sampling.pdf

Probabilitas & Statistik 2012 Teknik Elektro halaman - 1

TEORI PENARIKAN SAMPEL (SAMPLING)

Dalam setiap penelitian banyaknya pengamatan dinyatakan sebagai

ukuran populasi yang mungkin :

- kecil

- besar tapi masih berhingga

- tidak berhingga

PPPPopuopuopuopulasilasilasilasi (population) adalah adalah kumpulan dari seluruh obyek

yang diamati.

Tiap pengamatan dalam populasi merupakan suatu nilai dari suatu

peubah Acak X dengan suatu distribusi peluang f(x).

Sampel Sampel Sampel Sampel (Sample) adalah himpunan bagian dari populasi yang

karakteristiknya hendak diselidiki/diduga; dianggap bisa mewakili

populasi.

InInInInferensiferensiferensiferensiaaaa Statistik Statistik Statistik Statistik Tujuan dari inferensia statistik adalah untuk memperoleh informasi

tentang populasi berdasarkan informasi sampel untuk menarik suatu

kesimpulan.

Alasan Pengambilan Sampel :Alasan Pengambilan Sampel :Alasan Pengambilan Sampel :Alasan Pengambilan Sampel : 1. Hasil penelitian dengan hasil ketelitian yang tidak mutlak,

sehingga dapat menghemat biaya dan waktu

2. Untuk sumberdaya yang terbatas dan obyek bersifat seragam,

pengambilan sampel dapat memperluas cakupan studi

3. Bila proses riset bersifat destruktif, pengambilan sampel dapat

menghemat produk

4. Apabila akses ke seluruh populasi tidak dapat dilakukan,

pengambilan sampel adalah satu satunya pilihan

5. Mudah mengontrol tingkat kesalahan non sampling (non teknis)

dalam menentukan hipotesa untuk pengambilan keputusan


JenisJenisJenisJenis----jenis Sampling :jenis Sampling :jenis Sampling :jenis Sampling : A. A. A. A. Random SamplingRandom SamplingRandom SamplingRandom Sampling

1.1.1.1. Simple random samplingSimple random samplingSimple random samplingSimple random sampling (SRS)(SRS)(SRS)(SRS)

a. Populasi Terbatas (Finite Population)

– SRS untuk populasi terbatas berukuran N adalah sampel

yang dipilih sedemikian sehingga masing-masing

kemungkinan sampel berukuran n memiliki peluang yang

sama untuk terpilih.

– Ada 2 (dua) tipe, yaitu:

� Dengan Pengembalian (with replacement - WR)

� Tanpa Pengembalian (without replacement - WOR)

b. Populasi Tak Terbatas (Infinite Population)

– SRS dari populasi tak terbatas merupakan sampel yang

dipilih sedemikian sehingga kondisi berikut terpenuhi:

� Masing-masing elemen dipilih dari populasi yang

sama

� Setiap elemen dipilih secara bebas (independent)

2. Stratified random sampling

3. Systematic random sampling

4. Cluster random sampling

B. B. B. B. NonNonNonNon random Samplingrandom Samplingrandom Samplingrandom Sampling

1. Convenience sampling

2. Judgement sampling

3. Quota sampling

KesalahanKesalahanKesalahanKesalahan 1. Kesalahan Sampling

2. Kesalahan Non Sampling (dapat terjadi pd sensus/sample

survey), disebabkan oleh : a. populasi yang tidak jelas (sumber informasi populasi)

b. pertanyaan yang tdk tepat (kuisioner yg tdk jelas)

c. kesalahan lain : kalkulasi, salah ketik dll


Setiap Pensamplingan akan menghasilkan suatu kesimpulan yang

konsisten dalam menaksir/estimasi, sehingga perlu diperiksa apakah

nilai sampel tersebut memenuhi sifat-sifat sebagai estimator yang

baik, yaitu:

1. Tak bias (Unbiased), yaitu jika nilai harapan dari estimator sama

dengan nilai parameter populasi yang diestimasi.

2. Efisien (Efficient), yaitu jika estimator tersebut memiliki standar

error yang paling kecil dibandingkan estimator tak bias yang

lain.

3. Konsisten (Consistent), apabila estimator tersebut cenderung

mendekati nilai parameter populasi jika ukuran sampel

ditingkatkan (semakin besar).

Tujuan memilih sampel acak yaitu untuk mendapatkan keterangan

mengenai parameter populasi yang belum diketahui.

Bias = nilai statistik Bias = nilai statistik Bias = nilai statistik Bias = nilai statistik (sample) (sample) (sample) (sample) –––– nilai parameter (populasi)nilai parameter (populasi)nilai parameter (populasi)nilai parameter (populasi)

Nilai statistik adalah setiap fungsi dari peubah acak yang membentuk

suatu sampel acak.

Deviasi standar = SDeviasi standar = SDeviasi standar = SDeviasi standar = S

Deviasi standar = SDeviasi standar = SDeviasi standar = SDeviasi standar = S


Nilai Statistik dari sampel :Nilai Statistik dari sampel :Nilai Statistik dari sampel :Nilai Statistik dari sampel :

Mean = Rerata = n

XX

n

ii∑

== 1

Variansi = 1

)(1

2

2

−

−=∑

=

n

XXS

n

ii

, bila nilai rerata bilangan bulat

Variansi = )1(

2

11

2

2

−

−⋅=

∑∑==

nn

XXn

S

n

ii

n

ii

, bila nilai rerata bilangan pecahan

Simpangan Baku = Standart Deviasi dari sampel dinyatakan dengan S yang Simpangan Baku = Standart Deviasi dari sampel dinyatakan dengan S yang Simpangan Baku = Standart Deviasi dari sampel dinyatakan dengan S yang Simpangan Baku = Standart Deviasi dari sampel dinyatakan dengan S yang didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel.didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel.didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel.didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel.


DISTRIBUSI SAMPELDISTRIBUSI SAMPELDISTRIBUSI SAMPELDISTRIBUSI SAMPEL

Merupakan bidang statistik inferensi yaitu dengan melakukan

pengamatan untuk memperoleh prediksi (estimasi) dari populasi.

Distribusi Sampel merupakan distribusi peluang dari suatu nilai

statistik.

� Dalam menentukan jumlah sampel, angka yang dicari adalah

angka yang cukup besar sehingga pengukurannya nanti cukup

reliabel, cukup presisi dan sebagainya tapi tidak terlalu besar

sehingga terlalu mahal, kurang manageable, dan sebagainya.

� Jadi penentuan sampel tidak langsung menetapkan sekian

persen dari populasi (10%, 25%, dsb.).

� Aturan umum untuk jumlah sampel adalah sekitar 30 ke atas

walau sebenarnya jumlah itu terlalu sedikit. Di bawah jumlah itu,

rumus statistik yang digunakan adalah rumus2 statistik

nonparametrik yaitu untuk analisa statistik jumlah kecil.

� Angka 30 tersebut karena distribusi frekuensinya sudah mulai

berbentuk kurve normal yaitu bentuk kurve dari distribusi

frekuensi populasi.

� Jika jumlah populasi target tidak banyak, disarankan sensus yang

tidak ada sampling error-nya (tapi coverage-nya harus tinggi

misalnya 95% populasi ter-cover)


InInInInferensi Statistik meliputi:ferensi Statistik meliputi:ferensi Statistik meliputi:ferensi Statistik meliputi:

1. Estimasi Parameter, terdiri dari:

� Estimasi Titik (Point Estimation), yaitu suatu nilai dari

sampel sebagai estimator parameter

� Estimasi Interval (Interval Estimation), yaitu suatu

interval yang dengan tingkat kepercayaan tertentu

memuat nilai parameter.

2. Pengujian Hipotesis

� Dalam estimasi titik kita menggunakan data sampel untuk

menghitung suatu nilai statistik sebagai estimasi parameter

populasi.

Contoh:

– X sebagai estimator titik dari rata-rata populasi, µ.

– s sebagai estimator titik dari simpangan baku populasi, σ.

– p sebagai estimator titik dari proporsi populasi, p.

� Sampling error merupakan perbedaan absolut antara estimator

tak bias (unbiased) dengan paramemter populasi.

Contoh sampling error (Galat Baku) : µ−X untuk rata-rata sampel

σ−S untuk simpangan baku sampel

pp − untuk proportsi sampel

Bila X mendekati � maka sampling masih dikatakan layak.

Bila X jauh � maka ada kesalahan dalam sampling.

Distribusi sampel dari suatu statistik akan tergantung pada ukuran

populasi, ukuran sampel dan metode memilih sampel.


DISTRIBUSI SAMPEL DARI RERATA (DISTRIBUSI SAMPEL DARI RERATA (DISTRIBUSI SAMPEL DARI RERATA (DISTRIBUSI SAMPEL DARI RERATA ( X ))))

Jika ada n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rerata �

dan varians σ2. Tiap pengamatan Xi (sampel) ; i = 1,2,3,…..,n dari

sampel acak akan berdistribusi normal juga yang sama dengan

populasi yang diambil sampelnya.

n

XXXX n+++

=LL21

Berdistribusi normal dengan rerata dan varians:

µµµµµ =+++=nX

LL

nnX

22222 σσσσσ =+++= LL

Bila populasi yang disampling tidak diketahui distribusinya, berhingga

atau tidak, maka distribusi sampel X masih akan berdistribusi hampir

normal dengan rerata � dan varians n

2σ , asalkan n yang besar.

TEOREMA LIMIT TENGAH UNTUK RATATEOREMA LIMIT TENGAH UNTUK RATATEOREMA LIMIT TENGAH UNTUK RATATEOREMA LIMIT TENGAH UNTUK RATA----RATA (HAMPIRAN NORMAL)RATA (HAMPIRAN NORMAL)RATA (HAMPIRAN NORMAL)RATA (HAMPIRAN NORMAL)

• Apabila sampel berukuran n besar (>30) diambil dari populasi

yang mempunyai rata-rata µ dan deviasi standar σ, maka rata-

rata sampel X akan terdistribusi normal dengan rata-rata µ dan

deviasi standar σ/√n

• Khusus: apabila populasinya terdistribusi normal, maka n pada

teorema di atas tidak harus besar. Jadi :

n

XZ

/σµ−=

adalah normal standart : n(Z,0,1)


Bila sampel bebas dengan ukuran n1 dan n2 diambil secara acak

dari dua populasi diskrit maupun kontinu, masing-masing

dengan rerata �1 dan �2 dan varians σ12 dan σ22, maka distribusi

sampel dari selisih rerata, 21 XX − berdistribusi hampir normal

dengan rerata dan varians :

2121µµµ −=−XX dan

2

22

1

212

21 nnXX

σσσ +=−

Sehingga :

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XXZ

σσµµ

+

−−−=

Secara hampiran merupakan peubah normal baku.

DISTRIBUSI SAMPEL DARI VARIANS sDISTRIBUSI SAMPEL DARI VARIANS sDISTRIBUSI SAMPEL DARI VARIANS sDISTRIBUSI SAMPEL DARI VARIANS s2222

Bila n sampel diambil dari populasi normal dengan rerata dan varians

� dan σ2 dan varians sampel s2 dihitung (belum diketahui), maka

diperoleh suatu nilai statistik s2 akan berdistribusi khi kuadratkhi kuadratkhi kuadratkhi kuadrat dengan

besaran :

2

22 )1(

σχ sn −= ; dengan derajat kebebasan υ = n-1

Derajat kebebasan Derajat kebebasan Derajat kebebasan Derajat kebebasan (Degrees of Freedom)(Degrees of Freedom)(Degrees of Freedom)(Degrees of Freedom) : dari suatu besaran dengan

distribusi hampiran normal (khi kuadrat dan t-student) adalah

banyaknya variable yang berpengaruh pada perhitungan besaran

tersebut.


Nilai distribusi khi kuadarat χ2 (tidak simetris) dinyatakan dalam tabel

dirtribusi χ2 dengan luasan α (taraf kepercayaan), nilai tersebut

biasanya dinyatakan dengan χ2α.

υ α

0,995 0,99 0,98 0,975 …. 0,025

1

..

4 0,484 11,668

..

30

CONTOH :CONTOH :CONTOH :CONTOH :

1. Suatu pabrik baterai mobil menjamin dengan keyakinan 95 %

bahwa baterainya akan tahan rata-rata 3 tahun dengan

simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterai tahan 1,9; 2,4; 3,0;

3,5 dan 4,2 tahun, apakan pembuat baterai masih yakin bahwa

simpangan baku masih 1 tahun.

DISTRIBUSI DISTRIBUSI DISTRIBUSI DISTRIBUSI tttt----StudentStudentStudentStudent Bila n sampel yang diambil dari populasi kecil (<30) dengan s2 yang

berubah cukup besar dari sampel satu ke sampel lain dan nilai σ2

tidak deketahui distribusi peubah acak )//()( nXZ σµ−= akan

menyimpang jauh dari distribusi normal baku.

Maka kondisi tersebut distribusi peubah acak normal baku (Z) dapat

dinyatakan dengan distribusi T-student, dinyatakan sbb :

ns

XT

/

µ−=; dengan derajat kebebasan υ = n-1


CIRICIRICIRICIRI----CIRI DISTRIBUSI T :CIRI DISTRIBUSI T :CIRI DISTRIBUSI T :CIRI DISTRIBUSI T :

� Kurva dari distribusi t memiliki bentuk mirip dengan kurva

normal, namun lebih runcing dengan luasan α.

� Ciri khusus: distribusi t tergantung pada suatu parameter yang

disebut derajat bebas (degrees of freedom).

� Jika derajat bebas meningkat maka perbedaan distribusi t

dengan distribusi normal baku semakin kecil.

� Distribusi t dengan derajat bebas yang lebih besar memiliki

varian yang lebih kecil.

� Rata-rata dari distribusi t = 0 (nol).

� Membaca Tabel Student’s t

Misalkan α = 0,05 dan n = 10,

maka nilai tabel tn-1,α/2 = t(10-1);0,025 = ±2,262


2. Tentukan P(-t0,025<T<t0,05)

3. Cari nilai k yang memenuhi P(k<T<-1,761) = 0,045 untuk

suatu sampel acak berukuran 15 yang diambil dari populasi

dengan distribusi normal.

Degrees ααααof Freedom .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . .

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

. . . . . .


4. Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan

tahan menyala rata-rata selama 500 jam. Untuk

mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu.

Bila nilai t yang dihitung terletak antara –t0,05 dan t0,05 maka

pengusaha pabrik tadi akan mempertahankan keyakinannya.

Kesimpulan apakah yang seharusnya diambil dari sampel

dengan rerata X = 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam.

Anggap bahwa distribusi waktu lama lampu secara hampiran

normal.


PENAKSIRAN PENAKSIRAN PENAKSIRAN PENAKSIRAN ((((ESTIMASI) SEBAGAI FUNGSI KEPUTUSANESTIMASI) SEBAGAI FUNGSI KEPUTUSANESTIMASI) SEBAGAI FUNGSI KEPUTUSANESTIMASI) SEBAGAI FUNGSI KEPUTUSAN

Misal X suatu penaksir dengan nilai x sebagai suatu taksiran titik

parameter populasi x yang tidak diketahui, tentu saja diharapkan

mendapatkan nilai rerata populasi akan sama dengan rerata sampel,

sehingga didapatkan penaksiran yang tidak bias (X → x).

Penaksiran Tidak Bias :Penaksiran Tidak Bias :Penaksiran Tidak Bias :Penaksiran Tidak Bias :

xXEx == )(µ

Efisiensi / Penaksiran dengan VariansEfisiensi / Penaksiran dengan VariansEfisiensi / Penaksiran dengan VariansEfisiensi / Penaksiran dengan Varians

Bila 1X dan 2X dua penaksir tak bias parameter populasi x sama maka

kita akan memilih penaksir dengan varians σ2 yang lebih kecil.

Bila 2

1Xσ <

22X

σ , maka dikatakan 1X lebih efisien dari 2X

Konsisten :Konsisten :Konsisten :Konsisten :

Bila jumlah sampel besar (n↑) dan varians kecil (s2↓)

PENAKSIRAN SELANGPENAKSIRAN SELANGPENAKSIRAN SELANGPENAKSIRAN SELANG

Dasar : tidak pernah melakukan penaksiran sampel tepat dengan nilai

parameter populasi.

21 xxx << ; x1 dan x2 tergantung dari X1 dan X2

Bila ukuran sampel membesar, maka nX

22 σσ = mengecil, sehingga

kemungkinan taksiran bertambah dekat dengan parameter �.

10 ; 1)( 21 <<−=<< ααxxxP

1-α : koefisien kepercayaan (level of confidence)

(1-α).100 % : selang kepercayaan

α : taraf keterandalan (significant level)

1X dan 2X : batas kepercayaan


1-α

Interval kepeInterval kepeInterval kepeInterval kepercayaan untuk ratarcayaan untuk ratarcayaan untuk ratarcayaan untuk rata----rata populasi normal. Varian populasirata populasi normal. Varian populasirata populasi normal. Varian populasirata populasi normal. Varian populasi

(σ(σ(σ(σ2222) ) ) ) diketahui.diketahui.diketahui.diketahui.

� Misalkan variabel acak n sampel dari suatu populasi berdistribusi

normal dengan rata-rata µ dan varian σ2. Jika σ2 diketahui dan

rata-rata sampel yang diobservasi adalah X maka interval

kepercayaan (1 – α).100% untuk rata-rata populasi adalah:

α/2 α/2

n

xZ

nx

x

/σµ

σσ

µµ

−=

=

=

2/αz− 0 2/αz ααα −=<<− 1)( 2/2/ ZZZP

nZX

nZX

σµσαα22

+<<− n ≥ 30

Bila X dan µ nilainya sama artinya didapat penaksiran yang tepat,

umumnya X ≠ µ menyatakan galat (error).

Galat = µ−X < n

Zσ

α2

dengan selang kepercayaan (1-α).100 %

nZX

σα2

− X µ n

ZXσ

α2

+

galat

Besarnya sampel yang diperlukan dengan interval kepercayaan (1–

α).100% dapat ditentukan dengan persamaan : 2

2

.

=galat

Z

n

σα


1-α ns

XT

/

µ−=


1. Suatu proses memproduksi kantong-kantong gula. Berat

kantong-kantong diketahui berdistribusi normal dengan

simpangan baku 1,2 ons. Suatu sampel 35 kantong diambil dan

memiliki rata-rata 19,8 ons. Buatlah selang kepercayaan 95% dan

99 % untuk rata-rata populasi berat kantong gula!

2. Berapa besar sampel yang diperlukan pada contoh no. 1 dengan

selang kepercayaan 95% dan galat kurang dari 0,05.

Interval kepercayaan untuk rataInterval kepercayaan untuk rataInterval kepercayaan untuk rataInterval kepercayaan untuk rata----rata populasi normalrata populasi normalrata populasi normalrata populasi normal : varian populasi : varian populasi : varian populasi : varian populasi

tidak diketahuitidak diketahuitidak diketahuitidak diketahui,,,,

Misalnya n observasi dari variabel acak dari populasi

berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan varian tidak diketahui.

Interval kepercayaan (1-α).100% untuk rata-rata populasi dilakukan

dengan pendekatan dengan diatribusi t student, adalah:

n

stX

n

stX

22

αα µ +<<− n<30

α/2 α/2

2/αt− 2/αt

υ = n-1 (derajat kebebasan)



3. Sampel acak berukuran 6 mobil dari suatu model tertentu

memiliki konsumsi bahan bakar sbb (mil per galon):

18,6 18,4 19,2 20,8 19,4 20,5

Buat selang kepercayaan 90% untuk rata-rata konsumsi bahan

bakar populasi.

MENAKSIR SELISIH DUA RERATAMENAKSIR SELISIH DUA RERATAMENAKSIR SELISIH DUA RERATAMENAKSIR SELISIH DUA RERATA

Untuk selang kepercayaan �1-�2 dan varian 21σ dan

22σ populasi

diketahui, maka :

Bila 1X dan 2X menyatakan rerata sampel acak bebas dengan ukuran

n1 dan n2 yang berasal dari dua populasi yang variansnya diketahui,

maka selang kepercayaan (1-α).100% untuk �1-�2 diberikan oleh :

2

22

1

21

2

21212

22

1

21

2

21 )()(nn

ZXXnn

ZXXσσµµσσ

αα ++−<−<+−−


4. Suatu ujian statistik diikuti oleh 50 mahasiswa dan 75

mahasiswi. Nilai rerata mahasiswa 82, sedang mahasiswi 76.

Carilah selang kepercayaan 96% untuk selisih �1-�2 bila �1

adalah rerata mahasiswa dan �2 adalah rerata mahasiswi.

Simpangan baku masing-masing 6 dan 8.


Untuk sampel n < 30 dan varians 21σ dan

22σ populasi tidak

diketahui, maka digunakan pendekatan dengan distribusi t. Ukuran n1

dan n2 yang bebas berasal dari dua populasi yang hampir normal

adalah :

212

2121212

21

11)(

11)(

nnstXX

nnstXX pp ++−<−<+−− αα µµ

Dengan :

2

)1()1(

21

222

2112

−+−+−

=nn

snsns p taksiran gabungan dari

simpangan baku populasi

υ = n1+n2-2 (derajat kebebasan)


PENGUJIAN HIPOTESISPENGUJIAN HIPOTESISPENGUJIAN HIPOTESISPENGUJIAN HIPOTESIS

Pengertian HipotesisPengertian HipotesisPengertian HipotesisPengertian Hipotesis : anggapan atau pernyataan mengenai populasi

yang perlu diuji kebenarannya melalui sampel.

Hipotesis Statistik :Hipotesis Statistik :Hipotesis Statistik :Hipotesis Statistik : suatu anggapan atau pernyataan yang mungkin

benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih.

Kebenaran atau tidak suatu hipotesis statistik tidak pernah akan

diketahui kecuali bila seluruh populasi diamati → tidak praktis.

Hipotesis diterimaHipotesis diterimaHipotesis diterimaHipotesis diterima bila dilengkapi bukti yang mendukung

Hipotesis ditolakHipotesis ditolakHipotesis ditolakHipotesis ditolak bila bukti digunakan tidak mendukung

HIPOTESIS NOL DAN TANDINGANHIPOTESIS NOL DAN TANDINGANHIPOTESIS NOL DAN TANDINGANHIPOTESIS NOL DAN TANDINGAN

Struktur pengujian hipotesis dirumuskan dengan istilah hipotesis nol

(H0), ini menyatakan hipotesis yang akan diuji.

Penolakan H0 akan didapat menerima suatu hipotesis tandingan (H1).

UJI HIPOTESISUJI HIPOTESISUJI HIPOTESISUJI HIPOTESIS

Setiap uji hipotesis dengan tandingan yang berpihak pada suatu pihak

(arah) :

H0 : � = �0

H1 ; � < �0 (satu sisi kiri distribusi uji statistik)

H1 ; � > �0 (satu sisi kanan distribusi uji statistik)

H1 ; � ≠ �0 (dua sisi)

LANGKAHLANGKAHLANGKAHLANGKAH----LANGKAH UJI HIPOTESISLANGKAH UJI HIPOTESISLANGKAH UJI HIPOTESISLANGKAH UJI HIPOTESIS ::::

1. Tentukan H0, misal → H0 : � = �0

2. Tentukan tandingan H1, misal → H1 : � ≠ �0

3. Pilih taraf keberartian (significant) α.

4. Uji statistik dan tentukan daerah kritis (distribusi ?)

5. Hitung nilai statistik dari sampel

6. Kesimpulan (diterima atau ditolak)


UJI HIPOTESIS UNTUK SATU RERATA (�) DENGAN VARIANSUJI HIPOTESIS UNTUK SATU RERATA (�) DENGAN VARIANSUJI HIPOTESIS UNTUK SATU RERATA (�) DENGAN VARIANSUJI HIPOTESIS UNTUK SATU RERATA (�) DENGAN VARIANSIIII DIKETAHUIDIKETAHUIDIKETAHUIDIKETAHUI

Bila sampel acak X yang diambil dari populasi dengan rerata � dan

variansi σ2 > 0 diketahui, maka susun hipotesis, misal :

H0 : � = �0

H1 ; � ≠ �0

Peubah acak X berdistribusi hampir normal dengan rerata dan

variansi adalah µµ =X

dan nX

2

2 σσ = . Kemudian ditentukan daerah

kritisnya dalam contoh diatas mempunyai dua daerah kritis untuk uji

ini.

Peubah acak X berdistribusi hampir normal dibawa ke distribusi

normal baku Z dengan taraf keberartian α :

n

XZ

/σµ−=

H0 : � = �0, maka n

X

/σµ−

berdistribusi normal dengan peluang :

ααα −=<<− 1][22

ZZZP

Bila nilai X diketahui maka uji ini akan MenolakMenolakMenolakMenolak H0 bila uji statistik

Z > Zα/2 atau Z < -Zα/2

dan akan Menerima Menerima Menerima Menerima H0 bila -Zα/2 < Z < Zα/2

-Zαααα/2

H0 ditolak H0 ditolak

H0 diterima

Zαααα/2

1-αααα



3. Suatu perusahaan pembuat perlengkapan olahraga membuat tali

pancing sintetik yang baru dengan rata-rata mampu menahan

beban 8 kg dengan simpangan baku 0,5 kg. Ujilah hipotesis

bahwa hasil produksi tersebut mempunyai tepat mempunyai

rerata 8 kg bila sampel acak terdiri dari 50 tali diuji dan ternyata

rata-rata daya tahannya 7,8 kg dengan tingkat kepercayaan 99

%, beri kesimpulan dan tentukan nilai peluangnya.

Jawab :Jawab :Jawab :Jawab :

4. Suatu sampel acak harapan hidup 100 orang di suatu daerah

rata-rata 71,8 tahun, simpangan baku 8,9 tahun, apakan ini

menunjukkan bahwa rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70

tahun? Gunakan taraf keberartian α = 0,05 beri kesimpulan dan

berapa nilai peluangnya.

Jawab : Jawab : Jawab : Jawab :

UJI HIPOTESIS UNTUK SATU RERATA (�) DENGAN VARIANSUJI HIPOTESIS UNTUK SATU RERATA (�) DENGAN VARIANSUJI HIPOTESIS UNTUK SATU RERATA (�) DENGAN VARIANSUJI HIPOTESIS UNTUK SATU RERATA (�) DENGAN VARIANSIIII TIDAK TIDAK TIDAK TIDAK

DIKETAHUIDIKETAHUIDIKETAHUIDIKETAHUI

Idem dengan yang diatas, bila sampel jumlahnya kecil dan variansi

dari populasi tidak diketahui, maka digunakan pendekatan dengan

distribusi tdistribusi tdistribusi tdistribusi t----studestudestudestudentntntnt....

ns

XT

/

µ−=



5. Rata-rata konsumsi energi alat penyedot debu pada rumah

tangga adalah 46 kWh/tahun. Bila dilakukan survey terhadap 12

rumah tangga alat penyedot debu rata-rata mengkonsumsi

energi 42 kWh/th dengan simpangan baku 11,9 kWh/th. Dengan

taraf signifikansi 0,05 apakah rata-rata alat penyedot debu

menggunakan energi kurang dari 46 kWh/th. Anggap bahwa

populasi berdistribusi normal.


ANALISIS REGRESI DAN KORELASIANALISIS REGRESI DAN KORELASIANALISIS REGRESI DAN KORELASIANALISIS REGRESI DAN KORELASI

Pengamatan pada suatu objek dapat dilakukan pada dua atau lebih

peubah acak (variable) X dan Y.

Contoh : pengamatan jumlah permintaan barang produksi (Y) sebagai

akibat tinggi rendahnya biaya iklan (X).

Usaha untuk mengetahui hubungan atau kaitan antara peubah X

(bebas) dengan peubah Y (terikat) → misalnya hubungan garis linier,

maka :

Garis Regresi diharapkan dapat mewakili karakteristik data

(kecondongan, pencaran).

Persamaan Regresi Linier :Persamaan Regresi Linier :Persamaan Regresi Linier :Persamaan Regresi Linier :

Y = a + b.XY = a + b.XY = a + b.XY = a + b.X

X Y

… …

… …

… …

… …

… …

… …

… …

… …

… …

Garis regresi linier

yi (data)

yi (estimasi)

Y

X


Nilai a dan b harus dicari (diduga), dugaan a dan b ditentukan atas

dasar prinsip jumlah kesalahan kuadrat minimum (least square

method), yaitu :

X Y X*Y X2 Y2 Jumlah(ΣΣΣΣ)

( )∑ ∑∑∑∑

−⋅−⋅= 22 XXn

YXYXnb

n

XbYa ∑ ∑⋅−=

n = jumlah data

Nilai estimasi suatu data Yi, yang berkaitan dengan nilai Xi adalah :

Yi = a + b.Xi

Batas perkiraan (Limit of prediction) dari peubah acak tak bebas Yii

terhadap nilai estimasi pada persamaan regresi linier yang berubah

terhadap nilai Xi dengan taraf keberartian (level of significant) α dapat

dinyatakan sebagai berikut :

YYYY----A < Y < Y+AA < Y < Y+AA < Y < Y+AA < Y < Y+A


Nilai A sebagai batas perkiraan dari perubahan nilai variabel bebas X

dengan jumlah n sampel dapat dicari menggunakan pendekatan

dengan distribusi t-student dengan derajat kebebasan v = n-2, yaitu :

( )

∑ −

−+

+=

22

2

;2

1*

xnx

xx

n

nStA

XYv

α ; v = n-2

Nilai rerata variabel X dinyatakan dengan : n

Xx ∑=

Standard Error of Prediction dari dua variabel X dan Y adalah :

2

2

−−−= ∑ ∑∑

n

XYbYaYS

XY

KorKorKorKorelasielasielasielasi Menyatakan tingkat keeratan hubungan antara X dan Y. Ukuran

keeraran dinyatakan oleh koefisien korelasi r, yang nilainya :

-1 ≤ r ≤ 1

Nilai koefisien korelasi r dihitung dengan :

( ) ( )

−⋅

−

−=

∑∑

∑∑

∑ ∑∑

n

YY

n

XX

n

YXXY

r2

2

2

2



1. Karakteristik genset mesin diesel menyakan hubungan

pemakaian bahan bakar terhadap daya yang dihasilkan

dinyatakan sebagai dua variabel X dan Y dengan data sebagai

berikut :

Volume BBM (liter) 2 3 5 7 9 10

Daya (Watt) 22 25 34 43 56 60

a. carilah persamaan regresinya dan prediksikan berapa daya

yang dihasilkan bila digunakan 15 liter BBM.

b. Tentukan koefisien korelasinya, beri kesimpulan.

c. Apabila dengan tingkat kepercayaan (level of confidence) 95

%, tentukan batas perkiraan daya yang dihasilkan dengan

penggunaan BBM sebanyak 15 liter.

sampling.pdf

Documents