savijanje i uvijanje štapova otvorenog tankostjenog presjeka s
TRANSCRIPT
S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Ado Matoković
SAVIJANJE I UVIJANJE ŠTAPOVA
OTVORENOG TANKOSTJENOG PRESJEKA
S UTJECAJEM SMICANJA
DOKTORSKA DISERTACIJA
Split, 2012.
ii
Doktorska disertacija izrađena na Zavodu za strojarstvo i brodogradnju,
Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
Mentor: dr. sc. Radoslav Pavazza, red. prof.
Rad br. 71
iii
Povjerenstvo za ocjenu doktorske disertacije:
1. Dr. sc. Igor Duplančić, red. prof., FESB, Split
2. Dr. sc. Radoslav Pavazza, red. prof., FESB, Split
3. Dr. sc. Ivo Alfirević, professor emeritus, FSB, Zagreb
4. Dr. sc. Nenad Vulić, red. prof., Hrvatski registar brodova, Split
5. Dr. sc. Frane Vlak, izv. prof., FESB, Split
Povjerenstvo za obranu doktorske disertacije:
1. Dr. sc. Igor Duplančić, red. prof., FESB, Split
2. Dr. sc. Radoslav Pavazza, red. prof., FESB, Split
3. Dr. sc. Ivo Alfirević, professor emeritus, FSB, Zagreb
4. Dr. sc. Nenad Vulić, red. prof., Hrvatski registar brodova, Split
5. Dr. sc. Vedrana Cvitanić, docent, FESB, Split
Disertacija obranjena dana 27. travnja 2012.
iv
Savijanje i uvijanje štapova otvorenog tankostjenog presjeka
s utjecajem smicanja
Sažetak
U radu je razmatran utjecaj smicanja pri savijanju i uvijanju štapova otvorenog tankostjenog
presjeka. Izvedeni su približni analitički izrazi za pomake i normalna naprezanja u uzdužnom
smjeru čime su dopunjene: Euler Bernoullijeva teorija i Timoshenkova teorija savijanja i klasična
Vlasovljeva teorija uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Pretpostavlja se
da poprečni presjeci zadržavaju svoj oblik, dok se kutne deformacije u srednjoj plohi uzimaju u
obzir pa teorija postaje primjenjiva i za relativno kratke štapove kod kojih utjecaj smicanja nije
zanemariv.
Dani su novi izrazi za pomake i naprezanja u kojima važnu ulogu igraju faktori smicanja, koji su
dani kao čisto geometrijske karakteristike. Za jednostavne poprečne presjeke s dvije i jednom osi
simetrije (I-presjek, U-presjek, T-presjek, L-presjek), faktori smicanja dani su analitički u
parametarskom obliku. Za nesimetrične presjeke faktori smicanja određeni su programiranjem u
Excelu. Vrijednosti pojedinih faktora smicanja uspoređene su s onima iz navedene literature. pri
čemu su vrlo dobra slaganja rezultata.
Razmatrani su štapovi otvorenog tankostjenog presjeka s dvije i jednom osi simetrije kao i štapovi
jednostavnog nesimetričnog presjeka (L-presjek, C-presjek) pri različitim opterećenjima, posebno
na savijanje i posebno na uvijanje, zglobno oslonjeni i upeti na krajevima. Dobiveni rezultati za
pomake i normalno naprezanje testirani su na nizu primjera te uspoređeni s onima iz navedene
literature. Slaganje rezultata je vrlo dobro. Vrijednosti pomaka i normalnog naprezanja, kod svih
primjera, uspoređeni su s rezultatima dobivenim prema metodi konačnih elemenata. Pri
opterećenju na savijanje korišteni su membranski, a kod uvijanja ljuskasti elementi. Ove
usporedbe pokazale su izvrsno slaganje rezultata za pomake i normalna naprezanja po predloženoj
teoriji savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja i metodi konačnih elemenata.
Pokazano je da je kod relativno kratkih štapova utjecaj smicanja, posebno na pomake, ali i na
normalna naprezanja u uzdužnom smjeru značajan. Pod kratkim štapovima podrazumijevaju se
oni, kod kojih je omjer duljine štapa i duljine srednje linije poprečnog presjeka mali.
Ključne riječi: tankostjeni štap, otvoreni poprečni presjek, savijanje s utjecajem smicanja, uvijanje
s utjecajem smicanja
v
Influence of shear on bending and torsion of thin-walled beams
with open cross-section
Summary
In this paper the influence of shear on bending and torsion of thin-walled beams with open cross-
section is considered. New approximate expressions for displacements and normal stresses in
longitudinal direction are derived, which supplements Euler-Bernoulli and Timoshenko’s theory
of bending as well as the classical Vlasov’s theory of torsion of thin-walled beams with open
cross-section.
It is assumed that cross-sections maintain their shapes. Shear deformations in the middle plane are
taken into account so that this theory is acceptable for relatively short beams where the influence
of shear is not negligible.
New terms have been assigned to displacements and normal stresses, in which shear factors,
determined as purely geometric characteristics, play a significant role. For simple cross-sections
with two or one axes of symmetry (I-section, U-section, T-section, L-section) shear factors are
provided analytically in parametric form. For asymmetric cross-sections, shear factors are
calculated by using Excel. Values of some shear factors are compared with values from the
references cited, whereby results indicate considerable similarities.
Thin-walled beams with open cross-sections with two or one axes of symmetry as well as thin-
walled beams with simple asymmetric cross-sections (L-section, C-section) at different loads, on
bending and torsion separately, and at different boundary conditions, are considered. Obtained
values for displacements and normal stresses are tested on a series of examples and compared
with those from the references cited. The results show very good agreement.
Values for displacements and normal stresses obtained in all examples are also tested and
compared with those obtained by means of the finite-element method.
Membrane elements are used on bending load, and shell elements are used on torsion load. There
is an excellent agreement between the results obtained by the proposed theory and those obtained
by means of the finite-element method.
It is shown that in relatively short beams the shear influence especially on displacement, but also
on normal stresses in longitudinal direction, is significant. Short beams are those whose have
small ratio length of beam and length of middle line.
Key words: thin-walled beams, open cross-section, bending with influence of shear, torsion with
influence of shear.
vii
Ovaj rad posvećujem:
supruzi Franki, kćerki Ivani i sinu Marinu.
viii
Mentoru, prof. dr. sc. Radoslavu Pavazzi od srca zahvaljujem na poticaju za izradu rada,
pruženoj potpori, velikom razumijevanju i strpljenju, kao i savjetima za vrijeme izrade
rada.
Prijatelju i kolegi dr. sc. Boži Plazibatu dugujem veliku zahvalnost na pomoći pri
grafičkoj obradi ovog rada kao i stalnom bodrenju i ohrabrivanju da se ovaj rad privede
kraju.
Osobitu zahvalnost na korisnim savjetima dugujem professoru emeritusu dr. sc. Ivi
Alfireviću. Kolegama prof. dr. sc. Frani Vlaku, prof. dr. sc. Igoru Duplančiću i prof. dr.
sc. Nenadu Vuliću zahvaljujem na korisnim savjetima i uloženom trudu u pregledavanju
rada.
Veliku podršku kroz svo vrijeme izrade rada imao sam od prijatelja i kolege mr. sc. Ive
Jerčića pa i njemu najiskrenije zahvaljujem.
ix
Sadržaj
Bibliografski podatci ii
Podatci o ocjeni i obrani disertacije iii
Sažetak iv
Summary v
Zahvala viii
Sadržaj ix
Popis tablica xiii
Popis slika xix
Popis oznaka xxxix
1. UVOD 1
1.1. Uvod u problematiku 1
1.2. Pregledni prikaz dosadašnjih istraživanja 1
1.3. Cilj i svrha istraživanja 3
2. SAVIJANJE ŠTAPOVA OTVORENOG TANKOSTJENOG
PRESJEKA S UTJECAJEM SMICANJA
7
2.1. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju 7
2.2. Pomaci i deformacije 8
2.3. Naprezanja 11
2.4. Jednadžbe ravnoteže 13
2.5. Veza naprezanja i unutarnjih sila 17
2.5.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila 17
2.5.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila 20
2.6. Pomaci pola 30
2.7. Posebni slučajevi 33
2.7.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije 33
2.7.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije 36
3. UVIJANJE ŠTAPOVA OTVORENOG TANKOSTJENOG PRESJEKA
S UTJECAJEM SMICANJA
39
3.1. Jednadžbe ravnoteže 40
3.2. Veza naprezanja i unutarnjih sila 44
3.2.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila 44
3.2.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila 46
3.3. Pomaci pola 55
3.4. Posebni slučajevi 58
x
3.4.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije 58
3.4.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije 59
4. UTJECAJ SMICANJA PRI SAVIJANJU I UVIJANJU ŠTAPOVA
OTVORENOG TANKOSTJENOG PRESJEKA
----
61
4.1. Posebni slučajevi 62
4.1.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije 62
4.1.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije 63
5. ANALIZA REZULTATA 65
5.1. Faktori smicanja 65
5.2. Analiza rezultata pomaka i normalnog naprezanja pri savijanju s
utjecajem smicanja
74
5.3. Analiza pomaka i normalnog naprezanja pri uvijanju s utjecajem
smicanja
86
6. USPOREDBA REZULTATA DANE TEORIJE S REZULTATIMA
DOBIVENIM METODOM KONAČNIH ELEMENATA
91
6.1. Usporedba rezultata za pomake i normalna naprezanja pri savijanju s
utjecajem smicanja
91
6.2. Usporedba rezultata za kut uvijanja, horizontalne pomake i normalna
naprezanja pri uvijanju s utjecajem smicanja
104
7. ZAKLJUČAK 109
LITERATURA 123
Životopis 129
Biography 131
PRILOZI
A. Geometrijske značajke poprečnih presjeka 133
A.1. Presjeci s dvije osi simetrije 140
A.1.1. I presjek 140
A.2. Presjeci s jednom osi simetrije 146
A.2.1. I presjek s jednom osi simetrije 146
A.2.2. T presjek 153
A.2.3. U presjek 158
A.2.4. L presjek 165
A.3. Nesimetrični presjeci 170
A.3.1. L nesimetrični presjek 170
A.3.2. C nesimetrični presjek 175
B. PRIMJERI – Savijanje s utjecajem smicanja 185
B.1. Presjeci s dvije osi simetrije 185
B.1.1. I presjek 185
xi
B.2. Presjeci s jednom osi simetrije 206
B.2.1. I presjek s jednom osi simetrije 206
B.2.2. T presjek 232
B.2.3. U presjek 256
B.2.4. L presjek 310
B.3. Nesimetrični presjeci 328
B.3.1. L nesimetrični presjek 328
B.3.2. C nesimetrični presjek 339
C. PRIMJERI – Uvijanje s utjecajem smicanja 351
C.1. Presjeci s dvije osi simetrije 351
C.1.1. I presjek 351
C.2. Presjeci s jednom osi simetrije 361
C.2.1. I presjek s jednom osi simetrije 361
C.2.2. U presjek 371
xiii
Popis tablica
Tablica 5.1. I-presjek: Faktor smicanja 1/zz K za 1mh i 1 0t t prema [44].
Tablica 5.2. T-presjek Faktor smicanja zz za 1000 mmh i 1 0t t prema [44].
Tablica 5.3. Faktor smicanja zz za 1000 mmh prema [46].
Tablica 5.4. Usporedba faktora smicanja za U-presjek po teoriji SUS i [53].
Tablica 5.5. Usporedba faktora smicanja za C- nesimetrični presjek po teoriji SUS i
[53].
Tablica 5.6. Usporedba faktora smicanja zz i yy po teoriji SUS i [48].
Tablica 5.7. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib P,max b,max/w w w po
teoriji SUS i [32].
Tablica 5.8. Usporedba rezultata za kut uvijanja na kraju konzolnog nosača I-presjeka
po teoriji UUS i [82] i [53].
Tablica 5.9. Rezultati za kut uvijanja i horizontalni pomak na kraju konzolnog nosača U-
presjeka po teoriji UUS i [82], [53], [83] i [32].
Tablica 5.10. Usporedba rezultata za kut uvijanja i horizontalni pomak na kraju konzol-
nog nosača U-presjeka po teoriji UUS i [82], [53], [83] i [32].
Tablica 6.1. Usporedba faktora smicanja na progibe w i v prema SUS i MKE.
Tablica 6.2. Usporedba faktora smicanja na normalna naprezanja Bw i A
v prema SUS i
MKE.
Tablica 6.3. Usporedba faktora smicanja na progibe w i Cv prema SUS i MKE.
Tablica 6.4. Usporedba faktora smicanja na normalna naprezanja Awu i A
v prema
SUS i MKE.
Tablica 6.5. Usporedba normiranih progiba B b,max/v v i B b,max/w w prema SUS i MKE.
Tablica 6.6. Usporedba normiranih normalnih naprezanja točaka A, B, C i D C-
nesimetričnog presjeka, za omjer L/h=3, prema SUS i MKE.
Tablica 6.7. Usporedba faktora smicanja na kut uvijanja i A prema UUS i MKE.
Tablica 6.8. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib točke C Cv i faktora
utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av prema teoriji UUS i MKE.
Tablica 7.1. Usporedba faktora smicanja zz za vrijednosti 0 i 0,3 .
Tablica 7.2. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe i faktora utjecaja smicanja
na normalna naprezanja za I-presjek prema SUS i MKE.
Tablica 7.3. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe i faktora utjecaja smicanja
na normalna naprezanja za U-presjek prema SUS i MKE.
Tablica 7.4. Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja i faktora utjecaja
smicanja na normalna naprezanja za I-presjek prema teoriji UUS i MKE.
Tablica 7.5. Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja i faktora utjecaja
smicanja na normalna naprezanja za U-presjek prema teoriji UUS i MKE.
xiv
Tablica A.1. I presjek s dvije osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Tablica A.2. I presjek s dvije osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Tablica A.3. I presjek s dvije osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *yS .
Tablica A.4. I presjek s dvije osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *zS .
Tablica A.5. I presjek s dvije osi simetrije: Sektorski statički moment površine
odsječenog dijela presjeka *S .
Tablica A.6. I presjek s dvije osi simetrije:
*
0
dzs
ySs
t.
Tablica A.7. I presjek s dvije osi simetrije: *
0
d
ys
zSs
t.
Tablica A.8. I presjek s dvije osi simetrije: *
0
d
sS
st
.
Tablica A.9. I presjek s dvije osi simetrije: Površina, aksijalni, sektorski, polarni i
torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.
Tablica A.10. I presjek s dvije osi simetrije: Faktori smicanja.
Tablica A.11. I presjek s dvije osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Tablica A.12. I presjek s jednom osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Tablica A.13. I presjek s jednom osi simetrije: Statički moment površine odsječenog
dijela presjeka *yS .
Tablica A.14. I presjek s jednom osi simetrije: Statički moment površine odsječenog
dijela presjeka *zS .
Tablica A.15. I presjek s jednom osi simetrije: Sektorski statički moment površine
odsječenog dijela presjeka *S .
Tablica A.16. I presjek s jednom osi simetrije:
*
0
dzs
ySs
t.
Tablica A.17. I presjek s jednom osi simetrije: *
0
d
ys
zSs
t.
Tablica A.18. I presjek s jednom osi simetrije: *
0
d
sS
st
.
Tablica A.19. I presjek s jednom osi simetrije: Položaj težišta i glavnog pola, površina,
aksijalni, sektorski, polarni i torzijski moment tromosti, polarni moment
otpora.
Tablica A.20. I presjek s jednom osi simetrije: Faktori smicanja.
Tablica A.21. T presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
xv
Tablica A.22. T presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Tablica A.23. T presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .
Tablica A.24. T presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .
Tablica A.25. T presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Tablica A.26. T presjek: *
0
dzs
zSs
t.
Tablica A.27. T presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski momenti tromosti.
Tablica A.28. T presjek: Faktori smicanja.
Tablica A.29. U presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Tablica A.30. U presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Tablica A.31. U presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .
Tablica A.32. U presjek: Satički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .
Tablica A.33. U presjek: Sektorski statički moment površine odsječenog dijela presjeka *S .
Tablica A.34. U presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Tablica A.35. U presjek: *
0
d
ys
zSs
t.
Tablica A.36. U presjek: *
0
d
sS
st
.
Tablica A.37. U presjek: Položaj težišta i glavnog pola, površina, aksijalni, sektorski,
polarni i torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.
Tablica A.38. U presjek: Faktori smicanja.
Tablica A.39. L presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Tablica A.40. L presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Tablica A.41. L presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .
Tablica A.42. L presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .
Tablica A.43. L presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Tablica A.44. L presjek: *
0
d
ys
zSs
t.
Tablica A.45. L presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski momenti tromosti.
Tablica A.46. L presjek: Faktori smicanja.
xvi
Tablica A.47. L nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Tablica A.48. L nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Tablica A.49. L nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *yS .
Tablica A.50. L nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *zS .
Tablica A.51. L nesimetrični presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Tablica A.52. L nesimetrični presjek: *
0
d
ys
zSs
t.
Tablica A.53. L nesimetrični presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski
momenti tromosti.
Tablica A.54. L nesimetrični presjek: Faktori smicanja.
Tablica A.55. C nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Tablica A.56. C nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Tablica A.57. C nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *yS .
Tablica A.58. C nesimetrični presjek: Satički moment površine odsječenog dijela
presjeka *zS .
Tablica A.59. C nesimetrični presjek: Sektorski statički moment površine odsječenog
dijela presjeka *S .
Tablica A.60. C nesimetrični presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Tablica A.61. C nesimetrični presjek: *
0
d
ys
zSs
t.
Tablica A.62. C nesimetrični presjek: *
0
d
sS
st
.
Tablica A.63. C nesimetrični presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski
momenti tromosti.
Tablica A.64. C nesimetrični presjek: Faktori smicanja.
Tablica B.1. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .
Tablica B.2. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h .
Tablica B.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .
Tablica B.4. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Tablica B.5. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .
xvii
Tablica B.6.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .
Tablica B.6.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h .
Tablica B.7. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .
Tablica B.7.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .
Tablica B.8. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Tablica B.9. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .
Tablica B.10.a. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .
Tablica B.10.b. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h .
Tablica B.11. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .
Tablica B.12. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h . /L h .
Tablica B.13. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h .
Tablica B.14.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h .
Tablica B.14.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .
Tablica B.15. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v o omjeru /L h .
Tablica B.15.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L h .
Tablica B.16. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Tablica B.17. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b .
Tablica B.18.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b .
Tablica B.18.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b .
Tablica B.19. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v o omjeru /L b .
Tablica B.19.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L b .
Tablica B.20. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .
Tablica B.21. L presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L b .
Tablica B.22. L presjek: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b .
Tablica B.23. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b .
Tablica B.24. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .
Tablica C.1. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h .
Tablica C.2. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h .
Tablica C.3.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h .
Tablica C.3.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .
Tablica C.4.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora A
v o omjeru /L h .
Tablica C.4.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora D
v o omjeru /L h .
xviii
Tablica C.5.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora o omjeru /L h .
Tablica C.5.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L h .
Tablica C.6.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Tablica C.6.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .
Tablica C.7.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora o omjeru /L b .
Tablica C.7.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L b .
Tablica C.8.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .
Tablica C.8.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bv o omjeru /L b .
xix
Popis slika
Slika 2.1. Pomaci točke S srednje plohe: a) komponentni pomaci; b) pomaci u ravnini
poprečnog presjeka.
Slika 2.2. Kutna deformacija u srednjoj plohi.
Slika 2.3. Ravnoteža diferencijalnog elementa.
Slika 2.4. Vanjsko opterećenje štapa: a) sile na jedinicu površine b) sile na jedinicu
duljine.
Slika 2.5. Ravnoteža konačnog elementa.
Slika 3.1. Vanjsko opterećenje.
Slika 3.2. Ravnoteža konačnog elementa štapa.
Slika 5.1. Utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor smicanja zz za I-presjek prema
[44].
Slika 5.2. Utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor smicanja zz za T-presjek
prema [44].
Slika 5.3. Vanjsko opterećenje i oslonci nosača.
Slika 5.4. Geometrija poprečnog presjeka.
Slika 5.5. Normirani pomak P b/w w - ukliješteni nosač.
Slika 5.6. Normirani pomak P b/v v - ukliješteni nosač.
Slika 5.7. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni
nosač.
Slika 5.8. Normirano normalno naprezanje duž struka na sredini raspona - ukliješteni
nosač.
Slika 5.9. Geometrija poprečnog presjeka.
Slika 5.10. Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.
Slika 5.11. Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
Slika 5.12. Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika 5.13. Normirano normalno naprezanje b/wux x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika 5.14. Normirano normalno naprezanje b/wux x duž horizontalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika 5.15. U presjek b h : Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -
ukliješteni nosač.
Slika 5.16. Normirano normalno naprezanje b/vx x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika 5.17. Normirano normalno naprezanje b/vx x duž horizontalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika 5.18. Geometrija poprečnog presjeka.
Slika 5.19. Normirani pomak B b/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika 5.20. Normirani pomak B b/w w - zglobno oslonjen nosač.
xx
Slika 5.21. Normirano normalno naprezanje b/x x duž gornjeg pojasa na sredini
raspona – zglobno oslonjen nosač.
Slika 5.22. Normirano normalno naprezanje b/x x duž struka na sredini raspona -
zglobno oslonjen nosač.
Slika 5.23. Normirano normalno naprezanje b/x x duž donjeg pojasa na sredini
raspona – zglobno oslonjen nosač.
Slika 5.24. Normirani pomak VlasovB B/v v - ukliješteni nosač.
Slika 5.25. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona – ukliješteni
nosač.
Slika 5.26. U presjek b h : Normirani pomaci VlC Cmax/v v , s Vl
C Cmax/v v i VlC Cmax/zMv v -
ukliješteni nosač.
Slika 5.27. U presjek b h : Normirani pomaci VlC Cmax/v v - ukliješteni nosač.
Slika 5.28. U presjek b h : Normirano naprezanje Vlmax/v
x x duž vertikalne stjenke
na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika 5.29. U presjek b h : Normirano naprezanje Vlmax/v
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika 6.1. a) membranski element; b) opterećenje štapa.
Slika 6.2. a) rubni uvjeti za zglobno oslonjeni nosač; b) rubni uvjeti za ukliješteni
nosač.
Slika 6.3. a) gustoća mreže; b) položaj opterećenja.
Slika 6.4. Geometrija poprečnog presjeka.
Slika 6.5. Normirani pomak P b/w w - ukliješteni nosač.
Slika 6.6. Normirani pomak P b/v v - ukliješteni nosač.
Slika 6.7. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni
nosač.
Slika 6.8. Normirano normalno naprezanje duž struka na sredini raspona - ukliješteni
nosač.
Slika 6.9. Geometrija poprečnog presjeka.
Slika 6.10. Normirani pomak P b,max/w w - zglobno oslonjeni nosač.
Slika 6.11. Normirani pomak C b,max/v v - zglobno oslonjeni nosač.
Slika 6.12. Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.13. Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž horizontalne stjenke na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.14. Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.15. Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž horizontalne stjenke na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.16. Geometrija poprečnog presjeka.
xxi
Slika 6.17. Normirani pomak P b,max/w w - zglobno oslonjeni nosač.
Slika 6.18. Normirani pomak C b,max/v v - ukliješteni nosač.
Slika 6.19. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž gornjeg pojasa na sredini
raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.20. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka na sredini raspona -
zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.21. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž donjeg pojasa na sredini
raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.22. a) ljuskasti element; b) opterećenje štapa.
Slika 6.23. Normirani pomak VLB B,max/v v - ukliješteni nosač.
Slika 6.24. Normirano normalno naprezanje Vlasov/x x duž pojasa na sredini raspona
- ukliješteni nosač.
Slika 6.25. Normirani pomak VL
C C,max/v v - zglobno oslonjeni nosač.
Slika 6.26. Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika 6.27. Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž horizontalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika A.1. Krivocrtne koordinate za U poprečni presjek.
Slika A.2. Raspodjela odsječenog dijela površine *zA , raspodjela statičkog momenta
odsječenog dijela površine *yS te krivocrtna koordinata zs za U presjek.
Slika A.3. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *yS te predznaka krivocrtne koordinate zs sa smjerom toka tangencijalnog
naprezanja z
t .
Slika A.4. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *zS te predznaka krivocrtne koordinate ys sa smjerom toka tangencijalnog
naprezanja y
t .
Slika A.5. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *S te predznaka krivocrtne koordinate s sa smjerom toka tangencijalnog
naprezanja t
.
Slika A.6. Korekcija funkcije raspodjele integrala
*
0
dzs
ySs
t.
Slika A.7. I presjek s dvije osi simetrije: geometrija.
Slika A.8. I presjek s dvije osi simetrije: glavna koordinata y, glavna koordinata z,
glavna sektorska koordinata .
Slika A.9. I presjek s dvije osi simetrije: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata
zs , ys i s .
Slika A.10. I presjek s jednom osi simetrije: geometrija.
xxii
Slika A.11. I presjek s jednom osi simetrije: glavna koordinata y, glavna koordinata z,
glavna sektorska koordinata .
Slika A.12. I presjek s jednom osi simetrije: Definiranje predznaka krivocrtnih
koordinata zs , ys i s .
Slika A.13. T presjek: geometrija.
Slika A.14. T presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.
Slika A.15. T presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .
Slika A.16. U presjek: geometrija.
Slika A.17. U presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z, glavna sektorska
koordinata .
Slika A.18. U presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs , ys i s .
Slika A.19. L presjek: geometrija.
Slika A.20. L presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.
Slika A.21. L presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .
Slika A.22. L nesimetrični presjek: geometrija.
Slika A.23. L nesimetrični presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.
Slika A.24. L nesimetrični presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i
ys .
Slika A.25. C nesimetrični presjek: geometrija.
Slika A.26. C nesimetrični presjek: glavna koordinata y , glavna koordinata z i glavna
sektorska koordinata .
Slika A.27. C nesimetrični presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata ys , zs
i s .
Slika A.28. C nesimetrični presjek: Korekcija za *
0
d
sS
st
.
Slika B.1. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE
položaj opterećenja.
Slika B.2. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.4. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/w
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.5. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.6. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.7. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
xxiii
Slika B.8. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješten
nosač.
Slika B.9. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješten
nosač.
Slika B.10. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/w
x x -ukliješteni nosač.
Slika B.11. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
Slika B.12. Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž pojasa na sredini raspona
– ukliješteni nosač.
Slika B.13. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.14. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.15. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.16. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE
položaj opterećenja.
Slika B.17. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.18. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.19. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A
,max/v bx x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.20. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.21. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x
duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.22. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - ukliješteni
nosač.
Slika B.23. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
Slika B.24. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.25. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -
ukliješten nosač.
Slika B.26. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x
duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
xxiv
Slika B.27. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x
duž pojasa na mjestu uklještenja.
Slika B.28. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE
položaj opterećenja.
Slika B.29. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.30. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.31. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak s bmax/u w - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.32. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.33. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.34. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.35. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.36. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.37. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.38. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž donjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.39. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni
nosač.
Slika B.40. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
Slika B.41. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni
nosač.
Slika B.42. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.43. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu
x x -ukliješteni nosač.
Slika B.44. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
Slika B.45. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
xxv
Slika B.46. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.47. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.48. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž donjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.49. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.50. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na mjestu uklještenja.
Slika B.51. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž donjeg pojasa na mjestu uklještenja.
Slika B.52. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE
položaj opterećenja.
Slika B.53. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i
B bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.54. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak točke B B bmax/v v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.55. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v i Bv o omjeru /L h -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.56. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.57. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.58. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.59. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i
B bmax/v v - ukliješteni nosač.
Slika B.60. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak točke B B bmax/v v -
ukliješteni nosač.
Slika B.61. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v i Bv o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
Slika B.62. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.63. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
Slika B.64. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje
xxvi
b,max/v
x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.65. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.66. T presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element,
d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
Slika B.67. T presjek: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.68. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.69. T presjek: Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.70. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.71. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu
x x - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.72. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.73. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.74. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž pojasa na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.75. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.76. T presjek: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.77. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni nosač.
Slika B.78. T presjek: Normirani pomak s max/ bu w - ukliješteni nosač.
Slika B.79. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x - ukliješteni
nosač.
Slika B.80. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu
x x -ukliješteni
nosač.
Slika B.81. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
Slika B.82. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
Slika B.83. T presjeke: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž pojasa na
sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.84. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na
sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.85. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž pojasa na
mjestu uklještenja.
Slika B.86. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na
mjestu uklještenja.
Slika B.87. T presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element,
d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
xxvii
Slika B.88. T presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.89. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.90. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.91. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.92. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž pojasa na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.93. T presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni nosač.
Slika B.94. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - ukliješteni nosač.
Slika B.95. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - ukliješteni
nosač.
Slika B.96. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.97. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž pojasa na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.98. T presjek: Normirano normalno naprezanje b/vx x duž pojasa na mjestu
uklještenja.
Slika B.99. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
Slika B.100. U presjek (b=h): Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.101. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.102. U presjek (b=h): Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.103. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.104. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.105. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.106. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.107. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.108. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.109. U presjek (b=h): Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.110. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni nosač.
Slika B.111. U presjek (b=h): Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.
xxviii
Slika B.112. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.113. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.114. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
Slika B.115. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
Slika B.116. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.117. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.118. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu uklještenja.
Slika B.119. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na mjestu uklještenja.
Slika B.120. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
Slika B.121. U presjek (b=h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.122. U presjek (b=h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.123. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.124. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.125. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.126. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.127. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.128. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.129. U presjek (b=h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -
ukliješteni nosač.
Slika B.130. U presjek (b=h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - ukliješteni nosač.
Slika B.131. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L h - ukliješteni
nosač.
xxix
Slika B.132. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.133. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.134. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
Slika B.135. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.136. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.137. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu uklještenja.
Slika B.138. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na mjestu uklještenja.
Slika B.139. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
Slika B.140. U presjek (b=2h): Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.141. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.142. U presjek (b=2h): Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.143. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.144. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.145. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.146. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.147. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.148. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na mjestu raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.149. U presjek (b=2h): Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.150. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b - ukliješteni nosač.
Slika B.151. U presjek (b=2h): Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.
Slika B.152. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.153. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x -
xxx
ukliješteni nosač.
Slika B.154. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b -ukliješteni nosač.
Slika B.155. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b -ukliješteni nosač.
Slika B.156. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.157. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.158. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu uklještenja.
Slika B.159. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na mjestu uklještenja.
Slika B.160. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
Slika B.161. U presjek (b=2h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.162. U presjek (b=2h): Normirani pomak točke C bmax/Cv v - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.163. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L b - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.164. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.165. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.166. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.167. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.168. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.169. U presjek (b=2h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -
ukliješteni nosač.
Slika B.170. U presjek (b=2h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - ukliješteni nosač.
Slika B.171. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L b - ukliješteni
nosač.
Slika B.172. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.173. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
xxxi
Slika B.174. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b -ukliješteni nosač.
Slika B.175. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.176. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.177. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu uklještenja.
Slika B.178. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na mjestu uklještenja.
Slika B.179. L presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE
položaj opterećenja.
Slika B.180. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.181. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L b -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.182. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/w
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.183. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.184. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.185. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.186. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni
nosač.
Slika B.187. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L b -
ukliješteni nosač.
Slika B.188. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/w
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.189. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b -
ukliješteni nosač.
Slika B.190. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.191. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.192. L presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE
položaj opterećenja.
Slika B.193. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno
xxxii
oslonjen nosač.
Slika B.194. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.195. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A
,max/v bx x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.196. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.197. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.198. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.199. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - ukliješteni
nosač.
Slika B.200. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b -
ukliješteni nosač.
Slika B.201. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.202. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b -
ukliješteni nosač.
Slika B.203. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž pojasa na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika B.204. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž struka na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika B.205. L nesimetrični presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
Slika B.206. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/v v , s bmax/v v i P bmax/zv v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.207. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.208. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/w w , s bmax/w w i
P bmax/yw w - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.209. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.210. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x
- zglobno oslonjen nosač.
Slika B.211. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x
- zglobno oslonjen nosač.
Slika B.212. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x
xxxiii
- zglobno oslonjen nosač.
Slika B.213. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.214. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.215. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/v v , s bmax/v v i P bmax/zv v -
ukliješteni nosač.
Slika B.216. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/v v -ukliješteni nosač.
Slika B.217. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/w w , s bmax/w w i
P bmax/yw w - ukliješteni nosač.
Slika B.218. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.219. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x
- ukliješteni nosač.
Slika B.220. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x
- ukliješteni nosač.
Slika B.221. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x
- ukliješteni nosač.
Slika B.222. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
struka na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.223. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.224. C nesimetrični presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
Slika B.225. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.226. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/w w - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.227. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x
- zglobno oslonjen nosač.
Slika B.228. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x
- zglobno oslonjen nosač.
Slika B.229. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x
- zglobno oslonjen nosač.
Slika B.230. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke D b,max/x x
- zglobno oslonjen nosač.
Slika B.231. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
xxxiv
Slika B.232. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.233. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
donjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.234. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni
nosač.
Slika B.235. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/w w - ukliješteni
nosač.
Slika B.236. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x
- ukliješteni nosač.
Slika B.237. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x
- ukliješteni nosač.
Slika B.238. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x
- ukliješteni nosač.
Slika B.239. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke D b,max/x x - ukliješteni nosač.
Slika B.240. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.241. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
struka na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.242. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
donjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika C.1. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
Slika C.2. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - zglobno
oslonjen nosač.
Slika C.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika C.4. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/x x
- zglobno oslonjen nosač.
Slika C.5. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika C.6. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/x x
duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.7. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - ukliješteni
nosač.
Slika C.8. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
xxxv
Slika C.9. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/x x
- ukliješteni nosač.
Slika C.10. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
Slika C.11. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/x x
duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika C.12. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/x x
duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika C.13. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
ljuskasti element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE
položaj opterećenja.
Slika C.14. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VL VLB B,max/v v , s VL
B B,max/v v i
VLB B,max/zMv v - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.15. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - zglobno
oslonjen nosač.
Slika C.16. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.17. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke D VL,max/v
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.18. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen
nosač.
Slika C.19. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž donjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.20. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci VL VLB B,max/v v , s VL
B B,max/v v i
VLB B,max/zMv v - ukliješteni nosač.
Slika C.21. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VLmaxB B/v v - ukliješteni
nosač.
Slika C.22. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x - ukliješteni nosač.
Slika C.23. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke D VL,max/v
x x - ukliješteni nosač.
Slika C.24. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika C.25. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž donjeg pojasa na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika C.26. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element,
d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
xxxvi
Slika C.27. U presjek (b=h): Normirani pomak VL VLC C,max/v v , s VL
C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.28. U presjek (b=h): Normirani pomak VLC C,max/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.29. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.30. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.31. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.32. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.33. U presjek (b=h): Normirani pomak VL VLC C,max/v v , s VL
C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -
ukliješteni nosač.
Slika C.34. U presjek (b=h): Normirani pomak VLC C,max/v v - ukliješteni nosač.
Slika C.35. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika C.36. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika C.37. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
vertikalne stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika C.38. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika C.39. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element,
d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
Slika C.40. U presjek (b=2h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL
C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.41. U presjek (b=2h): Normirani pomak VLC C,max/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.42. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.43. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.44. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.45. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.46. U presjek (b=2h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL
C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -
ukliješteni nosač.
xxxvii
Slika C.47. U presjek (b=2h): Normirani pomak VLC C,max/v v - ukliješteni nosač.
Slika C.48. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika C.49. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika C.50. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
vertikalne stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika C.51. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.
xxxix
Popis oznaka
A površina poprečnog presjeka
* * *, ,y yA A A površine odsječenog dijela presjeka
, ,yy yz yzA A A reducirane smicajne površine poprečnog presjeka
0 1 2, ,A A A površine pojedinih dijelova poprečnog presjeka
1 2, ,b b b duljine horizontalnih stjenki poprečnog presjeka
B bimoment
,y zB B sekundarni bimomenti pri savijanju s utjecajem smicanja
B sekundarni bimoment pri uvijanju s utjecajem smicanja
E modul elastičnosti
F sila
G modul smicanja
h visina vertikalne stjenke srednje linije poprečnog presjeka
Ph udaljenost glavnog pola od tangente na srednju liniju razmatrane
točke, odnosno od ishodišne točke M
PI moment tromosti površine u odnosu na glavni pol P
sPI smicajni moment tromosti površine u odnosu na glavni pol P
tI torzijski moment tromosti površine
zy II , aksijalni momenti tromosti površine u odnosu na os y, odnosno os z
I sektorski moment tromosti površine u odnosu na sektorsku
koordinatu ω
,w vk k koeficijenti smicanja
l duljina štapa
sL proizvoljno odabrana duljina konture poprečnog presjeka
Pm moment na jedinicu duljine u odnosu na glavni pol P
tm moment čistog uvijanja na jedinicu duljine
m moment izvitoperenja na jedinicu duljine
M ishodišna točka
,y zM M momenti savijanja oko y, odnosno z osi
xl
, , ,y z z zy z y yM M M M sekundarni momenti savijanja pri savijanju s utjecajem smicanja
,y zM M sekundarni momenti savijanja pri uvijanju s utjecajem smicanja
PM moment uvijanja
tM moment čistog uvijanja
tM moment čistog uvijanja po jedinici duljine
M moment izvitoperenja
N uzdužna sila
,y zN N sekundarne uzdužne sile pri savijanju s utjecajem smicanja
N sekundarna uzdužna sila pri uvijanju s utjecajem smicanja
Oxyz pravokutni koordinatni sustav
zy pp , sile na jedinicu površine u odnosu na os y, odnosno os z
P glavni pol
zy qq , sile na jedinicu duljine u smjeru osi y, odnosno osi z
,y zQ Q poprečne sile u smjeru osi y, odnosno osi z,
s krivocrtna koordinata
S točka srednje linije
zy SS , statički momenti površine u odnosu na os y, odnosno os z
** , zy SS statički momenti dijela površine u odnosu na os y, odnosno os z
S sektorski statički moment površine u odnosu na sektorsku koordinatu
ω
*
S sektorski statički moment dijela površine u odnosu na sektorsku
koordinatu ω
t debljina stijenke
0 1 2, ,t t t debljina vertikalne stijenke, odnosno horizontalnih stjenki
T težište
0 0 0, ,v wT T T tok tangencijalnog naprezanja u odnosu na pomake P ,v Pw i P
P P,v w
pomaci glavnog pola u smjeru osi y, odnosno osi z (progib štapa u
smjeru osi y, odnosno osi z)
b b,v w
pomaci poprečnog presjeka u smjeru osi y, odnosno osi z (progib
štapa u smjeru osi y, odnosno osi z) prema klasičnoj EBBT
s s,v w
dodatni pomaci od smicanja
xli
zyx ,, pravokutne koordinate
PW polarni moment otpora porečnog presjeka
P P,y zW W smicajni momenti otpora porečnog presjeka
P, kut uvijanja u odnosu na glavni pol P
t kut uvijanja u odnosu na glavni pol P prema klasičnoj Vlasovljevoj
teoriji
s dodatni kut uvijanja zbog smicanja u odnosu na glavni pol P
kut nagiba progibne linije u odnosu na os y
b kut nagiba progibne linije u odnosu na os y prema klasičnoj EBBT
s dodatni kut nagiba progibne linije u odnosu na os y od smicanja
, , , ,u v wx x x x x
duljinske deformacije u smjeru osi x
, , , , ,w v wu v v faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje
kut nagiba progibne linije u odnosu na os z
b kut nagiba progibne linije u odnosu na os z prema klasičnoj EBBT
s dodatni kut nagiba progibne linije u odnosu na os z od smicanja
x kutna deformacija
, ,v wx x x
komponente kutne deformacije u odnosu na pomake P ,v Pw i P
, , , ,w v v v faktori utjecaja smicanja na progibe, odnosno kut uvijanja
, , , , ,
, ,
xy xz yy yz zz
zy y z
faktori smicanja pri savijanju s utjecajem smicanja
, , ,x y z faktori smicanja pri uvijanju s utjecajem smicanja
relativni kut uvijanja
t relativni kut uvijanja prema klasičnoj Vlasovljevoj teoriji
s dodatni relativni kut uvijanja zbog smicanja
x normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa
, , ,u v wx x x x
komponente normalnog naprezanja u odnosu na pomake M ,u P ,v
Pw i P
x tangencijalno naprezanje u smjeru tangente na srednju liniju
l
x
c
x ,
tangencijalno naprezanje pri izvitoperenju, odnosno pri čistom
uvijanju
xlii
, ,v wx x x
komponente tangencijalnog naprezanja u odnosu na pomake P ,v Pw
i P
,, pravokutne koordinate lokalnog koordinatnog sustava
glavna sektorska koordinata
Popis kratica
EBT Euler-Bernoullijeva teorija
MKE metoda konačnih elemenata
SUS savijanje s utjecajem smicanja
UUS uvijanje s utjecajem smicanja
1
1. UVOD
1.1. Uvod u problematiku
Teorija štapova tankostjenog presjeka odavno je prisutna u proračunima različitih
konstrukcija koje se susreću u strojarskoj, građevinskoj, automobilskoj i brodograđevnoj
praksi.
Tankostjeni štapovi zatvorenog, zatvoreno-otvorenog ili otvorenog poprečnog presjeka imaju
izuzetno povoljan odnos fleksijske i torzijske krutosti prema masi ugrađenog materijala.
Stoga se koriste kao nosivi elementi u suvremenim brodskim [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7],
[8], [9], zrakoplovnim [10], [11], građevinskim [12], [13] i automobilskim konstrukcijama. U
građevinskim konstrukcijama tankostjeni štapovi su uglavnom samostalni nosivi elementi
[14], [15], dok se brodske i avionske konstrukcije mogu idealizirati štapom odnosno sustavom
štapova, najčešće otvorenog ili zatvoreno-otvorenog poprečnog presjeka. Štap otvorenog
tankostjenog presjeka može se shvatiti (sa stajališta mehanike deformabilnih tijela) kao štap i
kao ljuska.
Modeliranje tankostjenih konstrukcija ljuskama ili tankim pločama daje za mnoge slučajeve
geometrije, opterećenja i rubnih uvjeta prihvatljiva rješenja. Ipak takav pristup nije uvijek
pogodan jer zahtijeva moćne numeričke metode. Osim toga za analizu velikog broja izlaznih
rezultata potrebno je dosta vremena i energije. Takav pristup ne omogućuje jednostavnu
fizikalnu interpretaciju. Iz ukupnih rezultata nije moguće izdvojiti pojedine utjecaje; npr. pri
opterećenju nije moguće izdvojiti normalna naprezanja uzrokovana samo savijanjem od onih
nastalih samo uvijanjem, ili izdvojiti normalna naprezanja i pomake samo od smicanja pri
savijanju i uvijanju. Zbog toga su mnogi autori nastojali ovakove konstrukcije ili dijelove
konstrukcija modelirati tankostjenim štapom otvorenog, zatvorenog ili otvoreno-zatvorenog
presjeka.
1.2. Pregledni prikaz dosadašnjih istraživanja
Klasična teorija savijanja, poznata pod imenom Euler-Bernoulijava teorija, polazi od
pretpostavke da poprečni presjeci nakon deformiranja ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju
[16], [17]. Izrazi za progibe i normalno naprezanje po ovoj teoriji zadovoljavaju u
2
inženjerskim proračunima tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka, ako je veliki
omjer duljine štapa prema duljini konture srednje linije poprečnog presjeka.
Za relativno kratke štapove, kod kojih je navedeni omjer mali, znatan je utjecaj smicanja pa
Timošenko nadopunjuje teoriju savijanja uzimajući u obzir kutne deformacije. On uvodi
faktor smicanja i definira ga kao omjer maksimalnog tangencijalnog naprezanja i srednjeg
tangencijalnog naprezanja u poprečnom presjeku. Timošenko pretpostavlja jednoliku
raspodjelu kutne deformacije po visini poprečnog presjeka pa ravni presjeci ostaju ravni
nakon deformiranja, ali nisu više okomiti na elastičnu liniju [18], [19].
Za razvoj teorije tankostjenih štapova zaslužni su Timošenko i Vlasov. Od prvih sistematskih
radova V.Z. Vlasova [20], iz tridesetih godina prošlog stoljeća, mnogi autori usavršavali su
teoriju uglavnom prema potrebama strojarske, građevinske i brodograđevne prakse.
Vlasovljeva teorija daje jednostavno rješenje problema, zahvaljujući pretpostavkama o načinu
deformiranja poprečnog presjeka te raspodjeli naprezanja. Doprinos teoriji tankostjenih
štapova otvorenog i zatvorenog poprečnog presjeka dali su kroz svoje radove: Kollbruner i
Hajdin [21], [22], Gjelsvik [23], Murray [24], Pavazza [25] ], [26] ], [27], Prokić [28], Saade
[29], El Fatmi [30], [31], [32], [33], i dr.
Predložene su mnoge metode koje bi prevladale nedostatak klasične teorije i omogućile
primjenu u inženjerskim proračunima jednodimenzionalnog štapnog modela, za bilo koju
geometriju poprečnog presjeka i bilo koje rubne uvjete. Poboljšanja klasičnih teorija dobivena
su pomoću različitih pristupa: uvođenjem faktora smicanja [34], [35], [36], korištenjem
funkcija vitoperenja zasnovanim na Saint-Venantovom rješenju [29], [31], [32], uvođenjem
općih teorija štapa [37], [38], [39], [40], [41], [42], ili uz pomoć teorija višeg reda [43].
O faktoru smicanja pri savijanju postoje brojni radovi: [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50],
[51]. Tako Cowper [44], kao i Senjanović [46], navode gotove izraze za izračunavanje
faktora smicanja K za neke jednostavne presjeke (I-presjek, T-presjek, U-presjek). U njima
faktor smicanja ovisi o geometriji poprečnog presjeka, ali i o Poissonovu koeficijentu.
Pavazza [35], [36], do faktora smicanja dolazi geometrijskim pristupom i faktor smicanja je
ovisan samo o obliku poprečnog presjeka. Uključivanjem faktora smicanja poboljšani su
izrazi za izračunavanje pomaka i dobiveni rezultati daju vrlo dobra poklapanja u usporedbi sa
rezultatima dobivenim uz pomoć metode konačnih elemenata. Roberts [52] daje približne
formule za izračunavanje faktora smicanja I-presjeka, a Kim [53] navodi vrijednosti faktora
smicanja za konkretan U-presjek kao i za C-nesimetrični presjek. El Fatmi [31], [32] faktore
3
smicanja određuje numerički i navodi vrijednosti za I-presjek, T-presjek i U-presjek. El Fatmi
navodi da se za tankostjene štapove otvorenog poprečnog presjeka Poissonov efekt može
zanemariti.
Iako smicanje znatnije utječe na pomake, bitan je i utjecaj smicanja na iznose normalnih
naprezanja. Tako je Pavazza izraze za normalna naprezanja nadopunio članovima kojima se
uzima u obzir utjecaj smicanja [35], [36], [54]. Za razne slučajeve opterećenja jednostavnih
nosača i rubnog oslanjanja navedeni izrazi daju dobra poklapanja normalnih naprezanja u
usporedbi sa metodom konačnih elemenata [55], [56]. Ovi izrazi za normalna naprezanja
dobro opisuju nejednoliku raspodjelu istih za široke pojase I, T i U profila - fenomen shear
lag. Ovu pojavu u svojim radovima razmatralo je više autora, kao na pr.: Lertsima [57],
Pavlović [58], [59], Tahan [60], Tenchev [61].
Niz autora bavilo se teorijom uvijanja štapova otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem
smicanja te su naslanjajući se na klasičnu teoriju Vlasova donosili određena poboljšanja:
Burgoyne [62], [63], Eisenberger [64], Roberts and Al-Ubaidi [52], Sapountzakis and Mokos
[65], Erkmen [66], Saade [29], Pavazza [36], El Fatmi [31] i [32], Campanile [67], [68]. Neke
od navedenih teorija razmatraju utjecaj smicanja sa ograničenim vitoperenjem zbog smicanja
(El Fatmi [31]) dok neke teorije (Pavazza [36]) ne ograničavaju vitoperenje zbog smicanja.
Na razvoju tankostjenih štapnih konačnih elemenata i makroelemenata pogodnih za proračune
tankostjenih konstrukcija pomoću računala radili su Prokić [69], Saade [29], Musat [70],
Jonsson [71], Kim i Kim [53], Eisenberger [64] i dr.
Za izračun naprezanja potrebno je poznavati geometrijske katrakteristike poprečnih presjeka.
U tu svrhu rađeni su računalni programi za izračun geometrijskih karakteristika otvorenih,
zatvorenih i otvoreno zatvorenih poprečnih presjeka: Alfano [72], Prokić [73], Yilmaz [74],
Piscopo [75], Plazibat [76], [77].
1.3. Cilj i svrha istraživanja
Temeljni zadatak rada bio je postaviti približnu teoriju savijanja i uvijanja tankostjenih
štapova otvorenog poprečnog presjeka za različite slučajeve opterećenja (kontinuirano
opterećenje, jednoliko raspodijeljeni momenti uvijanja, koncentrirano opterećenje) i različite
rubne uvjete (zglobni oslonci, uklještenja). Teorija bi predstavljala nadopunu radova koje je
objavio Pavazza, polazeći od Timoshenkove teorije savijanja i klasične Vlasovljeve teorije
4
uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Smicanje bi se uzelo u obzir,
tako da teorija bude primjenjiva i na relativno kratke štapove, kod kojih je mali omjer duljine
štapa prema duljini srednje linije poprečnog presjeka.
Ključnu ulogu pri proučavanju utjecaja smicanja imaju faktori smicanja. Prvi korak u
istraživanju utjecaja smicanja bio je dati analitičke izraze za izračunavanje faktora smicanja
Oni su, za niz presjeka s dvije i jednom osi simetrije, dani u parametarskom obliku. Za
nesimetrične presjeke faktori su određivani programiranjem u Excelu. Izraze za faktore
smicanja trebalo je kontrolirati uspoređivanjem vrijednosti s vrijednostima istih iz dostupne
literature. Za neke nesimetrične presjeke faktori su uspoređivani indirektno kroz usporedbu
rezultata za pomake i normalna naprezanja s rezultatima po metodi konačnih elemenata.
Sljedeći korak bio je pokazati znatan utjecaj smicanja na pomake, ali i na normalna
naprezanja, pri savijanju i uvijanju relativno kratkih štapova. U tu svrhu definirani su faktori
utjecaja smicanja na progibe, kao i faktori utjecaja smicanja na normalna naprezanja. Oni su
definirani kao omjeri maksimalnih vrijednosti progiba, odnosno normalnih naprezanja u
karakterističnim točkama presjeka, po teorijama savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja i
istih vrijednosti po klasičnim teorijama. Navedeni faktori također su, za presjeke s dvije i
jednom osi simetrije, dani u parametarskom obliku. U izrazima je utjecaj materijala dan kroz
omjer konstanti elastičnosti E/G. Ovi faktori su pogodni jer se iz njih iščitava utjecaj smicanja
u postocima.
Teorije savijanja s utjecajem smicanja i uvijanja s utjecajem smicanja, daju izraze za
normalna naprezanja po cijeloj konturi poprečnog presjeka. Krivulje raspodjele normalnog
naprezanja, po konturi poprečnog presjeka, potrebno je verificirati kroz usporedbu s
odgovarajućim krivuljama dobivenim po metodi konačnih elemenata.
Doktorska disertacija Savijanje i uvijanje tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka
s utjecajem smicanja izrađena je u okviru znanstveno-istraživačkog projekta 023-0231744-
3010: Deplanacija i distorzija tankostjenih presjeka, voditelj kojega je prof. dr. sc. Radoslav
Pavazza, FESB-Split, od 2007. godine, financiranog od Ministarstva znanosti, obrazovanja i
sporta RH.
Disertacija je podijeljena u sedam poglavlja, čemu su dodana tri dijela priloga.
5
U drugom je poglavlju dana teorija savijanja s utjecajem smicanja. Definirani su faktori
smicanja te izvedeni izrazi za pomake i normalno naprezanje. U odnosu na klasične teorije ti
izrazi sadrže članove koji predstavljaju utjecaj smicanja.
Teorija uvijanja s utjecajem smicanja, sa definiranim faktorima smicanja i izvedenim izrazima
za normalno naprezanje i pomake, dana je u trećem poglavlju. Ovdje su, također, ti izrazi
nadopunjeni članovima koji predstavljaju utjecaj smicanja.
U četvrtom poglavlju metodom superpozicije dani su izrazi za pomake i normalno naprezanje
pri opterećenju na savijanje i uvijanje s utjecajem smicanja.
U petom poglavlju rada napravljena je analiza rezultata za pomake i normalna naprezanja,
dobivenih po teoriji savijanja (SUS) i uvijanja s utjecajem smicanja (UUS). Na nizu primjera
ovi rezultati su uspoređeni sa rezultatima za pomake i normalna naprezanja koje daju klasična
Euler-Bernoullijeva teorija savijanja i klasična Vlasovljeva teorija uvijanja tankostjenih
štapova otvorenog poprečnog presjeka. Za kratke štapove pokazan je znatan utjecaj smicanja
kako na rezultate pomaka tako i na rezultate normalnog naprezanja.
Verifikacija izvedenih izraza za pomake i normalna naprezanja prema teoriji savijanja i
uvijanja s utjecajem smicanja napravljena je u šestom poglavlju. Rezultati su uspoređeni sa
onima prema metodi konačnih elemenata (MKE). Pokazana su izvrsna slaganja rezultata.
U sedmom poglavlju su dana zaključna razmatranja.
Prilog je podijeljen u tri dijela: A, B i C.
U dijelu A dani su analitički izrazi, po svim dijelovima konture poprečnog presjeka kao i
grafički prikaz, sljedećih geometrijskih karakteristika poprečnih presjeka:
* ,yA *,zA * ,yS *,zS * ,S
*
0
d ,zs
ySs
t *
0
d
ys
zSs
t i *
0
d
ysS
st
.
Prilog B daje detaljan prikaz rezultata za pomake i normalna naprezanja za velik broj
jednostavnih presjeka pri opterećenju na savijanje s utjecajem smicanja. Obrađeni su: presjek
s dvije osi simetrije (I-presjek), presjeci s jednom osi simetrije (I-presjek, T-presjek, U-
presjek, L-presjek) kao i nesimetrični presjeci (L-presjek, C-presjek). Prikazan je utjecaj
smicanja na ove rezultate kao i izvrsno slaganje rezultata s rezultatima dobivenim korištenjem
metode konačnih elemenata. Pri tome je štap modeliran membranskim elementima.
6
Detaljan prikaz rezultata za pomake i normalna naprezanja za velik broj jednostavnih presjeka
pri opterećenju na uvijanje s utjecajem smicanja dan je u Prilogu C. Obrađeni su: presjek s
dvije osi simetrije (I-presjek) te presjeci s jednom osi simetrije (I-presjek i U-presjek).
Prikazan je utjecaj smicanja na ove rezultate kao i izvrsno slaganje rezultata s rezultatima
dobivenim korištenjem metode konačnih elemenata. U ovom slučaju štap je modeliran
ljuskastim elementima, a da bi poprečni presjek zadržao svoj oblik korištene su i ukrepe.
7
2. SAVIJANJE ŠTAPOVA OTVORENOG TANKOSTJENOG
PRESJEKA S UTJECAJEM SMICANJA
Razmatra se približna teorija savijanja štapova otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem
smicanja koja je nadogradnja klasične Euler-Bernoullijeve i Timoshenkove teorije savijanja te
Vlasovljeve teorije tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka.
Ako vanjsko poprečno opterećenje prolazi kroz pol, štap je u općem slučaju opterećen na
savijanje s utjecajem smicanja te dodatno na uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje
zbog smicanja.
Za slučaj da poprečni presjek ima jednu os simetrije, pri vanjskom poprečnom opterećenju
koje djeluje kroz pol u ravnini simetrije, štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u
ravnini simetrije te dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Za slučaj kada poprečno
opterećenje djeluje kroz pol, u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, štap je opterećen na
savijanje s utjecajem smicanja u toj ravnini i dodatno na uvijanje zbog smicanja.
Ako poprečni presjek ima dvije osi simetrije pri vanjskom poprečnom opterećenju koje
djeluje kroz pol štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje ravnine simetrije.
2.1. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju
Predstavljena teorija temelji se na sljedećim pretpostavkama [27], [35]:
1. Oblik poprečnog presjeka se ne mijenja tijekom deformiranja.
2. Kutne deformacije u srednjoj plohi različite su od nule.
3. Normalna naprezanja jednaka su nuli, osim u smjeru izvodnice srednje plohe.
4. Tangencijalna naprezanja jednaka su nuli, osim u smjeru tangente na srednju liniju.
5. Normalna naprezanja raspodijeljena su jednoliko po debljini stijenke.
6. Tangencijalna naprezanja raspodijeljena su linearno po debljini stijenke.
Prva pretpostavka podrazumijeva da projekcija konture poprečnog presjeka na ravninu
poprečnog presjeka ostaje nepromijenjena tijekom deformiranja. Ne uzima se u obzir
distorzija poprečnog presjeka u ravnini presjeka .
Prikazana teorija uzima u razmatranje kutne deformacije u srednjoj plohi, te njihov utjecaj na
normalna naprezanja. Tangencijalna naprezanja određuju se iz uvjeta ravnoteže. Ostale
8
pretpostavke u izravnoj su vezi s temeljnim svojstvima tankostjenih štapova: dimenzije
poprečnog presjeka su male u odnosu na duljinu štapa (3. pretpostavka); debljina je mala u
odnosu na ostale dimenzije poprečnog presjeka (4., 5. i 6. pretpostavka).
2.2. Pomaci i deformacije
Komponente pomaka točke S srednje plohe, u smjeru y odnosno z osi, mogu se izraziti
prema
s P P
s P P
( ) ,
( ) .
z
y
v v z a
w w y a
(2.1)
gdje su ( )y y s i ( )z z s pravokutne koordinate točke S, ya i za koordinate pola P, s
krivolinijska koordinata točke S u odnosu na ishodišnu točku M, P P( )v v x i P P( )w w x
pomaci pola P u smjeru y i z osi, odnosno pomaci konture poprečnog presjeka kao krutog
tijela, P P( )x je kut uvijanja srednje linije kao krute linije u odnosu na pol P.
Slika 2.1. Pomaci točke S srednje plohe: a) komponentni pomaci; b) pomaci u ravnini
poprečnog presjeka.
Projekcija pomaka proizvoljne točke S srednje linije na pravac tangente na srednju liniju u
točki S (os - slika 2.1.) je
S S Scos sin .v v w
(2.2)
Uvrštenjem (2.1) u (2.2) dobije se
9
S P P P Pcos sin ,v v w h
(2.3)
gdje je
P ( )sin ( )cos .y zh y a z a
(2.4)
Izraz (2.3) se može pisati kao
S P P P
d d d,
d d d
y zv v w
s s s
(2.5)
gdje je
P
d d dcos , sin ,
d d d
y zi h
s s s
(2.6)
a ( )s sektorska koordinata u odnosu na pol P i ishodišnu točku M definirana prema
P
0
d .
s
h s
(2.7)
Kutna deformacija ( , )x x x s u srednjoj plohi, prema slici 2.2., može se izraziti kao
Slika 2.2. Kutna deformacija u srednjoj plohi.
S S
S S
d d.
d dx x x
u vs x
u vs xs x s x
(2.8)
Ako se (2.5) uvrsti u (2.8) slijedi
S P P Pd d d d d d
.d d d d d d
Sx x
u v v y w z
s x x s x s x s
(2.9)
Integriranjem (2.9) dobije se
10
P P P
S M
0 0 0
d d d( ) ( ) ( ) d d d .
d d d
y zs s s
v w
y z x y x z x
v wu u y s z s s s s s
x x x
(2.10)
Pomak proizvoljne točke S srednje linije, dan izrazom (2.10), i ukupna kutna deformacija u
srednjoj plohi poprečnog presjeka mogu se napisati kao [27]
S S S S S ,u v wu u u u u
v w
x x x x
pri čemu je
1 2( 0) 0, ( 0) 0, ( 0) 0, , , .y z y zy s z s s s s C s s C s s
(2.11)
U (2.10) Mu predstavlja uzdužni pomak točke M (točka za koju vrijedi ( 0) 0s ) tj.
pomak srednje linije poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru kao krutog tijela, a
( , )v v
x x vx s , ( , )w w
x x wx s i ( , )x x x s
su komponente kutne deformacije u
srednjoj plohi u odnosu na pomake Pv , Pw i P .
Prva četiri člana u (2.10) su pomaci od rastezanja, savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja
oko pola P, dok su zadnja tri člana dodatni pomaci zbog vitoperenja uslijed smicanja.
Pomaci se mogu napisati kao
b s
P P P
b s
P P P
t s
P P P
,
,
,
v v v
w w w
(2.12)
gdje su b bP P ( )v v x , b b
P P ( )w w x pomaci poprečnog presjeka u smjeru y i z osi, kao krutog
tijela, t tP P( )x je kut uvijanja poprečnog presjeka oko pola P kao krutog tijela, a
s sP P( )v v x , s s
P P( )w w x i s sP P( )x su dodatni pomaci od smicanja.
Jednadžba (2.10) može se napisati na sljedeći način
S M
0 0 0
( ) ( ) ( ) d d d ,y z
s s s
v w
y z x x xu u y s z s s s s s
(2.13)
uz
P P Pd d d
, , .d d d
v w
x x x
(2.14)
Isto tako je
11
b s
b s
t s
,
,
,
(2.15)
gdje su b i b kutni pomaci poprečnog presjeka kao krutog tijela oko y i z osi, t relativni
kutni pomak oko x -osi, analogno klasičnoj teoriji tankostjenog štapa otvorenog presjeka, dok
su s , s i s dodatni kutni pomaci zbog smicanja.
Vrijede sljedeće diferencijalne ovisnosti
b b t
P P Pb b t
s s s
P P Ps s s
d d d, , ,
d d d
d d d, , .
d d d
v w
x x x
v w
x x x
(2.16)
Duljinska deformacija glasi
2 2 2
S M P P P
2 2 2
0
0 0
d d d d( ) ( ) ( ) d
d d d d
d d ,
y
z
s
v
x y z x
s s
w
x x
u u v wy s z s s s
x x x x x x
s sx x
(2.17)
odnosno
S M S S Sd
.d
v wu v w
x x x x x
u u u u u
x x x x x
(2.18)
2.3. Naprezanja
Ne uzimajući u obzir normalna naprezanja u pravcu tangente na srednju liniju poprečnog
presjeka, prema Hooke-ovu zakonu je:
, ,x x x xE G
(2.19)
gdje su ( , )x x x s normalno naprezanje u uzdužnom smjeru, ( , )x x x s tangencijalno
naprezanje u srednjoj plohi, a E i G konstante elastičnosti.
Uvrštenjem (2.17) u prvi izraz (2.19) dobije se
12
2 2 2
M P P P
2 2 2
0 0 0
d d d d( ) ( ) ( )
d d d d
d d d .
y z
x y z
s s s
v w
x y x z x
u v wE y s z s s
x x x x
Es s s
G x x x
(2.20)
Normalno i tangencijalno naprezanje se mogu napisati u obliku [27]
,u v w
x x x x x
v w
x x x x
(2.21)
pri čemu su
( , )u ux x x s , ( , )v v
x x yx s , ( , )w wx x zx s i ( , )x x x s komponente normalnog
naprezanja u odnosu na pomake Mu , Pv , Pw i P , a ( , )v vx x yx s , ( , )w w
x x zx s i
( , )x x x s komponente tangencijalnog naprezanja u odnosu na pomake Pv , Pw i P .
Jednadžba ravnoteže diferencijalnog elementa stjenke poprečnog presjeka štapa za uzdužnu
os x može se temeljem slike 2.3. napisati kao
Slika 2.3. Ravnoteža diferencijalnog elementa stjenke poprečnog presjeka.
( )( )
0,xx
tt
x s
(2.22)
gdje je ( )t t s debljina stjenke poprečnog presjeka.
Uz pretpostavku
., ., .,
v w
x x xkonst konst konst
x x x
(2.23)
13
integiranjem (2.22), a imajući u vidu (2.20), (2.21) i (2.23) dobije se:
2 3 3 3
M P P P0 0 0 2 3 3 3
1 d d d d( ) ( ) ( ) ( ) ,
d d d d
v w
x z y y z
u v wT T T E A s S s S s S s
t x x x x
(2.24)
gdje su
0 0 0
0 0 0 0
0 0
( ) d , ( ) d , ( ) d , d d ,
( ) ( , 0) ( 0), ( ) ( , 0) ( 0),
( ) ( , 0) ( 0).
y zs s s
z y y z
v v v w w w
x y y x z z
x
S s y A S s z A S s A A t s
T T x x s t s T T x x s t s
T T x x s t s
(2.25)
Tangencijalno naprezanje može se napisati i kao
2 3 3 3*M P P P
2 3 3 3
d d d d,
d d d dx z y
E u v wA S S S
t x x x x
(2.26)
uz
* * *
* * * * *d , zd , d d d .
y z
z y
s s s
S y A S A S A A t s
(2.27)
U (2.27) * * *( )A A s je površina odsječenog dijela poprečnog presjeka u odnosu na
koordinatu s odnosno *s , * * * *( ) ( )y y z y zS S s S s i * * * *( ) ( )z z y z yS S s S s su statički momenti
površine odsječenog dijela poprečnog presjeka u odnosu na y i z os, * * * *( ) ( )S S s S s je
sektorski statički moment odsječenog dijela poprečnog presjeka. Pretpostavka je da vrijedi
* 0s na mjestu gdje je 0x .
Usporedbom (2.24) i (2.26) dobije se
* * * * * * * *d ( ) d ( ), d ( ) d ( ), d ( ) d ( ), d ( ) d ( ).z y z y y z y zA s A s S s S s S s S s S s S s
(2.28)
2.4. Jednadžbe ravnoteže
Na nosač na slici 2.4. djeluje jednoliko raspodijeljeno vanjsko opterećenje ( )y yq q x i
( )z zq q x koje prolazi kroz pol P definirano sa [27]
d ,y y
L
q p s d .z z
L
q p s
(2.29)
14
Slika 2.4. Vanjsko opterećenje štapa: a) sile na jedinicu površine b) sile na jedinicu duljine.
Slika 2.5. Ravnoteža konačnog elementa štapa.
Jednadžbe ravnoteže konačnog elementa štapa prema slici 2.5. glase
P
( )d d 0 ,
( )cos d d d 0 ,
( )sin d d d 0 ,
( )d d 0 ,
xx
L
x
y y
L
x
z z
L
x
P
L
tF x s
x
tF x s q x
x
tF x s q x
x
tM xh s
x
(2.30)
15
odnosno imajući u vidu (2.6):
d 0 ,
( )d 0 ,
( )d 0 ,
( )d 0 .
x
L
x
y
L
x
z
L
x
L
Ax
ty q
x
tz q
x
t
x
(2.31)
Primjenom parcijalne integracije integrali u (2.31) mogu se pisati kao
2
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )d d d d ,
( ) ( ) ( ) ( )d d d d ,
( ) (d d
ex x x x
eL L L
ex x x x
eL L L
x x
L
t t t ty uv v u y y s y s
x x s x s x
t t t tz uv v u z z s z s
x x s x s x
tuv v u
x
2
1
) ( ) ( )d d .
ex x
eL L
t t ts s
x s x s x
(2.32)
gdje su 1e i 2e rubovi srednje linije poprečnog presjeka u kojim je 0.x
Ako se (2.32) uvrsti u (2.31) dobije se
d 0,
d 0,
d 0,
d 0.
x
L
x
y
L
x
z
L
x
L
Ax
ty s q
s x
tz s q
s x
ts
s x
(2.33)
Prema (2.20) i (2.24) je
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
3 4 4 4
M P P P
3 4 4 4
d d d d( ) ( ) ( )
d d d d
( ) d d d d( ) ( ) ( ) ( )
d d d d
xy z
x
z y y z
u v wE y s z s s
x x x x x
t u v wE A s S s S s S s
x x x x x
16
pa uvrštenjem u (2.33) jednadžbe ravnoteže postaju
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
3 4 4 4
M P P P
3 4 4 4
3 4 4 4
M P P P
3 4 4 4
3 4 4 4
M P P P
3 4 4 4
d d d d0,
d d d d
d d d d,
d d d d
d d d d,
d d d d
d d d d
d d d d
z y
z z zy z y
y yz y y z
z y
u v wE A S S S
x x x x
u v wE S I I I q
x x x x
u v wE S I I I q
x x x x
u v wE S I I I
x x x x
0,
(2.34)
gdje su
2
2
2
d , d , d , d ,
d , d , d ,
d , d ,
d ,
z yA A A A
z zy zA A A
y yA A
A
A A S y A S z A S A
I y A I yz A I y A
I z A I z A
I A
(2.35)
uz
, , .yz zy y y z zI I I I I I
(2.36)
Ako su y , z i glavne koordinate vrijedi:
0, 0, 0, 0, 0, 0,y z yz zy y y z zS S I I I I I I S
(2.37)
pa (2.34) postaje
2
M
2
4
P
4
4
P
4
4
P
4
d0,
d
d,
d
d,
d
d0.
d
z y
y z
uEA
x
vEI q
x
wEI q
x
EIx
(2.38)
17
2.5. Veza naprezanja i unutarnjih sila
2.5.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila
Integriranjem tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku dobije se [27], [35]
P
cos d ,
sin d ,
d 0,
y x
A
z x
A
x
A
Q A
Q A
M h A
(2.39)
gdje ( )y yQ Q x i ( )z zQ Q x predstavljaju poprečne sile u odnosu na y i z os, a
( )M M x moment vitoperenja u odnosu na pol P, koji je jednak nuli s obzirom na zadano
vanjsko opterećenje.
Uvrštenjem (2.26) u u prvu jednadžbu (2.39) dobije se
2 3 3
M P P
2 3 3
3
P
3
d d dcos d cos d cos d
d d d
d cos d ,
d
y z y
L L L
L
E u E v E wQ A t s S t s S t s
t x t x t x
ES t s
t x
odnosno
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d dd d d d ,
d d d dy z y
L L L L
u v wQ E A y E S y E S y E S y
x x x x
gdje je cos d d .t s t y
Nakon parcijalne integracije slijedi
2
1
d d d ( d ) d ,e
ze
L L A A
A y uv v u A y y A y A y A S
2
1
2d d d ( d ) d d ,e
z z z z ze
L L A A
S y uv v u S y y S y S yy A y A I
2
1
d d d ( d ) d ,e
y y y y yze
L L A A
S y uv v u S y y S y S yz A I
18
2
1
( ) ,e
ze
L L A A
S dy uv vdu S y ydS y dS y dA I
pa je
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d d.
d d d dy z z yz z
u v wQ E S E I E I E I
x x x x
Ako se (2.26) uvrsti u drugu jednadžbu (2.39) dobije se:
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d dsin d sin d sin d sin d ,
d d d dz z y
L L L L
E u E v E w EQ A t s S t s S t s S t s
t x t x t x t x
odnosno
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d dd d d d ,
d d d dz z y
L L L L
u v wQ E A z E S z E S z E S z
x x x x
pri čemu je sin d d .t s t z
Parcijalnom integracijom dobije se
2
1
d d d ( d ) d ,e
ye
L L A A
A z uv v u A z z A z A z A S
2
1
d d d ( d ) d ,e
z z z z yze
L L L A
S z uv v u S z z S z S zy A I
2
1
2d d d ( d ) d d ,e
y y y y ye
L L L A A
S z uv v u S z z S z S zz A z A I
2
1
d d d ( d ) d ,e
ye
L L L A
S z uv v u S z z S z S z A I
pa je
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d d.
d d d dz y yz y y
u v wQ E S E I E I E I
x x x x
Uvrštenjem (2.26) u treću jednadžbu (2.39) dobije se
2 3 3 3
M P P PP P P P2 3 3 3
d d d dd d d d 0,
d d d dP z y
L L L L
E u E v E w EM A h t s S h t s S h t s S h t s
t x t x t x t x
tj.
19
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d dd d d d 0,
d d d dz y
A L L L
u v wE A E S E S E S
x x x x
gdje je P d d .h t s t
Nakon parcijalne integracije slijedi
2
1
d d d ( d ) d ,e
eL L A A
A uv v u A A A A S
2
1
d d d ( d ) d ,e
z z z z ze
L L A A
S uv v u S S S y A I
2
1
d d d ( d ) d ,e
y y y y ye
L L A A
S uv v u S S S z A I
2
1
2d d d ( d ) d d ,e
eL L A A A
S uv v u S S S A A I
pa je
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d d0.
d d d dz y
u v wE S E I E I E I
x x x x
Ako su y, z i glavne koordinate vrijedi
0, 0, 0, 0, 0, 0,y z yz z yS S S I I I
pa je
3
P
3
3
P
3
3
P
3
d,
d
d,
d
d0 .
d
y z
z y
vQ EI
x
wQ EI
x
EIx
(2.40)
Imajući u vidu (2.38) i (2.40) može se napisati
d,
d
d.
d
y
y
zz
x
x
(2.41)
Uvrštenjem (2.40) u (2.26) dobije se
20
1 1x y z z y
z y
E EQ S Q S
t EI t EI
odnosno
.
y z z y
x
z y
Q S Q S
tI tI
(2.42)
2.5.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila
Integracijom izraza za normalno naprezanje po presjeku dobije se [27], [35]:
d 0,
d ,
d ,
d 0.
x
A
z x
A
y x
A
x
A
N A
M y A
M z A
B A
(2.43)
Ako se (2.20) uvrsti u prvu jednadžbu (2.43) slijedi
2 2 2
M P P P
2 2 2
0 0
d d d dd d d
d d d d
d d d d 0,y z
A A A
s sv w
x x
A A
u v wEA E y A E z A E A
x x x x
E Es A s A
G x G x
odnosno
2 2 2
M P P P
2 2 2
0 0
d d d dd d d d 0.
d d d d
y zs sv w
x x
z y
A A
u v w E EEA E S E S E S s A s A
x x x x G x G x
Budući da su y , z i glavne koordinate vrijedi 0y zS S S pa gornji izraz postaje
M
0 0
dd d d d 0,
d
y zs sv w
x x
A A
u E EEA s A s A
x G x G x
odnosno uz novouvedene sekundarne uzdužne sile
0
d d ,vs v
xy
A
EN A s
G x
0
d d ,ws w
xz
A
EN A s
G x
21
Md0.
d
y zuEA N N
x
Uvrštenjem (2.20) u drugu jednadžbu (2.43) slijedi
2 2 22M P P P
2 2 2
0 0
d d d dd d d d d
d d d d
d d d d ,
y z
z x
A A A A A
s sv wx x
A A
u v wM y A E y A E y A E zy A E y A
x x x x
E Ey A s y A s
G x G x
tj.
2 2 2M P P P
2 2 2
0 0
d d d dd
d d d d
d d d d .
y z
z x z z yz z
A
s sv wx x
A A
u v wM y A E S E I E I E I
x x x x
E Ey A s y A s
G x G x
Za glavne koordinate je 0z yz zS I I pa, uz novouvedene sekundarne momente savijanja
0
d d
ys vxy
z
A
EM y A s
G x
i
0
d dzs w
xzz
A
EM y A s
G x
,
gornja jednadžba prelazi u
2P2
d.
d
y zz z z z
vM EI M M
x
Ako se (2.20) uvrsti u treću jednadžbu (2.43) dobije se
2 2 22M P P P
2 2 2
0 0
d d d dd d d d d
d d d d
+ d d d d ,
y z
y x
A A A A A
s sv wx x
A A
u v wM z A E z A E yz A E z A E z A
x x x x
E Ez A s z A s
G x G x
tj.
2 2 2M P P P
2 2 2
0 0
d d d dd
d d d d
+ d d d d .
y z
y x y zy y y
A
s sv wx x
A A
u v wM z A E S E I E I E I
x x x x
E Ez A s z A s
G x G x
22
Za glavne koordinate je 0y zy yS I I te, uz novouvedene sekundarne momente savijanja
0
d d
ys vxy
y
A
EM z A s
G x
i
0
d dzs w
xzy
A
EM z A s
G x
,
gornja jednadžba prelazi u
2P
2
d.
d
z yy y y y
wM EI M M
x
Uvrštenjem (2.20) u četvrtu jednadžbu (2.43) slijedi
2 2 22M P P P
2 2 2
0 0
d d d dd d d d
d d d d
+ d d d d 0,
y z
A A A A
s sv w
x x
A A
u v wE A E y A E z A E A
x x x x
E EA s A s
G x G x
odnosno
2 2 2
M P P P
2 2 2
0 0
d d d dd d d d 0.
d d d d
y zs sv w
x x
z y
A A
u v w E EE S E I E I E I A s A s
x x x x G x G x
Za glavne koordinate je 0z yS I I pa, uz novouvedene sekundarne bimomente
0
d d
ys vxy
A
EB A s
G x
i
0
d dzs w
xz
A
EB A s
G x
, gornja jednadžba prelazi u:
2
P
2
d0.
d
y zEI B Bx
Dakle, jednadžbe (2.43) dobivaju oblik
M
2
P
2
2
P
2
2
P
2
d,
d
d,
d
d,
d
d,
d
y z
y z
z z z z
y z
y y y y
y z
uEA N N
x
vEI M M M
x
wEI M M M
x
EI B Bx
(2.44)
gdje su
23
0 0
0 0
0 0
0
d d , d d ,
d d , d d ,
d d , d d ,
d d , d
y z
y z
yz
y
s sv w
x xy z
A A
s sv w
x xy z
z z
A A
ss w v
x xz y
y y
A A
s v w
x xy z
A
E EN A s N A s
G x G x
E EM y A s M y A s
G x G x
E EM z A s M z A s
G x G x
E EB A s B A
G x G x
0
d ,zs
A
s
(2.45)
novouvedene sekundarne komponente unutarnjih sila.
Iz (2.42) je ,y z z yv w
x x
z y
Q S Q S
tI tI
pa se uvrštenjem u (2.45) dobije
* * *
0 0 0
* * *
0 0 0
* *
0 0
d dd d d d d d ,
d d
d dd d d d d d ,
d d
d dd d d
d d
y y y
z z z
y
s s s
y yy z z zy
z z zA A A
s s sy y yz z z
z
y y yA A A
s
y yy z zz
z zA
Q QS S SE E EN A s A s q A s
G x tI x GI t GI t
S S SQ QE E EN A s A s q A s
G x tI x GI t GI t
Q QS SE EM y A s y A
G x tI x GI t
*
0
* * *
0 0 0
* * *
0 0 0
d d d ,
d dd d d d d d ,
d d
d dd d d d d d ,
d d
d
y y
z z z
z z z
s s
zy
zA A
s s sy y yz z z
z z
y y yA A A
s s sy y yz z z
y z
y y yA A A
yy
SEs q y A s
GI t
S S SQ QE E EM y A s y A s q y A s
G x tI x GI t GI t
S S SQ QE E EM z A s z A s q z A s
G x tI x GI t GI t
EM z A
G
* * *
0 0 0
* * *
0 0 0
* *
0 0
d dd d d d d ,
d d
d dd d d d d d ,
d d
d dd d d
d d
y y y
y y y
z z
s s s
y yz z zy
z z zA A A
s s s
y yy z z zy
z z zA A A
s sy yz z z
y yA
Q QS S SE Es z A s q z A s
x tI x GI t GI t
Q QS S SE E EB A s A s q A s
G x tI x GI t GI t
S SQ QE EB A s A
G x tI x GI t
*
0
d d d .zs
y
z
yA A
SEs q A s
GI t
(2.46)
Nakon parcijalne integracije slijedi
* ** * * *
0 0 0
d d d ( d d d ) d d d ,
y y ys s sg
y zz z z z
dA L L
A SS S S SA s uv v u u s v A A s A s s
t t t t t
24
* * * * **
0 0 0
d d d ( d d d ) d d d ,z z zs s s g
y y y z yz
dA L L
S S S A SSA s uv v u u s v A A s A s s
t t t t t
* *
0 0
2 2** * *
0
d d d ( d d d d )
d d d d ,
y y
y
s s
z zz
A
sg
zz z zz z
dL L A
S Sy A s uv v u u s v y A v y A S
t t
SS S SS s S s s A
t t t t
* *
0 0
* * **
0
d d d ( d d d d )
d d d ,
z z
z
s sy y
z
A
s gy z yz
z zd
L L
S Sy A s uv v u u s v y A v y A S
t t
S S SSS s S s s
t t t
* *
0 0
2 2** * *
0
d d d ( d d d d )
d d d d ,
z z
z
s sy y
y
A
s gyy y y
y yd
L L A
S Sz A s uv v u u s v z A v z A S
t t
SS S SS s S s s A
t t t t
* *
0 0
* ** *
0
d d d ( d d d d )
d d d ,
y y
y
s s
z zy
A
sg
y zz zy y
dL L
S Sz A s uv v u u s v z A v z A S
t t
S SS SS s S s s
t t t
* *
0 0
* ** *
0
d d d ( d d d d )
d d d ,
y y
y
s s
z z
A
sg
zz z
dL L
S SA s uv v u u s v A v A S
t t
S SS SS s S s s
t t t
* *
0 0
* * * *
0
d d d ( d d d d )
d d d ,
z z
z
s sy y
A
s gy y y
dL L
S SA s uv v u u s v A v A S
t t
S S S SS s S s s
t t t
pa jednadžbe (2.46) postaju
25
* * * *
2 * **
2* * *
* ** *
d , d ,
d , d ,
d , d ,
d , d .
y z z yy zy z
z yL L
y zy zzz y z z
z yA L
y y zz yy z y y
y zA L
yy zzy z
z yL L
A S A SE EN q s N q s
GI t GI t
S SSE EM q A M q s
GI t GI t
S S SE EM q A M q s
GI t GI t
S SS SE EB q s B q s
GI t GI t
(2.47)
Iz (2.44), a imajući u vidu (2.40), dobije se
2
M
2
3
P
3
3
P
3
3
P
3
d d d0,
d d d
d d d d,
d d d d
d d dd,
d d d d
d d d0,
d d d
y z
y z
z z zz y
y z
y y y
y z
y z
u N NEA
x x x
v M M MEI Q
x x x x
M M MwEI Q
x x x x
B BEI
x x x
(2.48)
odnosno, uz (2.38)
3
M
3
4 2
P
4 2
24
P
4 2
4
P
4
d0,
d
dd d,
d d d
dd d,
d d d
d0.
d
yzz y
y zy z
uEA
x
Qv MEI q
x x x
Mw QEI q
x x x
EIx
(2.49)
Pretpostavka je da vrijedi .yq konst i .zq konst ; u protivnom jednadžbe (2.48) i (2.49)
daju približno rješenje problema.
Prva jednadžba u (2.44), a uz (2.47), može se pisati kao
* ** *
M
ddd
,d
z yy zzyy z
y Lz L
A SA S EEq sq s
GI tGI tu N N
x EA EA EA EA
odnosno
26
* * * *
M
2 2
d 1 1d d ,
d
y s y z z yz s
z s y sA A
q L A S A Sq LuA A
x GA I L t GA I L t
gdje je sL proizvoljno odabrana duljina srednje linije poprečnog presjeka.
Druga jednadžba u (2.44), a imajući u vidu (2.47), može se pisati kao
2 * **
2P2
ddd
,d
y zzzyy z
yzz z z z LA
z z z z z z
S SEE Sq sq A
GI tGI tv M M M M
EI EI EI EI EI EIx
tj.
2 * *2 *P2 2
dd d .
d
y y zz z z
z y zz A L
q S Sv M A S q AA s
EI GA t GA I I tx I
Treća jednadžba u (2.44), uz (2.47), poprima oblik
2* * *
2P
2
d dd
,d
y y zz yz y
yy y y y zA L
y y y y y y
S S SE Eq A q s
GI tM M M M GI tw
EI EI EI EI EI EIx
odnosno
2* * *2
P2 2
dd d .
d
y y y y zz
y y zy A L
M S q S Sw q A AA s
EI GA t GA I I tx I
Četvrta jednadžba u (2.44), uzevši u obzir (2.47), može se pisati kao
* ** *
2
P
2
ddd
,d
yzzyy z
y Lz L
S SEE S Sq sq s
GI tGI tB B
x EI EI EI EI
tj.
* ** *2
P P P
2
P P
dd d .
d
y yz z
z yL L
q S SS SW q Ws s
x GW I I t GW I I t
Uvođenjem faktora smicanja prema
27
* *
2
* *
2
2*
2
* *
2*
2
* *P
* *
P
1d ,
1d ,
d ,
d ,
d ,
d ,
d ,
y z
xy
z s A
z y
xz
y s A
zyy
z A
y z
yz zy
y z L
y
zz
y A
zy
z L
y
z
y L
A SA
I L t
A SA
I L t
SAA
tI
S SAs
I I t
SAA
tI
S SWs
I I t
S SWs
I I t
(2.50)
gdje su:
xy faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka Pv ,
xz faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka Pw ,
yy faktor smicanja u odnosu na pomak Pv ,
yz faktor smicanja u odnosu na pomak Pv zbog pomaka Pw ,
zz faktor smicanja u odnosu na pomak Pw ,
y faktor smicanja u odnosu na pomak P zbog pomaka Pv ,
z faktor smicanja u odnosu na pomak P zbog pomaka Pw ,
i smicajnih površina te smicajnih momenata otpora prema
P PP P
, ,
, ,
, ,
yy yz
yy yz
zy zz
zy zz
y z
y z
A AA A
A AA A
W WW W
(2.51)
28
pri čemu je 2P P
A
I h dA polarni moment tromosti poprečnog presjeka u odnosu na glavni pol
P, a PP
0
IW
h polarni moment otpora u odnosu na glavni pol, gdje je 0h udaljenost tangente
kroz glavnu ishodišnu točku od pola P. Time izraz (2.44) poprima oblik
M
2P
2
2P
2
2P
2P P P P
d,
d
d,
d
d,
d
d.
d
y S xy z S xz
y yz z z zyy yz
z z yy yz
y y y yz zzz zy
y y zz zy
y yz zy z
y z
q L q Lu
x GA GA
q qv M q M q
EI GA GA EI GA GAx
M q M qw q q
EI GA GA EI GA GAx
q qq q
GW GW GW GWx
(2.52)
Normalno naprezanje dano sa (2.20) može se izraziti uz pomoć unutarnjih sila na sljedeći
način [35]
*
0
*
0
d
d
+ .
z
y
sy zy y y y
x z
y y y y
sy zz z z z
y
z z z z
y z
y z
M M M SEz z z q s
I I I GI t
M M M SEy y y q s
I I I GI t
B B
I I
N N
A A
(2.53)
Unutarnje sile dane sa (2.47), uzimajući u obzir (2.50), mogu se napisati i na ovaj način
P P
, ,
, ,
, ,
, ,
s xyy z s xzy z
z yy z yzy zz y z z
y zy y zzy zy y y z
yy z zy z
EL ELN q N q
G G
EI EIM q M q
GA GA
EI EIM q M q
GA GA
EI EIB q B q
GW GW
(2.54)
a uz (2.51), u sljedećem obliku
29
P P
, ,
, ,
, ,
, .
s xyy z s xzy z
y zz zz y z z
yy yz
y yy zy y y z
zy zz
y zy z
y z
EL ELN q N q
G G
EI EIM q M q
GA GA
EI EIM q M q
GA GA
EI EIB q B q
GW GW
(2.55)
Izraz za naprezanje (2.53) postaje
*
0
*
0
P P
d
d
+ ,
z
y
sy y zyzz
x z z y
y y
s
yy yzz zy y z
z z
yzz y
s xys xzz y
M S EE Ez q z q s q z
I GA GI t GA
E EM E Sy q y q s q y
I GA GI t GA
EEq q
GW GW
ELELq q
GA GA
(2.56)
odnosno
*
0
*
0
P P
d
d
+ .
z
y
sy y
x z z y
y zz y zy
s
z zy y z
z yy z yz
z y
z y
s xys xzz y
M SE E Ez q z q s q z
I GA GI t GA
M E E S Ey q y q s q y
I GA GI t GA
E Eq q
GW GW
ELELq q
GA GA
(2.57)
30
2.6. Pomaci pola
Jednadžbe (2.52) mogu se napisati razdvojeno, uz oznake radi jednostavnijeg pisanja,
s b sM M s P P b P s
b s t sP P b P s P P t P s
, , , , ,
, , , , , ,
u u u u v v v v v v
w w w w w w
kako slijedi
2b
2
2b
2
2t
2
d0,
d
d,
d
d,
d
d0,
d
z
z
y
y
u
x
v M
EIx
Mw
EIx
x
(2.58)
i
s
2s
2
2s
2
2s
2P P
d,
d
d,
d
d,
d
d.
d
y s xy z s xz
y yy z yz
y zyz zz
zz
y y z z
q Lu q L
x GA GA
q qv
GA GAx
qw q
GA GAx
q q
GW GWx
(2.59)
Jednadžbe (2.58) predstavljaju poznate jednadžbe klasične teorije tankostjenih štapova [16],
[17]. Prva i četvrta jednadžba predstavljaju pomake poprečnog presjeka štapa kao krutog
tijela. Druga i treća jednadžba daju pomake od savijanja u glavnim ravninama.
Jednadžbe (2.59) predstavljaju utjecaj smicanja na pomake.
Integracijom jednadžbi (2.59), imajući u vidu (2.16) i (2.41), dobije se
31
s S
ss
ss
ss
P P
,
d,
d
d,
d
d,
d
y s xy z s xz
y yy z yz
y zyz zz
y y z z
Q L Q Lu u
GA GA
Q Qv
x GA GA
Qw Q
x GA GA
Q Q
x GW GW
(2.60)
pri čemu su zanemarene konstante integracije. Pretpostavka je da kutni pomaci s , s i s ,
kao i pomak su , ne ovise o rubnim uvjetima.
Integriranjem druge, treće i četvrte jednadžbe u (2.60) dobije se
s
s
s
P P
,
,
,
z yy y yz
v
y zz z zy
w
z y y z
M Mv C
GA GA
M Mw C
GA GA
M MC
GW GW
(2.61)
gdje su vC , wC i C konstante integracije.
Jednadžbe (2.61) mogu biti napisane i kao
s
s
s
P P
,
,
.
yzv
yy yz
y zw
zz zy
yz
y z
MMv C
GA GA
M Mw C
GA GA
MMC
GW GW
(2.62)
Iz uvjeta da je na lijevom kraju nosača (zglobni oslonac)
s
s
s
0,
0,
0,
v
w
(2.63)
dobiju se konstante integracije
32
AA
AA
AA
P P
,
,
.
yzv
yy yz
yzw
zy zz
yz
y z
MMC
GA GA
MMC
GA GA
MMC
GW GW
(2.64)
Ukupni pomaci mogu se izraziti prema
AAb
A Ab
AA
P P
,
,
,
,
y xy s z xz s
y yz zyy yz
y y z zzz zy
y yz zy z
Q L Q Lu
GA GA
M MM Mv v
GA GA
M M M Mw w
GA GA
M MM M
GW GW
(2.65)
odnosno prema
AAb
A Ab
AA
P P
,
,
,
.
y xy s z xz s
y yz z
yy yz
y y z z
zz zy
y yz z
y z
Q L Q Lu
GA GA
M MM Mv v
GA GA
M M M Mw w
GA GA
M MM M
GW GW
(2.66)
Za zglobno oslonjen nosač, rubni uvjeti za oslonce A i B glase
A A B B
A A B B
A B
A B
b bb b A A B B
b bb A A B B
2 2b
A B2 2
2 2b
A B2 2
0 0 ,
0 0 ,
d d0 0 ,
d d
d d0 0 .
d d
x x x x x x x x
x x x x x x b x x
bx x x x z z
bx x x x y y
v v v v v v v v
w w w w w w w w
v vM M
x x
w wM M
x x
(2.67).
Za ukliješteni nosač, rubni uvjeti za ukliještene krajeve A i B glase
33
A A A
A A A
B B
B B
b bbb A A A
b bbb A A A
B A bB A bB b B
B A bB A bB b B
d0 0 , 0 ( 0),
d
d0 0 , 0 ( 0),
d
d0 0 ( 0),
d
d0 0 ( 0).
d
x x x x x x
x x x x x x
y yz zx x x x
yy yz
y yz zx x x x
zy zz
vv v v v
x
ww w w w
x
M MM M vv v
GA GA x
M MM M ww w
GA GA x
(2.68).
Za slobodni kraj rubni uvjeti su
B
B
B
B
2b
B2
2b
B2
3b
B3
3b
B3
d0 0 ,
d
d0 0 ,
d
d0 0 ,
d
d0 0 .
d
x x z
x x y
x x y
x x z
vM
x
wM
x
vQ
x
wQ
x
(2.69).
2.7. Posebni slučajevi
2.7.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije
U slučaju da je os z os simetrije lako se može dokazati da je 0xy yz zy z .
Izraz (2.56) postaje [35]
*
0
*
0
P
d
d
+ ,
z
y
sy yzz
x z z
y y
s
yyz zy y
z z
y
y
s xzz
M SE Ez q z q s
I GA GI t
EM E Sy q y q s
I GA GI t
Eq
GW
ELq
GA
(2.70)
34
a izraz (2.57)
*
0
*
0
P
d
d
+ .
z
y
sy y
x z z
y zz y
s
z zy y
z yy z
y
y
s xzz
M SE Ez q z q s
I GA GI t
M E E Sy q y q s
I GA GI t
Eq
GW
ELq
GA
(2.71)
Izraz (2.65) prelazi u
Ab
A
b
A
P
,
,
,
,
z xz s
z zyy
y y
zz
z zy
Q Lu
GA
M Mv v
GA
M Mw w
GA
M M
GW
(2.72)
odnosno (2.66) u
Ab
A
b
A
P
,
,
,
.
z xz s
z z
yy
y y
zz
z z
y
Q Lu
GA
M Mv v
GA
M Mw w
GA
M M
GW
(2.73)
Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine i dodatno na
uvijanje i rastezanje/sabijanje zbog smicanja.
2.7.1.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije ( 0; 0)z yq q
Izraz (2.70) postaje
35
*
0
d + ,zs
y y s xzzzx z z z
y y
M S ELE Ez q z q s q
I GA GI t GA
(2.74)
a (2.71)
*
0
d + .zs
y y s xzx z z z
y zz y
M S ELE Ez q z q s q
I GA GI t GA
(2.75)
Izraz (2.72) postaje
s
A
b
,
,
z xz s
y y
zz
Q Lu u
GA
M Mw w
GA
(2.76)
a (2.73)
s
A
b
,
.
z xz s
y y
zz
Q Lu u
GA
M Mw w
GA
(2.77)
Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije i dodatno na
rastezanje/sabijanje zbog smicanja.
2.7.1.2. Slučaj opterećenja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije ( 0; 0)y zq q
Izraz (2.70) postaje
*
P0
d ,
ys
yy yz zx y y y
z z
E EM E Sy q y q s q
I GA GI t GW
(2.78)
a (2.71)
*
P0
d .
ys
z zx y y y
z yy z y
M E E S Ey q y q s q
I GA GI t GW
(2.79)
Izraz za pomake (2.72) prelazi u
36
A
b
As
P
,
,
z zyy
z zy
M Mv v
GA
M M
GW
(2.80)
a (2.73) u
A
b
As
P
,
.
z z
yy
z z
y
M Mv v
GA
M M
GW
(2.81)
Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije i
dodatno na uvijanje zbog smicanja.
2.7.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije
Izraz za normalno naprezanje (2.56) postaje [35]
*
0
*
0
d
d ,
z
y
sy yzz
x z z
y y
s
yyz zy y
z z
M SE Ez q z q s
I GA GI t
EM SEy q y q s
I GA GI t
(2.82)
a izraz (2.57)
*
0
*
0
d
d ,
z
y
sy y
x z z
y zz y
s
z zy y
z yy z
M SE Ez q z q s
I GA GI t
M SE Ey q y q s
I GA GI t
(2.83)
jer je uz 0xy yz zy z i 0xz y .
Izraz za pomake (2.65) postaje
37
Ab
A
b
0,
,
,
0,
z zyy
y y
zz
u
M Mv v
GA
M Mw w
GA
(2.84)
a (2.66)
Ab
A
b
0,
,
,
0.
z z
yy
y y
zz
u
M Mv v
GA
M Mw w
GA
(2.85)
Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje ravnine simetrije.
2.7.2.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-z ( 0; 0)z yq q
Izraz za normalno naprezanje (2.82) postaje
*
0
d ,zs
y yzzx z z
y y
M SE Ez q z q s
I GA GI t
(2.86)
a (2.83)
*
0
d .zs
y y
x z z
y zz y
M SE Ez q z q s
I GA GI t
(2.87)
Izraz za pomake (2.84) postaje
A
b ,y y
zz
M Mw w
GA
(2.88)
a (2.85)
A
b .y y
zz
M Mw w
GA
(2.89)
Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije x z .
2.7.2.2. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-y ( 0; 0)y zq q
38
Izraz za normalno naprezanje (2.82) postaje
*
0
d ,
ys
yyz zx y y
z z
EM SEy q y q s
I GA GI t
(2.90)
a (2.83)
*
0
d .
ys
z zx y y
z yy z
M SE Ey q y q s
I GA GI t
(2.91)
Izraz za pomake (2.84) postaje
A
b ,z zyy
M Mv v
GA
(2.92)
a (2.85)
A
b .z z
yy
M Mv v
GA
(2.93)
Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije y z .
39
3. UVIJANJE ŠTAPOVA OTVORENOG TANKOSTJENOG PRESJEKA
S UTJECAJEM SMICANJA
U ovom poglavlju prikazuje se približna teorija uvijanja štapova otvorenog tankostjenog
presjeka s utjecajem smicanja zasnovana na klasičnoj Vlasovljevoj teoriji tankostjenih
štapova otvorenog poprečnog presjeka [20], [78], [79], [80], [81].
Kad se vanjsko opterećenje svodi na jednoliko raspodijeljene momente uvijanja oko pola, štap
je u općem slučaju opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja oko pola i dodatno na savijanje
zbog smicanja te rastezanje/sabijanje zbog smicanja [27], [36].
Ako presjek ima jednu os simetrije, uz isto vanjsko opterećenje, štap je opterećen na uvijanje
s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu
simetrije.
Za poprečni presjek s dvije osi simetrije, štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja.
U klasičnim teorijama uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka
zanemaruje se vitoperenje poprečnog presjeka zbog smicanja. Ovdje je dana približna
inženjerska metoda koja uzima u obzir ovaj utjecaj [36]. Dani su analitički izrazi za
raspodjelu naprezanja duž srednje linije poprečnog presjeka. Pri tom se polazi od pretpostavki
navedenih u drugom poglavlju. Isto tako izrazi navedeni u drugom poglavlju (2.1) - (2.28)
vrijede i ovdje.
Pretpostavka je da su normalno naprezanje prikazano izrazom (2.20) kao i tangencijalno
naprezanje dano izrazom (2.24) konstantni po debljini stjenke poprečnog presjeka. U skladu s
pretpostavkom da za vrijeme deformiranja poprečni presjek zadržava svoj oblik, Saint
Venantovo čisto uvijanje može biti uključeno s komponentom
V V ( , , ),x x x s
koja je linearno raspodijeljena po debljini stjenke i računa se prema
V t
t
,x
M
I
(3.1)
gdje je
t t ( )M M x
40
moment čistog uvijanja definiran sa
t
Pt t t t
d,
dM GI GI
x
(3.2)
pri čemu je
3
t
1d ,
3L
I t s
(3.3)
torzijski moment tromosti poprečnog presjeka.
Ukupno tangencijalno naprezanje
tot totxξ ( , , )x x s
dano je sa
tot V ,x x x
(3.4)
gdje je komponenta x dana sa (2.24), a komponenta Vx sa (3.1) i (3.2).
3.1. Jednadžbe ravnoteže
Pretpostavlja se da je nosač opterećen jednoliko raspodijeljenim momentom P P( )m m x oko
pola P prema [27], [36]
P d ,z y y z
L
m p y a p z a s
(3.5)
Slika 3.1. Vanjsko opterećenje.
41
gdje su ( , )y yp p x s i ( , )z zp p x s sile na jedinicu površine u smjeru y i z osi, a L
srednja linija poprečnog presjeka.
Za konačni element stjenke poprečnog presjeka prema slici 3.2., jednadžbe ravnoteže mogu se
napisati prema
Slika 3.2. Ravnoteža konačnog elementa štapa.
tP P
( )d d 0,
( )cos d d 0,
( )sin d d 0,
( ) dd d d d 0,
d
xx
L
x
y
L
x
z
L
x
P
L
tF x s
x
tF x s
x
tF x s
x
t MM xh s x m x
x x
(3.6)
gdje je
t tt
dd d d d
dL L
M Ms M s x x
x x x
,
a tM moment čistog uvijanja na jedinici duljine.
Imajući u obzir (2.6) i (2.7), (3.6) se može pisati kao
42
tP
d 0,
( )d 0,
( )d 0,
( ) dd 0.
d
x
L
x
L
x
L
x
L
Ax
ty
x
tz
x
t Mm
x x
(3.7)
Primjenom parcijalne integracije integrali u (3.7) mogu se pisati kao
2
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )d d d d ,
( ) ( ) ( ) ( )d d d d ,
( ) (d d
ex x x x
eL L L
ex x x x
eL L L
x x
L
t t t ty uv v u y y s y s
x x s x s x
t t t tz uv v u z z s z s
x x s x s x
tuv v u
x
2
1
) ( ) ( )d d ,
ex x
eL L
t t ts s
x s x s x
(3.8)
gdje su 1e i 2e rubovi srednje linije poprečnog presjeka u kojima je 0x .
Uvrštenjem (3.8) u (3.7) dobije se
t
P
d 0,
d 0,
d 0,
dd 0.
d
x
L
x
L
x
L
x
L
Ax
ty s
s x
tz s
s x
t Ms m
s x x
(3.9)
Prema (2.20) i (2.24) je
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
3 4 4 4
M P P P
3 4 4 4
d d d d( ) ( ) ( ) ,
d d d d
( ) d d d d( ) ( ) ( ) ( ) ,
d d d d
xy z
x
z y y z
u v wE y s z s s
x x x x x
t u v wE A s S s S s S s
x x x x x
pa uvrštenjem u (3.9) jednadžbe ravnoteže postaju
43
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
3 4 4 4
M P P P
3 4 4 4
3 4 4 4
M P P P
3 4 4 4
3 4 4 4
M P P P
3 4 4 4
d d d d0,
d d d d
d d d d0,
d d d d
d d d d0,
d d d d
d d d d
d d d d
z y
z z zy z
y yz y y
z y
u v wE A S S S
x x x x
u v wE S I I I
x x x x
u v wE S I I I
x x x x
u v wE S I I I
x x x x
,m
(3.10)
gdje je
2
2
2
d , d , d , d ,
d , d , d ,
d , d ,
d .
z yA A A A
z zy zA A A
y yA A
A
A A S y A S z A S A
I y A I yz A I y A
I z A I z A
I A
(3.11)
Vrijede sljedeće jednakosti
, , ,yz zy y y z zI I I I I I
(3.12)
i
t
P
d
d
Mm m
x
(3.13)
ili uz pomoć (3.2)
2 t
P tP t P t2
d d.
d dm m GI m GI
x x
(3.14)
Ako su y , z i glavne koordinate vrijedi
0, 0, 0, 0, 0, 0,y z yz zy y y z zS S I I I I I I S
(3.15)
pa (3.10) prelazi u
44
2
M
2
4
P
4
4
P
4
4
P
4
d0,
d
d0,
d
d0,
d
d.
d
z
y
uEA
x
vEI
x
wEI
x
EI mx
(3.16)
3.2. Veza naprezanja i unutarnjih sila
3.2.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila
Integriranjem tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku dobije se [27], [36]
P
cos d 0,
sin d 0,
d ,
y x
A
z x
A
x
A
Q A
Q A
M h A
(3.17)
gdje ( )y yQ Q x i ( )z zQ Q x predstavljaju poprečne sile u odnosu na y i z os, koje su
jednake nuli s obzirom na zadano opterećenje, a ( )M M x moment vitoperenja u odnosu
na pol P.
Ako se (2.26) uvrsti u prvu jednadžbu (3.17) dobije se
2 3 3
M P P
2 3 3
3
P
3
d d dcos d cos d cos d
d d d
d cos d 0,
d
y z y
L L L
L
E u E v E wQ A t s S t s S t s
t x t x t x
ES t s
t x
odnosno
2 3 3 3
2 3 3 3
d d d dd d d d 0,
d d d d
M P P Py z y
L L L L
u v wQ E A y E S y E S y E S y
x x x x
gdje je cos d d .t s t y
Nakon parcijalne integracije dobije se (vidi str.17 i 18)
45
d ,z
L
A y S d ,z z
L
S y I d ,y zy
L
S y I ,z
L
S dy I
pa je:
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d d0.
d d d dy z z zy z
u v wQ E S E I E I E I
x x x x
Uvrštenjem (2.26) u drugu jednadžbu (3.17) dobije se
2 3 3
M P P
2 3 3
3
P
3
d d dsin d sin d sin d
d d d
d sin d
d
z z y
L L L
L
E u E v E wQ A t s S t s S t s
t x t x t x
ES t s
t x
0,
odnosno
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d dd d d d 0,
d d d dz z y
L L L L
u v wQ E A z E S z E S z E S z
x x x x
gdje je sin d d .t s t z
Primjenom parcijalne integracije dobije se (vidi str. 18)
d ,y
L
A z S d ,z yz
L
S z I d ,y y
L
S z I d ,y
L
S z I
pa je
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d d0.
d d d dz y yz y y
u v wQ E S E I E I E I
x x x x
Ako se (2.26) uvrsti u treću jednadžbu (3.17) dobije se
2 3 3 3
M P P PP P P P2 3 3 3
d d d dd d d d ,
d d d dz y
L L L L
E u E v E w EM A h t s S h t s S h t s S h t s
t x t x t x t x
,
odnosno
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d dd d d d ,
d d d dz y
A L L L
u v wE A E S E S E S M
x x x x
gdje je P d d .h t s t
Nakon parcijalne integracije dobije se (vidi str.19)
46
d ,L
A S d ,z z
L
S I d ,y y
L
S I d ,L
S I
pa je
2 3 3 3
M P P P
2 3 3 3
d d d d.
d d d dz y
u v wE S E I E I E I M
x x x x
Ako su y, z i glavne koordinate vrijedi
0, 0, 0, 0, 0, 0,y z yz z yS S S I I I pa se dobije
3
P
3
3
P
3
3
P
3
d0,
d
d0,
d
d.
d
z
y
vEI
x
wEI
x
EI Mx
(3.18)
Imajući u vidu (3.16) i (3.18) može se napisati
d.
d
Mm
x
(3.19)
Zamjenom (3.18) u (2.26) dobije se
*
.x
M S
I t
(3.20)
3.2.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila
Integracijom izraza za normalno naprezanje po presjeku dobije se [36]
d 0,
d 0,
d 0,
d ,
x
A
z x
A
y x
A
x
A
N A
M y A
M z A
B A
(3.21)
gdje su ( )y yM M x i ( )z zM M x momenti savijanja oko y i z osi, a ( )B B x je
bimoment.
47
Ako se (2.20) i (2.21) uvrste u prvu jednadžbu (3.21) dobije se
2 2 2
M P P P
2 2 2
0
d d d dd d d d d 0,
d d d d
s
x
A A A A
u v w EEA E y A E z A E A s A
x x x x G x
odnosno
2 2 2
M P P P
2 2 2
0
d d d dd d 0.
d d d d
s
x
z y
A
u v w EEA E S E S E S s A
x x x x G x
Budući da su y , z i glavne koordinate, vrijedi 0y zS S S pa gornji izraz postaje
M
0
dd d 0,
d
s
x
A
u EEA s A
x G x
a uz novouvedenu sekundarnu uzdužnu silu
0
d d ,
sx
A
EN A s
G x
gornja jednadžba prelazi u
Md0.
d
uEA N
x
Uvrštenjem (2.20) i (2.21) u drugu jednadžbu (3.21) slijedi
2 2 22M P P P
2 2 2
0
d d d dd d d d d
d d d d
d d 0,
z x
A A A A A
sx
A
u v wM y A E y A E y A E zy A E y A
x x x x
Ey A s
G x
odnosno
2 2 2M P P P
2 2 2
0
d d d dd
d d d d
d d 0.
z x z z yz z
A
sx
A
u v wM y A E S E I E I E I
x x x x
Ey A s
G x
Za glavne koordinate je 0z yz zS I I , pa uz novouvedeni sekundarni moment savijanja
48
0
d d ,
sx
z
A
EM y A s
G x
gornja jednadžba prelazi u
2P2
d0.
dz z z
vM EI M
x
Uvrštenjem (2.20) i (2.21) u treću jednadžbu (3.21) dobije se
2 2 22M P P P
2 2 2
0
d d d dd d d d d
d d d d
+ d d 0,
y x
A A A A A
sx
A
u v wM z A E z A E yz A E z A E z A
x x x x
Ez A s
G x
odnosno
2 2 2M P P P
2 2 2
0
d d d dd
d d d d
+ d d 0.
y x y zy y y
A
sx
A
u v wM z A E S E I E I E I
x x x x
Ez A s
G x
Za glavne koordinate je 0,y zy yS I I te uz novouvedeni sekundarni moment savijanja
0
d d ,
sx
y
A
EM z A s
G x
gornja jednadžba prelazi u
2P
2
d0.
dy y y
wM EI M
x
Uvrštenjem (2.20) i (2.21) u četvrtu jednadžbu (3.21) slijedi
2 2 22M P P P
2 2 2
0
d d d dd d d d + d d ,
d d d d
s
x
A A A A A
u v w EB E A E y A E z A E A A s
x x x x G x
odnosno
2 2 2
M P P P
2 2 2
0
d d d dd d .
d d d d
s
x
z y
A
u v w EE S E I E I E I A s B
x x x x G x
Za glavne koordinate je 0,z yS I I pa uz novouvedeni sekundarni bimoment
49
0
d d ,
ys vx
A
EB A s
G x
gornja jednadžba prelazi u
2
P
2
d.
dEI B B
x
Dakle, jednadžbe (3.21) dobivaju oblik
M
2
P
2
2
P
2
2
P
2
d,
d
d,
d
d,
d
d,
d
z z
y y
uEA N
x
vEI M
x
wEI M
x
EI B Bx
(3.22)
gdje su
0
0
0
0
d d ,
d d ,
d d ,
d d ,
sx
A
sx
z
A
sx
y
A
sx
A
EN A s
G x
EM y A s
G x
EM z A s
G x
EB A s
G x
(3.23)
novouvedene sekundarne komponente unutarnjih sila.
Iz (3.20) je
,x
M S
tI
pa uvrštenjem u (3.23), uz (3.19), dobije se
50
* * *
0 0 0
* * *
0 0 0
* *
0 0
d dd d d d d d ,
d d
d dd d d d d d ,
d d
d dd d d
d d
s s s
A A A
s s s
z
A A A
s s
y
A
M S M S SE E EN A s A s m A s
G x tI x GI t GI t
M S M S SE E EM y A s y A s m y A s
G x tI x GI t GI t
M S M SE EM z A s z A
G x tI x GI t
*
0
* * *
0 0 0
d d d ,
d dd d d d d d .
d d
s
A A
s s s
A A A
SEs m z A s
GI t
M S M S SE E EB A s A s m A s
G x tI x GI t GI t
(3.24)
Nakon parcijalne integracije slijedi
* * * * * *
0 0 0 0
d d d ( d d d ) d d d ,
s s s sg
dA L
S S S S A SA s uv v u u s v A A s A s s
t t t t t
* *
0 0
* * * * *
0 0 0 0
d d d ( d d d d )
d d d d ,
s s
z
A
s s s sgz z
z zd
S Sy A s uv v u u s v y A v y A S
t t
S S S S S SS s S s s s
t t t t
* *
0 0
* ** * *
0 0 0 0
d d d ( d d d d )
d d d d ,
s s
y
A
s s s sgy
y y yd
S Sz A s uv v u u s v z A v z A S
t t
S SS S SS s S s S s s
t t t t
* *
0 0
2* * *
0
d d d ( d d d d )
d d d ,
s s
A
s g
dL A
S SA s uv v u u s v A v A S
t t
S S SS s S s A
t t t
pa jednadžbe (3.24) postaju
51
* *
* *
* *
2*
d ,
d ,
d ,
d ,
L
zz
L
y
y
L
A
A SEN m s
GI t
S SEM m s
GI t
S SEM m s
GI t
SEB m A
GI t
(3.25)
gdje je *
* * * *d , d d .
s
A A A t s
Iz (3.22), a imajući u vidu (3.18), dobije se
2
M
2
3
P
3
3
P
3
3
P
3
d d0,
d d
d d0,
d d
dd0,
d d
d d d,
d d d
zz
y
y
u NEA
x x
v MEI
x x
MwEI
x x
B BEI M
x x x
(3.26)
a uz (3.16)
3
M
3
4
P
4
4
P
4
4
P
4
d0,
d
d0,
d
d0,
d
d d.
d d
z
y
uEA
x
vEI
x
wEI
x
MEI m
x x
(3.27)
Uzevši u obzir (3.4) i (3.14), moment torzije može se izraziti kao
P t ,M M M
pa je
52
P
P
d
d
Mm
x
(3.28)
Pretpostavka je da vrijedi .m konst ; u protivnom jednadžbe (3.26) i (3.27) daju približno
rješenje problema.
Prva jednadžba u (3.22), a uz (3.25), može se pisati kao
* *
M
dd
,d
L
E A Sm s
GI tu N
x EA EA
odnosno
* *
M
2
d 1 1d .
dA
u A Sm A
x GA I t
Druga jednadžba u (3.22), a uz (3.25), može se pisati kao
* *
22P2
dd
,d
z
z A
z z
E S Sm A
GI tv M
EI EIx
odnosno
2 * *P P2 2
dd .
d
z
P z A
v m W S SA
GW I Ix t
Treća jednadžba u (3.22), uz (3.25), poprima oblik
* *
22P
2
dd
,d
y
y L
y y
S SEm A
M GI tw
EI EIx
tj.
* *2P P
2 2P
dd .
d
y
y A
S Sw m WA
GW I Ix t
Četvrta jednadžba u (3.22), imajući u vidu (3.25), može se pisati kao
2*
2
P
2
dd
,d
A
E Sm A
GI tB B B
x EI EI EI EI
53
odnosno
22 *
P P
2 2
P
d 1d .
dA
B I Sm A
x EI GI I t
Uvođenjem faktora smicanja prema
* *
2
* *P
2
* *
P
2
2*
P
2
1d ,
d ,
d ,
d ,
x
A
zy
z A
y
z
y A
A
A SA
I t
S SWA
I I t
S SWA
I I t
SIA
tI
(3.29)
gdje su:
x faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka P ,
y je faktor smicanja u odnosu na pomak Pv zbog pomaka P ,
z je faktor smicanja u odnosu na pomak Pw zbog pomaka P ,
je faktor smicanja u odnosu na pomak P ,
i smicajnih momenta otpora te smicajnog momenta tromosti prema
P
P
PP
s PP
,
,
,
y
y
z
z
WW
WW
II
(3.30)
pri čemu je 2P P
A
I h dA polarni moment tromosti poprečnog presjeka u odnosu na glavni pol
P, a PP
0
IW
h polarni moment otpora u odnosu na glavni pol, gdje je 0h udaljenost tangente
kroz glavnu ishodišnu točku od pola P, izraz (3.22) poprima oblik
54
M
2P2
P
2P
2P
2P
2P
d,
d
d,
d
d,
d
d.
d
x
y
z
u m E
x GA
v m
GWx
w m
GWx
B m
EI GIx
(3.31)
Normalno naprezanje dano sa (2.20) može se izraziti uz pomoć unutarnjih sila na sljedeći
način
*
0
d + .
sy z
x
y z
MS MB B E Nm s z y
I I GI t I I A
(3.32)
Unutarnje sile dane sa (3.25), uzimajući u obzir (3.29), mogu se napisati i na ovaj način
P
P
P
,
,
,
,
x
z y
z
y z
y
EN m
G
EIM m
GW
EIM m
GW
EIB m
GI
(3.33)
a uzevši u obzir (3.30), u sljedećem obliku
P
P
sP
,
,
,
.
x
zz
y
y
y
z
EN m
G
EIM m
GW
EIM m
GW
EIB m
GI
(3.34)
Izraz za naprezanje (3.32) postaje
*
P P P0
d + y+ ,
syz x
x
EB E E S E Em m s m z m m
I GI GI t GW GW GA
(3.35)
55
odnosno
*
sP P P0
d + y+ .
s
xx
z y
B E E S E E Em m s m z m m
I GI t GAGI GW GW
(3.36)
3.3. Pomaci pola
Jednadžbe (3.22) mogu se napisati razdvojeno, uz oznake radi jednostavnijeg pisanja,
s b sM M s P P b P s
b s t sP P b P P P t P s
, , , , ,
, , , , , ,s
u u u u v v v v v v
w w w w w w
kako slijedi
2b
2
2b
2
2t
2
d0,
d
d0,
d
d0,
d
d,
d
u
x
v
x
w
x
B
EIx
(3.37)
i
s
2s
2P
2s
2P
2s
2P
d,
d
d,
d
d,
d
d.
d
x
y
z
u m
x GA
mv
GWx
w m
GWx
m
GIx
(3.38)
Jednadžbe (3.37) predstavljaju poznate jednadžbe klasične teorije uvijanja tankostjenih
štapova [36], [78], [80], [81].
Jednadžbe (3.38) predstavljaju utjecaj smicanja na pomake.
Integriranjem prve jednadžbe u (3.38) dobije se
56
s
xMu
GA
(3.39)
Integriranjem druge, treće i četvrte jednadžbe u (3.38) dobije se
s
P
s
P
s
P
,
,
,
y
v
zw
Bv C
GW
Bw C
GW
BC
GI
(3.40)
gdje su vC , wC i C konstante integracije.
Jednadžbe (3.40) mogu biti napisane i kao
s
P
s
P
s sP
,
,
.
v
y
w
z
Bv C
GW
Bw C
GW
BC
GI
(3.41)
Iz uvjeta da je na lijevom kraju nosača (zglobni oslonac)
s
s
s
0,
0,
0,
v
w
(3.42)
dobiju se konstante integracije
P
P
sP
,
,
.
v
y
w
z
BC
GW
BC
GW
BC
GI
(3.43)
Ukupni pomaci mogu se izraziti prema
57
A
P
A
P
At
P
,
,
,
,
x
y
z
Mu
GA
B Bv
GW
B Bw
GW
B B
GI
(3.44)
odnosno prema
A
P
A
P
At s
P
,
,
,
.
x
yP
z
Mu
GA
B Bv
GW
B Bw
GW
B B
GI
(3.45)
Za zglobno oslonjen nosač, rubni uvjeti za oslonce A i B glase
A A B B
A B
t tt t A A B B
2 2t t
A B2 2
0, 0 ,
d d0, 0 .
d d
x x x x x x x x
x x x x B Bx x
(3.46)
Za ukliješteni nosač, rubni uvjeti za ukliještene krajeve A i B glase
A A A
B B B A
B
t ttt A A A
2 2t t
B t s 2 2P
t B A tB B Bs
P
d0 0 , 0 ( 0),
d
1 d d0
d d
d 0 , 0 ( 0).
d
x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x
EI EIGI x x
B B
xGI
(3.47)
Za slobodni kraj, rubni uvjeti su
58
B B
2 3t t
B B2 3
d d0 0 , 0 0 .
d dx x x xB M
x x
(3.48)
3.4. Posebni slučajevi
3.4.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije
U slučaju da je os z os simetrije lako se može dokazati da je 0 0x z .
Izraz (3.35) postaje
*
P P0
d + ,
sy
x
EB E E Sm m s m y
I GI GI t GW
(3.49)
a (3.36)
*
sP P0
d + .
s
x
y
B E E S Em m s m y
I GI tGI GW
(3.50)
Izraz (3.44) postaje
A
P
At
P
0,
,
0,
,
y
u
B Bv
GW
w
B B
GI
(3.51)
a (3.45)
A
P
At s
P
0,
,
0,
.
y
u
B Bv
GW
w
B B
GI
(3.52)
Štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje zbog smicanja u
ravnini okomitoj na ravninu simetrije.
59
3.4.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije
Izraz za normalno naprezanje (3.35) postaje [27], [36]
*
P 0
d ,
s
x
B E E Sm m s
I GI GI t
(3.53)
a izraz (3.64)
*
sP 0
d ,
s
x
B E E Sm m s
I GI tGI
(3.54)
jer je uz 0, 0x z i 0y .
Izraz za pomake (3.44) prelazi u
At
P
0,
0,
0,
,
u
v
w
B B
GI
(3.55)
a (3.45) u
At s
P
0,
0,
0,
.
u
v
w
B B
GI
(3.56)
Štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja.
60
61
4. UTJECAJ SMICANJA PRI SAVIJANJU I UVIJANJU ŠTAPOVA
OTVORENOG TANKOSTJENOG PRESJEKA
Ukoliko se vanjsko opterećenje svodi na silu kroz pol okomito na uzdužnu os štapa te
moment uvijanja oko pola, štap je opterećen na savijanje i uvijanje s utjecajem smicanja.
Izrazi za normalno naprezanje i pomake mogu se dobiti superpozicijom izraza za pomake i
normalno naprezanje dobivenih u poglavljima 2. i 3.
Superpozicijom (2.56) i (3.35) izraz za normalno naprezanje prelazi u
*
0
*
0
P P
*
P P0
d
d
d +
z
y
sy y zyzz
x z z y
y y
s
yy yzz zy y z
z z
y s xyz s xzz y z y
syz
M S EE Ez q z q s q z
I GA GI t GA
E EM SEy q y q s q y
I GA GI t GA
E ELE ELq q q q
GW GW GA GA
EE S EB Em m s m z m
I GI GI t GW
P
+ ,xEy m
GW GA
(4.1)
odnosno superpozicijom (2.57) i (3.36)
*
0
*
0
P P
*
sP PP 0
d
d
+
+ d + + +
z
y
sy y
x z z y
y zz y zy
s
z zy y z
z yy z yz
s xys xzz y z y
z y
s
x
z y
M SE E Ez q z q s q z
I GA GI t GA
M SE E Ey q y q s q y
I GA GI t GA
ELELE Eq q q q
GW GW GA GA
S EB E E E Em m s m z m y m
I GI t GW GWGI
.GA
(4.2)
Superpozicijom (2.65) i (3.44) izrazi za pomake postaju
62
AA Ab
P
A A Ab
P
AA A
sP P P
,
,
,
,
y xy s z xz s x
y yz zyy yz y
y y z zzz zy z
y yz zy z t
Q L Q L Mu
GA GA GA
M MM M B Bv v
GA GA GW
M M M M B Bw w
GA GA GW
M MM M B B
GW GW GI
(4.3)
odnosno superpozicijom (2.66) i (3.45)
AA Ab
P
A A Ab
P
AA At s
P P P
,
,
,
.
y xy s z xz s x
y yz z
yy yz y
y y z z
zz zy z
y yz z
y z
Q L Q L Mu
GA GA GA
M MM M B Bv v
GA GA GW
M M M M B Bw w
GA GA GW
M MM M B B
GW GW GI
(4.4)
4.1. Posebni slučajevi
4.1.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije
U slučaju da je os z os simetrije lako se može dokazati da je 0, 0.x z
Izraz za normalno naprezanje (4.1) prelazi u
* *
0 0
P
*
P P0
d d
d + ,
yzss
y y yyzz z zx z z y y
y y z z
y s xzy z
sy
M S EE M SE Ez q z q s y q y q s
I GA GI t I GA GI t
E ELq q
GW GA
EE SB Em m s m y
I GI GI t GW
(4.5)
a (4.2) u
63
* *
0 0
P
*
sPP 0
d d
+
+ d + .
yzss
y y z zx z z y y
y zz y z yy z
s xzy z
y
s
y
M S M SE E E Ez q z q s y q y q s
I GA GI t I GA GI t
ELEq q
GW GA
SB E E Em m s m y
I GI t GWGI
(4.6)
Izrazi za pomake (4.3) postaju
A Ab
P
A
b
A At s
P P
,
,
,
,
z xz s
z zyy y
y y
zz
z zy
Q Lu
GA
M M B Bv v
GA GW
M Mw w
GA
M M B B
GW GI
(4.7)
a (4.4)
A Ab
P
A
b
A At s
P P
,
,
,
.
z xz s
z z
yy y
y y
zz
z z
y
Q Lu
GA
M M B Bv v
GA GW
M Mw w
GA
M M B B
GW GI
(4.8)
4.1.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije
Izraz za normalno naprezanje (4.1) postaje
* *
0 0
*
P 0
d d
d ,
yzss
y y yyzz z zx z z y y
y y z z
s
M S EE M SE Ez q z q s y q y q s
I GA GI t I GA GI t
E SB Em m s
I GI GI t
(4.9)
64
a izraz (4.2)
* *
0 0
*
sP 0
d d
+ d .
yzss
y y z zx z z y y
y zz y z yy z
s
M S M SE E E Ez q z q s y q y q s
I GA GI t I GA GI t
SB E Em m s
I GI tGI
(4.10)
Izrazi za pomake (4.3) prelaze u
Ab
A
b
At s
P
0,
,
,
,
z zyy
y y
zz
u
M Mv v
GA
M Mw w
GA
B B
GI
(4.11)
a (4.4) u
Ab
A
b
At s
P
0,
,
,
.
z z
yy
y y
zz
u
M Mv v
GA
M Mw w
GA
B B
GI
(4.12)
65
5. ANALIZA REZULTATA
5.1. Faktori smicanja
U prezentiranoj teoriji savijanja s utjecajem smicanja izvedeni su izrazi za pomake (2.65)
AAb
A Ab
AA
P P
,
,
,
,
y xy s z xz s
y yz zyy yz
y y z zzz zy
y yz zy z
Q L Q Lu
GA GA
M MM Mv v
GA GA
M M M Mw w
GA GA
M MM M
GW GW
te normalno naprezanje u uzdužnom smjeru (2.56)
*
0
*
0
P P
d -
d
+ .
z
y
sy y zyzz
x z z y
y y
s
yy yzz zy y z
z z
y s xyz s xzz y z y
M S EE Ez q z q s q z
I GA GI t GA
E EM SEy q y q s q y
I GA GI t GA
E ELE ELq q q q
GW GW GA GA
Također, u teoriji uvijanja s utjecajem smicanja dobiveni su izrazi za pomake (3.44)
A
P
A
P
At
P
,
,
,
,
x
y
z
Mu
GA
B Bv
GW
B Bw
GW
B B
GI
odnosno normalno naprezanje u uzdužnom smjeru (3.35)
*
P P P0
d + + .
syz x
x
EE S E EB Em m s m z m y m
I GI GI t GW GW GA
Iz navedenih izraza vidi se vrlo važna uloga faktora smicanja u izračunavanju pomaka i
normalnog napezanja. Faktori smicanja definirani su izrazima (2.50)
66
* * * *
2 2
2 * **
2
2*
2
* ** *P P
1 1d , d ,
d , d ,
d ,
d , d ,
y z z y
xy xz
z s y sA A
y zzyy yz zy
y zz A L
y
zz
y A
yzy z
z yL L
A S A SA A
I L I Lt t
S SSA AA s
t I I tI
SAA
tI
S SS SW Ws s
I I t I I t
odnosno (3.29)
* *
2
* ** *P P
2 2
2*
P
2
1d ,
d , d ,
d .
x
A
yzy z
z yA A
A
A SA
I t
S SS SW WA A
I I I It t
SIA
tI
Faktori smicanja, u navedenim izrazima, za niz poprečnih presjeka, dani su u
bezdimenzionalnom obliku, kao čisto geometrijske karakteristike poprečnog presjeka.
Poprečni presjek sveden je na srednju liniju. Zanemaren je Poissonov efekt. Za poprečne
presjeke s jednom (I-presjek, T-presjek, U-presjek, L-presjek) i dvije osi simetrije (I-presjek )
izvedeni su izrazi za faktore smicanja u parametarskom obliku što omogućava uvid koliko
pojedini dio poprečnog presjeka pridonosi u ukupnoj vrijednosti faktora smicanja (Prilog A).
Zbog ključne uloge faktora smicanja u izračunavanju pomaka i normalnog naprezanja, vrlo
važan korak u ovom radu bio je provjera vrijednosti ovih faktora za razmatrane presjeke
navedene u Prilogu A.
U odnosu na dostupnu literaturu uvedeni su novi faktori smicanja xz , xy i x .
Dobivene vrijednosti pojedinih faktora smicanja uspoređivane su sa vrijednostima iz dostupne
literature. U navedenoj literaturi faktori smicanja nisu definirani kao u prezentiranoj teoriji i
ne spominju se sveobuhvatno kao u ovom radu.
Tako Cowper [44] za I-presjek i T-presjek daje analitičke izraze za faktor 1/ zzK u
funkciji geometrije presjeka, ali i Poissonova koeficijenta prema:
67
I-presjek
2
2 3 2 3 2 2 2 2
10 1 1 31,
12 72 150 90 11 66 135 90 30 5 (8 9 )zz
mK
m m m m m m n m m n m m
gdje su 1
0
2,
bt bm n
ht h (slika A.7. u Prilogu A),
T-presjek
2
2 3 2 3 2 2 2 2 3
10 1 1 41,
12 96 276 192 11 88 248 216 30 10 (4 5 )zz
mK
m m m m m m n m m n m m m
gdje su 1
0
,bt b
m nht h
(slika A.13. u Prilogu A).
Ako u gornje izraze uvrstimo 0 dobiju se istovjetne vrijednosti za faktor smicanja zz
kao što daje prezentirana teorija savijanja s utjecajem smicanja (SUS).
Tablica 5.1. i tablica 5.2., napravljene prema gore navedenim izrazima za vrijednosti
Poissonova koeficijenta 0 i 0,3 , a za različite omjere /b h , te grafički prikaz tih
tablica na slici 5.1. i slici 5.2., pokazuju minoran utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor
smicanja zz . To opravdava zanemarivanje Poissonova efekta u prezentiranoj teoriji savijanja
s utjecajem smicanja. Fatmi [32] također navodi da Poissonov efekt nema realnog utjecaja na
tankostjene poprečne presjeke.
Tablica 5.1. I-presjek: Faktor smicanja 1/zz K , za 1mh i 1 0t t , prema [44].
b/h zz za 0 zz za 0,3 ( 0) ( 0,3)
100%( 0,3)
zz zz
zz
0,5 2,1188 2,0960 1,088%
0,6 2,3555 2,3362 0,826%
0,7 2,6004 2,5855 0,576%
0,8 2,8529 2,8432 0,341%
0,9 3,1127 3,1090 0,119%
1,0 3,3796 3,3829 -0,098%
1,1 3,6535 3,6646 -0,303%
1,2 3,9344 3,9540 -0,496%
1,3 4,2221 4,2511 -0,682%
1,4 4,5167 4,5558 -0,858%
1,5 4,8180 4,8681 -1,029%
68
Slika 5.1. Utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor smicanja zz za I-presjek prema [44].
Tablica 5.2. T-presjek Faktor smicanja zz , za 1000 mmh i 1 0t t , prema [44].
b/h zz za 0 zz za 0,3 ( 0) ( 0,3)
100%( 0,3)
zz zz
zz
0,5 1,7625 1,7358 1,538%
0,6 1,9100 1,8839 1,385%
0,7 2,0623 2,0369 1,247%
0,8 2,2188 2,1945 1,107%
0,9 2,3794 2,3565 0,972%
1,0 2,5440 2,5228 0,840%
1,1 2,7125 2,6933 0,713%
1,2 2,8849 2,8679 0,593%
1,3 3,0610 3,0468 0,466%
1,4 3,2410 3,2299 0,344%
1,5 3,4247 3,4172 0,220%
69
Slika 5.2. Utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor smicanja zz za T-presjek prema [44].
Senjanović i Fan [46] daju analitički izraz za faktor 0k , u funkciji geometrije i Poissonova
koeficijenta, za niz presjeka (U-presjek - 0k što je po teoriji SUS 1/ zz , C-presjek - 0k što je
1/ yy U-presjeka po teoriji SUS, I-presjek- 0k što je po teoriji SUS 1/ zz ). Uvrštenjem u te
izraze 0 , dobivaju se iste vrijednosti za navedene faktore smicanja koje daje prezentirana
teorija SUS, što pokazuje tablica 5.3.
Tablica 5.3. Faktor smicanja zz , za 1000 mmh , prema [46].
1 0b h t t Teorija
SUS
Senjanović
0
1zz
k za 0
I presjek 3,380 3,380
T presjek 2,544 2,544
U presjek 1,95 1,95
U [47] navedene su vrijednosti faktora smicanja zz za I-presjek i T-presjek, koje su
istovjetne vrijednostima istog faktora po teoriji SUS.
70
U [53] navode se vrijednosti faktora 2 zzA A , 3 yyA A , sr PA I , 3
sr PyA W za U-presjek
karakteristika: 100 mm, 50 mm, 6 mmb h t , koji odgovaraju: smicajnim površinama,
smicajnom momentu tromosti i smicajnom momentu otpora u ovom radu, a iz kojih se mogu
posredno izračunati faktori smicanja zz , yy , i y . Ovako dobivene vrijednosti
jednake su vrijednostima istih faktora smicanja po prezentiranoj teoriji savijanja i uvijanja s
utjecajem smicanja, što pokazuje tablica 5.4.
Tablica 5.4. Usporedba faktora smicanja za U-presjek po teoriji SUS i [53].
SUS KIM SUS-KIM
100%KIM
20,76229 myy
yy
AA
2
3 0,76229 myyA A 0%
20,97471 mzz
zz
AA
2
2 0,97471mzzA A 0%
3PP 5,77375 my
y
WW
3
3 P 5,77375 mr yA W 0%
s 4PP 7,28238 m
II
s 4
P 7,28238 mrA I 0%
Također, u [53] navode se vrijednosti faktora: 3 zzA A , 23 yzA A , sPrA I , 2 Pr yA W ,
3 Pr zA W za C-nesimetrični presjek sa: 1 240 mm, 20 mm, 100 mm, 5 mmb b h t , a
iz kojih se mogu posredno izračunati faktori smicanja: zz , yy , yz , z i y .
Usporedba je prikazana tablicom 5.5. Ovako dobivene vrijednosti neznatno odstupaju (manje
od 1%) od vrijednosti istih koeficijenata dobivenih u ovom radu. Za nesimetrične presjeke
faktori smicanja određeni su programiranjem u Excelu.
Schramm [48] faktore smicanja određuje numerički. U tablici 5.6. su dani faktori smicanja za
jedan L-simetrični i L-nesimetrični poprečni presjek i usporedba sa teorijom SUS.
71
Tablica 5.5. Usporedba faktora smicanja za C- nesimetrični presjek po teoriji SUS i
[53].
SUS KIM SUS-KIM
100%KIM
2151,452 mmyy
yy
AA
2
2 151,452 mmyyA A 0%
2445,879 mmzz
zz
AA
2
3 446,252 mmzzA A -0,08%
21851,900 mmyz
yz
AA
2
23 1847,808 mmyzA A 0,22%
s 4PP 377475,3 mm
II
s 4
P 377475,3 mmrA I 0%
3PP 113178,97 mmy
y
WW
3
2 P 113178,97 mmr yA W 0%
3PP 144462,91 mmz
z
WW
3
3 P 145931,35 mmr zA W -1,01%
Tablica 5.6. Usporedba faktora smicanja zz i yy po teoriji SUS i [48].
I II III IV
SUS
zz
Schramm
gzz zz
I-II100%
II
SUS
yy
Schramm
gyy yy
III-IV100%
IV
L-simetrični 2,400 2,316 3,63% 2,400 2,286 5,00%
L-nesimetrični 3,018 2,886 4,57% 2,140 2,070 3,38%
72
Fatmi [32] daje normirani pomak na slobodnom kraju konzole pri opterećenju
koncentriranom silom. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib P,max b,max/w w w
po teoriji savijanja s utjecajem smicanja i teoriji ograničenog vitoperenja zbog smicanja po
Fatmiju dana je tablicom 5.7.
Tablica 5.7. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib P,max b,max/w w w po teoriji
SUS i [32].
I II
/ 2b h
1 0 / 20t t h
SUS
w
Fatmi
w
I-II100%
II
I presjek 1,353 1,329 1,80%
T presjek 1,181 1,171 0,85%
U presjek 1,146 1,142 0,35%
Tralli [82], Kim i Kim [53] daju primjer konzolnog nosača I-presjeka opterećenog
koncentriranim momentom uvijanja na slobodnom kraju. Iz rezultata kuta uvijanja slobodnog
kraja može se posredno uspoređivati faktor smicanja po teoriji uvijanja s utjecajem
smicanja (UUS) i navedenih teorija. Zbog velikog omjera / 20L h ovdje je utjecaj smicanja
na kut uvijanja na kraju konzolnog nosača mali (0,29%). Usporedba ovih rezultata dana je
tablicom 5.8.
Tablica 5.8. Usporedba rezultata za kut uvijanja na kraju konzolnog nosača I-presjeka po
teoriji UUS i [82] i [53].
I presjek
150 mm
250 mm
5000 mm
25 mm
b
h
L
t
I II III
Vlasov
rad
UUS
rad
Tralli
rad
Kim i Kim
rad
I-II100%
II I-III
100%III
Kut uvijanja 0,5167 0,5181 0,5167 0,5173 0,27% 0,15%
Tralli [82], Kim i Kim [53], Back i Will [83], El Fatmi [32] navode primjer konzolnog nosača
U-presjeka, opterećenog koncentriranim momentom uvijanja na slobodnom kraju. Iz rezultata
kuta uvijanja slobodnog kraja i horizontalnog pomaka točke C U-presjeka (slika A.17. –
73
Prilog A) na slobodnom kraju mogu se posredno uspoređivati faktori smicanja i y po
teoriji uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i navedenih teorija. Navedeni rezultati dani su u
tablici 5.9., a usporedba rezultata prikazana je tablicom 5.10.
Tablica 5.9. Rezultati za kut uvijanja i horizontalni pomak na kraju konzolnog nosača U-
presjeka po teoriji UUS i [82], [53], [83] i [32].
U presjek
5 m 3,5 m
18 m 0,2 m
b h
L t
I II III IV V
UUS Tralli Kim i Kim Back i Will El Fatmi
Kut uvijanja
310 rad 4,2528 4,2389 4,2360 4,210 4,203
Horizontalni pomak točke C
4C 10 mv
2,172 2,163 2,369
Tablica 5.10. Usporedba rezultata za kut uvijanja i horizontalni pomak na kraju konzolnog
nosača U-presjeka po teoriji UUS i [82], [53], [83] i [32].
U presjek
5 m 3,5 m
18 m 0,2 m
b h
L t
I-II100%
II
I-III100%
III
I-IV100%
IV
I-V100%
V
Kut uvijanja
310 rad 0,33% 0,40% 1,02% 1,18%
Horizontalni pomak točke C
4C 10 mv
0,42% 8,32%
Faktori smicanja za presjeke spomenute u prilogu, a za koje se nisu pronašli podaci u
dostupnoj literaturi, provjeravani su indirektno uspoređivanjem rezultata pomaka i normalnog
naprezanja dobivenih teorijom savijanja s utjecajem smicanja s rezultatima dobivenim
metodom konačnih elemenata.
Rađeni su takvi modeli opterećenja štapa da su se faktori smicanja mogli kontrolirati
pojedinačno.
74
Na primjer, I-poprečni presjek s dvije osi simetrije, opterećen je najprije kontinuiranim
opterećenjem u ravnini simetrije x z , gdje se kroz rezultate pomaka Pw i normalnog
naprezanja wx , moglo prosuđivati o faktoru smicanja zz . Opterećenjem u ravnini simetrije
y z , kroz rezultate pomaka Pv i normalnog naprezanja vx , moglo se prosuđivati o faktoru
smicanja yy .
Za presjeke s jednom osi simetrije, na primjer I-poprečni presjek ili U-presjek, prvo je
razmatrano kontinuirano opterećenje u ravnini simetrije x z , gdje se kroz rezultate pomaka
Pw i normalnog naprezanja wux moglo prosuđivati o faktoru smicanja zz i xz .
Opterećenjem u ravnini simetrije y z , rezultati za pomak Pv i normalno naprezanje vx
poslužili su za prosudbu faktora smicanja yy i y . Opterećenjem jednoliko raspodijeljenim
momentima uvijanja oko pola, kroz dobivene rezultate pomaka u ravnini okomitoj na ravninu
simetrije i rezultate normalnog naprezanje vx , testirala se valjanost faktora smicanja
odnosno y .
5.2. Analiza rezultata pomaka i normalnog naprezanja pri savijanju s
utjecajem smicanja
Značajan utjecaj smicanja na rezultate pomaka i normalnog naprezanja kod relativno kratkih
tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka pokazan je na nizu primjera. Iz izraza za
pomake i normalno naprezanje vidi se da utjecaj smicanja na pomake postoji neovisno o vrsti
opterećenja na nosač, dok se utjecaj na normalno naprezanje javlja samo u slučaju
kontinuiranog opterećenja. Iz tog razloga razmatrani su tankostjeni štapovi opterećeni
jednoliko raspodijeljenim opterećenjem koje prolazi polom poprečnog presjeka, posebno u
svakoj glavnoj ravnini, zglobno oslonjeni te ukliješteni na svojim krajevima (slika 5.3.).
Smicanje znatnije utječe na pomake u odnosu na normalno naprezanje, a isto tako utjecaj
smicanja na rezultate pomaka i normalnog naprezanja je znatno veći za slučaj ukliještenih
krajeva nosača u odnosu na zglobno oslonjene.
Za specijalni slučaj tankostjenog štapa otvorenog poprečnog presjeka s dvije osi simetrije
odabran je I-presjek karakteristika prema slici 5.4. Za ovaj slučaj opterećenja štap je opterećen
na savijanje s utjecajem smicanja.
75
Slika 5.3. Vanjsko opterećenje i oslonci nosača.
1 0
400 mm
3 1200 mm
= 10 mm
b h
L h
t t
Slika 5.4. Geometrija poprečnog presjeka.
Iz faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i P b/v v v , koji predstavljaju omjer
maksimalnog progiba prezentirane teorije savijanja s utjecajem smicanja (SUS) [27] i klasične
Euler-Bernoullijeve teorije savijanja (EBBT) [16], vidi se utjecaj smicanja. Pri opterećenju u
ravnini x z faktor w iznosi 10,112w za ukliješteni nosač, a 2,823w za zglobno
oslonjeni nosač (tablica B.1.-Prilog B). Pri opterećenju u ravnini y z faktor v iznosi
2,387v za ukliješteni nosač, a 1,277v za zglobno oslonjeni (tablica B.3.-Prilog B).
Očito, veći je utjecaj smicanja pri opterećenju u ravnini x z u odnosu na opterećenje u
ravnini y z , što pokazuju i faktori smicanja za ovaj poprečni presjek 3,380zz naprema
1,800yy . Normirane progibne linije, za slučaj ukliještenih krajeva, prikazane slikom 5.5 i
slikom 5.6. , jasno pokazuju utjecaj smicanja.
76
Slika 5.5. Normirani pomak P b/w w - ukliješteni nosač.
Slika 5.6. Normirani pomak P b/v v - ukliješteni nosač.
Za zglobno oslonjen nosač utjecaj smicanja je manji. Za veće omjere /L h utjecaj smicanja
na pomake se smanjuje, mada se i pri omjeru / 10L h ne smije zanemariti.
77
Iz faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje /w w bB x x i /v v b
A x x , koji daju
omjer maksimalnog normalnog naprezanja na sredini raspona po teoriji SUS i istog
naprezanja po klasičnoj EBBT, vidi se utjecaj smicanja od 51,18% za ukliješteni nosač
odnosno od 17,06% za zglobno oslonjen nosač pri opterećenju u glavnoj ravnini x z
(tablica B.2.-Prilog B), a 11,56% za ukliješteni nosač odnosno od 3,85% za zglobno
oslonjen nosač pri opterećenju u glavnoj ravnini y z (tablica B.4.-Prilog B). Iz analitičkih
izraza za faktore utjecaja smicanja na normalno naprezanje Bw i A
v prema:
1 0B
0
61 1 ,
12
z y zzw
y zz y
q I A A A hE
M A G I t
2
A 1 112
y z yyv
z yy z
q I A bE
M A G I
vidljiv je i utjecaj materijala na ove faktore kroz član /E G . U svim primjerima uzeto je
/ 2,6E G . Jasno, za veće omjere /E G (neki kompozitni materijali) utjecaj smicanja na
iznos normalnog naprezanja postaje još veći. Povećanjem omjera /L h utjecaj smicanja na
normalno naprezanje se smanjuje tako da je pri omjeru / 15L h zanemariv.
Na slici 5.7. i slici 5.8. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž
pojasa i duž struka I-presjeka na sredini raspona ukliještenog nosača. Jasno se uočava razlika
u normalnom naprezanju dobivenom po teoriji SUS [27] i onog prema klasičnoj EBBT [16],
[17]. Za slučaj zglobnog oslanjanja nosača također su slične raspodjele normalnog naprezanja,
s tim da je u tom slučaju utjecaj smicanja manji.
Slika 5.7. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni
nosač.
78
Slika 5.8. Normirano normalno naprezanje duž struka na sredini raspona - ukliješteni
nosač.
Od poprečnih presjeka s jednom osi simetrije, u Prilogu B detaljno su obrađeni, s aspekta
pomaka i normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru, I-presjek, T-presjek, U-presjek i L-
presjek. Za analizu je, kao najinteresantniji odabran U-presjek, geometrije prema slici 5.9.
1 0
400 mm
3 1200 mm
= 10 mm
b h
L h
t t
Slika 5.9. Geometrija poprečnog presjeka.
Pri opterećenju kroz pol u ravnini simetrije štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja
i dodatno na rastezanje zbog smicanja. Pri ovom opterećenju kontrolirani su, posredno kroz
rezultate pomaka i normalnog naprezanja, faktori smicanja zz i xz .
Kroz pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru koji je određen izrazom
s ,z s xzQ Lu
GA
gdje je ,sL h
79
a koji je u normiranom obliku prikazan na slici 5.10., unatoč tome što je ovaj pomak vrlo mali
u odnosu na vertikalni pomak i bez nekog praktičnog značaja, pokazano je dodatno rastezanje
zbog smicanja,
Slika 5.10. Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.
Kroz faktor utjecaja smicanja na progib P b/w w w ogleda se utjecaj smicanja na vertikalni
pomak. Za ukliješteni nosač njegova vrijednost je 4,005w , a za zglobno oslonjeni nosač
1,601w . Povećanjem omjera /L h utjecaj smicanja se smanjuje, mada i pri omjeru
/ 10L h ovaj faktor iznosi 1,270w za ukliješteni nosač, a 1,054w za zglobno
oslonjeni nosač (tablica B.13.-Prilog B).
Normirane progibne linije prikazane slikom 5.11. i slikom 5.12., jasno pokazuju utjecaj
smicanja.
Slika 5.11. Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
80
Iz faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje bA /wu wu
x x vidljiv je utjecaj
smicanja od 34,67% za ukliješteni nosač, odnosno od 11,56% za zglobno oslonjen nosač
(tablica B.14.a.-Prilog B). Raspodjele normiranog normalnog naprezanja na sredini raspona
nosača, duž lijeve vertikalne i horizontalne stjenke U-presjeka, dane slikom 5.13. i slikom
5.14., prikazuju utjecaj smicanja na normalno naprezanje..
Slika 5.12. Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika 5.13. Normirano normalno naprezanje b/wux x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
81
Slika 5.14. Normirano normalno naprezanje b/wux x duž horizontalne stjenke na sredini
raspona - ukliješteni nosač.
Pri opterećenju kroz pol u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, štap je opterećen na savijanje
s utjecajem smicanja u toj ravnini i dodatno na uvijanje zbog smicanja. Pri ovom opterećenju
kontrolirani su, posredno kroz rezultate pomaka i normalnog naprezanja, faktori smicanja yy
i y .
Faktorom utjecaja smicanja na progib P b/v v v ogleda se utjecaj smicanja na horizontalni
pomak pola u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Za ukliješteni nosač njegova vrijednost je
13,084v , a za zglobno oslonjeni nosač 3,417v . Povećanjem omjera /L h utjecaj
smicanja se smanjuje, mada i pri omjeru / 10L h ovaj faktor iznosi 2,088v za
ukliješteni nosač te 1,218v za zglobno oslonjeni nosač (tablica B.15.-Prilog B).
Faktorom utjecaja smicanja na progib točke C U-presjeka CC b/v v v pokazuje se utjecaj
smicanja na horizontalni pomak točke C u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Za
ukliješteni nosač njegova vrijednost je C 9,875v , a za zglobno oslonjeni nosač
C 2,775v . Povećanjem omjera /L h utjecaj smicanja se smanjuje. Pri omjeru / 10L h
ovaj faktor iznosi C 1,799v za ukliješteni nosač te
C 1,160v za zglobno oslonjeni nosač
(tablica B.15.a.-Prilog B).
82
Slika 5.15. U presjek b h : Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -
ukliješteni nosač.
Slika 5.15. pokazuje da je pomak točke C U-presjeka manji od pomaka pola P, što dokazuje
da se pored savijanja s utjecajem smicanja javlja i dodatno uvijanje oko pola P u smjeru
kazaljke na satu.
Slika 5.16. Normirano normalno naprezanje b/vx x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
83
Slika 5.17. Normirano normalno naprezanje b/vx x duž horizontalne stjenke na sredini
raspona - ukliješteni nosač.
Iz faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje bA /v v
x x iščitava se utjecaj
smicanja od 67,02% za ukliješteni nosač odnosno od 22,34% za zglobno oslonjen nosač
(tablica B.16.-Prilog B). Raspodjele normiranog normalnog naprezanja na sredini raspona
nosača, duž lijeve vertikalne i horizontalne stjenke U-presjeka, dane slikom 5.16. i slikom
5.17., pokazuju znatan utjecaj smicanja na normalno naprezanje.
Od nesimetričnih poprečnih presjeka, u Prilogu B detaljno su obrađeni, sa aspekta pomaka i
normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru, L-nesimetrični presjek i C-nesimetrični presjek.
Za analizu je uzet C-presjek, geometrije prema slici 5.18.
mm5
mm250
mm100
mm200
01
2
1
tt
h
b
b
Slika 5.18. Geometrija poprečnog presjeka.
Vanjsko opterećenje prolazi kroz pol poprečnog presjeka.
84
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine,
dodatno na savijanje zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine djelovanja opterećenja
te dodatno na uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje zbog smicanja.
Normirane progibne linije zglobno oslonjenog nosača, prikazane slikom 5.19. i slikom 5.20.,
pokazuju utjecaj smicanja na progibe.
Slika 5.19. Normirani pomak B b/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika 5.20. Normirani pomak B b/w w - zglobno oslonjen nosač.
85
Raspodjele normiranog normalnog naprezanja na sredini raspona zglobno oslonjenog nosača
duž gornjeg pojasa, struka i donjeg pojasa dane su slikom 5.21., slikom 5.22. i slikom 5.23.
Slika 5.21. Normirano normalno naprezanje b/x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona
– zglobno oslonjen nosač.
Slika 5.22.. Normirano normalno naprezanje b/x x duž struka na sredini raspona -
zglobno oslonjen nosač.
86
Slika 5.23.. Normirano normalno naprezanje b/x x duž donjeg pojasa na sredini raspona -
zglobno oslonjen nosač.
Ove raspodjele pokazuju jasno utjecaj smicanja na normalno naprezanje u uzdužnom smjeru,.
5.3. Analiza pomaka i normalnog naprezanja pri uvijanju s utjecajem smicanja
Iz faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja P Vlasov/ za I-presjek, koji predstavlja
omjer maksimalnog kuta uvijanja prezentirane teorije uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i
klasične Vlasovljeve teorije uvijanja (Vlasov) [20], [27], na sredini raspona nosača, vidi se
utjecaj smicanja. Pri opterećenju jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja oko pola
faktor iznosi 2,387 za ukliješteni nosač, a 1,277 za zglobno oslonjeni nosač
(tablica C.1.-Prilog C). Normirana progibna linija točke B I-presjeka, za slučaj ukliještenih
krajeva, prikazana slikom 5.24., pokazuje utjecaj smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vl/x x
, koji predstavlja omjer
maksimalnog normalnog naprezanja na sredini raspona po teoriji UUS i istog naprezanja po
klasičnoj Vlasovljevoj teoriji [80], [81], pokazuje utjecaj smicanja od 11,55% za ukliješteni
nosač te 3,85% za zglobno oslonjen nosač (tablica C.1.-Prilog C).
Na slici 5.25. dana je krivulja raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž pojasa I-
presjeka na sredini raspona ukliještenog nosača. Jasno se uočava razlika u normalnom
naprezanju dobivenom po teoriji UUS i onog prema klasičnoj Vlasovljevoj teoriji.
87
Slika 5.24. Normirani pomak VlasovB B/v v - ukliješteni nosač.
Slika 5.25. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona –
ukliješteni nosač.
Iz faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja P Vlasov/ za U-presjek, koji predstavlja
omjer maksimalnog kuta uvijanja prezentirane teorije uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i
88
klasične Vlasovljeve teorije uvijanja (Vlasov), vidi se utjecaj smicanja. Pri opterećenju
jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja oko pola faktor za omjer / 3L h iznosi
2,922 za ukliješteni nosač, a 1,384 za zglobno oslonjeni nosač. Za omjer
/ 10L h faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja poprima vrijednost 1,173 za
ukliješteni nosač, a 1,035 za zglobno oslonjeni (tablica C.5.a.-Prilog C).
Faktor utjecaja smicanja na progib točke C U-presjeka, definiran kao C CC P Vlasov/ ( )v v h ,
za omjer / 3L h iznosi C 1,139v za ukliješteni nosač te C 1,028v za zglobno oslonjeni
nosač. Za omjer / 10L h faktor utjecaja smicanja na progib točke C iznosi C 1,013v za
ukliješteni nosač i C 1,003v za zglobno oslonjeni nosač.
Slika 5.26. U presjek b h : Normirani pomaci VlC Cmax/v v , s Vl
C Cmax/v v i VlC Cmax/zMv v -
ukliješteni nosač.
Slika 5.26. pokazuje udio uvijanja s utjecajem smicanja na pomak točke C U-presjeka te udio
na isti pomak dodatnog savijanja zbog smicanja.
Normirana progibna linija točke C U-presjeka, za slučaj ukliještenih krajeva, prikazana
slikom 5.27. pokazuje utjecaja smicanja.
89
Slika 5.27. U presjek b h : Normirani pomaci VlC Cmax/v v - ukliješteni nosač.
Iz faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vl/vv x x
, koji daje omjer
maksimalnog normalnog naprezanja na sredini raspona po teoriji UUS i istog naprezanja po
klasičnoj Vlasovljevoj teoriji, vidi se utjecaj smicanja od 18,48% za ukliješteni nosač te
6,16% za zglobno oslonjen nosač pri omjeru / 3L h . Za omjer / 10L h faktor utjecaja
smicanja na normalno naprezanje Av iznosi A 1,017v za ukliješteni nosač i A 1,006v
za zglobno oslonjen nosač (tablica C.6.a.-Prilog C).
Slika 5.28. U presjek b h : Normirano naprezanje Vlmax/v
x x duž vertikalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
90
Na slici 5.28. i slici 5.29. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž
vertikalne i horizontalne stjenke U-presjeka na sredini raspona ukliještenog nosača. Vidljiva
je razlika u normalnom naprezanju dobivenom po teoriji UUS i onog prema klasičnoj
Vlasovljevoj teoriji. Utjecaj smicanja pri uvijanju na iznose pomaka i normalnog naprezanja u
uzdužnom smjeru ne može se za kratke štapove zanemariti, iako je on manji nego pri
savijanju.
Slika 5.29. U presjek b h : Normirano naprezanje Vlmax/v
x x duž horizontalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
91
6. USPOREDBA REZULTATA DANE TEORIJE S REZULTATIMA
DOBIVENIM METODOM KONAČNIH ELEMENATA
6.1. Usporedba rezultata za pomake i normalna naprezanja pri savijanju s
utjecajem smicanja
Za verifikaciju rezultata za pomake i normalna naprezanja dobivenih po teoriji savijanja s
utjecajem smicanja (SUS), napravljena je usporedba s rezultatima po metodi konačnih
elemenata. Pri tome je korišten programski paket Autodesk ALGOR Simulation Professional
[84], [85]. Štap je modeliran membranskim četverokutnim elementima s četiri čvora i s dva
stupnja slobode u čvoru (slika 6.1.a.) [86], [87].
a) b)
Slika 6.1.: a) membranski element; b) opterećenje štapa.
Za niz poprečnih presjeka rađeni su modeli štapa, zglobno oslonjenog ili potpuno upetog na
krajevima, opterećenog jednoliko raspodijeljenim opterećenjem u smjeru glavnih osiju (slika
6.1.b.). Pri modeliranju je korištena simetrija pa je modelirana polovica štapa od oslonca do
sredine raspona.
a) b)
Slika 6.2.: a) rubni uvjeti za zglobno oslonjeni nosač; b) rubni uvjeti za ukliješteni nosač.
92
Kod zglobno oslonjenog nosača, na mjestu oslonca u svim čvorovima konture presjeka su
spriječeni pomaci u smjeru y i z osi te rotacija oko osi x . Na sredini raspona nosača, u
ravnini simetrije, spriječene su rotacije oko osiju y i z te pomak u smjeru x osi (slika 6.2.a.).
Za ukliješteni nosač, na mjestu ukliještenja u svim čvorovima konture presjeka su spriječeni
pomaci u smjeru x , y i z osi te rotacije oko x , y i z osi. Na sredini raspona nosača, u
ravnini simetrije, spriječene su rotacije oko osiju y i z te pomak u smjeru x osi (slika 6.2.b.).
Radi što bolje usporedbe krivulja naprezanja po konturama poprečnih presjeka rađene su vrlo
fine mreže. Tako je pri analizi I-presjeka, geometrijskih karakteristika: 400 mmb h ,
3 1200 mmL h i / 40 10 mmt h , napravljena mreža od 28800 elemenata (slika 6.3.a.).
Opterećenje je postavljano u čvorove najbliže težištima poprečnih presjeka (slika 6.3.b.).
a) b)
Slika 6.3.: a) gustoća mreže; b) položaj opterećenja.
Za I-presjek, karakteristika prema slici 6.4. , dane su sljedeće usporedbe:
1 0
400 mm
3 1200 mm
= 10 mm
b h
L h
t t
Slika 6.4. Geometrija poprečnog presjeka.
93
Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i P b/v v v prema
teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS) i metodi konačnih elemenata dana je u
tablici 6.1.
Tablica 6.1.: Usporedba faktora smicanja na progibe w i v prema SUS i MKE.
Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
L/h
=3
w 2,8225 2,8576 -1,2% 10,1124 10,0510 0,6%
v 1,2773 1,2812 -0,3% 2,3867 2,3779 0,4%
L/h
=5
w 1,6561 1,6605 -0,3% 4,2805 4,2472 0,8%
v 1,0998 1,1002 -0,0% 1,4992 1,5029 0,2%
Normirane progibne linije, za slučaj ukliještenih krajeva, prikazane slikom 6.5 i slikom 6.6.
pored utjecaja smicanja pokazuju i izvrsno slaganje rezultata za pomake po teoriji SUS s
rezultatima po metodi konačnih elemenata (MKE).
Slika 6.5. Normirani pomak P b/w w - ukliješteni nosač.
94
Slika 6.6. Normirani pomak P b/v v - ukliješteni nosač.
Usporedba faktora utjecaja smicanja na normalna naprezanja bB /w w
x x i
bA /v v
x x , po teoriji SUS i po MKE, dana je tablicom 6.2.
Tablica 6.2.: Usporedba faktora smicanja na normalna naprezanja Bw i A
v prema SUS i MKE.
Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
L/h
=3 w
B 1,1706 1,1702 0,0% 1,5118 1,4982 0,9%
vA 1,0385 1,0384 0,0% 1,1156 1,1154 0,0%
L/h
=5 w
B 1,0614 1,0613 0,0% 1,1842 1,1838 0,0%
vA 1,0139 1,0138 0,0% 1,0416 1,0494 -0,7%
Na slici 6.7. i slici 6.8. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž
pojasa i duž struka I-presjeka na sredini raspona ukliještenog nosača. Jasno se uočava razlika
u normalnom naprezanju dobivenom po teoriji SUS i onog prema klasičnoj EBBT. Isto tako
vidi se izvrsno slaganje rezultata teorije SUS sa rezultatima MKE.
95
Slika 6.7. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika 6.8. Normirano normalno naprezanje duž struka na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Za U-presjek, karakteristika prema slici 6.9. , dane su sljedeće usporedbe:
1 0
400 mm
3 1200 mm
= / 40 10 mm
b h
L h
t t h
Slika 6.9. Geometrija poprečnog presjeka.
96
Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i C CC P t/ ( )v v h ,
prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS) i po metodi konačnih elemenata,
pri opterećenju u ravnini simetrije, odnosno opterećenju u ravnini okomitoj na ravninu
simetrije, dana je u tablici 6.3.
Tablica 6.3.: Usporedba faktora smicanja na progibe w i Cv prema SUS i MKE.
Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
L/h
=3
w 1,6009 1,6033 -0,1% 4,0045 3,8441 4,2%
v 2,7749 2,8096 -1,2% 9,8747 9,9003 -0,3%
L/h
=5
w 1,2163 1,2165 0% 2,0816 2,0404 2,0%
v 1,6390 1,6432 -0,3% 4,1949 4,1811 0,3%
Normirane progibne linije, za slučaj zglobno oslonjenog nosača, prikazane slikom 6.10. i
slikom 6.11., pored utjecaja smicanja pokazuju i izvrsno slaganje rezultata teorije SUS s
rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
Slika 6.10. Normirani pomak P b,max/w w - zglobno oslonjeni nosač.
97
Slika 6.11. Normirani pomak C b,max/v v - zglobno oslonjen nosač.
Usporedba faktora utjecaja smicanja na normalna naprezanja bA /wu wu
x x i
bA /v v
x x , prema teoriji SUS i prema MKE, dana je tablicom 6.4.
Tablica 6.4.: Usporedba faktora smicanja na normalna naprezanja Awu i A
v prema SUS i
MKE.
Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
L/h
=3 wu
A 1,1156 1,1133 0,2% 1,3467 1,3229 1,8%
vA 1,2234 1,2235 0,0% 1,6702 1,6680 0,2%
L/h
=5 wu
A 1,0416 1,0415 0,0% 1,1248 1,1237 0,1%
vA 1,0804 1,0805 0,0% 1,2413 1,2412 0,0%
Na slici 6.12. i slici 6.13. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž
lijeve vertikalne i duž horizontalne stjenke U-presjeka, na sredini raspona zglobno oslonjenog
nosača, pri opterećenju u ravnini simetrije.
98
Slika 6.12. Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve vertikalne stjenke na sredini
raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.13. Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž horizontalne stjenke na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Na slici 6.14. i slici 6.15. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž
lijeve vertikalne i duž horizontalne stjenke U-presjeka, na sredini raspona zglobno oslonjenog
nosača, pri opterećenju u ravnini okomitoj na ravninu simetrije.
99
Slika 6.14. Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.15. Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž horizontalne stjenke na sredini
raspona - zglobno oslonjen nosač.
100
Za C-nesimetrični presjek, karakteristika prema Slici 6.16. , dane su sljedeće usporedbe:
1 2
1 0 2
200 mm 250 mm 100 mm
= 5 mm 3 750 mm
b h b
t t t L h
Slika 6.16. Geometrija poprečnog presjeka.
Usporedba normiranih progiba B b,max/v v i B b,max/w w prema teoriji savijanja s
utjecajem smicanja (SUS) i metodi konačnih elemenata dana je u tablici 6.5.
Tablica 6.5.: Usporedba normiranih progiba B b,max/v v i B b,max/w w prema SUS i MKE.
Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
L/h
=3 B ,max/ bv v 1,4619 1,4795 -1,2% 3,3093 3,1810 2,0%
B ,max/ bw w 2,3062 2,4290 -5,1% 7,5311 7,6825 -3,9%
Normirani pomaci točke B B b,max/v v i B b,max/w w , za slučaj zglobno oslonjenog nosača,
prikazani su slikom 6.17. i slikom 6.18.
101
Slika 6.17. Normirani pomak P b,max/w w - zglobno oslonjeni nosač.
Slika 6.18. Normirani pomak C b,max/v v - zglobno oslonjeni nosač.
Usporedba normiranih normalnih naprezanja b,max/x x točaka A, B, C i D, prema
teoriji SUS i prema MKE, dana je tablicom 6.6.
102
Tablica 6.6.: Usporedba normiranih normalnih naprezanja točaka A, B, C i D
C-nesimetričnog presjeka, za omjer L/h=3, prema SUS i MKE.
Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
Točk
e pre
sjek
a
A 1,0953 1,0975 -0,2% 1,2860 1,2381 3,9%
B 1,0930 1,1199 -2,4% 1,2789 1,2578 1,7%
C 1,1591 1,1592 0,0% 1,4772 1,3770 7,3%
D 1,1175 1,1521 -3,0% 1,3524 1,3318 1,5%
Na slici 6.19., slici 6.20. i slici 6.21. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog
naprezanja po konturi C-nesimetričnog presjeka, na sredini raspona zglobno oslonjenog
nosača..
Slika 6.19. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž gornjeg pojasa na sredini
raspona - zglobno oslonjen nosač.
103
Slika 6.20. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka na sredini raspona -
zglobno oslonjen nosač.
Slika 6.21. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž donjeg pojasa na sredini raspona
- zglobno oslonjen nosač.
104
6.2. Usporedba rezultata za kut uvijanja, horizontalne pomake i normalna
naprezanja pri uvijanju s utjecajem smicanja
Pri uvijanju štap je modeliran ljuskastim elementima s četiri čvora i s pet stupnjeva slobode u
čvoru (slika 6.22.a.) [84], [85].
a) b)
Slika 6.22.: a) ljuskasti element; b) opterećenje štapa.
Za niz poprečnih presjeka rađeni su modeli štapa, zglobno oslonjenog ili potpuno upetog na
krajevima, opterećenog jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja oko pola (slika
6.22.b.). Pri modeliranju je korištena simetrija pa je modelirana polovica štapa od oslonca do
sredine raspona. Kod zglobno oslonjenog nosača na mjestu oslonca u svim čvorovima konture
presjeka su spriječeni pomaci u smjeru y i z osi te rotacija oko osi x . Na sredini raspona
nosača, u ravnini simetrije, spriječene su rotacije oko osiju y i z te pomak u smjeru x osi
(slika 6.2.a.). Za ukliješteni nosač na mjestu ukliještenja u svim čvorovima konture presjeka
su spriječeni pomaci u smjeru x , y i z osi te rotacije oko x , y i z osi. Na sredini raspona
nosača, u ravnini simetrije, spriječene su rotacije oko osiju y i z te pomak u smjeru x osi
(slika 6.2.b.).
Za I-presjek, karakteristika prema slici 6.4. ,dane su sljedeće usporedbe:
Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja P,max t,max/ i usporedba
faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/x x
, prema teoriji
uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i metodi konačnih elemenata. Ove usporedbe, za
omjere L/h=3 i L/h=5, dane su u tablici 6.7.
105
Tablica 6.7.: Usporedba faktora smicanja na kut uvijanja i A prema UUS i MKE.
Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
UUS MKE I-II
100%II
UUS MKE III-IV
100%IV
L/h
=3 1,2773 1,2952 -1,4% 2,3870 2,3588 1,2%
A 1,0385 1,0412 -0,3% 1,1155 1,0906 2,3%
L/h
=5
1,0998 1,1049 -0,5% 1,4995 1,4829 1,1%
A 1,0138 1,0162 -0,2% 1,0415 1,0315 1,0%
Normirani pomak točke B VlB B,max/v v I-presjeka, za slučaj ukliještenih krajeva, prikazan
slikom 6.23. , pored utjecaja smicanja pokazuje i izvrsno slaganje rezultata teorije UUS s
rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
Slika 6.23. Normirani pomak VL
B B,max/v v - ukliješteni nosač.
Na slici 6.24. dana je i krivulja raspodjele normiranog normalnog naprezanja Vlasov/x x
duž
pojasa I-presjeka, na sredini raspona ukliještenog nosača.
106
Slika 6.24. Normirano normalno naprezanje Vlasov/x x duž pojasa na sredini raspona -
ukliješteni nosač.
Za U-presjek karakteristika prema slici 6.9. dane su sljedeće usporedbe:
Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib točke C presjeka C CC P t/ ( )v v h i
usporedba faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke A presjeka
A Vlasov/vv x x
, prema teoriji uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i metodi
konačnih elemenata. Ove usporedbe, za omjere L/h=3 i L/h=5, dane su u tablici 6.8.
Tablica 6.8.: Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib točke C Cv i faktora utjecaja
smicanja na normalno naprezanje Av prema teoriji UUS i MKE.
Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
UUS MKE I-II
100%II
UUS MKE III-IV
100%IV
L/h
=3 C
v 1,2773 1,2952 -1,4% 2,3870 2,3588 1,2%
Av 1,0385 1,0412 -0,3% 1,1155 1,0906 2,3%
L/h
=5 C
v 1,0998 1,1049 -0,5% 1,4995 1,4829 1,1%
Av 1,0138 1,0162 -0,2% 1,0415 1,0315 1,0%
107
Normirana progibna linija točke C presjeka, za slučaj zglobno oslonjenog nosača, prikazana je
slikom 6.25.
Slika 6.25. Normirani pomak VL
C C,max/v v - zglobno oslonjeni nosač.
Na slici 6.26. i slici 6.27. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž
lijeve vertikalne i duž horizontalne stjenke U-presjeka, na sredini raspona ukliještenog nosača.
Slika 6.26. Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž lijeve vertikalne stjenke na
sredini raspona - ukliješteni nosač.
108
Slika 6.27. Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž horizontalne stjenke na sredini
raspona - ukliješteni nosač.
109
7. ZAKLJUČAK
Zadatak rada bio je postaviti teoriju savijanja i uvijanja tankostjenih štapova otvorenog
poprečnog presjeka za različita opterećenja (kontinuirano opterećenje okomito na uzdužnu os
štapa kao i jednoliko raspodijeljeni momenti uvijanja, koncentrirano opterećenje) i različite
rubne uvjete (zglobni oslonci, ukliještenja). Navedena teorija predstavlja nadopunu klasičnih
teorija savijanja (Euler-Bernoullijeva i Timošenkova teorija savijanja štapa) i Vlasovljeve
teorije uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Ona je ujedno i
nadogradnja teorije savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja koju je dao Pavazza u svojim
radovima, polazeći od Timošenkove teorije savijanja. Teorija je približna i daje prihvatljiva
rješenja u inženjerskim proračunima te se može primjenjivati i na kratke štapove kod kojih se
utjecaj smicanja ne može zanemariti. Dobiveni su novi izrazi za određivanje pomaka te
raspodjele normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po konturi poprečnog presjeka, koji su
testirani na velikom broju primjera tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka.
Obrađeni su primjeri tankostjenog štapa otvorenog poprečnog presjeka s dvije osi simetrije, s
jednom osi simetrije kao i štapovi s nesimetričnim poprečnim presjecima.
Iz novouvedenih izraza za pomake i normalno naprezanje u uzdužnom smjeru, izlazi da
utjecaj smicanja na pomake pri savijanju postoji bez obzira na to da li je opterećenje
koncentrirano ili kontinuirano, dok utjecaj na normalno naprezanje postoji samo ako se radi o
kontinuiranom opterećenju. Kod uvijanja utjecaj smicanja na normalno naprezanje javlja se
bez obzira da li je opterećenje koncentrirano ili kontinuirano. Naravno, puno je veći utjecaj
ako se radi o kontinuiranom opterećenju.
Ključnu ulogu u novim izrazima za pomake i normalno naprezanje u uzdužnom smjeru imaju
faktori smicanja. Oni su detaljno razrađeni i definirani drugačije nego u dostupnoj literaturi.
Pored faktora smicanja poznatih iz dostupne literature: yy , zz , yz , y , z i uvode
se i novi: xy , xz i x . U prikazanoj teoriji faktori smicanja dobiveni su analitičkim putem
i dani su kao bezdimenzionalne geometrijske karakteristike poprečnog presjeka, pri čemu je
poprečni presjek sveden na srednju liniju. Poissonov efekt je zanemaren. Za poprečne
presjeke s jednom i dvije osi simetrije (I-presjek, T-presjek, U-presjek, L-presjek) faktori
smicanja dani su analitičkim izrazima u parametarskom obliku. Vrijednosti pojedinih faktora
110
smicanja, za neke presjeke, uspoređene su indirektno s vrijednostima ovih faktora dostupnim
u literaturi.
Tako Cowper [44] za I-presjek s dvije osi simetrije i T-presjek, daje izraze za izračunavanje
faktora K , koji je recipročna vrijednost faktora zz ( 1/ zzK ) u funkciji geometrije, ali i
Poissonova keoficijenta. Uvrštenjem vrijednosti 0 za Poissonov koeficijent u te izraze
dobiveni su istovjetni rezultati koje daje i prezentirana teorija savijanja s utjecajem smicanja
(SUS). Isto tako, za 0,3 dobivene su vrijednosti neznatno različite od vrijednosti za 0 ,
što opravdava zanemarivanje Poissonova efekta (tablica 7.1.).
Tablica 7.1. Usporedba faktora smicanja zz za vrijednosti 0 i 0,3 .
Teorija
SUS
Cowper
1zz
K
za 0
Cowper
1zz
K
za 0,3
( 0) ( 0,3)100%
( 0,3)
zz zz
zz
I presjek
1 0b h t t 3,380 3,380 3,383 -0,089%
T presjek
1 0b h t t 2,544 2,544 2,523 0,8320%
Romano [47] daje iste vrijednosti faktora smicanja 3,380zz za I-presjek ( 1 0b h t t ) i
2,544zz ( 1 0b h t t ) za T-presjek kao i teorija SUS.
Senjanović [46] daje izraze u funkciji geometrije poprečnog presjeka i Poissonova
koeficijenta za faktor 0k , za I-presjek, T-presjek, U-presjek koji je recipročna vrijednost
faktora smicanja zz prema teoriji SUS, odnosno za C-presjek recipročna vrijednost faktora
smicanja yy U-presjeka prema teoriji SUS. Uvrštenjem 0 u te izraze dobiju se istovjetne
vrijednosti navedenih faktora kao što daju izrazi teorije SUS (tablica 5.3.)
Kim [53] za konkretan U- presjek, sa: 1 05 m 3,5 m 0,2 mb h t t navodi
geometrijske karakteristike iz kojih se posredno mogu uspoređivati faktori smicanja yy , zz ,
i y po teoriji SUS. Tablica 5.4. pokazuje potpuno slaganje rezultata.
111
Isti autor [53] navodi geometrijske karakteristike za konkretan C-nesimetrični presjek, sa:
1 24 cm 10 cm 2 cm 0,5 cmb h b t iz kojih se posredno mogu uspoređivati faktori
smicanja yy , zz , yz , , y i z . Tablica 5.5. pokazuje izvrsno slaganje rezultata.
Fatmi [32] daje normirani pomak na slobodnom kraju konzole pri opterećenju koncentriranom
silom. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib P,max b,max/w w w po teoriji savijanja
s utjecajem smicanja i teoriji ograničenog vitoperenja zbog smicanja po Fatmiju s vrlo
dobrim slaganjem rezultata dana je tablicom 5.7.
Poznati i novouvedeni faktori smicanja provjeravani su također i indirektnim putem kroz
rezultate pomaka i normalnog naprezanja, uspoređivanjem rezultata prezentirane teorije s
rezultatima metode konačnih elemenata.
Kod metode konačnih elemenata, pri savijanju štap je modeliran membranskim elementima, a
pri uvijanju, ljuskastim elementima. Za niz poprečnih presjeka rađeni su modeli štapa,
zglobno oslonjenog ili potpuno upetog na krajevima, opterećenog jednoliko raspodijeljenim
opterećenjem u smjeru glavnih osiju za slučaj savijanja, odnosno jednoliko raspodijeljenim
momentima po jedinici duljine za slučaj uvijanja. Pri modeliranju je korištena simetrija pa je
modelirana polovica štapa od oslonca do sredine raspona.
Za I-presjek s dvije osi simetrije razmatrano je jednoliko raspodijeljeno poprečno opterećenje
kroz glavni pol, posebno u svakoj ravnini simetrije, pri čemu je štap opterećen na savijanje s
utjecajem smicanja.
Faktori utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i P b/v v v , gdje su Pw i Pv ukupni
pomaci pola na sredini raspona nosača te bw i bv progibi na istom mjestu po EBBT, daju
utjecaj smicanja na maksimalni progib, ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije
poprečnog presjeka ( /L h ).
Za kratke štapove ( / 3b h L h ) ti faktori iznose 2,8225w i 1,2773v za zglobno
oslonjeni štap te 10,1124w i 2,3867v za ukliješteni štap. Za / 10L h faktori su
1,1640w i 1,0250v za zglobno oslonjeni štap te 1,8201w i 1,1248v za
ukliješteni štap.
112
Slike u prilogu (slika B.2., slika B.8., slika B.17. i slika B.22.) prikazuju normirane progibne
linije po teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS) i po metodi konačnih elemenata (MKE),
kao i izvrsno slaganje rezultata.
Faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/ww x x i A b/v
v x x , gdje su wx
i vx ukupna najveća normalna naprezanja na sredini raspona po teoriji SUS, a b
x isto
naprezanje po EBBT, daju utjecaj smicanja, ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije
poprečnog presjeka ( /L h ). Utjecaj materijala u izrazima za ove faktore dan je omjerom
konstanti elastičnosti /E G .
Za kratke štapove ( / 3 / 2,6b h L h E G ) navedeni faktori iznose B 1,1706w i
A 1,0385v za zglobno oslonjeni štap te B 1,5118w i A 1,1156v za ukliješteni štap.
Za veće omjere /L h faktori su manji pa za / 10L h iznose B 1,0154w i A 1,0035v za
zglobno oslonjeni štap te B 1,0461w i A 1,0104v za ukliješteni štap.
Slike u prilogu (slika B.4., slika B.6., slika B.7. te slika B.19., slika B.21.) prikazuju
raspodjelu normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača te
raspodjele istog naprezanja duž pojasa, odnosno struka I-poprečnog presjeka, na sredini
raspona zglobno oslonjenog nosača. Slaganje između rezultata prezentirane teorije SUS i
rezultata MKE je izvrsno. Kod ukliještenog nosača, na sredini raspona slaganje je također
izvrsno, dok su na samom mjestu ukliještenja razlike očekivano velike zbog djelovanja ruba.
Ono je lokalnog karaktera pa nema utjecaja na rezultate pomaka i normalnog naprezanja na
sredini raspona ukliještenog nosača. Naime, na samom mjestu ukliještenja, za razliku od
MKE, po teoriji SUS nije spriječeno vitoperenje od smicanja.
Utjecaj smicanja na pomake je znatno veći nego na normalno naprezanje u uzdužnom smjeru.
Kod kratkih štapova utjecaj smicanja na normalno naprezanje nipošto se ne smije zanemariti.
Isto tako utjecaj smicanja znatno više dolazi do izražaja kod ukliještenog nosača u odnosu na
zglobno oslonjeni.
Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i P b/v v v te faktora utjecaja
smicanja na normalno naprezanje B b/ww x x i A b/v
v x x po teoriji savijanja s
113
utjecajem smicanja (SUS) i metodi konačnih elemenata (MKE) za I-presjek, karakteristika:
/ 3 / 2,6b h L h E G dana je tablicom 7.2.
Tablica 7.2. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe i faktora utjecaja smicanja na
normalna naprezanja za I-presjek prema SUS i MKE.
Zglobno oslonjen nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
P b/w w w 2,8225 2,8576 -1,23% 10,1124 10,0510 0,61%
P b/v v v 1,2773 1,2812 -0,30% 2,3867 2,3779 0,37%
B b/ww x x 1,1706 1,1702 0,03% 1,5118 1,4982 0,91%
A b/vv x x 1,0385 1,0384 0,01% 1,1156 1,1154 0,02%
Od presjeka s jednom osi simetrije, karakterističan je U-poprečni presjek (b h ).
Pri jednoliko raspodijeljenom poprečnom opterećenje kroz glavni pol u ravnini simetrije štap
je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije, te dodatno na
rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ovaj slučaj opterećenja poslužio je za provjeru faktora
smicanja zz i xz , indirektno kroz usporedbe pomaka i naprezanja.
Faktorom utjecaja smicanja na progib P b/w w w dan je utjecaj smicanja na maksimalni
progib na sredini raspona ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog
presjeka ( /L h ).
Za omjere b h , / 3L h navedeni faktor iznosi 1,6009w za zglobno oslonjeni štap te
4,0045w za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h vrijednosti su manje, pa je za
/ 10L h 1,0541w za zglobno oslonjeni štap te 1,2704w za ukliješteni štap.
Slike u prilogu (slika B.100., slika B.109., slika B.17. i slika B.22.) prikazuju normirane
progibne linije i dobro slaganje rezultata pomaka prezentirane teorije SUS s rezultatima MKE.
Slike u prilogu (slika B.102., slika B.111.) dokazuju postojanje dodatnog rastezanja zbog
smicanja.
114
Faktorom utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/wuwu x x dan je utjecaj smicanja
na normalno naprezanje u uzdužnom smjeru točke A U-poprečnog presjeka na sredini raspona
ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog presjeka ( /L h ).
Za kratke štapove b h , / 3L h , / 2,6E G je vrijednost faktora A 1,1156wu za zglobno
oslonjeni štap te A 1,3467wu za ukliješteni štap.
Za veći omjer /L h taj faktor postaje manji; za / 10L h A 1,0104wu za zglobno oslonjeni
štap te A 1,0312wu za ukliješteni štap.
Slike u prilogu (slika B.103., slika B.104., slika B.107., slika B.108.) prikazuju raspodjelu
normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača za točke A i B U-
poprečnog presjeka, kao i raspodjele normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru
duž vertikalne, odnosno horizontalne stjenke na sredini raspona zglobno oslonjenog nosača.
Slaganje rezultata prezentirane teorije SUS i rezultata MKE je izvrsno. Kod ukliještenog
nosača na sredini raspona je također vrlo dobro slaganje rezultata.
Pri jednoliko raspodijeljenom poprečnom opterećenje kroz glavni pol u ravnini okomitoj na
ravninu simetrije štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini okomitoj na
ravninu simetrije, te dodatno na uvijanje zbog smicanja. Ovaj slučaj opterećenja poslužio je za
provjeru faktora smicanja yy i y , indirektno kroz usporedbe rezultata pomaka i normalnog
naprezanja.
Faktorom utjecaja smicanja na progib P b/v v v dan je utjecaj smicanja na maksimalni
progib pola, u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, ovisno o omjeru duljine štapa i najveće
dimenzije poprečnog presjeka ( /L h ).
Za kratke štapove b h , / 3L h taj faktor je 3,4168v za zglobno oslonjeni štap te
13,0838v za ukliješteni štap. Vrijednosti faktora postaju manje za veće omjere /L h pa je
za / 10L h 1,2175v za zglobno oslonjeni štap te 2,0875v za ukliješteni štap.
Faktor utjecaja smicanja na progib točke C CC b/v v v odnosi se na dodatno uvijanje zbog
smicanja.
115
Vrijednost ovog faktora za / 3L h iznosi C 2,7749v za zglobno oslonjeni štap te
C 9,8747v za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h vrijednosti postaju manje pa je za
/ 10L h C 1,1597v za zglobno oslonjeni štap te C 1,7987v za ukliješteni štap. Manje
vrijednosti ovog faktora u odnosu na v pokazuju da pored savijanja s utjecajem smicanja u
ravnini okomitoj na ravninu simetrije postoji i dodatno uvijanje zbog smicanja u smjeru
kazaljke na satu.
Slike u prilogu (slika B.122., slika B.130.) prikazuju normirane progibne linije točke C U-
poprečnog presjeka i dobro slaganje rezultata progiba prezentirane teorije SUS s rezultatima
MKE.
Faktorom utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/vv x x
dan je utjecaj smicanja
na normalno naprezanje u uzdužnom smjeru točke A U-poprečnog presjeka na sredini raspona
ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog presjeka ( /L h ) te izabranog
materijala.
Za omjere b h , / 3L h i / 2,6E G taj faktor iznosi A 1,2234v za zglobno oslonjeni
štap te A 1, 6702v za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h vrijednost faktora je manja,
tako da je za / 10L h A 1 , 0 2 0 1v za zglobno oslonjeni štap te A 1,0603v za
ukliješteni štap.
Slike u prilogu (slika B.1243., slika B.125., slika B.127., slika B.128.) prikazuju raspodjelu
normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača za točke A i B
poprečnog presjeka, kao i raspodjele istog naprezanja duž vertikalne odnosno horizontalne
stjenke U-poprečnog presjeka, na sredini raspona zglobno oslonjenog nosača. Izvrsno je
slaganje rezultata prezentirane teorije SUS s rezultatima MKE. Kod ukliještenog nosača na
sredini raspona je također izvrsno slaganje rezultata.
Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i CC b/v v v te faktora utjecaja
smicanja na normalno naprezanje A b/wuwu x x i A b/v
v x x
dobivenih po teoriji
savijanja s utjecajem smicanja (SUS) i istih faktora dobivenih metodom konačnih elemenata
(MKE) za U-presjek karakteristika: b h , / 3L h i / 2,6E G dana je tablicom 7.3.
116
Tablica 7.3. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe i faktora utjecaja smicanja
na normalna naprezanja za U-presjek prema SUS i MKE.
Zglobno oslonjen nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
P b/w w w 1,6009 1,6033 -0,15% 4,0045 3,8441 4,17%
CC b/v v v 2,7749 2,8096 -1,24% 9,8747 9,9003 -0,26%
A b/wuwu x x 1,1156 1,1133 0,21% 1,3467 1,3229 1,8%
A b/vv x x
1,2234 1,2235 -0,01% 1,6702 1,6680 0,13%
Od nesimetričnih presjeka karakterističan je C- nesimetrični presjek.
Pri jednoliko raspodijeljenom poprečnom opterećenju u smjeru glavnih osiju kroz glavni pol,
štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine, dodatno na
savijanje zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine djelovanja opterećenja, dodatno na
uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje zbog smicanja.
Slike u prilogu (slika B.225., slika B.226., slika B.234. i slika B.235.) prikazuju normirane
pomake u smjeru glavnih osiju i vrlo dobro slaganje rezultata prezentirane teorije SUS s
MKE.
Slike u prilogu (slika B.227., slika B.228., slika B.229., slika B.230. te slika B.231., slika
B.232., slika B.233.) prikazuju raspodjelu normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom
smjeru po dužini nosača u točkama A, B, C i D poprečnog presjeka, kao i raspodjele istog
naprezanja duž gornjeg i donjeg pojasa, odnosno struka C-nesimetričnog poprečnog presjeka,
na sredini raspona, zglobno oslonjenog nosača i vrlo dobro slaganje rezultata prezentirane
teorije SUS s rezultatima MKE. Kod ukliještenog nosača na sredini raspona je također vrlo
dobro slaganje rezultata.
Za slučaj uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) mogu se izvesti gotovo istovjetni zaključci,
mada je izraženo u % utjecaj smicanja manji u odnosu na savijanje.
117
Za I-presjek s dvije osi simetrije razmatrano je opterećenje jednoliko raspodijeljenim
momentima uvijanja oko pola, pri čemu je štap opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja.
Faktorom utjecaja smicanja na kut uvijanja P t/ , gdje je P ukupni kut uvijanja na
sredini raspona nosača, a t kut uvijanja na istom mjestu po klasičnoj Vlasovljevoj teoriji
uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka, dan je utjecaj smicanja na
maksimalni kut uvijanja ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog
presjeka ( /L h ).
Za kratke štapove b h , / 3L h dobiva se 1,2773 za zglobno oslonjeni štap te
2,3870 za ukliješteni štap. Povećanjem omjera /L h vrijednost faktora postaje manja
pa je za / 10L h 1,0249 za zglobno oslonjeni štap te 1,1251 za ukliješteni štap.
Slike u prilogu (slika C.2., slika C.7.) prikazuju normirane progibne linije točke B I-
poprečnog presjeka i izvrsno slaganje rezultata progiba prezentirane teorije UUS s rezultatima
MKE.
Faktorom utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/x x
, gdje je x ukupno
normalno naprezanje na sredini raspona, a Vlasovx normalno naprezanje na istom mjestu po
klasičnoj teoriji, dan je utjecaj smicanja ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije
poprečnog presjeka ( /L h ) kao i materijala kroz omjer /E G .
Za kratke štapove omjera b h , / 3L h i / 2,6E G taj faktor je A 1,0385 za zglobno
oslonjeni štap te A 1,1155 za ukliješteni štap. Povećanjem omjera /L h ovaj faktor
postaje manji pa je za / 10L h A 1,0034 za zglobno oslonjeni štap te A 1,0103 za
ukliješteni štap.
I ovdje je utjecaj smicanja na kut uvijanja znatno veći nego na normalno naprezanje u
uzdužnom smjeru. Kod kratkih štapova, a naročito za ukliješteni štap, utjecaj smicanja na
normalno naprezanje ne može se zanemariti.
Slike u prilogu (slika C.4., slika C.6., slika C.9. te slika C.11.) prikazuju raspodjelu
normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača kao i raspodjele
istog duž pojasa I-poprečnog presjeka, na sredini raspona, zglobno oslonjenog i ukliještenog
nosača. Izvrsno je slaganje rezultata prezentirane teorije UUS s rezultatima MKE.
118
Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja Pmax t,max/ i faktora utjecaja
smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/x x
dobivenih po teoriji uvijanja s utjecajem
smicanja (UUS) i istih faktora dobivenih metodom konačnih elemenata (MKE) za I-presjek
dana je u tablici 7.4:
Tablica 7.4. Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja i faktora utjecaja
smicanja na normalna naprezanja za I-presjek prema teoriji UUS i MKE.
Zglobno oslonjen nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
Pmax t,max/ 1,2773 1,2952 -1,38% 2,3870 2,3588 1,20%
A Vlasov/x x
1,0385 1,0412 -0,26% 1,1155 1,0906 2,27%
Za U-poprečni presjek (b h i 2b h ), razmatrano je opterećenje jednoliko raspodijeljenim
momentima uvijanja oko pola, pri čemu je štap opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i
dodatno na savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Ovaj slučaj
opterećenja poslužio je za provjeru faktora smicanja i y , indirektno kroz usporedbe
rezultata pomaka i normalnog naprezanja.
Faktorom utjecaja smicanja na kut uvijanja P t/ dan je utjecaj smicanja na
maksimalni kut uvijanja na sredini raspona ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije
poprečnog presjeka ( /L h ).
Za kratke štapove b h , / 3L h taj faktor iznosi 1,3843 za zglobno oslonjeni štap te
2,9218 za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h faktor postaje manji pa za / 10L h
iznosi 1,0346 za zglobno oslonjeni štap te 1,1732 za ukliješteni štap.
Faktor utjecaja smicanja na progib točke C U-presjeka C CC P Vlasov/v v h odnosi se na
dodatno savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, u negativnom
smjeru osi y .
119
Za kratke štapove b h , / 3L h taj faktor iznosi C 1,0280v za zglobno oslonjeni štap te
C 1,1387v za ukliješteni štap. Vrijednost faktora se smanjuje povećanjem omjera /L h pa
je za / 10L h C 1,0028v za zglobno oslonjeni štap te C 1,0125v za ukliješteni štap.
Manje vrijednosti ovog faktora u odnosu na pokazuju da pored uvijanja s utjecajem
smicanja oko pola dolazi do pomaka poprečnog presjeka kao krutog tijela u ravnini okomitoj
na ravninu simetrije u smjeru negativne osi y , uslijed savijanja zbog smicanja.
Slike u prilogu (slika C.28., slika C.34.) prikazuju normirane progibne linije točke C U-
poprečnog presjeka i dobro slaganje rezultata progiba prezentirane teorije UUS s rezultatima
MKE.
Faktorom utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/vv x x
dan je utjecaj
smicanja na normalno naprezanje točke A U-poprečnog presjeka, na sredini raspona, ovisno
o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog presjeka ( /L h ).
Za omjere b h , / 3L h i / 2,6E G taj faktor iznosi A 1,0616v za zglobno oslonjeni
štap te A 1,1848v za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h on postaje manji pa je za
/ 10L h A 1,0055v za zglobno oslonjeni štap te A 1,0166v za ukliješteni štap.
Slike u prilogu (slika C.29., slika C.30., slika C.31., slika C.32.) prikazuju raspodjelu
normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača za točke A i B
poprečnog presjeka, kao i raspodjele istog naprezanja duž vertikalne odnosno horizontalne
stjenke U-poprečnog presjeka, na sredini raspona, zglobno oslonjenog nosača. Slaganje
rezultata prezentirane teorije UUS s rezultatima MKE je izvrsno. Kod ukliještenog nosača na
sredini raspona je također izvrsno slaganje rezultata.
Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib točke C U-presjeka C CC P Vlasov/v v h i
faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/vv x x
, dobivenih po teoriji
uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i istih faktora dobivenih metodom konačnih elemenata
(MKE), za U-presjek karakteristika b h i / 2,6E G , dana je u tablici 7.5.
120
Tablica 7.5. Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja i faktora utjecaja
smicanja na normalna naprezanja za U-presjek prema teoriji UUS i MKE.
Zglobno oslonjen nosač Ukliješteni nosač
I II III IV
SUS MKE I-II
100%II
SUS MKE III-IV
100%IV
L=
3h C C
C P Vlasov/v v h 1,0280 1,0334 -0,52% 1,1387 1,1083 2,74%
A Vlasov/vv x x
1,0616 1,0658 -0,39% 1,1848 1,1495 3,07%
L=
10h C C
C P Vlasov/v v h 1,0025 1,0010 -0,15% 1,0125 1,0043 0,82%
A Vlasov/vv x x
1,0055 1,0069 -0,14% 1,0166 1,0113 0,52%
Pri slučaju opterećenja koje se reducira na poprečno jednoliko opterećenje kroz pol u obje
glavne ravnine i jednoliko raspodijeljene momente uvijanja oko pola, potrebno je
superponirati izraze za pomake i naprezanja dobivene teorijama savijanja s utjecajem
smicanja i uvijanja s utjecajem smicanja.
Doprinos ovog rada ogleda se kroz sljedeće stavke:
Za jednostavne presjeke s dvije osi simetrije (I-presjek), s jednom osi simetrije (I-
presjek, T-presjek, U-presjek, L-presjek) i nesimetrične poprečne presjeke (L-
nesimetrični presjek, C-nesimetrični presjek) dani su analitički izrazi za raspodjelu
geometrijskih karakteristika poprečnog presjeka: *yA , *
zA , *yS , *
zS , *S po konturi
poprečnog presjeka, a koje su bitne za određivanje faktora smicanja, kao i analitički
izrazi za integrale
*
0
dzs
ySs
t,
*
0
d
ys
zSs
t i
*
0
d
sS
st
koji se javljaju u izrazima za normalno
naprezanje. Dan je i grafički prikaz raspodjele navedenih karakteristika po konturi
poprečnog presjeka.
Za navedene presjeke s dvije i jednom osi simetrije, faktori smicanja dani su
analitičkim izrazima u parametarskom obliku. Uz poznate faktore smicanja uvedeni su
i novi xz , xy i x . Kod nesimetričnih presjeka za određivanje faktora smicanja
načinjen je program u Excelu.
121
Dobiveni su, u odnosu na klasične teorije, prošireni analitički izrazi za pomake i
normalno naprezanje. Novi izraz za naprezanje daje krivulje raspodjele normalnog
naprezanja po konturi poprečnog presjeka koje se izvrsno slažu sa krivuljama
naprezanja dobivenim po metodi konačnih elemenata.
Za slučaj jednoliko raspodijeljenog opterećenja, za zglobno oslonjeni i ukliješteni
nosač, kako pri savijanju tako i pri uvijanju, utjecaj smicanja na maksimalni progib,
odnosno maksimalni kut uvijanja, na sredini raspona nosača, dan je kroz faktore
utjecaja smicanja na progibe w , v , odnosno faktorom utjecaja smicanja na kut
uvijanja . Za slučaj presjeka s jednom osi simetrije, a pri opterećenju kroz pol u
ravnini simetrije, dodatno uvijanje zbog smicanja opisano je faktorom utjecaja
smicanja na progib v . Pri uvijanju ovakovih presjeka dodatno savijanje zbog
smicanja opisano je faktorom utjecaja smicanja na progib v . Utjecaj smicanja na
maksimalno naprezanje u točki presjeka na sredini raspona nosača, za presjek s dvije
osi simetrije dan je faktorima utjecaja smicanja na normalno naprezanje w , v ,
odnosno, za presjek s jednom osi simetrije faktorima wu , v , i v . Za ove
faktore navedeni su analitički izrazi, u kojima je utjecaj materijala uzet u obzir
omjerom konstanti elastičnosti /E G .
Predstavljena teorija savijanja s utjecajem smicanja i uvijanja s utjecajem smicanja je
približna inženjerska teorija. U radu je testirana na nizu jednostavnih školskih primjera.
Daljnja istraživanja mogla bi ići u smjeru primjene prikazane teorije na realne brodske i slične
konstrukcije.
122
123
LITERATURA
[1] R. Pavazza, B. Plazibat, A. Matoković: Prethodni proračun čvrstoće broda s
velikim otvorima u palubi, IX. simpozij Teorija i praksa brodogradnje - SORTA,
627-640, Dubrovnik, 1990.
[2] R. Pavazza, B. Plazibat, A. Matoković: Idealizacija konstrukcije brodskog dna
ravninskim sustavom štapova otvorenog tankostjenog presjeka, Strojarstvo, 35,
11-17, 1993.
[3] R. Pavazza, B. Plazibat, A. Matoković: Idealization of ships with large hatch
openings by a thin-walled rod of open section on many elastic supports, Thin-
walled structures, 32, 305-325, 1998.
[4] R. Pavazza, A. Matoković: On the shear flow due to distortion of hull cross-
sections of tankers with two longitudinal bulkheads, Proccedings of the IX
Congress International Maritime Association of Mediterranean, SF32-39, 2000.
[5] J. K. Paik, A. K. Thayamballi, P. T. Pedersen, Y. Il Park: Ultimate strength of
ship hulls under torsion, Ocean Engineering, 28, 1097-1133; 2001.
[6] R. Pavazza, Ž. Lozina: An analytical approach to the bending of large tanker
with no distorted cross-sections, Proccedings of the X Congree International
Maritime Association of Mediterranean, 40-55, 2002.
[7] V. Piscopo: Analysis of warping and shear stresses for ship structures, Doktorska
disertacija, The University of Naples „Federico II“, Napulj, 2009.
[8] I. Senjanović, S. Tomašević, N. Vladimir: An Advanced Theory of Thin-Walled
girders with Application to Ship Vibrations, Marine Structures, 22(3):387-437,
2009.
[9] M. Shama: Torsion and Shear Stresses in Ships, Springer-Verlag, Berlin-
Heildeberg, 2010.
[10] A. A. Umanski: Kručenije i izgib tankostennjih aviakonstrukcii, GIOP, Moskva,
1939.
[11] O. A. Bauchau, J. I. Craig: Structural Analysis With Aplications to Aerospace
Structures, GIT, Atlanta, 1995.
[12] B. Drašković, M. Grubić, P. Dančević: Proračun rožnjača od otvorenih
tankozidnih profila, Zbornik radova Građevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nišu,
29-39, 2003.
[13] D. Šimić: Proračun bočno pridržanih tankostijenih nosača otvorenog presjeka,
Građevinar 56, 277-287, 2004.
[14] N. Anđelić: One View to the Optimization of thin-walled open sections subjected
to constrained torsion, FME Transactions 35, 23-28, 2007.
[15] P. C. J. Hoogenboom, A. Borgart: Method for including restrained warping in
traditional frame analyses, HERON, Vol.50, No 1, 55-68, 2005.
[16] I. Alfirević: Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1995.
[17] V. Šimić: Otpornost materijala I, Školska knjiga d.d., Zagreb, 1992.
124
[18] S. Timošenko: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1972.
[19] E. Carrera, G. Giunta, M. Petrolo: Beam Structures – Classical and Advanced
Theories, John Wiley & Sons, Ltd, 2011.
[20] V. Z. Vlasov: Thin-walled elastic beams, 2nd edition, Jerusalem, Israel; Program for
Scientific Translation; 1961.
[21] C. F. Kollbruner, K. Basler: Torsion in structures, Springer-Verlag, 1969.
[22] C. F. Kollbruner, N. Hajdin: Dunnwandige Stabe, Band I, Springer-Verlag, 1972.
[23] A. Gjelsvik: The theory of thin-walled bars, New York, Wiley, 1981.
[24] N. W. Murray: Introduction to thin-walled structures, Oxford University Press,
New York, 1986.
[25] R. Pavazza: Savijanje i uvijanje štapa otvorenog tankostijenog presjeka na
elastičnoj podlozi, Doktorska disertacija, FSB Zagreb, Sveučilište u Zagrebu, 1991.
[26] R. Pavazza: Uvijanje štapa otvorenog tankostjenog presjeka na diskretnoj
elastičnoj podlozi, Strojarstvo 32, 269-275, 1990.
[27] R. Pavazza: Uvod u analizu tankostjenih štapova, Sveučilišni udžbenik, Kigen,
Zagreb, 2007.
[28] A. Prokić: Tankozidni nosači otvoreno-zatvorenog poprečnog preseka (Thin-
walled beams with open and closed cross-section), Doktorska disertacija,
Univerzitet u Beogradu, Beograd, 1990.
[29] K. Saade: Finite element modeling of shear in the thin walled beams with single
warping function, Doktorska disertacija, Universite Libre de Bruxelles, 2005.
[30] R. El Fatmi: A non-uniform warping theory for beams, C. R. Mecanique 335, 467-
474; 2007.
[31] R. El Fatmi: Non-uniform warping including the effects of torsion and shear
forces. Part I: A general beam theory, International Journal of Solids and
Structures 44, 5912-5929; 2007.
[32] R. El Fatmi: Non-uniform warping including the effects of torsion and shear
forces. Part II: Analytical and numerical applications, International Journal of
Solids and Structures 44, 5930-5952; 2007.
[33] R. El Fatmi: Non-uniform warping for composite beams. Theory and numerical
applications, 19. Congres Francais de Mecanique, Marseille, 2009.
[34] R. Pavazza: Utjecaj smicanja na uvijanje štapa otvorenog tankostjenog presjeka,
Strojarstvo, 35, 103-109, 1993.
[35] R. Pavazza, B. Blagojević: On the stress distibution in thin walled-beams
subjected to bending with influence of shear, 4th International Congress of
Croatian Society of Mechanics, 2003.
[36] R. Pavazza: Torsion of thin-walled beams of open cross-section with influence of
shear, Inernational Journal of Mechanical Sciences 47, 1099-1122, 2005.
[37] A. S. Gendy, A. F. Saleeb, T. Y. P. Chang: Generalized thin-walled beam models
for flexural-torsional analysis, Computers and Structures, Vol. 42, No.4; 531-550;
1992.
125
[38] M. Schulz, F. C. Fillippou: On Generalized warping torsion formulation, Journal
of Engineering Mechanics, 339-347; 1998..
[39] W. You, D. H. Hodges, V. V. Volovoi, E. D. Fuchs: A generalized Vlasov theory
for composite beams, Thin-walled structures, 43: 1493-1511, 2005.
[40] N. Silvestre, D. Camotim: First-order generalized beam theory for arbitrary
orthotropic materials, Thin-walled structures, 40(9): 755-789, 2002.
[41] N. Silvestre, D. Camotim: Second-order generalized beam theory for arbitrary
orthotropic materials, Thin-walled structures, 40(9): 791-820, 2002.
[42] N. Silvestre, D. Camotim: On the mechanics of distortion in thin-walled open
sections, Thin-walled structures, 2010.
[43] J. N. Reddy, C. M. Wang, K. H. Lee: Relationships between bending solutions of
classical and shear deformation beam theories, International Journal of Solids and
Structures V0l. 34, No. 26, 3373-3384; 1997.
[44] G. R. Cowper: The shear coefficient in Timoshenko´s beam theory, Journal of
Applied Mechanics, 335-340, 1966.
[45] S. U. Bhat, J. G. de Oliveira: A formulation for the shear coefficient of thin-walled
prismatic beams, Journal of Ship Research, Vol.29, No.1, 51-58, 1985.
[46] I. Senjanović, Y. Fan: The bending and shear coefficients of thin-walled girders,
Thin-walled structures, 10, 31-57, 1990.
[47] G. Romano, L. Rosati, G. Ferro: Shear deformability of thin-walled beams with
arbitrary cross sections, International journal for numerical methods in engineering
Vol. 35, 283-306, 1992.
[48] U. Shramm, L. Kitis, W. Kang, W. D. Pilkey: On the shear deformation coefficient
in beam theory, Finite Elements in Analysis and Design 16, 141-162, 1994.
[49] J. R. Hutchinson: Shear coefficients for Timoshenko beam theory, Journal of
Applied Mechanics, Vol.68, 87-92, 2001.
[50] W. D. Pilkey: Analysis and design of elastic beams, John Wiley & Sons, New York,
2002.
[51] F. P. Costa: On Timoshenko´s beams coefficient of sensibility to shear effect,
TEMA Tend. Mat. Apl. Comput. 9, N0. 3, 447-457, 2008.
[52] T. M. Roberts, H. Al-Ubaidi: Influence of shear deformation on restrained
torsional warping of pultruded FRP bars of open cross-section, Thin-walled
structures, 39, 395-414, 2001.
[53] Nam-Il Kim, Moon-Young Kim: Eexact dynamic/static stiffness matrices of non-
symmetric thin-walled beams considering coupled shear deformation effects,
Thin-Walled Structures, 43; 701-734; 2005.
[54] R. Pavazza, A. Matoković, B. Plazibat: Analiza naprezanja pri uvijanju štapova
otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem smicanja, Zbornik radova 1.
kongresa hrvatskog društva za mehaniku, Zagreb, 550-557,1994.
[55] R. Pavazza, S. Jović: A comparison of aproximate analytical methods and the
finite element method in the analysis of short thin-walled beams subjected to
bending by couples, Transactions of FAMENA XXX-2, 2006.
126
[56] R. Pavazza, S. Jović: A comparison of aproximate analytical methods and the
finite element method in the analysis of short thin-walled beams subjected to
bending by uniform loads, Transactions of FAMENA XXXI-1, 2007.
[57] C. Lertsima, T. Chaisomphob, E. Yamaguchi: Stress concentration due to shear
lag in simply supported box girders, Engineering structures 26: 1093-1101, 2004.
[58] M. N. Pavlović, N. Tahan, M. D. Kotsovos: Shear lag and effective breadth in
rectangular plates with material orthotropy. Part 1: Analytical Formulation, Thin-Walled Structures, Vol 30: 199-213, 1998.
[59] M. N. Pavlović, N. Tahan, M. D. Kotsovos: Shear lag and effective breadth in
rectangular plates with material orthotropy. Part 2: Typical results of
parametric studies, Thin-Walled Structures, Vol 30: 215-237, 1998.
[60] N. Tahan, M. N. Pavlović, M. D. Kotsovos: Shear-lag revisited: The use of single
Fourier series for determining the effective breadth in plated structures,
Computers and Structures, Vol. 63 No.: 759-767, 1997.
[61] R. T. Tenchev: Shear-lag in orthotropic beam flanges and plates with stiffeners,
International Journal of Solids and Structures Vol.33, No.9; 1317-1334, 1996.
[62] C. J. Burgoyne, E. H. Brown:Nonuniform elastic torsion, Inernational Journal of
Mechanical Sciences, Vol.36, No.1, 23-38, 1994.
[63] E. H. Brown, C. J. Burgoyne: Nonuniform elastic torsion and flexure of members
with asymmetric cross-section, Inernational Journal of Mechanical Sciences,
Vol.36, No.1, 39-48, 1994.
[64] M. Eisenberger: An exact high order beam element, Computers and Structures, 81;
147-152; 2003.
[65] E. J. Sapountzakis, V. G. Mokos: Nonuniform torsion of bars of variable cross
section, Computers and Structures, 82:703-715, 2004.
[66] R. E. Erkmen, M. Mohareb: Torsion analysis of thin-walled beams includiong
shear deformation effects, Thin-Walled Structures, 44; 1096-1108; 2006.
[67] A. Campanile, M. Mandarino, V. Piscopo, A. Pranzitelli: On the Exact Solution of
Non-Uniform Torsion for Beams with Axial Symmetric Cross-Section, World
Academy of Science, Engineering and Technology 55, 36-45, 2009.
[68] A. Campanile, M. Mandarino, V. Piscopo: On the Exact Solution of Non-Uniform
Torsion for Beams with Asymmetric Cross-Section, World Academy of Science,
Engineering and Technology 55, 46-53, 2009.
[69] A. Prokić: New finite element for analysis of shear lag, Computers and Structures,
80: 1011-1024, 2002.
[70] S. D. Musat, B. I. Epureanu: Study of warping torsion of thin-walled beams with
open cross-section using macro-elements, Inernational Journal for numerical
methods in engineering, 44, 853-868; 1999.
[71] J. Jonsson: Determination of shear stresses, warping functions and section
properties of thin-walled beams using finite elements, Computers and Structures,
68, 393-410; 1998.
[72] G. Alfano, F. Marotti, L. Rosati: Automatic analysis of multicell thin-walled
sections, Computers and Structures, Vol 59: 641-655, 1996.
127
[73] A. Prokić: A Computer Program for Determination of Geometrical Properties
of Thin-Walled Beams With Open-Closed Section, Computers and Structures,
74:705-715, 2000.
[74] U. Yilmaz: Geometrical properties of multicellular thin walled beam sections,
Magistarski rad, Middle east technical universityt, 2009.
[75] V. Piscopo: Analysis of warping and shear stresses for ship structures, Doktorska
disertacija, The University of Naples «Federico II», Napulj, 2009.
[76] B. Plazibat: Utjecaj distorzije poprečnih presjeka na uvijanje tankostjenih
štapova otvorenog i zatvoreno-otvorenog presjeka, Doktorska disertacija,
Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 2011.
[77] B. Plazibat, A. Matoković: A computer program for calulating geometrical
properties of symmetrical thin walled cross-sections, Transactions of FAMENA,
issue 4, volume 35, 2011.
[78] V. I. Slivker, A. V. Perelmuter: Numerical structural analysis, Springer-Verlag,
Berlin-Heildeberg, 2007.
[79] Š. Dunica, Ž. Bojović: Zbirka rešenih zadataka iz otpornosti materijala sa
izvodima iz teorije, Naučna knjiga, Beograd, 1984.
[80] V. Brčić: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1985.
[81] V. Šimić: Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 2002.
[82] A. Tralli: A simple hybrid model for torsion and flexure of thin-walled beams,
Computers and Structures, Vol. 22, No. 4, 649-658; 1986.
[83] S. Y. Back, K. M. Will: A shear-flexible element with warping for thin-walled
open beams, International journal for numerical methods in engineering 43, 1173-
1191, 1998.
[84] Autodesk Algor Profeessional 2011; Serial No: 357-37840752; Product Key: 667C1
[85] Skupina autora: ALGOR Release 12 Tutorial, Algor, Inc., 2000.
[86] J. Sorić: Metoda konačnih elemenata, Golden marketing – Tehnička knjiga, Zagreb,
2004.
[87] C. C. Spyrakos: Finite element modeling in Engineering Practice, ALGOR PD,
Pittsburgh, 1996.
129
ŽIVOTOPIS
Ado Matoković rođen je 21. srpnja 1956. godine u Imotskom. Osnovnu školu (sedam razreda)
završio je u Posušju (BiH), a osmi razred i gimnaziju završio je u Splitu. Studij strojarstva na
FESB-u upisao je 1975. godine, gdje je diplomirao u lipnju 1980. Od 1. listopada 1981.
zaposlen je na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu kao asistent pri
Katedri za mehaniku. Držao je vježbe iz kolegija: Mehanika I, Mehanika II, Mehanika III,
Nauka o čvrstoći I, II i III na VII stupnju studija strojarstva i brodogradnje, Tehnička
mehanika na VII stupnju studija elektrotehnike, kao i vježbe iz kolegija Čvrstoća na VI
stupnju strojarstva te Osnove mehaničkih konstrukcija na VI stupnju studija elektrotehnike.
Poslijediplomski studij upisao je školske godine 1982/83, na Fakultetu strojarstva i
brodogradnje u Zagrebu, usmjerenje Teorija konstrukcija. Magistarski rad “Analiza
konstrukcija sastavljenih iz tankostjenih štapova otvorenog presjeka” obranio je 3. prosinca
1990. godine, pod vodstvom mentora prof. dr. sc. Ive Alfirevića (članovi povjerenstva
prof.dr.sc. Ivan Heidl i mr.sc. Radoslav Pavazza). U Registar istraživača, u znanstveno
istraživačkom zvanju znanstveni asistent u znanstvenom području Strojarstvo, upisan je 1991.
godine pod brojem 106924.
Tijekom rada na FESB-u, zajedno s kolegom dr. sc. Božom Plazibatom sudjelovao je u izradi
internih zbirki zadataka za kolegije mehanike i čvrstoće, kao i u izradi računalnih programa za
proračun rešetkastih, linijskih i okvirnih grednih nosača.
Školske godine 1998/99. prelazi s FESB–a na novoosnovano Veleučilište u Splitu. Prvi put u
zvanje višeg predavača biran je u srpnju 1999. g. Na Veleučilištu u Splitu izvodio je nastavu i
organizirao vježbe iz kolegija Mehanika I i II (kasnije Tehnička mehanika I i II), Nauka o
čvrstoći na studiju strojarstva i studiju brodogradnje, Tehnička mehanika I i II na stručnom
studiju graditeljstva, dio nastave iz kolegija Osnove strojarstva na stručnom studiju
elektrotehnike i studiju kemijske tehnologije. Zajedno s kolegom Božom Plazibatom napisao
je udžbenik "Mehanika I – Statika". Od 2001.-2003.g. obavljao je dužnost pročelnika studija
graditeljstva. Od 23. listopada 2003. radi na Odjelu za stručne studije Sveučilišta u Splitu kao
nastavnik na studiju strojarstva. Od 1.10.2011.g. Pročelnik je Odsjeka za konstrukcijsko
strojarstvo na Sveučilišnom studijskom centru za stručne studije. U zvanje višeg predavača
ponovno je biran u listopadu 2005.g. te u prosincu 2010.g.
U Splitu, 29. veljače, 2012.
131
BIOGRAPHY
Ado Matoković was born in Imotski on 21 July 1956. He completed his elementary and
secondary education in Split. He enrolled in the study program in Mechanical Engineering at
the Faculty of Electrical Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture
(FESB) in Split in 1975. He got his degree in June 1980.
He was first employed within the Department of Mechanics at FESB in Split as a teaching
assistant in October 1981. He was involved in teaching the following courses: Mechanics I,
Mechanics II, Mechanics III, Strength of Materials I, II and III at the level of university study
program in Mechanical Engineering and Naval Architecture, Engineering Mechanics I and
Engineering Mechanics II at the level of university study program in Electrical Engineering,
as well as Strength of Materials at the college level.
He defended his Master thesis “Analysis of structures composed of thin-walled beams with
open cross-sections” under the supervision of his mentor Prof. Ivo Alfirević PhD in 1990. He
was listed in the Register of researchers under number 106924 in 1991.
He actively participated in research activities on five projects supported by the Ministry of
Science, Education and Sports.
He is a co-author of 10 research papers. He was also involved in a number of professional
projects.
In 1998 he moved from FESB to the Polytechnics in Split. He was first elected in the position
of Senior Lecturer in 1999. g. At Polytechnics in Split he was involved in teaching the
following courses: Mechanics I, Mechanics II and Strength of Materials. He wrote one course
book in co-authorship "Mechanics I – Statics". He was the head of the Department for Civil
Engineering at Polytechnics in Split.
Since October 2003 he worked as a teacher at the University Centre for Professional Studies.
Currently he is the Head of the Department for Mechanical Engineering at University Centre
for Professional Studies.
In Split, 29 February 2012
P R I L O Z I
133
A. GEOMETRIJSKE ZNAČAJKE POPREČNIH PRESJEKA Za poprečne presjeke, navedene u prilogu, dane su sljedeće geometrijske značajke poprečnih
presjeka:
Položaj težišta.
Položaj glavnog pola.
Glavne pravokutne koordinate y i z te glavna sektorska koordinata .
Glavni aksijalni momenti tromosti yI i zI .
Glavni sektorski moment tromosti I .
Torzijski moment tromosti tI .
Polarni moment tromosti PI .
Polarni moment otpora PW .
Faktori smicanja definirani prema:
* *1
d ,y z
xyL
z s
A Ss
I L t
* *1
d ,z y
xzL
y s
A Ss
I L t
* *
d ,y z
yz zyL
y z
S SAs
I I t
2*
2d ,z
yyA
z
SAA
tI
2*
2d ,
y
zzA
y
SAA
tI
* *P d ,z
yL
z
S SWs
I I t
* *
P d ,y
zL
y
S SWs
I I t
2*
P
2d ,
A
SIA
tI
dani su u parametarskom obliku, za presjek s dvije ili s jednom osi simetrije.
134
Za dijelove poprečnog presjeka dani su izrazi u funkciji krivocrtnih koordinata ys , zs i s te
grafički prikaz:
Raspodjele površina odsječenih dijelova presjeka *yA i *
zA .
Raspodjele statičkih momenata površine odsječenih dijelova presjeka *yS , *
zS i *S
koje su važne za izračunavanje tangencijalnog naprezanja.
Raspodjele integrala
*
0
dzs
ySs
t,
*
0
d
ys
zSs
t i
*
0
d
sS
st
koji dolaze u izrazima za
izračunavanje normalnog naprezanja x .
Za krivocrtne koordinate uzeto je 0 0ys y - točka 1O y , 0 0zs z - točke 1Oz i
2Oz te 0 0s - točke 1O , 2O i 3O (Primjer U presjek s jednom osi simetrije -
slika A.1.)
Slika A.1. Krivocrtne koordinate za U poprečni presjek.
Odabir smjera pozitivnih krivocrtnih koordinata je proizvoljan. Ovaj odabir utječe na
predznake površina odsječenih dijelova presjeka *yA i *
zA kao i na predznake statičkih
momenata odsječenih dijelova presjeka, ali nema utjecaja na smjer tokova tangencijalnih
naprezanja
*
y y z
z
Q St
I ,
*z z y
y
Q St
I i
*M St
I
.
Kod izračunavanja površina odsječenih dijelova polazi se od slobodnih krajeva, odnosno kad
os sječe presjek u više točaka polazi se i od točaka presjeka u kojima je tok tangencijalnih
naprezanja, koji pripada toj osi, jednak 0.
135
Tako napr. za U presjek s jednom osi simetrije, kod postavljanja izraza za *zA polazi se od
slobodnih krajeva (točke A i E) do točaka gdje os y presjeca vertikalne stjenke (točke 1Oz i
2Oz ), ali i od točke C (u kojoj je * 0yS ) do točaka 1Oz i 2Oz (slika A.2.).
Slika A.2. Raspodjela odsječenog dijela površine *zA , raspodjela statičkog momenta
odsječenog dijela površine *yS te krivocrtna koordinata zs za U presjek.
Površinama odsječenih dijelova dodjeljuje se predznak odgovarajuće krivocrtne koordinate
(površini *zA predznak krivocrtne koordinate zs ).
Značenje predznaka statičkih momenata odsječenog dijela presjeka *yS , *
zS i *S je:
Pozitivan *yS znači da pri pozitivnoj poprečnoj sili zQ tok tangencijalnog naprezanja
*
z z y
y
Q St
I ima smjer pozitivne krivocrtne koordinate zs (slika A.3.).
Slika A.3. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *yS te
predznaka krivocrtne koordinate zs sa smjerom toka tangencijalnog naprezanja z
t .
136
Pozitivan *zS znači da pri pozitivnoj poprečnoj sili yQ tok tangencijalnog naprezanja
*
y y z
z
Q St
I ima smjer pozitivne krivocrtne koordinate ys (slika A.4.).
Slika A.4. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *zS te
predznaka krivocrtne koordinate ys sa smjerom toka tangencijalnog naprezanja y
t .
Pozitivan *S znači da pri pozitivnom momentu vitoperenja M tok tangencijalnog
naprezanja *M S
tI
ima smjer pozitivne krivocrtne koordinate s (slika A.5.).
Slika A.5. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *S te
predznaka krivocrtne koordinate s sa smjerom toka tangencijalnog naprezanja t
.
137
Za slučaj kada os presjeca poprečni presjek u dvije točke (na pr. os y presjeca L poprečni
presjek u točkama 1Oz i 2Oz - Slika A.6a), za izračunavanje odgovarajućeg integrala
*
0
dzs
ySs
t
pišu se dva izraza:
Za horizontalnu stjenku s ishodišnom točkom 1Oz ( 0zs ) koji vrijedi od slobodnog
ruba horizontalne stjenke do kraja linije L1 (točka F- slika A.6.b) u kojoj je tok
tangencijalnih naprezanja *
0z z y
y
Q St
I .
Za vertikalnu stjenku s ishodišnom točkom 2Oz ( 0zs ) koji vrijedi od slobodnog
ruba vertikalne stjenke struka do kraja linije L2 - cijeli struk i dio pojasa - (točka F-
slika A.6.b) u kojoj je tok tangencijalnih naprezanja *
0z z y
y
Q St
I .
Slika A.6. Korekcija funkcije raspodjele integrala
*
0
dzs
ySs
t.
U točki F funkcija raspodjele integrala
*
0
dzs
ySs
t ima diskontinuitet (crtkana linija - Slika A.6c),
pa je napravljena korekcija na način da je duž linije 2L dodana konstanta 2C , a duž linije 1L
konstanta 1C (puna linija - slika A.6.c). Ove konstante određene su na sljedeći način:
Naime, da bi u točki F vrijedilo
1 2
F F
x xL L
treba u izrazu za naprezanje za dio konture poprečnog presjeka dužine 1L član
138
*
0
dzs
y
z
y
SEq s
GI t zamijeniti sa
*
1
0
dzs
y
z
y
SEq s C
GI t
,
a u izrazu za naprezanje za dio konture poprečnog presjeka dužine 2L član
*
0
dzs
y
z
y
SEq s
GI t zamijeniti sa
*
2
0
dzs
y
z
y
SEq s C
GI t
.
Iz uvjeta 1 2
F F
x xL L slijedi
1 2
F F* *
1 2
0 0
d d ,z zs s
y y
L L
S Ss C s C
t t
odnosno
2 1
F F* *
1 2
0 0
d d .z zs s
y y
L L
S SC C s s
t t
Lako se može dokazati da je
2 1
F F B B* * * *
0 0 0 0HS VS
d d d dz z z zs s s s
y y y y
L L
S S S Ss s s s
t t t t
te
B B* *
1 2
0 0HS VS
d dz zs s
y yS SC C s s
t t
(1)
Za određivanje konstanti 1C i 2C potrebna je još jedna jednadžba. Ona je dobivena iz uvjeta
da je ukupna uzdužna sila uslijed dodanih naprezanja duž konture presjeka jednaka nuli
1 2 0.w wN N
Kako su
1 1 1,w w
x zN A 2 2 2 ,w wx zN A
gdje su
1 1
1 1 ,z z z z
z z zs L s L
A A s A s L t
2 2
2 2 ,z z z z
z z zs L s L
A A s A s L t
139
slijedi
1 1 2 2 0,z z
y y
E Eq C L t q C L t
GI GI
odnosno
1 1 2 2 0,C L C L
pa je
12 1
2
.L
C CL
(2)
Uvrštenjem (2) u (1) dobije se
B B* *
21
1 2 0 0HS VS
d d ,z zs s
y yS SLC s s
L L t t
a,
B B* *
12
1 2 0 0HS VS
d d .z zs s
y yS SLC s s
L L t t
140
A.1. Presjeci s dvije osi simetrije
A.1.1. I presjek
1 1
0 0
0
1
0
proizvoljno odabrano
2
s
A bt
A ht
A
A
b
h
L h
hh
Slika A.7. I presjek s dvije osi simetrije: geometrija.
Slika A.8. I presjek s dvije osi simetrije: glavna koordinata y, glavna koordinata z, glavna
sektorska koordinata .
Slika A.9. I presjek s dvije osi simetrije: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs ,
ys i s .
141
Tablica A.1. I presjek s dvije osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
G
orn
ji p
oja
s 02
z
bs
*1
2z z
bA s t
Raspodjela *zA
02
z
bs
*1
2z z
bA s t
Str
uk
02
z
hs
*1 0
2z z
hA bt s t
02
z
hs
*2 0
2z z
hA bt s t
Donji
poja
s 02
z
bs
*1
2z z
bA s t
02
z
bs
*1
2z z
bA s t
Tablica A.2. I presjek s dvije osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *
yA .
Gorn
ji p
oja
s 02
y
bs
*1
2y y
bA s t
Raspodjela *yA
02
y
bs
*1
2y y
bA s t
Str
uk
0ys * 0yA
Donji
poja
s 02
y
bs
*1
2y y
bA s t
02
y
bs
*1
2y y
bA s t
142
Tablica A.3. I presjek s dvije osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *yS .
Gorn
ji p
oja
s
02
z
bs
*1
2 2y z
h bS t s
Raspodjela *yS
02
z
bs
*1
2 2y z
h bS t s
Str
uk
2 2z
h hs
2* 20
12 2 4
y z
th hS A s
Donji
poja
s 02
z
bs
*1
2 2y z
h bS t s
02
z
bs
*1
2 2y z
h bS t s
Tablica A.4. I presjek s dvije osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *zS .
Gorn
ji p
oja
s
2 2y
b bs
2* 2
1
1
2 4z y
bS t s
Raspodjela *zS
Str
uk
0ys * 0zS
Donji
poja
s
2 2y
b bs
2* 2
1
1
2 4z y
bS t s
143
Tablica A.5. I presjek s dvije osi simetrije: Sektorski statički moment površine odsječenog
dijela presjeka *S .
Gorn
ji p
oja
s
2 2
b bs
2* 2
14 4
h bS t s
Raspodjela *S
Str
uk
0s * 0S
Donji
poja
s
2 2
b bs
2* 2
14 4
h bS t s
Tablica A.6. I presjek s dvije osi simetrije:
*
0
dzs
ySs
t.
Gorn
ji p
oja
s
02
z
bs
* 21 0
00
6d
4 24
zsy
z z
S h A Ahs s b s
t t
Raspodjela
*
0
dzs
ySs
t
02
z
bs
* 21 0
00
6d
4 24
zsy
z z
S h A Ahs s b s
t t
Str
uk
2 2z
h hs
*
2 201
00
d 3 42 24
zsy z
z
S ts hAs h s
t t
Donji
poja
s 02
z
bs
* 21 0
00
6d
4 24
zsy
z z
S h A Ahs s b s
t t
02
z
bs
* 21 0
00
6d
4 24
zsy
z z
S h A Ahs s b s
t t
144
Tablica A.7. I presjek s dvije osi simetrije: *
0
d
ys
zSs
t.
Gorn
ji p
oja
s
2 2y
b bs
2* 2
0
1d
2 4 3
ys
yzy
sS bs s
t
Raspodjela
*
0
d
ys
zSs
t
Str
uk
0ys *
0
d 0
ys
zSs
t
Donji
poja
s
2 2y
b bs
2* 2
0
1d
2 4 3
ys
yzy
sS bs s
t
Tablica A.8. I presjek s dvije osi simetrije: *
0
d
sS
st
.
Gorn
ji p
oja
s
2 2y
b bs
* 22
0
d4 4 3
sS sh b
s st
Raspodjela
*
0
d
sS
st
Str
uk
0s *
0
d 0
sS
st
Donji
poja
s
2 2y
b bs
* 22
0
d4 4 3
sS sh b
s st
145
Tablica A.9. I presjek s dvije osi simetrije: Površina, aksijalni, sektorski,
polarni i torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.
1 2 ,A A
2
1
12 8,
12 2yI A h
22
1 ,6
zI A h
24
1 ,24
I A h
2P 1
1,
2I A h
3 22
t 1 1
2,
3I A t
PP 1
0
.I
W A hh
Tablica A.10. I presjek s dvije osi simetrije: Faktori smicanja.
0,xy 0,xz 0,yz zy
3 2,
5yy
3 2 2
2
6 2 30 10 5,
5 12 8zz
0,y 0,z
6.
5
146
A.2. Presjeci s jednom osi simetrije
A.2.1. I presjek s jednom osi simetrije
Slika A.10. I presjek s jednom osi simetrije: geometrija.
1 1 1 2 2 2 0 0
C B02 T 2 T
B1 1 1T
B10 Pproizvoljno odabranos
A b t A b t A ht
AA h b h
A A b hh
bL h h h
h
Slika A.11. I presjek s jednom osi simetrije: glavna koordinata y, glavna koordinata z, glavna
sektorska koordinata .
147
Slika A.12. I presjek s jednom osi simetrije: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata
zs , ys i s .
Tablica A.11. I presjek s jednom osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Gorn
ji p
oja
s 102
z
bs
* 11
2z z
bA s t
Raspodjela *zA
102
z
bs
* 11
2z z
bA s t
Str
uk
BT0 zs h * B
1 1 T 0z zA b t h s t
CT0 zs h * C
2 2 T 0z zA b t h s t
Donji
poja
s 202
z
bs
* 22
2z z
bA s t
202
z
bs
* 22
2z z
bA s t
148
Tablica A.12. I presjek s jednom osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
G
orn
ji p
oja
s 102
y
bs
* 11
2y y
bA s t
Raspodjela *yA
102
y
bs
* 11
2y y
bA s t
Str
uk
0ys * 0yA
Donji
poja
s 202
y
bs
* 22
2y y
bA s t
202
y
bs
* 22
2y y
bA s t
Tablica A.13. I presjek s jednom osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *yS .
Gorn
ji p
oja
s 102
z
bs
* B 1T 1
2y z
bS h t s
Raspodjela *yS
102
z
bs
* B 1T 1
2y z
bS h t s
Str
uk
B CT Tzh s h
2* C C 20
T 2 T2
y z
tS h A h s
Donji
poja
s 202
z
bs
* C 2T 2
2y z
bS h t s
202
z
bs
* C 2T 2
2y z
bS h t s
149
Tablica A.14. I presjek s jednom osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *zS .
Gorn
ji p
oja
s
1 1
2 2y
b bs
2* 21
1
1
2 4z y
bS t s
Raspodjela *zS
Str
uk
0ys * 0zS
Donji
poja
s
2 2
2 2y
b bs
2* 22
2
1
2 4z y
bS t s
Tablica A.15. I presjek s jednom osi simetrije: Sektorski statički moment površine odsječenog
dijela presjeka *S .
Gorn
ji p
oja
s
1 1
2 2y
b bs
B 2* 2P 1
12 4
h bS t s
Raspodjela *S
Str
uk
0s * 0S
Donji
poja
s
2 2
2 2
b bs
C 2* 2P 2
22 4
h bS t s
150
Tablica A.16. I presjek s jednom osi simetrije:
*
0
dzs
ySs
t.
Gorn
ji p
oja
s 102
z
bs
2
B B*T 1 0 TB
T 1
00
31d
2 3
zsy
z z
h A t hSs h s b s
t t
Raspodjela
*
0
dzs
ySs
t
102
z
bs
2
B B*T 1 0 TB
T 1
00
31d
2 3
zsy
z z
h A t hSs h s b s
t t
Str
uk
B CT Tzh s h
* 22
C C0T 2 T
00
d2 3
zsy z z
S ts ss h A h
t t
Donji
poja
s 202
z
bs
2
C C*T 2 0 TC
T 2
00
31d
2 3
zsy
z z
h A t hSs h s b s
t t
202
z
bs
2
C C*T 2 0 TC
T 2
00
31d
2 3
zsy
z z
h A t hSs h s b s
t t
Tablica A.17. I presjek s jednom osi simetrije: *
0
d
ys
zSs
t.
Gorn
ji p
oja
s
1 1
2 2y
b bs
2* 21
0
1d
2 4 3
ys
yzy
sS bs s
t
Raspodjela *
0
d
ys
zSs
t
Str
uk
0ys *
0
d 0
ys
zSs
t
Donji
poja
s
2 2
2 2y
b bs
2* 22
0
1d
2 4 3
ys
yzy
sS bs s
t
151
Tablica A.18. I presjek s jednom osi simetrije: *
0
d
sS
st
.
Gorn
ji p
oja
s
1 1
2 2
b bs
* 22B 1P
0
1d
2 4 3
sS sb
s h st
Raspodjela *
0
d
sS
st
Str
uk
0s *
0
d 0
sS
st
Donji
poja
s
2 2
2 2
b bs
* 22C 2P
0
1d
2 4 3
sS sb
s h st
Tablica A.19. I presjek s jednom osi simetrije: Položaj težišta i glavnog pola, površina,
aksijalni, sektorski, polarni i torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.
BT
2,
2 1h h
CT
2,
2 1h h
2BP 2
,1
h h
C
P 2
1,
1h h
1 1 ,A A
2
1
12 4 4,
12 1yI A h
2 2
21
1,
12zI A h
2 24
1 2,
12 1I A h
4
2P 1 2
2
1,
1
I A h
2 3 2 3 2
2t 1 1 2
1,
3I A t
4P
P 1 2 20
1.
1
IW A h
h
152
Tablica A.20. I presjek s jednom osi simetrije: Faktori smicanja.
0,xy
2 2 2 2 2 3 2 3 41 24 1 2 1 20 1 5 1,
2 12 4 4xz
0,yz zy
4
22
6 1 1,
5 1yy
32 2 3 2 4 3 5 2 2 2
2
2 2 11 1 1 1 1
3 15 12,
1 11
3 4
zz
2 4
22 2
6 1 1,
5 1y
0,z
4
22
6 1 1.
5 1
153
A.2.2. T presjek
Slika A.13. T presjek: geometrija.
1 1 0 0
C B0 T T
B1 T
proizvoljno odabranos
A bt A ht
A h h b
A h hh
L h
Slika A.14. T presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.
154
Slika A.15. T presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .
Tablica A.21. T presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Gorn
ji p
oja
s
02
z
bs
*1
2z z
bA s t
Raspodjela *zA
02
z
bs
*1
2z z
bA s t
Str
uk
BT0 zs h * B
1 T 0z zA bt h s t
CT0 zs h * C
T 0z zA h s t
155
Tablica A.22. T presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
G
orn
ji p
oja
s
02
y
bs
*1
2y y
bA s t
Raspodjela *yA
02
y
bs
*1
2y y
bA s t
Str
uk
0ys * 0yA
Tablica A.23. T presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .
Gorn
ji p
oja
s
02
z
bs
* BT 1
2y z
bS h t s
Raspodjela*yS
02
z
bs
* BT 1
2y z
bS h t s
Str
uk
B CT Tzh s h
2* C 20
T2
y z
tS h s
156
Tablica A.24. T presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .
Gorn
ji p
oja
s
2 2y
b bs
2* 2
1
1
2 4z y
bS t s
Raspodjela *zS
Str
uk
0ys * 0zS
Tablica A.25. T presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Gorn
ji p
oja
s
02
z
bs
* BT
0
2B BT 1 0 T
0
d2
3
3
zsy z z
S h s b ss
t
h A t h
t
Raspodjela
*
0
dzs
ySs
t
02
z
bs
* BT
0
2B BT 1 0 T
0
d2
3
3
zsy z z
S h s b ss
t
h A t h
t
Str
uk
B CT Tzh s h
* 22
BT
0
d2 3
zsy z z
S s ss h
t
157
Tablica A.26. T presjek: *
0
dzs
zSs
t.
Gorn
ji p
oja
s
2 2y
b bs
2* 2
0
1d
2 4 3
zsyz
y
sS bs s
t
Raspodjela
*
0
dzs
zSs
t
Str
uk
0ys *
0
d 0zs
zSs
t
Tablica A.27. T presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski momenti tromosti.
BT ,
2 1h h
CT
2,
2 1h h
1 1 ,A A
2
1
4,
12 1yI A h
22
1 ,12
zI A h
2 2 3t 1 1
11 .
3I A t
Tablica A.28. T presjek: Faktori smicanja.
0,xy 0,yz zy 0,y 0,z 0,
2 2 2 3 4
2
1 24 2 20 5 1,
2 4xz
6 1
,5
yy
32 2 3 5 2
2
2
9 6 31 6 1
5 4.
11
4
zz
158
A.2.3. U presjek
Slika A.16. U presjek: geometrija.
1 1 0 0
0
1
C0 Pproizvoljno odabranos
A bt A ht
A b
A h
L h h h
Slika A.17. U presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z, glavna sektorska
koordinata .
159
Slika A.18. U presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs , ys i s .
Tablica A.29. U presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Lij
eva
ver
t..s
tj.
AT0 zs h * A
T 0z zA h s t
Raspodjela *zA
BT0 zs h * B1
T 02
z z
AA h s t
Hori
zonta
lna
stj.
02
z
bs
*1
2z z
bA s t
02
z
bs
*1
2z z
bA s t
Des
na
ver
t.st
j.
BT0 zs h * B1
T 02
z z
AA h s t
AT0 zs h * A
T 0z zA h s t
160
Tablica A.30. U presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Lij
eva
ver
t..s
tj.
0 ys h *0y yA h s t
Raspodjela *yA
Hori
zonta
lna
stj.
02
y
bs
*0 1
2y y
bA A s t
02
y
bs
*0 1
2y y
bA A s t
Des
na
ver
t.st
j.
0 ys h *0y yA h s t
Tablica A.31. U presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .
Lij
eva
ver
t.st
j.
B AT Tzh s h
2* A 20
T2
y z
tS h s
Raspodjela *yS
Hori
zonta
lna
stj.
02
z
bs
* B1 T
2y z
bS s t h
02
z
bs
* B1 T
2y z
bS s t h
Des
na
ver
t.st
j.
A BT Tzh s h
2* A 20
T2
y z
tS h s
161
Tablica A.32. U presjek: Satički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .
L
ijev
a v
ert.
.stj
.
0 ys h * 0
2z y
btS h s
Raspodjela *zS
Hori
zonta
lna
stj.
2 2y
b bs
2* 20 1
2 2 4z y
A b t bS s
Des
na
ver
t.st
j.
0 ys h * 0
2z y
btS h s
Tablica A.33. U presjek: Sektorski statički moment površine odsječenog dijela presjeka *S .
Lij
eva
ver
t.st
j.
C CP Ph s h h
2* 2 C0
P4
t bS s h h
Raspodjela *S
Hori
zonta
lna
stj.
2 2
b bs
* C0P
C 221 P
24
2 4
bAS h h
t h bs
Des
na
ver
t.st
j.
C CP Ph h s h
2* 2 C0
P4
t bS s h h
162
Tablica A.34. U presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Lij
eva
ver
t.st
j.
B AT Tzh s h
* 22
AT
0
d2 3
zsy z z
S s ss h
t
Raspodjela
*
0
dzs
ySs
t
Ho
rizo
nta
lna
stj.
02
z
bs
* BT
0
2BB
2 TATT
d2
2 3
zsy z
z
S h ss b s
t
hhh
02
z
bs
* BT
0
2BB
2 TATT
d2
2 3
zsy z
z
S h ss b s
t
hhh
Des
na
ver
t. s
tj.
A BT Tzh s h
* 22
AT
0
d2 3
zsy z z
S s ss h
t
Tablica A.35. U presjek: *
0
d
ys
zSs
t.
Lij
eva
ver
t.st
j.
0 ys h 2* 3
20
10
d4 24 2 4
ys
zy y
A bS b bh bs s s
t t
Raspodjela
*
0
d
ys
zSs
t
Hori
zonta
lna
stj.
2 2z
b bs
* 230
10
1d
2 8 6
ys
zy y y
A bS bs s s s
t t
Des
na
ver
t.st
j.
0 ys h
2* 320
10
d4 24 2 4
ys
zy y
A bS b bh bs s s
t t
163
Tablica A.36. U presjek: *
0
d
sS
st
.
Lij
eva
ver
t.st
j.
C CP Ph s h h
*2
2 CP
0
C2
C C 2PP P
d 312
2 6 312
sS b
s s s h ht
bhh hh h
Raspodjela
*
0
d
sS
st
Hori
zonta
lna
stj.
2 2
b bs
*
C0P
1 10
C 2 C3P P
d 24
8 6
sS bA
s h h st t
h b hs s
Des
na
ver
t.st
j.
C CP P( )h h s h
*2
2 CP
0
C2
C C 2PP P
d 312
+ 2 6 312
sS b
s s s h ht
bhh hh h
Tablica A.37. U presjek: Položaj težišta i glavnog pola, površina, aksijalni, sektorski, polarni
i torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.
AT
1,
1 2h h
B
T ,1 2
h h
C
P
3,
1 6h h
0
12 ,A A
2
0
2,
3 1 2yI A h
2
20
1 6,
12zI A h
24
0
2 3,
12 1 6I A h
222
P 0 2
18 1 6,
2 1 6I A h
2 32
t 0 0 2 3
1 2,
3I A t
22
PP 0
0
18 1 6,
6 1 6
IW A h
h
za 0 P.h h
164
Tablica A.38. U presjek: Faktori smicanja.
0,xy
21 1 2,
4 1 2 2xz
0,yz zy
2
2 2
6 1 21 10 20 30 ,
5 1 6yy
32 3 4 5 2
2 2
3 2 8 55 140 160 80 16 5 1 2,
20 1 2 2zz
22 2
22
18 1 6 10 5 6 2,
20 2 3 1 6y
0,z
22 2 2
2 22
3 18 1 6 2 8 21 18 3.
10 1 6 2 3
165
A.2.4. L presjek
Slika A.19. L presjek: geometrija.
Slika A.20. L presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.
Slika A.21. L presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .
166
Tablica A.39. L presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
H
ori
zonta
lna
stje
nka
02
z
bs
*
2z z
bA s t
Raspodjela *zA
02
z
bs
*
2z z
bA s t
Ver
tikal
na
stje
nka 0
2z
bs
*
2z z
bA s t
02
z
bs
*
2z z
bA s t
Tablica A.40. L presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Hori
zonta
lna
stje
nka
0 zs b *y yA b s t
Raspodjela *yA
Ver
tikal
na
stje
nka
0 zs b *y yA b s t
167
Tablica A.41. L presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .
H
ori
zonta
lna
stje
nka
2 2z
b bs
2* 22
4 4y z
bS t s
Raspodjela *yS
Ver
tikal
na
stje
nka
2 2z
b bs
2* 22
4 4y z
bS t s
Tablica A.42. L presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .
Hori
zonta
lna
stje
nka
0 ys b * 2 22
4z yS t b s
Raspodjela *zS
Ver
tikal
na
stje
nka
0 ys b * 2 22
4z yS t b s
168
Tablica A.43. L presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Hori
zonta
lna
stje
nka
2 2z
b bs
*
2 2
0
2d 3 4
48
zsy
z z
Ss s b s
t
Raspodjela
*
0
dzs
ySs
t
Ver
tikal
na
stje
nka
2 2z
b bs
*
2 2
0
2d 3 4
48
zsy
z z
Ss s b s
t
Tablica A.44. L presjek: *
0
d
ys
zSs
t.
Hori
zonta
lna
stje
nka
0 ys b *
2 2
0
2d 3
12
ys
zy y
Ss s b s
t
Raspodjela
*
0
d
ys
zSs
t
Ver
tikal
na
stje
nka
0 ys b *
2 2
0
2d 3
12
ys
zy y
Ss s b s
t
169
Tablica A.45. L presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski
momenti tromosti.
,4
bd 2 ,A bt
31,
12yI tb 31
,3
zI tb
3t
2.
3I bt
Tablica A.46. L presjek: Faktori smicanja.
0,xy xz
0,yz zy
2,4,yy
2,4,zz
0,y
0,z
0.
170
A.3. Nesimetrični presjeci
A.3.1. L nesimetrični presjek
Slika A.22. L nesimetrični presjek: geometrija.
Slika A.23. L nesimetrični presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.
Slika A.24. L nesimetrični presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .
171
Tablica A.47. L nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Hori
zonta
lna
stje
nka
B
0
0sin
z
zs
* C
0
0sinz z
zA s t
Raspodjela *zA
C
0
0sin
z
zs
* C
0
0sinz z
zA s t
Ver
tikal
na
stje
nka A
0
0cos
z
zs
* A
1
0cosz z
zA s t
B
0
0cos
z
zs
* 0 C 0
1 0 1
B1
0
2
sin
cos
z
z
t z tA b
t t
zs t
Tablica A.48. L nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Hori
zonta
lna
stje
nka
B
0
0cos
y
ys
* B
1 0
0cosy y
yA ht s t
Raspodjela *yA
C
0
0cos
y
ys
* C
0
0cosy y
yA s t
Ver
tikal
na
stje
nka
0 ys h *1y yA h s t
172
Tablica A.49. L nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .
Hori
zonta
lna
stje
nka
C B
0 0sin sinz
z zs
2
* 2C0 0 2
0
1sin
2 siny z
zS t s
Raspodjela*yS
Ver
tikal
na
stje
nka
B A
0 0cos cosz
z zs
2
* 2A1 0 2
0
1cos
2 cosy z
zS t s
Tablica A.50. L nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .
Hori
zonta
lna
stje
nka
C B
0 0cos cosy
y ys
2
* 2C0 0 2
0
1cos
2 cosz y
yS t s
Raspodjela *zS
Ver
tikal
na
stje
nka 0 ys h
* 2 21 01 B
sin
2z y y
tS h s t y h s
173
Tablica A.51. L nesimetrični presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Ho
rizo
nta
lna
stje
nk
a
C B
0 0sin sinz
z zs
* 2
2C0 1
00
1d sin
2sin 6
zsy
z z
S zs s s C
t
Raspodjela
*
0
dzs
ySs
t
Ver
tikal
na
stje
nka
B A
0 0cos cosz
z zs
* 2
2A0 2
00
1d cos
2cos 6
zsy
z z
S zs s s C
t
B B* *
21
1 2 0 0HS VS
d d ,z zs s
y yS SLC s s
L L t t
B B* *
12
1 2 0 0HS VS
d d .z zs s
y yS SLC s s
L L t t
Tablica A.52. L nesimetrični presjek: *
0
d
ys
zSs
t.
Hori
zonta
lna
stje
nka
C B
0 0cos cosy
y ys
2*
2C0
00
1d cos
2cos 6
ys
zy y
ySs s s
t
Raspodjela
*
0
d
ys
zSs
t
Ver
tikal
na
stje
nk
a 0 ys h
*2 2B
0 B 0
0
2 2BC B2
0
1 1d sin sin
2 2 6
36cos
ys
zy y y
S ys s h y h s s
t
yy y
174
Za odabrani primjer obrađen u prilogu B (str. 325-335):
1 0
400 mm,
240 mm,
20 mm,
b
h
t t
geometrijske karakteristike dane su u tablici A.53, a faktori smicanja u tablici A.54.
Tablica A.53. L nesimetrični presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i
torzijski momenti tromosti.
1 125 mm,d 2 45 mm,d 0 20,96 , 212800 mm ,A
438665677 mm ,yI 4254240990 mm ,zI 4t 1706667 mm .I
Tablica A.54. L nesimetrični presjek: Faktori smicanja
0,0421,xz
0,0989,xy
0,5331,yz zy
2,0369,yy
3,3445,zz
0,y
0,z
0.
175
A.3.2. C nesimetrični presjek
Slika A.25. C nesimetrični presjek: geometrija.
Slika A.26. C nesimetrični presjek: glavna koordinata y , glavna koordinata z i glavna
sektorska koordinata .
Slika A.27. C nesimetrični presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata ys , zs i s .
176
Tablica A.55. C nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .
Gorn
ji p
oja
s
10 zs b *1 1z zA b s t
Raspodjela *zA
Str
uk
B
0
0cos
z
zs
* B
1 1 0
0cosz z
zA b t s t
C
0
0cos
z
zs
* C
2 2 0
0cosz z
zA b t s t
Donji
poja
s
20 zs b *2 2z zA b s t
Tablica A.56. C nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .
Gorn
ji p
oja
s
A
0
0cos
y
ys
* A
1
0cosy y
yA s t
Raspodjela *yA
B
0
0cos
y
ys
* C0
0
B1
0
sin
cos
y
y
yA h m t
ys t
Str
uk
B
0
0sin
y
ys
* C0
0
B1
0
sin
sin
y
y
yA h m t
ys t
C
0
0sin
y
ys
* C
2 2 0
0siny y
yA b t s t
Donji
poja
s
20 ys b *2 2y yA b s t
177
Tablica A.57. C nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .
G
orn
ji p
oja
s 10 zs b
* 2 21 01 B 1 1
sin
2y z z
tS t z b s b s
Raspodjela *yS
Str
uk
B C
0 0cos cosz
z zs
* 2 02 2 D
220 0 C
20
sin
2
cos
2 cos
y
z
bS t b z
t zs
Donji
poja
s
20 zs b
2* 2 0
2 D 2 2
sin
2y z z
tS t z b s b s
Tablica A.58. C nesimetrični presjek: Satički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .
Gorn
ji p
oja
s A B
0 0cos cosy
y ys
2
* 21 0 A2
0
cos
2 cosz y
t yS s
Raspodjela *zS
Str
uk
B C
0 0sin siny
y ys
* 2 02 2 C
220 0 C
20
cos
2
sin
2 sin
z
y
bS t b y
t ys
Donji
poja
s
20 ys b
* 2 22 02 C 2 2
cos
2z y y
tS t y b s b s
178
Tablica A.59. C nesimetrični presjek: Sektorski statički moment površine odsječenog dijela
presjeka *S .
Gorn
ji p
oja
s
1 2e s e
* 2 21 11
2
t hS s e
Raspodjela *S
Str
uk
01 02h s h
2 2 1 1 2* 2 20 2
022 2
t b h h f f t hS h s
Donji
poja
s
2 1f s f
2 1* 2 2
12
t h hS f s
Tablica A.60. C nesimetrični presjek:
*
0
dzs
ySs
t.
Gorn
ji p
oja
s
10 zs b
*
2 22 2 2 0 BD C B2
1 0 00
22 31 0 B 0
1 B
sind 3
2 6cos
sin sin
2 2 6
zsy
z z z
S t b b zs z z z
t t
b zb z s s s
Raspodjela
*
0
dzs
ySs
t
Str
uk
B C
0 0cos cosz
z zs
* 2
32 2 2 0 C 0D
0 0 00
sin cosd
2 2cos 6
zsy
z z
S b t b zs z s s
t t
Donji
poja
s
20 zs b
* 3
2 2 2 0 CD 2
2 0 00
2 32 0 D 2 0 02 D
sind
2 3cos
sin sin sin
2 2 6
zsy
z z z
S b t b zs z
t t
b z bb z s s s
179
Tablica A.61. C nesimetrični presjek: *
0
d
ys
zSs
t.
Gorn
ji p
oja
s A B
0 0cos cosy
y ys
* 23A 0
1
1 00
cosd
2cos 6
ys
zy y
S ys s s C
t
Raspodjela *
0
d
ys
zSs
t
Str
uk
B C
0 0sin siny
y ys
* 22 2 2 0 C
C
0 0 00
302
cosd
2 2sin
sin
6
ys
zy
y
S b t b ys y s
t t
s C
Donji
poja
s
20 ys b
* 32 2 C 2 0 C
C 22 0 0 00
22 32 0 C 0
2 C 2
cosd +
sin 2 3sin
cos cos+ - -
2 2 6
ys
z
y y y
S b t y b ys y
t t
b yb y s s s C
B B* *
21
1 2 0 0HS VS
d d ,z zs s
y yS SLC s s
L L t t
B B* *
12
1 2 0 0HS VS
d d .z zs s
y yS SLC s s
L L t t
.
180
Tablica A.62. C nesimetrični presjek: *
0
d
sS
st
.
Gorn
ji p
oja
s
1 2e s e
*
2 211 1
10
d 36
sS h
s s s e Ct
Raspodjela *
0
d
sS
st
Str
uk
01 02h s h
* 22 2 1 1 2 2 02
0 00
322
d2 2
6
st b h h f fS h h
s st t
hs C
Donji
poja
s
2 1f s f
*
2 211 3
20
d 36
sS h h
s s f s Ct
U izrazima za *
0
d
sS
st
dodane su konstante 1C , 2C i 3C da bi se u točkama 1N i 2N
izbjegao diskontinuitet normalnog naprezanja.(crtkana linija – Slika A.28.).
Naime, da bi u točki 1N bilo:
1 1
1 2
N N
x xL L
treba u izrazu za naprezanje za gornji pojas član
*
0
d
sE S
m sGI t
zamijeniti sa *
1
0
d
sE S
m s CGI t
,
a u izrazu za naprezanje za struk član
*
0
d
sE S
m sGI t
zamijeniti sa *
2
0
d
sE S
m s CGI t
.
181
Iz uvjeta
1 1
1 2
N N
x xL L
slijedi
1 1
1 2
N N* *
1 2
0 0
d d
s s
L L
S Ss C s C
t t
odnosno
1 1
2 1
N N* *
1 2
0 0
d d
s s
L L
S SC C s s
t t
Lako se može dokazati da je:
1 1
2 1
N B B* * * *
0 0 0 0struk gornji pojas
d d d
Ns s s s
L L
S S S Sds s s s
t t t t
te je
B B* *
1 2
0 0struk gornji pojas
d d
s sS S
C C s st t
(1)
Na isti način, da bi u točki 2N bilo:
2 2
2 3
N N
x xL L
treba u izrazu za naprezanje za donji pojas član
*
0
d
sE S
m sGI t
zamijeniti sa *
3
0
d
sE S
m s CGI t
.
.
Iz uvjeta 2 2
2 3
N N
x xL L
slijedi
182
2 2
3 2
N N* *
3 2
0 0
d d
s s
L L
S Ss C s C
t t
odnosno
2 2
2 3
N N* *
3 2
0 0
d d
s s
L L
S SC C s s
t t
Lako se može dokazati da je
2 2
2 3
N C C* * * *
0 0 0 0struk donji pojas
d d d
Ns s s s
L L
S S S Sds s s s
t t t t
te je
C C* *
3 2
0 0struk donji pojas
d d
s sS S
C C s st t
(2)
Za određivanje konstanti 1,C 2C i 3C potrebna je još jedna jednadžba. Ona je dobivena iz
uvjeta da je ukupna uzdužna sila uslijed dodanih naprezanja duž konture presjeka jednaka nuli
1 2 3 0N N N
Kako su
1 1 1,xN A 2 2 2 ,xN A
3 3 3,xN A
gdje su
1 1
1 1 ,s L s L
A A s A s L t
2 2
2 2 ,s L s L
A A s A s L t
3 3
3 3 ,s L s L
A A s A s L t
slijedi
1 1 2 2 3 3 0,x x xL t L t L t
183
odnosno
1 1 2 2 3 3 0,E E E
m C L t m C L t m C L tGI GI GI
pa je
1 1 2 2 3 3 0,C L C L C L (3)
Rješavanjem sustava jednadžbi (1), (2) i (3) dobiju se konstante 1,C 2C i 3C .
Slika A.28. C nesimetrični presjek: Korekcija za *
0
d
sS
st
.
Za odabrani primjer obrađen u prilogu B (str. 336-347):
1
2
1 0 2
200 mm,
100 mm,
250 mm,
5 mm,
b
b
h
t t t
184
geometrijske karakteristike dane su u tablici A.63.
Tablica A.63. C nesimetrični presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski momenti
tromosti.
1 45,46 mm,y 1 102,27 mm,z 0 17,11 , 22750 mm ,A
430539339 mm ,yI 47306305 mm ,zI 4t 22917 mm .I
a faktori smicanja navedeni su u tablici A.64.
Tablica A.64. C nesimetrični presjek: Faktori smicanja.
0,0928,xz
0,1634,xy
0,2162,yz zy
2,6719,yy
2,7512,zz
0,3894,y
1,4581,z
1,6684.
185
B. PRIMJERI – Savijanje s utjecajem smicanja
B.1. Presjeci s dvije osi simetrije
B.1.1. I presjek
B.1.1.1. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q
a) b)
1 03 / 40b h L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 28800 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.1. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
L h
t t h
186
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja. Pomak pola je:
P b sw w w , gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa
(EBBT), a sw dodatni progib zbog smicanja računan prema teoriji savijanja s utjecajem
smicanja (SUS), prema izrazu:
A
s ,y y
zz
zz zz
M M Aw A
GA
.
Faktor utjecaja smicanja na progib w definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola na
sredini raspona nosača prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
Pmax
bmax
.w
w
w
Za zglobno oslonjeni nosač je
481 ,
5w wk
a za ukliješteni nosač
1 48 ,w wk
pri čemu je
2.
y
w
zz
EIk
GA l
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
d ,zs
y ywx z z
y zz y
M SE Ez q z q s
I GA GI t
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), a preostala dva člana daju
utjecaj smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Bw predstavlja omjer normalnog
naprezanja, na sredini raspona nosača u točki B poprečnog presjeka, prema SUS i istog
naprezanja prema EBBT
B .wx
w bx
187
Za I poprečni presjek s dvije osi simetrije je
1 0B
0
61 1 ,
12
z y zzw
y zz y
q I A A A hE
M A G I t
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
zy
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
zy
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
188
Tablica B.1. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/w w w
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 2,8225 2,8576 10,1124 10,0510
4 2,0251 6,1257
5 1,6561 1,6605 4,2805 4,2472
6 1,4556 3,2781
7 1,3347 2,6737
8 1,2563 2,2814
9 1,2025 2,0125
10 1,1640 1,8201
11 1,1356 1,6778
12 1,1139 1,5695
13 1,0971 1,4853
14 1,0837 1,4184
15 1,0729 1,3645
Tablica B.2. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/ww x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,1706 1,1702 1,5118 1,4982
4 1,0960 1,2879
5 1,0614 1,0613 1,1842 1,1838
6 1,0426 1,1279
7 1,0313 1,0940
8 1,0240 1,0720
9 1,0190 1,0569
10 1,0154 1,0461
11 1,0127 1,0381
12 1,0107 1,0320
13 1,0091 1,0273
14 1,0078 1,0235
15 1,0068 1,0205
189
Slika B.2. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
190
Slika B.4. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/w
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.5. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
191
Slika B.6. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž
pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.7. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž
struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
192
Slika B.8. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješten nosač.
Slika B.9. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješten
nosač.
193
Slika B.10. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/w
x x -ukliješteni nosač.
Slika B.11. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h - ukliješteni
nosač.
194
Slika B.12. Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž pojasa na sredini raspona –
ukliješteni nosač.
Slika B.13. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž
struka na sredini raspona - ukliješteni nosač.
195
Slika B.14. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž
pojasa na mjestu ukliještenja.
Slika B.15. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x duž
struka na mjestu uklijueštenja.
196
B.1.1.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q
a) b)
1 03 / 40b h L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 28800 elemen.
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.16. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
L h
t t h
197
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja. Pomak pola je:
P b sv v v , gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa
(EBBT), a sv dodatni progib zbog smicanja računan prema teoriji savijanja s utjecajem
smicanja (SUS), prema izrazu
As , .z z
yy
yy yy
M M Av A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib v definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na
sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
P max
bmax
.v
v
v
Za zglobno oslonjeni nosač je
481 ,
5v vk
a za ukliješteni nosač
1 48 ,v vk
pri čemu je
2.z
v
yy
EIk
GA l
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
d ,
ys
v z zx y y
z yy z
M SE Ey q y q s
I GA GI t
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), a preostala dva člana daju
utjecaj smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av predstavlja omjer normalnog
naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A, prema SUS i istog naprezanja prema EBBT
A
b.
vx
v
x
198
Za I poprečni presjek s dvije osi simetrije je
2
A 1 1 ,12
y z yy
v
z yy z
q I A bE
M A G I
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
y
z
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
y
z
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
199
Tablica B.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,2773 1,2812 2,3867 2,3779
4 1,1560 1,7800
5 1,0998 1,1002 1,4992 1,5029
6 1,0693 1,3467
7 1,0509 1,2547
8 1,0390 1,1950
9 1,0308 1,1541
10 1,0250 1,1248
11 1,0206 1,1031
12 1,0173 1,0867
13 1,0148 1,0738
14 1,0127 1,0637
15 1,0111 1,0555
Tablica B.4. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,0385 1,0384 1,1156 1,1154
4 1,0217 1,0650
5 1,0139 1,0138 1,0416 1,0494
6 1,0096 1,0289
7 1,0071 1,0212
8 1,0054 1,0163
9 1,0043 1,0128
10 1,0035 1,0104
11 1,0029 1,0086
12 1,0024 1,0072
13 1,0021 1,0062
14 1,0018 1,0053
15 1,0015 1,0046
200
Slika B.17. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.18. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
201
Slika B.19. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.20. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
202
Slika B.21. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.22. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - ukliješteni nosač.
203
Slika B.23. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - ukliješteni
nosač.
Slika B.24. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - ukliješteni nosač.
204
Slika B.25. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - ukliješten
nosač.
Slika B.26. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
205
Slika B.27. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
pojasa na mjestu ukliještenja.
206
B.2. Presjeci s jednom osi simetrije
B.2.1. I presjek s jednom osi simetrije
B.2.1.1 Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q
a) b)
1 1 2 1 02 3 / 40b h b b L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 24000 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.28. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1
2
1 0
400 mm
200 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
b
L h
t t h
207
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije i
dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ukupni vertikalni pomak pola je:
P b sw w w , gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa
(EBBT), a sw dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem
smicanja (SUS) prema izrazu
A
s , .y y
zz
zz zz
M M Aw A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib w definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na
sredini raspona štapa prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT, P max
bmax
.w
w
w
Pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru je
s .z s xzQ Lu
GA
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
d ,zs
y ywu xzx z z z s
y zz y
M S EE Ez q z q s q L
I GA GI t GA
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT (bx ), drugi i treći član su posljedica
savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog rastezanja/sabijanja zbog smicanja.
Za ovaj poprečni presjek faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje b/wu
wu x x su
B B1 0 T TB
B0 T
31 1 ,
3
zzz y xzwu
y zz y zz
A A t h hq I E h
M A G I t h
C C2 0 T TC
C0 T
31 1 ,
3
zzz y xzwu
y zz y zz
A A t h hq I E h
M A G I t h
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
zy
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
zy
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni su s
rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
208
Tablica B.5. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/w w w
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 2,3253 2,3535 7,6267 7,6392
4 1,7455 4,7275
5 1,4771 1,4806 3,3856 3,3709
6 1,3313 2,6567
7 1,2434 2,2171
8 1,1864 1,9319
9 1,1473 1,7363
10 1,1119 1,5964
11 1,0986 1,4929
12 1,0828 1,4142
13 1,0706 1,3529
14 1,0609 1,3043
15 1,0530 1,2651
Tablica B.6.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru
/L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/wuwu x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,1463 1,1453 1,4389 1,4264
4 1,0823 1,2469
5 1,0527 1,0525 1,1580 1,1571
6 1,0366 1,1097
7 1,0269 1,0806
8 1,0206 1,0617
9 1,0163 1,0488
10 1,0132 1,0395
11 1,0109 1,0326
12 1,0091 1,0274
13 1,0078 1,0234
14 1,0067 1,0202
15 1,0059 1,0176
209
Tablica B.6.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje C b/wuwu x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,0741 1,0711 1,2222 1,2010
4 1,0417 1,1250
5 1,0267 1,0265 1,0800 1,0786
6 1,0185 1,0556
7 1,0136 1,0408
8 1,0104 1,0313
9 1,0082 1,0247
10 1,0067 1,0200
11 1,0055 1,0165
12 1,0046 1,0139
13 1,0039 1,0118
14 1,0034 1,0102
15 1,0030 1,0089
Slika B.29. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen
nosač.
210
Slika B.30. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.31. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen
nosač.
211
Slika B.32. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.33. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu
x x - zglobno oslonjen nosač.
212
Slika B.34. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.35. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
213
Slika B.36. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.37. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
214
Slika B.38. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
donjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.39. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
215
Slika B.40. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni
nosač.
Slika B.41. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.
216
Slika B.42. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.43. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu
x x -ukliješteni nosač.
217
Slika B.44. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni
nosač.
Slika B.45. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -ukliješteni
nosač.
218
Slika B.46. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.47. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.
219
Slika B.48. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
donjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.49. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
gornjeg pojasa na mjestu ukliještenja.
220
Slika B.50. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
struka na mjestu ukliještenja.
Slika B.51. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
donjeg pojasa na mjestu ukliještenja.
221
B.2.1.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q
a) b)
1 1 2
1 0
2
3 / 40
b h b b
L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 24000 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.52. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
1
2
1 0
400 mm
200 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
b
L h
t t h
BP
C BCP
hF F
h
222
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u glavnoj ravnini
okomitoj na ravninu simetrije i dodatno na uvijanje zbog smicanja. Ukupni pomak pola je
P b s ,v v v
gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT) , a sv
dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)
As , .z z
yy
yy yy
M M Av A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib v definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola na
sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
P max
bmax
.v
v
v
Kut uvijanja od dodatnog uvijanja zbog smicanja je:
A Ps P
P
, .z zy
y y
M M WW
GW
Horizontalni pomak točke B je
BB P P s ,v v h
odnosno
BB b ,vv v
gdje se faktor utjecaja smicanja na progib točke B B Bmax
bmax
v
v
v može napisati i kao
BPB
P
11 .
yy vv v
y v
A h
W
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
P0
d ,
ys
v z zx y y y
z yy z y
M SE E Ey q y q s q
I GA GI t GW
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su od
savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog uvijanja zbog smicanja.
223
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av predstavlja omjer normalnog
naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A, prema SUS i istog naprezanja prema EBBT
A
b.
vx
v
x
Za zadani I poprečni presjek s jednom osi simetrije je
2 BP 1 PA
P
121 1 ,
12
yy y zy z
v
z yy z y
A W b I hq I E
M A G I W
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
y
z
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
y
z
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
224
Tablica B.7. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,2542 1,2577 2,2711 2,2631
4 1,1430 1,7150
5 1,0915 1,0919 1,4576 1,4536
6 1,0636 1,3178
7 1,0467 1,2335
8 1,0358 1,1788
9 1,0282 1,1412
10 1,0229 1,1144
11 1,0189 1,0945
12 1,0159 1,0794
13 1,0135 1,0677
14 1,0117 1,0584
15 1,0102 1,0508
Tablica B.7.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib točke B BB bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,2773 1,2813 2,3867 2,3782
4 1,1560 1,7800
5 1,0998 1,1004 1,4992 1,4950
6 1,0693 1,3467
7 1,0509 1,2547
8 1,0390 1,1950
9 1,0308 1,1541
10 1,0250 1,1248
11 1,0206 1,1031
12 1,0173 1,0867
13 1,0148 1,0738
14 1,0127 1,0637
15 1,0111 1,0555
225
Tablica B.8. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,0385 1,0386 1,1156 1,1155
4 1,0217 1,0650
5 1,0139 1,0139 1,0416 1,0415
6 1,0096 1,0289
7 1,0071 1,0212
8 1,0054 1,0163
9 1,0043 1,0128
10 1,0035 1,0104
11 1,0029 1,0086
12 1,0024 1,0072
13 1,0021 1,0062
14 1,0018 1,0053
15 1,0015 1,0046
Slika B.53. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i
B bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.
226
Slika B.54. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.55. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v i Bv o omjeru /L h -
zglobno oslonjen nosač.
227
Slika B.56. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.57. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
228
Slika B.58. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.59. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i
B bmax/v v - ukliješteni nosač.
229
Slika B.60. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni
nosač.
Slika B.61. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v i Bv o omjeru /L h -
ukliješteni nosač.
230
Slika B.62. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.63. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -ukliješteni
nosač.
231
Slika B.64. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.65. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
gornjeg pojasa na mjestu ukliještenja.
232
B.2.2. T presjek
B.2.2.1. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q
a) b)
1 03 / 40
b h
L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 19200 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.66. T presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element, d) MKE
rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
L h
t t h
233
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije i
dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ukupni pomak pola je
P b s ,w w w
gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a
sw dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)
A
s , .y y
zz
zz zz
M M Aw A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib w definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na
sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
P max
bmax
.w
w
w
Pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru je
s .z s xzQ Lu
GA
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
d ,zs
y ywu xzx z z z s
y zz y
M S EE Ez q z q s q L
I GA GI t GA
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su
posljedica savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog rastezanja/sabijanja
zbog smicanja.
Za ovaj poprečni presjek faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje
b/wuwu x x
su
B B1 0 T TB
B0 T
31 1 ,
3
zzz y xzwu
y zz y zz
A A t h hq I E h
M A G I t h
234
2
CTC
CT
1 1 ,3
zzz y xzwu
y zz y zz
A hq I E h
M A G I h
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
zy
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
zy
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
235
Tablica B.9. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/w w w
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,7349 1,7382 4,6747 4,5283
4 1,4134 3,0670
5 1,2646 1,2653 2,3229 2,2800
6 1,1837 1,9187
7 1,1350 1,6749
8 1,1034 1,5168
9 1,0817 1,4083
10 1,0661 1,3307
11 1,0547 1,2733
12 1,0459 1,2297
13 1,0391 1,1957
14 1,0337 1,1687
15 1,0294 1,1470
Tablica B.10.a. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/wuwu x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,1310 1,1275 1,3929 1,3607
4 1,0737 1,2210
5 1,0471 1,0470 1,1414 1,1400
6 1,0327 1,0982
7 1,0241 1,0722
8 1,0184 1,0553
9 1,0146 1,0437
10 1,0118 1,0354
11 1,0097 1,0292
12 1,0082 1,0246
13 1,0070 1,0209
14 1,0060 1,0180
15 1,0052 1,0157
236
Tablica B.10.b. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje C b/wuwu x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,1310 1,1280 1,3929 1,3685
4 1,0737 1,2210
5 1,0471 1,0470 1,1414 1,1404
6 1,0327 1,0982
7 1,0241 1,0722
8 1,0184 1,0553
9 1,0146 1,0437
10 1,0118 1,0354
11 1,0097 1,0292
12 1,0082 1,0246
13 1,0070 1,0209
14 1,0060 1,0180
15 1,0052 1,0157
Slika B.67. T presjek: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
237
Slika B.68. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.69. T presjek: Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.
238
Slika B.70. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.71. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu
x x - zglobno
oslonjen nosač.
239
Slika B.72. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.73. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
240
Slika B.74. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž pojasa na sredini
raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.75. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na sredini
raspona - zglobno oslonjen nosač.
241
Slika B.76. T presjek: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.77. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni nosač.
242
Slika B.78. T presjek: Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.
Slika B.79. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x - ukliješteni
nosač.
243
Slika B.80. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu
x x -ukliješteni
nosač.
Slika B.81. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
244
Slika B.82. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
Slika B.83. T presjeke: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž pojasa na sredini
raspona – ukliješteni nosač.
245
Slika B.84. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na sredini
raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.85. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž pojasa na mjestu
ukliještenja.
246
Slika B.86. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž struka na mjestu
ukliještenja.
247
B.2.2.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q
a) b)
1 03 / 40
b h
L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 19200 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.87. T presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element, d) MKE
rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
L h
t t h
248
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u glavnoj ravnini
okomitoj na ravninu simetrije. Dodatnog uvijanja zbog smicanja nema zbog 0y . Ukupni
pomak pola je
P b s ,v v v
gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a sv
dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)
As , .z z
yy
yy yy
M M Av A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib v definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na
sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
P max
bmax
.v
v
v
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
d ,
ys
v z zx y y
z yy z
M SE Ey q y q s
I GA GI t
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su od
savijanja s utjecajem smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av predstavlja omjer normalnog
naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A, prema SUS i istog naprezanja prema EBBT
A
b.
vx
v
x
Za zadani T poprečni presjek je
2
A 1 1 ,12
y z yy
v
z yy z
q I A bE
M A G I
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
y
z
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
y
z
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
249
Tablica B.11. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,2773 1,2812 2,3867 2,3779
4 1,1560 1,7800
5 1,0998 1,1002 1,4992 1,4948
6 1,0693 1,3467
7 1,0509 1,2547
8 1,0390 1,1950
9 1,0308 1,1541
10 1,0250 1,1248
11 1,0206 1,1031
12 1,0173 1,0867
13 1,0148 1,0738
14 1,0127 1,0637
15 1,0111 1,0555
Tablica B.12. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Faktor utjecaja na normalno naprezanje A b/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,0385 1,0384 1,1156 1,1154
4 1,0217 1,0650
5 1,0139 1,0138 1,0416 1,0414
6 1,0096 1,0289
7 1,0071 1,0212
8 1,0054 1,0163
9 1,0043 1,0128
10 1,0035 1,0104
11 1,0029 1,0086
12 1,0024 1,0072
13 1,0021 1,0062
14 1,0018 1,0053
15 1,0015 1,0046
250
Slika B.88. T presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.89. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
251
Slika B.90. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - zglobno
oslonjen nosač.
Slika B.91. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
252
Slika B.92. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž pojasa na sredini
raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.93. T presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni nosač.
253
Slika B.94. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - ukliješteni nosač.
Slika B.95. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - ukliješteni
nosač.
254
Slika B.96. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.97. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž pojasa na sredini
raspona - ukliješteni nosač.
255
Slika B.98. T presjek: Normirano normalno naprezanje b/vx x duž pojasa na mjestu
ukliještenja.
256
B.2.3. U presjek
B.2.3.1. U presjek za , 3b h L h
B. 2.3.1.1. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q
a) b)
1 03 / 40
b h
L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 28800 elemen.
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.99. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element, d)
MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
L h
t t h
257
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije i
dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ukupni pomak pola je
P b s ,w w w
gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a sw
dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)
A
s , .y y
zz
zz zz
M M Aw A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib w definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na
sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
P max
bmax
.w
w
w
Pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru je
s .z s xzQ Lu
GA
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
d ,zs
y ywu xzx z z z s
y zz y
M S EE Ez q z q s q L
I GA GI t GA
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su
posljedica savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog rastezanja/sabijanja
zbog smicanja.
Za ovaj poprečni presjek faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje prema
b/ ,wuwu x x
su
2
ATA
AT
1 1 ,3
zzz y xzwu
y zz y zz
A hq I E h
M A G I h
258
2 2
A B CT T T
B
BT
3
1 1 ,6
zzz y xz
wu
y zz y zz
A h h hq I E h
M A G I h
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
zy
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
zy
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
259
Tablica B.13. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/w w w
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,6009 1,6033 4,0045 3,8441
4 1,3380 2,6900
5 1,2163 1,2165 2,0816 2,0404
6 1,1502 1,7511
7 1,1104 1,5518
8 1,0845 1,4225
9 1,0668 1,3338
10 1,0541 1,2704
11 1,0447 1,2235
12 1,0376 1,1878
13 1,0320 1,1600
14 1,0276 1,1380
15 1,0240 1,1202
Tablica B.14.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/wuwu x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,1156 1,1133 1,3467 1,3229
4 1,0650 1,1950
5 1,0416 1,0415 1,1248 1,1237
6 1,0289 1,0867
7 1,0212 1,0637
8 1,0163 1,0488
9 1,0128 1,0385
10 1,0104 1,0312
11 1,0086 1,0258
12 1,0072 1,0217
13 1,0062 1,0185
14 1,0053 1,0159
15 1,0046 1,0139
260
Tablica B.14.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/wuwu x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,1156 1,1134 1,3467 1,3236
4 1,0650 1,1950
5 1,0416 1,0415 1,1248 1,1237
6 1,0289 1,0867
7 1,0212 1,0637
8 1,0163 1,0488
9 1,0128 1,0385
10 1,0104 1,0312
11 1,0086 1,0258
12 1,0072 1,0217
13 1,0062 1,0185
14 1,0053 1,0159
15 1,0046 1,0139
Slika B.100. U presjek (b=h): Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
261
Slika B.101. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.102. U presjek (b=h): Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.
262
Slika B.103. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.104. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x -
zglobno oslonjen nosač.
263
Slika B.105. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.106. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
264
Slika B.107. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.108. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
265
Slika B.109. U presjek (b=h): Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.110. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni nosač.
266
Slika B.111. U presjek (b=h): Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.
Slika B.112. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu
x x -
ukliješteni nosač.
267
Slika B.113. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.114. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
268
Slika B.115. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
Slika B.116. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.
269
Slika B.117. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.118. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu ukliještenja.
270
Slika B.119. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž horizontalne
stjenke na mjestu ukliještenja.
.
271
B. 2.3.1.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q
a) b)
1 03 / 40
b h
L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 28800 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.120. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element, d) MKE
rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
L h
t t h
2C CP
bF F
h
272
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u glavnoj ravnini
okomitoj na ravninu simetrije i dodatno na uvijanje zbog smicanja. Ukupni pomak pola je
P b s ,v v v
gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a
sv dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)
As , .z z
yy
yy yy
M M Av A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib v definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na
sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
P max
bmax
.v
v
v
Kut uvijanja od dodatnog uvijanja zbog smicanja je
A Ps P
P
, .z zy
y y
M M WW
GW
Horizontalni pomak točke C je
CC P P s ,v v h
odnosno
CC b ,vv v
gdje se faktor utjecaja smicanja na progib točke C
C Cmax
bmax
,v
v
v
može napisati i kao
CPC
P
11 ,
yy vv v
y v
A h
W
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
273
*
P0
d ,
ys
v z zx y y y
z yy z y
M SE E Ey q y q s q
I GA GI t GW
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su od
savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog uvijanja zbog smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av predstavlja omjer normalnog
naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A, prema SUS i istog naprezanja prema EBBT
A
b.
vx
v
x
Za zadani U poprečni presjek s jednom osi simetrije je
2 CP 0 1 1 1 PA
1 P
6 6 121 1 ,
12
y zy z
v yy
z yy z y
W A b Ab t h t I h hq I EA
M A G t I W
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
y
z
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
y
z
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
274
Tablica B.15. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 3,4168 13,0838
4 2,3594 7,7972
5 1,8700 5,3502
6 1,6042 4,0210
7 1,4439 3,2195
8 1,3399 2,6993
9 1,2685 2,3426
10 1,2175 2,0875
11 1,1798 1,8988
12 1,1510 1,7552
13 1,1287 1,6435
14 1,1110 1,5549
15 1,0967 1,4834
Tablica B.15.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib točke C CC bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 2,7749 2,8096 9,8747 9,9003
4 1,9984 5,9920
5 1,6390 1,6432 4,1949 4,1811
6 1,4437 3,2187
7 1,3260 2,6300
8 1,2496 2,2480
9 1,1972 1,9861
10 1,1597 1,7987
11 1,1320 1,6601
12 1,1109 1,5547
13 1,0945 1,4726
14 1,0815 1,4075
15 1,0710 1,3550
275
Tablica B.16. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h SUS MKE SUS MKE
3 1,2234 1,2235 1,6702 1,6680
4 1,1257 1,3770
5 1,0804 1,0805 1,2413 1,2412
6 1,0559 1,1676
7 1,0410 1,1231
8 1,0314 1,0943
9 1,0248 1,0745
10 1,0201 1,0603
11 1,0166 1,0499
12 1,0140 1,0419
13 1,0119 1,0357
14 1,0103 1,0308
15 1,0089 1,0268
Slika B.121. U presjek (b=h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v - zglobno
oslonjen nosač.
276
Slika B.122. U presjek (b=h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.123. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L h - zglobno oslonjen
nosač.
277
Slika B.124. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.125. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v
x x - zglobno
oslonjen nosač.
278
Slika B.126. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.127. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
279
Slika B.128. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.129. U presjek (b=h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v - ukliješteni
nosač.
280
Slika B.130. U presjek (b=h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - ukliješteni nosač.
Slika B.131. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L h - ukliješteni nosač.
281
Slika B.132. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.133. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
282
Slika B.134. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -ukliješteni nosač.
Slika B.135. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sreini raspona - ukliješteni nosač.
283
Slika B.136. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.137. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu ukliještenja.
284
Slika B.138. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž horizontalne
stjenke na mjestu ukliještenja.
285
B.2.3.2. U presjek za 2 , 3b h L b
B. 2.3.2.1. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q
a) b)
1 0
2
3 / 40
b h
L b t t b
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 19200 elemenata
kvadratni element 10 x 10 mm
Slika B139. : U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element,
d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
2 800 mm
3 2400 mm
/ 40 20 mm
b h
L b
t t b
286
Tablica B.17. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/w w w
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 1,2357 1,2327 2,1787 2,0458
4 1,1326 1,6630
5 1,0849 1,0844 1,4243 1,3945
6 1,0589 1,2947
7 1,0433 1,2165
8 1,0332 1,1658
9 1,0262 1,1310
10 1,0212 1,1061
11 1,0175 1,0877
12 1,0147 1,0737
13 1,0126 1,0628
14 1,0108 1,0541
15 1,0094 1,0471
Tablica B.18.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/wuwu x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 1,0520 1,0518 1,1560 1,1520
4 1,0293 1,0878
5 1,0187 1,0187 1,0562 1,0561
6 1,0130 1,0390
7 1,0096 1,0287
8 1,0073 1,0219
9 1,0058 1,0173
10 1,0047 1,0140
11 1,0039 1,0116
12 1,0033 1,0098
13 1,0028 1,0083
14 1,0024 1,0072
15 1,0021 1,0062
287
Tablica B.18.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/wuwu x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 1,1483 1,1479 1,4449 1,4335
4 1,0834 1,2503
5 1,0534 1,0533 1,1602 1,1601
6 1,0371 1,1112
7 1,0272 1,0817
8 1,0209 1,0626
9 1,0165 1,0494
10 1,0134 1,0400
11 1,0110 1,0331
12 1,0093 1,0278
13 1,0079 1,0237
14 1,0068 1,0204
15 1,0059 1,0178
Slika B.140. U presjek (b=2h): Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
288
Slika B.141. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.142. U presjek (b=2h): Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.
289
Slika B.143. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.144. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x -
zglobno oslonjen nosač.
290
Slika B.145. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.146. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b - zglobno oslonjen
nosač.
291
Slika B.147. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.148. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
292
Slika B.149. U presjek (b=2h): Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.150. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b - ukliješteni nosač.
293
Slika B.151. U presjek (b=2h): Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.
Slika B.152. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu
x x -
ukliješteni nosač.
294
Slika B.153. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.154. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b -ukliješteni nosač.
295
Slika B.155. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b -ukliješteni nosač.
Slika B.156. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.
296
Slika B.157. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.158. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu ukliještenja.
297
Slika B.159. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu
x x duž
horizontalne stjenke na mjestu ukliještenja.
.
298
B.2.3.2.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q
a) b)
1 02 3 / 40b h L b t t b
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 19200 elemenata
kvadratni element 10 x 10 mm
Slika B.160. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element,
d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
2 800 mm
3 2400 mm
/ 40 20 mm
b h
L b
t t b
2C CP
bF F
h
299
Tablica B.19. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 2,1093 6,5467
4 1,6240 4,1200
5 1,3994 2,9968
6 1,2773 2,3867
7 1,2038 2,0188
8 1,1560 1,7800
9 1,1233 1,6163
10 1,0998 1,4992
11 1,0825 1,4126
12 1,0693 1,3467
13 1,0591 1,2954
14 1,0509 1,2547
15 1,0444 1,2219
Tablica B.19.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na progib točke C CC bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 1,9756 1,9976 5,8781 5,9668
4 1,5488 3,7439
5 1,3512 1,3541 2,7561 2,7648
6 1,2439 2,2195
7 1,1792 1,8960
8 1,1372 1,6860
9 1,1084 1,5420
10 1,0878 1,4390
11 1,0726 1,3628
12 1,0610 1,3049
13 1,0520 1,2598
14 1,0448 1,2240
15 1,0390 1,1951
300
Tablica B.20. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 1,0509 1,0509 1,1527 1,1527
4 1,0286 1,0859
5 1,0183 1,0183 1,0550 1,0549
6 1,0127 1,0382
7 1,0094 1,0281
8 1,0072 1,0215
9 1,0057 1,0170
10 1,0046 1,0137
11 1,0038 1,0114
12 1,0032 1,0095
13 1,0027 1,0081
14 1,0023 1,0070
15 1,0020 1,0061
Slika B.161. U presjek (b=2h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v - zglobno
oslonjen nosač.
301
Slika B.162. U presjek (b=2h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.163. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L b - zglobno oslonjen
nosač.
302
Slika B.164. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.165. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
303
Slika B.166. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.167. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
304
Slika B.168. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.169. U presjek (b=2h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -
ukliješteni nosač.
305
Slika B.170. U presjek (b=2h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - ukliješteni nosač.
Slika B.171. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L b - ukliješteni nosač.
306
Slika B.172. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.173. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B bmax/v
x x -
ukliješteni nosač.
307
Slika B.174. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b -ukliješteni nosač.
Slika B.175. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
308
Slika B.176. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.177. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž lijeve
vertikalne stjenke na mjestu ukliještenja.
309
Slika B.178. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x duž
horizontalne stjenke na mjestu ukliještenja.
310
B.2.4. L presjek
B.2.4.1. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q
a) b)
1 03 / 20L b t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 19200 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.179. L presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 20 20 mm
b
L b
t t h
311
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije. Kako
je za ovaj poprečni presjek 0xz dodatnog rastezanja/sabijanja zbog smicanja nema.
Ukupni pomak pola je
P b s ,w w w
gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a
sw dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)
A
s , .y y
zz
zz zz
M M Aw A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib w definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na
sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
P max
bmax
.w
w
w
Pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru zbog 0xz je s 0.u
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
d ,zs
y ywx z z
y zz y
M SE Ez q z q s
I GA GI t
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su
posljedica savijanja s utjecajem smicanja.
Za ovaj poprečni presjek faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/ww x x je
2A 1 1 ,
12
z y zzw
y zz y
q I A bE
M A G I
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
zy
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
zy
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
312
Tablica B.21. L presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/w w w
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 1,2773 1,2812 2,3867 2,3409
4 1,1560 1,7800
5 1,0998 1,4992
6 1,0693 1,3467
7 1,0509 1,2547
8 1,0390 1,1950
9 1,0308 1,1541
10 1,0250 1,1248
11 1,0206 1,1031
12 1,0173 1,0867
13 1,0148 1,0738
14 1,0127 1,0637
15 1,0111 1,0555
Tablica B.22. L presjek: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/ww x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 1,0385 1,0384 1,1156 1,1154
4 1,0217 1,0650
5 1,0139 1,0416
6 1,0096 1,0289
7 1,0071 1,0212
8 1,0054 1,0163
9 1,0043 1,0128
10 1,0035 1,0104
11 1,0029 1,0086
12 1,0024 1,0072
13 1,0021 1,0062
14 1,0018 1,0053
15 1,0015 1,0046
313
Slika B.180. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.181. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L b - zglobno
oslonjen nosač.
314
Slika B.182. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/w
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.183. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b - zglobno
oslonjen nosač.
315
Slika B.184. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.185. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
316
Slika B.186. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni
nosač.
Slika B.187. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L b - ukliješteni
nosač.
317
Slika B.188. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/w
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.189. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b -
ukliješteni nosač.
318
Slika B.190. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.
Slika B.191. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w
x x
duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.
319
B.2.4.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q
a) b)
1 03 / 20L b t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 19200 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.192. L presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE
membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj
opterećenja.
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 20 20 mm
b
L b
t t h
320
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u glavnoj ravnini
okomitoj na ravninu simetrije. Dodatnog uvijanja zbog smicanja, zbog 0y , nema.
Ukupni pomak pola je
P b s ,v v v
gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a
sv dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)
As , .z z
yy
yy yy
M M Av A
GA
Faktor utjecaja smicanja na progib v definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na
sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT
P max
bmax
.v
v
v
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
d ,
ys
v z zx y y
z yy z
M SE Ey q y q s
I GA GI t
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su od
savijanja s utjecajem smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av predstavlja omjer normalnog
naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A, prema SUS i istog naprezanja prema EBBT
A
b.
vx
v
x
Za zadani L poprečni presjek je
2
A 1 1 ,3
y z yy
v
z yy z
q I A bE
M A G I
pri čemu je, na sredini raspona nosača
2
8
y
z
q lM za zglobno oslonjen nosač, a
2
24
y
z
q lM za ukliješteni nosač.
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
321
Tablica B.23. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/v v v
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 2,1093 2,1271 6,5467 6,4111
4 1,6240 4,1200
5 1,3994 2,9968
6 1,2773 2,3867
7 1,2038 2,0188
8 1,1560 1,7800
9 1,1233 1,6163
10 1,0998 1,4992
11 1,0825 1,4126
12 1,0693 1,3467
13 1,0591 1,2954
14 1,0509 1,2547
15 1,0444 1,2219
Tablica B.24. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .
Faktor utjecaja na normalno naprezanje A b/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b SUS MKE SUS MKE
3 1,1541 1,1539 1,4622 1,4509
4 1,0867 1,2600
5 1.0555 1,1664
6 1,0385 1,1156
7 1,0283 1,0849
8 1,0217 1,0650
9 1,0171 1,0514
10 1,0139 1,0416
11 1,0115 1,0344
12 1,0096 1,0289
13 1,0082 1,0246
14 1,0071 1,0212
15 1,0062 1,0185
322
Slika B.193. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.194. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b - zglobno
oslonjen nosač.
323
Slika B.195. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.196. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b - zglobno
oslonjen nosač.
324
Slika B.197. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x
duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.198. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x
duž struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
325
Slika B.199. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - ukliješteni nosač.
Slika B.200. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b - ukliješteni
nosač.
326
Slika B.201. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v
x x - ukliješteni nosač.
Slika B.202. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b -
ukliješteni nosač.
327
Slika B.203. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x
duž pojasa na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika B.204. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v
x x
duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.
328
B.3. Nesimetrični presjeci
B.3.1. L nesimetrični presjek
a) b)
1 00,6 3 / 20h b L b t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 15360 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.205. L nesimetrični presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
400 mm
240 mm
3 1200 mm
/ 20 20 mm
b
h
L b
t t h
329
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine,
dodatno na savijanje zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine djelovanja opterecenja
i dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Pomaci pola u smjeru glavnih osiju su
AAP b ,
y yz zyy yz
M MM Mv v
GA GA
AAP b ,
y yz zzy zz
M MM Mw w
GA GA
gdje su bv i bw progibi dobiveni prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT).
Drugi član u prvom izrazu i treći član u drugom izrazu daju progibe od smicanja zbog
opterećenja u glavnim ravninama u smjeru progiba, treći član u drugom izrazu i drugi član u
trećem izrazu daju dodatni progib zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine
djelovanja opterećenja, računane prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS).
Pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru je
s .y s xy z s xz
Q L Q Lu
GA GA
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
*
0
d
d
,
w
v
sy ywu
x z z y
y zz y yz
s
z zy y z
z yy z zy
s xys xzz y
M SE E Ez q z q s q z
I GA GI t GA
M SE E Ey q y q s q y
I GA GI t GA
ELELq q
GA GA
gdje prvi i peti član predstavljaju normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi, treći, šesti i
sedmi član su posljedica savijanja s utjecajem smicanja, četvrti i osmi su od dodatnog
savijanja zbog smicanja, a zadnja dva člana su od dodatnog rastezanja/sabijanja zbog
smicanja prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS).
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
330
Slika B.206. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/v v , s b max/v v i P b max/zv v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.207. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.
331
Slika B.208. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/w w , s bmax/w w i P b max/yw w -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.209. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.
332
Slika B.210. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.211. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x -
zglobno oslonjen nosač.
333
Slika B.212. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.213. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka
na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
334
Slika B.214. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž pojasa
na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.215. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/v v , s b max/v v i P b max/zv v -
ukliješteni nosač.
335
Slika B.216. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/v v -ukliješteni nosač.
Slika B.217. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/w w , s bmax/w w i P b max/yw w -
ukliješteni nosač.
336
Slika B.218. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.219. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x -
ukliješteni nosač.
337
Slika B.220. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.221. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x -
ukliješteni nosač.
338
Slika B.222. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka
na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.223. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž pojasa
na sredini raspona - ukliješteni nosač.
339
B.3.2. C nesimetrični presjek
a) b)
1 2
1 0
0,8 0,4
3 / 50
b h b h
L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 8250 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika B.224. C nesimetrični presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element,
d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 1 2 2F h F h
1
2
1 0
200 mm
100 mm
250 mm
3 =750 mm
/ 50 5 mm
b
b
h
L h
t t h
340
U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine,
dodatno na savijanje zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine djelovanja opterecenja,
dodatno na uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Pomaci pola u smjeru
glavnih osiju su
AAP b ,
y yz zyy yz
M MM Mv v
GA GA
AAP b ,
y yz zzy zz
M MM Mw w
GA GA
gdje su bv i bw progibi dobiveni prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT).
Drugi član u prvom izrazu i treći član u drugom izrazu daju progibe od smicanja zbog
opterećenja u glavnim ravninama u smjeru progiba, treći član u drugom izrazu i drugi član u
trećem izrazu daju dodatni progib zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine
djelovanja opterećenja, računane prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS).
Kut uvijanja od dodatnog uvijanja zbog smicanja je
AAP
P P
.y yz z
y z
M MM M
W W
Pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru je
s .y s xy z s xz
Q L Q Lu
GA GA
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS
*
0
*
0
P P
d
d
+
,
w
v
sy y
x z z y
y zz y yz
s
z zy y z
z yy z zy
z y
z y
s xys xzz y
M SE E Ez q z q s q z
I GA GI t GA
M SE E Ey q y q s q y
I GA GI t GA
E Eq q
GW GW
ELELq q
GA GA
gdje prvi i peti član predstavljaju normalno naprezanje prema EBBT (bx ), drugi, treći, šesti i
sedmi član su posljedica savijanja s utjecajem smicanja, četvrti i osmi su od dodatnog
savijanja zbog smicanja, deveti i deseti član su od dodatnog uvijanja zbog smicanja, a zadnja
341
dva člana su od dodatnog rastezanja/sabijanja zbog smicanja prema teoriji savijanja s
utjecajem smicanja (SUS).
Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni
su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
342
Slika B.225. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno oslonjen
nosač.
Slika B.226. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/w w - zglobno oslonjen
nosač.
343
Slika B.227. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.228. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x -
zglobno oslonjen nosač.
344
Slika B.229. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika B.230. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke D b,max/x x -
zglobno oslonjen nosač.
345
Slika B.231. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.232. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka
na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
346
Slika B.233. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž donjeg
pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika B.234. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni nosač.
347
Slika B.235. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/w w - ukliješteni nosač.
Slika B.236. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x -
ukliješteni nosač.
348
Slika B.237. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.238. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x -
ukliješteni nosač.
349
Slika B.239. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke D b,max/x x -
ukliješteni nosač.
Slika B.240. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž gornjeg
pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
350
Slika B.241. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka
na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika B.242. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž donjeg
pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
351
C. PRIMJERI – Uvijanje s utjecajem smicanja
C.1. Presjeci s dvije osi simetrije
C.1.1. I presjek
a) b)
1 03 / 40b h L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 28800 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika C.1. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
L h
t t h
352
U ovom slučaju nosač je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja. Kut uvijanja je
P t s ,
gdje je t kut uvijanja dobiven prema Vlasovljevoj teoriji uvijanja štapa otvorenog
tankostjenog presjeka (Vlasov) , a s dodatni kut uvijanja zbog smicanja, računan prema
teoriji uvijanja s utjecajem smicanja (UUS)
sA Ps Ps
P
, .B B I
IGI
Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja definiran je kao omjer maksimalnog kuta uvijanja
na sredini raspona štapa prema teoriji UUS i istog kuta uvijanja prema Vlasovljevoj teoriji
P max
t,max
.
.
Za zglobno oslonjeni nosač je
t
s 2P
2 cosh 11 ,
cosh 2cosh 2
vI
I v v v
a za ukliješteni nosač
t
sP
2 cosh 11 .
sinh 2cosh 2
vI
v v vI
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji UUS
*
0
d ,
s
x sP
SB E Em m s
I GI tGI
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema Vlasovu ( Vlasovx ), a preostala dva
člana daju utjecaj smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A predstavlja omjer normalnog
naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A poprečnog presjeka, prema UUS i istog
naprezanja prema Vlasovu
A
Vlasov.x
x
353
Za I poprečni presjek s dvije osi simetrije je
s 2A P
sP
1 1 ,12
m I I bE
B G II
pri čemu je, na sredini raspona nosača
t
cosh 1 ,EI
B m vGI
za zglobno oslonjen nosač, a
t
sinh,
EI v vB m
GI v
za ukliješteni nosač.
Faktor A može se pisati i kao
s 2A t P
sP
11 1 ,
cosh 1 12
I I b
v II
za zglobno oslonjen nosač, odnosno kao
s 2A t P
sP
1 1 ,sinh 1 12
I I bv
v II
za ukliješteni nosač.
Rezultati kuta uvijanja i normalnog naprezanja teorije UUS, u dijagramima koji slijede,
uspoređeni su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
354
Tablica C.1. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja P,max t,max/
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,2773 1,2952 2,3870 2,3588
4 1,1560 1,7803
5 1,0998 1,1049 1,4995 1,4829
6 1,0693 1,3470
7 1,0509 1,2550
8 1,0390 1,1953
9 1,0308 1,1544
10 1,0249 1,1251
11 1,0206 1,1034
12 1,0173 1,0870
13 1,0147 1,0741
14 1,0127 1,0640
15 1,0111 1,0558
Tablica C.2. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja P,max t,max/
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,0385 1,0412 1,1155 1,0906
4 1,0216 1,0649
5 1,0138 1,0162 1,0415 1,0315
6 1,0096 1,0288
7 1,0070 1,0212
8 1,0054 1,0162
9 1,0042 1,0128
10 1,0034 1,0103
11 1,0028 1,0085
12 1,0024 1,0072
13 1,0020 1,0061
14 1,0017 1,0052
15 1,0015 1,0046
355
Slika C.2. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - zglobno oslonjen
nosač.
Slika C.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
356
Slika C.4. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/x x
- zglobno oslonjen nosač.
Slika C.5. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h - zglobno
oslonjen nosač.
357
Slika C.6. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/x x
duž
pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.7. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak VL
B B,max/v v - ukliješteni nosač.
358
Slika C.8. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h - ukliješteni
nosač.
Slika C.9. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/x x
- ukliješteni nosač.
359
Slika C.10. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h - ukliješteni
nosač.
Slika C.11. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/x x
duž
pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
360
Slika C.12. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/x x
duž
pojasa na mjestu ukliještenja.
361
C.2. Presjeci s jednom osi simetrije
C.2.1. I presjek s jednom osi simetrije
a) b)
1 2
1 0
0,5
3 / 40
b h b h
L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 24000 elemenata
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika C.13. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti
element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1
2
1 0
400 mm
200 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
b
L h
t t h
362
U ovom slučaju nosač je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje zbog
smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Kut uvijanja je
P t s ,
gdje je t kut uvijanja dobiven prema Vlasovljevoj teoriji uvijanja štapa otvorenog tankostjenog
presjeka (Vlasov), a s dodatni kut uvijanja zbog smicanja, računan prema teoriji uvijanja s
utjecajem smicanja (UUS)
sA Ps Ps
P
, .B B I
IGI
Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja definiran je kao omjer maksimalnog kuta uvijanja, na
sredini raspona štapa, prema teoriji UUS i istog kuta uvijanja prema Vlasovljevoj teoriji
P max
t,max
.
Za zglobno oslonjeni nosač je
t
s 2P
2 cosh 11 ,
cosh 2cosh 2
vI
I v v v
a za ukliješteni nosač:
t
sP
2 cosh 11 .
sinh 2cosh 2
vI
v v vI
Pomak pola u ravnini okomitoj na ravninu simetrije (čitav presjek se kao kruto tijelo pomiče za taj
pomak) je
A PP P
P
, ,y
y y
B B Wv W
GW
pa je horizontalni pomak točke B
B BB P P P P t .vv h v h
Faktor utjecaja smicanja na progib točke B v definiran je kao
B t
B 2P P
2 cosh 11 ,
cosh 2cosh 2v
y
vI
W h v v v
za zglobno oslonjen nosač, a kao
B t
BP P
2 cosh 11 ,
sinh 2cosh 2v
y
vI
v v vW h
363
za ukliješteni nosač.
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji UUS
*
sPP 0
d ,
sv
x
y
SB E E Em m s m y
I GI t GWGI
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema Vlasovu (VLx ), drugi i treći član daju
utjecaj smicanja na uvijanje, a četvrti član je od dodatnog savijanja zbog smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A
v predstavlja omjer normalnog naprezanja,
na sredini raspona nosača u točki A poprečnog presjeka, prema UUS i istog naprezanja prema
Vlasovu
A
VL,max
.v
xv
x
Za I poprečni presjek s jednom osi simetrije je
s B 2P P 1 PA
s BP P P
121 1 ,
12
y
v
y
I h b W Im I E
B GI I W h
pri čemu je na sredini raspona nosača
t
cosh 1 ,EI
B m vGI
za zglobno oslonjen nosač, a
t
sinh,
EI v vB m
GI v
za ukliješteni
nosač.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A
v može se pisati i kao
s B 2P P 1 PA t
s BP P P
1211 1 ,
cosh 1 12
y
v
y
I h b W II
vI I W h
za zglobno oslonjen nosač, odnosno kao
s B 2P P 1 PA t
s BP P P
121 1 ,
sinh 12
y
v
y
I h b W II v
v vI I W h
za ukliješteni nosač.
Rezultati kuta uvijanja i normalnog naprezanja teorije UUS, u dijagramima koji slijede,
uspoređeni su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
364
Tablica C.3.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja Pmax t,max/
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,0926 1,0839 1,4626 1,4205
5 1,0333 1,0284 1,1668 1,1471
10 1,0083 1,0074 1,0420 1,0319
Tablica C.3.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib točke B B BB P t/ ( )v v h
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,2777 1,2998 2,3878 2,3612
5 1,0999 1,1096 1,5003 1,4850
10 1,0249 1,0325 1,1259 1,1207
Tablica C.4.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora A
v o omjeru
/L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke A A Vlasov/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,0384 1,0429 1,1153 1,0915
5 1,0137 1,0187 1,0413 1.0327
10 1,0033 1,0103 1,0101 1,0099
Tablica C.4.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Dv o omjeru
/L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke D D Vlasov/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,0096 1,0115 1,0288 1,0200
5 1,0034 1,0076 1,0103 1,0079
10 1,0008 1,0076 1,0025 1,0043
365
Slika C.14. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci VL VLB B,max/v v , s VL
B B,max/v v i
VLB B,max/zMv v - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.15. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - zglobno oslonjen
nosač.
366
Slika C.16. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.17. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke D VL,max/v
x x - zglobno oslonjen nosač.
367
Slika C.18. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.19. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
donjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
368
Slika C.20. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci VL VLB B,max/v v , s VL
B B,max/v v i
VLB B,max/zMv v - ukliješteni nosač.
Slika C.21. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VLmaxB B/v v - ukliješteni nosač.
369
Slika C.22. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x - ukliješteni nosač.
Slika C.23. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke D VL,max/v
x x - ukliješteni nosač.
370
Slika C.24. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
gornjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
Slika C.25. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž
donjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.
371
C.2.2. U presjek
C.2.2.1. U presjek za b h
a) b)
1 03 / 40
b h
L h t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 28800 elemen.
kvadratni element 5 x 5 mm
Slika C.26. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element, d) MKE
rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
400 mm
3 1200 mm
/ 40 10 mm
b h
L h
t t h
C 2CP
bF F
h
372
U ovom slučaju nosač je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje
zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Kut uvijanja je
P t s ,
gdje je t kut uvijanja dobiven prema Vlasovljevoj teoriji uvijanja štapa otvorenog
tankostjenog presjeka (Vlasov), a s dodatni kut uvijanja zbog smicanja, računan prema
teoriji uvijanja s utjecajem smicanja (UUS)
sA Ps Ps
P
, .B B I
IGI
Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja definiran je kao omjer maksimalnog kuta
uvijanja, na sredini raspona štapa, prema teoriji UUS i istog kuta uvijanja prema Vlasovljevoj
teoriji:
P max
t,max
.
Za zglobno oslonjeni nosač je
t
s 2P
2 cosh 11 ,
cosh 2cosh 2
vI
I v v v
a za ukliješteni nosač
t
sP
2 cosh 11 .
sinh 2cosh 2
vI
v v vI
Pomak pola u ravnini okomitoj na ravninu simetrije je
A PP P
P
, ,y
yy
B B Wv W
GW
pa je horizontalni pomak točke C
C C CC P P P P t .vv h v h
Faktor Cv definiran je kao
C t
B 2P P
2 cosh 11 ,
cosh 2cosh 2v
y
vI
W h v v v
373
za zglobno oslonjen nosač, a kao
C t
BP P
2 cosh 11 ,
sinh 2cosh 2v
y
vI
v v vW h
za ukliješteni nosač.
Omjer s P/v v se dobije prema
C C CA As P s P Ps
P
,P
B B B Bv h h h
GIGI
A AP
P P
,y
y
B B B Bv
GW GW
C AP C
s P PP
AP P
P
.y
y
B Bh
v h WGI
B Bv I
GW
Budući da je CP P P ,I h W slijedi
s
P
.y
v
v
Prema Tablici A.38. je
22 2 2
2 22
3 18 1 6 2 8 21 18 3,
10 1 6 2 3
22 2
22
18 1 6 10 5 6 2,
20 2 3 1 6y
pa je
22 2 2
2 22
s
22 2P
22
3 18 1 6 2 8 21 18 3
10 1 6 2 3,
18 1 6 10 5 6 2
20 2 3 1 6
y
v
v
374
2 2
s
2P
6 2 8 21 18 3.
2 3 10 5 6 2y
v
v
Ako je 1 0t t dobije se
b h 1 1 s
P
1,0777v
v
1,5b h 2 3
3 2
s
P
1,1316v
v
2b h 1
22
s
P
1,2381v
v
Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji UUS
*
sPP 0
d ,
sv
x
y
SB E E Em m s m y
I GI t GWGI
gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema Vlasovu ( Vlasovx ), drugi i treći član
daju utjecaj smicanja na uvijanje, a četvrti član je od dodatnog savijanja zbog smicanja.
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av predstavlja omjer normalnog
naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A poprečnog presjeka, prema UUS i istog
naprezanja prema Vlasovu
A
Vlasov.
vx
v
x
Za U poprečni presjek je
s 2 CP P PA
s CP P P
(2 3 ) 61 1 ,
6
y
v
y
I h h h W Im I E
GBI h h W I
pri čemu je, za zglobno oslonjen nosač, na sredini raspona nosača
t
cosh 1 ,EI
B m vGI
a za ukliješteni nosač
375
t
sinh.
EI v vB m
GI v
Faktor vA može se pisati i kao
s 2 CP P PA t
s CP P P
(2 3 ) 611 1 ,
cosh 1 6
y
v
y
I h h h W II
vI h h W I
za zglobno oslonjen nosač, odnosno kao
s 2 CP P PA t
s CP P P
(2 3 ) 61 1 ,
sinh 6
y
v
y
I h h h W II v
v vI h h W I
za ukliješteni nosač.
Rezultati kuta uvijanja i normalnog naprezanja teorije UUS, u dijagramima koji slijede,
uspoređeni su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).
376
Tablica C.5.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja Pmax t,max/
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,3843 1,3690 2,9218 2,8229
5 1,1383 1,1309 1,6920 1,6523
10 1,0346 1,0316 1,1732 1,1589
Tablica C.5.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na progib točke C C CC P t/v v h
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,0277 1,0334 1,1387 1,1083
5 1,0100 1,0087 1,0499 1,0340
10 1,0025 1,0010 1,0125 1,0043
Tablica C.6.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke A A Vlasov/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,0616 1,0658 1,1848 1,1495
5 1,0221 1,0246 1,0665 1,0508
10 1,0055 1,0069 1,0166 1,0113
Tablica C.6.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke B B Vlasov/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/h UUS MKE UUS MKE
3 1,0231 1,0172 1,0693 1,0458
5 1,0083 1,0054 1,0249 1,0148
10 1,0021 1,0021 1,0062 1,0025
377
Slika C.27. U presjek (b=h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL
C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.28. U presjek (b=h): Normirani pomak VL
C C,max/v v - zglobno oslonjen nosač.
378
Slika C.29. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x - zglobno
oslonjen nosač.
Slika C.30. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v
x x - zglobno
oslonjen nosač.
379
Slika C.31. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž vertikalne
stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.32. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
380
Slika C.33. U presjek (b=h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL
C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -
ukliješteni nosač.
Slika C.34. U presjek (b=h): Normirani pomak VL
C C,max/v v - ukliješteni nosač.
381
Slika C.35. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika C.36. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
382
Slika C.37. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž vertikalne
stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika C.38. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.
383
C.2.2.2. U presjek za 2b h
a) b)
1 0
2
3 / 40
b h
L b t t h
c) d)
e) f)
gustoća mreže: 19200 eleme.
kvadratni element 10 x 10 mm
Slika C.39. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element, d)
MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.
1 0
2 800 mm
3 2400 mm
/ 40 10 mm
b h
L b
t t h
2CP
C
bF F
h
384
Tablica C.7.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja Pmax t,max/
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b UUS MKE UUS MKE
3 1,1287 1,1233 1,6439 1,5956
5 1,0463 1,0439 1,2318 1,2063
10 1,0116 1,0108 1,0580 1,0515
Tablica C.7.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na progib točke C C CC P t/v v h
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b UUS MKE UUS MKE
3 1,0248 1,0272 1,1238 1,0914
5 1,0089 1,0097 1,0446 1,0338
10 1,0023 1,0022 1,0112 1,0068
Tablica C.8.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke A A Vlasov/vv x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b UUS MKE UUS MKE
3 1,0245 1,0259 1,0734 1,0573
5 1,0088 1,0102 1,0264 1,0199
10 1,0022 1,0039 1,0066 1,0051
Tablica C.8.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bv o omjeru /L b .
Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke B B Vlasov/v
v x x
Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač
L/b UUS MKE UUS MKE
3 1,0206 1,0152 1,0619 1,0462
5 1,0074 1,0064 1,0223 1,0162
10 1,0018 1,0030 1,0055 1,0043
385
Slika C.40. U presjek (b=2h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL
C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.41. U presjek (b=2h): Normirani pomak VL
C C,max/v v - zglobno oslonjen nosač.
386
Slika C.42. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
Slika C.43. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v
x x -
zglobno oslonjen nosač.
387
Slika C.44. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž vertikalne
stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
Slika C.45. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.
388
Slika C.46. U presjek (b=2h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL
C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -
ukliješteni nosač.
Slika C.47. U presjek (b=2h): Normirani pomak VLC C,max/v v - ukliješteni nosač.
389
Slika C.48. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
Slika C.49. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v
x x -
ukliješteni nosač.
390
Slika C.50. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž vertikalne
stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.
Slika C.51. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v
x x duž horizontalne
stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.