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1 Isolamento de raízes ....................................................................................................2
2 Equações Algébricas (Polinomiais) .................................................................................4 2.1 Valor Numérico de um Polinômio ......................................................................................6 2.1.1 Método convencional................................................................................................6 2.1.2 Método de Horner....................................................................................................7 2.1.3 Método de Briot-Ruffini.............................................................................................7
2.2 Limites das raízes reais....................................................................................................9 2.2.1 Teorema de Lagrange ..............................................................................................9
2.3 Número de Raízes .........................................................................................................13 2.3.1 Regra (dos sinais) de Descartes ..............................................................................14
2.4 Relação entre Raízes e coeficientes (Regra de Girard) ......................................................15 2.5 Método da Bisseção.......................................................................................................16 2.5.1 Número de Passos (Divisões) ..................................................................................17
2.6 Método das Cordas (ou das partes proporcionais) ............................................................18 2.6.1 Equação Geral .......................................................................................................20 2.6.2 Outra dedução do método das cordas......................................................................21
2.7 Método de Newton-Raphson ..........................................................................................22 2.7.1 Interpretação Geométrica .......................................................................................23 2.7.2 Convergência.........................................................................................................24
2.8 Método da Iteração Linear .............................................................................................25 2.8.1 Interpretação geométrica .......................................................................................26 2.8.2 Convergência.........................................................................................................27
2.9 Observações finais sobre os Métodos..............................................................................29 2.10 Método de Birge-Vieta ...................................................................................................30 2.11 Grau de exatidão de uma raiz ........................................................................................31
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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES Existe uma necessidade em problemas de ciência e engenharia, de se determinar um número εεεε para o qual uma função )(xf seja zero, ou seja, 0)( =xf . Este número εεεε , é chamado raiz da equação 0)( =xf ou zero da função )(xf . Para se calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:
1. Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ ]ba; , o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz de 0)( =xf .
2. Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido pelo problema.
1 Isolamento de raízes
Teorema: Se uma função contínua no intervalo [ ]ba; , )(xf assume valores de sinais opostos nos pontos extremos deste intervalo e sua derivada primeira mantém o sinal, isto é 0)().( <bfaf , então, no intervalo conterá no mínimo uma raiz da equação 0)( ====xf . Em outras palavras haverá no mínimo um número [[[[ ]]]]ba;∈∈∈∈εεεε tal que 0)( ====εεεεf .
A Raiz εεεε será definida e única se a derivada )(' xf existir e preservar o sinal
dentro do intervalo [ ]ba; , isto é:
e para 0)( ou 0)( '' bxaxfxfSe <<<<<<<<<<<<>>>>
:sinal de muda não )( derivada 1ª a e contínua é )( ' xfxf
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Exemplo: Aplicar o princípio da bisseção à equação 13)(3 −+= xxxf , entre os pontos
(3;1) e (-1;-5):
Tomemos 4 intervalos:
1º) raiz. tem não logo ,0)().( 625,2)( 5,0
5)( 1>
−=⇒−=
−=⇒−=bfaf
bfb
afa
2º) raiz. tem não logo ,0)().( 1)( 0
625,2)( 5,0>
−=⇒=
−=⇒−=bfaf
bfb
afa
3º) raiz. uma menos pelo tem é logo ,0)().( 625,0)( 5,0
1)( 0<
=⇒=
−=⇒=bfaf
bfb
afa
4º) raiz. tem não logo ,0)().( 3)( 1
625,0)( 5,0>
=⇒=
=⇒=bfaf
bfb
afa
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2 Equações Algébricas (Polinomiais) Seja uma equação algébrica de grau )1( ≥≥≥≥nn :
02
21
1 ............)( axaxaxaxP nn
nn
nn ++++++++++++++++==== −−−−
−−−−−−−−
−−−−
Equação A Teorema: Uma equação algébrica de grau “n” tem exatamente “n” raízes, reais ou
complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com a sua multiplicidade.
Uma raiz εεεε da Equação A tem multiplicidade “m” se:
0)(
e
0)(..........)()()( )1('''
≠≠≠≠
==================== −−−−
εεεε
εεεεεεεεεεεεεεεε
n
n
P
PPPP
Onde:
njxdx
xPdP
j
j ..,,.........1 e , )(
)(2
============ εεεεεεεε
Exemplo: Seja:
(((( )))) (((( ))))
0(2)P 3024)(P
0(2)P 123012)(P
0(2)P 412154)(P
0P(2) 846512)(
''''''
''2''
'23'
2343
≠≠≠≠∴∴∴∴−−−−====
====∴∴∴∴++++−−−−====
====∴∴∴∴++++++++−−−−====
====∴∴∴∴−−−−++++++++−−−−====−−−−−−−−====
xx
xxx
xxxx
xxxxxxxP
Então εεεε é uma raiz de multiplicidade m=3.
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Teorema: Se os coeficientes da equação algébrica A são reais, então as raízes complexas desta equação são complexos conjugados em pares, isto é, se iββββααααεεεε ++++====1 é uma
raiz de multiplicidade “m”, então iββββααααεεεε −−−−====2 também é uma raiz desta equação
e tem a mesma multiplicidade “m”. Exemplo: Seja 0106)( 2 ====++++−−−−==== xxxP Cujas raízes são:
ii
ii
i
−−−−====−−−−
====
++++====++++
====
∴∴∴∴±±±±
====−−−−±±±±
====
32
26
32
26
2
26
2
40366
2
1
εεεε
εεεε
εεεε
Corolário: Se é uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais, tem no
mínimo uma raiz real. Exemplo:
(((( ))))(((( ))))
1
e 3
,3
:raízes como tem 101671106)(
3
2
1
232
====
−−−−====
++++====
−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−====
εεεε
εεεε
εεεε
i
i
xxxxxxxP
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2.1 Valor Numérico de um Polinômio
2.1.1 Método convencional
1. O valor numérico de um polinômio )( xP para cx ==== é igual ao resto da divisão de )( xP por cx ==== .
(((( )))) nbcxxQxP ++++−−−−==== )()(
Substituindo x por c vem:
(((( )))) nn bbcccQcP ====∴∴∴∴++++−−−−==== P(c) )()(
2. O valor numérico da derivada do polinômio )( xP para cx ==== é igual ao resto da divisão de )(xQ por )( cx ==== .
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
)()(
)()()(
)()()(
)()(
'
''
''
cQcP
cQcccQcP
cQcxxQxP
bcxxQxP n
====∴∴∴∴
++++−−−−====
++++−−−−====
++++−−−−====
Aplicando o teorema do item (1) anterior, podemos afirmar que )(cQ é o resto da divisão de )(xQ por )( cx ==== . Este último teorema nos permite deduzir que para obter o valor numérico da derivada de um polinômio )(' xP basta dividi-lo duas vezes seguidas por )( cx ==== , e o resto da segunda divisão é o valor procurado.
Para calcular )( 0xP de um )( xP , é necessário fazermos (((( )))) 21++++nn multiplicações e n adições. Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos 200≥≥≥≥n ), o cálculo de
)( 0xP além de se tornar trabalhoso, é, também, ineficiente em termos computacionais
(em época anterior). Exemplo:
5316231521023)(23456789 −−−−++++−−−−++++−−−−−−−−++++−−−−++++==== xxxxxxxxxxP
No ponto 2 teremos:
(((( ))))
====
====++++
========
∴∴∴∴
−−−−++++−−−−++++−−−−−−−−++++−−−−++++====
9
152
199
321)(
5)2(3)2(16)2(2)2(3)2(15)2(2)2(10)2(232)( 23456789
adições
çõesmultiplicaxP
xP
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2.1.2 Método de Horner
0121
0123
12
0122
11
012
21
1
))............)((....(
..........................................................................
))........((
)...........(
...............)(
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxaxP
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
++++++++++++++++++++====
++++++++++++++++++++====
++++++++++++++++++++====
++++++++++++++++++++====
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−−−−−
Exemplo:
13)3(
8-4)32)3-5)3-3*((2()3(
3 ponto No
8)4)25((2x
8)425(2
84452)(
2
23
234
====
++++====
====
−−−−++++−−−−−−−−====
−−−−++++−−−−−−−−====
−−−−++++−−−−−−−−====
P
P
x
xxx
xxxx
xxxxxP
2.1.3 Método de Briot-Ruffini
Sejam os polinômios:
bxbxbxbxQ
e
axaxaxaxaxP
nn
nn
nn
nn
++++++++++++++++====
++++++++++++++++++++====
−−−−−−−−
−−−−
−−−−−−−−
22
11
012
21
1
............)(
...............)(
Dividindo )( xP pelo binômio )( cx −−−− , obtemos:
(((( )))) rcxxQxP ++++−−−−==== )()( Onde )(xQ é um polinômio de 1−−−−n e r uma constante (resto da divisão). Sendo que o resto r é o valor do polinômio. Se 0====r , então c é uma raiz real de 0)( ====xP .
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Temos que:
)1( 1 nkacbb
ab
knknkn
nn
≤≤≤≤≤≤≤≤++++====
====
−−−−−−−−++++−−−−
Ou:
010
212
11
...........................
acbb
acbb
acbb
nnn
nnn
++++====
++++====
++++====
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
Esquematicamente:
121 ...... aaaa nnn −−−−−−−− 0a
c 21 ...... cbcbcb nn −−−− 1cb
121 ...... bbbb nnn −−−−−−−− rb ====0
Exemplo:
10167)( 23 −−−−++++−−−−==== xxxxP
167 1 −−−− 10−−−−
2 102 12
6 5 1 −−−− 2 2)2( ====P
1671 −−−− 10−−−−
3−−−− 303−−−− 138
46101 −−−− 148 148)3( −−−−====−−−−P
1671 −−−− 10−−−−
1 61 −−−− 10
46101 −−−− 0 0)1( ====P
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2.2 Limites das raízes reais Consideremos o polinômio )( xP , vem:
012
21
1 ............)( axaxaxaxaxP nn
nn
nn ++++++++++++++++++++==== −−−−
−−−−−−−−
−−−−
Onde )1,1( com e 0 −−−−====∈∈∈∈≠≠≠≠ njRaa jn .
2.2.1 Teorema de Lagrange
Seja )10( e 0 ,0 0 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤≠≠≠≠>>>> nkkaan , o maior índice dos coeficientes
negativos do polinômio )( xP . Então, para o limite superior das raízes positivas do polinômio, pode-se tomar o número:
kn
na
BL −−−−++++==== 1
Onde B é o máximo dos módulos dos coeficientes negativos do polinômio. Assim se pεεεε é a maior das raízes positivas do polinômio, então Lp ≤≤≤≤εεεε . Se os
coeficientes de )( xP forem todos positivos, então 0)( ====xP não terá raízes positivas. Exemplo: Seja
30975)( 234 ++++++++−−−−−−−−==== xxxxxP
81
71
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 7
negativos) termos de expoente(maior 3
34 ====++++====
−−−−====
====
−−−−L
B
k
Ou seja, a partir de 8 o polinômio não tem zeros. A partir daí, podemos procurar outros três polinômios que tenham uma relação entre suas raízes e o polinômio anterior.
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1. Se substituirmos as raízes de )( xP pelos seus inversos, encontraremos outro polinômio cuja relação com o 1º será ter as raízes inversas. Chamaremos este Polinômio de )(1 xP , então teremos:
nxPxP
εεεεεεεεεεεε
1,......
1,
1:serão raízes cujas ),
1()(
211 ====
Sendo pεεεε
1 a maior das raízes positivas e 1L o limite acima do qual 0)
1(1 ====
xP não
terá raízes positivas, então:
1
111
LL p
p
≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤ εεεεεεεε
ou seja, 1
1
L é o limite inferior das raízes positivas de 0)(1 ====xP . Notar que é o “inverso” de
acima do qual não temos raízes.
2. Se substituirmos x pelo seu simétrico x−−−− , em 0)( ====xP , teremos 0)()(2 ====−−−−==== xPxP , cujas raízes são: nεεεεεεεεεεεεεεεε −−−−−−−−−−−−−−−− ,.......,,, 321
Sendo pεεεε−−−− a maior das raízes positivas de 0)(2 ====xP e 2L o limite superior das
raízes positivas de 0)(2 ====xP , então: 22 LL pp −−−−≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤−−−− εεεεεεεε
Ou seja, 2L−−−− é o limite inferior (simétrico) abaixo do qual não temos raízes negativas em 0)( ====xP .
3. Se substituirmos x pelo seu inverso simétrico x
1−−−− , em 0)( ====xP , teremos
0)1
()(3 ====−−−−====x
PxP , cujas raízes são: nεεεεεεεεεεεεεεεε
1,.......,
1,
1,
1
321
−−−−−−−−−−−−−−−−
Sendo )0( com 1
<<<<−−−− pp
εεεεεεεε
a maior das raízes positivas de 0)(3 ====xP e 3L o limite
superior das raízes positivas de 0)(3 ====xP , então: 3
3
11
LL p
p
−−−−≤≤≤≤∴∴∴∴≤≤≤≤−−−− εεεεεεεε
ou seja, 3
1
L−−−− é o limite superior das raízes negativas de 0)( ====xP acima do qual
não temos raízes negativas em 0)( ====xP .
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Todas as raízes positivas ++++εεεε , se existirem, satisfarão a: LL
≤≤≤≤≤≤≤≤ ++++εεεε1
1 e as negativas −−−−εεεε , se
existirem, satisfarão a: 3
2
1
LL −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− −−−−εεεε .
Exemplo: Seja a equação: 0302975 234 ====++++++++−−−−−−−− xxxx
1. Cálculo de L
81
71
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 7
negativos) termos de expoente(maior 3
34 ====++++====
−−−−====
====
−−−−L
B
k
2. Cálculo 1L
Para a obtenção de )(1 xP substituiremos x por x
1:
03029751
03029751
4
432
234
====++++++++−−−−−−−−
∴∴∴∴
====++++++++−−−−−−−−
x
xxxx
xxxx
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Logo: 01572930)( 234
1 ====++++−−−−−−−−++++==== xxxxxP
67428,01
48304,130
71
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 7
negativos) termos de expoente(maior 2
1
241 ====⇒⇒⇒⇒====++++====
−−−−====
====
−−−−
LL
B
k
3. Cálculo 2L
Para a obtenção de )(2 xP substituiremos x por x−−−− :
0302975)( 2341 ====++++−−−−−−−−++++==== xxxxxP
38516,638516,61
291
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 29
negativos) termos de expoente(maior 2
224
2 −−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++====
−−−−====
====
−−−− LL
B
k
4. Cálculo 3L
Para a obtenção de )(3 xP substituiremos x por x
1−−−− :
01572930)( 234
1 ====++++++++−−−−−−−−==== xxxxxP
50847,01
96666,130
291
negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 29
negativos) termos de expoente(maior 3
3
343 −−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++====
−−−−====
====
−−−−
LL
B
k
Logo:
867427,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ++++εεεε 50847,038616,6 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− −−−−εεεε
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2.3 Número de Raízes Teorema de Bolzano: Seja 0)( ====xP uma equação algébrica com coeficientes reais e
);( bax ∈∈∈∈ .
• Se 0)().( <<<<bPaP , então existe um número impar de raízes reais (contando suas multiplicidades) no intervalo );( ba .
• Se 0)().( >>>>bPaP , então existe um número par de raízes (contando suas multiplicidades) ou não existem raízes reais no intervalo );( ba .
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2.3.1 Regra (dos sinais) de Descartes
Teorema: O número de raízes reais positivas ++++n de uma equação algébrica é igual ao número de variações de sinais na seqüência dos coeficientes, ou menor que este número por um inteiro par, sendo uma raiz de multiplicidade m , como m raízes e não sendo contados os coeficientes zero.
Corolário: Se os coeficientes de uma equação algébrica são diferentes de
zero, então, o número de raízes reais negativas −−−−n (contando suas multiplicidades) é igual ao número de permanências ns seqüência dos seus coeficientes, ou é menor que este número por um inteiro par.
Exemplos: Seja o polinômio 0302975 234 ====++++++++−−−−−−−− xxxx
5 e 3 1,- 2,- são raízes as
0 ou 222
0 ou 222
2
1
====⇒⇒⇒⇒−−−−====
====⇒⇒⇒⇒−−−−====
−−−−−−−−
++++++++
nkn
nkn
Seja o polinômio 0104079218579 2345 ====++++−−−−++++++++−−−− xxxxx
2i3 e 2i-3 4, 4, 5,- são raízes as
11
0 ou 2 ,424 1
++++
====⇒⇒⇒⇒====
====⇒⇒⇒⇒−−−−====
−−−−−−−−
++++++++
nn
nkn
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2.4 Relação entre Raízes e coeficientes (Regra de Girard) Escrevendo 0)( ====xP na forma fatorada temos:
(((( )))) (((( )))) 0............))(()( 321 ====−−−−−−−−−−−−−−−−==== nn xxxxaxP εεεεεεεεεεεεεεεε
Se efetuarmos as multiplicações e agruparmos teremos:
0).......()1(................
)....(
).........(
).....()(
321
31243121321
2113213121
121
====−−−−++++++++
++++++++++++++++++++−−−−
−−−−++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++−−−−====
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
nnn
nnnnnn
nnnnn
nnn
nn
a
xa
xa
xaxaxP
εεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεε
Comparando o resultado com 0)( ====xP vem:
)()1(..........................
..............................................................
)(......
)(......
)(...................
0321
312321
213121
121
nn
n
nnnnn
nnnn
nnn
aa
aa
aa
aa
−−−−====
−−−−====++++++++
====++++++++++++
−−−−====++++++++++++
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
εεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεε
Exemplo: 010167 23 ====−−−−++++−−−− xxx Cujas raízes são:
1
3
3
3
2
1
====
−−−−====
++++====
εεεε
εεεε
εεεε
i
i
Logo:
1
101).3)(3(
1
161).3(1).3()3)(3(
1
71)3()3(
−−−−====−−−−++++
====−−−−++++++++++++−−−−++++
−−−−−−−−====++++−−−−++++++++
ii
iiii
ii
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2.5 Método da Bisseção Consiste em descobrir duas abscissas ba e que contenha apenas uma raiz, tal que:
)( e )( bfaf tenham sinais contrários. Ou seja: Dessa forma espera-se que poderemos tomar como valor inicial 0x a abscissa da
metade desse intervalo, ou:
2 0)().( 0
baxbfaf
++++====⇒⇒⇒⇒<<<<
Verificam-se os novos intervalos e se prossegue o processo ate que 0)( ====xf .
Exemplo: Achar uma aproximação da raiz real (única) de 010167 23 ====−−−−++++−−−− xxx . Tomemos 4 intervalos iguais entre 1−−−− e 1++++ .
1º) raiz. tem não logo ,0)().( 625,2)( 5,0
5)( 1>
−=⇒−=
−=⇒−=bfaf
bfb
afa
2º) raiz. tem não logo ,0)().( 1)( 0
625,2)( 5,0>
−=⇒=
−=⇒−=bfaf
bfb
afa
3º) raiz. uma menos pelo tem é logo ,0)().( 625,0)( 5,0
1)( 0<<<<
====⇒⇒⇒⇒====
−−−−====⇒⇒⇒⇒====bfaf
bfb
afa
Logo 0252
5,00 e 0)().( 0 ====
++++====<<<< xbfaf
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2.5.1 Número de Passos (Divisões)
Em alguma etapa do processo teremos ou a raiz exata εεεε ou uma seqüência infinita de intervalos (caso de uma raiz ser um valor irracional), tal que:
....)(n1,2,3,.. 0)().( <<<<bfaf Como a cada iteração o intervalo [[[[ ]]]]ba; é dividido ao meio, na n-ésima divisão o comprimento do intervalo será:
nnn
abab
2
−−−−====−−−− ou
Desde que
εεεε≤≤≤≤−−−− −−−−1nn xx
Então:
2ln
)(ln
2 1
−−−−
≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤−−−−
++++
εεεεεεεε
ab
nab
n
Ou seja, para um dado intervalo [[[[ ]]]]ba; , são necessárias, no mínimo n divisões calcularmos a raiz com tolerância εεεε . Como )(raizbLimaLim n
nn
nεεεε========
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→.
Exemplo: Ver página 108 de Leônidas Barroso.
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2.6 Método das Cordas (ou das partes proporcionais)
Seja a determinação da raiz de )(xf , _
xx ==== compreendida no intervalo bxa <<<<<<<< e seja )(xf representada da maneira que segue:
Ligando-se os pontos (((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; afa através de um seguimento de reta, determina-se sobre o eixo dos x o ponto 1x . Repetindo-se este procedimento em relação aos pontos
(((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; 11 xfx , determinamos 2x e assim sucessivamente até que 1++++rx tenderá
para εεεε . Analiticamente teríamos: A equação da reta que passa pelos pontos (((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; afa :
[[[[ ]]]]ab
axafbfafxf
ab
ax
afbf
afxf
xx
xx
yy
yy
−−−−
−−−−−−−−++++====
∴∴∴∴
−−−−
−−−−====
−−−−
−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−
−−−−====
−−−−
−−−−
)()()()(
)()(
)()(
12
1
12
1
Fazendo 1xx ==== , vem:
[[[[ ]]]]ab
axafbfafxf
−−−−
−−−−−−−−++++======== 1)()()(0)(
E, portanto:
(((( )))))()(
)(1
afbf
afabax
−−−−−−−−−−−−====
Generalizando teremos:
(((( )))))()(
)(1
r
rrrr
xfbf
xfxbxx
−−−−−−−−−−−−====++++
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Quando )(xf tem a forma abaixo, a determinação da raiz envolve o emprego de duas fórmulas:
Neste caso, indicamos reduzir o intervalo por bisseção para obter um intervalo com a 2ª derivada constante. Observar que se a mudança de sinal da 2ª derivada for a raiz basta calcular seu valor e igualar a zero. Situações Possíveis:
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2.6.1 Equação Geral
Podemos utilizar a equação:
(((( ))))cxcfxf
xfxx n
n
nnn −−−−
−−−−−−−−====++++
)()(
)(1
Sendo c o ponto extremo (fixo) do intervalo [[[[ ]]]]ba; onde a função )(xf apresenta o mesmo sinal da sua segunda derivada )(" xf , ou seja:
0)().( " >>>>cfcf
1. O ponto fixo ) ou ( ba é aquela que satisfaz 0)().( " >>>>xfxf .
2. A aproximação sucessiva nx , se faz do lado da raiz εεεε , onde o sinal da função )(xf
é oposto ao sinal da derivada segunda )(" xf .
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2.6.2 Outra dedução do método das cordas
Seja )(xf uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no
intervalo [[[[ ]]]]ba; , sendo 0)().( >>>>bfaf e que exista apenas um número [[[[ ]]]]ba;∈∈∈∈εεεε tal que 0)( ====εεεεf .
O intervalo [[[[ ]]]]ba; é dividido em partes proporcionais à razão )(
)(
bf
af−−−− .
(((( ))))abaffbf
afax
hax
bfaf
af
ab
h
−−−−−−−−
−−−−====
++++====
++++−−−−
−−−−====
−−−−
)(()(
)(
Como
)()(
)(
1
11
1
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2.7 Método de Newton-Raphson Seja )(xf uma função contínua no intervalo [[[[ ]]]]ba; e εεεε o seu único zero neste intervalo. As derivadas )(" e )(' xfxf devem, também, ser contínuas. Desenvolvendo )(xf na série de Taylor, na vizinhança de um dos limites acima, (por exemplo: a ) vem, considerando os dois primeiros termos da série:
(((( ))))2"
'
2
)()()()(
−−−−++++−−−−++++====
−−−−
nnnn xxf
xxxfxfxfεεεε
Desprezando-se o termo do erro de e fazendo xx_
==== no desenvolvimento acima, teremos:
(((( ))))
(((( ))))
)(
)(
)()()(
0)()()(
0)()(
'
''
''
'
n
nn
nnnn
nnnn
nnn
xf
xfxx
xfxfxxfx
xfxxfxxf
xxxfxfxf
−−−−====
∴∴∴∴
−−−−====
====−−−−++++
====
−−−−++++====
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
Fazendo 1++++
−−−−
==== nxx ;
n),1,2,3,....(n com )(
)('1 ====−−−−====++++
n
nnn
xf
xfxx
Onde 1++++nx é uma aproximação de εεεε .
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2.7.1 Interpretação Geométrica
Temos:
10
00
' )()(
xx
xfxftg
−−−−========αααα
)(
)(
1'
010
xf
xfxx ====−−−−
Multiplicando-se por )1(−−−− e passando-se 0x para a direita da equação, vem:
)(
)(
1'
001
xf
xfxx −−−−====
Por indução pode-se fazer o mesmo para ββββ e assim por diante. Logo:
,.....)3,2,1( com )(
)('1 ====−−−−====++++ n
xf
xfxx
n
nnn
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2.7.2 Convergência
Da figura anterior vemos que traçando a tangente a partir do ponto [[[[ ]]]])(; 00 xfxa , podemos
encontrar [[[[ ]]]]bax ;1 ∉∉∉∉ e o método pode não convergir. Por outro lado, se escolhermos
0xb ==== o processo convergirá.
È condição suficiente para a convergência do método de Newton-Raphson que:
1. )( e )( "'xfxf sejam não nulas e preservem o sinal no intervalo [[[[ ]]]]ba; e
2. que 0x seja tal que 0)().( "' >>>>xfxf Exemplo: Calcular a raiz quadrada de N .
Seja 02 ====−−−− Nx , e como )(
)('1
n
nnn
xf
xfxx −−−−====++++ vem:
++++====
++++−−−−====
−−−−−−−−====
++++
++++
++++
nnn
n
nnn
n
nnn
x
Nxx
x
Nxxx
x
Nxxx
2
1
2
2
,2
1
22
1
1
Tomemos 59N e 10 ========x
2)( e 2x12)1()( "' ================ xffxf O que satisfaz às condições de convergência. Logo:
68144,768144,7
5968144,7
2
1
68144,768467,7
5968467,7
2
1
68467,791744,7
5991744,7
2
1
91744,783733,9
5983733,9
2
1
83733,998333,15
5998333,15
2
1
98333,1530
5930
2
1
301
591
2
1
7
6
5
4
3
2
1
====
++++====
====
++++====
====
++++====
====
++++====
====
++++====
====
++++====
====
++++====
x
x
x
x
x
x
x
O que nos indica que a raiz de 59 com até 5 decimais é 7,68144.
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2.8 Método da Iteração Linear Seja )(xf uma função contínua no intervalo [[[[ ]]]]ba; e εεεε um número pertencente a este intervalo, tal que: 0)( ====εεεεf . Por um artifício algébrico é sempre possível transformar )(xf em )( xFx ==== , onde )(xF é uma função de iteração. Sendo 0x uma primeira aproximação da raiz εεεε , calcula-se )( 0xF . O processo pode ser então, generalizado como segue:
...)0,1,2,....(n ),(1 ========++++ nn xFx Se a seqüência {{{{ }}}},......,, 210 xxx é convergente, isto é, se existe εεεε====
∞∞∞∞→→→→n
n
xLim e )(xF é
contínua, então:
====
∞∞∞∞→→→→++++
∞∞∞∞→→→→n
nn
n
xFx LimLim 1
e,
)(εεεεεεεε F==== , onde εεεε é uma raiz de 0)( ====xf .
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2.8.1 Interpretação geométrica
Traçamos no plano xy os gráficos das funções xy ==== e )( xFy ==== . Cada raiz real da equação )(xFx ==== , é uma abscissa do ponto de interseção R da curva )(xFy ==== com a bissetriz xy ==== .
Onde:
)(
)(
......................................................
)(0
)(0
)(0
1
2322333
)1211222
)0100111
εεεεεεεε F
xFx
xFxCACBC
xFxCACBC
xFxCACBC
nn
====
====
====→→→→========
====→→→→========
====→→→→========
++++
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Situações que podem ocorrer:
2.8.2 Convergência
Teorema: Partindo de um valor de 0x pertencente a uma vizinhança r de I , ),( δδδδδδδδ ++++−−−− rr ,
no qual )(xF é diferenciável, as aproximações sucessivas realizadas na equação )( xFx ==== , convergirão para uma raiz real Ir ∈∈∈∈ se tivermos:
1)(' <<<<xF
Para todo.
Se por outro lado 1)(' >>>>xF para todo Ix ∈∈∈∈ , as aproximações divergirão.
Demonstração: Devemos provar inicialmente que todo valor 1++++ix obtido na i-ésima
iteração, pertence a I se nxxx ..,,.........,,x 210 também pertencem.
Temos:
)()(x
)(x )(
1i
1i
rFxFr
xFrFr
i
i
−−−−====−−−−∴∴∴∴
========
++++
++++
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Pelo teorema do valor médio aplicado a )(xF no intervalo ),( ou ),( ii xrrx , temos:
)(')()(
ii
i Frx
rFxFξξξξ
−−−−
−−−−
onde, )( ou iiii xrrx ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ ξξξξξξξξ
Logo:
)).((' 11 rxFrx ii −−−−====−−−−++++ ξξξξ Ou:
rxFrx iii −−−−====−−−−++++ .)('1 ξξξξ
A Para 0====i vem:
rxFrx −−−−====−−−− 001 .)(' ξξξξ
E como I∈∈∈∈0ξξξξ temos:
1)(' 0 <<<<εεεεF
∴∴∴∴ δδδδ<<<<−−−−<<<<−−−− rxrx 01
Logo, Ix ∈∈∈∈1
Podemos, analogamente, deduzir que .............,..........,, ,321 ixxxx também pertencem a I .
Definindo
)('
)('
xFmáximoM
xFmínimom
====
====
Isto é: Ix )(' ∈∈∈∈∀∀∀∀≤≤≤≤≤≤≤≤ MxFm
Da relação A vem:
rxMrxrxm
rxMrxrxm
rxMrxrxm
iii −−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−
−−−−−−−− 11
121
010
..........................................
Multiplicando membro a membro (teremos smi ), retemos:
rxMrxrxm ii −−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−− 010
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Se 1<<<<M , então: 0lim ====−−−−∞∞∞∞→→→→
rxii
, portanto 0lim ====−−−−∞∞∞∞→→→→
rxii
, e a seqüência converge para
r . Por outro lado, se 1>>>>m , a diferença (((( ))))rxi −−−− aumenta indefinidamente e o método não converge. Como para 1)(' <<<<rF , deve existir uma vizinhança I de r , onde, para todo Ix ∈∈∈∈ ,
1)(' <<<<xF , e vice-versa, podemos finalmente concluir que obedecendo a duas condições
asseguramos o êxito do processo.
1. Escolher a função de modo que 1)(' ≤≤≤≤rF (condição necessária) e
2. Escolher 0x na dita vizinhança.
2.9 Observações finais sobre os Métodos 1. Bisseção
Não exige o conhecimento das derivadas, mas tem uma convergência lenta. Deve ser usado para diminuir o intervalo que contém a raiz.
2. Cordas
Exige que o sinal da derivada segunda permaneça constante no intervalo (o que pode ser verificado até graficamente). Se o ponto fixado c for razoavelmente próximo da raiz (grosseiramente 10)( <<<<cF ),
o método tem boa convergência; caso contrario pode ser mais lento que a bisseção.
3. Newton-Raphson
Requer o conhecimento da forma analítica de )(' xf , mas sua convergência é extraordinária.
4. Iteração Linear
Sua maior dificuldade é encontrar uma função de iteração que satisfaça a condição de convergência.
O teste 1)(' ≤≤≤≤rF pode levar a um engano se 0x não estiver suficiente próximo da
raiz.
A velocidade de convergência dependerá de )(' xf ; quanto menor este valor, maior
será a convergência.
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2.10 Método de Birge-Vieta O algoritmo obtido quando combinamos os métodos os métodos de Briot-Ruffinni com o método de Newton-Raphson para determinarmos a raiz r de um polinômio, é conhecido como método de Birge-Vieta. Assim, no calculo de ix com:
)(
)(
1'
11
−−−−
−−−−−−−− −−−−====
i
iii
xP
xPxx
usamos o teorema que nos dá o valor de )( 1'
−−−−ixP que diz que basta dividirmos )( 1−−−−ixP duas vezes consecutivas por )( cx −−−− , o que pode ser feito através o método de Briot-Ruffinni . Ex.: Seja 046163763)( 23 ====−−−−++++−−−−==== xxxxP
Pesquisando zeros positivos pelo método da bisseção usando intervalos de amplitude 5 encontramos uma raiz, pelo menos, entre 3404)25( e 3186)20( ====−−−−==== PP . Tomando, então, 5,22====x , aplicamos o método de Birge-Vieta.
00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−−
50,22 00,3 50,8−−−− 25,28−−−− 25,681−−−− 50,22 00,3 00,59 25,1299
Logo:
02,2325,1299
25,68150,221 ====
−−−−−−−−====x
00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−−
02,23 00,3 94,6−−−− 24,3 58,28 02,23 00,3 12,62 24,1433
Logo:
00,2324,1433
58,2802,231 ====−−−−====x
00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−−
00,23 00,3 00,7−−−− 00,2 0
E sem dúvida 00,23 é uma raiz.
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2.11 Grau de exatidão de uma raiz Após obter a raiz, por qualquer método numérico, encontramos um valor, possivelmente aproximado. Teorema: Seja εεεε uma raiz isolada exata e nx uma raiz aproximada de 0)( ====xf com εεεε e
nx pertencentes ao [[[[ ]]]]ba; e:
)(min ' xfmbxa ≤≤≤≤≤≤≤≤
====
Então:
m
xfx
nn
(≤≤≤≤−−−− εεεε
Prova: Aplicando o teorema do valor médio vem:
[[[[ ]]]]baccx
onde
cfxfxf nn
:)(
:
)()()()( '
∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒<<<<<<<<
−−−−====−−−−
εεεε
εεεεεεεε
Como
b)x(a para 0)( e 0)( ' ≤≤≤≤≤≤≤≤>>>>≥≥≥≥==== mxff εεεε
Temos
εεεεεεεε −−−−≥≥≥≥−−−−==== nnn xmfxfxf )()(( )
Vem
m
xfx
nn
)(≤≤≤≤−−−− εεεε
Exemplo: Sendo 8)( 2−−−−==== xxf , delimitar o erro cometido com 827,2====nx , no intervalo
[[[[ ]]]]3;2 .
42min32
========≤≤≤≤≤≤≤≤
xmx
002,0827,2
002,04
8827,2827,2
2
±±±±====
∴∴∴∴
====−−−−
≤≤≤≤−−−−
εεεε
εεεε
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O cálculo de m muitas vezes é trabalhoso e difícil de ser feito. Por esta razão, a tolerância de εεεε pode ser avaliada por um dos três critérios (que também podem ser critérios de parada de processos iterativos) a seguir:
εεεε
εεεε
εεεε
≤≤≤≤−−−−
≤≤≤≤−−−−
≤≤≤≤
−−−−
−−−−
n
1n
1n
n
x
x .3
x .2
)f(x .1
n
n
x
x