)são tais que 13. (uniderp-mt) seguilhermelauxen.pbworks.com/w/file/fetch/83777578/exercícios...
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8. Calcular , para que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja:
a) do 3° grau b) do 2° grau c) 1° grau
9. Quais das seguintes funções são polinomiais? Justifique.
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( ) √
10. Sendo ( ) , calcule:
a) ( ) b) ( ) c) ( )
11. Considere as funções polinomiais ( ) e ( ) .
Calcular:
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( )
d) ( ) ( )
12. (Vunesp-SP) Se , e são tais que ( ) , então o coeficiente de
em ( ) é
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
13. (Uniderp-MT) Se ( ) ( ( )
) é um polinômio, então ( ) é igual a
a) 10 b) 13 c) 16 d) 18 e) 20
14. Considere os polinômios ( ) , ( ) e ( ) .
Calcule e dê o grau dos seguintes polinômios:
a) b) ( ) ( )
15. Determine qual o polinômio que subtraído de ( ) resulta no polinômio ( )
.
16. Sejam os polinômios ( ) ( ) e ( ) ( ) . Determine
todos os valores reais de para que a diferença ( ) ( ) seja um polinômio do 2° grau.
17. Dados ( ) ( ) ( ) e ( ) , calcule , para que ( ) ( ) .
18. Determine , de modo que: ( )( ) .
19. (Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que ( ) ( ) ( ) para todo real,
então o valor de é
a) -5 b) -1 c) 1 d) 3 e) 7
20. (UECE) Se os polinômios ( ) |
| e ( ) são idênticos, então o valor de
é
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
LISTA DE EXERCÍCIOS DIVISÃO DE POLINÔMIOS
1. (UFMG) – O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x
3 + x – 1 por q(x) = 4x
3 +1 é:
a. x – 5 b. x – 1 c. x + 5 d. 4x – 5 e. 4x + 8
2. (UFPE) – Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x
2 + x + 1 por x
2 – x + 2 ?
a. x + 1 b. 3x + 2 c. -2x + 3 d. x – 1 e. x – 2
3. (CEFET-PR) – O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x
2 +16x – 12 por Q(x) = x – 3 é:
a. x – 3
b. x3 – x
2 + 1
c. x2 – 5x + 6
d. x2 – 4x + 4
e. x2 + 4x – 4
4. (UNICAMP-SP) – O resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – 2x
2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x
2 – 4 é:
a. R(x) = 2x – 2
b. R(x) = -2x + 4
c. R(x) = x + 2
d. R(x) = 4x – 4
e. R(x) = -x + 4
5. (PUC-PR) – O resto da divisão de x4 – 2x
3 + 2x
2 + 5x + 1 por x – 2 é:
a. 1 b. 20 c. 0 d. 19 e. 2
6. (PUC-BA) – O quociente da divisão do polinômio P = x3 – 3x
2 + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:
a. x b. x – 1 c. x2 – 1 d. x
2 – 2x + 1 e. x
2 – 3x + 3
7. (UEM-PR) – A divisão do polinômio 2x4 + 5x
3 – 12x + 7 por x – 1 oferece o seguinte resultado:
a. Q = 2x3 + 7x
2 + 7x – 5 e R = 2
b. Q = 2x3 + 7x
2 – 5x + 2 e R = 2
c. Q = 2x3
+ 3x2 – 3x – 9 e R = 16
d. Q = 2x3
+ 7x2 – 5x + 2 e R = 0
e. Q = 2x3 + 3x
2 – 15x + 22 e R = 2
8. (CESGRANRIO-RJ) – O resto da divisão de 4x9 + 7x
6 + 4x
3 + 3 por x + 1 vale:
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
9. (UFGRS) – A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quociente x – 2 e resto 1. O polinômio P(x) é:
a. x2 + x – 1
b. x2 + x + 1
c. x2 + x
d. x3 – 2x
2 + x – 2
e. x3 – 2x
2 + x – 1
10. (UFSE) – Dividindo-se o polinômio f = x4 pelo polinômio g = x
2 – 1, obtém-se quociente e resto,
respectivamente, iguais a:
a. x2 + 1 e x + 1
b. x2 – 1 e x + 1
c. x2 + 1 e x – 1
d. x2 – 1 e -1
e. x2 + 1 e 1
11. (FATEC-SP) – Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x
2 + 7x – 2 é Q(x) = x
2- 3x + 1, então o outro
fator é:
a. x – 2 b. x + 2 c. -x – 2 d. -x + 2 e. x + 1
12. (Mack-SP)
( )
( )
Considerando o resto ( ) e o quociente ( ) da divisão acima, se ( ) , ( ) vale
a) 1 b) -3 c) -5 d) -4 e) 2
13. Qual o resto da divisão do polinômio |
| pelo polinômio |
|?
Dispositivo de Briot-Ruffini
1. Calcule o quociente e o resto da divisão de:
a) ( ) por ( )
b) ( ) por ( )
c) ( ) por ( )
d) ( ) por ( )
2. Ache o quociente e o resto da divisão de:
a) ( ) por
b) ( ) por
3. Os esquemas representam aplicações do dispositivo prático de Briot-Ruffini; calcule o valor dos elementos
desconhecidos em cada um deles:
a) b)
2 a b c d
1 3 -2 1
4. (UEPG-PR) Na divisão do polinômio ( ) pelo binômio ( ), do 1° grau, usando o dispositivo de Briot-Ruffini,
obteve-se o seguinte:
m 1 a a -a -6
3 0
Então, assinale o que for correto.
01) ( ) é um polinômio do 4° grau.
02) ( ) é divisível por
04) ( )
08) ( )
16) O quociente da divisão é o polinômio ( ) .
A soma dos valores atribuídos às proporções verdadeiras é igual a ____.
5. Determine o quociente e o resto das divisões a seguir.
a) ( ) por ( )
-1 a b c d
4 -2 -1 0
b) ( ) por ( )
c) ( ) por ( )
6. Calcule o quociente ( ) do polinômio quando dividido por . Em seguida,
determine o valor de ( ).
Divisibilidade, Teorema de D’Alembert e Teorema dos Restos
1. Calcular o resto da divisão de ( ) por ( ) em cada um dos casos:
a) ( ) b) ( ) c) ( )
2. Determinar de modo que os restos das divisões de ( ) por e por sejam,
respectivamente, 1 e 4.
3. Dado o polinômio ( ) , determine sabendo que o resto da divisão de ( ) por
( ) é 1 e, quando dividido por ( ), tem resto igual a -5.
4. (UEL-PR) Se o resto da divisão do polinômio por ( ) é 10, qual é valor de ?
5. (UFSC) Sendo “a” e “b” dois números tais que o polinômio ( ) é divisível por ( )
e por ( ), calcule .
6. Dado o polinômio ( ) , determine se é divisível por algum polinômio a seguir, por
ou .
.
7. Determine em ( ) , sabendo que 1 é raiz de ( ) e que ( ) .
8. Considere o polinômio ( ) , em que são constantes. Sabendo que ( ) é divisível
por ( ) , determine o valor de .
Raiz do polinômio, conjunto solução, teorema da decomposição
1. Determine o conjunto solução das equações:
a)
b)
c)
d)
e) ( ) ( )
f)
2.(Vunesp-SP) Considere a matriz [
]. O determinante de é um polinômio ( ).
a) Verifique se 2 é uma raiz de ( ).
b) Determine todas as raízes de ( ).
3. (FGV-SP) Resolva a equação no conjunto dos números complexos.
4.(UEPB) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar óleo diesel. Os níveis e , dos tanques são dados
pelas expressões: ( ) e ( )
, sendo t o tempo em horas. O nível do óleo
de um tanque é igual ao outro no instante inicial e também no instante:
a) 1,5h b) 1,0h c) 2,5h d) 2,0h e) 0,5h
5. Definir analiticamente a função cuja representação gráfica é mostrada a seguir.
6. (Unesp-SP) A .altura de um balão em relação ao solo foi observada durante certo tempo e modelada pela função
( )
com ( ) em metros e em minutos. No instante o balão estava a 510 metros de altura. Determinar em que
outros instantes a altura foi também de 510 metros.
7. Sabendo-se que -1 é raiz dupla da equação , determinar o seu conjunto solução.
8. Decomponha os seguintes polinômios em fatores:
a) ( ) em que uma das raízes é 1;
b) ( ) em que uma das raízes é 2.
9. (FGV-SP) O polinômio ( ) tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da
diferença entre as outras raízes é igual a:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
10. Um professor de matemática escreveu um polinômio ( ) na lousa e falou que suas raízes, todas reais, eram
iguais às idades de suas filhas. Sabendo que suas idades são iguais a 22, 31 e 35 anos, determine o polinômio escrito a
lousa.
11. Sabendo que 2 é raiz da equação , determine o seu conjunto solução.
12. Resolva a equação , sabendo que -1 é uma raiz tripla dessa equação.
13. Exercícios 1, 2, 3 e 4 das páginas 37 e 38.
14. Resolva as equações:
a)
b)
c)
d) ( ) ( )
e)
f)
Avaliação de Matemática 1 | Peso: 3,5| 3º Bimestre | Prof. Guilherme Franklin Lauxen Neto
| Aluno: | Turma: 131 Data: 26/08/2013|
1. (0,5) Se, no universo , a equação admite a raiz -1 com
multiplicidade 3. Determine as demais raízes deste polinômio.
______________________________________________________________________________________
2. (0.5) (UEPB-PB) O polinômio ( ) , com a constante, tem como uma
de suas raízes. Com isso, podemos escrever ( ) como:
a) ( )( )( )
b) ( )( )( )
c) ( )( )( ) Justifique a sua resposta
d) ( )( )( )
e) ( )( )( )
3. (0,5) (UFRJ) O gráfico a seguir representa uma função
polinomial P de variável real, que possui duas raízes
inteiras e é definida por ( )
Determine o valor da constante representada por m e as
quatro raízes desse polinômio.
4. (0,5) Determine os valores dos parâmetros a, b e c para que o polinômio ( )
( ) ( ) seja identicamente nulo.
5. (0,4) (UFPel-RS) Para que o polinômio dê resto 3 quando dividido por
( ), deve valer:
a) 1 b) -1 c) 3 d) -7 e) 7
__________________________________________________________Justifique a sua resposta_________
6. (0,3) (UFPA) O polinômio ( ) é idêntico a ( ) . Então
podemos dizer que é igual a:
a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) -3
_________________________________________________________Justifique a sua resposta__________
7. (0,4) Determine os polinômios quociente e o resto das divisões.
a) ( ) por ( )
b) ( ) por ( )
__________________________________________________________________________________
8. (0,4) (Furg-RS) . Na divisão de um polinômio ( ) pelo binômio ( – ), ao usar o dispositivo prático de
Briot-Ruffini, encontrou-se.
Determine os valores de a, q, p e r.
Recuperação de Matemática: polinômios
| Peso: 3,5| 3º Bimestre | Prof. Guilherme Franklin Lauxen Neto
| Aluno | Turma: 131 Data: 27/08/2013|
1. (0,5) Veja o gráfico de ( ) , em que e são números reais. Nele, estão
indicados os pontos em que a curva corta o eixo .
a) Qual o valor numérico de ( ) para ?
b) Quais os valores de e ?
c) Escreva o polinômio ( ) e valor o valor numérico de
( ), (
) e ( ).
2. (0,5) (UEPG-PR) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, para a
divisão de um polinômio ( ) por um polinômio ( ). Assim, determine a alternativa falsa.
a) ( )
b) ( )é divisível por ( )
c) ( ) é divisível por ( )
d) O quociente da divisão de ( ) por ( ) é ( )
3. (0,4) (UFRGS-RS) Se é uma raiz do polinômio ( ) e é uma raiz do polinômio ( ), então:
a) ( )
( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( )
d) ( ) ( )
e) ( ) ( )
Esta questão utiliza o conceito teórico de raiz.
4. (0.5) Efetue a divisão de ( ) por ( ) em cada um dos itens.
5. (0,5) Considere os polinômios ( ) ( ) e ( ) . Calcule o
valor de sabendo que ( ) ( ) é o polinômio identicamente nulo.
6. (0.6) Considere os polinômios ( ) ; ( ) e ( ) .
Calcule e dê o grau dos seguintes polinômios:
a) b) ( ) ( ) c)
7. (0.5) Determine o conjunto solução da equação .
8. Questão extra (0.5). Resolva a equação , sabendo que uma de suas raízes é
dupla.
9. (0.7)