semana 8 fuerzas internas diagramas v-m

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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SEPARATA 8 ESTÁTICA (GEAF 204)

SEMESTRE 2013 – II

CONTENIDO: SEMANA 8

Fuerzas internas

Fuerzas desarrolladas en elementos estructurales.

Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante.

AUTOR: Mg. Martín Sandoval Casas.


FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

SEPARATA 8

ESTÁTICA (GEAF 204)

1. GENERALIDADES:

FUNDAMENTACIÓN DEL CURSO: La asignatura de Estática corresponde al área de formación profesional y es de naturaleza teórico – práctica y de carácter obligatorio. Esta asignatura tiene como propósito hacer comprender a los estudiantes que en toda estructura, así como en todos sus elementos que lo conforman deben considerarse tres conceptos importantes: equilibrio, estabilidad y resistencia. En este curso se tratan los dos primeros aspectos, es decir, que la estructura y sus partes componentes deben disponerse de tal manera que se asegure el estado de reposo con respecto a su base. COMPETENCIAS.

Identifica los distintos tipos de estructuras de Ingeniería Civil que se presentan en la vida diaria en la práctica profesional.

2. INTRODUCCIÓN

Esta separata desarrolla los puntos contenidos en la programación del sílabo correspondientes a la octava semana: Las fuerza internas.

3. CONTENIDO

SEGUNDA UNIDAD: EQUILIBRIO CUERPOS RÍGIDOS Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL

(Duración: 6 semanas)

SEMANA 8

Se

ma

na

Contenidos Capacidad Indicador de

logro Actitudes

Indicador de logro

8

Fuerzas internas en vigas Fuerzas desarrolladas en vigas. Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante.

Resuelve situaciones problemáticas sobre fuerzas internas.

Resuelve problemas sobre fuerzas internas producidas en vigas.

Respeto a los demás.

Trata en forma cordial y amable a los demás.


FUERZAS INTERNAS

8.1 Fuerzas internas vigas

Aplicaremos los principios de la estática para analizar los efectos

internos en las vigas principalmente el efecto de corte y el efecto de

la flexión a lo largo de toda la viga, ambos efectos importantes en el

diseño de viga.

Toda viga puede soportar efectos de tensión, compresión, torsión,

corte y flexión. M representa el momento flexionante, T es el par

torsionante. Estos efectos son aplicados en toda sección transversal de

la viga y actúan simultáneamente como se aprecia en la figura 9.1 d,

sin embargo para su entendimiento analizaremos dichos efectos de

manera individual.

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Consideremos la fuerza cortante V y el momento flexionante M causado por

fuerzas aplicadas a la viga en un determinado plano. Casi todos los autores

han convenido que los valores positivos de V y M son los que se muestran en

la figura 9.2, dependiendo si se toma en cuenta la secciòn izquierda o

derecha de la viga.

RELACION ENTRE LA FUERZA CORTANTE Y EL

MOMENTO FLECTOR

Se puede hallar una relaciòn muy ùtil entre la fuerza cortante y el momento

flector a lo largo de toda la vida. Para ello (fig 9.4) seccionaremos una

pequeña porciòn de la viga de longitud dx, vemos que a la izquierda actùan

V y M y a la derecha toda vez que V y M varìan con el eje X tendremos

valores diferentes de V y M : V +dV y M + dM y por equilibrio de fuerzas y

momentos podemos escribir

V – ω dX – ( V + dV) = 0

Transformando la expresiòn anterior tenemos

ω = − dV

dX ---------- (I)

Esta ecuaciòn indica que la pendiente del diagrama de fuerza cortante

deberà ser igual al negativo del valor de la carga aplicada. Podemos expresar

la fuerza cortante en funciòn de la carga distribuida aplicada ω por medio de

la integraciòn 𝑑𝑉 𝑉

𝑉𝑜= − 𝜔

𝑥

𝑥𝑜𝑑𝑥


Luego de integrar obtenemos otra expresiòn importante :

𝑉 = 𝑉𝑜 + ( 𝑒𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑙 à𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥𝑜 𝑕𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 )

En esta expresiòn 𝑉𝑜 es la fuerza cortante en 𝑥𝑜 y V es la fuerza cortante en

x . En la fig 9.4 se aprecia que para el equilibrio estàtico la suma de

momentos debe ser cero. Sumando momentos alrededor del lado izquierdo

del elemento obtenemos:

𝑀 + 𝜔 𝑑𝑥𝑑𝑥

2+ 𝑉 + 𝑑𝑉 𝑑𝑥 − 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0 --------------------- (II)

en esta expresiòn se cancelan los M y se puede despreciar la expresiòn

resultante 𝜔(𝑑𝑥)2/2 igualmente se puede despreciar el producto (dV dx)

por lo cual la ecuaciòn (II) queda reducida a 𝑉 = 𝑑𝑀

𝑑𝑋 ---- (III)

La expresión (III) indica que la fuerza cortante en cualquier lugar de la viga

es igual a la pendiente de la gràfica del momento flector.

El momento flector M en cualquier lugar del viga se puede expresar en

función de la fuerza cortante V por medio de la integración :

𝑑𝑀𝑀

𝑀𝑂

= 𝑉 𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑜

La ecuación anterior se puede escribir como sigue :

𝑀 = 𝑀𝑂 + (à𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥𝑜 𝑕𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 )

En donde 𝑀𝑂 es el momento flexionante en 𝑋𝑂 y M es el momento

flexionante en X


.

Las ecuaciones (I) : ω = − dV

dX y (III) : 𝑉 =

𝑑𝑀

𝑑𝑋 se pueden combinar

−ω = dV

dX=

d(dM

dx)

dx=

d2M

dx2

Es decir :

d2M

dx2= −ω

Por lo tanto si ω es una función conocida en función de x, el momento M se

puede obtener por medio de dos integraciones cuidando evaluar

correctamente los límites de integral en cada integración. Mucho cuidado,

esta expresión es útil sòlo si ω (la carga distribuída sobre la viga) es

continua como una función de x. si la flexión sobre una viga ocurre en màs de

un plano podemos realizar un análisis y al final combinar los resultados en

forma vectorial.

Si la carga distribuìda fuera una función discontinua de x es posible introducir

un juego especial de expresiones llamadas funciones singulares las

mismas que permiten escribir analíticamente expresiones para la fuerza

cortante y el momento flector sobre un intervalo de longitud que incluye

discontinuidades, ese tipo de funciones son analizados en el curso siguiente

Resistencia de Materiales o Mecànica de Sòlidos.

Ejercicio 1 Determine la distribución de fuerza cortante y de momento

flector producido en la viga AB por la carga concentrada de 4 kN aplicada en

el punto C (Fig 1)

Primero calculamos las reacciones en los apoyos usamos un DCL (Fig 1.a)


En la Fig 1.c planteamos ecuaciones de equilibrio por la izquierda para

hallar las funciones V y M para el primer tramo es decir para x: 0 ≤ 𝑥 < 6

En la misma figura Fig 1.c planteamos un análisis de equilibrio estàtico por la

derecha para hallar las funciones V y M para : 6 ≤ 𝑥 < 10


Los máximos valores del momento flexionante ocurren donde la fuerza

cortante cambia de dirección.

Ejercicio 2 La viga Cantilever es sometida a la carga distribuida (peso por

unidad de longitud) la cual varía como 𝜔 = 𝜔0 𝑆𝑒𝑛 𝜋𝑥

𝑙 , Determine la fuerza

cortante V y y el momento flector como una función de la razón x/l

El diagrama de cuerpo libre de toda la viga se dibuja primero tal que la fuerza

cortante 𝑉0 y el momento flector 𝑀𝑂 actúan en el apoyo A ( x = 0). Por

convención 𝑉0 y 𝑀𝑂 son mostrados con sus sentidos matemáticos positivos.

Una suma de fuerzas verticales debe estar equilibrada

Una sumatoria de momentos alrededor del extremo izquierdo en x = 0

muestra que


Diagrama de cuerpo libre de una parte seccionada de la viga de longitud x

por integración podemos hallar la fuerza cortante interna así :

O en forma adimensional

El momento flector se obtiene por integración

O en forma adimensional


La siguente gráfica muestra ls resultados de momento flector y de fuerza

cortante.


Problema 9.1 Determine la

fuerza cortante y el momento flector producido en la viga por la carga concentrada. Cúal es

el valor de la fuerza cortante y el momento flector en x = l/2

Problema 9.2 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y el momento flector para la viga

Canteliver cargada como se muestra.

Problema 9.3 Dibuje los

diagramas de fuerza cortante y de momento flector y determine la distancia a la

derecha de A donde el momento es cero

Problema 9.4 Dibuje los

diagramas de fuerza cotante y de momento flector de la viga cargada. ¿Cuáles son los

valores de V y M en el punto

medio de la viga?

8

Problema 9.5 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y

de momento flector para la viga sometida a las cargas en dos puntos. Determine el máximo

momento flector M max y su localización.

Problema 9.6 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flectorpara la viga

cargada uniformemente y halle el máximo momento flector


PROBLEMAS PROPUESTOS – FUERZAS INTERNAS 7. Calcule la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector a 7 m a la derecha de A. 8. El eje del arco ABC con

tres goznes en una parábola con vértice en B. Sabiendo que P = 20 kN y Q = 10 kN, determine las fuerzas internas en J.

9. Determinar las fuerzas internas (fuerza axial, fuerza cortante y momento de flexion) en

el punto J de la estructura indicada. 10. Determinar las fuerzas internas

(fuerza axial, fuerza cortante y momento de flexion) en el punto J de la estructura indicada.

A B C D E

400 N/m

200 N/m

250 N

4 m 2 m 2 m 3 m

A

2,5 m

C

5 m 5 m

3 m 2 m

2 m

J

B

P

Q

A B C

D

E F

G

60 N

2 m

1,5 m 1,5 m 1,5 m

J

2 m

A B C E

300 N/m 200 N/m

4 m 2 m 2 m 3 m

J


11. La ménsula AD se sostiene

por un pasador en A y por el cable DE. Determinar las fuerzas internas justamente a la izquierda de la carga si a = 2 m.

12. Calcule la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector a 7 m a la derecha de A.

Considere la parte curva como una parábola.

4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Riley W, Sturges L. Ingeniería Mecánica – Estática. Editorial Reverte, S.A. 2008.

Hibbeler, Russel; Mecánica Vectorial para Ingenieros Tomo I Estática Editorial Pearson Prentice Hill, 2004, Décima Edición.

Meriam,J.L., Kraige L.G.; Mecánica para Ingenieros ESTÁTICA , Editorial Reverté S.A. University of California . 1998 , Tercera Edición

Shames, Irving; Mecánica para Ingenieros Estática Ed. Prentice Hill Cuarta Edición. 1998 Madrid.

Mc Gill, Mecánica para Ingeniería Estática, Grupo Editorial Iberoamérica, México D.F.

Sandor, Bela; Ingeniería Mecánica Estática, Segunda Edición, Editorial Prentice Hall, 2006.

A

B C

D

E

a 3 m

3 m

1 m

450 N

A B C D E

400 N/m

200 N/m

250 N

3 m 3 m 2 m 3 m

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