sdc/2 stmik mi, si & ti/ statistik dasar hw/ terapan, dan mempelajari perilaku dari faktor...
TRANSCRIPT
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 1
1
present futurepast
probabilitas,peluang bisnis,cita-cita & harapanplanning,pengembangan,mau nikah,kredit motor, dll
sejarah,masa lalu,
data time series,Succes Story
Ada ketidakpastian, dg ilmu
peluang positipOptimisme
Kita sekarang menjaga kesehatan,untuk lebih sehat di masa datang
sdc/2 STMIK MI, SI & TI/_Statistik Dasar HW/
Manfaat : jarang lupa, tidak terkejut, Antisipatif,Ber-alternatif, Improvisasi, Kreatif & Inovatif
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Teori Probabilitas Teori Probabilitas merup. Cabang dari Ilmu
Matematika Terapan, dan mempelajari perilakudari faktor untung-untung-an
Dipengaruhi :
pemikiran teoritis & hasil observasi perjudian
cara pemecahan : harapan matematis
2Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 2
Perumusan Probabilitas Mis. ada 10 bola merah & 10 bola putih yg identik (kec.
warnanya), dimasukkan ke wadah tertutup. Bila diambil 1bola maka : terambil BOLA MERAH atau BOLA PUTIH
Ada 2 macam kondisi : Kondisi yang diketahui bola identik, kecuali warnanya ; bolanya
ada 10 MERAH & 10 PUTIH
Kondisi yang tidak diketahui posisi/kedudukan bola-2 tsb ;tindakan pemilihan berdasarkan kemauan saja, tanpamerencanakan ttg yg akan dipilih
3Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Kondisi yang diketahui
tergantung dari OBYEK-nya, mis. pada obyeksederhana DADU, KARTU, MATA UANG.Obyek yang lebih komplek merk sepedamotor, merk mie instan, jumlah penduduksuatu wilayah, dll.
harus diketahui terlebih dulu, bila perlu harussurvai atau sensus.
4Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 3
Kondisi yang tidak diketahui tergantung dari proses eksperimen bisa ditentukan dg perhitungan tidak dapat diduga dg PASTI, tapi dapat
dianalisa atas dasar logika ilmiah Teori Probabilitas memberikan cara
pengukuran KUANTITATIF ttg terjadinyasuatu peristiwa
5Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Ada 3 Konsep Probabilitas1. Pendekatan Klasik2. Pendekatan Frekuensi Relatif
a) Newbold, P. (1995) dan Anderson(2002)
b) Walpole, RE. (1982)
3. Pendekatan Subyektif
6Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 4
KONSEP PROBABILITA1. Pendekatan Klasik : berbasis obyek-nya
Pendekatan ini menggunakan asumsi jika suatu percobaanmemiliki n kemungkinan hasil, maka peluang masing-masingkejadian adalah 1/n.
Contoh: Pelemparan sebuah dadu bermata 6
Percobaan : Pelemparan sebuah dadu
Ruang Sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilita : Masing-masing kejadian munculnya matadadu memiliki peluang sama, yaitu 1/6
7Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
KONSEP PROBABILITA2. Pendekatan Frekuensi Relatif : eksperimen
a. Newbold, P. (1995) dan Anderson (2002):
Jika NA merupakan banyaknya kejadian A munculdalam suatu percobaan berulang sebanyak N, makadengan konsep relative frequency, peluang bahwa Aakan terjadi adalah
N
NAP A)(
8Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 5
KONSEP PROBABILITA2. Pendekatan Frekuensi Relatif: (Lanjutan)
b. Walpole, RE. (1982):
Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaanyg berbeda, dan masing-masing mempunyaikemungkinan yg sama untuk terjadi, dan bila tepat ndiantara hasil percobaan itu menyusun suatukejadian A, maka peluang kejadian A adalah
9
n
mEpatau
N
nAP
n lim)()(
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Pada pelemparan dadu 1000 kali, m/n akan memilikitendensi/kecenderungan ke suatu NILAI KONSTAN (1/6)
p(E) Probabilitas Statistik /Probabilitas Empiris.
Bila n maka Probabilitas empiris akan mendekatiprobabilitas teoritis
10
n
mEp
n lim)(
x 1 2 3 4 5 6
m 166 169 165 167 169 164
m/n 166/1000 169/1000 165/1000 167/1000 169/1000 164/1000
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 6
KONSEP PROBABILITA3. Pendekatan Subyektif
Contoh:Pemilihan calon Manajer Pemasaran di sebuahperusahaan berdasarkan keputusan Pimpinanperusahaan, umumnya menggunakan pendekatanini. Misalkan A yang memiliki pengalaman danprestasi kerja yang lebih baik daripada B, maka Aakan diberikan peluang yang lebih besardibandingkan B.
11Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Jadi, ...
Probabilitas dirumuskansebagai RASIO atau
PROPORSI atauPERBANDINGAN
12Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 7
Variabel Random : Variation + able = berbeda/bervariasi + dapat, lawannya =
konstanta
Variabel yg nilainya merup. suatu bilangan yg ditentukanoleh terjadinya hasil suatu percobaan
Variabel yg secara teoritis dapat menerima sembarang nilai
Terdiri atas :
Variabel Diskrit bil. bulat, pencacahan, { 1, 2, 3 }
Variabel Kontinu bil. pecahan, pengukuran, { 1 x 3 }
13Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Diagram Venn & Ruang Sampel
Azas-azas Teori Kelompok :
Perumusan ttg Probabilitas Matematik menggunakanistilah & pengertian ttg Teori Kelompok = Teori Himpunan= Set Theory
Kelompok = set :
Kumpulan dari obyek, benda atau simbol yg dapatdibedakan dan diberi batasan/rumusan/definisi yg tegas
Definisi : Dorce, Mr. X
14Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 8
Diagram Venn & Ruang Sampel Tiap obyek secara kolektif membentuk suatu kelompok
dinamakan UNSUR (ELEMENT). Sehingga tiap unsurmerup. anggota dari kelompok tsb.
Jika a merup. suatu obyek, sedangkan S adalah suatuKelompok, maka :
a S a merup. satu unsur dari kel. S
a S a bukan merup. satu unsur dari kel. S
15Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Diagram Venn & Ruang SampelAda 3 jenis kelompok :
1. Kelompok yg TERBATAS / Finite Set, jikasusunannya tertentu, dari awal sd akhir
2. Kelompok yg TIDAK TERBATAS / Infinite Set,jika susunannya tidak terbatas
3. Kelompok KOSONG/empty set/null set, jika
tidak memiliki unsur atau16Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 9
Diagram Venn & Ruang SampelPerincian ttg KELOMPOK Cara DAFTAR, semua unsur diuraikan.
mis. mata dadu S = { 1,2,3,4,5,6 } Cara KAEDAH, dg menuliskan definisi atau
syaratnya.mis. mata dadu S = { x : x adalah bil. bulat dan1 x 6 }
17Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Diagram Venn & Ruang SampelContoh
Bila S = { 1,2,3,4,5,6 } dan N merup, kelompok ygterdiri dari angka-angka kuadrat dari rumus S, maka
N = { 1,4,9,16,25,36 } atau
N = { x2 : x merup. unsur dari S }
Jika HH = { a,i,u,e,o } maka
HH = { x : x ialah huruf hidup/vokal dari 26 abjad }18Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 10
Diagram Venn & Ruang SampelKelompok & Sub-Kelompok :
Keseluruhan obyek yg membentuk kelompokyg besar dan tetap = kelompok universil /universal set / populasi = disebut KELOMPOKsaja
Kelompok yg dipilih dan dibentuk darikelompok universil = sub kelompok / sampel
19Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Diagram Venn & Ruang SampelKelompok & Sub-Kelompok :
Kelompok A merup. sub-kelompok B, bila setiap unsur dari Ajuga merupakan unsur dari B, dan dinyatakan sbg A B danKelompok Kosong sbg sub-kelompok dari tiap kelompok
Mis.
{ 2,4 } { 1,2,4 }
{ 1,3 } { x : x 1 }
{ 1,5 } { 1,5 } kelompok dpt merup. sub-kelompok daridirinya sendiri. Bila kelompok A = kelompok B, maka A Bdan B A = kelompok identik
20Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 11
Unsur Sub-kelompok Bila n merup. bil. bulat positip, maka suatu
kelompok dg unsur sebanyak n, akan memiliki2n sub-kelompok yg berbeda
n=1 21 = 2 {a}, {} n=2 22 = 4 {a}, {b}, {a,b}, {} n=3 23 = 8 {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},
{a,b,c}, {}
21Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Diagram Venn & Ruang Sampel
Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok :
1. Komplemen atau yg bukan kel. tsb
2. Interseksi/Irisan
3. Gabungan/Union
4. Mutually Exclusive Events22Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 12
Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok1. Komplemen suatu kejadian
Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S(semesta) adalah himpunan semua anggota S yangbukan anggota A, dilambangkan dengan Ac.
Diagram Venn berikut mengilustrasikan Ac.
23
}:{ AxUxAA C Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
2. Interseksi/Irisan dari 2 atau lebih kejadian
Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A B, adalah kejadian yang mengandung semua unsurpersekutuan kejadian A dan B.
Diagram Venn berikut mengilustrasikan A B.
24
A B
Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok
}:{ BxdanAxxBA Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 13
Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok3. Union/Gabungan dari 2 atau lebih kejadian
Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkandengan A B, adalah kejadian yang mencakupsemua unsur anggota A atau B atau keduanya.
Diagram Venn berikut mengilustrasikan A B.
25
}:{ BxatauAxxBA Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Interaksi Kelompok & Sub-Kelompok
4. Kejadian yang saling meniadakan (Mutually ExclusiveEvents)
adalah suatu kejadian yang meniadakan kejadianlain untuk muncul dalam suatu ruang contoh.
26
BAS
BAHaryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 14
27Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Contoh : Jika U = 26 abjad alfabet, A = sub-kelompok huruf
vokal { a,i,u,e,o }, dan B = sub-kelompok 3 hurufpertama dari alfabet { a,b,c }.
Tentukan : Ac
Bc
A B =
A B =
28
A B
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 15
Contoh : Jika U = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3 },
B = { 2,4,6 } & C = { 1,3,5,7 } Tentukan :
Ac
Bc
Cc
A B = A B =
29
A
C
B
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Contoh : Sebuah perusahaan industri menggolongkan
pegawai A, B & C.
Gol. A = pegawai yg rajin
Gol. B = pegawai yg sehat
Gol. C = pegawai yg berpendidikan
dan mungkin saja seorang pegawai rajin, sehatdan berpendidikan. Dengan survei 100 orang.
Berapa orang yang harus di PHK ? PHK =tidak rajin, tidak sehat & tidak berpendidikan.
30Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 16
Contoh : Hasil survei :
31
Golongan Jumlah pegawai
A 50
B 52
C 40
A dan B 20
A dan C 13
B dan C 15
A dan B dan C 5
A
C
B
ABC
CBA
BCA
ABC
CAB CBA
CAB
BCA5
1522
?17
8 10
22
Diagram Venn menggambarkan secara sistimatisjumlah pegawai yg termasuk ke dalam suatu
golongan saja TANPA pencatatan rangkap
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Solusi :
1. = 5
2. = AB = 20 5 = 15
3. = AC = 13 5 = 8
4. = BC = 15 5 = 10
5. = A ( + + )
6. = 50 ( 5 + 15 + 8 ) = 22
7. = B ( + + )
8. = 52 ( 5 + 15 + 10 ) = 22
9. = C ( + + )
10. = 40 ( 5 + 8 + 10 ) = 17 32
Golongan Jumlah pegawai
A 50
B 52
C 40
A dan B 20
A dan C 13
B dan C 15
A dan B dan C 5
A
C
B
ABC
CBA
BCA
ABC
CAB CBA
CABBCA5
1522
?17
8 10
22
ABC
CAB ABC
CBA ABC
BCA ABC
BCA CABABC CBA
CBA ABC CAB BCA
ABC CBA BCA
ABC CAB
Solusi :
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 17
Ruang Sampel Bila tiap hasil suatu percobaan sesuai dg
salah satu unsur suatu kelompok, makakelompok tsb Ruang Sampel
Atau, semua kemungkinan hasil percobaan
Termasuk, dalam KONDISI YG DIKETAHUI
Harus ditentukan terlebih dahulu, sebelummenentukan nilai probabilitas
33Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel Sebuah ruang sampel S merup. sebuah
kelompok yg : tiap unsur dari S menyatakan satu hasil
percobaan Tiap hasil percobaan harus sesuai dg satu dan
hanya satu dari unsur S
Ruang sampel sangat khas, tergantung dariobyek yang akan ditentukan nilaiprobabilitasnya
34Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 18
Ruang SampelObyek Ruang Sampel :
Uang Logam, bersisi 2 2keping K=kepala,E=ekor
1 keping RS = 21 = 2 {K, E}
2 keping RS = 22 = 4 {KK, KE, EK, EE}
3 keping RS = 23 = 8 {KKK, KKE, KEK,KEE, EKK, EKE, EEK, EEE}
4 keping RS = 24 = 16 .........
35Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Ruang Sampel
36Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 19
Ruang Sampel : 52 kartu bridge
37Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Ruang SampelObyek Ruang Sampel : Dadu, bersisi 6 6keping
1 dadu RS = 61 = 6
2 dadu RS = 62 = 36
3 dadu RS = 63 = 216
Bila dadu MERAH & dadu PUTIH dilempar bersama, maka JUMLAHMATA DADU-nya mempunyai Ruang Sampel
S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
38
x , y 1 2 3 4 5 6
1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )
2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )
3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )
4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )
5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )
6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 20
Ruang Sampel Ruang Sampel pelemparan 2 dadu tsb bisa ditulis :
S = { (x,y) | 1 x 6 ; 1 y 6 }
Maka :
Ruang Sampel terdiri atas 36 titik sampel
Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel = 1/36
Contoh :
Buktikan probabilitas x = y sebesar 1/6
Buktikan probabilitas y x + 3 sebesar 1/6
39
x , y 1 2 3 4 5 6
1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )
2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )
3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )
4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )
5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )
6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
RS ATURAN PENGHITUNGAN Bila obyek masih sederhana (bisa diuraikan unsur-2-
nya), maka Ruang Sampel bisa di tentukan darimenguraikan unsur-2 Ruang Sampel-nya. Obyeksederhana, misal. mata uang & dadu
Bila obyeknya lebih KOMPLEK, maka digunakan :ATURAN PENGHITUNGAN (COUNTING RULES)Terdiri :
Kaidah penggandaan (Multiplication rule) Permutasi (seluruhnya, sebagian & berbeda) Kombinasi
40Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 21
ATURAN PENGHITUNGAN1. Kaidah penggandaan (Multiplication rule).
Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, bilauntuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan
dalam n2 cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yangpertama operasi ketiga bisa dilakukan dalam n3 cara, dandemikian seterusnya, maka k operasi dalam urutantersebut dapat dilakukan dalam n1n2nk cara.
Dapat dijabarkan secara mudah dengan bantuandiagram pohon (tree diagram)
41Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
ATURAN PENGHITUNGANCONTOH: INVESTASI BRADLEY Bradley menginvestasikan uangnya pada 2 saham, yaitu Markley Oil dan
Collins Mining. Bradley telah menghitung kemungkinan hasilnya selama3 bulan dari sekarang. Berikut kemungkinannya :
Keuntungan (+)/kerugian () investasi dalam 3 bulan ($000)Markley Oil Collins Mining
10 8
5 -2
0
-20
42Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 22
ATURAN PENGHITUNGAN Diagram Pohon
Markley Oil Collins Mining Hasil(Stage 1) (Stage 2) Percobaan
U ntung 5U ntung 5
U ntung 8U ntung 8
U ntung 10U ntung 10
R ugi 20R ug iR ug i 20
R ug i 2R ug i 2
Im pasIm pas
(10, 8 )(10, 8 ) U n tungU ntung $18 ,000$18 ,000
(10,(10, --2)2) U n tungU ntung $8,000$8,000
(5 , 8)(5 , 8) U n tungU ntung $13 ,000$13 ,000
(5 ,(5 , --2 )2) U n tungU ntung $3,000$3,000
(0 , 8)(0 , 8) U n tungU ntung $8,000$8,000
(0 ,(0 , --2 )2) R ug iR ug i $2,000$2,000
(( --20 , 8)20, 8) R ug iR ug i $12 ,000$12 ,000
(( --20 ,20, --2 )2 ) R ug iR ug i $22 ,000$22 ,000
U ntung 8U ntung 8
U ntung 8U ntung 8
U ntung 8U ntung 8R ugi 2R ugi 2
R ug i 2R ug i 2
R ug i 2R ug i 2
U ntung 5U ntung 5
U ntung 8U ntung 8
U ntung 10U ntung 10
R ugi 20R ug iR ug i 20
R ug i 2R ug i 2
Im pasIm pas
(10, 8 )(10, 8 ) U n tungU ntung $18 ,000$18 ,000
(10,(10, --2)2) U n tungU ntung $8,000$8,000
(5 , 8)(5 , 8) U n tungU ntung $13 ,000$13 ,000
(5 ,(5 , --2 )2) U n tungU ntung $3,000$3,000
(0 , 8)(0 , 8) U n tungU ntung $8,000$8,000
(0 ,(0 , --2 )2) R ug iR ug i $2,000$2,000
(( --20 , 8)20, 8) R ug iR ug i $12 ,000$12 ,000
(( --20 ,20, --2 )2 ) R ug iR ug i $22 ,000$22 ,000
U ntung 8U ntung 8
U ntung 8U ntung 8
U ntung 8U ntung 8R ugi 2R ugi 2
R ug i 2R ug i 2
R ug i 2R ug i 2
43Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
ATURAN PENGHITUNGAN2. Permutasi (berbeda sama & berbeda n & r-nya) :
Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari nbenda yang berbeda adalah
dimana n! = n.(n-1).(n-2) (2).(1)
(n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2) (2).(1)
0! = 1
)!(
!
rn
nPrn
44Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 23
ATURAN PENGHITUNGANContoh :
Permutasi Seluruhnya : bila n = r
Dalam berapa cara 3 buku A, B & C yg berbeda dapat diletakkan secarateratur di rak buku ? ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA
Permutasi Sebagian : bila n > r
Dalam berapa carakah 2 huruf yg berbeda dari kata l a u t dapat diaturatau dipilih dalam suatu urutan tertentu ? {l,a}, {l,u}, {l,t}, {a,l}, {a,u},{a,t}, {u,l}, {u,a}, {u,t}, {t,l}, {t,a} & {t,u}
45
61
3.2.1
!0
!3
)!33(
!333
P
12!2
4.3!.2
!2
!4
)!24(
!424
P
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Contoh :
Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untukmenentukan hadiah pertama dan kedua, makabanyaknya titik contoh [ruang sampel / samplespace] adalah
46
38020.19!18
20.19!.18
!18
!20
)!220(
!20
)!(
!220
rn
nP
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
ATURAN PENGHITUNGAN
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 24
ATURAN PENGHITUNGAN3. Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1
diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, , nkberjenis ke-k adalah
Contoh:
Banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuatsebuah rangkaian lampu hias yang terdiri dari 3 lampumerah, 4 kuning, dan 2 biru adalah
!!...!
)!...(
!!...!
)!(
21
21
2 k
k
ki
i
nnn
nnn
nnn
n
47
1260!2!4!3
!9
!2.!4.!3
)!243(
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
ATURAN PENGHITUNGAN4. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda
adalah
Contoh:
Jika dari 4 orang anggota partai X akan dipilih 2 oranguntuk menjadi anggota suatu tim Pansus, makabanyaknya kombinasi adalah
)!(!
!
rnr
nC
r
nrn
48
62
12
2!.2
4.3!.2
!2!.2
!4
)!24!.(2
!4
2
424
C
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 25
ATURAN PENGHITUNGANContoh:
Berapa jumlah kombinasi sebanyak 3 unsur yg diambil darikelompok {a,b,c,d,e} ?
{a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e},{c,d,e}
Probabilitas untuk memilih sebuah sampel yg terdiri dari 3 orangdari populasi yg terdiri 30 orang adalah :
49
102
20
2.1!.3
5.4!.3
!2!.3
!5
)!35!.(3
!5
3
535
C
4060
1
3.2.1
30.29.28
1
!27.3.2.1
30.29.28!.27
1
!27.!3
!30
1
)!330!.(3
!30
11)3(
330
C
orangp
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Perhitungan dalam Probabilitas
1.Probabilitas suatu Peristiwa :
Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n (ruangsampel) hasil yg berbeda & memiliki kesempatan terwujudyg sama (var. random), dan bila m (suatu kejadian tertentu)dari hasil diatas merup. peristiwa A, maka Probabilitasperistiwa A adalah :
Probabilitas peristiwa bukan A adalah :
50
sampelruang
tertentukejadian
kejadianseluruh
tertentukejadian
n
mAp )(
n
mnApAp
)(1)(
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 26
Perhitungan dalam Probabilitas1.Probabilitas suatu Peristiwa :Contoh : Sebutir dadu empat sisinya dicat MERAH, dua sisinya dicat PUTIH.
Bila dadu dilempar sekali, maka : berapakah probabilitas muncul sisi MERAH ? berapakah probabilitas muncul sisi PUTIH ?
Jawab : Prob (Merah) :
Prob (Putih) :
atau
51
667,03
2
6
4)(
n
mmerahp merah
333,03
1
6
2)(
n
mputihp
putih
3
1
3
21)(1)(1)( merahpputihpputihp
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Perhitungan dalam Probabilitas
2.Peristiwa yg Eksklusif : tidak ada yg sama satu sama lain Bila A & B EKSKLUSIF secara Bersama dan merup. peristiwa,
dalam sebuah ruang sampel terbatas, maka :
dimana A B = dan p (A B) = 0 Mis. Sebutir dadu dilempar sekali,
Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU mata dadu 5?Jawab : p (A B) = p (A) + p(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3Berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 ATAU 3 ATAU 5ATAU 6 ? 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
52
)()()( BpApBAp
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 27
Perhitungan dalam Probabilitas
3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif : ada yg sama/kembar Bila peristiwa A & B merup. suatu gabungan (union) dan TIDAK
EKSKLUSIF secara bersama dan terdapat pada sebuah ruangsampel terbatas, maka :
Contoh :Kelompok brigade tempur sukarela, -nya adalahSUKARELAWAN & -nya adalah SUKARELAWATI. 20% dariSUKARELAWATI adalah MAHASISWI, dan 60% dariSUKARELAWAN adalah MAHASISWA.Bila dipilih secara random seorang dari brigade tsb, berapakahprobabilitas seorang WANITA atau seorang Mahasiswa terpilih ?
53
)()()()( BApBpApBAp
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Perhitungan dalam Probabilitas3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif :
Bila digambar Diagram Pohon-nya (Tree Diagram) :
54
N
NSukarelawan
60%Mahasiswa
40% bukanMahasiswa
NSukarelawati
20%Mahasiswi
80% bukanMahasiswi
mahasiswaHaryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 28
Perhitungan dalam Probabilitas
3.Peristiwa yg BUKAN Eksklusif :Jawab : Bila A = peristiwa WANITA terpilih = 0,5 SUKARELAWATI Pengertian Mahasiswa PEREMPUAN & LAKI-LAKI.
Bila B = peristiwa MAHASISWA terpilih ada 2 asal MAHASISWA = ygPerempuan + yg Laki-laki = (20% x ) + (60% x ) = 10% + 30% = 40%= 0,4
Yang RANGKAP = p (AB) = 20% x = 0,1 ada mahasiswi yg WANITAsekaligus Kuliah (mahasiswa).
Maka :p (A B) = p (A) + p(B) - p (A B)
= 0,5 + 0,4 0,1= 0,8 N.
55
0,4 0,3
A
B
S0,1
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Perhitungan dalam Probabilitas
4.Peristiwa yg KOMPLIMENTER :
Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa A dalamsebuah ruang sampel yg sama dan bila A meliputisemua unsur kecuali A, maka A merup. peristiwaKOMPLIMENTER bagi A
Notasi : p (A) = 1 p(A)
Contoh lihat Perhitungan no. 1
56
_
__
_
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
_
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 29
57Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Perhitungan dalam Probabilitas
Perhitungan dalam Probabilitas5.Peristiwa yg INDEPENDEN :
Bila dan hanya bila terjadi atau tidak terjadinya peristiwa PERTAMA,tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya peristiwa KEDUA.Peristiwa Pertama TIDAK TERKAIT dengan peristiwa Kedua.
Notasi : p (A B) = p (A) . p(B)
Contoh :
Pada pelemparan dua butir dadu MERAH & PUTIH, tentukan probabilitasDADU MERAH X 3 dan DADU PUTIH Y 5 !
Jawab :
Siapkan Ruang Sampelnya
tentukan P(X 3)
tentukan P(Y 5)
58Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 30
Perhitungan dalam Probabilitas5.Peristiwa yg INDEPENDEN :
Probabilitas dadu MERAH X 3 = 18/36 = 1/2
Probabilitas dadu PUTIH Y 5 = 12/36 = 1/3
p (A B) = p (A) . p(B) = 1/2 . 1/3 = 1/6
59
x , y 1 2 3 4 5 6
1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )
2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )
3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )
4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )
5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )
6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Perhitungan dalam Probabilitas6.Probabilitas BERSYARAT :
Probabilitas mengenai sebagian dari ruang sampel TERKADANG lebihpenting dibandingkan seluruh dari ruang sampelMempersempit RuangSampel
Misal :
Penderita JANTUNG KOTA BANDUNG RS HS.
Daerah rawan KEBAKARAN KOTA BANDUNG Padat penduduk &industri
Terdapat perbedaan pengertian antara probabilitas peristiwa dlm SUB-KELOMPOK & probabilitas ruang sampel ASAL (kelompok) diperlukansyarat tambahan
Probabilitas yg berhubungan dg peristiwa dalam sub-kelompok dinamakanPROBABILITAS BERSYARAT.
60Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 31
Perhitungan dalam Probabilitas
6.Probabilitas BERSYARAT :
Pada pelemparan dadu MERAH (x) & PUTIH (y), bila x + y < 4,berapakah probabilitas x = 1 ?
1. Hasil x + y < 4 B = {(1,1), (1,2), (2,1)} dari RS semula 36,dipersempit menjadi 3 saja. Dari RS = 3, hanya 2 dari 3 ygmemenuhi x = 1 prob. x = 1 dengan syarat x + y < 4 = p(B) =2/3.
2. Bila prob. x = 1 TANPA SYARAT x + y < 4 A = {(1,1), (1,2), (1,3),(1,4), (1,5), (1,6)} p(A) = 6/36 = 1/6
3. Interseksi (yg rangkap) antara peristiwa A & B = A B :p(A) = 1/6 & p(B) = 3/36 p (A B) = 2/36
61Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Perhitungan dalam Probabilitas
6.Probabilitas BERSYARAT :
4. Bila prob. peristiwa x = 1 dengan syarat peristiwa x+y
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 32
Variabel Random
Definisi :
Variabel = variatif + able = dapat bervariasi
Random = acak, tidak beraturan, tidak diketahui
Variabel yg nilainya merupakan suatu bilanganyg ditentukan oleh terjadinya hasil suatupercobaan
Or, Outcomes of an experiment expressednumerically
63Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Variabel RandomTerdiri :
V.R. diskrit/discrete :
dinyatakan dg nilai-nilai atau harga-harga yg terbatasjumlahnya, atau dinyatakan dg bilangan bulat {-2, -1,0, 1, 2}
V.R. kontinu/continous :
dinyatakan dg sembarang nilai atau harga-harga ygterdapat dalam suatu interval atau kelompok intervaltertentu, atau dinyatakan dg bilangan pecahan {-2 x 2}
64Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 33
Variabel Random DISKRITMis. :
Histogram distribusi frekuensi relatif dari hasilpengukuran/observasi variabel random X yg DISKRITdalam suatu percobaan sebanyak 100 kali, yg jugamerup. DISTRIBUSI EMPIRIS
Apa bedanya percobaan 100 dg 1000 kali ?
Bila n=100 ukuran histogram renggang
Bila n=1000 ukuran histogram lebih rapat
Bila n=mendekati kurva kontinu distribusiteoritis 65Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
66Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitasboredom = boring = bosan = jenuh
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 34
67Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Variabel Random DISKRITContoh :
Distribusi frekuensi timbulnyaJUMLAH MATA DADU sebagaihasil percobaan sebanyak 100kali EKSPERIMEN
Bagaimana bila dibandingkandg frekuensi relatif TEORITIS kalau yg TEORITISdirumuskan dari RUANGSAMPEL yg memenuhi.
68Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 35
69Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
70Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Metode Eksperimen/Empiris
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 36
Variabel Random DISKRIT Meskipun histogram frekuensi relatif TEORITIS tidak sama dg
yg EMPIRIS (eksperimen), tapi jika percobaan diulang sampaiTAK HINGGA, maka frekuensi relatif EMPIRIS akan mendekatihistogram TEORITIS-nya.
Ada dua jenis Fungsi Probabilitas :
f (x) = p (X = x) ; f (x) 0 ; f (x) = 1
F (x) = p (X x) ; lim F(x) = 1 untuk x ; lim F(x) = 0 untuk x - Distribusi Kumulatif.
71Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Variabel Random DISKRITDari Ruang Sampel : Pelemparan 2 dadu
Ruang Sampel di atas : S = { (x,y) | 1 x 6 ; 1 y 6 }
Fungsi probabilitas Jumlah Mata Dadu, X= 2, 3, ..., 12.
72
x , y 1 2 3 4 5 6
1 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 )
2 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 )
3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 )
4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )
5 ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )
6 ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 37
VR Diskrit Jika X menyatakan variabel random yang harganya bagi
sembarang unsur dalam S (ruang sampel) ialah JUMLAH matadadu dari sepasang dadu dalam percobaan maka fungsiprobabilitas f(x) adalah :
f(x) = p( X = x ) ; f(x) 0 ; f(x) = 1. Dalam pengambilan keputusan, selain X = x, juga probabilitas X
x atau X x. Maka probabilitas untuk X 100 atau X 100dinyatakan dg :
F(100) = p( X 100 ) atau F(100) = p( X 100 ). F (x) = fungsi probabilitas kumulatif
73Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Variabel Random DISKRIT
Tentukan : ada perbedaan antara f(x) & F(x) f(5) = f(7) = F(3) = F(6) =
74Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 38
Variabel Random DISKRIT
75Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Metode Teoritis
Variabel Random DISKRIT
76Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 39
Variabel Random DISKRIT
77Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
78
Rata-rata & Standart Deviasi untuk VR Diskrit
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 40
79Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Contoh : Tentukan Rata-rata & Standart Deviasi untuk Jumlah Mata Dadu
yg timbul sebagai hasil pelemparan sepasang dadu.
7
80Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 41
Contoh : () :
= (2 7)
.
+ (3 7).
+ (4 7).
+
(5 7).
+ (6 7).
+ (7 7).
+ (8 7).
+
(9 7).
+ (10 7).
+ (11 7).
+ (12 7).
= 5.833
Maka, Standart Deviasi = = VAR = (5.833) = 2.415
81
Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Jumlah
f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1
Xi . f(xi) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 1 6/36 1 4/36 1 30/36 22/36 12/36 7
(Xi - m)2 . f(xi) 0.694 0.889 0.750 0.444 0.139 0 0.139 0.444 0.750 0.889 0.694 5.833
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Contoh :Jika 4 (empat) keping uang logam dilempar, berapakah rata-rata & standardeviasi munculnya K (kepala) ? Uang Logam mempunyai
2 sisi (Kepala & Ekor) Fungsi Probabilitas :
= 2.00 = 1.00 Maka, Standart Deviasi = = VAR = (1.00) = 1.00
82
KKKK KEKK EKKK EEKK
KKKE KEKE EKKE EEKE
KKEK KEEK EKEK EEEK
KKEE KEEE EKEE EEEE
Xi 0 1 2 3 4 Jumlah
f(xi) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 1.00
Xi . f(xi) 0 4/16 12/16 12/16 4/16 2.00
(Xi - m)2 . f(xi) 0.250 0.250 0 0.250 0.250 1.00
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 42
Harapan Matematis Bila peristiwa A1, A2, A3, ..., Ak merupakan peristiwa
independen yg lengkap terbatas, sedangkan p1, p2, p3, ..., pkmerupakan probabilitas terjadinya masing-2 peristiwa diatas. Maka, andaikan seseorang memenangkan sejumlahuang U1 bila peristiwa A1 , uang U2 bila peristiwa A2 , dst.terjadi maka :
Harapan Matematis memperoleh kemenangan A(U) :
A(U) = U1.p1 + U2.p2 + ... + Uk.pk Diterapkan dalam pertaruhan (konsep judi) & asuransi
83Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Harapan Matematis [contoh]Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2(dua) uang logam dilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerimasejumlah uang dari Y. X akan menerima :
Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.
Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.
Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K).
Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiappermainan agar taruhan dikatakan seimbang ?
84Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 43
Harapan Matematis [contoh]Pada permainan judi/taruhan/games of chance pelemparan 2 (dua) uang logamdilakukan oleh si X & Y. Si X akan menerima sejumlah uang dari Y. X akanmenerima :
Rp 1,000,- bila hasil pelemparan memperoleh 2K.
Rp 500,- bila hasil pelemparan memperoleh 1K.
Rp 0,- bila hasil pelemparan TIDAK memperoleh K (0K).
Berapakah yg harus dibayar oleh X kepada Y untuk setiap permainan agar taruhandikatakan seimbang ?
Soal di atas memiliki 3 peristiwa :
85
Pelemparan 2 keping Uang Logam :
KK 2K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 1,000,-
KE 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4
EK 1K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4
EE 0K --> 1 peristiwa dari 4 peristiwa = 1/4 --> Rp 0,- (kalah)
--> Rp 500,-
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Harapan Matematis [contoh]Soal di atas memiliki 3 peristiwa :
Kemenangan rata-rata tiap permainan (nilai taruhantiap pengundian) :
A(U) = U1.p1 + U2.p2 + U3.p3 = Rp. 500,-86
Pelemparan 2 keping Uang Logam :
Xi 0 1 2 Jumlah
f(xi) = pk 1/4 2/4 1/4 1
Uk 0 500 1000 1500
Uk . pk 0 250 250 500
Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 44
Harapan Matematis [contoh]Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia 25tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yang berartiprobabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000). Bilaperusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25 tahununtuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakah keuntungandari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesar Rp 1,000,000,-
Ada 2 peristiwa : [Prob.Kecil x UangBesar] vs [Prob.Besar x UangKecil]
Peristiwa pertama/meninggal dalam setahun p1 = 0.008
Peristiwa kedua/tidak meninggal dalam setahun p2 = 0.992
Peristiwa pertama mengeluarkan uang U1 = - (1,000,000-10,000) = -990,000
Peristiwa kedua menerima uang U2 = + 10,000
87Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Harapan Matematis [contoh]Pada Jasa Asuransi, dari tabel Mortalita diketahui bahwa seseorang usia25 tahun dapat hidup selama setahun adalah 0.992 (992/1000), yangberarti probabilitas mortalitanya (kematiannya) adalah 0.008 (8/1000).Bila perusahaan asuransi akan menjual Polis kepada seseorang usia 25tahun untuk jangka waktu setahun dg Premi Rp 10,000,- Berapakahkeuntungan dari perusahaan asuransi tsb ? Dengan polis asuransi sebesarRp 1,000,000,-
Maka harapan matematisnya :
A(U) = U1.p1 + U2.p2 = [- 990,000 x 0.008 ] + [10,000 x 0,992]
= 2,000,-
dan selama positip, pihak asuransi masihmemperoleh keuntungan.
88Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 45
Konsep Integral
89Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Konsep Integral
90Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 46
Konsep Integral
91Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Konsep Integral
92Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 47
Konsep Integral
93Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
Variabel Random Kontinu Pengukuran-2 berat badan, panjang, diameter, dsb,
dinyatakan dg variabel kontinu. Variabel kontinumenyatakan sembarang nilai dalam suatu interval.Fungsinya dinamakan Fungsi Kepadatan Probabilitas(probability density function).
Jika X merupakan variabel random kontinu yg bernilai - ~s/d + ~ maka Fungsi Kepadatan yang menggambarkanprobabilitas X dalam interval a s/d b dimana a b ialah :
94Haryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. - Pengantar Probabilitas
-
7/27/2015
~~ Statistik Probabilitas~~ 48
V.R. Kontinu Contoh #1Variabel random X memiliki Fungsi Kepadatan sbb. :
.
Jika x = 2 dan x = 3, berapakah p( x < X < x ) atau berapakah p ( a