sem ders notları m. topçu

BİRİNCİ BÖLÜM

GİRİŞ

Tabitta karşılaşılan her hadise fizik kanunları yardımıyla ve matematik diliyle anlaşılmaya

çalışılır. Bu olayların biyolojik, jeolojik veya mekanik olması durumu değiştirmez. Her

olay kendine ait büyüklükler yardımıyla cebirsel, diferansiyel veya integral denklemler

yardımıyla büyük oranda ifade edilebilir. Pratikte karşılaşılan problemler ne kadar

karmaşık olursa olsun tarihin her devrinde o devrin ihtiyaçlarına cevap verecek derecede

modellenmeye çalışılmış ve her devirde alınan örnekler yardımıyla insanın kullanımına arz

edilmiştir. Günümüzde karmaşık problem denince gen yapısı anlaşılmaktadır. Halbuki

mekanik, termal ve/veya aerodinamik yüklere maruz, değişik şekilli delikler bulunan bir

kanaldaki basınç dağılımını belirlemek, deniz suyundaki kirlilik oranını belirlemek veya

atmosferdeki çeşitli hareketleri, bir hortum veya kasırganın oluşum mekanizmasını

anlamak ve önceden belirlemek üzere havanın modelini oluşturmak gibi daha bir çok

karmaşık problem bulunmaktadır. Problemin en azından bir kısmının anlaşılmış olması

bile pratik bir çok yararlar sağlamaktadır. Burada, önceden yapılan çözümlemelerin

sonradan yanlışlığının anlaşılmış olmasının bile pratik sonuçlar açısından fazla bir önemi

bulunmamaktadır.

İnsanlar çevresinde meydana gelen olayları ya da karşılaştıkları problemleri çoğu zaman

kolayca kavrayıp doğrudan çözemezler. Bu yüzden karmaşık bir problem, bilinen veya

kavranması daha kolay alt problemlere ayrılarak daha anlaşılır bir hale getirilir.

Oluşturulan alt problemler çözülüp birleştirilerek esas problemin çözümü yapılabilir.

Örneğin; gerilme analizi üzerinde çalışan mühendisler, gerilme problemini basit kiriş, plak,

silindir, küre gibi geometrisi bilinen şekillerle sınırlarlar. Bu elde edilen sonuçlar çoğu kez

problemin yaklaşık çözümüdür ve bazen doğrudan bazen de bir katsayı ile düzeltilerek

kullanılır. Mühendislik uygulamalarında problemlerin karmaşıklığı sebebiyle genellikle

problemlerin tam çözümü yerine, kabul edilebilir seviyede bir yaklaşık çözüm tercih edilir.

Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu, M. TOPCU, S. TAŞGETİREN

Öyle problemler vardır ki, tam çözüm imkansız kabul edilerek yaklaşık çözüm tek yol

olarak benimsenir.

Sonlu elemanlar metodu; karmaşık olan problemlerin daha basit alt problemlere ayrılarak

her birinin kendi içinde çözülmesiyle tam çözümün bulunduğu bir çözüm şeklidir.

Metodun üç temel niteliği vardır: İlk olarak, geometrik olarak karmaşık olan çözüm

bölgesi sonlu elemanlar olarak adlandırılan geometrik olarak basit altbölgelere ayırır.

İkincisi her elemandaki, sürekli fonksiyonlar, cebirsel polinomların lineer kombinasyonu

olarak tanımlanabileceği kabul edilir. Üçüncü kabul ise, aranan değerlerin her eleman

içinde sürekli olan tanım denklemlerinin belirli noktalardaki (düğüm noktaları) değerleri

elde edilmesinin problemin çözümünde yeterli olmasıdır. Kullanılan yaklaşım

fonksiyonları interpolasyon teorisinin genel kavramları kullanılarak polinomlardan seçilir.

Seçilen polinomların derecesi ise çözülecek problemin tanım denkleminin derecesine ve

çözüm yapılacak elemandaki düğüm sayısına bağlıdır.

Sürekli bir ortamda alan değişkenleri (gerilme, yer değiştirme, basınç, sıcaklık vs.) sonsuz

sayıda farklı değere sahiptir. Eğer sürekli bir ortamın belirli bir bölgesinin de aynı şekilde

sürekli ortam özelliği gösterdiği biliniyorsa, bu alt bölgede alan değişkenlerinin değişimi

sonlu sayıda bilinmeyeni olan bir fonksiyon ile tanımlanabilir. Bilinmeyen sayısının az ya

da çok olmasına göre seçilen fonksiyon lineer ya da yüksek mertebeden olabilir. Sürekli

ortamın alt bölgeleri de aynı karakteristik özellikleri gösteren bölgeler olduğundan, bu

bölgelere ait alan denklem takımları birleştirildiğinde bütün sistemi ifade eden denklem

takımı elde edilir. Denklem takımının çözümü ile sürekli ortamdaki alan değişkenleri

sayısal olarak elde edilir.

Sonlu elemanlar metodunun kullanılması ve bilgisayarların sanayiye girmesiyle, bugüne

kadar ancak pahalı deneysel yöntemlerle incelenebilen bir çok makina elemanının (motor

blokları, pistonlar vs.) kolayca incelenebilmesi, hatta çizim esnasında mukavemet

analizlerinin kısa bir sürede yapılarak optimum dizaynın gerçekleştirilmesi mümkün

olabilmiştir.

Sonlu elemanlar metodunu diğer nümerik metodlardan üstün kılan başlıca unsurlar şöyle

sıralanabilir:

Bölüm 1-2


a) Kullanılan sonlu elemanların boyutlarının ve şekillerinin değişkenliği nedeniyle ele

alınan bir cismin geometrisi tam olarak temsil edilebilir.

b) Bir veya birden çok delik veya köşeleri olan bölgeler kolaylıkla incelenebilir.

c) Değişik malzeme ve geometrik özellikleri bulunan cisimler incelenebilir.

d) Sebep sonuç ilişkisine ait problemler, genel direngenlik matrisi ile birbirine bağlanan

genelleştirilmiş kuvvetler ve yer değiştirmeler cinsinden formüle edilebilir. Sonlu

elemanlar metodunun bu özelliği problemlerin anlaşılmasını ve çözülmesini hem

mümkün kılar hem de basitleştirir.

e) Sınır şartları kolayca uygulanabilir.

Sonlu elemanlar metodunun temel prensibi, öncelikle bir elemana ait sistem özelliklerini

içeren denklemlerin çıkartılıp tüm sistemi temsil edecek şekilde eleman denklemlerini

birleştirerek sisteme ait lineer denklem takımının elde edilmesidir. Bir elemana ait

denklemlerin elde edilmesinde değişik metodlar kullanılabilir. Bunlar içinde en çok

kullanılan dört temel yöntem şunlardır:

I)Direkt yaklaşım: Bu yaklaşım daha çok tek boyutlu ve basit problemler için uygundur.

II)Varyasyonel yaklaşım: Bir fonksiyonelin ekstremize yani maksimum ve minimum

edilmesi demektir. Katı cisim mekaniğinde en çok kullanılan fonksiyoneller potansiyel

enerji prensibi, komplementer (tümleyen) potansiyel enerji prensibi ve Reissner prensibi

olarak sayılabilir. Fonksiyonelin birinci türevinin sıfır olduğu noktada fonksiyonu

ekstremize eden değerler bulunur. İkinci türevinin sıfırdan büyük veya küçük olmasına

göre bu değerin maksimum veya minimum olduğu anlaşılır.

III)Ağırlıklı kalanlar yaklaşımı: Bir fonksiyonun çeşitli değerler karşılığında elde edilen

yaklaşık çözümü ile gerçek çözüm arasındaki farkların bir ağırlık fonksiyonu ile çarpılarak

toplamlarını minimize etme işlemine "ağırlıklı kalanlar yaklaşımı" denir. Bu yaklaşım

kullanılarak eleman özelliklerinin elde edilmesinin avantajı, fonksiyonellerin elde

edilemediği problemlerde uygulanabilir olmasıdır.

IV)Enerji dengesi yaklaşımı: Bir sisteme giren ve çıkan termal veya mekanik enerjilerin

eşitliği ilkesine dayanır. Bu yaklaşım bir fonksiyonele ihtiyaç göstermez.

Sonlu elemanlar metodu ile problem çözümünde kullanılacak olan yaklaşım çözüm

işleminde izlenecek yolu değiştirmez. Çözüm yöntemindeki adımlar şunlardır:

Bölüm 1-3


a) Cismin sonlu elemanlara bölünmesi,

b) İnterpolasyon fonksiyonlarının seçimi,

c) Eleman direngenlik matrisinin teşkili,

d) Sistem direngenlik matrisinin hesaplanması,

e) Sisteme etki eden kuvvetlerin bulunması,

f) Sınır şartlarının belirlenmesi,

g) Sistem denklemlerinin çözümü.

Sonlu eleman probleminin çözümünde ilk adım eleman tipinin belirlenmesi ve çözüm

bölgesinin elemanlara ayrılmasıdır. Çözüm bölgesinin geometrik yapısı belirlenerek bu

geometrik yapıya en uygun gelecek elemanlar seçilmelidir. Seçilen elemanların çözüm

bölgesini temsil etme oranında, elde edilecek neticeler gerçek çözüme yaklaşmış olacaktır.

Sonlu elemanlar metodunda kullanılan elemanlar boyutlarına göre dört kısma ayrılabilir:

a) Tek boyutlu elemanlar: Bu elemanlar tek boyutlu olarak ifade edilebilen problemlerin

çözümünde kullanılır.

b) İki boyutlu elemanlar: İki boyutlu (düzlem) problemlerinin çözümünde kullanılırlar.

Bu grubun temel elemanı üç düğümlü üçgen elemandır. Üçgen elemanın altı, dokuz ve

daha fazla düğüm ihtiva eden çeşitleri de vardır. Düğüm sayısı seçilecek interpolasyon

fonksiyonunun derecesine göre belirlenir. Üçgen eleman, çözüm bölgesini aslına uygun

olarak temsil etmesi bakımından kullanışlı bir eleman tipidir. İki üçgen elemanın

birleşmesiyle meydana gelen dörtgen eleman, problemin geometrisine uyum sağladığı

ölçüde kullanışlılığı olan bir elemandır. Dört veya daha fazla düğümlü olabilir. Dörtgen

eleman çoğu zaman özel hal olan dikdörtgen eleman şeklinde kullanılır.

c) Dönel elemanlar: Eksenel simetrik özellik gösteren problemlerin çözümünde dönel

elemanlar kullanılır. Bu elemanlar bir veya iki boyutlu elemanların simetri ekseni

etrafında bir tam dönme yapmasıyla oluşurlar. Gerçekte üç boyutlu olan bu elemanlar,

eksenel simetrik problemleri iki boyutlu problem gibi çözme olanağı sağladığı için çok

kullanışlıdırlar.

d) Üç boyutlu elemanlar: Bu grupta temel eleman üçgen piramittir. Bunun dışında

dikdörtgenler prizması veya daha genel olarak altı yüzeyli elemanlar, üç boyutlu

problemlerin çözümünde kullanılan eleman tipleridir.

İzoparametrik Elemanlar: Çözüm bölgesinin sınırları eğri denklemleri ile tanımlanmışsa,

kenarları doğru olan elemanların bu bölgeyi tam olarak tanımlaması mümkün değildir.

Bölüm 1-4


Böyle durumlarda bölgeyi gereken hassasiyette tanımlamak için elemanların boyutlarını

küçültmek, dolayısıyla adetlerini artırmak gerekmektedir. Bu durum çözülmesi gereken

denklem sayısını artırır, dolayısıyla gereken bilgisayar kapasitesinin ve zamanın

büyümesine sebep olur. Bu olumsuzluklardan kurtulmak için, çözüm bölgesinin eğri

denklemleri ile tanımlanan sınırlarına uyum sağlayacak eğri kenarlı elemanlara ihtiyaç

hissedilmektedir. Böylece hem çözüm bölgesi daha iyi tanımlanmakta hem de daha az

sayıda eleman kullanılarak çözüm yapılabilmektedir. Bu elemanlar üzerindeki düğüm

noktaları bir fonksiyon ile tanımlanır. İzoparametrik sonlu elemanın özelliği, her

noktasının konumunun ve yer değiştirmesinin aynı mertebeden aynı şekil (interpolasyon)

fonksiyonu ile tanımlanabiliyor olmasıdır. İzoparametrik elemanlara eşparametreli

elemanlar da denir.

İzoparametrik elemanların şu özellikleri vardır:

a) Lokal koordinatlarda iki komşu eleman arasında süreklilik sağlanıyorsa, izoparametrik

elemanlarda da sağlanıyor demektir.

b) Eğer interpolasyon fonksiyonu lokal koordinat takımındaki elemanda sürekli ise,

izoparametrik elemanda da süreklidir.

c) Çözümün tamlığı lokal koordinatlarda sağlanıyor ise izoparametrik, elemanlarda da

sağlanır.

İzoparametrik elemanların anılan özellikleri dolayısıyla, interpolasyon fonksiyonları lokal

koordinatlarda seçilir.

İnterpolasyon Fonksiyonlarının Seçimi: İnterpolasyon fonksiyonu alan değişkeninin

eleman üzerindeki değişimini temsil etmektedir. İnterpolasyon fonksiyonunun belirlenmesi

seçilen eleman tipine ve çözülecek denklemin derecesine bağlıdır. Ayrıca interpolasyon

fonksiyonları şu şartları sağlamalıdır:

a- İnterpolasyon fonksyonunda bulunan alan değişkeni ve alan değişkeninin en yüksek

mertebeden bir önceki mertebeye kadar olan kısmi türevleri eleman sınırlarında sürekli

olmalıdır.

b- İnterpolasyon fonksiyonunda bulunan alan değişkeninin bütün türevleri, eleman

boyutları limitte sıfıra gitse bile alan değişkenini karakterize etmelidir.

c- Seçilen interpolasyon fonksiyonu koordinat değişimlerinden etkilenmemelidir.

Bölüm 1-5


Hem yukardaki şartları sağlamaları hemde türev ve integral almadaki kolaylığından dolayı

interpolasyon fonksiyonu olarak genelde polinomlar seçilir. Seçilen polinom, yukarıdaki

şartların gerçekleşmesi için uygun terimleri ihtiva etmelidir.

Eleman Direngenlik Matrisinin Elde Edilmesi: Eleman direngenliğinin bulunması,

elemana etki eden dış etkenler ile alan değişkenleri arasında bir ilişki kurmak anlamına

gelmektedir. Eleman direngenliğini elde ederken çözülecek problemin konusu, alan

değişkeni, seçilen eleman tipi, seçilen interpolasyon fonksiyonu, eleman özelliklerini elde

ederken kullanılan metod gibi pek çok faktör göz önüne alınmak durumundadır. Etki eden

bu faktörlere göre de eleman direngenliğinin elde edilmesinde değişik yollar izlenir.

Sistem Direngenlik Matrisinin Teşkili:Sistem direngenlik matrisi sistemin düğüm

sayısı ve her düğümdeki serbestlik derecesine bağlı olarak belirlenir. Elemanlar için

hesaplanan direngenlik matrisleri, elemanın üzerindeki düğüm numaralarına bağlı olarak

genel direngenlik matrisinde ilgili satır ve sütununa yerleştirilir. Farklı elemanlar

tarafından ortak kullanılan düğümlerdeki terimler genel direngenlik matrisinin ilgili satır

ve sütununda üst üste toplanmalıdır. Elemanların düğüm numaralaması bir sistematiğe

göre yapılırsa genel direngenlik matrisinde elemanlar diagonal üzerinde üst üste toplanır.

Genelde direngenlik matrisi simetriktir.

Sisteme Etki Eden Kuvvetlerin Bulunması: Bir problemde sisteme etki edebilecek

kuvvetler şunlar olabilir:

-Tekil Kuvvetler: Tekil kuvvetler hangi elemanın hangi düğümüne ne yönde etki ediyorsa

genel kuvvet vektöründe etki ettiği düğüme karşılık gelen satıra yerleştirilir. Problemin

cinsine göre tekil yük kavramı değişebilir Örneğin ısı iletimi probleminde elastisite

problemindeki tekil yüke karşılık noktasal ısı kaynağı veya tanımlı ısı akışı yükleri

bulunmaktadır.

-Yayılı Kuvvetler: Bu kuvvetler bir kenar boyunca yada bir alanda etkili olurlar.

–Kütle kuvvetleri: Eleman hacmi için geçerli olan merkezkaç kuvveti ve ağırlık kuvvetleri

gibi kuvvetlerdir.

Sınır Şartlarının Belirlenmesi: Her problemin tabii olarak yada yapay sınır şartları

vardır. Sınır şartları, cismin çeşitli kısımlarındaki elastik yer değiştirmelerin ölçülebileceği

bir referans sağlar. Bir çubuk elaman ele alalım (Şekil 1a). Bu eleman için bir sınır şartı

Bölüm 1-6


tanımlanmazsa, etki eden düğüm kuvvetlerinin büyük, küçük yada eşit olmasına göre

hareket eder ve deplasman u1 =u2 olarak çubukta rijit cisim hareketi gözlenir.

F1 ,u1 1 2 F2 ,u2

(a)

1 2 u1=0 F2

(b) Şekil 1 Konsol kiriş sonlu eleman modeli

Birinci durumdaki rijit cisim hareketi genel direngenlik matrisinin tekil olmasına sebep

olur. Bu durum u1 ve u2 'nin ölçüleceği bir referans noktasının belirlenmemiş olmasına

bağlanabilir. Gerçekte bir referans noktası sağlanmak zorundadır. Aynı çubuğu (Şekil 1b.)

deki gibi düşündüğümüzde;

kFu 2= /2 (1)

şeklinde ifade edebiliriz. Çünkü u1 =0 çubuğun sınır şartıdır. Böylece sınır şartları; cismin

belli parçasında veya parçalarındaki yer değiştirmelerde yapılan kısıtlamalardır denilebilir.

Bu kısıtlamalar, cismin rijit yer değiştirmesine engel olur ve uygulanan dış yüklerin cisim

tarafından taşınmasını sağlar. Aynı sınır şartları problemin cinsine göre sonlu elemanlar

metodunun uygulandığı diğer vektörel ve skaler alan problemleri için de tanımlanır.

Sistem Denkleminin Çözümü: Çözüm için, sistemin sınır şartlarıda göz önüne alınarak

direngenlik matrisinin tersini almak yeterlidir. Fakat bilgisayar kapasitesi ve bilgisayar

zamanı açısından çok büyük matrislerin çözümünü ters alma işlemi ile yapmak yerine

Gauss eliminasyon metodu ile daha az kapasite ve daha kısa sürede yapmak mümkün

olmaktadır.

Bölüm 1-7

İKİNCİ BÖLÜM

TEMEL BİLGİLER

1. YAKLAŞIK ÇÖZÜM

Sonlu elemanlar metodunda genellikle karşılaşılan problemler kısmi diferansiyel

denklemlerle ifade edilen fiziksel problemlerdir. Örneğin elastik cisim mekaniğinde aranan

sonuç cismin yaptığı yerdeğiştirmedir. Bu da gerilme ve yer değiştirmeler arasında kurulan

ikinci dereceden bir kısmi diferansiyel denklemin çözümü ile elde edilir. Bu denklemler

basit geometriler ve yükleme durumları için kesin sonuçlar elde edilecek şekilde

çözülebilse de karmaşık problemlerde yaklaşık çözümlerin elde edilmesi kaçınılmaz hale

gelir. Yaklaşık çözümleme yöntemleri de genellikle potansiyel enerji ve varyasyonel

yöntemleri kullanır. Kitapta çözümler potansiyel enerji ve Galerkin yaklaşımı kullanılarak

elde edilmiştir. Burada bu iki yöntem elastisite problemlerine uygulanarak açıklanacaktır.

1.1 Potasiyel Enerji

Koservatif sistemlerde yapılan iş gidilen yoldan bağımsızdır ve yalnızca yükseklikle

ilişkilidir. Buna göre eğer bir cisim bir noktadan alınıp belli bir yoldan geçtikten sonra aynı

noktaya tekrar getirilirse hiçbir iş yapılmış olmaz. Potansiyel enerji, sistemin konumunu

belirleyen koordinatlara bağlı olarak bir integral ifade ile elde edilebilir. Sınır şartlarını

gerçekleyen durumlarda cismin dengede olabilmesi için potansiyel enerjinin bir ekstremde

olması gerekir. Bir çok durumda bu ekstrem değer bir minmumdur ve bu nedenle yöntem

minimum potansiyel enerji yöntemi olarak adlandırılır. Örneğin, rastgele yüklenmiş basit

mesnetli bir kirişte kirişin çökme eğrisi araştırılıyor olsun. Mümkün olan bir çok çökme

eğrisi arasında gerçek çökme eğrisi, verilen sınır şartları altında kiriş için yazılacak

potansiyel enerji ifadesinin minimum olmasını sağlayan eğri olacaktır. Bunda da iç

kuvvetler tarafından meydana getirilen potansiyel enerji ile dış kuvvetlerin oluşturduğu

potansiyel enerji etkili olacaktır. İç kuvvetlerin potansiyel enerjisi şekil değiştirme


enerjisinden, dış kuvvetlerinki de uygulanan kuvvet sebebiyle meydana gelen yer

değiştirmenin çarpımı (iş) şeklinde bulunur. Yani,

WU +=Π (1)

olup U şekil değiştirme enerjisini, W ise iş potansiyelini göstermektedir. Şekil değiştirme

enerjisi,

∫=v

dvU εσ21 (2)

dir. İş potansiyeli ise, u=[u, v w] deplasmanları, f=[fx, fy, fz] kütle kuvvetlerini,

T=Tx, Ty, Tz] yüzey kuvvetlerini ve Pi de tekil kuvvetleri göstermek üzere,

∫ ∑∫ −−−=

si

iT

iT

v

T PudSTudvfuW (3)

olarak yazılır. Bu durumda toplam potansiyel enerji,

∫ ∑∫∫ −−−=s

ii

Ti

Tv

Tv

PudSTudvfudvεσΠ21 (4)

olarak elde edilir. Bu durumda minimizasyon

0=

∂∂

uΠ (5)

ile gerçekleştirilmiş olur.

1.2 Rayleigh-Ritz Yöntemi

Sürekli bir ortam için toplam potansiyel enerji ifadesi doğrudan yaklaşık çözüm için

kullanılabilir. Rayleigh-Ritz yönteminde deplasman alanı tahmin edilerek bir çözüm

araştırılmaktadır. Örneğin deplasman alanı,

lmnnmkzyzaw

mljzyxav

lizyxau

kk

jj

ii

⟩⟩→+==

→+==

→==

∑∑∑

1),,(

1),,(

1),,(

φ

φ

φ

(6)

Bölüm 2-22


olsun. φi fonksiyonları genellikle polinomlardan seçilir. Alınan u, v ve w deplasman

alanları belirli sınır şartlarını sağlamak zorundadır. Gerilme-şekil değiştirme ve şekil

değiştirme-yer değiştirme denklemleri kullanıldığında toplam potansiyel enerji ifadesi r

adet bağımsız değişkene sahip bir fonksiyon olarak

),........,,( 21 raaaΠΠ = (7)

şeklinde yazılabilir. Bu durumda bağımsız değişkenlere göre yapılacak minimizasyon

işleminden

riai

,......2,10 ==∂∂Π (8)

elde edilir.

1.3 Ağırlıklı Kalanlar Yaklaşımı

Ağırlıklı kalanlar yaklaşımında integral formunun elde edilmesi için sistemi tanımlayan

denklemler kullanılır. Herhangi bir V bölgesinde tanım denklemi

Au=f (9)

ile verilmiş olsun. Örneğin bir boyutlu çubuk probleminin tanım denklemi,

0)( =dxduEA

dxd (10)

şeklindedir. Burada A yı

)(dxdEA

dxd

şeklinde bir operatör olarak tanımlayabiliriz. Sonlu elemanlar yönteminde

karşılaşılabilecek diğer bazı operatörler

cudxdua

dxduA +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

2

2

)(dx

udbdxduA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dxduu

dxduA )(

Bölüm 2-33


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−=yuk

yxuk

xuA yx)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=xv

yu

yxu

yuv

xuuvuA 2

2

),(

şeklindedir. Gerçek çözüm, denklemi x üzerindeki her noktada sağlar. Buna karşılık uN

şeklinde yaklaşık bir çözüm elde edildiğinde, R gibi bir hata oranı ortaya çıkar ki buna

artık (kalan) denir. Bu da,

R=A uN –f (11)

dir. Yaklaşık çözümleme yöntemine göre meydana gelen bu hata belirli bir ağırlık

fonksiyonuna (Ψi) oranla 0 mertebesinde olmalıdır. Yani,

∫ ==−v Ni nidVPuA .......1,0)(Ψ (12)

Yaklaşık çözüm ise genellikle

01

φφ∑=

+=N

jjjN cu (13)

formundadır. Burada cj sınır şartlarına göre hesaplanacak katsayıları φ0 ve φj de seçilecek

fonksiyonları göstermektedir. Bu fonksiyonların seçim şekline göre çeşitli çözüm

yöntemleri geliştirilmiştir. Son durumda ağırlıklı kalan yöntemine göre sistem denklemi

NidVczyxRzyx jV i ,....10),,,(),,( ==∫ ψ (14)

şeklinde olur. Burada Ψi ağırlıklı kalanlar denklem sistemi lineer bağımsız olmak

zorundadır. Şeçilen φj operatör denklemindeki mertebeye kadar sıfırdan farklı türeve sahip

olmalıdır. Aynı zamanda φ0 ve φj bütün sınır şartlarını sağlayacak şekilde seçilmelidir.

Ağırlıklı kalanlar yönteminin çeşitli formları ileriki paragraflarda verilmiştir.

Petrov-Galerkin Metodu: Ψi ≠ φi olduğunda ağırlıklı kalanlar yöntemi Petrov-Galerkin

metodu olarak adlandırılır. A operatörü lineer olduğunda iki boyutlu durum için çözüm

denklemi

[ ] [ ]∫∑ ∫ Ω=

Ω−= dxdyAfcdxdyA ij

N

jji )()( 0

1

φψφψ (15)

olarak basitleştirilebilir. Yada

Bölüm 2-44


ij

N

jij FcA =∑

=1 (16)

yazılır. Elde edilen operatör matrisi [A] simetrik değildir. Yani,

jijiij AdxdyAA ≠= ∫Ω )(φφ (17)

Galerkin Metodu: Ψi ağırlık fonksiyonunun φi yaklaşım fonksiyonuna eşit alınırsa bu

Galerkin metodu olarak bilinir. Galerkin yaklaşımının cebirsel denklemleri

∑=

=N

jijij FcA

1 (18)

olup burada vedxdyAAij ji

)(φφ∫Ω= [ ]dxdyAfFi ∫Ω −= )( 0φ dir. [A] yine simetrik

değildir.

En Küçük Kareler Metodu: Bu yöntemde, cj parametrelerini kalanının (R) karesinin

integralinin minimizasyonuyla belirlenmesi halinde buna en küçük kareler yöntemi denir.

∫Ω =∂∂ 0),,(2 dxdycyxRc j

i

(19)

veya

∫Ω =∂∂ 0RdxdycR

i

(20)

Görüldüğü gibi esas denklemde Ψi = ∂R / ∂ci şeklinde bir değişiklik meydana gelmiştir.

Eğer A lineer bir operatörse, Ψi = A ( φi ) olacağından

[ ] [ dxAfAcdxAA ij

N

jji ∫∑ ∫ −=

=ΩΩ

φφφφ )()()()( 01

] (21)

elde edilir. Bu yda,

∑=

=N

jijij FcA

1 (22)

yazılabilir. Burada [A] simetriktir.

Bölüm 2-55


Kollokasyon Metodu: Kollokasyon metodunda, çözüm bölgesi üzerinde seçilmiş N adet

xi ≡ (xi, yi) noktasında kalan sıfırlanması istenir.

R( xi,yi,ci) = 0 (i = 1,2,.........,N) (23)

xi noktalarının seçimi iyi bir yaklaşık çözüm elde etmek için önemlidir. Kollokasyon

metodu Ψi=δ(x-xi ) ile şeklinde bir dönüşüm ile genel çözüm denklemine benzetilebilir.

Burada δ(x) Dirac delta fonksiyonu olarak adlandırılır ve

)()()( ξξδ fdxdyxxf =−∫Ω (24)

şeklinde verilir. Ağırlık fonksiyonların bu şekilde seçilmesi halinde ağırlıklı kalan ifadesi,

∫ ==−Ωδ 0),(0),()( j

ij

i cxRveyadxdycxRxx (25)

olur. Örnek: Aşağıdaki diferansiyel denklemi ağırlıklı kalanlar yöntemine göre çözünüz.

022

2

=+−− xudx

ud , u(0)=0 , 1)1( =′u

Çözüm: Ağırlıklı kalan metoduna göre, φ0 ve φi sınır şartlarını sağlamalıdır. Yani φ0(0)=0,

1)1(0 =′φ ve φi (0)=0, 0)1( =′iφ olmalıdır. Burada φ0 gerçek sınır şartlarını, φi ise düğümlerde tanımlı sınır şartlarını sağlamaktadır. φ0 (x) = a + bx olarak seçersek, sınır şartlarından a ve b sabitleri elde edildikten sonra φ0(x)=x olarak bulunur. İki homojen şart olduğundan, sıfır olmayan bir fonksiyon elde etmek için en az üç parametreli bir fonksiyon seçilmelidir. φ1 = a + bx + cx2. Sınır şartları uygulandığında φ1= - cx (2-x) elde edilir. φ2 için, φ2=a+bx+dx3 veya φ2 = a + cx2 + dx3 dan biri d ≠ 0 olacak şekilde seçilmelidir. φ2 her iki durumda da sıralı bütün mertebeleri içermemektedir. Yaklaşık çözüm φ1,φ2 ile ilk üç dereceden bütün terimleri içermektedir. İlk tercih için )1( 3

222 xx −=φ bulunur. Buna

göre kalan fonksiyonu

2

10

12

2

0 xcdxd

cRN

iii

N

i

ii +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∑∑

==

φφφ 22

322

22

1 )42()22( xxxxxcxxc +−+−+−++−=

olur. Petrov-Galerkin Metodu için ağırlık fonksiyonları Ψ1 = x ,Ψ2 = x2 olsun. Bu

durumda , olacaktır. Buna göre katsayılar denklemleri ∫ =1

00xRdx 0

1

0

2 =∫ Rdxx

0121

26013

1127 =−+ cc 020

1245

11130

11 =−+ cc

Bölüm 2-66


olur. ci’ler çözülürse, c1 = 682103 ve 682

152 −=c elde edilir ve çözüm denklemi

uPG = 1.302053x - 0.173021x2 - 0.014663x3 olur.

Galerkin Metodu için Ψi = φi alarak, , ∫ =−1

00)2( Rdxxx 0)1( 3

21

0

2 =−∫ Rdxxx elde edilir.

Bu durumda katsayı denklemleri 060

7245

2815

4 =−+ cc 0361

231529

19017 =−+− cc

elde edilir. Katsayılar ise 4306623

1 =c , 430621

2 =c dir. Buna göre çözüm denklemi uG=1.2894x - 0.1398x2 - 0.00325x3 olur.

En Küçük Kareler Metodunda Ψi = ∂R/∂ci alarak , ∫ =+−1

0

2 0)22( Rdxxx

∫ =−+−−1

0

3322 0)42( Rdxxxx elde edilir. Aynı şekilde

06013

29047

11528 =−− cc 036

12315

253190

47 =++− cc

99351292

1 =c , 19870991

2 =c buradan, uKK = 1.2601x - 0.08017x2 - 0.03325x3 dir. Kollokasyon Metodu için kollokasyon noktaları olarak 3

1=x ve 32=x alınarak

0)( 31 =R için 117c1-61c2=18 0)( 3

2 =R için 90c1+34c2=18 yazılır. Katsayılar 9468

17101 =c , 9468

4862 =c olarak bulunur. Çözüm denklemi ise

uC = 1.3612x - 0.12927x2 - 0.03422x3 dir.

Elde edilen bu yaklaşık çözümler ve kesin çözüm ( 21cos

sin)1cos(2)( 2 −+−−

= xxxxu ) şekil

1 de verilmiştir. Görüldüğü gibi Galerkin ve En Küçük Kareler metodları kesin çözüme en yakın değerleri vermektedir.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Gerçek ÇözümPetrov-GalerkinGalerkinEn Küçük KarelerKollokasyon

-d 2 u/dx 2 - u + x 2 =00<x<1

Şekil 1 Ağırlıklı kalanlar çözümünde çeşitli yaklaşımların sonuçları

Bölüm 2-77


Galerkin yöntemi elastisite problemlerinde, “iç kuvvetlerin yaptığı virtüel işlerle dış

kuvvetlerin yaptığı virtüel işler birbirine eşit olduğu zaman sistem dengededir” şeklinde

tanımlanan virtüel işler prensibine de uygunluk göstermektedir.

2. MATRİS CEBRİ

Genel bir lineer denklem sistemi,

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

.................................................................

......................

2211

22222121

11212111

(26)

şeklinde verilir. Burada x1, x2, .....,xn bilinmeyenleri göstermektedir. Denklem sistemi

matris formunda,

[A]x=b (27)

şeklinde yazılır. Burada [A] kare bir matris olup lineer denklem sisteminin katsayılar

matrisi olarak adlandırılır. Matris ve vektörler,

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

i

n

i

nnnjnnn

nijiii

nj

nj

nj

b

b

bbb

b

x

x

xxx

x

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

A

...

...,

...

...,

...........................

...........................

......

......

......

][3

2

1

3

2

1

321

3321

33333231

22232221

11131211

(28)

şeklindedir. Görüldüğü gibi [A] matrisi elemanlardan oluşmuş bir bölge olup i satır ve j

sütununda bulunan elemanı aij şeklinde gösterilmektedir. Bir matrisin boyutları (1xn) ise

buna satır vektör, (mx1) ise buna da sütun vektör adı verilir.

Eğer boyutları (mxn) olan [A] ve [B] matrisleri var bu iki matrisin toplamından oluşan [C]

matrisinin elemanları

cij=aij+bij (29)

dir. [A] matrisinin sabit bir sayı ile çarpımı ise matrisin bütün elemanlarının bu sayı ile

çarpımı şeklinde yapılır.

Bölüm 2-88


c[A]=[caij] (30)

(mxn) boyutlarındaki [A] ile (nxp) boyutlarındaki [B] nin çarpımından (mxp) boyutlarında

[C] elde edilir. cij ise,

cij=([A] nın i satırı)([B] nin j sutunu) (31)

çarpımından elde edilir. [A][B]≠[B][A] dır. Matrisler kare matris değilse [B][A] çarpımı

zaten mümkün değildir.

[A]=[aij] şeklinde verilen bir matrisin tranpozu [A]T=[aji] dir. Buna göre [A] nın satırları

[A]T nin sütunları haline gelmiştir. Boyutları (mxn) olan matrisin transpozunun boyutları

(nxm) olur. Bir matris çarpımının transpozu için

([A][B][C])T=[C]T[B]T[A]T (32)

eşitliği geçerlidir. Bir kare matriste diyagonal elemanları dışındaki elemanlar sıfır ise bu

matris diyagonal matris olarak adlandırılır. Diyagonal matrisin bütün elemanları 1 ise bu

da birim matristir. Kare matrisin elemanları arasında aij=aji ilişkisi varsa bu matris

simetrik bir matristir. Simetrik matrisin transpozu kendisine eşit olur. Kare matrisin

diyagonali altında kalan elemanların hepsi sıfır ise buna üst üçgen matris denir.

Bir matrisin elemanlarının tamamının veya bir kısmının fonksiyon olması da mümkündür.

Bu nedenle matrislerin türev ve integralleri de alınabilir. Bir matrisin türevi (integrali) o

matrisin elemanlarının tek tek türevi (integrali) alınmak suretiyle yapılır. Bir [B] matrisinin

türev ve integrali

[ ] [ ] [ ]∫ ∫=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= dxdybdxdyB

dxxdb

xBdxd

ijij ,

)()( (33)

olarak ifade edilebilir. Eğer [A] katsayılar matrisi ve x değişkenlerin bulunduğu vektör

ise, [A]x çarpımının x in elemanlarından birine göre türevi [A] nın bu değişkene

karşılık gelen kolonunu verir.

Bir kare matrisin [A] determinantı detA ile gösterilir. Çeşitli determinant alma

yöntemleri vardır. Kofaktör yöntemine göre (2x2) lik bir matrisin determinantı

Bölüm 2-99


122122112221

1211det aaaaaaaa −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ (34)

dır. (3x3) boyutlarındaki bir matrisin determinantı ise

)()()(det 223132211323313321122332332211

333231

232221

131211aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

−+−−−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ (35)

şeklindedir. Eğer kare matrisin determinantı sıfırdan farklı ise bu matrisin tersi vardır.

Matris tersi [A]-1 ile gösterilir ve

[A]-1[A]=[A][A]-1=[I] (36)

eşitliğini sağlar. Determinantı sıfır olan matrisler tekil matris olarak adlandırılır. Bir

matrisin minörü [Mij] ile gösterilir ve matrisin i satırı ve j kolonu silinerek elde edilen

(n-1xn-1) boyutlarındaki matrisin determinantı olarak tanımlanır. Matrisin kofaktörü

[Cij]=(-1)i+j[Mij] (37)

dir. Matrisin adjointi ise kofaktörünün transpozudur (adj A=[C]T). Bu tanımlar ışığında

matrisin tersi

[ ]A

adjAAdet

1 =− (38)

olarak verilir. Örneğin (2x2) lik bir matrisin tersi

12212211

1121

12221

2221

1211

aaaaaaaa

aaaa

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

(39)

olarak elde edilir. (nxn) boyutlarındaki bir matris ile (nx1) boyutlarındaki bir vektörün,

xT[A]x (40) çarpımlarından elde edilen değer kuadratik form olarak adlandırılır. Özdeğer problemi

[A]y=λy (41)

Bölüm 2-1010


şeklinde tanımlanır. Yukardaki eşitliği sağlayan 0 dan farklı bir özvektör ve buna karşılık

gelen bir özdeğer problemin çözümünü verir. Denklemi

([A]-λ[I])y=0 (42)

şeklinde düzenlersek, çözümün yalnızca det([A]-λ[I])=0 olması durumunda mümkün

olduğu görülür. det([A]-λ[I])=0 karakteristik denklem olarak adlandırılır. Bu denklem

(nxn) boyutlarındaki [A] matrisi için n adet özdeğer bulunması ile çözülür. Her özdeğere

karşılık gelen bir de özvektör bulunmaktadır.

([A]-λι[I])yi=0 (43)

Sonlu elemanlar metodunda karşılaşılan özdeğer problemleri genellikle [A]y=λ[Β]y

şeklindedir. Bu problemin çözümü ile ilgili açıklamalar ilgili bölümde yapılmıştır.

Simetrik bir matrisin bütün özdeğerleri sıfırdan büyük ise bu matris pozitif tanımlı bir

matristir. Pozitif tanımlı matrislerin kuadratik formlarından da sıfırdan büyük değerler

elde edilir.

3. GAUSS ELİMİNASYON METODU

Matris formda [A]x=b şeklinde lineer denklem takımını ele alalım. Burada [A] (nxn)

boyutlarında b ve x de (nx1) boyutlarında matris ve vektörlerdir. Şayet det[A]≠0 ise bu

denklemin her iki tarafını matrisin tersi ile çarpılarak x in çözümü x=[A]-1b şeklinde

elde edilebilir. Fakat matris tersinin alınması için kullanılan yöntemler bilgisayar ortamı

açısından hem pahalı ve zaman alıcı, hem de oluşan hatalar açısından dezavantajlıdır. Bu

nedenle ters alma yerine bir eliminasyon yönteminin kullanılması daha kolay ve faydalıdır.

Burada ele alınan lineer denklem sisteminin çözümünde Gauss Metodu nun kullanılması

anlatılacaktır.

Gauss eliminasyon yöntemi, lineer denklem sistemlerinden bilinmeyenleri elimine ederek

çözüm yapan tanınmış bir metottur. Bir örnek üzerinden metodu tanıtalım

(44) IIIIII

xxxxxxxx

15423072

31

321

321

=+−=++=+−

Bölüm 2-1111


Denklemler görüldüğü gibi I-II ve III olarak numaralandırılmıştır. Burada x1'i II ve III 'den

elimine edelim I. denklemden; x1=(x2-7x3)/2 elde edilerek diğerlerinde yerine konursa,

21708370072

32

32

321

=++=−+=+−

xxxxxxx I

IIIII

( )

( )

1

1

(45)

olur. Görüleceği gibi bu işlem alt alta toplama yoluyla da yapılabilecektir. x1 'i II 'den

elimine edebilmek için II 'den I 'in yarısını çıkarmak yeterli olacaktır. x1 'i III 'den elimine

edebilmek için ise III ile I’i toplamak yeterlidir. Sonuçta aynı eşitlikler elde edilir. x1

kolonunda II ve III eşitliklerinde 0 olması bunun denklem II ve III 'den elimine edildiğini

gösterir. Denklem numaralarında bulunan (¹) ile bu denklemlerin 1 kere işlem gördüğü

anlatılmaktadır. Şimdide, III den x2 'yi elimine edelim. Bunun için III 'den II/7 'yi

çıkaralım. Sonuçta ortaya çıkan denklem sistemi,

6122004370072

3

32

321

=++=−+=+−

xxxxxx

)2(

)1(

IIIIII

(46)

Görüldüğü gibi denklemlerin sol tarafı bir üst üçgen matris oluşturmaktadır. III

denkleminden x3=0.05 bulunarak II denkleminde yerine konursa x2=1.16 olarak elde

edilir. Bu iki değer yardımıyla da I denkleminden x1=0.82 olarak bulunur. Bilinmeyenleri

bu ters sırada elde etme işlemine geri koyma işlemi denir. Yukarıdaki işlemler matris

formda gösterilebilir. Gauss eliminasyon işlemi matrisleri [A,b] şeklinde birleştirerek

(47) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−→

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

3610083700712

2171083700712

150142310712

elde edilir. Geri koyma işlemi ile; x1=0.82, x2=1.16, x3=0.05 bulunur. Gauss Eliminasyonu İçin Genel Algoritma: Bir örnek üzerinde temel fikrini

verdiğimiz Gauss eliminasyonu için bilgisayar uygulamasına imkan verecek şekilde genel

bir yöntem geliştirilebilir. Çözülecek denklem sistemi,

Bölüm 2-1212


a a a a aa a a a aa a a a a

a a a a a

a a a a a

j n

j n

j n

i i i ij n

n n n nj nn

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 2 3 3

1 2 3

... ...

... ...

... ...... ... ... ... ... ... ...

... ...... ... ... ... ... ... ...

... ...

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

xxx

x

x

bbb

b

b

i

n

i

n

1

2

3

1

2

3

...

...

...

...

(48)

olsun. Gauss eliminasyonu x1,x2,x3,......,xn-1 değişkenlerini tek bir xn değişkeni kalıncaya

kadar elimine eden sistematik bir bir yaklaşımdır. Bu işlem sonunda denklem sistemi bir

değiştirilmiş bir üst üçgen matris ve yine değiştirilmiş bir sağ taraftan oluşan eşitlik elde

edilir. Buna peşpeşe eliminasyon işlemi denir. İndirgeme yapıldıktan sonra örnekte

görüldüğü gibi yerine koyma işlemiyle xn , xn-1 , ..., x3, x2, x1 değerleri sırasıyla elde edilir. k

işlem adımlarını göstermek üzere başlangıçta [A] matrisi ve bvektörü

1

...

...

.....................

......

......

2

1

321

4321

22232221

11131211

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

k

b

b

bb

aaaaa

aaaaaa

aaaaaaaaaa

n

i

nnnjnnn

inijiiii

nj

nj

(49)

olsun. İlk adımda amaç 1 denklemini kullanarak (1. Satır) x1 'i diğer eşitliklerden elimine

etmektir. (k) adım numarasını göstermek üzere birinci adımda yapılan işlem

a = a - aa

. ai j(1)

i jn

11i j

(50)

b = b - aa

. bi(1)

in

111

dir. Burada ai1/a11 örnekte görüldüğü gibi satırın ilk elemanının katsayısına bölünmesiyle

oluşan satır çarpanıdır. a11 aynı zamanda pivot olarak da adlandırılır. İndirgeme işlemi bu

ilk adımda i,j nin 2 den n’e kadar olan değerleri için yapılacağı aşikardır. x1 elimine

edildiğinden birinci sütunda 2'den n'e kadar olan tüm satırlardaki elemanlar 0 dır.

Dolayısıyla ikinci adımda işlem yapılacak sistem,

Bölüm 2-1313


(51) 2

...

...

0......

0......

0......0......

)1(

)1(

)1(3

)1(2

1

)1()1()1(3

)1(2

)1()1()1(3

)1(2

)1(3

)1(3

)1(33

)1(32

)1(2

)1(2

)1(23

)1(22

11131211

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

k

b

b

bbb

aaaa

aaaa

aaaaaaaaaaaaa

n

i

nnnjnn

inijii

nj

nj

nj

olur. Bu adımda ise i ve j nin 3 ten n’ e kadar olan değerleri için indirgeme yapılır. Şimdi

herhangi bir k adımı için yapılacak işleme bakabiliriz. İşlem yapılacak bölge k+1 inci satır

ve sütundan n inci satır ve sütuna kadar olan bölgedir. Yapılacak indirgeme ise,

kk

b

b

b

bbb

aaa

aaa

aaa

aaaaaaaaaaaa

kn

ki

kk

knn

knj

knk

kin

kij

kik

knk

kjk

kkk

nj

nj

nj

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−+

−−−+

−−−+

−+

−+

−++

)1(

)1(

)1(1

)2(3

)1(2

1

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

)1()1(

)1()1(

)1()1)(1(

)2(3

)2(3

)2(33

)1(2

)1(2

)1(23

)1(22

111312

...

...

...

.........000...........................

.........000...........................

.........000...........................

.............00............0............

(52)

a = a - aa ai j

( k)i j(k-1) i k

(k-1)

k k(k-1) k j

(k-1) i , j = k + 1 , ................., n

(53)

b = b - aa bi

( k)i( k -1) i k

( k - 1)

k k( k- 1 ) k

( k - 1 ) i = k + 1 , .................., n

şeklindedir. İşlem (n-1) adım için yapıldıktan sonra,

a a a a aa a a a

a a aa a

a

xxxx

x

bbbb

b

n

n

n

n

nnn

n

11 12 13 14 1

221

231

141

21

332

342

32

443

43

1

1

2

3

4

1

21

32

43

0

...

...

...

...... ... ...

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=

nn( )−

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪1

(54)

elde edilir. (k) şeklindeki gösterim işlem basamaklarının kolay kavranması içindir.

Bilgisayar uygulamalarında bunlara gerek kalmaz. Adım numaraları gösterilmeden geri

yerleştirme adımına geçersek,

x = ban

n

n n (55)

Bölüm 2-1414


olarak elde edilir. Diğer bilinmeyenler ise,

ii

n

ijjiji

a

xabx

∑+=

−= 1

1 i n n= − −1 2, ,.....,1 (56)

Böylece Gauss eliminasyonu tamamlanmış olur. [A] simetrik ise, diyagonalin altında kalan

elemanlar için işlem yapmaya gerek kalmaz ve bu bize kolaylık sağlar. Bu durumda satır

çarpanı olarak aa

k i

k k alınır, işlem yapılacak bölge de sütunlarda k+1 den n e kadar değil,

yalnızca diyagonalin üstü olur.

Sonlu elemanlar metodunda karşılaşılan matrisler genellikle bant şekilli simetrik

matrislerdir. Bu nedenle eliminasyon işleminin bant matrise uygulanması gerekir. Bu hem

zaman hem de bilgisayar kapasitesi açısından önemli kazançlar sağlar. Simetrik bir bant

matriste sıfır olmayan bütün değerler bir bant içinde toplanmıştır. bant dışında kalan bütün

elemanlar sıfırdır. (n x n) boyutunda simetrik bir bant matris,

(57)

diyagonaldiyagonal

xsimxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxybg

.1

.2

0

↵↵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

←→

şeklindedir. Burada ybg yarı bant genişliğidir. Sadece sıfır olmayan elemanlarla işlem

yapılacağından bu kısmın saklanması yeterli olacaktır. Bu da (n x ybg) boyutunda bir

matristir.

(58)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xxx

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxybgdd

0

.2.1

Bölüm 2-1515


Bu yeni matrisin ilk sütunu simetrik bant matrisin birinci diyagonalidir. 2. sütun 2.

diyagonal olur ve bu şekilde yeni matris oluşturulur. İki matrisin elemanlar arsında

bmijisbm

ij aij

a)1(

)()( +−=⟩

(59)

ilişki vardır. Simetrik matriste a aij ji= dir. Bant matriste k. satırda bulunan elemanların

sayısı da min(n-k+1,YBG) dir. Bilgisayar mantığı açısından bant matrisin gauss

eliminasyonu

Peşpeşe Eliminasyon İşlemi DO k=1,n-1

ses=min(n-k + 1, ybg) DO i=k+1, ses+k-1

i1=i-k+1 c=ak,i1/ak,1

DO j=i,ses+k-1 j1=j-i+1 j2=j-k+1 ai,j1 =ai,j1 -cak,j2

END j bi=bi-cbk

END i END k Yerine Koyma:

bn= b e / a n,1 DO ii=1,n-1

i=n-ii sei=min(n-i+1,ybg) top=0

DO j=2,sei top=top+ai,jbi+j-1

END j bi=(bi-top)/ai,1

END ii Burada DO döngülerinin indisleri orijinal simetrik bant matrise göre oluşturulmuştur.

Doğrudan bant şekilli dikdörtgen matrise göre de program yazılması mümkündür. Bunun

için matrisler önceden bant formunda saklanmalıdır. Düzlem kafes sistemi için genel

matrisi bant formunda saklamak ve bu matrise göre eliminasyon yapmak amacıyla

yazılmış bir FORTRAN program parçası aşağıda verilmiştir.

Bölüm 2-1616


C Bant Matriste Yerleştirme DO 1 N=1, NE Eleman döngüsü .............

DO 2 II=1, 2 NRT=2*(NOC(N, II)-1) NOC(,)Düğüm matrisi DO 2 IT=1, 2 NR=NRT+IT Genel matriste satır numarası I=2*(II-1)+IT Eleman matrisi satır numarası DO 2 JJ=1, 2 NCT=2*(NOC(N, JJ)-1) DO 2 JT=1, 2 J=2*(JJ-1)+JT Eleman matrisi sütun numarası NC=NCT+JT-NR+1 Genel matriste sütun numarası IF( NC .LE. 0 ) GO TO 2 S(NR, NC)=S(NR, NC)+SE(I, J) S(4,4) Genel Rijitlik Matrisi 2 CONTINUE SE(N,YBG)Eleman Rij. Matrisi

............. 1 CONTINUE c Bant Matris İçin Gauss Eliminasyonu c İndirgeme

DO 2 K=1, N-1 N=Diyagonal boyutu NK=N-K+1 IF(NK .GT. YBG) NK=YBG DO 2 I=2, NK Sütun döngüsü C1=S(K, I)/S(K, 1) S(K,1)=Pivot I1=K+I-1 DO 1 J=I, NK J1=J-I+1 1 S(I1, J1)=S(I1, J1)-C1*S(K, J) 2 F(I1)=F(I1)-C1*F(K) F(N)Kuvvet vektörü c Yerine koyma F(N)=F(N)/S(N, 1) DO 3 KK=1, N1 K=N-KK C1=1/S(K, 1) F(K)=C1*F(K) NK=N-K+1 IF (NK .GT. YBG) NK=YBG DO 4 J=2, NK Sütun döngüsü F(K)=F(K)-C1*S(K, J)*S(K+J-1) 4 CONTINUE F(N)Deplasman vektörü 3 CONTINUE

Bölüm 2-1717

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

BİR BOYUTLU PROBLEMLER

1. GİRİŞ

Bu bölümde toplam potansiyel enerji, gerilme-şekil değiştirme ve şekil değiştirme-

deplasman ilişkileri yardımıyla bir boyutlu problemlerin sonlu elemanlar metodu ile

çözümü üzerinde durulacaktır. Burada detaylı olarak anlatılan temel prensipler kitabın

ileriki bölümlerinde sırası geldikçe işlenecek olan iki ve üç boyutlu problemler içinde

geçerli olacaktır. Bir boyutlu problemlerde gerilme σ, şekil değiştirme ε, yer

değiştirme u ve yükleme (T ve ƒ) yalnızca bir boyut değişkenine (x) bağlıdır. Bu

durumda ilgili vektörler aşağıdaki şekilde verilebilir,

u = u(x) σ =σ(x) ε = ε(x)

(1)

T = T(x) ƒ =ƒ(x)

Gerilme-şekil değiştirme ve şekil değiştirme -yer değiştirme ilişkisi,

σ = Eε ε =dudx

(2)

dir. Diğer taraftan.bir boyutlu problemler için differansiyel hacim (dV) ifadesi;

dV =A.dx (3)

şeklindedir. Yüklemeler genelde kütle (ağırlık) kuvvetleri (ƒ), yüzey kuvvetleri (T) ve tekil yük

(Pi) olmak üzere üç şekilde bulunur. Bu kuvvetlerin bir cisim üzerindeki konumları Şekil

1’de gösterilmiştir. Kütle kuvvetleri, tüm hacme dağılmış kuvvetler olup yerçekimi

nedeniyle oluşan cismin ağırlığı örnektir olarak verilebilir. Yüzey kuvvetleri cismin

yüzeyine dağılmış kuvvetler olup birim yüzey alanına düşen kuvvet olarak ele alınır. Bir


boyutlu problemlerde yüzey kuvveti birim boya etkiyen kuvvet olarak ta tanımlabilir.

Sürtünme nedeniyle oluşan kuvvetler ve basınç kuvvetleri buna örnek olarak gösterilebilir.

Yüzey kuvveti birim alana düşen kuvvet ile kesit alanın çarpımı olararak ele alınır. Son

olarak Pi, i noktasına etki eden tekil kuvvet ve ui de bu noktanın x doğrultusundaki yer

değiştirmesidir.

2. SONLU ELEMAN MODELLEMESİ

2.1. Elemanlara ayırma Şekil 1’deki çubuğu göz önüne alalım. Sonlu eleman modellemesinde ilk olarak, çubuk

belirli sayıda sabit kesitli elemanlardan meydana gelmiş kademeli çubuk olarak ele alınır.

Burada çubuğu dört eleman kullanarak modelleyelim. Bu işi yapmanın en kolay yolu

çubuğu Şekil 1b'deki gibi dört bölgeye ayırmaktır. Bundan sonra her bir bölgenin ortalama

kesit alanı bulunarak eleman tanımlamalarında bu değer kullanılır. Ele alınan çubuğun dört

eleman ve beş düğümden oluşan sonlu eleman modeli Şekil 1c’de gösterilmiştir. Sonlu

eleman modelinde bütün elemanlar düğüm noktalarından birbirine bağlı olarak düşünülür.

Şekil 1c'de eleman numaraları, düğüm numaralarından ayırt edilmesi için yuvarlak içine

alınmıştır. Görüldüğü gibi, kesit alanı, yüzey kuvveti ve kütle kuvvetleri her eleman için

sabittirler. Doğal olarak kesit alanları ve kuvvetler şiddetleri bakımından elemandan

elemana değişebilirler. Eleman sayıları artırılarak daha iyi sonuçlar elde edilebilir. Tekil

yüklerin uygulanmış olduğu noktaların düğüm noktası olarak seçilmesi gerekir. Cisme

etkiyen diğer kuvvetler de yalnızca düğüm noktalarından etki ediyormuş gibi ele alınırlar.

x

P1

P2

Tƒ

x x

1

2

3

4

5

1

2

3

4

(a) (b) (c) Şekil 1. Kütle kuvvetleri, yüzey kuvvetleri ve tekil kuvvetler altındaki çubuğun sonlu

elemanlar modeli.

2


2.2. Numaralandırma Yöntemi Karmaşık bir geometriye sahip bir cismin belirli sayıda ve düzgün şekilli elemanlara nasıl

ayrılacağını az önce göstermiştik. Elemanların birbirine benzer alınmasının esas sebebi,

modelin bilgisayar ortamına aktarılmasının kolaylaştırılmasıdır. Bu aktarım uygun bir

numaralama yöntemi geliştirilmesi ile daha da kolay hale getirilebilir. Burada bu

yöntemlerden birisi verilecektir. Serbestlik dereceleri, düğüm deplasmanları, düğüm

yükleri ve elemanlar arasında süreklilik sonlu elemanlar metodunun uygulamasında ve

bilgisayar ortamına aktarılmasındaki temel noktalardır ve bu nedenle bu kavramların iyi

anlaşılması ve uygun şekilde tatbik edilmesi gerekmektedir.

Bir boyutlu problemde her düğümün sadece ±x doğrultusunda hareketine müsaade edilir.

Bu yüzden her düğüm sadece bir serbestlik derecesine (SD) sahiptir. Şekil 1c'de verilen 5

düğümlü sonlu eleman modelinde 5 serbestlik derecesi vardır. Her serbestlik derecesindeki

deplasman Q1,Q2,...Q5 ile gösterilir. Bu durumda global deplasman vektörü olarak

adlandırılan Q, (Q= [ Q1, Q2,.....Q5 ] T) bir sütun vektörüdür. Diğer taraftan F ile

gösterilen global kuvvet vektörü F= [ F1, F2,........F5 ] dir. Global kuvvet ve deplasman

vektörleri Şekil 2'de gösterilmiştir. +x yönü kuvvet ve deplasman için pozitif yön olarak

alınır. Bundan sonra sınır şartları göz önüne alınır. Ele aldığımız problem için 1 numaralı

düğüm tutulmuştur, dolayısıyla Q1 = 0'dır. Sınır şartları daha sonraki bölümlerde geniş

olarak ele alınacaktır.

Her elemanda 2 düğüm vardır, dolayısıyla elemanlar arasındaki süreklilik bilgileri Şekil

3’teki gibi bir tablo halinde elde edilebilir. Tablo başlığındaki 1 ve 2 rakamları elemanın

Q1, F1

Q2, F2

Q3,F3

Q4 F4

Q5 ,F5

x

Q= [ Q1 ,Q2 ,Q3 ,Q4 ,Q5 ]T

F= [F1 , F2 , F3 , F4 , F5 ]T

Şekil 2. Deplasman ve kuvvet vektörleri

3


lokal düğüm numaralarını, tablo içindeki rakamlar ise global düğüm numaralarını

göstermektedir. Lokal düğüm numaraları ile global düğüm numaraları arasındaki

uyumluluk elemanlar arasında süreklik sağlar. Bu örnekte, 1. düğümün numarası aynı

zamanda 1. elemanın da numarası olduğundan tanımlama basitçe yapılabilmektedir. Daha

karmaşık geometrilerde süreklilik tablosunun yapılmasına ihtiyaç duyulur.

1 2 3 4

1 2 3 4 5 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

xx

1 e 2

Q1 Q2

Global Numaralama

Lokal Numaralama

ElemanNo Düğüm Noe 1 2 Lokal numara1 1 22 2 3 Global3 3 4 numara4 4 5

Şekil 3. Elemanlar arasında süreklilik

3. KOORDİNATLAR VE ŞEKİL FONKSİYONLARI

İki düğümlü bir çubuk eleman (e) ele alalım (Şekil 4a). Lokal numaralandırma ile ilk

düğümün numarası 1, diğerininki ise 2 olarak numaralandırılır. Buradan, birinci düğümün

koordinatı x1 ve ikinci düğümün koordinatı x2 dir. Buradan, elemanın orta noktasına göre

herhangi bir noktasının yerini –1 ile 1 değerleri arasında bulmak için r ile gösterilen bir

doğal koordinat sistemi tanımlayalım.

( ) 121

12

−−−

= xxxx

r (4)

Görüleceği üzere, birinci düğümde r=-1, ikinci düğümde ise r=1 değerini almaktadır

(Şekil 4b). Bu koordinat sistemi, şekil fonksiyonlarının tanımlanmasında kullanılır.

Bir eleman içindeki bilinmeyen yer değiştirmeler lineer bir interpolasyon fonksiyonu ile

hesaplanmaya çalışılır (Şekil 5). Yaklaşık bir çözüm olan bu yöntemde doğruluk değeri

ancak daha fazla sayıda elemana bölmek suretiyle artırılabilir. Bu lineer interpolasyonu

uygulamak için aşağıdaki şekilde lineer şekil fonksiyonları tanımlanır.

4


1 e 2

x1x

x2

1 2

r=-1

r

r=1(b)(a)

Şekil 4. Bir elemanın (x) ve (r ) koordinatlarında gösterimi

21)(1

rrN −= (5)

21)(2

rrN += (6)

Şekil 6a ve 6b'de N1 ve N2 şekil fonksiyonları gösterilmiştir. N1 şekil fonksiyonunun grafiği

denklem 5’ten yararlanılarak çizilmiştir. Burada r=-1' de N1=1 ve r=1 de N1 = 0 olduğuna

dikkat edilmelidir. İki noktadan bir doğru geçtiği dikkate alınırsa Şekil 7a elde edilir.

Benzer olarak, N2 şekil fonksiyonunun grafiği olan Şekil 7b, denklem 6'dan elde edilir.

Şekil fonksiyonları tanımlandıktan sonra elemandaki yer değiştirmeler, düğüm

deplasmanları q1 ve q2 ye bağlı olarak şu şekilde elde edilir.

u = N1 q1 + N2 q2 (7a)

veya matris notasyonu ile;

u = [N]q (7b) şeklinde gösterilir. Burada,

[ ] [ ] TqqqveNNN 2121 ,, == (8) şeklindedir. Eleman yer değiştirme vektörünü olan q, (7a)'da verildiği üzere birinci

1 e 2

u1

uBilinmeyen

u2

1 e 2

q1

uLineer

q2

Şekil 5. Bir elemanda lineer interpolasyon fonksiyonunun değişimi

5


N1

1 N1=(1-r)/2

r 1 2

r=-1 r=0 r=1

(a)

N2

1 N2=(1+r)/2

r 1 2

(b)

u

q2 u= N1 q1 +N2 q2 q1

r 1 2

(c) Şekil 6. (a) N1 şekil fonksiyonu, (b) N2 şekil fonksiyonu ve (c) N1 ve N2 kullanılarak

elde edilen lineer interpolasyon

düğümde u = q1, ikinci düğümde u = q2 durumunu sağlamaktadır. Şekil fonksiyonlarının

özelliği gereği iki düğüm arasında u lineer olarak değişmektedir. (4) iadesinden

yararlanarak global ve lokal koordinatlar arsındaki dönüşüm şekil fonksiyonları

yardımıyla,

x = N1 x1 + N2 x2 (9)

şeklinde yazılır. Görüldüğü gibi hem deplasmanlar, hem de koordinatlar aynı şekil

fonksiyonları yardımıyla ifade edilmektedir. Bu durum izoparametrik (eş parametreli)

formülasyon olarak adlandırılmaktadır.

Burada her ne kadar lineer interpolasyon fonksiyonları verilmiş ise de başka şekil

fonksiyonlarının seçilmesi de mümkündür. Bir şekil fonksiyonundan temelde iki şey

beklenir,

1. Eleman içerisinde birinci türev sonlu olmalı,

2. Eleman sınırlarında deplasmanlar sürekli olmalı. Rijit cisim hareketi yapan sistemde herhangi bir gerilmenin oluşmayacağı aşikardır. Örnek1: Şekilde verilen durum için, (a) P noktasında r, N1 ve N2 yi oluşturunuz. (b) Eğer q1 =0,003 mm ve q2 = -0.005 mm ise P noktasındaki q yer değiştirmesini bulunuz.

1 p 2

x=24 mmx2=36 mm

x1=20x=24 mm

x a) (4) kullanılarak p noktasının r koordinatı şöyle bulunur:

1)2024(162

−−=pr = - 0.5

Buradan (5) ve (6)’dan N1 = 0.75 ve N2 = 0.25 olur.

b) (7a) kullanılarak p noktasındaki deplasman up = 0.75(0.003) + 0.25(-0.005) = 0.001 mm bulunur.

6


(2)'de verilen şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi (ε =dudx

) ve zincir kuralı kullanılarak;

ε =dudr

drdx

(10)

elde edilir. (4)'de verilen x ve r arasındaki ilişkiden;

drdx x x

=−2

2 1 (11)

olur. Ayrıca; u = N1 q1 + N2 q2 =−

++1

21

21

rq

rq2 olduğundan,

dudx

q q=

− +1

22 (12)

elde edilir. (10) ifadesinden,

ε =−

− −1

2 11 2x x

q q( ) (13)

olur. Matris formulasyonu ile,

ε = [B] q (14)

şeklinde yazılır. Burada [B] (1x2), boyutlarında olup eleman şekil değiştirme-yer değiştirme matrisi olarak

adlandırılır ve,

[ ] [ 111

12

−−

=xx

B ] (15)

şeklindedir. Lineer şekil fonksiyonları kullanımı sebebiyle [B] sabit bir matristir.

Dolayısıyla bir eleman içindeki şekil değiştirme de sabittir. Hooke yasasından gerilme;

[ ] qBE=σ (16)

dur. Aynı nedenle, eleman içinde gerilmenin de sabit olduğu görülür. Interpolasyon

amacıyla burada elde edilen gerilmenin elemanın merkezinden geçen eksen üzerindeki

gerilme olduğu kabul edilebilir. (7b), (14) ve (16) ifadeleri sırasıyla, düğümlerdeki

deplasman, şekil değiştirme ve gerilme arasındaki ilişkiyi ortaya koyar. Bu ifadeler çubuk

7


eleman için potansiyel enerji ifadesinde yerleştirilerek eleman rijitlik matrisi ve yük

vektörünü bulmak için kullanılacaktır.

4. POTANSİYEL ENERJİ YAKLAŞIMI

Toplam potansiyel enerji bir boyutlu problemler için;

∫ ∫ ∑∫∏ −−−=l l i

iiTT

l

T PudxTuAdxfudxAεσ21 (17)

şeklinde yazılabilir. Burada σ, ε, u, ƒ ve T değerleri bu bölümün başında

verilmişti. Son terimdeki Pi, i noktasında ui deplasmanını meydana getiren kuvvettir. ui

ise i düğümünde x yönündeki deplasmandır. Eleman üzerindeki bütün düğümler için

taplam potansiyel enerji ifadesi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

= − − −∑∏ ∫ ∫∑∫∑12e

T

e

T T

eeeei i

iAdx u fAdx u Tdx Q Pσ ε ∑ (18a)

Son terimde Pi’ yüklerinin düğüm noktalarından uygulandığı düşünülmektedir. Diğer

taraftan, U eT= ∫

12

σ εAdx şeklindeki bir tanımlamayla,

= − − −∑∏ ∫∑∫∑ ∑U u fAdx u Tdx Q Pe

e

T T

eeeei

ii (18b)

elde edilir. Ue eleman şekil değiştirme enerjisi olarak adlandırılır.

4.1. Eleman Rijitlik (Direngenlik) Matrisi Şekil değiştirme enerjisi ifadesini ele alalım

UeT

e

= ∫12

σ εAdx (19)

(14) ve (16) da verilen gerilme ve şekil değiştirme ifadeleri yerlerine konularak,

AdxqBEBqU T

e

Te ][][

21∫= (20a)

veya

)][]([21 qAdxBEBqU

e

TTe ∫= (20b)

8


elde edilir. Önceki bölümde görüldüğü gibi elemanın kesit alanı (Ae) sabittir. Aynı

zamanda [B] de sabit bir matristir. (4)'deki x' in r' ye dönüşümü ile

dxx x

dr=−2 1

2 (21a)

veya x2 – x1 = le alınarak,

dxl

dre=2

(21b) elde edilir. Burada elemanın boyu (le) ve - l ≤ r ≤ l olmak üzere eleman şekil değiştirme

enerjisi Ue yeniden aşağıdaki gibi yazılabilir.

[ ]∫−

=1

1

][][2

21 qrdBBE

lAqU T

ee

eT

e (22)

Burada Ee elemanının elastisite modülüdür. olduğundan, (15)’den, dr =−∫ 21

1

[ ] 11111

21

2 ql

ElAqUe

eeeT

e −⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

= (23)

olur. Buradan,

11

11

21 q

lEA

qUe

eeTe ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−= (24)

elde edilir. [k]e, çubuk eleman için eleman rijitlik (direngenlik) matrisi olmak üzere,

][21 qkqU e

Te = (25)

şeklinde yazılabilir. Eleman rijitlik matrisi ise,

kE A

lee e

e=

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

11

11 (26)

şeklinde olacaktır. Burada şekil değiştirme enerjisi bağıntısı ile U= ½ kQ2 ile verilen basit

yaydaki şekil değiştirme enerjisi arasındaki benzerliği görüyoruz. Burada ke 'nin AeEe

çarpımı ile doğru orantılı eleman boyu ile de ters orantılı olduğu görülmektedir.

9


4.2. Kuvvet Terimleri Toplam potansiyel enerji ifadesindeki kütle kuvveti terimini ( ) ilk olarak ele

alalım. u =N1 q1 + N2q2. yerine konur, A ve ƒ de eleman içinde sabit olduğundan integral

dışına çıkarılırsa

∫e

T fAdxu

)(∫ ∫ −=

e ee

T dxqNqNfAfAdxu 2211 (27)

elde edilir. Bu ifade ayrıca,

u fAdx qA f N dx

A f N dxT T

e

ee

e

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

∫

∫∫1

2

(28)

olarak ta yazılabilir. Şekil fonksiyonların integralleri dx= (Le/2) dr yazılarak alınır ve

ifadede yerine konursa,

221

2

1

11

e

e

o ldrrldxN =

−= ∫∫

−

(29)

∫∫−

=−

=1

12 22

12

o

e

o ldrrl

dxN

elde edilir. aslında şekil fonksiyonu doğrusunun altında kalan alanı dolayısıyla ldxNe∫ 1 e/2

yi verir. Benzer şekilde de ldxNe∫ 2 e/2 sonucunu verecektir. Dolayısıyla (28) deki kütle

kuvveti ifadesi,

u fAdx qA

l fT T ee

e

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∫ 211 (30a)

olur. Bu da;

∫ =e

eTT fqfAdxu ][ (30b)

olur. Görüldüğü gibi eşitliğin sağ tarafı deplasman ile kuvvetin çarpımı şeklindedir.

Böylece eleman kütle kuvvet vektörü ƒe şöyle tanımlanabilir,

10


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=11

2flA

f eee (31)

Bu kütle kuvvet vektörü basitçe, Aele elemanın hacmi ve ƒ'de birim hacimdeki kütle

kuvveti olduğundan, Aeleƒ' çarpımı elemana etkileyen toplam kütle kuvvetini ifade eder.

(31)'deki ½ ifadesi kütle kuvvetinin 2 düğüme eşit olarak dağıldığını göstermektedir.

Şimdi de toplam potansiyel enerji formülasyonunda bulunan yüzey kuvvetlerini göz önüne

alalım.

∫ ∫ +=e e

T TdxqNqNTdxu )( 2211 (32)

yüzey kuvvetinin (T) elemanda sabit olduğu gözönüne alınırsa;

u Tdx qT N dx

T N dxT T e

ee

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

∫∫∫

1

2

(33)

N dx N dxle

ee1 2 2

= =∫∫ olduğundan, (33)

∫ =e

eTT TqTdxu ][ (34)

olarak yazılabilir. Buradan yüzey kuvveti;

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=11

2][ e

eTl

T (35)

olarak elde edilir. Görüldüğü gibi eleman yüzey kuvveti de düğümlere eşit olarak

dağılmaktadır.

Buraya kadar rijitlik matrisi [ke], kütle kuvvet vektörü [ƒe] ve yüzey kuvvet vektörlerini

[Te] bir eleman için elde ettik. Elemanlar arasındaki sürekliliği de elde ettikten sonra, (18)

de verilen toplam potansiyel enerji ifadesi,

[ ] ∏ −= FQQKQ TT

21 (36)

11


olarak yazılabilir. Burada [K] global rijitlik matrisini, F global yük vektörünü, Q ise

global yer değiştirme vektörüdür. Ele alınan örnek problem için (Şekil 2c) [K] matrisi 5x5,

Q ve F vektörleri ise 5x1 boyutlarındadır. [K] şu şekilde elde edilebilir: Eleman

süreklilik matrisi kullanılarak eleman rijitlik matrisleri ortak düğümlerde üst üste gelecek

şekilde toplanır. Global kuvvet vektörü oluşturulurken kütle kuvveti, yüzey kuvveti ve

tekil kuvvetten gelen etkiler üst üste toplanarak tek bir kuvvet vektörü elde edilir. Eleman

rijitlik matrisi ve kuvvet vektörünün toplama işlemi ilerde daha detaylı olarak

anlatılacaktır.

5. GALERKIN YAKLAŞIMI

Virtüel bir yer değiştirme fonksiyonu tanımlayalım,

)( xφφ = (37) buna bağlı virtüel şekil değiştirme ise,

( )ε φφ

=dd x

(38)

olacaktır. Burada φ sınır şartlarını sağlayan gerçek veya virtüel bir yer değiştirmeyi ifade

etmektedir. Galerkin tarafından verilen variyasyonel ifade bir boyutlu problemler için,

( )∫ ∫ ∫ ∑ =−−−

L L L iii

TTT PTdxfAdxAdx 0φφφφεσ (39a)

şeklindedir. Bu ifade sınır şartlarını sağlayan her φ için geçerlidir. Birinci terim, iç virtüel

işi gösterir, yük terimleri ise dış kuvvetlerin virtüel işini gösterir. Belirli bir çözüm bölgesi

ele alındığında (39a),

( )∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ =−−−

e e e e e e iii

TTT PTdxfAdxAdxE 0φφφφεε (39b)

şeklinde yazılabilir. Burada ε yüklerden dolayı meydana gelen gerçek şekil değiştirmeler,

ε(φ)’nin ise virtüel şekil değiştirme olduğuna dikkat edilmelidir. (7b), (14) ve (16)

eşitliklerinde izlenen yola benzer şekilde

ψφ N=

(40) ( ) ψφε B=

12


yazılabilir. Burada elemanın düğüm deplasmanlarını ifade etmektedir.

Ayrıca düğümlerdeki global virtüel yer değişmeler de şöyle gösterilir;

][ψ ψ ψ= 1 2,T

][ψ ψ ψ ψ= 1 2, , ,K N

T (41)

5.1. Eleman Rijitliği

(39b)’deki iç virtüel işi gösteren ilk terimi ele alalım. (40)’ı (39b)'de yerine koyar ve

ε=[B]q olduğunu hatırlarsak,

( )∫ ∫=

e e

TTT AdxBEBqAdxE ψφεε ][][ (42)

elde ederiz. Sonlu eleman modelinde herhangi bir e elemanının kesit alanının sabit

olduğunu Ae ile gösterildiğini, ayrıca [B]’nin de sabit bir matris olduğunu biliyoruz. Diğer

taraftan, dx = ( le / 2) dr olduğundan,

( ) ψξφεε ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫∫

−

1

1

][][2

dBBlAEqAdxE Teee

T

e

T (43a)

elde edilir. şeklindeki bir tanımlama ve bazı düzenlemelerle, ][][][ BBlAEk T

eeee =

eTT kq ][ψ= (43b)

olur. [k]e eleman rijitlik matrisi olup simetrik bir forma sahiptir. (15) te verilen [B] matrisi

kullanılarak,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1111

][e

eee l

AEk (44)

elde edilir.

5.2. Kuvvet İfadeleri Elemanda kütle kuvveti tarafından yapılan virtüel işi gösteren (39a)'daki ikinci terimi ele

alalım. drldxN e 2/, == ψφ eşitliklerini kullanarak ve eleman içinde kütle kuvvetinin

sabit olduğunu kabul ederek;

13


φ ψT T Te

e

e

fAdx N fAl

dr=−∫∫ 21

1

(45a)

elde edilir. Daha kısa ifadesiyle,

(45b) e

T fψ= olur. Burada;

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

∫

∫

−

−1

12

1

11

2 drN

drNflA

f eee (46a)

dır ve eleman kütle kuvvet vektörü olarak adlandırılır. N1=(1-r)/2, N2=(1+r)/2 olduğundan,

ve elde edilir. Böylece, N dr11

1

1=−∫ N dr2 1=∫

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=11

2flA

f eee (46b)

elde edilir. Benzer şekilde eleman yüzey kuvveti ifadesi de

∫ =e

eTT TTdx ψφ (47)

olup, eleman yüzey kuvveti vektörü;

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=11

2e

eTl

T (48)

şeklinde elde edilir. Böylece variyosyonel form,

∑ ∑ ∑ ∑ =−−−e e e i

iieT

eTT

eT pTfqk 0][ ψψψψ (49)

olarak elde edilir. Kuvvet terimleri birleştirilerek,

)( 0][ =− FQKTψ (50) elde edilir. Bu ifade Ψ'nin sınır şartlarını sağlayan bütün değerleri için geçerlidir.

14


6. GLOBAL RİJİTLİK MATRİSİ VE YÜK VEKTÖRÜNÜN BİRLEŞTİRİLMESİ

Daha önce, toplam potansiyel enerjinin

∏ ∑ ∑ ∑ ∑−−−=e e e

iieT

eT

eT QpTqfqqkq ][

i

formunda olduğu ve eleman süreklilik ifadelerinin gözönüne alınmasıyla,


21

şeklinde de yazılabileceği gösterilmişti. Bu adım, [K] ve F'nin eleman rijitlik matrisi ve

kuvvet vektörlerinin birleştirilmesi ile oluşturulması aşamasıdır. İlk olarak, genel rijitlik

matrisi [K]'nın eleman rijitlik matrisi [k]e ’lerin birleştirilmesi yoluyla oluşturulması

gösterilecektir.

][21

33 qkqU T= (51)

veya [k]3 yerine konursa;

1111

21

3

333 q

lAE

qU T⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−= (52)

elde edilir. 3. Eleman için deplasman vektörü q=[Q3,Q4]T olduğundan,

[ ]

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

5

4

3

2

1

3

33

3

33

3

33

3

33

543213

00000

000

0000000000000

21

QQQQQ

lAE

lAE

lAE

lAE

QQQQQU (53)

elde edilir. [k]3 matrisinin elemanlarının K matrisinin 3. ve 4. satır ve sütünlarına yerleştiği

görülmektedir. Dolayısıyla, eleman şekil değiştirme enerjileri toplanırken, [k]e'nin

elemanları global [K]’da eleman düğüm numaralarına karşılık gelen yerlere yerleştirilir.

Matriste elemanların üst üste geldiği yerlerdeki değerler toplanır. Sembolik olarak bu

toplamayı,

15


[ ]∑←e

ekK ][ (54a)

şeklinde gösterebiliriz. Benzer şekilde global yük vektörü F, eleman kuvvet vektörü ile

tekil yüklerden

( ) PTF

eee ++∫← ∑ (54b)

olarak gösterilir. Örnek 2: Şekildeki gibi bir çubukta, her (i) elemanının kesit alanı Ai ve boyu da li dir. Her eleman tüzey kuvveti Ti ve kütle kuvveti ƒi'ye maruzdur. Eleastisite modülü E olan çubuğun 2 nolu düğümüne tekil P2 yükü etki etmektedir.

Eleman rijitlik matrisi her eleman için (26)’dan

[ ] ⎥⎦

⎤−11

⎢⎣

⎡−

=1

1

i

ii l

EAk olarak hesaplanır.

1

2

p2

3

4

5

x

T 1

T 2

T3

T 4

A 1 l1

A 2 l2

A 3 l3

A 4 l4

E , ƒ=sabit

Eleman sürekliliği ise, Eleman 1 2

1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5

şeklindedir. Şimdi her bir elemanın global rijitlik matrisindeki durumunu görelim.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

0000000000001100011000000

4

4

0000000000000000001100011

3

3

0000000000001100011000000

2

2

0000000000000000001100011

1

1][l

EA

l

EA

l

EA

l

EAK

Sonuçta

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

=

4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

000

000

00

00

000

][

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

lA

EK

olur. Yük vektörü ise,

16


⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

=

0

0

0

0

22

2222

2222

2222

22

2

4444

44443333

33332222

22221111

1111

P

TlflA

TlflATlflA

TlflATlflA

TlflATlflA

TlflA

F

şeklindedir. Görüldüğü gibi global rijitlik matrisi [K]’nın belirli bir kısım özellikleri vardır. Bunlar

kısaca;

1. Her düğümünde serbestlik derecesi 1 olan bir boyutlu problemde global rijitlik

matrisinin boyutu, n=düğüm sayısı olmak üzere, (nxn) olmaktadır. Serbestlik

derecesinin daha fazla olduğu durumlarda boyut toplam düğüm sayısı ile düğümdeki

serbestlik derecesinin çarpımı kadar olacaktır.

2. Simetriktir.

3. Değerler bant şeklinde diyagonalin iki tarafında düzgün şekilde yerleşmektedir.

Matrisin bant dışındaki tüm elemanları sıfırdır.Örnekte verilen problemde bant matris

aşağıdaki şekilde oluşmuştur.

K E

Al

Al

Al

Al

Al

Al

Al

Al

Al

Al

Al

Al

=

−

+ −

+ −

+ −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

40

Bant matrisin boyutu YBG şeklinde bir yarı bant genişliği tanımlayarak (nxYBG)

şeklindedir. Tek boyutlu problemlerde eleman sürekliliği i, i+1 şeklinde oluştuğundan

YBG=2 elde edilmiştir. İki ve 3 boyutlu problemlerde yarı bant genişliğini hesaplamak

zahmetli bir iştir. Genel olarak

YBG = max(bir elemanın serbestlik derecesi numaraları arasındaki fark) + 1 (55)

17


Şeklinde bir hesaplama yapılır. YBG’nin küçük olması için, sistemi oluşturan elemanların

düğüm numaraları arasındaki fark mümkün olduğunca küçük tutulmalıdır. YBG’nin küçük

olması daha küçük bilgisayar kapasitesi ile işlem tapma imkanı sağlayacaktır. Şekil 8’de

örnek bir numaralama verilmiştir.

1 6 5 2 3 4 1 2 3 4 5 6

YBG=6 YBG=2(a) (b)

Şekil 7. Düğüm numaralamasının yarı bant genişliğine etkisi 7. SINIR ŞARTLARININ UYGULANIŞI

7.1. Sınır Şartı Tipleri Sürekli ortamı modellemek için buraya kadar tanımlanan ayırma tekniğinin

kullanılmasından sonra ele alınan cisim için toplam potansiyel enerji ifadesini


21

şeklinde elde etmiştik. Burada düğüm deplasmanlarını, elemanlardaki gerilmeleri ve

mesnet reaksiyonlarını hesaplayabilmek için gerekli olan denge denklemlerini elde

edeceğiz. Minumum potansiyel enerji teoremine göre; bir sistemde, sınır şartlarını sağlayan

muhtemel bütün deplasmanların denge halinde meydana getirdikleri toplam potansiyel

enerjilerinin sıfır olduğu kabul edilir. Dolayısıyla denge denklemleri toplam potansiyel

enerji denkleminin Q’ya göre minimize edilmesiyle ve sınır şartlarının da

uygulanmasıyla elde edilebilir. Genelde sınır şartları,

rprpp aQaQaQ === ...,..........,, 2211 (56)

şeklindedir. Yani, p1, p2, ......, pr serbestlik derecelerine karşılık gelen deplasmanlar a1, a2,

......, ar 'ye eşit olarak tanımlanır. Başka bir deyişle sistemde bulunan r tane mesnet ve bu

mesnetlere karşılık gelen tanımlı birer yer değiştirme vardır. Örneğin, Şekil 2b’deki

çubukta sadece bir tek sınır şartı vardır ve o da Q1 = 0 dır.

Bu bölümde gösterilen sınır şartlarının ele alınışı ile ilgili prosedür iki ve üç boyutlu

problemler için de aynen uygulanabilecek bir prosedürdür. Bu yüzden düğüm ifadesi

yerine serbestlik derecesi ifadesi kullanılmaktadır. Çünkü, iki boyutlu bir gerilme analizi

18


probleminde düğüm serbestlik derecesi 2 dir. Burada enerji yaklaşımı esas alınmış olmakla

beraber Galerkin yaklaşımı da sınır şartları uygulamasında aynı basamakları

kullanmaktadır.

Eğik bilyalı yatak, rijit birleştirmeler ve çökme sınırlayıcı aparatlarda karşılaşılan ve çok

noktalı sınır şartı olarak adlandırılan ikinci tip bir sınır şartı daha vardır. Bu sınır şartı

02211 βββ =+ pp QQ (57)

şeklinde tanımlanır. Burada β0, β1 ve β2 bilinen sabitlerdir. Sınır şartları fiziksel sistemin doğru olarak modellenmesinde önemli bir etkendir. Sınır

şartlarının yanlış belirlenmesinin hatalı sonuçlara sebebiyet verdiği bilinmelidir. Sınır

şartları, yapının rijit cisim olarak hareket etme olasılığını ortadan kaldırır. Burada, (56) da

verilen sınır şartlarının sonlu eleman modeline uygulanmasıyla ilgili eleiminasyon

yaklaşımı ve penaltı yaklaşımı olmak üzere iki yaklaşım verilecektir. Çok noktalı sınır

şartları iin ise uygulama kolaylığı nedeniyle yalnızca penaltı yaklaşımı üzerinde

durulacaktır.

8.2. Eliminasyon Yaklaşımı

Yaklaşımın ana fikrini ortaya koymak için tekbir sınır şartı olduğunu farz edelim (Q1=a1).

Denge denklemleri ∏'nin Q,'ya göre minimize edilmesi ile verilen sınır şartının

uygulanması sonucu elde edilir. N serbestlik dereceli bir yapı için şekil değiştirme ve yük

vektörleri

Q = [ Q1 , Q2 , ..........QN ]T

F = [ F1 , F2 , ............FN ]T

şeklindedir. Global rijitlik matrisi ise,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

NNNN

N

N

KKK

KKKKKK

K

K

K

K

21

22221

11211

.

.

. (58)

dir. Potansiyel enerji ifadesi

19


)()

............................................................

(21

2211

2211

2222221212

1121211111

NN

NNNNNNNN

NN

NN

FQFQFQQKQQKQQKQ

QKQQKQQKQ

QKQQKQQKQ

+++−++++

++++

+++=∏

K

K

K

K

(59)

şeklinde açılarak yazılabilir. Burada gözönüne aldığımız (Q1=a1) sınır şartını denkleme

uygularsak

(

))(

...........................................................

21

2211

2211

2222221212

1121211111

NN

NNNNNNNN

NN

NN

FQFQFaQKQQKQaKQ

QKQQKQaKQ

QKaQKaaKa

+++−++++

++++

+++=∏

K

K

K

K

(60)

elde ederiz. Görüldüğü gibi Q1 yer değiştirmesi yukarıdaki potansiyel enerji denkleminden

elimine edilmiştir. Sonuçta, bilindiği üzere, olarak Π'nin minumum değer alması

ddQi

∏= 0 i=2,3,...N (61)

şartının sağlanmasına bağlı olduğundan, türev ile

K Q K Q K Q F K aK Q K Q K Q F K a

K Q K Q K Q F K a

N N

N N

N N NN N N N

22 2 23 3 2 2 21 1

32 2 33 3 3 3 31 1

2 2 3 3 1 1

− − = −− − − = −

+ + + = −

−K

K

K

................................................................ (62)

elde edilir. Bu sonlu eleman denklemleri matris formunda

K K KK K K

K K K

QQ

Q

F K aF K a

F K a

N

N

N N NN N N N

22 23 2

32 33 3

2 3

2

3

2 21

3 31

1 1

K

K

M

K

M M

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

−−

−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

1

1 (63)

şeklinde gösterilebilir. Görüldüğü gibi (nxn) boyutundaki matristen sınır şartının

gerektirdiği satır ve sütunun silinmesiyle (n-1xn-1) boyutunda yeni bir matris elde

edilmiştir. Bu denklem kısaca,

20


[K]Q = F (64) biçiminde gösterilebilir. Buradaki [K], tanınlanan sınır şartına bağlı olarak satır ve

sütunları elimine edilmiş rijitlik matrisidir. (64) Gauss Eliminasyon yöntemi kullanılarak

çözüldüğünde genel deplasman vektörü elde edilir. Orijinal [K] matrisi tekil bir matris

olmasına karşılık indirgenmiş [K] tekil olmaktan kurtulmuştur. Deplasmanlar (Q)

belirlendikten sonra elemanlardaki gerilmeler (16) yardımıyla hesaplanır.

Deplasmanların ve gerilmeler hesaplandıktan sonra mesnet reaksiyonlarının hesabına

geçilir. Bu reaksiyon kuvveti, denge denklemlerinin 1 numaralı düğüm (sınır şartı olarak

Q1=a1 alındığından) için çözülmesi ile elde edilir.

K Q K Q K Q F RN N11 1 12 2 1 1 1+ + + = +K (65)

Burada deplasmanlar ve 1 numaralı düğüme uygulanan yük bilindiğinden dengeyi sağlayan

reaksiyon kuvveti,

R K Q K Q K Q FN N1 11 1 12 2 1= + + + 1−K (66)

olarak hesaplanır. Eliminasyon işlemi esnasında bu denklemde kullanılan K11, K12, ....., K1N

silindiğinden, reaksiyon kuvvetinin hesaplanacağı göz önünde bulundurularak bilgisayar

uygulaması sırasında bu terimlerin hafızada bulundurulması gerektiği unutulmamalıdır.

Buraya kadar enerji yaklaşımı için verilen prosedür Galerkin varyasyonel yaklaşımı için de

geçerlidir. (51)’de verilen Galerkin ifadesi, sınır şartlarını sağlayan her Ψ için,

ΨT ( [K]Q – F ) = 0 (67)

idi. Burada ele aldığımız sınır şartı,

Q1 = a1 (68) olduğundan,

Ψ1 = 0 (69) olması gerekmektedir. Virtüel deplasman olarak, Ψ=[0,1,0,.....0], Ψ=[0,0,1,0,.....0 ]T,........

Ψ= [0,0,.....,0,1]T seçerek, ve bunların her birini (67)'de yerleştirirsek (63)'te verilen denge

denklemlerini elde ederiz .

21


Buraya kadar tek bir serbestlik derecesi olarak verilen sınır şartı birden fazla sınır şartı

olması durumu için de geçerlidir. rPP aQaQaQ === Pr2211 ,,K şeklinde r adet sınır

şartı olduğunu düşünürsek, ilk olarak, [K] ve F'in, P1, P2, P3.......ve Pr'inci satırları daha

sonra kullanılmak üzere saklanır. Daha sonra, [K] matrisinden, P1, P2,.........ve Pr 'inci satır

ve sütünları silinir. Sonuçta [K]’nın boyutu (n-rxn-r ) olur. Benzer olarak F’nin boyutu

da (N-rx1) olur. Yük vektörü bu durumda

F F K a K a Kİ İ İP İP İ= − + + +( Pr1 1 2 2 K ) (70)

şeklini alır. Burada, İ, mesnet olmayan düğüm numaralarını göstermektedir. Bundan sonra

genel deplasman vektörü Q, [K]Q = F'in çözümünden elde edilir. Genel deplasman

vektöründen her elemanın düğümlerine karşılık gelen deplasman değerleri çıkarılarak

elemanlardaki gerilmeler hesaplanır. Daha önce saklanan satırlar da kullanılarak reaksiyon

kuvvetleri

RP1 = KP1 1 Q1 + KP1 2 Q2 +.........+KP1 N QN - FP1

RP2 = KP1 1 Q1 + KP2 2 Q2+.........+KP2 N QN - FP2 ------------------------------------------------------- (71) RPr = KPr 1 Q1 + KPr 2 Q2+........+KPr N QN - FPr

şeklinde hesaplanır. Örnek: Şekildeki ince levhanın kalınlığı t=1 cm, Young modülü; E = 30x106 N/cm2, yoğunluğu ise ρ = 0.2836 kg/ cm3 'tir. Levha kendi ağırlığı yanında orta noktasından P=100 N’luk bir yük altında bulunmaktadır. (a) Levhayı iki sonlu elemanla modeleyiniz. (b) Elemanlar için rijitlik matrisi ve kütle kuvveti vektörlerini elde ettikten sonra bunları genel rijitlik matrisi ve kuvvet vektöründe yerleştiriniz. (c) Eliminasyon yaklaşımını kullanarak global deplasman vektörü Q’yu hesaplayınız.(d) Her elemandaki gerilmeyi hesaplayınız. (e) Reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.

(a) Her biri 12 cm boyunda iki eleman kullanarak yapılan sonlu eleman modeli şekilde görüldüğü gibi elde edilebilir. Birinci elemanın kesit alanı 5.25 cm2, ikinci elemanın kesit alanı ise, 3.75 cm2 dir. 1. Düğüm mesnet olduğundan deplasman Q1=0 olacaktır (Sınır şartı!).

24 cm

12 cm

6 cm

3 cm

p

x x

12 cm.

Q2

Q3

3.75 cm

12 cm

1

2

p

5.25 cm

Q1

22


b) (26)'dan eleman rijitlik matrisi

2 3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−××=

1111

1225,51030 6

1k ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−××=

1111

1275.31030 6

2k 1 2

1 2

2 3

(31)'den de eleman kütle kuvvetleri

21

11

22836,01275,5

1⎭⎬⎫

⎩⎨⎧××

=f 32

11

22836,01275,3

2⎭⎬⎫

⎩⎨⎧××

=f

olarak hesaplanır. Global rijitlik matrisinde

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−×

=75,375,3075,300,975,5

025,525,5

121030][

6

K

1 2 3 1 2 3

şeklinde yerleştirilir. Dışardan 2 düğümüne uygulanan tekil yük ile beraber global kuvvet vektörü,

F = +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

8 933415 3144 100

6 3810

,,,

dir. c) Eliminasyon yaklaşımında [K]’nın sınır şartlarına karşılık gelen satır ve sütunları

silinerek elde edilir. Burada Q1=0 olduğundan,

30 1012

9 00 3 753 75 3 75

115 31446 3810

62

3

× −−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

, ,, ,

,,

QQ

2 3

elde edilir. Deplasmanlar buradan Q2 = 0.9272 x 10-5 cm,.Q3 = 0.9953 x 10-5 cm olarak hesaplanır. Böylece global deplasman vektörü Q=[0, 0.9272 x 10-5, 0.9953 x 10-5]T olur.

d) (15) ve (16)’dan gerilmeler,

[ ]σ16

530 101

121 1

00 9272 10

= × × −×

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−,, [ ]σ2

65

530 101

121 1

0 9272 100 9953 10

= × × −××

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−

−

,,

σ1=23.18 N/cm2 ve σ2=1.7 N/cm2 olarak hesaplanır. e) 1 numaralı düğümdeki reaksiyon kuvveti (71) yardımıyla,

23


[ ] 933.8109953,0109272,0

0025,525,5

121030

5

56

1 −⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

××−

×=

−

−R =-130.6 N

bulunur. Görüldüğü gibi reaksiyon kuvveti toplam düşey yüke eşit ve ters işaretlidir. 8.3. PENALTI YAKLAŞIMI

Bu bölümde sınır şartlarının ele alınmasındaki ikinci yöntem olan penaltı yaklaşımı

üzerinde durulacaktır. Bilgisayar uygulaması daha kolay olan bu yaklaşımda (57) ile

verilen genel tipteki sınır şartlarının modellenmesi kolaylaşmaktadır. Öncelikle tanımlı

yerdeğiştirmeler ele alınacak daha sonra çok noktalı sınır şartlarının uygulaması

gösterilecektir.

Tanımlı Deplasmanlar: Q1 = a1 şeklinde verilen bir sınır şartını düşünelim. Burada a1,

mesnetin 1 numaralı serbestlik derecesinin bilinen deplasmanıdır.

Öncelikle mesnet, C gibi çok büyük bir yay katsatısına sahip bir yay olarak düşünülür.

C'nin büyüklüğü öyle seçilmelidir ki yayın bir ucu a1 miktarınca yer değiştirsin (Şekil 8).

Bu da 1 numaralı serbestlik derecesinin deplasmanı olan Q1 ‘in yaklaşık olarak a1 e eşit

olması sonucunu verecektir. Dolayısıyla yay boyundaki net değişiklik Q1 - a1 olacaktır.

Yaydaki şekil değiştirme enerjisi,

211 )(

21 aQCU y −= (72)

Q1

a1

y

xZemin

yapı

yay

Şekil 8. Sınır şartlarını modellemek için yay katsayısı rijitliği çok büyük olan bir yay

kullanıldığı Penaltı yaklaşımı mıdır. Q1≅a1 dır.

24


dir. Bu şekil değiştirme enerjisi sistemdeki toplam potansiyel enerjiye eklenerek,

)(21][

21 2

11 FQaQCQKQ TTM −−+=∏ (73)

bulunur. ΠM, dΠM/dQi =0 , i=1,2......N ile minimize edilerek,

( )K C K KK K K

K K K

QQ

Q

F CaF

F

N

N

N N NN N N

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1 1

2

+⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

+⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

K

K

M M M

K

M M (74)

şeklinde sonlu eleman denklemleri elde edilir. Ele aldığımız sınır şartı Q1=a1 olduğundan

çok büyük bir sayı olan C, [K]'nın yalnızca ilk diagonaline eklenmiş, ayrıca kuvvet

vektöründe de Ca1 olarak yalnızca F1'e eklenmiştir. Buradan (74) çözülerek yer değiştirme

vektörü Q elde edilir.

1 numaralı düğümdeki reaksiyon kuvveti yay tarafından sisteme uygulanan kuvvete eşittir.

Dolayısıyla, net uzama=Q1-a1 ve yay katsayısı=C olduğundan, reaksiyon kuvveti;

R1 = - C (Q1 - a1 ) (75)

olarak hesaplanır. (74)'de potansiyel enerji yaklaşımı için verilen modifikasyonlar Galerkin yaklaşımı için de

aynı şekilde hesaplanabilir. Uygun bir virtüel deplasman olan Ψ'nin sonucu olarak, yay

tarafından yapılan virtüel iş (δWs = Virtüel deplasman x Yaydaki kuvvet) olarak

tanımlanabilir. Bu da

δWs = Ψ1 C (Q1 -a1) (76)

olarak yazılır. Dolasıyla varyasyonel form;

ΨT([K]Q-F) + Ψ1C(Q1 - a1) =0 (77) olur. Bu ifadenin Ψ nin herhangibir değeri için geçerli olması gerekir. Ψ=[1,0,...........0]T,

Ψ=[0,1,0,.....0]T,.......,Ψ=[0,.....,0,1]T 'olarak seçilir ve her birini sırayla (77) de yerine

koyarsak, (74) ile gösterilen modifikasyonları elde ederiz. Birden fazla düğümde tanımlı

deplasman olması durumunda genel ifade

Rpi =-C (Qpi-ai) i = 1,2.........,r (78)

25


şeklinde yazılabilir. Burada verilen penaltı yaklaşımı yaklaşık bir sonuç verir ve doğruluk

derecesi C katsayısının doğru seçilmesine bağlıdır. (74)'ü daha açık bir şekilde yazarsak,

( )K C Q K Q K Q FN N11 1 12 2 1 1+ + + + =K (79a)

elde ederiz. Bu ifadeyi C' ye bölerek;

KC

QKC

QKC

QFC

aNN

111

122

1 111+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + + = +K (79b)

bulunur. Görüldüğü gibi C yeterince büyük seçilirse K lı terimler sıfıra yaklaşacak ve

denklemden Q1 ≅ a1 sonucu elde edilecektir. Bu yüzden genellikle C için

C = max |Kij | x104 1≤ i ≤ N (80) 1≤ j ≤ N

şeklinde bir değer alınabilir. Örnek: Şekil'de gösterilen çubuğa 2 düğümünden P=200x103 N luk bir eksenel yük uygulanmaktadır. Penaltı yaklaşımını kullanarak (a) Düğüm deplasmanlarını, (b) Her elemandaki gerilmeyi ve (c) Reaksiyon kuvvetlerini belirleyiniz.

a) Eleman rijitlik matrisleri

1

300 mm 400 mm

x

1 2

P2 3

A1=2400 mm2

E1=70 x 106 N/m2A2=600 mm2

E2=200 x 106 N/m2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−××=

1111

30024001070 3

1k vve;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−××=

1111

40060010200 3

2k

2 3

olup genel rijitlik matrisi

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

30,030,0030,086,056,0

056,056,010][ 6K

1 2 3

şeklindedir. Genel yük vektörü ise F = [0,200 x 103 ,0]T dir. 1 ve 3 düğümleri mesnet olduğundan Q1=Q3=0 dır. Penaltı yaklaşımı kullanıldığı için burada C sayısı, [K]'nın birinci ve üçüncü köşegen elemanlarına eklenecektir. (80)’e bağlı olarak C=[0.86x106

x104 alınarak modifiye edilmiş genel rijitlik matrisi, ]

26


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

30,860030,0030,086,056.0

056,056,860010][ 6K

elde edilir. Sonlu eleman denklemi ise

108600 56 0 56 0

0 56 0 86 0 300 0 30 8600 30

0200 100

61

2

3

3

, ,, , ,

, ,

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= ×

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

QQQ

olur. Buradan, Q = [15.1432 x 10-6 , 0.23257, 8.1127 x 10-6 ]T mm elde edilir. b-) Elemanlardaki gerilmeler (16) yardımı ile,

[ ]σ13

6

70 101

3001 1

151423 100 23257

= × × −×⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

−,,

=54.27 MPa

ve

[ ]σ 23

6200 101

4001 1

0 232578 1127 10

= × × −×

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−

,,

=-116,29 MPa

olarak hesaplanır. c) Reaksiyon kuvvetleri R1 =-CQ1 = -[0.86x1010] x15.1432 x10-6 =-130.23 x103 N R3 = -CQ3= -[-0.86 x 1010] x8.1127 x10-6= -69.77 x103 N olarak hesaplanır. Örnek: Şekilde verilen çubuğa P=60 kN luk bir tekil kuvvet etki etmektedir. Sistemdeki deplasmanları, gerilmeleri ve mesnet tepkilerini hesaplayınız. E=20 kN/mm2

Rijit duvar

150mm 150mm

xP

1.2mm A= 250 mm2

B’

1,2 mm

P x3

2

1 2

1

Çözüm: Öncelikle bu şartlar altında çubuk ile duvar arasında temas olup olmayacağı araştırılır. Bunun için öncelikle duvar yokmuş gibi bir çözüm yapılır ve QB'=1.8 mm olarak hesaplanır. Dolayısıyla çubuk duvara temas edecektir. Bu durumda problem temas hali de dikkate alınarak yeniden çözülmelidir. B’ noktasındaki deplasman 1.2 mm olarak tanımlı bir deplasman sınır şartı oluşturmuştur. Sınır şartları: Q1=0 ve Q3 = 1.2 mm olarak gösterilebilir. Global rijitlik matrisi

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−××

=110121

011

1502501020 3

K

27


ve global yük vektörü F = [ 0, 60x103, 0]T şeklindedir. Penaltı yaklaşımına göre problemdeki sınır şartları sonlu eleman denklemlerinde

103

20001 1 01 2 1

0 1 20001

060 0 1080 0 10

5 1

2

3

3

7

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= ××

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

QQQ

,,

şeklinde bir düzenleme yapmayı gerektirir. Burada C=(2/3)x1010 olarak seçilmiş, ve [K]' nın 1 ve 3 köşegen elemanına ve (Cx1.2) olarak F'nin 3. bileşenine eklenmiştir. Buradan deplasmanlar Q = [7.49985 x 10-5, 1.50045, 1.200015]T mm olarak bulunur. Gerilmeler ise,

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ×

−××=−

500045,11049985,7

11150

1102005

31σ = 199.996 MPa

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−××=200015,1500045,1

11150

110200 32σ =-40,004 MPa

olarak elde edilir. Buradan reaksiyon kuvvetleri

R1 = -C x 7.49985 x 10-5 = -49.999 kN R3 = -C x (200015 -1.2 ) = -10.001 kN

olarak hesaplanır. Yaklaşımın getirdiği hata oranı nedeniyle gerçek çözümde 50 kN ve 10 kN olarak hesaplanan reaksiyon kuvvetlerinde görüldüğü gibi çok küçük bir fark ortaya çıkmıştır.

8.4. Çok Noktalı Sınır Şartları Daha önceden de verildiği gibi eğik bilyalı rulmanlar yada rijit bağlantıların olduğu

durumlarda sınır şartları birbirine bağlantılı olmaktadır. Bu da,

β β β1 1 2 2Q QP P+ o=

şeklinde gösterilmektedir. Düzenlenmiş toplam potansiyel enerji denklemini ele alalım

[ ] ∏ −−++= FQQQCQKQ ToPP

TM

22211 )(

21

21 βββ (81)

C çok büyük sayı olduğundan ∏M in minimum olması ancak (β1Qp1 +β2Qp2-β0) ‘ın

değerinin çok küçük olmasıyla mümkündür. Bu da β1Qp1+β2Qp2≈β0 olması durumunda

sağlanır. Minimizasyon işlemi yapıldığında (d∏M/dQi=0, i=1,...,N) düzenlenmiş rijitlik

matrisi ve kuvvet vektörü elde edilir. Bu düzenlemeler,

28


K KK K

K C K CK C K C

P P P P

P P P P

P P P P

P P P P

1 1 1 2

2 1 2 2

1 1 12

1 2 1 2

2 1 1 2 2 2 22

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ →

+ ++ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

β ββ β β

β

1

2

(82)

FF

F CF C

P

P

P O

P O

1

2

1

2 2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

→++

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

β ββ β

(83)

şeklindedir. Diğer taraftan ∂∏M/∂Qp1=0, ∂∏M/∂Qp2=0 olduğundan,

K Q F R ve K Q F RP J J P Pİ

P Jj

J P P1 1 1 2 2− = − =∑ ∑

şeklinde reaksiyon kuvvetleri elde edilir. Diğer bir ifadeyle

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= 2

22111

1 )(21

OPPP

P QQCQ

R βββ∂

∂ (84a)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−= 2

22112

2 )(21

OPPP

P QQCQ

R βββ∂

∂ (84b)

olarak yazılabilir. Bazı basitleştirmlerle

Rp1 = -Cβ1 (β1 Qp1 + β2 Qp2 -β0) (85a)

Rp2 = -Cβ2 (β1 Qp1 + β2 Qp2 -β0) (85b) elde edilir. Örnek: Şekilde kütlesi ihmal edilebilir rijit bir çubuk bir ucundan duvara sabitlenmiş olarak bir çelik ve bir aluminyum çubuk tarafından taşınmaktadır. Yük P=30 kN olduğuna göre (a) İki elemanlı bir model oluşturarak sınır şartlarını belirleyiniz. (b) Değiştirilmiş genel rijitlik matrisini ve yük vektörünü elde ettikten sonra deplasman ve gerilmeleri hesaplayınız. Çözüm: a) Şekilde iki elemanlı bir sonlu eleman modeli verilmiştir. 3 ve 4 düğümlerindeki sınır şartları Q3=Q4=0 dır. Rijit çubuğun yer değiştirmeden sonra da düz kaldığı kabul edildiğinden Q1 ve Q2' birbirine bağımlı olmak zorundadır. Şekiden de görüldüğü gibi bu bağımlılık Q1-0.4 Q2 = 0 olarak elde edilir. b) Eleman rijitlik matrisleri

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−×

××= − 11

11105.4

1200102003

3

1k ve ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−×

××= − 11

11100.3

90010703

3

2k

olup buradan genel rijitlik matrisi

29


P

1

2

E

2 m 3 m 1m

∆

Q1

Q2

ÇelikA=1200mm2

E=200x109N/m2

l=4.5 m

AluminyumA=900mm2

E=70x109N/m2

l=3 m

1 2

3

4

Q1 ,F1 Q2 ,F2

x

1

2

E2 m 3 m 1m

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

0,2100,210033,53033,53

0,2100,210033,53033,53

10][ 3K

dir. Bundan sonra, Q3=Q4=0 olduğundan C, [K]' nın (3,3) ve (4,4) elemanlarına eklenir. Az önce elde edilmiş olan çok noktalı sınır şartı ifadesinden ise

β0=0, β1=1 ve β2=0.4 elde edilir. (82)'den sırasıyla

C, -0.4C ve 0.16C terimlerinin [K]'nın (1,1), (1,2) ve (2,2) elemanlarına eklenmesi gerektiği görülmektedir. Diğer taraftan

β0=0 olduğundan (83) ifadesinden kuvvet vektöründe herhangi bir değişiklik gerekmediği görülür. C=(53.33x103)x104 alınarak,

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧×

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×−×−

−××−−×−×

001030

0

103321,5300,21001033533,53033,53

0,210105349,8103320,21033,53103320,211033533,53

103

4

3

2

1

4

4

44

44

3

QQQQ

elde edilir. Buradan deplasman vektörü,

Q=[0.4206, 1.0517, 4.2059 x10-5, 4.1411x10-5] mm olarak bulunur. Gerilmeler ise,

[ ]σ13

3200 101

4 5 101 1 4 2059

0 4206= ×

×− ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥,

,, = 18.693 MPa

σ2 = 24.540 MPa olur. Bu problemde eğer yük E noktasına tatbik edilse idi düğümlere gelen eşdeğer kuvvetlerin belirlenmesi gerekecek idi. Bu da P’nin potansiyelinin F1, F2'nin toplam potansiyeline eşit olması gerektiği gerçeğinden hesaplanabilirdi. Yani

P∆ = F1 Q1 + F2 Q2

Buradan ∆=1.2Q2=3Q1

olduğundan görülecektir ki F1 ve F2'nin bu eşitliği sağlayan her değeri aynı sonucu verecektir.

30


9. QUADRATİK ŞEKİL FONKSİYONLARI

Buraya kadar eleman içindeki yerdeğiştirmelerin hesabında lineer interpolasyon

fonksiyonları kullanılmıştı. Ne var ki bazı problemlerde quadratik interpolasyon

fonksiyonları çok daha daha doğru sonuçlar verir. Bu bölümde qaudratik şekil

fonksiyonları tanıtılacak ve buna karşılık gelen eleman rijitlik matrisi ve yük vektörleri

elde edilecektir. Görüleceği gibi temel yöntem daha önce lineer tek boyutlu elemanda

kullanılanın aynısıdır.

Şekil 11.a'da gösterilen tipik üç düğümlü qadratik elemanı ele alalım. Local numaralama

sistemine göre soldaki düğüme 1, sağdaki düğüme 2 ve ortadaki düğüme de 3 numarasını

verelim. Burada 3. düğüm ara düğüm olarak adlandırılır. Koordinatlar i=1,2,3 olmak üzere

xi=x, şeklinde, deplasmanlar ise q1, q2,q3 sırasıyla 1, 2, 3 düğümlerinin yer değiştirmesi

olmak üzere q=q1,q2,q3şeklinde ifade edilir. x koordinat sistemi r koordinat sistemi

üzerine

12

3 )(2xxxx

r−−

= (86)

dönüşümü ile yerleştirilir. Buradan sırasıyla, 1, 2, 3 düğümleri için r=-1, 0 ve +1 olduğu

görülür. Buna göre r koordinatlarında düğümlerin şekil fonksiyonları N1, N2 ve N3,

)1(21)(1 rrrN −−= (87a)

)1(21)(2 rrrN += (87b)

)1)(1()(3 rrrN −+= (87c)

dir. N1 şekil fonksiyonu 1 düğümünde 1’e 2 ve 3 düğümlerinde ise 0’a eşittir. Benzer

şekilde N2, 2 düğümünde 1’e diğer düğümlerde 0’a, N3 de yanızca 3 düğümünde 1’e eşittir.

x

1 3 2

(a)

r=-1 r= 0 r=+1r

1 3 2

(b) Şekil 9. x ve r koordinatlarında quadratik eleman

31


Şekil fonksiyonları grafik olarak Şekil 12’de verilmiştir. Bu şekil fonksiyonları deneme

yanılma ile kolayca belirlenebilir. Örneğin N1, r=-1’de 1, r=0 ve r=1 ‘de de 0

olacağından,

N1 = cr (1-r) (88)

Şeklinde bir forma sahip olduğu kolayca belirlenebilir. c sabiti ise -1/2 olarak elde

edilebilir. Bu şekil fonksiyonları Lagrange şekil fonksiyonları olarak adlandırılır. Bundan

sonra eleman içindeki deplasmanlar düğüm deplasmanları vasıtasıyla,

u = N1 q1 + N2q2 + N3q3 (89a)

yada matris formunda,

u = [N]q (89b) şeklinde ifade edilir. [N] = [N1, N2, N3] olup (1x3) boyutunda şekil fonksiyonları

vektörüdür. q = q1, q2, q3T olup boyutu da (3 x 1) dir. 1. düğümde N1=1, N2=N3=0

olduğundan, u = q1 dir. Aynı şekilde 2. Düğümde u=q2 ve 3. düğümde de u = q3'dür.

Bundan dolayı (89a) da u, q1, q2 ve q3 'den geçen quadratik interpolasyon fonksiyonudur.

Şekil değiştirme ise, şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntısı, zincir kuralı, (86)’nın türevi

ve (89) yardımıyla,

.,,2 321

12

qdr

dNdr

dNdr

dNxx

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=ε (90)

olarak bulunur. (87) den,

.2,221,

2212

12

qrrrxx ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

+−−

−=ε (91)

elde edilir.

1 3 2 rr=-1 r=0 r=+1

N1

1 N1=1/2r(1-r)

1 3 2 r

N2

N2=1/2r(1+r) 1

1 3 2 r

N3

N3=(1-r)(1+r) 1

Şekil 10. Quadradtik şekil fonksiyonları

32


u

u=N1q1+ N2q2 +N3q3

q1 q3 q2

1 2 3 r Şekil 11. Quadratik şekil fonksiyonlarıyla deplasmanların interpolasyonu

Buda

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+−−

−= rrr

xxB 2,

221,

2212][

12

(92)

alınmasıyla

ε=[B]q (93) olarak düzenlenir. Hooke yasaından gerilmeler,

σ = E[B]q (94) olarak yazılabilir. Burada şekil fonksiyonları quadratik olduğundan, görüldüğü gibi, [B] r

ile doğru orantılı olmaktadır. Bu şekil değiştirme ve gerilmelerin eleman içinde lineer

olarak değişebileceğini göstermektedir. Önceki bölümde verilen lineer şekil

fonksiyonlarında [B] sabit olarak elde edilmiş ve şekil değiştirme ve gerilmelerin eleman

içinde sabit olduğu kabulü yapılmıştı.

Şimdi (89b), (93) ve (94)'deki yer değiştirme, şekil değiştirme ve gerilme terimlerini elde

edelim. Bu arada (86)'dan dx=(le /2)dr elde edilir. Burada da elemanda kesit (A), kütle

kuvveti (F) ve yüzey kuvveti (T) sabit olarak alınacaktır. u, ε, σ ve dx potansiyel enerji

ifadesinde yerine konursa,

= − − − ∑∫∑∫∑∫∑∏ 12

σ εT T Ti i

ieeeeeeAdx u fAdx u Tdx Q P

[ ]∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑− − −

−−−=e e e

iiTeTTe

eTTe

eeT PQdrNT

lqdrNf

lAqqdrBB

lAEq

1

1

1

1

1

1

)2

()2

()2

(21

i

(95)

33


elde edilir. Potansiyel enerji ifadesinin matris formunda yazılmış genel ifadesi

∏ ∑ ∑ ∑ −−−=e e e

iieT

eT

eT PQTqfqqkq ][

21 ∑

i

idi. Buradan,

∫−

=1

1

][][2

][ drBBlAE

k Teeee (96a)

olduğu görülür. (92)'de verilen [B] yerine konulursa,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=1688

871817

3][

e

eee l

AEk (96b)

elde edilir. Eleman kütle kuvveti vektörü ise,

∫−

=1

1

][2

drNflA

f Teee (97a)

olup şekil fonksiyonlarını yerleştirerek integral alınarak

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3/26/16/1

flAf eee (97b)

elde edilir. Benzer şekilde eleman yüzey kuvvet vektörü,

∫−

=1

12 drN

TlT Te

e (98a)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3/26/16/1

TlT ee (98b)

olur. Toplam potansiyel enerji daha önce gösterildiği şekilde eleman değerlerinin

toplanmasıyla oluşturulan genel deplasman ve yük vektörleri ile genel rijitlik matrisinden

oluşturulur.

Örnek: Şekildeki çubuk sabit ω = 30rad/s hızıyla dönmektedir. İki quadratik eleman kullanarak çubukta meydana gelen eksenel gerilmeyi hesaplayınız. Yük olarak sadece merkezkaç kuvvetini alınız.

34


Çözüm: Sonlu eleman modeli şekilde verilmiştir. Model beş serbestlik derecesine sahiptir. Eleman rijitlik matrisleri (96b)’den;

ω=30 rad/s42 cm

A=0.6 cm2

E=107 N/cm2

R=.2836 kg/cm2

121 cm

21 cm2

3

5

4x

1

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

××

=1688

871817

2136,0107

1k

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

××

=1688

871817

2136,0107

2k

dir. Gnel rijitlik matrisi ise,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

−

××

=

78100816800

18148100816800187

2136,010][

7

K dir. Dönmeden dolayı meydana gelen kütle

kuvveti 32

/ cmkgivmesiyerçekimi

xyariçapxyoğoğunlukf ϖ= şeklinde hesaplanır. Yerçekimi ivmesi 9.81

m/s2 dir. Görüldüğü gibi kütle kuvveti uzaklıkla değişmektedir. Bu nedenle ortalama mesafe alınarak,

732.210081.9

305.102836.0 2

1 =×

××=f , 2.8

10081.9305.312836.0 2

2 =××

=x

f

bulunur. Böylece eleman kütle kuvvet vektörleri (97b)’den

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧××=

3/26/16/1

216,0 ii ff

şeklinde hesaplanır. Buradan genel kuvvet vektörü F=[5.74, 22.9, 22.9, 68.8, 17.2]T bulunur. Eliminasyon metodunu kullanırsak sonlu eleman denklemleri

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

×

2.178.689.229.22

781081680

1814800816

636,010

5

4

3

27

QQQQ

elde edilir. Buradan genel deplasman vektörü Q = 10-4[0, 2.3, 4.2, 5.6, 6.0]T cm elde edilir. Eleman deplasman vektörleri eleman süreklilik tablosu yardımıyla (q1=[Q1, Q2, Q3

]T q2=[Q3, Q5, Q4]T ) bulunduktan sonra gerilmeler ise (92) ve (94)'den

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+−−×=

3

2

17

1 2,221,

221

21210

QQQ

rrrσ

35


elde edilir. Buradan 1 düğümündeki gerilme r=-1 konularak, 2 düğümündeki r=0 ve 3 düğümündeki de r=+1 konularak bulunur Buna göre

[ ] 24711 /230

3.22.4

00,2,5,0,5,110

21210 cmN=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+−−××= −σ

Benzer şekilde, σ1/2=200 N/ cm2 ve σ1/3= σ2/1=161.5 N/cm2 bulunur. İkinci elemandaki gerilmeler ise, σ2 |2 =85.5, σ2 |3 =9 elde ederiz.

Karşılaştırma

0

50

100

150

200

250

0,00 10,50 21,00 31,50 42,00Mesafe

Gerilme

SEMMekanik

Problemin elemanter mekanik tarafından elde edilen kesin gerilmeleri ise

)(2.)( 22

2

sin xLg

xke −=ϖρσ formülü ile

hesaplanır. Şekilde sonlu elemanlar metodu ve elemanter mekanik formülü ile hesaplanan gerilmeler karşılaştırılmıştır.

10. SICAKLIK ETKİSİ

Bu bölümde izotropik ve lineer elastik bir malzemede sıcaklık değişimi sonucu meydana

gelen gerilmeler ele alınacaktır. Eğer bir çubukta sıcaklık dağılımındaki değişiklik (∆T(x))

biliniyor ise, bu sıcaklığa bağlı olarak meydana gelen şekil değiştirme de hesaplanabilir.

Sıcaklık sebebiyle meydana gelen bu şekil değişikliğine başlangıç şekil değişmesi denir ve

εo ile gösterilir. Başlangıç şekil değişikliği

ε0 = α ∆T (99)

şeklinde hesaplanır. Burada α ısıl genleşme katsayısıdır. ∆T’nin işareti çubuktaki

sıcaklığın artıp azalması hakkında fikir verir. Bir başlangıç şekil değişimi olması halindeki

gerilme-şekil değiştirme ilişkisi Şekil 14’te verilmiştir. Buna göre

σ = E(ε - ε0) (100)

olarak bulunur. Birim hacimdeki şekil değiştirme enerjisi (uo) şekildeki taralı bölgenin

alanına eşittir. Bu da,

)(21

0 ou εεσ −= (101)

dır. (100) denklemini kullandığımızda ise,

36


εεo

σ

σ=E(ε −εo)E

1

Şekil 12. Gerilme-şekil değiştirme ilşkisi başlangıç şekil değişimi

)(()(21

0 oT

o Eu εεεε −−= (102a)

elde edilir. Çubuktaki toplam şekil değiştirme nerjisi (U) ise u0’ın hacim boyunca integre

edilmesiyle bulunur. Bu da,

∫ −−=L

oT

o AdxEU )()(21 εεεε (102b)

olup kesit alanı ve boyu sabit elemanlardan oluşan bir model için,

∑ ∫−

−−=e

oeT

oe

e drEl

AU1

1

)()(22

1 εεεε (102c)

olarak yazılabilir.ε =[B]q olduğundan,

∑ ∫ ∑ ∫ ∑− −

+−=e e

oe

eeT

oe

eeTTe

eeT l

AEdrBl

AEqqdrBBl

AEqU1

1

1

1

2

221][

2)][][

2(

21 εε

e

(102d)

elde edilir. Görüldüğü gibi ilk terim eleman rijitlik matrisini vermektedir. Son terim ise

sabit bir sayı olup türevi 0 olacağından denge denklemlerinde yer almaz. İkinci terim ise

sıcaklık değişimi nedeniyle oluşan yükü (θe) ifade eder. Yani,

∫−

=1

1

][2

drBlAE To

eeee εθ (103a)

[B]=[-1 1]/(x2 -x1) ve ε0 = α∆T olduğundan,

37


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

−∆

=11.

12 xxTlAE eee

eα

θ (103b)

elde edilir. Burada ∆T eleman içindeki sıcaklık değişiminin ortalamasını ifade eder.

Sıcaklık farkı yükü de diğer yük ifadeleriyle

PTF ee

ee +++∫= ∑ )( θ (104)

şeklinde toplanır. Sonlu eleman denklemleri çözüldükten sonra elemanlarda meydana

gelen gerilmeler (100) yardımıyla,

σ = E([B]q - α∆T) (105a)

ya da,

[ ] TEqxx

E∆−−

−= .11

12

ασ (105b)

olarak elde edilebilir. Örnek 8: Şekilde verilen çubuk sistemi 20 0C de iken P=300 kN’luk bir eksenel yük uygulanmıştır. Bu esnada sistemin sıcaklığı 60 0C ‘a çıkarılıyor. Sistemin rijitlik matrisi ve

yük vektörünü oluşturarak düğüm deplasmanlarını ve eleman gerilmelerini hesaplayınız. Çözüm: :Eleman rijitlik matrisleri

⎥⎦

⎤11

⎢⎣

⎡−

−××=

11

2009001070 3

1k

⎥⎦

⎤11

⎥⎥⎥

⎦

⎤

= 701θ

⎢⎣

⎡−

−××=

11

300120010200 3

2k

ve genel rijitlik matrisi,

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

800800080011153150315315

10][ 3K

olur. Yük vektörü, ∆T=400C olduğundan (103b)'den,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

××××× −

11

40102390010 63

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

×××××= −

11

40107,11120010200 632θ

200 mm

300 mm

x

1

2

3

AlüminyumE=70 109 N/m2

A=900 mm2

A=23 10-6 1/0C

ÇelikE=200 109 N/m2

A=1200 mm2

A=11.7 10-6 1/0C

P

38


tekil yük ile beraber, dir. Kısaca ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+−

−=

32.11230032.11296.57

96.5710 3F

F= 103[-57.96, 245.64, 112.32]T şeklinde yazılabilir. Deplasmanlar, eliminasyon yaklaşımı ile (1 ve 3 nolu düğümler tutulu olduğundan 1. ve 3. Satır ve sütunlar silinerek), 103[1115]Q2 = 103 x 245.64 elde edilir. Buradan Q2 = 0.220 mm bulunur. Böylece deplasman vektörü,

Q = [0, 0.220, 0]T mm

olur. Gerilmeler ise

[ ] 4010231070220.00

11200

1070 633

1 ××××−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−×

= −σ =12.60 MPa

[ ] 40107,11102000220.0

11300

10200 633

2 ××××−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−×

= −σ =-240.27 MPa

olarak hesaplanır. C ***** CUBUK VE KIRIS PROBLEMLERI ***** DIMENSION X(60), A(59), NU(10), U(10), DT(59), S(60,4) DIMENSION F(60),YM(59),ALP(50),STR(59),REAK(10),MOM(59),KES(59) C :::::::::::::::::BOYUTLAR DEGISTIRILIR INTEGER ESD REAL*8 MOM,KES CHARACTER*16 FILE1,FILE2 C **********************************OKUMA PRINT *, 'DOSYA ADI =?' READ '(A)', FILE1 LINP = 5 OPEN (UNIT = 5, FILE = FILE1) READ(LINP,*)ESD, NE, NL, ND NN=NE+1 DO 10 I = 1, NE READ(LINP,*) N, A(N), YM(N), ALP(N), DT(N) 10 CONTINUE DO 11 I = 1, NN READ(LINP,*)N, X(N) 11 CONTINUE DO 12 I = 1, ND READ(LINP,*)NU(I), U(I) 12 CONTINUE DO 13 I=1, NE+1 13 F(I)=0 IF (NL.EQ.0) GO TO 15 DO 14 I = 1, NL 14 READ(LINP,*)N, F(N) PRINT *, 'HER SEY YOLUNDA..............' 15 IF (ESD.EQ.2)THEN NQ=NE+1

39


CALL BAR(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,STR,STR1,NQ,NE,U,NU,ND,NL) ELSE NN=NE+1 NQ=2*NN CALL BEAM(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,MOM,KES,NQ,NE,U,NU,ND,NL) END IF PRINT *, 'ISLEM TAMAM,' PRINT *, ' SONUCLAR ICIN DOSYA ADI ?' READ '(A)', FILE2 LOUT = 11 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) 16 FORMAT(I4,E15.4) 17 FORMAT(I4,2E15.4) WRITE(LOUT,18) 18 FORMAT('DUGNO DEPL') WRITE(LOUT,16)(I, F(I),I=1,NQ) IF (ESD.EQ.2) THEN WRITE(LOUT,19) 19 FORMAT('ELEMNO GERILME') WRITE(LOUT,16)(I, STR(I),I=1,NE) ELSE WRITE(LOUT,21) 21 FORMAT('ELEMNO MOMENT KESME_KUV') WRITE(LOUT,17)(I, MOM(I), KES(I), I=1,NE) END IF WRITE(LOUT,22) 22 FORMAT('DUGNO REAKS') WRITE(LOUT,16)(NU(I),REAK(I),I=1,ND) CLOSE(LOUT) PRINT *, 'Sonuclar su dosyada =', FILE2 END C ===CUBUK PROGRAMI===== SUBROUTINE BAR(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,STR,STR1,NQ,NE,U,NU, *ND,NL) INTEGER ESD,YBG DIMENSION S(NQ, ESD),F(NQ),STR(NE),X(NQ),YM(NE),A(NE) DIMENSION ALP(NE),DT(NE),U(10),NU(10),REAK(10) YBG = 2 NN=NE+1 DO 21 I = 1, NN DO 21 J = 1, YBG 21 S(I, J) = 0. C *** Rijitlik *** DO 22 I = 1, NE X21 = X(I+1) - X(I) EL = ABS(X21) EAL = YM(I) * A(I) / EL TL = YM(I) * ALP(I) * DT(I) * A(I) * EL / X21 C *** SISL YUK *** F(I) = F(I) - TL F(I+1) = F(I+1) + TL C *** ELEMAM rijitligi *** S(I, 1) = S(I, 1) + EAL S(I+1, 1) = S(I+1, 1) + EAL S(I, 2) = S(I, 2) - EAL 22 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1)) * 10000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,NQ,ESD) C *** Denklem cozumu *** CALL BAND(S, F, NQ, YBG, ESD, NN) CALL REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NN)

40


C *** Gerilme hes *** DO 24 I = 1, NE EPS = (F(I + 1) - F(I)) / (X(I + 1) - X(I)) 24 STR(I) = YM(I) * (EPS - ALP(I) * DT(I)) RETURN END C ===KIRIS PROGRAMI===== SUBROUTINE BEAM(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,MOM,KES,NQ,NE,U,NU, *ND,NL) INTEGER ESD,YBG REAL*8 MOM,KES DIMENSION S(NQ, ESD),F(NQ),MOM(NE),X(NQ),YM(NE),A(NE) DIMENSION ALP(NE),DT(NE),KES(NE),U(10),NU(10),REAK(10) C ** TOPLAM SERBESTLIK ** NN = NE+1 YBG = 4 C *** Genel rijitlik *** DO 31 I = 1, NE I1 = 2 * I - 1 EL = ABS(X(I + 1) - X(I)) EIL = YM(I) * A(I) / EL**3 S(I1, 1) = S(I1, 1) + 12 * EIL S(I1, 2) = S(I1, 2) + EIL * 6 * EL S(I1, 3) = S(I1, 3) - 12 * EIL S(I1, 4) = S(I1, 4) + EIL * 6 * EL S(I1 + 1, 1) = S(I1 + 1, 1) + EIL * 4 * EL * EL S(I1 + 1, 2) = S(I1 + 1, 2) - EIL * 6 * EL S(I1 + 1, 3) = S(I1 + 1, 3) + EIL * 2 * EL * EL S(I1 + 2, 1) = S(I1 + 2, 1) + EIL * 12 S(I1 + 2, 2) = S(I1 + 2, 2) - EIL * 6 * EL S(I1 + 3, 1) = S(I1 + 3, 1) + EIL * 4 * EL * EL 31 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1)) * 10000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,NQ,ESD) C *** Denklem cozumu *** CALL BAND(S, F, NQ, YBG, ESD, NQ) CALL REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NQ) C *** Moment ve Kesme kuvveti hes *** C *** R=0, ELEMANIN ORTA NOKTASI *** R=0 DO 33 I = 1, NE LE=X(I + 1) - X(I) YMM=YM(I)/LE**2 YMV=YM(I)/LE**3 AE=A(I) Q1=F(2*I-1) Q2=F(2*I) Q3=F(2*I+1) Q4=F(2*I+2) MOM(I)=YMM*AE*(6*R*Q1+(3*R-1)*LE*Q2-6*R*Q3+(3*R+1)*LE*Q4) 33 KES(I)=6*YMV*AE*(2*Q1+LE*Q2-2*Q3+LE*Q4) RETURN END SUBROUTINE BAND(A, B, IMAX, YBG, ESD, N) INTEGER YBG, ESD DIMENSION A(IMAX,YBG), B(IMAX) N1 = N - 1 c *** Eliminasyon *** IF (ESD.EQ.2)THEN N1 = N - 1 DO 12 K = 1, N1

41


NBK = N - K + 1 IF (NBK .GT. YBG) NBK = YBG K1 = K + 1 NK1 = NBK + K - 1 DO 12 I = K1, NK1 I1 = I - K + 1 C = A(K, I1) / A(K, 1) DO 13 J = I, NK1 J1 = J - I + 1 J2 = J - K + 1 13 A(I, J1) = A(I, J1) - C * A(K, J2) 12 B(I) = B(I) - C * B(K) ELSE DO 21 K = 1, N1 NK = N - K + 1 IF(NK .GT. YBG) NK = YBG DO 21 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 22 J = I, NK J1 = J - I + 1 22 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J) 21 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) END IF c *** yerlestirme *** IF (ESD.EQ.2)THEN B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 14 II = 1, N1 I = N - II NBI = N - I + 1 IF (NBI .GT. YBG) NBI = YBG SUM = 0. DO 15 J = 2, NBI 15 SUM = SUM + A(I, J) * B(I + J - 1) 14 B(I) = (B(I) - SUM) / A(I, 1) ELSE B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 3 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 4 J = 2, NK 4 B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) 3 CONTINUE END IF RETURN END C *** Sinir sartlari *** SUBROUTINE SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,IMAX,ESD) INTEGER ESD DIMENSION S(IMAX,ESD),F(IMAX),U(10),NU(10) DO 1 I = 1, ND N = NU(I) S(N, 1) = S(N, 1) + CNST 1 F(N) = F(N) + CNST * U(I) RETURN END C *** Reaksiyon *** SUBROUTINE REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NQ)

42


DIMENSION REAK(10),U(10),F(NQ),NU(10) DO 1 I = 1, ND N = NU(I) R = CNST * (U(I) - F(N)) 1 REAK(I) = R RETURN END C ******** KAFES VE CERCEVE PROBLEMLERI ******** DIMENSION X(100,2),NOC(100,4),PM(10,2),ARIN(20,2) DIMENSION NU(50),U(50),TEMP(200),NSET(200) DIMENSION S(200,50),F(200), SE6(6,6),SE4(4,4) C :::::::::::::::::BOYUTLAR DEGISTIRILIR CHARACTER*16 FILE1,FILE2 INTEGER DSD,YBG REAL*8 MOM,KES IMAX = 200 PRINT '(A,$)', 'DOSYA ADI =?' READ '(A)',FILE1 LINP = 5 OPEN (UNIT = 5, FILE = FILE1) READ(LINP,*) DSD,NE,NN,ND,NL,NM,NA,NTEL NQ = DSD * NN C *** YARIBANT GENISLIGI YBG = 0 DO 100 I = 1, NE READ(LINP,*) N,NOC(N,1),NOC(N,2),NOC(N,3),NOC(N,4) C = DSD * (ABS(NOC(N, 2) - NOC(N, 1)) + 1) IF (YBG .LT. C) YBG = C 100 CONTINUE C *** SIFIRLAMA *** DO 110 I = 1, NQ F(NQ) = 0 DO 110 J = 1, YBG S(I, J) = 0 110 CONTINUE READ(LINP,*) (N, X(N, 1), X(N, 2), I=1,NN) READ(LINP,*) (N, PM(N, 1), PM(N, 2),I=1,NM) READ(LINP,*) (N, ARIN(N, 1), ARIN(N, 2),I=1,NA) READ(LINP,*) (NU(I), U(I),I=1,ND) IF( NTEL .EQ. 0 ) GO TO 111 READ(LINP,*) (NSET(I), TEMP(I), I=1,NTEL) 111 READ(LINP,*) (N, F(N), I=1,NL) CLOSE (LINP) PRINT *, 'HER SEY YOLUNDA..............' C *** GLOBAL STIFFNESS MATRIX *** DO 190 N = 1, NE CALL ATA(NE,N,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) C +++ ELEMAN RIJITLIGI +++ IF (DSD.EQ.3)THEN CALL FRAME(JEL,SE6,CS,SN,EL,EIL,EAL) ELSE CALL TRUSS(JEL,SE4,CS,SN,EL,EIL,EAL) END IF C '''''''''YERLESTIRME'''''''''' DO 180 II = 1, 2 NRT = DSD * (NOC(N, II) - 1) DO 180 IT = 1, DSD NR = NRT + IT I = DSD * (II - 1) + IT

43


DO 180 JJ = 1, 2 NCT = DSD * (NOC(N, JJ) - 1) DO 180 JT = 1, DSD J = DSD * (JJ - 1) + JT NC = NCT + JT - NR + 1 IF(NC .LE. 0) GO TO 180 IF (DSD.EQ.2) GOTO 179 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE6(I, J) GOTO 180 179 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE4(I, J) 180 CONTINUE IF( NTEL .EQ. 0 ) GO TO 190 DO 151 IJT = 1, NTEL IF( N .NE. NSET(IJT) ) GO TO 151 EE0 = PM(I3, 2) * TEMP(IJT) * PM(I3, 1) * ARIN(I4,1) II1=DSD*I1-DSD+1 II2=DSD*I1-DSD+2 JJ1=DSD*I2-DSD+1 JJ2=DSD*I2-DSD+2 F(II1) = F(II1) - EE0 * CS F(II2) = F(II2) - EE0 * SN F(JJ1) = F(JJ1) + EE0 * CS F(JJ2) = F(JJ2) + EE0 * SN 151 CONTINUE 190 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1) + S(3, 1)) * 100000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,IMAX,DSD) C *** DENKLEM COZUMU *** CALL BAND(S, F, IMAX, YBG, NQ) PRINT '(A,$)', ' CIKTI DOSYASI =?' READ '(A)',FILE2 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) LOUT = 11 C *** REAKSIYONLAR *** WRITE (LOUT, '(A)') 'SDNO REAKSIYON' DO 220 I = 1, ND N = NU(I) R = CNST * (U(I) - F(N)) WRITE (LOUT,'(I4,E12.4)')N,R 220 CONTINUE IF (DSD.EQ.3) GOTO 209 WRITE(LOUT,'(A)') ' DUGNO X-DEP Y-DEP' WRITE(LOUT,'(1X,I4,2E15.4)') (I,F(2*I-1),F(2*I),I=1,NN) C *** GERILME HESABI *** WRITE(LOUT,'(A)') ' ELEMNO GERILME' DO 192 I = 1, NE CALL ATA(NE,I,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) J2 = 2 * I1 J1 = J2 - 1 K2 = 2 * I2 K1 = K2 - 1 DT = (F(K1) - F(J1)) * CS + (F(K2) - F(J2)) * SN STRESS = DT * PM(I3, 1) / EL DO 182 IJT = 1, NTEL IF(I .NE. NSET(IJT)) GO TO 180 STRESS = STRESS - PM(I3, 1) * PM(I3, 2) * TEMP(IJT) 182 CONTINUE WRITE(LOUT, '(1X,I4,E15.4)') I, STRESS 192 CONTINUE GOTO 34 209 WRITE(LOUT,'(A)') ' DUGNO X-DEP Y-DEP DONME'

44


DO 210 I = 1, NN I1 = 3*I - 2 I2 = I1 + 1 I3 = I1 + 2 WRITE (LOUT,'(I4,3E12.4)')I,F(I1),F(I2),F(I3) 210 CONTINUE C *** Moment ve Kesme kuvveti hes *** C *** R=0, ELEMANIN ORTA NOKTASI *** WRITE (LOUT, '(A)') 'ELEMNO MOMENT KESME_KUVVETI' R=0 YVM=0 EL=0 DO 33 I = 1, NE CALL ATA(NE,I,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) YMM=EIL/EL YVM=YMM/EL AE=ARIN(I4,2) Q1=F(3*I1-2)*CS+F(3*I1-1)*SN Q2=-F(3*I1-2)*SN+F(3*I1-1)*CS Q3=F(3*I1) Q4=F(3*I2-2)*CS+F(3*I2-1)*SN Q5=-F(3*I2-2)*SN+F(3*I2-1)*CS Q6=F(3*I2) MOM=YMM*AE*(6*R*Q1+(3*R-1)*EL*Q2-6*R*Q3+(3*R+1)*EL*Q4) KES=6*YMV*AE*(2*Q1+EL*Q2-2*Q3+EL*Q4) 33 WRITE(LOUT, '(1X,I4,2E15.4)') I, MOM, KES CLOSE(LOUT) 34 PRINT *,'SONUCLAR SU DOSYADA =',FILE2 END SUBROUTINE ATA(JE,N,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN, *X,IN) DIMENSION NOC(100,4),PM(10),ARIN(20,2),X(100,2) I1 = NOC(N, 1) I2 = NOC(N, 2) I3 = NOC(N, 3) I4 = NOC(N, 4) X21 = X(I2, 1) - X(I1, 1) Y21 = X(I2, 2) - X(I1, 2) EL = SQRT(X21 * X21 + Y21 * Y21) EAL = PM(I3) * ARIN(I4, 1) / EL EIL = PM(I3) * ARIN(I4, 2) / EL CS = X21 / EL SN = Y21 / EL RETURN END SUBROUTINE FRAME(JEL,SE,CS,SN,EL,EIL,EAL) C ===== EL RIJITLIGI ===== DIMENSION SE(6,6) SE(1, 1) = EAL * CS * CS + 12 * EIL * SN * SN / EL ** 2 SE(1, 2) = EAL * CS * SN - 12 * EIL * CS * SN / EL ** 2 SE(2, 1) = SE(1, 2) SE(1, 3) = -6 * EIL * SN / EL SE(3, 1) = SE(1, 3) SE(1, 4) = -SE(1, 1) SE(4, 1) = SE(1, 4) SE(1, 5) = -SE(1, 2) SE(5, 1) = SE(1, 5) SE(1, 6) = SE(1, 3) SE(6, 1) = SE(1, 6) SE(2, 2) = EAL * SN * SN + 12 * EIL * CS * CS / EL ** 2 SE(2, 3) = 6 * EIL * CS / EL

45


SE(3, 2) = SE(2, 3) SE(2, 4) = -SE(1, 2) SE(4, 2) = SE(2, 4) SE(2, 5) = -SE(2, 2) SE(5, 2) = SE(2, 5) SE(2, 6) = SE(2, 3) SE(6, 2) = SE(2, 6) SE(3, 3) = 4 * EIL SE(3, 4) = -SE(1, 3) SE(4, 3) = SE(3, 4) SE(3, 5) = -SE(2, 3) SE(5, 3) = SE(3, 5) SE(3, 6) = 2 * EIL SE(6, 3) = SE(3, 6) SE(4, 4) = SE(1, 1) SE(4, 5) = SE(1, 2) SE(5, 4) = SE(4, 5) SE(4, 6) = -SE(1, 3) SE(6, 4) = SE(4, 6) SE(5, 5) = SE(2, 2) SE(5, 6) = -SE(2, 3) SE(6, 5) = SE(5, 6) SE(6, 6) = 4 * EIL RETURN END SUBROUTINE TRUSS(JEL,SE,CS,SN,EL,EIL,EAL) DIMENSION SE(4,4) SE(1, 1) = CS * CS * EAL SE(1, 2) = CS * SN * EAL SE(2, 1) = SE(1, 2) SE(1, 3) = -CS * CS * EAL SE(3, 1) = SE(1, 3) SE(1, 4) = -CS * SN * EAL SE(4, 1) = SE(1, 4) SE(2, 2) = SN * SN * EAL SE(2, 3) = -CS * SN * EAL SE(3, 2) = SE(2, 3) SE(2, 4) = -SN * SN * EAL SE(4, 2) = SE(2, 4) SE(3, 3) = CS * CS * EAL SE(3, 4) = CS * SN * EAL SE(4, 3) = SE(3, 4) SE(4, 4) = SN * SN * EAL RETURN END C *** SINIRSART *** SUBROUTINE SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,IMAX,DSD) INTEGER DSD DIMENSION S(IMAX,DSD),F(IMAX),U(10),NU(10) DO 1 I = 1, ND N = NU(I) S(N, 1) = S(N, 1) + CNST 1 F(N) = F(N) + CNST * U(I) RETURN END SUBROUTINE BAND(A, B, IMAX, YBG, N) DIMENSION A(IMAX,YBG), B(IMAX) INTEGER YBG N1 = N - 1 C *** ELIMINASYON ***' DO 21 K = 1, N1

46


NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 21 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 22 J = I, NK J1 = J - I + 1 22 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J) 21 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) C *** YERLESTIRME *** B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 23 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 23 J = 2, NK 23 B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) RETURN END

47

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

KAFES SİSTEMLERİ

1.GİRİŞ

Kafes sistemler doğru eksenli çubuklardan oluşan taşıyıcı sistemlerdir. Köprüler, çatı

bağlantıları, vinç gövdesi gibi sistemler kafeslere birer örnektir. En çok kullanılan L, U, I

profilli çubuklar, borular ve özel şekillendirilmiş elemanlar, uçlarından mafsallarla,

bağlanırlar. Kafesi meydana getiren çubuklar düzlem içindelerse bunlara düzlemsel kafes

denir. En basit kafes sistem üçgen şeklinde olandır. Üç düğüm ve üç çubuktan oluşur.

Buna temel üçgen sistemi denir. Temel üçgen sistemine iki çubuk daha eklenir ve bunlar

bir düğüm noktasında birleştirilirse yeni bir kafes sistem ortaya çıkar. Basit kafes sistemler

temel üçgen sisteme; üçgenlerin eklenmesiyle oluşmuşlardır. Basit kafes sistemleri

çubuklarla birbirine birleştirilirse birleşik kafes sistemleri elde edilir. Basit ve birleşik

kafes sistemleri dışında kalan sistemlere karışık kafes sistemleri denir (Şekil 1). Kafes

sistemlerinin analizi için çeşitli grafik ve analitik yöntemler bulunmaktadır. Bu bölümde

düzlemsel kafeslerden başlanarak kafes sistemlerinin sonlu elemanlar metodu ile analizi

verilecek daha sonra 3 boyutlu kafesler için bir genellemeye gidilecektir.

Şekil 1. Basit kafes sistemi, birleşik kafes sistemi ve karışık kafes sistemleri


2. SONLU ELEMAN FORMÜLASYONU

Kafes yapıları yalnızca iki yönlü yük taşıyan elemanlardan oluşmuş bir yapıdır. Yani

kafesi oluşturan bütün elemanlar yalnızca çekme yada basmaya çalışırlar. Şekil 2’de genel

bir kafes yapısı verilmiştir. Kafes sisteminde yükler birleşme yerlerinden uygulanır ve

elemanlar yalnızca uçlarından sürtünmesiz mafsallarla birbirine bağlanırlar.

Q2i

Q12 Q14 Q16 İ Q2i-1

Q11 Q13 Q156 7 8

Q2 Q3 Q6 Q8 Q10

1 Q1 2 Q3 3 Q5 4 Q7 5 Q9

P1 P2 P3

Şekil 2 Kafes sisteminin sonlu eleman modeli

2.1. Düzlemsel Kafesler

Lokal ve Global Koordinat Sistemleri: Daha önce ele aldığımız tek boyutlu elemanlarla

kafesler arasındaki esas fark, kafes elemanlarının değişik yönelimlere sahip olmasıdır. Bu

farklı yönelimleri açıklayabilmek için yerel ve global koordinat sistemleri tanımlanır.

Basit bir düzlem kafes elemanı Şekil 3’te lokal ve global koordinat sistemlerinde

görülmektedir. Yerel koordinatlarda elemanın düğüm noktaları 1 ve 2 olarak

numaralandırılmıştır. Sistemde elemanın 1 düğümünden 2 düğümüne doğru giden bir x'

ekseni bulunmaktadır. (Bundan sonra yerel koordinat sisteminde verilecek bütün

büyüklüklerde ( ' ) işareti bulunacaktır.) Global x-y koordinat sistemi ise sabittir ve

elemanın doğrultusuna bağlı bağlı değildir. x, y, z koordinat sistemi, z ekseni kağıt

düzlemine dik olmak üzere sağ el kuralına uygun bir diziliş izlemektedir. Global koordinat

sisteminde her düğüm iki serbestlik derecesine sahiptir. Düğümlerin ve serbestlik

derecelerinin numaralandılmasında sistematik bir numaralandırma şekli geliştirilmiştir.

Buna göre global düğüm numarası j olan bir düğümün serbestlik derecesi ve 22 1j− j ile,

buna karşılık gelen genel deplasmanlar ise Q2j-1 ve Qj ile gösterilmektedir (Şekil 2.)

Bölüm 4-22


q 1 ve q 2 lokal koordinat sisteminde 1 ve 2 düğümlerinin deplasmanı olsun. Böylece,

yerel koordinat sistemindeki elemanın deplasman vektörü;

[ Tqqq 21 ′′=′ ]

]

θ

θ

(1) şeklinde gösterilir. Genel koordinat sisteminde elemanın deplasman vektörü ( 4x1 )

boyutunda bir vektör olup

[ qqqqqT

4,, 32,1= (2)

şeklindedir. q' ve q arasındaki bağıntı için şekil 3’e bakalım. Deforme olmuş

elemandan x' eksenine q1 ve q2 nin izdüşülerinin toplamı q 1 ye eşittir. Yani,

q q Cos q Sin1 1 2

' = +θ (3a) Benzer şekilde,

q q Cos q Sin2 3 4' = +θ (3b)

Buradan l = Cos θ ve m = Sin θ şeklinde doğrultu kosinüslerini tanımlayabiliriz. Bu

doğrultu kosinüsleri yerel x' ekseninin genel x-y eksenleri ile yaptığı açıların kosinüsleridir.

Böylece (3a) ve (3b) matris notasyonu ile,

q' = [L]q (4) şeklinde yazılabilir. Burada [L] transformasyon matrisi olup,

Bölüm 4-33


q’2

q4q3

q’1

θ q2 q1

2

y 1

x

x’

Şekil 3. Global ve lokal koordinat sistemlerinde kafes elemanı

Ll m

l m=

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

0 00 0

(5)

şeklindedir. l ve m 'nin hesaplanması: Düğüm koordinatları yardımıyla l ve m doğrultu kosinüslerini

hesaplamak mümkündür. Şekil 4’de görüldüğü gibi bir kafes elemanda, düğüm

koordinatları ( x1,y1 ) ve ( x2,y2 ), olmak üzere doğrultu kosinüsleri,

lx x

le=

−2 1 my y

le=

−2 1 (6)

şeklinde yazılabilir. le uzunluğu ise,

l x x y ye = − − −( ) (2 12

2 12) (7)

dir.

2 (x2,y2)

le

φ (y2-y1) θ(x1,y1) 1 (x2-x1)

Şekil 4. Doğrultu kosinüsleri

Bölüm 4-44


Elemanın Rijitlik Matrisi: Kafes elemanı lokal koordinat sisteminde bakıldığında tek

boyutlu bir çubuk elemandır. Bu nedenle burada daha önce çubuk eleman için geliştirilen

rijitlik matrisi kullanılabilir. Lokal koordinat sistemindeki bir eleman için rijitlik matrisi,

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡′

1111.

--

lAE

=ke

ee (8)

ile verilmektedir. Burada Ae elemanın kesit alanı, Ee ise elastisite modülüdür. Buradan

global koordinat sistemindeki elemanın rijitlik matrisi için, elemandaki şekil değiştirme

enerjisinden hareket edilir. Öncelikle yerel koordinatlardaki şekil değiştirme enerjisi,

[ ] '''

21 qkqU TT

e = (9)

dır. q' = [L].q dönüşümü ile,

[ ][ ] [ ][ qLkLqU TTe

'

21

= ] (10)

elde edilir. Kısaca,

Ue = [ ] qkq T

21 (11)

şeklinde yazabiliriz. Burada [k] genel koordinatlardaki elemanın rijitlik matrisi olup,

[ ] [ ] [ ] [ ]LkLk T '= (12) şeklinde elde edilir. (5)’teki [L] ve (8)’deki [k]' yerine konursa eleman rijitlik matrisi

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mlmm-lm-lmllm-l-m-lm-mlmlm-llml

lEA

k2

2

e

ee-

22

22

2

2

..

(13)

elde edilir.

Gerilme Hesapları: Kafes elemanın yerel koordinatlar yalnızca çekme ve basınca çalışan

bir boyutlu çubuk eleman olduğunu yeniden hatırlanırsa, elemandaki gerilme,

εσ .eE= (14)

dir. Şekil değiştirme, orijinal boyun birim uzunluğundaki değişiklik olduğundan,

Bölüm 4-55


[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=2

112''1''

qq1 -

lE

=l

qqEe

e

eeσ (15)

elde edilir. q'=[L].q olduğundan,

[ ] ][ qL1- 1lE

e

e=σ (16)

yazılabilir. Böylece,

][ qmlmllE

e

e −−=σ (17)

elde edilir. Elde edilen gerilme pozitif ise elemanın çekiye çalıştığı, negatif ise elemanın

basıya maruz olduğunu anlaşılır.

Örnek: Şekilde verilen 4 çubuklu kafes sisteminde E=29.5x106 N/cm² ve tüm elemanların alanı Ae=1 cm² olduğuna göre (a) Eleman rijitlik matrislerini, (b) Genel rijitlik matrisini, (c) Eliminasyon metodunu kullanarak deplasmanları, (d) Elemanlardaki gerilmeleri ve (e) Reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.

Çözüm: (a) Eleman süreklilik bilgileri ve düğüm koordinatları aşağıda verilmiştir. Eleman düğüm numaralarının sıralamasında öncelik önemli değildir. Yani 2. elemanın düğüm numarası sırasını 2-3 yazılabileceği gibi 3-2 de yazıla. Örnek olarak 3 nolu elemanın doğrultu kosinüsleri,

( ) 0.8=1270

0-1016=-= 13

lexxl

30mm

40mm20 000 N

25 000 NQ8

Q7

Q6

Q5

Q4

Q3

4 3

2

1

Q2

Q1

1

4

3 2

y

x

( )0.6=

12700-762=

-= 13

leyy

m olarak hesaplanır. Diğer elemanların doğrultu kosinüsleri ve

eleman boyları aynı şekilde hesaplanır. Bu değerler de tabloda verilmiştir. Eleman No Düğüm 1 Düğüm 2 le l m Düğüm No: x y

1 1 2 40 1 0 1 0 0 2 3 2 30 0 -1 2 40 0 3 1 3 50 0.8 0.6 3 40 30 4 4 3 40 1 0 4 0 30

Bölüm 4-66


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000010l-00000l-01

40105.29=][

6

1xk

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10l-00000l-010

0000

301029.5x][

6

2k

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

×=

36.048.036.048.048.064.048.064.036.048.036.048.048.064.048.064.0

50105.29][

6

3k

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

×=

0000010100000101

40105.29][

6

4k

(b) Sistemin genel rijitlik matrisisi eleman rijitlik matrislerinin eleman süreklilik tablosu da dikkate alınarak toplanmasıyla elde edilir.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

−−−−−−

×=

0000000001501500000032.2476.520032.476.501576.568.220076.568.7002002000000000150150032.476.50032.476.50076.568.701576.568.22

600105.29][

6

K

Şekilden görüldüğü gibi 1 ve 4 düğümlerinde her iki serbestlik derecesi 2 düğümünde ise y yönündeki serbestlik derecesi sıfırdır. Bunlar da Q1, Q2, Q4, Q7 ve Q8 deplasmanlarına karşılık gelmektedir. Böylece indirgenmiş sonlu eleman denklemi,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000 25 -0000 20

= 32,2476,50

76,568,2200015

6001029.5x

6

5

36

QQQ

olur. Denklemlerin çözümü ile

cm 10 3-22.25x-

10 3-x10 3-27.12x

= QQQ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫65.5

6

5

3

elde edilir. Genel deplasman vektörü,

[ ] cm 00,,3-22.25x10-,3-5.65x100,,3-27.12x100,0, = QT

(d) Elemanlardaki gerilmeler (17)’den hesaplanır. 1. Elemanın deplasman vektörü,

[ 0,3-27.12x100, 0, = T

q ] olup elemanlardaki gerilmeler

Bölüm 4-77


[ ]σ1

6

329 5 10

401 0 1 0

00

2712 100

=×

−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

−

.. x

=20 kN/cm²

[ ]σ2 = 29.5x10

30 0 1 0 - 1

5.65x10- 22.25x1027.12x10

0

6

-3

-3

-3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=-21.9 kN/cm²

ve benzer şekilde σ3 = 5.21 kN/cm² σ4 =4.2 kN/cm² olarak hesaplanır. (e) Son olarak mesnet reaksiyonları R=[K]Q-F yardımıyla hesaplanır. Bu mesnet tepkilerini bulmak için formülasyonda [K] nın mesnetlere karşılık gelen satır ve sütunları yeterlidir. Tutulu düğümlere karşılık gelen serbestlik dereceleri 1,2,4,7 ve 8 olduğundan ve bu düğümlerde kuvvet bulunmadığından

1

2

4

7

8

6

3

3

29 5 10600

22 68 5 76 0 05 76 4 32 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 15 00 0 0 0 0 0 0 0

00

27 12 100

565 10

00

RRRRR

x

x

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

−

−=x

- 15 0 - 7,68 - 5,760 - 5,76 - 4,32

20 0 - 200 - 15

- 22.25x10-3

.

, ,, ,

.

.⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

elde edilir. Buradan da 0 25 000 N

4 167 N

15 833 N 20 000 N

3 126 N 21 879 N

1

2

4

7

8

=

-158333126

21879- 4167

0

N

RRRRR

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

bulunur. Kafes sisteminin serbest cisim diyagramı şekilde verilmiştir.

2.2. Sıcaklığın Etkisi

Daha önce lokal koordinatlarda kafes elemanının çubuk eleman olarak ele alınabileceğini

görmüştük. Buna göre, çubuk elemandaki sıcaklık yükü,

1

1..' 0−= εθ ee AE (18)

idi. Buradaki sıcaklık değişiminin neden olduğu başlangıç şekil değişimi;

Bölüm 4-88


T∆= .0 αε (19)

dir. Herhangi bir yapıda başlangıç şekil değişimi yalnızca sıcaklık sebebiyle değil çeşitli

şekillerde (ön gerilme, fabrikasyon hataları vb) ortaya çıkabilir.

Sıcaklık yük vektörünün genel koordinat sistemindeki ifadesi için, potansiyel enerji yerel

veya genel koordinat sistemlerinde büyüklük olarak aynı olduğundan,

θθ TT q= q '' (20)

şeklinde yazılabilir. Diğer taraftan q'=[L].q olduğundan

[ ] θθ TTT q = L q ' (21)

elde edilir. Görüldüğü gibi yerel koordinatlardaki yük vektörü ile global koordinatlardaki

yük vektörü doğrultu kosinüsleri ile orantılı olmaktadır. Yani,

' ][= T θθ L (22)

Ya da,

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−−

=

mlml

AE eee ... εθ (23)

olarak elde edilir. Sıcaklık yükü, uygulanan diğer kuvvetlerle toplanarak genel yük vektörü

elde edildikten sonra bilinen tarzda deplasmanlar elde edilir. Gerilmeler ise,

).( 0εεσ −= E (24)

ifadesinden elde edilmektedir. (17)’yi ve T∆= .0 αε eşitliğini de kullanarak,

[ ] TE-q mlm -l - lE

ee

e ∆ασ = (25)

açık bir şekilde elde edilir.

Bölüm 4-99


Örnek: Şekilde verilen 4 çubuklu kafes sisteminde E=29.5x106 N/cm² ısıl genleşme katsayısı α=6.7 10-6 1/0C ve tüm elemanların alanı Ae=1 cm² olduğuna göre (a) 2 ve 3 numaralı elemanların sıcaklıklarında 500C lık bir artış olması durumunda eliminasyon yaklaşımını kullanarak gerilme ve deplasmanları hesaplayınız. (b) 2 düğümünün verilen yükler altında 0.12 cm’lik bir hareketine müsaade edildiğine göre penaltı yaklaşımını kullanarak denge denklemlerini elde ediniz.

30mm

40mm

∆T= 500C

3

21 1

4

3 2

y

0.12 cm

25 000 N

2

y

x

(a) (b)

20 000 N

Çözüm: (a) Eleman rijitlik matrisleri önceki örnekte elde edilmişti. Burada yalnızca sıcaklık yük vektörü elde edilecektir. (23) kullanılarak 2 ve 3 elemanlarındaki sıcaklık yükleri,

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

= −

1010

107.650105.29

6

6

2 xxxθ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−−

= −

6.08.06.08.0

107.650105.29

6

6

3 xxxθ

olur. Genel yük vektörü elde edildikten sonra eliminasyon yaklaşımına göre tutulu serbestlik derecelerine karşılık gelen satır ve sütunlar silinerek denge denklemi,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3.157337.7866

0

32.2476.5076.568.2200015

600105.29

6

5

36

QQQ

x

elde edilir. Buradan genel deplasman vektörü,

[ cm 00,,3-x10,3-.9x100,,0,0, = QT

2.1230 ] elde edilir. Elemanlardaki gerilmeler (25)’den hesaplanır. Örnek olarak 2. Elemandaki gerilme,

[ ]6

66

2 107.650105.29

00

0122.00039.0

101030

105.29−

×−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−×

=x

xσ =8631 N/cm²

elde edilir. Diğer gerilmeler aynı şekilde σ1 = 0, σ3 = -3643 N/cm² , σ4 =2914 N/cm² olarak hesaplanır. (b) Penaltı yaklaşımında tanımlı serbestlik derecelerine karşlık gelen diyagonal elemanınan büyük bir C sayısının eklendiğini ve bunun genel rijitlik matrisinin en büyük elemanının 104 katı kadar alınabileceğini görmüştük. Aynı şekilde a tanımlı deplasman olmak üzere kuvvet vektörüne de Ca sayısının eklendiğini biliyoruz. Burada 4 numaralı serbestlik derecesinin deplasmanı 0.12 cm olduğundan 4 numaralı kuvvet elemanına 0.12C’nin eklenmesi gerekecektir. Bu durumda düzeltilmiş sonlu eleman denklemi

Bölüm 4-1010


⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−−

−−−−+

−−−+−−−+

×

00

25000012.0

2000000

000000001501500000032.2476.520032.476.501576.568.220076.568.7002002000000000150150032.476.50032.476.50076.568.701576.568.22

600105.29

8

7

6

5

4

3

2

1

6 C

QQQQQQQQ

CC

C

CC

elde edilir. C=1.2 1010 =(24.3x29.5x106/600)104 alınarak denklemin çözülmesiyle bilinmeyen deplasmanlar ve gerilmeler

cm=

QQQQ

6

5

4

3

210

7.122.3

127.2

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

2/

8.238.29

12.720

cmkN=

4

3

2

1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

σσσσ

bulunur.

3. ÜÇ BOYUTLU KAFESLER

Üç boyutlu kafes elemanı, yukarıda anlatılan düzlemsel kafes elemanının genelleştirilmiş

şeklidir. Bir üç boyutlu kafes elemanı için yerel ve genel koordinat sistemleri (Şekil 5)'de

gösterilmektedir. Burada da yerel kooordinat sistemi eleman doğrultusundaki x

eksenidir. Yerel koordinatlarda düğüm deplasmanları vektörü,

[ T

1 qq'=q' 2', ]

]

(26) dir. Genel koordinatlarda ise düzlem kafes elemanında 4 olan eleman sayısı her düğümde

üçer elemandan 6 ya çıkmıştır.

[ T

1 qqqqqq=q 65432 ,,,,, (27) Şekil 5’den görüleceği gibi yerel ve genel koordinat sistemleri arasında

[ ] qLq .' = (28)

şeklinde bir transformasyon ilişkisi bulunmaktadır. Burada l, m ve n sırasıyla x, y ve z

eksenlerine göre ve x ekseninin doğrultu kosinüsleri olmak dönüşüm matrisi [L];

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡nml

nml = L

000000

(29)

Bölüm 4-1111


dir. Global koordinatlarda elemanın rijitlik matrisi (12)’de verilmiş olup üç boyutlu kafes

elemanı için

x’

1

2

x

y

z

2

1

1

2

(q1i + q2j + q3k)

(q4i + q5j + q6k)(li+mj+nk)

q’1

q'2

Şekil değiştirmiş eleman

3i-2

3i-1

3i

i

( )( )nk+mj+likq+jq+iq=q' 321 .1 qn+qm+ql= 321

qn+qm+ql=q' 6542

lez-z

z),xCos(=n ,le

y-yy),xCos(=m ,

lex-x

x),xCos(=l 121212 === '''

Şekil 5. Yerel ve genel koordinat sistemlerinde üç boyutlu bir kafes eleman

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

nmnn ln -mn -n l -mnmlmmn -m -lm -

n llmln l -lm -l-n -mn -n l -nmnn lmn -m -lm -mnmlm

n llm -l -n llml

l

A E = k

e

ee

22

22

22

22

22

22

(30)

olarak elde edilir. Doğrultu kosinüsleri Şekil 5’ten

lez -z

= n le

y - y =m

lex - x

= l 121212 (31)

dir. Bir elemanın uzunluğu ise,

l x x y y z ze = − + − + −( ) ( ) (2 1

22 1

22 1

2) (32)

Bölüm 4-1212


ile hesaplanır.

4. GENEL RİJİTLİK MATRİSİNİN BANT FORMUNDA TOPLANMASI

Genel rijitlik matrisinin simetrik olduğunu ve iyi bir düğüm numaralandırması ile bant

formunda elde edildiğini görmüştük. Bilgisayar hafızasının verimli kullanılabilmesi ve

çözüm zamanının kısaltılabilmesi için belirli prosedürler geliştirilmiştir. Elde edilen

eleman rijitlik matrisleri genel rijitlik matrisinde yerleştirilirken bant dışında kalan sıfır

değerli matris elemanlarının işleme sokulmaması için bant çözüm yöntemi geliştitilmiştir.

Bir düzlemsel kafes elemanını ele alalım. Elemanın süreklilik bilgileri aşağıdaki gibi olsun.

Eleman 1 2 Lokal düğüm nunarası

e i j Global düğüm numarası

Buradan eleman rijitlik matrisi ve karşılık gelen serbestlik dereceleri

[ ]

jj

ii

ksimkkkkkkkkk

= k

jjii

e

212

212

212212

44

3433

242322

14131211

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

(33)

şeklindedir. [k]e nin asıl diyagonali bant şeklindeki genel rijitlik matrisi [K] nin ilk

sutununa yerleştirilecektir. İkinci diagonal ikinci sütunda, üçüncü diyagonal 3. sütunda son

diyagonal ise 4. sütunda yerine konur. Böylece [k]e ve [K] elemanları arasındaki uygunluk,

)1(,/ ][][ +−→ pqpe Kk αβ (34)

olarak yazılabilir. Burada α ve β, 1, 2, 3, 4 değerlerini alan lokal serbestlik derecelerini p

ve q da 2i-1, 2i, 2j-1, 2j değerlerini alan genel serbestlik derecelerini göstermektedir.

Örnek:

1,244/1)1(2,1231/ ][][][][ jejie KkKk →→ +−−

(35) Simetri nedeniyle eleman rijitlik matrisinin yalnızca üst üçgen elemanları alınmaktadır.

Dolayısıyla verilen yerleştirme ifadeleri q ≥ p için geçerlidir.

Bölüm 4-1313


Bölüm 4-1414

BEŞİNCİ BÖLÜM

KİRİŞLER VE ÇERÇEVELER

1. GİRİŞ

Kirişler enine yüklere maruz olarak kullanılan ince-uzun elemanlardır. Bina ve köprülerde

kullanılan yatay kolonlar ve makine elemanı olarak kullanılan hareket aktarıcı mil ve

şaftlar kirişlere örnek olarak gösterilebilir. Birbirine rijit olarak bağlanmış kirişlerden

oluşan yapılara ise çerçeve adı verilir. Otomotiv, havacılık ve çeşitli makine endüstrisi

yanında inşaat sektöründe de bir çok yerde karşımıza çıkan bu yapılar genellikle kuvvet ve

hareket iletici elemanlar olarak kullanılır. Kiriş ve çerçevelerin incelenmesinde kesme

kuvveti ve eğilme momentlerinin kiriş boyunca değişimlerinin iyi bilinmesi gerekir. Bu

bölümde kirişler için sonlu eleman modeli elde edilecek daha sonra bu model düzlem

çerçeveler için genişletilecektir.

Yükleme düzlemine göre simetrik bir kesit yapısına sahip olan kirişleri ele alalım. Yatay

bir kiriş, kirişin yükler altındaki şekil değiştirme davranışı ve kiriş kesitindeki gerilme

dağılımı Şekil 1’ de gösterilmiştir. Mukavemet konularından, küçük deformasyonlar için

temel kiriş teorisine bakarsak,

σ =−MI

y (1)

εσ

=E

(2)

ddx

MEI

2

2

υ= (3)

olduğunu görürüz. Burada σ normal gerilme, ε normal şekil değiştirme, M kesitteki

eğilme momenti, υ ağırlık merkezinden geçen eksendeki (x) çökme ve I da tarafsız

eksene (z) göre atalet momentini ifade etmektedir.


L

p

Mk

m k x

y

x

vv’v

σ

Tarafsız Eksen

AğırlıkMerkezi

-y

dA

xM

V

zdx

Şekil 1. Kirişin yüklenmesi, tarafsız eksenin deformasyonu ve kiriş kesitinde gerilme dağılımı

1.1 Kirişlerde Potansiyel Enerji İfadesi

dx uzunluğundaki birim elemanın şekil değiştirme enerjisi

dxdAyEIMdxdAdU

AA⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫∫ 2

2

2

21

21 εσ

şeklindedir. Burada, kesitin atalet momenti (I) olduğundan y dA

A

2∫

dxEI

MdU2

21

= (4)

olur. Kirişler için çökme denklemi olan (3) eşitliği burada yerine konursa kirişteki toplam

şekil değiştirme enerjisi,

U EIddx

dxL

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫

12

2

20

2υ

(5)

olur. Böylece kirişteki potansiyel enerji,

'

0

2

02

2

21

k

L

m kkmm

L

vMvPdxvpdxdx

vdEI ∫ ∑ ∑∫ −−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∏ (6)

yazılabilir. Burada p birim boydaki yayılı yükü, Pm, m noktasından uygulanan tekil

kuvveti, Mk, k noktasından uygulanan kuvvet çiftini, vm, m noktasında meydana gelen

çökmeyi, xdvdv k =' da k noktasında meydana gelen eğimi göstermektedir.

Bölüm 5-22


1.2 Galerkin Yaklaşımı

Galerkin formülasyonuna kiriş üzerinden alınacak bir birim uzunluğun dengesinden

başlayabiliriz. Şekil 2’den

dVdx

p= (7)

dMdx

V= (8)

olduğunu hatırlar ve eğim ifadesini de bu eşitliklerle birleştirirsek, denge denklemi

ddx

EIddx

p2

2

2

2 0υ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ − = (9)

olur. Galerkin yaklaşımıyla yaklaşık çözüm elde etmek için çökmenin (v) değerinin

yaklaşık çözümünü verecek şekil fonksiyonları araştırılır. Bunun için denge denklemi şekil

fonksiyonu ile çarpılarak çözüm bölgesi boyunca integre edilir:

d

dxEI

ddx

p dxL

2

2

20

0υ

φ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =∫ (10)

Burada φ , v ile aynı temel şekle sahip olan uygun bir fonksiyondur. Çökmenin tanımlı bir

değeri olduğu yerlerde φ = 0 dır. Böylece elde edilen ifadenin kısmi integrali alınırsa,

(İntegral ile arasında olup örneğin, - , - , - gibi aralıklara

bölünmüştür.)

0 L 0 xm xm xk xk L

p

M+dM

V+dV

V

M

dx

Şekil 2 Kiriş diferansiyel elemanının (dx) serbest cisim diyagramı

Bölüm 5-33


02

02

2

2

2

02

2

02

2

02

2

=−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− ∫∫

L

x

x

L

x

xLL

k

k

m

m

dxd

dxdEI

dxd

dxdEI

dxdEI

dxd

dxdEI

dxddxpdx

dxd

dxdEI

φυφυ

φυφυφφυ

(11)

elde edilir. Burada, eğilme momentini, (EI d dx2υ / )2 )( ) ([ ]d dx EI d dx/ / /2 2υ kesme

kuvvetini verdiğinden, aynı zamanda φ ve M mesnetlerde sıfır olduğundan, ayrıca kesme

kuvveti diyagramında noktasındaki sıçrama ’ye eğilme momenti diyagramında da

noktasındaki sıçrama ya eşit olduğundan integral,

xm Pm

xk − M k

EIddx

ddx

dx p dx P ML

mm

L

m kk

k

2

20

2

20

0υ φ

φ φ φ∫ ∑∫ ∑− − − ' = (12)

şeklinde düzenlenebilir. Galerkin yaklaşımına dayalı olan sonlu eleman formülasyonu için

υ veφ aynı şekil fonksiyonlarını kullanarak ifade edilir. Görüldüğü gibi elde edilen

denklem virtüel işler prensibinin kirişler için yazılmış halini vermektedir.


Kiriş şekil 3’de gösterildiği gibi elemanlara ayrılır. Her düğümün iki serbestlik derecesi

vardır. i düğümünün serbestlik derecesi Q düşey deplasman ve Q de eğim veya

dönmeyi ifade edecek şekilde gösterilmiştir. Böylece deplasman vektörü,

i2 1− i2

[ T

ii QQQQQ 2221 ,1,.......,, −= ]

]

(13) olarak yazılır. Eleman için deplasman vektörü ise,

[ Tqqqqq 4321 ,,,= (14)

1 2 n1 2 3 i

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q2i-1

Q2i1

q1

q2 e 2q3

q4

v’1

v1

v’2

v2

Şekil 3 Sonlu elemanlara ayırma, genel ve yerel gösterim

Bölüm 5-44


şeklindedir. Elemanlar arasındaki süreklilik ifadesi kafes sistemlerinin incelendiği bölümde

anlatıldığı gibi elde edilir. Yerel deplasman vektörü aynı zamanda

şeklinde de ifade edilebilir. Kiriş elemanlar için kullanılan

şekil fonksiyonları değişkenler lineer özellik göstermediğinden bir boyutlu elemanlar ve

kafes sistemindeki elemanlar için verilenlerden farklıdır. Burada düğüm değerlerinin ve

düğümlerdeki eğimlerin de hesaba katılması gerekmektedir. Bu da Hermite şekil

fonksiyonları ile mümkündür (Şekil 4). Hermite şekil fonksiyonları,

[ Tvvvvq 2211 ,,, ′′= ]

4,3,2,132

1 =+++= irdrcrbaH iiii (15) şeklinde verilebilecek kübik bir forma sahiptir. Bununla beraber şekil fonksiyonları düğüm

noktalarında kiriş probleminin doğasından gelen eğim ve çökme şartlarını sağlayacak

şekilde yazılmalıdır. Bu şartlar,

H1 H’1 H2 H’2 H3 H’3 H4 H’4

R=-1 1 0 0 1 0 0 0 0 R=1 0 0 0 0 1 0 0 1

şeklindedir. Böylece genel şekil fonksiyonundaki katsayıları elde edildikten

sonra şekil fonksiyonları,

a b c di i i i, , ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3224

323

3222

321

14111

41

324121

41

14111

41

324121

41

rrrrrH

rrrrH

rrrrrH

rrrrH

++−−=−+=

−+=−+=

+−−=+−=

+−=+−=

(16)

yazılır. Bu durumda çökmeyi şekil fonksiyonları yardımıyla,

( )υ υυ

υυ

r H Hdd r

H Hdd r

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 1 2

13 2 4

2

(17)

yazabiliriz. Koordinatlar ise

rxxxxxrxrx222

12

1 122121

−+

+=

++

−= (18)

şeklinde lineer bir fonksiyonla ifade edilebilir.

Bölüm 5-55


Eğim=0

1 H1Eğim=0

1 2 r r=-1 r=0 r=+1

Eğim=0

H3 1 Eğim=0 -1 0 +1 r

H2 Eğim=1 Eğim=0 -1 0 +1 r

H4 Eğim=0 Eğim=1 -1 0 +1 r

Şekil 4. Hermite şekil fonksiyonları

Diğer taraftan, bir elemanın boyu, l x xe = −2 1 olduğundan,

drl

dx e

2= (19)

elde edilir. zincir kuralı ile, ( )(d dr d dx dx drυ υ/ / /= )

dd r

l ddx

eυ υ=

2 (20)

olur. d dxυ / 1 ve 2 düğümlerindeki ve deplasmanları olduğunundan, q2 q4

( )υ r H ql

H q H ql

H qe= + + +1 1 2 2 3 3 4 42e

2 (21)

elde edilir. Matris formunda ise,

[ ] qH=υ (22) olarak gösterilebilir. Şekil fonksiyonları vektörü,

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 4321 2

,,2

, Hl

HHı

HH ee (23)

dir. Sistemin toplam potansiyel enerjisini elemanlardaki integrallerin toplamı şeklinde

ifade edebiliriz. Bir elemanın şekil değiştirme enerjisi,

dxdxdEIU

ee

2

2

2

21

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

υ (24)

Bölüm 5-66


olduğundan, (20) yardımıyla, ddx l

ddr

veddx l

ddre e

υ υ υ υ= =

2 42

2 2

2

2 elde edilir. Bu durumda

(22) nin ikinci türevleri,

qrdHd

rdHd

lq

dxd

T

e

T⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

2

2

4

2

2

2 16υ (25)

d Hdr

rr l

rr le

2

2

32

1 32 2

32

1 32 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

− +−

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

, , , e (26)

olarak yazılabilir. olduğundan şekil değiştirme enerjisi ifadesi ( )dx l d re= / 2

( ) ( )

( )

( ) qdr

lrSim

lrrr

lrlrrlr

lrrrlrrr

lEIqU

e

e

eee

ee

e

Te ∫−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

+−+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−+−

=1

1

22

2

22

22

22

3

431

3183

49

169131

83

431

3183

4931

83

49

821 (27)

olarak elde edilir. Matris içindeki her bir terimin entegralinin alınması gerekmektedir.

∫ ∫ ∫+

−

+

−

+

−

===1

1

1

1

1

1

2 2,0,32 rdrdrrdr olduğundan, eleman şekil değiştirme enerjisi kısaca,

[ ] qkqU eT

e 21

= (28)

yazılabilir. Burada [k]e Eleman direngenlik matrisi ise

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

=

22

22

3

4626612612

2646612612

eeee

ee

eeee

ee

ee

llllll

llllll

lEIk (29)

şeklindedir. Galerkin yaklaşımında ise genel denklemdeki şekil değiştirme terimi,

qrdHd

rdHd

lEI

dxd

dxdEI

T

e

T⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

2

2

42

2

2

2 16Ψυφ (30)

olarak yazılır. Burada elemandaki virtüel deplasman vektörü,

Bölüm 5-77


[ T4321 ,,, ΨΨΨΨΨ = ] (31)

dir. [ ] qH=υ ve ψφ H= dönüşümleri yapılırsa, eleman için virtüel iş

olur ve buradan potansiyel enerji yaklaşımı ile aynı eleman rijitlik matrisi elde

edilir.

[ ] qk eTψ

2.1 Yük Vektörü

Öncelikle potansiyel enerji denklemindeki yayılı yük terimini ele alalım. Yük eleman

üzerinde düzgün dağıldığını kabul edersek,

[ ] qrdHpl

pvdxel

e∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

1

12 (32)

elde edilir. Şekil fonksiyonlarını kullanarak integral alınırsa,

∫ =el

Te qfdxpυ (33)

elde edilir. Burada yük vektörü

T

eeeee

plplplplf ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

2,

2,

2,

2

22

(34)

şeklindedir. Bir eleman üzerindeki düzgün dağılımlı yayılı yük ve bunun düğümlere

dağılışı şekil 5’te verilmiştir. Aynı sonuç Galerkin formülasyonu için terimi

hesaplanarak da elde edilir. Tekil kuvvetler( ) ve momentler( ) uygulandığı noktadan

daha önce gösterildiği şekilde eleman süreklilikleri dikkate alınarak genel yük vektörüne

ilave edilir. Böylece sistemin potansiyel enerji eşitliği

∫edxpφ

Pm M k


21 (35)

olur.Galerkin yaklaşımından ise, (36) [ ] 0=− FQK TT ΨΨ elde edilir. Burada ψ genel virtüel deplasman vektörüdür.

Bölüm 5-88


ple/2 ple/2

ple2/12 -ple

2/12 1 e 2

p

1 2le

Şekil 5. Bir eleman üzerinde yayılı yük

2.2 Sınır Şartları

Genel olarak herhangi bir m serbestlik derecesi için tanımlı yer değiştirme olarak

verilmiş olsun. Penaltı yaklaşımınına göre genel potansiyel enerji eşitliğine

a

( ) ( )[ ]22/1 aQC m − kadarlık bir enerji terimi, Galerkin formülasyonunun sol tarafına da

( aQC mj − )ψ ’ kadarlık bir virtüel iş terimi eklenmesi gerekir. C kiriş rijitliğine göre çok

büyük bir değerdir. Bunun sonucunda genel rijitlik matrisinin Kmm elemanına C değeri,

genel kuvvet vektörünün Fm elemanına da Ca yükü ilave edilmiş olur (Şekil 6). Böylece

genel sonlu eleman eşitliğnden

[ ] FQK = (37)

elde edilmiş olur. Bu denklemlerin çözümünden genel deplasman vektörü elde edilir. Daha

sonra mesnet reaksiyonları hesaplanabilir.

j C

Ca SD=2j

Ca

i

C

SD=2i-1

a=tanımlı deplasman

Şekil 6. Bir kiriş için sınır koşulları

Bölüm 5-99


2.3 Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti

Eğilme momenti ve kesme kuvveti denklemleri ( [ ] qHvedx

dMVdx

dEIM === υυ ,2

)

kullanılarak, eleman için eğilme momenti ve kesme kuvveti değerleri elde edilebilir.

( ) ( )[ 43212 136136 qlrqrqlrqrlEIM ee

e

++−−+= ] (38)

( 43213 226 qlqqlqlEIV eee

+−+= ) (39)

Bu eğilme momenti ve kesme kuvveti eşitlikleri eşdeğer düğüm yüklerinin kullanılmasıyla

elde edilmiştir. Denge ve reaksiyon kuvvetlerini ve ile göstererek, R R R1 2 3, , R4

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

2

2

2

2

4626612612

2646612612

2

2

4

3

2

1

22

22

3

4

3

2

1

e

e

e

e

eeee

ee

eeee

e

e

pl

pl

pl

pl

qqqq

llllll

llllll

lEI

RRRR

(40)

şeklinde elde edilir. Görüldüğü gibi sağ taraftaki ilk terim [ ] qk e dur. İkinci terim ise

yalnızca üzerinde yayılı yük bulunan elemanlara ilave edilir. Bu terim aynı zamanda sabit-

uç reaksiyonları olarak isimlendirilir. Elemanın iki ucundaki kesme kuvvetleri, V ve

tür. Uç dönme momentleri ise

R1 = 1

R3V2 = − M R1 2= − ve M R2 4= olmaktadır.

Örnek: Şekilde verilen üç açıklıklı kirişin çökme eğrisini tespit ediniz ve mesnetlerdeki reaksiyonları hesaplayınız. (E=30x106 N/cm2, I=305 cm4) Çözüm: Kirişin sonlu eleman modeli şekilde verilmiştir. Q1, Q5, Q7 ve Q9 deplasmanları 0 dır. Hesaplanacak deplasmanlar Q2, Q3, Q4, Q6, Q8, Q10 dur.

1. ve 2. Elemanlar aynı olduğundan eleman rijitlik matrisleri ve genel vektördeki yerleri,

Bölüm 5-1010


65434321

qqqqqqqq 8765 qqqq

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×⋅==

59040147629520147614762.4914762.49

29520147659040147614762.4914762.49

8847363041030 6

21 kk [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×⋅=

36864576184325765761257612

18432576368645765761257612

8847363041030 6

3k

10987 qqqq

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×⋅=

3.491448.10231.245728.10238.10234.288.10234.281.245728.10233.491448.1023

8.10234.288.10234.28

8847363041030 6

4k olarak bulunur. Bu eleman matrisleri

genel denklemde yerleştirilir ve eliminasyon yaklaşımı uygulanırsa,

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×⋅

4320043200

050000

3.491441.245720001.245723.860081843200

01843295904147600014764.981476000147659040

8847363041030

10

8

6

3

2

6

qqqqq

elde edilir.

Buradan deplasmanlar, Q=[0, -3.61x10-4, -1.3x10-2, 3.29x10-5, 0, 2.29x10-4, 0, -1.4x10-4, 0,1.56x10-4]T olarak bulunur. Reaksiyon kuvvetleri ise R=[2, 3.5, 3.23, 3.45] kN olarak elde edilir. Herhangi bir elemanın istenen bir noktasındaki deplasmanlar şekil fonksiyonları yardımıyla bulunur. Örnek olarak 4. Elemanın orta noktasını alalım. Burada r=0 alınarak, [ ] QH=υ yardımıyla, 10482 2/02/0 QHlQHl ee +++=υ yazılır. Buradan, v=-5x10-3 cm hesaplanır.

2.4 Elastik Mesnetler Üzerindeki Kirişler Pek çok mühendislik uygulamasında kirişler elastik elemanlarla mesnetlenir. Miller çeşitli

rulmanlı yataklarla mesnetlenirken, büyük kirişler doğrudan elastik cidarlar üzerine inşaa

edilirler. Örneğin toprak üzerine inşaa edilmiş kirişlerin mesnetleri Winkler Temeli olarak

adlandırılan geniş bir çalışma konusunu oluşturmaktadır. Tek sıralı bilyalı yataklamalarda

her bilyanın mile karşılık gelen yeri bir düğüm olarak değerlendirilir ve genel rijitlik

matrisinin diyagonalinde, düğümün düşey serbestlik derecesine karşılık gelen elemana

kayma rijitliği (kB) ilave edilir (Şekil 7). Silindirik rulmanlı yataklar ve kaymalı yataklarda

ise dönme rijitliği aynı şekilde hesaba katılmalıdır. Geniş kaymalı yataklar ve Winkler

temeli türündeki mesnetlerde birim uzunluğun (s) rijitliği hesaba katılır. Mesnet uzunluğu

boyunca toplam potansiyel enerji eşitliğine,

Bölüm 5-1111


Rulman

kB

ElastikMesnet

Birim boyun rijitliği=s

ls

Şekil 7 Elastik mesnet

12

2

0

s dxl

υ∫ (41)

terimi ilave edilmelidir. Galerkin yaklaşımında, bu terim dir. Sonlu eleman

modeli ele alınarak

dxsl

∫0φυ

[ ] qH=υ dönüşümü yapıldığında bu ifade,

[ ] [ ] ∑ ∫e e

TT qdxHHsq21 (42)

olur. Bu toplamda rijitlik terimi,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]drHHls

dxHHsk T

e

eTse ∫∫

+

−− ==

1

12 (43)

şekilindedir. İntegrasyon yapıldığında,

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=−

22

22

422313221561354313422135422156

420

eeee

ee

eeee

ee

ese

llllll

llllll

lsk (44)

elde edilir. Elastik bir mesnet üzerinde bulunan elemanların rijitlik matrislerine mesnetin

elastikiyetinden doğan bu rijitlik matrisinin eklenmesi gerekir.

3. DÜZLEM ÇERÇEVELER

Düzlem çerçeveler kafes sistemlerinde görülen yapılardan farklı olarak uçlarından birbirine

rijit olarak birleştirilmiş elemanlardan oluşur. Düzlem çerçevelerin kirişlerden olan farkı

Bölüm 5-1212


ise eksenel yük ve deplasmalara da sahip olmalarının yanında yatay duran kirişlere nazaran

düzlem çerçeve elamanları düzlem içinde farklı doğrultularda da bulunabilmeleridir (Şekil

8). q5’ q5 q4’

θ q4

q6 (q6’) x’

y’

q2’ q2 q1’

q1 y q3 (q3’) x

Şekil 8 Çerçeve elemanı

Görüldüğü gibi her düğümde iki ötelenme bir de dönme deformasyonu bulunmaktadır. Bu

durumda eleman deplasman vektörü,

[ Tqqqqqqq 654321 ,,,,,= ] (45)

olur. Burada, kafes yapılarındakine benzer şekilde lokal ( x y' , ' ) ve global (x, y) koordinat

sistemleri olarak iki koordinat sistemi tanımlanması gerekmektedir. x' doğrultu kosinüsleri

ve olan elemanın ekseni doğrultusundaki (1-2 doğrultusu)

lokal ekseni göstermektedir. Lokal sistem içindeki düğüm yer değiştirme vektörü

l m (l m= =cos , sinθ )θ

]

3 6

[ Tqqqqqqq '6

'5

'4

'3

'2

'1 ,,,,,=′ (46)

şeklindedir. Dönme serbestlik derecelerinin herhangi bir transformasyonu

gerekmediğinden ve q dır. Bu durumda lokal-global koordinat dönüşümünü q q3' = q6

' =

(47) [ ] qLq =' olarak tanımlayabiliriz. Burada transformasyon matrisi,

Bölüm 5-1313


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

1000000000000000010000000000

lmml

lmml

L (48)

şeklindedir. ve deformasyonları kirişte ele alınan serbestlik derecelerinin

aynısıdır. ve q ise çubuk elemandaki (bkz. Bir Boyutlu Problemler) yer değiştirmelere

benzemektedir. Çubuk ve kiriş elemanlardan gelen bu iki rijitlik matrisini birleştirir ve

serbestlik derecelerine göre düzenlersek çerçeve elemanın lokal rijitlik matrisi,

'5

'3

'2 ,, qqq q6

'

q1'

4'

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

=

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

k e

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

' (49)

olarak elde edilir. Kafes elemanlarda verildiği gibi eleman şekil değiştirme enerjisi,

[ ] [ ] [ ] [ ] qLkLqqkqU eTT

eT

e''

21''

21

== (50)

şeklindedir. Galerkin yaklaşımında ise eleman dahili virtual işi [ ] [ ] [ ] qLkqkW e

Te

Te

'' '' ψψ == (51) dir. Burada, ve ψ ' ψ sırayla lokal ve global koordinat sistemleri içinde virtual düğüm

yer değiştirmeleridir. Her iki yaklaşımda da global koordinat sistemindeki eleman rijitlik

matrisi,

(52) [ ] [ ] [ ] [ ]LkLk e

Te

'= olarak elde edilir. Sonlu eleman program uygulaması içinde, rijitlik matrisi yerel olarak

elde edildikten sonra bu dönüşümle global koordinatlardaki rijitlik matrisine ulaşılabilir.

Bölüm 5-1414


Eleman üzerinde bir yayılı yük varsa, yük dağılımı yerel koordinatlarda kiriş elamanı ile

aynı olmak üzere (Şekil 9),

[ ] ''' fLqfq TTT = (53)

dönüşümü yazılabilir. Yerel koordinatlardaki eleman kuvvet vektörü ise,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

12,

2,0,

12,

2,0'

22eeee plplplpl

f (54)

şeklindedir. p yayılı yükü nedeniyle meydana gelen düğüm yükleri global koordinatlara, (55) [ ] 'fLf T=

ile dönüştürülür. Elde edilen yükler bilinen yöntemlerle genel yük vektörüne ilave edilir. y’

yönünün + yön olarak alındığına dikkat edilmelidir. Tekil yükler ve kuvvet çiftleri ile

eksenel yükler doğrudan serbestlik dereceleri dikkate alınarak global yük vektörüne ilave

edilerek genel sonlu eleman denklemi,

[ ] FQK = (56)

olarak elde edilir. Sınır şartları penaltı yaklaşımı ile uygulanarak deplasmanlar elde dilir.

x’

2

p y

y’ ple/2 -ple

2/12le

θ x 1

ple/2

-ple2/12

Şekil 9. Bir düzlem çerçeve elemanı üzerinde yayılı yük

Bölüm 5-1515


Örnek: Şekilde verilen düzlem çerçeve için düğüm noktalarındaki deplasmanları hesaplayınız. Çözüm: Sonlu eleman modeli şekilde verilmiştir. 1 ve 4 numaralı düğümlerde bütün deplasmanlar 0 olduğundan eliminasyon yaklaşımında bu SD’lerine karşılık gelen satır ve sütunlar silinecektir. Bu nedenle deplasmanların numaralandırılmasında bu SD’lerine yer verilmemiştir. Eleman bilgileri ve doğrultu kosinüsleri

e le (cm) I(cm4) A(cm2)1 268.3 305 15 2 240 125 7.5 3 268.3 305 15

e l m 1 0.447 0.894 2 0 1 3 0.447 0.894

olarak bulunur. 2. Eleman düzleme paralel olduğundan herhangi bir transformasyona gerek yoktur bu

nedenle eleman rijitlik matrisi

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

−

==

625006.390312506.39006.39325.0006.39325.00

0075.930075.93312506.390625006.390

06.39325.0006.39325.000075.930075.93

1042

'2 kk olur.

1. ve 3. Elemanlarda ise dönüşüm gereklidir. Yerel koordinatlarda eleman rijitlik matrisleri,

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

−

==

4.1364126.7607.682028.76026.76568.0026.76568.00

007.167007.1677.682026.7604.134126.760

26.76538.0026.76568.00007.167007.167

104'3

'1 kk dir.

Transformasyon matrisi ise,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

1000000447.0894.00000894.0447.00000001000000447.0894.00000894.0447.0

L şeklinde elde edilir.

Buradan [ ] [ ] [ ] [ ]LkLk T '

3,13,1 = formülüyle gerekli eleman rijitlik matrisleri

Bölüm 5-1616


[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−−−−−

−−−−

==

1364134686821346834134673413467

6867346867346821346813641346834134673413467686733686734

10431 kk elde edilir.

Eliminasyon uygulanmış genel denklem ise

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

−

48000012000

048000012000

0

1981906.7368312506.39006.733.1346706.39325.00

686775.1270075.93312506.3901989106.568

06.39325.0006.53.134670075.93686775.127

10

6

5

4

3

2

1

4

qqqqqq

dir.

Buradan deplasmanlar, Q=[0, 0, 0, 4.489x10-3, -1.191x10-2, -2.906x10-3, -4.489x10-3, 1.191x10-2, 2.906x10-3, 0, 0, 0]T olarak elde edilir. Bu bölümde simetrik kesitli kirişler ve düzlem çerçeveler işlenmiştir. Gerçek mühendislik

uygulamalarında ise çok daha karmaşık problemlerle karşılaşılır. Örnek olarak mafsallarla

bağlanmış düzlem çerçeveli mekanizmalar, simetrik olmayan kirişler, uzay çerçeveler,

eksenel yük altında kirişlerin burkulması, kayma gerilmeleri ve büyük plastik

deformasyonlar alınabilir. Bu tür problemlerin analizi ve formülasyonu için daha ileri

Sonlu Elemanlar Metodu kitaplarına, ileri mukavemet ve Elastisite ve Platisite teorisi gibi

konulara bakılması tavsiye edilir.

4. UZAY ÇERÇEVE ELEMANI

Uzay çerçeve elemanında her düğümde 6 olmak üzere toplam 12 serbestlik derecesi vardır

(Şekil.10).

u=[u1, v1, w1, θ1, θ2, θ3, u2, v2, w2, θ4, θ5, θ6] (56)

Lokal koordinatlarda yazılmış uzay çerçeve elemanı direngenlik matrisi de

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2221

1211'][ kkkkk e (57)

şeklindedir. Burada, daire kesitli bir çubuk için,

Bölüm 5-1717


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

lEI

lEI

lEI

l

EIl

GIl

EI

l

EIlEI

lEI

lEA

k

zz

yy

p

yy

zz

400060

04

06

00

00000

06

012

00

6000120

00000

2

2

23

23

11 (58)

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

−

−

==

lEI

lEI

lEI

l

EIl

GIl

EI

l

EIlEI

lEI

lEA

kk

zz

yy

p

yy

zz

200060

02

06

00

00000

06

012

00

6000120

00000

2

2

23

23

1212 (59)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

lEI

lEI

lEI

l

EIl

GIl

EI

l

EIlEI

lEI

lEA

k

zz

yy

p

yy

zz

400060

04

06

00

00000

06

012

00

6000120

00000

2

2

23

23

22 (60)

dir. G kayma modülü, Iy ve Iz, y ve z eksenlerine göre atalet momenti, Ip polar atalet

momentidir. Genel koordinatlara yapılacak dönüşüm için bir transformasyon matrisi

tanımlanmalıdır. Daire kesitli çerçeve elemanı için iki açı genel-yerel eksen dönüşümü

yapmak mümkündür (Şekil 10). Kesitin daire dışında bir kesit olması durumunda kesit

eksenlerinin düzeltilmesi için de üçüncü bir döndürme açısı gerekecektir. Transformasyon

matrisi,

Bölüm 5-1818


z’

θ3

w1

v1

y’

u1

θ1θ2

θ6

w2

v2u2

θ4

θ5

x’

z

x

y

x

y

z

αβ

x’

y’

z’ Şekil 10 Yerel koordinatlarda uzay çerçeve elemanı ve yerel-genel dönüşümü

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

1

1

1

0

0

][

LL

LL

L (61)

olup burada,

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−+−++−=

αβαβααβααβαβααβα

βαββα

cossinsincoscossinsincoscossinsincoscos)sinsin(cos

cossinsincos1

CosL (62)

dir. Açı değerleri eleman boyutları ve koordinatlar cinsinden yazılabilir. Eleman boyu l ise,

212

2121

212

212

212

1

12

1

12

)()(1

)()()(sin,cos

zzxxl

l

zzyyxxlll

yyll

xx

−+−=→

−+−+−=→−

=−

= αα

(63)

lyyl 12

1 sin,cos −== ββ

olur. Genel koordinatlardaki eleman rijitlik matrisi de

[ke]=[L]T[ke]’[L] (64) ile elde edilir.

Bölüm 5-1919


C ***** CUBUK VE KIRIS PROBLEMLERI ***** DIMENSION X(60), A(59), NU(10), U(10), DT(59), S(60,4) DIMENSION F(60),YM(59),ALP(50),STR(59),REAK(10),MOM(59),KES(59) C :::::::::::::::::BOYUTLAR DEGISTIRILIR INTEGER ESD REAL*8 MOM,KES CHARACTER*16 FILE1,FILE2 C **********************************OKUMA PRINT *, 'DOSYA ADI =?' READ '(A)', FILE1 LINP = 5 OPEN (UNIT = 5, FILE = FILE1) READ(LINP,*)ESD, NE, NL, ND NN=NE+1 DO 10 I = 1, NE READ(LINP,*) N, A(N), YM(N), ALP(N), DT(N) 10 CONTINUE DO 11 I = 1, NN READ(LINP,*)N, X(N) 11 CONTINUE DO 12 I = 1, ND READ(LINP,*)NU(I), U(I) 12 CONTINUE DO 13 I=1, NE+1 13 F(I)=0 IF (NL.EQ.0) GO TO 15 DO 14 I = 1, NL 14 READ(LINP,*)N, F(N) PRINT *, 'HER SEY YOLUNDA..............' 15 IF (ESD.EQ.2)THEN NQ=NE+1 CALL BAR(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,STR,STR1,NQ,NE,U,NU,ND,NL) ELSE NN=NE+1 NQ=2*NN CALL BEAM(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,MOM,KES,NQ,NE,U,NU,ND,NL) END IF PRINT *, 'ISLEM TAMAM,' PRINT *, ' SONUCLAR ICIN DOSYA ADI ?' READ '(A)', FILE2 LOUT = 11 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) 16 FORMAT(I4,E15.4) 17 FORMAT(I4,2E15.4) WRITE(LOUT,18) 18 FORMAT('DUGNO DEPL') WRITE(LOUT,16)(I, F(I),I=1,NQ) IF (ESD.EQ.2) THEN WRITE(LOUT,19) 19 FORMAT('ELEMNO GERILME') WRITE(LOUT,16)(I, STR(I),I=1,NE) ELSE WRITE(LOUT,21) 21 FORMAT('ELEMNO MOMENT KESME_KUV') WRITE(LOUT,17)(I, MOM(I), KES(I), I=1,NE) END IF WRITE(LOUT,22) 22 FORMAT('DUGNO REAKS') WRITE(LOUT,16)(NU(I),REAK(I),I=1,ND) CLOSE(LOUT)

Bölüm 5-2020


PRINT *, 'Sonuclar su dosyada =', FILE2 END C ===CUBUK PROGRAMI===== SUBROUTINE BAR(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,STR,STR1,NQ,NE,U,NU, *ND,NL) INTEGER ESD,YBG DIMENSION S(NQ, ESD),F(NQ),STR(NE),X(NQ),YM(NE),A(NE) DIMENSION ALP(NE),DT(NE),U(10),NU(10),REAK(10) YBG = 2 NN=NE+1 DO 21 I = 1, NN DO 21 J = 1, YBG 21 S(I, J) = 0. C *** Rijitlik *** DO 22 I = 1, NE X21 = X(I+1) - X(I) EL = ABS(X21) EAL = YM(I) * A(I) / EL TL = YM(I) * ALP(I) * DT(I) * A(I) * EL / X21 C *** SISL YUK *** F(I) = F(I) - TL F(I+1) = F(I+1) + TL C *** ELEMAM rijitligi *** S(I, 1) = S(I, 1) + EAL S(I+1, 1) = S(I+1, 1) + EAL S(I, 2) = S(I, 2) - EAL 22 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1)) * 10000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,NQ,ESD) C *** Denklem cozumu *** CALL BAND(S, F, NQ, YBG, ESD, NN) CALL REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NN) C *** Gerilme hes *** DO 24 I = 1, NE EPS = (F(I + 1) - F(I)) / (X(I + 1) - X(I)) 24 STR(I) = YM(I) * (EPS - ALP(I) * DT(I)) RETURN END C ===KIRIS PROGRAMI===== SUBROUTINE BEAM(S,ESD,X,YM,A,ALP,DT,F,REAK,MOM,KES,NQ,NE,U,NU, *ND,NL) INTEGER ESD,YBG REAL*8 MOM,KES DIMENSION S(NQ, ESD),F(NQ),MOM(NE),X(NQ),YM(NE),A(NE) DIMENSION ALP(NE),DT(NE),KES(NE),U(10),NU(10),REAK(10) C ** TOPLAM SERBESTLIK ** NN = NE+1 YBG = 4 C *** Genel rijitlik *** DO 31 I = 1, NE I1 = 2 * I - 1 EL = ABS(X(I + 1) - X(I)) EIL = YM(I) * A(I) / EL**3 S(I1, 1) = S(I1, 1) + 12 * EIL S(I1, 2) = S(I1, 2) + EIL * 6 * EL S(I1, 3) = S(I1, 3) - 12 * EIL S(I1, 4) = S(I1, 4) + EIL * 6 * EL S(I1 + 1, 1) = S(I1 + 1, 1) + EIL * 4 * EL * EL S(I1 + 1, 2) = S(I1 + 1, 2) - EIL * 6 * EL S(I1 + 1, 3) = S(I1 + 1, 3) + EIL * 2 * EL * EL S(I1 + 2, 1) = S(I1 + 2, 1) + EIL * 12

Bölüm 5-2121


S(I1 + 2, 2) = S(I1 + 2, 2) - EIL * 6 * EL S(I1 + 3, 1) = S(I1 + 3, 1) + EIL * 4 * EL * EL 31 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1)) * 10000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,NQ,ESD) C *** Denklem cozumu *** CALL BAND(S, F, NQ, YBG, ESD, NQ) CALL REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NQ) C *** Moment ve Kesme kuvveti hes *** C *** R=0, ELEMANIN ORTA NOKTASI *** R=0 DO 33 I = 1, NE LE=X(I + 1) - X(I) YMM=YM(I)/LE**2 YMV=YM(I)/LE**3 AE=A(I) Q1=F(2*I-1) Q2=F(2*I) Q3=F(2*I+1) Q4=F(2*I+2) MOM(I)=YMM*AE*(6*R*Q1+(3*R-1)*LE*Q2-6*R*Q3+(3*R+1)*LE*Q4) 33 KES(I)=6*YMV*AE*(2*Q1+LE*Q2-2*Q3+LE*Q4) RETURN END SUBROUTINE BAND(A, B, IMAX, YBG, ESD, N) INTEGER YBG, ESD DIMENSION A(IMAX,YBG), B(IMAX) N1 = N - 1 c *** Eliminasyon *** IF (ESD.EQ.2)THEN N1 = N - 1 DO 12 K = 1, N1 NBK = N - K + 1 IF (NBK .GT. YBG) NBK = YBG K1 = K + 1 NK1 = NBK + K - 1 DO 12 I = K1, NK1 I1 = I - K + 1 C = A(K, I1) / A(K, 1) DO 13 J = I, NK1 J1 = J - I + 1 J2 = J - K + 1 13 A(I, J1) = A(I, J1) - C * A(K, J2) 12 B(I) = B(I) - C * B(K) ELSE DO 21 K = 1, N1 NK = N - K + 1 IF(NK .GT. YBG) NK = YBG DO 21 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 22 J = I, NK J1 = J - I + 1 22 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J) 21 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) END IF c *** yerlestirme *** IF (ESD.EQ.2)THEN B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 14 II = 1, N1 I = N - II

Bölüm 5-2222


NBI = N - I + 1 IF (NBI .GT. YBG) NBI = YBG SUM = 0. DO 15 J = 2, NBI 15 SUM = SUM + A(I, J) * B(I + J - 1) 14 B(I) = (B(I) - SUM) / A(I, 1) ELSE B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 3 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 4 J = 2, NK 4 B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) 3 CONTINUE END IF RETURN END C *** Sinir sartlari *** SUBROUTINE SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,IMAX,ESD) INTEGER ESD DIMENSION S(IMAX,ESD),F(IMAX),U(10),NU(10) DO 1 I = 1, ND N = NU(I) S(N, 1) = S(N, 1) + CNST 1 F(N) = F(N) + CNST * U(I) RETURN END C *** Reaksiyon *** SUBROUTINE REA(ND,NU,U,F,CNST,REAK,NQ) DIMENSION REAK(10),U(10),F(NQ),NU(10) DO 1 I = 1, ND N = NU(I) R = CNST * (U(I) - F(N)) 1 REAK(I) = R RETURN END C ******** KAFES VE CERCEVE PROBLEMLERI ******** DIMENSION X(100,2),NOC(100,4),PM(10,2),ARIN(20,2) DIMENSION NU(50),U(50),TEMP(200),NSET(200) DIMENSION S(200,50),F(200), SE6(6,6),SE4(4,4) C :::::::::::::::::BOYUTLAR DEGISTIRILIR CHARACTER*16 FILE1,FILE2 INTEGER DSD,YBG REAL*8 MOM,KES IMAX = 200 PRINT '(A,$)', 'DOSYA ADI =?' READ '(A)',FILE1 LINP = 5 OPEN (UNIT = 5, FILE = FILE1) READ(LINP,*) DSD,NE,NN,ND,NL,NM,NA,NTEL NQ = DSD * NN C *** YARIBANT GENISLIGI YBG = 0 DO 100 I = 1, NE READ(LINP,*) N,NOC(N,1),NOC(N,2),NOC(N,3),NOC(N,4) C = DSD * (ABS(NOC(N, 2) - NOC(N, 1)) + 1)

Bölüm 5-2323


IF (YBG .LT. C) YBG = C 100 CONTINUE C *** SIFIRLAMA *** DO 110 I = 1, NQ F(NQ) = 0 DO 110 J = 1, YBG S(I, J) = 0 110 CONTINUE READ(LINP,*) (N, X(N, 1), X(N, 2), I=1,NN) READ(LINP,*) (N, PM(N, 1), PM(N, 2),I=1,NM) READ(LINP,*) (N, ARIN(N, 1), ARIN(N, 2),I=1,NA) READ(LINP,*) (NU(I), U(I),I=1,ND) IF( NTEL .EQ. 0 ) GO TO 111 READ(LINP,*) (NSET(I), TEMP(I), I=1,NTEL) 111 READ(LINP,*) (N, F(N), I=1,NL) CLOSE (LINP) PRINT *, 'HER SEY YOLUNDA..............' C *** GLOBAL STIFFNESS MATRIX *** DO 190 N = 1, NE CALL ATA(NE,N,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) C +++ ELEMAN RIJITLIGI +++ IF (DSD.EQ.3)THEN CALL FRAME(JEL,SE6,CS,SN,EL,EIL,EAL) ELSE CALL TRUSS(JEL,SE4,CS,SN,EL,EIL,EAL) END IF C '''''''''YERLESTIRME'''''''''' DO 180 II = 1, 2 NRT = DSD * (NOC(N, II) - 1) DO 180 IT = 1, DSD NR = NRT + IT I = DSD * (II - 1) + IT DO 180 JJ = 1, 2 NCT = DSD * (NOC(N, JJ) - 1) DO 180 JT = 1, DSD J = DSD * (JJ - 1) + JT NC = NCT + JT - NR + 1 IF(NC .LE. 0) GO TO 180 IF (DSD.EQ.2) GOTO 179 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE6(I, J) GOTO 180 179 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE4(I, J) 180 CONTINUE IF( NTEL .EQ. 0 ) GO TO 190 DO 151 IJT = 1, NTEL IF( N .NE. NSET(IJT) ) GO TO 151 EE0 = PM(I3, 2) * TEMP(IJT) * PM(I3, 1) * ARIN(I4,1) II1=DSD*I1-DSD+1 II2=DSD*I1-DSD+2 JJ1=DSD*I2-DSD+1 JJ2=DSD*I2-DSD+2 F(II1) = F(II1) - EE0 * CS F(II2) = F(II2) - EE0 * SN F(JJ1) = F(JJ1) + EE0 * CS F(JJ2) = F(JJ2) + EE0 * SN 151 CONTINUE 190 CONTINUE CNST = (S(1, 1) + S(2, 1) + S(3, 1)) * 100000 CALL SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,IMAX,DSD) C *** DENKLEM COZUMU *** CALL BAND(S, F, IMAX, YBG, NQ)

Bölüm 5-2424


PRINT '(A,$)', ' CIKTI DOSYASI =?' READ '(A)',FILE2 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) LOUT = 11 C *** REAKSIYONLAR *** WRITE (LOUT, '(A)') 'SDNO REAKSIYON' DO 220 I = 1, ND N = NU(I) R = CNST * (U(I) - F(N)) WRITE (LOUT,'(I4,E12.4)')N,R 220 CONTINUE IF (DSD.EQ.3) GOTO 209 WRITE(LOUT,'(A)') ' DUGNO X-DEP Y-DEP' WRITE(LOUT,'(1X,I4,2E15.4)') (I,F(2*I-1),F(2*I),I=1,NN) C *** GERILME HESABI *** WRITE(LOUT,'(A)') ' ELEMNO GERILME' DO 192 I = 1, NE CALL ATA(NE,I,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) J2 = 2 * I1 J1 = J2 - 1 K2 = 2 * I2 K1 = K2 - 1 DT = (F(K1) - F(J1)) * CS + (F(K2) - F(J2)) * SN STRESS = DT * PM(I3, 1) / EL DO 182 IJT = 1, NTEL IF(I .NE. NSET(IJT)) GO TO 180 STRESS = STRESS - PM(I3, 1) * PM(I3, 2) * TEMP(IJT) 182 CONTINUE WRITE(LOUT, '(1X,I4,E15.4)') I, STRESS 192 CONTINUE GOTO 34 209 WRITE(LOUT,'(A)') ' DUGNO X-DEP Y-DEP DONME' DO 210 I = 1, NN I1 = 3*I - 2 I2 = I1 + 1 I3 = I1 + 2 WRITE (LOUT,'(I4,3E12.4)')I,F(I1),F(I2),F(I3) 210 CONTINUE C *** Moment ve Kesme kuvveti hes *** C *** R=0, ELEMANIN ORTA NOKTASI *** WRITE (LOUT, '(A)') 'ELEMNO MOMENT KESME_KUVVETI' R=0 YVM=0 EL=0 DO 33 I = 1, NE CALL ATA(NE,I,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN,X,NN) YMM=EIL/EL YVM=YMM/EL AE=ARIN(I4,2) Q1=F(3*I1-2)*CS+F(3*I1-1)*SN Q2=-F(3*I1-2)*SN+F(3*I1-1)*CS Q3=F(3*I1) Q4=F(3*I2-2)*CS+F(3*I2-1)*SN Q5=-F(3*I2-2)*SN+F(3*I2-1)*CS Q6=F(3*I2) MOM=YMM*AE*(6*R*Q1+(3*R-1)*EL*Q2-6*R*Q3+(3*R+1)*EL*Q4) KES=6*YMV*AE*(2*Q1+EL*Q2-2*Q3+EL*Q4) 33 WRITE(LOUT, '(1X,I4,2E15.4)') I, MOM, KES CLOSE(LOUT) 34 PRINT *,'SONUCLAR SU DOSYADA =',FILE2 END

Bölüm 5-2525


SUBROUTINE ATA(JE,N,NOC,I1,I2,I3,I4,EL,EAL,EIL,CS,SN,PM,ARIN, *X,IN) DIMENSION NOC(100,4),PM(10),ARIN(20,2),X(100,2) I1 = NOC(N, 1) I2 = NOC(N, 2) I3 = NOC(N, 3) I4 = NOC(N, 4) X21 = X(I2, 1) - X(I1, 1) Y21 = X(I2, 2) - X(I1, 2) EL = SQRT(X21 * X21 + Y21 * Y21) EAL = PM(I3) * ARIN(I4, 1) / EL EIL = PM(I3) * ARIN(I4, 2) / EL CS = X21 / EL SN = Y21 / EL RETURN END SUBROUTINE FRAME(JEL,SE,CS,SN,EL,EIL,EAL) C ===== EL RIJITLIGI ===== DIMENSION SE(6,6) SE(1, 1) = EAL * CS * CS + 12 * EIL * SN * SN / EL ** 2 SE(1, 2) = EAL * CS * SN - 12 * EIL * CS * SN / EL ** 2 SE(2, 1) = SE(1, 2) SE(1, 3) = -6 * EIL * SN / EL SE(3, 1) = SE(1, 3) SE(1, 4) = -SE(1, 1) SE(4, 1) = SE(1, 4) SE(1, 5) = -SE(1, 2) SE(5, 1) = SE(1, 5) SE(1, 6) = SE(1, 3) SE(6, 1) = SE(1, 6) SE(2, 2) = EAL * SN * SN + 12 * EIL * CS * CS / EL ** 2 SE(2, 3) = 6 * EIL * CS / EL SE(3, 2) = SE(2, 3) SE(2, 4) = -SE(1, 2) SE(4, 2) = SE(2, 4) SE(2, 5) = -SE(2, 2) SE(5, 2) = SE(2, 5) SE(2, 6) = SE(2, 3) SE(6, 2) = SE(2, 6) SE(3, 3) = 4 * EIL SE(3, 4) = -SE(1, 3) SE(4, 3) = SE(3, 4) SE(3, 5) = -SE(2, 3) SE(5, 3) = SE(3, 5) SE(3, 6) = 2 * EIL SE(6, 3) = SE(3, 6) SE(4, 4) = SE(1, 1) SE(4, 5) = SE(1, 2) SE(5, 4) = SE(4, 5) SE(4, 6) = -SE(1, 3) SE(6, 4) = SE(4, 6) SE(5, 5) = SE(2, 2) SE(5, 6) = -SE(2, 3) SE(6, 5) = SE(5, 6) SE(6, 6) = 4 * EIL RETURN END SUBROUTINE TRUSS(JEL,SE,CS,SN,EL,EIL,EAL) DIMENSION SE(4,4) SE(1, 1) = CS * CS * EAL SE(1, 2) = CS * SN * EAL

Bölüm 5-2626


SE(2, 1) = SE(1, 2) SE(1, 3) = -CS * CS * EAL SE(3, 1) = SE(1, 3) SE(1, 4) = -CS * SN * EAL SE(4, 1) = SE(1, 4) SE(2, 2) = SN * SN * EAL SE(2, 3) = -CS * SN * EAL SE(3, 2) = SE(2, 3) SE(2, 4) = -SN * SN * EAL SE(4, 2) = SE(2, 4) SE(3, 3) = CS * CS * EAL SE(3, 4) = CS * SN * EAL SE(4, 3) = SE(3, 4) SE(4, 4) = SN * SN * EAL RETURN END C *** SINIRSART *** SUBROUTINE SINIR(ND,NU,S,F,U,CNST,IMAX,DSD) INTEGER DSD DIMENSION S(IMAX,DSD),F(IMAX),U(10),NU(10) DO 1 I = 1, ND N = NU(I) S(N, 1) = S(N, 1) + CNST 1 F(N) = F(N) + CNST * U(I) RETURN END SUBROUTINE BAND(A, B, IMAX, YBG, N) DIMENSION A(IMAX,YBG), B(IMAX) INTEGER YBG N1 = N - 1 C *** ELIMINASYON ***' DO 21 K = 1, N1 NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 21 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 22 J = I, NK J1 = J - I + 1 22 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J) 21 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) C *** YERLESTIRME *** B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 23 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. YBG) NK = YBG DO 23 J = 2, NK 23 B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) RETURN END

Bölüm 5-2727

ALTINCI BÖLÜM

İKİ BOYUTLU PROBLEMLER

1. GİRİŞ

Bu bölümde verilen iki boyutlu sonlu eleman formülasyonu da aynen bir boyutlu

problemlerde kullanılan adımları takip etmektedir. Yer değiştirme, yüzey kuvvetleri, yayılı

kütle kuvvetleri ve tekil kuvvet bileşenleri (x,y) ile verilen koordinatın fonksiyonlarıdır.

Yer değiştirme vektörü u,

u = [u,v]T (1)

şeklinde verilir. Burada u ve v, deplasman vektörünün x, y doğrultularındaki bileşenleridir.

Gerilme ve şekil değiştirme bileşenleri ise,

σ = [σx,σy,τxy]T (2)

ε = [εx,εy,γxy]T (3)

şeklinde olup σ, gerilme, ε ise birim şekil değiştirmedir. Şekil 1’de genel olarak gösterilen

iki boyutlu problemdeki kütle kuvveti, yüzey kuvvet vektörü ve diferansiyel hacim,

x

y

u

v

Px

Py

L

A

i

d(x,y)

T

u=0

d noktasında kalınlık=td noktasında kütle kuvveti bileşenleri=fx,fy

Şekil 1. İki boyutlu problem


f = [fx,fy]T, T = [Tx,Ty]T, dV = t.dA (4) dır. Burada f kütle kuvveti, T yüzey kuvveti, dV diferansiyel hacim, t ise z yönündeki

kalınlıktır. Kütle kuvveti birim hacime düşen kuvvet, yüzey kuvveti ise birim yüzey

alanına düşen kuvvet olarak alınır. Şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

xv

yu

dydv

xu

∂∂

∂∂

∂∂ε ,, (5)

olarak verilir. Gerilmeler ve şekil değiştirmeler arasındaki ilişki ise,

σ = [D]ε (6)

olarak verilir. Burada D elastisite matrisi olup problemin düzlem şekil değiştime veya

düzlem gerilme olmasına göre değişen durumları ilerde verilecektir.

2. ÜÇGEN ELEMANLAR

İki boyutlu problemlerin sonlu eleman modelinin oluşturulmasında öncelikle eleman içinde

şekil değişiminin sabit olduğu üçgen elemanlar kullanılmış daha sonraki bölümlerde ise

dörtgen elemanlara geçilmiştir. Eleman rijitlik matrisleri ve yük ifadeleri bir boyutlu

problemlerde de görüldüğü gibi enerji ve Galerkin yaklaşımlarıyla elde edilmiştir.

Üçgen elemanlarla modelleme işine çözüm bölgesinin üçgenlere ayrılması ile başlanır

(Şekil 2). Üçgenlerin köşelerinin birleştiği noktalar düğümleri oluşturmaktadır. Böylece bir

üçgen eleman üç düğüm ve üç kenardan meydana gelir. Elemanlar eğriliklere sahip sınırlar

dışında bütün bölgeyi kaplamıştır. Esasen, sınırlardaki kaplanmamış bölgeler de daha

küçük üçgenlerin seçilmesiyle kaplanabilir. Sonlu elemanlar metodu yaklaşık bir çözüm

tekniği olduğundan bu kaplanmamış kısımlar da yaklaşıklığın bir bölümünü oluşturmakta

ve kabul edilebilir sınırlar içinde bulundukları sürece sonuçların güvenilirliğini

etkilememektedir. Modelde, düğüm numaraları köşelerde belirtilmiş, eleman numaraları

ise; kare içine alınmıştır.

Burada gözönüne alınan iki boyutlu problemde her düğüm x ve y yönünde yer

değiştirebilir. Bu nedenle, her düğümün iki serbestlik derecesi vardır. Kafes sisteminde

Bölüm 6-22


Q32

12

34

5

67

89

10

11

1213

14

15

16

1718

1920

1

23

4

5 67

8 9

10

1

113

1415

16

x

y

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

T

Q31Q2j

Q2j-1Düğüm iDüğüm j

u=0

Şekil 2. Çözüm bölgesinin üçgen elemanlara ayrılması

uygulanan numaralandırma yönteminde de görüldüğü gibi j düğümünün yer değiştirme

bileşenleri x yönünde Q2j-1 ve y yönünde Q2j olarak alınırsa genel yer değiştirme vektörü,

Q = [Q1,Q2,Q3,.......Qn]T (7)

şeklinde gösterilir. Burada n, toplam serbestlik derecesi sayısıdır. Bilgisayar uygulaması

açısından üçgen eleman bilgileri, düğüm noktası koordinatları ve eleman süreklilik bilgileri

matrisi şeklinde gösterilebilir. Düğüm noktası koordinatları, toplam düğüm sayısını ve

düğümün iki koordinatını gösteren iki boyutlu bir dizi olarak ele alınabilir. Elemanlar

arasıdaki süreklilik için de eleman numaraları ve her elemanın genel numaralamada sahip

olduğu düğümlerin numaralarını gösteren iki boyutlu bir dizi oluşturulabilir. Şekil 3’de

1

2

3

q1

q2q3

q4q5

q6

u

ve

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

(x,y)

x

y

Şekil 3 Üçgen eleman

Bölüm 6-33


eleman süreklilik durumu tipik bir üçgen eleman üzerinde gösterilmiştir. Lokal sistemde 1,

2 ve 3 olarak numaralandırılmış olan elemanın genel sistemdeki numaralandırılması Şekil

2’de verilmiştir. Süreklilik bilgilerinin gösterimi için Tablo 1 hazırlanmıştır. Süreklilik

matrisinde elemana ait düğüm numaraları sıralanırken belirli bir düzene uyulması (saat

ibresi yönü gibi) hesaplamalarda kolaylık sağlar.

Tablo 1. Eleman Süreklilik Bilgileri

Eleman no Düğüm numaraları e 1 2 3 1 1 2 4 2 7 4 2 3 2 5 7 . . . . . . . .

15 9 13 12 . .

20 13 16 15

Şekil 3’te verilen elemanın j düğümünün x ve y doğrultularındaki yer değiştirme bileşenleri

sırasıyla q2j-1 ve q2j olarak verilmiştir. Buna göre eleman yer değiştirme vektörü,

q =[q1,q2,q3,........,q6] (8)

olur. Tablo 1’de verilen bilgilerden yararlanarak genel sonlu eleman denkleminden

hesaplanan sistem deplasman vektörünün Q içinden eleman deplasman vektörü q

kolayca elde edilebilir.

3. SABİT ŞEKİL DEĞİŞİMLİ ÜÇGEN ELEMAN

Bir boyutlu problemlerin incelendiği bölümde seçilen şekil fonksiyonuna göre eleman

içindeki gerilme ve şekil değiştirmenin sabit veya değişken olarak modellenebildiğini

görmüştük. Üçgen elemanda da seçilen şekil fonksiyonu eleman içinde şekil değiştirmeyi

sabit olacak şekilde modelleme imkanı veriyorsa buna sabit şekil değişimli üçgen (SŞDÜ)

eleman denir. Bir eleman içindeki herhangi bir noktanın yer değiştirmeleri, elemanın

düğüm noktalarının yer değiştirmelerinden faydalanılarak hesaplanır. Bu da şekil

fonksiyonları yardımıyla yapılabilir. SŞDÜ elemanda şekil fonksiyonları lineer

fonksiyonlardır. 1, 2 ve 3 düğümlerine karşılık gelen N1, N2 ve N3 şekil fonksiyonları Şekil

4’de verilmiştir. Birinci düğümde N1 şekil fonksiyonunun değeri 1 olup diğer düğümlerde

sıfıra doğru lineer olarak azalır. Dolayısıyla N1 şekil fonksiyonu bir düzlem yüzey belirtir.

Bölüm 6-44


2. ve 3. düğümde 1 değeri alarak benzer birer yüzey oluşturan N2 ve N3 şekil fonksiyonları

da sırasıyla 1-3 ve 1-2 düğümlerinde 0 değerini alır. Bu şekil fonksiyonlarının bütün lineer

konbinasyonları da birer düzlem yüzey belirtir. Örneğin, N1+N2+N3 şeklindeki bir

kombinasyon da düğüm noktalarındaki yüksekliği 1 olan bir yüzey oluşturur ki bu yüzey

elemana pararaleldir. Bunun sonucu olarak

N1+N2+N3 = 1 (9)

yazılabilir.Bu yüzden N1, N2 ve N3 lineer olarak bağımsız değildirler. Bunların sadece iki

tanesi lineer bağımsızdır. Lineer olarak bağımsız olan şekil fonksiyonları r ve s çiftiyle

N1 = r, N2 = s, N3 = 1-r-s (10)

olarak bulunur. Burada r ve s doğal koordinatlardır (Şekil 4).

Bir boyutlu eleman ile olan benzerliğe dikkat çekilecek olursa, bir boyutlu problemde x

koordinatı r doğal koordinatı cinsinden ifade edilmiş ve şekil fonksiyonu r’nin fonksiyonu

olarak elde edilmişti. Burada ise (x, y) koordinatları r ve s doğal koordinatları cinsinden

ifade edilmiş ve şekil fonksiyonları r ve s’nin fonksiyonları olarak elde edilmiştir. Şekil

fonksiyonları fiziksel olarak alan koordinatları ile gösterilebilir. Şekil 5’de gösterildiği gibi

üçgen üzerindeki herhangi bir (x,y) noktası üçgeni A1, A2 ve A3 olmak üzere 3 alana böler.

Üçgen içindeki herhangi bir noktada N1+N2+N3 = 1 olduğundan, N1, N2, N3 şekil

fonksiyonları da bu alan bölmelerine bağlı olarak elde edilebilir. A, elemanın alanı olmak

üzere şekil fonksiyonları şu şekilde elde edilir.

ΑΑ

=ΝΑΑ

=ΝΑΑ

=Ν 33

22

11 (11)

1

2

3

N2

1

s=0

s=1

r=0

r=1

(b)

1

2

3

N3

1

s=0

s=1

r=0

r=1

N1

(x,y)

(x, y) noktasında N1

1

2

3

1

s=0

s=1

r=0

r=1

(a) (c)

Şekil 4. Şekil fonksiyonları

Bölüm 6-55


A1

A2

A3

(x,y)

1

2

3A1+A2+A3=A

s=0

s=1

r=0

r=1

Şekil 5. Alan koordinatları

3.1 İzoparametrik Gösterim

Eleman içindeki yer değiştirmeler, bilinmeyen yer değiştirme alanının düğüm

noktalarındaki değerleri ve şekil fonksiyonları kullanılarak

u = N1 q1+N2 q3+N3 q5

(12a) v = N1 q2+N2 q4+N3 q6

şeklinde yazılır. (10) yardımıyla doğal koordinatlar cinsinden

u=(q1-q5)r + (q3-q5)s+q5 (12b) v=(q2-q6)r + (q4-q6)s+q6

şeklinde de ifade edilebilir. (12a)’daki ilişki bir [N] şekil fonksiyonu matrisi ile matris

formunda,

u = [N].q (13)

olarak yazılabilir. Şekil fonksiyonları matrisi ise,

321

321

000000

][NNN

NNNN = (14)

dir. Üçgen bir eleman için x, y koordinatları aynı şekil fonksiyonları kullanılarak düğüm

noktası koordinatları cinsinden ifade edilebilir. Yani,

332211332211 yyyyxxxx ΝΝΝΝΝΝ ++=++= (15a)

dir. Ya da şekil fonksiyonlarının yerleştirilmesi ile,

Bölüm 6-66


( ) ( ) ( ) ( ) 3323133231 ysyyryyxxsxxrxxx +−+−=+−+−= (15b)

elde edilir. jiijjiij yyyvexxx −=−= şeklinde bir dönüşüm uygulanırsa,

3231332313 ysyryyxsxrxx ++=++= (15c)

elde edilir. Görüldüğü gibi (12) u ve v’nin doğal koordinatlardaki ifadesini verirken (15c)’

de x ve y’nin doğal koordinatlarla ilişkisini göstermektedir.

Örnek: Şekilde gösterilen üçgen eleman için P noktasındaki N1, N2, N3 şekil fonksiyonlarını hesaplayınız. Çözüm: (15)’de verilen isoparametrik gösterimi kullanarak;

P(3.85,4.8)

x

y

1 (1.5,2)

2 (7,3.5)

3 (4,7)

435.2475.185.3 321 ++−=++= srNNN 75.3575.328.4 321 +−−=++= srNNN

denklemleri yazılır. Bu iki denklemden 15.035.2 =− sr 2.25.35 =+ sr

eşitlikleri elde edilir. Buradan da r=0.3, s=0.2 hesaplanır. Bu durumda şekil fonksiyonları N1 = 0.3, N2 = 0.2 ve N3 = 0.5 olur.

Şekil değiştirmelerin hesaplanmasında, u ve v’nin x ve y’ye göre kısmi türevleri gereklidir.

(12) ve (15) eşitliklerinden deplasman ve koordinatların r ve s’nin fonksiyonları olduğu

görülür. Yani ( ) ( )( )srysrxuu ,,,= ve benzer şekilde ( ) ( )( )srysrxvv ,,,= dir. u’nun kısmi

türevi için zincir kuralı kullanılarak ry

yu

rx

xu

ru

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+= ve sy

yu

sx

xu

su

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+= eşitlikleri

elde edilir, matris notasyonunda ise,

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yuxu

sy

sx

ry

rx

suru

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

(16)

şeklinde yazılabilir. Buradaki (2x2)’lik kare matris dönüşümünün jakobiyeni olarak

adlandırılır.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

sy

sx

ry

rx

J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

][ (17)

Bölüm 6-77


x ve y’nin türevi alınarak,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2323

1313][yxyx

J (18)

elde edilir. (16)’dan,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

suru

J

yuxu

∂∂∂∂

∂∂∂∂

1][ (19)

yazılabilir. Burada [J]-1 ise

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

1323

13231

]det[1][

xxyy

JJ (20)

13232313]det[ yxyxJ −= (21)

dir. Üçgen alan bilgilerinden, det[J]’nin büyüklüğünün; üçgenin alanının iki katı olduğu

görülür. Eğer 1, 2, 3 noktaları saat ibresinin tersi yönünde olursa det[J] pozitif çıkar. Bu

durumda üçgenin alanını,

A =12

det J (22)

olarak yazmak mümkündür.

Örnek: Önceki örnekte verilen üçgen eleman için [J] matrisini hesaplayınız.

Çözüm: , det[J]=23.75 birim. Bu durumda üçgenin

alanı da 11.875 birimkare olur.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5.30.30.55.2

][2323

1313

yxyx

J

(19) ve (20)’den,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sux

rux

suy

ruy

Jyuxu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

1323

1323

det1 (23a)

yada v için,

Bölüm 6-88


⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

svx

rvx

svy

rvy

Jyvxv

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

1323

1323

det1 (23b)

elde edilir. (5)’te verilen şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi ile beraber (12b) ve

(23)’ten

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (

ε

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

=

+

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=− − −

− − + −− − + − + − − −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

uxvy

uy

vx

J

y q q y q qx q q x q qx q q x q q y q q y q q

1 23 1 5 13 3 5

23 2 6 13 4 6

23 1 5 13 3 5 23 2 6 13 4 6

det ) (24a)

elde edilir. xij ve yij tanımından y31=-y13 ve y12=y13-y23 gibi düzenlemeler yapılabilir. Bu durumda

ε =+ ++ ++ + + + +

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1 23 1 31 3 12 5

32 2 13 4 21 6

32 1 23 2 13 3 31 4 21 5 12 6

det J

y q y q y qx q x q x qx q y q x q y q x q y q

(24b)


][ qB=ε (25) yazılabilir. Burada [B]; üç adet şekil değiştirmenin, altı adet düğüm yer değiştirmeleri ile

ilişkisini belirleyen (3x6)’lık eleman şekil değiştirme-deplasman matrisi olup

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

122131132332

211332

123123

000000

det1][

yxyxyxxxx

yyy

JB (26)

şeklinde elde edilir. Görüldüğü gibi [B] matrisinin bütün elemanları düğüm

koordinatlarından elde edilen sabit terimlerdir.

Örnek: Şekil’de gösterilen elemanlar için, köşelerde verilen lokal düğüm numaralarını kullanarak [B] matrislerini hesaplayınız.

Çözüm: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

122131132332

211332

123123

1 000000

det1][

yxyxyxxxx

yyy

JB

12

3 12

3

e=2

e=1

2 cm

3 cm

Bölüm 6-99


[B]1=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

200323003030020002

61

(detJ ( )( ) ( )( )x y x y13 23 23 13 3 2 3 0 6− = − = olarak hesaplanır.) Köşelerdeki lokal numaraları

kullanarak ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

200323003030020002

61][ 2B elde edilir.

3.2 Potansiyel Enerji Yaklaşımı İle Eleman Rijitliğinin Hesabı

Sistemin potansiyel enerjisi

∑∫∫∫ −−−= iT

iLT

AT

AT PutdTutdAfutdAD ][

21

lεεΠ (27)

eşitliği ile verilmektedir. Son terimde i, Pi yükünün uygulandığı düğümün numarasını

göstermekte olup tekil yük Ρi=[Ρx,Ρy]iT, şeklindedir. Şekil 2’de gösterilen üçgen elemanı

kullanarak toplam potansiyel enerji,

iT

iiL

T

ee

Te

T

ePutdTutdAfutdAD ][

21 ∑∫∑∫∫∑ −−−= lεεΠ (28a)

veya,

iT

iiL

T

ee

T

ee PutdTutdAfuU ∑∫∑∫∑ −−−=Π l (28b)

olarak elde edilir. Burada tdADUe

Te εε ][

21∫= eleman şekil değiştirme enerjisidir. Şekil

değiştirme için, (25)’de verilen şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisinden elemanın şekil

değiştirme enerjisi

tdAqBDBqU TTe ]][[][

21∫= (29a)

[D] ve [B] matrisleri sabit olduğundan, eleman kalınlığı te’yi eleman üzerinde sabit alarak,

( ) ]][[][21 qdAtBDBqU e

TTe ∫= (29b)

eşitliği yazılabilir. olarak elemanın alanını verdiğinden, dA Ae=∫

Bölüm 6-1010


]][[][21 qBDBAtqU T

eeT

e = (29c)

ve eleman rijitlik matrisinin tanımlanmasıyla

][21 qkqU e

Te = (29d)

elde edilir. Eleman rijitlik matrisi bu durumda,

[ ] ]][[][ BDBAtk Teee = (30)

olarak elde edilir. Daha önce belirtilen [D] uygun malzeme matrisi alınarak düzlem

gerilme veya düzlem şekil değiştirme için eleman rijitlik matrisi elde edilebilir. Eleman

rijitlik matrislerinin uygun şekilde toplanmasıyla potansiyel enerji ifadesi (29d)

[ ] QKQU Te 2

1= (31)

olarak elde edilir. Elde edilen global rijitlik matrisi simetriktir, bant formda ve

elemanlarının çoğu sıfır olan bir matristir. i1, i2 ve i3, e elemanının düğüm numaraları

olmak üzere; eleman düğüm numaraları arasındaki maksimum fark

(m i i i i ie = − − −max , ,1 2 2 3 3 1 )i (32a)

ile hesaplanır. Buradan genel rijitlik matrisinin bant genişliği de,

( )[ ]1max2

1+=

≤≤ eESemYBG (32b)

olarak verilir. Burada ES eleman sayısı, 2 ise herbir düğümün serbestlik derecesidir. K

global rijitliği bütün serbestlik derecelerinin serbest olduğu bir formdadır ve bu nedenle de

tekildir. Sınır şartlarının hesaba katılması için bu matrisin değiştirilmesi gerekmektedir.

3.2.1 Kuvvet Terimleri

(28b) de verilen toplam potansiyel enerji ifadesinden ilk olarak kütle kuvvet terimini

( ) ele alalım. Kuvvet ve deplasmanlar doğrultulara göre ayrıldığında, tdAfu T ∫

( )dAvfufttdAfue

yxee

T ∫∫ +=

Bölüm 6-1111


elde edilir. (12a) da verilen interpolasyon denklemlerinden

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫∫∫∫ dANftqdANftqdANftqtdAfu

exe

eye

exe

e

T231211

+ (33) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∫∫∫ dANftqdANftqdANftqe

yee

xee

ye 363524

olur. Şekil 4’de gösterilen, bir üçgen eleman üzerindeki şekil fonksiyonun tanımından,

, ifadesinin AdANe∫ 1 e taban alanı ve bir köşesinin yüksekliği bir birim olan bir prizmanın

hacmini verdiği görülür. Diğer taraftan böyle bir prizmanın hacminin (1/3 x Taban alanı x

Yükseklik) olduğunu biliyoruz (Şekil 6). Bu durumda

ee

i AdAN31

=∫ (34)

dır. Aynı şekilde; N dA N dA Ae e

e2 313∫ ∫= = olur. Böylece (33)

e

T

e

T fqtdAfu =∫ (35)

formunda yazılabilir. Burada fe, elemanın kütle kuvvet vektörüdür ve şu eşitlikle

tanımlanır,

[ Tyxyxyx

eee ffffff

Atf ,,,,,

3 = ] (36)

12

3

h=1N1

dA

r=0r=1

s=0

s=1

dsdr

Ae

∫ ∫∫ ∫∫

∫− −− −

===

=1

0

1

0

1

0

1

011

1

3/12det

3/1s

e

s

ee

ee

AdrdsAJdrdsNdAN

AdAN

Şekil 6 Şekil fonksiyonunun integrali

Bölüm 6-1212


Elde edilen bu eleman yük değerleri daha önce bahsedildiği gibi genel yük vektörünü

oluşturacak şekilde toplanır. Toplama işleminde eleman süreklilik bilgileri dikkate alınır.

İşlem sembolik olarak şu şekilde ifade edilir.

(37) ee fF Σ← İkinci olarak potansiyel enerji ifadesindeki yüzey kuvveti terimini ( ∫ ) ele

alalım. Şekil 7’de bir elemanın l

ltdTu T

1-2 kenarı Tx, Ty yüzey kuvvetleri ile yüklenmiştir. Tx, Ty

kuvvetleri birim yüzey alana etkiyen kuvvetlerdir. Bu durumda enerji ifadesi,

( ll tdvTuTtdTu

lyx

L

T ∫∫−

+=21

) (38a)

olur. u = [N]q dönüşümünü kullanarak,

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ +++=−

llllll

dNTtqdNTtqdNTtqdNTtqtdTu yexeyexeT

24231211

21

(38b)

elde edilir. Burada 1-2 kenarı boyunca N3 = 0 olduğundan N1 ve N2 bir boyuttaki N1+N2=1

koşulunu sağlayan şekil fonksiyonlarına benzerdir. (38b)’deki herbir integral, taban

uzunluğu le’nin yarısı ile yüksekliğin (h=1) çarpımına eşittir.

2121

21−=∫

−

lldNl i (39)

kenar uzunluğu da ( ) ( )l1 2 2 1

22 1

2− = − + −x x y y dir. Böylece yüzey kuvveti,

∫−

=21

l

eTT TqtdTu l (40)

olur. Burada q , 1-2 kenarındaki serbestlik derecelerine karşılık gelen deplasman vektörü olup,

x

y

1

2

3q1

q2

q3

q4

q5

q6 l1-2

Tx

Ty

Şekil 7. Yüzey Kuvveti

Bölüm 6-1313


[ Tqqqqq 4321 ,,,= ] (41) ile verilebilir. Bu durumda eleman yüzey kuvvet vektörü,

[ Tyxyx

ee TTTT

tT ,,,

2 21−=

l ] (42)

olarak elde edilir. Yüzey kuvvetleri de genel kuvvet vektörü F’e eklenir. Tekil yükler,

yükün uygulandığı noktanın elemanlara ayırma esnasında, düğüm olarak tanımlanmasıyla

kolayca sisteme eklenebilir. i noktası; [ ]Tyxi PPP ,= tekil yükünün uygulandığı düğüm

olsun, bu durumda enerji ifadesi,

yixii

Ti PQPQPu 212 += − (43)

olarak yazılabilir. Burada Px ve Py, Pi’nin x ve y bileşenleri olup doğrudan F global

kuvvet vektörünün (2i-1) ve (2i) bileşenlerine eklenir. Kütle kuvveti, yüzey kuvveti ve

tekil kuvvetlerin, F global kuvvet vektörüne etkileri ( ) PTfF e ++Σ← şeklinde

gösterilebilir. Şekil değiştirme enerjisi ve kuvvet terimlerinin birlikte düşünülmesi ile

toplam potansiyel enerji,

][21 FQQKQ TT −=Π (44)

olarak elde edilir. Sınır şartları ile ilgili düzenlemeler yapılarak sonlu eleman denklemleri

[K]Q = F (45)

elde edilir.

3.3 Galerkin Yaklaşımı

Galerkin yaklaşımında işleme uygun bir virtüel deplasman vektörü seçilerek başlanır.

[ TYX ϕϕϕ ,= ] (46)

Buradan şekil değiştirme

( ) T

yxyx

xyyx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

∂∂ϕ

∂∂ϕ

∂∂ϕ

∂∂ϕ

ϕε ,, (47)

Bölüm 6-1414


olur. Seçilen yer değiştirme vektörünün sınır şartlarını sağlaması gereklidir. Varyasyonel

form;

( ) 0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− ∫ ∫∫

Ai

Ti

Li

TT

A

T PtdTtdAftdA φΣφφφεσ l (48)

ile verilir. Burada ilk terim iç virtual işi, parantez içindeki ifade ise dış virtual işi verir.

Çözüm bölgesi üzerinde ise,

( ) 0][ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− ∫∫∫ i

Ti

Li

T

e

Te

e

Te PtdTtdAftdAD φΣφφΣφεεΣ l (49)

dir. (12) ve (14) deki interpolasyon adımlarını kullanarak,

][ Ψφ N= (50)

( ) ][ Ψφε B= (51)

[ T654321 ,,,,, ΨΨΨΨΨΨΨ = ]

]

(52) elde edilir. Burada Ψ, herhangi bir e elemanının düğüm noktalarının yer değiştirme

vektörüdür. Global düğüm noktası yer değiştirme vektörü ise,

[ NΨΨΨΨ ,........, 21= (53)

dir. (49)’dan elemanın iç virtüel iş terimi, ( ) tdABDBqtdAD T

e

T

e

T ]][[][][ Ψφεε ∫∫ =

eşitliği ile ifade edilebilir. [B] ve [D]’nin bütün terimlerinin sabit olduğu, te ve Ae’nin

sırasıyla eleman kalınlığı ve alanı olduğu bilindiğinden,

( ) ]][[][][ Ψφεε ∫∫ =

eeTT

e

T dAtBDBqtdAD

= (54) ]][[][ ΨBDBAtq T

eeT

= ][ Ψe

T kq elde edilir. Eleman rijitlik matrisi,

]][[][][ BDBAtk Teee = (55)

Bölüm 6-1515


dir. Buradan genel rijitlik matrisine iç virtüel işlerin toplanmasıyla

( ) ][][ ΨΣφεεΣ eT

ee

Te kqtdAD =∫

= (56) ][ qk eT

e ΨΣ = ][ QKTΨ şeklinde bir geçiş yapılabilir. Kuvvet ifadeleri, dış virtuel iş terimleri kullanılarak elde edilir. Potansiyel enerji

formülasyonunda kullanılan adımların aynen geçerli olduğu Galerkin yaklaşımında

deplasmanları ifade eden u yerine φ kullanılmaktadır. Bu nedenle,

∫ =e

eTT ftdAf Ψφ (57)

dir. Bu da sonuçta (33) ve (36) ile verilen kütle kuvvet vektörünü verir. Aynı şekilde yüzey

kuvveti ve tekil yükler de (38) ve (43) ile verilen sonuçlara ulaşır. Varyasyonel formüldeki

terimler,

İç Virtual İş: (58a) ][ QKTΨ

Dış Virtual İş: (58b) FTΨ Şeklinde tüm sistem için elde edilir. Uygun bir deplasman fonksiyonu seçimi ile sınır

şartlarının uygulanmasından

][ FQK = (59)

sonucuna ulaşılır.

3.4 Gerilme Hesapları

Ele aldığımız SŞDÜ elemanında eleman içindeki şekil değiştirmeler sabit olduğundan

bunlara karşılık gelen gerilmeler de sabittir. Bu nedenle her eleman için bir gerilme

hesaplanması yeterlidir. Gerilme ile yer değiştirmeler arasında (6) ve (25) kullanılarak,

]][[ qBD=σ (60)

şeklinde bir ilişki elde edilir. Sonlu eleman denkleminin çözülmesi ile elde edilen sistem

deplasman vektöründen eleman süreklilik değerleri de dikkate alınarak elemana ait düğüm

deplasman değerleri çıkarılır. Bu değerlerin kullanılmasıyla elemana ait gerilme değeri

Bölüm 6-1616


hesaplanabilir. Gerilmelerin ara bölgelerdeki değerlerini elde etmek için interpolasyon

yapılmak istenirse hesaplanan değerlerin elemanların merkezindeki değerler olduğu kabul

edilebilir. Asal gerilmeler ve bunların yönleri Mohr çemberi prensipleri kullanılarak

hesaplanır.

Örnek: Şekilde yükleme durumu ve sınır şartları verilen levha için 1 ve 2 düğümlerinin yer değiştirmelerini ve düzlem gerilme durumuna göre elemanlardaki gerilmeleri hesaplayınız.

t=0.5 cm, E=30 106 N/cm2, ν=0.25

2

1

4

2

1

3

x

y

3 cm

2 cm

1 kN

Çözüm: Düzlem gerilme hali için elastisite matrisi şu şekilde verilir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×××××

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

7

77

77

2

102.1000102.3108.00108.0102.3

2100

0101

1 νν

ν

νΕD

Verilen numaralama sistemi için süreklilik bilgileri tablosu ise Eleman Düğüm no

No 1 2 3 1 1 2 4 2 3 4 2

Şeklindedir. [D][B]e çarpım matrisleri,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=4.0006.04.06.0

0267.06.106..1267.00067.14.004.0067.1

10][ 71DB

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=4.0006.04.06.0

0267.06.106.1267.00067.14.004.0067.1

10][ 72DB

olarak elde edilir. Buna göre eleman rijitlik matrisleri de, te.Ae.[B]e

T.[DB]e çarpımı ile, 1 2 3 4 5 6 5 6 7 8 3 4

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−

=

2.00533.002.02.1

3.00045.02.02.02.13.04.1

3.053.02.00455.0983.0

10][ 71

sim

k [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−

=

2.00533.002.02.1

3.00045.02.02.02.13.04.1

3.0533.02.00455.0983.0

1072

sim

k

elde edilir. Eleman matrislerinin sutunlarına karşılık gelen serbestlik dereceleri üstlerinde verilmiştir. Sınır şartları nedeniyle Q2, Q5, Q6, Q7 ve Q8 değerleri sıfır olduğundan eliminasyon yaklaşımını kullanarak Q1, Q3 ve Q4 serbestlik derecelerine karşılık gelen satır ve sütunların alınması yeterlidir. Yalnızca 4 nolu serbestlik derecesine uygulanan 1

Bölüm 6-1717


kN’lik bir tekil kuvvet bulunduğundan genel yük vektörünün bir adet sıfırdan farklı bileşeni bulunmaktadır. O da F4 = -1 kN dir. Bu durumda sonlu eleman denklemleri

100 983 0 45 0 2

0 45 0 983 00 2 0 14

00

1000

71

2

3

. . .. .. .

−−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪=

−

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

QQQ

olur. Buradan deplasmanlar Q1=1.913x10-5 cm, Q3=0.875x10-5 cm ve Q4=-7.436x10-5 cm olarak hesaplanır. Birinci elemanın yer değiştirme vektörü,

olur. Gerilme ise buna bağlı olarak

σ

[ Tq 00436.7875.00913.110 51 −= − ]

]1=[DB]1.q’ dan olarak hesaplanır. Benzer olarak ikinci elemanın deplasmanları

[ 2/3.627.11383.93 cmNT−−−=σ [ ]436.7875.0000010 5

2 −= −q ve

gerilmeler de [ ] 22 /4.2974.234.93 cmNT−−=σ bulunur.

3.5 Sıcaklık Etkisi

Eğer sıcaklık değişiminin dağılımı (∆T(x,y)) biliniyorsa, bu değişim nedeniyle meydana

gelen şekil değiştirme, başlangıç şekil değiştirmesi (ε0) olarak ele alınabilir. Elastisite

teorisinden düzlem gerilme için ε0,

[ T0,,0 ∆Τα∆Ταε = ] (61)

düzlem şekil değiştirme için de,

( )[ ]T0,,10 ∆Τα∆Τανε −= (62) şeklinde verilmektedir. Gerilme ve şekil değiştirme ilişkileri ise,

( 0][ )εεσ −= D (63) şeklindedir. Sıcaklık şekil değiştirme enerjisinde

( ) ( )

( )tdADDD

tdADU

TTT

T

∫∫

+−=

−−=

000

00

][][2][21

][21

εεεεεε

εεεε (64)

şeklinde bir artışa neden olur. Burada birinci terim rijitlik matrisini verir. Son terim sabit

olduğundan minimizasyonda etkisi yoktur. Ortadaki terim ise sıcaklık sebebiyle oluşan

yükü vermektedir. Şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi ε=[B]q kullanılarak yük

terimi,

Bölüm 6-1818


( ) dAtDBqtdAD eTT

eA

T00 ][][][ εΣεε =∫ (65)

şeklinde açılabilir. Buradan elemanın sıcaklık yükü,

0][][ εθ DBAt Teee = (66)

olarak elde edilir. Eleman sıcaklık vektörünün 6 bileşeni bulunmaktadır.

[ Te 654321 ,,,,, θθθθθθθ = ] (67)

Başlangıç şekil değişimi (ε0) eleman içinde ortalama sıcaklık değişimi nedeniyle oluşan

birim şekil değiştirme olarak alınır. Buradan eleman içindeki gerilmeler,

0][][ εσ −= qBD (68)

dan hesaplanır.

3.6 Problem Modellenmesi ve Sınır Şartları

Sonlu eleman metodu, çeşitli türdeki problemlerde gerilmeleri ve şekil değiştirmeleri

hesaplamak için kullanılır. Az önce verilen örnekte ele alındığı gibi bazı problemlerde,

fiziksel boyutlar yükleme ve sınır şartları açıkça görülebilmektedir. Bazı problemlerde ise

bu bazı zorluklar getirmektedir. Şekil 8a’da gösterilen levha buna bir örnektir. Yükleme

şekli ve geometrisi buna benzeyen bir çok problemle gerçek hayatta karşılaşılabilir. Esas

olarak elemanın şekil değiştirmesi ile ilgili analizler yaptığımızdan ele aldığımız

problemlerin yükleme, sınır şartları ve geometrisinden kaynaklanan simetri durumları

modelleme ve değerlendirme gibi açılardan kolaylık sağlar. x ve y simetri eksenleri olmak

üzere (Şekil 8b) x ekseni üzerindeki noktalar yalnızca, x ekseni boyunca hareket ederler, y

ekseni boyunca ise sabittirler. Aynı şekilde y ekseni üzerindeki noktalar da x ekseni

yönünde sabittirler. Görüldüğü gibi problemin yalnızca ¼’ünün modellenmesi aranan şekil

6 cm

3 cm

30 MPa

x

y

30 MPa(a) (b)

Şekil 8 Dikdörtgen levha ve sonlu eleman modellemesi

Bölüm 6-1919


değiştirme ve gerilmelerin elde edilmesi için yeterli olmaktadır. Başka bir örnek olarak

içten basınca maruz sekizgen boru verilebilir (Şekil 9). Simetri nedeniyle, Şekil 9b’de

gösterildiği gibi, 22.5°’lik dilimin hesaba katılması yeterli olacaktır. Sınır koşulları x ve n

üzerindeki noktaların bu iki doğruya dik yönde sabitlenmiş olmasını gerektirmektedir.

İçten veya dıştan basınca maruz bir dairesel borunun üzerindeki tüm noktalar simetri

nedeniyle radyal doğrultuda hareket ederler. Bu durumda herhangi borunun herhangi bir

dilimi ele alınabilir. Hatta problem tek boyutlu olarak ta modellenebilir.

Şekil 9’da verilen durum için x ekseni üzerindeki noktalar penaltı yaklaşımı ile kolayca

değerlendirilebilir. n doğrusu üzerindeki noktalar için ise bazı düzenlemeler yapmak

gerekecektir. Eğer n doğrusu üzerindeki i düğümü Q2i-1 ve Q2i serbestlik dereceli ve Şekil

9’da gösterildiği gibi n boyunca hareket edebiliyorsa, x eksenine göre n’in eğimi θ olmak

üzere,

Q Sin Q Cosi i2 1 2 0− − =θ θ (69)

yazılabilir. Bu durum bir çok noktalı sınır şartı verir. Bu nedenle genel potansiyel enerji

ifadesine

( 22122

1][21 θθΠ CosQSinQCFQQKQ ii

TT −+−= − ) (70)

şeklinde bir ekleme yapılır. Burada C, büyük bir sayıdır. Bu eşitlikteki kareli terim açılırsa,

( ) [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=− −−−

i

iiiii Q

QCCosCosCSin

CosCSinCSinQQCosQSinQC

2

122

2122

212 ,21

21

θθθθθθ

θθ (71)

elde edilir. Elde edilen CSin2θ, -CSinθCosθ ve Ccos2θ terimleri eğik çizgi (n) üzerinde

n

x22.5°

P

x

n

P

22.5°x

n

θ

θiQ2i-1

Q2i

Şekil 9 Sekizgen boru ve sonlu eleman modellemesi

Bölüm 6-2020


bulunan her düğüm için global rijitlik matrisine eklenerek genel rijitlik matrisi sınır

şartlarına göre düzenlenmiş olur. Bir boyutlu problemde çok noktalı sınır şartları ele

alınırken kullanılan β0, β1 ve β2 sabitlerine karşılık burada sırasıyla 0, Sinθ ve - Cosθ

alınmasıyla da aynı sonuç elde edilebilirdi.

3.7 Elemanlara Ayırma İle İlgili Genel Uyarılar

Bir alanı üçgenlere bölerken, üçgenin en büyük ve en küçük kenar boyları oranının çok

fazla olmamasına dikkat edilmelidir. Eşkenar üçgenlerin kullanılması en uygun seçim

olacaktır. Bununla beraber eşkenar üçgenlerin kullanılması her zaman mümkün olmaz. Bu

nedenle yapılabilecek en uygun şey, üçgenin açılarını 30° ile 120° arasında kalmasına

dikkat etmek olacaktır. Çentikler ve faturalar gibi gerilmelerin çok büyük yığılma

gösterdiği bölgelerde gerilmelerin doğru hesaplanabilmesi için eleman boyutlarının küçük

seçilmesi yararlı olur. SŞDÜ elemanında eleman üzerinde gerilmelerin sabit olduğu kabul

edildiğinden mümkün olduğu kadar küçük elemanların seçilmesi modellemenin sağlığı

açısından önem kazanır.

Sonuçların ve verilerin uygun olup olmadığının kontrolü için, ilk denemelerde kaba eleman

dağılımı yeterli olabilir. Bu aşamada, çok sayıda elemanı devreye sokmadan da hatalar

saptanabilir. Bundan sonra gerilme değişikliklerinin yüksek olduğu bölgelerde, eleman

sayısını arttırarak daha iyi sonuç alınması sağlanır. Buna yakınsama yöntemi adı verilir.

4. İZOPARAMETRİK ELEMANLAR

Bu bölümde izoparametrik elemanların gerilme analizi problemlerinin çözümünde

kullanımı üzerinde durulacaktır. İsoparametrik elemanlar iki ve üç boyutlu problemlerin

çözümünde geniş bir kullanım alanı bulmuş ve deneysel verilerle iyi bir uyum sağlayan

sonuçlar elde edilmiş bir eleman türüdür. Burada dört düğümlü izoparametrik elemanlar

anlatılarak temel prosedür ayrıntılı bir şekilde verildikten sonra daha yüksek dereceden

izoparametrik elemanların nasıl ele alınacağı üzerinde durulacaktır.

Şekil 11’de dört düğümlü dörtgen eleman verilmiştir. Lokal düğüm numaraları saat

ibresinin ters yönünde 1, 2, 3, 4 şeklinde verilmiş olup ve düğüm koordinatları, i düğümü

Bölüm 6-2121


1

2

3

4

q1

q2

q3

q4

q5

q6

q7

q8

u

v

P(x,y)

x

y

Şekil 10 Dört düğümlü dörtgen eleman

için (xi,yi) dir. Düğüm deplasmanları vektörü, [ ]Tqqqqqqqqq 87654321 ,,,,,,, = dir.

Eleman içindeki P noktasının deplasmanları ise, ( ) ( )[ ]Tyxvyxuu ,,,= şeklindedir.

Şekil fonksiyonları öncelikle doğal koordinatlardaki bir temel eleman üzerinde geliştirilir.

Temel eleman (r, s) doğal koordinatlarında düzgün bir kare olarak tanımlanabilir (Şekil11).

Langrange şekil fonksiyonları i=1, 2, 3, 4 olarak düğüm numaraları olmak üzere Ni

şeklinde gösterilir. Her şekil fonksiyonu tanımlı olduğu düğümde 1 diğer düğümlerde ise

sıfırdır. Örnek olarak 1. düğüm için,

1. düğümde N1=1, 2, 3 ve 4. Düğümde, N1=0 (71) olarak kısaca gösterilebilir. Buna göre, N1, r=1 ve s=1 kenarları boyunca sıfır olmak

zorundadır. Bu da

N1=c(1-r)(1-s) (72)

formunda bir eşitlik verir. Buradaki sabit c katsayısı 1 düğümünde N1=1 olması şartından

r

s

1 2

3 4

(0,0)

P(r,s)

(1,1) (-1,1)

(-1,-1) (1,-1)

Şekil 11 Doğal koordinatlarda temel eleman

Bölüm 6-2222


bulunur. Bu durumda 1 düğümünde r=s=-1 olduğundan (72),

1=c(2)(2) (73) olur. Buradan c=1/4 olarak elde edilir. Böylece 1 düğümündeki şekil fonksiyonu

( )(N r114

1 1= − − )s (74)

olarak elde edilir. Diğer düğümler için de benzer yoldan ( )(N r214

1 1= + − )s ,

( )( )sN r314

1 1= + + , ( )( )N r s414

1 1= − + olarak bulunur. Bilgisayar uygulasında kolaylık

sağlaması açısından şeklil fonksiyonları ri ve si ilgili düğümün doğal koordinatlardaki

yerini vermek üzere, kısa gösterimde

( )( iii ssrrN ++= 1141 ) (75)

olarak yazılabilir. Eleman içinde herhangi bir noktanın yer değiştirmeleri şekil fonksiyonları yardımıyla, 74533211 qNqNqNqNu +++= (76) 84634221 qNqNqNqNv +++= olarak yazılabilir. Matris formunda ise, (77) ][ qNu = Burada [N] şekil fonksiyonları matrisi olup,

(78) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4321

4321

00000000

][NNNN

NNNNN

şeklindedir. İzoparametrik formülasyonda koordinatlar da aynı şekil fonksiyonları ile

gösterilebildiğinden, eleman içindeki herhangi bir noktanın koordinatı,

x N x N x N x N x= + + +1 1 2 2 3 3 4 4

(79) y N y N y N y N y= + + +1 1 2 2 3 3 4 4

Bölüm 6-2323


olarak yazılır. Bundan sonra şekil değiştirmelerin hesabına geçilir. Bunun için r,s

koordinatlarında verilen şekil fonksiyonlarının x,y koordinatlarındaki türevlerine ihtiyaç

vardır. Buradan zincir kuralı ile (üçgen elemanlardakine benzer şekilde) herhangi bir

f=f[x(r,s),y(r,s)] fonksiyonu için

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

fr

fx

xr

fy

yr

= + ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

fs

fx

xs

fy

ys

= + (80)

yazılır. Matris notasyonu ile J jakobiyen matrisi olmak üzere,

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yfxf

J

sfrf

∂∂∂∂

∂∂∂∂

(81)

yazılır. Jakobiyen matrisi ise

[ ]sy

sx

ry

rx

J

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= (82)

şeklindedir. (75) ve (79) yardımıyla

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−++++−−−−++++−−−+−+++−−+−++−+−−

=43214321

43214321

1111111111111111

41

yryryryrxrxrxrxrysysysysxsxsxsxs

J (83)

JJ JJ J

= 11 12

21 22

(84)

elde edilir. f fonksiyonu yerine şekil fonksiyonlarını yazarsak (82),

∂∂∂∂

∂∂∂∂

NrNs

J

NxNy

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

(85)

olur. Şekil fonksiyonlarının x ve y’ye göre türevi gerektiğinden bu eşitliğin tersi alınarak,

∂∂∂∂

∂∂∂∂

NxNy

J

NrNs

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

−1 (86)

Bölüm 6-2424


yazılır. Bu da,

∂∂∂∂

∂∂∂∂

NxNy

JJ JJ J

NrNs

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1 22 12

21 11det (87)

şeklinde ifade edilebilir. Diğer taraftan bir çok matematik analiz kitabında verildiği üzere

doğal koordinatlardaki alan ile kartezyen koordinatlardaki alan arasında

dA dxdy Jdr ds= = det . (88)

şeklinde verilen bir ilişki vardır. Bu ilişki eleman rijitlik matrisi hesaplarında sıklıkla

kullanılacaktır.

4.1 Eleman Rijitlik Matrisi

Dörtgen elemanlar için rijitlik matrisi elastik enerji ifadesinden hareketle elde edilebilir.

Bu eşitlik,

dVUv

εσ∫= 21 (89)

şeklindedir. Kalınlık sabit alınır ve eleman boyutunda yazılırsa,

∑ ∫=e e

e dAtU εσ21 (90)

olur. Şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkisi ise,

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

xv

yu

yvxu

xy

y

x

∂∂

∂∂∂∂∂∂

εεε

ε (91)

şeklindedir. (81)’de f = u alınırsa,

∂∂∂∂

∂∂∂∂

uxuy

JJ JJ J

urus

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1 22 12

21 11det (92a)

Bölüm 6-2525


olur. Aynı şekilde v için de,

∂∂∂∂

∂∂∂∂

vxvy

JJ JJ J

vrvs

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

1 22 12

21 11det (92b)

yazılır. (91) ve (92a-b) eşitliklerinden,

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

svrvsuru

A

∂∂∂∂∂∂∂∂

ε ][ (93)

elde edilir. Burada [A],

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

12221121

1121

1222

0000

det1][

JJJJJJ

JJ

JA (94)

dir. Bu durumda yer değiştirmelerin şekil fonksiyonları cinsinden yazıldığı (76) yardımıyla

][ qG

svrvsuru

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂

(95)

yazılabilir ki burada [G],

[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )

)rrrrssss

rrrrssss

G

−++−−−+−+−−−

−++−−−+−+−−−

=

10101010101010100101010101010101

41 (96)

şeklinde elde edilir.Şekil değiştirme ve yer değiştirmeler matris formunda ε=[B]q

olarak verildiğinden (93) ve (95)’ten [B]=[A][G] olarak elde edilir. Diğer taraftan

σ=[D]ε olduğundan eleman içindeki gerilmeler,

Bölüm 6-2626


]][[ qBD=σ (97) olur. Bu durumda şekil değiştirme enerjisi ifadesini,

.det]][[][21 1

1

1

1

qdsJdrBDBtqU TTe ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫ ∫

− −

Σ (98a)

şeklinde yazabiliriz. Bu da

[ ] qkqU eT

e 21Σ= (98b)

olup eleman rijitlik matrisi olan [k]e,

(99) [ ] dsJdrBDBtk Te .det]][[][

1

1

1

1∫ ∫− −

=

şeklindedir. Eleman rijitlik matrisi (8x8) boyutundadır. [B] ve [J]; r ve s ye bağlı

olduklarından gerekli integraller nümerik olarak yapılacaktır. Nümerik integrallerle ilgili

geniş bilgi daha sonra verilecektir.

4.2 Kuvvet Vektörleri

Kütle kuvvetleri birim hacimdeki kuvvetler olup potansiyel enerji eşitliğindeki kütle

kuvveti teriminden elde edilebilir.

(100) ∫ dVfu T

][ qNu = ve açılımları ile ve eleman içindeki kütle kuvvetinin sabit

olduğu kabulu ile,

[ Tyx fff , = ]

]

(101) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫ ∫

− − y

xTee f

fdsJdrNtf

1

1

1

1

.det][

elde edilir. Eleman rijitlik matrisinde olduğu gibi kütle kuvveti vektörü de nümerik

integrasyonla hesaplanır.

Yüzey Kuvvetleri birim yüzey alanına etkiyen kuvvetlerdir. Dörtgen elemanın 2-3

kenarına şeklinde bir yüzey kuvveti etkiyor olsun. Bu kenarda r=1 [ Tyx TTT , =

Bölüm 6-2727


olduğundan bı kenarda şekil fonksiyonları N1=N4=0, N2=(1-s)/2, N3=(1+s)/2

olacaktır.Böylece potansiyel enerji eşitliğindeki yüzey kuvveti vektörü,

[ Tyxyx

ee TTTT

ltT 0000

2.

32−= ] (102)

olur. l2-3: 2-3 kenar uzunluğudur. Yüzey yükünün değişken olması durumunda nümerik

integrasyon yapılabilir. Tekil kuvvetlerin uygulanmasında daha önce gösterilen durumlar

dışında herhangi bir değişiklik yoktur.

4.3 Nümerik İntegral

Bir boyutlu bir problemde nümerik integral,

(103) ( )Ι =−∫ f r dr1

1

şeklindedir. I’nın hesabı için Gauss tarafından önerilen yaklaşım sonlu elemanlar metodu

uygulamalarında kullanışlı ve verimli bir metod olarak ispatlanmıştır. Yöntemin iki ve üç

katlı integrallere uygulanması da çok kolaydır. n noktalı yaklaşık hesap,

(104) ( ) ( ) ( ) ( )I f r dr W f r W f r W f rn n= = + + +−∫1

1

1 1 2 2 ........

şeklinde verilmiştir. Burada W1, W2.....Wn, ağırlık çarpanları, r1, r2.... rn de hesaplama

noktalarını göstermektedir. Bu noktalara bu yaklaşımda Gauss noktası adı verilir. Gauss

yaklaşımında en doğru çözümü elde edecek sayıda nokta ve ağırlık katsayısının bulunması

önem taşır. (104) n değerinin büyük tutulmasıyla aslında gerçek çözümü veren bir

eşitliktir. Buna karşılık büyük n değerleri bilgisayar uygulaması açısından gereksiz bir

kapasite artırımına neden olur. Ele aldığımız fonksiyon bir polinom olduğundan ve şekli

yaklaşık olarak bilindiğinden n değerinin tesbit edilmesi yeterince yaklaşık bir değere

ulaşılmasını sağlar. Metodu 1 ve 2 noktalı hesaplama ile izah etmeye çalışalım. n=1 için,

(105) ( ) ( )f r dr W f r−∫ =1

1

1 1

Bölüm 6-2828


elde edilir. Burada hesaplanması gereken yalnızca iki parametre vardır (W1,r1). Bu

eşitlikten polinomun derecesi 1 olduğunda kesin çözüm elde edilir. Buna göre

alındığında, ( )f r a a r= +0 1

∫− =−+=1

1 1110 0)()( rfWdrraaHata (106a)

veya

0)2(,0)(2 1111011010 =−−==+−= raWWaHataraaWaHata (106b) olur. Görüldüğü gibi hatanın 0 olabilmesi için W1=2 ve r1=0 olmalıdır. Buna göre herhangi

bir fonksiyon için

( ) ( )021

1

fdrrf =∫−

(107)

elde edilir. Bu da orta noktaya göre yapılan alan hesabıdır (Şekil12).

-1 0 1

Gerçek alan= ∫−1

1)( dxxf

Yaklaşık alan=2f(0)

x

f

f(x)

f(0)

Şekil 12 Bir noktalı Gauss yaklaşımı

İki noktalı yaklaşımda ise integral değeri

(108) ( ) ( ) ( )f r dr W f r W f r−∫ = +1

1

1 1 2 2

dir. Burada belirlenmesi gereken 4 parametre görülmektedir. Çözüm için 3. Dereceden bir

polinom benzetimi yapılabilir. seçildiğinde hata ifadesi, ( )f r a a r a r a r= + + +0 1 22

33

[ 0)()()( 2211

1

1

33

2210 =+−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++= ∫− rfWrfWdrrararaaHata ] (109)

Bölüm 6-2929


Bu da W1+W2=2, W1r1+W2r2=0, W1r12+W2r2

2=2/3, W1r13+W2r2

3=0 ile sağlanabilir. Elde

edilen bu nonlineer denklemelerin çözümünden

W1=W2=1 -r1=r2=0.5773502.... (110)

elde edilir. Görüldüğü gibi Gauss yaklaşımı ile n adet integral noktasından 2n-1 dereceli

polinom için gerçek çözüm elde edilebilmektedir. Tablo 2’de altı noktaya kadar olan Gauss

nümerik integralleri için W ve r değerleri verilmiştir. Simetrik noktaların aynı ağırlık

değerini aldığı görülmektedir. Çözümün doğruluğa yaklaşması için verilen ondalıklı

değerlerin mümkün olduğunca kullanılması gerekmektedir.

Tablo 2. Gauss Yaklaşımı ile Nümerik İntegrasyon İçin Gaus Noktaları ve Ağırlık

Katsayıları ( ) ∫ ∑−=

=1

11

)()(n

iii rfWdrrf

Nokta Sayısı Yer (ri) Ağırlık Katsayısı (Wi) 1 0.0 2.0 2 ±0.5773502692 1.0 3 ±0.7745966692

0.0 0.5555555556 0.8888888889

4 ±0.8611363116 ±0.3399810436

0.3478548451 0.6521451549

5 ±0.9061798459 ±0.5384693101

0.0

0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889

6 ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861

0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346

Örnek: dxx

xe x∫−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+++=

1

1

2

213Ι integralini 1 ve 2 noktalı Gauss yaklaımı ile

hesaplayınız. Çözüm: 1 nokta için W1 = 2 ve x1 = 0 olduğundan I=7.0 bulunur. 2 nokta için W1 = W2 = 1 ve x1 = -0.577 x2 = 0.577 olduğundan I = 8.7857 bulunur. Gerçek çözüm ise I= 8.816 dır. Yaklaşımının iki katlı integrallerdeki şekli

∫ ∫− −=

1

1

1

1),( drdssrfI (111)

olarak yazılabilir. İntegraller sırasıyla alınırsa,

∑∑∑∑∫ ∑= ===

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

n

i

n

jjiji

n

ijii

n

jj

n

iii srfWWsrfWWdssrfWI

1 111

1

11

),(),(),( (112)

Bölüm 6-3030


elde edilir. İki katlı integralin bir uygulaması olarak eleman rijitlik matrisinin hesaplanması

ele alınabilir. Eleman rijitlik matrisi, [ şeklinde

hesaplanmıştı. Burada [B] ve [J] r ve s nin fonksiyonlarıdır. Eleman rijitlik matrisi aslında

8x8 boyutlarında bir matris olduğundan 64 elemanın ayrı ayrı integralinin alınması gerekir.

Bununla beraber matris simetrik olduğundan yalnızca diyagonal ve üstündeki elemanların

integralinin alınması yeterli olacaktır.

] [ ] [ ][ ]∫ ∫− −=

1

1

1

1det JdrdsBDBtk T

ee

φ integrali alınacak i’inci eleman olsun, Bu durumda,

[ ] [ ][ ]( )ijTe JBDBtsr det),( =φ (113)

yazılabilir. Buradan her iki integral de 2 nokta kuralına göre alınırsa,

),(),(),(),( 222

212122121112

1 srWsrWWsrWWsrWkij φφφφ +++= (114) elde edilir. Burada W1=W2=1, r1=s1=-0.57735....., r2=s2=0.57735....alınır (Şekil 13). Bu

denklem Gauss noktaları 1, 2, 3, 4 olarak numaralandırarak yazılırsa

∑=

=4

1IPIPIPij Wk φ (115)

elde edilir. Burada φIP φ’nin IP integral noktasındaki değerini WIP ise ağırlık katsayısını

göstermektedir.

2

s

1

34

(-0.57735,-0.57735)

(0.57735,0.57735)

(0.57735,-0.57735)

(-0.57735,0.57735)

r

),(),(),(),(),( 222

212122121112

1

1

1

1

1srWsrWWsrWWsrWdrdssrf φφφφ +++=∫ ∫− −

Şekil 13. 2 noktaya göre iki boyutlu integral için Gauss yaklaşımı

Bölüm 6-3131


Gerilme hesabında sabit şekil değiştirmeli üçgen elemandakinin tersine izoparametrik

elemanda gerilmeler eleman içindeki koordinatlara göre değişir. Normal olarak gerilmeler

de Gauss noktalarına göre hesaplanır. Bu durumda bir düğümü ortak kullanan eleman

sayısı kadar gerilme değeri bulunmuş olur. Bu ise elde edilen gerilmelerin

değerlendirilmesinde veri çokluğundan kaynaklanan zorlukların çıkmasına neden olur.

Alternatif bir yöntem olarak her elemanın belli bir koordinatındaki [(0, 0), (-1,-1) gibi ]

gerilmelerin hesaplanmasının yeterli görülmesi en azından başlangıç değerlendirmelerine

kolaylık sağlar.

Bazı durumlarda dörtgen elemanların düğüm noktalarının kayması ile üçgen eleman şeklini

alması mümkündür (Şekil 14). Bu durum hata oranını artırmakla beraber hesaplamalarda

herhangi bir olumsuzluk meydana getirmez. Ancak düğümlerden biri içbükey kenar

meydana getirecek bir konumda bulunursa Jakobiyen negatif çıkar ve matris işlemlerinin

hata vermesine neden olur. Dörtgen elemanlarda da en boy oranının çok küçülmesi hatalı

sonuçlar doğuracağından bu oranın 0.5’ten küçük olmamasına dikkat edilmelidir.

(a) (b) (c)

Şekil 14 Şekil değiştirmiş dörtgen elemanlar (a ve b kabul edilebilir c hatalı)

Örnek: Şekildeki dikdörtgen eleman için, düzlem gerilme durumu, E=30x106 N/cm2, ν=.3 ve q=[0, 0, 0.002, 0.003, 0.006, 0.0032, 0, 0]T cm için [J], [B] ve σ(0,0)’ı hesaplayınız.

Çözüm: (83)’den

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++++−+−+++−

=2/10

01)1()1()1(2)1(2)1()1()1(2)1(2

sssrssss

J

hesaplanır. Bu eleman için [J] sabit olarak elde edildi. (94)’den

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

02/11010000002/1

2/11A

olarak elde edilir. [G] matrisi ise r=s=0 için elde edildikten sonra, [B]=[A][G]

yardımıyla,

1 (0,0) 2 (2,0)

3 (2,1)4 (0,1)

x

y

c (1,0.5)

Bölüm 6-3232


[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−=

4/12/14/12/14/12/14/12/12/102/102/102/10

04/104/104/104/1B bulunur. Elastisite matrisi

ise

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

35.000013.003.01

09.0110630xD dir. Buna göre istenen noktadaki gerilmeler,

olarak hesaplanır. [ ] 2/96.4008.2392.66 cmkNT=σ

4.4 Yüksek Dereceden Elemanlar Buraya kadar anlatılan dört düğümlü dörtgen eleman için verilen prosedür daha fazla

düğüm içeren elemanlar için de geçerlidir. Dört düğümlü elemanın şekil fonksiyonları

lineer formda olmasına karşılık bir kenarında ikiden fazla düğüm içeren elemanların şekil

fonksiyonları doğal olarak daha üst dereceden olacaktır. Bu da modellemede daha fazla

doğruluk sağlayacaktır. Burada yüksek dereceden elemanlar için yalnızca şekil

fonksiyonları elde edilecek olup diğer eleman bilgileri verilen prosedüre uygun olarak

kolayca elde edilebileceğinden ve el ile hesaplamak için uygun olmadığından burada

verilmeyecektir.

Dokuz Düğümlü Dörtgen Elemanlar: Sonlu eleman uygulamalarında dokuz düğümlü

elemanlar geniş bir uygulama sahası bulmuştur. Elemanın doğal ve kartezyen

koordinatlarındaki durumu Şekil 15’te verilmiştir.

Dörtgenin herhangi bir kenarını bir boyutlu üç düğümlü eleman olarak düşünelim ve ilk

olarak r eksenini göz önüne alalım. Buna göre –1, 0 ve 1 koordinatları sırasıyla 1, 2 ve 3

olarak numaralandırılmış olsun. Bilindiği gibi şekil fonksiyonu tanımlandığı düğümde 1

diğer düğümlerde 0 değerini almalıdır. Yani,

i düğümünde diğer düğümlerde 1)( =rLi 0)( =rLi (116)

Buna göre ilk olarak L1’i ele alalım. L1, r=0, r=+1 düğümlerinde 0 değerini alacağından

bir boyutlu elemanda görüldüğü üzere şekil fonksiyonu L1=c r(1-r) formunda olacaktır. c

katsayısı şekil fonksiyonunun tanımından –1/2 olarak hesaplanır. Böylece L1=-r(1-r)/2

olarak ilk düğümün bir boyuttaki şekil fonksiyonu bulunmuş olur. Benzer şekilde ele

Bölüm 6-3333


x

s

r4

5s=-1

2

6r=1

3s=17

8r=-1

9

1y

s

r

4

5s=-1

2

6r=1

3s=17

8r=-1

9

1L1(s)

L2(s)

L3(s)

L1(r)L2(r)

L3(r)

Şekil 15 Dokuz düğümlü dörtgen elemanın doğal ve kartezyen koordinatlardaki görünümü

aldığımız r ekseni için şekil fonksiyonları

2)1()(),1)(1()(,

2)1()( 321

rrrLrrrLrrrL +=−+=

−−= (117)

olarak bulunur. s ekseni içinde aynı işlemleri yaparak,

2)1()(),1)(1()(,

2)1()( 321

sssLsssLsssL +=−+=

−−= (118)

elde edilir. Diğer taraftan iki boyutlu elemanın her düğümünde (r,s) şeklinde iki koordinat

tanımlı olduğundan bir boyutta elde edilen bu fonksiyonların birbirleriyle koordinat

uyumuna göre çarpılması aranan şekil fonksiyonlarını verecektir. Bu durumda

)()()()()()()()()()()()()()()()()()(

333327314

236229218

132125111

sLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLNsLrLN

=========

(119)

elde edilir. Çarpım sonucunda da Ni şekil fonksiyonlarının i düğümünde 1 diğer 8

düğümde sıfır değerini aldığı görülür. 9 düğümlü elemanların bir avantajı olarak

deplasmanlar gibi koordinatlar da yüksek dereceden polinomlarla tanımlandığından eğri

kenarlı elemanlar kullanılması da mümkündür. Bununla beraber kolaylık sağlaması

açısından koordinatları lineer şekil fonksiyonları ile deplasmanları ise burada verilen

polinomlarla tanımlamak da mümkün olmaktadır.

Bölüm 6-3434


Sekiz Düğümlü Dörtgen Elemanlar: Bütün düğümlerin eleman sınırlarında bulunduğu

bu elemanların 9 düğümlü elemandan farkı eleman ortasında düğüm tanımlanmış

olmamasıdır (Şekil 16). Dolayısıyla r=0 ve s=0 eksenleri üzerinde 2 şer eleman r=±1 ve

s=±1 eksenleri üzerinde de üçer eleman bulunmaktadır.

x

s

r4

5s=-1

2

6r=1

3s=17

8r=-1

1y

s

r

4

5s=-1

2

6r=1

3s=17

8r=-1

1

1-r+s=0

1-r-s=01+r-s=0

1+r+s=0

Şekil 16 Sekiz düğümlü dörtgen elemanın doğal ve kartezyen koordinatlardaki görünümü

İlk olarak köşe düğümlerini ele alalım. N1 için r=1, s=1 ve r+s=-1 doğruları üzerinde

sıfırlanması gerektiği söylenebilir. Bu durumda

)1)(1)(1(1 srsrcN ++−−= (120)

yazılabilir. Şekil fonksiyonunun bir gereği olarak N1, 1 düğümü dışındaki düğümlerde sıfır

değerini alacağından c katsayısı -1/4 olarak hesaplanır. Benzer şekilde köşe düğümlerinin

şekil fonksiyonları,

)1)(1)(1(4/1)1)(1)(1(4/1)1)(1)(1(4/1)1)(1)(1(4/1

43

21srsrNsrsrNsrsrNsrsrN

−++−−=−−++−=+−−+−=++−−−= (121)

olarak hesaplanır. Orta noktalardaki düğümler için ilk olarak N5’i ele alalım. Bu şekil

fonksiyonu için, r=1, s=1 ve r=-1 doğruları üzerinde sıfırlanmaları gerektiği söylenebilir.

Dolayısıyla şekil fonksiyonu,

)1)(1()1)(1)(1( 2

5 srcrsrcN −−=+−−= (122) formunda olmalıdır. Şekil fonksiyonu şartlarından c=1/2 olarak hesaplanır. Böylece orta

düğümlerin şekil fonksiyonları,

Bölüm 6-3535


)1)(1(2/1)1)(1(2/1)1)(1(2/1)1)(1(2/1

28

27

26

25

srNsrNsrNsrN

−−=+−=−+=−−=

(123)

olarak elde edilir. Değişken Düğüm Sayılı Eleman: Verilen şekil fonksiyonlarından görüldüğü üzere

dörtgen elemanların şekil fonksiyonları arasında bir benzerlik bulunmaktadır. Bundan

yararlanarak 4 ile 9 düğüm arasında düğüm sayılarına sahip genel bir eleman için şekil

fonksiyonları bir sistem içinde geliştirilebilir. Tablo 3’de bu sistem verilmiştir.

Tablo 3. 4 ile 9 düğüm arası düğüme sahip dörtgen eleman için şekil fonksiyonları

i numaralı düğüm mevcutsa ekleyiniz. i=5 i=6 i=7 i=8 i=9

N1=1/4(1+r)(1+s) -1/2N5 -1/2N8 -1/4N9N2=1/4(1-r)(1+s) -1/2N5 -1/2N6 -1/4N9N3=1/4(1-r)(1-s) -1/2N6 -1/2N7 -1/4N9N4=1/4(1+r)(1-s) -1/2N7 -1/2N8 -1/4N9N5=1/2(1-r2)(1+s) -1/2N9N6=1/2(1-s2)(1-r) -1/2N9N7=1/2(1-r2)(1-s) -1/2N9N8=1/2(1-s2)(1+r) -1/2N9N9=1/2(1-r2)(1-s2)

Örnek: Şekilde verilen eleman için şekil fonksiyonlarını yazınız. Çözüm: s

r4

5s=-1

2

6r=1

3

7

1

N1=1/4[(1+r)(1+s)-(1-r2)(1+s)]-1/8(1-r2)(1-s2) N2=1/4[(1-r)(1+s)-(1-r2)(1+s)-(1-s2)(1-r)] -1/8(1-r2)(1-s2) N3=1/4[(1-r)(1-s)-(1-s2)(1-r)]-1/8(1-r2)(1-s2) N4=1/4(1+r)(1-s)-1/8(1-r2)(1-s2) N5=1/2(1-r2)(1+s)-1/8(1-r2)(1-s2) N6=1/2(1-s2)(1-r)- 1/8(1-r2)(1-s2) N7=1/2(1-r2)(1-s2)

Altı Düğümlü Üçgen Elemanlar: Eleman sınırlarında orta noktalarda birer düğüm

tanımlanmasıyla oluşurlar (Şekil 17). Doğal koordinatlardaki çizim yardımıyla 9 ve 8

düğümlü elemandaki yol izlenerek şekil fonksiyonları,

rtNtsNrsNttNssNrrN444

)12()12()12(

654

321

===−=−=−=

(124)

Bölüm 6-3636


1

4

25

3

6

x

y 1

4

25

3

6

s=1

s=1/2s=0 r=0

r=1/2

r=1

t=1

t=1/2

t=0

Şekil 17 Altı düğümlü üçgen elemanın kartezyen ve doğal koordinatlardaki gösterimi

şeklinde elde edilir. Burada t=1-r-s dir. Şekil fonksiyonlarında bulunan kareli ifadeler

nedeniyle bu elemana karesel üçgen eleman da denir.

Üçgen elemanda nümerik integral alınırken Gauss noktaları da değişir. En kolay yol

eleman merkezinde koordinatları r=s=t= 1/3 olan ve ağırlık katsayısı da ½ olan bir noktalı

Gauss yaklaşımını kullanmaktır. Başka Gauss noktaları ve bunların ağırlık fonksiyonları

Tablo 4’de verilmiştir. Tabloda üçgensel simetriye uygun olarak oluşturulmuş değerler

verilmiştir. Bu simetri nedeniyle Gauss değerleri arasına bir de çarpan ifadesi eklenmiş

olmaktadır. Örneğin çarpanın 3 olması durumunda tabloda Gauss noktası olarak verilen

(2/3, 1/6, 1/6) değerlerine ilaveten simetriyi oluşturan diğer noktalar da (1/6, 2/3, 1/6) ve

(1/6, 1/6, 2/3) koordinatlarında bulunmaktadır.

Tablo 4. Üçgen İçin Gauss Nümerik İntegrasyon Değerleri

∫ ∫ ∑−

=

=1

0

1

01

),(),(r n

iiii srfWdrdssrf

Nokta Sayısı n

Ağırlık KatsayısıWi

Çarpan ri si ti

1 ½ 1 1/3 1/3 1/3 3 1/6 3 2/3 1/6 1/6 1/6 3 ½ ½ 0 4 -9/32

25/96 1 3

1/3 3/5

1/3 1/5

1/3 1/5

6 1/12 6 0.65902762 0.23193336 0.109039

Bölüm 6-3737


Yüksek dereceli izoparametrik elemanlarda arada bulunan düğümler mümkün olduğunca

orta noktaya yakın yerleştirilmelidirler. Mümkün olmadığı durumlarda da köşe düğülerden

en az kenar uzunluğunun ¼’ü kadar uzaklıkta olmasına dikkat edilmelidir. Aksi halde

[J]’nin sıfır değer alma ihtimali ortaya çıkar.

Burada verilen temel adımlar kullanılarak ele alınan problemin modellenmesi için gereken

daha yüksek dereceden elemanların tanımlanması ve şekil fonksiyonlarının ortaya konması

mümkündür.

C ***** GER4 ***** C *** 4 DUGUMLU ELEMANLARLA GERILME ANALIZI *** IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 X,TC,PM,NU,U,S,F,D,B,DB,SE,Q,STR,RR,RRT,TT,R REAL*8 STRT,EE0,T,XNI,SJ,SJ1,DELTAA INTEGER*4 NOC,NM,tboy INTEGER*4 MAT,COUNT,EN,ens DIMENSION X(519,2), NOC(464,4), MAT(464), TT(464,4),TI(464,4), + RR(1038), RRT(1038), F(1038), f2(1038), T(1038), S(1038,118), + ATV(235), SJ(1038,118),SJ1(1038,118),COUNT(100), + NU(100), U(100), PM(2,4), TC(10), + D(3,3), STR(3),EE0(3),STRT(3),B(3,8),DB(3,8), + SE(8,8), Q(8), R(8), XNI(4,2), BTD(8,3) CHARACTER*16 FILE1, FILE2, FILE3, FILE4, FILE5 PRINT *, '=======================================' PRINT *, ' by ' PRINT *, ' S. TASGETIREN ' PRINT *, '=======================================' PRINT *, 'GIRDI DOSYASI ' READ '(A)', FILE1 OPEN (UNIT = 10, FILE = FILE1, STATUS = 'OLD') PRINT *, 'kararli hal icin CIKTI DOSYASI' READ '(A)', FILE2 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) READ(10,*) NN, NE, ND, NL, NM, NDIM, NEN,NBW PRINT *, 'deplasmanlar icin DOSYA ADI' READ '(A)', FILE3 OPEN (UNIT = 12, FILE = FILE3) PRINT *, 'gerilmeler icin DOSYA ADI' READ '(A)', FILE4 OPEN (UNIT = 13, FILE = FILE4) NQ = 2 * NN nbw=2*nbw C ============ DATALAR OKUNUYOR =========== READ (10, *) ((X(I, J), J=1,NDIM), I=1,NN) READ (10, *) ((NOC(I, J), J=1,NEN), I=1,NE) READ (10, *) (MAT(I), I = 1, NE) READ (10, *) (TC(I), C, C,I=1,NM) READ (10, *) (NU(I), U(I), I=1,ND) READ (10, *) (II, F(II), I=1,NL) READ (10, *) (PM(I,1),PM(I,2),PM(I,3),PM(I,4), I=1,NM) READ (10, *) lc,th,basla,deltaa

CLOSE(10) IF(LC .EQ. 1) WRITE(11, * ) 'DUZLEM GERILME' IF(LC .EQ. 2) WRITE(11, * ) 'DUZLEM SEKIL DEGISTIRME'

Bölüm 6-3838


WRITE(11, * )'KALINLIK' WRITE(11, '(F8.4)') TH WRITE(11, * )' NN NE ND NL NM NDIM NEN' WRITE(11, '(7I5)') NN, NE, ND, NL, NM, NDIM, NEN WRITE(11, * )'DUG# X-KOORD. Y-KOORD.' WRITE(11, '(I4,2f15.4)') (I, (X(I,J), J=1,2),I=1,NN) WRITE(11, * )'ELEM# N1 N2 N3 N4 MALZEME#' WRITE(11, '(6I5)') (I,(NOC(I,J),J=1,4),MAT(I),I=1,NE) WRITE(11, * )'SD# TANIMLI DEP.' WRITE(11, '(f8.4,e15.4)')(NU(I), U(I),I=1,ND) WRITE(11, * )'MALZEME# E POISSON ORANI ALFA' WRITE(11,'(I4,E15.4,F8.4,E15.4)')(I,PM(I,1), .PM(I,2),PM(I,3),I=1,NM) PRINT *, 'SICAKLIKLARIN BULUNDUGU DOSYA' READ '(A)', FILE5

OPEN (UNIT = 9, FILE = FILE5, STATUS = 'OLD') do 87 i=1,nq

87 f2(i)=0. DO 88 I=1,NE DO 88 J=1,4 88 TI(I,J)=BASLA C *** sicaklik dongusu *** 4444 CONTINUE JINT=0. JHES=0. READ (9,*) SURE READ (9,*) (T(I), I=1,NN) DO 90 I=1,NE DO 90 J=1,4 90 TT(I,J)=T(NOC(I,J)) DO 122 I=1,NQ F(I)=0. DO 122 J=1,NBW 122 Sj1(I, J) = 0. 1001 DO 120 I = 1, NQ RR(I)=0. RRT(I)=0. JVEC(I)=0. DO 120 J = 1, NBW S(I, J) = 0. Sj(I, J) = 0. 120 CONTINUE DO 121 I=1,8 121 R(I)=0. C ****** GENEL RIJITLIK MATRISI ****** CALL INTEG(XNI) CALL CLEAR_SCREEN@ CALL SET_CURSOR_POS@(10,13) PRINT *, 'sure= ', sure CALL SET_CURSOR_POS@(11,14) PRINT *, 'jhes= ', jhes DO 180 N = 1, NE c DO 179 EN=1,ENS c CALL SET_CURSOR_POS@(15,15) c PRINT *, 'HESABI YAPILAN ELEMAN= ', N TT1=0. TT2=0. deltat=0. DO 181 J=1,4 TT2=TT2+TI(N,J) 181 TT1=TT1+TT(N,J)

Bölüm 6-3939


DELTAT=(TT1-TT2)/4 CALL DMAT(n,ne,LC,MAT,PM,NM,D,EE0,deltat,tt1) CALL ELSTIF(X,n,ne,nn,NOC,XNI,D,SE,TH,EE0,R) C PRINT *, EE0 IF(JHES.EQ.1) GO TO 1592 C '--- YERLESTIRME ---' DO 170 II = 1, 4 NRT = 2 * (NOC(N, II) - 1) DO 170 IT = 1, 2 NR = NRT + IT I = 2 * (II - 1) + IT DO 170 JJ = 1, 4 NCT = 2 * (NOC(N, JJ) - 1) DO 160 JT = 1, 2 J = 2 * (JJ - 1) + JT NC = NCT + JT - NR + 1 IF(NC .LE. 0) GO TO 160 S(NR, NC) = S(NR, NC) + SE(I, J) 160 CONTINUE 170 CONTINUE c '--- J ICIN YERLESTIRME ---' c 1592 IF(N.NE.COUNT(EN)) GO TO 176 1592 DO 1171 II = 1, 4 NRT = 2 * (NOC(N, II) - 1) DO 1171 IT = 1, 2 NR = NRT + IT I = 2 * (II - 1) + IT DO 1171 JJ = 1, 4 NCT = 2 * (NOC(N, JJ) - 1) DO 1161 JT = 1, 2 J = 2 * (JJ - 1) + JT NC = NCT + JT - NR + 1 IF(NC .LE. 0) GO TO 1161 SJ(NR, NC) = SJ(NR, NC) + SE(I, J) 1161 CONTINUE 1171 CONTINUE c 176 DO 171 J=1,4 DO 171 J=1,4 RR(2*(NOC(N,J))-1)=R(2*J-1) 171 RR(2*(NOC(N,J)))=R(2*J) DO 172 K=1,NQ RRT(K)=RRT(K)+RR(K) 172 RR(K)=0. c 179 CONTINUE 180 CONTINUE IF(JHES.EQ.1) GO TO 999 C '***** SINIR SARTLARINA GORE DUZENLEME *****' DO 182 I=1,NQ 182 F(I)=F(I)+RRT(I) CNST = S(1, 1) * 1000000. DO 190 I = 1, ND N = NU(I) S(N, 1) = S(N, 1) + CNST F(N) = F(N) + CNST * U(I) 190 CONTINUE print *, 'deplasman hesabi' CALL BAND(S, F, NBW, NQ) do 192 iii=1,nq 192 f2(iii)=f2(iii)+f(iii) C *** CIKTILAR YAZILIYOR WRITE(11, * )'kararli hal icin degerler '

Bölüm 6-4040


WRITE(11, * )'DUG# X-DEPL Y-DEPL' WRITE(11,'(I5,2F15.4)')(I,f2(2*I-1), f2(2*I),I=1,NN) C *** REAKSIYON HESABI *** WRITE(11, * )' SD# REAKSIYON' DO 200 I = 1, ND N = NU(I) KR = CNST * (U(I) - f2(N)) WRITE(11,*) N, KR 200 CONTINUE C *** GERILME HESABI *** WRITE(11, * )'ELEM# SX SY TXY S1 1 S2 ACI SX->S1' c deplasmanlar yaziliyor 201 WRITE(12,*)sure WRITE(12,'(2F15.4)')(f2(2*I-1), f2(2*I),I=1,NN) WRITE(13, *) sure CALL SET_CURSOR_POS@(20,18) PRINT *, 'GERILME HESABI' X(ARTIM,1)=X(ARTIM,1)+DELTAA DO 310 N = 1, NE c CALL SET_CURSOR_POS@(20,18) c PRINT *, 'GERILME HESAPLANAN ELEMAN', N XI = 0 ETA = 0 TT1=0. TT2=0. deltat=0. DO 1081 J=1,4 c TT2=TT2+TI(N,J) TT2=TT2+basla 1081 TT1=TT1+TT(N,J) DELTAT=(TT1-TT2)/4 CALL DMAT(n,ne,LC,MAT,PM,NM,D,EE0,deltat,tt1) CALL DBMAT(X,n,ne,nn,NOC,XI,ETA,B,DB,BTD,D,DJ,EE0) DO 230 I = 1, 4 IN = 2 * (NOC(N, I) - 1) II = 2 * (I - 1) DO 230 J = 1, 2 Q(II + J) = f2(IN + J) 230 CONTINUE DO 240 I = 1, 3 STR(I) = 0. DO 240 K = 1, 8 STR(I) = STR(I) + DB(I, K) * Q(K) 240 CONTINUE DO 241 I=1,3 STRT(I)=0. DO 241 J=1,3 241 STRT(I)=STRT(I)+D(I,J)*EE0(J) DO 242 I=1,3 242 STR(I)=STR(I)-STRT(I) C *** ASAL GERILMELER *** IF(INT(STR(3)) .NE. 0) GO TO 280 S1 = STR(1) S2 = STR(2) ANG = 0 IF(S1 .GT. S2) GO TO 300 S1 = STR(2) S2 = STR(1) ANG = 90 GO TO 300

Bölüm 6-4141


280 C = .5 * (STR(1) + STR(2)) KR = SQRT(.25 * (STR(1) - STR(2))**2 + (STR(3))**2) S1 = C + KR S2 = C - KR IF(C .GT. STR(1)) GO TO 290 ANG = 57.29577951 * ATAN(STR(3) / (STR(1) - S2)) GO TO 300 290 ANG = 57.29577951 * ATAN(STR(3) / (S1 - STR(1))) IF(STR(3) .GT. 0) ANG = 90 - ANG IF(STR(3) .LT. 0) ANG = -90 - ANG 300 S3=S1-S2 SVM=SQRT(S1**2-S1*S2+S2**2) IF (sure.LT.500)GO TO 301 WRITE(11,'(I4,6(1X,f10.4))')N,STR(1),STR(2),STR(3),S1,S2,ANG 301 WRITE(13,'(7(1X,f10.4))')STR(1),STR(2),STR(3),S1,S2,S3,SVM 310 CONTINUE DO 89 I=1,NE DO 89 J=1,4 89 TI(I,J)=TT(I,J) IF (sure.LT.500)GO TO 4444 CLOSE (9) CLOSE (11) CLOSE (12) CLOSE (13) CLOSE (14) PRINT *, '----- HESAPLAMALAR TAMAMALANDI -----' END SUBROUTINE INTEG(XNI) REAL*8 XNI DIMENSION XNI(4,2) C --- INTEGRASYON NOKTALARI --- C = .57735026919 XNI(1, 1) = -C XNI(1, 2) = -C XNI(2, 1) = C XNI(2, 2) = -C XNI(3, 1) = C XNI(3, 2) = C XNI(4, 1) = -C XNI(4, 2) = C RETURN END SUBROUTINE DMAT(n,ne,LC,MAT,PM,NM,D,EE0,deltat,tt1) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 PM,D,EE0 INTEGER*4 MAT,NM DIMENSION MAT(ne), PM(NM, 4), D(3, 3), EE0(3) C ----- D MATRISI----- MATN = MAT(N) Ab = PM(MATN, 1) Bc = PM(MATN, 2) PNU = PM(MATN, 3) ALFA=PM(MATN,4) E=Ab-Bc*TT1/4 IF(LC .EQ. 2) GO TO 1520 C *** DUZLEM GERILME *** C1 = E / (1 - PNU*PNU) C2 = C1 * PNU GO TO 1530 C *** DUZLEM SEKIL DEGISTIRME 1520 C = E / ((1 + PNU) * (1 - 2*PNU))

Bölüm 6-4242


C1 = C * (1 - PNU) C2 = C * PNU ALFA=ALFA*(1+PNU) 1530 C3 = .5 * E / (1 + PNU) D(1, 1) = C1 D(1, 2) = C2 D(1, 3) = 0 D(2, 1) = C2 D(2, 2) = C1 D(2, 3) = 0 D(3, 1) = 0 D(3, 2) = 0 D(3, 3) = C3 EE0(1)=ALFA*DELTAT EE0(2)=ALFA*DELTAT EE0(3)=0. RETURN END SUBROUTINE ELSTIF(X,n,ne,nn,NOC,XNI,D,SE,TH,EE0,R) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 X,D,B,DB,SE,R,EE0,BTD INTEGER*4 NOC DIMENSION X(nn,2),NOC(ne,4),XNI(4,2),D(3,3) DIMENSION SE(8,8),B(3,8),DB(3,8) DIMENSION R(8),EE0(3),BTD(8,3) C SIFIRLAMA DO 1550 I = 1, 8 R(I)=0. DO 1550 J = 1, 8 SE(I, J) = 0. 1550 CONTINUE DO 1580 IP = 1, 4 XI = XNI(IP, 1) ETA = XNI(IP, 2) CALL DBMAT(X,n,ne,nn,NOC,XI,ETA,B,DB,BTD,D,DJ,EE0) DO 1570 I = 1, 8 DO 1570 J = 1, 8 DO 1570 K = 1, 3 SE(I,J) = SE(I,J)+B(K,I)*DB(K,J)*DJ*TH 1570 CONTINUE DO 1571 I=1,8 DO 1571 K=1,3 1571 R(I)=R(I)+BTD(I,K)*EE0(K)*DJ*TH 1580 CONTINUE RETURN END SUBROUTINE DBMAT(X,n,ne,nn,NOC,XI,ETA,B,DB,BTD,D,DJ,EE0) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 X,D,B,DB,BT,BTD,A,G INTEGER*4 NOC DIMENSION X(nn,2),NOC(ne,4),A(3,4),G(4,8) DIMENSION B(3,8),DB(3,8),D(3,3) DIMENSION BT(8,3),BTD(8,3) C ***** DB MATRISI ***** N1 = NOC(N, 1) N2 = NOC(N, 2) N3 = NOC(N, 3) N4 = NOC(N, 4) X1 = X(N1, 1)/3 Y1 = X(N1, 2)/3 X2 = X(N2, 1)/3

Bölüm 6-4343


Y2 = X(N2, 2)/3 X3 = X(N3, 1)/3 Y3 = X(N3, 2)/3 X4 = X(N4, 1)/3 Y4 = X(N4, 2)/3 TJ11 = ((1 - ETA) * (X2 - X1) + (1 + ETA) * (X3 - X4)) / 4 TJ12 = ((1 - ETA) * (Y2 - Y1) + (1 + ETA) * (Y3 - Y4)) / 4 TJ21 = ((1 - XI) * (X4 - X1) + (1 + XI) * (X3 - X2)) / 4 TJ22 = ((1 - XI) * (Y4 - Y1) + (1 + XI) * (Y3 - Y2)) / 4 DJ = TJ11 * TJ22 - TJ12 * TJ21 A(1, 1) = TJ22 / DJ A(2, 1) = 0 A(3, 1) = -TJ21 / DJ A(1, 2) = -TJ12 / DJ A(2, 2) = 0 A(3, 2) = TJ11 / DJ A(1, 3) = 0 A(2, 3) = -TJ21 / DJ A(3, 3) = TJ22 / DJ A(1, 4) = 0 A(2, 4) = TJ11 / DJ A(3, 4) = -TJ12 / DJ DO 1600 I = 1, 4 DO 1600 J = 1, 8 G(I, J) = 0. 1600 CONTINUE G(1, 1) = -(1 - ETA) / 4 G(2, 1) = -(1 - XI) / 4 G(3, 2) = -(1 - ETA) / 4 G(4, 2) = -(1 - XI) / 4 G(1, 3) = (1 - ETA) / 4 G(2, 3) = -(1 + XI) / 4 G(3, 4) = (1 - ETA) / 4 G(4, 4) = -(1 + XI) / 4 G(1, 5) = (1 + ETA) / 4 G(2, 5) = (1 + XI) / 4 G(3, 6) = (1 + ETA) / 4 G(4, 6) = (1 + XI) / 4 G(1, 7) = -(1 + ETA) / 4 G(2, 7) = (1 - XI) / 4 G(3, 8) = -(1 + ETA) / 4 G(4, 8) = (1 - XI) / 4 DO 1610 I = 1, 3 DO 1610 J = 1, 8 B(I, J) = 0. DO 1610 K = 1, 4 B(I, J) = B(I, J) + A(I, K) * G(K, J) 1610 CONTINUE DO 1611 I=1,8 DO 1611 J=1,3 1611 BT(I,J)=0. DO 1612 I=1,8 DO 1612 J=1,3 1612 BT(I,J)=B(J,I) DO 1613 I=1,8 DO 1613 J=1,3 BTD(I,J)=0. DO 1613 K=1,3 1613 BTD(I,J)=BTD(I,J)+BT(I,K)*D(K,J) DO 1620 I = 1, 3 DO 1620 J = 1, 8

Bölüm 6-4444


DB(I, J) = 0. DO 1620 K = 1, 3 DB(I, J) = DB(I, J) + D(I, K) * B(K, J) 1620 CONTINUE RETURN END SUBROUTINE BANDCAR(EV,NP,NBW,TBOY,CAR,F,AYV) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 EV,AYV,F,CAR INTEGER*4 TT,TBOY DIMENSION ev(NP, NBW), AYV(TBOY), f(NP), car(NP) ii = 0 k = 0 DO 19 I=1,TBOY 19 AYV(I)=0. DO 21 I=1,NP 21 CAR(I)=0. do 1 i = 1,NP ii = i if( i .GT. NBW) ii = NBW do 10 j = 1,NBW if( ii .EQ. 0) GOTO 10 if( i .GT. NBW) GOTO 2 AYV(j) = ev(j, ii) if( i .LT. NBW) GOTO 3 2 AYV(j) = ev(j + i - NBW, ii) 3 ii = ii - 1 10 CONTINUE do 20 j = 2,NBW if( i .GT. NBW) GOTO 4 k = i + j - 1 AYV(k) = ev(i, j) GOTO 20 4 AYV(NBW + j - 1) = ev(i, j) 20 CONTINUE do 33 k = 1,2 * NBW - 1 if( i .LE. NBW) Tt = 0 if( k + Tt .GT. NP) GOTO 33 car(i) = car(i) + AYV(k) * f(k + Tt) 33 CONTINUE Tt = Tt + 1 1 CONTINUE RETURN END SUBROUTINE BAND(A, B, NBW, N) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 B,A DIMENSION A(N,NBW), B(N) N1 = N - 1 C '*** ELIMINASYON ***' DO 2100 K = 1, N1 NK = N - K + 1 IF(NK .GT. NBW) NK = NBW DO 2100 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 2000 J = I, NK J1 = J - I + 1 2000 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J)

Bölüm 6-4545


2100 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) C *** YERLESTIRME ***' B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 2300 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K) NK = N - K + 1 IF (NK .GT. NBW) NK = NBW DO 2200 J = 2, NK B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) 2200 CONTINUE 2300 CONTINUE RETURN END

Bölüm 6-4646

YEDİNCİ BÖLÜM

EKSENEL SİMETRİK PROBLEMLER

1. GİRİŞ

Üç boyutlu eksenel simetriye sahip cisimler ve dönen cisimler yükleme durumu da eksenel

simetriye uygun olduğu zaman bazı basitleştirmelerle iki boyutlu problem olarak ele

alınabilirler. Şekil 1'de görüldüğü gibi z ekseni etrafında çepeçevre simetri olması

nedeniyle deformasyonlar ve gerilmeler, θ dönme açısından bağımsızdırlar. Bu nedenle,

problem r-z düzleminde, şekilde görülen alan üzerindeki iki boyutlu bir problem olarak ele

alınabilir. Kalınlık olarak ta elemanın ağırlık merkezininin çevresi alınabilir. Yerçekimi

kuvvetleri eğer z doğrultusunda etkiyorsa hesaba katılabilir. Volan benzeri dönel

cisimlerdeki merkezkaç kuvvetleri kütle kuvvetlerine ilave edilerek ele alınır.

2. EKSENEL SİMETRİK FORMÜLASYON

Eksenel simetriye sahip bir cisimden alınan hacim elemanı (Şekil 2) için potansiyel enerji

ifadesi

∫ ∫ ∑∫ ∫∫ ∫ −−−=πππ

θηθηθηεσΠ2

0

2

0

2

021

L ii

Ti

T

A

T

A

T PuddlTuddAfuddAr (1)

θ

η

z

η

z

dA(η,z

L=Sınır

P(Çepeçevre)

i

T

Deplasmanu=[u,w]T

KESİT YÜZEY

Şekil 1 Eksenel simetrik problem


η

Dη

dV

dθ

ηdθ

dAdz

dV=ηdθdrdz=ηdθdA

Şekil 2 Eksenel simetrik birim hacim şeklindedir.Burada η dl dθ, elemanın yüzey alanıdır. Pi tekil yükü ise eksenel simetriyi

sağlayacak şekilde cismin etrafını çepeçevre dolanan bir çizgisel yüktür. İntegrallerdeki

bütün değişkenlerθ'dan bağımsız olduğundan

iT

iiA A L

TTT PudlTudAfudA ∑−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∫ ∫ ∫ ηηηεσπΠ

212 (2)

yazılabilir. Buradaki vektörler,

Twuu ],[= (3)

Tzr fff ],[= (4)

Tzr TTT ],[= (5)

şeklinde bileşke vektörlerdir. Şekil değiştirmeler ile deplasmanlar arasındaki ilişki Şekil

3’ten

[ ]Tzz θηη εγεεε ,,,= (6)

T

uwzu

zwu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

=ηηη

olarak elde edilir. Buna göre gerilmeler,

[ Tzz θηη στσσσ ,,,= ] (7)

Bölüm 7-22


olur. Gerilme ile şekil değiştirme arasındaki bağıntı εσ ][D= dir. Eksenel simetrik

problem için elastisite matrisi, (4x4) boyutlarında olup

[ ] ( )( )( )

( )

10-1-1

0-122-100

-101

-1

-10

-11

ED

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

=

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ννν

2111 (8)

şeklindedir. Galerkin yaklaşımında ise,

( ) 0222 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− ∑∫ ∫∫ i

Ti

A L

TTT PdlTdAfdA φηφπηφπηφεσπ (9)

olur. Bu denklemde ve Tz ],[ φφφ η= ( )

Tzz

zz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

ηφ

η∂φ∂

∂φ∂

∂φ∂

∂ηφ∂

φε ηηη ,,,

şeklindedir.

u dzzuu

∂∂

+

dzzuu

∂∂

+

dzzww

∂∂

+

ηη

dww∂∂

+

z

η

uw

dz

dθ ηdθ(η+u)dθ

η

dη

Şekil 3 Hacim elemanın deformasyonu

Bölüm 7-33


3. SONLU ELEMAN MODELİ

3.1 İzoparametrik Eleman

Ele alınan çözüm bölgesi Şekil 4’de gösterildiği gibi 4 düğümlü dörtgen elemanlara

ayrılmıştır. Her ne kadar elemanların her biri dörtgen gibi görünüyor ise de eksenel

simetrik problemde elemanlar z ekseni etrafında dönen halka şekilli elemanlardır (Şekil 5).

Örnek olarak verilen modelde 14 eleman ve 24 düğüm bulunmaktadır. Her düğümün

serbestlik derecesi 2 olduğundan sistemin toplam serbestlik derecesi 48 olur.

Eleman bilgilerinin ve süreklilik ifadelerinin elde edilmesinde izoparametrik elemanda

anlatılan yolun aynısı izlenir. Burada yalnızca x ekseni yerine r, y ekseni yerine de z ekseni

alınmakta kalınlık ise elemanın merkezden uzaklığına bağlı olarak değişmektedir. Düğüm

deplasmanları vektörü, olup Eleman içindeki P

noktasının deplasmanları ise,

[ Tqqqqqqqqq 87654321 ,,,,,,, = ]

( ) ( )[ ]Tzwzuu ,,, ηη= şeklindedir. Deplasmanlar şekil

fonksiyonları ile u=[N]q şeklinde gösterilebilir. Bu durumda şekil fonksiyonları

matrisi,

(10) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4321

4321

00000000

][NNNN

NNNNN

şeklindedir. Şekil fonksiyonları daha önce elde edildiği şekilde kısaca

1

Q2j

Q2j-1

13 14

1

3

2

32

45

9

6

12

15

18

21

24

Şekil 4 Eksenel simetrik problemde elemanlara ayırma

Bölüm 7-44


(r,z)

w

η

z

2(η2,z2)

4(η4,z4) 3(η 3,z3)

u

1(η 1,z1) Alan=A

q3

q4

q5

q6

q1

q8

q7

q2

Şekil 5. Eksenek simetrik izoparametrik eleman

( )( iii ssrrN ++= 1141 ) (11)

olarak yazılabilir. Eleman içindeki herhangi bir noktanın koordinatı,

44332211 ηηηηη NNNN +++= (12) 44332211 zNzNzNzNz +++= olarak yazılır. Zincir kuralı ile J yakobiyen matrisi olmak üzere matris formunda,

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧∂=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zN

N

J

sNrN

∂∂

η∂

∂∂∂∂

(13)

elde edilir. Jakobiyen matrisi ise,

[ ]sz

s

rz

rJ

∂∂

∂η

∂∂

∂∂η

∂= (14)

şeklindedir. Buradan koordinat ifadelerinin türevleri alınarak,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−++++−−−−++++−−−+−+++−−+−++−+−−=

43214321

4321432111111111

1111111141

zrzrzrzrrrrrzszszszsssssJ ηηηη

ηηηη (15a)

Bölüm 7-55


[ ]2221

1211JJJJJ = (15b)

elde edilir. Buna göre şekil fonksiyonlarının η ve z ye göre türevleri,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

sNrN

JJJJ

JzN

N

∂∂∂∂

∂∂∂η∂

1121

1222

det1 (16)

olarak elde edilir. İşlemlerde koordinatları gösteren η ile şekil fonksiyonlarındaki r’nin

karıştırılmamasına dikkat edilmelidir. Alan ise,

dA= d η dz = detJdrds , (17)

olarak elde edilir. Şekil değiştirme ifadesinin bileşenlerini elde etmek için öncelikle

düzlem levha probleminin şekil değiştirme bileşenleri elde edilir. Buna göre,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

suru

JJJJ

Jzu

u

∂∂∂∂

∂∂∂η∂

1121

1222

det1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧∂

swrw

JJJJ

Jzw

w

∂∂∂∂

∂∂∂η

1121

1222

det1 (18)

şeklinde deplasmanların türevleri alındıktan sonra şekil değiştirme denkleminin bileşenleri

göz önüne alınarak,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=

JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

A

detdetdetdet

detdet00

00detdet

][12221121

1121

1222

(19)

şeklindeki bir tanımlamayla iki boyutlu problem için şekil değiştirmeler

T

zww

zuuA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂

∂η∂

∂∂

∂η∂ε ][ (20)

elde edilir. Şekil fonksiyonlarının türevlerini,

Bölüm 7-66


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

G

s s s sr r r r

s s sr r r

=

− − − + − +− − − + + −

− − − + − +− − − + + −

14

1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 0 1

sr

(21)

şeklinde bir matriste göstererek şekil değiştirmeler için

][ qGzww

zuu

T

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂η∂

∂∂

∂η∂ (22)

yazılabilir. Buradan da

[B]=[A][G] (23) elde edilir. Buraya kadar elde edilen [B] matrisi koordinat gösterimi dışında iki boyutlu

gerilme probleminin izoparametrik eleman kullanılarak incelenmesindeki adımların

aynısıdır. Oysa eksenel simetrik problemde şekil değiştirme ifadesi (u/η) terimini de

içermektedir. Bu nedenle elde edilen (3x8) boyutundaki bu matrise

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+ 0000 4321

ηηηηNNNNB

(24) şeklinde bir 4. satır eklenir. Eleman Rijitlik Matrisi: Toplam potansiyel enerji ifadesindeki ilk terim şekil değiştirme

nerjisi ifadsini verir. Bunu bir eleman için yazarsak,

( ) qdABDBqUe

TTe ∫= ηπ ]][[][2

21 (25)

elde edilir. Parantez içindeki ifade eleman rijitlik matrisini vermektedir. İzoprametrik

elemanda dA=detJ dr ds olduğundan

[ ] ∫ ∫− −=

1

1

1

1det]][[][2 JdrdsBDBk T

e ηπ (26)

yazılabilir. [B]’nin 4. satırı şekil fonksiyonlarının koordinata bölümünü (Ni/η) içerdiğinden

ayrıca eleman rijitlik matrisi integralinde de bir koordinat terimi ( η ) bulunduğundan basit

bir yaklaşık çözümleme olarak eleman ağırlık merkezinin koordinatı kullanılırsa eleman

rijitlik matrisi,

Bölüm 7-77


[ ] [ ] [ ][ ]∫ ∫− −=

1

1

1

1det2 JdrdsBDBk T

e ηπ (27)

olur. Üstü çizgili ifadeler eleman ağırlık merkezinde hesaplanmış değerleri göstermektedir.

Bununla beraber tüm değişkenler için de nümerik integrasyon yapılabilir. ηπ2 eleman

ağırlık merkezinin oluşturduğu daireyi verir ve görüldüğü gibi iki boyutlu problemdeki

kalınlığın yerini almıştır. Dönme eksenine yakın yerlerde ağırlık merkezinin tesbitine

dikkat edilmeli ve bu bölgelerde daha küçük elemanlar kullanılmalıdır.

Kuvvet Vektörleri: İlk olarak kütle kuvvetlerini ele alalım. Potansiyel enerji eşitliğindeki

kütle kuvveti terimi,

(28) ∫ dVfu T dir. ve açılımları ile ve eleman içindeki kütle kuvvetinin sabit

olduğu kabulu ile,

][ qNu = [ Tzfff , η= ]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∫ ∫

− − z

Te f

fdsJdrNf ηηπ1

1

1

1

.det][2 (29)

elde edilir. Eleman rijitlik matrisinde olduğu gibi kütle kuvveti vektörü de nümerik

integrasyonla hesaplanır. Daha önce merkezkaç kuvvetin kütle kuvvetlerine ilave

edileceğinden bahsedilmişti. Birim hacime gelen kuvvet olarak alınırsa

(ρ=yoğunluk, ω=eksenel hız), ağırlık kuvvetlerinin de ilavesiyle dönen tekerdeki kütle

kuvvetleri,

2ρηω

[ ] [ TT gfzff ρρηωη −== 2 ]

]

(30) olur. Düğüm değerleri de yukarıda verilen nümerik integrasyonla hesaplanır. Yüzey Kuvvetleri birim yüzey alanına etkiyen kuvvetlerdir. Dörtgen elemanın 1-2

kenarına şeklinde bir yüzey kuvveti etkiyor olsun. Potansiyel enerji

ifadesindeki yüzey kuvvet terimi,

[ TzTTT , η=

∫ =

ee

TT TqdlTu ηπ2 (31)

Bölüm 7-88


olarak yazılabilir. Burada ve 1-2 kenarında doğal koordinatlardan

s=1 ve yalnızca r değişken olduğundan

Tqqqq[=q ],,, 4321

[ ] ∫=ee drTNT ηπ2 şeklindedir. Buradan

000021 zze TTTTlrT ηηπ −= (32)

elde edilir. Yüzey yükünün değişken olması durumunda nümerik integrasyon yapılabilir.

Tekil kuvvetler elde edilen genel kuvvet vektörüne, uygulandığı serbestlik derecesi

dikkate alınarak ilave edilir.

3.2 Üçgen Eleman

Dönel iki boyutlu çözüm bölgesi bu kez üçgen elemanlara bölünmektedir. Her bir eleman

η-z düzleminde bir üçgen olup, z ekseni etrafında üçgenin dönmesiyle elde edilmiş bir

halka şeklindedir (Şekil 6).

(r,z)

w

η

z

2(η 2,z2)

3(η3,z3)

u

1(η 1,z1)

Alan=A

q3

q4

q5

q6

q1

q2

Şekil 6. Eksenel simetrik üçgen eleman Şekil fonksiyonları matrisi ve deplasman vektörü,

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

321

32 1

N 0 N N 0 0 N 0 N N

N0

0 Tqqqqqq[=q ],,,,,, 654321 (33)

şeklindedir. Şekil fonksiyonları N r1 = , sN =2 ve srN −−=13 olduğundan,

deplasmanlar şekil fonksiyonları ile,

531 )1( qsrsqrqu −−++=

(34) 642 )1( qsrsqrqw −−++=

Bölüm 7-99


şeklinde yazılır. Aynı şekilde koordinatlar da,

321 )1( ηηη srsrr −−++= (35)

321 )1( zsrzsrzz −−++= olur. Türev zincir kuralı ile,

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

zu

u

J

suru

∂∂

η∂∂

∂∂∂∂

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

zw

w

J

swrw

∂∂∂η∂

∂∂∂∂

(36)

olarak alınır. Jakobiyen matrisi ise,

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2323

1313zzJ η

η (37)

şeklindedir. Burada ηij = ηi -ηj ve zij = zi -zj notasyonu kullanılmıştır. det J= η13 z23 - η23 z13

olup |detJ| = 2Ae olduğu daha önceki bölümlerde gösterilmişti. Aradığımız ifade

deplasmanları koordinatlara göre türevi olduğundan ters alma işlemi ile,

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

suru

J

zu

u

∂∂∂∂

∂∂∂η∂

1 ve [ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

swrw

J

zw

w

∂∂∂∂

∂∂

η∂∂

1 (38)

elde edilir. Jakobiyen matrisinin tersi ise

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=−

1323

13231

det1

ηηzz

JJ . (39)

şeklindedir. Buradan şekil değiştirmeler,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

−−−+−+−

−+−

−−−

=

η

ηη

ηη

ε

53321

64136223531351

641362

531351

det

det

det

qNqNqNJ

qqzqqzqqqq-J

qqqq-J

qqzqqz

1

23

23

23

(40)

Bölüm 7-1010


Diğer taraftan, ε=[B]q olduğundan, elemanın (4x6) boyutundaki şekil değiştirme-

deplasman ilişkileri matrisi,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0 N

0 N

0 N

Jdet

z

Jdet

detJz

Jdet

detJz

Jdet

tJde 0

detJ 0

Jdet 0

0 Jdet

z 0

detJz

0 detJz

B

321

122113132332

211332

123123

ηηη

ηηη

ηηη

(41)

elde edilir. Görüldüğü gibi matris SŞDÜ elemandan sadece 4. Satırı ile değişmektedir. Eleman rijitlik matrisi eleman şekil değiştirme enerjisi ifadesinden dörtgen elemanda

izlenen yolla elde edilir. Matris sabit olduğundan nümerik integrasyona gerek yoktur.

Ortalama yarıçap, eleman ağırlık merkezinde N N N1 2 3

13

= = = olmasından,

3321 ηηη

η++

= (42)

olarak hesaplandıktan sonra, [ B ] elemanın kütle merkezinde hesaplanmış [B] olmak üzere

eleman rijitlik matrisi

[ ] [ ] [ ][ ]BDBArk T

ee π2= (43)

olarak elde edilir. Elemanın alanı A det e =12

J şeklinde hesaplanır. Kalınlık olarak

görüldüğü gibi eleman ağırlık merkezinden geçen çemberin çevresi alınmaktadır.

Kütle kuvveti sabit bir vektör olup dörtgen elemanda olduğu gibi potansiyel enerjideki

kütle kuvveti teriminden,

dArwffdAfu

ez

e

T ∫∫ += ηπηπ 22

∫ +++++=e

z634221533211 dAfqNqNqNfqNqNqN ηπ η ])()[(2 (44)

olarak yazılır. Değerleri elemanın ağırlık merkezine göre alarak

Bölüm 7-1111


∫ =e

eTT fqdAfu ηπ2 (45)

elde edilir. Burada elemanın kütle kuvveti,

Tzzz

ee ffffff

Af ],,,,,[

32

ηηηηπ

= (46)

olarak bulunur. Kütle kuvvetlerinin sisteme etkiyen asıl yük olarak değerlendirildiği

durumlarda η=N1 η1+N2 η2+N3 η3 şeklinde bir tanımlama yapılarak nümerik integrasyona

da gidilebilir. Bir örnek olarak z ekseni etrafında dönen bir döner tekerdeki yükü alalım.

Birim hacim başına ρηω2 radyal merkezkaç kuvvetini uygulanıyor ve ağırlık ta –z yönünde

etki ediyorsa, gfvef z ρωηρη −== 2 olmak üzere kütle kuvvet vektörü,

[ ] [ TT

z gwfff ρηρη −== ,, 2 ] (47) olarak elde edilir.

Yüzey kuvvetlerinde, üniform yayılı yük bileşenleri Tη ve Tz, elemanın 1-2 kenarına etki

ediyor olsun, buradan potansiyel enerji eşitliğindeki yüzey kuvveti

∫ =

ee

TT TqdlTu ηπ2 (48)

olarak yazılır. Deplasman vektörü 4 bileşenli olup Tqqqq[=q ],,, 4321 şeklindedir. Bu

durumda kuvvet vektörü, η=N1 η1+N2 η2 alınarak yapılan nümerik integrasyonla;

62

62 2121 ηηηη +

=+

= ba şeklinde a ve b sabitleri ile,

T

zrzre bTbTaTaTlT ],,,[2 21−= π (49) elde edilir. l1-2 yükün uygulandığı kenarın boyu olup l r r z z1 2 2 1

22 1

2− = − + −( ) ( )

şeklinde hesaplanır.

Örnek: Şekilde verilen dış çapı 120 mm ve iç çapı 80 mm olan uzun bir silindir, kendinden daha uzun rijit bir deliğin içine sıkı geçme yerleştirilmiştir. Silindir 2MPa’lık bir iç basınç uygulandığında iç çaptaki büyüme ne olur. (E=2x105 MPa, ν=0.3)

Bölüm 7-1212


Çözüm: Prosedürün anlaşılması ve sabit eleman matrisleri nedeniyle üçgen elemanlar kullanılarak şekildeki sonlu eleman modeli elde edilmiştir. Silindir uzunluğu istenildiği gibi alınabilir ise de hesaplama kolaylığı açısından 10 mm tercih edilmiştir. Yapılan hesaplamalar sonucu detJ=200, dolayısıyla elemanların alanları 100 mm2 bulunur. Bu sonuç elemanların geometrisinden de görülmektedir. İçten basınç

bir yüzey kuvveti olduğundan 1-2 kenarına gelen yükün düğümlere karşılık gelen değerleri,

N pl

FF ie121 2514

2)2)(10)(40(2

22

====ππη

elde edilir. 1-2 kenarı z eksenine paralel

olduğundan ortalama yarıçap hesaplamaya gerek kalmamıştır. Elastisite matrisi,

şeklindedir. Düğüm deplasmanlarını

eleman şekil değiştirmelerine bağlayan [B] matrislerinin hesabında ortalama yarıçaplar,

1. eleman için η

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=555

5

555

555

2.69x10 0 1.15x10 1.15x100 0,77x10 0 0

1.15x10 0 2.69x10 1.15x101.15x10 0 1.15x10 2.69x10

D

1 =13

(40+40+60)=46.67 mm ve 2. eleman için η2 =13

(40+60+60)=53.33

mm hesaplanarak

2 MPa

8020

2 3

4

40

1

2

1

60

F 10

[ ] 00.1-0.05-

0.050000.05-

B

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

00071.000071.000071.005.000001.001.000

1 [ ] 0.050.1-0.05-

000.0500.05-

=B 2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

00063.000063.000063.001.001.001.0000

0

Elemanların gerilme-deplasman matrisleri [D] ile [B]'nin çarpımından hesaplanır.

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

15.1168.015.1743.015.1407.0077.0385.077.0385.0069.2072.069.2647.0385.0503.015.1072.015.142.1027.1

10

0766.015.191.015.1384.0385.00077.0385.077.01.0657.069.2082.069.249.0

043.115.1082.015.126.1

10 441 2]B[D BD

Eleman rijitlik matrisleri ise [ ] [ ][ ]BDBA T

eηπ2 ’yi hesaplamak suretiyle

Bölüm 7-1313


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−−

=

→

565.0025.2093.189.713.116.024.030.2565.093.189.717.145.813.1932.145.134.258.203.4

101

sim

k

8 7 4 3 2 1 SDgenel

7 [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−

=

→

01.9241.062.201.905.166.917.242.246.311.5029.1645.026.1645.069.1085.069.122.2005.2

1072

simetrik

k

8 7 6 5 4 3 SDgenel

olarak hesaplanır. Genel serbestlik dereceleri de dikkate alınarak matrisler birleştirildikten sonra 2, 4, 5, 6, 7 ve 8 numaralı SD’ler sabit odluğundan genel matriste

eliminasyon yaklaşımının uygulanmasıyla, 10 elde edilir.

Buradan da Q

4 03 2 342 34 4 35

25142514

7 1

3

. .. .

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

QQ

1 = 0.014 x 10-2 mm ve Q3 = 0.0133 x 10-2 mm olarak hesaplanır. Aslında aynı çıkması gereken bu deplasmanların eleman matrislerinin elemanın ağırlık merkezindeki yarıçapa göre hesaplanması nedeniyle küçük de olsa farklı çıktıkları görülmektedir.

Gerilme Hesabı: Genel deplasman vektörü elde edildikten sonra eleman süreklilik bilgileri

yardımıyla eleman deplasman vektörü oluşturulur. Buradan eleman içindeki gerilmeler

izoparametrik elemanda nümerik integrasyonla üçgen elemanda ise sabit matrislerin

çarpılmasıyla, [ ][ ] qBD=σ eşitliği kullanılarak hesaplanır. σθ 'asal gerilme olup,

σ σ τr z r, , z gerilmelerine karşılık gelen σ σ1 , 2 asal gerilmeleri mohr çemberinden

yararlanılarak hesaplanabilir.

Örnek: Önceki örnekte elde edilen deplasmanları kullanarak elemanların ağırlık merkezindeki gerilmeleri hesaplayınız. Çözüm: Genel deplasman vektöründen eleman deplasmanları,

ve -2T 10xq ]0,0,0,0133.0,0,0140.0[1 = -2T 10 xq ]0,0,0,0,0,0133.0[2 = elde edilir.

Daha önce hesaplanan [DB]e ve elemanlara karşılık gelen deplasmanları kullanarak MPa10x MPa10x -2T

2-2T ]1.54,0,9.66,3.169[]4.28,4.5,2.58,166[1 −−−=−−−= σσ

hesaplanır.

3.3 Sıcaklık Etkisi Sıcaklıktaki ∆T kadarlık artış ε0 kadarlık başlangıç şekil değişikliğine sebeb olur. Bu da

eksenel simetrik problemlerde,

TT]0,,T,T ∆α∆α∆αε [0 = (50)

şeklindedir. Gerilmeler ise,

[ ] )0-(D εεσ = (51)

Bölüm 7-1414


olup ε toplam şekil değiştirmeyi ifade eder. Şekil değiştirme enerjisinde bu terim

yerleştirildiğinde toplam potansiyel enerji denkleminde [ ] 0εε DT− terimi ortaya çıkar.

Eleman şekil değiştirme-deplasman bağıntısını kullanarak, üçgen eleman için,

[ ] [ ] [ ]∫ ∑=

A e

Te

T0

T DBArqrdAD )2(2 0επεεπ (52)

eleman sıcaklık yükü elde edilir. ε0 elemandaki ortalama sıcaklık artışına göre hesaplanmış

eleman ağırlık merkezindeki başlangıç şekil değişimidir. Yük ifadesi,

θe = [ ] [ ] 02 επ DBAr T

e (53) olup vektörel olarak,

θe = [θ1, θ2 ,θ3 ,θ4 ,θ5 ,θ6]T (54) İzoparametrik eleman kullanıldığında bu ifadenin iki katlı nümerik integralle elde edileceği

ve 8x1 boyutlarında olduğu açıktır.

4. PROBLEM MODELLENMESI VE SINIR ŞARTLARI

Eksenel simetrik problemin basit olarak dönen bir yüzeye indirgenerek iki boyutlu bir

problem olarak ele alındığını gördük. Sınır şartları da bu yüzeyde belirtilmek zorundadır.

Problemin θ dan bağımsız olması çevre boyunca olmayan yükleme ve sınır şartlarının

eksenel simetrik problem olarak ele alınmasını engeller. Yani problemin eksenel simetrik

bir problem olabilmesi için geometri yanında yükleme ve sınır şartlarının da eksenel

simetrik olması gerekmektedir. Burada tipik bazı problemlerin modellenmsi üzerinde

durulacaktır.

İç Basınca Maruz Silindir: Şekil 7’de iç basınç uygulanmış L uzunluğundaki içi boş bir

silindir verilmiştir. Silindirin bir ucu rijit bir duvara bağlıdır. Bu problemde sonra ηi ve ηd

arasında sınırlanmış L uzunluğundaki dikdörtgen şeklindeki bölgeyi modellemek

gerekmektedir. Duvara sabitlenmiş olan uçtaki düğümlerin hareketi z ve r doğrultularında

sınırlanmış olup genel matrislerde bu serbestlik derecelerine karşılık gelen elemanlarda

düzenleme yapılır.

Bölüm 7-1515


P z

ηdηi

L

Pz

η

ηi

ηd

Şekil 7 İç basınca maruz içi boş silindir

Sonsuz Uzunluktaki Silindir: Şekil 8'de dış basınca maruz sonsuz uzunluktaki bir

silindirin modeli verilmiştir. Boyuna şekil değişikliği olmadığı kabul edilerek düzlem şekil

değiştirme şartları oluşturulmuş birim uzunluğun modellenmesi bu problem için yeterli

olmaktadır. Sınır şartları ise ele alının birim uzunluğun dış kenarlarındaki düğümlerin z

doğrultusunda hareket etmemesi olarak tanımlanır (Örnek olarak çözülen problem

dışardaki rijit silindir dışında bu probleme benzemektedir).

P

z

ηd

ηi

η

1

P

Şekil 8 Dış basınca maruz sonsuz uzunluktaki silindir

Rijit Şaft Üzerine Sıkı Geçme: İç yarıçap ri uzunluğu L olan bir halkanın yarıçapı ri+δ

olan rijit bir şaft üzerine sıkı geçme yapılması Şekil 9'da verilmiştir. Orta düzleme göre

simetrik olduğu kabul edilirse, bu düzlem z doğrultusunda tutulmuş olur. Halkanın iç

kısımlarındaki düğümler şaftın rijit olması nedeniyle δ kadarlık bir radyal ötelenmeye

maruz kalacaklarından bu düğümlere karşılık gelen genel rijitlik matrisinin diyagonal

Bölüm 7-1616


elemanların büyük bir C katsayısının eklenmesi gerekir. Aynı şekilde yük vektörünün ilgili

düğümlere karşılık gelen elemanlarına da Cδ kadarlık bir kuvvet ilavesi yapılır.

z

L

η

δ

ηd ηi+δηi

Orta Düzlem

ηd

ηi

Şekil 9 Rijit şaft üzerine sıkı geçme

Elastik Şaf Üzerine Sıkı Geçme: Bu kez de hem şaftın hem de halkanın elastik olması

durumunu inceleyelim. Bir elastik manşon elastik şaft üzerinde basınç uygulandığı zaman

birbirine temas eden sınırda ilginç bir probleme yol açar. Şekil 10’ birlikte hareket eden ara

düğümlerin durumu verilmiştir. Ara düğümleri biri şaft diğeri halka üzerinde bulunan

düğüm çiftleri olarak ele alırsak, bu çiftlerin deplasmanları arasında çiftin radyal

deplasmanları Qi ve Qj, olmak üzere,

Q Qj i− = δ (55)

şeklinde çok noktalı bir sınır şartı tanımlanabilir. Buradan potansiyel enerji eşitliğine

12

2C Q Qj i( − − δ ) şeklinde bir terim ilave edilirse buradaki sınır şartı yaklaşık olarak

tanımlanmış olur. Daha önce tartışılan penaltı yaklaşımından yola çıkarak

Qj

Qi

i j

Qj – Qi=δ

Şekil 10 Elastik şaft üzerine elastik halkanın sıkı geçmesi

Bölüm 7-1717


12

12

12

12

12

2 2 2 2C Q Q CQ CQ C Q Q Q Q CQ CQ Cj i i j i j j i i j( ) ( )− − = + − + + − +δ δ δ δ (56)

yazılır. Bu da genel rijitlik matrisi ve yük vektörlerinde

K KK K

K C K CK C k C

ii ij

ji jj

ii ij

ji jj

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⎯ →⎯

+ −+ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (57)

FF

F CF C

i

j

i

j

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⎯ →⎯

−+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

δδ (58)

şeklinde yapılan düzenlemelerle tanımlanmış olur. Görüldüğü gibi sonlu eleman modeli

geliştirilirken şaft ve halka tek bir geometri olarak ele alınacak ara bölgede ise aynı

koordinatlara sahip iki düğüm tanımlanacaktır.

Konik Halka Yay: Şekil 11’de verilen konik halka şekilli yay (rondela yay) üst

kenarından z eksenine paralel olarak yüklenirken alt yüzeyi rijit zemin üzerinde

durmaktadır. Bu yük eksenel doğrultuda uygulanmaktadır. Sonlu eleman modeli yapılacak

bölge kesit olarak verilmiştir. Yük-deplasman karakteristikleri ve gerilme dağılımı kesit

yüzeyin sonlu elemanlara bölünmesi ile bilgisayar yardımıyla elde edilebilir. Bu

problemde yaydaki deplasmanlar yükle lineer olarak değişmez. Yük deplasman eğrisi

şekilde verildiği gibidir. Yayın rijitliği geometriye, dolayısıyla yay üst kenarının yaptığı

deplasman hareketine göre değişir. Bu nedenle problemin çözümünde yükü yavaş yavaş

artırarak uygulama yüküne ulaşmak gerekecektir.

P

δ

z

η

δ

P

Şekil 11. Konik halka yay

Bölüm 7-1818


Yöntem şöyledir. Verilen geometri için [K](x) rijitlik matrisi hesaplanır. Buradan ∆F yük

artımı için ∆Q deplasmanları elde edilir.

[ ] F=QK (x) ∆∆ (59)

∆Q deplasmanları, ∆u ve ∆w bileşenlerine ayrılarak başlangıç koordinatlarına ilave

edilirerek yeni koordinatlar bulunur.

u+xx ∆⎯⎯← (60)

[K] bu yeni geometri için tekrar hesaplanıp yeniden yük artırılırarak yeni deplasmanlar

elde edilir. Bu işlem tam yüke ulaşılıncaya kadar devam eder. Geometrik nonlineerliğe

sahip problemlerin çözümünde bu metod her zaman uygulanan bir metoddur.

Isıl Gerilmeler: Şekil 12 yalıtılmış-rijit bir duvar içine sıkıca yerleştirilmiş bir çelik

manşonu göstermektedir. Manşondaki ∆T kadarlık sıcaklık artışı manşonun genleşmesine

izin verilmediğinden dolayı gerilmeler oluşmasına neden olur. Problem simetri eksenine

göre L/2 uzunluğundaki bir alanın modellenmesiyle çözülür. Rijit duvar ile temas eden

düğümler radyal yönde, simetri eksenindeki düğümler de eksenel yönde tutulmuşlardır.

Manşon

ManşonÖlçüleriηi, ηd, L

ModellenecekKısım

Rijit, yalıtılmışduvar

Şekil 12. Rijit yuva içindeki manşonda ısıl gerilmeler

Bölüm 7-1919

SEKİZİNCİ BÖLÜM

GERİLME ANALİZİNDE ÜÇ BOYUTLU PROBLEMLER

1. GİRİŞ

Buraya kadar olan bölümlerde bir ve iki boyutlu problemler üzerinde durulmuştu. Aslında

mühendislik problemlerinin bir çoğu üç boyutludur. Bir ve iki boyutlu olarak yapılan

çözümler yeterli doğrulukta sonuçlar verdiğinden üç boyuta göre tercih edilmektedir. Bu

bölümde üç boyutlu gerilme analizi konusu dört düğümlü üçgen prizma eleman

kullanılarak izah edilecek daha sonra 8 düğümlü kübik elemanlar için temel ifadeler

çıkarılacaktır.

Üç boyutlu halde deplasman bileşenleri,

u=[u,v,w]T (1) dir. Burada u, v ve w sırasıyla x, y ve z doğrultularındaki bileşenleri göstermektedir.

Gerilme ve şekil değiştirmeler ise,

σ=[σx, σy, σz, τyz, τxz, τxy]

T

(2) ε=[εx, εy, εz, γyz, γxz, γxy]

T

olmaktadır. Gerilme ile şekil değiştirmeler arasındaki ilişki,

σ=[D]ε (3) ile verilir. Burada [D] 6x6 boyutlarında elastisite matrisidir.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−+=

υυ

υυυυ

υυυυυυ

υυ5.00000005.00000005.0000000100010001

)21)(1(][ ED (4)


Şekil değiştirmelerle yer değiştirmeler arasındaki ilişki ise,

T

xv

yu

xw

zu

yw

zv

zw

yv

xu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= ,,,,,ε (5)

şeklindedir. Kütle ve yüzey kuvvet vektörleri üç bileşenli olarak sırasıyla

f=[fx,fy,fz]T

(6) T=[Tx,Ty,Tz]T

şeklindedir. Potansiyel enerji ve Galerkin yaklaşımları önceki bölümlerde anlatıldığı

şekilde uygulanır.


Tipik bir üçgen prizmatik eleman şekil 1’de verilmiştir. Bu eleman 4 yüzlü eleman olarak

da adlandırılır. Her düğümde üç adet serbestlik derecesi bulunmaktadır. Bu durumda

eleman deplasman vektörü,

q=[q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9, q10, q11, q12]T (7)

dir. i düğümüne ait deplasmanlar ise 3i-2, 3i-1 ve 3i olarak numaralandırılır. Genel

deplasman vektörü ise, toplam serbestlik derecesi N olmak üzere,

Q=[Q1, Q2,...........QN]T (8)

şeklindedir.

i3i-2

3i-1

3i 3

2

1

4x

y

z

u

v

w

(x,y,z)

Şekil 1 Üçgen prizmatik (4 yüzlü) eleman

Bölüm 8-22


Eleman modellemesi için 4 adet Langrange tipi şekil fonksiyonu seçilir. Şekil

fonksiyonlarının genel kuralı nedeniyle ilgili düğümde 1 diğer düğümlerde 0 değerini

alması gerekmektedir. Şekil 2 de verilen temel eleman alınarak tanımlanan şekil

fonksiyonları,

N1=r, N2=s, N3=t, N4=1-r-s (9)

olur. Herhangi bir noktadaki deplasmanlar şekil fonksiyonları yardımıyla

u=[N]q (10)

olarak yazılır. Burada şekil fonksiyonları matrisi,

[ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

000000

000000

000000

000000

NN

N

NN

N

NN

N

NN

NN (11)

şeklindedir. İzoparametrik gösterim nedeniyle şekil fonksiyonları aynı zamanda koordinat

tanımlamasında da kullanılabilir.

x=N1x1+ N2x2+ N3x3+N4x4y=N1y1+ N2y2+ N3y3+N4y4 (12)z=N1z1+ N2z2+ N3z3+N4z4

Buradan da xij=xi-xj şeklindeki bir tanımlamayla,

x=x4+x14r+x24s+x34t y=y4+y14r+y24s+y34t (13) z=z4+z14r+z24s+z34t

elde edilir. Kısmi türevler için zincir kuralı kullanılarak örneğin u deplasman bileşeni için,

r

s

t

1(1,0,0)

2(0,1,0)

4(0,0,0)

1(0,0,1)

Şekil 2 Üçgen prizmatik (4 yüzlü) temel eleman

Bölüm 8-33


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=→

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

tz

ty

tx

sz

sy

sx

rz

ry

rx

J

zuyuxu

J

tusuru

][ (14)

elde edilir. Öte yandan alınan türevler ile Jakobean matrisi

[ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

343434

242424

141414

zyxzyxzyx

J (15)

olur. Jakobean matrisin determinantı ise,

)()()(det 142424143414343414242434342414 zyzyxzyzyxzyzyxJ −+−−−= (16)

olur. Elemanın hacmi,

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫− −−− −−

==1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0detdet

r srr sre drdsdtJJdrdsdtV (17)

dir. İntegrasyon formülü,

)!3(!!!1

0

1

0

1

0 +++++

=∫ ∫ ∫− −−

knmknmdrdsdttsr

r sr knm (18)

olduğundan eleman hacmi,

JVe det6

1= (19) olarak elde edilir. [A]=[J]-1 alınırsa, (15),

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

tusuru

A

zuyuxu

][ (20)

olur. Burada,

Bölüm 8-44


[ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

=241424141434143434243424

241424141434143434243424

241424141434143434243424

det1

xyyxxyyxxyyxzxxzzxxzzxxzyzzyyzzyyzzy

JA (21)

şeklindedir. Şekil değiştirme – yer değiştirme ilişkisi, türevler matrisini [B] ile göstermek

suretiyle,

ε=[B]q (22)

yazılabilir. Bu durumda [B]

[ ]

)()()(

0000

000000

00000000

00

000000

00

000

0000

det1

241424141434143434243424241424141434143434243424241424141434143434243424

24142414241424142414241424142414241424142414241424142414

2414241424142414

14341434143414341434143414341434143414341434143414341434

1434143414341434

34243424342434243424342434243424342434243424342434243424

3424342434243424

xyyxxyyxxyyxczxxzzxxzzxxzbyzzyyzzyyzzya

abyzzyzxxzacyzzyxyyxbczxxzxyyxcxyyx

bzxxzayzzy

yzzyzxxzyzzyxyyxzxxzxyyxxyyx

zxxzyzzy

yzzyzxxzyzzyxyyxzxxzxyyxxyyx

zxxzyzzy

JB

−+−+−−=−+−+−−=−+−+−−=

→

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

−−−−−−−

−−

−−−−−−−

−−

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

−−

=

(23) şeklindedir. Görüldüğü gibi [B] nin bütün elemanları sabit olup sonuçta elemana ait şekil

değiştirmeler de sabit olarak elde edilecektir.

2.1 Eleman Rijitlik Matrisi ve Yük Vektörleri

Toplam potansiyel enerji ifadesinde eleman şekil değiştirme enerjisi terimi,

[ ] ]][[][]][[][ 2

121

21 qBDBVqdVqBDBqdVDU T

eT

e

TT

e

Te === ∫∫ εε (24)

olarak yazılır. Buradan eleman rijitlik matrisi,

[k]e=Ve[B]T[D][B] (25) olarak tanımlanır. Eleman hacmi 1/6 det J olarak daha önce elde edilmiştir.

Kütle kuvvetleri,

∫ ∫ ∫∫ == eTTT

eT fqJdrdsdtfNqdVfu det][ (26)

dir. İntegral (20) de verildiği şekilde alınırsa, 12x1 boyutundaki yük vektörü

Bölüm 8-55


Tzxzyx

ee fffff

Vf ]..,.........,,,[

4= (27)

olur. Vefx olarak hesaplanan yük vektörü ağırlık kuvvetinin x bileşeni olup q1, q4, q7 ve q10

serbestlik derecelerine eşit olarak dağıtılmış olmaktadır. Yüzey kuvvetleri ise, kuvvetlerin

uygulandığı yüzey üzerinde hesaplanacaktır. Örenek olarak 123 düğümlerinin oluşturduğu

yüzey üzerine uygulanan kuvveti ele alalım. Yüzey bir üçgen olup alanı da Ae ise, yüzey

yük vektörü

∫∫ ==Ae e

TTTe

T TqdATNqdATu ][ (28)

olur. İntegrasyondan sonra

Tzyxzyxzyx

ee TTTTTTTTT

AT ]0,0,0,,,,,,,,,[

3= (29)

elde edilir. Tekil yükler ilgili serbestlik derecesine göre sistem yük vektörüne ilave

edildikten sonra genel denklem oluşturularak sistemin sınır şartları altında deplasmanlar

bulunur.

3. GERİLME HESABI

σ=[D]ε ve ε=[B]q olduğundan gerilmeler doğrudan

σ=[D][B]q (30) eşitliğinden bulunabilir. Üç boyutlu durumda asla gerilmelerin hesaplanması için (3x3)

boyutlu olan gerilme tensörünün invaryantlarından yararlanılır. Gerilme tensörünün

invaryantları,

I1=σx+σy+σz

I2=σx σy +σy σz + σxσz−τ2yz−τ2

xz−τ2xy (31)

I3=σx σy σz+2τyzτxzτxy−σxτ2yz−σyτ2

xz−σzτ2xy

şeklindedir. Buradan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

acbaacI

IIIbI

Ia 3cos,

32,

332,

3 31

321

31

2

21 θ (32)

tanımlamasıyla asal gerilmeler

Bölüm 8-66


( ) ( )34cos3,3

2cos3,cos31

31

21

1πθσπθσθσ ++=++=+= cIcIcI (33)

olarak bulunur.

4. ALTI YÜZLÜ ELEMAN

Altı yüzlü eleman temel elemanı küb şeklinde olan bir izoparametrik eleman olup iki

boyutlu gerilme analizi problemlerinde verilen 4 düğümlü izoparametrik elemana

benzemektedir (Şekil 3). Temel eleman üzerinde şekil fonksiyonları,

8,.....1)1()1)(1(8

1 =++++= ittssrrN iiii (34) olarak elde edilir. Burada ri, si ve ti temal eleman üzerindeki düğüm koordinatlarını

vermektedir. Kübik elemanda düğüm numaralaması belirli bir düzende yapılmak

zorundadır. Düzensiz yapılan numaralama negatif det J değeri verecektir.

Eleman düğüm deplasmanları vektörünün 24 elemanı bulunmaktadır.

q=[q1, q2, q3,............ q24]T (35)

i düğümüne ait aynı şekilde deplasmanlar 3i-2, 3i-1 ve 3i olarak numaralandırılır. Eleman

içindeki herhangi bir noktadaki deplasmanlar şekil fonksiyonları yardımıyla

i3i-2

3i-1

3i

32

1

4

x

y

z

u

v

w

(x,y,z)

r

s

t(-1,1,1)

5

8

7

6

(1,1,-1)(-1,1,-1)

(-1,-1,-1)

Şekil 3 Altı yüzlü eleman ve temel eleman düğüm koordinatları

Bölüm 8-77


u=N1q1+ N2q4+ N3q7+..............+N8q22 v=N1q2+ N2q5+ N3q8+..............+N8q23 (36)w=N1q3+ N2q6+ N3q9+..............+N8q24

şeklinde hesaplanır. Koordinatlar da,

x=N1x1+ N2x2+ N3x3+N4x4y=N1y1+ N2y2+ N3y3+N4y4 (37)z=N1z1+ N2z2+ N3z3+N4z4

dan bulunur. İki boyutlu problemde izlenen yoldan gidildiğinde eleman rijitlik matrisi,

[ ] JdrdsdtBDBk Te det]][[][

1

1

1

1

1

1∫ ∫ ∫− − −= (38)

olarak elde edilir. İntegrasyon işlemi nümerik integrasyon yöntemiyle Gauss yaklaşımına

uygun olarak yapılır.

5. YÜKSEK DERECEDEN DEĞİŞKEN DÜĞÜM SAYILI ELEMAN

Burada 8 düğümden 20 düğüme kadar düğümlere sahip 6 yüzlü eleman için genel şekil

fonksiyonları verilecektir. 20 düğümlü eleman Şekil 4 te verilmiştir. Buna göre şekil

fonksiyonları,

1

2

3

4

5

13

6

18

9

14

10

19

7

15

11

12

168

20

17

y

x

z

r

s

t

Şekil 4 8 den 20 ye kadar düğümlere sahip altı yüzlü eleman

Bölüm 8-88


N1=n1-(n9+n12+n17)/2 N2=n2-(n9+n10+n18)/2 N3=n3-(n10+n11+n19)/2

N4=n4-(n11+n12+n20)/2 N5=n5-(n13+n16+n17)/2 N6=n6-(n13+n14+n18)/2

N7=n7-(n14+n15+n19)/2 N8=n8-(n15+n16+n20)/2 i=9......20 için Ni=ni

Eğer elemanda herhangi bir i noktası tanımlanmıyorsa, ni=0 alınır. Aksi halde,

ni=N(r,ri)N(s,si)N(t,ti) şeklinde hesaplanır. Ayrıca β, koordinat değerlerini göstermek

üzere, koordinat değerlerinin ±1 olması durumunda N(β,βi)=1/2(1+ββi), 0 olması

durumunda N(β,βi)=(1-β2) olur.

Örneğin Şekil 5’de verilen 12 düğümlü eleman için şekil fonksiyonları,

N1=1/8[(1+r)(1+s)(1+t)-((1-r2)(1+s)(1+t)+ (1-s2)(1+r)(1+t))]

N2=1/8[(1-r)(1+s)(1+t)-((1-r2)(1+s)(1+t)+ (1-s2)(1-r)(1+t))]

N3=1/8[(1-r)(1-s)(1+t)-((1-s2)(1-r)(1+t)+ (1-r2)(1-s)(1+t))]

N4=1/8[(1+r)(1-s)(1+t)-((1-r2)(1-s)(1+t)+ (1-s2)(1+r)(1+t))]

N5=1/8(1+r)(1+s)(1-t) N6=1/8(1-r)(1+s)(1-t)

N7=1/8(1-r)(1-s)(1-t) N8=1/8(1+r)(1-s)(1-t)

N9=1/4(1-r2)(1+s)(1+t) N10=1/4(1-s2)(1-r)(1+t)

N11=1/4(1-r2)(1-s)(1+t) N12=1/4(1-s2)(1+r)(1+t)

şeklindedir.

1

2

3

4

5

6

10

711

12

8

y

x

z

r

s

t

9

Şekil 5 Örnek 12 düğümlü eleman

Bölüm 8-99


6. AĞ OLUŞTURULMASI

Üç boyutlu problemlerin analizi için sonlu eleman ağı oluşturulmasında ve gerekli

değerlerin hazırlanmasında belirli bir yöntem izlenmesine ihtiyaç vardır. Üçüncü boyuttaki

koordinat değerlerinin ve düğüm bilgilerinin elde edilmesi, düğümün görülmemesi

nedeniyle bir çok zorluklar ortaya çıkarır. Bu nedenle başlangıçta bir temel eleman

alınarak bunun tekrarı şeklinde bir ağ oluşturma yoluna gidilmesi önemli kolaylıklar

getirir. Özellikle basit geometriler için 6 yüzlü 8 düğümlü elemanın temel alınıp bunun

tekrarlanması izlenecek iyi bir yöntemdir. Diğer küb içinde kalan elemanların düğüm

numaraları 4 er artırılmak suretiyle kolayca elde edilebilecektir.

Kübik bir bölge 4 yüzlü elemanlara iki şekilde ayrılabilir. Bunlardan birinde küb 5 adet 4

yüzlü elemana ayrılır, elemanların dördü eşit hacimli, biri ise diğerlerinin iki katı hacme

sahip olur (Şekil 6a). İkinci yolda ise küb 6 adet eşit hacimli elemana ayrılır (Şekil 6b). Bu

ayırma işlemleri sonunda elde edilen düğüm bilgileri Tablo 1 de verilmiştir.

Problem modellemesinde öncelikle kaba bir ağ yapısı oluşturulur. Gerekli olan bilgiler;

düğüm koordinatları, eleman düğüm numaraları, malzeme bilgileri ve sınır şartlarıdır.

Başlangıç olarak bir çözüm yapıldıktan sonra daha hassas bir ağ yapısı elde edilmek üzere

yeni elemanlara ayırma işlemlerine geçilebilir.

Sınır şartlarının belirlenmesinde üç boyutlu problemlerde düzlem için bir tanımlama

gerekebilir. Bir düğümün her yönde hareketi sınırlanmış ise burada tam nokta sınır şartı

vardır denilir. Eğer düğümün bir doğrultuda hareketine izin verilmiş ise bu durumda da

çizgisel sınır şartı vardır. Öte yandan düğümün bir düzlem içinde hareketi söz konusu

Tablo 1 Temel 6 yüzlü elemanın 5 ve 6 adet 4 yüzlü elemana bölünmesi

5 Eleman 4 eleman Düğümler Düğümler

Eleman no 1 2 3 4 Eleman no 1 2 3 4

1 1 3 2 6 1 1 2 3 7 2 1 3 4 7 2 1 2 7 5 3 6 8 5 1 3 2 7 5 6 4 6 8 7 3 4 1 4 3 7 5 1 3 6 8 5 1 8 7 5 6 1 7 3 8

Bölüm 8-1010


r

s

t

3

4

8

7

6

5

2

1

r

s

t

3

4

8

7

6

5

2

1

(a)

(b)

Şekil 6Temel kübün 4 yüzlü elemanlara ayrılması a) 5 adet 4 yüzlü, b) 6 adet 4 yüzlü

olursa burada düzlemsel sınırlama söz konusudur. Nokta sınır şartında genel rijitlik

matrisinin ilgili serbetlik derecesine karşılık gelen diyagonal elelamına büyük bir C

katsayısı eklenmekle sınır şartının sisteme dahil edildiği görülmüştü. Düğüm doğrultu

kosinüsleri l,m,n olan bir t doğrusu boyunca hareket edebiliyorsa penaltı yaklaşımı,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−−

2

2

2

31323

31323

CnSimCmnCm

nClClmCl

III

III

(39)

Bölüm 8-1111


şeklindeki bir rijitlik teriminin uygun serbestlik dereceleri ile sistem matrisini eklenmesı

sonucunu verir. Düzlemsel sınır şartında ise düzlemin normali, l,m,n doğrultu kosinüslerine

sahip t doğrusu ise,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−

−−

)1()1(

)1(

31323

31323

2

2

2

nCSimCmnmC

nClClmlC

III

III

(40)

rijitlik teriminin eklenmesi gerekecektir.

Bölüm 8-1212

DOKUZUNCU BÖLÜM

SKALER ALAN PROBLEMLERİ

1. GİRİŞ Önceki bölümlerde ele alınan problemlerdeki bilinmeyenler, bir vektör alanın

bileşenlerinden oluşmakta idi. Örneğin iki boyutlu levhalarda, bilinmeyen değer (2x1)

boyutlarındaki deplasman vektörüdür. Diğer taraftan, sıcaklık, basınç ve akış potansiyeli

gibi büyüklükler doğal olarak skaler büyüklüklerdir. İki boyutlu kararlı hal ısı iletimi

problemindeki bilinmeyen sıcaklık alanı (T(x,y)) skaler büyüklüklerin en bilinen

örneklerinden biridir. Bu bölümde sakaler alan problemlerinden olan ısı iletimi, burulma,

sıvı akışı, sızıntı ve elektrik/manyetik alan problemleri üzerinde durulacaktır.

Skaler alan problemlerinin en çarpıcı özelliği, mühendisliğin ve fiziğin hemen hemen her

dalında bulunabilmesidir. Bunlar genellikle Genel Helmholtz denklemi olarak bilinen

0=++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Q

zk

zyk

yxk

x zyx λφ∂∂φ

∂∂

∂∂φ

∂∂

∂∂φ

∂∂ (1)

denklemin özel halleri olarak karşımıza çıkar. Bu denklemde φ= φ (x,y,z) aranan alan

değişkenidir. Tablo 1’de genel Helmotz denklemini yardımıyla çözümlenebilen

mühendislik problemleri verilmiştir. Örnek olarak yalnızca (x,y) düzlemini göz önünde

bulundurur ve φ=T, kx=ky=k, λ=0 dönüşümlerini yaparsak, k, ısıl iletkenlik ve Q da iç ısı

kaynağını göstermek üzere genel denklemi, ∂2T/∂x2-∂2T/∂y2-Q=0 olarak elde edilir. Bu

denklem de iki boyutlu kararlı hal ısı iletimi denklemidir. Matematik olarak Helmotz

denklemini kullanarak pek çok alan probleminin sonlu eleman modeli oluşturulabilir. Bu

modeller daha sonra problemin doğasına uygun olarak düzenlenir ve çözümler elde edilir.

Burada ısı iletimi ve burulma konuları sınır şartlarının detaylı olarak ele alınabilmesi

açısından genişçe işlenecek diğer konular nisbeten kısa tutulacaktır. Temel adımlar

anlaşılırsa problem çözümü de kolaylaşmış olur.


Tablo 1. Mühendislikte Karşılaşılan Skaler Alan Problemleri

Problem Formül Alan Değişkenleri Parametre Sınır Şartları

Isı İletimi kT

xT

yQ

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + = Sıcaklık, T Termal

iletkenlik, k

T=T0

− =kTn

q.∂∂ 0

− = −kTn

h T T. ( )∂∂ 0

Burulma 022

2

2

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yx ∂θ∂

∂θ∂ Gerilme

fonksiyonu, θ θ = 0

Potansiyel akış

∂ ψ∂

∂ ψ∂

2

2

2

2 0x y

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = Akım

fonksiyonu,ψ ψ = ψ0

Sızıntı ve yeraltı akışı k

x yQ.

∂ φ∂

∂ φ∂

2

2

2

2 0+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + = Hidrolik

potansiyeli φ Hidrolik iletkenlik, k

φ = φ0

0. =n∂

∂φ

φ = y

Elektrik potansiyeli

py

ux

u−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2

2

2

∂∂

∂∂ε Elektrik

potansiyeli, uElektrik İletkenliği, ε

u=u0∂∂un

= 0

Kanallarda sıvı akışı

012

2

2

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yW

xW

∂∂

∂∂ Boyutsuz hız,

W W = 0

2. ISI İLETİMİ

Makina tasarımında sıcaklık dağılımının belirlenmesi, genellikle malzeme seçimi, çalışma

esnasında normalin dışında sıcaklık etkisine maruz kalan parçaların tasarımı gibi konularda

bir ilk adım oluşturur. Bu sırada da çevre şartlarının belirlenmesi, karmaşık geometrilerin

modellenmesi ve en temel sabit özellikleri olan izotrop malzemeden her doğrultuda farklı

özellikler gösteren kompozit malzemeye kadar çok çeşitli malzemelerin dikkate alınması

gerekmektedir. Bu noktada elemanların hem ısıl hem de mekanik analizinde benzer

yöntemlerin kullanılıyor olması nedeniyle sonlu elemanlar metodu büyük bir kullanım

imkanı bulur. Bu bölümde genel geçişli hal ısı iletimi probleminin sonlu eleman

formülasyonu verilecektir.

Isı transferi bir cisim içinde çeşitli noktalar arasında sıcaklık farkı oluşmasıyla bu noktalar

arasında yada cisim ile çevresi arasındaki sıcaklık farkı nedeniyle meydana gelir. Termal

olarak izotropik ortamda, iki boyutlu ısı akışını ifade eden Fourier kanunu :

Bölüm 9-22


yTkq

xTkq yx ∂

∂∂∂

−=−= , (2)

şeklindedir. Burada T= T(x,y,t) olarak ortamdaki sıcaklık alanı, qx ve qy; x ve y

doğrultularındaki ısı akışı, k; ısı iletim katsayısı, ve yT

xT

∂∂

∂∂ , ; de x ve y doğrultusundaki

sıcaklık değişimleridir. Meydana gelen ısı akışı qx ve qy'nin vektörel toplamıdır.

Denklemlerin sağ tarafındaki (–) işareti ısının düşük sıcaklığa doğru transfer olduğunu

göstermektedir. (1)’de φ=T alınır ve Fourier yasası da uygulanırsa,

tTcQ

zq

yq

xq zyx

∂∂ρ

∂∂

∂∂

∂∂

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− (3)

elde edilir. Burada ρ ve c malzemeya ait özellikler olup sırasıyla yoğunluk ve özgül ısıyı t

ise zamanı göstermektedir. Bu ısı iletim denklemi olup bir başlangıç ve çeşitli sınır

şartlarına göre çözülür.

Başlangıç şartı olarak iki boyutlu hal için ( ) ( )yxTyxT ,0,, 0= şeklinde başlangıç halindeki

sıcaklık dağılımı olarak ele alınabilir. Şekil 1 de gösterilen cisim için sınır şartları ise,

sırasıyla sabit yada zamana ve koordinata göre tanımlanmış sıcaklık, sabit yada zamanla ve

konumla değişen ısı akışı, taşınımla ısı akışı ve ışınımla ısı akışı şeklindedir. Bu şartlar

aşağıdaki şekilde formüle edilir.

Şekil 1 İki boyutlu genel ısı iletimi için çözüm bölgesi ve sınır şartları

Bölüm 9-33


( )

( )

yyxxrs

yyxxes

yyxxs

s

nqnqqTÜzerindeS

nqnqTThÜzerindeS

nqnqqÜzerindeStyxTTÜzerindeS

+=−

+=−

+=−

=

ασε 44

3

2

11 ,,

(4)

Burada T1 yüzey sıcaklığı, nx, ny yüzeyin doğrultu kosinüsleri, qs birim alandan tanımlı ısı

akışı, h konveksiyonla ısı transferi katsayısı, Te çevre sıcaklığı, Ts bilinmeyen yüzey

sıcaklığı, σ Stephan-Boltzman sabiti, ε ve α yüzey özellikleri ve qr de birim alandan

yapılan radyasyonla ısı taransferini göstermektedir.

2.1 Sonlu Eleman Formülasyonu

Şekil 1'de verilen Ω çözüm bölgesi herbirinde r adet düğüm bulunan M adet elemana

bölünür. Bir eleman içindeki sıcaklık ve sıcaklık gradyenti şekil fonksiyonlarının

yardımıyla,

( ) ( ) (tTyxNtyxT i

r

ii ,,,

1∑

=

= ) (5)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (tTyxy

Ntyx

yT

tTyxx

Ntyx

xT

i

r

i

i

i

r

i

i

,,,

,,,

1

1

∑

∑

=

=

=

=

∂∂

∂∂

∂

)

∂∂∂

(6)

olarak yazılabilir. Matris notasyonu kullanıldığında ise,

( ) [ ] ( )

( )[ ] )(),(

,,

,,

)(),(,,

tTyxBtyx

yT

tyxxT

tTyxNtyxT

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡=

∂∂∂∂

(7)

olur. Burada [N] sıcaklık interpolasyon matrisi, [B] ise sıcaklık değişimi interpolasyon

matrisi olarak adlandırılır. Ti her düğümün sıcaklığı T(t) de eleman düğüm sıcaklıkları

vektörüdür. Burada bir enerji denklemi olan (3) numaralı denkleme minumum potansiyel

enerji ilkesi uygulanır,

∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+ 0Ω

∂∂ρ

∂∂

∂∂

dNtTcQ

yq

xq

iyx (8)

Bölüm 9-44


ve

Ω∂

∂∂

∂dN

yq

xq

iyx∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (9)

kısmı integre edilerek ifade yeniden yazılırsa,

( ) ridrNnqdNQdqq

yN

xNdN

tTc i

y

xi ,.....3,2,1.... =−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− ∫∫∫∫

ΓΩΩΩ

ΩΩ∂∂

∂∂Ω

∂∂ρ (10)

elde edilir. Yüzey bölgesi her bölgede etkili olan sınır şartlarının toplamı olarak ifade

edilebileceği için, son terim her bir sınır şartı için ayrı integre edilirse,

( ) ( )

( ) ridNqT

dNTThdNqdNnq

iS

r

iS

eS

isiS

,.....3,2,1.

......

4

321

4 =−−

−−+−

∫

∫∫∫

Γασε

ΓΓΓ

(11)

elde edilir. Sonuçta genel denklem ve eleman denklemleri matris formunda,

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] rhqQthc RRRRRTKrKKtTC ++=+++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂ (12)

olarak elde edilir. Buradaki matris ve vektörler, [ ] [ ] Ωρ

Ω

dNNcC ....∫= [ ] [ ] [ ] ΩΩ

dBBkK Tc ..∫= [ ] [ ] ΓdNNhK

Sh ...

3

∫=

[ ] Γεσ dNTTK

Sr ....

4

4∫= ( ) ΓdNnqRS

T ..1

∫−= ΩΩ

dNQRQ ∫= .

ΓdNqR

Sq ..

2

∫= ΓdNThRS

h ..3

∫= Γα dNqRS

r ...4

∫=

şeklindedir. Verilen her bir ifade sırasıyla şu şekilde tanımlanır. [C]:eleman kapasitans

matrisi, [Kc], [Kh] ve [Kr]: eleman iletim matrisleri (iletim, taşınım ve ışınım). Taşınım ve

ışınım matrisleri yalnızca yüzeyi ilgili sınır şartına maruz elemanlar için hesaplanır. RT,

RQ, Rq, Rh ve Rr: tanımlı düğüm sıcaklığı, iç ısı kaynağı, tanımlı yüzey ısı akışı,

yüzey taşınımı ve ışınımdan kaynaklanan ısıl yük vektörleri.

Elde edilen bu genel ifade ele alınan problemin durumuna göre çeşitli şekillerde

düzenlenebilir. Bunlardan en çok karşılaşılan 4 örnek aşağıda verilmiştir.

Bölüm 9-55


Lineer kararlı hal ısı iletimi:

[ ] [ ][ ] hQhc RRqRTKK ++=+ . (13)

Lineer geçişli hal ısı iletimi:

[ ] [ ] ( )[ ][ ] ( ) hQhc RRqRtTtKKdtdTC ++=++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ . (14)

Nonlineer kararlı hal:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] ( ) ( ) ( ) ( ) TRTRTRqTRTTKTKTK rhQrhc +++=++ . (15)

Nonlineer geçişli hal:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( tTRtTRtTRq

tTRtTTKtTKTKdtdTTC

rh

Qrhc

,,,

,.,

+++

=++⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

)(16)

Örnek olarak suyla soğutulan bir çubuğun orta düzlemindeki sıcaklık dağılımının zamanla

değişimini araştıralım. Problem taşınım sınır şartına maruz iki boyutlu geçişli hal ısı iletimi

problemidir (14). Problemde iç ısı kaynağı ve dış ısı yükü olmadığından ilgili yük

vektörlerini kaldırırsak (14),

[ ] [ ] [ ][ ] ( ) )()( tRtTtKKdtdTC hhc =⋅++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅ (17)

şeklinde düzenlenebilir. Türev sonlu farklar yaklaşımı ve θ metodu ile,

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1

1

)1(

1)1(1

+

+

+−+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−−=++

nn

nhcnhc

RR

TCt

KKTCt

KK

θθ∆

θ∆

θ (18)

şeklinde ifade edilir. Kısa gösterimde ise,

[ ] 11 ++ = nn RTK (19)

şeklini alır. θ’nın seçimi farklı algoritmalar verir. Buna göre, θ=0 alındığında ileri farklar

(forward difference) metodu, θ=1/2 alındığında Crank-Nicolson metodu, θ=2/3 alındığında

Galerkin metodu ve θ=1 alındığında ise geri farklar (backward difference) metodu seçilmiş

olur. Her metodun avantaj ve dezavantajları olmakla birlikte ileri farklar metodu dışında

zaman aralığının çok büyük olmadığı durumlarda kararlı sonuçlar alınırken, θ=0

alındığında mutlaka kritik bir değerin altında kalmak gerekmektedir. Bu değer genel olarak

Bölüm 9-66


mkrt λ∆ 2= şeklinde verilir. Burada mλ the maksimum sistem özdeğeridir. Sistem

özdeğerini hesaplamadan yaklaşık bir zaman aralığı hesabı ise 22 ad

kctkr ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

πρ∆ ile

verilmektedir. Burada d en küçük eleman genişliği, a ise 3 ile 5 arasında seçilecek bir

katsayıdır.

Bundan sonra eleman şekil fonksiyonlarının elde edilmesi, sınır şartlarının uygulanma

pratiği ve çeşitli özel problemlerin çözüm yöntemlerinin verilmesi açısından temel

problemlerden başlayarak detaylı bir inceleme yapılacaktır.

2.2 Bir Boyutlu Isı İletimi

Düzgün bir ısı üretiminin olduğu düz bir duvardaki ısı iletimini düşünelim. (Şekil 2). A ısı

akış doğrultusuna dik bir alan, Q (W/m3) birim hacminde üretilen ısı olsun. Isı üretimine

örnek olarak R direncine sahip bir kablodan I akımının geçmesiyle V hacminde oluşan

Q=I2.R/V verilebilir.

[q+(dq/dx)dx].A

Duvar Kontrol Hacmi

IsıAkışı

qA(QAdx)

x

x dx

Şekil 2. Bir boyutlu ısı iletimi

Şekil 2’de verilen hacim için çıkan ısının, hacme giren ve hacim içinde üretilen ısıya eşit

olması gerektiğinden hareketle,

AdxdxdqqdxQAqA ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ . (20)

yazılabilir. Her iki taraftaki qA birbirini götüreceğinden,

Bölüm 9-77


Qdqdx

= (21)

elde edilir. Fourier denklemi yerine konursa

ddx

kdTdx

Q⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + = 0 (22)

olarak bir boyutlu kararlı hal ısı iletim denklemi elde edilmiş olur. Q pozitif olduğunda

kaynak, negatif olduğunda ise kuyu olarak adlandırılır. Isı iletim katsayısı (k), genellikle

x’in fonksiyonudur. Denklem sınır şartlarına bağlı olarak çözülür (Şekil 1).

Bir Boyutlu Eleman: Burada, lineer şekil fonksiyonlarına sahip iki düğümlü elemanlar ele

alınmıştır. Bir boyutlu problemler incelenirken anlatılan 3 düğümlü quadratik elemanlar

için de burada izlenen yöntemle gerekli ifadeler elde edilebilir. Şekilde verildiği gibi

problemi x koordinatında ele alıp çeşitli noktalardaki bilinmeyenler olarak da T’yi

tanımlarsak, e elemanı üzerindeki herhangi bir noktadaki sıcaklık şekil fonksiyonları

yardımıyla,

T(r) = N1.T1 + N2.T2 = [N].Te (23)

yazılabilir. Burada N1=(1-r)/2, N2 = (1+r)/2 dir. r –1 ile +1 aralığında değişir. [N]=[N1,

N2] ve Te= [T1.T2]T dir. Diğer taraftan, 1)(21

12

−−−

= xxxx

r ve dxxx

dr12

2−

=

olduğundan zincir kuralı ile,

dxdr

drdT

dxdT .= eT

drdN

xx.2

12 −= (24)


eTBdxdT ][= (25)

olur. Burada sıcaklık değişimi interpolasyon matrisi olan [B]

[ ] [ 1,11

12

−−

=xx

B ] (26)

Bölüm 9-88


21

1rN −

=

1

T2

T1

-1 0 +1

2

r

xL

T1 = T0

q = h.(TL-T∞)

21

2rN +

=

1

T=N1.T1+N2.T2

2

T

1 2 3

1

1 e

e

T1

Ni

r

Şekil 3. Çözüm bölgesinin sonlu eleman modeli ve lineer elemanın şekil fonksiyonları

olarak elde edilir. Şekildeki tanımlı sıcaklık ve konveksiyon sınır şartları altında enerjinin

minimizasyonu yapılacaktır. Buna göre bir boyutlu ısı iletimi denklemi

∫∫ ∞−+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∏

L

L

L

T TThQTdxdxdxdTk

0

22

0

)(21

21 (27)

yazılır. T(x=0)=T0, Q=Q0, k=ke alarak ve şekil fonksiyonlarını da devreye koyarak,

[ ] [ ] [ ] ( 21

1

1

1 21..

2221

∞−−

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=∏ ∑ ∫∑ ∫ TThTdrN

lQTdrBB

lkT Le

eee

TeeTer ) (28)

elde edilir. Buradan eleman iletkenlik matrisi ve ısıl yük vektörlerini,

[ ] [ ] [ ]∫+

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−==1

11111.

2.

e

eTeee l

kdrBB

lkk (29)

[ ]∫− ⎭⎬

⎫⎩⎨⎧==

1

111

2.

.2. eeee

QlQ

drNlQ

R (30)

olarak elde ederiz. Genel rijitlik matrisi ve genel yük vektörü daha önceki bölümlerde

olduğu gibi eleman süreklilik bilgileri yardımıyla, eleman matris ve vektörlerinin

toplanması ile oluşturulur. Enerji denklemindeki son terim açılır ve bazı matris işlemleri

yapılırsa,

Bölüm 9-99


2

21)(

21

∞∞ +− hTThTThT LLL (31)

olarak yazılabilir. 1/2hT∞

2 sabit olduğundan minimizasyonda dışarıda kalır. Böylece

konveksiyon sınır şartı da genel rijitlik matrisinin (L,L) elemanına h eklenmesi ve yük

vektörünün (L) elemanına da hT∞ eklenmesiyle işleme katılmış olur.

En son olarak olarak sabit sıcaklık sınır şartları (T1=T0) da daha önceki bölümlerde 0’dan

farklı olarak belirlenmiş deplasman sınır şartında olduğu gibi rijitlik matrisinin ilgili

diyagonaline büyük bir C sayısı, yük vektörüne de CT0 yükü eklenmesiyle işleme alınmış

olur.

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

+

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

∞ )(

)(

)(....................

....................

....................)(

.

.

.

.

.

.

2

01

.

.

.

.

.

.

2

1

11

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

22221

11211

hTR

RCTR

T

TT

hKKK

KKKKKCK

LLLLLL

L

L

(32)

Örnek: Şekilde verilen üç tabakadan oluşan duvarda dış sıcaklık T0=20°C olup duvarın iç yüzeyi konveksiyona maruzdur (Too=800°C ve h=25W/m2°C). Duvardaki sıcaklık dağılımını hesaplayınız.

Çözüm: 3 elemandan oluşan bir sonlu eleman modeli oluşturulmuştur. Eleman iletkenlik matrisileri,

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−= 1111

3.020

1k

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−= 1111

15.030

2k

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−= 1111

15.050

3k

olarak elde edilir. Genel matris ise,

T0 = 20°C

h,T∞

0.15m0.3 m

k1 k2 k3

T1 T2 T3 T4

k1 = 20 W/m°Ck2 = 30 W/m°Ck3 = 50 W/m°Ch = 25 W/m°CT∞ = 800°C

0.15m

1 32

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=55005830

03410011

7.66K [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

=55005830

0341001375.1

7.66K

(1 numaralı düğümde konveksiyon olduğundan, h=25 sabitinde [K]’nın (1,1) elemanına ilave edildi.) Problemde ısı üretimi olmadığından yük vektörü sadece konveksiyon teriminden oluşur.

Bölüm 9-1010


R=[25x800, 0, 0, 0]T. T4=20°C sınır şartı da penaltı yaklaşımı uygulanarak

(C=8*66.7*104 alınarak),

6 67

1 375 1 0 01 4 3 0

0 3 8 50 0 5 80005

25 80000

10672 10

1

2

3

44

,

, −− −

− −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

TTTT

x

x

şeklinde uygulanır.

Buradan sıcaklık vektörü, T=[304.6,119.0,57.1,20.0]T°C olarak bulunur. T4=20°C sınır şartı eliminasyon yaklaşımıyla da uygulanabilir. [K]’dan 4. Satır ve sütun silinir ve yük vektörü de Ri=Ri-(Ki,p1a1+Ki,p2a2+ ..... + Kn,prar) şeklinde düzenlenerek

66 71 375 1 0

1 4 30 3 8

25 8000

0 6670

1

2

3

,, −− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

=+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

TTT

xelde edildikten sonra sıcaklık vektörü

[T1,T2,T3]=[304.6,119.0,57.1]°C olarak bulunur. Tanımlı ısı akışı sınır şartı: Belirli fiziksel durumlar,

(x=0) da q=q0 (33) şeklinde sınır şartı olarak modellenebilir. Burada q0 sınırda belirlenmiş ısı akışıdır. q=0 ise

yüzey tamamen izole edilmiştir. Yüzeye temas eden herhangi bir ısı kaynağı olması

durumunda q0 sıfırdan farklı değer alır. Burada dikkat edilmesi gereken önemli bir husus

ısının çözüm bölgesine girmesi durumunda negatif değer almasıdır. Bu sınır şartı yük

vektörüne tanımlı ısı değerinin doğrudan ilave edilmesi şeklinde tatbik edilir. Sonuç

olarak,

[ ] ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

+=

0..0

0q

RTK (34)

elde edilir. Burada ısının dışardan cismin içine doğru olduğu kabul edilmiştir. Zorlanmış ve Doğal Sınır Şartları: Buradaki problemde alan değişkenlerine bağlı olarak

verilen (T=T0 benzeri) sınır şartları zorlanmış sınır şartları olarak adlandırılır. Buna karşılık

q(x=0)=q0 veya –k(dT/dx)(x=0)=q0 şeklinde alan değişkeninin türevine bağlı olarak verilen

sınır şartları ise doğal sınır şartları olarak adlandırılır. q=q0=0 olarak verilen bir sınır

Bölüm 9-1111


şartında denklemlerde herhangi bir düzeltmeye gerek yoktur. Bu sınır şartı kendiliğinden

sağlanır.

Örnek: k=0.8 W/m°C olan büyük bir levhada 4000 W/m3 lük bir ısı kaynağı bulunmaktadır. Levhanın kalınlığı 25 cm olup dış yüzeyi (h= 20 W/m2°C ve Too= 30 oC) konveksiyona maruzdur. Levha boyunca sıcaklık dağılımını belirleyiniz.

Çözüm: Problem tabakanın ortasından geçen düzleme göre simetriktir. İki elemanlı bir sonlu eleman modeli oluşturularak çözülür. Simetri ekseninden sol tarafa ısı akışı olmayacağından bu düğümde sınır şartı olarak q=0 alınır. (k/l=0.8/0.625=12.8 dir.)

Sistemin genel iletim matrisi [ ] şeklindedir. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−−

−=

)208.12(8.1208.126.258.12

08.128.12K

• • •

6.25 6.25 h ,T∞

Simetriekseni

k=0,8 W/m°C, h=20 W/m°C, T∞=30 °C

q=0

2 3

Q=4000 W/m3

1

Yük vektörü ise, R = [125, 250, (125+20x30)]T olarak elde edilir. [K]T=R denklem takımının çözümünden T=[94.0, 84.3, 55.0 ]T 0C elde edilir.

2.3 İnce Kanatçıklarda Isı Transferi Isı transferi yüzeyini artırmak için herhangi bir yapıya ilave edilen ince levhalar kanatçık

olarak adlandırılır. Hava ile soğutulan motorsiklet motorunun dış yüzeyinde kanatçıkların

örneğini görmek mümkündür. Burada silindir üzerindeki kanatçıklar ısıyı hızlı bir şekilde

konveksiyon yoluyla ortama aktarır ve motor silindiri bu şekilde soğutulmuş olur. Burada

ince filmlerde meydana gelen ısı transferinin sonlu elemanlarla modellenmesi üzerinde

durulacaktır (Şekil 4).

Tek bir kanatçık ele alalım (Şekil 5). Problem, kanatçığın genişliği boyuna göre fazla

olduğundan kanatçığın derinliğine doğru yayılan ısı ihmal edilirse, yan yüzeylerden

konveksiyonla meydan gelen ısı akışı dışında tek boyutlu bir problem olarak ele alınabilir.

Bu durumda kanatçıktan konveksiyonla meydana gelen ısı kaybı,

QP dx h T T

A dxc= −

− ∞( . ) ( ))( ∞−−= TT

APh

c (35)

Bölüm 9-1212


Sıca

kO

rtam

Isı Yayılması

Şekil 4 İnce dikdörtgen kanatlardan oluşmuş bir düzen

olarak yazılabilir. Burada P, kanatçığın çevresi ve Ac de kesit alanıdır. Böylece, kanatçığın

dibinde sabit sıcaklık sınır şartı (T=T0), ucunda da alan çok küçük olduğundan q=0 sınır

şartı kabul edilerek, bir boyutlu ısı iletimi denklemindeki ısı kaynağı ifadesi yerine

konveksiyon ısı kaybı yazılırsa,

0)(. =−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∞TTAPh

dxdTk

dxd

c (36)

elde edilir.

Sıca

kO

rtam

KonveksiyonIsı Kaybı

dxqx

q

L

w

Kanatçık kalınlığı=tKanatçık Çevresi

P=2(w+t)Kanatçık Kesiti

Ac=wt

x

T=T0

q=0

Şekil 5. İnce dikdörtgen kanatçıktaki ısı akışı

Bölüm 9-1313


Sonlu Eleman Modeli: Galerkin Yaklaşımı : Galerkin yaklaşımı minimize edilecek bir

fonksiyonel araştırılmasına gerek olmadığı için bazı önemli avantajlar sağlar. Bu nedenle

ince kanatçıklar için eleman matrisleri elde edilirken bu yaklaşımdan hareket edilecektir.

φ(x), T ile aynı temelde, φ(0)=0 şartını sağlayan herhangi bir fonksiyonu olsun, Galerkin

yaklaşımı

( ) 0..0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫ ∞ dxTT

APh

dxdTk

dxdL

cφ (37)

olmasını gerektirir. İlk terimin kısmi integrasyonu ile,

∫∫ ∫ =+−− ∞

LL

c

L

c

LdxT

APhTdx

APhdx

dxdT

dxdk

dxdTk

00 000.. φφφφ (38)

φ(0) = 0 ve k(L)[dT(L)/dx] = 0 şartları kullanılıp izoparametrik eşitlikler yazılarak

drl

dx e

2= T=[N]Te φ=[N]ψ ][][ ψφ B

dxdTB

dxdT

e ==

genel denklem

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]∫∑

∑ ∫∑ ∫+

−

∞

+

−

+

−

=+

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

1

1

1

1

1

1

02

2.

drNd

APhT

TdrNNAPhTdrBB

lk

TeT

c

eTT

ce

e

TeeT

ψ

ψψ (39)

olarak elde edilir. Buradan konveksiyon iletim matrisi,

[ ] [ ] [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡== ∫

+

−2112

32112

6.

2.

1

1 thll

APhdrNN

lAP

K ee

e

Te

c

hh (40)

olarak elde edilir. Konveksiyon yük vektörü ise,

[ ] 11..

11

2....

2

1

1 tlThl

AThPdrN

lT

APhR ee

c

Te

ch

∞

−

∞∞ === ∫ (41)

dir. Böylece izoparametrik olarak yazılmış denklem [ ] [ ]( ) 0=++ ∑∑

eh

Te

eh

T RTKK ψψ (42)

olarak indirgenir. Bu da genel denklemi verecek şekilde toplanarak

Bölüm 9-1414


[ ] [ ]( ) 0=++ RKK Th

T ΨΨ (43) elde edilir. Bu denklem tüm ψ’ler ψ1=0 şartını sağladığı sürece geçerlidir. T1=T0

şeklinde verilebilecek tanımlı sıcaklık sınır şartı [K]ij = ([K]+[Kh])ij şeklinde sistem iletim

matrisi elde edildikten ve varsa diğer ısıl yükler de yük vektöründe hesaba katıldıktan

sonra genel denklemde,

(44)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

01

031

021

3

2

22

33332

22322

.

.

.

.

.

.

.............

.

.

.

.

.

.....................

TK

TKTK

R

T

TT

KKK

KKKKKK

LLLLLL

L

L

şeklinde bir düzenleme yapılarak eliminasyon yaklaşımıyla hesaba katılmış olur. Başka

türden sınır şartları da daha önce gösterildiği şekilde işleme alınır.

Örnek: 0.1 mm kalınlığında, 10 cm uzunluğunda, iletkenliği k = 360 W/m°C olan bir kanatçık, sıcaklığı 235°C olan bir duvar üzerindedir. h = 9 W/m2 °C lik konveksiyon katsayısı ile 20°C sıcaklığındaki havaya transfer edilen ısının miktarını ve sıcaklık

dağılımını belirleyiniz.

4 3 21

t=0.1cm, w=1m, k=360 W/m°C h = 9W/m2°C, T = 20°C

3.33x3=10cmİzole edilmişuç q=0

DuvarT=235 oC Kanatçığın genişliğini 1m

alınız. Çözüm: Kanatçığın ucunun izole edildiğini kabul edelim. Şekildeki gibi üç elemanlı bir sonlu eleman modeli oluşturduktan sonra genel denklemler

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧−

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−−−

−

−

−

− 001

1033.3235360

122

101033.3209

210141014

1031033.39

110121

012

1033.3360

23

2

432

3

2

2 xxxxx

TTT

xxx

x

olarak yazılır. Buradan [T2,T3,T4] = [211.7,197.0,192.2]°C elde edilir. Kanatçıktan meydana gelen toplam ısı kaybı elemanlardan meydana helen ısı kayıplarının toplanması ( ) şeklinde hesaplanır. Her eleman içindeki kayıp HH He

e= ∑ e = h(Tor – Too) Ay dir.

Eleman yüzey alanı Ay = 2x(1x0.0333)m2 olup Tor, eleman içindeki ortalama sıcaklığı gösterir. Buna göre H = 333 W/m bulunur.

2.4 İki Boyutlu Kararlı Hal Isı İletimi Önceki bölümde elde edilen iki boyutlu kararlı hal ısı iletimi denklemi için bu bölümde

eleman matrisleri ve yük vektörleri elde edilecektir. Bunun içinde sabit matrislere sahip

Bölüm 9-1515


olması nedeniyle lineer üçgen eleman ele alınacaktır. Benzer yöntemlerle diğer elemanlar

için de gerekli matrisler elde edilebilir.

Üçgen Eleman: Isı iletimi probleminde aranan alan değişkeni yalnızca skalar bir büyüklük

olan sıcaklık (T) olduğundan düğümlerdeki serbestlik derecesi bir olarak değerlendirilebilir

(Şekil 5). x, y düzleminde verilen sabit uzunluğa sahip bir üçgen eleman içindeki sıcaklık

alanı,

T = N1T1 + N2T2 + N3T3 (45)

veya matris formunda

T = [N]Te (46) olarak yazılabilir. Burada [N] = [r, s, 1-r-s] şeklinde verilen eleman şekil fonksiyonlarıdır.

Te = [T1, T2, T3]T şeklindedir. Koordinatlar da aynı şekilde

x = N1x1 + N2x2 + N3x3 y = N1y1 + N2y2 + N3y3 (47)

yazılır. Zincir kuralı,

sy

yT

sx

xT

sT

ry

yT

rx

xT

rT

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ..,.. +=+= (48)

olduğundan sıcaklık gradyanı matris formunda

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yTxT

J

sTrT

∂∂∂∂

∂∂∂∂

(49)

elde edilir. [J] ise,

(50) Jx yx y

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

13 13

23 23

dir. Burada xij = xi - xj, yij = yi - yj ve |detJ| = 2Ae olduğunu biliyoruz. Aradığımız sıcaklığın

global koordinatlara göre türevi olduğundan, ters alma işlemi ile

[ ] eTxxyy

JsTrT

J

yTxT

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

110101

det1

1323

1323

∂∂∂∂

∂∂∂∂

(51)

Bölüm 9-1616


elde edilir. Bu da,

[ ] eTB

yTxT

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

(52)

yazılabilir. Burada

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−−−=

211332

123123

13231323

23131323

det1

)()(

det1

xxxyyy

Jxxxxyyyy

JB (53)

şeklindedir. Türevlerin karelerinin alınmasıyla,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

Tx

Ty

Tx

Ty

TxTy

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

2 2

. (54)

(55) [ ] [ ] e

TTe TBBT=

elde edilir. Eleman denklemleri: İki boyutlu kararlı hal ısı iletimi denklemi,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂x

kTx y

kTy

Q. .⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + = 0 (56)

dir. Şekil 1’de verilen sabit sıcaklık (T = T0) sabit ısı akışı (qn = q0) ve konveksiyon

(qn=h(T-Too) ) sınır şartlarını göz önüne alarak çözüm için

∫ ∫∫∫ ∞−++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2 3

20

22

)(21.2.

21

s sAT dsTThTdsqdAQT

yTk

xTk

∂∂

∂∂Π (57)

fonksiyoneli minimize edilir. Çözümün sabit sıcaklık sınır şartını da sağlaması gereklidir.

İlk terim,

[ ] [ ]

[ ] [ ] ∑

∑ ∫∫∫

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ee

Tee

Te

ee

TTe

A

TBBAkT

dATBBTkdAyTk

xTk

21

.21..

21

22

∂∂

∂∂

(58)

Bölüm 9-1717


olarak yazılabilir. Burada eleman iletim matrisi [ ] [ ]BBAkk Teee =][ olarak tarif edildikten

sonra genel iletkenlik matrisi [K] eleman iletkenlik matrislerinin toplanmasıyla elde edilir.

İkinci terim olan ısı kaynağını ele alalım. Eleman içinde üç farklı ısı kaynağı bulunabilir.

İlk olarak ısı kaynağının eleman içinde sabit ısı yaydığını kabul edelim (Q=Q0). Bu

durumda,

[ ]( ) ∫ ∑ ∑∫ −=−=−

e e ee

TQeee TRTdANQQTdA . (59)

elde edilir. olduğundan eleman ısı yükü vektörü 3/e

ei AdAN =∫

[ ]TeeQ

AQR 1,1,1

3= (60)

olarak elde edilir. Buradan eleman içinde sabit olarak üretilen ısının üç düğüme eşit olarak

dağıtıldığı anlaşılır. İkinci durum olarak Q’nun eleman içinde lineer olarak dağılım

gösterdiğini düşünelim. Q= [Q1,Q2,Q3]T şeklinde düğüm değerleri yazılabileceğinden

şekil fonksiyonları yardımıyla,

(61) [ ] eQNsrQ =),(

yazılır. Enerji eşitliğinde yerine konduğunda ( ) eleman yük vektörü, ∫−

ee QTdAΣ

( ) ( ) ([ ]TeQ QQQQQQQQQ

AR 321321321 2,2,2

12++++++= ) (62)

olarak elde edilir. Son olarak ısının sıcak su kanalı veya elektrik teli gibi eleman içinden

geçen bir kaynak ile üretilmiş olduğunu düşünelim. Bu tür kaynaklar noktasal (tekil)

kaynak olarak adlandırılır. Q0 eleman içinde (r0,s0) koordinatında bulunan tekil kaynak

olsun. Böyle bir ısı kaynağını modele koymanın en kolay yolu elemanlara ayırırken bu

noktada bir düğüm tanımlamaktır. Böylece Q0 doğrudan yük vektörüne ilave edilebilir.

Buna rağmen kaynak eleman içinde herhangi bir (r0,s0) noktasında ise bunun eleman

düğümlerine dağıtılması,

00 TQQTdA

e∫ = e

TQe TRTsrNQ == ),( 000 (63)

Bölüm 9-1818


şeklinde yapılır. Burada RQ= Q0[N(r0,s 0)]T= Q0[r0,s0,1-r0-s0]T dir. Π içindeki sabit ısı akışı sınır şartı terimi

[ ] es e e

TdSNqTdsq∫ ∑ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1200 (64)

dir. Isı akışının elemanın 2-3 kenarından olduğunu kabul edersek (üçgen elemandaki yayılı

yükü hatırlayınız) bu kenarda [N] = [0, s,1-s] ve l2-3 2-3 kenarının uzunluğu olmak üzere,

dS=l2-3ds olduğundan (Şekil 6),

(65) [ ] [ ] ee

Te

e ee

e

TRqTdrrrlqTdSNq ∑∑ ∑ ∫∫ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

1

032020 1,,0

elde edilir. Sabit ısı akışı nedeniyle oluşan ısıl yük

[ ]TlqRq 1,1,0

2320 −= (66)

dir. Isı akışı 1-2 kenarında olsa idi vektör, [ ]TlqRq 0,1,1

2320 −= , yada 3-1 kenarında olsa

idi [ ]TlqRq 1,0,1

2320 −= olarak elde edilecek idi.

e

1

2-3 kenarı sabitısı akısı olan

elemanlar

3

2

q=q0

Çözümbölgesi

sınırı

e

1 2-3 kenarıkonveksiyona

maruz elemanlar

3

2

q=h(Ty-Too)

Çözümbölgesisınırı

Şekil 6 Üçgen elemanın 2-3 kenarı üzerinde tanımlı ısı akışı ve konveksiyon sınır şartları

Şimdi de konveksiyon terimini ele alalım.

[ ] [ ] [ ] ∑∫ ∑ ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

eeh

Te

s ee

e

TTe TKTTdSNNhTdShT 2/1

21

21

33

2 (67)

Bölüm 9-1919


olur. Bu terim kiriş problemindeki elastik temel sınır şartına benzemektedir. [Kh]

konveksiyon iletim matrisi olarak adlandırılır ve elemanın konveksiyona maruz kenarı için

hesaplanır. Üçgen elemanın 2-3 kenarı için,

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= −

210120000

6. 32lh

Kh (68)

elde edilir. Konveksiyon nedeniyle meydana gelen yük ise,

[ ] ee

The

s e e

TRTdSNhTdShTT ∑∫ ∑ ∫ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− ∞∞

33 (69)

olarak elde edilir. 2-3 kenarı için konveksiyon yükü

[ ]ThlhT

R 1,1,02

32−∞= (70)

dir. Böylece Π,

[ ] TRTKT TT −=21Π (71)

olarak elde edilmiş olur. Burada,

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )∑ ∑ ∑ ++=+=e e e

hqQhc RRRRveKKK (72)

şeklindedir. Π’nin minimizasyonu S1 üzerindeki tüm düğümlerde T=T0 sınır şartını

sağlayacak şekilde elde edilir. Belirlenmiş sıcaklıkları hesaplamak için penaltı veya

eliminasyon yaklaşımlarından herhangi biri kullanılabilir.

Örnek: Kesiti ve sınır şartları verilen uzun dikdörtgen çubuktaki sıcaklık dağılımını belirleyiniz. Çözüm: Simetri nedeniyle dikdörtgenin yarısının modellenmesi yeterlidir. Simetri ekseninden sol tarafa ısı akışı olmayacağından bu eksen izole edilmiş olarak alınır. 3 elemanlı bir sonlu eleman modeli oluşturulmuştur.

Eleman süreklilik matrisi yanda verilmiştir. Sıcaklık değişimi şekil matrisi

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

211332

123132

det1

xxxyyy

JB dir. Buna

Eleman 1 2 3 1 1 3 2 2 5 4 3 3 1 5 3

göre elemanlar için

Bölüm 9-2020


0.6m

h=50W/m2°C, T∞=25°C

4

q=0

0.3m

h=50W/m2°C, T∞=25°C

q=0

k=1.5 W/m°C

1

1

23

5

T=18

0°C

T=18

0°C

0.4

m

T=18

0°C

q=0

2

3

[ ] [ ] [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−= 04,04,0

3,015,015,012,01,4,04,00

015,015,006,01,4,04,00

015,015,006,01

321 BBB

olarak hesaplanır. Buradan eleman iletim matrisleri, [k] = k.Ae.[B]T.[B] formülünden,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

−=

5625,028125,028125,028125,014,128125,08125,286,014,1

][,220228125,228125,0

028125,028125,0][,

220228125,228125,0

028125,028125,0][ 321 kkk

olarak hesaplanır. Konveksiyona maruz kenarları bulunan 1 ve 2 elemanları için ilgili matris ve vektörler her iki elemanın da 2-3 kenarı konveksiyona maruz olduğundan elde edilen matris yardımıyla,

[ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

225,1025,15,20000

5,225,1025,15,20000

21 hh KK

elde edilir. [K] = ∑ ([Kc]+[Kh]) ile genel iletkenlik matrisi elde edilir. Eliminasyon yaklaşımı kullanılarak 4 ve 5 düğümlerindeki t=180 oC sınır şartı uygulanarak genel matris,

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

−−=

5625,975,028125,075,078125,428125,0

28125,028125,042125,1K

olur. Yük vektörü için konveksiyondan gelen yük, [ Th

lThR 110

2. 32−∞= ] olduğundan,

[ ] [ ]TT RhRh 110

2)15,0).(25).(50(110

2)15,0).(25).(50(

21 ==

ve eliminasyonla genel vektör, R = 93.75 [0 1 2]T elde edilir. Eliminasyon yaklaşımıyla genel denklem modifiye edilerek sıcaklıklar, [T1, T2, T3] = [124.5, 34.0, 45.4]°C olarak bulunur. Görüldüğü gibi 2 ve 3 düğümlerini bağlayan hat boyunca büyük bir sıcaklık değişimi bulunmaktadır. Bunun sebebi 2 numaralı düğümün sıcaklığı ortam sıcaklığı olan T∞ = 25°C a yakınken 4 düğümündeki sıcaklığın 180°C de sabit tutulmasıdır. 2-4 kenarında daha fazla düğüm olacak şekilde bir modelleme yapılarak daha doğru bir sıcaklık dağılımı elde edilebilir.

Bölüm 9-2121


3. BURULMA

Burulma probleminde esas amaç, rastgele bir kesit şekline sahip ve M döndürme

momentine maruz prizmatik bir çubukta (Şekil 7) oluşan kayma gerilmelerini (τxz, τyz) ve

birim boyun dönme açısını (α) belirlemektir. Basit kesit şekline sahip bu türden problemler

iki boyutlu problem olarak ele alınır. Çözülmesi gereken problem,

A içinde, ∂ θ∂

∂ θ∂

2

2

2

2 2 0x y

+ + = , Yüzeyde θ = 0 (73)

şeklindedir. Görüldüğü gibi çözülmesi gereken denklem Helmotz denkleminin özel bir

halidir. Burada θ gerilme fonksiyonu olarak adlandırılır. θ elde edildiğinde kayma

gerilmeleri,

x

Gy

G yzxz ∂∂θατ

∂∂θατ ..,.. −== (74)

yardımıyla hesaplanır. Birim boydaki dönme ise,

∫∫=

A

dAGM

.2 θα (75)

şeklinde bulunur. Burada G malzemenin kayma modülüdür.

Mz

xy

S

A

τxz

τyz

x

y

(x,y)

Şekil 7 Burulmaya maruz keyfi kesit şekline sahip çubuk ve kayma gerilmeleri

Bölüm 9-2222


3.1 Üçgen Eleman Üçgen eleman içinde herhangi bir noktadaki θ gerilme fonksiyonu şekil fonksiyonları

yardımıyla

[ ] eN θθ .= (76)

olarak hesaplanır. [N] = [r, s,1-r-s] olup gerilme fonksiyonunun düğüm değerleri ise,

θe=[θ1, θ2, θ3]T olarak bir vektörle gösterilebilir. İzoparametrik gösterimde,

x = N1x1+N2x2+N3x3 y = N1y1+N2y2+N3y3 (77)

[ ]T

yxJ

y

x

sy

sx

ry

rx

s

r⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂θ

∂∂θ

∂∂θ∂∂θ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂θ∂∂θ

(78)

dir. Jakobiyen matrisi xij = xi - xj , yij = yi - yj alınmak suretiyle

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2323

1313yxyxJ (79)

şeklinde elde edilir. Böylece sıcaklık analizleri sırasında elde edildiği şekliyle

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

211332

123123

det1

xxxyyy

JB olduğundan,

[ ] e

T

Byx

θ∂∂θ

∂∂θ .=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ (80)

veya gerilmeler cinsinden

[ ] [ ] eT

xzyz BG θαττ ...=− (81) yazılır.

3.2 Potansiyel Enerji Yaklaşımı Burulmaya maruz çubuk için birim boydaki potansiyel enerji ifadesi,

Π =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪∫∫G

x ydA

A

.α∂θ∂

∂θ∂

θ22 21

22 . (82)

Bölüm 9-2323


dır. Eleman rijitlik matrisi ve yük vektörü Π yardımıyla elde edilebilir. Gα2 sabit

olduğundan minimizasyonda etkisi yoktur. Bu nedenle gerilme fonksiyonunun türevleri,

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

y

xyxyx

∂∂θ∂∂θ

∂∂θ

∂∂θ

∂∂θ

∂∂θ

22

(83)

şeklinde matris formunda yazılarak kısa gösterimde (84) [ ] [ ] e

TTe BB θθ ..=

elde edilir. Böylece Π içindeki burulma enerjisi terimi,

[ ] ∑∫∫ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ee

Te

A

kdAyx

θθ∂∂θ

∂∂θ

21.

21

22

(85)

olur. Eleman rijitlik matrisi,

[k] = Ae.[B]T[B] (86) dir. Yük terimi ise,

[ ] ∫∫ ∑ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

A ee

e

dANdA θθ .22 (87)

yazılarak olduğundan, [ ]∫ =

eei AdAN 3/.

∑∫∫ =

e

Te

A

fdA θθ .2 (88)

elde edilir. Yük vektörü

[ TeAf 111

32

= ] (89)

olur. Eleman matris ve vektörleri bilinen yollarla toplanarak genel denklem

[ ] FK TT ...21 θθθΠ −= (90)

şeklinde oluşturulur. Bu denklemin minimizasyonu sınırlar üzerindeki düğümlerde

gerilmelerin sıfır olması şartını sağlamak üzere yapılırsa,

Bölüm 9-2424


[K].θ = F (91)

sonlu eleman denklemleri elde edilir. Eliminasyon yaklaşımına göre sınırlar üzerinde

bulunan bütün düğümlere karşılık gelen satır ve sütunlar silinerek çözüm yapılır.

Gerilmeler ve dönmeler ise elde edilen gerilme fonksiyon değerleri yardımıyla başta

verilen denklemlerden bulunur. Burada üçgen eleman için elde edilen matris ve vektörler

benzer yollarla diğer elemanlar için de elde edilebilir.

Örnek: Şekildeki dikdörtgen kesitli çubuk M=2 kNcm döndürme momentine maruzdur. Çubuk için G= 7.7x 106 N/cm2 olduğuna göre birim boydaki dönme açısını bulunuz.

Çözüm: Simetri nedeniyle kesitin ¼ ünün modellenmesi yeterlidir. ¼ lük kısım 4 elemanlı ve 5 düğümlü bir modelle modellenmiştir. Eleman rijitlik matrisleri için türev şekil fonksiyonları

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

211332

123123det

1xxxyyy

JB formülünden, birinci

eleman için [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−−= 422

05,15,161

1B olarak

hesaplandıktan sonra 1. Elemanın rijitlik

matrisi, [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

=667,2333,1042,1333,1292,0042,1

21

1Sim

k olarak

buludu. Benzer şekilde diğer elemanlar için,

24

3

1

1 3

45

2

y

x

y

xM

8 cm

8 cm

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−

=667,2

75,0042,175,0292,0042,1

21

2Sim

k

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

=667,2333,1042,1333,1292,0042,1

21

3Sim

k

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−

=5,175,0042,175,0292,0042,1

21

4Sim

k şeklindedir.

Her eleman için yük vektörü f = (2Ae/3)[1,1,1]T olup buradan elemanların herbirinin alanı 3 cm2 olduğundan olarak elde edilir. 3, 4 ve 5 düğümleri sınırlarda olduğundan buralarda θ

4,3,2,1,222 == if Ti

3=θ4=θ5=0 sınır şartlarını tanımlarsak eliminasyon

uygulanmış genel denklem ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−84

334,8083,2083,2084,2

21

2

1θθ olarak elde edilir. Buradan,

[θ1,θ2]=[7.676, 3.838] olarak gerilme fonksiyonu değerleri bulunur. Formülümüz olduğundan, M G d

A

= ∫∫2 α θ . A [ ] eN θθ .= gösterimi ve [ ] [∫ =e

eAdAN 111

3. ] olmasından

faydalanarak ( 43

2 321 xA

GMe

e

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++= ∑ θθθα ) yazılabilir. 4 çarpanı kesitin yalnızca ¼ ünün

Bölüm 9-2525


modellenmesi nedeniyle alınmıştır. Böylece birim boyun dönme açısı

)/1(1004.1107.7

2000004.0004.0 66

cmxxG

M −===α olarak hesaplanır. Gerilmeler ise,

[ ] [ ] eT

xzyz BG θαττ ...=− formülünden her eleman için ayrı ayrı hesaplanır. Örneğin 1.

Elemanda, ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧− −

04.15

838.30676.7

.42205,15,1

611004.1107.7

1

66

1xxx

xz

yzττ N/cm2 dir.

4. DİĞER SKALER ALAN PROBLEMLERİ

İki boyutlu ısı transferi ve burulma problemlerine detaylı olarak inceledikten sonra bu

bölümde Helmotz denkleminin diğer özel halleri olan potansiyel akış, sızıntı, elektrik ve

manyetik alan ve kanallarda akış problemleri bu bölümde kısaca incelenecektir.

4.1 Potansiyel Akış

Şekil 8 de görüldüğü gibi bir silindir etrafında sıkıştırılamayan bir akışkanın sürtünmesiz

ve dönmesiz akışını göz önüne alalım. Gelen akışın hızı u0 olduğuna göre silindir

etrafındaki akış ne olacaktır. Bu problemin matematik ifadesi

02

2

2

2

=+yx ∂Ψ∂

∂Ψ∂ (92)

diferansiyel denklemidir. Burada Ψ (m3/s) z yönünde 1 metrelik boy için akış

fonksiyonudur. Akış çizgisi boyunca Ψ’ sabit bir değer alır. Akış çizgisi hız vektörüne

teğet bir çizgi olup tanımı nedeniyle akış çizgileri birbirini kesmezler. Komşu iki akış

çizgisi arasındaki akışkanların davranışı bir tüp içindeki akış şeklinde değerlendirilebilir.

Akış fonksiyonu Ψ = Ψ(x,y) tesbit edildikten sonra hızın x ve y doğrultularındaki u ve v

bileşenleri,

yu

∂Ψ∂

= x

v∂

Ψ∂−= (93)

şeklinde hesaplanır. Görüldüğü gibi akış fonksiyonu, burulma problemindeki gerilme

fonksiyonuna benzemektedir. Ayrıca A ve B olarak adlandırılan iki akış çizgisi arasında

meydana gelen akış miktarı,

ABQ ΨΨ −= (94)

Bölüm 9-2626


şeklinde hesaplanır. Simetri nedeniyle şekilde verilen problemin ¼ ünnün modellenmesi

yeterlidir. Hızlar yalnızca akış fonksiyonunun türevine bağlıdır. Bu durumda akış

fonksiyonu için bir referans değer seçilebilir. Şekilde referans değer olarak x ekseni

üzerindeki tüm noktalarda Ψ=0 seçilmiştir. Bu durumda y ekseni üzerindeki noktalarda da

u = u0 veya ∂ψ/∂y = u0 olur. Bu ifade ψ = u0.y sınır şartını vermek üzere integre edilebilir.

Yani y ekseni üzerindeki herhangi bir i noktası için ψ=u0y, ve y=H doğrusu üzerindeki

noktalar için de ψ=u0.H elde edilir. Silindir üzerinde silindir içine doğru akışkan hızının

sıfır olduğunu biliyoruz (∂ψ/∂s = 0). Böylece çözüm bölgesi etrafında oluşturulan sınır

şartları vasıtasıyla bir akış çizgisi elde edilmiş olur.

u0 x

HD

L

y

x

S

y

Ψ=

u 0y

Ψ=u0H

Ψ=0

Ψ=

?

Ψ=0 Şekil 8 İdeal akışkanın silindir etrafındaki akışı ve sonlu eleman modeli için sınır şartları

4.2 Sızıntı Arazi drenajı veya baraj altındaki sızıntı gibi su akışları belirli şartlar altında Laplace

formülü olarak verilen

∂∂

∂φ∂

∂∂

∂φ∂x

kx y

kyx y.⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0 (95)

ile modellenir. Burada φ=φ(x,y) hidrolik potansiyeli, kx ve ky de x ve y yönlerindeki

hidrolik iletkenliktir. Akışkan hız bileşenleri Darcy yasası yardımıyla hesaplanır. Bu da,

vx=-kx(∂φ/∂x) vy=-ky(∂φ/∂y) şeklinde verilmektedir. Laplace denklemi görüldüğü gibi ısı

iletim denklemine benzemektedir. Akışın meydana geldiği φ=sabit çizgileri eşit

potansiyelli yüzeyler olarak adlandırılır. Denklem ısı iletimi probleminde olduğu gibi bir

kaynak veya kuyu da içerebilir. Örneğin sızıntının belli noktalardan pompalar vasıtasıyla

tahliye edilmesi negatif bir akış kaynağı oluşturur.

Bölüm 9-2727


Denklemin çözümü için gerekli olan sınır şartları bir toprak dolgu barajı örneğinde

verilmiştir (Şekil 9). Sonlu elemanlar metodu ile incelenecek bölge şekilde taralı olarak

gösterilmiştir. Sağ ve sol yüzeylerda

φ = sabit (96)

sınır şartı, geçirimsiz alt bölgede ise n yüzeyin normali olmak üzere,

∂φ/∂n = 0 (97)

B

C

D

A x

h B

h A

φ=hA

φ=hB

φ=y

Geçirimsiz

y

Şekil 9 Toprak dolgu barajında sızıntı olayı

şeklinde bir doğal sınır şartı geçerlidir. Doğal sınır şartlarının eleman matrisini

etkilemediği daha önce görülmüştü. Çözüm bölgesinin üst sınırı ise sızıntı çizgisi yada

serbest yüzey olarak adlandırılır. Burada ∂φ/∂n = 0 olup integrasyondan

φ = y (98)

elde edilir. Bu sınır şartı eleman değişkenlerine bağlı olarak elde edildiğinden artımlı

(iteratif) çözüm yapılmasını gerektirir. Bunun için sızıntı hattına tahmini bir yer alınır ve

yüzey üzerindeki her bir i noktası için φ=yi sınır şartı uygulanır. Sonra φ = φ’ çözüm

yapılarak hata (φ’i-yi) araştırılır. Hata oranına göre düğüm yerleri güncelleştirilerek yeni bir

sızıntı hattı elde edilir. Bu yöntem hata yeterince küçük oluncaya kadar tekrar edilir.

Sonuçta elde edilen CD parçası gerçek sızıntı yüzeyi olarak belirlenir. Şayet bu yüzeyde

buharlaşma yoksa

φ = y (99)

sınır şartı elde edilmiş olur. Burada y yüzeyin koordinatıdır.

Bölüm 9-2828


4.3 Elektrik ve Manyetik Alan Problemleri

Elektrik mühendisliği alanında iki ve üç boyutlu hem skaler ve hem de vektörel alan

problemleri vardır. Burada bazı iki boyutlu skaler alan problemleri ele alınacaktır. ε (F/m)

geçirgenliğine sahip ve ρ (c/m3) yük yoğunluğuna maruz izotrop bir dielektrik ortamda

elektrik potansiyeli u(V),

ε∂∂

∂∂

ρ2

2

2

2

ux

uy

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − (100)

diferansiyel denklemini sağlar. Sınır şartları ise S1 üzerinde u=a, S2 üzerinde ise u=b

şeklinde verilir (Şekil 10).

x

y

S1

S2

u=a

u=b

ρ

D

ε=Geçirgenlikρ=Yük yoğunluğu

Şekil 10 Elektrik potansiyeli problemi

Birim kalınlık alınarak, depolanmış alan enerjisinin minimizasyonu ile sonlu eleman

formülleri elde edilebilir.

Π =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−∫∫ ∫12

2 2

ε∂∂

∂∂

ρux

uy

dx dy u dAA A

. . . . (101)

Glarkin yaklaşımında ise u’nun yaklaşık bir çözümü,

ε∂∂

∂φ∂

∂∂

∂φ∂

ρ φux x

uy y

dx dy dAAA

. . . . . .+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ∫∫∫ 0= (102)

den elde edilmeye çalışılır. Buradaki her φ, u’nun temel fonksiyonundan S1 ve S2 üzerinde

0 olacak şekilde elde edilir. Denklemin çözümünde kısmi integrasyonlar kullanılır.

Bölüm 9-2929


Bir çok malzeme için geçirgenlik yerine bağıl geçirgenlik kullanılır (ε-εR) Boşluğun

geçirgenliği ε0 = (8.854x10-12 F/m) olup bununla bağıl geçirgenlik arasında ε=εRε0 şeklinde

bir ilişki bulunmaktadır. Kauçuğun bağıl geçirgenliği 2.5-3 civarındadır.

Eş eksenli kablo problemi elektrik alan problemlerinin en tipik örneklerinden biridir. Bu

problemde yük yoğunluğu ρ=0 dır (Şekil 11). Simetri nedeniyle şekilde verilen dikdörtgen

kesitli eş eksenli kablonun ¼ ünün modellenmesi yeterli olacaktır. Ayrılmış sınır üzerinde

x

yu=b

u=a

u=b

u=a

0=∂∂

nu

0=∂∂

nu

x

y

Şekil 11 Dikdörtgen kesitli eş eksenli kablo

doğal bir sınır şartı olarak ∂u/∂n =0 tanımlanır. Bu da denklemlerde herhangi bir

düzeltmeye gidilmeden otomatik olarak sağlanmaktadır. Bir başka örnek ise Şekil 12’de

verilen dielektrik ortamla ayrılmış 2 paralel levha arasındaki elektrik alan dağılımının

belirlenmesidir. Burada alan sonsuza uzanır. Levhalardan uzaklaştıkça alan değeri

düştüğünden problemin çözümü için levha etrafında simetrik olarak, yeterince geniş bir

bölge (D) rastgele alınabilir. Bu alanın boyutları levha boyutlarının 5-10 misli olmalıdır.

Buna karşılık çok geniş bir alan alınıp dış kenarlara doğru büyüyen elemanlarla modelleme

yoluna da gidilebilir. Alınan bu keyfi sınır (S) üzerinde u = 0 kabul edilir.

u (A) manyetik alan potansiyeli µ (H/m) de geçirgenlik olarak alınırsa manyetik alanın

diferansiyel ifadesi,

µ∂∂

∂∂

2

2

2

2 0u

xu

y+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = (103)

şeklinde verilir. Geçirgenlik µ, relatif geçirgenlik µR ve boşluğun geçirgenliği µ0=(4πx10-7

H/m) terimleri arasında µ=µRµ0 şeklinde bir ilişki bulunur. Saf demir için µR yaklaşık

4000, alüminyum ve bakır için ise 1 civarındadır.

Bölüm 9-3030


SD

u=a

u=bε0

ε

u=0rastgele alınmış sınır

Şekil 12 Dielektrik ortamla ayrılmış paralel levhalar

Kondüktör

Rotor (Demir)

Stator(Demir)Kondüktör

Sargı

Demir

Havau=a

u=a

u=c

x

y 0=∂∂nu

Şekil 13 Basit elektrik motorunun modeli

Manyetik alan probleminin tipik bir uygulaması elektrik motorlarıdır (Şekil 13).

Kondüktörden herhangi bir akım geçmemesi durumunda, demir yüzeyler üzerinde u=a ve

u=b sınır şartları geçerlidir. Rasgele belirlenmiş sınır üzerinde ise u=c sınır şartı geçerlidir.

Bu sınır eğer oldukça uzak bir noktada belirlenseydi u=0 alınabilirdi.

4.4 Kanallarda Akış

Uzun, düz ve düzgün kesitli borular içerisindeki akışta meydana gelen basınç kaybı

∆p f VL

Dmh

= 2 2. . .ρ (104)

ile verilmektedir. Burada f sürtünme katsayısı, ρ yoğunluk, Vm sıvının ortalama hızı, L ise

borunun uzunluğudur. Hidrolik çap olarak adlandırılan Dh= 4 x alan / çevre formülü ile

hesaplanır. Bu bölümde genel bir kesite sahip borular için tam gelişmiş laminar akış

halinde sürtünme katsayısının sonlu elemanlar metodu ile elde edilmesi üzerinde

durulacaktır.

Bölüm 9-3131


Akışın z doğrultusunda olduğunu ve x-y nin kesit düzlemi olduğunu kabul edelim. Kuvvet

dengesinden (Şekil 14)

zpAzdzdpppA W ∆τ∆ ..0 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= (105)

veya

h

w

Ddzdp τ.4

=− (106)

elde edilir. Burada τw cidardaki kayma gerilmesidir. Sürtünme katsayısı f= τw/(ρVm

2/2)

Reynold sayısı ise Re=VmDh/ν olarak tanımlanır. Burada ν=µ/ρ kinematik viskozite, µ ise

mutlak viskozitedir. Böylece z boyunca basınç kaybının diferansiyel ifadesi,

2

...2

h

em

DRfV

dzdp µ

=− (107)

olur. Momentum denklemi,

0. 2

2

2

2

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

dzdp

yw

xw

∂∂

∂∂µ (108)

olup w=w(x,y) de akışkanın z yönündeki hızıdır. Burada bazı boyutsuz büyüklükler

tanımlanır. Bunlar

hDxX =

hDyY = W

wV fRm e

=2

(109)

boyutsuz kesit koordinatları ve boyutsuz hız büyüklükleridir. Böylece,

∂∂

∂∂

2

2

2

2 1 0W

xW

y+ − = (110)

elde edilir. Akışkanın çeperlerle temas halinde olduğu noktada hızı sıfır olacağından

Sınırda W = 0 (111) Şeklinde sınır şartı elde edilir. Böylece ısı transferi ve burulma da izlenen yollarla W elde

edilebilir. W bilindiğinde ortalama değer,

Bölüm 9-3232


WWdA

dAm

A

A

=∫

∫ (112)

∆z

Akış z

τw

Şekil 14 Kanal içindeki akış için kuvvet dengesi

ile hesaplanır. eleman şekil fonksiyonlarından faydalanarak kolayca hesaplanabilir.

Örneğin SŞDÜ elemanlarıyla

∫A

WdA

( )[ ]WdA A w w weeA

= + +∑∫ 1 2 3 3/ olarak bulunur. Bundan

sonra,

em

m

em

mm RfV

VfRV

wW

.22== (113)

yardımıyla,

fW

Rm

e=

1 2/ ( ) (114)

elde edilir. Bu durumda sonlu eleman analizinden elde edilecek değer 1/(2Wm) değeridir.

Bu sadece kesit şekline bağlıdır. Analizde girilecek koordinatların boyutsuz koordinatlar

olduğuna dikkat edilmelidir.

C ******** 2BISI4 ********* C IKI BOYUTLU ISI ILETIMI C SABIT SICAKLIK, SABIT ISI AKISI VE KONVEKSIYON SS ILE C DUG SAY DEGISIYOR C EL SAY DEGISIYOR

Bölüm 9-3333


C YAR BAN DEGISIYOR IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 X,F,S,NT,U,B,FT,S1,SCT,SE,XTI,XNI,DJ REAL*8 TC,CCP,RO,KAL,KARTEMP,RHAND,CAR INTEGER*4 NOC,MTN,YON,IFLN,COZUM,TBOY DIMENSION X(519,2),NOC(464,4),MTN(464),NT(100),U(100), *TC(11),CCP(11),RO(11),FT(4),FYK(4),SEN(4), *B(2,4),XNI(4,2),XTI(4,2),SCT(4,4),SE(4,4),CE(4,4), *TN(519),CAR(519),RHAND(519),CT(519),F(519),F1(519), *KARTEMP(519),ESKI(519),ESKI1(519),ABCD(519),ATV(117), *S(519,59),S1(519,59),S2(519,59),S3(519,59),S4(519,59), *SSOL(519,59),SSAG(519,59),SCOZ(519,59) COMMON X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4 CHARACTER*16 FILE1, FILE2, FILE3, FILE4,FILE5,FILE6 IMAX = 519 KAL=6

PRINT *, '1. EKRANDAN BILGI GIRISI' PRINT *, '2. DOSYADAN BILGI GIRISI' PRINT *, ' SECIMINIZ <1 / 2> ' READ *, IFL1 IF(IFL1 .EQ. 1) GO TO 100 PRINT *, '1. kararli hal' PRINT *, '2. gecisli hal' PRINT *, ' SECIMINIZ <1 / 2> ' READ *, ifln COZUM=1 PRINT *, 'BILGI DOSYASINDA KONTROL BILGILERI, KOORDINATLAR,' PRINT *, 'DUGUM BILGILERI VE MALZEME OZELLIKLERI BULUNMALIDIR' PRINT *, 'BILGI DOSYASI ADI' READ '(A)',FILE1 OPEN (UNIT = 10, FILE = FILE1, STATUS = 'OLD') LINP = 10 READ(LINP,*) NP,NE, ND,NL, NMAT, I, I, NBW GO TO 110 100 PRINT *, 'ELEMAN SAYISI' READ *, NE PRINT *, 'DUGUM SAYISI' READ *, NP PRINT *, 'MALZEME CESIDI' READ *, NMAT C ** NMAT= MALZEME CESIDI C ** NP = DUGUM SAYISI = SERBESTLIK DERECESI SAYISI C ** NE = ELEMAN SAYISI C ** X = KOORDINATLAR C ** NOC = DUGUM NUMARALARI C ** MTN = HER ELEMANIN MALZEME NUMARASI C ** TC = HER ELEMANIN ISIL ILETKENLIGI 110 PRINT *, 'CIKTI DOSYASI ADI' READ '(A)',FILE2 OPEN (UNIT = 11, FILE = FILE2) LOUT = 11 IF(IFL1 .EQ. 2) GO TO 120 PRINT *, 'ELEM#, 4 DUGUM, MAL#' READ *, (N,(NOC(N,J),J=1,4),MTN(N),I=1,NE) PRINT *, 'DUGUM NUMARASI VE IKI KOORDINATINI GIR' READ *, (N, X(N, 1), X(N, 2),I=1,NP) PRINT *,'MAL# ISIL ILETKENLIK' READ *, (N, TC(N),I=1,NMAT) GO TO 130 C ** DOSYADAN GIRIS ** 120 READ(LINP,*) (X(I,1), X(I,2),I=1,NP)

Bölüm 9-3434


READ(LINP,*) (NOC(I,1), NOC(I,2), NOC(I,3), NOC(I,4), I=1,NE) READ(LINP,*) (MTN(I),I=1,NE) READ(LINP,*)(TC(I), CCP(I), RO(I), I=1,NMAT) CLOSE(LINP) C ** BILGILER YAZILIYOR ** 130 WRITE(LOUT,*)'DUGUM SAYISI, ELEMAN SAYISI, MALZEME CESIDI' WRITE(LOUT,'(3I5)') NP, NE, NMAT WRITE(LOUT,*) 'DUG# X-KOORD Y-KOORD' WRITE(LOUT,'(I5,2F12.4)')(I, X(I,1), X(I,2), I=1,NP) WRITE(LOUT,*)'ELEMAN#, 4 DUGUM, MALZEME#' WRITE(LOUT,'(6I5)')(I,(NOC(I,J),J=1,4),MTN(I),I=1,NE) WRITE(LOUT,*)'MAL# ISIL ILETKENLIK OZGUL ISI YOGUNLUK' WRITE(LOUT,'(I5,3F12.4)')(I,TC(I),CCP(I), RO(I), I=1,NMAT) write(*,*)nbw C ** SIFIRLAMA DO 160 I = 1, NP F(I) = 0. F1(I) = 0. DO 160 J = 1, NBW S(I, J) = 0. S1(I, J) = 0. S2(I, J) = 0. S3(I, J) = 0. S4(I, J) = 0. SSOL(I, J) = 0. SSAG(I, J) = 0. 160 CONTINUE PRINT *, 'SINIR SARTLARININ BULUNDUGU DOSYA ADI' READ '(A)',FILE4 OPEN (UNIT = 10, FILE = FILE4, STATUS = 'OLD') LINP=10 PRINT *, 'SINIR SARTLARI ' WRITE(LOUT,*)' ** SINIR SARTLARI ** ' C ** ND = TANIMLI DUGUM SICAKLIGI OLAN DUGUM SAYISI C ** NT(.) = DUGUM NUMARASI U(.) = SICAKLIK READ(LINP,*) ND WRITE(LOUT,*) 'TANIMLI SICAKLIK OLAN DUGUM SAYISI' WRITE(LOUT,'(I5)') ND IF(ND .EQ. 0)GO TO 170 WRITE(LOUT,*) 'DUG# SICAKLIK' READ (LINP,*) (NT(I), U(I),I=1,ND) WRITE(LOUT,'(2F12.4)') (NT(I), U(I),I=1,ND) 170 READ (LINP,*) NHF WRITE(LOUT,*) 'TANIMLI ISI AKISI OLAN KENAR' WRITE(LOUT,'(I5)') NHF IF(NHF .EQ. 0) GO TO 190 WRITE(LOUT,*) 'KENARIN IKI DUGUMU, ISI AKISI' CALL INTCOOR(XNI, XTI) DO 180 I = 1, NHF READ (LINP,*) N,N1, N2, V,YON WRITE(LOUT,*) N,N1, N2, V,YON ELEN = SQRT((X(N1,1)-X(N2,1))**2+(X(N1,2)-X(N2,2))**2)*.5 CALL SHAPES(FT,SCT,XTI,YON) DO 175 K=1,4 F(NOC(N,K)) = F(NOC(N,K)) - FT(K)*ELEN * V 175 CONTINUE 180 CONTINUE 190 READ (LINP,*) NCONV WRITE(LOUT,*)'KONVEKSIYON OLAN KENAR SAYISI' WRITE(LOUT,'(I5)') NCONV IF(NCONV .EQ. 0) GO TO 215

Bölüm 9-3535


PRINT *,'DUG1 DUG2 KONVEKSIYON KATSAYISI ORTAM SICAKLIGI' WRITE(LOUT,*)'IKI DUGUM, TANIMLI KONVEKSIYON' CALL INTCOOR(XNI, XTI) DO 200 I = 1, NCONV READ (LINP,*) N, N1, N2, H, TINF,YON WRITE(LOUT,*)N,N1, N2, H, TINF,YON ELEN = SQRT((X(N1,1)-X(N2,1))**2+(X(N1,2)-X(N2,2))**2)*.5 CALL SHAPES(FT,SCT,XTI,YON) DO 195 K=1,4 F(NOC(N,K)) = F(NOC(N,K)) + FT(K)*ELEN * H * TINF 195 CONTINUE DO 194 II=1,4 DO 194 JJ=1,4 II1=NOC(N,II) II2=NOC(N,JJ) IF(II1.GT.II2) GOTO 194 SUM=0 SUM=SUM+SCT(JJ,II) S1(II1,II2-II1+1)=S1(II1,II2-II1+1)+SUM*H*ELEN 194 CONTINUE 200 CONTINUE C ** ISIL YUK VEKTORU OKUNUYOR 215 READ (LINP,*) NQ WRITE(LOUT,*)'DUGUM ISI YUKU SAYISI' WRITE(LOUT,'(I5)')NQ IF(NQ .EQ. 0) GO TO 230 WRITE(LOUT,*) 'DUG# ISI YUKU' DO 220 I = 1, NQ READ (LINP,*) N, Q WRITE(LOUT,'(I5,E12.4)') N, Q 220 F(N) = F(N) + Q 230 READ (LINP,*) NEQ WRITE(LOUT,*)'ELEMAN ISI YUKU SAYISI' WRITE(LOUT,'(I5)') NEQ IF(NEQ .EQ. 0) GO TO 250 WRITE(LOUT,*) 'ELEM#. ORTALAMA HACIM ISI YUKU' DO 240 I = 1, NEQ READ (LINP,*) N, EQ WRITE(LOUT,'(I5,E12.4)') N, EQ CALL INTCOOR(XNI, XTI) CALL ATM(N,NOC,TCE,TC,ROE,RO,CPE,CCP,MTN,N1,N2,N3,N4,X) CALL MATRIS(SE,XNI,B,TCE,DJ) AREA=DJ C = EQ * AREA / 4 F(N1) = F(N1) + C F(N2) = F(N2) + C F(N3) = F(N3) + C F(N4) = F(N4) + C 240 CONTINUE CLOSE(LINP) C **** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ILETIM MATRISI 250 CALL INTCOOR(XNI, XTI) CALL CLEAR_SCREEN@ DO 290 I = 1, NE CALL SET_CURSOR_POS@(40,20) PRINT *, 'HESABI YAPILAN ELEMAN ', I CALL ATM(I,NOC,TCE,TC,ROE,RO,CPE,CCP,MTN,N1,N2,N3,N4,X) CALL MATRIS(SE,XNI,B,TCE,DJ) CALL RIGID(CE,FYK,XNI,SEN) DO 280 II = 1, 4 DO 280 JJ = 1, 4

Bölüm 9-3636


II1 = NOC(I, II) II2 = NOC(I, JJ) IF (II1 .GT. II2) GO TO 280 SUM = 0 SUM3 = 0 SUM = SUM + SE(JJ, II) SUM3 = SUM3 + CE(JJ, II) II21=II2-II1+1 S(II1,II21) = S(II1,II21)+SUM*KAL S3(II1,II21) = S3(II1,II21)+SUM3*CPE*ROE*KAL S4(II1,II21) = S4(II1,II21)+SUM3*H*2 280 CONTINUE C ============================YUZEY KONVEKSIYONU YUK VEKTORU C =========[S]=[KC], [S1]=[KHkenar], [S3]= [C], [S4]=[KHyuzey] DO 281 K=1,4 281 F(NOC(I,K))=F(NOC(I,K))+FYK(K)*H*TINF*2 290 CONTINUE c ==============================eleman dongusu bitti DO 291 JT=1,NP DO 291 IT=1,NBW 291 S(JT,IT)=S(JT,IT)+S1(JT,IT)+S4(JT,IT) DO 292 JT=1,NP F1(JT)=F(JT) DO 292 IT=1,NBW 292 S2(JT,IT)=S(JT,IT) IF(ND .EQ. 0) GO TO 309 C ** SINIR SATLARI SUM = 0. DO 300 I = 1, NP 300 SUM = SUM + S(I, 1) SUM = SUM / NP CNST = SUM * 1000000. DO 310 I = 1, ND N = NT(I) S(N, 1) = S(N, 1) + CNST 310 F(N) = F(N) + CNST * U(I) 309 DO 321 I=1,NP 321 KARTEMP(I)=F(I) CALL BAND(S,KARTEMP,IMAX,NBW,NP) GOTO 312 c=============================deltat girilecek 311 DELTAT=4. TILK=30. TETA=1. c=============================TILK TANIMLANACAK DO 293 JD=1,NP TN(JD)=TILK ESKI(JD)=TILK f1(JD)=f1(jd)*deltat DO 293 ID=1,NBW SSAG(JD,ID)=S2(JD,ID)*(TETA-1)*deltat 293 SSOL(JD,ID)=S2(JD,ID)*TETA*deltat DO 296 JDC=1,NP DO 296 IDC=1,NBW SSAG(JDC,IDC)=SSAG(JDC,IDC)+S3(JDC,IDC) 296 SSOL(JDC,IDC)=SSOL(JDC,IDC)+S3(JDC,IDC) C =================================COZUM DONGUSU ITERASYON=0 PRINT *, 'SICAKLIK DOSYASI ADI' READ '(A)',FILE5 OPEN (UNIT = 6, FILE = FILE5)

Bölüm 9-3737


PRINT *, 'KONTROL DOSYASI ADI' READ '(A)',FILE6 OPEN (UNIT = 7, FILE = FILE6) c ==!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 nnd=nd nd=0 1000 CONTINUE DO 5900 I=1,NP 5900 RHAND(I)=0. C ===================BAND CARPIMI YAPILIYOR TBOY=2*NBW-1 CALL BANDCAR(SSag,NP,NBW,TBOY,CAR,TN,ATV) C ===================IKINCI TARAF TOPLANIYOR DO 6300 I=1,NP 6300 RHAND(I)=F1(I)+CAR(I) DO 6299 ICOZ=1,NP DO 6299 JCOZ=1,NBW 6299 SCOZ(ICOZ,JCOZ)=SSOL(ICOZ,JCOZ) c =============================sinir sarti IF(ND .EQ. 0) GO TO 6309 SUM = 0. DO 6301 I = 1, NP 6301 SUM = SUM + SCOZ(I, 1) SUM = SUM / NP CNST = SUM * 1000000. DO 6310 I = 1, ND N = NT(I) Scoz(N, 1) = Scoz(N, 1) + CNST 6310 RHAND(N) = RHAND(N) + CNST * U(I) C ===================BAND COZUM YAPILIYOR 6309 CALL BAND(Scoz, RHAND, IMAX, NBW, NP) DO 1100 I=1,NP TN(I)=RHAND(I) IF(TN(I).LT.TILK)TN(I)=TILK 1100 CONTINUE c !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! do 6298 i=1,nnd n=nt(i) if(tn(n).ge.100.) then nd=nnd else nd=0 end if 6298 continue ITERASYON=ITERASYON+1 SURE=ITERASYON*DELTAT C =================KONTROL ICIN ALGORITMA DO 1101 IKON=1,NP 1101 ESKI1(IKON)=TN(IKON) DO 1102 IKON=1,NP 1102 CT(IKON)=ABS(ESKI1(IKON)-ESKI(IKON)) IF((CT(1).ge.10).OR.(CT(16).ge.10).OR.(CT(32).ge.10).OR. *(CT(40).ge.10).OR.(CT(53).ge.10).OR.(CT(66).ge.10).or. *(CT(79).ge.10).OR.(CT(134).ge.10).OR.(CT(186).ge.10).or. *(CT(253).ge.10).OR.(CT(275).ge.10).OR.(CT(397).ge.10))THEN WRITE(6,*)SURE WRITE(6,1310)TN WRITE(7,*)sure WRITE(7,*)TN(1),TN(61),TN(121),TN(193) WRITE(7,*)TN(253),TN(313),TN(343),TN(445),TN(504)

Bölüm 9-3838


WRITE(*,*)sure WRITE(*,*)TN(1),TN(16),TN(33) WRITE(*,*)TN(66),TN(253),TN(264) DO 1103 IKON=1,NP ESKI(IKON)=ESKI1(IKON) 1103 CONTINUE END IF C ============================= C ============================= c DO 1104 I=1,NP c 1104 ABCD(I)=TN(I)-KARTEMP(I) c IF((ABCD(1).ne.0.).or.(ABCD(6).ne.0.).or.(ABCD(7).ne.0.).or. c *(ABCD(15).ne.0.).or.(ABCD(45).ne.0.).or.(ABCD(30).ne.0.))THEN GOTO 1000 c ELSE c GOTO 1500 c END IF c 1500 WRITE(6,*)SURE WRITE(6,1310)TN WRITE(*,*)'CALCULATIONS COMPLETED' CLOSE (6) CLOSE (7) GOTO 9876 1310 FORMAT (15F10.4) 312 WRITE(LOUT,*) 'DUG# SICAKLIK' WRITE(LOUT,'(I5,E15.4)')(I,KARTEMP(I),I=1,NP) PRINT *,'DUGUM SICAKLIKLARINI SAKLAMAK ISTIYORMUSUNUZ' PRINT *,'1 = EVET, 2=HAYIR' PRINT *,'SECIMINIZ' READ *, IANS IF(IANS.EQ.2) GO TO 330 PRINT *,'DOSYA ADI' READ '(A)', FILE3 OPEN (UNIT = 12, FILE = FILE3) WRITE(12,1310)KARTEMP WRITE(*,*)KARTEMP(1) close(12) 330 WRITE(LOUT,*) 'HER ELEMANIN BIRIM ALANINDAN GECEN ISI' WRITE(LOUT,*) 'ELEM# QX=-K*DT/DX QY=-K*DT/DY ' DO 350 N = 1, NE CALL INTCOOR(XNI, XTI) CALL ATM(N,NOC,TCE,TC,ROE,RO,CPE,CCP,MTN,N1,N2,N3,N4,X) CALL MATRIS(SE,XNI,B,TCE,DJ) QX=B(1,1)*KARTEMP(N1)+B(1,2)*KARTEMP(N2)+B(1,3)* .KARTEMP(N3)+B(1,4)*KARTEMP(N4) QX = -QX * TCE QY=B(2,1)*KARTEMP(N1)+B(2,2)*KARTEMP(N2)+B(2,3)* .KARTEMP(N3)+B(2,4)*KARTEMP(N4) QY = -QY * TCE WRITE(LOUT,'(I5,2E15.4)') N, QX, QY 350 CONTINUE close(lout) COZUM=COZUM+1 IF ((ifln.EQ.2).AND.(COZUM.EQ.2))GOTO 311 9876 END C ------------------------------------->SUBROUTINES SUBROUTINE INTCOOR(XNI, XTI) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 XTI,XNI DIMENSION XNI(4,2), XTI(4,2) XNI(1, 1) = -.57735026919

Bölüm 9-3939


XNI(1, 2) = -.57735026919 XNI(2, 1) = .57735026919 XNI(2, 2) = -.57735026919 XNI(3, 1) = .57735026919 XNI(3, 2) = .57735026919 XNI(4, 1) = -.57735026919 XNI(4, 2) = .57735026919 XTI(1, 1) = -1 XTI(1, 2) = -1 XTI(2, 1) = 1 XTI(2, 2) = -1 XTI(3, 1) = 1 XTI(3, 2) = 1 XTI(4, 1) = -1 XTI(4, 2) = 1 RETURN END SUBROUTINE ATM(N,NOC,TCE,TC,ROE,RO,CPE,CCP,MTN,N1,N2,N3,N4,X) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 X,TC,ro,Ccp INTEGER*4 NOC,MTN DIMENSION TC(11),CCP(11),RO(11),MTN(464),NOC(464,4),X(519,2) COMMON X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4 TCE = TC(MTN(N)) ROE = RO(MTN(N)) CPE = CCP(MTN(N)) N1 = NOC(N, 1) N2 = NOC(N, 2) N3 = NOC(N, 3) N4 = NOC(N, 4) X1 = X(N1, 1) Y1 = X(N1, 2) X2 = X(N2, 1) Y2 = X(N2, 2) X3 = X(N3, 1) Y3 = X(N3, 2) X4 = X(N4, 1) Y4 = X(N4, 2) RETURN END SUBROUTINE MATRIS(SE,XNI,B,TCE,DJ) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 B,SE,XNI DIMENSION SE(4,4), B(2,4), XNI(4,2) COMMON X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4 DO 1111 I = 1, 4 DO 1111 J = 1, 4 SE(I, J) = 0 1111 CONTINUE DO 1112 IP = 1, 4 XI = XNI(IP, 1) ETA = XNI(IP, 2) CALL MATHES(ETA,XI,DJ,B) DO 1113 I = 1, 4 DO 1113 J = 1, 4 DO 1113 K = 1, 2 1113 SE(I, J) = SE(I, J) + B(K, I) * B(K, J) * TCE * DJ 1112 CONTINUE RETURN END C -------------------------------------------->B MATRISI

Bölüm 9-4040


SUBROUTINE MATHES(ETA,XI,DJ,B) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 A, G, B, DJ DIMENSION A(2,2), G(2,4), B(2,4) COMMON X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4 TJ11 = ((1 - ETA) * (X2 - X1) + (1 + ETA) * (X3 - X4)) / 4 TJ12 = ((1 - ETA) * (Y2 - Y1) + (1 + ETA) * (Y3 - Y4)) / 4 TJ21 = ((1 - XI) * (X4 - X1) + (1 + XI) * (X3 - X2)) / 4 TJ22 = ((1 - XI) * (Y4 - Y1) + (1 + XI) * (Y3 - Y2)) / 4 C DET J DJ = TJ11 * TJ22 - TJ12 * TJ21 C A(2,2) GEOMETRIK SABITLER MATRISI A(1, 1) = TJ22 / DJ A(2, 1) = -TJ21 / DJ A(1, 2) = -TJ12 / DJ A(2, 2) = TJ11 / DJ C G(2,4) TUREVLER MATRISI DO 2221 I = 1, 2 DO 2221 J = 1, 4 2221 G(I, J) = 0 G(1, 1) = -(1 - ETA) / 4 G(2, 1) = -(1 - XI) / 4 G(1, 2) = (1 - ETA) / 4 G(2, 2) = -(1 + XI) / 4 G(1, 3) = (1 + ETA) / 4 G(2, 3) = (1 + XI) / 4 G(1, 4) = -(1 + ETA) / 4 G(2, 4) = (1 - XI) / 4 C B(2,4) MATRISI DO 2222 I = 1, 2 DO 2222 J = 1, 4 B(I, J) = 0 DO 2222 K = 1, 2 2222 B(I, J) = B(I, J) + A(I, K) * G(K, J) RETURN END C====================================================== SUBROUTINE SHAPES(FT,SCT,XTI,YON) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 FT,SCT,XTI,ST INTEGER*4 YON DIMENSION FT(4), ST(4), SCT(4,4),XTI(4,2) DO 3330 I = 1, 4 FT(I) = 0! DO 3330 J = 1, 4 3330 SCT(I, J) = 0! IF((YON.EQ.1).OR.(YON.EQ.-1))THEN DO 3331 IP = 1, 2 XIT = YON ETAT = XTI(IP, 1) CALL FONK(ST, XIT, ETAT) CALL HESAP(FT, ST, SCT) 3331 CONTINUE RETURN ELSEIF((YON.EQ.2).OR.(YON.EQ.-2))THEN DO 3332 IP = 1,2 ETAT = YON / 2 XIT = XTI(IP, 1) CALL FONK(ST, XIT, ETAT) CALL HESAP(FT, ST, SCT) 3332 CONTINUE

Bölüm 9-4141


RETURN END IF END SUBROUTINE HESAP(FT, ST, SCT) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 FT,SCT,ST DIMENSION FT(4), ST(4), SCT(4,4) DO 3333 I = 1, 4 FT(I) = FT(I) + ST(I) DO 3333 J = 1, 4 3333 SCT(I, J) = SCT(I, J) + ST(I) * ST(J) RETURN END SUBROUTINE FONK(ST, XIT, ETAT) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 ST DIMENSION ST(4) ST(1) = (1 - XIT) * (1 - ETAT) / 4 ST(2) = (1 + XIT) * (1 - ETAT) / 4 ST(3) = (1 + XIT) * (1 + ETAT) / 4 ST(4) = (1 - XIT) * (1 + ETAT) / 4 RETURN END SUBROUTINE RIGID(CE,FYK,XNI,SEN) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 CE,XNI,SEN,FYK DIMENSION CE(4,4), FYK(4), SEN(4),XNI(4,2) COMMON X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4 do 7002 I = 1, 4 FYK(I)=0 do 7002 J = 1, 4 7002 ce(I, J) = 0 do 7003 IP = 1, 4 XI = XNI(IP, 1) ETA = XNI(IP, 2) CALL SEKFOK1(SEN,DJ,XI,ETA) do 7004 I = 1, 4 FYK(I)=FYK(I)+SEN(I)*DJ do 7004 J = 1, 4 7004 CE(I, J) = CE(I, J) + SEN(I) * SEN(J) * DJ 7003 continue RETURN end SUBROUTINE SEKFOK1(sen,dj,xi,eta) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 XI,ETA,SEN,DJ dimension SEN(4) COMMON X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4 sen(1) = (1 - XI) * (1 - ETA) / 4 sen(2) = (1 + XI) * (1 - ETA) / 4 sen(3) = (1 + XI) * (1 + ETA) / 4 sen(4) = (1 - XI) * (1 + ETA) / 4 TJ11 = ((1 - ETA) * (X2 - X1) + (1 + ETA) * (X3 - X4)) / 4 TJ12 = ((1 - ETA) * (Y2 - Y1) + (1 + ETA) * (Y3 - Y4)) / 4 TJ21 = ((1 - XI) * (X4 - X1) + (1 + XI) * (X3 - X2)) / 4 TJ22 = ((1 - XI) * (Y4 - Y1) + (1 + XI) * (Y3 - Y2)) / 4 DJ = TJ11 * TJ22 - TJ12 * TJ21 RETURN end

Bölüm 9-4242


SUBROUTINE BANDCAR(EV,NP,NBW,TBOY,CAR,F,AYV) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 EV,AYV,F,CAR INTEGER*4 TT,TBOY DIMENSION ev(NP, NBW), AYV(TBOY), f(NP), car(NP) ii = 0 k = 0 DO 19 I=1,TBOY 19 AYV(I)=0 DO 21 I=1,NP 21 CAR(I)=0 do 1 i = 1,NP ii = i if( i .GT. NBW) ii = NBW do 10 j = 1,NBW if( ii .EQ. 0) GOTO 10 if( i .GT. NBW) GOTO 2 AYV(j) = ev(j, ii) if( i .LT. NBW) GOTO 3 2 AYV(j) = ev(j + i - NBW, ii) 3 ii = ii - 1 10 CONTINUE do 20 j = 2,NBW if( i .GT. NBW) GOTO 4 k = i + j - 1 AYV(k) = ev(i, j) GOTO 20 4 AYV(NBW + j - 1) = ev(i, j) 20 CONTINUE do 33 k = 1,2 * NBW - 1 if( i .LE. NBW) Tt = 0 if( k + Tt .GT. NP) GOTO 33 car(i) = car(i) + AYV(k) * f(k + Tt) 33 CONTINUE Tt = Tt + 1 1 CONTINUE RETURN END SUBROUTINE BAND(A, B, IMAX, NBW, N) IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) REAL*8 A,B DIMENSION A(IMAX,NBW), B(IMAX) N1 = N - 1 C PRINT *, '*** ELIMINASYON ***' DO 2100 K = 1, N1 NK = N - K + 1 IF (NK .GT. NBW) NK = NBW DO 2100 I = 2, NK C1 = A(K, I) / A(K, 1) I1 = K + I - 1 DO 2000 J = I, NK J1 = J - I + 1 2000 A(I1, J1) = A(I1, J1) - C1 * A(K, J) 2100 B(I1) = B(I1) - C1 * B(K) C PRINT *, '*** YERLESTIRME ***' B(N) = B(N) / A(N, 1) DO 2300 KK = 1, N1 K = N - KK C1 = 1 / A(K, 1) B(K) = C1 * B(K)

Bölüm 9-4343


NK = N - K + 1 IF (NK .GT. NBW) NK = NBW DO 2200 J = 2, NK B(K) = B(K) - C1 * A(K, J) * B(K + J - 1) 2200 CONTINUE 2300 CONTINUE RETURN END

Bölüm 9-4444

ONUNCU BÖLÜM

ÖZDEĞER PROBLEMLERİ

1. GİRİŞ

Daha önceki bölümlerde ele alınan problemlerde yükler ve uygulandığı cisimler statik

durumda idi. Hem sistem hareketsizdi yada ivmesiz bir hareketi vardı, hem de uygulanan

yükler sistem üzerine yavaşça uygulanıyor herhangi bir çarpma etkisi göstermiyor idi. Yük

aniden uygulanır veya zamanla değişen bir durum gösterirse kütle ve ivme kavramlarının

göz önüne alınması zorunluluğu ortaya çıkar. Bir katı cisim elastik olarak denge halinden

uzaklaştırılarak serbest bırakılırsa, yeniden denge haline dönünceye kadar bir titreşim

hareketi yapar. Cisim içinde hapsedilmiş olan şekil değiştirme enerjisi nedeniyle meydana

gelen ve periyodik olarak cereyan eden bu hareket serbest titreşim olarak adlandırılır.

Birim zamnda meydana gelen salınım hareketi de frekans olarak, salınım sırasında cismin

yaptığı en büyük deplasman hareketi de genlik olarak adlandırılır. Gerçek hayatta

sönümleme etkisi gösteren bir çok nedenle salınım zamanla yavaşlar ve cisim denge

halinde tekrar durur. Basit modellerde sönümleme etkisi ihmal edilir ve yapının dinamik

davranışı sönümsüz serbest titreşim durumunda incelenir. Bu bölümde mekanik sistemlerin

sönümsüz serbest titreşimleri üzerinde durularak özdeğer problemlerinin sonlu elemanlar

metoduyla modellenmesine bir giriş yapılacaktır.

2. ANALİTİK FORMÜLASYON

Herhangi bir yapıda kinetik enerji ile potansiyel enerji arasındaki fark Langrange olarak

isimlendirilir ve

L=T-Π (1)

olarak gösterilir. Rastgele alınmış bir t1-t2 zaman aralığında cismin hareket durumu

∫=2

1

t

tLdtI (2)


fonksiyonelini minimium veya maksimum değerini alır. Bu durum Hamilton prensibi

olarak adlandırılır. Eğer L genel değişkenler (q1, q2, q3,......,qn, dq1/dt, dq2/dt,.......dqn/dt)

cinsinden ifade edilebilirse, hareket denklemleri

niqL

qL

dtd

ii

.....10 ==∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

(3)

şeklinde yazılabilir. Prensibi bir örnek üzerinde inceleyelim. Şekildeki yay kütle sistemini

ele alalım. Kinetik ve potansiyel enerjiler,

k1

k2

m1

m2

x1, x1

x2, x2

2122

211

222

211 )(2/12/12/12/1 xxkxkxmxmT −+=+= Π&&

dir. L=T-Π olduğundan, hareket denklemleri

0)(

0)(

1222

..

222

122111

..

111

=−+=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=−++=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

xxkxmxL

xL

dtd

xxkxkxmxL

xL

dtd

&

&

olur. Matris formunda yazılırsa,

000

2

1

22

221

2

..

..

1

2

1 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

x

xkkkkk

x

xm

m

elde edilir. Bu da, [M] kütle matrisi, [K] rijitlik matrisi x ve x de deplasman ve ivme

vektörlerini göstermek üzere

[M] x +[K]x=0 ()

olarak yazılabilir.

2.1 Yayılmış Kütleli Katı Cisim Şekil 1 de verilen yayılmış kütleli katı cismi ele alalım. Potansiyel enerji için daha önce

gerekli ifadeler elde edilmiştir. Cisim için kinetik enerji ifadesi,

∫=v

T dvuuT ρ&&2/1 (4)

Bölüm 10-22


şeklinde yazılabilir. Burada ρ yoğunluk u ise u , v , w bileşenlerine sahip x

noktasının hız vektörüdür.

x

y

z

v,v

w,w

u,udV

Şekil 1 Yayılmış kütleli katı cisim, diferansiyel hacim üzerinde deplasman ve hız bileşenleri

Twvuu ],,[ &&&& = (5)

Sonlu eleman modelinde cisim belirli sayıda elemanlara bölünerek deplasmanlar düğüm

deplasmanları cinsinden ve şekil fonksiyonları yardımıyla,

u=[N]q (6)

şeklinde gösterildiğinden, dinamik analizde düğüm deplasmanları vektörü zamana bağlı

olarak değiştiğinden hız vektörü benzer şekilde,

u =[N]q

(7) olarak yazılabilir. Bunu kinetik enerji eşitliğinde yerine koyarak eleman bazında yazarsak,

[ ] [ ][ ] qdVNNqTe

TTe && ∫= ρ2/1 (8)

olur. Parantez içindeki ifade eleman kütle matrisini verir.

[ ] [ ] [ ]∫=e

Te dVNNm ρ (9)

Burada elde edilen matris yayılmış kütle matrisi olarak adlandırılır. Seçilen şekil

fonksiyonlarına bağlı olarak elde edilir. Daha sonra bahsedileceği üzere kütlenin

düğümlerde toplanmış olarak kabul edildiği yığılmış kütle matrisi de vardır. Kütle matrisi

daha önce gösterilen yöntemlerle toplanarak sistemin kütle matrisi elde edilir. Böylece,

Bölüm 10-33


∑∑ === ][2/1][2/1 QMQqmqTT eT

ee

&&&& (10)

elde edilir. Potansiyel enerji ifadesi daha önceden,

][2/1 FQQKQ TT −=Π (11) olarak elde edildiğinden, L eşitliği,

][2/1][2/1 FQQKQQMQL TTT +−= && (12) olarak elde edilir. Buradan hareket denklemi

[ ] [ ] FQKQM =+&& (13) olarak bulunur. Serbest titreşim durumunda yük yoktur. Bu nedenle hareket denklemi

[ ] [ ] 0=+ QKQM && (14) olarak indirgenebilir. Kararlı durumda denge halinden başlanarak deplasman ifadesini,

Q=Usin ωt (15) ile hesaplayabiliriz. Burada U, düğümlerin titreşim genliği, ω (rad/s)ise dairesel salınım

frekansıdır. Böylece,

[K]U=ω2[M]U (16)

elde edilir. Genel özdeğer problemi formülasyonu da,

[K]U=λ[M]U (17) şeklindedir. Burada U titreşim modunu temsil eden özvektör λ de buna karşılık gelen

özdeğerdir. Burada elde edilen eşitlikler sonlu elemanlarla modellemenin diğer temel

yöntemlerinden olan Galerkin yaklaşımı ve virtüel işler prensipleri ile de elde edilebileceği

gibi D’alambert prensibinin uygulanmasıyla da aynı sonuca ulaşılır.

3. ELEMAN KÜTLE MATRİSLERİ

Önceki bölümlerde çeşitli elemanlar için şekil fonksiyonları detaylı olarak incelenmiştir.

Burada yalnızca kütle matrislerinin elde edilmesi üzerinde durulacaktır. Yoğunluğun

eleman içinde sabit olduğunu kabul edersek kütle matrisi,

Bölüm 10-44


[ ] [ ] [ ]∫=

e

Te dVNNm ρ (18)

olur. Çubuk eleman için q=[q1,q2]T ve [N]=[N1,N2] ve şekil fonksiyonları da,

21,

21

21rNrN +

=−

= (19)

olduğundan, kütle matrisi,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

== ∫∫ −

2112

6

21

1

ee

Tee

e

Te

lA

drNNlA

dxNNm

ρ

ρρ

(20)

olur. Kafes elemanında ise her düğümde iki serbestlik derecesi olduğundan deplasman vektörünün 4 bileşeni olur.

q=[q1,q2, q3,q4]T

(21)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

21

2100

00][ NNNNN

Şekil fonksiyonları çubuk elemanla aynı olduğundan gerekli işlemler yapıldığında kütle

matrisi,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2010020110200102

6eelA

emρ

(22)

olarak elde edilir. Kiriş elemanında Hermite şekil fonksiyonlarının kullanıldığı daha önce gösterilmişti. Bu

durumda kiriş eleman kütle matrisi,

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

== ∫−

2

221

1

4221563134135422156

4202e

e

eee

ee

eeTeee

lsiml

lllll

lAdrHH

lAm

ρρ (23)

dir.

Bölüm 10-55


Düzlem çerçeve elemanında eleman matrislerinin yerel koordinatlarda kiriş ve çubuk

elemanın toplanmasıyla oluştuğu gösterilmişti. Bu durumda yerel koordinatlardaki kütle

matrisi, 420

,6

eeee lAb

lAa

ρρ== şeklindeki bir tanımlamayla,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

blsimblb

ablblblblbblb

aa

lAm

e

e

eee

ee

eee

2

22

42215600231304135402215600002

420ρ

(24)

elde edilir. Buradan genel koordinatlardaki kütle matrisi transformasyon matrisleri

vasıtasıyla,

[ ] [ ][ ] [ ]LmLm ee

'= (25) olur. Şabit şekil değiştirmeli üçgen elemanın şekil fonksiyonları, N1=r, N2=s, N3=1-r-s olarak

verilmektedir. Eleman şekil fonksiyonları matrisi ise,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

3

3

21

210

000

00][ NN

NNNNN (26)

dir. Buradan eleman kalınlığını sabit alarak integral alındığında

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

202102010210102010102

12

sim

Atm ee

eρ

(27)

elde edilir.

Eksenel simetrik üçgen elemanda deplasman bileşenleri eksenel ve radyal deplasmanlar

olmak üzere u ve w olarak gösterilir. Bunun dışında düğüm deplasmanları vektörü ve şekil

fonksiyonları üçgen elemanla aynıdır. Bu durumda hacimsel integral,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫∫ ==e

T

e

Te rdANNdVNNm πρρ 2 (28)

olarak yazılabilir. r=N1r1+ N2r2+ N3r3 alınırsa,

Bölüm 10-66


[ ] [ ] [ ]∫ ++=e

T332211e rdANN )rN rN r(Nm πρ2 (29)

elde edilir. Diğer taraftan ..

olduğundan integrasyon sonunda kütle matrisi, ∫∫∫ ===eee

AedANNNAedANNAedAN ,60/,30/,10/ 32122

131

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

−+−+

−−+−−+

=

rrsimrr

rrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

Am e

e

202

2020202

20202020202

10

334

334

131

234

131

234

231

331

134

231

331

134

πρ (30)

elde edilir. Burada r , ağırlık merkezinden geçen çemberin yarıçapıdır. Dörtgen eleman için hem düzlem gerilme hem de düzlem şekil değiştirme durumunda

deplasman bileşenleri u ve v dir. Düğüm deplasmanları vektörünün 8 elemanı vardır.

Eleman şekil fonksiyonları matrisi ise,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

4

4

3

3

21

210

00

000

00][ NN

NN

NNNNN (31)

şeklinde yazılır. Bu durumda eleman kütle matrisi,

[ ] [ ] [ ]∫=e

Tee jdrdsNNtm detρ (32)

şeklindedir. Bu integrasyon nümerik olarak yapıldığında eleman kütle matrisi elde edilir. Eksenel simetrik dörtgen elemanda ise

[ ] [ ] [ ]∫=e

Te jdrdsNNrm det2πρ (33)

şeklindedir. Üçgen prizmatik eleman için her düğümde üç serbestlik derecesi (u=[u,v,w])

olduğundan eleman şekil fonksiyonları matrisi

[ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

43

43

43

21

21

21

000000000000

000000000000

NNNN

NN

NNNN

NNN (34)

şeklindedir. Buradan alınan integrasyon ile,

Bölüm 10-77


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

20200210020100001010010100

2020021002

0010000110000100

0100001010010100

2020021002

20

sim

Vm e

eρ (35)

elde edilir. Lump Kütle Matrisleri: Buraya kadar verilen yayılmış kütle matrislerinin dışında eleman

kütlesinin düğümlere eşit olarak dağıtılmasıyla oluşturulan lump kütle matrisleri de

pratikte kullanılmaktadır. Burada kütle yalnızca ötelenme serbestlik derecelerine göre

hesaplanır. Kafes eleman için kütle matrisi,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1010010001

2sim

lAm ee

eρ (36)

şeklindedir. Kiriş elemanı için ise,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0010000001

2sim

lAm ee

eρ (37)

dır. Konsistent kütle matrisleri daha doğru sonuçlar verir. Buna karşılık lump matrislerde

yalnızca diyagonal üzerinde değerler olduğundan hesap yapmak daha kolaydır. Lump

matrisle elde edilen özdeğerler gerçek özdeğerlerden daha küçüktür.

4. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLERİN ELDE EDİLMESİ

Serbest titreşim probleminde esas amaç titreşimin özdeğeri olan λ (=ω2) yi elde etmektir.

Bununla beraber λ nın elde edilmesiyle titreşim modunun bir göstergesi olan özvektörler

de elde edilir. Daha önce verildiği şekilde özdeğer problemi

[K]U=λ[M]U (38)

Bölüm 10-88


şeklindedir. Burada hem rijitlik hem de kütle matrisleri simetrik matrisler olup, uygun sınır

şartları altında denklem sistemi pozitif tanımlıdır.

4.1 Özvektörün Özellikleri

Pozitif tanımlı, nxn boyutlarındaki simetrik bir rijitlik matrisi için n adet gerçek özdeğer ve

bunlara karşılık gelen n adet özvektör vardır. Özdeğerler büyükten küçüğe doğru,

nλλλ .......0 11 ≤≤≤ (39)

şeklinde sıralanabilir. Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler U1,U2,.....Un, ise,

özdeğer eşitliği

[K]Ui=λι[M]Ui (40)

olarak yazılabilir. Özvektörler kütle ve rijitlik matrislerine göre ortogonaldir. Yani:

i≠j ise UiT[M]Uj=0, UiT[K]Uj=0 (41)

dır. Özdeğerin boyu genel olarak normaliz edilmiş olup,

UiT[M]Ui=1 (42) dir. Bu normalizasyon da,

UiT[K]Ui=λi (43) eşitliğini verir.Özvektörün boyu önceden tesbit edilmiş bir değerle sabitlenebilir.

4.2 Özdeğer ve Özvektörlerin Hesabı Özdeğer ve özvektörlerin hesabında genel olarak üç yol izlenir, 1. Karakteristik Polinom Yöntemi

2. Vektör iterasyon yötemi

3. Transformasyon yöntemi

Burada sırasıyla bu yöntemler gösterilecektir. Karakteristik polinom Yöntemi: [K]U=λ[M]U denkleminden

([K]-λ[M])U=0 (44) denklemi elde edilir. Sistemin sıfır çözümden başka bir çözümünün bulunabilmesi için

Bölüm 10-99


det ([K]-λ[M])=0 (45) olmalıdır. Bu şartı sağlayan değerlere sistemin karakteristik polinomu denir. Örnek: Şekilde verilen kademeli mil için özdeğer ve özvektörleri bulunuz. (E=30x106 N/cm2, ρ=7.324 N/cm3, A1=1 cm2, l1=10 cm, A2=0.5 cm2, l2=5 cm)

Çözüm: Q2 ve Q3 serbestlik derecelerini dikkate alarak gerekli kütle ve rijitlik matrislerini yazarak denklem sistemini oluşturalım

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

3

2

2222

222211

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

)(26 U

UlAlAlAlAlA

UU

lA

lA

lA

lA

lA

Eρ

λ

değerleri yerine koyarsak,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

− −

3

24

3

2655.25.2251022.11.01.0

1.02.01030 UUxU

Ux λ

olur. Karakteristik denklem ise,

0)101.6103()1005.3103(

)1005.3103()105.30106(det 4646

4646=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−−−

−−

−−

λλλλ

xxxxxxxx

dir. Sadeleştirildiğinde ise, elde edilir. Buradan özdeğerler, λ

010910465.11077.1 12426 =+−− xxx λλ

1=6.684 x108 ve λ2=7.61x109 olarak hesaplanır. λ1 için özvektör

Q1 Q2 Q3

Mod 1

Mod 2

u

1 2 3

([K]-λ[M])U1=0 eşitliğinden,

]236.1,[,204.396.3,0592.224.324.396.310 32132

3

26 UUUUUUU T ===

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−

elde edilir. Görüldüğü gibi vektör bileşenleri bağımlı olarak elde edilmiştir. Bu durumda, Normalizasyon için, U1

T[M]U1=1 yazılarak, U1

T =[14.527 17.956] elde edilir. Benzer şekilde diğer özvektör, U2

T =[11.572 -37.45] olarak bulunur. Titresim modları şekilde verilmiştir. Bu yöntemin bilgisayar uygulaması zordur ve daha fazla işlem gerektirmektedir. Verilecek

diğer yöntemler bu açıdan daha avantajlıdır.

Vektör İterasyon Yöntemi: Çeşitli vektör iterasyon yöntemleri vardır. Bunlardan birçoğu

Rayleigh Bölmesi yöntemini kullanır. Ele aldığımız genel serbest titreşim problemi için

Rayleigh Bölmesi

Bölüm 10-1010


[ ] [ ] vMv

vKvvQ T

T

=)( (46)

şeklinde verilir. Burada v rastgele alınmış bir vektördür. Rayleigh Bölmesinden elde

edilen değerin temel özelliği sistemin en büyük ve en küçük özdeğerlerinin arasında

bulunmasıdır.

λ1≤Q(v) ≤λn (47)

Bu yöntem kuvvet iterasyonu, ters iterasyon ve ters yerleştirme iterasyonlarında

kullanılmaktadır. Kuvvet iterasyon yönteminde en büyük özdeğer elde edilir. Ters

yerleştirme yöntemi büyük sistemler için uygun bir yöntemdir. Ters iterasyon yönteminde

ise en küçük özdeğer elde edilir. Burada ters iterasyon yöntemi izah edilecektir.

Ters iterasyon yönteminde bir başlangıç deneme vektörü seçildikten sonra döngü k=0

alınarak başlatılır.Bundan sonra

k=k+1 vk-1=[M]uk-1 hesaplanır [K]u’k=vk-1 çözülür

v’k=[M]u’k yazılır, λk=(u’kTvk-1)/ (u’kTvk) özdeğeri bulunur. uk=u’k)/ (u’kTvk)1/2 özvektör normalize edilir. (λk-λk-1)/ λk≤tolerans kontrol edilir. tolerans sağlandı ise U=uk olarak özvektör elde edilir

sağlanmadı ise başa dönülür. Eğer deneme özvektörü olarak seçilen vektör özvektörlerden biri değil ise bu prosedürden

en küçük özdeğer elde edilir. Diğer ödeğerler rijitlik matrisinin ötelenmesi yoluyla yada

deneme vektörlerinin kütle matrisinin ortogonal vektörlerinden seçilmesi yoluyla elde

edilebilir. Bu konular için uygun nümerik analiz kitaplarına başvurulmalıdır.

Örnek: Şekildeki kiriş için en küçük özdeğeri ve buna karşılık gelen özvektörü bulunuz.

E=200 GPa, r=7800 kg/m3, I=2000 mm4, A=240 mm21 2 3

600 mm

v=0.64w=3.65 v=0.1.9

w=4.33

Çözüm: İki elemanlı bir model oluşturalım. Eliminasyon yaklaşımına göre yalnızca 2 ve 3 düğümlerini dikkate alarak sistem matrislerini elde edebiliriz.

Bölüm 10-1111


[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

0005.0009.021.0

0004.0005.0001.0005.007.0042.0

,

3.57.268.177

7.27.267.107.268.17706.355

sim

M

sim

K

buradan uygun bir bilgisayar programıyla (bir çok nümerik analiz kitabında verilmiştir.) en küçük özdeğer λ1=20300 olarak elde edilir. Buna karşılık gelen özvektör ise, U=[0.64, 3.65, 1.9, 4.33]T dir. Bu öz vektörün oluşturduğu titreşim modu şekilde verilmiştir. Transformasyon Yöntemleri: Bu yöntemde temel amaç matrisleri daha basit hale

getirerek özdeğerlerin elde edilmesidir. İki temel yöntem kullanılır. Bunlar genelleştirilmiş

Jakobi yöntemi ile QR yöntemleridir. Büyük ölçekli problemler için daha uygun olan bu

metodlardan QR metodu matrislerin üst veya alt üçgen matris haline getirilmesi, Jakobi

metodu ise matrislerin diyagonal haline getirilmesi esasına dayanmaktadır. Bu metodlarda

bant matris yerine matrislerin tamamı kullanılır ve sonuçta bütün özdeğerler birlikte elde

edilir. Burada Jakobi yönteminden bahsedilecektir. İlgili okuyucular daha geniş bilgi için

Nümerik Analiz kitaplarına bakmalıdırlar.

Sistemin bütün özdeğerlerinin U kare matrisinin sütunları olduğunu ve özdeğerlerinin de A

kare matrisinin diyagonaline yerleştiğini kabul edelim. Bu durumda genel özdeğer

problemi,

[K]U=[M]UA (48)

olarak yazılabilir. Burada

U=[U1, U2, ....., Un] ve A= (49) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nλ

λλ

0...

02

1

şeklindedir. Özvektörlerin ortonormalliğini kullanısak,

UT[K]U=A ve UT[K]U=I (50) Elde edilir. I birim matristir. Genelleştirilmiş Jakobi Yöntemi: Bu yöntemde P1, P2, ...., Pl şeklindeki transformasyonlar

P=P1.P2. ....... Pl (51)

Bölüm 10-1212


çarpımını veriyorsa ve PT[K]P ve PT[M]P çarpımlarının diyagonal dışındaki terimleri sıfır

olacaktır. Prtaikte bu değerler belli bir tolerans aralığında kabul edilebilir. Bu diyagonal

matrisleri [K]’ ve [M’] ile gösterirsek özvektörler için,

U=([M]’)-1/2P ve A=([M]’)-1[K]’ (52) Yazılabilir. Burada ([M]’)-1 ve ([M]’)-1/2

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−

−

−

−

−

−

−

2/1'

2/1'22

2/1'11

2/1

1'

1'22

1'11

1

0...

0

)'(,

0...

0

)'(

nnnn M

MM

M

M

MM

M (53)

(52) de P nin her bir satırının [M]’ nün diyagonal elemanlarının kareköküne bölüneceği,

[K]’ nün diyagonal elemanlarının ise [M]’ nün diyagonal elemanlarına bölüneceği görülür.

Diyagonalleştirme işlemi bir çok adımdan oluşur. Örneğin k ıncı adımda Pk şeklinde bir

transformasyon matrisi seçilir. Bu da

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11

11

11

β

α

j

iP

ji

k

(55)

şeklinde olabilir. Görüldüğü gibi seçilen transformasyon matrisinin diyagonal elemanları 1,

i,j elemanı α ve j,i elemanı da β olup diğer bütün elemanları 0 dır. α ve β değerleri

PkT[K]P ve Pk

T[M]P çarpımlarının i,j elemanları sıfır olacak şekilde seçilir. Yani,

0)1(0)1( =+++=+++ jjijiijjijii MMMKKK βαβαβαβα (56)

olmalıdır. Bu denklemlerin çözümü için aşağıdaki prosedür izlenir:

jjiijjiiijjjijjjijiiijii KMMKCKMMKBKMMKA −=−=−=

biriherhangierdenYukardakilBAKK

B

KK

A

BA

AABCCBveA

ii

ij

ii

ij

→==

−==→=

=−=→=

−=

++−=→≠≠

0

,00

0,0

,4/12/1002

βα

βα

αβα

(57)

Bölüm 10-1313


Diyagonalleştirme işleminde prensip olarak matrislerin belirli bir elemanının

sıfırlanmasıyla başlanıp bir sıra takip edilir. Örnek olarak nxn boyutlu bir matriste 1,n

elemanından başlanarak 1,n-1; 2,n; 1,n-2; 2,n-1; 3,n .... şeklinde bir sıra izlenebilir. Bir

kere sıfırlanan bir eleman için yeni bir işlem yapmaya gerek yoktur. Sıfırlama işleminde

rijitlik matrisi için diyagonal üzerindeki en küçük elemanın 106 katı, kütle matrisi için de

yine diyagonal üzerindeki elemanın 106 da biri alınabilir. Daha hassas değerler elde etmek

için rakamların büyültülmesi de mümkündür. İşlem diyagonal dışındaki bütün elemanların

toleransdan küçük olmasına kadar devam ettirilir.

Örnek: Daha önce verilen örnekteki çubuk için diğer öz değer ve özvektörleri de hesaplayınız. 1 2 3

600 mm

u

1234

Çözüm: Uygun bir program yazıldıktan veya nümerik analiz kitaplarından elde edildikten sonra, özdeğerler ve özvektörler, λ1=20304 U1=[0.64, 3.65, 1.88, 4.32]T

λ2=809870 U2=[-1.37, 1.4, 1.9, 15.3]T

λ3=9265100 U3=[-0.2, 27.26, -2.12, -33.8]T

λ4=77974000 U4=[0.89, 30.9, 3.556, 119.2]T

şeklinde elde edilir. Bunlara karşılık gelen titreşim modları şekilde verilmiştir.

Böyle bir çubuk için en küçük kritik devir sayısı, λ1 den

dakikadevirxn /136155.920304260

===π

λ (58)

olarak hesaplanabilir.

Sistem üzerinde bulunan yayların rijitlikleri ilgili serbestlik derecesi dikkate alınarak

rijitlik matrisine, yükler ise noktasal kütleler olarak doğrudan kütle matrisine eklenebilir.

Bölüm 10-1414

ONBİRİNCİ BÖLÜM

ÖZEL KONULAR

1. ELASTO-PLASTİK GERİLME ANALİZİ

Buraya kadar ele aldığımız problemlerde malzeme davranışı σ=Eε ile verilen Hook

yasasına uygun olarak ele alınmıştır. Buna göre uygulanan yük kaldırıldığında eleman

başlangıç boyutlarına geri dönmektedir. Bu durum elastik davranış olarak da adlandırılır.

Malzeme lineer bir davranış göstermektedir. Oysa özellikle metalik malzemeler belli bir

yüklemeden sonra kalıcı bir şekilde (plastik) şekil değiştirmeye başlarlar. Plastik şekil

değişimine uğramış olan elemandan yükleme kaldırıldığında yalnızca eleastik uzamalar

kalkar, plastik uzamalar ise eleman üzerinde kalır. Plastik deformasyonun başlangıcı, bir

akma kriteri tarafından belirlenir ve akma sonrası deformasyon malzeme rijitliğinin

düşmesi ile ortaya çıkar.

Bu bölümde malzemenin elasto-plastik davranışını nümerik olarak modellenmesi üzerinde

durulacaktır. Bunun için çeşitli metodlar vardır. Genelde, a) Rijitlik matrisi metodu, b)

Başlangıç şekil değişimi metodu, c) Başlangıç gerilmesi metodu olarak adlandırılan üç

temel yöntem kullanılmaktadır.

Rijitlik matrisi değişimi metodu problem için en doğru yaklaşımı vermekle beraber plastik

deformasyon bölgesinde her iterasyon sonunda direngenlik matrisinin yeniden

hesaplanmasını gerektirir. Bu da problem çözme süresini uzatacağından düşük hızlı

bilgisayarlar için daha az tercih edilen bir yöntemdir.

Başlangıç şekil değişimi metodunda elastik olarak hesaplanmış gerilme için malzemenin

gerçek davranışına uygun bir elasto-plastik başlangıç şekil değiştirmesi aranır. Metot,

akma başladıktan sonra da mukavemet artışı devam eden malzemeler için


geliştirildiğinden, ε0’ın tanımlanamadığı ideal elasto-plastik malzeme gibi.durumlarda bu

metot kullanışsızdır.

Başlangıç gerilmesi metodu Zienkiewicz’in çalışmalarına dayanır ve elasto-plastik

problemlerin çözümü için en çok kullanılan metottur. Teori, tek boyutlu bir problemin

zorlanmasına dayanılarak anlatılmış, çok eksenli gerilme durumu için genelleştirilmiştir.

1.1 PLASTİSİTENİN MATEMATİK TEORİSİ

Plastisitenin matematik teorisi, elasto-plastik özellik gösteren malzemelerin gerilme şekil

değiştirme ilişkilerini izah etmekten ibarettir. Plastik davranışlar zamana bağlı olmayan

kalıcı şekil değiştirmelerle karekterize edilir. Bu şekil değiştirmeler malzemenin özelliğine

göre belli bir gerilme değerine ulaşıldıktan sonra meydana gelir. Elasto-plastik incelemenin

yapılabilmesi için şu üç şartın gerçekleşmesi gerekir.

1-Elastik şartlarda malzeme davranışını tarif etmek için gerilme ve şekil değiştirmeler

arasında lineer bir ilişki olmalıdır.

2-Plastik akmanın meydana geldiği noktada bir akma kriterinin göz önüne alınması

gerekir.

3-Akma başladıktan sonra gerilme ve şekil değiştirmeler arasında bir formülizasyona

ihtiyaç vardır.

Birinci durum, kitabın daha önceki bölümlerinde geniş olarak izah edilmiştir. Öte yandan, Hooke yasası tensör formunda şöyle ifade edilebilir.

[ ] klijklij C εσ = (1)

Burada σij ve εkl sırasıyla gerilme ve şekil değiştirme bileşenlerini ifade etmektedir.

[Cijkl] ise elastik sabitler tensörüdür. İzotropik bir malzeme için,

[Cijkl] = jkiljkikklij δµδδµδδλδ ++ (2)

şeklinde yazılabilir.burada λ ve µ Lame sabitleridir δ, Kroneker delta olarak adlandırılmaktadır ve

Bölüm 11-22


⎩⎨⎧

≠=

=ji0ji1

jiδ (3)

olarak verilir. Lame sabitleri ise, υ

µυυ

υλ−

=−+

=1211

EE ,))((

şeklindedir.

İkinci şart için, plastik deformasyonun başlangıcı her hangi bir akma kriterlerine göre

belirlenebilir. Malzemenin akması için gerekli olan gerilmenin σij her istikamet ve

yükleme şekli için değiştiği kabul ediliyorsa,

f(σij) = g(K) (4) bize akma denklemini verecektir. Burada f(σij) bir fonksiyon, g(K) ise deneysel olarak

belirlenen malzemenin plastik deformasyon katsayısı (K) nın bir fonksiyonunu ifade

etmektedir. Akma kriterleri koordinat sistemine bağlı değildir. Yalnızca gerilme

invaryantlarına bağlıdır. Bir malzemede sadece asal gerilmeler mevcutsa f(σ1,σ2,σ3)=g(K)

akma fonksiyonunu verecektir. Deneysel gözlemler plastik deformasyonun hidrostatik

basınçtan bağımsız olduğunu göstermiştir. Bu yüzden akma fonksiyonu invaryantlara bağlı

olarak,

f(I2.I3) = g(K) (5) şeklinde tanımlanabilir. I2 ve I3 deviatorik gerilmelerin ikinci ve üçüncü invaryantlarıdır

(Bkz Bölüm 8). Deviatorik gerilmeler,

σ'ij = σij – 1/3 δijσkk (6)

şeklinde ifade edilebilir. Malzemenin akmasıyla ilgili bir çok kriter ortaya konmuştur.

Metaller için en geçerli teoriler, Tresca ve Von-Misses akma teorileridir. Tresca kriteri

maksimum kayma gerilmesi belirli bir değere ulaştığında akmanın başladığı kabulu üzerine

kurulmuştur. Asal gerilmeler büyükten küçüğe doğru σ1, σ2, σ3 şelinde sıralanıyorsa,

Tresca ya göre,

σ1- σ3= σ0 (7)

olduğunda akma başlar. σ0 tek eksenli çekme deneyinden elde edilen akma sınırıdır. Von

Misses ise akmanın başlangıcı için

Bölüm 11-33


2

02

132

322

2121 σσσσσσσ =−+−+− ])()()[( (8)

eşitliğini vermektedir. Burada denklemin sol tarafı eşdeğer gerilme olarak da

adlandırılmaktadır.

Akmanın başlamasından sonra plastik şekil değiştirmenin derecesi, plastik deformasyonu

meydana getiren gerilmenin şiddetine bağlıdır. Bu, şekil değiştirme sertleşmesi (strain

hardening) olarak adlandırılır. Akma yüzeyi, plastik deformasyonun her derecesinde

değişeceği için ardarda gelen akma yüzeyleri çeşitli sebeplerden plastik şekil değiştirmeye

bağlıdır. Değişik durumlar Şekil 1’de izah edilmiştir. Şekil 1a’da tam plastik malzeme

davranışı gösterilmiştir. Plastikleşme derecesi ile akma gerilmesi bağımsızdır. Eğer bir

sonraki akma yüzeyleri önceki akma eğrisine göre üniform bir artış gösteriyorsa

Şekil.1b’de görüldüğü gibi şekil değiştirme sertleşmesi modeli izotropiktir. Diğer taraftan

bir sonraki akma yüzeyleri, şekil ve yönlenmeleri korur fakat gerilme uzayında yer

(konum) değiştirirlerse (Şekil 1c) bu mekanizma da kinematik sertleşme mekanizması

olarak adlandırılır.

Yükleme

Yükleme

Başlangıç akma yüzeyi

τ

σ

σ

τ

τ

σ

(a) Tam plastik malzemedavranışı

(b) İzotropik sertleşme davranışı

(c) Kinematik sertleşme davranışı

Geçerli akma yüzeyi

Başlangıç akma yüzeyi

Geçerli akma yüzeyi

Şekil 1. Akma yüzeyi plastik deformasyon ilişkisi

Bazı malzemelerde (toprak vb.) şekil değiştirme sertleşmesi yerine şekil değiştirme

yumuşaması meydana gelir. Plastik deformasyon arttıkça akma gerilmesi düşer. Bu yüzden

izotropik bir model için sırasıyla ilk akma eğrisi ile daha sonra meydana gelen akma

eğrileri birbiriyle çakışır. Akma sebebiyle lokal hasarlar oluşur ve akma yüzeyi hasar

Bölüm 11-44


kriteri olarak adlandırılır. Akma yüzeyindeki değişmeler akma gerilmesi fonksiyonu g'nin,

sertleşme parametresi K ile ifade edilmesi sonucu bulunur.

1.1.1 Elasto-Plastik Gerilme Şekil Değiştirme İlişkisi

Başlangıç akmasından sonra malzemenin davranışı kısmen elastik kısmen de plastiktir.

Malzemenin tamamının plastik deformasyonuna kadar toplam şekil değiştirme elastik ve

plastik bileşenlerden meydana gelir.

(dεij)t = (dεij)e + (dεij)p (9)

elastik şekil değiştirmenin artımı (1) deki gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin diferansiyel

ifadesiyle verilmiştir. Gerilmeleri deviarotik ve hidrostatik bileşenlere ayırarak plastik şekil

değiştirme artışı,

(dεij)p = kkijij dσδ

E)2(1

2d υ

υσ −

+′

(10)

şeklinde elde edilir. Gerilme artımıyla plastik şekil değiştirme bileşeni arasında bir ilişki

kurmak istenirse malzeme davranışı üzerinde bir kabul daha yapmak gerekir. Plastik

potansiyel (Q) olarak adlandırılan gerilme gradyanı ile plastik şekil değiştirme artımı

orantılı olmalıdır.

(dεij)p = dλ ji

Qδσδ (11)

Burada orantı sabiti olan dλ' ya plastik çarpan denir. (11) akmadan sonraki plastik şekil

değiştirmeyi gösterdiğinden akma şartı olarak adlandırılır. Q; I2 ve I3'ün fonksiyonu

olmalıdır. Her ne kadar f≡Q ise de bu durum için özel bir dönüştürme prensibi

geliştirilebilir. f ve Q her ikisi de I2 ve I3' nün fonksiyonu olduğundan birbirine denk kabul

edilebilir. Böyle bir kabul,

(dεij)p = dλ ijδσ

δf (12)

verir. Bu eşitliğe Normalite şartı denir. df/δσij akma yüzeyine dik bir vektör gösterir (Şekil

2). Temas noktası, dikkate alınan gerilme noktasıdır.

Bölüm 11-55


Plastik şekil değiştirme artımının akma yüzeyine dik bir vektör vermesi için n boyutlu uzay

vektörü oluşturması gerekir. f=I2 durumunda,

σ1

σ2

1σ∂∂f

2σ∂∂f

Akma Yüzeyi, f=g

ij

fσ∂∂

Şekil 2 Akma yüzeyi ve normal vektörü

∂

∂ σf

i j= '

ijij

Iσ

σ∂

=2 (13)

olur. Böylece, (dεij)p = dλσ'ij (14) olur. Buna Prandtl Reuss denklemi denir. Prandtl Reuss denklemi teorik çalışmalarda çok

geniş uygulama alanı bulmuştur. (12, 13, 14) denklemeleri kullanılarak tam artım

denklemi,

dεij = ij

ijijij

δσδfdλdσδ

E)2(1

2δσ'

+−

+υ

υ (15)

şeklinde yazılabilir.

1.2. ELASTO-PLASTİK PROBLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ

1.2.1 Bir Boyutlu İdeal Elasto-Plastik Problem

Bir boyutlu durumda gerekli malzeme parametreleri tek eksenli çekme deneyi ile belirlenir.

(Şekil 3.) idealize edilmiş gerilme şekil değiştirme eğrisini göstermektedir. Burada

malzeme davranışı çekme ve basmada aynı olarak kabul edilmiştir. Malzeme başlangıçta,

(akma gerilmesi olarak kabul edilen σy’ya ulaşıncaya kadar) Hook yasasına uygun olarak

Bölüm 11-66


şekil değiştirir. Kuvvetin daha fazla arttırılmasıyla malzemenin teğetsel modülü ET'ye

uygun olarak lineer bir deformasyon sertleşmesi gösterdiği farz edilmiştir. Akmadan sonra

bir yük artımı kabul edersek bu artımdan dolayı meydana gelen gerilme artması dσ ve buna

karşılık gelen şekil değiştirme de dε olmak üzere, şekil değiştirme elastik ve plastik

kısımlara ayrılabilir.

dε = dεe + dεp (16) Şekil değiştirme sertleşmesi parametresi (H') ise

H' = pd

dεσ (17)

şeklindedir. (16) ve (17) den,

dσ

Elasto-plastikdavranış,Eğim=ET

σ

ε

dε

dεpdεe

Elastik davranış,Eğim=E

Şekil 3 Bir boyutlu durumda lineer gerilme-şekil değiştirme ilişkisi

H' =

EE

Edd

dT

T

et −=

− 1εεσ (18)

elde edilir.

Bölüm 11-77


L boyunda ve kesit alanı A olan lineer bir bir çubuk eleman düşünelim. Bu elemana gittikçe

artan eksenel bir F kuvveti tatbik edelim. Meydana gelen uzama δ ise ve F/A akma

gerilmesinden küçükse malzemenin davranışı elastik olur ve direngenliği,

[k]e = L

EAF=

δ (19)

dir. Matris formunda ise,

[k]e = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1111

LEA (20)

şeklinde ifade edebilir. Kuvvet malzemede akma meydana gelinceye kadar arttırıldığında

meydana gelen dF artışı, dδ lik bir uzamaya sebep olur ve şekil değiştirme,

dε = L

dd pe εε + (21)

olarak ifade edilebilir. Kuvvet artışı ise,

dF = dσ.A = A.H'.dεp (22)

şeklinde yazılabilir. Malzemenin plastik bölgedeki davranışı için,

[k]ep = )/(

'.d. p

pdEdLHA

ddF

εσε

δ += (23)

veya

[k]ep = )'

1(HE

EL

EA+

− (24)

elde edilir. bunu matris formunda şöyle ifade edebiliriz:

[k]ep = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

−1111

)'

1(HE

EL

EA (25)

Burada ilk terim elastik rijitliği ikinci terim akma nedeni ile oluşan indirgenmiş rijitliği

gösterir. Eleman rijitlik matrisi sonlu elemanlar metodunda şöyle yazılabilir:

[k]e =∫ [B]T[D] [B]dV = A ∫ [B]T [D] [B] dx (26)

Bölüm 11-88


Bir boyutlu uygulamada [D]=E dir. Elastik rijitlik matrisi daha önce verilmiştir. Elesto-

plastik malzeme davranışında [D],

[D]ep = E( 1- 'HE

E+

) (27)

şeklinde ifade edilir. Tam plastik malzeme davranışı için başlangıç akma eşitliği (18)'den

H'=0 bulunur.

1.2.2 Şekil Değiştirme Sertleşmesi Lineer Olmayan İki Boyutlu Elosto-Plastik Problem

Gerilme-şekil değiştirme eğrisi Şekil 4'de verilen elosto-plastik bir malzeme düşünelim.

Akmaya noktasına kadar malzeme davranışı lineer elastiktir ve bir elastisite modülü (E) ile

uygunluk gösterir. Akmadan sonra ise malzeme eğrinin her noktasında değişen elasto-

plastik teğetsel modül (ET) ye uygun davranır. Bu durumda sertleşme-şekil değiştirme

hipotezi (K=f(K)) ni sağlayacak şekilde, uygulanan eşdeğer gerilme ifade edilebilir:

)(' pεσ H= (28) veya türevi alınarak,

)(' pHdd ε

εσ

= (29)

yazılır. Tek eksenli gerilme durumu için σ=σ1=σ2=σ3 olup, dolayısıyla eşdeğer gerilme (I2 ile orantılıdır.):

σ)σ''(23 1/2

ijij == σσ (30)

Bölüm 11-99


ε

σ

σ1

σ2

σ3

σ01

σ02

σ03

σs1

σs2

σs3

ε1ε2

ε3 εn

ε

σ

σYdεe dεp

dεEğim=E

Eğim=ET

(a) (b)

Şekil 4. Şekil değiştirme sertleşmesi lineer olmayan malzemede gerilme şekil değiştirme ilişkisi ve Newton-Rapson iterasyonu

Eğer yükleme yönünde şekil değiştirme artımı dεp ise (dεl)p=dεp ve plastik şekil

sıkıştırılamaz kabul edildiğinde paisson oranı 0.5 alınarak (dε2)p=-0.5dεp olur. Buna göre

eşdeğer eşdeğer plastik şekil değiştirme.

ppijpijp dd εεεε == 21

)'()')(32( (31)

olarak elde edilir. (30) ve (31) kullanılarak (29) denklemi:

dσdε

dσdε

1dεdε

dσdεdσ)ε(H'

etetpp

−=

−== (32)

elde edilir. Buradan,

EE

EH

T

T

−=

1' (33)

olur. Sertleşme fonksiyonu (H') tek eksenli çekme deneyi ile bulunur. Nümerik hesaplar

için (H')'nün önceden bulunması gerekir.

1.2.3 Elasto-Plastik Problemlerin Matris Formülasyonu

İlk olarak akma şartının gerçekleşip gerçekleşmediğine bakılır. Akma fonksiyonu

f(σ) = g(K) (34)

Bölüm 11-1010


ile verilmektedir. Burada σ gerilme vektörü, K sertleşme parametresi olmak üzere dK = σT dεp (35) şeklinde diferansiyel olarak tanımlanır. Akma yüzeyi denklemi ise, f(σ,K) = f(σ) – g(K) = 0 (36) şeklinde ifade edilebilir. Kısmî türevler alınırsa,

dF = 0=∂∂

+∂∂ dK

KFdF σ

σ (37)

veya kısa ifadesiyle,

aTdσ - Adλ = 0 (38) dır. Burada,

aT = ]xyyx

F.σF.

σF[

dσdF

τ∂∂

∂∂

∂∂

= (39)

ve

a= dKKF

∂∂

∂− .

λ1 (40)

dır. a akma vektörü olarak adlandırılır. Bu durumuda şekil değiştirmedeki değişim

dε = [D]-1 dσ + dεσ∂

∂F (41)

şeklinde elde edilir. Burada [D] elastik sabitler matrisidir. Her iki tarafı aT[D]=dDT

alınarak aTdσ ortadan kaldırılısa plastik çarpan,

dλ = ]][[

εddaaDaA D

TT+1 (42)

bulunur. Son iki denklemi birleştirirsek elosto-plastik artımlı gerilme değiştirme ilişkisi, dσ= [D]ep dε (43) şeklini alır. Burada,

Bölüm 11-1111


[D]ep = [D]

adA

ddT

TDD

+− , dD=[D]a (44)

Bu formül bir boyut için bulunanın yaklaşık aynısıdır. Tek eksenli durumda akma

gerilmesi kY == 13σσ olduğundan (39) ifadesi,

dKKσ

λ1dK

KF.

λ1A Y

∂∂

∂=

∂∂

∂= (45)

halini alır. σY yalnızca k'nın fonksiyonu olduğundan son terim tam diferansiyel olarak ele

alınabilir. Normalite şartı uygulanarak (39) ifadesi,

dK =σTdεp =σTdλa = dλaTσ (46) olur veya tek eksenli durumda σ=σ =σY ve dεp = d ε p olduğundan, dK =σY d ε p=dεaTσ (47) buradan da,

H'εd

dσεdσd

p

Y

p== (48)

bulunur. Euler'in homojen fonksiyonlar için tanımı kullanılırsa,

Yσσσf

=∂∂ (49)

yazılabilir veya aTσ = σY (50) (42), (44), (46) dan dλ = pdε ve A = H' elde edilir.

1.2.4 Elasto-plastik problemlerin nümerik çözümü

Malzeme lineer elastik davranış gösterdiği kabuluyle yapılan elastik gerilme hesabından

elde edilen gerilmelerin eşdeğeri her hangi bir akma kriterine göre (Von Mises) hesaplanır.

Hesaplanan gerilme malzemenin akma sınırını geçiyorsa malzemede elasto-plastik

gerilmeler meydana gelmiş demektir Bu durumda başlangıç gerilmesi yaklaşımı

Bölüm 11-1212


kullanılarak elasto-plastik gerilmeler ile iç gerilmelerin hesabı yapılabilir. Hesaplama

yöntemi Şekil 4 de verilmiştir.

Bu gerilme şekil değiştirme diyagramı eşdeğer σ-εt diyagramıdır. Eşdeğer gerilme (σe)

elastisite modülü E'ye bölünerek eşdeğer birim şekil değiştirme bulunur.

Ee

eσ

ε = (57)

Bu eşdeğer birim şekil değiştirme miktarı σ-εt diyagramına götürülerek elasto-plastik

gerilme miktarı, σs bulunur. iç gerilme( σo ) aşağıdaki eşitlikten

σ σ σ0 = −e s

(58) olarak hesaplanır. Artık gerilmeler tek eksenli değildir. Başlangıç gerilmesini vektörel

olarak gösterirsek,

σ σ σ τ0 0 0 0= x y xy, , (59) yazabiliriz. Buradan,

σ σσ

σ00

i ii

e i

= (60)

elde edilir. Burada i indisi ile gösterilen gerilmeler elastik olarak hesaplanan gerilme

bileşenleridir. Başlangıç gerilmesi de bu gerilmelerle orantılıdır. Bunun doğruluğu için

nin eşdeğerinin σ ye eşit olması gerekir. Yani σ 0i e σ σ0e = e olmalıdır. Bu durumda

yukarda verilen şekil üzerindeki gerilmeler en genel gerilme durumundaki eş değer

gerilmeleri verir.

Bundan sonra iterasyona başlanabilir. Lineer elastik hesaplanmış gerilme vektörü σ1 olsun.

Bunun eşdeğeri σ1e dır. σ-εt eğrisinden ε1 e karşılık gelen σs1 Newton Rapson

yöntemiyle bulunur. εσ

1 =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

e

E olduğuna göre,

101 se σσσ −= (61)

Bölüm 11-1313


elde edilir. Şekil 1’den,

σ σσσ01 1

01

1=

e (62)

σ σ σ2 1 0= + 1 (63) olduğu görülür. Bu ifadeyi genelleştirerek iç gerilme için,

σ σσσ0

0i i

i

ei= (64)

yazılabilir. Bu da

Eei

tsieiiσ

εσσσ =−= ,0 (65)

olarak gösterilebilir. Metalik malzemeler için çekme-uzama eğrisi denklemi, K sertleşme

katsayısı ve n de sertleşme üsteli olmak üzere, genel olarak

( )ntiYsi K εσσ += (66) şeklindedir. Buradan elasto-plastik gerilme σsi bulunabilir ve buna göre ikinci iterasyon

için başlangıç gerilmesi

σ σ σn+ = +1 1 0 n

dv

(67) olarak elde edilir. Burada iç gerilmeden dolayı oluşan kuvvet

[ ] P Biv

= ∫ σ0 (68)

olarak hesaplanır. Rijitlik matrisi bilinmektedir. Bu kuvvet etkisi altında tüm düğümlere ait

deplasmanlar hesaplanır. Bir önceki iterasyondaki deplasmanlar bilinmektedir. Bu ikisinin

farkı alınarak malzemenin tam plastik olduğu bölgeye ulaşıp ulaşmadığı kontrol edilir.

εn-εn-1=0 (69)

Bölüm 11-1414


Bu şart sağlanıyorsa çözüm bitmiştir. Bu şart sağlandığı durumdaki eşdeğer gerilme ile o

düğümde hesaplanan elasto-plastik gerilme farkı o düğüme ait iç gerilmeyi verecektir.

2. EĞILMEYE ÇALIŞAN LEVHA

Plak; kalınlığı diğer boyutlarına göre küçük olan düzgün levha olarak tanımlanır. Bu

levhanın düzgün veya eğrisel sınırları bulunabilir. Ankastre, basit ve serbest sınır şartlarına

sahip oldukları gibi elastik zeminler ve tekil mesnetler üzerinde de bulunabilirler. Plaklar

pratikte hafif ve ekonomik yapı üretimi için bir çok avantaja sahiptir. Eğilme levhaları,

membranlar, eğilebilir levhalar ve kalın levhalar gibi çeşitli kategorilerde

incelenmektedirler.

Plaklar mekanik açıdan çökme miktarına göre iki kategoride incelenmektedir. Küçük

çökmeli ve büyük çökmeli plaklar. Ayrıca elastik ve elasto plastik davranışa göre de farklı

inceleme alanları bulunmaktadır. Bu bölümde elastik davranış gösteren küçük çökmeli

plaklar konusuna giriş yapılacaktır.

Küçük çökme yapan plaklar için Kirchhoff tarafından geliştirilen teori aşağıdaki kabulleri

yapmaktadır:

1- Plak izotrop malzemeden yapılmış olup elastik ve homojen davranış gösterir.

2- Kalınlığı diğer boyutlarına göre küçüktür.

3- Çökmesi kalınlığının en fazla 1/50 si kadardır.

4- Başlangıçta tarafsız eksene dik olan çizgiler yüklemeden sonra da düz ve tarafsız

eksene dik kalırlar.

5- Tarafsız eksene dik yöndeki gerilmeler ihmal edilebilir seviyededir.

6- Tarafsız eksende düzlemde uygulanan kuvvetlerden dolayı meydana gelen şekil

değiştirme eğilme şekil değiştirmesi yanında ihmal edilebilir.

Plak elemanın dengesi için tarafsız eksen üzerine etki eden iç ve dış kuvvetler Şekil de

verilmiştir. Şekilde karışıklığı önlemek için (–) işaretli bileşenler çizilmemiştir. Deplasman

bileşenleri , ve w dır. Bu şartlar altındaki düşey yüklü levhanın tanım denklemi,

eğilme rijitliği,

u v

Bölüm 11-1515


D Et=−

3

212 1( )ν (70)

olmak üzere

( )D

yxPy

wyxw

xw z ,2 2

4

22

4

4

4=++

∂∂

∂∂∂

∂∂ (71)

ile verilmektedir. Buna göre oluşan momentler ve gerilmeler ise,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−= 2

2

2

2

21 yw

xwEz

x ∂∂ν

∂∂

νσ , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−= 2

2

2

2

21 xw

ywEz

y ∂∂ν

∂∂

νσ ,

yxwGxy ∂∂

∂=

2τ

(72)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

2

2

2

yw

xwDM x ∂

∂ν∂∂ , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

2

2

2

xw

ywDM y ∂

∂ν∂∂ , ( )

yxwDMM yxxy ∂∂

∂ν2

1−−==

Şekil 5. Tarafsız düzlem üzerindeki iç ve dış kuvvetler

olur. Deplasmanlar ise çökme cinsinden,

u z z wx

= = −υ ∂∂

v z wy

= − ∂∂

(73)

şeklindedir.

2.1 Sonlu Eleman Formülasyonu

Bölüm 11-1616


Bu bölümde hem düşey yük (z doğrultusunda) hemde kenarlardan etkiyen düzlem yükleri

(x ve y doğrultusunda) etkisindeki plak problemi analizine uygun bir eleman modeli

geliştirilecektir. Bu plak elemanında iki boyutlu problemlerde ele alınan deplasman

bileşenlerine ilaveten çökme ve iki adet de dönme bileşeni bulunmaktadır. Bu durumda

düğüm deplasman vektörü,

u=[u ,v, w, θx, θy]T (74)

dür (Şekil ). Görüldüğü gibi problem çerçeve elemandakine benzer şekilde bir düzlem

gerilme elemanı ve bir de eğilme elemanı tanımlanmasıyla modellenebilir durumdadır.

Düzlem gerilme elemanı daha önce verildiğinden burada yalnızca eğilme elemanı üzerinde

durulacaktır.

Düzlem gerilme elemanı için rijitlik matrisi,

[ ] dsJdrBDBtk T .det]][[][1

1

1

1∫ ∫− −

= (75)

idi. Burada Ni x, ve Ni y, Ni şekil fonksiyonlarının kısmi türevlerini göstermek üzere

yN

Nx

NN i

yii

xi ∂∂

∂∂

== ,, , (76)

[B] kısaca,

( 4,3,2,100

][,,

,

,=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= i

NNN

NB

xiyi

yi

xi) (77)

şeklinde yazılabilir. Elastisite matrisi ise,

Bölüm 11-1717


Şekil 6 Düzlem gerilme ve eğilme elemanları

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

2)1(00

0101

1 2 νν

ν

νEtD (78)

dir. Şekil fonksiyonları daha önce verildiği şekilde,

( )( iii ssrrN ++= 1141 ) i=1,2,3,4 (79)

dür. Eğilme elemanı için düğüm deplasman vektörü

[ ] ( 4,3,2,1,,3,2,1 =−== ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡i

xiw

yiw

iwiqiqiqiqT

T

∂

∂

∂

∂ ) (80)

Bölüm 11-1818


şeklindedir. Deplasman elemanlarının indisleri i i1 3 2= − , 132 −= ii , ve şeklinde

hesaplanır.

ii 33 =

xiw

iq∂

∂−=3 deki (-) işareti düğüm reaksiyonundaki işaret uygunluğu nedeniyle

konmuştur.

Deplasman fonksiyonu Lagranj polinomlarından kübik satırın tamamı ve 4. Satırdan iki

terim alınacak şekilde

3

123

113

102

92

83

72

652

4321 rscsrcscrscsrcrcscrscrcscrccw +++++++++++= (81) seçilir. Buradan şekil fonksiyonları,

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )( )sissrirr

rsririN

issrisiN

srsrsriN

==

++−=

=+−+−=

−−++++=

00

2010101

8

13

4,3,2,12010101

8

12

220020101

8

11

(82)

olur. İndisli ifadelerin yerine koordinat değerleri konulacaktır (si=±1, ri=±1). Şekil

fonksiyonları matrisi ise kısaca,

[ ] [ ]321N iNiNiNi = (83)

olarak yazılır.

Genelleştirilmiş şekil değiştirme tanımları vasıtasıyla lineer türev operatörünü,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=yxyx

q∂∂

∂

∂

∂

∂

∂ 22,2

2,2

2 (84)

yazabiliriz. Buradan genelleştirilmiş şekil değiştirme-yer değiştirme matrisi

( 4,3,2,1222

]N[][,3

,3

,3

,2,1

,2,1

,2,1=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== i

NNN

NNNNNN

qBxyi

yyi

xxi

xyixyi

yyiyyi

xxixxi

ib ) (85)

olarak yazılabilir. Buradan gerilmeler,

][]D[, , dB bexyyx == σσσσ (86)

Bölüm 11-1919


olur. Eğilme için elastisite matrisi ise,

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

2)1(00

0101

)1(12 2

3

νν

ν

νEtD e (87)

şeklindedir. Buradan eleman için eğilme rijitlik matrisi

[ ] ∫ ∫− −=

1

1

1

1 eb det][]D[][ JdrdsBBk Tb (88)

olarak elde edilir. Eleman rijitlik matrisi ise bu iki matris yardımıyla

[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

be k

kk 00 (89)

olarak bulunur. Eleman rijitlik matrisi her düğümde 5 serbestlik derecesi olduğundan

20x20 boyutlarındadır.

Burada hem düşey yüke hem de düzlemsel yüke maruz levha için eleman rijitlik matrisinin

elde edilişi kısaca anlatılmıştır. Bu tip elemanlar genellikle burkulma yüküne maruz

levhalar için kullanılmaktadır. Fakat burkulma yükünün elde edilmesi için ilaveten gerilme

rijitlik matrisi hesabı da gerekmektedir. İlgilenenler ayrıntılı bilgiyi referans kitaplardan

alabilirler.

3. KIRILMA MEKANİĞİ UYGULAMASI

3.1. Giriş

Ortam sıcaklığı, malzeme tokluğu, tasarımdan kaynaklanan çeşitli hatalar, kaynak, artık

gerilmeler ve yorulma gibi bir çok faktör makine elemanlarında ve yapılarda gevrek

kırılmaya neden olabilir. Bununla beraber herhangi bir elemanda gevrek kırılmaya neden

olarak üç temel faktör belirlenmiştir. Bunlar: malzeme tokluğu, çatlak büyüklüğü ve

gerilme seviyesidir. Kırılma mekaniğinin temel prensibi, keskin bir çatlak ucundaki

gerilme alanının K olarak tanımlanan bir parametreyle karakterize edilmesine

dayanmaktadır. K, gerilme yoğunluk (yığılma) faktörü olarak adlandırılır. Bu faktör

uygulanan gerilme (σ) ve çatlak boyutu (a) arasında bir ilişki kurulmasına yaramaktadır.

Buna göre çatlak içeren herhangi bir eleman yada deney numunesi aynen çatlaksız

Bölüm 11-2020


malzemelerin çeşitli gerilme seviyelerine (σ) kadar yüklenebilmeleri gibi çeşitli K

değerlerine kadar yüklenebilirler. K değeri böylece malzemenin bir özelliği olur.

Kırılma mekaniği, lineer elastik ve elastik-plastik kırılma mekaniği olarak temelde iki

grupta incelenir. Lineer eleastik kırılma mekaniğinin teorisi günümüze kadar oldukça iyi

bir şekilde ortaya konmuş ve elastik-plastik kırılma mekaniğinin de temellerini

oluşturmuştur. Çatlak veya çatlağa benzeyen süreksizlikler civarındaki gerilme durumu ile

elemana uygulanan ortalama gerilme, çatlak büyüklüğü, çatlağın geometrik durumu ve

malzeme özellikleri arasında analitik bir ilişki kurulması lineer elastik kırılma mekaniğinin

temel amacıdır.

Elastik cisimlerdeki gerilme analizi için kırılma mekaniği çatlak tiplerini üç kısma

ayırmıştır (Şekil 7). Mod I de deplasmanlar x-y ve x-z düzlemlerine göre simetrik olup

xy

z

Mod I

xy

z

Mod II

xy

zMod III

Şekil 7 Çatlak yüzey hareketinin üç temel şekli açılma modu olarak adlandırılır. Çatlağın karşılıklı yüzeyleri birbirine ters yönde hareket

ederler. Kayma modu olarak adlandırılan Mode II de ise deplasmanlar z-y düzlemine göre

simetrik x-z düzlemine göre ise vida simetrisine sahiptir. Yüzeyler ters yönde yanlara

doğru birbiri üzerinde kayarak hareket ederler. Mode III yırtılma modu olup her iki

düzleme göre vida simetrisine sahiptir. Yüzeyler çatlak ucu çizgisine paralel olarak hareket

ederler. Her çatlak modu farklı bir gerilme alanına karşılık gelmektedir. Eleman üzerinde

çatlak modları tek tek yada bu modların bir kombinasyonu olarak bulunurlar (Şekil 8).

Bölüm 11-2121


β

x

y

z2a

σ

σ

Şekil 8. İki modun birlikte olma hali ( acossinK,asinK III πββσπβσ == 2 )

3.2. Çatlak Civarında Gerilme Dağılımı Şekil 9 da verilen notasyona göre çatlak civarında meydana gelen gerilmeler,

değeğiştirşekilDüzlem)(

gerilmeDüzlemcoscossinr

K

sinsincosr

Ksinsincosr

K

yxz

zxy

yx

σσυσ

σθθθπ

τ

θθθπ

σθθθπ

σ

+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

02

3222

23

21

2223

21

22 (90)

şeklindedir. Görüldüğü gibi çatlak ucuna doğru yaklaştıkça gerilmeler çok büyük değer

almaktadır. r=0 için gerilme değeri sonsuz olur. Bu durum çatlak ucunda plastik

deformasyon bölgesi oluşması şeklinde yorumlanır. Kalın lavhalarda düzlem gerilme ve

düzlem şekil değiştirme dışında da σz gerilmeleri meydana gelirek üç boyutlu gerilme hali

oluşmasına neden olur.

Bölüm 11-2222


σy

σxσx

σy

τxy

σz

x

y

z

θ

r

Şekil 9 Çatlak civarında gerilmeler

Çatlak bulunan bir elemandaki kırılma ile ilgili temeller Griffith tarafından ortaya

konmuştur. Griffith’in ortaya koyduğu bu sisteme göre, elastik bir malzemede bir çatlak

oluşması veya büyümesi için dış kuvvetlerin yaptığı iş ve depolanan elastik enerjinin

toplamından oluşan cismin potansiyel enerjisindeki azalma ile cismin yüzey enerjisindeki

artma arasında bir denge kurulması gerekmektedir. Yüzey enerjisi ifadesi Griffith

tarafından

Eas

sπσγ =2 (91)

ile verilmektedir. Bu ifade plastik deformasyonu göz önüne almadığından daha sonra

Orowan tarafından plastik deformasyon enerjisini de dikkate alacak şekilde

Ea)(

s

psπσγγ =+2 (92)

olarak düzeltilmiştir. Daha sonra Irwin tarafından enerjinin çatlak boyu ile değişimini ifade

eden Enerji Salıverme Oranı (G= a/U ∂∂ U=potansiyel enerji) tanımlanmış ve bunun

yukardaki eşitliğin sol tarafına eşit olduğu ispatlanmıştır. Buna göre keskin uçlu çatlak

bulunan numuneler için G değeri bir malzeme parametresi olarak kullanılabilir ve kritik bir

değerden sonra çatlak kontrolsüz olarak büyümeye başlar.

Daha sonra Rice tarafından elasto-plastik bölge için J integral adında bir parametre

tanımlanmıştır. Bu tanımlamaya göre bütün özellikleri aynı fakat çatlak boylarında küçük

Bölüm 11-2323


bir farklılık bulunan iki elemanın enerjileri arasındaki fark çatlak büyüesi için bir

karşılaştırma parametresi olarak kullanılabilir. J integral

a)B/U(J

∂∂

= (93)

olarak tanımlanmaktadır. B eleman kalınlığı olup, J integral değerinin elastik bölgede G

değeriyle aynı sonucu verdiği gösterilmiştir.

3.3. Sonlu Eleman Formülasyonu

J integrali diğer taraftan elastik plastik bir malzeme için iki boyutlu bir şekil değişimi

alanında

∫ −=Γ

∂σ ds

dxu

nWdyJ iiji (94)

şelinde bir çizgisel integral olarak tanımlanmaktadır. Burada Γ çatlağın alt yüzeyinden

başlayıp üst yüzeyinde tamamlanan herhangi bir eğriyi göstermektedir. Şekil 10’da

görüldüğü gibi, n bu eğrinin normalinin birim vektörünü, şekil değiştirme

enerjisini, u deplasmanları, ds de eğri üzerindeki diferansiyel elemanı göstermektedir.

İntegral, düz, yüzey gerilmesi olmayan ve malzeme arayüzeylerinin çatlağa paralel olduğu

durumlarda yoldan bağımsızdır.

ijij dW εσε

∫=0

J integrali aynı sınır şartlarına ve yüklemeye sahip eş yapıların artımlı çatlak boyuna sahip

olmaları durumu için potansiyel enerji farkı olarak hesaplanmaktadır. Bu yaklaşım

x

y

n

Γ

Şekil 10 J integral hesabı için kullanılan tipik eğri

Bölüm 11-2424


nümerik hesaplamalar ve sonlu eleman analizleri için uygun bir araç oluşturmaktadır.

Ayrıca nonlineer malzeme davranışı ve elasto-plastik kırılma mekaniği uygulamaları için

de uygundur.

Daha önce de verildiği gibi herhangi bir cisimdeki toplam potansiyel enerji

[ ] FqqKq TT −=21Π (95)

şeklinde hesaplanmaktadır. Burada qdeplasman vektörünü, F yükleri, [K] da rijitlik

matrisini göstermektedir. Düğüm deplasman değerleri potansiyel enerjinin minimizasyonu

ile,

[ ] 0=−= FqKq∂

Π∂ (96)

şeklinde hesaplanır. a boyunda bir çatlak için enerji salıverme oranı potansiyel enerji

ifadesinin çatlak boyuna göre türevinden ibarettir. Bu da,

aG

∂−=

Π∂ (97)

şeklinde gösterilebilir. Lineer elastik durumiçin G=J olduğundan potansiyel enerji

teriminim türevi alındığında

[ ] [ ] FqKaq

aFqq

aKq

aJ

TTT −−+−=−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂Π∂

21 (98)

elde edilir. Minimizasyondan elde edilen eşitlikle birleştirildiğinde ise,

[ ] aFqq

aKqJ TT

∂∂

∂∂

+−=21 (99)

olur. Türevler sonlu farklar yöntemiyle ifade edildiğinde,

[ ] [ ] [ ]( ) ( )aaa

aaa

FFaa

FKK

aaK

−=

−=

+

+

∆

∆

∆∂∂

∆∂∂

1

1

(100)

Bölüm 11-2525


elde edilir. Burada ∆a çatlak boyunda meydana gelen küçük bir artışı, [K]a ve [K]a+∆a ise

sırasıyla a ve a+∆a boyutlarında çatlağa sahip olan çözüm bölgesi için genel rijitlik

matrisini göstermektedir.

Genel olarak Virtüel Çatlak İlerlemesi olarak adlandırılan bu yöntem sonlu elemanlarla J

integrali hesabı için oldukça basit bir yol ortaya koymaktadır. Metod şu şekilde

uygulanmaktadır. Öncelikle çatlaklı yapı deplasmanları q elde edecek şekilde klasik

yoldan çözülmekte, daha sonra çatlak boyuna küçük bir artım verilerek yeni bir çözüm elde

edilmektedir. İkinci çözüm için iki yöntem önerilmektedir. Bunlardan birinde çatlak

ilerlemesi çatlak ucu civarındaki bir halkayı oluşturan elemanların rijit bir şekilde hareket

ettirilmesi şeklinde yapılmaktadır. Buna göre yalnızca halkayı oluşturan elemanlar şekil

değiştirmektedir. Örnek bir eleman halkası Şekil 11 deki taralı elemanlar olarak verilmiştir.

Bu durumda şekil değiştiren halka dışındaki bütün elemanlar aynı kalmakta ve ikinci hesap

yalnızca bu halkayı oluşturan elemanlar için yapılmaktadır. Dışardaki elemanlar için

[ ] 0=aK ∂∂ olmaktadır. Denklemlerde verilen çarpma işlemleri de küçük matris ve

vektörlerle halledilmiş olmaktadır. Diğer yöntemde ise, çatlak ucuna karşılık gelen

düğümün koordinatları çatlak boyunda küçük artışa sebeb olacak şekilde ilerletilmektedir.

Bu durumda rijitliği değişen elemanlar yalnızca bu düğüme sahip olan elemanlar

olmaktadır. Bu ikinci yöntem daha kolay olmakla beraber çatlak ucunda plastik

deformasyon oluşan yükleme durumlarında uygulanamaz.

a

Şekil 11 J integral hesabında kullanılan eleman halkası

Bölüm 11-2626


3.4. Çatlak Civarında Kullanılan Elemanlar

(90) denkleminde görüldüğü gibi çatlak civarındaki gerilmelerde r

1=σ şeklinde bir

dağılım bulunmaktadır. Bu durum özellikle çatlak ucuyla temas eden elemanlarda bazı

düzenlemeler yapılmasını zorunlu hale getirmiştir. Bu amaçla 8 düğümlü dörtgen elemanın

ara düğümü şekil 12 de verildiği gibi yer değiştirerek kullanılmaktadır. Bu durum verilen

gerilme dağılımına daha uygun şekil fonksiyonu elde edilmesini sağlamaktadır. Bu

elemana çeyrek nokta düğümlü eleman denir.

Bu eleman için örneğin 1-2 doğrusu boyunca x-r koordinat dönüşümü şekil fonksiyonları

yardımıyla,

x= 1/2r(1-r)x1+1/2r(1+r)x2+(1-r2)x5 (101)

şeklindedir. Buradan koordinat değerleri (0, a/4, a) yerlerine konduğunda

axr 21±−= (102)

elde edilir. Türev ise,

axrx

=∂∂ (103)

s

r

4

5 2

6

37

1

8

a

0.75a0.25a

a0.75b

0.25bx

y

Şekil 12 Orta düğümü değişmiş 8 düğümlü dörtgen eleman

Bölüm 11-2727


olur. Bu durumda deplasman ifadesi

521 4211120 uax

axu

ax

axu

ax

ax),x(u ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= (104)

olur. Şekil değişimi ise,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∂∂

521 212412143

2110 u

axu

axu

ax

axx),x(u (105)

olarak elde edilir. Görüldüğü gibi x sıfıra yaklaşırken şekil değişimi koordinatın karekökü

ile ters orantılı olarak artmaktadır. Bu da tekillik için aranan modelin bulunduğu anlamına

gelir. Benzer yolla s için ve iki boyutlu durum için de eşitlikler elde edilebilir.

Dört düğümlü elemanlarla kullanılmak üzere geliştirilen bir üçgen eleman ise şekil 13 te

verilmiştir. Bu eleman için şekil fonksiyonları

N1=1/2 (1-r) N2=1/4 (1+r)(s2-s)

(106) N3=1/4 (1+r)(s2+s) N4=1/2 (1+r)(1−s2)

Şeklindedir. 4 numaralı düğümün koordinatı değiştirildiğinde tekilğin bu elemanla da

modellenebilir olduğu görülecektir.

x

y

2

3

1

4

1 2

3

4

(-1,-1) (1,-1)

(1,1)

(a) (b)

r

s

Şekil 13 Dört düğümlü üçgen eleman

Bölüm 11-2828

ONİKİNCİ BÖLÜM

İKİ BOYUTLU PROBLEMLER İÇİN SONLU ELEMANLAR AĞI OLUŞTURULMASI

1. GİRİŞ

Sonlu elemanlar metodunun temel prensibi,öncelikle bir elemana ait sistem özelliklerini

içeren denklemlerin çıkartılıp tüm sistemi temsil edecek şekilde eleman denklemlerini

birleştirerek sisteme ait lineer denklem takımının elde edilmesi olduğu daha önceki

bölümlerde anlatılmıştı. Yöntemde genel olarak kullanılan üç temel basamak vardır.

Bunlar; hazırlık işlemleri (preprosesing),çözüm (prosesing) ve değerlendirme işlemleri

(postprosesing) olarak sıralanabilir. Hazırlık işlemleri,düğüm koordinatları,elemanların

birbirleri arasındaki süreklilik,sınır şartları yükler ve malzeme bilgileri ile ilgili dataların

hazırlanması safhasıdır. Çözüm safhası, problemin özelliğine göre gerekli hesaplamaların

yapılarak çözümlerin elde edilmesini,değerlendirme safhası ise, elde edilen alan

değişkenlerinin grafik çizimi (gerilme,sıcaklık hız dağılımı vs),deforme şekillerin elde

edilmesi,değişkenlerin çözüm bölgesindeki dağılımlarının görsel olarak elde edilmesini

içermektedir.

Ön ve son işlemler sonlu elemanlar metodunda önemli bir ağırlığı vardır. Bu nedenle

özellikle sonlu eleman ağ bilgilerinin (düğüm koordinatları ve eleman sürekliliği) otomatik

olarak hazırlanması büyük öneme sahiptir. Çoğu zaman problemin doğru ve yeterince

hassas çözümünün elde edilmesi için bir çok değişik sonlu eleman ağının denenmesi

gerekebilmektedir. Sonlu elemanlara ayırma işlemi ve problemin giriş bilgilerinin

hazırlanması eleman sayısı arttıkça hem zaman alıcı olmakta hem de hata yapma oranını

artırmaktadır. Bu yüzden elemanlara bölme işleminin bilgisayarla yapılması için yöntemler

geliştirilmiştir. Sonlu elemanlar metodu 1920’li yıllardan itibaren kullanılmaya başlanmış

olmakla beraber bilgisayar teknolojisindeki gelişmelerle ancak 1960’lı yıllardan itibaren

geniş bir kullanım alanı bulabilmiştir. Otomatik ağ oluşturma yöntemleri de bunlara

Mühendisler İçin Sonlu Elemanlar Metodu,M. TOPCU,S. TAŞGETİREN

duyulan ihtiyaçla beraber 1970’lerden itibaren geliştirilmeye başlanmıştır. Yapılan

çalışmalar iki boyutlu ve üç boyutlu problemler için sonlu eleman ağı geliştirilmesi,eleman

tipine göre ağ optimizasyonu ve ele alınan problemin özelliklerine göre sonlu eleman

ağlarının düzenlenmesi şeklinde genel bir sınıflandırmaya tabi tutulabilir. İstenen

bölgelerde daha sık bir sonlu eleman ağı oluşturulması için ve sonlu eleman ağının alan

değişkenlerinin gradyanına göre daha hassas oluşturulması için bir çok çalışma yapılmıştır.

Bu bölümde, Zienkiewicz ve ark. (1971) tarafından önerilen ağ oluşturma yöntemi

aktarılacaktır. Bölümün sonunda 3 düğümlü üçgen; 4,8 ve 9 düğümlü dörtgen elemanlar

için ağ bilgilerini oluşturan ve elde edilen ağı ekranda görüntüleyen bir program

verilecektir.

2. YÖNTEM

2.1. Bölge ve Blok Şeması Ağ oluşturma işleminin temel mantığı,az sayıdaki anahtar noktalar için girilmiş olan

elemanların süreklilik ve düğüm koordinat bilgilerinden yola çıkarak işlem yapılan bölgeyi

istenen incelikte elemanlara ayırma olarak tanımlanabilir. Bu bölüm,sistemin işleyişi

hakkında teorik bilgileri ve ağ oluşturma işleminde bilgisayar çözümünü içermektedir.

Bu yöntemde genel olarak kompleks bir bölge,küçük dikdörtgen bloklardan

oluşmuş,dikdörtgen model olarak ele alınır. Dikdörtgen bloklardan bazıları boşaltılır ve

bazı kenarlar birleştirilerek istenen şekil elde edilir. Şekil 1' de verilen bölge göz önüne

alınırsa; blok şemasını oluşturmak için daha küçük dikdörtgen bloklardan oluşan bir

dikdörtgen blok modeli Şekil 2’ de görüldüğü gibi elde edilir. Bölgelerin tanımlanabilmesi

için 1,3,5,

17 19 12 14 11 15

6 10 7 9

2 4

Şekil 1. Ortasında delik bulunan dikdörtgen levha için örnek alt blok bölüntüsü.

Bölüm-12-22


8,13,16,18 ve 20 numaralı bloklar boş blok olarak alınmalı ve koyu çizgi ile belirtilen

kenarlar karşılıklı olarak birleştirilmelidir. Şekil 3' de dikdörtgen bloklardan oluşmuş bir

tüm dikdörtgen modelin genel konfigürasyonu görülmektedir.

D 25

16

26 17

D21

27 18

28 19

D22

29 20

30

19 11

20 12

D15

21 13

22 14

D16

23 15

24

13 6

14 7

D9

15 8

16 9

D10

17 10

18

7 1

8 2

D3

9 3

10 4

D4

11 5

12 Y

1 2 3 4 5 6

Şekil 2. Şekil 1 için bölge ve blok diyagramı.

Model,yatay (Y)-düşey (D) eksen takımına yerleştirilmiştir. Aralık numaraları düşeydeki

aralık sayısı (ND) ve yataydaki aralık sayısı (NY) olarak adlandırılmıştır. Ağ oluştururken

her aralık alt bölümlere ayrılır. Aralıklarının alt bölümleri KD ve KY olmak üzere

düşeydeki toplam aralık (NDD(KD)) ve yataydaki toplam aralık (NYD(KY)) olarak

adlandırılmıştır.

Düğümler numaralandırılırken ilk noktadan başlanarak Y yönünde ilerlemek şartıyla

numaralar verilir. İlk sıra bittiğinde D yönündeki sonraki sıranın ilk düğümünden itibaren

aynı işlem tekrar edilir. Sonlu eleman modeli koordinat eksenine yerleştirilirken dikkat

edilecek nokta,aralık sayısı az olan tarafın Y ekseni üzerine oturmasıdır. Bunun nedeni,bir

blok üzerinde bulunan düğümlerin numaraları arasındaki farkın minimum olmasını

sağlamaktır. Sonlu elemanlar metodunda,elemanlar için hesaplanmış rijitlik matrisleri

genel rijitlik matrisi içine yerleştirilirken düğüm numaralarına bağlı sistematik içinde

yerleştirilmektedir. Bir elemanın düğümleri arasındaki farkın büyümesi,genel matriste

yerleştirilen değerlerin dağınık olmasına sebep olmakta,bu da bilgisayar kapasitesinin

artmasını gerektirmekte ve çözüm zamanının uzamasına yol açarak yapılacak hesapları

zorlaştırmaktadır. Program, numaralandırmayı yatay eksenden başlayarak yaptığından az

sayıda düğüm bulunan kenarın yatay eksene yerleştirilmesi elde edilecek matrisin daha

düzgün olmasını sağlamaktadır.

Bölüm-12-33


D

D1

D2

D3

Y1 Y1 2 Y 2 3

NY+1

N

Blok no

2 1

KY bloğu alt bölüntüsü

KD bloğu alt bölüntüs

Yatay kenar Düşey kenar Köşe

Şekil 3. Düğüm,blok ve kenarların numaralandırılması.

Y ve D yönündeki toplan düğüm sayısı: (1) ∑

=

+=NY

KY

KYNYDNNY1

)(1

(2) ∑

=

+=ND

KD

KDNDDNND1

)(1

mümkün olan maksimum düğüm sayısı ise: (3) NNDNNYNNT ×= olarak ifade edilir. Problemdeki düğümlerin tanımlanması için bir dizi oluşturulur. Ayrıca blokların

tanımlanması için de bir dizi kullanılmaktadır. Bu dizi blokların malzeme numaralarını

içermektedir. Eğer bir blok için bu değer sıfır olursa o blok boşaltılmış demektir. Normalde

mevcut bloklar için bu değer 1'dir. Farklı özelliklerdeki malzemelerden oluşmuş bir bölge

üzerinde inceleme yapıyorsak,farklı bölgeler için farklı malzeme numaraları vermemiz

gerekmektedir.

Blok şeması üzerinde tanımlamış olduğumuz tüm blok köşe düğümlerinin x ve y

koordinatları ile alt blokların herbirinde bulunması muhtemel eğri kenarların orta nokta

koordinatları da bilgi olarak verilmelidir. İlk olarak tüm kenarlar orta düğümleri,köşe

düğümleri arasındaki doğrunun orta noktasında bulunan doğrusal kenarlar olarak kabul

Bölüm-12-44


edilerek,orta düğümlerin x ve y koordinatları hesaplanır. Daha sonra eğrisel kenarlar için

orta düğüm koordinatları girildiğinde,bu gerçek değerler dizideki daha önceden kabul

edilmiş bulunan değerlerin yerini alır. Daha sonra birleştirilecek kenarlar önceden verilen

bilgilere göre işlenir.

2.2 Düğümlerin Numaralandırılması

Düğümlerin numaralandırılışını bir örnek üzerinde açıklamak yerinde olacaktır. Şekil 4'de

bir örnek problem için bölge ve ona ait blok şeması görülmektedir. Düğümlerin

numaralandırılmış şekli ise Şekil 5'te verilmiştir. Yatayda 2 ve düşeyde de 2 blok vardır. 4

Numaralı blok ise boşaltılmıştır. Oluşabilecek en büyük düğüm numarası 30 dur. 18-20

kenarı ile 18-28 kenarı birleştirilecek kenarlar olmaktadır. Düğüm numaralarını içeren

dizindeki her değişkene önce -1 değeri verilir. Bunun anlamı her düğümün mevcut ve

bağımsız olduğudur. Daha sonra boş blok üzerinde mevcut olmayan noktalar varsa,bu

noktaların dizideki yerlerine 0 değeri konur. Örnekte 24, 25, 29 ve 30 numaralı düğümler

mevcut değildir. Bu düğümlerin dizideki yerleri sıfırlanır. Birleştirilmiş kenarların varlığı

kontrol edilir. Eğer böyle kenarlar varsa,birleştirilecek iki kenardan düğüm numaraları

büyük olan kenar üzerindeki her bir düğümün dizideki yerine,birleştirilecek olan diğer

kenar üzerindeki karşılık düğümünün numarası konur. Düğüm numaraları küçük olan

kenar için bir işlem yapılmaz. Sonuç olarak,düğüm numaraları büyük olan kenar,diğeri

üzerine taşınmış olur.

Düğümlerden bazıları yok edildiği için düğüm numaraları arasındaki ardışıklık

bozulmuştur. Bu yüzden mevcut düğümlerin yeniden numaralandırılması gerekmektedir.

Şekil 4. Düğüm numaralandırılması için örnek problem.

Bölüm-12-55


Numaralandırma işlemine 1'den başlanır,düğüm numaraları dizisinde değeri negatif olan

düğümler 1'er artırılarak numaralandırılır. Eğer düğümün değeri sıfır ise o düğüme numara

verilmez,dizideki yeri sıfır olarak kalır. Değeri pozitif olan düğümün ise birleştirilmiş

(taşınmış) bir düğüm olduğu bilindiğinden,karşılık düğümünün dizideki yeni değeri verilir.

Numaralandırma işlemi bu şekilde tamamlanır. Şekil 5.a'da düğüm numaraları dizisinin

genel hali görülmektedir. Buradaki değerler blok şemasındaki düğümlere hiç bir işlem

yapılmadan önce verilmiş numaralardır. Şekil 5.b'de ise dizinin tüm düğümler için (-1)

değeri verildikten sonra,olmayan düğümler için sıfır,taşınmış düğümler için ise karşılık

düğümünün numarası verilmiş durumu görülmektedir. Son basamakta yapılan işlemden

sonra düğümlerin aldığı gerçek numaralar Şekil 5.c'de görülmektedir.

2. 3. Koordinatların Bulunması

Bölge üzerindeki herhangi bir bloğu alt bölümlere ayırdığımızda oluşan kesişim

noktalarındaki alt düğümlerin koordinatlarının hesaplanması gerekmektedir. İncelenen

blok için 8 temel düğümün (4'ü köşe,4'ü orta) X ve Y koordinatları tarafımızdan girilmiş

olduğu için bilinmektedir. Y-D koordinat sisteminde blok üzerinde bulunan bir N1 alt

düğümünün,diğer 8 düğümle olan ilişkisi biliniyorsa,şekil fonksiyonları yardımıyla bu

düğümün X ve Y koordinatları bulunabilir. Bölge üzerindeki bir blok alt bölümlere

ayrıldığında,alt bölümler Y-D düzleminde eşit aralıklarla oluşturulur. Bu bilgi,

düğümlerin X ve Y koordinatlarının hesaplanabilmesi için yeterlidir.

26 27 28 29 3021 22 23 24 2516 17 18 19 2011 12 13 14 156 7 8 9 101 2 3 4 5

1 1 20 0 01 1 19 0 01 1 18 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

23 24 20 0 021 22 19 0 016 17 18 19 2011 12 13 14 156 7 8 9 101 2 3 4 5

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

− −− −− − − −− − − − −− − − − −− − − − −

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

(a) (b) (c)

Şekil 5 Düğümlerin numaralandırılması.

Bu veriler doğrultusunda N1 düğümünün X ve Y koordinatları

X SH I X II

==∑ ( ). ( )

1

8

(4)

Y SH I Y II

==∑ ( ). ( )

1

8

Bölüm-12-66


yardımıyla hesaplanabilir. Burada,SH(I),X(I),Y(I), I=1,2,3,....,8 olmak üzere sırasıyla şekil

fonksiyonlarını ve blok içindeki 8 temel düğümün koordinatlarını göstermektedir. 8

düğümlü izoparametrik eleman için şekil fonksiyonları

4)1).(1).(1()1( srsrSH ++−−−

= (5)

2)1).(1()2(

2 srSH −−= (6)

4)1).(1).(1()3( srsrSH +−−+−

= (7)

2)1).(1()4(

2srSH −+= (8)

4)1).(1).(1()5( srsrSH −−++−

= (9)

2)1).(1()6(

2 srSH +−= (10)

4)1).(1).(1()7( srsrSH −++−−

= (11)

2)1).(1()8(

2srSH −−= (12)

şeklindedir. Burada r ve s lokal koordinatlarda bir eleman için eksen takımıdır (Şekil 6).

Alt bölümlere ayrılmış bir blok üzerindeki bir N1 düğümünün r ve s koordinatları yukarıda

verilmiş olan formüllerle bulunur. Bu değerler N1 düğümünün Y-D düzleminde,8 temel

düğüm ile olan uzaklık ilişkisini göstermektedir. Altbölümlerden dolayı oluşan bu alt

düğümlerin X ve Y koordinatlarının hesaplanmasıyla,bölge üzerindeki tüm düğümlerin

koordinatları bulunmuş olur. Son işlem olarak ilgili noktalar birleştirilir ve ağ oluşturulur.

1 (-1,-1)

3 (1,1)

8

74

6

25

s

r

Şekil 6. 8 düğümlü izoparametrik eleman

Bölüm-12-77


3. ÖRNEKLER

Program girdi dosyasında şu bilgileri istemektedir:

Eleman Tipi (Üçgen veya Dörtgen) Düğüm sayısı (Üçgen=1,4 Düğümlü=2,5 Düğümlü=3,8 Düğümlü=4,9 Düğümlü=5) Yataydaki bölüntü sayısı,Düşeydeki Bölüntü Sayısı Malzeme sayısı Malzeme çeşidi 1 den farklı olan bloklar (Boş bloklar için 0) Blokların yatayda alt bölüntü sayısı Blokların düşeyde alt bölüntü sayısı Düğüm sayısı X koordinatı,Y koordinatı Yatayda eğri kenar sayısı (Kenardaki ara düğümün yeri değiştirilmek istendiğinde de bu kullanılır) X koordinatı,Y koordinatı Düşeyde eğri kenar sayısı X Koordinatı,Y koordinatı Birleşecek kenar sayısı İlk kenarın iki düğümü İkinci kenarın iki düğümü Çıktı dosyası adı

Bu bilgiler girildikten sonra program çıktı dosyasında şu bilgileri oluşturur

Düğüm sayısı,Eleman sayısı, Malzeme sayısı,Boyut,Eleman düğüm sayısı,Yarıbant genişliği,Tutulu düğüm sayısı (0),Yük sayısı (0) Düğümlerin X ve Y koordinatları Eleman düğüm bilgileri Malzeme Numaraları (Tutulu düğüm sayısı ve Yük sayısı herhangi bir editörle yazıldıktan sonra bu dosyanın altına Serbestlik derecesi numarası,Tanımlı deplasman Serbestlik derecesi numarası,Yük Şeklinde ekleme yapılır.)

Bu bölümde sonlu elemanlar ağının oluşturulması ile ilgili bazı örnek çözümler

verilecektir. İlk örnekte, incelenecek bölge için blok şemasının oluşturulması,

koordinatların bulunması, boş blokların tespiti, birleştirilecek kenarların tanımlanması gibi

konular ayrıntılı olarak anlatılacaktır. Daha sonraki örneklerde ise yalnızca hesaplanmış

veriler sunulacaktır. Ayrıntılı anlatılacak bu örnek için, bir çok eğrisel kenar, boş blok ve

birleştirilmiş kenar içeren, dolayısıyla konunun tüm ayrıntılarını kapsayan zincir baklası

seçilmiştir (Şekil 7). Şeklin orta noktasına göre simetrik olması dolayısıyla, yalnızca ¼’lük

bölümünün incelenmesi mümkündür. Fakat konunun ayrıntılı anlatılabilmesi için şeklin

tamamını incelemek yerinde olacaktır.

Bölüm-12-88


Şekil 7. Zincir baklasının geometrisi

İlk önce bölgenin şekli çizilerek muhtemel düğümler tasarlanır. Tasarlanmış düğümler

Şekilde görülmektedir. Dikkat edilecek nokta, her dört düğümün oluşturduğu her bir

elemanın kendi başına -daha başka bir bölünmeyi gerektirmeden- incelenebiliyor

olmasıdır. Bunun için kenarlar tek bir fonksiyonla ifade edilebilir olmalıdır. Doğrusal olan

kenarlar bunu sağlamaktadır. Eğrisel kenarların bu şartı sağlayabilmesi için, tek bir tepe

noktası bulunan eğrisel kenarlar elde edilene kadar ilgili kenarın bölünmesi gerekir.

Örnekteki 21 ve 13 düğümleri arasındaki eğrisel kenarı, tek bir elemanın kenarı olarak

tanımlayamayız. Bu yüzden eğrinin dönüm noktası olan yere bir düğüm konularak kenar

ikiye bölünmüştür. Oluşan her iki kenar da birer dairesel yaydır. Dolayısıyla tanımlanması

mümkündür.

Daha sonra oluşturulan elemanlara göre blok şeması tasarlanır. Örnekteki bölge için,

ayrılan elemanlara göre, Şekil 8'deki gibi 3x6'lık bir blok şeması uygun olacaktır. 2, 5, 8,

11, 14 ve 17 numaralı bloklar boşaltılıp 1-2 ile 3-4, 10-14 ile 11-15, 14-18 ile 15-19 ve 25-

26 ile 27-28 kenarları birleştirilirse blok diyagramı süreklilik açısında bölgemizdeki

tasarlanan elemanlara benzeyecektir. Yani 1 ve 3 numaralı blokların komşuluğu sağlanmış

olacaktır. Benzer şekilde 7 ve 9, 10 ve 12, 16 ve 18 numaralı bloklar da komşu olacaktır.

Bölüm-12-99


Şekil 8. Zincir baklasına ait blok diyagramı.

Sırada düğümlerin koordinatlarının bulunması gelmektedir. Koordinatlar çizim yoluyla ya

da analitik metotla bulunabilir. Birleştirilmiş kenarlardan dolayı çakışan düğümlerin

koordinatları da aynı olacaktır. Hesaplanmış olan koordinatlar (Düğüm numarası, X

koordinatı, Y koordinatı) şöyledir:

1 0 12 2 8 12 3 8 12 4 0 12 5 12 0 6 12 8 7 12 16 8 12 24 9 19.71 2.8 10 16 12 11 16 12 12 19.713 21.192 13 27 5 14 27 12 15 27 12 16 27 19 17 34.286 2.807 18 38 12 19 38 12 20 34.3 21.2 21 42 0 22 42 8 23 42 16 24 42 24 25 54 12 26 46 12 27 46 12 28 54 12

Son olarak, eğrisel kenarların tanımlanabilmesi için tepe nokta koordinatlarının da

bulunması gerekmektedir. Bunlar da eğrileri ikiye bölen noktalar olacaktır (eğriler dairesel

olduğu için). Eğer eğriler bir fonksiyonla ifade edilmiş olsaydı; eğri fonksiyonunun birinci

türevi, iki uç nokta arasından geçen doğrunun eğimine eşitlenerek koordinatlar

bulunabilirdi. Eğrisel kenarların orta nokta koordinatları ise (W Aralık Numarası, X

koordinatı, Y koordinatı) şöyledir:

1 3.51 3.51 2 9.17 9.17 3 9.17 14.82 4 3.51 20.48 5 16.1 0.72 6 14.83 9.17 7 14.83 14.83 8 16.1 23.28 9 22.9 4.28 12 22.9 19.7 13 31.1 4.28 16 31.1 19.72 17 37.9 0.7 18 39.17 9.17 19 39.17 14.8 20 37.9 23.3 21 50.5 3.5 22 44.8 9.1 23 44.8 14.8 24 50.5 20.5 Birleştirilecek olan kenarlara ait düğüm numaraları ise (birinci kenar 1 ve 2 düğümü-ikinci

kenar 1 ve 2 düğümü):

Bölüm-12-1010


10 14-11 15 14 18-15 19

Boş blokların numaraları ise şunlardır: 2, 5, 8, 11, 14 ve 17.

Bundan sonra istenen eleman tipi ve alt bölüntü sayıları belirlenerek istenen sıklık ve

eleman tipinde ağ elde etmek mümkündür. Ortasında ilave bir delik bulunan zincir baklası

için elde edilmiş olan 3 değişik ağ şekil 8’de verilmiştir. Bütün ağlar için düğüm sayısı 658

olup eleman sayıları,üçgen elemanlarla oluşturulmuş ağ için 1152, 4 düğümlü elemanlarla

oluşturulmuş ağ için 576 ve 9 düğümlü elemanlarla oluşturulmuş ağ için 144 dür. Yarı bant

genişliği ise sırasıyla 314, 314 ve 315 olmaktadır.

4 düğümlü elemanlarla oluşturulmuş ağ için çıktı dosyası şu şekilde elde edilmiştir: 658 576 1 2 4 314 2 2 0 12 1.6 12 3.2 12 4.8 12 6.4 12 8 12 .80896 8.00896 ................. 53.18976 15.9904 54 12 52.4 12 50.8 12 49.2 12 47.6 12 46 12 1 2 8 7 3 4 10 9 ............... 395 396 401 402 397 398 399 400 ................. 1 1 1 1 ......... 257 0 258 0 571 -1000 572 2000

Şekil 9 Eğri dış kenarlara ve çeşitli sayıda deliklere sahip bir levhanın üçgen ve 4 ve 9 düğümlü dörtgen elemanlarla hazırlanmış sonlu eleman ağları

Bölüm-12-1111


İkinci bir örnek olarak ortasında dairesel bir delik bulunan bir dikdörtgen kesit (Şekil 1)

incelenmiştir. Geometri için tasarlanan ağ yapısı ve blok şeması Şekil 10 ve 11 de

verilmiştir. Bu örnek için gerekli data dosyası şu şekildedir:

2 2 Dört düğümlü dörtgen eleman 5 4 2 Malzeme sayısı 1 0 3 0 5 0 8 0 13 0 16 0 18 0 20 0 Boş bloklar 3 3 1 3 3 Alt bölüntü sayıları istenen hassasiyete göre değiştirilebilir. Fakat 3 3 3 3 birleştirme nedeniyle 2. Yatay aralıkla 4. Düşey aralığın sayıları uygun

olmalıdır 30 Düğüm sayısı (Blok şemasında bulunan fakat boş bloklar sebebiyle gerçekte

olmayan düğümlerin tanımlanmasına gerek yoktur) 2 10 0 3 10 5 4 10 5 5 10 0 7 0 0 8 5 0 9 7.8 5.8 10 12.1 5.8 11 15 0 12 20 0 13 0 8 14 5 8 15 7 8 16 13 8 17 15 8 18 20 8 19 0 16 20 5 16 21 7.8 10.1 22 12.1 10.1 23 15 16 24 20 16 26 10 16 27 10 11 28 10 11 29 10 16 0 bitiş 0 la yapılmaktadır 0 yatayda eğri kenar yoktur 8 3 8.8 5.23 4 11.15 5.23 9 7.23 6.8 10 12.7 6.8 15 7.3 9.15 16 12.7 9.15 21 8.8 10.7 22 11.15 10.7 0

Şekil 10 Delikli levha için tasarlanan ağ

Bölüm-12-1212


Şekil 11 Delikli levhaya ait blok şeması.

2 birleşecek kenar sayısı 2 3 5 4 26 27 29 28 çıktı.mes dosya adı

Bu örnek için hazırlanmış değişik eleman sıklıklarına sahip üç örnek Şekil 12 de

verilmiştir. Bu datalardan yalnızca eleman düğüm sayısı değiştirilerek ağın eleman yapısı

değiştirilebileceği gibi,yatay ve düşey blokların bölüntü sayıları değiştirilerek de istenen

bölgede istenen sıklıkta ağ oluşturulabilmektedir. Hazırlanan program sonlu eleman

modellemesindeki boyut sorununa yardımcı olmak için yarı bant genişliğini de

hesaplamaktadır.

Şekil 12 Ortası delikli dikdörtgen levha için elde edilen,çeşitli sıklıklara sahip ağlar.

Bu örnekte ise biri merkezde olmak üzere 3 adet dairesel delik bulunan bir dairesel kesit

için model hazırlama ve girdi dosyası bilgileri verilmiştir (Şekil 13, 14). Burada, simetrik

bir yapıya sahip olan kesitin, yarısı incelenmiştir. Gerçekte kesit, her iki eksende de

simetrik olduğundan, bu kesitin yalnızca ¼’lük bir dilimini incelemek yeterli olacaktır.

Bölüm-12-1313


Girdi dosyası bilgileri aşağıda verilmiştir. Buna göre ilgilenenler istediği şekilde bir sonlu

eleman ağı oluşturabilirler.

1 1 Üç düğümlü üçgen eleman 4 6 2 5 0 8 0 9 0 12 0 13 0 16 0 17 0 20 0 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

Şekil 13 Çeşitli sayıda delik bulunan dairesel kesit için taslak ağ

Bölüm-12-1414


35 1 13 8 2 14.414 7.414 3 15 6 4 14.414 4.585 5 13 4 6 13 0 7 14.5 10.401 8 17 6 9 19.5 1.741 10 13 0 12 15.5 11.5 13 19 9 14 24.25 6.5 17 16 13 18 19 13 19 26 13 22 11.598 14.5 23 19 17 24 24.258 19.5 26 13 16 27 14.5 15.5 28 17 20 29 19.5 24.25 30 13 26 31 13 18 32 14.4 18.5 33 15 20 34 14.4 21.4 35 13 22 0 12 Yatayda eğri kenar sayısı 1 13.765 7.847 2 14.847 6.765 3 14.847 5.234 4 13.765 4.152 5 13.776 10.12 8 16.36 0.42 21 13.776 15.897 24 16.364 25.557 25 13.765 18.152 26 14.847 19.234 27 14.84 20.76 28 13.76 21.87 0 8 Düşeyde eğri kenar sayısı 7 15.121 10.878 9 22.192 3.807 12 15.897 12.223 14 25.557 9.63 17 15.897 13.776 19 25.557 16.364 22 15.121 15.121 24 22.192 22.192 0 0 Birleşecek kenar yoktur. çıktı.mes

Örnekte birleştirilecek kenar çifti bulunmadığından, aralıkların altbölüm sayıları, arzu

edilen hassasiyete göre rahatça seçilebilir.

Şekil 14 Şekil 13 için blok şeması

Şekil 15 de kırılma mekaniği analizi için hazırlanmış sonlu eleman ağları verilmiştir.

Burada da düğüm sayıları her üç ağ için de 705 olup eleman sayıları sırasıyla 1280, 640 ve

160 tır. Yarı bant genişliği ise 91, 91 ve 109 olmaktadır.

Bölüm-12-1515


Şekil 15 Kırılma mekaniği analizi için hazırlanmış sonlu eleman ağları. Üçgen,4 düğümlü

ve 9 düğümlü dörtgen elemanlar

4. SONUÇ

Bu çalışmada nümerik yöntemlerle yapılan analizin ilk basamağı olan çözüm bölgesi için

ağ geliştirme üzerinde durulmuş ve bu amaçla geliştirilen yöntem kullanılarak bir

bilgisayar programı hazırlanmıştır. Çalışmada ele alınan geometrinin mümkün olduğu

kadar iyi modellenmesinin yanında analiz sırasında meydana gelecek denklem sistemi ve

bu sistemde oluşan genel matrislerin de homojen hale getirilmesi ve çözüm zamanının

azaltılması düşünülmüştür. Geliştirilen yöntemle her türlü geometrinin üçgen ve 4 veya 9

düğümlü dörtgen elemanlara bölünmesi mümkün olduğu gibi, alan değişkenlerinin çözüm

bölgesindeki dağılımı da dikkate alınarak çeşitli ağ inceltme işlemleri de yapılabilmektedir.

(*)Zienkiewicz,O. C.,Philips,D. V. 1971,An automatic mesh generation scheme for plane and curved surfaces by isoparametric coordinates. Int. J. Numerical Methods in Engineering (3) 519-528 1000 REM**************** AĞOLUŞTURMA ************************ REM* IKI BOYUTLU HER TÜR PROBLEM İÇİN * REM* 3 DÜĞÜMLÜ ÜÇGEN * REM* 4,5,8,9 DÜĞÜMLÜ DÖRTGEN ELEMANLARLA * REM* SONLU ELEMAN MODELINI OLUSTURUR * REM* 3,4 VE 9 DÜĞÜM İÇİN EKRANA ÇİZER * REM* ADAPTE EDEN SÜLEYMAN TAŞGETİREN * REM******************************************************* 1001 CLS : DEFINT I-N: NDIM=2 INPUT "AG OLUŞTURMAK İÇİN DOSYA ADI="; FILE1$ OPEN FILE1$ FOR INPUT AS #2 REM"ELEMAN TİPİ VE DÜĞÜM SAYISININ BELİRLENMESİ" INPUT #2,NTMP IF NTMP=2 THEN NEN=4 ELSE NEN=3: DS=1: GOTO 1010 REM DS<1-DÖRT 2-BES 3-SEKIZ 4-DOKUZ INPUT #2,DS 1010 INPUT #2,NS,NW NSW=NS*NW: NGN=(NS+1)*(NW+1): NM=1 DIM IDBLK(NSW),NSD(NS),NWD(NW),NGCN(NGN),NGCM(NGN) '-------- Blok tanımlama ve malzeme numarası -------- FOR I=1 TO NSW: IDBLK(I)=1: NEXT I 1020 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1030 INPUT #2,IDBLK(NTMP) IF NM < IDBLK(NTMP) THEN NM=IDBLK(NTMP) GOTO 1020

Bölüm-12-1616


'------------- Altbölümler --------------- 1030 NNS=1: NNW=1 FOR KS=1 TO NS INPUT #2,NSD(KS) NNS=NNS+NSD(KS): NEXT KS FOR KW=1 TO NW INPUT #2,NWD(KW) NNW=NNW+NWD(KW): NEXT KW '------------ Düğümler ve koordinatları --------------- 1040 NSR=NS*(NW+1) NWR=NW*(NS+1) DIM XB(NGN,2),SR(NSR,2),WR(NWR,2) 1050 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1060 INPUT #2,XB(NTMP,1),XB(NTMP,2) GOTO 1050 '-------- D kenarları orta nokta koordinatları -------- 1060 FOR I=1 TO NW+1: FOR J=1 TO NS IJ=(I-1)*NS+J SR(IJ,1)=.5*(XB(IJ+I-1,1)+XB(IJ+I,1)) SR(IJ,2)=.5*(XB(IJ+I-1,2)+XB(IJ+I,2)) NEXT J: NEXT I '-------- Y kenarları orta nokta koordinatları -------- 1070 FOR I=1 TO NW: FOR J=1 TO NS+1 IJ=(I-1)*(NS+1)+J WR(IJ,1)=.5*(XB(IJ,1)+XB(IJ+NS+1,1)) WR(IJ,2)=.5*(XB(IJ,2)+XB(IJ+NS+1,2)) NEXT J: NEXT I '------ Eğri kenarlar ve orta nokta koordinatları ------ 1080 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1090 INPUT #2,SR(NTMP,1),SR(NTMP,2) GOTO 1080 1090 INPUT #2,NTMP IF NTMP=0 GOTO 1100 INPUT #2,WR(NTMP,1),WR(NTMP,2) GOTO 1090 '------------------ Birleşik kenarlar ---------------------- 1100 INPUT #2,NSJ IF NSJ=0 GOTO 1120 DIM MERG(NSJ,4) FOR I=1 TO NSJ INPUT #2,L1,L2 I1=L1: I2=L2: GOSUB 2100: II1=IDIV INPUT #2,L3,L4 I1=L3: I2=L4: GOSUB 2100: II2=IDIV IF II1=II2 THEN 1110 PRINT "Altbölüm sayıları farklı." PRINT "Kontrol edip yeniden başlayınız.": END 1110 MERG(I,1)=L1: MERG(I,2)=L2 MERG(I,3)=L3: MERG(I,4)=L4 NEXT I '------- Temel düğümlerin global koordinatları --------- 1120 NTMPI=1 FOR I=1 TO NW+1 IF I=1 THEN IINC=0 ELSE IINC=NNS*NWD(I-1) NTMPI=NTMPI+IINC: NTMPJ=0 FOR J=1 TO NS+1 IJ=(NS+1)*(I-1)+J IF J=1 THEN JINC=0 ELSE JINC=NSD(J-1) NTMPJ=NTMPJ+JINC

Bölüm-12-1717


NGCN(IJ)=NTMPI+NTMPJ: NEXT J: NEXT I '---------------- Düğüm noktaları dizisi -------------------- 1140 NNT=NNS*NNW DIM NNAR(NNT) FOR I=1 TO NNT NNAR(I)=-1: NEXT I '--------- Mevcut olmayan düğümler --------- 1160 FOR KW=1 TO NW: FOR KS=1 TO NS KSW=NS*(KW-1)+KS IF IDBLK(KSW) > 0 GOTO 1200 '-------- Bos bloklar -------- 1170 K1=(KW-1)*(NS+1)+KS N1=NGCN(K1) NS1=2: IF KS=1 THEN NS1=1 NW1=2: IF KW=1 THEN NW1=1 NS2=NSD(KS)+1: IF KS=NS GOTO 1180 IF IDBLK(KSW+1) > 0 THEN NS2=NSD(KS) 1180 NW2=NWD(KW)+1: IF KW=NW GOTO 1190 IF IDBLK(KSW+NS) > 0 THEN NW2=NWD(KW) 1190 FOR I=NW1 TO NW2: IN1=N1+(I-1)*NNS FOR J=NS1 TO NS2: IJ=IN1+J-1 NNAR(IJ)=0: NEXT J: NEXT I IF NS2=NSD(KS) OR NW2=NWD(KW) GOTO 1200 IF KS=NS OR KW=NW GOTO 1200 IF IDBLK(KSW+NS+1) > 0 THEN NNAR(IJ)=-1 1200 NEXT KS: NEXT KW '-------- Birleşik kenarlar ------ 1210 IF NSJ=0 GOTO 1230 FOR I=1 TO NSJ I1=MERG(I,1): I2=MERG(I,2): GOSUB 2100 IA1=NGCN(I1): IA2=NGCN(I2): IASTP=(IA2-IA1)/IDIV I1=MERG(I,3): I2=MERG(I,4): GOSUB 2100 IB1=NGCN(I1): IB2=NGCN(I2): IBSTP=(IB2-IB1)/IDIV IAA=IA1-IASTP FOR IBB=IB1 TO IB2 STEP IBSTP IAA=IAA+IASTP IF IBB=IAA THEN NNAR(IAA)=-1: GOTO 1220 IF IBB > IAA THEN NNAR(IBB)=IAA ELSE NNAR(IAA)=IBB 1220 NEXT IBB: NEXT I '---------- Düğümlerin gerçek numaraları -------- 1230 NODE=0 FOR I=1 TO NNT IF NNAR(I)=0 GOTO 1250 IF NNAR(I) > 0 GOTO 1240 NODE=NODE+1 NNAR(I)=NODE GOTO 1250 1240 II=NNAR(I) NNAR(I)=NNAR(II)*(-1) 1250 NEXT I LAS=NODE IF DS=1 THEN 1260 ON DS-1 GOSUB 2600,2800,2800 '----------------------------- Koordinatlar --------------- 1260 NN=NODE NELM=0 DIM X(LAS*2,2),XP(8,2),NOC(2*NNT,NEN*2) DIM MAT(2*NNT),PMN(2*NNT,2) FOR I=1 TO LAS X(I,1)=-1:X(I,2)=-1 NEXT

Bölüm-12-1818


FOR KW=1 TO NW:FOR KS=1 TO NS KSW=NS*(KW-1)+KS IF IDBLK(KSW)=0 GOTO 1330 '------------------------------- Alt düğümler ---------- 1270 NODW=NGCN(KSW+KW-1)-NNS-1 FOR JW=1 TO NWD(KW)+1 ETA=-1+2*(JW-1)/NWD(KW) NODW=NODW+NNS: NODS=NODW FOR JS=1 TO NSD(KS)+1 XI=-1+2*(JS-1)/NSD(KS) NODS=NODS+1 NODE=NNAR(NODS) 1280 GOSUB 2200: GOSUB 2300 FOR J=1 TO 2 C1=0 FOR I=1 TO 8 C1=C1+SH(I)*XP(I,J) NEXT I X(NODE,J)=C1 NEXT J '------------------------------------------- 1290 IF JS=NSD(KS)+1 OR JW=NWD(KW)+1 GOTO 1320 N1=NODE: N2=NNAR(NODS+1) N4=NNAR(NODS+NNS): N3=NNAR(NODS+NNS+1) NELM=NELM+1: IF NEN=3 GOTO 1310 '------------------- Dörtgen eleman -------------------- 1300 NOC(NELM,1)=N1: NOC(NELM,2)=N2: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) NOC(NELM,3)=N3: NOC(NELM,4)=N4: GOTO 1320 '------------------- Üçgen eleman ------------------- 1310 NOC(NELM,1)=N1: NOC(NELM,2)=N2 NOC(NELM,3)=N3: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) NELM=NELM+1: NOC(NELM,1)=N3: NOC(NELM,2)=N4 NOC(NELM,3)=N1: MAT(NELM)=IDBLK(KSW) 1320 NEXT JS: NEXT JW 1330 NEXT KS: NEXT KW NE=NELM: IF NEN=4 GOTO 1360 '---------------------------------------------------- 1340 NE2=NE/2 FOR I=1 TO NE2 I1=2*I-1 N1=NOC(I1,1): N2=NOC(I1,2) N3=NOC(I1,3): N4=NOC(2*I,2) X13=X(N1,1)-X(N3,1):Y13=X(N1,2)-X(N3,2) X24=X(N2,1)-X(N4,1):Y24=X(N2,2)-X(N4,2) IF (X13*X13+Y13*Y13)<=1.1*(X24*X24+Y24*Y24) GOTO 1350 NOC(I1,3)=N4: NOC(2*I,3)=N2 1350 NEXT I 1360 DIM PM(NE),PN(NE): ON DS-1 GOSUB 2500,3000,3000: GOSUB 2400 GOSUB 4000 1370 END '=========== I1,I2 kenarı altbölüm sayısı =========== 2100 IMIN=I1: IMAX=I2 IF IMIN > I2 THEN IMIN=I2 IMAX=I1 IF (IMAX-IMIN)=1 THEN IDIV=NGCN(IMAX)-NGCN(IMIN) RETURN IDIV=(NGCN(IMAX)-NGCN(IMIN))/NNS RETURN '====== Bloktaki 8 düğümün koordinatları ====== 2200 N1=KSW+KW-1 XP(1,1)=XB(N1,1): XP(1,2)=XB(N1,2)

Bölüm-12-1919


XP(2,1)=SR(KSW,1): XP(2,2)=SR(KSW,2) XP(3,1)=XB(N1+1,1): XP(3,2)=XB(N1+1,2) XP(4,1)=WR(N1+1,1): XP(4,2)=WR(N1+1,2) XP(5,1)=XB(N1+NS+2,1): XP(5,2)=XB(N1+NS+2,2) XP(6,1)=SR(KSW+NS,1): XP(6,2)=SR(KSW+NS,2) XP(7,1)=XB(N1+NS+1,1): XP(7,2)=XB(N1+NS+1,2) XP(8,1)=WR(N1,1): XP(8,2)=WR(N1,2) RETURN '============== Sekil fonksiyonları ================ 2300 SH(1)=-(1-XI)*(1-ETA)*(1+XI+ETA)/4:SH(2)=(1-XI*XI)*(1-ETA)/2 SH(3)=-(1+XI)*(1-ETA)*(1-XI+ETA)/4:SH(4)=(1-ETA*ETA)*(1+XI)/2 SH(5)=-(1+XI)*(1+ETA)*(1-XI-ETA)/4:SH(6)=(1-XI*XI)*(1+ETA)/2 SH(7)=-(1-XI)*(1+ETA)*(1+XI-ETA)/4:SH(8)=(1-ETA*ETA)*(1-XI)/2 RETURN '=============== Yarı bant genişliği =================== 2400 ST=1: ED=NEN IF DS=2 THEN ST=0 IF DS=3 THEN ED=ED*2 IF DS=4 THEN ST=0: ED=ED*2 NBW=0 FOR N=1 TO NE CMIN=NN+1: CMAX=0 FOR J=ST TO ED IF CMIN > NOC(N,J) THEN CMIN=NOC(N,J) IF CMAX < NOC(N,J) THEN CMAX=NOC(N,J) NEXT J C=(CMAX-CMIN+1) IF NBW < C THEN NBW=C NEXT N '=============== Verilerin Kaydedilmesi =================== INPUT #2,FILE$ OPEN FILE$ FOR OUTPUT AS #1 ND=0: NL=0 PRINT #1,LAS; NE; DS; NM; NDIM; NEN; NBW FOR I=1 TO LAS FOR J=1 TO NDIM PRINT #1,X(I,J); NEXT J PRINT #1, NEXT I FOR I=1 TO NE FOR J=ST TO ED PRINT #1,NOC(I,J); NEXT J: PRINT #1,: NEXT I FOR I=1 TO NE PRINT #1,MAT(I); NEXT I PRINT #1, CLOSE #1 RETURN 2500 '-------- Eleman orta düğüm koordinatları -------- VI=1: TJ=0: TM=0 FOR I=1 TO NW FOR K=1 TO NWD(I) FOR J=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+J)=0 THEN 2520 JM=(NSD(J)*(K-1)) FOR JI=1 TO NSD(J) WI=JM+JI+TJ+TM IF MAT(WI) <> 1 THEN 2510 P1=NOC(WI,1): P2=NOC(WI,2):P3=NOC(WI,3): P4=NOC(WI,4)

Bölüm-12-2020


PN(VI)=WI PMN(VI,1)=((X(P1,1)+X(P2,1))/2+(X(P4,1)+X(P3,1))/2)/2 PMN(VI,2)=((X(P1,2)+X(P4,2))/2+(X(P2,2)+X(P3,2))/2)/2 2510 VI=VI+1 NEXT JI TJ=TJ+(NSD(J)*NWD(I)) 2520 NEXT J TG=TJ: TJ=0 NEXT K TM=TM+TG: TJ=0 NEXT I: GOSUB 2710 2530 RETURN 2600 TB=0: B=1 FOR J=1 TO NS IF IDBLK(J) <> 0 THEN B=B+NSD(J) NEXT B=B+1 FOR I=1 TO NW JM=0 FOR J=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+J)<>0 THEN JM=JM+NSD(J) NEXT FOR K=1 TO NWD(I) FOR J=1 TO NNS IF NNAR(B)<0 THEN 2700 IF NNAR(B)=0 THEN 2610 NNAR(B)=NNAR(B)+JM*K+TB LAS=NNAR(B) 2610 B=B+1 NEXT: NEXT TB=TB+JM*NWD(I) NEXT 2620 RETURN 2700 II=NNAR(B)*(-1): NNAR(B)=NNAR(II) GOTO 2610 2710 J=1: FOR I=1 TO LAS IF X(I,1)=-1 AND X(I,2)=-1 THEN 2730 2720 NEXT FOR I=1 TO NE:NOC(I,0)=PM(I):NEXT RETURN 2730 X(I,1)=PMN((J),1): X(I,2)=PMN((J),2) PM(PN(J))=I:J=J+1 GOTO 2720 IF DS=2 THEN 2600 JM=0: TB=0 FOR I=1 TO NNT IF NNAR(I) < 0 THEN NNAR(I)=NNAR(I)*(-1) NEXT: RETURN 2800 DIM TN(NNW) L=1: TB=1: B=1: BC=0 FOR I=1 TO NW IF I <> NW THEN NRW=NWD(I) ELSE NRW=NWD(I)+1 FOR K=1 TO NRW FOR J=1 TO NNS IF NNAR(B) < 0 THEN 2900 IF NNAR(B)=0 THEN 2810 FOR JG=1 TO NGN IF NGCN(JG)=NNAR(B) THEN NGCM(JG)=TB+BC NEXT NNAR(B)=TB+BC: LAS=NNAR(B) 2810 BC=BC+2: B=B+1

Bölüm-12-2121


NEXT TN(L)=BC+TB-2 L=L+1 KDS=1 IF DS=4 THEN KDS=2 FOR R=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+R) <> 0 THEN BC=BC+NSD(R)*KDS NEXT R TB=BC+TB: BC=0 NEXT: NEXT RETURN 2900 II=NNAR(B)*(-1) NNAR(B)=NNAR(II): GOTO 2810 REM"---------------------------------SEKIZ DÜGÜM 3000 L=1: VI=1: TJ=0: TM=0 FOR I=1 TO NW FOR K=1 TO NWD(I) FOR J=1 TO NS IF IDBLK((I-1)*NS+J)=0 THEN 3030 JM=(NSD(J)*(K-1)) FOR JI=1 TO NSD(J) WI=JM+JI+TJ+TM IF MAT(WI) <> 1 THEN 3020 P1=NOC(WI,1): P2=NOC(WI,2) P3=NOC(WI,3): P4=NOC(WI,4) P6=TN(L)+VI: P7=P6+1 P5=P1+1: P8=P4+1 P10=P6: P11=P8: P8=P3: P3=P2: P2=P5 P5=P7: P7=P11: P1=P1: P6=P4: P4=P10 IF DS=4 GOTO 3010 NOC(WI,1)=P1: NOC(WI,2)=P2: NOC(WI,3)=P3 NOC(WI,4)=P4: NOC(WI,5)=P5: NOC(WI,6)=P6 NOC(WI,7)=P7: NOC(WI,8)=P8 X(P2,1)=(X(P1,1)+X(P3,1))/2:X(P2,2)=(X(P1,2)+X(P3,2))/2 X(P4,1)=(X(P1,1)+X(P6,1))/2:X(P4,2)=(X(P1,2)+X(P6,2))/2 X(P5,1)=(X(P3,1)+X(P8,1))/2:X(P5,2)=(X(P3,2)+X(P8,2))/2 X(P7,1)=(X(P6,1)+X(P8,1))/2:X(P7,2)=(X(P6,2)+X(P8,2))/2 GOTO 3020 REM"----------------------------------DOKUZ DUGUM 3010 P9=P8: P5=P4+1: P6=P5+1: P7=P9-2: P8=P9-1 VI=VI+1 NOC(WI,0)=P1: NOC(WI,1)=P2: NOC(WI,2)=P3 NOC(WI,3)=P4: NOC(WI,4)=P5: NOC(WI,5)=P6 NOC(WI,6)=P7: NOC(WI,7)=P8: NOC(WI,8)=P9 X(P2,1)=(X(P1,1)+X(P3,1))/2:X(P2,2)=(X(P1,2)+X(P3,2))/2 X(P4,1)=(X(P1,1)+X(P7,1))/2:X(P4,2)=(X(P1,2)+X(P7,2))/2 X(P6,1)=(X(P3,1)+X(P9,1))/2:X(P6,2)=(X(P3,2)+X(P9,2))/2 X(P8,1)=(X(P7,1)+X(P9,1))/2:X(P8,2)=(X(P7,2)+X(P9,2))/2 X(P5,1)=(X(P4,1)+X(P6,1))/2:X(P5,2)=(X(P2,2)+X(P8,2))/2 VI=VI+1 3020 NEXT JI TJ=TJ+(NSD(J)*NWD(I)) 3030 NEXT J VI=1: TG=TJ: TJ=0: L=L+1 NEXT K TM=TM+TG: TJ=0 NEXT I RETURN:RETURN 4000 '************** SEMAGCİZ **************** '======== EKRAN DÜZENLEME =========

Bölüm-12-2222


KEY OFF SCREEN 11: F$="####.##" ASP=.46 LOCATE 16,25 OPEN FILE$ FOR INPUT AS #3 INPUT #3,NN,NE,NM,NDIM,NEN,NBW,ND,NL DIM X(NN,NDIM),X1(NN,NDIM),NOC(NE,NEN),DEP(NN,NDIM),K(NN,NDIM) '============= DATALAR =============== 4010 FOR I=1 TO NN: FOR J=1 TO NDIM DEP(I,J)=0: X(I,J)=0 NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NN: FOR J=1 TO NDIM INPUT #1,X(I,J) NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NE: FOR J=1 TO NEN INPUT #1,NOC(I,J): NEXT J: NEXT I FOR I=1 TO NN FOR J=1 TO NDIM X1(I,J)=X(I,J) NEXT J: NEXT I XMAX=X(1,1): YMAX=X(1,2): XMIN=X(1,1): YMIN=X(1,2) FOR I=2 TO NN IF XMAX < X(I,1) THEN XMAX=X(I,1): IF YMAX < X(I,2) THEN YMAX=X(I,2) IF XMIN > X(I,1) THEN XMIN=X(I,1): IF YMIN > X(I,2) THEN YMIN=X(I,2) NEXT I CLS XL=(XMAX-XMIN): YL=(YMAX-YMIN) X0=XMIN-XL/10: Y0=YMIN-YL/10 LINE (80,1)-(80,350): LINE (80,350)-(639,350) VIEW (82,1)-(639,348) AA=538*ASP/167 IF XL/YL > AA THEN YL=XL/AA: IF XL/YL < AA THEN XL=YL*AA XMAX=X0+1.3*XL: YMAX=Y0+1.3*YL WINDOW (X0,Y0)-(XMAX,YMAX) LOCATE 1,3: PRINT USING F$; YMAX LOCATE 23,73: PRINT USING F$; XMAX LOCATE 23,10: PRINT USING F$; X0 LOCATE 22,3: PRINT USING F$; Y0 4015 IF NEN=9 GOTO 4100 '=========== ELEMAN ÇİZİMİ ================ 4020 CLS FOR IE=1 TO NE FOR II=1 TO NEN X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) IF II=NEN GOTO 4030 X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) GOTO 4040 4030 X2=X1(NOC(IE,1),1): Y2=X1(NOC(IE,1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) 4040 NEXT II: NEXT IE 4100 CLS FOR IE=1 TO NE FOR II=1 TO 2 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=7 TO 8 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+1),1): Y2=X1(NOC(IE,II+1),2)

Bölüm-12-2323


LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=1 TO 6 STEP 3 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+3),1): Y2=X1(NOC(IE,II+3),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II FOR II=3 TO 8 STEP 3 X1=X1(NOC(IE,II),1): Y1=X1(NOC(IE,II),2) X2=X1(NOC(IE,II+3),1): Y2=X1(NOC(IE,II+3),2) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) NEXT II CIRCLE (X1(NOC(IE,5),1),X1(NOC(IE,5),2)),.2 NEXT IE '================ DÜĞÜM NUMARALARI =============== 4200 LOCATE 24,20: INPUT ; " DÜĞÜM NUMARALARINI İSTERMİSİN > ",A$ IF A$="H" OR A$="h" GOTO 4300 FOR I=1 TO NN ICOL=(100+(538*(X1(I,1)-X0)/(1.2*XL)))/8 IROW=(168-167*(X1(I,2)-Y0)/(1.2*YL))/8 LOCATE IROW,ICOL: PRINT I; : NEXT I: LOCATE 24,20 INPUT ; "DÜĞÜMSÜZ ÇİZİM İSTERMİSİN < E/H > ",A$ IF A$="E" OR A$="e" GOTO 4015 4300 END

Bölüm-12-2424

sem ders notları m. topçu

Documents