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Semana 1: Números Reales y sus OperacionesTaller de Preparación para Prueba

PLANEA

Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

Conalep Tehuacán

P.T.B. en ADMO, SOMA y EMEC

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Los números enteros y susoperaciones

1. Los números enteros. Representación y valor absoluto

2. Ordenación de los números enteros

3. Operaciones con números enteros

4. Propiedades de los números enteros

5. Operaciones combinadas

UNIDAD 04

1º ESO | UNIDAD 04 | MATEMÁTICAS

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LOS NÚMEROS ENTEROS


• El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, N, el cero y los números negativos. Lo representamos con la letra Z.Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

• Los utilizamos para expresar temperaturas bajo cero, fechas históricas, altitudes, latitudes, deudas,…

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El valor absoluto de un número entero es el mismo número con signo positivo. Se expresa escribiendo el número entre barras.

|+ a| = |− a| = a

|+ 12| = |− 12| = 12

Dos números enteros son opuestos o simétricossi tienen distinto signo y el mismo valor absoluto.

|+ 7| = |− 7| = 7 Þ op (– 7) = 7

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2. Ordenación de los números enteros



• La forma más sencilla de ordenar los números enteros es mediante su representación en la recta numérica.

• Un número entero a es mayor que un número entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la recta numérica, mientras que es menor si se encuentra a la izquierda. También podemos decir que :a > b Û a – b > 0 a < b Û a – b < 0

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3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción



Para sumar dos o más números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los sumandos y se deja el mismo signo. El resultado siempre es un número entero.

(+8) + (+3) + (+5) = (+16)(–6) + (–8) + (–9) = (–23)

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Para sumar dos o más números enteros de distinto signo se suman por separado los del mismo signo y después se restan sus valores absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. El resultado es un número entero.

(–5) + (+4) + (–3) = (–5) + (–3) + (+4) =

= (–8) + (+4) = (–4)

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Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene así otro número entero.

(–7) – (–3) = (–7) + (+3) = (–4)

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3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división



Para multiplicar dos o más números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto se obtiene mediante la regla de los signos.

+ · + = + (+ 3) · (+ 5) = (+15)+ · – = – (+ 4) · (– 5) = (– 20)– · + = – (– 7) · (+ 2) = (– 14)– · – = + (– 6) · (– 3) = (+18)

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3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división



Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos. El signo de la división se obtiene mediante la regla de los signos.

+ : + = + (+ 15) : (+ 5) = (+3)+ : – = – (+ 18) : (– 2) = (– 9)– : + = – (– 12) : (+ 4) = (– 3)– : – = + (– 24) : (– 6) = (+4)

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3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces



La potencia de un número entero es otro número entero que se halla multiplicando la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

• Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva.

(+5)2 = 25

• Si la base es negativa, la potencia será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.

(– 3)2 = (+9) (– 3)3 = (– 27)

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3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces



Solo se puede realizar la raíz de un número entero positivo y de cero.

= ± b Û (± b)2 = aÖ9 = ± 3 Û (±3)2 = 9

La raíz de un número entero negativo no existe.

a

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La suma y la multiplicación de números enteros tienen las siguientes propiedades:

Suma Multiplicación

Conmutativa (–3) + (+ 4) = (+ 4) + (–3) (–3) · (+ 4) = (+ 4) · (–3)

Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + (– 9) =

= (+ 5) + [(+7) + (–9)]

[(+ 5) · (+ 7)] · (– 9) =

= (+ 5) · [(+7) · (–9)]

Elemento neutro (–6) + 0 = (– 6) (+ 5) · 1 = (+ 5)

Elemento opuesto o simétrico

(+3) + (– 3) = 0

Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

(–2) · [(+7) + (–3)] = (–2) · (+7) + (–2) · (–3)

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Las potencias de números enteros tienen las siguientes propiedades.

Multiplicación am · an = am + n (–6)3 · (–6)2 = (–6)3 + 2

División am : an = am – n (–6)3 : (–6)2 = (–6)3 - 2

Potencia de una potencia (am)n = am · n [(–6)2 ]3·= (–6)2 · 3

Potencia de cero y de uno

a0 = 1

a1 = a

(–6)0 = 1

(–6)1 = (–6)

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Las operaciones entre paréntesis son las primeras que debes realizar. También puedes eliminarlas de la siguiente manera:• Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los signos de los números que hayan dentro del mismo no se modifican.

3 + (–7 + 6) = 3 – 7 + 6 = 2• Si delante del paréntesis hay un signo negativo, cambiarán de signo todos los números que se encuentren dentro.

5 – (–3 + 8) = 5 + 3 – 8 = 0

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Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el siguiente orden:1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes.2.º Calcular las potencias y las raíces.3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición. 4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha.

[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22

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[(– 5) – 3] · (– 2) + (– 8) : 22 =

= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 22 =

= (– 8) · (– 2) + (– 8) : 4 =

= (+16) + (– 2) = (+14)

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Números fraccionarios y sus operaciones

1. Fracciones

2. Simplificación y ampliación de fracciones

3. Comparación y ordenación

4. Operaciones con fracciones


UNIDAD 05


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1. Fracciones

NÚMEROS FRACCIONARIOS


• Una fracción es el cociente entre dos números enteros a y b tales que b ≠ 0.El denominador b indica las partes iguales en que se divide la unidad.El numerador a indica las partes que se toman de las que se ha dividido la unidad.• Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo .

62

ba

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1. Fracciones



• Una fracción es impropia si el denominador es menor que el numerador. Por ejemplo .

• Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de extremos es igual al producto de medios.

es equivalente a Û a · d = b · c

69

ba

dc

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• Fracción ampliadaSe multiplica el numerador y el denominador por un mismo número mayor que 1.

43

86

2 · 42 · 3 ==

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• Fracción simplificadaSe divide el numerador y el denominador entre un divisor común mayor que 1.

• Fracción irreducibleEs aquella en la que el máximo común divisor del numerador y denominador (m. c. d.) es 1, es decir, son primos entre sí.

43

2 : 82 : 6

86 ==

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• Reducir fracciones a común denominador consiste en hallar otras con el mismo denominador que sean equivalentes a las originales. Este denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

• Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor numerador.

1520

159

34

53 y153) , m.c.m.(5y ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ®¾

=

159

1520 >

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• También se pueden comparar fracciones en la recta numérica. Dividimos la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y situamos la fracción en el punto que coincide con el número de partes que indica el numerador. La fracción mayor será la que quede situada a la derecha.

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4. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción



• Si tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador común.

• Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman o restan los denominadores y se mantiene el denominador común.

49

46

43 =+ 4

342

45 =-

63

610

21

35 +=+

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4. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción



Las propiedades de la suma de fracciones son las siguientes:

Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

32

41

41

32 +=+

32

45

31

32

45

31 ++=++

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

34

10

34 =+

10

30

35

35 ==-+

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

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4. Operaciones con fracciones. Multiplicación y división



• Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.

· = ba

dc

d · bc · a

158

54

32 =×

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• Las propiedades de la multiplicación de fracciones son las siguientes:

Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

Distributiva respecto a la suma o la resta

32 · 4

141 · 3

2 =

32 · 2

1 · 52

32 · 2

1 · 52

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

38

11 · 3

8 =

11

2020

45 · 5

4 ==

21 · 3

4 45 · 3

421

45 · 3

4 ±=±÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

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• Al dividir dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

: =ba

dc

c · bd · a

1514

75:3

2 =

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4. Operaciones con fracciones. Potencias



• Para calcular la potencia de una fracción se multiplica la fracción por sí misma tantas veces como indique el exponente.

También se puede calcular elevando numerador y denominador al exponente al que está elevada la fracción.

!!! "!!! #$ veces nn

ba · ... · b

a · ba

ba =

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

n

nn

ba

ba =

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

169

43

43

43

43

2

22==×=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

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4. Operaciones con fracciones. Potencias



• Se pueden realizar las mismas operaciones con las potencias de fracciones que con las potencias de base entera:

Multiplicación de potencias de la misma base

División de potencias de la

misma base

Potencia de una potencia

qpqp

ba

ba · b

a +

÷øö

çèæ

÷øö

çèæ

÷øö

çèæ =

qpqp

ba

ba : b

a -

÷øö

çèæ

÷øö

çèæ

÷øö

çèæ =

q · pqp

ba

ba

÷øö

çèæ

úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ =

7252

5

43

43

43 ·4

3÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ ==+ 53838

21

21

21 : 2

1÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ ==- 62 · 323

53

53

53

÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ

úúú

û

ù

êêê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ==

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Cuando se realizan varias operaciones con fracciones se debe seguir el siguiente orden:1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo.

2.º Calcular las potencias y las raíces.

3.º Realizar las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha según el orden de aparición.

4.º Hallar las sumas y las restas de izquierda a derecha según el orden de aparición.

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1617

4851

4848

4872

4827

11218

169

149

32

94:4

1

149

32

32:4

1

123

32

311:2

1

2

222

==-+=

=-+=

=-+=

=-+=

=-+-

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

·

·

·

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Potencias y raíces

1. Potencias

2. Operaciones con potencias

3. Cuadrados perfectos

4. Raíces cuadradas

UNIDAD 02


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1. Potencias

POTENCIAS Y RAÍCES


• Una potencia es una multiplicación en la que todos los factores son iguales:

• Las potencias están formadas por dos elementos:Base: es el factor que se repite.Exponente: es el número de veces que se repite la base.

n

n veces

a ·a ... · a · a · a =!"!#$

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1. Potencias. Potencias de base 10

POTENCIAS Y RAÍCES


• Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente.

105 = 100 000• Las potencias de base 10 tiene la ventaja de

facilitar la escritura de números muy grandes de forma abreviada.

5 000 000 000 = 5 · 109

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POTENCIAS Y RAÍCES


• El producto de potencias con la misma base es otra potencia con esa misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores.

am · an = am + n

34 · 32 = 34 + 2 Þ 81 · 9 = 36 Þ 729 = 729• El cociente de potencias con la misma base es

igual a otra potencia con la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes del dividendo y del divisor.

am : an = am – n

34 : 32 = 34 - 2 Þ 81 : 9 = 32 Þ 9 = 9

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POTENCIAS Y RAÍCES


• Las potencias de exponente 1 son iguales a la base, es decir, cualquier número elevado a la unidad es ese mismo número.

a1 = a71 = 7

• Cualquier número, distinto de cero, elevado a cero es siempre igual a la unidad.

a0 = 170 = 1

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POTENCIAS Y RAÍCES


• La potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

(a · b)m = am · bm

(8 · 3)2 = 82 · 32 Þ 242 = 64 · 9 Þ 576 = 576• La potencia de un cociente es el cociente

de las potencias del dividendo y del divisor.(a : b)m = am : bm

(15 : 3)2 = 152 : 32 Þ 52 = 225 : 9 Þ25 = 25

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POTENCIAS Y RAÍCES


• La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(am)n = am · n

(72)3 = 72 · 3

493 = 76

117 649 = 117 649

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3. Cuadrados perfectos

POTENCIAS Y RAÍCES


• Un cuadrado perfecto es aquel número que se obtiene de elevar al cuadrado un número natural.

Observando la siguiente figura es fácil deducir que:

1 = 12 9 = 32 25 = 52

4 = 22 6 = 42 36 = 62

Luego los números 1, 4, 9, 16, 25 y 36 son cuadrados perfectos.

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POTENCIAS Y RAÍCES


• La raíz cuadrada de un número natural a esotro número natural b tal que elevado alcuadrado sea igual al número dado a.

= b Û (b)2 = aa

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POTENCIAS Y RAÍCES


En toda raíz cuadrada distinguimos:

Radical: es el signo de la radicalización.

Radicando, a: es el número del que calculamos la raíz cuadrada.

Índice: es el es exponente al que está elevada la potencia.

Raíz, b: es el resultado de la operación.

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POTENCIAS Y RAÍCES


• Cuando al hacer la operación raíz cuadradade un número obtenemos un resultadoexacto, estaremos antes una raíz cuadradaexacta.

• Cuando el último resto es distinto de cerotenemos una raíz cuadrada entera.

• No existen las raíces cuadradas de losnúmeros negativos.

25625 =

...,3028801=

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