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Segnali e sistemi di gelli e verde

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Giacinto Gelli e Francesco Verde

Segnali e sistemiper i corsi di laurea triennale di Teoria dei Segnali

NAPOLI 2008

c 20072008 Giacinto Gelli (gelli@unina.it) & Francesco Verde (f.verde@unina.it) Gli autori consentono la riproduzione anche parziale del testo agli studenti del corso. Non consentito modicare il testo, diffonderlo, pubblicarlo anche con mezzi telematici senza il consenso scritto degli autori. Prima versione: marzo 2007. Seconda versione: marzo 2008.

Principali notazioniA, B,C 0 / aA aA AB AB A B, A + B A B, AB AB AB = N N0 = N {0} Z R R+ =]0, [ R =] , 0[ R = R {, } [a, b] [a, b[ ]a, b] ]a, b[ ] , b[ ] , b] ]a, [ [a, [ (a, b) x, y, z A, B, C det(A) A1 AT repT0 [xg (t)] repN0 [xg (n)] sinc(x) DM (x) u(x) sgn(x) (x) (n) rect(x) RM (n) (x)

insiemi insieme vuoto x appartiene ad A x non appartiene ad A A un sottoinsieme di B A un sottoinsieme proprio di B unione di A e B intersezione di A e B differenza tra A e B prodotto cartesiano di A e B uguale per denizione insieme dei numeri naturali {1, 2, . . . , } insieme dei numeri naturali, zero incluso {0, 1, 2, . . .} insieme dei numeri interi relativi {. . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .} insieme dei numeri reali insieme dei numeri reali positivi (zero escluso) insieme dei numeri reali negativi (zero escluso) insieme ampliato dei numeri reali intervallo a x b intervallo a x < b intervallo a < x b intervallo a < x < b intervallo x < b intervallo x b intervallo x > a intervallo x a indica indifferentemente un qualunque intervallo di estremi a e b vettori matrici determinante della matrice A inversa della matrice A trasposta della matrice A replicazione di xg (t) con passo T0 [cfr. eq. (2.18)] replicazione di xg (n) con passo N0 [cfr. eq. (2.19)] funzione sinc [cfr. eq. (5.14)] funzione di Dirichlet [cfr. eq. (5.31)] funzione gradino funzione signum funzione delta di Dirac funzione delta discreta funzione rettangolo funzione rettangolo discreto funzione triangolo convoluzione tra due segnali

Indice

1 Segnali e sistemi: introduzione 1.1 Denizione di segnale . . . . . . . . . . . . . 1.2 Denizione di sistema . . . . . . . . . . . . . 1.3 Segnali deterministici ed aleatori . . . . . . . 1.4 Classicazione elementare dei segnali . . . . 1.4.1 Propriet della variabile indipendente 1.4.2 Propriet della variabile dipendente . 1.4.3 Segnali analogici e digitali . . . . . . 1.5 Classicazione elementare dei sistemi . . . . 1.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 4 7 9 9 14 17 18 23 25 25 26 27 34 37 45 45 46 49 54 63 70 71 73 73 75 76 78 78 80 83

2 Propriet dei segnali 2.1 Operazioni elementari sui segnali . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Trasformazioni della variabile dipendente . . . . . . 2.1.2 Trasformazioni della variabile indipendente . . . . . 2.1.3 Combinazione di operazioni elementari . . . . . . . 2.1.4 Derivazione, integrazione, differenza prima e somma 2.2 Caratterizzazione sintetica dei segnali . . . . . . . . . . . . 2.3 Estensione e durata temporale di un segnale . . . . . . . . . 2.3.1 Segnali di durata rigorosamente limitata . . . . . . . 2.3.2 Segnali di durata praticamente limitata . . . . . . . . 2.3.3 Segnali di durata non limitata e segnali periodici . . 2.4 Area e media temporale di un segnale . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Componente continua e alternata di un segnale . . . 2.5 Energia di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Segnali di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Energia mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Potenza e valore efcace di un segnale . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Segnali di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Relazioni tra segnali di energia e di potenza . . . . . 2.6.3 Potenza mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Misura in dB della potenza e dellenergia . . . . . . . . . . 2.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INDICE

3 Propriet dei sistemi 3.1 Relazione ingresso-uscita . . 3.2 Interconnessione di sistemi . 3.3 Propriet dei sistemi . . . . 3.3.1 Non dispersivit . . 3.3.2 Causalit . . . . . . 3.3.3 Invertibilit . . . . . 3.3.4 Invarianza temporale 3.3.5 Stabilit . . . . . . . 3.3.6 Linearit . . . . . . 3.4 Esercizi proposti . . . . . .

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91 91 94 97 97 100 103 104 109 111 118 127 127 128 134 138 148 157 157 160 164 165 168 168 174 182 182 186 190 193 207 207 208 216 220 225 229 229 230 233 237 239 246

4 Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Relazione i-u di un sistema LTI e risposta impulsiva . . . . . . . . . . 4.3 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Propriet della convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Risposta al gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Propriet della risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Non dispersivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Causalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Invertibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Esempi di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Sistemi descritti da equazioni differenziali . . . . . . . . . . . 4.6.2 Sistemi descritti da equazioni alle differenze (sistemi ARMA) 4.7 Risposta in frequenza di un sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Risposta ad un fasore di un sistema TC LTI . . . . . . . . . . 4.7.2 Risposta ad un fasore di un sistema TD LTI . . . . . . . . . . 4.7.3 Risposta ad una sinusoide di un sistema LTI reale . . . . . . . 4.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Serie di Fourier 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Serie di Fourier per segnali TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Condizioni matematiche per la convergenza della serie di Fourier . . . . 5.2.2 Ricostruzione di un segnale periodico con un numero nito di armoniche 5.3 Serie di Fourier per segnali TD (DFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Principali propriet della serie di Fourier e della DFS . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Linearit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Simmetria hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Uguaglianza di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Risposta di un sistema LTI ad un segnale periodico . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Selettivit in frequenza dei sistemi LTI e ltri ideali . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Trasformata di Fourier 6.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Trasformata di Fourier per segnali TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Trasformata di Fourier per segnali TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Propriet elementari della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . 6.2 Relazione i-u nel dominio della frequenza per i sistemi LTI . . . . . . . . . . . 6.2.1 Propriet di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Esistenza ed invertibilit della

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