 1

Esq

uem

a 2

amostra A B1 12 15

2 34 17

3 16 21

4 28 27

5 15 25

6 17 32

7 23 15

8 13 19

9 29 29

10 31 30

amostra A B A-B1 12 11 1

2 34 37 -3

3 16 18 -2

4 28 28 0

5 15 18 -3

6 17 19 -2

7 23 24 -1

8 13 15 -2

9 29 32 -3

10 31 33 -2

2

2

21,8 66,84

23,0 41,11A A

B B

X s

X s

1,63calcF (valor-P = 0,24)

0,35calct (valor-P = 0,37)

2 2A B (Ac. H0 a 5%)

A B (Ac. H0 a 5%)

Teste t

Teste t pareado21,7 1,79A B A BX s

H0 : A-B = 0H1: A-B < 0

1~A Bcalc n

A B

Xt t

s

n

Se H0 verdadeiro4,02calct

(valor-P = 0,0015)

0A B (Rej. H0 a 5%)

s teste de hipótese distribuição desconhecida e/ou parâmetros desconhecidos

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