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Materiale didattico gratuitoCorso di Fisica Tecnica Prof. Massimo Paroncini

Scambio termico per convezione

La convezione forzata


Equazione di Newton

v∞TsT∞

Ts >T∞

*q

( )∞−⋅⋅= TTAhq sc

( )∞−⋅= TThq sc*

Equazione di Newton

Flusso

Flusso specifico


FenomenologiaIl meccanismo di scambio termico convettivo risulta, di fatto, generato da due meccanismi che operano insieme:

• Un primo apporto è legato alla conduzione;

• Un secondo apporto è legato al moto del fluido.

v∞TsT∞

Ts >T∞

q *

( )∞−⋅= TThq sc*

massaditrasportoqq kc += **

),,,.,,,( , Tvgeomcfh ffffp μρλ ∞=


Moto del fluido: lastra piana

strato limitelaminare

regionedi

transizione

xc

v∞

x

v(x,y)

strato limiteturbolento

zona turbolenta

buffer layer

sottostrato laminare

Valutiamo più nel dettaglio questa zona…



v∞

δ(x)

v(x,y)

x

yv∞

Bordo d’attacco

Caratteristiche strato limite laminare

Spessore strato laminare

Profili di velocità nello strato laminare a diverse distanze dal bordo d’attacco

Profilo di velocità dello strato limite oltre il quale il fluido assume la velocità v∞

Velocità di fluido indisturbato




regionedi

transizione

xc

v∞

xv(x,y)


zona turbolenta

buffer layer


Chi determina la transizione dei vari strati?

La transizione è strettamente collegata all’effetto di due diverse tipologie di forze:

• le forze d’inerzia;

• le forze viscose.

A seconda che predomini l’una sull’altra è possibile avere un moto laminare o un moto turbolento.




regionedi

transizione

xc

v∞

xv(x,y)


zona turbolenta

buffer layer


Sembra allora conveniente fare un confronto tra queste due forze in gioco, in particolare andremo a definire il loro rapporto:

viscoseFFinerzia

Tendono ad accelerare il fluido

Tendono a rallentare il fluido




regionedi

transizione

xc

v∞

xv(x,y)


zona turbolenta

buffer layer


evis

inerzia

FF

cos νL⋅∞v

Lunghezza della lastra [m]

Viscosità cinematica [m2/s] ρμ

=νViscosità dinamica [Paּs]

0

v

=

⋅=ydy

dμτ

Proprietà del mezzo che lega linearmente sforzo tangenziale e gradiente di velocità




regionedi

transizione

xc

v∞

xv(x,y)


zona turbolenta

buffer layer


νL⋅∞v

ρμν = μ

ρ⋅⋅∞ Lv Per come abbiamo definito questo numero (rapporto tra due forze), esso è una quantità adimensionale che chiamiamo:

NUMERO DI REYNOLDS (Re)




regionedi

transizione

xc

v∞

xv(x,y)


zona turbolenta

buffer layer


μρ⋅⋅

= ∞ LvReEsiste, per ogni geometria, un Reynolds particolare, detto Reynolds critico, oltre il quale il moto è turbolento; mentre per valori inferiori ad esso il moto è laminare.




regionedi

transizione

xc

v∞

xv(x,y)


zona turbolenta

buffer layer


Nel caso della lastra piana la lunghezza per la quale avremo il Reynolds critico viene definita lunghezza critica (xc).

Rec ≅ 5 ⋅105 Noto questo valore insieme alle altre caratteristiche fisiche del fluido in moto sopra la lastra si può calcolare la lunghezza caratteristica.




regionedi

transizione

xc

v∞

xv(x,y)


zona turbolenta

buffer layer


Se la lunghezza della lastra è tale che il Rec raggiunge e supera significativamente il valore limite di 3,5ּ105 si avrà la transizione a moto turbolento

Se la lastra non è sufficientemente lunga da raggiungere il valore critico di Re si avrà solamente il regime laminare, non seguito da regime turbolento



T∞

T (x,y)

v∞

v(x,y)

T∞

v∞

δ(x) δt(x)x

y

Ts

Analogamente allo strato limite della velocità è definibile lo STRATO LIMITE TERMICO.

Si vuole identificare la zona del fluido che risente del fatto che la lastra è a una temperatura diversa da quella del fluido indisturbato.

Al di fuori dello strato limite termico il flusso è praticamente isotermo.

All’interno dello strato limite termico il profilo della temperatura ha gradienti significativi.


Natura del fluidoLa tipologia di fluido che, interagendo con il solido, determina la convezione, è indicato mediante un determinato paramento che ne mette in evidenza le caratteristiche termofisiche.

NUMERO DI PRANDTL

λρ

ρμ pc⋅⋅=Pr

λμ pc⋅

=Pr

Viscosità cinematica

Inverso della diffusività termica aν

=Pr

termicamolecolareàdiffusivitmotodiquantitàdellamolecolareàdiffusivit

=Pr


Natura del fluido

termicamolecolareàdiffusivitmotodiquantitàdellamolecolareàdiffusivit

=Praν

=Pr

La viscosità cinematica esprime come si diffonde a livello molecolare la quantità di moto.

aν

=Pra è la caratteristica del fluido a far diffondere la potenza termica per conduzione all’interno del sistema.

GAS 1Pr ≈ Il trasporto di energia termica e di quantità di moto sono confrontabili

LIQUIDI

METALLI LIQUIDI

Il trasporto di quantità di moto è maggiore di quello di energia termica.

Il trasporto di energia termica è maggiore di quello di quantità di moto

1Pr >>

1Pr <<


Scambio termico


regionedi

transizione

xc

v∞

xv(x,y)


zona turbolenta

buffer layer


Le considerazioni che faremo riguardo allo scambio termico vengono effettuate prendendo in esame questa zona di fluido, nella quale è possibile fare la seguente posizione:

**ck qq =

Tale posizione è valida se consideriamo il sistema al caso stazionario e se prendiamo in esame la zona evidenziata per la quale vale la relazione v = 0 m/s per il fluido a contatto con la parete.


Scambio termico

Fluido fermo a contatto con la parete

Primo strato di fluido in moto

qk*qc*

0

*

=

⋅−=y

fk dydTq λ

Ts

y

x

( )∞−⋅= TThq sc*

0=∞

⋅−

−=ys

f

dydT

TTh

λ

0=∞

⋅−

−=⋅

ysf dydT

TTHHh

λ

H


Il Numero di Nusselt

0=∞

⋅−

−=⋅

ysf dydT

TTHHh

λ 0=∞

⋅−

−=ys dy

dTTT

HNu

Ponendo quindi:

∞

∞

−−

=TTTyTT

s

)(*

Hyy =* 0

*

*

*=

−=y

dydTNu


Il Numero di Nusselt

Il numero di Nusselt può essere ulteriormente sviluppato ed approfondito, evidenziando la seguente uguaglianza:

*

*

k

c

qqNu =

( )( )

HTTTThNu

s

s

∞

∞

−⋅−⋅

= λ

1≥⋅

=f

HhNuλ


Determinazione del numero di Nusselt

0=∞

⋅−

−=ys dy

dTTT

HNu

Tengo fisse le seguenti grandezze:

• V∞;

• L (lunghezza della lastra);

• Pr.

Tutto ciò può essere riassunto dicendo che rimangono costanti:

• il numero di Reynolds;

• il numero di Prandtl



x1

y

x

V∞

Sperimentalmente fissato un x1 lungo l’asse delle ascisse sulla lastra, vado a misurare, medianti opportuni dispositivi (termocoppie, tecniche interferometriche non invasive…), le temperature nei punti evidenziati.

Avrò quindi, a partire dalla temperatura della piastra che è nota, una serie di temperature che decresceranno a mano a mano che mi allontano dalla parete fino a raggiungere il valore della temperatura del fluido indisturbato.

H



L’analisi così condotta mi permette di fare un grafico della distribuzione di temperatura nello strato di fluido di altezza H.

T

y

Ts

T∞

Con i punti misurati sperimentalmente vado a costruire una curva interpolante che chiamo T(y).Facendo quindi la derivata in y=0 della funzione T(y), riesco a calcolarmi il valore del Nusselt locale, ossia che vale per x=x1

T=f(y)



y

xx1

V∞

H

x2 x3

Ripetendo quindi lo stesso procedimento per altri valori della x come mostrato in figura riesco a calcolarmi tanti numeri di Nusselt locali distribuiti lungo tutta la lunghezza L della lastra piana.A questo punto passo alla costruzione di un grafico in cui:• lungo l’asse delle ascissa ho la coordinata x che mi individua la posizione lungo la lastra piana;• lungo l’asse delle ordinate ho i numeri di Nusselt locali calcolati alle rispettive x.



Nux

x

Nux =f(x)

x1 x2 x3 xn=L

∫⋅=L

dxxNuL

Nu0

)(1



∫⋅=L

dxxNuL

Nu0

)(1

Così facendo ho calcolato il Nusselt medio lungo la lastra piana per un determinato numero di Reynolds ed un determinato numero di Prandtl.Posso ora procedere variando il numero di Reynolds e riconducendo l’analisi sperimentale appena descritta.Questo potrò costruire un nuovo grafico con, in ascissa in numeri di Reynolds testati, ed in ordinata, i numeri di Nusselt medi calcolati per i rispettivi Re.



Re1 Re2 Re3 RenRe

Nu

La relazione ottenuta sarà del tipo:

baNu Re⋅=

valida per un determinato numero di Prandtl, ossia per un determinato fluido.



Se, infine, testo diversi fluidi con le stesse modalità descritte, posso ottenere la relazione sperimentale completa del tipo:

cbaNu PrRe ⋅⋅=

Noto così il numero di Nusselt è possibile ottenere il coefficiente di scambio termico convettivo mediante la formula:

HNu

h fλ⋅=


Scambio termico per convezione

La convezione naturale


Fenomenologia

v=0 v∞=0

Ts T∞T(x,y)

v(x,y)

y

g F

x

elementodi fluido

Si parla di CONVEZIONE NATURALE o LIBERA quando il campo di moto è determinato dall’effetto di variazioni di densità in seno al fluido, prodotte da gradienti termici, in presenza di un campo di forze di massa.

Il caso più frequente, che sarà qui considerato, è quello in cui il campo di forze è quello gravitazionale.

La risultante tra la forza di galleggiamento e la forza peso determina l’andamento del moto. Il moto è verso l’alto o il basso a seconda che il fluido lambisca un corpo a temperatura maggiore o minore.

Il moto tende pertanto ad avvenire in direzione verticale.

Un fluido riscaldato tende a muoversi verso l’alto; se è raffreddato verso il basso


Fenomenologia

Ts>T∞

v

T∞

Ts

lam

inar

e

g

turb

olen

to Nella CONVEZIONE FORZATA la velocità è una variabile INDIPENDENTE.

Nella CONVEZIONE NATURALE il campo di velocità dipende SOLTANTO da quello termico e NON è quindi è una variabile INDIPENDENTE.

La velocità dipende da:

• la differenza di temperatura (Ts-T∞);

• il modulo della accelerazione di gravità (g);

• il coefficiente di dilatazione cubica del fluido (β).

β dà un’idea di come vari il volume specifico, e quindi la densità, in relazione a sollecitazioni termiche a pressione costante.

pp T1

Tv

v1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ρ∂

ρ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=βGas ideale [ ]-1K 1

T=β

Quanto maggiore è il suo valore, più pronunciata, a parità di altre condizioni, è la convezione naturale.


Fenomenologia

v=0 v∞=0

Ts T∞T(x,y)

v(x,y)

yFp

Fg

x

elementodi fluido

Facciamo l’equilibrio delle forze in gioco:

pg FFR −=

elemelemfluidofluido VgVgR ⋅⋅−⋅⋅= ρρ

( ) elemelemfluido VgR ⋅−= ρρ

Quindi la forza che determina il moto è proporzionale alla variazione di densità.

Nel nostro caso da cosa è determinata questa variazione?

pp T1

Tv

v1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ρ∂

ρ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=βpT⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

−=ρ

ρβ 1

TΔ⋅⋅−=Δ ρβρ


Fenomenologia

Ts>T∞

v

T∞

Ts

lam

inar

e

g

turb

olen

to

T s <T ∞

v

T∞

Ts

lam

inar

e

g

turb

olen

to

All’interno dello strato limite la velocità è nulla a contatto della lastra, ed è nulla all’estremità opposta dello strato limite.

Al di fuori dello strato limite il campo di moto non risente della presenza della lastra.Se la lastra è sufficientemente estesa nella direzione del flusso, il regime di moto, inizialmente LAMINARE per gli effetti viscosi presenti, diventa instabile e passa a TURBOLENTO, caratterizzato dalla presenza di vortici che causano mescolamenti estesi, macroscopici, delle particelle di fluido.


Fenomenologia

Ts>T∞

v

T∞

Ts

lam

inar

e

g

turb

olen

to Nella CONVEZIONE FORZATA la velocità è una variabile INDIPENDENTE.

Nella CONVEZIONE NATURALE il campo di velocità dipende SOLTANTO da quello termico e NON è quindi è una variabile INDIPENDENTE.

La velocità dipende da:

• la differenza di temperatura (Ts-T∞);

• il modulo della accelerazione di gravità (g);

• il coefficiente di dilatazione cubica del fluido (β).

β dà un’idea di come vari il volume specifico, e quindi la densità, in relazione a sollecitazioni termiche a pressione costante.

pp T1

Tv

v1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ρ∂

ρ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=βGas ideale [ ]-1K 1

T=β

Quanto maggiore è il suo valore, più pronunciata, a parità di altre condizioni, è la convezione naturale.


Fenomenologia

v=0 v∞=0

Ts T∞T(x,y)

v(x,y)

yFp

Fg

x

elementodi fluido

Facciamo l’equilibrio delle forze in gioco:

ga FFR −=

elemfluidoelemelem VgVgR ⋅⋅−⋅⋅= ρρ

( ) elemfluidoelem VgR ⋅−= ρρ

Quindi la forza che determina il moto è proporzionale alla variazione di densità.

Nel nostro caso da cosa è determinata questa variazione?

pp T1

Tv

v1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ρ∂

ρ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=βpT⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

−=ρ

ρβ 1



Fenomenologia

v=0 v∞=0

Ts T∞T(x,y)

v(x,y)

yFp

Fg

x

elementodi fluido

( ) elemfluidoelem VgR ⋅−= ρρ


TR Δ∝Δ∝ ρ

Quindi ancora una volta abbiamo dimostrato che il motore dello scambio termico, in questo caso la convezione naturale, è la differenza di temperatura.

( ) elemfluidoelem VgR ⋅−= ρρ elemVgR ⋅⋅Δ= ρ

elemVTgR ⋅⋅Δ⋅⋅−= ρβ


Gruppi adimensionali

Ts>T∞

v

T∞

Ts

lam

inar

e

g

turb

olen

to Nella CONVEZIONE FORZATA il campo di moto viene messo in conto attraverso la velocità v; in particolare attraverso le forze d’inerzia.

Nella CONVEZIONE NATURALE alla velocità si sostituisce il gruppo:

Tg Δ⋅β⋅ Forza di galleggiamento

Al NUMERO DI REYNOLDS nella convezione forzata sostituiamo il numero di Grashof:

μρ L⋅⋅

=vRe ( )

2

3LTgGrν

Δ⋅β⋅=

evisForzeentogalleggiamdiForzeGr

cos=



Ts>T∞

v

T∞

Ts

lam

inar

e

g

turb

olen

to Con considerazioni analoghe a quelle già viste nella convezione forzata, la relazione per il calcolo del numero di Nusselt (necassario per ottenere il coefficiente di scambio termico convettivo), sarà del tipo:

Nu=f(Gr,Pr)

Le velocità associate alla convezione naturale sono di norma molto basse (raramente superano i 2 m/s).

I valori di h sono quindi, di norma, molto più bassi di quelli riscontrabili nella convezione forzata.

cbGraNu Pr⋅⋅=



Ts>T∞

v

T∞

Ts

lam

inar

e

g

turb

olen

to Altro gruppo adimensionale molto usato nella convezione naturale è il NUMERO DI RAYLEIGH:

( ) ( )λμβρ

λμ

μβρ

⋅

Δ⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

Δ⋅⋅⋅=⋅=

32

2

32

PrLTgccLTgGrRa pp

Per cui la relazione sperimentale diventa:

Nu= a1 ⋅Rab1


Correlazioni


Esempi Convezione ForzataConvezione forzata: Lastra piana

cbaNu PrRe ⋅⋅=

Rec ≅ 5 ⋅105

μρ⋅⋅

= ∞ LvRe

Re = v∞ ⋅Lν

T∞

T (x,y)

v∞

v(x,y)

T∞

v∞

δ(x) δt(x)x

y

Ts

Poiché la temperatura nello strato limite varia da Ts a T∞ leproprietà del fluido vengono valutate alla temperatura media

Tm =Ts +T∞

2

λμ pc⋅

=Pr


Attrito

T∞

T (x,y)

v∞

v(x,y)

T∞

v∞

δ(x) δt(x)x

y

Ts

Il coefficiente di attrito Cx come il coefficiente di scambio termico convettivo h variacon la distanza x dal bordo di attacco. Il valore medio si determina con:

Cf =1L

Cf ,xX=0

x=L

∫ ⋅dx Permette di calcolare la forza di trascinamento

Fτ =Cf ⋅A⋅ρ ⋅V∞

2

2N


Caso: Flusso Laminare

Se il numero di Reynolds è minore del Rec per tutta la lastra allora il moto laminare siestende per tutta la lunghezza L della stessa e Reynolds verrà indicato con ReL.Diversamente il moto la minare si estende per una lunghezza inferiore e Reynoldsverrà indicato con Rex; questo caso verrà affrontato più avanti.

Cf =1,328 ⋅ReL−1/2

Rec ≅ 5 ⋅105

Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3

Le correlazioni che verranno indicate si riferiscono ad una lastra isoterma; possono essere applicate anche se la temperatura non è proprio uniforme. In questo caso va considerata la temperatura media della lastra.

Valida per Re < Rec e Pr ≥ 0, 6


Caso: Flusso Turbolento

Cf = 0, 074 ⋅ReL−1/5

Re ≥ Rec

Nu= 0, 037 ⋅ReL4/5⋅Pr1/3 Valida per

Valida per 5 ⋅105 ≤ ReL ≤107

5 ⋅105 ≤ ReL ≤107

0, 6 ≤ Pr ≤ 60


Caso: Flusso Laminare e Turbolento

Cf = 0, 074 ⋅ReL−1/5−1742 ⋅ReL

Rec = 5 ⋅105

Nu= 0, 037 ⋅ReL4/5−871( ) ⋅Pr1/3 Valida per

Valida per 5 ⋅105 ≤ ReL ≤107

5 ⋅105 ≤ ReL ≤107

0, 6 ≤ Pr ≤ 60

In alcuni casi la lunghezza della lastra piana risulta tale da produrre un flussoturbolento senza, però poter trascurare la parte interessata da flusso laminare. Inquesto caso i valori medi del coefficiente di attrito e del numero di Nusselt siottengono per somma delle integrazione della parte di flusso laminare più la parte delflusso turbolento.

Le correlazioni fornite dipendono dal valore del Rec ; Nel nostro caso si ipotizza:

I valori medi valgono per l’intera lunghezza L della lastra


Caso: Lastra Piana a Flusso Termico Costante

Se la lastra piana anziché essere a temperatura costante è sottoposta a flussotermico uniforme i numeri di Nusselt sono dati dalle correlazioni:

Nu= 0, 453⋅Re1/2⋅Pr1/3Moto Laminare

Moto Turbolento Nu= 0, 0308 ⋅Re0,8 ⋅Pr1/3

Materiale didattico gratuitoCorso di Fisica Tecnica

Convezione Forzata. Modo di Procedere

Determinare la Temperatura media Tm per valutare le proprietà termofisiche delfluido

Determinare le proprietà termofisiche del fluido a Tm

Determinare il ReL e confrontarlo con il Rec in modo da stabilire il regime di moto

Trovare le correlazioni adatte

Determinare i valori medi del Coefficiente di attrito e del Numero di Nusselt

Determinare il flusso termico specifico o il flusso termico scambiato perconvezione e la forza di trascinamento


Esempio 1

Un olio lubrificante non usato alla temperatura di 30°C, scorre con una v∞ di 3 m/ssopra una lastra piana lunga L = 6 m e larga b = 1 m e la cui temperatura è di 80°C.Si calcoli il flusso termico scambiato e la forza di trascinamento

Calcolo della Tm Tm = 55°C

Calcolo delle proprietà termofisiche del fluido: Bibliografia Tab. A.18

T (°C) ρ (kg m-3) λ (W m-1 k-1) ν (m2 s-1) Pr

40 876 0,144 2,420E-04 287055 867 0,141 1,234E-04 150560 864 0,140 8,390E-05 1050


Esempio 1

Calcolo del Numero di ReL

Correlazioni per valide per il moto laminare e per il nostro numero di Pr = 1505

ReL =v∞ ⋅Lν

= 3⋅61, 234 ⋅10−4 =1, 459 ⋅105

ReL < Rec

Regime di moto Laminare

Cf =1,328 ⋅ReL−1/2 Nu= 0, 664 ⋅ReL

1/2 ⋅Pr1/3 ReL < Rec e Pr ≥ 0, 6

Cf =1,328 ⋅ 1, 459 ⋅105( )−1/2 Cf = 3, 477 ⋅10−3

per


2

2Fτ = 3, 477 ⋅10−3 ⋅ 6 ⋅1( ) ⋅ 867 ⋅32

2= 81,39 N

Calcolo di Cf e Fτ


Esempio 1

Calcolo del Numero di Nu medio

Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3 ReL < Rec e Pr ≥ 0, 6per

Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3 = 0.664 ⋅ 1, 459 ⋅105( )0,5

⋅ 1505( )1/3 = 2, 907 ⋅103

Nu= h ⋅Lλ

h= Nu⋅ λL

h= 2,907 ⋅103⋅ ⋅0,1416

= 68,30 Wm2 ⋅K

q* = h⋅ TS −T∞( ) = 68,30 ⋅50 = 3415 Wm2

Calcolo del flusso

q= q* ⋅A= 3415 ⋅ 6 ⋅1( ) = 20490 W


Esempio 2

Un flusso d’aria alla temperatura di 16°C e alla pressione P≅ 101 kPa, scorre conuna v∞ di 2 m/s sopra una lastra piana lunga L = 3 m e larga b = 1 m e la cuitemperatura è di 58°C. Si calcoli il flusso termico scambiato e la forza ditrascinamento

Calcolo della Tm Tm = 37°C = 310 K


T ρ λ ν Pr(K) (kg m-3) (W m-1 k-1) (m2 s-1)

310 1,143 0,0268 1,67E-05 0,712


Esempio 2


Correlazioni per valide per il moto laminare per Rec = 5 105

ReL =v∞ ⋅Lν

= 2 ⋅31, 67 ⋅10−5 = 3, 593⋅105

ReL < Rec

Regime di moto Laminare

Cf =1,328 ⋅ReL−1/2 Nu= 0, 664 ⋅ReL

1/2 ⋅Pr1/3 ReL < Rec e Pr ≥ 0, 6

Cf =1,328 ⋅ 3, 593⋅105( )−1/2 Cf = 2, 216 ⋅10−3

per


2

2Fτ = 2, 216 ⋅10−3 ⋅ 3⋅1( ) ⋅1,143⋅22

2=1, 519 ⋅10−2 N

Calcolo di Cf e Fτ


Esempio 2

Calcolo del Numero di Nu medio

Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3 ReL < Rec e Pr ≥ 0, 6per

Nu= 0, 664 ⋅ReL1/2 ⋅Pr1/3 = 0.664 ⋅ 3,593 ⋅105( )0,5

⋅ 0, 712( )1/3 = 3, 554 ⋅102

Nu= h ⋅Lλ

h= Nu⋅ λL

h= 3, 554 ⋅102⋅ ⋅0, 7123

= 84,35 Wm2 ⋅K

q* = h ⋅ TS −T∞( ) = 84,35 ⋅ 42 = 3543 Wm2

Calcolo del flusso

q= q* ⋅A= 3415 ⋅ 3⋅1( ) =10628 W


Esempio 3

Si consideri un’abitazione mantenuta a temperatura costante e pari 22°C. Sulla parete di tamponamento cisono tre finestre ciascuna alta h= 1,5 m e larga L = 1,2 m. Le finestre sono a vetro singolo (λv = 0,78 W m-1 K-1)dello spessore di 0,5 cm. Il coefficiente di scambio termico convettivo all’interno dell’ambiente sia hi = 8 W m-2 K-

1, quello esterno sia he = 10 W m-2 K-1 e la temperatura esterna Te = - 2 °C. Ora comincia a soffiare un vento a60 km/h, si determini il flusso disperso attraverso le tre finestre.

Calcolo della temperatura della superficie del vetro nelle condizioni iniziali

q* = Ti −Te

1hi

+ sλv

+ 1he

q* = 22+ 20,125+ 0, 006+ 0,1

≈104 Wm2

Tsv =Ti −q* 1hi

+ sλv

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 22−104 ⋅ 0,125+ 0, 006( ) = 8, 4°C = 281, 4K

Nelle condizioni iniziali le tre finestre disperdono q= q* ⋅A⋅3=104 ⋅1,8 ⋅3 ≈ 562W


Esempio 3

Calcolo della TmTm = 3,32°C = 276,5K



250 1,413 0,0223 1,14 10-5 0,724

276,5 1,288 0,0243 1,37 10-5 0,718

280 1,271 0,0246 1,40 10-5 0,717


Esempio 3


ReL =v∞ ⋅Lν

= 16, 67 ⋅1, 21,37 ⋅10−5 =1, 46 ⋅106 ReL> Rec

Determiniamo la lunghezza critica

Rec =v∞ ⋅Lc

νLc =

Rec⋅νv∞

= 5 ⋅105 ⋅1,37 ⋅10−5

16, 67= 0, 41 m

Regime di moto misto


Esempio 3

Correlazioni per valide per moto misto

Nu= 0, 037 ⋅ReL4/5−871( ) ⋅Pr1/3 Valida per 5 ⋅105 ≤ ReL ≤107

0, 6 ≤ Pr ≤ 60

Nu= 2, 05 ⋅103 h= Nu⋅ λL

= 41, 51 Wm2 ⋅K

Calcolo del flusso

q* = h ⋅ TS −T∞( ) = 41,51⋅42 ≅ 432 Wm2

q= q* ⋅A⋅3= 432 ⋅ 1, 5 ⋅1, 2( ) ⋅3= 2331 W

Le tre finestre disperdono


Esempio 3

Nu= h ⋅Lλ

h= Nu⋅ λL

h= 57,31 Wm2 ⋅K

q* = h ⋅ TS −T∞( ) = 596 Wm2 q= q* ⋅A⋅3= 3218 W

Se si fossero usate le equazioni per il moto turbolento

Nu= 0, 037 ⋅ReL4/5⋅Pr1/3

Nu= 2830


Esempio 4Si consideri una latra piana sottile di sezione quadrata di lato L = 0,8 m. Una faccia della lastra sitrova a 65°C ed è rivolta verso un ambiente la cui temperatura di fluido indisturbato è 19°C.L’altra faccia della lastra è isolata. Si trovi il flusso termico scambiato quando la lastra è postaverticalmente, orizzontalmente con la superficie calda verso l’alto e con la superficie calda verso ilbasso.

Calcolo dei parametri termofisici

ΔT = 35°C Tm =Ts +T∞

2= 65+19

2= 42°C = 315K β = 1

Tm

= 3,175 ⋅10−3

Dalla Tab. A19


310 1,143 0,0268 1,67 10-5 0,711

315 1,127 0,0272 1,72 10-5 0,7105

320 1,110 0,0275 1,77 10-5 0,710

Convezione naturale


Esempio 4

Calcolo del numero Ra

Ra=Gr ⋅Pr = g⋅ β ⋅ΔT ⋅L3

ν 2 ⋅Pr =ρ 2 ⋅ g⋅ β ⋅ΔT( )L3

μ2 ⋅Pr

Ra=Gr ⋅Pr = g⋅ β ⋅ΔT ⋅L3

ν 2 ⋅Pr =1,339 ⋅109

Correlazioni per superfici verticali

Nu= 0,1⋅Ra1/3 Per 10 9 < Ra < 10 13

Nu=110 h= Nu⋅ λL

= 3, 747 q* = h ⋅ TS −T∞( ) =131 Wm2

q= q* ⋅A= 83, 94 W


Esempio 4

Correlazioni per superfici orizzontali con superficie calda verso l’alto

Nu= 0,15 ⋅Ra1/3Per 10 7 < Ra < 10 11 Nu=165,3

h= Nu⋅ λL

= 56, 21 q* = h ⋅ TS −T∞( ) =196, 7 Wm2

q= q* ⋅A=126 W


Esempio 4

Correlazioni per superfici orizzontali con superficie calda verso il basso

Nu= 0, 27 ⋅Ra1/4Per 10 6 < Ra < 10 11 Nu= 51, 6

h= Nu⋅ λL

=1, 756 q* = h ⋅ TS −T∞( ) = 61, 41 Wm2

q= q* ⋅A= 39,34 W

scambio termico per convezione - univpm.it · al di fuori dello strato limite termico il flusso è...

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