ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES

DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Espacios Vectoriales y

Transformaciones

lineales

OBJETIVOS

Definir espacios vectoriales

Reconocer los axiomas de un Espacio Vectorial

Reconocer cuando un conjunto es la base de un

Espacio Vectorial

Definir una Transformación Lineal

Identificar a las Transformaciones Lineales

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas de contexto real

Espacios Vectoriales

Un Espacio Vectorial es un conjunto no vacío 𝑉 de objetos,

llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones,

llamadas adición y multiplicación por un escalar (números

reales), sujeta a diez axiomas (o reglas)

Adición: +:𝑽 × 𝑽 → 𝑽

A cada par 𝒖; 𝒗 ∈ 𝑽 × 𝑽 se le

asocia otro vector 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑽

Multiplicación por un escalar:

⋅∶ ℝ × 𝑽 → 𝑽

A cada par 𝜶; 𝒗 ∈ ℝ × 𝑽 se le

asocia otro vector 𝜶 𝒗 ∈ 𝑽

Axiomas de un Espacio Vectorial

Adición

1.- Conmutatividad: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉.

2.- Asociatividad: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 ; ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉

3.- Elemento neutro: Existe un vector 0 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + 0 = 0 + 𝑢 = 𝑢, ∀ 𝑢 ∈ 𝑉.

4.- Elemento opuesto: Para cualquier 𝒖 ∈ 𝑽, existe un −𝒖 ∈ 𝑽 tal que

∀𝑢 ∈ 𝑉 existe − 𝑢 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + −𝑢 = −𝑢 + 𝑢 = 0

Axiomas de un Espacio Vectorial:

Producto por un escalar

5.- Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Para 𝒖 ∈ 𝑽 y 𝜶,𝜷 ∈ ℝ se cumple: 𝜶 𝜷𝒖 = 𝜶𝜷 𝒖

6.- Primera ley distributiva: Para 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 y 𝜶 ∈ ℝ se cumple:

𝜶 𝒖 + 𝒗 = 𝜶𝒖 + 𝜶𝒗

7.- Segunda ley distributiva: Para 𝒖 ∈ 𝑽 y 𝜶,𝜷 ∈ ℝ se cumple:

𝜶 + 𝜷 𝒖 = 𝜶𝒖 + 𝜷𝒖.

8.- Para cada vector 𝒖 ∈ 𝑽 se cumple

1. 𝑢 = 𝑢

Ejemplo 1

El conjunto de 𝑛 − uplas de números reales:

ℝ𝑛 = *𝑥 = 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 = 𝑥𝑖 1≤𝑖≤𝑛: 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛+

Con las operaciones:

𝑥 + 𝑦 = (𝑥1 + 𝑦1; 𝑥2 + 𝑦2; … ; 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) 𝛼𝑥 = (𝛼𝑥1; 𝛼𝑥2; … ; 𝛼𝑥𝑛)

es un espacio vectorial real.

Solución: 𝑩(−𝟑; 𝟐; 𝟒)

𝑨(𝟐; 𝟏; 𝟑)

𝒚

𝒙

𝒛

𝑨(𝟐; 𝟏; 𝟑) y B(−𝟑; 𝟐; 𝟒) son vectores

en ℝ𝟑

Ejemplo 2

El conjunto de matrices reales de orden 𝑛 × 𝑚:

ℳ𝑛×𝑚(ℝ) = *𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑛1≤𝑗≤𝑚, 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚+

con las operaciones: suma de matrices y producto por

números reales, es un espacio vectorial real

Solución:

Por ejemplo las matrices

𝑨 =−𝟏 𝟐 𝟎𝟎 𝟑 𝟐

y 𝑩 = 𝟎 𝟏𝟏

𝟐

𝟎 𝟎 𝟏

son vectores en ℳ𝟐×𝟑 ℝ

Ejemplo 3

El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales

en la variable 𝑥:

𝑃(ℝ) = 𝑎𝑘𝑥𝑘:

𝑛

𝑘=0

𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑘 ∈ ℝ

Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y

producto de un polinomio por un escalar.

Solución: Por ejemplo los polinomios

𝑷 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y

𝑸 𝒙 = 𝟐𝒙𝟓 − 𝟖𝒙𝟒 − 𝟏𝟖𝒙𝟑 + 𝟔𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝟔𝒙 − 𝟗𝟔

son vectores en 𝑷 ℝ 𝒙

𝒚

Ejemplo 4

El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales

en la variable 𝑥 de grado menor o igual a 𝒓 ∈ ℕ

𝑃𝒓 ℝ = 𝑷 𝒙 = 𝒂𝒌𝒙𝒌

𝒏

𝒌=𝟏

𝒏 ∈ ℕ ∪ 𝟎 ;𝒏 ≤ 𝒓; 𝒂𝒌 ∈ ℝ

Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y

producto de un polinomio por un escalar.

Solución:

Ejemplo 5

El conjunto de todas las funciones reales de variable real

cuyo dominio es el intervalo 𝒂; 𝒃

𝑭 𝒂; 𝒃 = 𝒇: 𝒂; 𝒃 → ℝ 𝒇 𝐞𝐬 𝐮𝐧𝐚𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐨𝐧 𝐝𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨 𝒂; 𝒃

Con las operaciones usuales de adición de funciones y

multiplicación de una función por un escalar

Solución:

Por ejemplo las funciones mostradas

son vectores en el espacio 𝑪 𝟎; 𝟏

𝒙

𝒚

Ejercicio 1

Considere los vectores 𝒖 = 𝟏; 𝟐;−𝟏 y 𝒗 = 𝟐; 𝟎; 𝟑 .

Demuestre que el conjunto

𝑨 = 𝒕𝒖 + 𝒔𝒗 𝒕, 𝒔 ∈ ℝ ⊂ ℝ𝟑

Es un espacio vectorial con las operaciones usuales de ℝ𝟑

Solución:

Combinación lineal

Sea 𝑉 un espacio vectorial. Se dice que 𝑣 ∈ 𝑉 es combinación

lineal de los vectores 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣𝑛 ⊂ 𝑉, si existen escalares

𝛼1; 𝛼2; … ; 𝛼𝑛, tal que

𝑣 = 𝛼𝑖𝑣𝑖

𝑛

𝑖=1

Por ejemplo en ℝ𝟑 el vector 𝒗 = 𝟏; 𝟐;−𝟑 es una combinación

lineal de los vectores 𝒊 = 𝟏; 𝟎; 𝟎 ; 𝐣 = (𝟎; 𝟏; 𝟎) y 𝒌 = (𝟎; 𝟎; 𝟏) pues

𝒗 = 𝟏 𝒊 + 𝟐 𝒋 + −𝟑 𝒌

Ejemplo 1

Exprese el vector 𝒗 = 𝟏; 𝟐; 𝟑 como una combinación lineal

de los vectores 𝒗𝟏 = 𝟏; 𝟏; 𝟏 ; 𝒗𝟐 = 𝟐; 𝟒; 𝟎 y 𝒗𝟑 = 𝟎; 𝟎; 𝟏

Solución:

Ejemplo 2

Exprese la matriz 𝑨 =−𝟏 𝟎𝟐 𝟒

como una combinación lineal

de las matrices 𝑨𝟏 =𝟏 𝟏𝟐 𝟐

y 𝑨𝟐 =𝟑 𝟐𝟑 𝟓

Solución:

Ejemplo 3

En el espacio 𝑭 𝟎; 𝟏 exprese el vector 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟑; 𝒙 ∈ 𝟎; 𝟏

como una combinación lineal de los vectores mostrados en

la figura adjunta

𝒙

𝒚 Solución:

Dependencia e independencia lineal de

vectores

Sea 𝑉 un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de

vectores 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣𝑛 ⊂ 𝑉, es linealmente dependiente (L.D) si

y sólo si existen escalares 𝛼1; 𝛼2; … ; 𝛼𝑛, con algún 𝛼𝑖 ≠ 0, tales

que:

𝛼𝑖𝑣𝑖 = 0

𝑛

𝑖=1

En caso contrario, se dice que el conjunto 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣𝑛 es

linealmente independiente (L.I)

Observación

Para estudiar si un conjunto de vectores 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣𝑛 , es

linealmente dependiente o independiente, se plantea la

ecuación:

𝛼𝑖𝑣𝑖 = 0

𝑛

𝑖=1

y se estudian sus soluciones.

𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟏

Si admite alguna solución no nula (𝛼𝑖 ≠ 0 para algún 𝑖 ), entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Si admite sólo solución nula (𝛼𝑖 = 0 para todo 𝑖), entonces el

conjunto de vectores es linealmente independiente.

𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟐

Ejemplo 1

Analice si los vectores 𝑣1 = 1; 0;−1; 2 , 𝑣2 = 1; 1; 0; 1 y

𝑣3 = 2; 1;−1; 1 son linealmente independientes en el espacio

ℝ𝟒.

Solución:

Ejemplo 2

Solución:

Analice si los vectores 𝑣1 = 3; 3; 4 , 𝑣2 = 4; 1;−2 y 𝑣3 =−3; 1; 5 son linealmente independientes en el espacio ℝ𝟑.

Ejercicio 1

Determine si el siguiente conjunto de funciones en 𝑃2 es

linealmente independiente o dependiente.

𝑆 = 1 + 𝑥 − 2𝑥2, 2 + 5𝑥 − 𝑥2, 𝑥 + 𝑥2 Solución:

Ejercicio 2

Determine si el siguiente conjunto:

𝑆 = 𝑒2𝑥; 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 ; 𝑥2

es linealmente independiente o dependiente en el espacio de

funciones 𝑭 −𝝅;𝝅

Solución:

Conjunto generador de un espacio

vectorial

Sea 𝑽 un espacio vectorial y S = 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣𝑛 ⊂ 𝑽. El

conjunto 𝑆 se denomina conjunto generador de 𝑉 si todo

vector en 𝑉 puede expresarse como una combinación lineal de

vectores en 𝑆. En estos casos se dice que 𝑆 genera a 𝑉.

Ejemplo 1

Demuestre que los vectores generan el espacio vectorial

dado.

a. 𝟏; 𝟎; 𝟎 , 𝟎; 𝟏; 𝟎 ; 𝟎; 𝟎; 𝟏 ; 𝑽 = ℝ𝟑

b. 𝟏; 𝒙; 𝒙𝟐 ; 𝑽 = 𝑷𝟐 ℝ

c. 𝟏; 𝟐; 𝟑 ; 𝟎; 𝟏; 𝟐 ; −𝟏; 𝟎; 𝟏 ; 𝑽 = ℝ𝟑

Solución:

Ejemplo 2

Sea 𝑽 el espacio vectorial de ecuación

𝒙 + 𝒛 = 𝟎

con las operaciones usuales de ℝ𝟑. Demuestre que los

vectores 𝒖 = 𝟏; 𝟏; 𝟏 y 𝒗 = 𝟎; 𝟏; 𝟎 generan el espacio

vectorial 𝑽, pero que no generan el espacio ℝ𝟑 .

Solución:

Bases de un espacio vectorial

Si V es cualquier espacio vectorial y S = 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣𝑛 es un

conjunto de vectores en 𝑉, entonces 𝑆 se llama base de V si se

cumplen las dos condiciones siguientes

1) 𝑺 es linealmente independiente. 2) 𝑺 genera a 𝑽.

Por ejemplo el conjunto de vectores canónicos 𝒊 = 𝟏; 𝟎; 𝟎 ; 𝒋 =𝟎; 𝟏; 𝟎 ; 𝒌 = 𝟎; 𝟎; 𝟏 es una base del espacio ℝ𝟑

Teorema

Si S = 𝑣1; 𝑣2; … ; 𝑣𝑛 es una base del espacio vectorial 𝑉, entonces todo vector 𝑣 ∈ 𝑉 se puede expresar en forma única

como una combinación lineal de los vectores de la base, es

decir

𝒗 = 𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 +⋯+ 𝑐𝑛𝑣𝑛

donde 𝑐𝑖 son escalares

Ejemplo 1

Demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos forman

una base de 𝑅3.

a.- (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)

b.- (1; 2; 3); (0; 1; 2); (−2; 0; 1)

Solución:

Ejemplo 2

Verifique que el siguiente conjunto es una base de 𝑃3.

S = 1; 1 + 𝑥; 1 − 𝑥; 1 + 𝑥 + 𝑥2; 1 − 𝑥 + 𝑥2

Solución:

Transformaciónes

Una transformación (función o mapeo) 𝑇 de 𝑅𝑛 a 𝑅𝑚 es una

regla que asigna a cada vector 𝑥 de 𝑅𝑛 un vector 𝑇(𝑥 ) en 𝑅𝑚.

𝒙

𝒚

(𝟐; 𝟐)

𝑻 𝟐; 𝟐 = (𝟒; 𝟐)

(𝟒; 𝟒)

𝑻 𝟒; 𝟒 = (𝟐; 𝟒)

Para cada punto 𝑷,

se le asocia el vector

𝑻(𝑷)

Transformación 𝑻:ℝ𝟐 → ℝ𝟐

Transformación lineal

Una transformación lineal 𝑇 de 𝑅𝑛 a 𝑅𝑚 es una

transformación que cumple los siguientes axiomas

T1.- 𝑻 𝒖 + 𝒗 = 𝑻 𝒖 + 𝑻 𝒗 ∀ 𝒖; 𝒗 ∈ ℝ𝒏.

T2.- 𝑻 𝜶𝒖 = 𝜶𝑻 𝒖 ∀ 𝒖 ∈ ℝ𝒏 , ∀ 𝜶 ∈ ℝ

Ejemplo 1

Sea la función 𝑻 ∶ ℝ𝟐 → ℝ𝟐 definida por

𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 − 𝒚; 𝒙

a.- Demuestre que 𝑻 es una transformación lineal.

b.- Halle la imagen del punto 𝟏; 𝟐

c.- Esboce la gráfica de la imagen del segmento mostrado en

la gráfica

Solución:

𝒙

𝒚

TEOREMA

Sea 𝑻:ℝ𝒏 → ℝ𝒎 entonces se cumple:

1.- 𝑻 es lineal si y solo si para cualquier 𝒖, 𝒗 ∈ ℝ𝒏 y 𝜶, 𝜷 ∈ ℝ se

cumple

𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 = 𝜶𝑻 𝒖 + 𝜷𝑻 𝒗

2.- Si 𝑻 es una transformación lineal, entonces se cumple

𝑻 𝟎 = 𝟎

Por ejemplo, usando la propiedad 2 podemos deducir

inmediatamente que las siguientes transformaciones NO SON

lineales.

𝑻 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝒚; 𝒙 − 𝟑𝒚; 𝟏

𝑻 𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝒙 + 𝒚; 𝒙 − 𝟏

𝑻 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏

Ejercicio 1

Dado un vector 𝑣 = (𝑣1; 𝑣2) y una transformación lineal

T: 𝑅2 → 𝑅2 definida por: T 𝑣1; 𝑣2 = (𝑣1 − 𝑣2; 𝑣1 + 2𝑣2) determine

a.- La imagen de 𝑣 = −1; 2 , generada por la transformación

𝑇.

b.- La preimagen que a través de la transformación 𝑇 genera

𝑤 = (−1; 11)

Solución:

Ejercicio 2

Sea T: 𝑅2 → 𝑅2 una transformación lineal para la cual se

cumple

𝑇 1; 2 = (2; 3) y 𝑇 0; 1 = 1; 4 .

Determine la regla de correspondencia de 𝑇

Solución:

Ejercicio 3

Sea T: 𝑅3 → 𝑅3 una transformación lineal para la cual

𝑇 𝒊 = 2;−1; 4 , 𝑇 𝒋 = 1; 5;−2 y 𝑇 𝒊 + 𝒌 = 0; 3; 1 . Calcule

𝑇(2; 3;−2)

Solución:

Ejercicio 4

Dada la transformación lineal 𝑇, definida por

𝑇 𝑥; 𝑦 = 𝑥 − 3𝑦;−3𝑥 + 9𝑦

si D es la región triangular que

se muestra en la figura, grafique

la imagen 𝑇(𝐷)

Solución:

𝒙

𝒚

Ejercicio 5

Considere la transformación: 𝑇: ℝ2 → ℝ2 definida por:

𝑇 𝑥; 𝑦 =𝑦−𝑥

2;𝑦+𝑥

2 y la región 𝐷 ⊂ ℝ2 limitada por dos rectas

de ecuaciones 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = −𝑥 y la gráfica de la curva de

ecuación: 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦 con 𝑦 ≥ 1

a.- Demuestre que 𝑇 es una transformación lineal.

b.- Grafique la región 𝐷.

c.- Usando la transformación lineal, grafique 𝑇(𝐷).

Solución:

Bibliografía

4. Calculus – Larson Edwards

3. Introducción al Álgebra Lineal – Howard Anton

1. Algebra lineal y sus aplicaciones –David C. Lay.

2. Introducción al Álgebra Lineal – Larson Edwards.

5. Álgebra Lineal – Bernard Kolman; David R. Hill