secundar matematica ii cadru didactic

Aceast prim ediie (pilot) este finanat de Uniunea European.

MINISTERUL EDUCAIEI I CERCETRII

NICOLAE PELLEGRINI

MATEMATICModulul 2Forme Ghidul profesorului

Proiect Phare Acces la educaie pentru grupuri dezavantajateProgramul A doua ans

Ministerul Educaiei i Cercetrii

Aceste materiale publicate n cadrul Proiectului Phare Acces la educaie pentru grupuridezavantajate 2003 au fost realizate de o echip de experi ai Ministerului Educaiei i Cercetrii,pentru a fi folosite n primul an de aplicare experimental a programului educaional revizuit A doua ans nvmnt secundar inferior.

Membrii echipei care a elaborat materialele sunt:Lucia Copoeru, coordonatoarea componentei A doua ans nvmnt secundar inferiorDorina Kudor, autoare Limba i literatura romnCarmen Costina, autoare Limba englezAriana-Stanca Vcreu, autoare MatematicNicolae Pellegrini, autor MatematicLuminia Chicina, autoare tiineIoana Mihacea, autoare tiineMihai Stamatescu, autor Istoriedr. Horaiu Popa-Bota, autor Geografiedr. Doina-Olga tefnescu, autoare Cultur civicPaul Vermeulen, expert U.E., componenta Elaborare curriculum i materiale educaionale

Coordonator editorial: Laura CodreanuDesign copert, layout: Elemr KnczeyDesign i dtp: Andrs TnczosIlustraii: Levente SzekeresCorectur: Mirabela Mitric

Aceast publicaie face parte din Programul Phare 2003 Acces la educaie pentru grupuridezavantajate, componenta A doua ans.Editorul materialului: Ministerul Educaiei i CercetriiData publicrii: februarie 2006

Coninutul acestui material nu reprezint n mod necesar poziia oficial a Uniunii Europene.

PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 3

CuprinsIntroducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Capitolul I. Puncte, drepte i figuri geometrice . . . . . . . . . .71. Cum se nasc liniile din puncte? . . . . . . . . . . . . . . . . . .82. Cum se nasc figurile din linii? . . . . . . . . . . . . . . . . . .103. Dreptele i unghiurile crmizile geometriei . . . . .124. Figuri plane, pretutindeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145. Unde priveti, numai corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166. Realitate sau desen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Capitolul II. Fenomene geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217. Asemnarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228. Un fenomen de mare importan: congruena . . . . . .249. Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Capitolul III. Msuri i uniti de msur . . . . . . . . . . . . .2910. Timpul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3011. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3212. Lungimea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3413. Msura unghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Capitolul IV. Proprieti metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3914. Perimetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4015. Arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4216. Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4417. Triunghiul sub lup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4618. ncep problemele: din nou despre relaii metrice . . .48

Capitolul V. Recapitulare i aplicaii . . . . . . . . . . . . . . . . .5119. Surprize, n loc de recapitulare . . . . . . . . . . . . . . . . .5220. n final, recapitulare n loc de surprize . . . . . . . . .54

Ne bucurm c suntemmpreun n marea echip aprogramului A doua ans.Ordinele M.Ed.C. nr.5333/25.10.2005 i nr.5375/29.12.2005 privindMetodologia aplicriiprogramului i programelecolare pentru educaia debaz sunt documentele carestau la baza programuluiA doua ans nvmntsecundar inferior.Ghidul de fa face partedintr-o serie de materialeeducaionale (ghidurileelevului, ghid de evaluare)elaborate, sau n curs deelaborare care vor fi utilizaten cadrul programuluiA doua ans nvmntsecundar inferior.Prin realizarea ghidurilor,am dorit s v sprijinimi s v oferim materialeperfectibile, dar utile Dvs.att n cadrul programului,ct i n ntreaga activitatedidactic.Sugestiile pe care ni le veioferi vor contribui larevizuirea materialelor nanul de pilotare, astfel nctprogramul s se poatextinde la nivel naional,ncepnd cu anul colarviitor.Datorit Dvs., pentru tineriidin program, viitorul poatearta altfel.V dorim succes i vmulumim c ai ales s fiialturi de noi.

Lucia CopoeruCoordonator A doua ans nvmntsecundar inferior

Stimat coleg,stimate coleg,

FORME

Introducere

MATEMATIC GHIDUL PROFESORULUI4

Modulul Forme este o introducere n geometriei are ca scop formarea, respectiv dezvoltarea nspecial a competenei generale: determinareaunor proprieti i msuri cu ajutorulmsurtorilor efectuate n situaii concrete.

Competene specificePrograma acestui modul are n vedereurmtoarele competene specifice:

recunoaterea i reprezentarea figurilor icorpurilor geometrice;

descrierea proprietilor simple ale unor figurii corpuri geometrice;

rezolvarea unor probleme practice utilizndproprieti calitative sau metrice ale unorfiguri i corpuri geometrice.

Acestor competene specifice le sunt ataate nprogram coninuturi grupate n:

elemente de geometrie; msurri i aplicaii ale msurrilor; probleme practice i probleme cotidiene.

Desigur, leciile nu vor ine cont de o delimitarefoarte exact a competenelor i nici aconinuturilor.

Presupunem c elevii posed anumite cunotinei deprinderi legate de tematica modulului isunt capabili s i aplice aceste achiziii. Lanceputul modulului, este preferabil s se testezenivelul elevilor, pentru a se ine cont pe parcursde aceast evaluare iniial.

Astfel, se vor testa cunotinele minimale legate degeometrie i de msuri la nivelul claselor primare.

Tot evaluarea iniial trebuie s verificeexperiena individual a elevilor, legat demsurtori i geometrie aplicat.

Evaluarea iniial va oferi profesorului informaiipentru alctuirea i organizarea grupelor pentruactiviti de grup sau proiecte.

Testul de evaluare iniial face parte dinportofoliul individual al elevului.

Activitile de nvareEvaluarea odat fcut i contextul specific alclasei (mediul educaional general, vrstaelevilor, apartenena lor social etc.) vor conduce

la adaptarea demersului didactic, inclusiv lanivelul coninuturilor propuse, dar cu sigurannu la nivelul activitilor. Profesorul arelibertatea s modifice, s aleag, s adapteze, sextind, s scurteze .a.m.d., cu condiia caorganizarea pe care o va prefera s contribuie ladezvoltarea competenelor generale i specificeprevzute de program.

Activitile de nvare vor fi alese n aa felnct s fie adecvate vrstei elevilor i intereseloracestora. Amintim aici cteva aspecte pe care lecredem importante:

Dialogul, discuia i conversaia trebuiepromovate, pentru ca elevii s-i exprimeprerile, ideile i toate observaiile de care vorfi capabili;

Activitatea de baz se realizeaz n coal,temele de cas sunt mai puin oportune;

nvarea n cooperare este, probabil, maimotivant dect activitile individuale;

Majoritatea activitilor se vor finaliza cudiferite produse i lucrri ale elevilor;

Proiectele se aleg, de comun acord cu elevii,n funcie de ateptrile lor i de posibilitiledisciplinei, respectiv ale modulului.

Ideile legate de predarea propriu-zis se vorprezenta n detaliu pentru fiecare lecie.

La finalul modulului, recapitularea este asiguratprin dou lecii. Ambele pun elevul n diferitesituaii, n faa unor sarcini diferite. Profesorulpoate folosi i alte materiale de recapitulare,chiar realizri ale elevilor: tabele, organizatori,fie, ilustraii etc.

Recapitularea trebuie s fie, n acelai timp,deschidere spre alte module, teme sau lecii, dinaceeai disciplin sau din alta.

Motivarea elevilorEste foarte important motivarea elevilor pediverse ci. Un aspect important este limbajulutilizat de profesor, modul n care se formuleazsarcinile de lucru. Optm mai puin pentrustilul imperativ i mai mult pentru unulinterogativ.

Dialogul personal i discuiile n grupuri micisunt mai eficiente dect expunerile iprezentrile. Provocarea elevilor pentru a se


exprima trebuie s fie fcut cu rbdare ipunndu-se accent pe ncurajare i laud.

Planificarea evalurii va ine cont de evaluareacontinu i de cea final. Propunem evaluri lanceput de modul, la captul fiecrui capitol (ncazul nostru 4) i la sfritul modulului. Timpulnecesar activitilor de acest timp se va aloca separat.

Putei folosi ca material suplimentar orice cartesau manual de geometrie de nivel comparabil cuGhidul elevului. Crile care prezint curiozitimatematice sunt foarte potrivite, precum i surselede informare de pe internet. Va fi nevoie dematerial oferit elevilor pentru consultare: planuri,reete, abloane (de ex. de croitorie), hri etc.

Introducerea din Ghidul elevuluiIntroducerea n modul este i n Ghidul elevuluiun text de natur explicativ. Acest text va trebuiprelucrat cu elevii, n ce mod dorete profesorul:poate fi citit i apoi interpretat de ctre elev,poate fi prezentat de ctre profesor sau,combinat, pot fi pri dezvoltate de elev i altele de profesor.

Important este consensul, nelegerea i, dac sepoate, acceptarea acelor principii n baza croras-a scris respectivul ghid.

Considerm important s nu comparai Ghidulelevului cu manualele obinuite de geometrie, deorice nivel. Nu pentru c ar fi mai bun sau maipuin bun, ci pentru c este altceva. Ghidulelevului nu seamn cu manualul obinuit, nueste un rezumat al altor cri. Este ns unrezumat de geometrie: se mrginete la esenial,la practic i la relevant.

Dincolo de cele mai bune intenii, Ghidulelevului, ca de altfel orice manual, suportmbuntiri.

Credem c este bine-venit dac v notaicomentariile i prerile, propriile impresii.

De asemenea, trebuie spus elevilor c se va contape cunoinele lor anterioare, pe experiena lorde via i c nvarea care se va produce vancerca s rspund ateptrilor i nevoilorindividuale ale lor. Ei trebuie s neleag, ns,c la finalizarea studiilor n sistem a douaans nivelul de pregtire trebuie s fiecomparabil cu cel al unui absolvent de clasaa X-a de la SAM. Cu att mai mult la matematic,cu ct aceast disciplin este materie de examenla mai toate nivelurile.

Structura Ghidului elevuluiLeciile din Ghidul elevului sunt structurate nacelai fel, cu excepia ultimelor dou lecii.Toate sunt compuse din trei blocuri, dedimensiuni aproximativ la fel de mari: un blocde orientare, un bloc de achiziii i unul detransfer. Fiecare bloc este format, la rndul lui,din cteva casete, adic nite grupaje de idei.Astfel, o lecie are 7 casete, intitulate sugestiv:

Despre ce va fi vorba? (introducere, puneren tem)

Adic. (dezvoltarea principalelor idei) Cum? (ntrebri legate de partea de

dezvoltare) ncercm? (exerciii, sarcini de lucru,

probleme, teme de proiect etc.) tiai c? (curioziti, transfer spre alte

domenii, cultur general etc.) De altfel (transfer spre viitoare teme de

matematic) (Nu) Sunt de acord (comentarii proprii)

Pe lng prezentarea acestei structuri, eleviitrebuie s cunoasc scopurile orelor dematematic, numrul de ore alocat, cuprinsul ialte aspecte legate de coninuturi i importanamaterialului de studiat.

nainte de descrierea, rnd pe rnd, a leciilor,cteva observaii de ordin general.

1. Ghidul elevului nu seamn cu manualeleobinuite de matematic, astfel, comparaiilen acest sens nu sunt necesare. Ghidulelevului este diferit de crile bine-cunoscutede matematic colar.

2. Limbajul folosit n Ghidul elevului esteneobinuit. n locul rigorii de limbaj i alunor expresii prea tehnice, am preferat untext mai sugestiv, mai metaforic. Nicinotaiile nu sunt cele mai riguroase.

3. Ilustraiile sunt foarte importante, pentru cele ar trebui s provoace la dialog, ladiscuii, la dezvoltri.

4. ntregul ghid are un caracter cadru, elpoate s fie modificat n mare msur dupideile profesorului i n funcie de contextuln care se va produce nvarea.

5. Sarcinile de nvare i exerciiile se pot, decele mai multe ori, organiza sub form demunc n grup.

6. Recomandm elaborarea i parcurgerea adou-trei proiecte care s se finalizeze cuanumite produse i care s ilustreze eleviloretapele unui proiect.

Structura Ghidului profesoruluin descrierea fiecrei lecii vom respectaurmtoarele puncte:

informaii pentru identificarea leciei; obiectivele de nvare; informaii despre caseta 1, 2 i 3 (partea de

orientare i achiziii); informaii i explicaii privind caseta 4

(partea de aplicaii, sarcini de nvare iactiviti specifice);

explicaii privind caseta 5 i 6 (partea deaplicaii i transfer).

Pentru a simplifica lectura Ghidului profesoruluii din motive de economie, vom nota acestepuncte astfel:

O de la obiectiveA de la orientare i achiziiiS de la sarcini de nvareT de la transfer

n paginile care descriu primele lecii ale fiecruicapitol vom avea cteva informaii n plus: numrde ore alocat capitolului, tipuri de activiti denvare sugerate, materiale didactice etc.



Numr de ore alocate: 6 ore pentru predare-nvare

1 or pentru evaluare

Activiti propuse:

identificarea elementelor i a conceptelor de baz;

stabilirea notaiilor uzuale i a conveniilor de desen;

clasificarea figurilor i a corpurilor;

ilustrarea principalelor aplicaii.

Materiale: ilustraii cu figurile geometrice, machetele corpurilor

geometrice, imagini i texte diferite, instrumente pentru desen.

Puncte, drepte i figuri geometrice I

O. descrierea unor formegeometrice simple compusedin puncte;

recunoaterea punctuluigeometric i a liniei;

identificarea punctelor i aliniilor n diverseconfiguraii.

A. Lecia este introductiv, faceparte din pregtirea elevilor pentrustudiul mai matematic algeometriei. Din acest motiv, ea nueste foarte complex, dar coninecteva idei de exploatat.

Elevul se va familiariza cu ideeade punct geometric, dreapt icurb geometric i le va deosebipe acestea de obiectele realepunctiforme sau avnd naturaliniilor. Din motive de nelegeremai bun, dreapta i curbele suntprezentate ca i cum ar fi formatedin puncte.

Propunem o scurt discuie despreproblema dimensiunilor acestorelemente i din nou despreaproximarea lor cu obiectele reale.

S. n activitile de nvarepropuse se poate insista pefenomenele de micare prin carepunctele descriu linii. Asemeneaexemple pot fi gsite de ctre elevii descrise apoi n limbajul lor. Unscop ascuns este acela de a senelege importana i utilitateadesenelor, care redau mult maibine traiectoriile dect descrierileverbale.

Exerciiile puse n caseta 4 se potrezolva individual sau n micigrupuri de lucru.

PUNCTE, DREPTE I FIGURI GEOMETRICE


Cum se nasc liniile din puncte? 1

Activitile de nvare din cadrul acestei lecii vor oferielevului ocazia de a descrie n propriul limbaj primeleelemente de geometrie prezentate. Introducerea trebuie s fiect se poate de intuitiv, apropiat de experiena elevilor. Esteimportant ca elevul s-i forme noiunile i reprezentrilepornind de la imagini vizuale sugestive i apropiate gndiriisale. Se va insista pe interpretarea desenelor i a imaginilor ipe reproducerea acestora. Exerciiile vor fi simple, cu caracterintroductiv. Prin ele se va conveni i asupra primelor notaii,fr s se pun accent pe formalizri inutile. n partea apli-cativ a leciei, profesorul va alege diverse situaii i contexten care elevul va identifica elementele studiate i n care varecunoate prezena geometriei, chiar i la nivel iniial.

Cu ocazia acestei prime lecii, elevii trebuie obinuii s-ifac propriile comentarii i s formuleze ntrebri la care ncnu au primit rspuns.


T. Elevii vor cuta i vor puteaprezenta alte exemple de obiectepunctiforme sau linii materiale.Putei vorbi despre fotografie,despre procesul poligrafic, despremodul n care lucreazimprimantele cu ace etc. Pentruideea de linie dreapt sau curb sepoate vorbi despre fascicule delumini, fire de curent, obiecte deart i altele.

Este important nelegerea roluluisuprafeei pe care trasm linii, nspecial pentru problemele (degeografie) legate de liniileimaginare de pe Pmnt.

Propunem utilizarea multordesene i ilustraii. n gsireaacestora pot ajuta foarte bineelevii.

Notiele/observaiile profesorului

O. descrierea celor mai simpleforme geometrice compusedin linii;

recunoaterea unorproprieti simple aleliniilor drepte sau curbe;

identificarea liniilor ndiverse configuraii.

A. Lecia este introductiv, faceparte din pregtirea elevilor pentrustudiul mai matematic algeometriei. Din acest motiv, ea nueste foarte complex, dar coninecteva idei de exploatat.

Prin tema aleas, vrem sfamiliarizm elevul cu ctevaaspecte generale ntlnite ngeometrie. Tema central este liniai apariia ei n diverse situaii. Cailustraie de pornire s-a ales undesen celebru, iar profesorul esterugat s gseasc i alte asemeneapretexte. Desenul-caricatur esteales pentru a face activitatea maiplcut.

Recomandm s se insiste pe cerci arc de cerc, privite ca linii curbefrecvent ntlnite.



Cum se nasc figurile din linii? 2

Aceast lecie este o continuare fireasc a primei lecii introductive. Se continu exerciiul deprezentare i reprezentare intuitiv a primelor elemente de geometrie. i n acest caz este nevoie deun suport vizual i intuitiv ct mai bogat i de o complexitate potrivit posibilitilor i ateptrilorelevilor.

Apar, tot cu titlu informativ, primele aspecte cantitative, legate de numrul elementelor ntr-oconfiguraie. Asemenea exerciii de numrare se pot diversifica i continua. Profesorul poate alegealte configuraii, folosind linii i segmente drepte sau linii curbe.

Important este i prezentarea, spre ncercare i studiu, a problemei podurilor, problem care nu aresoluii. Este prima ocazie pentru a explica elevilor diferena conceptual dintre problem isoluie. Se recomand prezentarea pe parcursul leciilor a unor probleme similare, pe careprofesorul le poate gsi uor n literatura de specialitate. Analiza unor asemenea situaii este foartepotrivit pentru exersarea discuiilor i a interpretrilor, fr de care nvarea nu este eficient.



Discuia din caseta 3 despre finit iinfinit va fi de nivel adecvat, dartrebuie s ating i aspecte maigenerale.

S. Propunem s se explorezelegtura dintre numrul de drepte(sau linii) i numrul unor punctedate. Problema podurilor estetendenios aleas, pentru a ilustrao situaie imposibil. Puteiasigura elevilor i alte exerciii deacest tip, cu scopul s ilustrai censeamn o problem (provocare)i soluia care exist sau nu.

Exerciiile puse n caseta 4 se potrezolva individual sau n micigrupuri de lucru.

T. Putei organiza activiti denvare prin care elevii s cautealte tipare din mediul lornconjurtor. Aceste ncercri potface parte din portofoliul lor.

Exemple de desene incompletecrora ncercm s le dm sensprin completare se gsesc n multecri de psihologie.

Recomandm ct mai mult deseni ilustraii, respectiv incitareaelevilor la discuii, formulripersonale i interpretri.

O. recunoaterea i folosireanotaiilor pentru dreapt iunghi;

compararea segmentelor i aunghiurilor pe cale intuitiv;

identificarea unorconfiguraii mai complexe.

A. Lecia introduce notaiileuzuale pentru dreapt, unghi iprile dreptei.

Dreptele vor fi imaginate ca fiindincluse ntr-un plan. Se vaintroduce noiunea de msur,ntr-o accepiune mai mult sau maipuin general, n funcie denivelul clasei. Cu ocazia amintiriiunghiurilor adiacente, se vadiscuta despre sensul operaiilorsimple ce se pot efectua cu msurii despre ocaziile n care acesteoperaii sunt fireti. Toate ideilenoi vor fi prezentate pe calevizual.

Nu se discut nc despresubmultiplii gradelor, nici despreunitatea de msura folosit pentruexprimarea lungimilor.

S. Semidreptele i segmentele se vorstudia n cadrul exerciiilor propuse.



Dreptele i unghiurile crmizile geometriei 3

Complexitatea elementelor i a configuraiilor studiate este mai ridicat n aceast lecie. Tipologiaunghiurilor trebuie prezentat elevilor prin exemple variate, la fel de intuitive ca i n primele dou lecii.

Limbajul folosit, expresiile unghi i segment, de exemplu, sunt tot attea ocazii pentru a extindestudiul i discuia purtat cu elevii spre probleme de lingvistic.

Profesorul va cuta s ofere i alte ilustrri ale unghiurilor i ale segmentelor ce se pot recunoate nconfiguraii reale. Exerciiile alese pot fi deja de o dificultate puin mai ridicat. De exemplu, launghiuri adiacente sau la unghiuri n jurul unui punct se pot da elevilor situaii mai complicate. nacelai timp, n cadrul acestei lecii trebuie lmurit problema operaiilor cu segmente i unghiuri,aspectele legate de operarea cu msuri i cele legate de cazurile cnd operaiile au sens. (Spreexemplu, dac are sens sau nu s adunm dou unghiuri care nu sunt adiacente.) Fr a insista pecalculul propriu-zis, discuiile vor lmuri latura conceptual a temei.

Elevii vor deosebi diferena dintreaceste dou noiuni i vor ncercas clasifice segmentele dupapartenena capetelor segmentului.Ar fi util s se discute i despresinonimia expresiei segment.Dac nivelul clasei permite, sepoate dialoga despre deosebireadintre lungimea unui segment inumrul punctelor din caresegmentul este format.

T. Paralelismul iperpendicularitatea vor fi amintitenumai cu titlu informativ, dar seva putea folosi experiena elevilorlegat de aceste dou fenomenegeometrice. Sistemul de axe decoordonate se va folosi ndezvoltarea altor module.Paralelismul i perpendicularitatean arhitectur i construcii este otem care se poate valorifica foartebine prin exemple oferite deprofesor i de elevi. Exemplul cupanta drumului face trimitere lafizic, la procente i la altecapitole din matematic. Desigur,profesorul poate gsi alte exempleconcludente pentru utilizareaunghiurilor n viaa cotidian.



O. recunoaterea diferitelorpoligoane;

deosebirea elementelorconstitutive;

recunoaterea poligoanelorregulate i a cercului.

A. Lecia i propune inventariereacelor mai cunoscute figurigeometrice plane. Se vor considerapoligoanele, respectiv cercul nacest caz, dar i poligoaneleregulate. Prezentarea va fiintuitiv, pornind de la un desen-pretext. Se vor putea folosicunotinele elevilor legate depoligoane.

mpreun cu cercul, se poateprezenta elevilor i elipsa. Ea vaexemplifica figurile geometricemai complicate. ntrebrile sunt ide data aceasta simple i dupexemplul lor se pot formula cuuurin altele.

Aceast prim discuie desprepoligoane va mai fi urmat de alte lecii.

S. Suma unghiurilor unui triunghieste dat fr alte explicaii.Plecnd de la aceast informaie se



Figuri plane, pretutindeni 4

n aceast lecie se continu prezentarea unor aspecte calitative i cantitative, nedesprite, n cadrulfiresc al poligoanelor. Investigarea acestora va cuta s nu exagereze n nici una din aceste direcii.

Inventarul figurilor plane poate fi extins i pentru alte figuri plane, dac profesorul consideroportun acest lucru. De asemenea, se poate insista mai mult pe prezena figurilor plane n mediulnostru nconjurtor: n construcii, n natur, n domeniul obiectelor de uz casnic .a.m.d. Este dedorit ca elevii s neleag clar caracterul plan al acestor figuri studiate i s deosebeasc figurileplane de corpuri.

Vor fi utile, ca exerciii pregtitoare, calculele legate de suma unghiurilor n triunghi, respectiv n altepoligoane. Lecia aceasta ofer deja posibilitatea s se nceap activitatea de proiect intitulat Ce tiudespre forme i corpuri geometrice, aa cum s-a recomandat n programa acestui modul. Activitateade proiect se va ntinde pe o durat stabilit de profesor, innd cont de posibiliti i interese.

pot realiza diferite generalizri. Semai propun spre analiz idezvoltare dou idei:descompunerea poligoanelor ntriunghiuri i legtura dintrepoligoanele regulate i cerc. Toateexerciiile se pot extinde spre altesituaii de nvare asemntoare.Unele exerciii se pot repetapentru fiecare poligon (regulat)despre care s-a discutat.

T. Figurile geometrice suntprezentate i din punctul devedere al artelor decorative. Ceeace se gsete n Ghidul elevuluieste, din nou, doar un pretextpentru discuii i dezvoltri.Profesorul poate alege alte ilustrriale prezenei figurilor geometricen art.

Se mai revine puin asupra elipsei,pentru motivul c ea se va maintlni n alte domenii de studiu,de exemplu n geografie.

Considerm util prezentarea unorsituaii din viaa cotidian, undefigurile geometrice sunt desfolosite. De aceea, am alesexemplul tablei de stop, dar seputeau considera alte i alteexemple. Una dintre idei esteamintirea pavrilor, tem cu careelevul se va mai ntlni n alt modul.



O. recunoaterea corpurilorgeometrice uzuale;

clasificare corpurilor careurmeaz a fi studiate;

deosebirea elementelordescriptive ale corpurilor.

A. Lecia continu n mod firesctema precedent. Ideea creia i sesubordoneaz tema este a celor treidimensiuni. Imaginea de porniresugereaz varietatea corpurilor dinjurul nostru, privite ca formespaiale.

Se insist asupra clasificriicorpurilor n poliedre i corpurirotunde. Se vor prezenta elevilor oserie de denumiri. Este foarteimportant s se ataeze acestorexpresii un sens neles de elevi.De exemplu, generatoare poateservi ca o bun baz de discuii nacest sens. Recomandm s se facexemplificrile nu doar folosindcubul, dei acest corp va avea i ntextul nostru o importan maimare. ntrebrile sunt cu multevalene educative, ele trebuieexploatate ca atare.



Unde priveti, numai corpuri 5

Aspectele calitative i cantitative sunt nedesprite i n aceast lecie. Prezentarea intuitiv estedezvoltat i completat cu unele aspecte matematice de baz: denumiri, clasificri, desfurri nplan etc. Exerciiile referitoare la desfurarea corpurilor n plan vor lmuri complet deosebireadintre figur plan i corp geometric. n acelai timp, tema desfurrii permite o serie de exerciiipractice, n funcie de posibilitile i interesele elevilor.

Se recomand studiul mai atent al corpurilor des ntlnite i rezolvarea unor exerciii legate deacestea. De asemenea, poate fi de interes gsirea unor ilustrri din mediul nostru nconjurtor, aacum s-a sugerat i n lecia precedent.

Sunt foarte importante conveniile de desen, care trebuie discutate atent cu ocazia acestei lecii. Serecomand s se insiste pe desene, pe corectitudinea acestora i pe faptul ca ele s fie nconformitate cu reprezentrile interne pe care elevii le-au ataat corpurilor. Este util s selmureasc deosebirea dintre desen i schi.

S. Activitile de nvare suntdestul de practice, elevilor li se vacere s execute anumite lucrri:desene, desfurri, construcii. Seva ncerca orientarea elevilor spretemele viitoare legate de corpuri.Discuia despre desfurare infurare este de dorit s se facmpreun. O parte din activiti sepot organiza sub form de proiectei, evident, pe grupe mai mici.

T. Chiar dac apar n continuare,poligoanele regulate se vor analizai discuta n mod expres. Ct isub ce form, asta va decideprofesorul.

S-a considerat util amintirea nacest context a unor aspecte dearhitectur. Fiecare informaie carese prezint elevilor poate fidezvoltat dup preferine iposibiliti. Este bine s se cauteexemple att din natur, ct i dincreaiile omeneti, exemple care silustreze prezena corpurilor nviaa noastr. Este important caelevul s neleag i de dataaceasta diferena dintre un corpreal i corpul geometric, caesenializare a corpului real.



O. stabilirea unor convenii dedesen;

reproducerea prin desen aunor situaii reale;

analiza unor desene.

A. Lecia continu temaprecedent legat de corpurigeometrice. Ideea este(re)cunoaterea planuluigeometric, a poziiilor pe care odreapt le poate avea fa de acestai nelegerea modului n caredesenul plan al unui corpdeformeaz realitatea. Se poatediscuta i despre dreptenecoplanare, n funcie deinteresele elevilor. Exemplulcubului, pentru paii prin care serealizeaz desenul unui corp, estede continuat cu alte corpurigeometrice. Pe desenele astfelconstruite, elevii vor identificaplanele diferite i dreptele care, nrealitate, stau perpendiculare sauparalele. Am mai propus i odiscuie general despreimportana desenelor tehnice,cum ar fi hrile, schiele,planurile etc.


Realitate sau desen? 6


n lecia 6 se completeaz cunotinele legate de desen i de conveniile despre care s-a mai discutatcu o lecie nainte. Elevii vor contientiza importana acestor convenii i faptul c deseneledistorsioneaz realitatea. Este recomandabil s se discute, pe de-o parte, despre modificareadimensiunilor reale, pe de alt parte, despre schimbarea formelor n timpul redrii prin desen.

Discuia despre perspectiv se poate extinde mult, n funcie de interesele i posibilitile clasei.

Pentru toate extinderile pe care profesorul le dorete, se va cuta material ilustrativ ct mai bogat isugestiv, apropiat de experienele elevilor.

De asemenea, recomandm s se insiste asupra calitii desenelor i a reprezentrilor, mai degrabdect asupra cantitii acestora. Precizia i corectitudinea desenelor, n limitele conveniilor pe carele utilizm, sunt eseniale.

Cu alte cuvinte, este foarte important ca n acest grupaj de lecii s se pun accent pe dezvoltareagndirii vizuale, de care elevii vor avea mult nevoie n studiul matematicii i n alte discipline ntlnite.


S. Printre sarcinile de lucru aparerealizarea schiei unei locuine saua unei cldiri. Acest desen se varelua, se va mbunti i se vareface, dar tema apare aici pentruprima dat. Se mai cere elevilor sdeseneze exact corpurilecunoscute, exersnd astfel ipunctualitatea, i exactitatea. Axade rotaie este amintit doar cutitlu informativ, exact la fel ca idiagonalele corpurilor. Credem ceste important s se insiste pedesen, pe calitatea acestora, printr-un numr ct mai mare deexerciii.

T. n partea de transfer se insistpe iluzii optice, pentru a avea noiocazii s delimitm realitatea dedesen, de reprezentarea ei.Exemplele de acest fel suntnumeroase, profesorul poate alegealtele, iar pe cele date le poatecompleta. Sub pretextul iluziilorse pot face referiri la artdecorativ i, astfel, la aspecte deestetic, din nou.

Ultimul pasaj propune o discuiedespre perspectiv. Ilustraii deacest gen se gsesc multe, se potfolosi cri de desen sau imaginialese din alte lucrri. Importanteste ca elevul s neleag rolulperspectivei n desen.





Activiti propuse:

identificarea i studiul unor relaii geometrice;

rezolvarea unor exerciii i probleme;

regsirea relaiilor n alte contexte;

ilustrarea principalelor aplicaii.

Materiale: desene i schie, fotografii, instrumente de desen,

imagini i texte diferite.

Fenomene geometrice II

O. analiza asemnrii, dinpunct de vedere geometric;

recunoaterea roluluiraportului de asemnare;

compararea asemnriigeometrice cu asemnarea n general.

A. Este prima lecie dintr-un ir detrei teme: asemnarea, congruenai simetria. Asemnarea, odatstudiat, va servi la introducereacongruenei. Imaginea de pornireeste a unei hri, dar se pot alege ialtele. Asemnarea este legat demicare, de transformare prinprezentarea mririi sau amicorrii ca rezultat final.Raportul de asemnare este folositcu titlu informativ, dar aceeaiidee se reia la scara unei hri saua unui desen. Tot n limbaj detransformri geometrice, seanalizeaz ce rmne invariant laasemnare i se poate discutaideea invarianei la o transformare,n general.

S. Activitile de nvare seconcentreaz n mare parte pefolosirea i nelegerea hrilor.Se reia exerciiul din leciaprecedent i li se cere elevilor s

FENOMENE GEOMETRICE

Asemnarea 7


Aa cum reiese din formularea obiectivelor acestei lecii, asemnarea este prezentat doar cu scopintroductiv. Nu au fost studiate cazurile de asemnare i nu s-a pus accent pe aspectele calculatoriiale acestei teme. Astfel, nu se vor face demonstraii privind asemnarea, pentru c nu acesta estescopul prezentrii temei.

n funcie de nivelul clasei i de interesul elevilor, profesorul va putea alege exerciii prin care s sedezvolte i partea calculatorie. Am considerat mai important pentru elevi nelegerea fenomenuluin sine i descrierea ct mai variat a acestuia.

De asemenea, am considerat foarte importante aplicaiile asemnrii n practic. Profesorul va cutas rezolve exerciii referitoare la scara hrilor, scara desenelor i a schielor i exerciii de folosire araportului de asemnare, n sens matematic. Altfel spus, elevul va descoperi asemnarea n diferitesituaii, o va studia cu mijloacele de care dispune i va ncerca s realizeze el transformri prinasemnare, dac este cazul.

realizeze un desen la scar.Importana practic a scrii, aproporiilor este evident.Numrul i complexitateaexerciiilor de acest fel depinde declas i de contextul n care seproduce nvarea.

T. nsi folosirea hrii este unelement de transfer, nu un scop nsine. Se pregtete introducereaaltor elemente de geometrie, cumar fi congruena, dar se fac referirii la aspecte nematematice.Descoperirea asemnrii n naturofer elevilor noi sarcini de lucrui de nvare. Se pot analiza multesituaii destul de cunoscute:cristalele, plantele etc. Ar fiimportant de scos n evidenfaptul c n natur asemnareaeste, de regul, imperfect.

Astfel, se regsete ideea dup caregeometria idealizeaz i simplificnatura pe care o descrie, subiectatins deja din primele lecii.

Profesorul este rugat s gseascalte elemente de trasfer, n funciede interesele elevilor i deposibilitile clasei.



O. analiza congruenei lasegmente, unghiuri itriunghiuri;

compararea congruenei i a asemnrii;

introducerea ideii deraionament.

A. Congruena, amintit n leciaprecedent drept situaieparticular de asemnare, esteprezentat n relaie cutransformrile geometrice. Seconsider, pe rnd, congruenasegmentelor, apoi a unghiurilor. Se va insista pe distincia dintreegalitate i congruen i pe rolulmsurii n stabilirea congruenei.Congruena triunghiurilor se vaprezenta doar descriptiv, urmnd ase oferi exemplul pentru metodatriunghiurilor congruente n parteade transfer a leciei. ntrebrile vinn ajutorul nelegerii sensuluiunor expresii des utilizate n textematematice.

S. Activitile de nvare trebuies contribuie la nelegerea corecta congruenei, sub forma unorexerciii i probleme tipice, darsimple. Asemenea probleme segsesc foarte uor, cu referire la

FENOMENE GEOMETRICE


Un fenomen de mare importan: congruena 8

Aceast lecie este prima care pune accent mai mare pe cteva aspecte formale. Elevii vor nvanotaiile i exprimarea simbolic n contextul congruenei, precum i nevoia formalizrii. Vornelege c notaiile i formalizare sunt convenii care simplific scrisul i exprimarea. Pentruilustrare se vor folosi cele mai simple figuri plane, poligoanele studiate deja. Se va arta elevilormodul n care se pot descoperi proprieti mai ascunse, folosind metode de investigare, precumcongruena. Tot n acest cadru trebuie neleas deosebirea ntre msurare i informaiile astfelfurnizate i investigaia realizat pe cale deductiv. Se pot discuta ambele aspecte, spre exemplufolosind ca pretext de discuie iluziile optice. Astfel, vor apare ca necesare att msurtorile, ct iraionamentele deductive, ca instrumente de investigare a realitii.

Formalizarea se poate extinde ct consider profesorul i ct permite nivelul clasei, dar scopulleciei nu este acest aspect. Important este nelegerea fenomenului de congruen i a modului ncare acest fenomen se poate exploata n studiul geometriei.

figurile geometrice deja prezentate.Se pot continua investigaiilelegate de triunghiul isoscel iechilateral, dac nivelul claseipermit acest lucru. Ca suport, sepoate folosi i cercul pentruexersarea ideii de congruen. Totcu aceast ocazie se poate nvadespre triunghiul dreptunghic.

T. Intenia acestui bloc este de a senelege modul n carefuncioneaz metoda triunghiurilorcongruente, att pentru importanamatematic a acesteia, ct i cailustrare a raionamentuluideductiv, n comparaie cumsurarea, estimarea etc. Este depreferat s se aleag cte unexemplu pentru fiecare caz decongruen, folosindu-se figurilegeometrice studiate deja. Dac esteposibil, se poate analiza un caz decongruen, plecnd de la un corpgeometric i lucrnd ntr-oanumit seciune a acestuia.

Iluzia optic apare amintit n textpentru a scoate din nou neviden importana msurrii i(sau) a raionamentului deductivn stabilirea congruenei.



O. analiza unor figurigeometrice simetrice;

recunoaterea simetrieiaxiale i a celei centrale;

generalizarea simetriei nalte domenii, n afaramatematicii.

A. Ultima lecie din unitateafenomenelor geometrice se ocupde simetrie. Legtura dintre acestetrei teme este transformareageometric. n prezentarea temei sevor putea folosi experiena icunotinele elevilor, simetria fiindun fenomen apropiat oricui.Prezentarea acesta trebuie fcutct mai vizual, cu suporturi alesedin diferite domenii: matematic,decoraiuni, natur etc. Chiar iconstruciile nevizuale potprezenta simetrii, aa cum gsimn literatur sau n muzic.ntrebarea referitoare la stngacivrea s atrag atenia asupradificultii de utilizare a unorobiecte sau instrumente asimetricede ctre stngaci, problemimportant pentru aceastcategorie de oameni.

FENOMENE GEOMETRICE

Simetria 9


Studiul simetriei se face n baza acelor principii care au fost luate n considerai i n leciaprecedent. Accentul cade pe nelegerea fenomenului n sine, pe descoperirea simetriilor n cadrulstudiat i pe utilizarea lor n investigaiile ulterioare.

Lecia despre simetrie permite profesorului discutarea unor teme conexe variate. n Ghidul elevuluigsim doar cteva sugestii, departe de a fi explorat toate posibilitile. n funcie de nivelul clasei ide interese, profesorul va gsi o serie de extinderi posibile. Se poate construi ntregul demers peideea de transformare geometric, aa cum face i lecia prezentat, ori pe aspectul de fenomengeometric ntlnit n diverse contexte i situaii.

Elevii vor observa modul n care simetria existent i descoperit conduce la obinerea unorproprieti calitative noi. n acest scop vor utiliza congruena deja nvat.

Un alt aspect valoros al studiului poate fi asimetria. Observarea, descrierea i compararea acesteia cucazurile ideale de simetrie l pot ajuta pe elev s neleag mai bine deosebirea dintre realitate idescrierea pe care o atam realitii.


S. Activitile de nvare vorurmri s pun elevii n faa unorsarcini simple, dar importante: sevor cerceta figurile geometrice icorpurile din punctul de vedere alsimetriei pe care o au sau nu.Propunem ca elevii s fie nvaicum se construiete imagineasimetric a unei figuri date, att ncazul simetriei axiale ct i a celei centrale.

T. n partea de transfer este folositpretextul oglinzii, dei se puteaconstrui ntreaga lecie plecnd dela acest exemplu. Apar termeniiconcav i convex, care vor fiexplicai i exploatai cu elevii. Sepot face diverse legturi spre fizici aplicaii pe teme din viaa detoate zilele. Se poate discutadespre oglind i simetrie n totfelul de alte contexte: de istorie, detehnic, de astronomie etc. Apardin nou trimiteri spre artelevizuale, dar i spre ideea deasimetrie. Altfel spus, se propunes se insiste puin peimperfeciunea simetriei n naturi nu numai, aspect care s-a maidiscutat i la asemnare. Dacexist interes, se poate purta odiscuie referitoare la cristale, caexemple tipice de figuri simetricede diferite tipuri.





Activiti propuse:

identificarea i exersarea unitilor de msur;

efectuarea de msurtori;

utilizarea transformrilor;

aplicarea celor exersate n diferite contexte.

Materiale: tabele i organizatori, instrumente de msur

i de desen, imagini i texte diferite.

Msuri i uniti de msur III

O. descrierea conceptului detimp;

recunoaterea unitilor demsur pentru timp;

transformarea diferiteloruniti ntre ele.

A. n pregtirea primei teme dinaceast unitate propunem discuiilegate n general de timp, aa cumapare el n percepia elevilor i nnelegerea subiectiv a acestora.Exemplele de pornire pot fi alesedintr-o multitudine de situaii.Probabil c unitile de msurpentru timp sunt cunoscute.Astfel, se poate insista mai mult pemsur i msurare, asupra crorase va reveni la celelalte lecii dinaceast unitate. ntrebrile ajut sse realizeze un context adecvatpentru a exersa transformrile icalculele legate de uniti de timp.

S. Acelai lucru este valabil ipentru blocul urmtor. Profesorulva cuta s gseasc nite contextefireti, interesante i relevantepentru elevi, n care s se exersezecalculele i s se adnceascnelegerea noiunii de timp i a

MSURI I UNITI DE MSUR

Timpul 10


Aceast lecie, prima din seria temelor consacrate unitilor de msur, nu are o legtur foartestrns cu studiul formelor. Ea a fost inclus totui, pentru c n modulele de matematic destinateelevilor cuprini n programul a doua ans nu este o alt unitate pentru uniti de msur. Dacprofesorul consider, aceast tem se poate omite sau se poate prezenta coninutul ataat ei lacelelalte lecii.

Lecia poate oferi ocazii bune pentru lmurirea ideilor de msurare, msur, unitate de msur.a.m.d. De asemenea, se poate ncepe deja discutarea aspectelor legate de precizia msurrilor, deaproximri i de erorile de msurare. n acelai timp, tema timpului permite exersarea calculului, atransformrilor i ajut la nelegerea fenomenelor de micare. Acestea din urm au, evident, o laturgeometric important.

Textul propus ofer i posibilitatea discuiei despre punctualitate, ca trstur de caracter, i desprechestiuni cum ar fi eficiena, respectarea termenelor i altele.

msurrii acestuia. Diferite calculelegate de situaii reale de via potfi de mare ajutor, chiar dac unelevor fi puin artificiale, ca deexemplu ultima ntrebare.

T. Aplicaiile temei i transferul deidei sunt legate pe de o parte deexistena diferitelor zone de timppe glob, pe de alt parte deaspectele etice ale respectriitimpului. Se pot prezenta elevilorproblemele tehnice legate demsurarea timpului, problemelelegate de precizia acestormsurtori, precum i alteaplicaii. Astfel, se poate vorbidespre diferitele ere geologice iistorice, despre timpul biologic,despre msurarea timpului nsport sau despre alte asemenea subiecte.

Dac nivelul de interes permite, sepoate insista asupra ireversibilitiitimpului, n comparaie cufenomenele reversibile, sau asuprapercepiei noastre subiectiveprivind scurgerea timpului.



O. descrierea conceptului demas;

recunoaterea unitilor demsur pentru mas;


A. A doua lecie din aceastunitate se ocup de mas i demsurarea ei. Se pot propunediferite exemple pentru pornireadiscuiei despre mas. Se vainsista asupra deosebirii dintremas i greutate. Se va prezenta pelarg scara unitilor de msurpentru mas i transformrile carese fac ntre aceste uniti.Experiena de via a elevilorpoate fi un ajutor important ndezvoltarea temei. Apare ideeaadecvrii unitii de msur lacantitatea exprimat, lucru care seva mai repeta de multe ori i laalte uniti.

S. Se va cere elevilor s reprezinteunitile de mas n diferitemoduri, folosind organizatorigrafici. De asemenea, se vor folosin situaiile de nvare exemplepractice de utilizare cotidian aunitilor de msur pentru mase:


Masa 11


Pentru lecia despre masa corpurilor este valabil aceeai observaie ca mai nainte: tema nu estestrns legat de studiul geometriei. Totui, ea este prezentat n Ghidul elevului, din motiveasemntoare cu cele expuse la lecia precedent. Tema poate fi un material conex bun pentruexersarea unor deprinderi de calcul, pentru nelegerea mai profund a conceptului de corp(comparat cu corpul geometric) i pentru exersarea transformrilor ntre uniti de msur.

De asemenea, considerm important nelegerea modului n care ne alegem o unitate de msur saualta, potrivit pentru exprimarea unei proprieti.

Profesorul va cuta aplicaii ct mai variate i contexte ct mai apropiate de experienele elevilor.Lecia este o ocazie bun pentru a solicita elevilor activiti de documentare i cutare a informaiei.Tema valorilor extreme ntlnite la exprimarea maselor este un bun prilej s se continue investigaiileprivind realitatea care ne nconjoar i modul n care o descriem cu mijloacele de care dispunem.

reete culinare, probleme deamestec etc. O parte din activitise pot organiza n grupuri, ipentru exersarea nvrii ncooperare.

Se pot concepe tot felul deexerciii legate de masa propriuluicorp sau de modul n care masa seregsete n biologie.

T. Aplicaiile temei i transferul seconcentreaz n jurul difereneidintre greutate i mas. Se pot faceextinderi spre fizic, astronomie io serie de teme legate de viaacotidian: transporturi, construcii,alimentaie etc.

Exemplificarea valorilor extremen exprimarea maselor poateconstitui o alt surs de transfer iextindere. Elevii pot aduceasemenea exemple n urma unorexerciii de documentare icutare. Texte de ziar sau de altnatur se pot folosi cu succes nacest sens. Mai apare i legturadintre mas i volum, idee care seva dezvolta puin n lecia desprevolumul corpurilor.



O. descrierea conceptului delungime;

recunoaterea unitilor demsur pentru lungime;


A. Dup leciile pregtitoaredespre timp i mas, lungimea esteuna dintre temele importante i cuaplicaii directe n matematic. Sevor prezenta unitile de lungimeuzuale, folosind din nouexperiena i cunotinele elevilor.Se va insista i aici asupratransformrilor i a calculelorcorecte cu unitile de msur.Este util i folosirea efectiv aunor instrumente de msur:liniarul, ruleta, ublerul etc., duppreferine i posibiliti. Se vadiscuta i aici aspectul alegeriiunitii de msur n mod adecvat,n funcie de ceea ce vrem sexprimm.

S. n una din situaiile de nvarese va relua exemplul cu planulcasei, de data aceasta cerndelevilor s fac msurtori n modefectiv. Se va reveni la ideea de


Lungimea 12


Lungimea este prezentat n aceast lecie ca una dintre proprietile cantitative cele maiimportante. Experiena pe care o au elevii n acest subiect l va ajuta pe profesor s gseasc oprezentare ct mai fireasc a temei i s ctige interesul elevilor.

Lecia necesit, desigur, i exersarea transformrilor i a calculului cu msuri, dar latura practictrebuie s primeze. Astfel, printre activitile de nvare se recomand efectuarea a ct mai multemsurtori efective, realizarea unor schie, desene i planuri i nu doar un exerciiu sec al calculelor.

n programa modulului profesorul gsete recomandri pentru activiti de tip proiect. Temapropriu-zis a acestora se va putea alege de comun acord cu elevii. Planul unui parc poate fischimbat cu un alt obiectiv. Important este s se realizeze activitatea de nvare i s se finalizeze cu interpretarea celor obinute. Ghidul elevului conine cteva sugestii i n acest sens, spreexemplu n ceea ce privete folosirea hrilor de diverse scri i tipuri.

scar i la aspectele legate deasemnare. Apare i problemaoperaiilor cu msuri de segmentei a situaiilor n care acesteoperaii au sens concret. Profesorulva alege i alte exemple iexerciii, dac dispune de timp.Elevii vor fi organizai pe grupe.

T. Legat de msurarea lungimilorse gsesc o serie de aplicaii i ideide transfer. Important este s serealizeze distincia ntre msurareaunei lungimi i calculul acesteia.Se vor da exemple de situaiipentru ambele cazuri, nu doarlegate de aspectele de calcul. Sepoate face o introducere nmsurarea lungimilor pe sfer, nlegtur cu temele deja discutaten acest sens. De asemenea, dacprofesorul consider oportun, sepot face extinderi spre fizic, deexemplu discutnd viteza sau alteteme unde intervine lungimeacorpurilor.



O. folosirea raportorului pentrumsurri de unghiuri;

recunoaterea unitilor demsur pentru unghiuri;

transformarea diferiteloruniti ntre ele i efectuareade calcule.

A. Lecia reia studiul unghiurilori i propune s prezinte elevilormsurarea unghiurilor i unitilede msur folosite. Elevii vor finvai s utilizeze raportorul nmsurri efective. Se nva icteva expresii noi i clasificareaunghiurilor dup msura lor.nvarea submultiplilor, atransformrilor i a calculului cugrade, minute i secunde vanecesita exerciiu din parteaelevilor. Se pot face, din nou,referiri la perpendicularitate.Important este ca profesorul sgseasc un context adecvat pentruaceste discuii, astfel nct elevii sfie interesai n dezvoltarea temei.

S. n partea de sarcini i activitide nvare este rezervat timppentru exerciii, nu foartespectaculoase, dar utile.Recomandabil este ca elevul slucreze ct mai mult i s


Msura unghiului 13


Concepia leciei privind msurarea unghiurilor este asemntoare cu cea a lungimilor. Se puneaccent pe nelegerea msurrii i a modului de folosire a instrumentului de msur, dar i pedeprinderi practice ce se pot forma i dezvolta prin tema aleas. Se exerseaz calculul cu msuri deunghiuri, transformrile diferitelor uniti de msur etc. n privina aspectelor practice, este nevoiede gsirea unor contexte pline de neles pentru elev i relevante pentru interesele sale. Astfel, aparn partea de transfer diferite sugestii tematice, cu trimiteri spre fizic, construcii, jocuri sportive etc.

Pe parcursul leciei se pot continua activitile de proiect ncepute n leciile precedente. Realizarealucrrilor practice de desenare a schiei unor locuine, parcuri sau alte obiective se poate continua icompleta cu msurri de unghiuri i cu reproducerea acestora dup aceeai scar.

De asemenea, recomandm exploatarea legturii dintre unghiuri i cerc i prezentarea importaneiunghiurilor n studiul asemnrii.

descopere aspectele eseniale, can exemplul unghiului nscris ncerc. Se va atrage din nou ateniaasupra deosebirii dintre msurarei calcul, spre exemplu prinultimul exerciiu propus.

Dac nivelul permite, se potpropune exerciii mai complexe,relund eventual unghiurile opusela vrf sau discutnd despreunghiurile nscrise n cerc.

T. Una dintre aplicaiileimportante n matematic estestudiul paralelismului. Acesta sepoate prezenta n detaliu elevilor,dac timpul o permite. Un altexemplu propus n ghid este alesdin fizic i se refer la fenomenulde reflexie. Ambele teme se potdezvolta n diferite contexte.

Un alt aspect important ar filegtura, atins deja, dintre cerc iunghiuri, legtur care se maipoate dezvolta prin diferiteexerciii i exemple. Profesorulgsete alte ilustrri pentruimportana msurrii unghiurilorn astronomie, construcii,artilerie, navigaie etc. Desigur, nereferim la generaliti, la idei depornire, fr s avem pretenia dea fi specialiti n aceste tiine.






Activiti propuse:

recunoaterea i exersarea unor proprieti metrice;

efectuarea de calcule geometrice;

utilizarea unitilor de msur;

aplicarea celor exersate n diferite contexte.

Materiale: plane cu figuri i corpuri, instrumente de msur

i de desen, imagini i texte diferite.

Proprieti metrice IV

O. aplicarea unor cunotine; recunoaterea legturii

dintre perimetru i lungime; efectuarea de calcule legate

de perimetru.

A. Perimetrul este prezentat ca oaplicaie pentru lungimi imsurarea acestora, respectiv ca oprim proprietate metric afigurilor geometrice plane. Eleviitrebuie s fie contieni decaracterul practic al acesteiprobleme, dar i de limitelenoastre n msurarea sauaprecierea perimetrelor figurilormai complicate. Experienaelevilor l va ajuta pe profesor sfac o prezentare interactiv aacestei teme. Legat de lungimeacercului se pot da elevilor i alteinformaii despre numereiraionale sau despre istoriamatematicii. i n acest caz suntindicate ct mai multe exerciii.

S. n aceast parte se gsesc ctevasugestii de exerciii tipice.Important este, din nou, caproblema propus s fie relevantpentru elev, s cad n sfera deinteres a acestuia. Se pot alegeastfel, pentru calculul

PROPRIETI METRICE

Perimetre 14


Lecia despre perimetre este prima din unitatea tematic referitoare la principalele proprietimetrice. n cadrul leciei se vor folosi, pe ct posibil, experienele acumulate de elevi. Exerciiileprezentate vor fi legate de cunotinele anterioare i vor surprinde aspecte relevante pentru elevi.Numrul i complexitatea exerciiilor vor fi decise de ctre profesor. Spre exemplu, dac nivelulclasei permite, se pot atinge chiar probleme simple de maxim sau de minim, aa cum s-a sugerat n Ghidul elevului, la partea de transfer. Acestea sunt exemple de probleme strns legate de practica cotidian.

Discuia despre lungimea cercului se poate diversifica, prezentnd informaii despre numereleiraionale sau fapte de cultur i de istoria geometriei. De asemenea, gsim aici un prilej bun pentru a rediscuta cu elevii ideea aproximrilor, a estimrilor valorilor reale, imposibil de obinut cu exactitate.

Se poate dezbate problema obinerii perimetrelor figurilor mai complicate, bazndu-ne pecunotinele sau posibilitile noastre legate de figuri simple.

perimetrelor, terenuri, grdini,parcuri etc. Propunem exerciiilegate de poligoane (regulate), dari de cerc. Putei cuta figuricompuse din ambele elemente, cade exemplu desenele (tehnice) aleunor mecanisme sau piese.

Se pot alege i alt gen de desene,nu numai desene tehnice.

T. Este prezentat o primproblem legat de maxim,desigur, cu titlu informativ.Important este ns ca elevul sneleag rostul acestor problemei aplicaiile practice imediate pecare le au. Se mai discut desprelegtura dintre asemnare iperimetru, din nou prin prismatransformrilor, a deformrilor.Apar, de asemenea, aspecte delimbaj care se pot lmuri cu elevii.

Se mai poate pregti la sfritulacestei lecii viitoarea tem aariilor legate de corpuri.



O. descrierea noiunii de arie; recunoaterea unitilor de

msur pentru arie; efectuarea de calcule legate

de arii.

A. Lecia va prezenta elevilornoiunea de arie, unitile demsur corespunztoare i ctevadintre formulele uzuale de calcul aariilor. Tema continu celeprezentate la lungimi, respectiv laarii. Se va insista asupraformulelor de calcul pentru arii,att la poligoanele studiate, ct ila cerc. Situaia de pornire esteimportant i aici, pentru a se gsiun context relevant pentru studiulariilor. Cu ocazia discutrii ariilor,se pot introduce deja ariile lateralei totale pentru poliedre saucorpuri n general. Trebuie fcutdistincia ntre semnificaiatermenilor suprafa i arie.

S. Activitile vor asiguraexerciiul necesar pentru nvareaformulelor i aplicarea lor ndiverse situaii. Se poate reluaexemplul cu planul locuinei,pentru a continua investigaia i

PROPRIETI METRICE

Arii 15


Lecia continu firesc tema perimetrelor. nvarea formulelor pentru ariile figurilor simple este unuldintre obiectivele importante, dar nu este singurul. Pe lng nvarea i aplicarea acestor formule,elevul se va obinui cu ideea de descompunere a ariilor, va exersa reformularea unor situaiicomplicate prin elemente mai simple, cunoscute.

De asemenea, sunt importante aplicaiile n diverse ramuri ale cunoaterii. Ghidul prezint, cu titluinformativ, o extindere spre geografie. Profesorul este rugat s caute alte aplicaii considerateinteresante pentru elev.

Se pot relua problemele de extrem, combinnd perimetrul cu aria i cutnd extreme pentru unuldin aceste aspecte, n diverse situaii simple.

Recomandm exerciii pentru corpurile geometrice studiate. Exprimarea ariilor laterale i totale saua ariilor corpurilor rotunde este un prilej bun de exersare i de mbuntire a vederii n spaiu.Dificultatea acestor aplicaii va fi decis de ctre profesor. n acelai timp recomandm msurarea efectiv, aproximarea ariilor folosind, de exemplu, hrtiemilimetric.

calculele aferente. De asemenea, sepot face aplicaii ale celor nvaten alte situaii practice: agricultur,geografie etc.

Un element important estediscutarea modului de exprimare aariilor unor poligoane cu maimulte laturi, folosinddescompunerea acestora n figuricu arii exprimabile. Este indicatfolosirea hrtiei milimetrice iestimarea sau aproximarea unor arii.

T. n partea de transfer aparaplicaii n geografie. O alt ideeeste prezentarea jocului Tangrami exploatarea valenelor acestuia.Alte extinderi se pot gsi cuuurin n tehnic, biologie,arhitectur etc. Apare din nouproblema maximizrii unei valori,n cazul nostru a ariei. Se poaterelua exerciiul de acest tip de laperimetre. Lecia despre arii vapregti prezentarea ariilor lateralei totale ale corpurilor i poate face reveniri la desfurarea deja discutat.



O. descrierea noiunii de volum; recunoaterea unitilor de

msur pentru volum; efectuarea de transformri i

calcule legate de arii.

A. n partea aceasta se va urmrica elevii s-i nsueasc noiuneade volum i s-i formezedeprinderile necesare pentrucalculul volumelor, n ctevacazuri simple. Se vor discutaformulele de calcul pentruvolumele corpurilor studiate,explicnd rolul bazei i alnlimii, dup caz. Se vorprezenta unitile de msur ilegtura dintre litru i decimetrulcub. Transformrile trebuieexersate ct se poate de mult.Noiunea de densitate esteamintit numai cu titlu informativ.Organizarea unitilor de msursub o form tabelar, sau n altmod, intr n sarcina elevului.

S. Activitile vor cuta s prezinteprobleme de calcul pentru volumen cazuri ct mai practice i mairelevante pentru elevi. Exempleledin ghid sunt doar ilustrative,profesorul poate s propun altele,mai sugestive i mai apropiate de

PROPRIETI METRICE

Volume 16


Lecia despre volumele corpurilor este conceput n baza acelor principii care s-au utilizat laperimetre i arii. Astfel, se recomand profesorului pstrarea unui raport rezonabil ntre aspecteleconceptuale, teoretice i cele calculatorii. De data aceasta, nu se urmrete msurarea efectiv avolumelor. nvarea formulelor uzuale i folosirea acestora n diferite aplicaii este un obiectivimportant. Se vor cuta metode de organizare a informaiei, astfel nct elevii s rein formulele.Este de dorit ca elevii s fie capabili s aplice corect formulele, n cazul corpurilor studiate n acestmodul. i n cadrul acestei lecii se urmrete dezvoltarea gndirii vizuale, a vederii n spaiu.

Ca i n leciile precedente, nu trebuie neglijat problema unitilor de msur i a transformrilordintre acestea. Se recomand exerciii multe, n special folosind unitile de msur uzuale pentruvolum. Elevii vor nelege i vor deosebi cele dou sisteme, bazate pe metrul cub, respectiv pe litru.

interesele elevilor. Formulele decalcul pentru volumele celor maides ntlnite corpuri se vor exersaprin situaii simple. Exemple bunese gsesc n tehnic, gastronomie,biologie etc.

T. n partea de transfer suntamintite, cu titlu de curiozitate,exemple de valori ale volumelorextreme. nsei nelegerea iinterpretarea acestora potreprezenta un exerciiu bun. Cazulvolumului aproximativ albutoiului este un pretext pentru ailustra situaiile practice n carevolumele sunt aproximate.Profesorul poate gsi alte exemple.Mai insistm puin asupra uneiciudenii (buretele lui Menger),cu scopul de a dezvolta imaginaiavizual a elevilor. Se pot propuneelevilor, dac acetia manifestinteres, calcule de volume pentrucorpuri scobite, pentru corpuricompuse din mai multe corpurisimple sau alte asemenea cazurimai complicate.



O. descrierea noiunii de arie; recunoaterea unitilor de

msur pentru arie; efectuarea de calcule legate

de arii.

A. n ncheierea unitii desprerelaii i proprieti metrice se reiaexemplul triunghiului, cu scopulde a le oferi elevilor o introduceren studiul mai riguros alproprietilor geometrice. Dinacest motiv, prezentarea este maipuin descriptiv. Se va ncerca sse deosebeasc proprietile denatur calitativ de cele metrice,n general, prin exemple legate detriunghi. Am considerat c pentruaceste scopuri un exemplu destulde bun poate fi cel al liniilornsemnate n triunghi, legat de care se pot face investigaii deambele tipuri: calitative i metrice.Ideea de raionament i dedemonstraie este amintit n treact.

S. Activitile de nvare vor cereelevului s fac diferite investigaiilegate de proprieti simple, nspecial pentru triunghi. Importanteste ca elevul s cerceteze, s cautei s formuleze propriile

PROPRIETI METRICE

Triunghiul sub lup 17


Aceast lecie este o introducere n studiul mai riguros al triunghiului, chiar dac cu titluinformativ. S-a ales triunghiul pentru o exemplificare mai amnunit a proprietilor metricestudiate. Elevii vor descoperi c, n ciuda simplitii figurii, triunghiul este extrem de bogat nproprieti metrice i calitative.

Cu aceast ocazie se poate relua discuia despre msurare, ca mijloc de investigare, i raionamentuldeductiv, exemplificat deja. Se va scoate n eviden puterea acestuia din urm, folosind pretextultriunghiului. n acelai timp, se va cuta n cadrul leciei s se exerseze exprimarea verbal arezultatelor investigaiilor. Argumentarea demersului folosit i a soluiilor obinute este un obiectiv important.

Liniile importante n triunghi vor fi investigate mpreun cu elevii. Se vor organiza activiti denvare pe grupe de elevi i se va ncuraja nvarea prin cooperare. Se vor pretinde desene corecte,ngrijite i de dimensiuni potrivite studiului ntreprins. Profesorul va decide care sunt acelerezultate specifice, acele proprieti sau teoreme care trebuie reinute i nvate ca atare.

observaii. Astfel, se pot propunespre discuie probleme legate declasificri, poziii relative, punctede intersecie, gsirea unor cazuriparticulare etc. Numrul acestorsituaii i probleme depinde denivelul clasei, de interesul elevilori de contextul general al nvrii.Cutarea proprietilor nu trebuies fie un scop n sine, ci prinaceasta se vor dezvoltaperseverena, curiozitatea, munca n grup etc.

T. Se vor da diferite exemplificriale triunghiului, privit ca metafor,pentru prezena acestuia nliteratur, art, religii sau nsimbolistica vieii cotidiene.

i de data aceasta, profesorul sauelevul sunt invitai s caute alteexemplificri din ce domeniidoresc. Am considerat ca fiindsemnificativ o mic incursiune nlumea nematematic pentrudezvoltarea unor idei de culturgeneral i pentru a ajuta laformarea unor viziunitransdiciplinare. Tot aici sencadreaz i ideea amintiriirelaiilor fizice ntre trei mrimi,att de frecvente n aplicaii.Despre trigonometrie se va amintidoar cu titlu informativ.



O. exersarea demonstraiei; recunoaterea ipotezelor i a

concluziilor; analiza unor proprieti noi.

A. Aceast lecie i propune s leofere elevilor o introducere ntehnica demonstraiilor folosite ngeometrie. Sunt prezentate treiteoreme simple, cu titlu ilustrativ,dei ele se vor nva i utiliza caatare. Dac profesorul considernecesar, exemplele se pot schimba,dar recomandm ca acestea s fiemai simple. Demonstraia propuseste ct se poate de intuitiv, frprea mult simbolism. Elevii vornelege de ce msurarea nu este ocale de demonstraie. n acest scopse iniiaz o discuie special, cureferiri la imperfeciunile oricreimsurtori.

S. Aceast parte va propuneelevilor sarcini de lucru similarecu cele din primul bloc. Se potalege figuri geometrice mai puinstudiate pn aici, ca de exemplutrapezul, sau se poate lucra i ndiferite seciuni ale unor corpuri,dac nivelul clasei permite.

PROPRIETI METRICE


ncep problemele: din nou despre relaii metrice 18

Demonstraiile prezentate i discutate n aceast lecie sunt o introducere n raionamentele mairiguroase i n exprimarea formal a acestora. Ca ilustrare, s-a ales, cum era de ateptat, triunghiul.Cele trei proprieti prezentate n primul bloc se pot schimba cu altele, dup decizia profesorului.Este de dorit s se arate elevilor c asemenea raionamente deductive se pot face n cazul tuturorfigurilor geometrice, n plan i n spaiu, deopotriv.

Dac nivelul clasei permite, se poate explica elevilor c proprietile generale urmeaz n studiulgeometriei n mod gradat, de la simplu la complicat. Mai mult dect att, se poate vorbi despreaxiomele geometriei, despre elemente i relaii de baz, plecnd de la care se construiete ntregul edificiu.

i n cadrul acestei lecii este recomandabil s se insiste pe expunerea verbal i n scris araionamentului utilizat. Trebuie cerut elevilor s argumenteze calea pe care au urmat-o,raionamentul pe care l-au folosit.

Dac este posibil, ilustrarea ideilor trebuie fcut prin probleme care admit mai multe ci deabordare, mai multe soluii distincte.

Credem c organizarea elevilor ngrupuri de lucru este benefic ide data aceasta.

T. Principalul scop al acestui bloceste pregtirea pentru moduleleulterioare, unde, n anii mai mari,se vor folosi din ce n ce mai multdemonstraiile, raionamentele i,n general, abordrile mai puinempirice. S-a ales n acest scopideea, deja vzut, a gsirii unorextreme, pentru motivul c, npractic, de foarte multe ori,problemele concrete sunt problemede extrem. Putei avea o discuiedespre deosebirea dintre valoriextreme i valori optime, discuieexemplificat prin probleme alesen mod corespunztorposibilitilor. n ultimele doulecii, elevul se va mai ntlni cuprobleme matematice n care vaavea ocazia s exersezeraionamentul deductiv. nainte deacestea, ar fi de dorit s avei uninventar al cunotinelorobligatorii, n baza crora se vor ncerca demonstraiile problemelor care urmeaz.




Numr de ore alocate: 2 ore pentru recapitulare i evaluare

Activiti propuse:

exemplificarea temelor parcurse prin alte probleme i

contexte;

efectuarea de calcule i aplicarea unui anume

raionament;

repetarea principalelor concepte i idei;

analiza unor situaii noi.

Materiale: plane, instrumente de msur i de desen,

imagini i texte diferite, organizatori.

Recapitulare i aplicaii V

O. exersarea unor metode derezolvare a problemelor;

recapitularea celor maiimportante cunotine;

realizarea unor conexiuninoi ntre cunotine.

Recapitularea propus n ultimeledou lecii este puinneconvenional. Astfel, primalecie din aceast unitate seconcentreaz asupra a 10 teme sauidei importante. Fiecare dintreaceste 10 puncte reprezint i cteo sarcin de lucru pentru elevi. Launele, sarcina nu este precisformulat, tocmai pentru a rmneprofesorului i clasei libertateaunui consens n privina aceasta.

O sarcin comun este nsdiscutarea din nou a temeirespective, dac se poate dintr-ununghi nou. De asemenea, fiecarepunct permite profesorului ielevilor s caute conexiuni cu alteteme, extinderi spre alte teme sauformularea unor probleme de

RECAPITULARE I APLICAII


Surprize, n loc de recapitulare 19

Penultima lecie face parte din recapitularea modulului. Sunt 10 teme, aezate ntr-o ordine care sepoate schimba dac profesorul consider necesar. Se pot schimba nsei temele recapitulate, dac seconsider c altele sunt mai relevante.

n cadrul leciei se poate continua oricare dintre proiectele deja ncepute.

ntre temele acestei lecii de recapitulare se pot strecura idei i elemente noi. Astfel, a aprutprezentarea teoremei lui Pitagora, dar se pot introduce i alte informaii noi pentru elev.

Am cutat exemple mai puin obinuite pentru a oferi elevilor informaii oarecum surprinztoare. Estefoarte important ca i n aceast parte s se utilizeze un bogat material ilustrativ, estetic i relevantpentru experienele elevilor. Cutarea acestor pretexte de discuii sunt n sarcina profesorului.

Nu este n intenia noastr o recapitulare tip inventar a celor nvate i studiate. Nu se dorete oreproducere a elementelor memorate, ci o regndire a relaiilor descoperite, o reevaluare a ntreguluimodul. n acest scop s-a elaborat i ultima lecie.

acelai tip, dar n alt context.Ideile importante nirate aici sunt:

paralelismul; micarea; msurarea, estimarea i

aproximarea; limbajul formelor; iluziile; formele n alte domenii dect

geometria; relaiile metrice; probleme imposibile.

Oricare dintre aceste teme saualtele permite dezvoltriulterioare, lectur suplimentar,prelucrare i prezentare. n bazalor, profesorul poate ajuta elevii s-i completeze portofoliul sau s-i pun la punct referatele, dacse prefer i acest mod deevaluare. n acest scop se va folosii timpul alocat ultimei lecii,despre care facem cteva precizrin continuare.



O. recapitularea celor maiimportante cunotine;

realizarea unor conexiuninoi ntre cunotine.

Ultima lecie propune orecapitulare a celor nvate, nmare parte realizat deja i nlecia precedent. Atunci s-a pusaccent pe probleme i pe context,acum pe fapte i pe informaie.Totodat, se propune elevilor s-ireaminteasc acele elementevizuale pe care, probabil, le-auataat principalelor figurigeometrice nvate. Astfel, dupfiecare ntrebare sau punere ntem, urmeaz un spaiu pentrudesen i reprezentare. ntrebrilevor fi discutate, extinse,generalizate, particularizate etc., nfuncie de ce i propuneprofesorul i de nevoile elevilor.Aceeai observaie, ca pe totparcursul leciilor: textul dat nghid este numai un pretext.

RECAPITULARE I APLICAII


n final, recapitulare n loc de surprize 20

Aceast ultim lecie este o continuare a blocului precedent. Practic, se face acum un inventar, darunul foarte sumar, accentund doar elementele eseniale.

De fiecare dat se insist pe desen, pe reproducerea ideilor pe cale vizual i verbal.

Profesorul are libertatea s schimbe ordinea celor recapitulate, s considere alte elemente maiimportante sau s insiste n mod diferit asupra ideilor cuprinse n list.

Organizarea activitilor de nvare destinate recapitulrii va fi n concordan cu scopul urmrit: n primul rnd, reproducerea celor nvate, dar i explorarea acelor relaii care au fost amintite doartangenial. Credem c recapitularea fcut n aceast manier nu trebuie confundat cu evaluareaperformanelor elevilor.

Presupunem c aceste dou leciide la sfritul modulului vorntregi imaginea celor prezentatemai nainte. Ele formeaz osingur unitate i vor fi exploatatempreun. De data aceasta,inventarul de idei i fapte arat nfelul urmtor:

elemente de baz; figuri plane i corpuri; poligoanele; asemnarea i congruena; transformrile i simetria; proprieti calitative i metrice; lungimi, arii, volume; relaii metrice i uniti de

msur n general.

Se propun tot 10 pai, ca i nlecia precedent, dar acest numreste limitat doar de timpul pe care profesorul l poate aloca recapitulrii.

Insistm, din nou, pe folosireaacestor ocazii pentru completareaportofoliului elevilor i aproiectelor pe care le vei propune mpreun.



IntroducerePuncte, drepte i figuri geo...Cum se nasc liniile din puncte?Cum se nasc figurile din linii?Dreptele i unghiurile cr...Figuri plane, pretutindeniUnde priveti, numai corpuriRealitate sau desen?Fenomene geometriceAsemnareaUn fenomen de mare importan...SimetriaMsuri i uniti de msurTimpulMasaLungimeaMsura unghiuluiProprieti metricePerimetreAriiVolumeTriunghiul sub lupncep problemele: din nou de...Recapitulare i aplicaiiSurprize, n loc de recapitu...n final, recapitulare n lo...

secundar matematica ii cadru didactic

Documents