science-gym.dkscience-gym.dk/mat/2011/cosinus_og_sinus_og_tangens_med... · web viewi dette lille...

FJO og FSD, Struer Statsgymnasium, 2011

Cosinus og sinus og tangens. - En introduktion med TI-Nspire CAS

I dette lille introducerende kursus vil I lære lidt om cosinus, sinus og tangens og samtidig stifte bekendtskab med det matematikprogram, som vi vil bruge fremover: TI Nspire CAS.

Øvelse 1Åben dokumentet ”Øvelse 1”. I denne øvelse skal du måle længderne af siderne i 4 forskellige retvinklede trekanter, hvor vinkel A er 30° og vinkel C er 90° og beregne nogle størrelsesforhold.

Aflæs sidelængderne i feltet til venstre og skriv dem ind i regnearket til højre. Når du skal trække i punktet A i venstre felt skal du klikke på feltet således, at dette markeres (sort streg foroven og kasse rundt om). Det samme skal du gøre, når du vil skrive tal ind i regnearket til venstre.

For at kunne hive i punktet A skal du vælge ”1: Handling” dernæst ”1: Markør” i værktøjslinjen lige over felterne.

Når du har målt på 4 trekanter, skal du beregne forholdene b/c, a/c og a/b for alle 4 trekanter. Regnearket fungerer som et almindeligt regneark, hvor du i cellen, hvor værdien for b/c skal stå, først skriver ”=”, dernæst klikker på cellen med b-værdien, dernæst skriver ”/” , derefter klikker på cellen med c-værdien og endelig trykker ”enter”.

Undersøg nu om der nogen sammenhæng mellem de beregnede forhold for de 4 trekanter? Formuler dit svar skriftligt og så præcist så muligt.

Øvelse 2Åben dokumentet ”Øvelse 2”. Her skal du ændre på vinklen A i trekanten i venstre felt og udfylde regnearket i højre felt. Beregn forholdene b/c, a/c og a/b.

Du skal bruge de beregnede forhold efter, at du har lavet konstruktionen som er beskrevet nedenfor og efter at vi har defineret cosinus, sinus og tangens.

Konstruktion af figur

Start programmet: TI nSpire CAS:

Start med at klikke ”Vis”, ”Computer” i værktøjslinjen øverst.

Side 1 af 10


Klik dernæst på ”Sidelayout”, ”Layout type 2”.

Dokumentet er nu delt i to, som vist ovenfor.

I det venstre felt vil vi nu konstruere en figur, som vi vil bruge til forstå hvad cosinus, sinus og tangens er for nogle størrelser. I det højre felt vil vi senere arbejde i regneark.

Klik på det venstre felt og vælg ”Tilføj geometri” og dernæst i det højre felt og vælg ”Tilføj Lister og Regneark”.

Side 2 af 10


Klik på det venstre felt således, at dette markeres (sort streg foroven og kasse rundt om). Klik på ”2: Vis” i værktøjslinjen lige over feltet og vælg ”1: Grafisk visning”.

Nu fremkommer et koordinatsystem, som vi skal bruge til at tegne vores figur. Bemærk at koordinatsystemet som udgangspunkt går mellem -10 og 10 på x-aksen. Vi har imidlertid kun brug for, at det går ca. mellem -1 og 1 i stedet på både x- og y-akse. Dette kan vi ændre på følgende måde:

Klik på ”1: Handling”, ”1: Markør”. Musen føres herefter ned på x-aksen ca. det sted hvor 2-tallet burde stå. Nu fremkommer en række tydelige streger, der markerer inddelinger og musepilen ændres til en hånd.

Klik nu på venstre museknap og træk mod højre således, at den streg der svarer til 1 kommer til at stå langt mod højre (men der står formentligt et andet tal længst til højre - f.eks. 1.2).

Nu vil vi konstruere en cirkel med radius 1 med udgangspunkt i punktet (0,0) - en såkaldt enhedscirkel.

Vælg ”9:Former”, ”1:Cirkel” i værktøjslinjen. Før derefter musen hen i (0,0) og klik én gang - centrum i cirklen afsættes nu. Før dernæst musen hen i (1,0) og klik igen. Cirklen er nu konstrueret.

Afsæt et punkt på cirklen ved at vælge ”7:Punkter og linjer”, ”1:Punkt”. Musen føres hen til cirkelperiferien og det ses, at punktet ligesom ”klæber” til cirklen. Der klikkes én gang og punktet afsættes.

Det er praktisk at give dette punkt et navn, og dette gøres på følgende måde: Vælg ”1:Handlinger”, ”6:Tekst”. Klik nu på punktet og en lille boks fremkommer, hvori man kan skrive navnet. Vi vælger blot at kalde punktet P.

Side 3 af 10


Vi vil også lave en linje fra (0,0) op til punktet: Klik igen på ”7:Punkter og linjer”, men vælg nu: ”6:Halvlinje”. Klik først på (0,0) og dernæst det nyligt afsatte punkt.

Konstruktionen skulle nu gerne se nogenlunde således ud:

Vi vil gerne have bestemt koordinaterne til P, men vi gør det for illustrationens skyld på en lidt mere besværlig måde end egentligt nødvendigt:

Vælg ”A:Konstruktion”, ”1:Vinkelret”. Klik på det afsatte punkt og dernæst x-aksen: en linje vinkelret på x-aksen gennem punktet tegnes. På samme måde tegnes en linje vinkelret på y-aksen gennem punktet.

Vælg igen ”7:Punkter og linjer”, ”1:Punkt” og afsæt skæringspunkterne mellem de nye linjer og henholdsvis x- og y-aksen (vær opmærksom på at de to punkter skal ”klæbe” til skæringspunkterne inden de afsættes).

De nye punkter kaldes henholdsvis Px og Py.

Side 4 af 10


Vi vil nu måle P’s koordinater ved at måle fra (0,0) til henholdsvis Px og Py.

Klik ”8: Målinger”, ”1:Længde”. Klik derpå på (0,0) og Px og derefter et sted imellem: Afstanden og dermed x-koordinaten måles. Bemærk at der efter den målte længde står u. Bogstavet står for unit - altså enhed på dansk. Dvs. længden er altså målt i den enhed man nu engang tillægger tallene - om det er cm, meter eller andet er for os ligegyldigt i denne sammenhæng!

y-koordinaten måles på samme måde.

Vi skal også have målt vinklen mellem x-aksen og linjen op til P. Dette gøres ved at klikke ”8:Målinger”, ”4:Vinkel”. Klik nu på P, dernæst (0,0) og endeligt Px. Vinklen måles nu: f.eks. ”0.538 rad”.

Side 5 af 10


For os er det nu lidt irriterende, at vinklen måles i radianer (dvs. man regner med at det samlede gradtal i en cirkel er 2 ∙ π ). Vi vil gerne have vinklen målt i grader i stedet (så man regner med, at det samlede gradtal i en cirkel er 360 °).

Vi kan ændre dette inde i opsætningen af programmet på følgende måde (husk gerne denne procedure- I kommer til ændre det frem og tilbage mange gange!)

Vælg i den øverste værktøjslinje: ”Filer”, ”Indstillinger”, ”Dokumentindstillinger”. Vælg ”Grafer og Geometri” til venstre og vælg dernæst ”Grader” i ”Vinkel i Grafer”.

Klik ”OK” og den målte vinkel ændres straks til grader - f.eks. 30.8 °.

Side 6 af 10


Vores figur er nu færdig, og vi er klar til at gå videre. Bemærk, at hvis man vælger ”1:Handlinger”, ”1:Markør” og dernæst fører musen ned til punktet P, så ændres pilen til en hånd og man kan rykke med punktet P rundt langs cirklen. Samtidig måles straks P’s nye koordinater på henholdsvis x- og y-aksen samt vinklen op til punktet.

Cosinus, sinus og tangens

Vi vil nu bruge den konstruerede figur til at se, hvordan man definerer cosinus, sinus og tangens. I første omgang definerer vi dog kun cosinus og sinus:

Hvis man slår op i en matematikbog kan der stå en definition i stil med følgende:

Ved Cosinus til en vinkel v forstås 1.koordinaten til vinklens retningspunkt P på en enhedscirkel.

Ved Sinus til en vinkel v forstås 2.koordinaten til vinklens retningspunkt P på en enhedscirkel.

Hvis vi skal forstå dette, er vi nødt til at vende tilbage til vores figur:

Ifølge definitionen kan vi nu aflæse, at cos (30.8 ° )=0.859, mens sin (30.8 ° )=0.513.

Ved at ændre (=flytte) punktet P kan vi således lave en tabel over cos (v) og sin (v ) for en række vinkler.

Dette vil vi gøre i regnearket til højre.

Side 7 af 10


Start med at skrive Vinkel i feltet i øverste venstre hjørne. Skriv dernæst 0 °, 10 ° osv op til 90 °.

I de næste rækker skrives cos (v ) og sin(v ). Skemaet udfyldes nu ved at flytte punktet således, at vinklen v først er 0 °, dernæst 10 °, 20 ° osv. og cos (v ) og sin(v ) noteres i skemaet. Det er ikke sikkert, at det er til at ramme den rigtige vinkel præcist, men så må man prøve at ramme så tæt på som muligt.

Tangens kan også findes ud fra figuren men på en lidt anden måde. Det kræver en lille ekstra konstruktion:

Marker igen feltet til venstre (ved at klikke på det) og konstruer nu en linje gennem (1,0) vinkelret på x-aksen. Dette bliver en tangent til enhedscirklen med røringspunkt i (1,0).

Afsæt nu et punkt i skæringspunktet mellem denne linje og linjen fra (0,0) gennem P og mål afstanden fra skæringspunktet ned til x-aksen - altså til (1,0).

Side 8 af 10


Nu har vi set, hvordan man kan måle tangens vha. enhedscirklen, men faktisk er det ikke sådan, man normalt definerer tangens. I virkeligheden defineres den ved hjælp af de to andre:

Ved Tangens til en vinkel v forstås tan ( v )= sin(v )cos(v )

Lad os for sammenligningens skyld prøve også at regne tan ( v ) ud i den femte række, således:

Skriv tan(v ) i feltet til venstre. I det næste felt skrives ”=” og der klikkes dernæst på først feltet ovenover med sin ( v ) (her B3), dernæst skrives ”/” og endeligt klikkes på feltet med cos (v ) (her B2). Tryk på ”Enter” og værdien for tangens beregnes.

Formlen kan nu kopieres til beregning af resten af vinklerne således:

Marker feltet med formlen (her B5), vælg ”Rediger”, ”Kopier” i værktøjslinjen øverst. Marker nu med musen (eller shift+piletaster) felterne til højre for formlen (her C5 til K5). Vælg ”Rediger”, ”Sæt ind”. Nu beregnes tangens for de resterende vinkler (eller der sættes en streg, hvis beregningen endnu ikke kan foretages pga. manglende indtastninger i felterne ovenfor).

BEMÆRK: Når et felt med en formel markeres, så skrives formlen forneden!

Øvelse 3- Prøv at lave konstruktionen og dernæst udfylde et skema med cos ( v ), sin ( v ) og tan ( v ) som

beskrevet for vinkler v mellem 0 ° og 90 ° i spring på 10 °. Lav også beregningen af tan ( v ) til sammenligning.

- Kopier dernæst dataene fra øvelse 2 ind i dette regneark. Du bruger markerer, kopierer og sætter ind på sædvanlig vis.

- Sammenlign tallene. Kan du finde et mønster?

Side 9 af 10


- Prøv at formulere nogle formler for sammenhængen mellem henholdsvis, sinus, cosinus og tangens og sidelængderne i den retvinklede trekant.

- Formuler en opgave vedrørende en retvinklet trekant, hvor man enten skal bestemme en sidelængde eller en vinkel og lad din sidemand løse den. Gør det et par gange indtil I er fortrolige med at bruge formlerne.

Nu skulle du gerne have fået en fornemmelse af, hvad cosinus, sinus og tangens er for nogle størrelser og samtidig have fået et lille introducerende kursus til TI-Nspire CAS.

Side 10 af 10

science-gym.dkscience-gym.dk/mat/2011/cosinus_og_sinus_og_tangens_med... · web viewi dette lille...

Documents