sebaran normal multivariat
TRANSCRIPT
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 1/13
ANALISIS MULTIVARIAT
SEBARAN NORMAL GANDA
Irlandia Ginan ar M.Si.
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 2/13
SEBARAN NORMAL GANDA Fungsi kepekatan normal ganda (multivariate normal ) adalah
dimensi. Fungsi kepekatan dari peubah acak x yang menyebar normal
2
2/]/)[(1
)( 22
σ μ −−= xe x f
dimana -∞ < x <∞
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 3/13
ot ar ungs atas a an meng as an
kurva berbentuk genta yang memilikiciri-ciri sebagai berikut:
0.4000
0.4500
Simetrik terhadap nilai tengah (μ)
Mean, median, modus berada pada titik yang
sama
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
μ - < x < μ σ = .
P (μ - 2θ < x < μ + 2σ ) = 0.954
0.0000
X
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 4/13
Fungsi kepekatan bersama dari p peubah acak yang menyebar normal dan saling bebas adalah :
2
11
2/1 2/1...)2(
1),...,(
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−= ∑
=
p
i i
ii
p p
x Exp x x f
σ
μ
σ σ π
Bentuk [ (xi - μ)/σ]2 dari eksponen fungsi sebaran normal mengukur jarakkuadrat dari xi ke μi dalam unit simpangan baku.
Bentuk ini dapat digeneralisasikan untuk vektor x dari pengamatan beberapa
(x - μ)’ Σ-1 (x - μ)
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 5/13
bersama untuk p peubah dapat ditulis sebagai berikut :
1 −
)2( 21
2/π
−−−Σ
= x x xp x p
32
10
0.00
0.05
0.10
0.15
f(x1,x2)
dimana -∞ < xi < ∞ , i = 1,2,...p.
Fungsi kepekatan normal berdimensi p ini dapatditulis sebagai Np(μ,Σ) yang analog dengan kasus
-2-
-1-2
01
-3
2-4
X1
.
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 6/13
Countur
e aran orma an a
Eksponen (x - μ)’ Σ-1 (x - μ) dari kepekatan normal ganda
berdimensi p jika bentuk ini ditulis dalam sebuah persamaanterhadap sebuah nilai konstanta positif c.
( x - μ )’ - (x - μ ) = c
Dengan pusat ellips adalah μ dan absis ± c √ λi
ei
dimana,
= =i i i , , ,... .
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 7/13
- Kombinasi linier dari semua komponen peubah x juga menyebar
. p ∼ p , , :
a’X = a1 X1 + a2 X2 +...+ ap Xp menyebar
N ( a’ μ , a’ Σ a )
Jika Xp ∼ Np ( μ , Σ ) maka semua anak gugus dari X juga
menyebar normal1 2 , q1 1, 11 q2
(μ2, Σ22) maka sebaran bersyarat [X1/ X2] adalah normal ganda :
⎞⎛ ⎤⎡Σ⎤⎡ 0μ
⎟
⎠
⎜
⎝ ⎦⎣Σ
⎦⎣
+222
210
,μ
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 8/13
Jika X ~ Np (μ,Σ) dengan | Σ | > 0 maka:
(x -μ
)’Σ-1
(x -μ
) ~χ
(p)
2
dimanaχ
p
2
menyatakan sebaran khikuadrat dengan derajat bebas p.
- → →
(x-μ)’Σ-1(x-μ) ≤ χ (α, p)2
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 9/13
Untuk mengevaluasi apakah data yang dimiliki
menyebar normal ganda dapat ditelusuri secaraekplorasi
Seperti halnya untuk kasus univariate
penelusuran sebaran normal ganda dapat juga-khi-kuadrat
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 10/13
e erapa a apan yang arus a u an a am menyusunPlot Kuantil χ2 adalah sebagai berikut:
1. Hitung: )()( 1'2μ μ −Σ−= −
iii x xd
2. Beri peringkat k untuk nilai d i
2
3. Carilah nilai khi-kuadrat dari nilai (k– 1/2)/n dengan
derajat bebas p, misal ⎞⎛ −k 21
2
4. Buat plot d i
2 dengan5. Jika plot tersebut membentuk aris lurus maka data
⎠⎝ n p
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −n
k p
21
2 χ
tersebut menyebar normal ganda p.
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 11/13
Contoh kasusObs x1 x2 x3 x4 di
2 k p(k) χ (4)2
1 1.29 0.98 0.99 1.05 8.25 15 0.91 22.57
2 1.28 1.08 1.06 1.08 6.71 14 0.84 20.42
3 0.79 1.06 1.01 1.05 11.22 16 0.97 26.70
4 0.80 1.01 1.01 1.05 2.55 6 0.34 12.30
5 1.39 1.03 1.03 1.04 2.19 4 0.22 10.59
6 0.89 0.97 0.99 1.02 2.72 7 0.41 13.11
7 1.40 1.06 1.05 1.06 2.74 8 0.47 13.92
8 0.72 1.00 1.02 1.03 3.81 12 0.72 17.65
9 1.03 1.00 1.00 1.01 1.13 2 0.09 8.41
10 0.69 0.97 0.99 1.01 3.00 9 0.53 14.76
11 1.29 1.05 1.03 1.04 1.64 3 0.16 9.61
12 1.17 1.00 1.00 1.01 3.43 11 0.66 16.5913 0.82 1.00 1.01 1.01 2.50 5 0.28 11.47
14 1.23 1.05 1.03 1.02 3.17 10 0.59 15.64
15 1.09 1.02 1.02 1.03 0.13 1 0.03 6.56
16 1.00 1.04 1.05 1.03 4.82 13 0.78 18.89
5/10/2018 Sebaran Normal Multivariat - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sebaran-normal-multivariat 12/13
ore as antara i engan
kuantil khi-kuadrat adalah0.941 25
Bandingkan dengan tabel, jika lebih besar dari tabel
berarti normal ganda15 k
h i 2
0 5 10
5
di2