scpy421 elementary particle physics วทฟส๔๒๑ ... · scpy421 elementary particle...

SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 1

SCPY421 Elementary Particle Physics

วทฟส๔๒๑ ฟสกสของอนภาคมลฐาน

Quantum Electrodynamics

Derivation of some classical QED results

หวขอทจะศกษา (1) Dirac Equation

(2) Photon

(3) Feynman Rules for QED

(4) Basic (Second-Order) QED Processes

(5) Calculation Tools - Casimir Trick

(6) Renormalization


1. Dirac Equation

“Correct” Relativistic Wave Equation ส าหรบ “Spin1/2 Particles”

(“leptons” และ “quarks” ทกตว ม spin 1/2 สวน “mediators” ม spin 1)

“Nonrelativistic”

Quantum Mechanics

“Schrödinger” Equation

ส าหรบ “nonrelativistic” particles ทกชนด

“Klein-Gordon” Equation

ส าหรบ “spin0 particles”

“Relativistic”

Quantum Mechanics

“Dirac” Equation

ส าหรบ “spin1/2 particles”

“Proca” Equation

ส าหรบ “spin1 particles”


ในการ derive “Feynman Rules”

เราตองเรยนรเกยวกบ “relativistic wave equation ของอนภาคทเกยวของ”

(ทมาของ/วธการเขยน “สมการ”, วธการหา “ค าตอบ”, และ “วธการตความหมายของผลลพธทได”) เมอเราได “Feynman Rules” แลว

สงทตองใชในการค านวณหา “amplitude” ของแตละ “Feynman Diagram” คอ

“wave function” ของอนภาคทเกยวของ

(“ค าตอบ” ทไดจากการแก relativistic wave equation)

เนองจาก “รปแบบ” ของ “wave function” ของ “spin1/2 particle” คอนขางจะ “ซบซอน”

ดงนน

จ าเปนตองศกษา “Dirac Equation”

เพอใหเขาใจ “ทมา/ความหมาย” ของ “สญญลกษณตางๆ” ทปรากฏอยใน

“wave function” ของ “spin1/2 particle”


“Schrödinger” Equation

เรมจาก “Classical” EnergyMomentum Relation: )(2

2

r

Vm

pE

เปลยน “(linear) momentum” และ “energy” เปน “operators” โดยใช

“Quantum Substitution”:

ip และ t

iE

)(2

2

r

Vm

pE )(

2 2

2

r

Vmt

i

น าไป “operate” ลงบน “wave function, ),( tΨ r

” จะได “(Time-dependent) Schrödinger Equation”

),(

),()(),(2

22

t

tΨitΨrVtΨ

m

rrr

“second-order” ใน “space” และ “first-order” ใน “time”


)(2

2

r

Vm

pE

)(2

22

r

Vmt

i

),(

),()(),(2

22

t

tΨitΨrVtΨ

m

rrr

t

iE

ip


KleinGordon Equation ส าหรบ “free” particle

เรมจาก “relativistic” EnergyMomentum Relation: 42222 cmcpE

ใช “Quantum Substitution”

ip และ t

iE

จะได

42222

2

22 cmc

t

หรอ

1

2

2

2

2

2

mc

tc

น าไป “operate” ลงบน “wave function, ),( tr

” [ในกรณนนยมใช “ตวเลก”] จะได “KleinGordon Equation”

),(),(1

),(

2

2

2

2

2 tmc

t

t

ct r

rr

“second-order” ใน “space” และ ใน “time”


42222 cmcpE

42222

2

22 cmc

t

1

2

2

2

2

2

mc

tc

),(),(1

),(

2

2

2

2

2 tmc

t

t

ct r

rr

t

iE

ip


ในกรณทเกยวของกบ “Special Relativity” นยมเขยนสมการตางๆ โดยใช “4vectors”

“contravariant” 4position: ),,,(),(),,,( 3210 zyxctctxxxxx r

“covariant” 4position: ),,,(),(),,,( 3210 zyxctctxxxxx r

xgx เมอ g คอ “metric”

10 0 0

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

g

“contravariant” 4momentum: ,

p

c

Ep

“covariant” 4momentum: ,

p

c

Epgp

“Scalar Product”: 33

22

11

00

00 babababababaμ ba


นนคอ “relativistic” EnergyMomentum Relation จะมรปเปน

42222 cmcpE 2222

cmpc

E

22cmpp

เปลยนเปน “operators” โดยใช “Quantum Substitution”

,,

i

tc

i

c

Ep p และ ,,

i

tc

i

c

Ep p

จะได

22cmpp 2222

2

2

2

2

cmtc

1

22

2

2

2

mc

tc

น าไป “operate” ลงบน “wave function, ),( tr

” [นยมใช “ตวเลก”] จะได “KleinGordon Equation”

),(),(1

),(

2

2

2

2

2 tmc

t

t

ct r

rr

“second-order” ใน “space” และ ใน “time”


42222 cmcpE

22cmpp

1

22

2

2

2

mc

tc

),(),(1

),(

2

2

2

2

2 tmc

t

t

ct r

rr

,,

i

tc

i

c

Ep p ,,

i

tc

i

c

Ep p


อกรปแบบหนงของสมการส าหรบ “4momentum operator” ทนยมเขยนกน

จาก “Quantum Substitution”, t

iE

และ

ip , จะไดวา

zyxctii

tc

i

c

Ep ,,,

)( ,,

p

3210

,,,)(

,)(

,)(

,)(

, xxxx

izyxct

ic

Ep

p

i

xi

c

Ep , p เมอ

x

zyxctii

tc

i

c

Ep ,,,

)( ,,

p

,,,, 3210

ix

ixxxx

ic

Ep p เมอ

x


Dirac Equation ส าหรบ “free” particle

หาสมการซง ( 1) consistent with “relativistic energymomentum formula”

และ (2) “first-order” in time (and space) เขยน “relativistic energymomentum formula”

42222 cmcpE 0 2222

cmp

c

E 0 22 cmpp

(a)

ในรป 0))(( mcpmcpβκ

(b)

)3 ,2 ,1 ,0 ,(

เมอ κβ และ )3 ,2 ,1 ,0 ,( เปน “eight coefficients” ทตองหา

(b) 0)( 22 cmpβmcppβ κκ

(c)

[ระลกวา และ เปน “summation” indices ซงเปน “dummy” indices]


เปรยบเทยบระหวาง 0 22 cmpp (a)

กบ 0)( 22 cmpβmcppβ κκ

(c)

จะไดวา (1) κβ เลอกใช κ

{เนองจาก (a) ไมมเทอมก าลงหนง (linear) ใน 4momentum}

(sum over )

และ (2)

pppp κ

(sum over and )

นนคอ κ ตอง (เปน “Matrices” ท) มสมบตดงน

(i) 1)( 0020 , (ii) 1)()()( 232221 ,

และ (iii) 0 ส าหรบ


เงอนไข (i), (ii) และ (iii) ของ “ κ matrices” เขยนรวมกนในรป “anticommutator”

} ,{ BAABBA

ไดเปน 2} ,{ g (d)

เมอ g คอ “Minkowski” metric หรอ “gmetric”

10 0 0

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

gg

“ matrices ทมขนาดเลกทสด” ทมสมบตตาม (d) คอ “4 4” matrices

เรยกวา “gamma” matrices (ซงสามารถเลอกไดหลายแบบท “equivalent” กน)

จะใช “Bjorken-Drell” Representation


“BjorkenDrell” Representation ส าหรบ matrices

เลอกใช

0

10

01 และ

0

0i

ii

โดยท (i) 10

01

1 คอ “2 2” unit matrix

(ii) 00

00

0 คอ “2 2” matrix of zeroes

และ (iii) )321( , , i i คอ “Pauli (spin) matrices”

01

10 1

x , 0

0 2

i

iy , และ 10

0 1 3

z


จาก 0))(( 22 mcpmcpcmpp κ

เลอกให 0 mcp 0 mcp

เปลยน covariant 4momentum เปน operator: ip เมอ

x

น าไป “operate” บน “wave function (” จะได

0 mci

“Dirac Equation” ส าหรบ “free particle”

เนองจาก เปน 4 4 matrices ดงนน จะเปน “fourelement column matrix”

4

3

2

1

“Dirac spinor” หรอ “bi-spinor” (ไมใช 4vector)


0 42222 cmcpE

0))(( 22 mcpmcpcmpp κ

0 mcp

ip

x

0 mci

0 mci


“ค าตอบ (Solutions)” ของ Dirac Equation : 0 mci

พจารณากรณท “wave function (” ไมขนกบ “ต าแหนง ( r

)” :

0 3211

xx 0 p

อนภาค “ไมเคลอนท”

“Dirac Equation” จะลดรปเปน 0 00

0

mc

tc

imci

หรอเขยนเปน 2

0

imc

t

หรอ

2

B

A

B

Amc

i

t

t

10

01

โดยท

B

A

,

2

1

A , และ

4

3

B


2

B

A

B

Amc

i

t

t

10

01

แยกออกไดเปน “2 สมการ” คอ

2

AA mc

it

และ

2

BB mc

it

“ค าตอบ” คอ )0( exp )0()(

2

2

tmc

i

AAA etmc

it

และ )0( exp )0()(

2

2

tmc

i

BBB etmc

it


เทยบ exp )0()( 2

t

mcit AA

และ exp )0()(

2

t

mcit BB

กบ “temporal part ของ wave function” ส าหรบ “อนภาคทมพลงงาน E”

exp

t

Ei

จะไดวา

“ A ” บรรยาย “อนภาค (particle)” ทมพลงงานเปน “บวก” 2mcE

ในขณะท “ B ” บรรยาย “อนภาค (particle)” ทมพลงงานเปน “ลบ” 2mcE

ซงพจารณาไดวาเปน “ปฏยานภาค (antiparticle)” ทมพลงงานเปน “บวก” 2mcE

“อนภาค” ทม พลงงานเปน “ลบ”

และม “spinup”

“ปฏยานภาค” ทม พลงงานเปน “บวก”

และม “spindown”


จะม “4 independent solutions” ส าหรบ “Dirac equation ของอนภาคทม 0p

”

0

0

0

1

)(

)1(

2

t

mci

et

0

0

1

0

)(

)2(

2

t

mci

et

spinup electron (particle) spindown electron (particle)

0

1

0

0

)(

)3(

2

t

mci

et

1

0

0

0

)(

)4(

2

t

mci

et

spindown positron (antiparticle) spinup positron (antiparticle)


พจารณากรณของ อนภาคทม “well-defined (non-zero) linear momentum p

”

“classical” wave function จะอยในรปของ “plane-wave”

)( exp ),( )(

rkrk

tieAtiAtr

เมอ คอ “angular frequency” และ k คอ “wave vector”

โดยท 2

kk

( คอ “wavelength”)

จาก )2( 2

f

hhfE จะได )( 0

0

xp

ctc

Et

Et

และจาก 22

p

h

pk

จะได

pk และ r

prk

ดงนน 00

rp

rk

x

pt


ถาเรา นยาม “4wave vector, k

” โดยสมการ

,1

,1

0

pp

c

Ep

pk

จะสามารถเขยน rk

t เปน “scalar product” ของ “4wave vector, k

” กบ “4position, ),( ),,,( 03210

r

xxxxxx ”

00

xkxkx

pt

r

prk

ดงนน )( exp )( exp ),(

xkieAxkiAtiAtr rk

Generalization เขยน “plane-wave solution ของ Dirac equation” ในรป )( )( )( exp )( kueakuxkiax xki

เมอ

B

A

u

uku )( คอ “bi-spinor” ซง “ตองหา”


แทน “plane-wave solution” )( )( kueax xki

ลงใน “Dirac equation” 0 mci

จะได 0 mck

{ จาก )( )( )( )( 33221100

kueakueax xkxkxkxkixki

จะได )()( )( 0 0

00 xikkueaikx

x xki

และ )()( )( 1 1

11 xikkueaikx

x xki

ดงนน )()( xikx

x

}


จาก )( )( kueax xki และ 0 mck

จะไดวา “สมการส าหรบ bi-spinor u(k)” คอ

0)( umckmcuuk

ซงเปน “algebraic equation”

0

0000

k

kkkk

σk

σk

0σ

σ0k

10

01kγ

ดงนน 0

)(

0

0

B

A

u

u

mck

mckumck

σk

σk

นนคอ )/(

0 BA u

mcku

σk

และ )/(

0 AB u

mcku

σk


แทน )/(

0 AB u

mcku

σk

ลงใน )/(

0 BA u

mcku

σk

จะได

220

2

220

2

)/()(

)/()(

)( AAA u

mcku

mcku

kσk

[จาก 2},{ 1ijijjiji จะได )( 222

k1kσk

]

ดงนน )( 22

20k

mck หรอเขยนเปน )(

2220

mck k

นนคอ k เปน “4-vector” ทม “square” เปน m

2c

2 เหมอนกบ “4-momentum (p

)”

,1

p

c

Epk

( 22 baba )


ถาเลอกใชเครองหมาย “บวก” ,1

p

c

Epk

จาก )( )( kueax xki จะได )( )( / kueax xip

ซงม “temporal (time) part” เปน //00 iEtxip ee

นนคอ (x) จะบรรยาย “particle” state

)/(

0 BA u

mcku

σk จะเปลยนรปเปน

)(

2 BA umcE

cu

σp

“ใชไมได”

{เนองจาก Au จะเปน “infinity ()” เมอ 0 p

( 2mcE )}

)/(

0 AB u

mcku


)(

2 AB umcE

cu

σp

“ใชได”


ถาเลอกให 0

1

Au จะได

yx

zAB ipp

p

mcE

cu

mcE

cu

)(

22

σp

yx

z

zyx

yxzA

zyx

yxz

zyxzzyyxx

ipp

p

pipp

ipppu

pipp

ippp

pi

ippppp

0

1 )( &

10

0 1

0

0

0 1

1 0

σp

σp


0

Au จะได

z

yxAB

p

ipp

mcE

cu

mcE

cu

)(

22

σp


ดงนน “two independent solutions” ส าหรบ “particle” states คอ

)(

0

1

2

2)1(

mcE

ippcmcE

cpNu

yx

z และ )(

1

0

2

2

)2(

mcE

cpmcE

ippcNu

z

yx

“spin-up” particle “spin-down” particle

โดยท 2

c

mcEN

คอ “normalization” factor ซงหาไดจากเงอนไข

2

||||| )( 2222****

c

E|β||uu


ถาเลอกใชเครองหมาย “ลบ” ,1

p

c

Epk

จาก )( )( kueax xki จะได )( )( / kveax xip { )()( kvku }

ซงม “temporal (time) part” เปน //00 iEtxip ee

(x) จะบรรยาย “particle” with “negative energy”

ซงอาจพจารณาไดวาเปน “antiparticle” with “positive energy”

)/(

0 BA u

mcku


)(

2 BA vmcE

cv

σp

“ใชได”

)/(

0 AB u

mcku


)(

2 AB vmcE

cv

σp

“ใชไมได”

{เนองจาก Bv จะเปน “infinity ()” เมอ 0 p

( 2mcE )}



0

Bv จะได

z

yxBA

p

ipp

mcE

cv

mcE

cv

)(

22

σp


1

Bv จะได

yx

zBA ipp

p

mcE

cv

mcE

cv

)(

22

σp

ดงนน “two independent solutions” ส าหรบ “ antiparticle” states คอ

1

0

)(

2

2

)1(

mcE

cpmcE

ippc

Nv z

yx

และ

0

1

)(

2

2

)2(

mcE

ippcmcE

cp

Nvyx

z

“spin-up” antiparticle “spin-down” antiparticle

* สงเกตเครองหมาย “ลบ”


จรงๆ แลว ทง )1()2()1( ,, vuu และ )2(v จะ “ไมเปน” eigenfunction ของ zS

2

z

zzS

0

0 เมอ

10

0 1

z

ยกเวนกรณพเศษท p p yx 0 (อนภาคเคลอนทในแนวแกน z) ซงจะได

2

(1))1( uuSz

, 2

(2))2( uuSz

“spin-up” particle “spin-down” particle

2

(1))1( vvSz

,

2 (2))2( vvSz

“spin-up” antiparticle “spin-down” antiparticle

{ p p yx 0 ))(( 22422 mcEmcEcmEcppc z

}


ในการเปลยนจาก “1st initial frame” ไปยง “2nd initial frame”

Dirac spinors จะเปลยนไปอยางไร?

“1st initial frame” และ “2nd initial frame” '

Dirac spinors ม “4 components” แต “ไมใช 4-vector”

กบ จะไมไดมความสมพนธกนผาน Lorentz transformation

ในกรณท “2nd frame” เคลอนท “ในแนวแกน x” ดวย “อตราเรว v” เทยบกบ “1st frame” S'

โดย 1

1

1

110

1

1

0

0

10

0 1

10

01

aa

aaaaaaS

เมอ )1(21 a ,

/1

1

22 cv

และ

01

10 1

x

(Lorentz factor)


ในกรณท “2nd frame” เคลอนท “ในแนวแกน x” ดวย “อตราเรว v” เทยบกบ “1st frame”

S'

00

0 0

0 0

00

aa

aa

aa

aa

S

)1(21 a

/1

1

22 cv


ในกรณของ “4-vector” เราม “contravariant” 4-vector

),(),,,( 03210x

xxxxxx

และ “covariant” 4-vector (สงเกต “ต าแหนง” ของเครองหมาย “ลบ”)

),(),,,(),,,( 032103210 x

xxxxxxgxxxx x

โดยท “scalar product” ของ x กบ x จะมสมบตเปน “Lorentz invariant”

)()()()()()()( 23222120 'x'xxxxxxxxx

ในกรณของ “(Dirac) spinors” เราจะนยาม “adjoint” spinors, ” โดยสมการ

) (

10 0 0

0 10 0

0 0 1 0

0 0 0 1

)( *4

*3

*2

*1

*4

*3

*2

*1

0

(สงเกต “ต าแหนง” ของเครองหมาย “ลบ”)

เมอ ไดจาก โดยการท า “transpose” และ “complex conjugate”


จะไดวา 24

23

22

21

3

3

2

1

*4

*3

*2

*1 ) (

จะมสมบตเปน “Lorentz invariant”

} { }{ )(

})( { )()(

}' & { )()(

)()(

} { )( )(

0000

0

000

00

00

SSregroupSS

ABABSS

SSS

'''

(“transpose of product” “product of transposes” in “reverse order”)


ซงเปน scalar และเปน Lorentz invariant เปน scalar แบบใด (เปน “scalar” หรอเปน “pseudoscalar”)

ตองดวา “Dirac spinor เปลยนอยางไร” ภายใต “parity operation”

ภายใต “parity operation ”: Dirac spinor () จะเปลยนเปน

10 0 0

0 10 0

0 0 1 0

0 0 0 1

parity

3

3

2

1

3

3

2

1

0

และดงนนจะไดวา จะเปน “true” scalar

)()()(

)()()()()()(

0000000000

000000

''''


นอกจาก “4” matrices

0

10

01 และ

0

0i

ii

3) 2, 1,( i

เมอ 01

10 1

x , 0

0 2

i

iy , และ 10

0 1 3

z

คอ “Pauli (spin) matrices” แลว จะนยาม “ 5matrix” ซง anticommute กบ

32105

01

10 i )3 2 1 0( 0},{ 555 ,,,

และ “6” antisymmetric tensors “

” )(

2

i

ไมเปนศนยเฉพาะ 1312030201 ,,,, และ 23

{ 033221100 และ ส าหรบ จะได }

} , , , ,1 { 55 จะเปน “basis” ส าหรบ “4 4 matrices”


2. Photon

“Particle” ของ “Electromagnetic (EM) Field”

ใน “Classical Electrodynamics” :

“electric” และ “magnetic” fields [ ),( trE

และ ),( trB

]

ทเกดจาก “charge density, ),( tr

” และ “current density, ),( trJ

”

จะเปนไปตาม “Maxwell’s Equations” (ใน “cgs unit”)

(1) “Gauss’s Law” ส าหรบ “electric field” ),(4),( tt rrE

(2) “Gauss’s Law” ส าหรบ “magnetic field” 0),( trB

(3) “Faraday-Henry Induction Law” 0),(1

),(

t

t

ct

rBrE

(4) “Ampere-Maxwell Law” ),( 4),(1

),( c

t

t

t

ct

rJrErB

(2) & (3) เปน “homogeneous” สวน (1) & (4) จะเปน “nonhomogeneous” eqns.


จาก 0),( trB

จะได

),(),( tt rArB

เมอ ),( trA

คอ “vector potential”

{ส าหรบ vector function ),( trP

ใดๆ จะได 0)],([ trP

)0 ( curldiv }

แทน ),(),( tt rArB

ลงใน 0),(1

),(

t

t

ct

rBrE

จะได

0),( 1

),()],([ 1

),(

t

t

ct

t

t

ct

rArE

rArE

ดงนน ),(),( 1

),( tVt

t

ct r

rArE

หรอ

),( 1),(),(

t

t

ctVt

rArrE

เมอ ),( tV r

คอ “scalar potential”

{ส าหรบ scalar function ),( tQ r

ใดๆ จะได 0)],([ tQ r

)0 ( gradcurl }


),( trE

และ ),( trB

จะ form เปน “antisymmetric second-rank tensor” เรยกวา

“field strength tensor” F

(“ ” “row” และ “ ” “column”) “row”

0

0

0

0

xyz

xzy

yzx

zyx

BBE

BBE

BBE

EEE

F

3

2

1

0

“column” 0 1 2 3

1001 FEF x , 2112 FBF z , …


“charge density ),( tr

” และ “current density ),( trJ

” จะ form เปน “4-vector”

),( J

cJ เรยกวา “4-current”

0)(

)(

J

tz

J

y

J

x

J

ct

cJ zyx

หรอ t

J

ซงเรยกวา “Continuity Equation” (แสดง “local conservation of charge”)

{ จาก 4 E

จะได 4

1

tt

E

“Gauss’s Law” ส าหรบ “electric field”

จาก 41

ctc

JEB

จะได 4 JB

E

c

t

“Ampere-Maxwell Law”

4

JJB

c

t )0 ( BB

curldiv }


“scalar potential ),( tV r

” และ “vector potential ),( trA

” จะ form เปน “4-vector”

),( A

VA เรยกวา “4-potential”

เขยน “field strength tensor” F ในเทอมของ “4-potential” A

ไดเปน

AAF

เชน xx E

x

V

t

A

cx

A

x

AAAF

11

0

0

1011001

ระลกวา ,,, 3210

xxxxx เปน “covariant 4-vector”

,,, 3210

xxxxxg

เปน “contravariant 4-vector”


เขยน “Inhomogeneous” Maxwell Equations

4 E

และ 41

JE

B

ctc

รวมกน ในเทอมของ “field strength tensor” F ไดเปน

4

J

cF

หรอ ในเทอมของ “4-potential” A ไดเปน

4

)(

J

cAA

)}()()({

AAAAAAF


ใน “Classical Electrodynamics”

“electric” และ “magnetic” fields เปน “physical entities”

“scalar” และ “vector” potentials เปน “useful mathematical constructs”

ขอดของการใช “potentials” ในการศกษา “classical electrodynamics”

It automatically takes care of “the homogeneous Maxwell equations”.

A

V

AB

AE

tcV

1

0

01

B

BE

tc

เหลอเฉพาะ “inhomogeneous Maxwell equations” ทตองพจารณา

4 E

และ 41

JE

B

ctc


ขอ เสย (?) ของการใช “potentials”

“Potentials”, V และ A

(หรอ A), are “NOT uniquely determined”

4-potentials A และ A ทมความสมพนธกนผาน “Gauge Transformation”

x

AAA

เมอ )(),( xt r เปน “ฟงกชนใดๆ ของ r

และ t (หรอ 4-position

x )”

จะบรรยาย “ E

และ B

ชดเดยวกน”

สามารถเพม/ก าหนด (impose) “เงอนไขเพมเตม (extra constraint)” ใหกบ A

ซง อาจมอง/พจารณาไดวาเปน “ขอด”


ถา “เลอก” ให 0 A ซงเรยกวา “Lorentz Condition” จะไดวา

สามารถเขยน “inhomogeneous Maxwell equations”

4 E

และ 41

JE

B

ctc

รวมกนในเทอมของ “4-potential” ไดเปน

41

2

2

2

2

J

cA

tcAμ

หรอเขยนเปน 4

Jc

A

เมอ 1 2

2

2

2

tc

μ คอ “d’Alembertian”

(“relativistic extension” ของ “Laplacian” 2

)


แมวาจะ “เพม Lorentz condition แลว” ก “ยงไมสามารถ uniquely specify A ได”

ม “ทางเลอก” 2 ทาง (1) live with “indeterminacy”

หรอ (2) impose “an additional constraint”

จะเลอก “ทางเลอกท (2)” เลอกใช “particular” initial system

(ซงจะท าให สมบต “Lorentz Covariance” เสยไป)

ในกรณของ “empty space” ( 0J ) จะ เลอก (ใช “กรอบอางอง” ท) ให

00 VA

ซงจะท าให “Lorentz condition”, 0 A , กลายเปน

0 33

22

11

A

z

A

y

A

x

AAAA zyx

เรยก เงอนไข 0 A

วา “Coulomb Gauge”


ใน “Quantum Electrodynamics (QED)”

A จะท าหนาทเปน “wave function” ของ “photon”

สมการส าหรบ A ในกรณของ “free photon” (ซงจะเปนกรณท 0J ) คอ

01 2

2

2

2

A

tcAA

(A)

ซงจะเหมอนกบ “Klein-Gordon equation” ส าหรบ “massless particle”

“plane-wave solution” ส าหรบ photon ทม 4-momentum

p

,

c

Ep คอ

)()( exp )(

p a epxp

iaxA

xpi

(B)

เมอ “a” คอ “normalization factor”

และ

(p) คอ “polarization vector” ซงสมพนธกบ “spin” ของ “photon”


แทน (B) ลงใน (A) จะไดวา “เงอนไข” ส าหรบ “4-momentum ของ photon” คอ

0 2

2

p

c

Epp

(ตามทควรจะเปน ส าหรบ “massless” particle)

{ ในกรณ “massive” particle ทมมวล m จะได 222

2

cmc

Epp

p

}

ถงแมวา “polarization vector,

(p)” จะ “ม 4 components” ()

แตกจะ “ไมไดเปนอสระตอกนทงหมด (not all independent)”

“Lorentz condition”: 0 A 0

pp

“Coulomb gauge”: 00 VA 00

00 จะท าให 0 p กลายเปน 0 pε


“A free photon is ‘transverse polarized’.”

(สอดคลองกบการท “คลนแมเหลกไฟฟา” เปน “คลนตามขวาง”)

0 pε

“polarization 3-vector, ε

” จะ “ตงฉาก” กบ “direction of propagation (ทศ p

)”

“ε

” จะวางตวอยใน “ระนาบ (plane)” ท “ตงฉาก” กบ “ p

”

จะม “two” linearly independent polarization 3-vectors )1(ε และ )2(

ε

{ในกรณท zpep ˆ เราอาจเลอกให xeε ˆ)0 ,0 ,1()1(

และ yeε ˆ)0 ,1 ,0()2(

}

“photon” ซงม “spin 1” จะม “two” possible “spin orientations” )1( sm

{ “ไมม ms ” “ไมม ‘longitudinal’ electromagnetic wave” }


ส าหรบ “massless particles” (เคลอนทดวยอตราเรว c) ไมวาจะม spin (s) เปนเทาใด จะมเพยง “two” possible “spin orientations” เทานน (ยกเวน s 0) โดยจะม “projection ของ spin ในทศทางการเคลอนท” เปน “ms s” หรอ “ms s”

sms 1 s

mhelicity s “right-circular” polarization

sms 1 s

mhelicity s “left-circular” polarization

ส าหรบ “massive particle” ทม spin “s” จะม “s ” different spin orientations

(ม “s” possible values of ms ,1 ,,1, ssssms )

sms

p

S

p

S

sms

p

S p

S


3. Feynman Rules for QED

“Feynman rules” ส าหรบหา/ค านวณ “amplitude” ของ “แตละ Feynman diagram”

ในกรณของ Quantum Electrodynamics มดงน

Rule 1: “4-momentum”

ส าหรบ “ทก external line” ระบ “4-momentum” (ใช p p1, p2,…)

(และ “corresponding spin” s1, s2,…)

ส าหรบ “ทก internal line” ระบ “4-momentum” (ใช q q1, q2,…)

เขยน “ลกศร ‘ขางๆ เสน’ ทกเสน” เพอระบ “positive” direction {ทศทเวลาเพมขน ()}

เขยน “ลกศร ‘บน’ ทกเสน” เพอระบวาเปน “particle” หรอเปน “antiparticle”

(“ve” direction) (“ve” direction)


Rule 2: “Line factor”

ส าหรบ “แตละ external line” ระบ “line factor”

ซงจะขนกบ “ชนดของ particle หรอ antiparticle” และ “ทศทางการเคลอนท”

ชนดของอนภาค ทศทางการเคลอนท “line factor”

“electron”

(particle)

incoming )()()(

is

puiu i

outgoing )()()(

is

puiu i

“positron”

(antiparticle)

incoming )()()(

is

pviv i

outgoing )()()(

is

pviv i

“photon”

(mediator)

incoming )(i

outgoing )(* i

“adjoint” spinors 0 uu และ 0 vv


Rule 3: “Vertex factor”

ท “แตละ vertex” ระบ “vertex factor” “QED vertex factor” eig

เมอ 44

cege

คอ ‘dimensionless’ QED coupling constant

“ ” คอ “fine structure” constant และ “” คอ “(Dirac) gamma matrices”

Rule 4: “Propagator”

ส าหรบ “แตละ internal line” ระบ “propagator”

ซงจะขนกบ “ชนดของอนภาค” ทเกยวของกบ internal line นน

ส าหรบ “electron” และ “positron” “propagator” = )(

222 cmq

mcqi

ส าหรบ “photon” (ไมมมวล) “propagator” = 2q

ig เมอ “g” คอ “metric”


Rule 5: “Conservation of energy and momentum”

ท “แตละ vertex” เขยน “Dirac delta function” ในรป

)()2( 32144 kkkδπ

เมอ “kj” คอ “4-momentum” ของ jth particle/antiparticle

เปน “บวก (ลบ)” ส าหรบ “incoming (outgoing)” particle/antiparticle

Rule 6: “Integrate over internal 4-momenta”

ส าหรบ “แตละ internal line”

(i) เขยน factor )2(

4

4

π

qd และ (ii) “integrate”


Rule 7: “Cencel the (Dirac) delta function”

การใช Rules 16 จะให “ผลลพธ” ทม factor

)()2( 2144

npppδπ

ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation

ให (i) “ตด factor นออก” แลว (ii) “คณดวย i” )1( i จะได “amplitude, M ”

ใน Quantum Electrodynamics (QED)

ทง “line factors”, “vertex factors” และ “propagators” จะเปน “matrices” ดงนน

“ล าดบ (order) ของการรวม factors เหลานเขาดวยกน” จะ “มความส าคญ”

เรยงล าดบเทอมตางๆ โดย “ไลตาม fermion line” ในทศ “ยอน” กบ “ลกศรบนเสน”

แตละ fermion line จะใหเทอมตางๆ เรยงกนในลกษณะทให “ผลลพธ” เปน “ตวเลข”

“adjoint spinor (row)” “4 4 matrix” “spinor (column)” “number”

(เรยก “การเรยงในลกษณะน” วา “sandwich”)


Rule 8: “Antisymmetrization”

โดยทวไป แตละ “กระบวนการ (process)” ทจะศกษา จะม “หลาย Feynman diagrams”

ตองหา “amplitude, M ” ของ “แตละ diagram” แลวน ามา “รวม” กน

เนองจาก “wave functions ของ fermion” (spin ครง) ตองมสมบต “antisymmetric”

การ “รวม” amplitudes ของ “2 diagrams”

ทมความสมพนธกนผาน “การสลบ two identical external fermions”

จะตอง ใสเครองหมาย “ลบ” ใหกบ “amplitude” ของ “diagram อนใดอนหนง” (เลอก diagram ใดกได เพราะวา ในตอนทาย เราตอง “ยกก าลงสอง”)

“incoming electron” “incoming electron” “outgoing positron”

“outgoing electron” “outgoing electron” “incoming positron”

“incoming positron” “incoming positron” “outgoing electron”

“outgoing positron” “outgoing positron” “incoming electron”


4. Basic (Second-order) Quantum Electrodynamics Processes

(a) Elastic Processes

“electronmuon” scattering

e e

“Mott” scattering (M m)

“Rutherford” scattering (v c)

“electronelectron” scattering

e e e e

(“Moller” scattering)


(a) Elastic Processes (ตอ)

“electronpositron” scattering

e e e e

(“Bhabha” scattering)

“Compton” scattering

e e


(b) Inelastic Processes

“pair annihilation”

e e

“pair production”

e e


ElectronMuon Scattering

“Simplest” Quantum Electrodynamics (QED) Process

ใน “second-order” จะ “มเพยง one Feynman diagram”

จะหา “amplitude (M)” ส าหรบ Feynman diagram ขางบน โดยใช Feynman Rules

e e


e e

q

p1

p2

p3

p4

RULE 1

ระบ “4-momentum” ของ “ทก external line” (ใช p) และ “ทก internal line” (ใช q)

พรอมทง เขยน “ลกศร” ขางๆ เสนทกเสน เพอระบ “positive” direction


RULE 2

ระบ “line factor” ของ “ทก external line”

(ขนกบวาเปน “particle” หรอ “antiparticle” และขนกบ “ทศทางการเคลอนท”)

e e

q

p1

p2

p3

p4

)()1( 1)( 1 puu

s

)()2( 2)( 2 puu

s

)()3( 3)( 3 puu

s

)()4( 4)( 4 puu

s


RULE 3

ระบ “vertex factor” ของ “ทก vertex”

e e

q

p1

p2

p3

p4

)()1( 1)( 1 puu

s

)()2( 2)( 2 puu

s

)()3( 3)( 3 puu

s

)()4( 4)( 4 puu

s

eig

eig


RULE 4

ระบ “propagator” ของ “ทก internal line”

(ขนกบ “ชนดของ particle” ทเกยวของกบ internal line)

e e

q

p1

p2

p3

p4

)()1( 1)( 1 puu

s

)()2( 2)( 2 puu

s

)()3( 3)( 3 puu

s

)()4( 4)( 4 puu

s

eig

eig

2q

ig


RULE 5

ท “แตละ vertex” เขยน “Dirac delta function” ในรป (แสดง “Conservation of energy and momentum” ทแตละ vertex)

)()2( 32144 kkk

e e

q

p1

p2

p3

p4

)()1( 1)( 1 puu

s

)()2( 2)( 2 puu

s

)()3( 3)( 3 puu

s

)()4( 4)( 4 puu

s

eig

eig

2q

ig

)()2( 3144 qpp

)()2( 4244 pqp


RULE 6

(1) ส าหรบ “แตละ internal line” เขยน “4-momentum volume element” ในรป

4

4

)2(

qd

e e

q

p1

p2

p3

p4

)()1( 1)( 1 puu

s

)()2( 2)( 2 puu

s

)()3( 3)( 3 puu

s

)()4( 4)( 4 puu

s

eig

eig

2q

ig

)()2( 3144 qpp

)()2( 4244 pqp

4

4

)2(

qd


RULE 6 (ตอ)

(2) เขยนเทอมตางๆ เรยงกนในรปแบบ “path 1” “internal (photon) line” “path 2”

(walking “backward” along fermion line)

e e

q

p1

p2

p3

p4

)()1( 1)( 1 puu

s

)()2( 2)( 2 puu

s

)()3( 3)( 3 puu

s

)()4( 4)( 4 puu

s

eig

eig

2q

ig

)()2( 3144 qpp

)()2( 4244 pqp

2

1


4

4

)2(

qd


“path 1” “internal (photon) line” “path 2”

)3(u eig )1(u

)()2( 3144 qpp

2q

ig

4

4

)2(

qd)()2( 42

44 pqp

)4(u )2(ueig

RULE 6 (ตอ)

(3) “อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”

)( 314 qpp )( 42

4 pqp qd 4

4)2( )3(u eig )1(u

2q

ig )4(u )2(ueig


ถา

เลอกใช “first Dirac delta function” 4( p1 – p3 – q) ในการอนทเกรต

จะไดวา

“ผลของการอนทเกรต” คอ การแทน “ทก q” ดวย “p1 – p3”

นนคอ

จดเทอมใหม และใชความสมพนธ 12 i และ

g จะได

)()2( 432144 pppp

231

2

)( pp

ige

[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]

4)2( )3(u eig )1(u )4(u )2(u

231 )( pp

ig)( 4321

4 pppp eig


231

2

)( pp

ige

[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]

M = 2

31

2

)( pp

ge

[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]

“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied

อาจจะ ด “ซบซอน” (ม 4 spinors และ 8 gamma matrices)

แตจรงๆ แลว เปนเพยง “ตวเลข” (just a “number”)

RULE 7 (ตอ)

(2) คณดวย “i ” จะได “amplitude” M ส าหรบ Feynman diagram ทก าลงพจารณา

RULE 7

(1) ตด “Dirac delta function” ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation


Special Case: Electron (e) Muon () Scattering ใน CM frame

พจารณา “กรณพเศษ” ท

(1) “e” และ “” เคลอนทในแนวแกน z เขาหากน ผลกกน แลวเคลอนทยอนกลบ

(2) “initial” และ “final” particles “ทกตว” ม “helicity” เปน “+1”

(นนคอ อนภาคทกตวม “spin” วางตวอยในทศเดยวกบ “ทศทางการเคลอนท”)

“spin” “up” “down” “down” “up”

z

e

21sm

21sm

กอนการกระเจง e

21sm

21sm

หลงการกระเจง


“Dirac spinors” ส าหรบ “particle” ทม “มวล m” และ “4-momentum p” คอ

)(

0

1

2

2

2)1(

mcE

ippcmcE

cp

c

mcEu

yx

z และ )(

1

0

2

2

2)2(

mcE

cpmcE

ippc

c

mcEu

z

yx

“spin-up” particle (21sm ) “spin-down” particle (

21sm )

โดยท ))(( 22 mcEmcEc p

{ จาก 42222 cmcE p จะได ))(( 2242222 mcEmcEcmEc p

}

“adjoint spinor” คอ 0 uu

โดยท เครองหมาย “+” หมายถง การท า “transpose” และ “complex conjugate”


ส าหรบ “กรณพเศษ” ของ “e

elastic scattering” ใน CM frame ทก าลงพจารณา

“Dirac spinors” ส าหรบ “incident electron” (ม “มวล me” และ “พลงงาน Ee”) คอ

0

0

0

0

1)1(

2

2

a

a

cmE

cmE

cu

ee

ee

เมอ 2

c

cmEa ee

“มวล me” (m me), “พลงงาน Ee” (E Ee), “spin up” { ใช u(1)}

“เคลอนทในทศ z”{ ))((ˆ 22 cmEcmEcpcp eeeezzz pep

}


“Dirac spinors” ส าหรบ “incident muon” (ม “มวล m” และ “พลงงาน E”) คอ

0

0

0

0

1

)2(

2

2

b

b

cmE

cmE

cu

เมอ

2

c

cmEb

“มวล m” (m m), “พลงงาน E” (E E), “spin down” { ใช u(2)},

“เคลอนทในทศ z”{ ))((ˆ 22 cmEcmEcpcp zzz pep

}


ส าหรบ “scattered (outgoing) electron” :

“มวล me”, “พลงงาน Ee”, “spin down” และ “เคลอนทในทศ z”

ใช u(2) เหมอน incident muon ยกเวน “เปลยน (m, E b) เปน (me, Ee, a”

เปน “outgoing” electron ใช “adjoint spinor”

0

0

)3(

a

au 00 )3(

aau { aa* (เปนจ านวนจรง)}

00

10 0 0

0 10 0

0 0 1 0

0 0 0 1

00 )3()3( 0

aaaauu


ส าหรบ “scattered (outgoing) muon” :

“มวล m”, “พลงงาน E”, “spin up” และ “เคลอนทในทศ z”

ใช u(1) เหมอน incident electron ยกเวน “เปลยน (me, Ee, a เปน (m, E b)”

เปน “outgoing” muon ใช “adjoint spinor”

0

0 )4(

b

b

u 00 )4( bbu { bb* (เปนจ านวนจรง)}

00

10 0 0

0 10 0

0 0 1 0

0 0 0 1

00 )4()4( 0

bbbbuu


M = 2

31

2

)( pp

ge

[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]


0

0)1(

a

a

u และ aau 00)3( โดยท 2

c

cmEa ee

0

0

)2(

b

bu และ 00)4( bbu โดยท

2

c

cmEb


M = 2

31

2

)( pp

ge

[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]


, 1

e

e

c

Ep p

& , 3

e

e

c

Ep p

2 ,0 31 epp p

440)( 222231 eepp pp

M = 4

2

2

e

eg

p [ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]



M = 4

2

2

e

eg

p [ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]


“BjorkenDrell” Representation

0

10

01 และ

0

0i

ii

เมอ )321( , , i i คอ “Pauli (spin) matrices” ซงเขยนในรปทวไปไดเปน

01

10 1

,

0

0 2

i

i ,

10

0 1 3

2221

1211

ii

iii

0111 , 11

12 , i221 , 02

22 , 1311 , 13

22 , …


M = 4

2

2

e

eg

p [ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]


จาก 33

22

11

00

ggggg μ

เมอ

10 0 0

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

gg (“gmetric”)

จะได 0303

202

101

00000

ggggg

1313

212

111

01011

ggggg

นนคอ 00 , 1

1 , 22 , และ 3

3


M = 4

2

2

e

eg

p [ )3(u )1(u ][ )4(u )2(u ]


M = 4

2

2

e

eg

p {[ )3(u 0 )1(u ][ )4(u 0 )2(u ] [ )3(u i )1(u ][ )4(u i )2(u ]}

“sum over all possible values of i (i = 1, 2, 3)” implied

00

ii

M = 4

2

2

e

eg

p {[ )3(u 0 )1(u ][ )4(u 0 )2(u ] [ )3(u i )1(u ][ )4(u i )2(u ]}



เนองจาก )3(u 0 )1(u aa 00

10 0 0

0 10 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0

0

a

a

= 0 ดงนน

M = 4

2

2

e

eg

p {[ )3(u 0 )1(u ][ )4(u 0 )2(u ] [ )3(u i )1(u ][ )4(u i )2(u ]}


M = 4

2

2

e

eg

p [ )3(u i )1(u ][ )4(u i )2(u ]



)3(u i )1(u ) 0 0( aa

00

00

00

00

2221

1211

2221

1211

ii

ii

ii

ii

0

0

a

a

)3(u i )1(u ) 0 0( aa

i

i

i

i

a

a

a

a

21

11

21

11

)3(u i )1(u = aa2 i21


)3(u i )1(u )] 0( ) 0[( aa

0

0i

i

0

0

a

a

)3(u i )1(u )] 0( ) 0[( aa

0

0

a

a

i

i

)3(u i )1(u a0 i

0

a a0 i

0

a

)3(u i )1(u aa2 10

ii

ii

2221

1211

0

1 aa2 10

i

i

21

11

)3(u i )1(u = aa2 i21


)4(ui )2(u )0 0 ( bb

00

00

00

00

2221

1211

2221

1211

ii

ii

ii

ii

b

b

0

0

)4(u i )2(u )0 0 ( bb

i

i

i

i

b

b

b

b

22

12

22

12

)4(u i )2(u bb2 i12


)4(u i )2(u )]0 ( )0 [( bb

0

0i

i

b

b

0

0

)4(u i )2(u )]0 ( )0 [( bb

b

b

i

i

0

0

)4(u i )2(u )0 ( b i

b

0 )0 ( b i

b

0

)4(u i )2(u bb2 01

ii

ii

2221

1211

1

0 bb2 01

i

i

22

12

)4(ui )2(u bb2 i

12


M = 4

2

2

e

eg

p [ )3(u i )1(u ][ )4(u

i )2(u ]


)3(u i )1(u = aa2 i21

)4(u i )2(u bb2 i12

M = 2

2

e

eg

p aa bb i

i

i21

3

112

eeeeeeee

c

c

c

cmE

c

cmEcmEaa p

p

2242222

pp

c

c

c

cmE

c

cmEcmEbb

2242222

ใน CM frame pp

e aa bb = 2ep


จาก 01

10 1

,

0

0 2

i

i ,

10

0 1 3

2221

1211

ii

iii

จะได 2)0)(0())(()1)(1( 321

312

221

212

121

11221

3

112

iii

i

i

ดงนน M = 2

2

e

eg

p aa bb i

i

i21

3

112

aa bb = 2ep

2 21

3

112

i

i

i

M = 2 2eg


ElectronElectron Scattering

ใน “second-order” จะม “two” Feynman diagrams

“1st” Feynman diagram “M1” “2nd” Feynman diagram “M2”

(“เหมอนกบ” e scattering) “twisted” diagram : (p3, s3) (p4, s4)

e

e

e

e

p2 p4

p1

q

p3

e

e

e

e

q

p1

p2

p4

p3


เนองจาก “1st” Feynman diagram จะ“เหมอนกบ” e scattering ดงนน จะได

1M = 2

31

2

)( pp

ge

[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]


เนองจาก “2nd” (“twisted”) diagram ไดจาก “1st” Feynman diagram โดยการ “สลบ 2 identical outgoing electrons”, (p3, s3) (p4, s4), ดงนน จะได

2M = 2

41

2

)( pp

ge

[ )4(u )1(u ] [ )3(u )2(u ]


และ โดย “Feynman’s Rule 8” จะไดวา

“amplitude” ส าหรบ “second-order” electron-electron scattering คอ

21 MMM


ElectronPositron Scattering

ในกรณน ใน “second-order” กจะม “two” Feynman diagrams คอ


(“คลายกบ” e scattering) ม “virtual annihilation” ของ “e e

”

ตามดวย “pair production”

e

e

e

e

p2 p4

p1

q

p3

e

e

e

e q

p1

p2 p4

p3


พจารณา “1st” Feynman diagram จะหา “amplitude, M1”

Tracking

Walking

backward along

particle

antiparticle

line means working

backward

forward

in time


e e

e e

q

p1

p2

p3

p4

)()1( 1)( 1 puu

s )()3( 3

)( 3 puus

eig

eig

2q

ig

)()2( 3144 qpp

)()2( 4244 pqp

2

1

(walking “backward” along anti-fermion line)

4

4

)2(

qd

)()2( 2)( 2 pvv

s )()4( 4

)( 4 pvvs


เขยนเทอมตางๆ เรยงกนในรปแบบ “path 1” “internal (photon) line” “path 2”


)3(u eig )1(u

)()2( 3144 qpp

2q

ig

4

4

)2(

qd)()2( 42

44 pqp

eig)2(v )4(v

“อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”

)( 314 qpp )( 42

4 pqp qd 4

4)2( )3(u eig )1(u

2q

ig eig)2(v )4(v


ถา

เลอกใช “first Dirac delta function” 4( p1 – p3 – q) ในการอนทเกรต

จะไดวา

“ผลของการอนทเกรต” คอ การแทน “ทก q” ดวย “p1 – p3”

นนคอ


g จะได

)()2( 432144 pppp

231

2

)( pp

ige

[ )3(u )1(u ] [ )2(v )4(v ]

4)2( )3(u eig )1(u

231 )( pp

ig )( 43214 pppp

eig)2(v )4(v


)()2( 432144 pppp

231

2

)( pp

ige

[ )3(u )1(u ] [ )2(v )4(v ]

ตด “Dirac delta function” ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation

231

2

)( pp

ige

[ )3(u )1(u ] [ )2(v )4(v ]

คณดวย “i ” จะได amplitude “M1” ส าหรบ “1st Feynman diagram”

1M = 2

31

2

)( pp

ge

[ )3(u )1(u ] [ )2(v )4(v ]



พจารณา “2nd” Feynman diagram จะหา “amplitude, M2”

e

e

e

e q

p1

p2 p4

p3

)()4( 4)( 4 pvv

s

)()3( 3)( 3 puu

s

)()2( 2)( 2 pvv

s

)()1( 1)( 1 puu

s

eigeig

2q

ig

4

4

)2(

qd

1 2 )()2( 21

44 qpp )()2( 4344 ppq


เขยนเทอมตางๆ เรยงกนในรปแบบ “path 1” “internal (photon) line” “path 2”


)3(u eig )1(u

2q

ig

4

4

)2(

qd

eig)2(v)4(v

)()2( 4344 ppq )()2( 21

44 qpp

“อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”

qd 4

4)2( )3(u eig )1(u

2q

ig eig)2(v)4(v

)( 434 ppq )( 21

4 qpp


ถา

เลอกใช “first Dirac delta function” 4( q – p3 – p4) ในการอนทเกรต

จะไดวา

“ผลของการอนทเกรต” คอ การแทน “ทก q” ดวย “p3 + p4”

นนคอ


g จะได

)()2( 432144 pppp

243

2

)( pp

ige

[ )3(u )4(v ] [ )2(v )1(u ]

4)2( )3(u eig )1(u )( 43214 pppp

eig)2(v)4(v

243 )( pp

ig


)()2( 432144 pppp

243

2

)( pp

ige

[ )3(u )4(v ] [ )2(v )1(u ]


และ เขยน 43 pp เปน 21 pp

221

2

)( pp

ige

[ )3(u )4(v ] [ )2(v )1(u ]

คณดวย “i ” จะได amplitude “M2” ส าหรบ “2nd Feynman diagram”

2M = 2

21

2

)( pp

ge

[ )3(u )4(v ] [ )2(v )1(u ]



เนองจาก “1st diagram” “2nd diagram”

โดยการ “สลบ” ระหวาง “incoming positron” กบ “outgoing electron”

(ซงถอวาเปน “identical particles”)

ดงนน, โดย “Feynman’s Rule 8”, ในการ “รวม” amplitudes “M1” และ “M2”

ตองใส เครองหมาย “ลบ” ใหกบ “amplitude อนใดอนหนง”

นนคอ M M1 M2 หรอ M M2 M1

“interchange” “redraw

”

“2nd

diagram” “1st diagram”

“interchange” “redraw

”

“1st diagram” “2

nd diagram”


Compton Scattering: e e

ใน “second-order” จะม “two” Feynman diagrams คอ


จะมเทอมทเกยวของกบ “electron propagator” (ม internal electron line)

และ “photon polarization” (ม incoming/outgoing photons) ดวย

เนองจาก “1st” Feynman diagram และ “2nd” Feynman diagram ไมไดมความสมพนธกน ผาน “การสลบ identical particles”

ดงนน ในการ “รวม” amplitudes ตองเอามา “บวก” กน

M M1 M2

e

e

e

e


พจารณา “1st” Feynman diagram จะหา “amplitude, M1”

สามารถเขยน “electron propagator” ไดในรป )(

222 cmq

mcqi

( โดยใช “slash” notation

aaaaa )

eig

e

e

)1(u

)4(u)2(

)3(*

eig

1p

2p

3p

4p

q

)()2( 3144 qpp

)()2( 4244 pqp

222

)(

cmq

mcqi

(sum over

4

4

)2(

qd


เขยนเทอมตางๆ เรยงล าดบ ในทศ “ยอน” กบทศของ “ลกศร” บน “fermion line”

“จดเทอม” และ “อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”

i 4)2( 2eg )4(u )2(

222

)(

cmq

mcq

)3(* )1(u

)( 424 pqp )( 31

4 qpp qd 4

“อนทเกรต” โดยใช 2nd delta function แทน “ทก q” ดวย “p1 p3”

)4(u eig

)()2( 4244 pqp

222

)(

cmq

mcqi

4

4

)2(

qd

)()2( 3144 qpp

eig )1(u)2( )3(*

“contract”

)2()2(

“contract”

)3()3( **


i 4)2( 2eg )4(u )2(

22231

31

)(

)(

cmpp

mcpp

)3(* )1(u

)( 43124 pppp


[พรอม factor 4)2( ] และ คณดวย “i ” จะได amplitude “M1”

1M 2eg )4(u )2(

22231

31

)(

)(

cmpp

mcpp

)3(* )1(u

หรอ “จดรปใหม” เปน

1M 222

31

2

)( cmpp

ge

[ )4(u )2( )( 31 mcpp )3(* )1(u ]


พจารณา “2nd” Feynman diagram จะหา “amplitude, M2”

)()2( 2144 qpp

eig

e

e

1p 3p

4p2p

)4(u

)1(u )3(*

)2(

222

)(

cmq

mcqi

q

4

4

)2(

qd

)()2( 4344 ppq eig


เขยนเทอมตางๆ เรยงล าดบ ในทศ “ยอน” กบทศของ “ลกศร” บน “fermion line”

“จดเทอม” และ “อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”

i 4)2( 2eg )4(u )3(*

222

)(

cmq

mcq

)2( )1(u

)( 434 ppq )( 21

4 qpp qd 4

“อนทเกรต” โดยใช 2nd delta function แทน “ทก q” ดวย “p1 p2”

)4(u eig 222

)(

cmq

mcqi

4

4

)2(

qd

eig )1(u

“contract” “contract”

)()2( 4344 ppq

)3(* )2(

)3()3( ** )2()2(

)()2( 2144 qpp


i 4)2( 2eg )4(u )3(*

22221

21

)(

)(

cmpp

mcpp

)2( )1(u

)( 43214 pppp


[พรอม factor 4)2( ] และ คณดวย “i ” จะได amplitude “M2”

2M 2eg )4(u )3(*

22221

21

)(

)(

cmpp

mcpp

)2( )1(u

หรอ “จดรปใหม” เปน

2M 222

21

2

)( cmpp

ge

[ )4(u )3(* )( 21 mcpp )2( )1(u ]

“amplitude รวม” คอ M M1 M2


5. Calculation Tools Casimir Trick

ในการทดลองทเรา ร “spin orientation” ของ “particles/antiparticles” ทเกยวของ

ร “spin” ของ “incoming” และ “outgoing” particles (หรอ antiparticles)

และ ร “polarization” ของ photons

ร “u” (particle), ร “v” (antiparticle) และ ร “” (photon)

แทนลงใน “expression” ของ “amplitude (M )” ได “M ”

หา “| M |2” ซงเปนปรมาณทตองใช ในการหา “cross-section” หรอ “lifetime”

โดยแทน | M |2 ลงใน “appropriate expression” ทไดจาก “Golden Rule”


อยางไรกตาม “ในการทดลองสวนใหญ”

ไมร/ไมสามารถควบคม “spin orientation” ของ particles/antiparticles ทเกยวของ

ใช “beam of incident particles” ทม “spin orientation” เปน “แบบสม (random)”

และ ตรวจนบ “จ านวน” scattered particles ท “กระเจง” ไปในทศทางตางๆ

ตอง “average” over all “initial” spin configurations (si)

และ “sum” over all “final” spin configurations (sf)

ตองค านวณ “| M (si sf)|2” ส าหรบ “every possible spin combinations” แลว

ท าการ “sum” over “final spins” และ “average” over “initial spins”

2

M “average” over “initial spins” และ

“sum” over “final spins” ของ | M (si sf)|2


ในทางปฏบต จะเปนการ “งาย/สะดวก” กวา ถาสามารถ “ค านวณ/หา” M

2 ได “โดยตรง”

โดยไมตองค านวณ “individual amplitudes, M (si sf)”

“Casimir’s Trick”

ส าหรบ “electron-muon” scattering (ซงใน “2nd-order” มเพยง “1 diagram”)

M = 2

31

2

)( pp

ge

[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]

2M =

431

4

)( pp

ge

)3([u )]1(u )4([u )]2(u )3([u )]1(u

*)4([u )]2(u

*

นนคอ “ปรมาณทตองค านวณ” จะม “รปทวไป” เปน

G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*


G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*

เนองจาก แตละ “square bracket”

[ซงม “รปแบบเดยวกน” คอ “adjoint spinor” “4 4 matrix” “spinor”]

จะให “ผลลพธ” เปน “(complex) number”

dcba

PONM

LKJI

HGFE

DCBA

h

g

f

e

“(complex) number”

“complex conjugate (*)” จะใหผลเหมอนกบ “Hermitian conjugate (+)”

(“Hermitian conjugate” “transpose” + “complex conjugate”)

ดงนน G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*= [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]

+


“transpose of product” = “product of transposes” in “reversed order”

[ )(au 2 )(bu ]+ )(bu

2)]([ au

)()]([])([)]([ 000 auauauau }{ 00 & 100

[ )(au 2 )(bu ]+ )(bu

2)]([ au )(bu

2 )(0 au )(bu 00 2 )(0 au

)(bu 2

นนคอ [ )(au 2 )(bu ]+ )(bu 2 )(au

เมอ 2 เปน “4 4 matrix” อนใหม ซงนยามโดย

02

02

ดงนน G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*= [ )(au 1 )(bu ][ )(bu 2 )(au ]

(สลบ a b, เปลยน เปน 00 , เอา “*” ออก)


G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*= [ )(au 1 )(bu ][ )(bu 2 )(au ]

“รวม (sum)” ทกแบบของ “spin orientations” ของ particle “b”

Gspinsb

)(au 1

)( )()()(

2,1b

sb

s

s

pupu bb

b

2 )(au ]

ใช “completeness” relation,

)( )( )()(

2,1

cmpcmppupu bbbbbs

bs

s

bb

b

จะได Gspinsb

)(au 1 )( cmp bb 2 )(au ] )(au Q )(au

เมอ Q 1 )( cmp bb 2 เปน “4 4 matrix” อนใหม


Gspinsb

)(au Q )(au

“รวม (sum)” ทกแบบของ “spin orientations” ของ particle “a” จะได

Gspinsall

spinsa

Gspinsb

2,1as

)()(

as

pu a Q )()(

as

pu a

Q )()(

as

pu a =

Q

u =

Qu เปน “4-element” column matrix

โดยม “ith

element” คอ )()]( [ 4

1

)()(j

ja

sijia

spuQpuQ aa

(i 1, 2, 3, 4)


)()(

as

pu a Q )()(

as

pu a u

Q

u = u

Qu =

จะเปน “1 1” matrix

)()()( )( )(

4

1

)(4

1

)()(ja

sij

jia

s

ia

sa

spuQpupuQpu aaaa

ดงนน

)()( )(

4

1

)(4

12,1 ja

sij

jia

s

isspinsall

puQpuG aa

a

จดเทอมใหม

)()( )()(

2,1

4

1, ia

sja

s

sij

jispinsall

pupuQG aa

a

(สลบท “matrices” ไมได แต สลบท “components ของ matrices” ได)


จาก )()(

as

pu a )()(

as

pu a

u u

uu “4 4” matrix จะได

“ji element” ของ “ )( )()()(

as

as

pupu aa ” คอ

)()()]( )([ )()()()(

ias

jas

jias

as

pupupupu aaaa ดงนน

)]()([ )()(

2,1

4

1,

jias

as

sij

jispinsall

pupuQG aa

a

จดเรยงเทอมใหม

)()( )()(

2,1

4

1,

ji

as

as

sij

jispinsall

pupuQG aa

a


ใช “completeness” relation,

)( )( )()(

2,1

cmpcmppupu aaaaas

as

s

aa

a

จะได

)( )( 4

1

4

1

4

1,

jiaaijji

jiaaijjispinsall

cmpQcmpQG

)]([ )]([ 4

1

cmpQTrcmpQG aaiiaaispinsall

“Trace (Tr)” ของ “Matrix” “ผลรวม” ของ “diagonal elements” ของ Matrix

)]()([ 21

cmpcmpTrG aabbspinsall


สรปกคอ จะไดวา

G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*= [ )(au 1 )(bu ][ )(bu 2 )(au ]

และ

spinsall

G Tr [ 1 )( cmp bb 2 )( cmp aa ]

เมอ 02

02

สามารถเปลยนจาก “sum over spins” เปน “multiply matrices” และ

“take the trace” “Casimir’s Trick”

ถา “u” (ซงใชบรรยาย “particle”) เปลยนไปเปน “v” (ซงใชบรรยาย “antiparticle”) ให “เปลยนเครองหมายหนามวลทเกยวของ” เชน

spinsall

[ )(au 1 )(bv ][ )(bv 2 )(au ] Tr [ 1 )( cmp bb 2 )( cmp aa ]


พจารณากรณของ “electron-muon” scattering ซงม “ก าลงสอง” ของ amplitude เปน

2M

431

4

)( pp

ge

)3([u )]1(u )4([u )]2(u )3([u )]1(u

*)4([u )]2(u

*

ใช “Casimir’s Trick”

spinsall

[ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]* Tr [ 1 )( cmp bb 2 )( cmp aa ]

เมอ 0

20

2 และ aa (

aa pp และ bb pp )

กบ )3([u )]1(u )3([u )]1(u* และ )4([u )]2(u

*)4([u )]2(u

* จะได

spinsall

2M

431

4

)( pp

ge

Tr [ )( 1 cmp e

)( 3 cmp e ]

Tr [ )( 2 cmp )( 4 cmp ]

(“all spins” รวม “ทกแบบ” ของทง “initial” และ “final” spin configurations)


เนองจาก เราตองการ “average” over “initial spin configurations” หารดวย “4” ( ม “2 อนภาค” โดยท “แตละอนภาค” ม “2” possible spin orientations

ดงนน จะม “4” possible initial spin configurations )

2

M 4

31

4

)(4 pp

ge

Tr [ )( 1 cmp e

)( 3 cmp e ]

Tr [ )( 2 cmp )( 4 cmp ]

M 2 = “average” over “initial spins” และ “sum” over “final spins” ของ | M (si sf)|

2

เนองจาก )( 00 และ )( 00 ดงนน

2

M 4

31

4

)(4 pp

ge

Tr [ )( 1 cmp e

)( 3 cmp e ]

Tr [ )( 2 cmp )( 4 cmp ]


“Trace Theorems”

“Trace (Tr)” ของ “Matrix” “ผลรวม” ของ “diagonal elements” ของ Matrix

“3 facts” เกยวกบ “Trace (Tr)” โดยทวไป:

“A, B, C ” เปน “matrices” และ “” เปน “any number”

(1) )()()( BTrATrBATr

(2) )()( ATrATr

(3) )()( BATrABTr ถงแมวา โดยทวไป BAAB

จาก (3) จะไดวา )()()( BCATrCABTrABCTr

ซง, โดยทวไป, จะ “ไม” เทากบ

)()()( CBATrBACTrACBTr

A

B C


สมบตทส าคญของ gmetric )( gg และ matrices:

(4) 4 gg (sum over “ ” and “ ”)

(5) g2 (“anticommutation” relation ของ matrices)

(5)’ babaab 2 เมอ

aaa (sum over “ ” )

(6) 4

(7) 2 (7)’ aa 2

(8) g4 (8)’ )(4 baba

(9) 2 (9)’ abccba 2

(สงเกตวา มการ “reverse order”) (สงเกตวา มการ “reverse order”)


Trace Theorems:

(10) “Trace” ของ “product” of “odd” number of

matrices เปน “ศนย”

)(0)( TrTr

(11) 4)( 1Tr เมอ “1” คอ “4 4” unit matrix

(12) gTr 4)( (12’) )(4)( babaTr

(13) )(4)( ggggggTr

(13)’ )])(())(())([(4)( cbdadbcadcbadcbaTr

เนองจาก 32105

01

10 i เปน “ผลคณของ ‘4’

matrices” ดงนน

ถา คณ “” กบ “odd” number of

matrices “ผลลพธ” ม Trace เปน “ศนย”

0)()( 55 TrTr


ถา คณ “” กบ “even” number of

matrices”

“Trace” ของ “ผลลพธ” อาจจะ “ไมเปนศนย”

(14) 0)( 5 Tr

(15) 0)( 5 Tr (15)’ 0)( 5 baTr

(16) iTr 4)( 5

(16)’ dcbaidcbaTr 4)( 5

เมอ

3 ,2 ,1 ,0

3 ,2 ,1 ,0

if

if

if

1

0

1

ofnpermutatioodd

sametheareindiciestwoany

ofnpermutatioeven

gggg (sum over

10123

)1)(1)(1)(1)(1(

01233322110032100123

1 gggggggg


ใช “Trace Theorems” เพอค านวณ “M 2” ส าหรบ “electron-muon” scattering

2

M 4

31

4

)(4 pp

ge

Tr [ )( 1 cmp e

)( 3 cmp e ]

Tr [ )( 2 cmp )( 4 cmp ]

เพอความสะดวก จะเขยน mme และ Mm

2

M 4

31

4

)(4 pp

ge

Tr [ )( 1 mcp

)( 3 mcp ]

Tr [ )( 2 Mcp )( 4 Mcp ]

จะได 2

M 4

31

4

)(

4

pp

ge

[

1p3p +

3p1p g { 2)(mc )( 31 pp }]

[ 2p 4p + 2p 4p g { 2)(Mc )( 42 pp }]


พจารณา Tr [ )( 1 mcp )( 3 mcp ]

Tr [( 1p + mc )( 3p + mc )]

Tr [ 1p 3p + mc{ 1p

3p } + 2)(mc ]

Tr ( 1p 3p ) + mc{Tr ( 1p

) Tr ( 3p )} + 2)(mc Tr ( )

= Tr ( 1p 3p ) = 4(

1p3p g )( 31 pp +

3p1p ),

= Tr ( 1p ) = 0, = Tr ( 3p ) = 0, = Tr ( ) = g4

4[ 1p

3p +

3p1p g { 2)(mc )( 31 pp }]


Tr ( 1p 3p )

Tr ( 1p

3p )

31 pp Tr ( )

ใช

31 pp )(4 gggggg

4( 1p g 3p g g 31 pp g + 3p g 1p g )

4( 1p

3p g )( 31 pp +

3p1p )


Tr ( 1p ) = Tr (

1p ) = 1p Tr ( ) = 0

“ผลคณ” ของ “odd number of matrices” เปน “ศนย”

Tr ( 3p ) = Tr ( 3p ) = 3p Tr ( ) = 0

“ผลคณ” ของ “odd number of matrices” เปน “ศนย”

Tr ( ) g4

[โดย (12)]


พจารณา [ 1p

3p +

3p1p g { 2)(mc )( 31 pp }]

[ 2p 4p + 2p 4p g { 2)(Mc )( 42 pp }]

“a” “b” “c” “d ”

[ 1p

3p +

3p1p g 2)(mc g )( 31 pp ]

[ 2p 4p + 2p 4p g 2)(Mc g )( 42 pp ]

“A” “B” “C” “D”

ม “16” terms แบงเปน “5” groups

aA aB aC aD bA bB bC bD cA cB cC cD dA dB dC dD


aA = 1p

3p 2p 4p = (

1p 2p )(3p 4p ) = )( 21 pp )( 43 pp

bB = 3p

1p 2p 4p = (

3p 4p )(1p 2p ) = )( 43 pp )( 21 pp

))((2 4321 ppppbBaA

aB = 1p

3p 2p 4p = (

1p 4p )(3p 2p ) = )( 41 pp )( 23 pp

bA = 3p

1p 2p 4p = (

3p 2p )(1p 4p ) = )( 23 pp )( 41 pp

))((2 3241 ppppbAaB

aC = 1p

3p g 2)(Mc = (

1p 3p ) 2)(Mc = )( 31 pp 2)(Mc

bC = 3p

1p g 2)(Mc = (

3p 1p ) 2)(Mc = )( 13 pp 2)(Mc

dC = g )( 31 pp g 2)(Mc = )(4 31 pp 2)(Mc }4{ gg

2

31 ))((2 McppdCbCaC


aD = 1p

3p g )( 42 pp = )( 31 pp )( 42 pp

bD = 3p

1p g )( 42 pp = )( 13 pp )( 42 pp

dA = g )( 31 pp 2p 4p = )( 31 pp )( 42 pp

dB = g )( 31 pp 2p 4p = )( 31 pp )( 42 pp

dD = g )( 31 pp g )( 42 pp = 4 )( 31 pp )( 42 pp }4{ gg

0 dDdBdAbDaD

cA = g 2)(mc 2p 4p = )( 42 pp 2)(mc

cB = g 2)(mc 2p 4p = )( 42 pp 2)(mc

cD = g 2)(mc g )( 42 pp = 4 )( 42 pp 2)(mc

2

42 ))((2 mcppcDcBcA


cC = g 2)(mc g 2)(Mc = 4 2)(mc 2)(Mc }4{ gg

22 )()(4 McmccC

“รวม” เทอมตางๆ “เขาดวยกน” จะได (aA + bB) + (aB + bA) + (aC + bC + dC)

+ (cA + cB cD) + (aD bD dA dB dD) + cC

))((2 4321 pppp ))((2 3241 pppp + }))((2{ 231 Mcpp

+ }))((2{ 242 mcpp 0 22 )()(4 Mcmc

ดงนน “M 2” ส าหรบ “electron-muon” scattering คอ

2

M 4

31

4

)(

8

pp

ge

[ ))(( 4321 pppp ))(( 3241 pppp

2

31 ))(( Mcpp 2

42 ))(( mcpp + 22)(2 mMc ]


เมอหา M 2 หรอ M

2 (แลวแตกรณ) ไดแลว “ขนตอนตอไป” คอ

การแทน M 2 หรอ M

2 ลงใน

“relevant expression” ส าหรบ “cross-section”

ส าหรบ “กรณทวไป” 4321 n

)()2( )()(4

321442

2221

221

2

nppppMcmmpp

S

)2(

2

1

3

3

3222

jn

j jj

d

cm

p

p

โดยท 2220 cmp jjj p

(แทน 0jp ดวย 222 cm jj p

ทกททมนปรากฎใน amplitude M และใน function)


ส าหรบ “two-body” scattering ใน “CM frame” 4321

)(8 2

21

22

i

f

EE

MSc

d

dσ

p

p

ส าหรบกรณ “two-body” “elastic” scattering ใน “LAB frame” baba

ภายใตเงอนไขวา (i) กอนเกด “การชน” (หรอ “การกระเจง”) “b” อยนง (เปน “target”)

และ (ii) “b” หนกมากๆ )( 2ab Ecm จนสามารถประมาณไดวา

หลงจาก “ถกชน” แลว “b” ยงคงอยกบท (ไมมการเคลอนท) (ภายใตเงอนไขน “CM frame” จะเหมอนกบ “LAB frame” โดยม “CM” อยท “b”)

)(8

22

Mcmd

dσ

b


พจารณา “electron-muon” scattering ภายใตการประมาณวา

em m (หรอ ) m M

ซงท าใหสามารถประมาณไดวา “muon ไมมการเคลอนท” (The recoil of muon can be neglected)

ในกรณน จะไดวา “muon’s rest frame” กคอ “LAB frame”

และ “relevant expression” ส าหรบ “differential cross-section” คอ

)(8

22

Mcmd

dσ

b

โดยท

2

M 4

31

4

)(

8

pp

ge

[ ))(( 4321 pppp ))(( 3241 pppp

2

31 ))(( Mcpp 2

42 ))(( mcpp + 22)(2 mMc ]


“ภาพ” ของ “electron-muon” scattering ใน “LAB (muon) frame” จะเปน

ดงนน

11 , p

c

Ep , 0

,2 Mcp ,

33 , p

c

Ep และ 0

,4 Mcp

โดยท E = “incident” electron energy “scattered” electron energy

และ

31 ppp

กอนการกระเจง e

(อยนง)๗)

1, p

E

หลงการกระเจง

e

(อยนง) 3, p

E


313131 ,0 , , pppp

c

E

c

Epp

)2( )( )( 2331

21

231

231 pppppp

pp

)cos1(2)cos2( 2222 pppp

2sin4 22

p

]sin2sin)cos1()sin(cos1)2cos(1[ 22222

2sin16)( 444

31

p

pp

MEMcc

Epp

0p

, , 121

MEMcc

Epp

0p

, , 343

24321 )())(( MEpppp


MEMcc

Epp

0p

, , 141

MEc

EMcpp

332 , , p0

23241 )())(( MEpppp

cos)( , , 22

31

2

3131 ppppp

c

E

c

E

c

E

c

Epp

)cos1()(cos)( 222222 ppp

mccm

2sin2)( 222

31

p

mcpp

2sin)(2)( ))(( 222222

31

p

McmMcMcpp

222242 )( ))}( ,() ,{( ))(( mMcmcMcMcmcpp 00


2sin16)( 444

31

p

pp 2)(ME 2)(ME

2

M 4

31

4

)(

8

pp

ge

[ ))(( 4321 pppp ))(( 3241 pppp

2

31 ))(( Mcpp 2

42 ))(( mcpp + 22)(2 mMc ]

2sin)(2)( 22222

p

McmMc 22)( mMc

2

M

2sin 44

4

p

eg

2sin)()( 2222

p

McME


2

M

2sin 44

4

p

eg

2sin)()( 2222

p

McME

2222422222 )()()()()( mcMcMccmcMME pp

2sin1)()()(

2sin)()( 222222222

pp

McmcMcMcME

2cos)()(

2sin)()( 22222222

pp

mcMcMcME

2

M

2sin 44

4

p

eg

2cos)()( 2222

p

mcMc

2

M

2

22

2

2sin

p

Mcge

2cos)( 222

p

mc


แทน 2

M

2

22

2

2sin

p

Mcge

2cos)( 222

p

mc

ลงใน “สมการส าหรบ differential cross-section” )(8

22

M

cmd

dσ

b

จะได d

dσ

2

22

2

2sin8

p eg

2cos)( 222

p

mc

“coupling” constant (ge) มความสมพนธกบ “fine structure” constant ()

4 eg

ดงนน d

dσ

2

22 2sin2

p

2cos)( 222

p

mc

สมการนรจกกนในชอ “Mott formula”


“Mott formula”, d

dσ

2

22 2sin2

p

2cos)( 222

p

mc , สามารถใช

ประมาณ/อธบาย “differential cross-section” ของ “electron-proton” scattering

(ระลกวา mproton 2000 melectron เปรยบเทยบกบ mmuon 200 melectron)

ในกรณท “incident electron” เปน “nonrelativistic” (v << c) จะได

)( 22p

mc

ดงนน “Mott formula” จะลดรปเปน

d

dσ

2

22 2sin2

p

2)(mc =

2

22 2sin2

)(

p mc


ใชความสมพนธ 2

c

e

และ “สมการของ ‘nonrelativistic’ momentum” vp

m

จะได d

dσ , ในเทอมของ “electronic charge, e” และ “electron’s velocity, v”, เปน

d

dσ

2

22 2sin2

)(

p mc

2

22

2

2sin)(2

)(

v

m

mcc

e

2

22

2

2sin2

v

e

ซงรจกกนในชอ “Rutherford formula”


ความสมพนธระหวาง “scattering cross-section” กบ “decay rate” (หรอ “lifetime”)

ใน “Quantum Electrodynamics” “การสลายตว (Decay)” เปน “กรณพเศษ” ของ “การกระเจง (scattering)”

โดยท “(two) colliding particles” อยรวมกนเปน “bound state”

เชน การสลายตวของ “neutral pion (0) เปน “2 photons”

0

จะเปนกรณพเศษของ “quark-antiquark” (pair) annihilation process

qq

ซงเปน “inelastic scattering” {“quark content ของ 0”

คอ )( 2

1 dduu }

หรอ การสลายตวของ “positonium” (“bound state” ของ “electron” กบ “positron”)

ซงกคอ “electron-positron” (pair) annihilation process

ee


ดงนน

“Decay rate ()” {หรอ “(mean) lifetime (

)”} จะมความสมพนธกบ

“cross-section ()” (ของ “scattering process ทเกยวของ”)

โดยทวไป

“cross-section ()” โต (“โอกาสทจะเกดการกระเจง” สง)

“decay rate ()” โต

(“โอกาสทจะเกดการสลายตวในหนงหนวยเวลา” มคามาก)

“(mean) lifetime (

)” สน


ในกรณของ “การกระเจง”

dN จ านวนอนภาคท “เคลอนท” ผาน

“พนทเลกๆ d” ในหนงหนวยเวลา

จ านวนอนภาคท “กระเจง” ผาน “มมตน (solid angle) เลกๆ d ”

ในหนงหนวยเวลา

L “Luminosity” จ านวนอนภาคท “เคลอนท” ผาน

“พนทหนงหนวย” ในหนงหนวยเวลา

ดงนน dN L d

d

d

target

incident

particle

scattered

particle


จ านวนอนภาคท “สามารถกระเจงได” ในหนงหนวยเวลา คอ N L

เมอ “ ” คอ “total cross-section”

ในกรณท “อนภาค” ม “ความหนาแนน (density) ” และ เคลอนทดวย “ความเรว v ”

จะได L v ดงนน N v

เมอน ามา “ประยกต/ปรบ” ใชกบ “การสลายตว” ของ “single atom”

N “โอกาส” ทจะเกด “การสลายตว”

ใน “หนงหนวยเวลา”

“decay rate ()”

(อตราการสลายตว)

“density” ของ “electron”

ทต าแหนงของ “nucleus” (0)

2

v “speed” ของ “electron”

ดงนน v (0)2


พจารณา “การสลายตว” ของ “positronium” โดยกระบวนการ “electron-positron”

(pair) “annihilation”

ee

ใน “second-order” จะม “2” Feynman diagrams

“1st” Feynman diagram “2nd” Feynman diagram

)4(*

eig

eig

)3(*)1(u 1p

2p

3p

4pq

)2(v

222

)(

cmq

mcqi

eig

)4(*

eig

)1(u 1p

2p

3p

4p

q

)2(v

)3(*

222

)(

cmq

mcqi


ใช “Feynman rules” หา “M1”, “M2” และ “M M1 +M2”

)]1()3(}){4()2([)(

*31

*

22231

2

1 umcppvcmpp

gM e

)]1()4(}){3()2([)(

*41

*

22241

2

2 umcppvcmpp

gM e

เลอกใช “positronium rest frame” (ซงกคอ “CM frame” ของ “ee

”pair)

และ ประมาณวา “กอนเกด annihilation”

ทง electron และ positron “อยนง” (จรงๆ แลวจะเคลอนท แตคอนขางชา) ซงจะเปนผลให “photons ทเกดขน”

(1) come out “back-to-back” (ซงจะเลอกใหอยในแนวแกน z)

และ, โดยใช “conservation of energy”,

(2) ม “ขนาดของ (linear) momentum” เปน mcphoton p


ภายใต “การประมาณขางตน” จะไดวา

“second-order amplitude” ส าหรบกรณท “positronium” อยใน

“singlet state” (ซงม “total spin” เปน “ศนย” และเปน “state” ท “positronium” จะสลายตวให “2 photons”) คอ (ด Textbook)

4 2egM

แทน “ปรมาณตางๆ” ลงใน “สมการของ differential cross-section” ส าหรบ “two-

body” scattering ใน “CM frame” ( 4321 )

)(8 2

21

22

i

f

EE

MSc

d

dσ

p

p

{ 21S ,

221 mcEE (ประมาณวา “electron” และ “positron” เคลอนท “ชา”),

mcf p

และ mvi p

เมอ “v” คอ incident electron (หรอ positron) speed }


จะได, ในเทอมของ “fine structure” constant ()” ( 4 2 eg และ 2

c

e

),

2

1

2

mcvd

dσ

“ไมขนกบมม (no angular dependence)”

ดงนน จะได “total cross-section” คอ

2

42

mcv

ถาพจารณาวา “electron” และ “positron” รวมกนเปน “positronium” และพจารณากระบวนการทเกดขนวาเปน “การสลายตว’ ของ “positronium” “สมการ” ส าหรบ “decay rate” คอ

)0( 2

4)0(

22

2

mcv


ใน “CM frame” แทน “m” ดวย “reduced mass, ” 2

m

)0( 4

)0( 2

4 22

22

mcc CM

ส าหรบ “positronium” ใน “ground state (1,0,0)”

2

11)0(

332

mcc

ดงนน “lifetime ()” ของ “positronium” ใน “ground state” คอ

s 1025.121

10

25

mc

scpy421 elementary particle physics วทฟส๔๒๑ ... · scpy421 elementary particle...

Documents