sangaku problemi iz japanskih hramova
TRANSCRIPT
![Page 1: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/1.jpg)
Danijela MiševićNada Todorovska
M – I
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
doc.dr.sc. Franka M.Brückler
![Page 2: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/3.jpg)
SANGAKU - „matematička ploča“
• obojene ploče ponuđene u shinto svetištima i u budističkim hramovima u Japanu; prikazuju matematičke probleme
• bile su namijenjene za kuću (kao zahvala duhu - čuvaru kuće), ili su stavljani u hramove kao izazov drugima s porukom:“Riješi ovo ako možeš!“
![Page 4: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/4.jpg)
• najviše sadržavaju običnu Euklidsku geometriju
• problemi su različiti od onih koje nalazimo u današnjoj nastavi
• neke od problema su prilično jednostavni i mogu ih riješiti i studenti nižih godina
• drugi su gotovo nemogući za riješiti, a moderni geometri riješavaju ih pomoću poboljšanih metoda
• najprije je tekst ploča pisan u Kambunu, kineskom pismu namijenjenom Japancima
![Page 5: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/5.jpg)
Primjeri sangaku ploča
KYOTO
TOKYO
![Page 6: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/6.jpg)
YAMAGATA
HYOGO
OSAKA
![Page 7: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/7.jpg)
KANAGAWA
IWATE
![Page 8: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/8.jpg)
NAGASAKI
FUKOKA
YAMANASI
![Page 9: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/9.jpg)
Kronologija1338. Započinje mračno doba znanosti u
Japanu
1573. Završetak Ashikaga Shogunata
1600. Tokugawa Ieyasu dobiva bitku na Sekigahari porazivši Hideyorija
1603.Početak perioda Edo u Japanu pod Shogunatom Tokugawe
1615.Ieyasu okupira dvorac Osaku; učinkovito se riješava cijele političke opozicije
1627.Koyo Yoshido piše Jinko-ki (“Mali i veliki brojevi”), djelo koje postaje sinonim
za aritmetiku u cijelom Japanu
![Page 10: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/10.jpg)
1633.Shogun Lemitru službeno zabranjuje putovanje izvan Japana. Trgovina dozvoljena samo s Kinom i Nizozemskom
1639.Početak perioda Sakoku (“nacionalna izoliranost”) u Japanu
1642.Rođenje Kowa Seki-ja, najvećeg japanskog matematičara
17.st.
1683.Najstariji izvještaji o sangaku pločama u Tochigi Prefecturi
1854.Završetak perioda Sakoku (M.C.Perry)
1867.Službeni kraj perioda Edo u Japanu
![Page 11: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/11.jpg)
Povijest sangaku ploča
• najraniji sangaku datira nekoliko godina prije početka japanskog Edo perioda
• Japan izoliran – pristup svim oblicima kulture bio je onemogućen – razvoj “japanskih” matematičara
• kružnice i elipse imaju veliku ulogu
• tijekom 200 godina Sakoku-a bilo je napravljeno oko 25 sangaku-a godišnje
![Page 12: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/12.jpg)
Wasan vs. Yosan• Wasan – japanska dostignuća u
matematici (poznat i razvijen sustav eksponencijalnih jednadžbi, sličan Arhimedovom )
• Yosan – proces stvaranja novih rukopisa sa zapadnjačkom notacijom, pisanih u Kambunu (19. st.)
• nakon otvaranja Japana nova vlada napustila je učenja starih matematičara u prilog yosanu
• neki su matematičari nastavili vješati ploče do danas (20. i 21. st. - plagijati)
![Page 13: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/13.jpg)
UMJETNIČKA DJELA
• Chou-pei Suan-ching (prvo poznato djelo); primjer Pitagorinog teorema, dijagram sličnosti kod njegovog dokaza
• Chiu-chang Suanshu (najpoznatije japansko matematičko djelo); opisuje metode za nalaženje površina trokuta, četverokuta, krugova i ostalih likova
![Page 14: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/14.jpg)
• Unatoč utjecaja kineske nauke, matematika nije ostavila korijene u Japanu (tijekom šogunata Asikaga (1338.- 1573.) teško se moglo pronaći nekoga u Japanu tko bi znao dijeliti )
• Kambei Mori (1600.); aritmetičko računanje na SOROBAN-u, inačici ABACUSA
• Koyo Yoshida – “Jinko-ki” (“Mali i veliki brojevi”)
• razvoj metoda za rješavanje jednadžbi višeg stupnja (važno za geometriju u hramovima)
![Page 15: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/15.jpg)
• Seki – princip kruga (odnosi se na razvoj sangaku ploča) ili ENRI
• ENRI: slična metodi ekshaustije razvijenoj još u drevnoj Grčkoj za izračun površine kruga
• predstavlja primitivnu formu integralnih jednadžbi što je kasnije bilo prošireno na druge likove, uključujući sfere i elipse
![Page 16: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/16.jpg)
„TKO JE OSMISLIO SANGAKU?“
• jesu li tako lijepo uređene ploče djelo profesionalnih matematičara ili amatera?
• mnogi od problema su elementarni i rješivi u svega nekoliko redova, pa se može pretpostaviti da su ih stvarali laici
• iz informacija kojima se do sada raspolaže zaključuje se da su ploče bile djelo prvenstveno profesionalnih matematičara i njihovih učenika (?!)
• najbolji odgovor na postavljeno pitanje o tome, tko je stvorio sangaku, bio bi SVI!!!
![Page 17: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/17.jpg)
Tipični problemi
TOKYO 1788.
Traži se radijus n-tog najvećeg plavog kruga pod uvjetom da je r radijus zelenog kruga. Crveni krugovi su jednaki (radijus je r/2).
Originalno rješenje ovog problema je japanska inačica Descartovog teorema o krugu.
![Page 18: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/18.jpg)
GUMMA 1824.
Narančasti i plavi krugovi dodiruju se u jednoj točki i leže na istom pravcu. Mali crveni krug dira oba veća kruga i također leži na tom pravcu. Koji je odnos među radijusima tih krugova?
![Page 19: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/19.jpg)
Pokažimo da j e AB 2 = 4r1r2
AB 2 + r1 - r2 2 = r1 + r2
2
AB 2 + r12 - 2r1r2 + r22 = r12 + 2r1r2 + r22
AB 2 = 4r1r2
Problem:
![Page 20: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/20.jpg)
Problem:Dokažimo:
Uz činjenicu: AC+CB=AB
![Page 21: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/21.jpg)
AB2 4r1r2AC CB2 4r1r2AC2 CB2 2ACCB 4r1r2
4r1r3 4r2r3 22r1r32r2r3 4r1r2
r1r3 r2r3 2r3r1r2 r1r2
r1r3 r2r3 2r3r1r2
r1r2r3
r1r2r1r2r3
1r2
1r1
2r1r2
1r31r1
1r22 1r32
1r3 1r1
1r2
![Page 22: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/22.jpg)
MYAGI 1912.
U točki P na elipsi nacrtaj normalu PQ tako da ona siječe drugu stranu elipse. Nađi najmanju vrijednost od PQ.
Rješenje: manja os elipse
![Page 23: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/23.jpg)
MYAGI 1913.
Narančasti kvadrati su nacrtani kao na slici. Koja je relacija radijusa među trima krugovima nacrtanih kao na slici?Rješenje: r1 : r2 = r2 :
r3
![Page 24: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/24.jpg)
GUMMA 1803.
Baza jednakokračnog trokuta leži na promjeru zelenog kruga. Taj promjer također presijeca crveni krug, što je postignuto tako da samo dira unutrašnjost zelenog kruga i vrh trokuta. Plavi krug je smješten tako da dira crveni krug i trokut. Dužina spaja središte plavog kruga i sjecište crvenog kruga i trokuta. Pokaži da je ova dužina okomita danom promjeru zelenog kruga.
![Page 25: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/25.jpg)
GUMMA 1874.
Veliki plavi krug leži unutar kvadrata. 4 manja narančasta kruga, od kojih je svaki sa različitim radijusom, dira plavi krug, kao i dvije susjedne stranice kvadrata. Kakva je relacija među radijusima četiriju malih krugova i duljine stranice kvadrata?
![Page 26: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/26.jpg)
1825. Koristi se metoda ENRI.
Valjak presijeca sferu tako da je vanjski dio valjka tangenta odnosno dira unutrašnjost sfere. Koja je površina dijela valjka koji sadrži unutrašnjost sfere
![Page 27: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/27.jpg)
KAMAGAWA 1822.
Dvije crvene sfere međusobno se diraju i unutar su velike zelene sfere. Niz manjih, plavih sfera različite veličine čini “vrat” između crvenih sfera. Svaka od plavih sfera u “ogrlici” dira najbliže susjede, a svi diraju obje crvene sfere i zelenu sferu. Koliko plavih sfera mora biti? Kako se međusobno odnose radijusi plavih sfera?
![Page 28: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/28.jpg)
1798.
Neka je velika sfera okružena s 30 malih sfera jednake veličine, od kojih svaka dira svoje 4 susjedne sfere, ali i veliku sferu. Koji je odnos radijusa velike sfere u odnosu na male sfere?
![Page 29: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/29.jpg)
Neka je AB = a, AF = x, OF = r
(a + r)2 = r2 + (a + x)2
a za ΔAFO vrijedi sljedeće: (a - r)2 = r2 + x2
Oduzimanjem dobijemo: 4ar = a2 + 2ax,
ili x + a/2 = 2r,
što znači da je stranica EF kvadrata MCEF, gdje je M polovište dužine AB,promjer kruga. Konstrukcija je sada vrlo jednostavna.
Tada za ΔBFO vrijedi:
U duhu U duhu Wasana:Wasana:
Problem 1Problem 1
![Page 30: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/30.jpg)
Neka je R radijus kruga sa središtem u E, a r nepoznati radijus traženog kruga.
Za trokut ΔADE vrijedi:
(R + r)2 = AD2 + (R - r)2,
ili 4Rr = AD2
Dok za ΔABC vrijedi: (2R - r)2 = BC2 + r2,
ili
R2 - 4Rr = BC2.
Budući je AD = BC, dobivamo sljedeće:
4Rr = 4R2 - 4Rr,
Ili R = 2r.
Središte kruga (A) nalazi se na presjeku krugova radijusa 3R/2 sa središtima u E i C.
Problem 2Problem 2
![Page 31: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/31.jpg)
JEDAN ZANIMLJIVI APPLET
![Page 32: Sangaku Problemi Iz Japanskih Hramova](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/563db91f550346aa9a9a3c5d/html5/thumbnails/32.jpg)
LITERATURAhttp://www.wasan.jp/english/
http://www.sangaku.info/
http://www.princeton.edu/main/news/archive/S15/04/04O77/index.xml
http://mathworld.wolfram.com/SangakuProblem.html
http://matcmadison.edu/is/as/math/kmirus/Reference/SanGaku.html
http://www.loyola.edu/maru/sangaku.html
http://lasi.lynchburg.edu/peterson_km/public/old/projects/problems.htm
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagorasWithVectenInJapan.shtml
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml