semana 2 la recta
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
UNIVERSIDAD NACIONAL
MAYOR DE SAN MARCOS
LA RECTA
Determinar la verdadera magnitud, orientación, pendiente y las posiciones relativas de una recta en el espacio y su representación en la planimetría.
DEFINICIÓN
La recta queda definida por la unión de dos puntos y se considera ilimitada. Para el desarrollo de este capítulo se trabajará con un segmento de recta que estará limitado en posición y dirección.
EL CONJUNTO
DE PUNTOS
LA RECTA
LA RECTA
A) PROYECCIONES DE UNA RECTA.
F
H
P F
BH
AF
BF BP
AP
AH AH
BH
AF
BF
A
B BP
AP
F
F
P
Se observa la recta AB proyectada en el sistema de planos H, F
y P. Para construir las proyecciones de la recta AB, basta unir
las proyecciones de los puntos A y B en los planos respectivos.
Toda recta paralela a
un plano de
proyección, se
proyecta en verdadera
magnitud en el plano
de proyección.
AB // A2B2
TIPOS DE PROYECCIONES DE UNA RECTA
Toda recta perpendicular a un plano de proyección, se
proyecta como un punto. AB es perpendicular al plano 2
.
Toda recta que no es paralela ni
perpendicular a un plano de proyección,
se proyecta deformada, con un tamaño
menor al real. AB ˃ a2b2
B) PUNTOS CONTENIDOS EN UNA RECTA
Si un punto pertenece a una línea recta, las proyecciones de
dicho punto aparecerán en todas las proyecciones de la recta
formando parte de la misma.
En la figura, el punto B
pertenece a la recta AC.
AH BH
CH
AF
BF CF
H
F
EJEMPLO
H
F
BH
AF
BF
PH
AH
Ubicar el punto PH en la vista frontal
.
a) Desde PH línea de referencia perpendicular a la L.P. H/F
H
F
BH
AF
BF
PH
AH
.
b) Se ubica PF sobre la recta AFBF.
H
F
BH
AF
BF
PH
AH
PF
.
.
RELACION ENTRE SEGMENTOS Y SUS
PROYECCIONES
Los segmentos que
determinan un punto sobre
una recta tiene la misma
razón o proporción que las
que determina las
proyecciones de dicho
punto en las de la recta.
CF
H
F
AF
BH
BF
AH
CH
RELACIÓN ENTRE SEGMENTOS
La figura muestra que el
segmento AC queda
dividido por el punto B
en la relación 1:1, las
proyecciones de la
recta en los diferentes
planos, quedan
divididos en la misma
proporción.
Relación entre segmentos.
C) POSICIONES PARTICULARES DE UNA RECTA
Las posiciones particulares de una recta con respecto a
los planos principales de proyección son en función al
paralelismo o perpendicularidad que guardan la recta
con el plano de proyección.
En relacion de paralelismo con los plano H - F - P
se subdivide en 3:
- Recta Horizontal
- Recta Frontal
- Recta de Perfil
En relación de perpendicularidad con los plano H - F - P
se subdivide en 3:
- Recta Vertical
- Recta Normal
- Recta Ortoperfil
POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTA
Existen 2 :
EN RELACION DE PARALELISMO CON
LOS PLANO H - F - P
POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTA
RECTA HORIZONTAL
Es una recta
paralela al plano
Horizontal, sus
cotas son iguales,
su proyección en H
está en V.M.
Su proyección
frontal es paralela a
la línea de pliegue
H/F.
AH
BH
AF
BF
H
F
F
BP
AP
P
RECTA HORIZONTAL
Verdadera magnitud
En la vista superior
Angulo de inclinación
Angulo = 0
Angulo de rumbo 0 < Rumbo < 90
RECTA FRONTAL
Recta paralela al plano frontal de proyección, no es perpendicular,
ni paralela a los planos superior y lateral derecho, el ángulo de
inclinación y su verdadera magnitud se proyecta en la vista frontal.
H
F
AH BH
AF
BF
AP
BP
F P
RECTA FRONTAL
Verdadera magnitud
En la vista frontal
Angulo de inclinación
90 > Angulo > 0
Angulo de rumbo W = Rumbo = E
RECTA DE PERFIL
Es una recta
paralela al plano de
perfil sus
apartamientos son
iguales, en el plano
de proyección P se
presenta en V.M.
AH
BH
AF
BF
H
F
F
BP
AP
P
RECTA PERFIL
Verdadera magnitud
En la lateral derecha
Angulo de inclinación
90 > Angulo > 0
Angulo de rumbo N = Rumbo = S
H
F
H
F
H
F
AH
BH
AF BF
AH BH
AH
BH
AF
BF
AF
BF
AP BP
AP
BP BP
AP
F P
F P
F P
RECTA HORIZONTAL RECTA FRONTAL RECTA DE PERFIL
RECTAS NOTABLES
POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTA
EN RELACION DE PERPENDICULARIDAD CON LOS PLANO H - F - P
RECTA VERTICAL
Es una recta
perpendicular al plano H
de proyección, en la vista
H se ve como un punto,
en las vistas frontal y de
perfil se proyectara en
V.M.
AH BH
AF
BF
H
F
F
BP
AP
P
.
VM
VM
RECTA VERTICAL
Verdadera magnitud
En todas las vistas de alzada
Angulo de inclinación
Angulo = 90
Angulo de rumbo No tiene
RECTA NORMAL (ORTOFRONTAL)
Es una recta
perpendicular
al plano frontal de
proyección,
en la vista frontal se
proyectara como un
punto y se proyectara
en V.M. en las vistas
H y P.
PH
QH
PF
QF
H
F
F
QP
PP
P
VM
VM .
RECTA DE NORMAL
Verdadera magnitud
En todas las vistas adyacentes a la vista frontal
Angulo de inclinación
Angulo = 0
Angulo de rumbo N = Rumbo = S
VM
VM
RECTA PERPENDICULAR AL PLANO P
(ORTOPERFIL)
Se proyectara como un
punto en la vista de
perfil y se proyectara
en V.M. en las vistas H
y F.
OH RH
OF
RF
H
F
F
RP
OP
P
.
RECTA ORTOPERFIL
Verdadera magnitud
En todas las vistas adyacentes a la vista lateral der.
Angulo de inclinación
Angulo = 0
Angulo de rumbo W = Rumbo = E
H
F
H
F
H
F AF
BF AF BF AF BF
AH BH AH
BH
AH BH
AP
BP
AP BP AP BP F P F P F P
V.M
.
V.M
.
V.M
. V.M. V.M.
V.M.
RECTA VERTICAL RECTA NORMAL RECTA PERPENDICULAR
AL PLANO P
.
. .
RECTAS QUE SE CORTAN
Dos rectas que se cortan son concurrentes y forman un
plano y sus proyecciones se cortan en un punto que es la
proyección del punto de intersección de las dos rectas.
D) POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS
H
F
AH
BH DH
CH
AF CF
BF DF
EJEMPLO:
AH
H
F
DH
CH BH
BF
CF
DF AF
XF
XH
Dos rectas AB y CD
coplanares se cortan en X.
Hallar si en otra vista auxiliar
tambien se cortan.
Se traza la línea de pliegue F-1. Se trasladan todas las rectas a dicha vista corroborando que en esas vista también se cortan
AH
CH BH
DH
XH
AF
H
F
CF
XF
BF
DF
H 1
A1
B1
C1
D1
X1
RECTAS QUE SE CRUZAN
Son rectas que no tienen ningún punto en común: una recta
pasa a cierta distancia de otra sin cortarla ni serle paralela;
no son coplanares.
H
F
AH
BH DH
CH
AF CF
BF
DF
1
2
4
3
3,4
1,2
Posiciones especiales:
VISIBILIDAD DE TUBOS
H
F
AH
BH
AF BF
CH
DH
CF DF
EH FH
EF FF
37
SH
RH
BH
AH
H
F
AF BF
RF
SF
VISIBILIDAD DE EXTREMOS
Determinar la visibilidad de la tubería AB y RS
AH
RH
SH BH
H
F
SF
AF BF
RF
Analizando los extremos de las rectas , de modo
que los extremos visibles se muestran a manera de
elipses
39
Para realizar la visibilidad en un plano de proyección de dos
rectas que se cruzan, se traza a partir del punto de cruce,
una línea de referencia al plano de proyección adyacente y
la recta que lo toque primero será visible.
REGLA PRÁCTICA:
H
F
H
F
CH
DH
CF
DF
AH
BH
AF
BF
CH
DH
CF
DF
AH
BH
AF
BF
2
1
2
1
3
4
4
3
AH
DH
CH
BH
AF
CF BF
DF
RECTAS QUE SE CRUZAN
Analizar la visibilidad de las rectas AB y CD
Ejemplo:
H
F
AH
CH
DH
DF
BH
BF
AF
CF
1,2
1
2
En el plano F un punto de cruce es 1,2; se traza a partir de este punto una
línea de referencia al plano H, donde se encuentra primero la proyección de
DC al que se denomina 1, y luego la proyección de AB al que se denomina 2.
El punto 1 se encuentra mas delante de 2, luego en el plano F, la proyección
de CD es visible .
H
F
AH
CH
DH
DF
BH
BF
AF
CF
1,2
3,4
3
4
1
2
En forma semejante se hace el analisis para el cruce 3,4 y se encuentra
que CD se halla encima de AB y por lo tanto es visible en el punto de
cruce en el plano H.
Se concluye analizando los extremos de las rectas, de modo que los
extremos visibles se muestran a manera de elipses si se trata de tuberias.
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto
común y son coplanares.
H
F
AH
BH
AF
BF
CH
DH
CF
DF
IH
H
KH
JH
LH
F
IF
JF
KF
LF
Nota: Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus
proyecciones respectivas en los diversos planos
también las mostraran paralelas
IH
H
KH
JH LH
F
IF
JF
KF
LF JP
KP
LP
IP
F P
K1 I1
L1
J1
H
1
L2K2
J2I2
V M de la distancia
entre rectas
paralelas
1
2
Si una de ellas
se proyecta en
V.M o de punta,
la recta paralela
recíprocamente
se proyectara
en V.M o de
punta.
KH
KF
LF
F
H
MF
MF NH
NF
LH
RECTAS PERPENDICULARES
Serán perpendiculares entre sí, si y
solo si, por lo menos una de ellas se
proyecta en VM.
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse o
cruzarse forma un ángulo de 90
Nota:
KH
KF
K1
L1
LF F
H
90º
MF
MF
M1
NH
NF
LH
La figura nos muestra
las proyecciones de
dos rectas
perpendiculares KL y
MN.
N1
KH
KF
K1
L1
LF F
H
90º
L1
K2
M2 N2
MF
MF
M1
N1
NH
NF
LH
Si una de las rectas se proyecta
como punto y la otra en V.M, es
obvio que las rectas serán
perpendiculares entre si .
Determinar si AB y DC son rectas perpendiculares
AH
AF
BH
BF
CH
CF
DH
DF
H
F
EJEMPLO:
AH
AF
BH
BF
CH
CF
DH
DF
H
F
Se traza una línea de pliegue paralela a de tal forma para hallar la VM de las mismas.
CH DH
AH
AF
BH
BF
CH
CF
DH
DF
H
F
A1
B1 C1
D1
Luego trasladamos todas las rectas a ese plano para
determinar si son perpendiculares
E) VERDADERA MAGNITUD DE RECTAS OBLICUAS
a) PROCEDIMIENTO DE PLANOS AUXILIARES
La recta AB se proyectará en VM si trazamos una línea
de pliegue paralela a su proyección (sea en H o F)
La proyección de una recta se dice que esta en “Verdadera
Magnitud”(VM), si la longitud que representa guarda exacta
relación con la longitud de la recta que se proyecta.
• TL=Longitud real
• EV=Vista de canto
• EV del plano horizontal
EJEMPLO:
Se tiene las proyecciones horizontal y frontal de la recta
AB. Hallar su verdadera magnitud.
AF
AH
BH
BF
H
F
CASO 1:
Se traza la línea de pliegue H1 paralelo a la proyección
horizontal de la recta AB
AH
BH
BF
AF
H
F
Se trazan líneas paralelas a la línea de pliegue H1 que parten
desde la proyección horizontal de la recta AB.
AH
BH
BF
AF
H
F
Se traslada la medida del punto AF y BF hasta la línea de
pliegue H-F
AH
BH
BF
AF
H
F
AH
BH
BF
AF
H
F
A1 B1
X
Y
Y
X
Al unir las proyecciones de los puntos A y B en la vista 1, se
obtiene la Verdadera Magnitud de la recta AB.
AH
BH
BF
AF
H
F
A1 B1
H
F
AH
BH
BF
AF
Se traza la línea de pliegue F/1 paralela a la proyección AFBF
para hallar su V.M.
CASO 2:
H
F
AH
BH
BF
B1
AF
A1
Se traslada la medida del punto AH y BH hasta la línea de
pliegue H-F en la vista auxiliar 1
H
F
AH
BH
BF
B1
AF
A1
VM
Se procede a hallar la V.M. de la recta AB, en una vista
auxiliar.
Llevamos la longitud de la proyección horizontal (ph.) de la recta
dada a una recta horizontal cualquiera, tal como L, y por uno de
sus extremos perpendicularmente trazamos una recta β, a
donde trasladamos la diferencia de cotas de la recta AB.
De este modo formamos los catetos de un triángulo rectángulo;
la recta que hace la hipotenusa nos representa la V.M de la
recta AB
b) PROCEDIMIENTO DE DIFERENCIA DE COTAS
Se mide la longitud horizontal de la recta AB (Lh AB)
BH
AH
AF
BF
H
F
PASOS A SEGUIR:
L.h.(AB) : longitud horizontal
Se mide la distancia de los puntos A y B hacia la línea de
pliegue HF, obteniéndose las cotas X e Y.
Y
X
BH
AH
AF
BF
H
F
Al restar las cotas X e Y, se obtiene la diferencia de cotas,
necesario para este procedimiento.
Y X
BH
AH
AF
BF
H
F
D.c.(AB)
D.c.(AB)=Y - X
D.c.(AB): difencia de cotas de A y B
L.h.(AB): longitud horizontal de A y B
Lh AB = AHBH
También se puede determinar la V.M. de una recta usando el
siguiente triangulo.
Longitud frontal
Diferencia de
alejamientos
AH BH
DcAB
A
B
VERDADERA MAGNITUD DE UNA RECTA
MÉTODO DEL DIAGRAMA DE VERDADERA MAGNITUD
H
F
BF
H 3
AF
AH
BH
A1
B2
A3
B3
A2 B2
A3
Nota:
Si en un plano de proyección la recta se proyecta en verdadera
magnitud entonces en todos los planos de proyección
adyacentes, la recta se proyectara paralela a la línea de pliegue o
como un punto. En los planos F,1 Y 2 todos los puntos de a recta
tienen igual cota
.
F) PROYECCIÓN DE UNA RECTA COMO PUNTO
Una recta se proyecta “como un punto” en cualquier plano
perpendicular a ella, proyectándose en el plano adyacente en
verdadera magnitud.
EJEMPLO:
Hallar la proyección de la recta AB como un punto
H
F
AH
BH
BF
AF
se traza la línea de pliegue F/1 paralela a la proyección AFBF
para hallar su V.M.
H
F
AH
BH
BF
B1
AF
A1
Se procede a hallar la V.M. de la recta AB, en una vista
auxiliar.
H
F
AH
BH
BF
B1
AF
A1
VM
Se traza la línea de pliegue 1/2 perpendicular a la
Verdadera Magnitud de la recta AB.
1
H
2
F
AH
BH
BF
B1
AF
A1
VM
Se trasladan las medidas de los puntos A y B hacia la vista 2,
como resultado la recta quedará proyectada como un punto.
B2A2
1
H
2
F
AH
BH
BF
B1
AF
A1
VM .
H
F AF
BF
AH BH
B2
B1 A2
A1
VM
RECTA PROYECTADA COMO PUNTO
VM
PROYECTAR EL CUBO ISOMÉTRICAMENTE
(UNA DIAGONAL DEL CUBO SE DEBE PROYECTAR COMO
UN PUNTO)
2
2
3
4 5 6
7 8
8 5 6
7
4 3
1
1
H
F
H
F
En el plano de proyeccion 1, los planos 246 y 357 son
perpendiculares a la diagonal 18 y la dividen en tres partes iguales
H
1
2
2
3
4 5 6
8
8 5 6
7
4 3
1
7
1
2 4
3
8
1
6
7
5
H
F
H
1
2
2
3
4 5 6
8
8 5 6
7
4 3
1
7
1
2
4 3
8
1
6
7
5
En el plano de proyeccion 2 los triangulos equilateros 246 y 357
se proyectan en verdadera magnitud
2
3
4
1
8 6
7
5
1
2
G) RUMBO Y ORIENTACIÓN DE UNA RECTA
El rumbo de una recta es el que nos indica su dirección y situación en el espacio con relación al norte magnético.
La orientación de una recta es el ángulo que sigue la proyección horizontal de dicha recta con las direcciones de orientación que indican los puntos cardinales, todo lo que se objetiviza en el plano H.
RUMBO
El rumbo de una recta es el que nos indica su direccion y
situacion en el espacio con respecto all norte magnetico
N
E O
S
Өº AH
BH
BF
AF
H
F
E O
S Өº
AH
BH
BF
AF
H
F
R AB: N Өº O R BA: S Өº E
N
RUMBO
ORIENTACION DE UNA RECTA
La orientación de una recta es el ángulo que sigue la
proyección horizontal de dicha recta con las
direcciones de orientación que indican los puntos
cardinales, todo lo que se objetiviza en el plano H .
Por convenio se utiliza un angulo menor a 90 para
anotar el angulo de orientación , especificándose
primero respecto a la posicion Norte o Sur , luego el
ángulo que forma la proyección con dicha posición , y
finalmente en que dirección se ha “barrido”.
ORIENTACION DE UNA RECTA
H
F
AH
AF
BH
BF
N
S
W E
OAB = N αº E ALTERNATIVAS DE ORIENTACION N N αº E
S N αº W
E S αº E
W S αº W
EJERCICIO ILUSTRATIVO
Graficar las proyecciones frontal y horizontal de una recta
AB sabiendo que es horizontal y mide 500 metros:
•Coordenadas múltiples del punto A
A(4,3,14) para graficar las coordenadas
1u = 1 cuadradito
• Tiene una orientación S60ºE
• Su verdadera magnitud es de 500m
(escala 1/10 000)
SOLUCIÓN PARTE 1
AH
AF
Se ubica el punto A con las coordenadas dadas A(4,3,14)
Desde el punto AH se traza la orientación S60
E
AH
AF
N
Se dibuja la línea de pliegue H-F (arbitrario)
perpendicular a la línea de referencia.
AH
AF
N
H
F
Desde el punto AF se traza una línea horizontal
AH
AF
N
H
F
Como AB en la proyección horizontal se proyecta en VM,
AHBH medirá 5 cm. (según la escala 1/10 000, 500 m es
5 cm).
AH
AF
N
H
F
5
AH
AF
N
H
F
5
Se ubica el punto BH y se tiene la proyección de la recta
AB en la vista frontal .
BH
BF
H) PENDIENTE DE UNA RECTA
Pendiente.- Es el ángulo de inclinación que hace dicha recta
con el plano principal o un plano paralelo a él. Se dice que
una recta está en pendiente, si está en posición inclinada
respecto a un plano horizontal
Nota:
La recta tendrá pendiente cero si está
contenida en un plano horizontal o un plano
paralelo a ella
PENDIENTE DE UNA RECTA
Es el ángulo que forma la recta con el plano horizontal.
También es la tangente trigonométrica del ángulo:
Tg θº = cateto opuesto = X
cateto adyacente Y
H H
θ θ
X
Y AH AH
B B
PENDIENTE DE UNA RECTA FRONTAL Y DE
PERFIL
La determinación de la pendiente de este tipo de rectas es mediato puesto que se proyectan en V.M en los planos F y P respectivamente.
H
F
H
F
F 1
BH
BF
AF
AH
Өº Өº
CH
DH
DF
CF CP
DP
AH
AF
BH
BF
F
H
AH
AF
A1
BH
B1
BF
F
H
ø
PROCEDIMIENTOS PARA DETERMINAR LA PENDIENTE DE
UNA RECTA OBLICUA
a) Procedimiento de planos auxiliares de proyección
Se proyecta la recta dada en V.M en una vista de elevación (adyacente al plano H). Donde podamos determinar la pendiente de dicha recta.
b) Procedimiento de la diferencia de cotas y la construcción
auxiliar
Realizamos las mismas construcciones que para determinar la V.M de una recta, el ángulo de inclinación aparece por construcción.
F
H
AH
BH
BF
AF
D.c(AB)
D.c(AB)
B
A
L.h(BA)
Өº
NOTACIONES USUALES DE LA
PENDIENTE O INCLINACIÓN DE
UNA RECTA
AH
AF
A1
BH
B1
BF
F
H
53º
Pendiente BA= 53º descendente
PENDIENTE EXPRESADA
EN GRADOS
PENDIENTE EXPRESADA EN
PORCENTAJE
La pendiente de una recta expresada como la tangente
trigonométrica del ángulo multiplicada por 100, es muy
usada en Ingeniería civil y esta definida del siguiente
modo.
DH
DF
D1
CH
C1
CF
F
H
PENDIENTE CD 4x100
30
133.3%
Dicho de otro modo, si una recta
tiene una pendiente de 133%, esto
significa que por cada 100
unidades de distancia horizontal
existe una diferencia de nivel (o de
cotas) de 133 unidades entre los
extremos de
dicha recta.
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Inclinación de 50%
A
B
A
B
A
B
100
50
10
5
2
1 = =
EJEMPLO:
Determinar la pendiente en % de la recta AB (sentido
vectorial)
A
B
A
B
A
B
X
Y
100
70
10
7 = =
M = cateto opuesto x 100 = 70 x 100 = 70 Cateto adyacente 100
DATOS ADICIONALES
• La pendiente de una recta puede ser hacia arriba o hacia
abajo, pero siempre en sentido vectorial.
• La pendiente de una recta se ve únicamente en la proyección
auxiliar adyacente al plano horizontal, en la cual la recta se
proyecta en Verdadera magnitud ; si se usa el procedimiento
de los planos auxiliares.
• La orientación se analiza y se deduce solo en las
proyecciones del plano horizontal.
• La verdadera magnitud se deduce en una vista de elevación
paralela a la recta ( planos auxiliares), o por diferencia de
cotas.
GRAFICAR LA VISTA FRONTAL DEL PÓRTICO QUE TIENE COMA BASE DE CONSTRUCCIÓN UN CUBO DE 4 METROS, LA PUERTA TIENE UN ANCHO DE 2 METROS, EL ARCO ES UNA SEMICIRCUNFERENCIA Y LA ALTURA TOTAL DE LA PUERTA ES DE 3 METROS.
EJERCICIO ILUSTRATIVO
Graficar las proyecciones frontal y horizontal de una recta
AB sabiendo:
•Coordenadas múltiples del punto A
A(4,3,14) para graficar las coordenadas
1u = 1 cuadradito
• Tiene una orientación S60ºE
• Su verdadera magnitud es de 500m
(escala 1/10 000)
• Tiene una pendiente de 30% ascendente
A) Diagrama de fuerzas
B) Diagrama preliminar del cuerpo libre
C) Diagrama de vectores
D) Diagrama final de cuerpo libre
SECCIÓN DE CENTRO Y EXTREMO
SECCIÓN COLA DE MILANO
SECCION DOBLE ESPIGA-ESQUINA
SECCION A INGLETE
PARTE 2: PENDIENTE Y VERDADERA MAGNITUD.
Se mide 5cm (arbitrario) para tener de cateto adyacente y
poder hallar la pendiente de 30%
AH
AF
N
H
F
H 1 A1
5
Se mide 1.5(arbitrario) para hallar el cateto opuesto y
poder unir A1 y hallar la pendiente de 30%
AH
AF
N
H
F
H 1 A1
5
1.5
Se une el punto con la intersección de los catetos , la
recta que se forma estará en V.M
AH
AF
N
H
F
H 1 A1
5
1.5
Se tiene la distancia verdadera de la recta (500m) , en la escala seria 5 u, para
saber donde se encuentra el punto B se hace una circunferencia de 5 u de
radio
AH
N
H
F
H 1 A1
5
AF
Se halla el punto B en la intersección de la circunferencia
con la pendiente de 30%
AH
N
H
F
H 1 A1
5
B1
AF
B1 se proyecta en el plano H
AH
N
H
F
H 1 A1
5
B1
BH
AF
Una vez hallado el punto BH se proyecta en el plano F para
hallar el punto BF
AH
N
H
F
H 1 A1
5
B1
BH
AF
BF
Respuesta :
AH
N
H
F
H 1 A1
5
B1
BH
AF
BF
Determinar la pendiente de la recta de AB
H
F
AH
AF
BH
BF
PROBLEMA:
Se traza la línea de pliegue H-1paralela a la recta AB.
H
F
AH
AF
BH
BF
A1
B1
Se traza líneas de referencia perpendicular a la línea de pliegue H-1
H
F
AH
AF
BH
BF
A1
B1
H
F
AH
AF
BH
BF
Trazamos una paralela a H-1 desde y se toma el ángulo. Siendo así el ángulo de pendiente.
X
1
PROBLEMA PROPUESTO
Dividir al segmento MN de acuerdo a la siguiente proporción
NM/PN=4/3.no se usara ninguna vista auxiliar.
H
F
MH
NH
MF
NF
Los segmentos que determina un punto sobre una recta tiene la
misma razón o proporción que las que determina las proyecciones
de dicho punto en las de la recta.
Por el principio de Thales dividimos los segmentos en la
proporción dada en cualquiera de las vistas
H
F
7 6
5 4 3 2
1 MH
NH
MF
NF
Por el punto 4 trazamos un paralela a al segmento NH7, ubicando
PH.
7 6
5 4 3 2
1
H
F
MH
NH
MF
NF
Se proyecta PH a la vista frontal. donde se ubica PF
7 6
5 4 3 2
1
H
F
MH
NH
MF
NF
PH
PF
PROBLEMA PROPUESTO
2
Dado el solido hallar la recta AB como un punto
A
B
Se enumera el solido
A = 6
B = 3
1
2
3
4
5
6
7
Se halla su vista horizontal y frontal
F
H
3 1
2
4 7
5
6
2
6 5
7 4
3 1
Se traza la linea de pliegue H-1 paralela ala recta AB(63)
1
F
H
3 1
2
4 7
5
6
2
6 5
7 4
3 1
H
1
F
H
3 1
2
4 7
5
6
2
6
5
7
4
3
1
H
6
5
,2 3
4,
1
7
L a recta 63 se encuentra en
verdadera magnitud
1
F
H
3
2
4 7
5
6
2
6
5
7
4
3
1
H
6
5
,2
3
4,
1
7
5
4
7
6 3,
2
1
1 2
Se traza la linea de
pliegue 1-2
perpendicular a la
recta 63 y se ubica la
recta 63 como un
punto
PROBLEMA PROPUESTO
3
Completar las proyecciones del cuadrado ABCD y el triangulo
ABR no coplanares pero de igual pendiente . Utilizar como
maximo un plano auxiliar de proyeccion , el triangulo ABR
baja hacia el sureste
AH
AF
BH
CH
Como AHBH L BHCH entonces AHBH en v.m. se ubica BF(
AFBF // L.p H/F)
H
F
BF AF
BH
AH
DH
CH
Se proyecta AB como un punto A1B1 con centro en A1B1 se traza un
arco con radio= r = AHBH .ubicando C1D1
H
F
BF AF
BH
AH
DH
CH
H
H 1
B1A1
C1D1
Se construye el triangulo A1B1R1 de canto r= altura del triangulo y
pendiente 65
H
F
BF AF
BH
AH
DH
CH
H
H 1
B1A1
C1D1
R1
Se ubica RH en la mediatriz de AHBH
H
F
BF
BH
AH
DH
CH
H
H 1
B1A1
C1D1
R1
RH
h
AF
Se completan las
proyecciones
H
F
BF
BH
AH
DH
CH
H
H 1
B1A1
C1D1
R1
RH
h
AF
CF DF
RF
PROBLEMA PROPUESTO
4
LOCALIZACIÓN DE UNA LÍNEA DADO SU RUMBO,
DECLIVE Y LONGITUD
Datos:
Rumbo: N 45º E
Declive: 30%
Longitud: 420 m.
H
F
AH
AF
Ubicamos con el
dato de N 45º E la
orientación del
punto a sabiendo
que la orientación
siempre se lleva
cabo en la vista
horizontal. H
F
AH
AF
N
SOLUCION
Luego trazamos una línea de pliegue H-1 para hallar la
pendiente de esa recta.(sabiendo que la pendiente se mide
en una vista auxiliar y en VM.)
H
F
AF
AH
A1
H
F
AF
AH
A1
Trazamos sobre ese ato de la pendiente la distancia de la
recta de 420 m. donde queda ubicado el extremo de la
recta B1 .
B1
H
F
AF
AH
A1
Por ultimo solo
nos queda
trasladar los
dato de B.
B1
BH
BF
PROBLEMA PROPUESTO
5
Hallar AF , teniendo MAB de pendiente 50%
Dada AB trazar H-1 // AH BH
H
F
AH BH
BF
Del punto B y // LP H-F
se traza 2x
H
F
AH BH
BF 2X
SOLUCION
H
F
AH BH
BF 2X
X
Perpendicular a 2x trazamos x hacia arriba.
H
F
AH BH
BF 2X
X
Se une formando el triangulo rectángulo encontrando AF
AF
PROBLEMA PROPUESTO
6
AB y CD son dos segmentos paralelos y de pendiente
ascendente , cuyas verdaderas magnitudes son 3.5u y 4.7u
respectivamente. Sabiendo que C pertenece al pliegue F-P y
D pertenece al plano principal horizontal .determinar la
proyecciones de CD.
F
H
F P
AH
BH
Como C pertenece al pliegue F-P, su proyección en`H`es en la
línea de pliegue H-F
F
H
F P UBICACIÓN DE C
EN EL PLANO H
AH
BH
CH
Por condición del problema que AB y CD son paralelas entonces, en
todos los planos auxiliares AB y CD deberán ser siempre rectas
paralelas.
Por C se levanta una recta paralela a AB.
F
H
F P
AH
BH
CH
Disponemos H-1 paralelo a la PH(AB) sabiendo que en “1” la
recta AB debe proyectarse en VM ; y por condición de paralelismo
también DC.
F
H
F P
BH
AH CH
D1
C1
Entonces , por diferencias de cotas sabiendo que la VM de AB
es 3.5u y la proyección horizontal esta dada ,podemos
determinar la pendiente ascendente de AB, lo cual
disponemos en la vista del plano1.
P.H(AB)
d.c
(A
B)
F
H
F P
BH
AH
CH
D1
C1
Completamos las proyecciones de CD por paralelismo.
DH
CP
PROBLEMA PROPUESTO
7
Determinar la proyección de una recta AB en el plano
horizontal y frontal, sabiendo que tiene orientación N
45º O y una pendiente descendente de 60% y cuya
verdadera magnitud es 3cm.
AH
AF
F
H
N
E
S
O
45º
AH
AF
F
H
A1
SOLUCION
Por la proyección de
A en el plano H,
determinaremos la
orientación que sigue
la recta.
AH
AF
F
H
A1
Paralela a la orientación de la recta, disponemos el plano 1, donde proyectamos A1.
B1
AH
AF
F
H
A1
Por A1, una paralela a H-1, donde construimos un triangulo rectángulo de catetos 100 y 60 unidades (60% de pendiente descendente)
A1
BH
B1
AH
AF
F
H
En la prolongación de la hipotenusa del triangulo formado y a 3cm de A1, se hallará la proyección de B1 de la recta AB.
Transferimos las proyecciones a las demás vistas a través de sus respectivas líneas de referencia, ubicamos Bh Y Bf.
A1
BH
BF
B1
AH
AF
F
H
PROBLEMA PROPUESTO
8
Completar las proyecciones de las rectas AB RS y JK
sabiendo que estas son iguales en longitud y miden 4u AB es
horizontal y esta apoyada en los planos F y P dados RS es
de perfil y esta apoyada en los planos H y F dados JK es de
frontal y esta apoyada en los planos H y P dados.
P H
H
F
AF
JH
RH
La recta AB se proyecta en VM en el plano ;desde HA 4u.
Tocando un punto además B tiene la misma cota de A, de este
modo queda determinada la proyección de B en los planos H y F
BH
AH
AF BH
H
F
JH
RH
La recta RS se proyecta en VM en el plano P ; desde RP
medimos 4u hasta tocar F-P donde estará ubicado el punto SP,
como RS es de perfil sus proyecciones en H y F serán paralelas
H-P y F-P respectivamente.
H
F
RH
SH
RF
SF
BF
AH
JH
BH
RP
AF
SP
La recta JK se proyecta en VM en el plano F; desde JF, ubicado
en H-F, medimos 4u hasta tocar F-P en el punto KF;JHJK es
paralela a H-P.
H
F
RH
JH
JF
SF
SH KH
RF
AH
BH
BF
AF
SP
RP
KF
PROBLEMA PROPUESTO
9
LM es la recta de máxima pendiente de un plano que contiene
un pentágono inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es
también LM. Hallar sus proyecciones sabiendo que uno de sus
lado del pentágono es de perfil.
LH
LF
MF
MH H
F
Se traza la línea de pliegue H-F
SOLUCION:
LH
LF
MF
MH H
F
Proyectamos líneas de referencia; y
unimos los puntos LM en los planos H y F
LH
LF
MF
MH H
F
Se traza una línea de pliegue paralela a LH MH
LH
LF
MF
MH H
F
H
1
Se proyectan las líneas de referencia y ubicamos los puntos
L1 M1
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
Unimos los puntos en el plano 1 en el cual el plano de
proyecta de canto.
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
Se traza una línea de pliegue
1-2 paralela L1M1
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
Se proyectan las líneas
de referencia y
ubicamos los puntos L2
y M2
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
En el plano 2 la recta MN se
verá en VM. Trazamos una
circunferencia con diámetro
LM
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
YH
Como uno de los lados del
pentágono está de perfil, en el
plano H trazamos una recta de
perfil arbitraria tal como MY
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
YH
Se hallan las
proyecciones de MY en
los planos 1 y 2
Y1
Y2
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
YH
Y1
Y2
Se unen los puntos Y2 M2
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
YH
Y1
Y2
Se trazan 2 diámetros
perpendiculares, uno de los cuales
deberá ser // a MY
Ubicamos el punto
de intersección del
diámetro no paralelo
a MY y la
circunferencia
(A2)
Dicha cuerda trazada
con un ángulo de 54º
viene a ser el lado
del pentágono.
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
YH
Y1 Y2
54º
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
YH
Y1 Y2
54º
Conocido el lado del pentágono se
construye los demás lados.
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
YH
Y1 Y2
54º
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
Una vez obtenido todos los
puntos del pentágono se
comienza a proyectar cada
punto.
A2
E2
B2
C2
D2
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2 A2
E2
B2
C2
D2
Proyectamos el punto B2 en
los respectivos planos H y F
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2 A2
E2
B2
C2
D2
Proyectamos el punto C2 en
los respectivos planos H y F
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2 A2
E2
B2
C2
D2
Proyectamos el punto D2 en
los respectivos planos H y F
BF
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2 A2
E2
B2
C2
D2
Proyectamos el punto E2 en
los respectivos planos H y F
LH
LF
MF
MH
H
F
H
1
L1
M1
1 2 L2
M2
E2
B2
C2
D2
Proyectamos el punto A2 en los respectivos planos H y F
AH
A2
AF
A1
DF
CF
BF
EF
Finalmente obtenidos
los puntos en H y F
tenemos las
respectivas
proyecciones
H
F
CF
DF
EF
AH
BF
BH
AF
EH
DH
CH
PROBLEMA PROPUESTO
10
Completar la vista frontal de la recta “AB” sabiendo que el
punto “X” pertenece a la recta mediatriz de dicha recta.
AH
AF
H
BH
XF
XH
F
Se toma el punto
medio “M” de la
recta AB
SOLUCION:
AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
El segmento XM
pertenecerá al plano
mediatriz de la recta AB. AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
Se traza la vista
auxiliar “H1”
paralela a la recta
BHAH para poder
hallar su verdadera
magnitud AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
XM viene a ser la
mediatriz de la
recta AB, en la
vista “H1”
ubicamos los
puntos “X” y “A” AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
A1
X1
En la vista “H1” la recta
AB se encontrará en
verdadera magnitud,
entonces se podrá forma
el triángulo rectángulo
XMA recto en el punto
“M” debido a que XM es
recta mediatriz de AB
Para ubicar el ángulo
recto se traza el arco
capaz con diámetro
X1A1
AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
A1
X1
Se traza una recta
perpendicular a la
línea de pliegue “H1”
desde el punto “MH”
hasta cortar la
semicircunferencia en
el punto M1 o M1
(este
problema tiene dos
soluciones, pero en
este caso sólo
tomaremos la recta que
pase por M1)
AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
A1
X1
M1
M’1
Se construye el
triángulo
rectángulo AMX
AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
A1
X1
M1
M’1
Se traza una recta
perpendicular a la
línea de pliegue “H1”
desde el punto “BH”
AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
A1
X1
M’1
M1
Se prolonga A1M1 hasta
que corte a la
prolongación de “BH” ,
dicho punto es la
coordenada de “B” en la
vista “H1” AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
A1
X1
M’1
B1
M1
Al tener la distancia del
punto “B1” a la línea de
pliegue “H1” esta medida
será igual a la medida del
punto “BF” a la línea de
pliegue “HF”.
AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
A1
X1
M’1
B1
M1
Una vez hallados
los puntos “BF” y
“AF” se procede a
construir la recta
pedida.
AH
AF
H
BH
XF
XH
F
MH
H
1
A1
X1
M’1
B1
M1
BF
PROBLEMA PROPUESTO
11
Trazar la recta BC, perpendicular a AB y que tenga la
misma orientación que AB. Resolver el problema sin usar
ninguna vista auxiliar.
BH
AH
AF
BF
Siendo BC perpendicular a AB, estará contenida en un plano
tal como P, perpendicular al segmento AB.
Es lo mismo decir que desde B se traza el plano B12,
perpendicular a la recta AB.
A
h 2
C 1 P
Este plano pasa por B y queda determinado por una horizontal
H y una frontal F en la prolongación de AB en H se escoge C por
construcción: El segmento 12 pertenece al plano P y contiene al
punto C.
BH
AH
AF
BF
H
F
1F
Solución:
BH
AH
AF
BF
H
F
1F
2H
CH
2F CF
1H
PROBLEMA PROPUESTO
12
JK es una recta de 5 cm de longitud, se corta con AB y
tiene una pendiente 80 % descendente.
Hallar las proyecciones de K.
AH
BH
AF
BF
JH
JF
Puesto que JK se corta con AB , ambas pertenecen a un mismo
plano. Se forma el plano JAB, K se encontrará en una recta de
dicho plano. A partir de los datos de JK, se determina la d.c. entre
sus extremos y la proyección horizontal de dicho segmento.
AH
BH
AF
BF
JH
JF JH KH
K
dc
En f trazamos la recta L, que dista d.c. respecto de J, esta recta
contiene a la proyección F de K (JK tiene pendiente descendente). La
recta L es el segmento 12 en H ( 1 pertenece a JA y 2 pertenece a AB).
En H, con centro en J y radio igual a la proyección horizontal de JK se
corta 12 en L y K’ que se complementa en F.
2H
BH
AF
BF
JH
JF
1H
AH
2F 1F
Solución:
2H BH
AF
BF
JH
JF
1H
AH
2F 1F
K’H
K’F
KH
KF
13
PROBLEMA PROPUESTO
Hallar la orientación y pendiente de BC. Se sabe que AB
tiene una pendiente del 50%
AH
AF
CH
CF
BF
Se traza la Línea de pliegue H/F y se halla la diferencia
de cota entre A y B.
H
F
dc (AB)
AF
AH
CH
CF
BF
Se halla el tamaño de la proyección horizontal de AB.
d.c. (AB)
PROY. HORIZ. AHBH
m
100
50
AF
BF
A partir de BF se traza una línea de referencia hacia el
plano H.
H
F
Línea de referencia
AH
CH
CF
BF
AF
Con la distancia AHBH(m) y centro en AH se traza un arco que
intercepta la línea de referencia de B en el plano H en los
puntos BH y B
H; lo que nos dará dos soluciones.
AH
CF
BF
AF
H
F
BH
B´H
CH
AH
CF
BF
AF
BH
B´H
CH
1º SOLUCION
β
ORIENTACION:
S β⁰E
N
H
F
AH
CF
BF
BH
B´H
CH
2º SOLUCION
ORIENTACION:
N Ѳ⁰E
N
Ѳ⁰
F
H
AF