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ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE”

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – TERCER SEMESTRE

Tarea recopilada por : Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz

1

MATEMÁTICAS III (PROGRAMA SINTÉTICO)

Tercer Semestre

Asignatura: Geometría euclidiana y trigonometría

Créditos: 8 Horas de teoría: 3 Horas de práctica: 1 Horas de Lab : 1

Objetivo:

Al finalizar el curso el alumno comprenderá los conceptos y resultados fundamentales de la Geometría

Euclidiana y de la trigonometría sobre triángulos en relación con paralelismo, congruencia, semejanza

y las funciones trigonométricas. Se espera que el alumno relacione el conocimiento teórico con la

aplicación práctica de los criterios de semejanza y trigonometría para que confirme la validez de lo

aprendido en el aula.

Contenido programático por unidad

Unidad I. Geometría Euclidiana (40 horas)

Puntos, rectas, segmentos y rayos

Definición de ángulo y triángulo

Copiar un segmento, un ángulo y un triángulo dado

Bisecar un ángulo dado

Construcción de una paralela a una recta dada

Dividir un segmento en n partes iguales.

Construir el punto medio de un segmento dado

Construir una perpendicular a una recta dada.

Construir la mediatriz de un segmento

Construcciones de puntos y líneas importantes en un triángulo

Construcción del teorema – meta.

Concepto de congruencia.

Congruencia de triángulos. Postulados

Demostraciones.

Razones y proporciones.

Concepto de semejanza.

Semejanza de triángulos. Postulados

Demostraciones.

Solución de problemas con aplicación de los conceptos de congruencia y semejanza.

Polígonos (clasificación y teoremas acerca de polígonos)

Circunferencia (radio, diámetro, tangente, etc.)

Tipos de ángulos dentro de la circunferencia

Teoremas en la circunferencia.




2

Unidad II. Trigonometría (40 horas)

Ángulos

Positivos, negativos y coterminales

Unidades y sus conversiones

Razones trigonométricas


Valores exactos de las razones trigonométricas en 2

,3

,4

,6

,0

y sus múltiplos

Triángulo rectángulo

Resolución de triángulos rectángulos.

Problemas de aplicación.

Triángulo oblicuángulo

Resolución de triángulos utilizando Ley de Senos

Resolución de triángulos utilizando Ley de Cosenos

Planteo y resolución de problemas de aplicación

Funciones trigonométricas

Concepto

Gráfica de funciones trigonométricas simples

Gráficas de funciones trigonométricas compuestas

Identidades trigonométricas

Ecuaciones Trigonométricas




3

Unidad I. Geometría Euclidiana

Definiciones básicas

(Puntos, rectas, segmentos y rayos, Definición de ángulo y triángulo)

Resuelve los siguientes problemas y señala la respuesta correcta. Debes Justificar.

1) x = ? 2) x = ?

a. 145º a. a

b. 90º b. 90º c. 72.5º c. 90 - a

d. 45º d. 180 - a e. 35º e. 180+ a

3) x = ? 4) x = ?

a. 30º a. 180 – a - b b. 45º b. 2a

c. 75º c. 180 -2 a

d. 90º d. 180 - a e. 105º e. 180+ 2a

5) x = ? 6) x = ?

a. 90º a. 18º b. 180º - a - b b. 72º

c. a + b - 180º c. 90º

d. – a - b d. 108º e. a + b e. 128º

7) x = ? 8) x = ?

a. 45º a. 30º b. 60º b. 40º

c. 90º c. 50º

d. 180º d. 60º e. 360º e. 100º

9) x = ? 10) x = ?

a. 30º a. 35º b. 60º b. 45º

c. 90º c. 55º

d. 120º d. 65º e. 150º e. 90º

145º Xº

a xº

xº 60º 45º

aº xº aº

xº aº bº

xº

72º

xº

xº xº

xº

xº

100º

50º

2xº

xº xº

2xº

35º Xº




4

Resuelve lo que se te pide en cada pregunta.

1) x = ? 2) MQ; bisectriz del <RMP.

MO bisectriz del< NMP. < QMO = ?

3) RO perpendicular con OP; 4) RU: bisectriz del <VRS.

x : y = 1 : 4; <POQ = ? RT: bisectriz del <URS. <URT = ? 5) a y b son ángulos 6) x = ?.

complementarios; c = ?

7) x = ? 8) L1 // L2; x = ?

9) L1 // L2; x = ? 10) P // Q; EF bisectriz; < x= ? 11) S // T; <x = ? 12) P // Q; a - b = 20º; x = ?

x 2x

3x

P

Q x O

2a a

R M N

R

Q

y

x

O P

c

a b

U T

V

60º

W R S

130º

2x x+10

L1 L2

x+20

30º 70º x- 10

L1

38º L2

x+27

x L1

135º

L2

x

P

F

20º Q

E S

T

M

2x x

P

a

b Q

x




5

13) F // G; G perpendicular 14) x = ? con M; x = ? 15) x = ? 16 ) P // Q; x = ?

Angulos: Problemas Verbales

Resuelve los siguientes problemas verbales, construyendo la figura cuando sea necesario.

1. Determina el complemento de 72º.

2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?

3. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?

4. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º.

5. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.

6. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.

7. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

8. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?

9. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos

ángulos?

10. Determina el complemento de 42º18'.

11. Determina el suplemento de 154º27'42''.

12. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.

13. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?

14. Un ángulo recto se divide en razón 1:2:3. ¿Cuál es la diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor

de esta división?

15. El complemento de un ángulo de 47º es (ß - 30)º. ¿Cuánto vale ß?

16. Si la diferencia entre dos ángulos complementarios es 22º. ¿Cuál es la diferencia entre sus complementos

respectivos?

17. A la cuarta parte de un ángulo se le suma su tercera parte resultando 7º. ¿Cuánto mide el ángulo?

18. El doble de un ángulo es la cuarta parte de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?

T

50º

F

G

x

M

5x

x

4x

110º

x

3x 2x

Q

P




6




7

Encuentra el valor del ángulo según la figura, no olvides justificar tus respuestas.

1) RT = RS = PS; <x = ?

2) DF = BF; AC // DE; x + y = ?

3) AC // DE; BC // DF; AB // FE;

<ABC = ?

4) AC = BC; a = 2b; x = ?

5) <CAF = <FAD = <DAB; EF

perpendicular a BC; x = ¿

6) x=

1) <CAB = ?

) <QPR = ? x=?

x

158º 136º

5) x = ? 6) x = ?

6) x = ? 7) x=?

7) x+y = ? 8) x = ? 9) <ABC

T R

P Q S

x

B

A

F E

B

C

D

60

70

A

C

x F

E

D

B 36 α β

α+β x

132º

x x

C

3x

x 2x

A B

y

140º x 105º

x

x

x

A

C

F

E

B D a

y

x

C

B A

D x

35 β

α 10

C

80º

72º

A B

R

40º

125º

P

Q

81º

x

70º

87º

x

32º




8

Triángulos: Problemas Verbales

1. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son:

a) 67 y 47

b) 22 y 135

c) a y 2a

2. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.

3. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. Cuánto miden los ángulos interiores de la

base?

4. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es tres veces mayor que el

ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

5. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos?

6. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 18,5º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulos

interiores del triángulo.

8. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más que el

ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.

9. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del

vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.

10. En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la medida de los

ángulos interiores del triángulo.

11. El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y ACB están en la razón

3:2, ¿cuál es el valor del ángulo ACB?

12. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro. ¿Cuánto miden los

ángulos agudos?

13. En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 20º más que otro, pero 35º menos que el tercero.

¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?

14. En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de 2:3:4. ¿Cuánto miden los ángulos

interiores de este triángulo?

15. En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33 1/3 % del tercero. Determina

la medida del ángulo menor de este triángulo.




9

Trazos

CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

Las construcciones indicadas en los siguientes problemas deben hacerse con regla y compás

únicamente, en hojas blancas o en hojas de papel albanene. Tome el segmento anterior como su unidad.

Trácese una recta horizontal en la parte superior de una hoja de papel. Utilizando la longitud del segmento

que aparece mas adelante, márquese una escala, con el compás, de al menos 10 unidades de largo. Utilice

la escala cuando sea necesario para resolver los problemas que siguen.

Constrúyase triángulos cuyos lados tengan las longitudes dadas a continuación:

a) 5,6,8

b) 3,5,7

c) 4,4,5




10

Dibújese un triángulo obtusángulo cualquiera y trácese la bisectriz de cada uno de sus ángulos.

Dibuje un triangulo escaleno cualquiera Δ ABC. Copie el triángulo a una rayo dado.

Construya un triángulo equilátero con un lado de longitud 5.

Construya un triángulo isósceles con la base de la longitud 8 y dos lados congruentes de longitud 5.

Trace un cuadrilátero cualquiera. Copie éste a un lado de un rayo dado.

Construir un triángulo rectángulo isósceles.

Construir un rombo, dadas las longitudes de sus diagonales.

Construir un paralelogramo, si se dan uno de sus ángulos, la longitud del lado más corto y la longitud de

la diagonal más larga.

Construir un ángulo de 60°




Construir un triángulo isósceles, si se dan la base y la altura correspondiente.

Trisecar un segmento dado.

Construir un segmento de longitud √2, √3, y √6.

Construir un triángulo rectángulo dado un ángulo agudo y la longitud de la hipotenusa.

Construir un triángulo equilátero, dado un segmento cuya longitud es igual al perímetro del triángulo.

Construir un triángulo equilátero dada su altura.

Construir un rombo, dado un ángulo y un segmento cuya longitud sea igual a la longitud del rombo.

Construir un paralelogramo, si se dan un ángulo agudo, un lado y la diagonal más larga.

Líneas y puntos importantes del triángulo

Construir un triángulo equilátero. Después, constrúyanse sus circunferencias circunscrita e inscrita.




11

Construya un triángulo rectángulo isósceles. Después, constrúyanse sus circunferencias circunscrita e

inscrita.

Construya un triángulo escaleno. Después, constrúyanse sus circunferencias circunscrita e inscrita.

Circunscribir una circunferencia a un cuadrado dado.

Dado un rombo construya su circunferencia circunscrita

Construir un triángulo rectángulo dado un ángulo agudo y el radio de la circunferencia circunscrita.

Construir un triángulo isósceles si se dan la base y el radio de la circunferencia inscrita.

Construir un triángulo rectángulo isósceles, dado el radio de la circunferencia circunscrita.

Construir un triángulo rectángulo, si se dan un ángulo agudo y el radio de la circunferencia inscrita

Congruencia

Concepto de congruencia.

Congruencia de triángulos. Postulados

Demostraciones. Buscar tarea en algún libro

Semejanza

Razones y proporciones.

Concepto de semejanza.

Semejanza de triángulos. Postulados

Demostraciones.

Solución de problemas con aplicación de los conceptos de congruencia y semejanza.

Esta tarea esta en hojas aparte, pues están hechas en PDF Hay dos tareas verificar, archivo aparte

Polígonos

Polígonos (clasificación y teoremas acerca de polígonos)

1. ¿Qué es un polígono?

2. Escribe el nombre de cada polígono según el número de lados o su número de lados según su nombre:

a) 3 lados _____________ b) 4 lados _____________ c)_______ Pentágono d) 6 lados _____________ e)_______ Heptágono f) 8 lados _____________




12

g)_______ Icoságono h) 9 lados_______________ i)_______ Dodecágono j) 10 lados_______________ k)_______Endecágono l) 15 lados ___________

3. Completa la siguiente tabla.

POLÍGONO CARACTERÍSTICAS

EQUILÁTERO

Polígono que tiene sus ángulos iguales.

CONVEXO

Polígono que tiene ángulos internos entrantes.

Es el que es a la vez equilátero y equiángulo.

IRREGULAR

4. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las definiciones de los conceptos de polígonos regulares y a lae figura.

CONCEPTO DEFINICIÓN EN LA FIGURA

CENTRO

Es el segmento que une el centro con un vértice del polígono. OA y OE

AOE

APOTEMA

BD

Ángulo formado por cada dos lados consecutivos del polígono.

HAE

C1

C2

Sea ABCDE un polígono inscrito en C1

y circunscrito en C2.




13

5. Relaciona las siguientes columnas (para cualquier polígono regular de n lados) 2rt = dos ángulos rectos = 180°

CONCEPTO FÓRMULA

( ) Ángulo central (x) 2

)3()1(

nn

( ) Ángulo interno (i) n

nrt )2(2)2(

( ) Ángulo externo (e) n

360)3(

( ) Suma de los ángulos internos (Si) )3)(4( n

( ) Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice (d) rt4)5(

( ) Número total de diagonales que pueden tazarse desde todos los vértices (D) n

360)6(

( ) Suma de los ángulos externos (Se) )2(2)7( nrt

6. De acuerdo a las propiedades de los polígonos contesta las siguientes preguntas. 1) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 1260° ¿Cuál es el polígono? 2) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es de 135°? 3) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un icoságono? 4) Determina el número total de diagonales que pueden trazarse en un endecágono regular. 5)¿Cuál es el polígono en el que pueden trazarse 20 diagonales en total? 6) ¿Cuánto vale cada ángulo interior de un pentadecágono? 7) ¿Cuánto suman los ángulos externos de un decágono regular? 8) ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que lados? 9) ¿Qué polígono tiene el doble número de diagonales que de lados?

10) ¿Qué polígono tiene 25 diagonales más que lados?




14

Cuadriláteros: Problemas Verbales

1. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 58º. ¿Cuánto miden los otros

ángulos interiores? 2. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 137º. Determina la

medida de todos los ángulos interiores de ese romboide.

3. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm.?

4. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden 5 cm. y 12 cm.

5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.

6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado.

7. Completa la siguiente tabla:

Propiedad

Cuadrilátero(s) que cumple(n) dicha

propiedad

Diagonales iguales

Todos sus lados iguales

Lados opuestos iguales

Sus diagonales se dimidian

Diagonales perpendiculares

Ángulos opuestos iguales

Sus diagonales son bisectrices

Una diagonal dimidia a la otra y viceversa

Todos sus lados desiguales

Sólo dos ángulos interiores congruentes

La suma de sus ángulos exteriores es 360º

Sin ángulos interiores congruentes

9. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del rombo sabiendo que la

diagonal menor mide 6 cm.

10. Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo. Determina la medida

de la diagonal del rectángulo formado.




15

PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

I. Completa la siguiente tabla de acuerdo a las fórmulas de perímetro y área de cada figura.

NOMBRE FÓRMULAS FIGURA

TRIÁNGULO

P= Elementos (a,b,c) A= Elementos (b y h) A= Elementos (a,b,c)

CUADRADO

P= Elementos A= Elementos

PARALELOGRAMO

A= Elementos (B,b,h)

ROMBO





16

POLÍGONO IRREGULAR



CIRCUNFERENCIA Longitud = Elementos

CÍRCULO A= Elementos

2. Obtén el perímetro y área de cada una de las siguientes figuras, en el caso de las figuras con área sombreada solo obtén el perímetro y área de la misma.

Área:________ Perímetro:_______

Área:_______ Perímetro:________




17

Área: ________ Perímetro: ______

Área:_____ Perímetro:__________

Área: ________ Perímetro: ________

Circunferencia

Circunferencia (radio, diámetro, tangente, etc.)

Tipos de ángulos dentro de la circunferencia

Teoremas en la circunferencia.

1. Define los siguientes conceptos e ilustrarlos. a) Circunferencia b) circulo




18

2. Completa la siguiente tabla con respecto a las definiciones presentadas y a su representación en la gráfica.

Concepto Definición En la figura

Radio

Segmento determinado por dos puntos de la circunferencia.

BC

Secante

Cualquier recta que toque a la circunferencia en un punto y sólo uno.




19

ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

3. Completa la siguiente tabla.

Clase de ángulo Figura Fórmula

Ángulo central

ACB2

1

Semi - inscrito

ABCBA2

1

Interior

DEBCA 2

1

BDBCA 2

1

Formado por dos tangentes




20




21

Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:

1) x = ? 2) x = ? 3) <ABC 60º, AB diámetro; x = ?

4) <CAO = 20º; 5) <BOC = 140º 6) <OCB = 55º; <AOB = 100º; <ABC = 80º; x = ? x = ? <OAB = ?

7) AB//CD; <COE = 30º; 8) Recta AB tangente; 9) <CAB = 50º; <EOD = 70º; <AOC = 110º; <ABO = 30º; <DOB = ? x = ? x = ?

10) Los arcos MN, NP, 11) Los arcos MN, NP = 120º; 12) <PQR = 34º; y PQ son iguales; y PQ son iguales; <MOQ, <POR = ? <MOP = 100º; <MRP = ? <PRQ = ?

.

O

30

x

O

40

x

A

x

B

O

C A

B

O C

A

x B O

C

A x

B O

C E D

A

x

B O C

A

x

B

O

C

O

Q

P M

R

N

N

R

O

M

P

Q

Q R

P

O

x

C

B O A




22




23

13) OS//QP; 14) OA = AB; x = ? 15) Los arco AB, BC <PQR = 30º ; y CA son iguales <SOP = ? x + 2z = ? 16) z = 100º; x + y = ? 17) <SOD = 140º; 18) <MPQ = 20º; x = ?

<LSD = 80º; x = ? 19) ¿Qué parte del circulo 20) x = ? representa el sector OBA? 4) <COB = 120º; 5) AB tangente; <AED = 85º; x = ? <AOB = 70º 9) ABC triángulo

equilátero; rectas DA y DC tangentes, x = ?

A

O

B

C

x

O

A

B

C

z

x

O

P

Q

R

S

S

x

L D

O O

C

A

B

x

x

z

O

N

Q M

P

x

20 O

B

A

x

40

O

B

C

O

A B E

x

120 O

A

B x

A

C

B

O

D x




24

10) AB tangente; <AOB = aº; 11) AB diámetro; <OCB = 55º; x = ? x = ?

PERÍMETRO Y ÁREA (ejercicios extra)

1) ABCDEF exágono regular, 2) ABCD cuadrado, M, N, P, Q,

AB = 4 cm puntos medios, BN = 3 cm.

3) ABCD cuadrado de lado 12 m., 4) AC = AB, <CAB recto, las 8 semicircunferencias iguales. BC = 10 cm.

5) AC y AB tangentes, 6) ABCD cuadrado de 6 cm de lado,

radio de la circunferencia 4 m., ABE triángulo equilátero. <CAB = 60º

7) ABC triángulo equilátero, 8) AB CD, OB = 10 cm. D, E y F puntos medios,

A B

D E

F C

A B

C D

M

N

P

Q

A B

C D

A B

C

D M

E

A

B C

D

E

A

B

C

O

A B

D

O E

x

C

B O A

A

C B O x




25

AB = 4 cm.

9) ABCD cuadrado, AB = 6 cm., 10) La figura representa un cuadrado de A es centro de los arcos BD y EC. lado 24 cm.

11) ABCD cuadrado, BC = 6 m., 12) A, B, C y D puntos

cada lado está dividido en tres medios de los lados del partes iguales. cuadrado.

BC = cm.

15) Cuadrado de lado 12 cm. 16 Cuadrado de lado 8 cm.

CD =

17) Semicircunferencias congruentes 18) Circunferencia de

de 6 cm. de diámetros radio 4 cm. perpendiculares entre sí AB y AC tangentes,

<BAC = 60º.

A B

C

D F

E

A B

C D

E

A B

C D

A

B

C

D

A

B

C

D

B




26

19) Cuadrado de lado 12 m. 20) Circunferencia de radio 8 cm. y

hexágono regular circunscrito.

Ángulos

1. Teoría. Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio.

- 360º = 2 radianes (una vuelta completa) - Un ángulo recto mide 2

radianes (un cuarto de vuelta)

- 180º = radianes (media vuelta) - Como 180º = rad, resulta que 1º = 180

rad

- Un ángulo de 1 radian tiene

180 = 57,29578 grados = 57º 17’ 45”

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

º

º180

y

rad

x

ejemplo: 40º a rad

º40

º180

y

rad y =

º180

º40 rad

18

4 rad

9

2 rad

2. Convierta de grados a radianes y viceversa según sea el caso.

1. 60° 2. 90° 3. 120° 4. 150°

5. 71.72° 6. 11.83° 7. 61°24’ 8. 75°30’

9. 6

10. 4

11. 10

12.

3

5

13.

7

9

14.

13

20

15. 2 16. 1.3

3. Calcular el COMPLEMENTO de los siguientes ángulos, exprese el resultado en radianes.

39º 87º13’ 17º16” 42º24’35” 69º7’19”

4. Calcule el SUPLEMENTO y exprese el resultado en grados o radianes:

Transformar los siguientes ángulos según indique en cada caso.

27º37’15” 4.5 radianes 68º13’45”

1.58 radianes 45º27’ 143º19’45”

A

C




27

7) Determinar el suplemento de 159º17’. Expresar su resultado en radianes.

8) Calcular el complemento de .6

rad

Expresar su resultado en grados.

9) Determinar el suplemento de 1.27 rad. Expresar su resultado en grados

10) Calcular el complemento de .12

rad

Expresar su resultado en grados

6. Utilice la fórmula de longitud de arco ( s ) apropiada para encontrar la información que falta.

s r s r 1. 2 pulg 25 radianes 2. 1cm 70 radianes

3. 1.5 pies 4

radianes

4. 2.5 cm 3

radianes

5. 3 m 1 m 6. 4 pulg 7 pulg

7. 40 cm 20° 8. 5 pies 18°

Ejemplo aplicación

1) 35º59’59”=______rad. 2) ___"___'__º.5

3rad

3) 750º=______rad. 4) ___"___'__º.5.14 rad

5) ___"___'__º.4

rad

6) 124º19’35”=____rad.




28

1) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs.?

2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se mueve a 45 m/s.

3) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente por minuto cuando viaja a 120 km/h?

4) Faltan algunos ejercicios.



Valores exactos de las razones trigonométricas en 2

,3

,4

,6

,0

y sus múltiplos

1. Para un triángulo rectángulo ABC, defina las razones trigonométricas. 2. En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus

ángulos agudos. Suponga que los triángulos son triángulos rectángulos. a) b)

10 2 1,5




29

3. Con una calculadora encuentre el valor numérico de la función y/o el ángulo, según sea el caso. a) sen 23,57º = b) cos 73,39º = c) tg 7,12º =

d) sen A = 0.345 e) cos B =0.987 c) tg C = 0.65

4. Algunos valores de las funciones trigonométricas los puedes calcular directamente sin usar calculadora. Calcula según la figura y luego comprueba con tu calculadora.

a. sen 30º b. cos 30º c. sen 60º d. cos 60º e. ¿es necesario conocer las medidas del triángulo?

5. Repita el ejercicio anterior pero ahora utilice un ángulo de 45°. Haga una figura para guiarse.

6. Si se sabe que

cos

sentg . Calcule, sin usar calculadora, los valores de la tangente para los

ángulos dados en los ejercicios anteriores.

7. Si se sabe que cosec =sen

1, sec =

cos

1 y cotg =

tg

1. Calcule, sin usar calculadora los

valores de la cosecante(cosec), la secante (sec) y la cotagente (cotg) para los ángulos usadosantes.

8) Utiliza una calculadora y encuentra las razones trigonométricas de los ángulos: 0º, 25º,45º,70º y 85º. ¿Entre

qué valores varía el seno y el coseno?

9) Utiliza tu calculadora para encontrar los valores aproximados de las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) 19º b) 34º12`32`` c) 55º d) 12,5º 10. Utilizando el plano cartesiano encuentra las funciones trigonométricas de los triángulos OPA,

donde O es el origen, P, el punto dado y A la intersección del segmento perpendicular a X y que

pasa por P. Diga los ángulos agudos de cada triángulo.

a) P( 2, 5)

b) P( - 2, 3)

c) P( 2, - 6)

d) P( - 4, -3 )

e) P( 12, 5)

f) P( 6, - 8)

g) P( 10, - 6)

h) P( - 5, - 4)

6

a

a a h

ESCUELA DE BACHILLERES “SALVADOR ALLENDE” GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

TERCER SEMESTRE

Material recopilado por: Mat. Apl. Rita Ochoa Cruz – Presidente de Academia 30

Diga los signos de la RT en cada uno de los cuadrantes. Justifique.

11. Sí él ,25.0BCos construye un triángulo rectángulo y determina el valor de las funciones

para el ángulo B. 12. Sí la ,75.0ATan construye el triángulo rectángulo y determina el valor de las funciones

del ángulo A.

13. Dado el ,7

5ACos hallar los valores de las demás funciones del ángulo A.

14.Dada la ,3

8BSec hallar los valores de las demás funciones del ángulo B.

15. Si el 5

3ASen y el ángulo A se localiza en el tercer cuadrante, calcular el valor de las demás

funciones trigonométricas.

16. Si la 2

3BCot y el ángulo B pertenece al cuarto cuadrante, calcular el valor de las demás

funciones trigonométricas. 17.Diga de dónde “salen” y muestre los dos “triángulos mágicos”.

18. En una tabla coloque los valores de las RT de los ángulos 2

,3

,4

,6

,0 y sus multiplos.

19. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones.

a) 45sen30sen22

b) 45cos45sen222

c) 45cot260sen230tan4

360cos

423

d) 60sen30cot2

145tan3

222

20. Completa la siguiente tabla:

x 120 150 210 240 300 330 sin x 3

2

1

2

1

2

3

2

3

2

1

2

cos x 1

2

3

2

tan x

cot x

sec x

csc x


TERCER SEMESTRE


Triángulo rectángulo

Resolución de triángulos rectángulos.

Problemas de aplicación.

Los de secundaria.

En las siguientes figuras, calcula el valor de las incógnitas, aplicando el teorema de Pitágoras.

Resuelve los siguientes problemas:

1. Calcula la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 60cm y cada uno de los lados iguales 50cm.

2. Calcula la altura de un triángulo equilátero que mide 10m por lado.

3. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado?

4. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m?

5. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 28m de largo 21m de ancho?

6. ¿A que altura lega una escalera de 10m de largo en un muro vertical si su pie está a 3m del muro?

7. Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm ¿Cuánto mide su apotema?

8. Un terreno rectangular de 4000m de largo por 3000m de ancho tiene en medio una colina que no permite una

medición directa ¿Cuál es la longitud de su diagonal?

9. Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 72m de altura se desea poner tirantes de 120m

para darle mayor estabilidad ¿A que distancia del pie de la torre deben fijarse los tirantes para que queden

completamente tensos y sujetados desde la parte más alta de la torre?

10. Las tres bases a que se sujetan los cables que sirven para la estabilidad de un poste están situadas a 36m

del pie del poste. Calcular la longitud de los cables, si el poste tiene una altura de 48m.

I) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora. Haga una figura por cada ejercicio. a) = 24º y c =16.

B


TERCER SEMESTRE


b) a = 32.46 y b = 25,78

c) = 24º y a =16

d) = 71º , c = 44

e) a = 312,7 ; c = 809

f) b = 4.218 ; c = 6.759

g) = 81º12’ ; a = 43,6

C A

c

a

b


TERCER SEMESTRE


3

.

4

.

5

.

6

.

7

.


TERCER SEMESTRE


8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo

enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a

un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

9. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

10. 11.

12.

13.

14.


TERCER SEMESTRE


16. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados

opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la

distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos

los cables?

17. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15

grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30

grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65

grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia

entre el avión y el automóvil, también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.

1. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de

longitud en el suelo.

2. Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para el

ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el

objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?

3. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre

la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3

m. del suelo.

4. Un avión vuela a una altitud de 10.000 metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un

minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del

avión.

5. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio de 10 m, ve el otro lado de la

misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el

edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de

depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

15.


TERCER SEMESTRE


7. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la

orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados,

respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.

8. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm. sobre el

nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los

bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?

9. Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera

queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué

altura de la pared llega la escalera?

10. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m. respectivamente. El primer

poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la longitud de cada

poste.

11. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46 grados, y

tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados?

12. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la playa se observa que

los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47 grados y 45 grados. Calcule

la altura del arrecife.

13. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados

opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la

distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos

los cables?

a) Una cabaña de 6m de altura esta localizada a la orilla de una laguna; desde la orilla opuesta, el ángulo de

elevación al techo de la cabaña es de 4º. Calcula el ancho de la laguna.

b) El cordón de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 540 20’

con la horizontal. Encontrar la

altura aproximada del cometa con respecto al suelo, si el cordón mide 86 metros y el extremo del cordón

se sostiene a 1.65 metros del suelo.

c) A medida que un globo se eleva verticalmente, su ángulo de elevación desde un punto P, en el suelo,

situado a 110 Km. del punto Q, que esta directamente bajo el globo, cambia de 190 20’ a 31

0 50’.

Determinar cuantos Km. se eleva el globo durante ese periodo.

d) Un estadio de fútbol se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 180 20

/ con la horizontal; si

cada 0.79 metros horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 45 filas ¿Qué altura

deberá tener el estadio?

e) Desde un helicóptero que esta a 1,950 m sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra

población es de 10° 14’. Hallar la distancia entre las dos poblaciones.

f) Desde un helicóptero que está exactamente sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra

ciudad es de 10°45’.La distancia entre las dos poblaciones es de 6.3 km. Calcular a que altura se

encuentra el helicóptero.


TERCER SEMESTRE


g) Desde la punta B de una torre, el ángulo de depresión D de otra torre, que dista 27 m de la primera es de

25°. Si la torre más alta mide 65 m. Calcula la altura de la torre menor.


TERCER SEMESTRE


Triángulo oblicuángulo

Resolución de triángulos utilizando Ley de Senos y ley de cosenos

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, calcular su área. 1. Sabiendo que '2878,'757,50 CAmb

2. Sabiendo que '1514,'859,15 BAcmc

3. Sabiendo que '10101,5.32,41 Acma

4. Sabiendo que mcmbma 70,50,60

5. Sabiendo que 120,5,4 Bmcma

6. Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º. 7. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm. 8. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m. 9. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º. 10. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que a,

b, g son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:

a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35º

b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.

c) c = 10 cm. = 40º = 70º

d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43º

e) = 53º = 75º c = 30,5 cm.

f) = 48º = 68º c = 47,2 mm.

11. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º.

Hallar el perímetro del paralelogramo.

12. Desde un punto seobservan unos chopos con un ánguo de 36º, si avanzamos hacia ellos en linea recta y los

volvemos a observar el ángulo es de 50º. ¿Qué altura tienen los chopos?.

13. Tres puntos A, B y C están unidos por carrteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km.

y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?.

14. Un carpintero debe hacer una mesa triángular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el a´nguo

opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?.

15. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va

por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo

de media hora?.

16. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la

copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden

PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º

17. La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo

que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol?


TERCER SEMESTRE


18. Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra una altura

de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.

19. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el

edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte

inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.

20. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm.

Determina la longitud de la diagonal menor.

21. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el

ángulo a entre ellos.

22. Dos hombres están en un llano separados 3000 m uno del otro, observan un helicóptero. Sus

ángulos de elevación respecto al objeto volador son de 600 y 75

0. Determinar la altura a

que se encuentra en ese momento el helicóptero.

23. Tres circunferencias, cuyos radios miden 115, 150 y 225 cm, son tangentes exteriormente entre si.

Encontrar los ángulos que forman cuando se unen los centros de dichas circunferencias.

24. Se va a construir un túnel a través de una montaña desde el punto A hasta el punto B. Un punto

C que es visible desde A y B se encuentra a 384 m de A y 555 m de B. ¿Cuál será la longitud del

túnel si el ángulo ACB mide 350 45

/ ?

25. Un hombre mide el ángulo de elevación de una torre desde un punto situado a 100 m de una ella. Si

el ángulo medido es de 20° y la torre forma un ángulo de 68° con el suelo, determina su altura. 26. Después de un choque, un poste del alumbrado público no quedó perpendicular al suelo. Su sombra es de 5.5

m cuando el sol es de 68°. Calcula el ángulo de variación de su inclinación si antes del choque proyectaba una

sombra de cinco metros a la misma hora.

27. ¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo isósceles cuyo ángulo basal mide 30° y su base mide 25 cm?

28. En la circunferencia de centro en O y radio 10 cm, el arco AB mide 120°. ¿Cuánto mide la cuerda que lo

subtiende?

29. Un rombo tiene lados de diez cm, si el ángulo de uno de sus vértices es 65°, calcula la longitud de sus

diagonales.

30. Una linterna que se encuentra a seis metros de la pared de una casa genera una circunferencia de luz de

diámetro 4.2 metros con la luz que genera ¿Cuál es el ángulo de salida del rayo de luz de la linterna?

Funciones trigonométricas Revisar esto en el Laboratorio de Matemáticas

Concepto Pendiente

Gráfica de funciones trigonométricas simples Pendiente

Gráficas de funciones trigonométricas compuestas Pendiente


TERCER SEMESTRE


Identidades Trigonométricas Demuestra las siguientes Identidades:


TERCER SEMESTRE


Ecuaciones Trigonométricas

Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas.

1.

3sin

2x

2.

2sin

2x

3.

3cos

2x

4. 2cos 1x

5. 24sin 3x

6. 2sin 2sin 3 0x x

7. 22cos 3cos 1 0x x

8. 2tan 3x

9. 2cot 1x

10. tan cot 2x x

11. AsenA 2cos3

12. 022 senxxsen

13. 252 2 senAAsen

14. 3csc2 xsenx

15. 2

)1(3cos 2 senx

x

16. AA 22 sec1tan3

Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magnífico que no se toma en serio. A él le gusta jugar y juega, y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente. Pero esto sucede porque es un poco cegatón y bastante torpe con las manos. Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda, o Cristo, o Mahoma, o mi tía Chofi, para que nos digan que nos portemos bien. Pero esto a él no le preocupa mucho: nos conoce. Sabe que el pez grande se traga al chico, que la lagartija grande se traga a la pequeña, que el hombre de traga al hombre. Y por eso inventó la muerte: para que la vida - no tú ni yo – la vida, sea para siempre. Ahora los científicos salen con su teoría del Big Bang... Pero ¿que importa si el universo se expande interminablemente o se contrae? Esto es asunto sólo para agencias de viajes. A mi me encanta Dios. Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el tránsito en el camino de las hormigas. Y es tan juguetón y travieso que el otro día descubrí que ha hecho -frente al ataque de los antibióticos- ¡bacterias mutantes! Viejo sabio o niño explorador, cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso, hace campos de flores o pinta el cielo de manera increíble. Mueve una mano y hace el mar, y mueve la otra y hace el bosque. Y cuando pasa por encima de nosotros, quedan las nubes, pedazos de su aliento. Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos, y manda tormentas, caudales de fuego, vientos desatados, aguas alevosas, castigos y desastres. Pero esto es mentira. Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja. Dios siempre está de buen humor. Por eso es el preferido de mis padres, el escogido de mis hijos, el más cercano de mis hermanos, la mujer mas amada, el perrito y la pulga, la piedra mas antigua, el pétalo mas tierno, el aroma más dulce, la noche insondable, el borboteo de luz, el manantial que soy. A mi me gusta, a mi me encanta Dios. Que Dios bendiga a Dios…

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