sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemler:
DESCRIPTION
Sabit Katsayılı Doğrusal Diferansiyel Denklemler:. f(t): Girdi u(t): Çıktı (cevap). Örnek:. Homojen çözüm f(t)=0. u(t)=e st. Matlab İle:. Karakteristik Denklem:. a=[1,4,14,20];roots(a). s 3 e st + 4s 2 e st + 14se st + 20e st = 0. Özdeğerler: - 1 3i, - 2. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Sabit Katsayılı Doğrusal Diferansiyel Denklemler:
Örnek:dt
dff3u20
dt
du14
dt
ud4
dt
ud2
2
3
3
f(t): Girdi
u(t): Çıktı (cevap)
Karakteristik Denklem:
Homojen çözüm f(t)=0. u(t)=est
s3est + 4s2est + 14sest + 20est= 0
s3 + 4s2 + 14s + 20 = 0
a=[1,4,14,20];roots(a)
Özdeğerler: 13i, 2
uh(t) = C1e(-1+3i)t + C2 e(-1-3i)t + A2e-2t
)sini(cos2
Ae
2
AC 1i1
1
)sini(cos2
Ae
2
AC 1i1
2
t22
i)t3(t1i)t3(t1h eAee
2
Aee
2
A)t(u
uh(t) = A1e-tcos(3t-φ)+A2e-2t
Matlab İle:
uh(t) = A1e-tcos(3t-φ)+A2e-2t
Başlangıç koşulları: at t=0 2.1u 5.2dt
du 1.3
dt
ud2
2
-1.2 = A1 cosφ + A2
t22
t1
t1 eA2)t3sin(eA3)t3cos(eA
dt
du
2.5 = -A1 cosφ +3A1 sinφ -2A2
t22
t1
t1
t1
t12
2eA4)t3cos(eA9)t3sin(eA3)t3sin(eA3)t3cos(eA
dt
ud
-3.1= -8A1 cosφ - 6A1 sinφ + 4A2
A1, A2 ve φ Newton-Raphson yöntemi ile bulunabilir.
Laplace Dönüşümü:
0
stdte)t(f)s(F
tAe)t(f
0
stt dteAe)s(F
0
t)s( dtAe
0
t)s(e)s(
1A
s
A
te)t(f
s
1)s(F
)tcos(Ae)t(f t
)i(siba
)i(siba
)s(F
)iba(2Aei
)tcos(Ae)t(f t )t(i)t(it eee2
A
t)i(it)i(i ee2
Aee
2
A
Türevin Laplace Dönüşümü :
0
1 dtedt
df)s(F st duvuvdvu
0 00
dtfesfedtedt
df ststst)s(sF)(f)s(F 01
0
dte)t(f)s(F st
steu dtdt
dfdv
0
2
2
2 dtedt
fd)s(F st
steu dtdt
fddv
2
2
0 00
2
2dte
dt
dfse
dt
dfdte
dt
fd ststst
)s(Fs)(sf)(f)s(F 22 00
)s(F)f( L
)(f)(fsfs)s(Fsdt
fd000
233
3
L
)s(Fe)]at(f[ asL(zamanda öteleme veya gecikme):
)(fsf)s(Fs)f( 002 L
0f)s(sF)f( L
Başlangıç koşullarına bağlı çözümün Laplace dönüşümü:
0u20dt
du14
dt
ud4
dt
ud2
2
3
3
t=0 da başlangıç koşulları: 2.1u 5.2dt
du 1.3
dt
ud2
2
]uusus)s(Us[ 00023 ]usu)s(Us[4 00
2 ]u)s(sU[14 0 0)s(U20
0uu)4s(u)14s4s()s(U)20s14s4s( 000223
20s14s4s)s(D 23 0
2
u)s(D
)14s4s()s(U
0u)s(D)4s(
0u
)s(D1
)2.1()s(D
)14s4s()s(U
2
)5.2()s(D
)4s( )1.3()s(D
1
)s(D
9.9s3.2s2.1)s(U
2
Basit kesirlere ayırma:
num=[-1.2,-2.3,-9.9]; den=[1,4,14,20]; [r,p,k]=residue(num,den)
r(1)=-0.095-0.0483i, r(2)=-0.095+0.0483i, r(3)=-1.01
Matlab İle;
uh(t) = A1e-tcos(3t-φ)+A2e-2t
z=-0.095+0.0483i
A1=2*abs(z)
fi=angle(z)
Matlab İle;
Homojen çözüm :
ÖRNEKLER:
m
gθ
Mafsal sürtünmesi, B
L
Bir basit sarkacın zorlanmasız hareketi için hareket denklemi şu şekilde verilmiştir:
02*81.9*242*2 2
m=2 kg
B=4 Nms/rad
L=2 m t=0 da verilmiştir. θ(t) ‘yi bulunuz.
s/rad1,rad5.0 00
024.3948
0mgLBmL2
Laplace dönüşümü uygulanırsa,
0)s(24.39)s(s4]s)s(s[8 0002
08]4s8[)s(]24.39s4s8[ 002
24.39s4s810s4
24.39s4s81*85.0*)4s8(
24.39s4s88)4s8(
)s( 22200
ÖRNEKLER :
24.39s4s810s4
)s( 2
)i2006.225.0(sbia
)i2006.225.0(sbia
)s(
clc;clearnum=[4 10];den=[8 4 39.24];[r,p,k]=residue(num,den)
)i2006.225.0(si2556.025.0
)i2006.225.0(si2556.025.0
)s(
)t2006.2cos(Ae)t( t25.0
r(2)A=2*abs(r(2))Fi=angle(r(2))
0.7151A2556.025.0*2A 22
Re0.25
0.2556
Img
rad0.7965
Homojen çözümün Laplace dönüşümü (başlangıç koşullarına bağlı) Özdeğerler
Sistem stabildir çünkü tüm köklerin gerçek kısımları negatiftir.
)t2006.2cos(Ae)t( t25.0
ÖRNEKLER :
rad0.79657151.0A
)7965.0t2006.2cos(e7151.0)t( t25.0
s/rad2148.22006.225.0 220
s8369.22148.22832.62
T0
0
1128.02148.2
25.0
0
s149.251128.08369.2T
t
s1418.0208369.2
20T
t
0
0
clc;cleardt=0.1418;ts=25.149;t=0:dt:ts;tetat=0.7151*exp(-0.25*t).*cos(2.2006*t-0.7965);plot(t,tetat)
0 5 10 15 20 25-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Zaman (s)
Te
ta(t
) [R
ad
yan
]